2 синус x 1 – Решите неравенство sin(x*1/2)*cos(x*1/2)>=1/4 (синус от (х умножить на 1 делить на 2) умножить на косинус от (х умножить на 1 делить на 2) больше или равно 1 делить на 4) — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 05.02.202015.01.2020 by alexxlab

Содержание

Решите неравенство 2*sin(x)^2+sin(x)-1

Дано неравенство:
$$2 \sin^{2}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )} — 1 \leq 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2 \sin^{2}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )} — 1 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$2 \sin^{2}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )} — 1 = 0$$
преобразуем
$$\sin{\left (x \right )} — \cos{\left (2 x \right )} = 0$$
$$2 \sin^{2}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )} — 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 2$$
$$b = 1$$
$$c = -1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c =

(1)^2 - 4 * (2) * (-1) = 9

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = \frac{1}{2}$$
$$w_{2} = -1$$
делаем обратную замену
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
, где n — любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (-1 \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n — \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (-1 \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{1} = — \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{1} = — \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = — \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$

Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=

  pi   1 
- -- - --
  2    10

=
$$- \frac{\pi}{2} — \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$2 \sin^{2}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )} — 1 \leq 0$$

     2/  pi   1 \      /  pi   1 \         
2*sin |- -- - --| + sin|- -- - --| - 1                       2           
-1 - cos(1/10) + 2*cos (1/10) 
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq - \frac{\pi}{2}$$ _____           _____           _____          
      \         /     \         /
-------•-------•-------•-------•-------
       x1      x2      x3      x4

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq - \frac{\pi}{2}$$
$$x \geq \frac{\pi}{6} \wedge x \leq \frac{5 \pi}{6}$$
$$x \geq \frac{3 \pi}{2}$$

1 2 синус х

Вы искали 1 2 синус х? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и 1 sinx x 2, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «1 2 синус х».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как 1 2 синус х,1 sinx x 2,2 синус х 1,2 синус х равен 1,sin 1 2,sin 1 2 таблица,sin x 1 2,sin x 1 2 решение,sin x равен,sin x чему равен,sinx 1 2 x,sinx 1 2 решение,sinx 1 2 решение уравнения,sinx 1 2 решите уравнение,sinx 1 2 решить уравнение,sinx 1 2 чему равен х,sinx 1 x 2,решение sin x 1 2,решите уравнение sinx 1 2,решить уравнение sinx 1 2,решить уравнение sinx 2 1,син 1 2,синус 2 икс равен 1,синус 2 икс равно синус икс,синус x равен 1 2,синус икс равен 1 2,синус х 1,синус х 1 2,синус х равен 1,синус х равен 1 2,синус х равен минус 1 2. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и 1 2 синус х. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, 2 синус х 1).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же 1 2 синус х Онлайн?

Решить задачу 1 2 синус х вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Решить уравнения :2 sin x

Перед нами уравнение, где неизвестный член содержится под знаком тригонометрической функции sin.

Тригонометрические уравнения

Тригонометрическим уравнением называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком тригонометрической функции. Выделяют три группы таких функций:

простые тригонометрические функции cosx и sinx ;
производные тригонометрические функции tgx и ctgx;
другие тригонометрические функции secx и cosecx.

Решение любого тригонометрического уравнения сводится к двум этапам — приведению его к простейшему виду и решению полученного простейшего тригонометрического уравнения. Простейшее тригонометрическое уравнение имеет вид:

F(x) = a,

где F — любая из тригонометрических функций (sin, cos, tg, ctg, sec или cosec),

a — числовой коэффициент.

Для приведения к простейшему виду можно проводить алгебраические преобразования:

переносить члены уравнения с одной части в другую с противоположным знаком;
прибавлять/вычитать одно и то же число, при этом получим уравнение, равносильное первоначальному;
делить/умножить на одно и то же число.

Попробуем преобразовать заданное уравнение и привести его к простейшему виду.

Решим заданное уравнение

Дано уравнение вида 2sinx — 1 = 0. Первый этап решения начнём с его преобразования, а именно: прибавим к левой и правой части уравнения одно и то же число — единицу:

2sinx — 1 = 0,

2sinx — 1 + 1 = 0 + 1,

2sinx = 1.

Далее, чтобы избавить от числового аргумента при тригонометрической функции sin, разделив обе части уравнения на одно и то же число два:

(2sinx)/2 = 1/2,

sinx = 1/2.

В результате алгебраических преобразований привели уравнение к простейшему виду sinx = a, общим решением которого является решение вида:

Х = (-1)^k * arcsin(а) +- пk, k e Z, при этом |а| <=1.

На втором этапе решим полученное равносильное уравнение простейшего вида. Числовой коэффициент а = 1/2, значит |1/2| <=1 и уравнение имеет решение:

sinx = 1/2,

x = (-1)^k * arcsin (1/2) + пk, k e Z;

x = (-1)^k * п/6 + пk, k e Z.

или

х1 = п/6 + 2пk, k e Z,

x2 = 5п/6 + 2пk, k e Z.

Ответ: х1 = п/6 + 2пk, k e Z; x2 = 5п/6 + 2пk, k e Z.

Решите неравенство 2sin(x)^2+3sin(x)+1>0 (2 умножить на синус от (х) в квадрате плюс 3 умножить на синус от (х) плюс 1 больше 0)

Дано неравенство:
$$2 \sin^{2}{\left (x \right )} + 3 \sin{\left (x \right )} + 1 > 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2 \sin^{2}{\left (x \right )} + 3 \sin{\left (x \right )} + 1 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$2 \sin^{2}{\left (x \right )} + 3 \sin{\left (x \right )} + 1 = 0$$
преобразуем
$$2 \sin^{2}{\left (x \right )} + 3 \sin{\left (x \right )} + 1 = 0$$
$$2 \sin^{2}{\left (x \right )} + 3 \sin{\left (x \right )} + 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

D = b^2 - 4 * a * c =

(3)^2 - 4 * (2) * (1) = 1

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = — \frac{1}{2}$$
$$w_{2} = -1$$
делаем обратную замену
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
, где n — любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (- \frac{1}{2} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n — \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (-1 \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n — \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (- \frac{1}{2} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$
$$x_{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (-1 \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{1} = — \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = — \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{7 \pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{1} = — \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = — \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{7 \pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = — \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = — \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{7 \pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=

  pi   1 
- -- - --
  2    10

=
$$- \frac{\pi}{2} — \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$2 \sin^{2}{\left (x \right )} + 3 \sin{\left (x \right )} + 1 > 0$$

     2/  pi   1 \        /  pi   1 \        
2*sin |- -- - --| + 3*sin|- -- - --| + 1 > 0
      \  2    10/        \  2    10/

                       2          
1 - 3*cos(1/10) + 2*cos (1/10) > 0

Тогда
$$x не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > — \frac{\pi}{2} \wedge x

         _____           _____  
        /     \         /     \  
-------ο-------ο-------ο-------ο-------
       x1      x2      x3      x4

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x > — \frac{\pi}{2} \wedge x $$x > \frac{7 \pi}{6} \wedge x

Решите неравенство sin(x)^2>=1/4 (синус от (х) в квадрате больше или равно 1 делить на 4)

Дано неравенство:
$$\sin^{2}{\left (x \right )} \geq \frac{1}{4}$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin^{2}{\left (x \right )} = \frac{1}{4}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin^{2}{\left (x \right )} = \frac{1}{4}$$
преобразуем
$$\sin^{2}{\left (x \right )} — \frac{1}{4} = 0$$
$$\sin^{2}{\left (x \right )} — \frac{1}{4} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

D = b^2 - 4 * a * c =

(0)^2 - 4 * (1) * (-1/4) = 1

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = \frac{1}{2}$$
$$w_{2} = — \frac{1}{2}$$
делаем обратную замену
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
, где n — любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (- \frac{1}{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n — \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (- \frac{1}{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$
$$x_{1} = — \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{7 \pi}{6}$$
$$x_{1} = — \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{7 \pi}{6}$$
Данные корни
$$x_{1} = — \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{7 \pi}{6}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=

  pi   1 
- -- - --
  6    10

=
$$- \frac{\pi}{6} — \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\sin^{2}{\left (x \right )} \geq \frac{1}{4}$$

   2/  pi   1 \       
sin |- -- - --| >= 1/4
    \  6    10/

   2/1    pi\       
sin |-- + --| >= 1/4
    \10   6 /

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq — \frac{\pi}{6}$$

 _____           _____           _____          
      \         /     \         /
-------•-------•-------•-------•-------
       x1      x2      x3      x4

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq — \frac{\pi}{6}$$
$$x \geq \frac{\pi}{6} \wedge x \leq \frac{5 \pi}{6}$$
$$x \geq \frac{7 \pi}{6}$$

Решите неравенство sin(x1/2)cos(x*1/2)>=1/4 (синус от (х умножить на 1 делить на 2) умножить на косинус от (х умножить на 1 делить на 2) больше или равно 1 делить на 4)

Дано неравенство:
$$\sin{\left (\frac{x}{2} \right )} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )} \geq \frac{1}{4}$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin{\left (\frac{x}{2} \right )} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )} = \frac{1}{4}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin{\left (\frac{x}{2} \right )} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )} = \frac{1}{4}$$
преобразуем
$$\frac{1}{2} \sin{\left (x \right )} — \frac{1}{4} = 0$$
$$\frac{1}{2} \sin{\left (x \right )} — \frac{1}{4} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left (x \right )}$$
Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:
$$\frac{w}{2} = \frac{1}{4}$$
Разделим обе части ур-ния на 1/2

w = 1/4 / (1/2)

Получим ответ: w = 1/2
делаем обратную замену
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
, где n — любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )} + \pi$$
$$x_{2} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )} + \pi$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{1} = 4 \operatorname{atan}{\left (-2 + 2 \sqrt{- \sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} \right )}$$
$$x_{2} = — 4 \operatorname{atan}{\left (- \sqrt{3} + 2 \sqrt{- \sqrt{3} + 2} + 2 \right )}$$
$$x_{3} = — 4 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right )}$$
$$x_{4} = — 4 \operatorname{atan}{\left (- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right )}$$
$$x_{1} = 4 \operatorname{atan}{\left (-2 + 2 \sqrt{- \sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} \right )}$$
$$x_{2} = — 4 \operatorname{atan}{\left (- \sqrt{3} + 2 \sqrt{- \sqrt{3} + 2} + 2 \right )}$$
$$x_{3} = — 4 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right )}$$
$$x_{4} = — 4 \operatorname{atan}{\left (- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right )}$$
Данные корни
$$x_{3} = — 4 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right )}$$
$$x_{2} = — 4 \operatorname{atan}{\left (- \sqrt{3} + 2 \sqrt{- \sqrt{3} + 2} + 2 \right )}$$
$$x_{4} = — 4 \operatorname{atan}{\left (- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right )}$$
$$x_{1} = 4 \operatorname{atan}{\left (-2 + 2 \sqrt{- \sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} \right )}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{3}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{3} — \frac{1}{10}$$
=

        /                 ___________\     
        |      ___       /       ___ |   1 
- 4*atan\2 + \/ 3  + 2*\/  2 + \/ 3  / - --
                                         10

=
$$- 4 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right )} — \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left (\frac{x}{2} \right )} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )} \geq \frac{1}{4}$$

   /        /                 ___________\     \    /        /                 ___________\     \       
   |        |      ___       /       ___ |   1 |    |        |      ___       /       ___ |   1 |       
   |- 4*atan\2 + \/ 3  + 2*\/  2 + \/ 3  / - --|    |- 4*atan\2 + \/ 3  + 2*\/  2 + \/ 3  / - --|       
   |                                         10|    |                                         10|       
sin|-------------------------------------------|*cos|-------------------------------------------| >= 1/4
   \                     2                     /    \                     2                     /

    /           /                 ___________\\    /           /                 ___________\\       
    |1          |      ___       /       ___ ||    |1          |      ___       /       ___ ||       
-cos|-- + 2*atan\2 + \/ 3  + 2*\/  2 + \/ 3  /|*sin|-- + 2*atan\2 + \/ 3  + 2*\/  2 + \/ 3  /| >= 1/4
    \20                                       /    \20                                       /

но

    /           /                 ___________\\    /           /                 ___________\\      
    |1          |      ___       /       ___ ||    |1          |      ___       /       ___ ||      
-cos|-- + 2*atan\2 + \/ 3  + 2*\/  2 + \/ 3  /|*sin|-- + 2*atan\2 + \/ 3  + 2*\/  2 + \/ 3  /| 
Тогда
$$x \leq - 4 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right )}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq - 4 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right )} \wedge x \leq - 4 \operatorname{atan}{\left (- \sqrt{3} + 2 \sqrt{- \sqrt{3} + 2} + 2 \right )}$$         _____           _____  
        /     \         /     \  
-------•-------•-------•-------•-------
       x3      x2      x4      x1
 
Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \geq - 4 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right )} \wedge x \leq - 4 \operatorname{atan}{\left (- \sqrt{3} + 2 \sqrt{- \sqrt{3} + 2} + 2 \right )}$$
$$x \geq - 4 \operatorname{atan}{\left (- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right )} \wedge x \leq 4 \operatorname{atan}{\left (-2 + 2 \sqrt{- \sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} \right )}$$

Решите неравенство (sin(x1/4)+cos(x1/4))^2

Дано неравенство:
$$\left(\sin{\left (\frac{x}{4} \right )} + \cos{\left (\frac{x}{4} \right )}\right)^{2} Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\left(\sin{\left (\frac{x}{4} \right )} + \cos{\left (\frac{x}{4} \right )}\right)^{2} = \frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\left(\sin{\left (\frac{x}{4} \right )} + \cos{\left (\frac{x}{4} \right )}\right)^{2} = \frac{1}{2}$$
преобразуем
$$\sin{\left (\frac{x}{2} \right )} + \frac{1}{2} = 0$$
$$\left(\sin{\left (\frac{x}{4} \right )} + \cos{\left (\frac{x}{4} \right )}\right)^{2} — \frac{1}{2} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left (\frac{x}{4} \right )}$$
Дано уравнение
$$\left(\sin{\left (\frac{x}{4} \right )} + \cos{\left (\frac{x}{4} \right )}\right)^{2} — \frac{1}{2} = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 2 — содержит чётное число 2 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 2-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt{\left(0 w + \sin{\left (\frac{x}{4} \right )} + \cos{\left (\frac{x}{4} \right )}\right)^{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}}$$
$$\sqrt{\left(0 w + \sin{\left (\frac{x}{4} \right )} + \cos{\left (\frac{x}{4} \right )}\right)^{2}} = \frac{-1}{\sqrt{2}}$$
или
$$\sin{\left (\frac{x}{4} \right )} + \cos{\left (\frac{x}{4} \right )} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\sin{\left (\frac{x}{4} \right )} + \cos{\left (\frac{x}{4} \right )} = — \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

cosx/4 + sinx/4 = sqrt(2)/2

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

cosx/4 + sinx/4 = sqrt2/2

Данное ур-ние не имеет решений
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

cosx/4 + sinx/4 = -sqrt(2)/2

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

cosx/4 + sinx/4 = -sqrt2/2

Данное ур-ние не имеет решений
или

делаем обратную замену
$$\cos{\left (\frac{x}{4} \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\cos{\left (\frac{x}{4} \right )} = w$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$\frac{x}{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )}$$
$$\frac{x}{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )} — \pi$$
Или
$$\frac{x}{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )}$$
$$\frac{x}{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )} — \pi$$
, где n — любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$\frac{1}{4}$$
подставляем w:
$$x_{1} = — 8 \operatorname{atan}{\left (-2 + 2 \sqrt{- \sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} \right )}$$
$$x_{2} = 8 \operatorname{atan}{\left (- \sqrt{3} + 2 \sqrt{- \sqrt{3} + 2} + 2 \right )}$$
$$x_{3} = 8 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right )}$$
$$x_{4} = 8 \operatorname{atan}{\left (- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right )}$$
$$x_{1} = — 8 \operatorname{atan}{\left (-2 + 2 \sqrt{- \sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} \right )}$$
$$x_{2} = 8 \operatorname{atan}{\left (- \sqrt{3} + 2 \sqrt{- \sqrt{3} + 2} + 2 \right )}$$
$$x_{3} = 8 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right )}$$
$$x_{4} = 8 \operatorname{atan}{\left (- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right )}$$
Данные корни
$$x_{1} = — 8 \operatorname{atan}{\left (-2 + 2 \sqrt{- \sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} \right )}$$
$$x_{4} = 8 \operatorname{atan}{\left (- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right )}$$
$$x_{2} = 8 \operatorname{atan}{\left (- \sqrt{3} + 2 \sqrt{- \sqrt{3} + 2} + 2 \right )}$$
$$x_{3} = 8 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right )}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=

        /                  ___________\     
        |       ___       /       ___ |   1 
- 8*atan\-2 + \/ 3  + 2*\/  2 - \/ 3  / - --
                                          10

=
$$- 8 \operatorname{atan}{\left (-2 + 2 \sqrt{- \sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} \right )} — \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left(\sin{\left (\frac{x}{4} \right )} + \cos{\left (\frac{x}{4} \right )}\right)^{2}

                                                                                                       2      
/   /        /                  ___________\     \      /        /                  ___________\     \\       
|   |        |       ___       /       ___ |   1 |      |        |       ___       /       ___ |   1 ||       
|   |- 8*atan\-2 + \/ 3  + 2*\/  2 - \/ 3  / - --|      |- 8*atan\-2 + \/ 3  + 2*\/  2 - \/ 3  / - --||       
|   |                                          10|      |                                          10||       
|sin|--------------------------------------------| + cos|--------------------------------------------||                                                                                                       2      
/     /           /                  ___________\\      /           /                  ___________\\\       
|     |1          |       ___       /       ___ ||      |1          |       ___       /       ___ |||  
но                                                                                                     2      
/     /           /                  ___________\\      /           /                  ___________\\\       
|     |1          |       ___       /       ___ ||      |1          |       ___       /       ___ |||  > 1/2
|- sin|-- + 2*atan\-2 + \/ 3  + 2*\/  2 - \/ 3  /| + cos|-- + 2*atan\-2 + \/ 3  + 2*\/  2 - \/ 3  /||       
\     \40                                        /      \40                                        //       

Тогда
$$x не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > - 8 \operatorname{atan}{\left (-2 + 2 \sqrt{- \sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} \right )} \wedge x         _____           _____  
        /     \         /     \  
-------ο-------ο-------ο-------ο-------
       x1      x4      x2      x3

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x > - 8 \operatorname{atan}{\left (-2 + 2 \sqrt{- \sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} \right )} \wedge x $$x > 8 \operatorname{atan}{\left (- \sqrt{3} + 2 \sqrt{- \sqrt{3} + 2} + 2 \right )} \wedge x