Если F‘(x) = f(x), то функцию у = F(x) называют первообразной для функции у =  f(x).

Интегрирование – это процесс нахождения функции по заданной производной.

Первообразная суммы равна сумме первообразных.

kF(x) является первообразной для kf(x), если F(x) является первообразной для f(x).

Если  у = F(x) является первообразной для функции y = f(x), то для функции y = f(kx + m) первообразной является функция:

                                                                             1
                                                                      y = — F (kx + m)
                                                                             k

Если у = F(x) является первообразной для функции y = f(x), то функция y = f(x) имеет бесконечное множество первообразных, имеющих вид:

y = F(x) + C

Сложность: лёгкое

Сложность: лёгкое

Сложность: лёгкое

Сложность: среднее

Сложность: среднее

Сложность: среднее

Сложность: среднее

Сложность: среднее

Сложность: сложное

Сложность: сложное

Первообразная — Справочник химика 21

    Вероятностно-статистический метод направленного эксперимента требует для разработки математической модели минимального количества информации, хорошо работает при высоком уровне шумов и позволяет получить уравнение, в котором выявлено влияние каждой переменной на целевую функцию. Полученное уравнение может быть проверено на адекватность по экспериментальным данным. Поэтому методу присущи и недостатки полиномиальный вид уравнения не содержит информации о первообразной функции, но позволяет управлять процессом уравнение, полученное для одного конкретного реактора, не может быть применено к другому требует выбора необходимой информации для математического описания процесса.  [c.139]

    Неопределенным интегралом выражения f x)dx называется наиболее общий вид первообразной функции [c.312]

    Из курса математики средней школы известна формула Ньютона — Лейбница, устанавливающая связь между интегралом и значениями первообразной на верхнем и нижнем пределах интегрирования  [c.37]

    Полученное выражение есть первообразная функция дифференциальных уравнений движения и является их интегралом или решением. [c.64]

    Команды символьных операций удобно использовать для поиска численных значений корней нелинейных уравнений, вычисления пределов, нахождения неопределенных интегралов относительно выделенной переменной, как переменной интегрирования. В последнем случае результатом является первообразная, отображаемая без произвольной постоянной.  [c.332]

    Всякая функция Р х), удовлетворяющая (7), называется первообразной функцией от /(х). Если Р(х) есть первообразная от /(х), то где С — любая постоянная, тоже будет первообразной [c.35]

    Можно показать, что если F ( х) есть какая-либо первообразная от f x), то функция F x)- представляет собой общее выражение всех первообразных от f х). [c.36]

    Общее выражение всех первообразных от / х) называют неопределенным интегралом от f x) и обозначают  [c.36]

    При вычислении неопределенного интеграла мы получаем бесчисленное множество функций, отличающихся друг от друга постоянным слагаемым. Для того чтобы из совокупности первообразных функций выделить одну определенную, необходимо задать некоторое дополнительное условие. Обычно это условие заключается в том, что задается числовое значение искомой первообразной функции при некотором значении независимого переменного. Это дает возможность найти то числовое значение, которое следует придать произвольному постоянному.  [c.40]

    Определенный интеграл равен разности значений первообразной функции при верхнем и при нижнем пределах интегрирования. [c.56]

    Рассмотрим графический способ построения первообразной функции Р (не). Для этой цели запишем Р (х) в виде определенного интеграла с переменным верхним пределом  [c.68]

    Если величину этого интеграла принять за ординату точки на повой кривой, соответствующей абсциссе х, то эта кривая и будет графиком первообразной функции Р (х). Имея эту кривую, мы сможем графически получить величину интеграла (54) при любом л. [c.68]

    Если F (x)= fix), то функция F(x) называется первообразной дчя функции [c.276]

    Свободную энергию Р можно назвать универсальной функцией системы. Она является первообразной уравнения состояния и энтропии, теплоем кости и упругих констант. Ее можно использовать также как производящий функционал последовательности боголюбовских функций распределения.  [c.17]

    Первообразная функция и неопределенный интеграл [c.105]

    Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла. В III главе было введено новое действие — дифференцирование нахождение но заданной функции ее производной. Оказывается, что для дифференцирования существует обратное действие — интегрирование отыскание функции но заданной ее производной. К этому приводят многочисленные задачи из физики, химии и других областей науки и техники. Ранее (см. 14, п. 1) было установлено, что если известен закон s = s t) прямолинейного движения материальной точки, выражающий зависимость пути s от времени движения t, то скорость точки выражается производной пути по времени v = s t). Обратная задача известна скорость прямолинейного движения точки [c.105]

    Пр и м е р. Функция F x) = х является первообразной функции f x) = Зx на всей числовой оси, так как при любом х х У = Зх . Отметим при этом, что вместе с функцией F x) = х первообразной для f x) = Зx  [c.105]

    Теорема 1. Если Fi x) и F2 x) — две первообразные для функции f x) в некотором промежутке, то разность между ними в этом промежутке равна постоянному числу. [c.106]

    Доказательство. Пусть, например, указанный промежуток — интервал (а Ь). Из определения первообразной имеем Fl(x) = = f x) и F ix) = f x) для любого X из (а 6). Пусть а х) = = 2 (х) — Fi x). Тогда для любого х из (а Ь) [c.106]

    Из теоремы 1 следует, что если известна какая-нибудь первообразная F x) данной функции /(ж), то все множество первообразных для f x) исчерпывается функциями F x)- — . [c.106]

    Подчеркнем важный факт если производная для функции одна, т. е. операция дифференцирования однозначна, то нахождение первообразной для функции возможно лишь с точностью до некоторого постоянного слагаемого.  [c.106]

    Возникает вопрос для всякой ли функции f x) суш,ествует первообразная, а значит и неопределенный интеграл. В связи с этим вопросом приведем без доказательства следуюш,ую теорему (см. [10]). [c.106]

    Теорема 2. Если функция f x) непрерывна на сегменте [а Ь], то на этом сегменте у функции f x) существует первообразная. [c.106]

    Пиже мы будем говорить о первообразных лишь для непрерывных функций. Поэтому рассматриваемые нами далее в этом параграфе все интегралы суш,ествуют. [c.106]

    Первообразная. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла, вьюод основных интегралов из таблицы интегралов. [c.150]

    Известная задача вычнслення дискретного логарифма может быть сведена к задаче о скрытой подгруппе в Дискретным. логарифмом числа а по основанию где ( — некоторый первообразный корень по модулю простого числа q (образующая (Z/) ), называется наименьшее положительное число. s такое, что С = а. Рассмотрим функцию / (xijX j) 1—5- mod 5. Эта фупкцрш также удовлетворяет усло- [c.103]

    Па вход машине N подаётся двоичная запись числа р, простоту [ оторого нужно проверить. Машина недетерминированно дописывает первообразный корень д по модулю р и разложение на простые [c.163]

    Оценим теперь время работы такой ПМТ на входе длины п. Оно складывается из времени, затрачиваемого на детерминированные действия, и времени, затрачиваемого на недетерминпрованпые действия. Как следует пз приведенных выше оценок, количество детермпнирован-пых действий ограничено полиномом от длины записей всех чисел, проверяемых на простоту за время работы. Длина записей первообразных корней и кратностей также ограничена полиномом (п даже линейно) от длины записей всех чисел, проверяемых иа простоту. [c.164]

    Если величину этого интеграла принять за ординату точки на HOBolk кривой, соответствующей абсцисс о эта кривая и » удет граф иком первообразной функции ( ). Им е кривую, граф пески полуд 0ь3в е. х.  [c.61]

    Всякая функц 1я F(x), удовлетворяющая (7), называется первообразной функцией от/(ж). Если h х) есть первообразная от/(ж), то Р (ж) -f С, где С — любая Постоянная, тоже будет первообразной от /(ж). Действительно, так ак производная постоянного равна вулю, то производная от F (ж) -f С равна производной от F (ж), т. е. /(ж)  [c.35]

    Определение 2. Выражение F x)- — , где F x) — первообразная функции f (х) и С — произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции f x) и обозначается символом f x)dx, причем f x) нsi3ывsieт я подынтегральной функцией, f x)dx — подынтегральным выражением, х — переменной интег- [c.106]

Мэтуэй | Популярные задачи

Мэтуэй | Популярные задачи

Матем.

Антипроизводные/неопределенные интегралы

Антипроизводные/неопределенные интегралы

Обозначение, используемое для представления всех первообразных функции f ( x ), представляет собой символ неопределенного целого числа , где . Функция f ( x ) называется подынтегральной функцией, а C упоминается как константа интегрирования. Выражение F ( x ) + C называется неопределенным интегралом от F относительно независимой переменной x .Используя предыдущий пример F ( x ) = x ³ и f ( x ) = 3 x ² , вы обнаружите, что .

Неопределенный интеграл от функции иногда также называют общей первообразной функции.

Пример 1: Найдите неопределенный интеграл от f ( x ) = cos x .

Пример 2: Найдите общую первообразную f ( x ) = –8.

• Поскольку производная от F ( x ) = −8 x равна F ′( x ) = −8, запишите

4.10 Простейшие производные. Расчет, том 1

Цели обучения

• 4.10.1 Найдите общую первообразную заданной функции.
• 4.10.2 Объясните термины и обозначения, используемые для неопределенного интеграла.
• 4.10.3 Сформулируйте правило степени для интегралов.
• 4.10.4 Используйте антидифференцирование для решения простых задач с начальным значением.

К этому моменту мы увидели, как вычислять производные многих функций, и познакомились с различными их приложениями. Теперь мы задаем вопрос, который переворачивает этот процесс: как при заданной функции f,f найти функцию с производной ff и почему нам может быть интересна такая функция?

Мы отвечаем на первую часть этого вопроса, определяя первообразные. Первообразной функции ff называется функция с производной f.f. Почему нас интересуют первообразные? Потребность в первообразах возникает во многих ситуациях, и мы рассмотрим различные примеры в оставшейся части текста. Здесь мы рассмотрим один конкретный пример, связанный с прямолинейным движением. В нашем исследовании в разделе «Производные прямолинейного движения» мы показали, что для заданной функции положения s(t)s(t) объекта функция его скорости v(t)v(t) является производной от s(t)s(t). t), то есть v(t)=s′(t).v(t)=s′(t). Кроме того, ускорение a(t)a(t) является производной скорости v(t)v(t), то есть a(t)=v′(t)=s″(t).a(t )=v′(t)=s″(t). Теперь предположим, что нам дана функция ускорения a,a, но не функция скорости vv или функция положения s.s. Поскольку a(t)=v′(t),a(t)=v′(t), для определения функции скорости необходимо найти первообразную функции ускорения. Затем, поскольку v(t)=s′(t),v(t)=s′(t), определение функции положения требует от нас найти первообразную функции скорости.Прямолинейное движение — это только один случай, когда возникает необходимость в первообразных. В оставшейся части текста мы увидим еще много примеров. А пока давайте рассмотрим терминологию и обозначения первообразных и определим первообразные для нескольких типов функций. Мы рассмотрим различные методы нахождения первообразных более сложных функций далее в тексте (Введение в методы интегрирования).

Обратное дифференцирование

Теперь мы знаем, как находить производные различных функций.Теперь мы задаем противоположный вопрос. Учитывая функцию f,f, как мы можем найти функцию с производной f?f? Если мы можем найти функцию FF с производной f,f, мы называем FF первообразной функции f.f.

Определение

Функция FF является первообразной функции ff, если

для всех xx в домене f.f.

Рассмотрим функцию f(x)=2x.f(x)=2x. Зная степенное правило дифференцирования, заключаем, что F(x)=x2F(x)=x2 является первообразной ff, поскольку F′(x)=2x.F′(х)=2х. Существуют ли другие первообразные f?f? Да; поскольку производная любой константы CC равна нулю, x2+Cx2+C также является первообразной 2x. 2x. Следовательно, x2+5×2+5 и x2−2×2−2 также являются первообразными. Существуют ли другие, отличные от вида x2+Cx2+C для некоторой константы C?C? Ответ — нет. Из следствия 22 теоремы о среднем значении мы знаем, что если FF и GG — дифференцируемые функции такие, что F′(x)=G′(x),F′(x)=G′(x), то F(x) −G(x)=CF(x)−G(x)=C для некоторой константы CC Этот факт приводит к следующей важной теореме.

Теорема 4.14

Общая форма первообразной

Пусть FF — первообразная ff на интервале I.I. Затем,

1. для каждой константы C,C функция F(x)+CF(x)+C также является первообразной ff над I;I;
2. если GG является первообразной ff над I,I, то существует константа CC, для которой G(x)=F(x)+CG(x)=F(x)+C над I.I.

Другими словами, наиболее общая форма первообразной ff над II есть F(x)+C.Ф(х)+С.

Мы используем этот факт и наши знания о производных, чтобы найти все первообразные для нескольких функций.

Пример 4,50

Нахождение первообразных

Для каждой из следующих функций найдите все первообразные.

1. f(x)=3x2f(x)=3×2
2. f(x)=1xf(x)=1x
3. f(x)=cosxf(x)=cosx
4. f(x)=exf(x)=ex

Решение

1. Потому что
   
   тогда F(x)=x3F(x)=x3 является первообразной 3×2.3х2. Следовательно, каждая первообразная 3x23x2 имеет вид x3+Cx3+C для некоторой константы C,C, а каждая функция вида x3+Cx3+C является первообразной 3×2,3×2.
2. Пусть f(x)=ln|x|.f(x)=ln|x|. Для x>0,f(x)=ln(x)x>0,f(x)=ln(x) и
   
   Для x<0,f(x)=ln(-x)x<0,f(x)=ln(-x) и
   ddx(ln(-x))=-1-x=1x.ddx(ln(-x))=-1-x=1x.
   Следовательно,
   ddx(ln|x|)=1x.ddx(ln|x|)=1x.
   Таким образом, F(x)=ln|x|F(x)=ln|x| является производной от 1x.1x. Следовательно, каждая первообразная 1x1x имеет вид ln|x|+Cln|x|+C для некоторой константы CC, и каждая функция вида ln|x|+Cln|x|+C является первообразной 1x. 1x.
3. У нас есть
   ddx(sinx)=cosx,ddx(sinx)=cosx,
   поэтому F(x)=sinxF(x)=sinx является производной от cosx.cosx. Следовательно, каждая первообразная cosxcosx имеет вид sinx+Csinx+C для некоторой константы CC, и каждая функция вида sinx+Csinx+C является первообразной cosx.cosx.
4. С
   
   тогда F(x)=exF(x)=ex является первообразной ex.ex. Следовательно, каждая первообразная exex имеет вид ex+Cex+C для некоторой константы CC, и каждая функция вида ex+Cex+C является первообразной ex.бывший.

Контрольно-пропускной пункт 4,49

Найдите все первообразные f(x)=sinx.f(x)=sinx.

Неопределенные интегралы

Теперь мы рассмотрим формальные обозначения, используемые для представления первообразных, и рассмотрим некоторые их свойства. Эти свойства позволяют находить первообразные более сложных функций. Для функции f,f мы используем обозначение f′(x)f′(x) или dfdxdfdx для обозначения производной от f. f. Здесь мы вводим обозначения для первообразных.Если FF является первообразной функции f,f, мы говорим, что F(x)+CF(x)+C является наиболее общей первообразной функции ff, и пишем

Символ ∫∫ называется знаком интеграла , а ∫f(x)dx∫f(x)dx называется неопределенным интегралом от ф.ф.

Определение

Дана функция f,f, неопределенный интеграл от f,f, обозначенный

— наиболее общая первообразная ф.ф. Если FF является первообразной f,f, то

Выражение f(x)f(x) называется подынтегральной функцией , а переменная xx является переменной интегрирования .

Учитывая терминологию, введенную в этом определении, акт нахождения первообразных функции ff обычно называют интегрированием фф.

Для функции ff и первообразной F,F функции F(x)+C,F(x)+C, где CC — любое действительное число, часто называют семейством первообразных f. ф. Например, поскольку x2x2 является первообразной 2x2x, а любая первообразная 2x2x имеет форму x2+C,x2+C, мы пишем

Совокупность всех функций вида x2+C,x2+C, где CC — любое действительное число, известна как семейство первообразных 2x.2x. На рис. 4.85 показан график этого семейства первообразных.

Для некоторых функций вычисление неопределенных интегралов непосредственно следует из свойств производных. Например, для n≠−1,n≠−1

, который происходит непосредственно от

Этот факт известен как правило степени для интегралов .

Теорема 4.15

Степенное правило для интегралов

Для n≠−1,n≠−1,

Вычисление неопределенных интегралов для некоторых других функций также является простым вычислением.В следующей таблице перечислены неопределенные интегралы для нескольких распространенных функций. Более полный список приведен в Приложении B.

Таблица 4. 13 Формулы интегрирования

Из определения неопределенного интеграла от f,f мы знаем

тогда и только тогда, когда FF является первообразной f.f. Поэтому, утверждая, что

важно проверить правильность этого утверждения, проверив, что F′(x)=f(x).F′(x)=f(x).

Пример 4,51

Проверка неопределенного интеграла

Каждое из следующих утверждений имеет форму ∫f(x)dx=F(x)+C.∫f(x)dx=F(x)+C. Проверьте правильность каждого утверждения, показав, что F′(x)=f(x).F′(x)=f(x).

1. ∫(x+ex)dx=x22+ex+C∫(x+ex)dx=x22+ex+C
2. ∫xexdx=xex-ex+C∫xexdx=xex-ex+C

Решение

1. С
   ddx(x22+ex+C)=x+ex,ddx(x22+ex+C)=x+ex,
   заявление
   ∫(x+ex)dx=x22+ex+C∫(x+ex)dx=x22+ex+C
   верно.
   Обратите внимание, что мы проверяем неопределенный интеграл для суммы. Кроме того, x22x22 и exex являются первообразными xx и ex,ex соответственно, а сумма первообразных является первообразной суммы.Мы обсудим этот факт снова позже в этом разделе.
2. Используя правило произведения, мы видим, что
   ddx(xex-ex+C)=ex+xex-ex=xex.ddx(xex-ex+C)=ex+xex-ex=xex.
   Таким образом, заявление
   ∫xexdx=xex-ex+C∫xexdx=xex-ex+C
   верно.
   Обратите внимание, что мы проверяем неопределенный интеграл для произведения. Первообразная xex-exxex-ex не является произведением первообразных. Кроме того, произведение первообразных x2ex/2x2ex/2 не является первообразной xexxex с
   . ddx(x2ex2)=xex+x2ex2≠xex.ddx(x2ex2)=xex+x2ex2≠xex.
   В общем случае произведение первообразных не является первообразом произведения.

Контрольно-пропускной пункт 4,50

Убедитесь, что ∫xcosxdx=xsinx+cosx+C.∫xcosxdx=xsinx+cosx+C.

В таблице 4.13 мы перечислили неопределенные интегралы для многих элементарных функций. Теперь обратимся к вычислению неопределенных интегралов для более сложных функций. Например, рассмотрим нахождение первообразной суммы f+g.f+g. В примере 4.51а. мы показали, что первообразная суммы x+exx+ex задается суммой (x22)+ex(x22)+ex, т. е. первообразная суммы задается суммой первообразных. Этот результат не был специфичен для этого примера. В общем случае, если FF и GG являются первообразными любых функций ff и g,g соответственно, то

Следовательно, F(x)+G(x)F(x)+G(x) является первообразной f(x)+g(x)f(x)+g(x), и мы имеем

Аналогично,

Кроме того, рассмотрим задачу нахождения первообразной kf(x),kf(x), где kk — любое действительное число. С

для любого действительного числа k,k, мы заключаем, что

Эти свойства приведены ниже.

Теорема 4.16

Свойства неопределенных интегралов

Пусть FF и GG — первообразные ff и g,g соответственно, а kk — любое действительное число.

Суммы и разности

Постоянные множители

С помощью этой теоремы мы можем вычислить любой интеграл, включающий сумму, разность или постоянное кратное функций с известными первообразными. Вычисление интегралов, включающих произведения, частные или композиции, является более сложным (см. пример 4.51b, где рассматривается первообразная произведения). Мы рассматриваем интегралы, включающие эти более сложные функции, во Введении в интегрирование.В следующем примере мы исследуем, как использовать эту теорему для вычисления неопределенных интегралов нескольких функций.

Пример 4,52

Вычисление неопределенных интегралов

Вычислите каждый из следующих неопределенных интегралов:

1. ∫(5×3−7×2+3x+4)dx∫(5×3−7×2+3x+4)dx
2. ∫x2+4x3xdx∫x2+4x3xdx
3. ∫41+x2dx∫41+x2dx
4. ∫tanxcosxdx∫tanxcosxdx

Решение

1. Используя свойства неопределенных интегралов, мы можем проинтегрировать каждый из четырех членов подынтегральной функции отдельно. Получаем
   ∫(5×3−7×2+3x+4)dx=∫5x3dx−∫7x2dx+∫3xdx+∫4dx.∫(5×3−7×2+3x+4)dx=∫5x3dx−∫7x2dx+∫3xdx+∫4dx.
   Из второй части «Свойства неопределенных интегралов» каждый коэффициент можно записать перед знаком интеграла, что дает
   . ∫5x3dx−∫7x2dx+∫3xdx+∫4dx=5∫x3dx−7∫x2dx+3∫xdx+4∫1dx.∫5x3dx−∫7x2dx+∫3xdx+∫4dx=5∫x3dx−7∫x2dx+3∫xdx 1дкс. Используя правило степени для интегралов, мы заключаем, что
   ∫(5×3−7×2+3x+4)dx=54×4−73×3+32×2+4x+C.∫(5×3−7×2+3x+4)dx=54×4−73×3+32×2+4x+C.
2. Перепишите подынтегральную функцию как
   . х2+4х3х=х2х+4х3х.х2+4х3х=х2х+4х3х.
   Затем, чтобы вычислить интеграл, проинтегрируйте каждый из этих членов отдельно. Используя правило мощности, мы имеем
   ∫(x+4×2/3)dx=∫xdx+4∫x−2/3dx=12×2+41(−23)+1x(−2/3)+1+C=12×2+12×1/3+C.∫ (x+4×2/3)dx=∫xdx+4∫x−2/3dx=12×2+41(−23)+1x(−2/3)+1+C=12×2+12×1/3+C.
3. Используя свойства неопределенных интегралов, запишите интеграл как
   
   Затем используйте тот факт, что tan−1(x)tan−1(x) является первообразной 1(1+x2)1(1+x2), чтобы заключить, что
   ∫41+x2dx=4tan−1(x)+C. ∫41+x2dx=4tan−1(x)+C.
4. Перепишите подынтегральную функцию как
   . tanxcosx=sinxcosxcosx=sinx.tanxcosx=sinxcosxcosx=sinx.
   Следовательно,
   ∫tanxcosx=∫sinx=-cosx+C.∫tanxcosx=∫sinx=-cosx+C.

Контрольно-пропускной пункт 4,51

Вычислите ∫(4×3−5×2+x−7)dx.∫(4×3−5×2+x−7)dx.

Задачи с начальными значениями

Ниже в тексте мы рассмотрим методы интеграции большого количества функций, включающих произведения, частные и композиции. Здесь мы обратимся к одному распространенному использованию первообразных, которое часто встречается во многих приложениях: решение дифференциальных уравнений.

Дифференциальное уравнение — это уравнение, связывающее неизвестную функцию и одну или несколько ее производных. Уравнение

— простой пример дифференциального уравнения. Решить это уравнение означает найти функцию yy с производной f.f. Следовательно, решения уравнения 4. 9 являются первообразными ф.ф. Если FF является одной из первообразных f,f, каждая функция вида y=F(x)+Cy=F(x)+C является решением этого дифференциального уравнения. Например, решения

дает

Иногда нас интересует, проходит ли конкретная кривая решения через определенную точку (x0,y0)(x0,y0), то есть y(x0)=y0.y(x0)=y0. Задача нахождения функции yy, удовлетворяющей дифференциальному уравнению

(4.10)

с дополнительным условием

— это пример задачи с начальным значением. Условие y(x0)=y0y(x0)=y0 известно как начальное условие . Например, поиск функции yy, удовлетворяющей дифференциальному уравнению

и начальное состояние

— это пример задачи с начальным значением.Поскольку решениями дифференциального уравнения являются y=2×3+C,y=2×3+C, чтобы найти функцию yy, которая также удовлетворяет начальному условию, нам нужно найти CC такую, что y(1)=2(1)3+ С=5. у(1)=2(1)3+С=5. Из этого уравнения мы видим, что C=3,C=3, и заключаем, что y=2×3+3y=2×3+3 является решением этой задачи с начальными значениями, как показано на следующем графике.

Пример 4,53

Решение задачи с начальным значением

Решить задачу с начальными значениями

Решение

Сначала нам нужно решить дифференциальное уравнение. Если dydx=sinx,dydx=sinx, то

Далее нам нужно найти решение yy, удовлетворяющее начальному условию. Начальное условие y(0)=5y(0)=5 означает, что нам нужна константа CC такая, что −cosx+C=5.−cosx+C=5. Следовательно,

Решение начальной задачи: y=−cosx+6.y=−cosx+6.

Контрольно-пропускной пункт 4,52

Решить задачу с начальным значением dydx=3x−2,y(1)=2.dydx=3x−2,y(1)=2.

Проблемы с начальными значениями возникают во многих приложениях. Далее рассмотрим задачу, в которой водитель нажимает на тормоз автомобиля. Нас интересует, через какое время автомобиль остановится. Напомним, что функция скорости v(t)v(t) является производной функции положения s(t),s(t), а ускорение a(t)a(t) является производной функции скорости.В более ранних примерах в тексте мы могли рассчитать скорость по положению, а затем вычислить ускорение по скорости. В следующем примере мы работаем наоборот. Учитывая функцию ускорения, мы вычисляем функцию скорости. Затем мы используем функцию скорости для определения функции положения.

Пример 4,54

Замедление автомобиля

Автомобиль движется со скоростью 8888 футов/сек (60(60 миль/ч) при включенных тормозах). Автомобиль начинает замедляться с постоянной скоростью 1515 футов/сек ² .

1. Сколько секунд проходит до остановки автомобиля?
2. Какое расстояние проедет автомобиль за это время?

Решение

1. Сначала введем переменные для этой задачи. Пусть tt будет временем (в секундах) после первого включения тормозов. Пусть a(t)a(t) будет ускорением автомобиля (в футах на секунду в квадрате) в момент времени t.t. Пусть v(t)v(t) — скорость автомобиля (в футах в секунду) в момент времени t.t. Пусть s(t)s(t) будет положением автомобиля (в футах) за точкой, где нажаты тормоза, в момент времени t.т.
   Автомобиль движется со скоростью 88 футов/сек.88 футов/сек. Следовательно, начальная скорость равна v(0)=88v(0)=88 футов/сек. Так как автомобиль тормозит, ускорение равно
   a(t)=-15 футов/с2.a(t)=-15 футов/с2.
   Ускорение есть производная от скорости,
   v'(t)=-15. v'(t)=-15.
   Следовательно, нам нужно решить начальную задачу:
   . v'(t)=-15,v(0)=88.v'(t)=-15,v(0)=88.
   Интегрируя, находим, что
   v(t)=-15t+C.v(t)=-15t+C.
   Поскольку v(0)=88,C=88.v(0)=88,C=88.Таким образом, функция скорости равна
   v(t)=-15t+88.v(t)=-15t+88.
   Чтобы найти время, за которое автомобиль остановится, нужно найти время tt, при котором скорость равна нулю. Решая −15t+88=0, −15t+88=0, получаем t=8815t=8815 сек.
2. Чтобы узнать, какое расстояние автомобиль проедет за это время, нам нужно найти положение автомобиля через 88158815 сек. Мы знаем, что скорость v(t)v(t) является производной от положения s(t).s(t). Предположим, что начальная позиция равна s(0)=0.s(0)=0. Следовательно, нам нужно решить начальную задачу
   s′(t)=−15t+88,s(0)=0.s′(t)=−15t+88,s(0)=0.
   Интегрируя, мы имеем
   s(t)=-152t2+88t+C.s(t)=-152t2+88t+C.
   Поскольку s(0)=0,s(0)=0, константа равна C=0.C=0. Следовательно, функция положения равна
   . s(t)=-152t2+88t. s(t)=-152t2+88t.
   После t=8815t=8815 с положение s(8815)≈258,133 с(8815)≈258,133 фута

Контрольно-пропускной пункт 4,53

Предположим, что автомобиль движется со скоростью 4444 фута/сек. Через какое время машина остановится? Какое расстояние проедет машина?

Раздел 4.10 упражнений

Для следующих упражнений покажите, что F(x)F(x) являются первообразными функции f(x).f(x).

F(x)=5×3+2×2+3x+1,f(x)=15×2+4x+3F(x)=5×3+2×2+3x+1,f(x)=15×2+4x+3

F(x)=x2+4x+1,f(x)=2x+4F(x)=x2+4x+1,f(x)=2x+4

F(x)=x2ex,f(x)=ex(x2+2x)F(x)=x2ex,f(x)=ex(x2+2x)

F(x)=cosx,f(x)=-sinxF(x)=cosx,f(x)=-sinx

F(x)=ex,f(x)=exF(x)=ex,f(x)=ex

Для следующих упражнений найдите первообразную функции.

f(x)=ex−3×2+sinxf(x)=ex−3×2+sinx

f(x)=ex+3x−x2f(x)=ex+3x−x2

f(x)=x−1+4sin(2x)f(x)=x−1+4sin(2x)

В следующих упражнениях найдите первообразную F(x)F(x) каждой функции f(x).f(x).

f(x)=x1/3+(2x)1/3f(x)=x1/3+(2x)1/3

f(x)=x1/3×2/3f(x)=x1/3×2/3

f(x)=2sin(x)+sin(2x)f(x)=2sin(x)+sin(2x)

f(x)=sec2(x)+1f(x)=sec2(x)+1

f(x)=sinxcosxf(x)=sinxcosx

f(x)=sin2(x)cos(x)f(x)=sin2(x)cos(x)

f(x)=12csc2(x)+1x2f(x)=12csc2(x)+1×2

f(x)=cscxcotx+3xf(x)=cscxcotx+3x

f(x)=4cscxcotx-secxtanxf(x)=4cscxcotx-secxtanx

f(x)=8secx(secx−4tanx)f(x)=8secx(secx−4tanx)

f(x)=12e−4x+sinxf(x)=12e−4x+sinx

В следующих упражнениях вычислите интеграл.

∫(secxtanx+4x)dx∫(secxtanx+4x)dx

∫(x−1/3−x2/3)dx∫(x−1/3−x2/3)dx

∫14×3+2x+1x3dx∫14×3+2x+1x3dx

∫(ex+e−x)dx∫(ex+e−x)dx

Для следующих упражнений решите задачу с начальным значением.

f′(x)=x−3,f(1)=1f′(x)=x−3,f(1)=1

f′(x)=x+x2,f(0)=2f′(x)=x+x2,f(0)=2

f′(x)=cosx+sec2(x),f(π4)=2+22f′(x)=cosx+sec2(x),f(π4)=2+22

f′(x)=x3−8×2+16x+1,f(0)=0f′(x)=x3−8×2+16x+1,f(0)=0

f′(x)=2×2−x22,f(1)=0f′(x)=2×2−x22,f(1)=0

В следующих упражнениях найдите две возможные функции ff при заданных производных второго или третьего порядка.

f″(x)=e−xf″(x)=e−x

f‴(x)=8e−2x−sinxf‴(x)=8e−2x−sinx

Автомобиль движется со скоростью 4040 миль в час при включенных тормозах. Автомобиль замедляется с постоянной скоростью 1010 футов/сек ² .Через какое время машина остановится?

В предыдущей задаче подсчитайте, какое расстояние проедет автомобиль за время, необходимое для остановки.

Вы выезжаете на шоссе, разгоняясь с постоянной скоростью 1212 футов/сек. ² . Сколько времени вам потребуется, чтобы достичь скорости слияния 6060 миль в час?

Основываясь на предыдущей задаче, какое расстояние проедет автомобиль, чтобы достичь скорости слияния?

Автомобильная компания хочет, чтобы ее новейшая модель могла остановиться за 88 секунд при движении со скоростью 7575 миль в час.Если мы предполагаем постоянное замедление, найдите значение замедления, обеспечивающее это.

Автомобильная компания хочет, чтобы ее новейшая модель могла останавливаться менее чем за 450450 футов при движении со скоростью 6060 миль в час. Если мы предполагаем постоянное замедление, найдите значение замедления, обеспечивающее это.

В следующих упражнениях найдите первообразную функции, предполагая, что F(0)=0.F(0)=0.

[Т] f(x)=4x−xf(x)=4x−x

[T] f(x)=sinx+2xf(x)=sinx+2x

[Т] f(x)=1(x+1)2f(x)=1(x+1)2

[Т] f(x)=e−2x+3x2f(x)=e−2x+3×2

В следующих упражнениях определите, является ли утверждение истинным или ложным. Либо докажите, что это правда, либо найдите контрпример, если это ложь.

Если f(x)f(x) является первообразной v(x),v(x), то 2f(x)2f(x) является первообразной 2v(x).2v(x).

Если f(x)f(x) — первообразная v(x),v(x), то f(2x)f(2x) — первопроизводная v(2x).v(2x).

Если f(x)f(x) является первообразной v(x),v(x), то f(x)+1f(x)+1 является первообразной v(x)+1.v(x )+1.

Если f(x)f(x) — первообразная v(x),v(x), то (f(x))2(f(x))2 — первопроизводная (v(x))2 .(v(x))2.

Введение в первообразные | StudyPug

Антипроизводная Tanx

Первопроизводная tanx — это, пожалуй, самый известный тригонометрический интеграл, с которым у всех возникают проблемы. Это потому, что это требует от вас использования подстановки u.

Какая производная от tanx

Давайте посмотрим на функцию, которую мы хотим интегрировать.

Вы можете спросить себя, как я могу использовать подстановку? Во-первых, обратите внимание, что tanx можно заменить на sinx вместо cosx. Другими словами,

Теперь мы можем использовать подстановку u.

Пусть u=cosx. Тогда мы можем сказать, что du=-sinx. Обратите внимание, что умножение обеих частей на отрицательный знак дает -du=sinx.Таким образом, подстановка даст нам следующее:

Теперь мы можем вынести знак минус из интеграла, что даст нам:

Теперь возникает вопрос, как взять первообразную 1/u? Ну, это то же самое, что взять первообразную 1/x. Интеграл от 1/x — это просто натуральный логарифм |x|. Другими словами,

Никогда не забывайте добавлять константу c, потому что вы берете первообразную! Наконец, не забывайте, что первоначально интеграл выражался через x.Итак, нам нужно изменить нашу первообразную по x. Напомним, что u=cosx, поэтому подстановка обратно даст:

, который является интегралом Tanx.

Раз уж мы заговорили о тригонометрических интегралах, почему бы нам не взглянуть на интегралы некоторых тригонометрических функций? Поскольку tanx представляет собой комбинацию sinx и cosx, почему бы просто не найти их первообразную по отдельности? Давайте найдем первообразную sinx и первообразную cosx.

Какая производная греха

Многие люди просто запоминают, что первообразная sinx равна просто –cosx. Но как именно это получить? Есть несколько способов проиллюстрировать это, но я покажу вам 2 метода.

Метод 1: возврат с использованием производных

Вместо явного нахождения первообразной нашей целью было бы найти функцию, производная которой равна sinx. Если производная функции sinx, то должно быть верно, что первообразная sinx вернет эту функцию.Ладно, звучит идеально. Какую функцию мы должны попробовать? пусть

Обратите внимание, что производная от этого будет:

Видите, мы действительно близки, но вместо sinx у нас -sinx. Как нам избавиться от негатива? Как насчет того, чтобы взять функцию, которая у нас есть, и добавить дополнительный отрицательный знак? Это может привести к тому, что производная будет иметь два отрицательных значения, и она станет положительной.Если мы это сделаем, пусть

Теперь производная от этого будет:

Это идеально! У нас есть производная sinx, поэтому наша функция является первообразной sinx. Следовательно, антипроизводная sinx равна

Опять же, не забудьте добавить константу c.

Теперь это отличный способ найти первообразные, но некоторые интегралы могут потребовать много догадок.Как лучше найти первообразную греха? Это приводит нас к следующему методу:

Метод 2: использование теоремы Муавра

Этот метод может сбивать с толку, если вы не знаете, как использовать комплексные числа. Так что пропустите этот метод, если вы не знаете теорему Муавра. Обратите внимание, что согласно теореме Муавра мы имеем

Сложение этих двух уравнений дает:

Упрощение правой части приводит к:

Таким образом, деление обеих сторон на 2 приведет к:

Мы воспользуемся этим позже. Теперь вместо того, чтобы складывать оба уравнения, давайте вычтем эти два уравнения.

Вычитание этих двух уравнений даст нам:

Упрощение правой части даст нам:

Выделив sinx делением на 2i, мы получим:

Что мы будем делать с этим? Что ж, вместо того, чтобы брать первообразную греха, мы возьмем первообразную того, что мы видим в правой части уравнения. Это потому, что они абсолютно равны. Следовательно, их первообразные должны приводить к точно такому же ответу. Следовательно, давайте оценим

Во-первых, давайте упростим это, выделив 1/2i из интеграла:

Теперь вычисление интеграла даст нам:

Заметьте из нашего уравнения ранее, что:

Следовательно, подставив это, мы получим окончательный ответ:

, что является производной греха. Это два метода нахождения первообразной греха. Теперь перейдем к нахождению первообразной cosx.

Какая производная от cosx

Опять же, люди запоминают, что первообразная cosx есть sinx.Однако давайте покажем, что это правда, используя два метода, которые мы упоминали ранее.

Метод 1: возврат с использованием производных.

Найдем функцию, производная которой равна cosx. Почему бы нам не сказать так:

Это отличное предложение, поскольку мы знаем, что производные от sin и cos связаны. Теперь, взяв производную от этого, я получу:

Обратите внимание, что производная уже дает cosx.Это здорово, потому что нам не нужно вносить какие-либо коррективы в функцию. Следовательно, мы знаем, что первообразная cosx равна:

Еще раз не забудьте добавить константу C.

Теперь, если не хочется гадать и тестировать, то можно воспользоваться методом 2.

Метод 2: использование теоремы Муавра

Из предыдущего мы знаем, что:

Опять же, вместо интегрирования cosx мы найдем первообразную правой части уравнения (поскольку они в точности равны).Таким образом, оценим

Разложение 1/2 интеграла на множители даст нам:

Вычисление интеграла приводит к:

Распределение 1/2 на каждый термин дает:

Теперь мы можем переписать это уравнение в

По совпадению, ранее мы знали, что:

Следовательно, подставив это, мы получим

, производная от cosx. Если вы хотите посмотреть больше первообразных тригонометрических функций, то предлагаю вам посмотреть второй раздел этой статьи «Первообразные тригонометрических функций»

Теперь, если вам интересно, можно ли взять первообразную обратных тригонометрических функций, то ответ — да. Поскольку мы нашли первообразную tanx, sinx и cosx, почему бы нам не найти первообразную их инверсий? Давайте посмотрим на арктан.

Что такое производная арктана?

Чтобы найти первообразную арктан, мы должны знать, что такое производная арктан. Если вы не знаете, что это такое, рекомендуем вам посмотреть эту статью ниже. Это дает пошаговое решение для нахождения производной арктан.

Теперь, чтобы найти первообразную арктангенса, составим наш интеграл:

Самое сложное — это заметить, что нам нужно использовать интегрирование по частям.Напомним, что формула интегрирования по частям:

Ставим

Таким образом, взяв производную от u и проинтегрировав dv, мы получим:

Следовательно, используя формулу интегрирования по частям, мы получим:

Отсюда можно сделать вывод, что:

Теперь, если вам интересно найти первообразную arcsin и arccosx, взгляните на эти ссылки здесь. Они показывают пошаговое решение в нахождении этих первообразных.

http://www.ditutor.com/integration/integral_arccos.html

http://www.ditutor.com/integration/integral_arcsin.html

Обратите внимание, что метод очень прост для первообразной арктангенса. Все они требуют использования интегрирования по частям.

Первообразная триггерных функций

В этом разделе мы сосредоточимся на поиске первообразной тригонометрических функций, являющихся обратными tanx, sinx и cosx, а также тригонометрических функций, для интегрирования которых потребуются тождества половинного угла. Обратите внимание, что взаимные триггерные функции и обратные триггерные функции НЕ совпадают. Следовательно, обратные тригонометрические интегралы отличаются от обратных тригонометрических интегралов. Обратные триггерные интегралы — это те, которые мы делали ранее! Следует также отметить, что многие первообразные в этом разделе требуют, чтобы вы также знали производные тригонометрических функций. Поэтому убедитесь, что вы хорошо их знаете, прежде чем браться за эти вопросы. Если вы не очень в них разбираетесь, то рекомендуем посмотреть по этой ссылке, чтобы потренироваться!

Что такое первообразная secx?

Есть несколько способов сделать это, но лучше всего использовать ярлык.Для этого ярлыка нам нужно знать, какова производная от sec. Если вы не знаете, что это такое, вы можете перейти по этой ссылке.

https://socratic.org/questions/what-is-derivatives-of-y-sec-x

Эта ссылка дает пошаговое решение для производной сек.

Сначала составим наш интеграл для первообразной secx.

Далее мы собираемся умножить подынтегральную функцию на secx +tanx / secx +tanx. 2?

Опять покажу 2 метода.2. Теперь рассмотрим другие взаимные функции.

Какая производная от cscx?

Вы можете попробовать использовать метод, включающий возврат с использованием производных, но он может показаться вам немного сложным. Вместо этого я собираюсь использовать аналогичный трюк, который я использовал ранее для интеграла от secx. Настроив интеграл cscx имеем:

Мы собираемся умножить подынтегральную функцию на cscx + cotx / cscx + cotx.2 балла 8

, который является интегралом cscx. Теперь давайте взглянем на нашу последнюю обратную функцию, cotx.

Что такое производная коткса?

Вы можете подумать, что для получения этого интеграла требуется тот же прием, что и для получения первообразной secx и cscx, но на самом деле это не так. Вместо этого для нахождения первообразной cotx используется только замена u (очень похожая на первообразную tanx).

Итак, установив наш интеграл, мы имеем:

Обратите внимание, что cot x = cos x /sin x, поэтому мы можем изменить наш интеграл на

Теперь мы можем использовать подстановку u. Пусть у = sinx. Тогда du = cosx dx, и подставив их, мы получим

Мы видели это много раз, поэтому оценка дает нам, что

Вспомним, что раньше у нас было u = sinx. Таким образом, преобразование u обратно через x приводит к окончательному ответу:

Подводя итог, мы нашли интеграл 6 тригонометрических функций, а также их интегралы, если каждую из них возвести в квадрат. Существует бесконечное количество тригонометрических функций, которые мы можем интегрировать. Так что если вы ищете интеграл, который не смогли найти в этой статье, то предлагаю вам посмотреть по этой ссылке.

https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_integrals_of_trigonometric_functions

К сожалению, он не дает вам пошагового решения, но, по крайней мере, вы найдете решение для своего интеграла. Кроме того, есть темы, которые мы не рассмотрели, например, гиперболические интегралы. Если вас это интересует, то вы можете взглянуть на этот антипроизводный график в самом низу.

http://math3.org/math/integrals/tableof.htm

Интеграл lnx

Теперь, когда мы закончили интегрирование тригонометрических функций, давайте взглянем на натуральный логарифм. Прежде чем перейти непосредственно к интегралу натурального логарифма, давайте поговорим о том, что такое ln и что нам поможет найти интегрирование.x, затем отразите его на линии y=x, чтобы получить график ln. Следовательно, график lnx будет выглядеть так:

Обратите внимание, что единственное, что мы можем вычислить на этом графике без использования калькулятора, — это ln числа 1. Мы видим, что ln1 на графике равно 0. Это потому, что мы знаем, что логарифм 1 по любому основанию равен 0.

Натуральное бревно очень интересно, потому что в нем действуют особые правила. Эти правила ln включают правило произведения, правило частного и правило мощности.

Для правила произведения мы можем разделить функцию ln на сложение двух функций ln, если внутренняя часть логарифма представляет собой произведение двух или более элементов.у)=илн(х)

Эти свойства будут очень полезны при работе с очень сложными функциями ln. Теперь, когда мы очень хорошо знаем о ln, попробуем найти первообразную ln x.

Какая производная от lnx?

Во-первых, мы устанавливаем наш интеграл lnx:

Как интегрировать lnx? Что здесь действительно сложно заметить, так это то, что вам нужно использовать интегрирование по частям. Напомним, что формула интегрирования по частям:

Устанавливаем:

Получение u и интегрирование dv даст нам:

Подстановка всех четырех из них в формулу интегрирования по частям дает нам:

Обратите внимание, что вычисление интеграла от ln приводит к окончательному ответу:

Обязательно загрузите таблицу первообразных. Это очень удобно, когда вы учитесь, работаете над математическими заданиями или составляете шпаргалки для экзаменов.b f(t)\, dt \), мы можем найти любую первообразную \(F(t)\) от \(f(t)\) и вычислить \(F(b) — F(a)\). Задача нахождения точного значения определенного интеграла сводится к нахождению некоторой (любой) первообразной \(F\) подынтегральной функции и последующему вычислению \(F(b) — F(a)\). Даже найти одну первообразную может быть сложно, и мы будем придерживаться функций, которые имеют простые первообразные.

Строительные блоки

Антидифференцировка идет в обратном направлении через производный процесс.Таким образом, самые простые антипроизводные правила — это просто обратные версии простейших производных правил. Напомним из главы 2:

Производные правила: строительные блоки

В дальнейшем \(f\) и \(g\) являются дифференцируемыми функциями \(x\).

Постоянное множественное правило

\[ \frac{d}{dx}\left(kf\right)=kf’\]

Правило суммы и разности

\[\frac{d}{dx}\left(f\pm g\right)=f’ \pm g’\]

Силовое правило

\[\frac{d}{dx}\left(x^n\right)=nx^{n-1}\]

Особые случаи: \[\frac{d}{dx}\left(k\right)=0 \quad \text{(Потому что \( k=kx^0 \). х\) перед.

Далее следуют соответствующие правила для первообразных — каждое из первообразных правил просто переписывает производное правило. Все эти первообразные можно проверить дифференцированием.

Есть один сюрприз – первообразная \(\frac{1}{x}\) на самом деле не просто \(\ln(x)\), это \(\ln|x|\). Это хорошо — первообразная имеет область определения, совпадающую с областью определения \(\frac{1}{x}\), которая больше, чем область определения \(\ln(x)\), поэтому мы не Нам не нужно беспокоиться о том, являются ли наши \(x\) положительными или отрицательными.Но мы должны быть осторожны, включая эти абсолютные значения, иначе у нас могут возникнуть проблемы с доменом.

Для просмотра этого видео включите JavaScript и рассмотрите возможность обновления до веб-браузера, поддерживающего видео HTML5

Антипроизводные правила: строительные блоки

В дальнейшем \(f\) и \(g\) — дифференцируемые функции \(x\), а \(k\), \(n\) и \(C\) — константы. 2\).2=147\]

Для просмотра этого видео включите JavaScript и рассмотрите возможность обновления до веб-браузера, поддерживающего видео HTML5

Пример 8

Компания определяет свои предельные издержки производства в долларах на единицу продукции, равные \( MC(x)=\frac{4}{\sqrt{x}}+2 \) при производстве \(x\) тысяч единиц продукции. Найти стоимость увеличения производства с 4 тыс. шт. до 5 тыс. шт.5\\ =& \влево( 8\sqrt{5}+2(5) \вправо)-\влево( 8\sqrt{4}+2(4) \вправо) \\ \приблизительно 3,889 \end{выравнивание*} \]

Увеличение производства с 4 тыс. до 5 тыс. шт. обойдется в 3,889 тыс. долларов. (Окончательный ответ лучше записать как 3889 долларов.)