Замечательное свойство трапеции — подготовка к ЕГЭ по Математике

Анна Малкова

Замечательное свойство трапеции. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений ее боковых сторон и середины оснований лежат на одной линии.

Дана трапеция ABCD, , N — середина AD, M — середина BC, . Докажем, что точки M, N, O, P лежат на одной прямой.

Задача не так уж и проста, да и сама формулировка необычна: доказать, что четыре точки лежат на одной прямой. Как это сделать?

Во-первых, разобьем задачу на две более простых. Во-вторых – немного переформулируем.

1) Докажем, что середина основания AD лежит на прямой, соединяющей середину основания BC и точку пересечения диагоналей.

2) Докажем, что середина основания AD лежит на прямой, соединяющей середину основания BC и точку пересечения продолжений боковых сторон.

Начнем с пункта 1.

Пусть M — середина BC, O – точка пересечения диагоналей трапеции, .

Докажем, что N – середина AD.

по двум углам ( как вертикальные, как накрест лежащие при параллельных основаниях трапеции), тогда .

Аналогично, ( как вертикальные, как накрест лежащие при параллельных основаниях трапеция), отсюда .

Отсюда . Это значит, что N – середина AD.

Теперь пункт 2.

Проведем PM – медиану треугольника BPC. Пусть прямые AD и PM пересекаются в точке N. Докажем, что N – середина AD

по двум углам (угол P – общий, как соответственные при параллельных основаниях трапеции), отсюда .

аналогично, .

Получим: , значит, N – середина AD.

Таким образом, точки M,O,N,P лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)                        +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

ege-study.ru

Интересные свойства трапеции | Социальная сеть работников образования

Слайд 1

Проектная работа « Интересные свойства трапеции » Выполнили : ученицы 10 класса Кудзаева Эллина Баззаева Диана МКОУ СОШ с. Н.Батако Руководитель: Гагиева А.О. 20.11.2015 года

Слайд 2

Цель работы: Рассмотреть свойства трапеции, которые в школьном курсе геометрии не изучаются, но при решении геометрических задач ЕГЭ из развернутой части С 4 бывает необходимо знать и уметь применять именно эти свойства .

Слайд 3

Свойства трапеции: Если трапеция разделена прямой, параллельной ее основаниям, равным a и в , на две равновеликие трапеции. Тогда отрезок к этой прямой, заключенный между боковыми сторонами, равен a В к

Слайд 4

Свойство отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции . Отрезок, параллельный основаниям, проходящий через точку пересечения диагоналей равен: а в с

Слайд 5

Свойства трапеции: Отрезок прямой, параллельной основаниям трапеции, заключенный внутри трапеции, разбивается ее диагоналями на три части. Тогда отрезки, прилегающие к боковым сторонам, равны между собой. МР=ОК Р М О К

Слайд 6

Свойства равнобедренной трапеции: Если в трапецию можно вписать окружность, то радиус окружности есть среднее пропорциональное отрезков, на которые точка касания делит боковую сторону. О С В А Д . Е О

Слайд 7

Свойства равнобедренной трапеции: Если центр описанной окружности лежит на основании трапеции, то её диагональ перпендикулярна боковой стороне О А В С Д

Слайд 8

Свойства равнобедренной трапеции: В равнобедренную трапецию можно вписать окружность, если боковая сторона равна её средней линии. С В А Д h

Слайд 9

1)Если в условии задачи сказано, что в прямоугольную трапецию вписана окружность, можно использовать следующие свойства: 1. Сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон. 2. Расстояния от вершины трапеции до точек касания вписанной окружности равны. 3. Высота прямоугольной трапеции равна ее меньшей боковой стороне и равна диаметру вписанной окружности. 4. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов трапеции. 5. Если точка касания делит боковую сторону на отрезки m и n , то радиус вписанной окружности равен

Слайд 10

Свойства прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность: 1) Четырехугольник, образованный центром вписанной окружности, точками касания и вершиной трапеции — квадрат, сторона которого равна радиусу. (AMOE и BKOM — квадраты со стороной r ). 2) Если в прямоугольную трапецию вписана окружность, то площадь трапеции равна произведению ее оснований: S=AD*BC

Слайд 11

Доказательство : Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту: Обозначим CF=m , FD=n . Поскольку расстояния от вершин до точек касания равны, высота трапеции равна двум радиусам вписанной окружности, а

Слайд 12

I. Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под углом 90º . 1)∠ABC+∠BAD=180º(как внутренние односторонние при AD∥BC и секущей AB). 2) ∠ABK+∠KAB=(∠ABC+∠BAD):2=90º(так как биссектрисы делят углы пополам). 3) Так как сумма углов треугольника равна 180º, в треугольнике ABK имеем: ∠ABK+∠KAB+∠AKB=180º, отсюда ∠AKB=180-90=90º. Вывод: Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под прямым углом. Это утверждение применяется при решении задач на трапецию, в которую вписана окружность .

Слайд 13

I I .Точка пересечения биссектрис трапеции, прилежащих к боковой стороне, лежит на средней линии трапеции. Пусть биссектриса угла ABC пересекает сторону AD в точке S. Тогда треугольник ABS — равнобедренный с основанием BS Значит, его биссектриса AK является также медианой, то есть точка K — середина BS. Если M и N — середины боковых сторон трапеции, то MN — средняя линия трапеции и MN∥AD. Так как M и K — середины AB и BS, то MK — средняя линия треугольника ABS и MK∥AS. Поскольку через точку M можно провести лишь одну прямую, параллельную данной, точка K лежит на средней линии трапеции.

Слайд 14

III. Точка пересечения биссектрис острых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию. В этом случае треугольники ABK и DCK — равнобедренные с основаниями AK и DK соответственно. Таким образом, BC=BK+KC=AB+CD. Вывод: Если биссектрисы острых углов трапеции пересекаются в точке, принадлежащей меньшему основанию, то меньшее основание равно сумме боковых сторон трапеции. У равнобедренной трапеции в этом случае меньшее основание в два раза больше боковой стороны.

Слайд 15

I V. Точка пересечения биссектрис тупых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию. В этом случае треугольники ABF и DCF — равнобедренные с основаниями BF и CF соответственно. Отсюда AD=AF+FD=AB+CD. Вывод: Если биссектрисы тупых углов трапеции пересекаются в точке, принадлежащей большему основанию, то большее основание равно сумме боковых сторон трапеции. У равнобедренной трапеции в этом случае большее основание в два раза больше боковой стороны.

Слайд 16

Если равнобедеренную трапецию со сторонами а,в,с , d можно вписать и около неё можно описать окружности, то площадь трапеции равна

nsportal.ru

Свойства трапеции: отрезок, соединяющий середины диагоналей

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.

Пусть точка М – середина диагонали АС, N – середина диагонали ВD, Р и Q – середины боковых сторон АВ и СD.
Тогда РМ – средняя линия треугольника АВС, РМ параллельна ВС. Это значит, что точка М лежит на средней линии РQ трапеции, поскольку через точку Р можно провести на плоскости единственную прямую, параллельную прямой ВС. При этом .
Аналогично, точка N – середина диагонали BD – также лежит на РQ, то есть на средней линии трапеции, и . Поскольку  , .

Задача ЕГЭ по теме: «Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований».

Основания трапеции равны 10 и 6. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Проведем PQ – среднюю линию трапеции, PQ = 8. Как мы доказали, отрезок MN, соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии.
PM – средняя линия треугольника ABC, значит, PM = 3.
NQ – средняя линия треугольника BCD, значит, NQ = 3.

Тогда MN = PQ − PM − NQ = 8 − 3 − 3 = 2
Ответ: 2.

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)                        +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

ege-study.ru