Определение: Если a≠0, и n– натуральное, то

Выражение 0^{—n не имеет смысла.}

Свойство 2 степени с натуральным показателем можно теперь, используя понятие степени с нулевым и целым отрицательным показателем, записать в виде: Остальные свойства имеют ту же запись.

Пример 1. Вычислить: ;

Решение.

Пример 2. Найти значение выражения: .

Решение.

Пример 3. Упростить: .

Решение. .

2.3. Арифметический корень n-й степени

Определение: Корнем п-й степени из числа называется число, п-я степень которого равна а.

Если n=2, то имеем квадратный корень. Если n=3

Если а>0 и b–корень чётной n-й степени (n=2k), то и (-b) также является корнем n—й степени из числа а, т. к. (-b)ⁿ=(-b)^2k=(b)^2k=(b)ⁿ=a.

Действие нахождения корня n-й степени из числа называется извлечением корня n-й степени. Это действие является обратным к возведению в n-ю степень.

Если a<0 , то корень чётной n-й степени из числа а не существует (на множестве действительных чисел).

Определение: Арифметическим корнем

Например, числа 3 и -3 являются корнями четвёртой степени из числа 81. При этом число 3 – арифметический корень четвёртой степени из числа 81, а число -3 не является арифметическим корнем.

Арифметический корень n-й степени из числа обозначается так:; а называется подкоренным числом, а натуральное число n (n≥2) – показателем корня.

Если n=2, показатель корня не пишется. Например, вместо , пишут .

Теорема. Из любого действительного числа а≥0 можно извлечь арифметический корень n—й степени и притом только один.

Корень нечётной степени из отрицательного числа – число отрицательное..

Этот корень единственный и обозначается так же, как и арифметический.

.

Корень нечётной n-й степени из отрицательного числа а связан с арифметическим корнем из числа -а=|а| следующим равенством:

, где a<0, n-нечётное натуральное число (n≥3).

В дальнейшем запись вида будет означать арифметический корень, когда а≥0, или корень нечётной степени из отрицательного числа, когда а<0.

Свойства арифметического корня:

1. Основное свойство арифметического корня: величина арифметического корня не изменится, если показатель корня умножить на любое натуральное число

   k и одновременно подкоренное выражение возвести в степень с тем же показателем k : .

2. При умножении арифметических корней с одинаковыми показателями подкоренные выражения перемножаются, а показатель корня остаётся прежним: .

3. При делении арифметических корней с одинаковыми показателями подкоренные выражения делятся, а показатель корня остаётся прежним: .

4. При возведении арифметического корня в степень с натуральным показателем возводится в эту степень подкоренное выражение, а показатель корня остаётся прежним, .

5. При извлечении корня из корня перемножаются показатели корней, а подкоренное выражение остаётся прежним: ..

6. Сравнение арифметических корней основано на следующем свойстве:

если a>b>0, то , и обратно: если ( a>0, b>0), то a>b.

Доказать: . Для доказательства применим основное свойство арифметического корня и приведём корни к общему показателю 6 (наименьшему общему кратному показателю данных корней): Так как , то по свойству сравнения арифметических корней получим: .

Замечание: Для корня нечётной степени из отрицательного числа справедлива формула: .

С помощью этой формулы можно показать, что свойства 2÷ 5 арифметических корней справедливы также и для корней нечётной степени из отрицательного числа.

В общем случае, когда в преобразованиях участвуют как арифметические, так и корни нечётной степени из отрицательного числа, эти свойства неверны.

Например, для произведения применение свойств 1. и 2. приведёт к неверному результату: .

Правильное решение: .

В случае арифметического квадратного корня было доказано, что для любого действительного числа а. Аналогично:

Например, в преобразованиях:

Пример 1. Внести множитель под знак корня в выражении: .

Решение. Так как , то

Пример 2. Вынести множитель из-под знака корня в выражении: , где а<0.

Решение. , то .

Пример 3. Выполнить действия: .

Решение. ; .

Отсюда: .

2. 4. Степень с рациональным показателем

Понятия и свойства степени с любым целым показателем были рассмотрены выше.

Введём теперь в рассмотрение степень с дробным показателем.

Определение. Если a>0 и x– рациональное число, представленное дробью , где m – целое, и n≥2 – натуральное число, то: ; если а0 и x>0, то a^x 0.

Например, при а≥0; или при b>0.

Рациональное число представляется в виде дроби неоднозначно, так как при любом натуральном k.

Покажем, что: . В самом деле: (использовано основное свойство арифметического корня).

Свойства функции с целым показателем распространяются на степень с любым рациональным показателем и положительным основанием, например: a^p∙a^q=a^p+q (a>0).

2.5. Примеры вычисления арифметических выражений со степенями

Пример 1. Вычислить: .

Решение. ; ;

. Отсюда: .

Пример 2. Выполнить действия: .

Решение.

; .

Отсюда: 5³∙2⁴+5=(5∙2)³∙2+5=2000+5=2005.

Пример 3. .

Пример 4. .

Пример 5. .

Пример 6. .

Пример 7. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

.

2.6. Упражнения

Вычислить:

1. 3,2⁰ + 64^1/6 – 0,2³ ·0,2^-2 – 5³ : 5;

2. 27^1/3 – 4,8⁰ – 1,5³ –1,5^-2 + 2² : 2^-3;

3. 5² : 5^-1 + — 4² · 4^-3 – 27^2/3.

Упростить иррациональные выражения:

3.

4. ;

8. ;

5. ;

6. .

Путин наградил свердловского губернатора

Евгений Куйвашев награжден орденом «За заслуги перед Отечеством» Фото: Владимир Жабриков © URA.RU

Свердловский губернатор Евгений Куйвашев награжден орденом «За заслуги перед Отечеством» IV степени. Такое решение принял президент РФ Владимир Путин, подписавший соответствующий документ.

Орден «За заслуги перед Отечеством» IV степени вручается за особые достижения в укреплении государственности, социально-экономическом развитии страны, а также за иные высокие заслуги. Помимо политиков, награду присуждают спортсменам, деятелям культуры, дипломатам и общественным деятелям.

Традиционно орденом IV степени награждается уже имеющие медали ордена I и II степени. В исключительных случаях награда может быть вручена тем, у кого есть и другие российские знаки отличия. В этот список входит орден Александра Невского, который в 2019 году получил Куйвашев. 23 мая того года Путин лично вручил награду губернатору.

Подписывайтесь на URA.RU в Google News, Яндекс.Новости и наш канал в Яндекс.Дзен. Оперативные новости вашего региона — в telegram-канале «Екатеринбург» и в viber-канале «Екатеринбург», подбор главных новостей дня — в нашей рассылке с доставкой в вашу почту.

Свердловский губернатор Евгений Куйвашев награжден орденом «За заслуги перед Отечеством» IV степени. Такое решение принял президент РФ Владимир Путин, подписавший соответствующий документ. Орден «За заслуги перед Отечеством» IV степени вручается за особые достижения в укреплении государственности, социально-экономическом развитии страны, а также за иные высокие заслуги. Помимо политиков, награду присуждают спортсменам, деятелям культуры, дипломатам и общественным деятелям. Традиционно орденом IV степени награждается уже имеющие медали ордена I и II степени. В исключительных случаях награда может быть вручена тем, у кого есть и другие российские знаки отличия. В этот список входит орден Александра Невского, который в 2019 году получил Куйвашев. 23 мая того года Путин лично вручил награду губернатору.

МИД призвал к реакции на отказ Эстонии в визе корреспонденту РИА Новости

https://ria.ru/20211230/zakharova-1766155580.html

МИД призвал к реакции на отказ Эстонии в визе корреспонденту РИА Новости

МИД призвал к реакции на отказ Эстонии в визе корреспонденту РИА Новости — РИА Новости, 30. 12.2021

МИД призвал к реакции на отказ Эстонии в визе корреспонденту РИА Новости

Россия считает предвзятым решение Эстонии отказать в выдаче визы корреспонденту РИА Новости Анатолию Самохвалову, призывает международные структуры дать оценку… РИА Новости, 30.12.2021

2021-12-30T12:48

2021-12-30T12:48

2021-12-30T12:48

медиавойны

медиа — общество

эстония

мария захарова

россия

/html/head/meta[@name=’og:title’]/@content

/html/head/meta[@name=’og:description’]/@content

https://cdnn21.img.ria.ru/images/07e5/07/01/1739473676_0:0:3072:1728_1920x0_80_0_0_7e1c74a82f091d0c9960441883913c52.jpg

МОСКВА, 30 дек — РИА Новости. Россия считает предвзятым решение Эстонии отказать в выдаче визы корреспонденту РИА Новости Анатолию Самохвалову, призывает международные структуры дать оценку действиям эстонской стороны, заявила официальный представитель МИД РФ Мария Захарова.»Считаем это решение в высшей степени необъективным, предвзятым, продиктованным какой-то, видимо, рефлекторной русофобией, прочно укоренившейся во властных структурах соседнего государства. И мы призываем профильные международные структуры, прежде всего Международную ассоциацию спортивной прессы, дать должную оценку действиям Таллина и содействовать в урегулировании этой вызывающей глубокое недоумение ситуации», — сказала Захарова на брифинге.По ее словам, существует минимальная возможность, что решение Эстонии вызвано ошибкой. «Возможно (ошибка), но тогда эстонские власти должны объясниться», — добавила она.Эстония отказала журналисту РИА Новости Анатолию Самохвалову в выдаче визы для освещения чемпионата Европы-2022 по фигурному катанию. Посольство прибалтийской республики в Москве объяснило свое решение угрозой внутренней безопасности государства.

https://ria.ru/20211223/blokirovka-1765037344.html

эстония

россия

РИА Новости

[email protected]

7 495 645-6601

ФГУП МИА «Россия сегодня»

https://xn--c1acbl2abdlkab1og.xn--p1ai/awards/

2021

РИА Новости

[email protected]

7 495 645-6601

ФГУП МИА «Россия сегодня»

https://xn--c1acbl2abdlkab1og. xn--p1ai/awards/

Новости

ru-RU

https://ria.ru/docs/about/copyright.html

https://xn--c1acbl2abdlkab1og.xn--p1ai/

РИА Новости

[email protected]

7 495 645-6601

ФГУП МИА «Россия сегодня»

https://xn--c1acbl2abdlkab1og.xn--p1ai/awards/

РИА Новости

[email protected]

7 495 645-6601

ФГУП МИА «Россия сегодня»

https://xn--c1acbl2abdlkab1og.xn--p1ai/awards/

РИА Новости

[email protected]

7 495 645-6601

ФГУП МИА «Россия сегодня»

https://xn--c1acbl2abdlkab1og.xn--p1ai/awards/

медиа — общество, эстония, мария захарова, россия

МИД призвал к реакции на отказ Эстонии в визе корреспонденту РИА Новости

почему в Европе противодействуют запуску «Северного потока — 2» — РТ на русском

«Северный поток — 2» усилиями США и функционеров в ЕС превратился в разменную монету в противодействии России. Об этом заявил замглавы МИД РФ Сергей Рябков. По его словам, противники Москвы готовы идти до конца даже вопреки собственным интересам и интересам своих союзников, лишь бы только досадить РФ. На пробуксовку запуска газопровода по политическим причинам указал и вице-премьер РФ Александр Новак. По его мнению, если бы не ситуация с противостоянием России, «Северный поток — 2» уже давно бы заработал и поспособствовал снижению цены на газ для Европы. Эксперты считают, что в случае с СП-2 ряд европейских политиков предпочитают ставить на первое место свои сиюминутные политические интересы, одновременно поддерживая курс Вашингтона в отношении газопровода.

«Северный поток — 2» для США и определённых политических сил в Евросоюзе стал разменной монетой в противостоянии России. Об этом в интервью журналу «Международная жизнь» заявил замглавы МИД РФ Сергей Рябков.

«Уже давно усилиями наших американских коллег и большой группы политиков и функционеров в аппарате Евросоюза проект «Северный поток — 2» превратился в разменную монету в их собственной игре на повышение ставок», — сказал дипломат.

По его словам, тех, кто сейчас пытается блокировать газопровод, не волнуют цены на газ в Европе и перспективы спотовых контрактов.

«(Они. — RT) готовы идти до конца вопреки всему, лишь бы только досадить Москве… из принципа, вопреки собственным интересам, вопреки интересам своих союзников», — подчеркнул Рябков.

Он также отметил, что европейские политические силы, которые настроены против РФ, даже готовы платить из собственного кармана, «демонстрируя атлантическую солидарность в борьбе с Москвой».

На тот факт, что «Северный поток — 2» стал предметом большой политики, указал и вице-премьер РФ Александр Новак. По его мнению, такая постановка вопроса со стороны западных партнёров России вызывает большое удивление.

«Категорическое идёт противостояние для того, чтобы та инфраструктура, которая уже построена, заработала, компании, которые участвовали в инвестициях в эту инфраструктуру, могли бы в том числе и получать газ для европейских потребителей по этой инфраструктуре. Политизация идёт вокруг этого проекта», — сказал Новак в интервью телеканалу «Россия 24».

Он подчеркнул, что если бы не политика, то газопровод уже давно мог бы функционировать. Тем более, как напомнил вице-премьер, заявка на его сертификацию была подана ещё летом.

• Заместитель председателя правительства РФ Александр Новак
• РИА Новости
• © Григорий Сысоев

«Если говорить о тех нормативных актах, которые приняты в Европе, это достаточно длительный процесс. И мы надеемся, что в 2022 году, примерно к середине года (сертификация. — RT) завершится», — пояснил Новак.

Вице-премьер вновь напомнил, что «Северный поток — 2» сам по себе — исключительно коммерческий проект и, когда его строили, «никакого политического аспекта здесь не усматривалось».

Непримиримые противники

Вместе с тем ряд стран Европы при поддержке США не ослабляют свою негативную риторику в отношении «Северного потока — 2». Громче всех в этом отношении звучат голоса Польши и стран Прибалтики. В частности, глава МИД Польши Збигнев Рау заявил, что Варшава продолжит прикладывать усилия, чтобы не допустить запуска газопровода.

Также по теме

Наблюдаемый сегодня в Европе энергетический кризис сложился в результате комплекса факторов. Резкие колебания цен на газ стали…

«Польша будет решительно добиваться закрытия этого вредного для Европы проекта», — заявил он 10 декабря во время совместной пресс-конференции с министром иностранных дел ФРГ Анналеной Бербок.

В свою очередь, премьер-министр Латвии Кришьянис Кариньш в преддверии саммита глав стран ЕС 16 декабря выступил с предложением обсудить новые санкции против «Северного потока — 2».

Стоит отметить, что в новом руководстве Германии тоже нет единого мнения в отношении газового проекта. Несмотря на заключение Минэкономики страны о том, что газопровод «не будет представлять угрозы безопасности газоснабжения ФРГ и ЕС», отдельные политики утверждают обратное. Среди тех, кто активно выступает в этом ключе, новый глава МИД ФРГ Анналена Бербок.

«О том, что я критикую газопровод, известно, — из геостратегических соображений и соображений энергетической политики», — сказала Бербок в интервью изданию Der Spiegel 26 ноября.

Её поддерживает вице-канцлер, министр по делам экономики и защиты климата ФРГ Роберт Хабек. По его словам, строительство «Северного потока — 2» было геополитической ошибкой, а на предыдущее правительство ФРГ якобы оказывалось политическое давление.

• Глава МИД Германии Анналена Бербок
• AP
• © Gonzalo Fuentes

Вместе с тем новый канцлер страны Олаф Шольц не склонен драматизировать ситуацию и считает газопровод экономическим проектом, которому не хватает некоторых аспектов типа анбандлинга (разделения на разные юридические лица владельца трубопровода, его оператора и поставщика газа) для одобрения. Об этом на брифинге 20 декабря сообщил заместитель официального представителя правительства страны Вольфганг Бюхнер.

Украина настаивает

По мнению экспертов, нынешняя ситуация с «Северным потоком — 2» на руку Киеву, который считает ввод в эксплуатацию газопровода одной из главных угроз для себя, так как боится потерять статус страны — транзитёра газа. Поэтому представители украинского руководства то и дело выступают с требованиями к европейским партнёрам продолжить давление на проект с целью его остановки.

Также по теме

В среду, 17 ноября, цены на газ в Европе впервые за месяц превысили $1180 за 1 тыс. куб. м. Топливо начало стремительно дорожать ещё…

В частности, в Киеве приветствовали приостановку сертификации немецким регулятором. Несмотря на то что причиной задержки были технические моменты, на Украине с гордостью заявили, что в некоторой степени имеют отношение к торможению процесса.

«То, что он («Северный поток — 2». — RT) до сих пор не работает, то, что мы до сих пор боремся с ним, — это тоже результат, которым мы должны быть довольны и гордиться. Мы вместе с партнёрами существенно затормозили реализацию этого проекта и выиграли очень много времени и хорошие условия в переговорах с Россией», — заявил в эфире телеканала «Украина 24» глава МИД Украины Дмитрий Кулеба.

В свою очередь, глава «Нафтогаза» Юрий Витренко высказал предположение, что проект вообще удастся закрыть.

«(Запуск. — RT) к осени — это лучший вариант для «Газпрома». При этом мы считаем, что есть существенная вероятность того, что он не запустится в ближайшее время или не запустится вообще. Это была наша осознанная политика, чтобы поставить Путина перед выбором», — заявил он 23 декабря в интервью «РБК-Украина».

Вопрос самостоятельности ЕС

Нынешняя ситуация с «Северным потоком — 2» ставит под сомнение способность функционеров ЕС адекватно оценивать общеевропейские потребности, считают эксперты. По их мнению, в погоне за сиюминутными интересами и попытками подыграть США Евросоюз теряет свою самостоятельность.

«Северный поток — 2» — индикатор суверенности Европейского союза. Тот факт, что он запускается с таким скрипом, говорит о том, что на территории ЕС страны не принимают решения. Если такое положение дел сохранится и запуск газопровода не будет форсироваться, то Европу ждут тёмные времена не только в экономическом смысле, но и в политическом плане, так как будет понятно, что с ней не о чем говорить, европейский рынок потеряет привлекательность», — сказал в интервью RT генеральный директор Центра политической информации Алексей Мухин.

Между тем с введением в эксплуатацию «Северного потока — 2» Евросоюз мог бы получить дополнительные объёмы газа, отметил эксперт Фонда национальной энергетической безопасности Станислав Митрахович.

«А если бы в Европе заключили новые долгосрочные контракты с Россией на поставку газа, то это бы снизило цену на него и для самих государств, и для их граждан. В противном случае под удар попадают простые потребители», — пояснил он в беседе с RT.

Эксперт подчеркнул, что общим лейтмотивом в нынешнем противодействии запуску газопровода выступает желание ряда стран ЕС придерживаться проамериканской политики. Именно этот момент, в частности, и привёл к расколу мнений в новом правительстве Германии, считает Митрахович.

• Инфраструктура «Северного потока — 2»
• РИА Новости
• © Дмитрий Лельчук

«В Германии сейчас нет общего мнения, что делать дальше с этим газопроводом. Потому что нынешние власти боятся испортить отношения и с Россией, и с Соединёнными Штатами. Несмотря на то что «Северный поток — 2» стране нужен, в Берлине опасаются принять решение, которое вызовет политический скандал. Ведь все вокруг сразу начнут говорить, что Германия прогнулась под Путина», — пояснил аналитик.

Вместе с тем, по его мнению, одни только слухи о скором запуске газопровода могут изменить цену на голубое топливо, снизив её.

«Всегда присутствует спекулятивная составляющая рынка. Он реагирует даже на новости в Twitter. Конечно, это не значит, что достаточно открыть вентиль и цена будет как в 2020 году, но то, что она снизится, и существенно, — это без сомнений», — уверен эксперт.

Однако, как заметил в комментарии RT политолог Александр Асафов, пока что давление со стороны американцев и собственные интересы отдельных политических сил в Брюсселе перевешивают объективные выгоды от «Северного потока — 2».

«Политизация «Северного потока — 2» началась ещё до его появления, так как этот проект мешал планам США зайти на европейский энергетический рынок. К тому же американцы были вполне удовлетворены существовавшей ситуацией, при которой они могли контролировать транзит газа через территорию Украины. Поэтому, если бы у Вашингтона не было планов по поставкам СПГ в Европу, газопровод уже давно заработал бы. Однако теперь США будут ему противодействовать настолько долго, насколько это возможно, а их традиционные сторонники в лице Прибалтики, Польши, Чехии и прочих их поддержат», — подытожил Асафов.

Федеральный закон от 30.12.2021 N 500-ФЗ «О внесении изменений в Уголовно-процессуальный кодекс Российской Федерации»

30 декабря 2021 года N 500-ФЗ

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ЗАКОН

О ВНЕСЕНИИ ИЗМЕНЕНИЙ

В УГОЛОВНО-ПРОЦЕССУАЛЬНЫЙ КОДЕКС РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Принят

Государственной Думой

16 декабря 2021 года

Одобрен

Советом Федерации

24 декабря 2021 года

Внести в Уголовно-процессуальный кодекс Российской Федерации (Собрание законодательства Российской Федерации, 2001, N 52, ст. 4921; 2002, N 22, ст. 2027; N 30, ст. 3015; 2003, N 27, ст. 2706; 2007, N 24, ст. 2830; N 50, ст. 6235, 6236; 2008, N 49, ст. 5724; 2010, N 17, ст. 1985; N 27, ст. 3427, 3428; 2011, N 1, ст. 16; 2012, N 10, ст. 1162; N 24, ст. 3070; 2013, N 30, ст. 4028; N 48, ст. 6161, 6165; 2015, N 1, ст. 47; N 27, ст. 3981; 2016, N 1, ст. 60; N 27, ст. 4256; 2017, N 14, ст. 2010; N 17, ст. 2455; 2018, N 1, ст. 52; N 9, ст. 1284; N 17, ст. 2421; N 47, ст. 7132; N 53, ст. 8469; 2019, N 31, ст. 4474) следующие изменения:

1) часть вторую статьи 29 дополнить пунктами 2.1 и 2.2 следующего содержания:

«2.1) о временном помещении подозреваемого, обвиняемого, содержащегося под стражей, в медицинскую организацию, оказывающую психиатрическую помощь в стационарных условиях;

2.2) о продлении срока временного пребывания подозреваемого, обвиняемого, содержащегося под стражей, в медицинской организации, оказывающей психиатрическую помощь в стационарных условиях;»;

2) в части одиннадцатой статьи 109 слова «пунктом 4» заменить словами «пунктами 3 и 4», после слов «предварительного расследования» дополнить словами «либо в случае продолжения судебного разбирательства»;

3) пункт 3 статьи 196 дополнить словами «, в том числе его нуждаемость в лечении в стационарных условиях»;

4) статью 435 изложить в следующей редакции:

«Статья 435. Временное помещение в медицинскую организацию, оказывающую психиатрическую помощь в стационарных условиях

1. При установлении по результатам судебно-психиатрической экспертизы наличия у лица, в отношении которого в качестве меры пресечения избрано заключение под стражу, психического расстройства, требующего помещения его в медицинскую организацию, оказывающую психиатрическую помощь в стационарных условиях, суд по результатам рассмотрения ходатайства, поданного следователем с согласия руководителя следственного органа или дознавателем с согласия прокурора, либо по собственной инициативе в случае, если уголовное дело находится в производстве суда, принимает решение о временном помещении данного лица в лечебных целях в медицинскую организацию, оказывающую психиатрическую помощь в стационарных условиях, с указанием срока, на который оно временно помещается в такую организацию (в том числе календарной даты его истечения), который не может превышать 6 месяцев, и типа медицинской организации, соответствующего характеру и степени психического расстройства данного лица и определяемого на основании заключения экспертов, участвовавших в производстве судебно-психиатрической экспертизы.

2. Если производство по уголовному делу не может быть закончено до истечения установленного судом срока, указанного в части первой настоящей статьи, и отсутствуют основания для прекращения временного пребывания лица в медицинской организации, оказывающей психиатрическую помощь в стационарных условиях, суд на основании медицинского заключения такой организации о результатах психиатрического освидетельствования по ходатайству, поданному следователем с согласия руководителя следственного органа или дознавателем с согласия прокурора не позднее чем за 7 суток до истечения установленного срока, либо по собственной инициативе в случае, если уголовное дело находится в производстве суда, может продлевать этот срок неоднократно, но не свыше сроков, установленных статьями 109 и 255 настоящего Кодекса.

3. Вопросы о временном помещении лица, в отношении которого в качестве меры пресечения избрано заключение под стражу, в медицинскую организацию, оказывающую психиатрическую помощь в стационарных условиях, а также о продлении срока временного пребывания в такой организации данного лица рассматриваются судом в порядке, установленном статьей 108 настоящего Кодекса, не позднее чем через 5 суток со дня получения ходатайства.

4. Принятие судебного решения о временном помещении лица в медицинскую организацию, оказывающую психиатрическую помощь в стационарных условиях, либо о продлении срока его временного пребывания в такой организации в его отсутствие допускается только в случае, если психическое состояние, подтвержденное такой организацией, не позволяет ему участвовать в судебном заседании. При этом участие защитника данного лица в судебном заседании является обязательным.

5. При принятии судебного решения о временном помещении лица в медицинскую организацию, оказывающую психиатрическую помощь в стационарных условиях, либо о продлении срока его временного пребывания в такой организации судом в отношении данного лица могут быть установлены следующие запреты:

1) на общение с определенными лицами;

2) на отправление и получение почтово-телеграфных отправлений;

3) на использование средств связи и информационно-телекоммуникационной сети «Интернет».

6. При запрете на общение с определенными лицами, предусмотренном пунктом 1 части пятой настоящей статьи, в судебном решении о временном помещении подозреваемого или обвиняемого, содержащегося под стражей, в медицинскую организацию, оказывающую психиатрическую помощь в стационарных условиях, должны быть указаны лица, с которыми подозреваемому или обвиняемому запрещается общаться.

7. Контроль за соблюдением запретов, предусмотренных частью пятой настоящей статьи, осуществляется администрацией медицинской организации, оказывающей психиатрическую помощь в стационарных условиях.

8. Копии решений, указанных в частях первой и второй настоящей статьи, направляются судом лицу, возбудившему ходатайство, прокурору, лицу, в отношении которого принято решение о временном помещении в медицинскую организацию, оказывающую психиатрическую помощь в стационарных условиях, потерпевшему, защитнику, в администрацию места содержания под стражей, а также в медицинскую организацию, оказывающую психиатрическую помощь в стационарных условиях, в которую временно помещается лицо, в отношении которого в качестве меры пресечения избрано заключение под стражу.

9. Судебные решения, указанные в частях первой и второй настоящей статьи, подлежат немедленному исполнению. Указанные решения могут быть обжалованы в апелляционном порядке с учетом особенностей, предусмотренных статьями 389. 2 и 389.3 настоящего Кодекса, в течение 10 суток со дня их вынесения, а также в кассационном порядке по правилам, установленным главой 47.1 настоящего Кодекса.

10. Следователь, дознаватель, суд по уголовным делам, находящимся в их производстве, информируются медицинской организацией, оказывающей психиатрическую помощь в стационарных условиях, о психическом состоянии лица, временно помещенного в такую организацию, посредством направления медицинского заключения по результатам психиатрического освидетельствования данного лица и при улучшении его психического состояния в пределах компетенции разрешают вопрос о возможности применения к данному лицу меры пресечения в случае истечения срока ранее избранной меры пресечения в виде заключения под стражу.

11. Помещение лица, не содержащегося под стражей, в медицинскую организацию, оказывающую психиатрическую помощь в стационарных условиях, производится судом в порядке, установленном статьей 203 настоящего Кодекса.»;

5) в части второй статьи 446 слова «психиатрическом стационаре» заменить словами «медицинской организации, оказывающей психиатрическую помощь в стационарных условиях».

Президент

Российской Федерации

В.ПУТИН

Москва, Кремль

30 декабря 2021 года

N 500-ФЗ

Обзор клавиатуры Mad Catz S.T.R.I.K.E. 2 | Игровые клавиатуры | Обзоры

Про бренд Mad Catz слышали многие геймеры и энтузиасты. История компании довольно интересная и примечательна разработкой и выпуском внушительного количества игровых контроллеров, в том числе и по индивидуальным заказам производителей консолей и видеоигр. За 30+ лет компания преуспела не только в сотрудничестве с гигантами игровой индустрии, но и сама успела выпустить игровую консоль. В 2017 году компания обанкротилась, а через год восстала из пепла.

Виновником обзора стала Mad Catz S.T.R.I.K.E. 2 – клавиатура начального уровня, и по совместительству, самая доступная в ассортименте компании. Интересно, что у Mad Catz есть клавиатура S.T.R.I.K.E. 4 которая визуально выглядит точно также как S.T.R.I.K.E. 2, но построена на механических переключателях Cherry MX Red.

Технические характеристики

• Производитель: Mad Catz
• Модель: S. T.R.I.K.E. 2 
• Артикул: KS13MRUSBL001-0 / KS13MRUKBL000-0
• Количество клавиш: 104 шт
• Основной цвет: черный
• Тип переключателей: мембранные
• Материал корпуса: алюминий и пластик
• Подсветка: RGB, 9 встроенных эффектов
• Тип подключения: проводное, USB
• Длина кабеля: 160 см
• Габариты клавиатуры: 450 х 158 х 40 мм
• Вес: 1083 г

Упаковка и комплектация

Клавиатура поставляется в крупной картонной коробке с полноцветной полиграфией, преимущественно серого цвета. На фронтальной стороне размещена художественная фотография клавиатуры, а на тыльной обозначены основные особенности.

Внутри коробка имеет дополнительные картонные демпферы, а сама клавиатура помещена в мягкий чехол из вспененного материала. Упаковка производит хорошее впечатление.

В комплекте поставки можно найти документацию и комплект наклеек с фирменным логотипом Mad Catz.

Внешний вид, конструкция и особенности

Mad Catz S. T.R.I.K.E. 2 – полноразмерная, 104-кнопочная клавиатура. Блоки клавиш явно разграничены между собой, а функциональные F1-F12 разделены в группы по четыре штуки. F1 расположен над клавишей «2». Мультимедийные функции размещены на функциональных клавишах и активируются совместно с нажатием клавиши FN.

Левый Shift — длинный, Enter — одноуровневый. FN расположился между правым Alt и клавишей контекстного меню. 

Клавиатура выполнена в формате Skeleton. Верхняя панель (монтажная пластина), толщиной около 1,5 мм, выполнена из алюминия и крепиться несколькими винтами, расположенными между клавиш.

Вдоль нижнего края белой краской нанесены надпись MAD CATZ и декоративный геометричный орнамент.

Lock-индикаторы находятся на привычном месте – над блоком цифровых клавиш. Подсветка индикатора синего цвета обладает высокой яркостью – соседние клавиши подсвечиваются.

Основание у S.T.R.I.K.E. 2 изготовлено из пластика и имеет довольно сложный рельеф. Кабель подключения закреплен почти по центру, а уложить его можно в одной из трех канавок, специально предусмотренных для этого.

Коннектор USB желтого цвета, а пластиковая часть имеет рельефный логотип Mad Catz. Кабель без оплетки, приятный на ощупь, в меру мягкий и достаточно гибкий. Тактильно материал кабеля напоминает силикон, подобный тому, что встречается у наушников и гарнитур, но здесь он более жесткий. 

Клавиатура надежно цепляется за рабочую поверхность пятью плоскими резиновыми накладками средних размеров. Две из них расположены в верхних углах, и три – вдоль нижнего края.

У верхних углов расположились достаточно крепкие откидные пластиковые ножки, с помощью которых можно увеличить угол наклона клавиатуры. Оканчиваются ножки резиновыми наконечниками, которые также призваны исключить возможность скольжения.

У нижнего края расположены два отверстия, предназначенные для отвода случайно попавшей жидкости. Они обозначены рельефной пиктограммой с изображением клавиатуры и капли.

Кейкапы имеют небольшую вогнутость, что увеличивает эргономику. Впрочем, такую форму можно назвать классической для клавиш с высоким профилем.

Стабилизаторами оснащены многие длинные клавиши. На основном блоке – пробел, левый и правый shift, enter, backspace, и на блоке цифровых клавиш – enter, «+» и «0». Стабилизаторы не издают лишних звуков и хорошо справляются со своими обязанностями.

Кейкапы, по заявлению производителя, изготовлены методом двойного литья.

Начертание и размер латинских и кириллических символов одинаковые. Первые нанесены в верхнем левом углу, вторые – в нижнем правом. Границы символов ровные и четкие.

Подсветка

Клавиатура Mad Catz S.T.R.I.K.E. 2 имеет RGB-подсветку с 9 встроенными схемами подсветки, регулируемой яркостью и скоростью эффектов. Управление подсветкой производиться нажатием комбинации клавиш и не требует установки программного обеспечения.

Разобраться с управлением подсветкой не сложно, но в случае трудностей, можно обратиться к инструкции, в которой кратким списком описаны горячие клавиши.

Все символы, в том числе кириллические и мультимедийные, подсвечиваются равномерно, без тусклых участков.

Эффекты подсветки разнообразны. Есть как статичная одноцветная подсветка, так и сложные эффекты. Примечательно, что избитой световой анимации, вроде радуги и дыхания, у S.T.R.I.K.E. 2 нет. 

Наглядно эффекты подсветки продемонстрированы на видео.

Заключение

Клавиатура Mad Catz S.T.R.I.K.E. 2 оказалась достаточно интересным девайсом. Первое, на что обращаешь внимание после распаковки – вес. Более 1 кг. В руках клавиатура ощущается надежным, монолитным изделием. Большой вес придает устойчивости и не дает скользить по поверхности, хоть в большей степени это заслуга резиновых ножек. Канавки для прокладки кабеля позволяют вывести кабель в одной из трех точек, что благоприятно скажется на кабель-менеджменте компьютерного стола. Ход клавиш достаточно большой, с легкой тактильной отдачей. Пользователям, работающим преимущественно за клавиатурами ноутбучного типа, потребуется время чтобы привыкнуть к высокому профилю S. T.R.I.K.E. 2.  Стабилизаторы длинных клавиш не издают звуков, а нажатие даже на край пробела отзывается именно так как это должно быть. RGB-подсветка ориентирована в первую очередь на геймеров, но статичная белая иллюминация вполне уместна и для решения рабочих задач, например, набор текста, при низком уровне внешнего освещения.

Госсовет Бельгии отменил решение правительства закрыть театры из-за COVID-19 | Новости из Германии о Европе | DW

Государственный совет Бельгии во вторник, 28 декабря, отменил решение правительства закрыть культурные учреждения, принятое в целях борьбы против распространения COVID-19. Правительство королевства не смогло в достаточной мере объяснить, в какой степени подобные площадки для мероприятий были «особо опасными» и способствовали распространению коронавируса SARS-CoV-2, говорится в постановлении Госсовета, выполняющего функции высшего административного суда страны.

Его нынешнее решение касается концертных залов, театров и других площадок, однако не кинотеатров. Правительство в Брюсселе 22 декабря распорядилось закрыть эти площадки, чтобы предотвратить распространение омикрон-варианта вируса в Бельгии. 

Тысячи бельгийцев протестовали против закрытия культурных учреждений

Позиция правительства вызвала недовольство в Бельгии. Многие театры и кинотеатры в Брюсселе, Намюре и Льеже проигнорировали эти ограничения. Тысячи жителей королевства 26 декабря вышли на протесты против закрытия культурных учреждений.

По данным портала Worldometer, с начала пандемии в Бельгии с населением 11,5 млн человек возбудитель COVID-19 выявлен у 2 млн жителей. Около 28 тысяч больных умерли, 1,67 млн выздоровели.

Смотрите также:

• Лучшие театры Германии

  Münchner Kammerspiele

  Каждый год немецкий отраслевой журнал Theater heute («Театр сегодня») проводит опрос критиков, по результатам которого выявляется лучший немецкоязычный драматический театр года. Мюнхенский драмтеатр Münchner Kammerspiele не один раз становился обладателем почетного звания. И он снова был признан лучшим театром страны и в 2019 году, и в 2020-м.

• Лучшие театры Германии

  Volksbühne Berlin

  Лидерами рейтинга регулярно становятся театры Швейцарии и Австрии. Но мы решили сконцентрировать ваше внимание на театрах Германии, причем на тех, которые признавались «лучшими» не менее двух раз, начиная с 2000 года. На фото — берлинский Volksbühne. С 1992 по 2017 год худруком здесь был Франк Касторф — выдающийся режиссер, ценитель Чехова и Достоевского.

• Лучшие театры Германии

  Hebbel am Ufer

  В 2004 году лучшим по версии журнала Theater heute впервые был признан не государственный театр, а независимый проект — берлинский Hebbel am Ufer. Сегодня он объединяет три разные площадки. Здесь нет единой концепции и постоянной труппы, а пространства отдаются на откуп фестивалям, проектам, перформерам. Так, в августе здесь ежегодно проходит фестиваль современного танца (фото).

• Лучшие театры Германии

  Schauspiel Köln

  Построенное в 1962 году и не отличающееся особенной красотой здание Кельнского драмтеатра городские власти решили несколько лет назад снести. Но местные патриоты организованно выступили против, создав гражданскую инициативу в поддержку старого здания. Его сейчас ремонтируют, а спектакли пока играют на других площадках.

• Лучшие театры Германии

  Thalia Theater

  Это один из двух ведущих театров Гамбурга, каждый из которых, помимо основной сцены, имеет проекты и площадки «на стороне», как , впрочем, и все крупные гостеатры страны. Thalia Theater известен сильными режиссерскими работами, интересом к современной немецкоязычной драматургии. Участвует в различных проектах по оказанию поддержки беженцам. На фото — Сюзанна Вольф в роли Марии Стюарт (2007 г.)

• Лучшие театры Германии

  Maxim-Gorki-Theater

  В XIX веке здесь был концертный зал, а после Второй мировой войны нашла пристанище молодежная театральная студия, в итоге названная Театром имени Максима Горького. Официально открылся один из ведущих театров ГДР в 1952 году постановкой «За тех, кто в море» по пьесе Бориса Лавренева. Сегодня Maxim-Gorki-Theater — один из наиболее ярких театров столицы единой Германии.

• Лучшие театры Германии

  Deutsches Schauspielhaus

  Этот гамбургский театр был в свое время открыт по инициативе местных жителей, специально создавших под проект акционерное общество и ангажировавших лучших венских архитекторов. В 1900 году театр открылся постановкой «Ифигении в Тавриде» Гете. На фото — немецкий актер Чарли Хюбнер в роли чеховского дяди Вани (постановка Карин Байер 2015 года).

• Лучшие театры Германии

  Deutsches Theater

  В 1945 году берлинский «Немецкий театр» одним из первых возобновил свою деятельность в разрушенном Берлине. За билетами выстраивались длиннющие очереди. Одной из первых послевоенных постановок стал «Натан Мудрый» Лессинга, в свое время запрещенный нацистами. Сегодня Deutsches Theater (DT) — один из самых популярных театров столицы. На фото — Ульрих Маттес и Линда Пёппель («Улисс», 2018 г.)

  Автор: Дарья Брянцева

каков ответ для числа 2, возведенного в степень -2

Натали К.

задано • 18.05.14

Лиланд К. ответил • 18.05.14

Эксперт по математике и английскому языку в классах старшей школы

2 ^-2 = 1 / (2 ² ) = 1/4

Отрицательная сила говорит вам взять обратное.Степень дроби означает, что число должно быть выше степени и получено корень снизу.

Все еще ищете помощь? Получите правильный ответ быстро.

ИЛИ

Найдите онлайн-репетитора сейчас

Выберите эксперта и познакомьтесь онлайн. Никаких пакетов или подписок, платите только за необходимое время.

---

¢ € £ ¥ ‰ µ · • § ¶ SS ‹ › « » < > ≤ ≥ — — ¯ ‾ ¤ ¦ ¨ ¡ ¿ ˆ ˜ ° — ± ÷ ⁄ × ƒ ∫ ∑ ∞ √ ∼ ≅ ≈ ≠ ≡ ∈ ∉ ∋ ∏ ∧ ∨ ¬ ∩ ∪ ∂ ∀ ∃ ∅ ∇ * ∝ ∠ ´ ¸ ª º † ‡ А Á Â Ã Ä Å Æ Ç È É Ê Ë Я Я Я Я Ð Ñ Ò Ó Ô Õ Ö Ø Œ Š Ù Ú Û Ü Ý Ÿ Þ à á â ã ä å æ ç è é ê ë я я я я ð ñ ò ó ô х ö ø œ š ù ú û ü ý þ ÿ Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ρ ς σ τ υ φ χ ψ ω ℵ ϖ ℜ ϒ ℘ ℑ ← ↑ → ↓ ↔ ↵ ⇐ ⇑ ⇒ ⇓ ⇔ ∴ ⊂ ⊃ ⊄ ⊆ ⊇ ⊕ ⊗ ⊥ ⋅ ⌈ ⌉ ⌊ ⌋ 〈 〉 ◊

Exponent Calculator — возведен в калькулятор степени

Exponent Calculator или электронный калькулятор используется для решения экспоненциальных форм выражений. Его также называют поднятым на счетчик мощности.

Свойства калькулятора показателей:

Этот калькулятор решает оснований с и отрицательными показателями и положительными показателями . Он также предоставляет пошаговый метод с точным ответом.

Что такое показатель степени?

Показатель степени — это небольшое число, расположенное в верхней правой позиции экспоненциального выражения (основание показателя степени), которое указывает степень возведения основания выражения.

Показатель числа показывает, сколько раз это число должно использоваться при умножении. Показатели не обязательно должны быть числами или константами; они могут быть переменными.

Часто это положительные целые числа, но они могут быть отрицательными, дробными, иррациональными или комплексными числами. Оно записывается в виде небольшого числа справа и над основным числом.

Типы:

В основном есть два типа показателей степени.

Положительный показатель степени показывает, сколько раз число необходимо умножить само на себя. Воспользуйтесь нашим калькулятором экспоненты для решения ваших вопросов.

Отрицательный показатель степени показывает, в какой части основания находится решение. Чтобы упростить экспоненты со степенью в форме дробей , используйте наш калькулятор степени .

Пример :

Вычислите показатель степени для числа 3 в степени 4 ( 3 в степени 4 ).

Это означает = 3 ⁴

Решение:

3 * 3 * 3 * 3 = 81

4 в 3-й степени = 81

Следовательно, показатель степени равен 81

2 в повышении Калькулятор мощности .

Пример :

Каково значение экспонента для 2 поднять в степень 9 (2 в 9-й степени)

Это означает = 2 ⁹

Решение:

2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 512

2 в 9-й степени = 512

Следовательно, показатель степени равен 512 .

Пример :

Как вы вычисляете экспоненты 5,6,7 в степени 4?

Это означает = 5 ⁴ , 6 ⁴ , 7 ⁴

Решение:

5 * 5 * 5 * 5 = 625

6 * 6 * 6 * 6 = 1296

7 * 7 * 7 * 7 = 2401

Следовательно, показатели степени равны 625, 1296, 2401.

Как вычислить n-ю степень числа?

Энная степень основания, скажем «у», означает, что у умножается на себя в энный раз.Если нам нужно найти пятую степень y, это будет y * y * y * y * y.

Некоторые другие решения для , Калькулятор n-й мощности приведены в следующей таблице.

в степени 9018 4 1,03 до степени 5 9 0184 32768 3 в степени 12184 от 3 до 4

0,1 в степени 3	0,00100
0,5 в степени 3	0,12500
0,5 в степени 4	0,06250
2,07360
1. 02 в 10-й степени	1,21899
1,03 в 10-й степени	1,34392
1,2 в 5-й степени	2.48832
1,4 в 10-й степени		1,27628
1,05 до 10 степени	1,62889
1,06 до 10 степени	1,79085
2 до 3 степени	8	мощность 3	8
2 в степени 4	16
2 в степени 6	64
2 в степени 7	128
2 в 9 степени	512
2 в десятой степени	1024
2 в 15 степени
2 в степени 10	1024
2 в степени 28	268435456
3 в степени 2	9
27
от 3 до 4 степени	81
от 3 до 8 степени	6561
от 3 до 9 степени	19683
3 в степени, равной 81	3 4
4 в степени 3	64
4 в степени 4	256
4 в степени из 7	16384
7 в степени 3	343
12 во 2-й степени	144
2. 5 в степени 3	15,625
12 в степени 3	1728
10 степени 3	1000
24 во второй степени (24 2 )	57
10 в степени 3	1000
3 в степени 5	243
6 в степени 3	216
9185 в степени 3	729
9 в степени 2	81
10 в степени 5	100000

Правила экспоненты:

Изучение правил экспоненты вместе с правилами журнала может сделать математика действительно проста для понимания.Есть 7 правил экспоненты.

• Ноль Свойство экспоненты:

Это означает, что если степень основания равна нулю, то значение решения будет 1.

Пример: Simplify 5 ⁰ .

В этом вопросе степень основания равна нулю, тогда в соответствии с нулевым свойством экспоненты ответ ненулевого основания равен 1. Следовательно,

5 ⁰ = 1

• Отрицательное свойство экспоненты:

Это означает, что когда степень основания является отрицательным числом, то после умножения нам нужно будет найти обратную величину ответа.

Пример: Упростить 13 ^-2 .

Сначала сделаем силу положительной, взяв обратную.

1/3 ^-2 = 3 ²

3 ² = 9

• Свойство продукта экспоненты:

Когда два экспоненциальных выражения с одинаковым ненулевым основанием и разными степенями умножаются, тогда их силы складываются на одной базе.

Пример : Решить (2 ⁶ ) (2 ² ).

Как видно, базы такие же, поэтому силы надо добавлять. Теперь

(2 ⁶ ) (2 ² ) = 2 ⁶ +2

2 ⁸ = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2

= 256

• Факторное свойство показателя степени:

Оно противоположно свойству произведения показателя степени. Когда требуется разделить две одинаковые базы с разными показателями, их силы вычитаются.

Пример: Simplify 3 ⁷ /3 ²

3 ⁷ /3 ² = 3 ^7-2

35 = 3 * 3 * 3 * 3 * 3

= 243

• Степень мощности Свойство:

Когда выражение экспоненты дополнительно имеет мощность, то сначала вам нужно умножить степени, а затем решить выражение.

Пример: Решить: (x ² ) ³ .

Учитывая силу степенного свойства показателей, умножим степени.

(x ² ) ³ = x ^{2 * 3}

= x ⁶

• Мощность свойства продукта:

Когда продукт баз повышается до некоторой мощности, основания будет обладать властью отдельно.

Пример: Упростить (4 * 5) ²

4 ² * 5 ² = 16 * 25

= 400

• Мощность частного свойства:

Это то же самое, что мощность свойства продукта. Степень принадлежит как числителю, так и знаменателю отдельно.

Пример: Решить (2/3) ²

(2/3) ² = 2 ² /3 ²

2 ² /3 ² = 4 / 9

Калькулятор экспонент

Использование калькулятора

Это онлайн-калькулятор показателей степени. Вычислите степень больших целых и действительных чисел.Вы также можете вычислять числа в степени больших экспонент меньше 2000, отрицательные показатели и действительные числа или десятичные дроби для показателей.

Для больших экспонентов попробуйте Калькулятор больших показателей

В учебных целях решение расширяется, когда основание x и показатель степени n достаточно малы, чтобы поместиться на экране. Как правило, эта функция доступна, когда основание x представляет собой однозначное положительное или отрицательное целое число, возведенное в степень положительного или отрицательного однозначного целого числа. {4}} \)

\ (= \; \ dfrac {1} {3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3} \)

\ (= \; \ dfrac {1} {81} \)

\ (= 0,012346 \)

экспонент:

Обратите внимание, что -4 ² и (-4) ² дают разные ответы: -4 ² = -1 * 4 * 4 = -16, а (-4) ² = (-4) * (-4) = 16. Если вы вводите отрицательное значение для x, например -4, этот калькулятор принимает (-4) ⁿ .

«Когда знак минус встречается в экспоненциальном представлении, следует проявлять определенную осторожность. Например, (-4) ² означает, что -4 должно быть возведено во вторую степень. Следовательно (-4) ² = (-4) * (-4) = 16. С другой стороны, -4 ² представляет собой аддитивную инверсию 4 ² . Таким образом, -4 ² = -16. Это может помочь подумать о -x ² как -1 * x ² . .. «[1]

Примеры:

• 3 в степени 4 записывается 3 ⁴ = 81.
• -4 в степени 2 записывается (-4) ² = 16.
• -3 в степени 3 записывается (-3) ³ = -27. Обратите внимание, что в этом случае ответ будет одинаковым для -3 ³ и (-3) ³ , однако они все равно рассчитываются по-разному. -3 ³ = -1 * 3 * 3 * 3 = (-3) ³ = -3 * -3 * -3 = -27.
• Для 0, возведенного в степень 0, ответ будет 1, однако это считается определением, а не фактическим вычислением.м} \)

  Список литературы

  [1] Алгебра и тригонометрия: функциональный подход; М. Л. Киди и Марвин Л. Биттингер; Издательская компания «Эддисон Уэсли»; 1982, стр. 11.

  Подробнее о теории экспонент см. Экспонентные законы.

  Для вычисления дробных показателей используйте нашу Калькулятор дробных показателей.

  Для вычисления корня или корней используйте наш Калькулятор корней.

  Отрицательные показатели — как решить

  Как рассчитать отрицательные показатели.

  Правило отрицательных показателей

  Основание b в степени минус n равно деленному на единицу. по основанию b в степени n:

  b ^-n = 1/ b ⁿ

  Пример отрицательной экспоненты

  Основание 2 в степени минус 3 равно деленному на 1 по основанию 2 в степени 3:

  2 ^-3 = 1/2 ³ = 1 / (2⋅2⋅2) = 1/8 = 0.125

  Дробные отрицательные показатели

  База b в степени минус n / m равна деленному на единицу. по основанию b в степени н / м:

  b ^{-н / м} = 1/ b ^{-н / м} = 1/ ( ^м √ b ) ⁿ

  Основание 2 в степени минус 1/2 равно деленному на единицу. по основанию 2 в степени 1/2:

  2 ^-1/2 = 1/2 ^1/2 = 1/ √ 2 = 0.7071

  Дроби с отрицательным показателем

  Основание a / b в степени минус n равно деленному на единицу. по основанию a / b в степени n:

  ( a / b ) ^{— n} = 1 / ( a / b ) ⁿ = 1 / ( a ⁿ / b ⁿ ) = b ⁿ / a ⁿ

  Основание 2 в степени минус 3 равно деленному на 1 по основанию 2 в степени 3:

  (2/3) ^-2 = 1 / (2/3) ² = 1 / (2 ² /3 ² ) = 3 ² /2 ² = 9/4 = 2.25

  Умножение отрицательной степени

  Для показателей с одинаковым основанием можно добавить показатели:

  a ^-n ⋅ a ^-m = a ^{— (п + т )} = 1 / а ^{н + м}

  Пример:

  2 ^-3 ⋅ 2 ^-4 = 2 ^{— (3 + 4)} = 2 ^-7 = 1/2 ⁷ = 1 / (2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2) = 1/128 = 0,0078125

  Когда основания разные, а показатели a и b равны то же самое, мы можем сначала умножить a и b:

  a ^-n ⋅ b ^-n = ( a ⋅ b ) ^-n

  Пример:

  3 ^-2 ⋅ 4 ^-2 = (3⋅4) ^-2 = 12 ^-2 = 1/12 ² = 1 / (12⋅12) = 1/144 = 0. 0069444

  Когда основания и показатели различаются, мы должны вычислить каждый показатель, а затем умножить:

  a ^-n ⋅ b ^-m

  Пример:

  3 ^-2 ⋅ 4 ^-3 = (1/9) ⋅ (1/64) = 1 / 576 = 0,0017361

  Деление отрицательной степени

  Для показателей с одинаковым основанием следует вычесть экспонентов:

  a ⁿ / a ^m = a ^n-m

  Пример:

  2 ⁶ /2 ³ = 2 ^6-3 = 2 ³ = 2⋅2⋅2 = 8

  Когда основания разные, а показатели a и b равны то же самое, мы можем сначала разделить a и b:

  a ⁿ / b ⁿ = ( a / б ) ^н

  Пример:

  6 ³ /2 ³ = (6/2) ³ = 3 ³ = 3⋅3⋅3 = 27

  Когда основания и показатели различаются, мы должны вычислите каждый показатель и затем разделите:

  a ⁿ / b ^m

  Пример:

  6 ² /3 ³ = 36/27 = 1. 333

  ---

  См. Также

  Калькулятор экспонент

  Введите значения в любые два поля ввода, чтобы найти третье.

  Связанный научный калькулятор | Калькулятор журнала | Калькулятор корня
  

  Что такое показатель степени?

  Возведение в степень — это математическая операция, записанная как a ⁿ , включающая основание a и показатель степени n . В случае, когда n является положительным целым числом, возведение в степень соответствует многократному умножению основания, n раз.

  а ⁿ = а × а × … × а
  n раз

  Калькулятор выше принимает отрицательные основания, но не вычисляет мнимые числа. Он также не принимает дроби, но может использоваться для вычисления дробных показателей, если показатели вводятся в их десятичной форме.

  Основные законы и правила экспоненты

  При умножении экспонент с одной и той же базой экспоненты складываются.

  a ⁿ × a ^м = a ^{(n + m)}
  Пример: 2 ² × 2 ⁴ = 4 × 16 = 64
  2 ² × 2 ⁴ = 2 ^{(2 + 4)} = 2 ⁶ = 64

  Когда показатель степени отрицательный, отрицательный знак удаляется возвратом основания и увеличением его до положительного показателя степени.

  Пример: 2 (-3) = 1 ÷ 2 ÷ 2 ÷ 2

  =

  При делении показателей степени с одинаковым основанием вычитаются показатели степени.

  Пример:

  =

  =

  = 2 (2-4) = 2 -2 =

  =

  Когда показатели увеличиваются до другого показателя, показатели умножаются.

  (a ^м ) ⁿ = a ^{(m × n)}
  Пример: (2 ² ) ⁴ = 4 ⁴ = 256
  (2 ² ) ⁴ = 2 ^{(2 × 4)} = 2 ⁸ = 256

  Когда умноженные основания возводятся в степень, экспонента распределяется по обеим основаниям.

  (a × b) ⁿ = a ⁿ × b ⁿ
  Пример: (2 × 4) ² = 8 ² = 64
  (2 × 4) ² = 2 ² × 4 ² = 4 × 16 = 64

  Точно так же, когда разделенные основания возводятся в степень, экспонента распределяется по обеим основаниям.

  Пример: (

  ) 2

  =

  ×

  =

  Когда показатель степени равен 1, основание остается прежним.

  а ¹ = а

  Когда показатель степени равен 0, результатом возведения в степень любого основания всегда будет 1, хотя некоторые дебаты окружают 0 ⁰ равным 1 или неопределенному. Для многих приложений удобно определять 0 ⁰ как 1.

  а ⁰ = 1

  Ниже показан пример аргумента для ⁰ = 1 с использованием одного из ранее упомянутых законов экспоненты.

  Если ⁿ × ^м = ^{(n + m)}
  Тогда ⁿ × a ⁰ = a ^{(n + 0)} = a ⁿ

  Таким образом, единственный способ, чтобы a ⁿ не изменилось при умножении, и этот закон экспоненты остался верным, — это чтобы значение ⁰ было равно 1.

  Когда показатель степени представляет собой дробь, где числитель равен 1, берется корень n ^th из основания. Ниже показан пример с дробной степенью, где числитель не равен 1. Он использует как отображаемое правило, так и правило для умножения экспоненты с аналогичными основаниями, описанными выше. Обратите внимание, что калькулятор может вычислять дробные показатели, но они должны вводиться в калькулятор в десятичной форме.

  Также возможно вычислить показатели с отрицательным основанием.Они следуют тем же правилам, что и показатели с положительным основанием. Показатели с отрицательными основаниями, возведенными в положительные целые числа, равны своим положительным аналогам по величине, но различаются в зависимости от знака. Если показатель степени является четным положительным целым числом, значения будут равны независимо от положительного или отрицательного основания. Если показатель степени является нечетным положительным целым числом, результат снова будет иметь ту же величину, но будет отрицательным. Хотя правила для дробных показателей с отрицательным основанием такие же, они предполагают использование мнимых чисел, поскольку невозможно извлечь корень из отрицательного числа.Пример приведен ниже для справки, но обратите внимание, что предоставленный калькулятор не может вычислять мнимые числа, и любые входные данные, которые дают мнимое число, вернут результат «NAN», что означает «не число». Численное решение по существу такое же, как и в случае с положительным основанием, за исключением того, что число должно быть обозначено как мнимое.

  Как мы можем найти следующую степень двойки?

  Как мы можем найти следующую степень двойки?

  Подход 1:

  мы можем использовать знание двоичных чисел. Хорошо известное свойство чисел, являющихся степенью двойки, заключается в том, что в двоичном представлении они представлены одним установленным битом, за которым следуют некоторые нули.

  Итак, если нам дано число, если мы можем определить, крайний левый бит, который установлен (пусть он находится в позиции x), то единица, за которой следует x нулей, является требуемым числом.

  Например:

  Число = 103 (двоичный эквивалент: 1100111)

  Теперь, считая справа налево, мы обнаруживаем, что 7-й бит установлен последним.

  Итак, цифра 1, за которой следуют 7 нулей … т.е. 10000000 = 128, является необходимым решением.

  Код:

    интервал nextPower_2 (целое число без знака x)
  
  {
  
  int counter = 0;
  
   в то время как (x> 0)
  
  {
  
    count ++;
  
    х = х >> 1;
  
   }
  
  return (1 << counter);
  
  }
    

  Подход 2:

  Существует еще один гораздо более простой подход для решения указанной выше проблемы:

  1. Начните с некоторой переменной и инициализируйте ее значением 1.

  2. Сравните переменную с заданным числом.

  3. Если переменная меньше числа, сдвиг влево.

  4. Выполните вышеуказанный шаг, пока переменная не станет больше заданного числа.

  Код:

    интервал nextPower_2 (целое число без знака x)
  
  {
  
  int значение = 1;
  
  в то время как (значение <= x)
  
  {
  
  значение = значение << 1;
  
  }
  
  возвращаемое значение;
  
  }
    

  Подход 3:

  Использование функций, реализованных в библиотеке Math.следующий номер и это требуемый результат.

Код:

  интервал nextPower_2 (целое число без знака x)

{

двойное число nextnum = ceil (log2 x);

двойной результат = pow (2.0, nextnum);

return int (результат);

}
  

Power Function - Свойства, графики и приложения

Когда-нибудь работали с функцией, содержащей один член? Скорее всего, вы работали со степенной функцией. Этот тип функции настолько разнообразен, что, если вы изучаете функции, мы на 100% уверены, что вы уже встречались с типом степенной функции, даже не зная, что это так.

Почему бы нам не начать с определения степенных функций?

Степенная функция - это одночленная функция, которая содержит переменную в своей основе и константу для ее экспоненты.

Это означает, что существует множество родительских функций, которые также являются степенными функциями. В этой статье мы узнаем:

• Концепция силовых функций.
• Особые свойства, которые может проявлять степенная функция.
• Примените эти свойства при построении графиков и идентификации степенных функций.

Обязательно имейте под рукой блокнот, так как здесь подробно обсуждаются функции управления питанием. Мы даже научимся применять степенные функции в текстовых задачах.

Почему бы нам не начать с его определения и некоторых примеров степенных функций?

Что такое степенная функция?

Прежде чем мы углубимся в важные свойства степенной функции, мы должны понять фундаментальное определение степенных функций. Вот общая форма степенных функций:

Давайте разберем эту общую форму и найдем примеры степенных функций, использующих это определение.

Обязательно ознакомьтесь с этой формой, поскольку мы будем использовать ее неоднократно на протяжении всей статьи.

Определение степенных функций и примеры

Как показано в предыдущем разделе, степенные функции - это функции в форме f (x) = kx ^a или y = kx ^a , где k - ненулевой коэффициент, а a - действительное число.

Вот несколько примеров степенных функций:

• y = -5x ²
• y = 2 √x
• f (x) = 3 / x ²
• g (x) = 2x ³

Обратите внимание, что каждая функция содержит только один термин для каждого примера - важный идентификатор степенных функций. Показатели степенных функций также должны быть действительными числами, поэтому давайте проверим каждый показатель из примеров, чтобы подтвердить это.

• Функция y = -5x ² и g (x) = 2x ³ - это функции с целыми числами в качестве экспонентов, поэтому они являются степенными функциями.
• Функция квадратного корня, y = 2 √x, может быть переписана как y = 2x ^1/2 , поэтому ее показатель степени является действительным числом, поэтому это также степенная функция.
• Мы применяем тот же процесс с f (x) = 3 / x ² и получаем f (x) = 3x ^-2 , что подтверждает, что это степенная функция, поскольку -2 - действительное число.

Ниже приведены лишь некоторые родительские функции, и давайте посмотрим, почему все они также считаются степенными функциями.

Родительская функция	Форма функции
Постоянная функция	y = a
Линейная функция	y = x
Quadratic Функция
Кубическая функция	y = x 3
Взаимная функция	y = 1 / x, y = 1 / x 2
Функция квадратного корня	y = √x

Поскольку эти родительские функции содержат по одному члену и действительные числа для их показателей, все они являются степенными функциями.

Как построить график степенных функций?

При построении графиков степенных функций мы должны иметь в виду эти два важных свойства степенных функций: их симметрию и поведение конца .

Вот краткое руководство по построению графиков функций мощности, чтобы показать вам, почему эти две функции могут помочь вам сэкономить время:

• Определите, является ли функция мощности нечетной или четной.
• Применяйте преобразования всякий раз, когда можете.
• Найдите точки, которые помогут построить график половины функции мощности.
• Примените свойство симметрии данной степенной функции.
• Еще раз проверьте их конечное поведение.

Почему бы нам не обновить свои знания о нечетных и четных функциях и не посмотреть, как они влияют на график степенной функции?

Симметрия четных степенных функций и поведение конца

Степенные функции либо четные, либо нечетные, поэтому они также либо симметричны относительно оси y и начала координат . Мы также можем предсказать конечное поведение степенных функций на основе их коэффициента и мощности .

Давайте посмотрим на график этих четных степенных функций: y = 2x ² и y = -4x ⁴ . Чтобы построить график каждой функции, нарисуйте несколько точек справа и отразите эту кривую по оси ординат.

Для обоих графиков, поскольку показатели четные, функции также четные, и, следовательно, их графики симметричны по оси y.

Начнем с четных степенных функций, где коэффициент положительный, например y = 2x ² .

• Поскольку коэффициент 2 положительный, график открывается вверх на .
• Мы видим, что когда x <0, функция убывает, а когда x> 0, функция убывает.
• Следовательно, и левая, и правая стороны кривой будут расти (↑) .

Теперь давайте рассмотрим четные степенные функции с отрицательным коэффициентом , например y = -4x ⁴ .

• Поскольку коэффициент -4 отрицательный, график открывается вниз на .
• Здесь мы можем видеть, что когда x <0, функция увеличивается, а когда x> 0, функция убывает.
• Это означает, что для с обеих сторон мы ожидаем, что кривая пойдет вниз (↓).
Симметрия и конечное поведение функций нечетной мощности

Как насчет функций нечетной мощности? Давайте продолжим и рассмотрим эти две функции: y = 3x ³ и y = -x ⁵ .

Чтобы построить график этих двух функций, мы можем нанести некоторые значения либо на левую, либо на правую сторону координатной плоскости.Отразите график над началом координат.

Из определения нечетных функций мы видим, что обе степенные функции симметричны относительно начала координат .

Вот некоторые вещи, которые мы можем наблюдать на графике y = 3x ³ , где коэффициент положительный :

• Мы можем видеть, что когда x <0, функция увеличивается, и когда x> 0 функция увеличивается на .
• Следовательно, левая сторона опускается (↓) , а правая сторона поднимается (↑) .

Теперь рассмотрим поведение нечетных функций при отрицательном коэффициенте .

• Мы видим, что когда x <0 и x> 0, функция уменьшается
• Следовательно, левая сторона поднимается (↑) , а правая сторона опускается (↓) .
Понимание эффекта экспоненты, a

Мы подробно обсудили влияние на график степенной функции на основе ее четности и значения k.Теперь давайте попробуем увидеть разницу, когда a - это дробь, а когда a - целое число.

Случай 1. Когда a = 0 и a = 1 , мы ожидаем, что график сведется к постоянной функции и линейной функции соответственно.

Графики y = 2 и y = 2x могут подтвердить это. Такое же поведение применяется ко всем значениям k.

Доменом для этого случая будут все действительные числа или в интервальной записи, то есть (-∞, ∞).

Случай 2: Когда a <0 .Давайте посмотрим на графики y = x ^-1 и y = x ^-2 :

Когда a отрицательно, а степенная функция возвращает рациональное выражение, мы видим, что графики подходят, но никогда не равно 0 . Это означает, что доменом этих степенных функций будет любое действительное число, кроме 0, , поэтому доменом будет (-∞, 0) U (0, ∞) .

Два графика также вогнуты вверх с обеих сторон .

Случай 3: Когда 1 .Давайте посмотрим на графики y = x ^1/2 и y = x ^1/3 :

Когда a является дробью, а степенная функция возвращает радикальное выражение. Мы можем видеть, что область значений будет зависеть от того, является ли знаменатель четным или нечетным:

• Если знаменатель четный, только положительные значения x будут частью области значений или [0, ∞).
• Если знаменатель нечетный, все его области могут быть действительными числами или (-∞, ∞).

Два графика также вогнуты вниз с обеих сторон .

Случай 4. Когда a> 1 , давайте рассмотрим графики y = x ⁵ и y = x ⁶ .

Когда показатель степени положительный, , мы ожидаем, что графики будут вогнутыми вверх . Доменом для этого типа степенной функции будут все действительные числа или обозначения интервала , (-∞, ∞) .

Как найти степенную функцию?

Иногда нам дают график степенной функции или несколько точек, проходящих через его график.Мы все еще можем найти выражение, представляющее степенную функцию, используя две точки.

• Подставьте эти две точки в общую форму степенных функций: y = kx ^a .
• Найдите способ сохранить k или a в одном из уравнений.
• Определите значения для k и a и подставьте их обратно в общую форму степенных функций.

Допустим, мы хотим найти степенную функцию, проходящую через (2, 16) и (3, 54). Подставьте эти значения в общий вид:

(2, 16)	16 = k (2) a 16/2 a = k
(3, 54)	54 = k (3) a 54/3 a = k

Приравняем оба выражения в правой части и получим:

16/2 ^a = 54 / 3 ^a

8/2 ^a = 27/3 ^a

2 ³ /2 ^a = 3 ³ /3 ^a

2 ^{3 - a} = 3 ^{3 - a}

Это уравнение будет верным, только если обе стороны равны 1.Это означает, что 3 - a должно быть равно 0. Следовательно, a = 3.

Подставим это обратно в любое из выражений k:

k = 16/2 ³

= 16/8

= 2

Теперь, когда у нас есть a = 3 и k = 2, мы можем записать выражение степенной функции: y = 2x ³ .

Что, если мы хотим найти выражение степенной функции на основе ее графика? Просто обратите внимание на две точки, через которые проходит график функции, а затем примените тот же процесс.

Прежде чем мы попробуем еще несколько вопросов, касающихся степенных функций, почему бы нам не подытожить все, что мы знаем о степенных функциях?

Сводка формул степенной функции и их свойств

Вот несколько полезных напоминаний при работе с степенными функциями и их приложениями:

• При определении того, является ли функция степенной функцией, убедитесь, что выражение является единственным терм , k - постоянная , а a - действительное число .
• Графики степенных функций будут зависеть от значений k и a.
• Применяйте свойства четных и нечетных функций, когда это применимо.
• При нахождении выражения для степенной функции всегда используйте общую форму: y = kx ^a .
• Используйте приведенную ниже таблицу, чтобы спрогнозировать конечное поведение степенных функций.

Условие для k	Функции четной мощности	Функции нечетной мощности
При k> 0	Функция уменьшается при x <0: As x → - ∞, y → ∞ Функция увеличивается, когда x> 0: При x → ∞, y → ∞	Функция возрастает в интервале x: При x → - ∞, y → - ∞ При x → ∞, y → ∞
При k <0	Функция увеличивается при x <0: При x → - ∞, y → - ∞ Функция уменьшается при x > 0: При x → ∞, y → - ∞	Функция убывает на всем интервале x: При x → - ∞, y → ∞ При x → ∞, y → - ∞

Убедитесь, что понимаете концепцию силовых функций и ознакомьтесь с различное конечное поведение. Когда будете готовы, давайте попробуем решить некоторые задачи!

Пример 1

Какие из следующих функций считаются степенными?

а. f (x) = -2x ² · 3x
б. g (x) = 2√x + 5

в. h (x) = 0,5x ^π
d. m (x) = - (x + 1) ²
e. n (x) = 1 / x ³

Решение

Проверьте каждую из указанных функций и по возможности упростите выражения.

а. Функцию все еще можно упростить до f (x) = -6x ³ . Мы видим, что он содержит только один член и имеет действительное число для его коэффициента и показателя степени, поэтому f (x) является степенной функцией .

Следующие два элемента (b и d) содержат более одного члена и не могут быть упрощены, поэтому функции g (x) и m (x) не считаются степенными функциями .

г. Мы всегда возвращаемся к фундаментальному определению степенных функций: они содержат один член, а коэффициент и показатели являются действительными. И 0,5, и π являются действительными числами, поэтому h (x) также является степенной функцией .

эл. Поскольку 1 / x ³ = 1 · x ^-3 , мы можем видеть путем осмотра, что он удовлетворяет условиям степенных функций, поэтому n (x) также является степенной функцией .

Следовательно, функции в a, c и e являются степенными функциями .

Пример 2

Заполните пробелы всегда , иногда и никогда , чтобы следующие утверждения были верными.

а. Кубические функции - это ______________ степенные функции.
г. Постоянные функции - это _____________ степенные функции.
г. У степенных функций ___________ будут отрицательные показатели.

Решение

Давайте продолжим и проверим каждую выписку:

a. Некоторые примеры кубических функций: 2x ³ и x ³ - x ² + x - 1. Мы видим, что первый пример является степенной функцией, а второй - нет. Это означает, что кубические функции могут быть , иногда степенными функциями.

г. Общий вид постоянных функций - y = c, где c - любая ненулевая константа. Из общей формы видно, что независимо от значения c, постоянные функции всегда будут иметь один член с действительными числами для их коэффициента и экспоненты. Следовательно, постоянные функции будут всегда степенными функциями.

г. Пока функция содержит один член и экспоненту действительного числа, она будет считаться степенной функцией. Это означает, что степенная функция может иметь положительные и отрицательные показатели.Таким образом, они могут иметь , иногда иметь отрицательные показатели.

Пример 3

Определите конечное поведение следующих степенных функций:

a. f (x) = x ³

б. g (x) = -4x ⁴

c. h (x) = (-3x) ³

Решение

При прогнозировании конечного поведения степенной функции проверьте знак коэффициента и значение показателя степени. Используйте предоставленную нами таблицу, чтобы помочь вам в прогнозировании конечного поведения.

а. Функция f (x) = x ³ имеет коэффициент 1 и положительный показатель степени 3. Поскольку степень нечетная, ожидается, что функция будет увеличиваться во всей области определения.

Это означает, что левая часть кривой идет вниз, а правая - вверх: (↓ ↑).

б. Для второй функции g (x) = -4x ⁴ имеет отрицательный коэффициент и четный положительный показатель степени. Это означает, что график должен открываться вниз.Функция также будет увеличиваться, когда x <0, и уменьшаться, когда x> 0.

Это означает, что как левая, так и правая стороны кривой должны идти вниз: (↓↓).

г. Давайте сначала упростим выражение для h (x): h (x) = -27x ³ . Мы видим, что h (x) имеет отрицательный коэффициент и нечетную экспоненту. Когда это происходит, функция уменьшается во всем своем домене.

Кривая графика: вверх с левой стороны и спуск с правой стороны: (↑ ↓).

Пример 4

Покажите, что произведение двух степенных функций всегда будет также возвращать степенную функцию.

Решение

Пусть две степенные функции будут f (x) = mx ^p и g (x) = nx ^q , где m и n - коэффициенты вещественных чисел. Показатели p и q также являются действительными числами.

Умножение двух функций приведет к:

f (x) · g (x) = (mx ^p ) · (nx ^q )

= mn x ^{p + q}

Пусть mn = k и p + q = a, следовательно, имеем f (x) · g (x) = kx ^a .

Поскольку mn и p + q - действительные числа, k и a также будут действительными числами. Продукт по-прежнему возвращает степенную функцию, поэтому мы только что подтвердили, что произведение двух степенных функций также будет степенной функцией.

Пример 5

Изобразите степенную функцию f (x) = -3x ⁵ и ответьте на следующие вопросы.

а. Каков домен и диапазон функции?

г. Если график сдвинуть на 6 единиц вверх, будет ли полученная функция по-прежнему степенной?

Решение

Поскольку f (x) - нечетная функция, мы ожидаем, что график будет симметричным относительно начала координат.

Мы можем нанести эти точки на половину кривой и отразить ее по началу координат.

а. Поскольку показатель степени положительный и нечетный, область и диапазон f (x) будут все действительными числами или (-∞, ∞) . Это также можно подтвердить, посмотрев на график.

г. Когда мы переводим f (x) на 6 единиц, мы добавляем 6 к выражению. Следовательно, выражение новой функции теперь будет -3x ⁵ + 6. Это выражение будет содержать два члена, и, таким образом, новая функция больше не будет степенной функцией .

Пример 6

Используйте показанный ниже график, чтобы найти выражение для h (x).

Решение

Поскольку график h (x) проходит через (-1, -2), (1, -2) и (1/2, -8), мы можем использовать любое из этих три точки в общем виде степенной функции: y = kx ^a .

Заметили что-нибудь о графике? Кривые приближаются, но никогда не могут быть равны 0, поэтому мы ожидаем, что показатель степени будет дробным.

Давайте сначала подставим (1, -2) в общий вид степенной функции. (Это будет лучший вариант, поскольку k1 ^a уменьшится до k .)

-2 = k (1) ^a

-2 = k

Примените тот же процесс для (1/2, -8), но на этот раз также будем использовать k = -2.

-8 = (-2) (- 1/2) ^a

4 = (-1/2) ^a

(-1/2) ^-2 = (-1/2) ^a

Чтобы это было правдой, a должно быть равно -2.Следовательно, мы имеем h (x) = -2x ^-2 .

Пример 7

Степенная функция g (x) проходит через точки (4, -6) и (9, -9).

а. Каково выражение для g (x)?

г. Постройте график функции g (x).

г. Найдите его домен и диапазон, затем опишите его конечное поведение.

Решение

Давайте подставим каждую пару значений в общую форму степенных функций: y = kx ^a и упростим полученное уравнение.

(4, -6)	-6 = k (4) a -6 = k4 a -6/4 a = k
( 9, -9)	-9 = k (9) a -9 = k9 a -9/9 a = k

Теперь, когда у нас есть k на обе правые части уравнений приравняем выражения в левой части. Решите относительно a из полученного уравнения.

-6/4 ^a = -9/9 ^a

-2/4 ^a = -3/9 ^a

-2 ¹ /2 ^2a = -3 ¹ /3 ^2a

-2 ^1-2a = -3 ^1-2a

Это уравнение будет верно только тогда, когда обе стороны равны 1, поэтому показатели степени должны быть равны 0

1 - 2a = 0

1 = 2a

a = ½

Подставьте значение a в одно из выражений для k.

k = -6/4 ^a

= -6 / 4 ^1/2

= -6 / 2

= -3

Подставьте эти два значения обратно в общую форму степенных функций, чтобы найти выражение для g (x).

g (x) = kx ^a

= -3x ^1/2

= -3√x

a. Следовательно, мы имеем g (x) = -3√x .

Давайте используем две заданные точки для соединения кривой. Вспомните форму родительской функции функции извлечения квадратного корня, чтобы знать, чего ожидать от графика g (x).

г.

Мы можем найти домен и диапазон g (x), проверив график. Поскольку g (x) имеет рациональную экспоненту с четным знаменателем, мы ожидаем, что для x будут только положительные значения. График также может это подтвердить.

Поскольку график g (x) никогда не поднимается выше отрицательной оси Y, мы ожидаем, что его диапазон будет состоять только из отрицательных чисел.

г. Следовательно, область для g (x) равна [0, ∞) , а диапазон - (-∞, 0] . График показывает, что она непрерывно уменьшается, а кривая последовательно идет вниз на .

Пример 8

Площадь круга прямо пропорциональна квадрату его радиуса r. Площадь круга с радиусом 10 единиц составляет 314 единиц ^2, и круга с радиусом 20 единиц составляет 1256 единиц ² .

а. Найдите степенную функцию A (r), представляющую площадь круга через r. Что представляет собой коэффициент при A (r)?

г. Без учета ограничений на r, будет ли A (r) четным или нечетным?

г.Каково конечное поведение A (r)?

г. Если мы примем во внимание тот факт, что r представляет радиус круга, изменится ли домен?

Решение

Поскольку площадь прямо пропорциональна r ² , мы можем выразить A (r) как kr ² , где k - ненулевая константа.

Давайте используем любую из двух заданных пар значений, чтобы найти k.

A (r) = kr ²

314 = k (10) ²

314 = 100k

k = 3. 14

а. Подставим обратно k в выражение, и мы получим A (r) = 3,14r ² . Напомним, что 3,14 - это приблизительное значение π, , поэтому коэффициент A (r) представляет π .

г. Поскольку A (r) - квадратичное выражение; это четная функция .

г. Коэффициент при A (r) положительный, а его показатель четный, поэтому мы ожидаем, что график будет уменьшаться, когда x <0, и увеличиваться, когда x> 0. Следовательно, ожидается, что оба конца кривой будут двигаться. вверх .

г. Первоначально, поскольку A (r) представляет собой квадратичное выражение, мы ожидаем, что оно будет иметь область определения (-∞, ∞). Но с учетом того факта, что измерения должны быть больше 0, домен теперь становится (0, ∞).

Практические вопросы

1. Какие из следующих функций считаются степенными?

а. f (x) = -3x ² · 2x + 2x · x
b. g (x) = 12√x

c. h (x) = πx ^√3
d.m (x) = x ² - 3x + 4

e. n (x) = 1 / 2x

2. Заполните пробелы всегда , иногда и никогда не сделайте следующие утверждения верными.

а. Взаимные функции - это ______________ степенные функции.
г. Радикальные функции - это _____________ степенные функции.
г. Степенные функции будут ___________ иметь область (-∞, ∞).

3. Определите конечное поведение следующих степенных функций:

a.f (x) = -2x ⁵

б. g (x) = 3x ⁶

c. h (x) = (-2x) ⁴

4. Верно или неверно? Сумма двух степенных функций также всегда будет возвращать степенную функцию. Обосновать ответ.

5. Степенная функция g (x) проходит через точки (1,4) и (2, 2).

а. Каково выражение для g (x)?
г. Постройте график функции g (x).
г. Найдите его домен и диапазон, затем опишите его конечное поведение.

6. Изобразите степенную функцию y = 2x ⁴ и ответьте на следующие вопросы.

а. Каков домен и диапазон функции?
г. Если график сдвинуть на 2 единицы вверх, будет ли полученная функция по-прежнему степенной?

7. Объем конуса прямо пропорционален кубу его радиуса r. Объем конуса с радиусом 10 единиц равен 100π / 3 единиц ^3, и круга с радиусом 20 единиц составляет 400π / 3 единиц ³ .

а. Найдите степенную функцию V (r), представляющую объем конуса через r.
г. Без учета ограничений на r, будет ли V (r) четным или нечетным?
г. Каково конечное поведение V (r)?
г. Если мы примем во внимание тот факт, что r представляет радиус круга, изменится ли домен?

8. Мощность P (в ваттах), производимая гидроэлектростанцией, прямо пропорциональна квадрату скорости воды v (в милях в час). Если падающая вода со скоростью 24 мили в час генерирует 144 Вт мощности, сколько энергии вырабатывается при скорости воды 12 и 36 миль в час?

а.