Mathway | Популярные задачи

1	Найти производную — d/dx	квадратный корень x
2	Найти производную — d/dx	натуральный логарифм x
3	Вычислить	интеграл натурального логарифма x по x
4	Найти производную — d/dx	e^x
5	Вычислить	интеграл e^(2x) относительно x
6	Найти производную — d/dx	1/x
7	Найти производную — d/dx	x^2
8	Вычислить	интеграл e^(-x) относительно x
9	Найти производную — d/dx	1/(x^2)
10	Найти производную — d/dx	sin(x)^2
11	Найти производную — d/dx	sec(x)
12	Вычислить	интеграл e^x относительно x
13	Вычислить	интеграл x^2 относительно x
14	Вычислить	интеграл квадратного корня x по x
15	Вычислить	натуральный логарифм 1
16	Вычислить	e^0
17	Вычислить	sin(0)
18	Найти производную — d/dx	cos(x)^2
19	Вычислить	интеграл 1/x относительно x
20	Вычислить	cos(0)
21	Вычислить	интеграл sin(x)^2 относительно x
22	Найти производную — d/dx	x^3
23	Найти производную — d/dx	sec(x)^2
24	Найти производную — d/dx	1/(x^2)
25	Вычислить	интеграл arcsin(x) относительно x
26	Вычислить	интеграл cos(x)^2 относительно x
27	Вычислить	интеграл sec(x)^2 относительно x
28	Найти производную — d/dx	e^(x^2)
29	Вычислить	интеграл в пределах от 0 до 1 кубического корня 1+7x по x
30	Найти производную — d/dx	sin(2x)
31	Вычислить	интеграл натурального логарифма x по x
32	Найти производную — d/dx	tan(x)^2
33	Вычислить	интеграл e^(2x) относительно x
34	Вычислить	интеграл 1/(x^2) относительно x
35	Найти производную — d/dx	2^x
36	График	натуральный логарифм a
37	Вычислить	e^1
38	Вычислить	интеграл 1/(x^2) относительно x
39	Вычислить	натуральный логарифм 0
40	Найти производную — d/dx	cos(2x)
41	Найти производную — d/dx	xe^x
42	Вычислить	интеграл 1/x относительно x
43	Вычислить	интеграл 2x относительно x
44	Найти производную — d/dx	( натуральный логарифм x)^2
45	Найти производную — d/dx	натуральный логарифм (x)^2
46	Найти производную — d/dx	3x^2
47	Вычислить	натуральный логарифм 2
48	Вычислить	интеграл xe^(2x) относительно x
49	Найти производную — d/dx	2e^x
50	Найти производную — d/dx	натуральный логарифм 2x
51	Найти производную — d/dx	-sin(x)
52	Вычислить	tan(0)
53	Найти производную — d/dx	4x^2-x+5
54	Найти производную — d/dx	y=16 корень четвертой степени 4x^4+4
55	Найти производную — d/dx	2x^2
56	Вычислить	интеграл e^(3x) относительно x
57	Вычислить	интеграл cos(2x) относительно x
58	Вычислить	интеграл cos(x)^2 относительно x
59	Найти производную — d/dx	1/( квадратный корень x)
60	Вычислить	интеграл e^(x^2) относительно x
61	Вычислить	sec(0)
62	Вычислить	e^infinity
63	Вычислить	2^4
64	Найти производную — d/dx	x/2
65	Вычислить	4^3
66	Найти производную — d/dx	-cos(x)
67	Найти производную — d/dx	sin(3x)
68	Вычислить	натуральный логарифм 1/e
69	Вычислить	интеграл x^2 относительно x
70	Упростить	1/( кубический корень от x^4)
71	Найти производную — d/dx	1/(x^3)
72	Вычислить	интеграл e^x относительно x
73	Вычислить	интеграл tan(x)^2 относительно x
74	Вычислить	интеграл 1 относительно x
75	Найти производную — d/dx	x^x
76	Найти производную — d/dx	x натуральный логарифм x
77	Вычислить	интеграл sin(x)^2 относительно x
78	Найти производную — d/dx	x^4
79	Вычислить	предел (3x-5)/(x-3), если x стремится к 3
80	Вычислить	интеграл от x^2 натуральный логарифм x по x
81	Найти производную — d/dx	f(x) = square root of x
82	Найти производную — d/dx	x^2sin(x)
83	Вычислить	интеграл sin(2x) относительно x
84	Найти производную — d/dx	3e^x
85	Вычислить	интеграл xe^x относительно x
86	Найти производную — d/dx	y=x^2
87	Найти производную — d/dx	квадратный корень x^2+1
88	Найти производную — d/dx	sin(x^2)
89	Вычислить	интеграл e^(-2x) относительно x
90	Вычислить	интеграл натурального логарифма квадратного корня x по x
91	Вычислить	2^5
92	Найти производную — d/dx	e^2
93	Найти производную — d/dx	x^2+1
94	Вычислить	интеграл sin(x) относительно x
95	Вычислить	2^3
96	Найти производную — d/dx	arcsin(x)
97	Вычислить	предел (sin(x))/x, если x стремится к 0
98	Вычислить	e^2
99	Вычислить	интеграл e^(-x) относительно x
100	Вычислить	интеграл 1/x относительно x

4.1. Первообразная. Простейшие способы интегрирования

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального

образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет»

(СПбГМТУ)

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИКА

Направление подготовки: 180100 «Кораблестроение, океанотехника и системотехника объектов морской инфраструктуры»;

Профили подготовки: 1.180100.62.01 «Кораблестроение», 1.180100.62.03 «Океанотехника».

Квалификация (степень) выпускника: Бакалавр техники и технологии

Форма обучения: очная

Санкт-Петербург

2011

1

Раздел 4. Интегральное исчисление функций одной переменной

Первообразная функция. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица неопределенных интегралов. Простейшие способы интегрирования. Методы замены переменной и интегрирования по частям в неопределенном интеграле.

4.1.1.Первообразная функция

Вразделе 3 мы ввели понятие производной и научились находить производную от данной функции.

Вэтой главе мы будем решать обратную задачу, а именно: известна функция f (x) ,

требуется найти такую функцию F(x) , производная которой равна

f (x) , т.е. F ‘ (x) = f (x) .

Определение 4.1.1.

Функция F(x) называется первообразной для функции

f (x)

на интервале

(a; b) ,

если

F(x)

дифференцируема на (a; b) и F ‘ (x) = f (x) .

ЗАМЕЧАНИЕ

Аналогично можно определить понятие первообразной на отрезке [a;b], но в точках

а и

b надо

рассматривать односторонние производные.

Пример 4.1.1

1

1

1)

F(x) =

x есть первообразная для функции f(x) =

на (0; ∞) , т.к. (

x )’ =

.

2

x

2

x

2)

Для функции f (x) = x2 первообразной будет функция

F(x) =

x3

на

(−∞;+∞) ,

т.к.

3

x3

‘

= x2 .

3

Теорема 4.1.1

С –

Если F(x)

первообразная для функции f (x) на (a; b) ,

то

F(x) +C , где

любое

постоянное число, также первообразная для f (x) .

Доказательство

(F(x) +C)’ = F ‘ (x) + 0 = F ‘ (x) = f (x) .

Теорема 4.1.2

Если F1(x)

и F2 (x) – две первообразные для f (x)

на

(a; b) , то на (a; b) справедливо

F1(x) − F2 (x) = C , где С – постоянная.

Доказательство

По условию F ‘1(x) − F ‘2 (x) = f (x) . Составим функцию Ф(x) = F (x) − F (x)

и найдём ее

1

2

производную x (a;b) :

Ф’ (x) = (F1( x) − F2 ( x))’ = F1′ ( x) − F2′ (x) = f (x) − f (x) = 0 .

Следовательно Ф(x) = C , т.е. F1(x) − F2 (x) = C .

2

Mathway | Популярные задачи

1	Найти производную — d/dx	квадратный корень x
2	Найти производную — d/dx	натуральный логарифм x
3	Вычислить	интеграл натурального логарифма x по x
4	Найти производную — d/dx	e^x
5	Вычислить	интеграл e^(2x) относительно x
6	Найти производную — d/dx	1/x
7	Найти производную — d/dx	x^2
8	Вычислить	интеграл e^(-x) относительно x
9	Найти производную — d/dx	1/(x^2)
10	Найти производную — d/dx	sin(x)^2
11	Найти производную — d/dx	sec(x)
12	Вычислить	интеграл e^x относительно x
13	Вычислить	интеграл x^2 относительно x
14	Вычислить	интеграл квадратного корня x по x
15	Вычислить	натуральный логарифм 1
16	Вычислить	e^0
17	Вычислить	sin(0)
18	Найти производную — d/dx	cos(x)^2
19	Вычислить	интеграл 1/x относительно x
20	Вычислить	cos(0)
21	Вычислить	интеграл sin(x)^2 относительно x
22	Найти производную — d/dx	x^3
23	Найти производную — d/dx	sec(x)^2
24	Найти производную — d/dx	1/(x^2)
25	Вычислить	интеграл arcsin(x) относительно x
26	Вычислить	интеграл cos(x)^2 относительно x
27	Вычислить	интеграл sec(x)^2 относительно x
28	Найти производную — d/dx	e^(x^2)
29	Вычислить	интеграл в пределах от 0 до 1 кубического корня 1+7x по x
30	Найти производную — d/dx	sin(2x)
31	Вычислить	интеграл натурального логарифма x по x
32	Найти производную — d/dx	tan(x)^2
33	Вычислить	интеграл e^(2x) относительно x
34	Вычислить	интеграл 1/(x^2) относительно x
35	Найти производную — d/dx	2^x
36	График	натуральный логарифм a
37	Вычислить	e^1
38	Вычислить	интеграл 1/(x^2) относительно x
39	Вычислить	натуральный логарифм 0
40	Найти производную — d/dx	cos(2x)
41	Найти производную — d/dx	xe^x
42	Вычислить	интеграл 1/x относительно x
43	Вычислить	интеграл 2x относительно x
44	Найти производную — d/dx	( натуральный логарифм x)^2
45	Найти производную — d/dx	натуральный логарифм (x)^2
46	Найти производную — d/dx	3x^2
47	Вычислить	натуральный логарифм 2
48	Вычислить	интеграл xe^(2x) относительно x
49	Найти производную — d/dx	2e^x
50	Найти производную — d/dx	натуральный логарифм 2x
51	Найти производную — d/dx	-sin(x)
52	Вычислить	tan(0)
53	Найти производную — d/dx	4x^2-x+5
54	Найти производную — d/dx	y=16 корень четвертой степени 4x^4+4
55	Найти производную — d/dx	2x^2
56	Вычислить	интеграл e^(3x) относительно x
57	Вычислить	интеграл cos(2x) относительно x
58	Вычислить	интеграл cos(x)^2 относительно x
59	Найти производную — d/dx	1/( квадратный корень x)
60	Вычислить	интеграл e^(x^2) относительно x
61	Вычислить	sec(0)
62	Вычислить	e^infinity
63	Вычислить	2^4
64	Найти производную — d/dx	x/2
65	Вычислить	4^3
66	Найти производную — d/dx	-cos(x)
67	Найти производную — d/dx	sin(3x)
68	Вычислить	натуральный логарифм 1/e
69	Вычислить	интеграл x^2 относительно x
70	Упростить	1/( кубический корень от x^4)
71	Найти производную — d/dx	1/(x^3)
72	Вычислить	интеграл e^x относительно x
73	Вычислить	интеграл tan(x)^2 относительно x
74	Вычислить	интеграл 1 относительно x
75	Найти производную — d/dx	x^x
76	Найти производную — d/dx	x натуральный логарифм x
77	Вычислить	интеграл sin(x)^2 относительно x
78	Найти производную — d/dx	x^4
79	Вычислить	предел (3x-5)/(x-3), если x стремится к 3
80	Вычислить	интеграл от x^2 натуральный логарифм x по x
81	Найти производную — d/dx	f(x) = square root of x
82	Найти производную — d/dx	x^2sin(x)
83	Вычислить	интеграл sin(2x) относительно x
84	Найти производную — d/dx	3e^x
85	Вычислить	интеграл xe^x относительно x
86	Найти производную — d/dx	y=x^2
87	Найти производную — d/dx	квадратный корень x^2+1
88	Найти производную — d/dx	sin(x^2)
89	Вычислить	интеграл e^(-2x) относительно x
90	Вычислить	интеграл натурального логарифма квадратного корня x по x
91	Вычислить	2^5
92	Найти производную — d/dx	e^2
93	Найти производную — d/dx	x^2+1
94	Вычислить	интеграл sin(x) относительно x
95	Вычислить	2^3
96	Найти производную — d/dx	arcsin(x)
97	Вычислить	предел (sin(x))/x, если x стремится к 0
98	Вычислить	e^2
99	Вычислить	интеграл e^(-x) относительно x
100	Вычислить	интеграл 1/x относительно x

1.5 Первообразная | Экономика для школьников

Понятие первообразной функции

Под дифференцированием функции $f(x)$ мы понимаем нахождение её производной $f'(x)$. Нахождение функции $f(x)$ по заданной её производной $f'(x)$ называют операцией интегрирования.

Таким образом, операция интегрирования обратна операции дифференцирования. Следовательно, операция интегрирования состоит в том, что по заданной производной $f'(x)$ восстанавливают функцию $f(x)$.

Определение 1
Функция $F$ называется первообразной для функции $f$ на заданном промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка $F'(x)=f(x)$.

Множество всех первообразных для функции $f(x)$ можно представить в виде $F(x)+C$, где $C \in R$.

Теорема
Если функция $F$ есть первообразная для функции $f$ на промежутке $X$, то при любой постоянной $C$ функция $F(x)+C$ также является первообразной для функции $f$ на промежутке $X$. Любая первообразная функции $f$ на промежутке $X$ может быть записана в виде $F(x)+C$.

Определение 2
Выражение $F(x)+C$ называют общим видом пербообразных для функции $f$.

Пример 1
Функция $F(x)=x^4$ есть первообразная для функции $f(x)=4x^3$ на промежутке $(-\infty;\infty)$, ибо для всех $x \in R$ справедливо равенство $F'(x)=(x^4)’=4x^3$.

Первообразные некоторых функций:

$k$ (постоянная)	$kx+C$
$x^a$ ($a \in R$, $a \neq 1$)	$\dfrac{x^{a+1}}{a+1}+C$
$\dfrac{1}{\sqrt{x}}$	$2\sqrt{x}+C$

Пример 2
Найти общий вид первообразной для функции $f=x^2$
$f=x^2$
$f=x^{a}$
$a=2$
$F=\dfrac{x^{2+1}}{2+1}+C=\dfrac{x^3}{3}+C$

Три правила нахождения первообразных

1. Если $F$ есть первообразная для $f$, а $G$ есть первообразная для $g$, то $F+G$ есть первообразная для $f+g$, то есть $(F+G)’=f+g$.
2. Если $F$ есть первообразная для $f$, а $k$ есть постоянная, то $kF$ есть первообразная для $kf$, то есть $(kF)’=kf$.
3. Если $F(x)$ есть первообразная для функции $f(x)$, а $k$ и $b$ являются постоянными, $k\neq0$, то $\dfrac{1}{k}F(kx+b)$ есть первообразная для функции $f(kx+b)$, то есть $\left(\dfrac{1}{k}F(kx+b)\right)’=f(kx+b)$

Пример 3
Найти общий вид первообразной для функции $f=x^3+\dfrac{1}{x^2}$
Так как для функции $x^3$ одна из первообразных есть $\dfrac{x^4}{4}$, а для функции $\dfrac{1}{x^2}$ одной из первообразных является функция $-\dfrac{1}{x}$, то по правилу $1$ находим, что для функции $f=x^3+\dfrac{1}{x^2}$ одной из первообразных будет $\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{1}{x}$, а общий вид первообразных будет $\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{1}{x}+C$.

Первообразная и неопределенный интеграл.

Функция  $F(x)$ называется первообразной функции $f(x),$ заданной на некотором множестве $X,$ если $F'(x)=f(x)$ для всх $x\in X.$ Если $F(x -)$ первообразная функции $f(x),$ то $\Phi(x)$ является первообразной той же функции в том и только в том случае, когда $\Phi(x)=F(x)+C,$ где $C$ — некоторая постоянная. Совокупность всех первообразных функции $f(x)$ называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается символом $$\int f(x)\,dx.$$ Таким образом, по определению $$\int f(x)\,dx=F(x)+C,$$ где $F(x)$ одна из первообразных функции $f(x)$ а постоянная $C$ принимает действительные значения.

Свойства неопределенного интеграла.

1. $\left(\int f(x)\,dx\right)’=f(x).$

2. $\int f'(x)dx=f(x)+C.$

3. $\int af(x)dx=a\int f(x) dx.\,\,\,\,\,\,a\neq 0.$

4. $\int (f_1(x)+f_2(x))dx=\int f_1(x)\,dx+\int f_2(x)\, dx.$

 

Таблица основных неопределенных интегралов.

1. $\int dx=x+C$

2. $\int x^{\alpha}dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C$

3. $\int {dx}{x}=\ln |x|+C$

4. $\int a^x dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$

5. $\int e^x dx=e^x+C$

6. $\int \sin x dx=-\cos x+C$

7. $\int \cos x dx=\sin x+C$

8. $\int \frac{dx}{\cos^2 x}=tg x+C$

9. $\int \frac{dx}{sin^2 x}=-ctg x+C$

10. $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin\frac{x}{a}+C$

11. $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 \pm a^2}}=\ln\left|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right|+C$

12. $\int \frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}arctg\frac{x}{a}+C$

13. $\int \frac{dx}{x^2 -a^2}=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C$

14. $\int sh x dx = ch x+C$

15. $\int ch x dx = sh x+C$

16. $\int \frac{dx}{ch^2 x} = th x+C$

17. $\int \frac{dx}{sh^2 x} = -cth x+C$

 

Примеры.

Найти первообразные следующих функций:

6.1. $2x^7.$

Решение.

Из определения первообразной следует, что нам необходимо найти такую функцию $F(x),$ что $F'(x)=2x^7.$

$$(x^8)’=8x^7\Rightarrow (\frac{1}{4}x^8)’=2x^7.$$

Таким образом, $F(x)=0,25 x^8,$ а все первообразные заданной функции имеют вид $0,25x^8+c.$

Ответ: $0,25x^8+c.$

6.4.$\frac{x^3+5x^2-1}{x}.$

Решение.

Из определения первообразной следует, что нам необходимо найти такую функцию $F(x),$ что $F'(x)=\frac{x^3+5x^2-1}{x}=x^2+5x-\frac{1}{x}.$

$$(x^3)’=3x^2\Rightarrow (\frac{1}{3}x^3)’=x^2;$$

$$(x^2)’=2x\Rightarrow (\frac{5}{2}x^2)’=5x;$$

$$(\ln |x|)’=\frac{1}{x}.$$

Отсюда находим, $$F(x)=\frac{1}{3} x^3+\frac{5}{2}x^2-\ln |x|,$$ а все первообразные заданной функции имеют вид $\frac{1}{3} x^3+\frac{5}{2}x^2-\ln |x|+c.$

Ответ: $\frac{1}{3} x^3+\frac{5}{2}x^2-\ln |x|+c.$

6.7.$\frac{1}{\sqrt{a+bx}}.$

Решение.

Из определения первообразной следует, что нам необходимо найти такую функцию $F(x),$ что $F'(x)=\frac{1}{\sqrt{a+bx}}.$

$$(\sqrt{a+bx})’=\frac{1}{2\sqrt{a+bx}}(a+bx)’=\frac{b}{2\sqrt{a+bx}}\Rightarrow$$ $$\Rightarrow (\frac{2}{b}\sqrt{a+bx})’=\frac{1}{\sqrt{a+bx}}.$$

Таким образом, $$F(x)=\frac{2}{b}\sqrt{a+bx},$$ а все первообразные заданной функции имеют вид $\frac{2}{b}\sqrt{a+bx}+c.$

Ответ: $\frac{2}{b}\sqrt{a+bx}+c.$

6.10.$\frac{1}{\cos^2{4x}}.$

Решение.

Из определения первообразной следует, что нам необходимо найти такую функцию $F(x),$ что $F'(x)=\frac{1}{\cos^2{4x}}.$

$$(tg 4x)’=\frac{1}{\cos^2{4x}}(4x)’=\frac{4}{\cos^2{4x}}\Rightarrow (\frac{1}{4}tg 4x)’=\frac{1}{\cos^2 4x}.$$

Таким образом, $$F(x)=\frac{1}{4 }tg 4x,$$ а все первообразные заданной функции имеют вид $0,25 tg 4x+c.$

Ответ: $0,25 tg 4x+c.$

 

Используя таблицу основных интегралов, найти следующие интегралы:

6.15.$\int\left(3x^2+2x+\frac{1}{x}\right)\, dx.$

Решение.

$$\int\left(3x^2+2x+\frac{1}{x}\right)\, dx=3\int x^2 dx+2\int xdx+\int\frac{1}{x}dx=$$ $$=3\frac{x^3}{3}+2\frac{x^2}{2}+\ln |x|+c=x^3+x^2+\ln|x|+c.$$

Ответ: $x^3+x^2+\ln|x|+c.$

6.17.$\int\sqrt{mx}\,dx.$

Решение.

$$\int\sqrt{mx}\, dx=\sqrt m\int x^{\frac{1}{2}}\,dx=\sqrt m\frac{x^{1/2+1}}{1/2+1}+c=\sqrt m\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+c=$$ $$=\frac{2\sqrt {mx^3}}{3}+c.$$

Ответ: $\frac{2\sqrt{mx^3}}{3}+c.$

6.19.$\int\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}-\frac{x+1}{\sqrt[4]{x^3}}\right)\,dx.$

Решение.

$$\int\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}-\frac{x+1}{\sqrt[4]{x^3}}\right)\,dx=\int x^{-2/3}dx-\int\frac{x}{x^{3/4}}\,dx-\int\frac{1}{x^{3/4}}dx=$$ $$=\int x^{-2/3}dx-\int{x^{1/4}}\,dx-\int{x^{-3/4}}dx=$$ $$=\frac{x^{-2/3+1}}{-2/3+1}-\frac{x^{1/4+1}}{1/4+1}-\frac{x^{-3/4+1}}{-3/4+1}+c=$$ $$=3x^{1/3}-\frac{4x^{5/4}}{5}-4{x^{1/4}}+c=$$ 

Ответ: $3\sqrt[3]x-\frac{4}{5}x\sqrt[4]{x}-4\sqrt[4]{x}+c.$

6.22.$\int 2^xe^x\, dx.$

Решение.

$$\int 2^xe^x\,dx=\int (2e)^x\,dx=\frac{(2e)^x}{\ln (2e)}+c=\frac{(2e)^x}{\ln2+1}+c$$ 

Ответ: $\frac{(2e)^x}{\ln 2+1}+c.$

6.24.$\int(2x+3\cos x)\,dx.$

Решение.

$$\int (2x+3\cos x)\,dx=2\int x\,dx+3\int\cos x\,dx=2\frac{x^2}{2}+3\sin x+c=$$ $$=x^2+3\sin x+c$$ 

Ответ: $x^2+3\sin x+c.$

 

6.28.$\int\sin^2\frac{x}{2}\,dx.$

Решение.

$$\int \sin^2\frac{x}{2}\,dx=\int \frac{1-\cos x}{2}\,dx=\frac{1}{2}\int\,dx-\frac{1}{2}\int\cos x\,dx=$$ $$=0,5 x-0,5\sin x+c.$$ 

Ответ: $0,5 x-0,5\sin x+c.$

 

6.42.$\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-7}}.$

Решение.

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-7}}=\ln|x+\sqrt{x^2-7}|+c.$$ 

Ответ: $\ln|x+\sqrt{x^2-7}|+c.$

Mathway | Популярные задачи

1	Найти производную — d/dx	квадратный корень x
2	Найти производную — d/dx	натуральный логарифм x
3	Вычислить	интеграл натурального логарифма x по x
4	Найти производную — d/dx	e^x
5	Вычислить	интеграл e^(2x) относительно x
6	Найти производную — d/dx	1/x
7	Найти производную — d/dx	x^2
8	Вычислить	интеграл e^(-x) относительно x
9	Найти производную — d/dx	1/(x^2)
10	Найти производную — d/dx	sin(x)^2
11	Найти производную — d/dx	sec(x)
12	Вычислить	интеграл e^x относительно x
13	Вычислить	интеграл x^2 относительно x
14	Вычислить	интеграл квадратного корня x по x
15	Вычислить	натуральный логарифм 1
16	Вычислить	e^0
17	Вычислить	sin(0)
18	Найти производную — d/dx	cos(x)^2
19	Вычислить	интеграл 1/x относительно x
20	Вычислить	cos(0)
21	Вычислить	интеграл sin(x)^2 относительно x
22	Найти производную — d/dx	x^3
23	Найти производную — d/dx	sec(x)^2
24	Найти производную — d/dx	1/(x^2)
25	Вычислить	интеграл arcsin(x) относительно x
26	Вычислить	интеграл cos(x)^2 относительно x
27	Вычислить	интеграл sec(x)^2 относительно x
28	Найти производную — d/dx	e^(x^2)
29	Вычислить	интеграл в пределах от 0 до 1 кубического корня 1+7x по x
30	Найти производную — d/dx	sin(2x)
31	Вычислить	интеграл натурального логарифма x по x
32	Найти производную — d/dx	tan(x)^2
33	Вычислить	интеграл e^(2x) относительно x
34	Вычислить	интеграл 1/(x^2) относительно x
35	Найти производную — d/dx	2^x
36	График	натуральный логарифм a
37	Вычислить	e^1
38	Вычислить	интеграл 1/(x^2) относительно x
39	Вычислить	натуральный логарифм 0
40	Найти производную — d/dx	cos(2x)
41	Найти производную — d/dx	xe^x
42	Вычислить	интеграл 1/x относительно x
43	Вычислить	интеграл 2x относительно x
44	Найти производную — d/dx	( натуральный логарифм x)^2
45	Найти производную — d/dx	натуральный логарифм (x)^2
46	Найти производную — d/dx	3x^2
47	Вычислить	натуральный логарифм 2
48	Вычислить	интеграл xe^(2x) относительно x
49	Найти производную — d/dx	2e^x
50	Найти производную — d/dx	натуральный логарифм 2x
51	Найти производную — d/dx	-sin(x)
52	Вычислить	tan(0)
53	Найти производную — d/dx	4x^2-x+5
54	Найти производную — d/dx	y=16 корень четвертой степени 4x^4+4
55	Найти производную — d/dx	2x^2
56	Вычислить	интеграл e^(3x) относительно x
57	Вычислить	интеграл cos(2x) относительно x
58	Вычислить	интеграл cos(x)^2 относительно x
59	Найти производную — d/dx	1/( квадратный корень x)
60	Вычислить	интеграл e^(x^2) относительно x
61	Вычислить	sec(0)
62	Вычислить	e^infinity
63	Вычислить	2^4
64	Найти производную — d/dx	x/2
65	Вычислить	4^3
66	Найти производную — d/dx	-cos(x)
67	Найти производную — d/dx	sin(3x)
68	Вычислить	натуральный логарифм 1/e
69	Вычислить	интеграл x^2 относительно x
70	Упростить	1/( кубический корень от x^4)
71	Найти производную — d/dx	1/(x^3)
72	Вычислить	интеграл e^x относительно x
73	Вычислить	интеграл tan(x)^2 относительно x
74	Вычислить	интеграл 1 относительно x
75	Найти производную — d/dx	x^x
76	Найти производную — d/dx	x натуральный логарифм x
77	Вычислить	интеграл sin(x)^2 относительно x
78	Найти производную — d/dx	x^4
79	Вычислить	предел (3x-5)/(x-3), если x стремится к 3
80	Вычислить	интеграл от x^2 натуральный логарифм x по x
81	Найти производную — d/dx	f(x) = square root of x
82	Найти производную — d/dx	x^2sin(x)
83	Вычислить	интеграл sin(2x) относительно x
84	Найти производную — d/dx	3e^x
85	Вычислить	интеграл xe^x относительно x
86	Найти производную — d/dx	y=x^2
87	Найти производную — d/dx	квадратный корень x^2+1
88	Найти производную — d/dx	sin(x^2)
89	Вычислить	интеграл e^(-2x) относительно x
90	Вычислить	интеграл натурального логарифма квадратного корня x по x
91	Вычислить	2^5
92	Найти производную — d/dx	e^2
93	Найти производную — d/dx	x^2+1
94	Вычислить	интеграл sin(x) относительно x
95	Вычислить	2^3
96	Найти производную — d/dx	arcsin(x)
97	Вычислить	предел (sin(x))/x, если x стремится к 0
98	Вычислить	e^2
99	Вычислить	интеграл e^(-x) относительно x
100	Вычислить	интеграл 1/x относительно x

Тренажёр по алгебре (11 класс) по теме: Первообразная

  Тест по теме: «Первообразная и интеграл»

1.     Определите функцию, для которой F(x) = x2 – sin2x – 1 является первообразной:

1) f(x) = ;  2) f(x) = 2x – 2cos2x; 3)  f(x) = 2x +cos2x;  4) f(x) = cos2x + x.

2.    Найдите первообразную для функции.   F (x) = 4х3 + cos x

1)  F(x) = 12×2 – sinx + c;    2) F(x) = 4×3 + sinx + c;  3) F(x) = x4 – sinx + c; 4)  F(x) = x4 + sinx + c.

3.    Для функции f(x) = х2 найдите первообразную F, принимающую заданное значение в заданной точке   F (- 1) = 2

1)   F(x) = ;      2)  F(x) = 2x + ;     3)   F(x) = – ;    4)  F(x) = .

4.   Точка движется по прямой так, что её скорость в момент времени t равна V (t) = t + t2. Найдите путь, пройденный точкой за время от 1 до 3 сек, если скорость измеряется в м /сек.                        1)  18 м;            2)  12м;           3)   17м;           4)  20 м.

5.    Вычислите                         1)  6;        2)   6;        3)   2;       4)    3.

6.   Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями  у =  – х2 + 3  и  у = 0

1)   4;           2)   6;          3)   9;         4)   8.

7.   Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у =   и     у = х

1)  2;             2)   1;               3)   2;              4)   1.

8.    Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = 2 – х2, касательной к этому графику в его точке с абсциссой х = — 1 и прямой х = 0

1)   1;            2)   2;             3)  ;              4)  1.

9.     Вычислите             

10.      Найдите сумму абсцисс точек пересечения графиков функции у = (х – 1)(х + 2) и её первообразной, если одна из этих точек находится на оси ординат.

11.         Найдите ту первообразную функции  f(x) = 3х – 1 , для которой уравнение  F(x) = 5 имеет единственный корень.