Решение дифференциальных уравнений второго порядка

Решение простых дифференциальных уравнений второго порядка

Дифференциальные уравнения второго порядка вида

   

решаются двукратным интегрированием.

Решение линейных дифференциальных уравнений второго порядка

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка

   

Здесь коэффициенты – постоянные действительные числа. Решение этого уравнения будем искать в виде

   

Подставим эту функцию в уравнение (1):

   

   

Поскольку , то функция (2) будет решением линейного однородного уравнения тогда и только тогда, когда будет выполняться равенство

   

Уравнение (3) называется характеристическим уравнением линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (1). А многочлен n-й степени называется характеристическим многочленом этого уравнения.

Замечание. Корни характеристического уравнения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами могут быть как действительными, так и комплексными (простыми и кратными) числами.

Утверждение 1. Если числа – различные действительные корни характеристического уравнения (3) линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (1), то функции образуют фундаментальную систему решений этого уравнения и общее решение уравнения имеет вид:

   

Утверждение 2. Если – действительный корень характеристического уравнения кратности два, то функции – фундаментальная система решений уравнения (1), общее решение этого уравнения имеет вид:

   

Утверждение 3. Если – комплексно сопряженные корни характеристического уравнения (3), которое соответствует однородному дифференциальному уравнению второго порядка (1), то функции образуют фундаментальную систему решений этого уравнение и общее решение записывается в виде:

   

Решение линейных неоднородных ДУ второго порядка

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка

   

Коэффициенты – некоторые действительные числа, – непрерывная на отрезке функция, называемая правой частью неоднородного дифференциального уравнения (4).

Общее решение этого уравнения имеет вид

   

где – произвольные постоянные, – фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения (1), – частное решение неоднородного уравнения (4).

Частное решение можно найти методом подбора (или методом неопределенных коэффициентов) в случае, если правая часть уравнения есть одной из функций вида

   

или

   

Здесь – заданные многочлены степени n, – известный многочлен степени m, – некоторые действительные числа.

Метод подбора нахождения частного решения линейного неоднородного уравнения (4) с функцией вида (5), (6) в правой части состоит в том, что частное решение уравнения ищут в виде

   

– многочлен степени n с неопределенными коэффициентами, s=0 при , которое не является корнем характеристического многочлена, или s кратности , где — корень характеристического многочлена.

или

   

– многочлены степени k с неопределенными коэффициентами, s=0 ( не является корнем характеристического многочлена), или s кратности — корень характеристического многочлена.

соответственно.

Принцип суперпозиции. Если функция – решение линейного дифференциального уравнения

   

то тогда функция

   

есть решением уравнения

   

или

   

Дифференциальные уравнения — ДУ 2-го порядка I

В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка можно записать в виде где F − заданная функция указанных аргументов.  Если дифференциальное уравнение можно разрешить относительно второй производной y», то его можно представить в следующем явном виде: В частных случаях функция f в правой части может содержать лишь одну или две переменных. Такиенеполные уравнения включают в себя 5 различных типов: С помощью определенных подстановок эти уравнения можно преобразовать в уравнения первого порядка.  В случае произвольных дифференциальных уравнений второго порядка, их порядок можно понизить, если эти уравнения обладают определенной симметрией. Ниже мы обсудим 2 типа таких уравнений (случаи 6 и 7): Функция F(x, y, y’, y») является однородной функцией аргументов  y, y’, y»; Функция F(x, y, y’, y») является точной производной функции первого порядка Ф(x, y, y’). Итак, рассмотрим указанные случаи понижения порядка более подробно. Случай 1. Уравнение вида  y»= f (x) Если дано уравнение y» = f(x), то его порядок можно понизить введением новой функции p(x), такой, чтоy’ = p(x). В результате мы получим дифференциальное уравнение первого порядка Решая его, находим функцию p(x). Затем решаем второе уравнение и получаем общее решение исходного уравнения. Случай 2. Уравнение вида  y»= f (y) Здесь правая часть уравнения зависит только от переменной y. Вводим новую функцию p(y), полагаяy’ = p(y). Тогда можно записать: и уравнение принимает вид: Решая его, находим функцию p(y). Затем находим решение уравнения y’ = p(y), то есть функцию y(x). Случай 3. Уравнение вида  y»= f (y’ ) В данном случае для понижения порядка вводим функцию y’ = p(x) и получаем уравнение которое является уравнением первого порядка с разделяющимися переменными p и x. Интегрируя, находим функцию p(x) и затем функцию y(x). Случай 4. Уравнение вида  y»= f (x,y’ ) Используем подстановку y’ = p(x), где p(x) − новая неизвестная функция, и получаем уравнение первого порядка Интегрируя, определяем функцию p(x). Далее решаем еще одно уравнение 1-го порядка и находим общее решение y(x). Случай 5. Уравнение вида  y»= f (y,y’ ) Для решения такого уравнения, также как и в случае 2, вводим новую функцию p(y), полагая y’ = p( y). Дифференцирование этого равенства по x приводит к уравнению В результате наше исходное уравнение записывается в виде уравнения 1-го порядка Решая его, находим функцию p(y). Затем решаем еще одно уравнение первого порядка и определяем общее решение y(x).  Рассмотренные 5 случаев понижения порядка не являются независимыми. Исходя из структуры уравнений, ясно, что случай 2 следует из случая 5, а случай 3 вытекает из более общего случая 4. Случай 6. Функция F(x, y, y’, y») является однородной функцией аргументов y, y’, y» Если левая часть дифференциального уравнения удовлетворяет условию однородности, т.е. для любого k справедливо соотношение то порядок уравнения можно понизить с помощью подстановки После нахождения функции z(x) исходная функция y(x) находится интегрированием по формуле где  C2 − постоянная интегрирования. Случай 7. Функция F(x, y, y’, y») является точной производной Если удается найти такую функцию Ф(x, y, y’), не содержащую второй производной y» и удовлетворяющую равенству то решение исходного уравнения представляется интегралом Таким образом уравнение второго порядка можно привести к уравнению первого порядка.   В некоторых случаях левую часть исходного уравнения можно преобразовать в точную производную, используя интегрирующий множитель.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений в Wolfram|Alpha

Решение дифференциальных уравнений с выводом результатов в пошаговом представлении (функция «Show steps» — Показать шаги) является одной из важных особенностей Wolfram|Alpha.

Wolfram|Alpha в большинстве случаев может помочь в решении дифференциальных уравнений различного уровня сложности, начиная от простейших дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными (separable equations ) и включая более сложные уравнения, для решения которых служат, например, методы операционного исчисления, использующие преобразование Лапласа.

Чтобы решить дифференциальное уравнение с помощью Wolfram|Alpha достаточно ввести его в систему. ВНИМАНИЕ! Для ввода символа производной используется знак апострофа » ‘ «, но не кавычки (!). Для определенности можно добавить перед уравнением поисковое предписание solve (хотя, во многих случаях, это и не обязательно).

Как видим, Wolfram|Alpha сначала определяет (классифицирует) этот пример, как обыкновенное линейное дифференциальное уравнение первого порядка, затем выводит общее решение данного уравнения, график частного решения, удовлетворяющего условию y(1)=1, а также семейство интегральных кривых данного уравнения.

Чтобы получить детальное пошаговое решение, используйте кнопку «Show steps»:

Аналогичным образом можно получить решение, например, дифференциального уравнения Бернулли:

Wolfram|Alpha позволяет также получать решения дифференциальных уравнений второго и высших порядков. Например, так выглядит решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

Или же дифференциального уравнения 3-го порядка: solve y»» = y.

С помощью Wolfram|Alpha возможно получить общее решение дифференциального уравнения, заданного в общем виде:

Наконец, в некоторых случаях, когда это необходимо,Wolfram|Alpha использует для решения дифференциальных уравнений методы операционного исчисления (преобразование Лапласа):

Подробное решение этого примера смотрите по этой ссылке.

P.S.

Выше было рассмотрено только лишь как с помощью Wolfram|Alpha можно находить общее решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Для этого достаточно лишь ввести данное уравнение в систему. Процедуре отыскания частных обыкновенных дифференциальных уравнений будет посвящена отдельная публикация.

Дифференциальные уравнения первого порядка — презентация онлайн

1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (лекция №11 мен)

2. ПРОСТЕЙШИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

План
1. Основные понятия
2. Решение дифференциальных уравнений
I-го порядка
3. Решение дифференциальных уравнений IIго порядка
4. Задачи на составление диф.уравнений

3. 1. Основные понятия

Определение:
Уравнения,
содержащие
неизвестную
функцию, аргумент этой функции и ее
производные
или
дифференциалы,
называются дифференциальными.
В общем виде Д.У. можно записать так:
F ( x, y, y , y ,…, y
(n)
) 0
• Решить дифференциальное уравнение
• Решить Д. У. значит найти функцию, которая
при подстановке в Д,У., обращает его в
тождество, т.е. найти у(х)
• Например, решением дифференциального
уравнения радиоактивного распада
dN
N
dt
будет функция:
N(t) =N0e- t

5. Виды уравнений:

• Обыкновенное Д.У. — если искомая
функция есть функция одного аргумента.
• Д.У. в частных производных – если
искомая функция зависит от нескольких
аргументов и дифференциальное
уравнение содержит ее частные
производные по этим аргументам

6. например

x 3 dy y 3 dx 0;
xy y (2 x xy) y
2
y 6 y 8 y 0;
2
y
1
4 y
2 2 2 8 2m
2 2 2 E E p 0
2
х
y
z
h
S
1 S
2
2
2
х
v t
2
2
• Порядок дифференциального уравнения
• Порядком дифференциального уравнения
называется порядок старшей производной
или дифференциала, содержащегося в этом
уравнении.
i
dФ
dt
2
d s
m 2 F
dt
• Процесс нахождения решений
дифференциального уравнения называется
интегрированием дифференциального
уравнения.
• Поэтому решение Д.У. иногда называют
общим интегралом

9. Виды решений Д.У.

• Различают общее и частное решения
дифференциального уравнения.
• Общим решением дифференциального
уравнения (ОРДУ) называется такое его
решение , которое содержит столько
независимых произвольных постоянных ,
каков порядок этого уравнения.
• Если общее решение дифференциального
уравнения получают в неявном виде , то оно
называется общим интегралом.
• Чтобы найти частное решение Д.У. (ЧРДУ),
должны быть известны так называемые
начальные условия.
• Например, для дифференциального
y y
уравнения
• ОРДУ будет :
y Ce
x
y ( 0) 2
• а ЧРДУ будет при условии
y 2e
x

11. 2. Решение дифференциальных уравнений I-го порядка

• Расмотрим решение некоторых видов Д.У.:
• — уравнения I –го порядка с
разделяющимися переменными
• — однородные Д.У. I –го порядка

12. Д.

У. I-го порядка с разделяющимися переменными • К таким уравнениям относятся уравнения
вида
f1 ( x) 1 ( y)dx f 2 ( x) 2 ( y)dy 0
Путем алгебраических преобразований
данное уравнение приводят к уравнениям
вида
Ф( y ) dy F ( x) dx
• После интегрирования уравнения
Ф( y ) dy F ( x) dx
• находим общее решение дифференциального
уравнения или общий интеграл
Ф
(
y
)
dy
F
(
x
)
dx
• откуда выражаем
• где ОРДУ:
y f ( x, c )
y f ( x, c )

14. Например: xydx + (x + 1)dy = 0.

• Разделим переменные
(x + 1)dy = – xydx
dy
xdx
y
x 1
• проинтегрируем обе части уравнения
dy
xdx
y
x 1
dy
( x 1 1)dx
y x 1
dy
1
x 1
y x 1 x 1 dx
dy
1
y x 1 1 dx
ОИДУ:
ОРДУ:
ln y ln( x 1) x ln C
y C ( x 1)e
x

16. Запишем алгоритм решения Д.У. 1 порядка с разделяющимися переменными:

• 1. Выразить производную из уравнения
• 2. Записать производную через
дифференциалы
• 3. Разделить переменные (с функцией
налево, с аргументом направо)
• 4. Проинтегрировать обе части Д.У.
• 5. Из вида первообразных выразить
функцию – это будет ОРДУ

17. Д.У. I-го порядка однородные

• Однородными Д.У. называются уравнения,
в которых производная является функцией
y
от y . То есть
х
y ` f ( )
x
• Решаются эти уравнением путем замены
переменной
• Решаются эти уравнением путем замены
переменной
y ux
• u y
Отсюда
x
• Тогда
du
y u x x u
x u
dx
• После такой подстановки уравнение
превращается в уравнение с
разделяющимися переменными

19. Например:

x y
y
x y
Например:
• Это однородное уравнение, т.к.
1 y / x
y
1 y / x
• Обозначим
y
u
x
Отсюда
du
y u x x u
x u
dx
• Тогда
• Уравнение будет иметь вид
du
1 u
x u
dx
1 u
y ux

20.

Решаем уравнение du
1 u
x
u
dx
1 u
du
1 u u u2
x
dx
1 u
(1 u ) du
dx
2
1 u
x
du
2
1 u
udu
2
1 u
dx
x
du
1 u
x u
dx
1 u

21. Теперь интегрируем

1
2
arctg (u ) ln( 1 u ) ln x C
2
y
arctg
x
1
ln( 1 ( y / x) 2 ) ln x C
2
Т.к.выразить «У» невозможно, то мы
получили ОИДУ

22. ДУ первого порядка линейные неоднородные

y p( x) y q( x)
Используем замену переменной
y uv
y u v uv .
Подставив значения y и y в уравнение, получим:
u v uv p( x)uv q( x)
u v u v p( x)v q( x)
u v u v p( x)v q( x)
• Если выбрать v(x) так, чтобы выражение,
стоящее в скобках, обратилось в нуль, т.е.
v p( x)v 0
• то для второй функции u(x) получится
уравнение
u v ( x ) q( x ).
• После этого найдем
y v( x) u( x, C).

24. ДУ в полных дифференциалах

P( x, y )dx Q( x, y )dy 0
Если предположить, что это полный
дифференциал какой-то функции U(x,y),
То
u
u
P ( x, y )
x
Причем, U(x,y)=const и
P Q
y
x
Q ( x, y )
y

25.

алгоритм • Проверить P Q
y
x
• Из области определения выбрать x0
• Вычислить Q ( x 0, y )
• Найти
x
y
x0
y0
y0
u ( x, y ) P( x, y )dx Q( xo , y )dy
• Приравнять найденное значение константе

Решение дифференциальных уравнен

Решение дифференциальных уравнен

 

Решение дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения это уравнения, в которых неизвестными являются не переменные (т. е. числа), а функции одной или нескольких переменных. Эти уравнения (или системы) включают соотношения между искомыми функциями и их производными. Если в уравнения входят производные только по одной переменной, то они называются обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ). В противном случае говорят об уравнениях в частных производных. MathCAD предоставляет большие возможности для решения ОДУ и очень ограниченные для решения уравнений в частных производных.

 Поскольку решение дифференциальных уравнений состоит в интегрировании, чтобы обеспечить однозначность решения, необходимо задавать дополнительные условия для определения постоянных интегрирования.

MathCAD решает ОДУ двух типов:

  задачи Коши ОДУ с  начальными условиями, в которых задаются значения функции и ее производных в начальной точке интервала интегрирования;
краевые задачи ОДУ с граничными условиями, где задаются значения функции и ее производных в начале и в конце интервала интегрирования.

Для численного интегрирования одного ОДУ (равно как и систем ОДУ) можно использовать вычислительный блок Given Odesolve (рис.5.1), впервые появившийся в версии MathCAD 2000 Pro, или применить встроенные функции, унаследованные от более ранних версий MathCAD.

                                                          Дифференциальное уравнение можно записать либо со штрихом, либо

                                                                         с дифференциалом (поменяйте местами окрашенные уравнения). Для

                                                                        набора штриха служат клавиши Ctrl+F7.

                                                                                                             

                                                                        Given        исходное уравнение

                                                                                   граничные значения

                                                                             

                                                                             

                                                               Рис. 5. 1 Использование функции Odesolve

MathCAD в состоянии решить только ОДУ, которые можно записать в стандартном виде, то есть решить алгебраически относительно производной высшего порядка и записать в виде y'(x)=f(x).

 

  

Практическое занятие «Решение дифференциальных уравнений второго порядка»

План урока

Учебная дисциплина ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Тема урока Практическое занятие №24 «Решение дифференциальных уравнений второго порядка»

Цели урока

1. Закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;

2. Закрепить умения решать дифференциальные уравнения второго порядка.

3. Развитие качества ума, внимания, трудовых навыков студентов.

4. Воспитание познавательной активности, целеустремленности студентов.

Содержание практического занятия ориентировано на подготовку студентов к освоению профессиональных модулей ОПОП по специальности 230115 Программирование в компьютерных системах, и овладению профессиональными компетенциями (ПК):

ПК 1. 2. Осуществлять разработку кода программного продукта на основе готовых спецификаций на уровне модуля.

ПК 2.4. Реализовывать методы и технологии защиты информации в базах данных.

ПК 3.4. Осуществлять разработку тестовых наборов и тестовых сценариев.

Оснащение урока варианты заданий

Ход урока:

1. Организационный момент:

проверка отсутствующих, заполнение журнала.

2. Практическое занятие №24: выполнение практическое занятие №24.

Практическое занятие №24

«Решение дифференциальных уравнений второго порядка»

Цель занятия:

• закрепить усвоение теоретического материала по данной теме через решение упражнений;

• закрепить умения решать дифференциальные уравнения второго порядка.

Содержание практического занятия ориентировано на подготовку студентов к освоению профессиональных модулей ОПОП по специальности 230115 Программирование в компьютерных системах, и овладению профессиональными компетенциями (ПК):

ПК 1.2. Осуществлять разработку кода программного продукта на основе готовых спецификаций на уровне модуля.

ПК 2.4. Реализовывать методы и технологии защиты информации в базах данных.

ПК 3.4. Осуществлять разработку тестовых наборов и тестовых сценариев.

Теоретический материал

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Это уравнения вида , где p и q – некоторые действительные числа.

Заменив в нем на , – на k и у – на , получим — характеристическое уравнение.

Вид общего решения уравнения (1) зависит от корней характеристического уравнения

Пример.  Найти общее решение дифференциального уравнения: а) ; б) ; в) .

Решение.

Для каждого из данных уравнений составляем характеристическое уравнение и решаем его. По виду полученных корней записываем общее решение дифференциального уравнения (см. табл.):

а) , корни – действительные и равные, поэтому общее решение уравнения ;

б) , , корни , – действительные и различные, поэтому общее решение уравнения ;

в) , корни – комплексно-сопряженные, поэтому общее решение уравнения .

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Это уравнения вида , его решение:.

Структура частного решения определяется правой частью уравнения

– многочлен степени

,

где

2.

,

где

3.

,

где

В таблице , , , , – известные числа, , – корни характеристического уравнения, , A, B – неизвестные коэффициенты, которые находятся путем подстановки в исходное уравнение (метод неопределенных коэффициентов).

Пример. Определить и записать структуру частного решения уравнения по виду функции , если а) ; б) .

Решение.

Находим корни характеристического уравнения: , .

а) Так как , где , (случай 2 в табл. 2.2), то частное решение имеет вид .

, т. к. среди корней характеристического уравнения нет равных .

б) Поскольку (случай 3 в табл. 2.2): , , ), то ,

множитель появился потому, что является корнем характеристического уравнения.

Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

1.Если дифференциальное уравнение имеет вид , то оно решается последовательным интегрированием.

2.Если в запись уравнения не входит функция y(x), т.е. оно имеет вид то такое уравнение можно решить, найдя вспомогательную функцию .

Пример: Решить уравнение .

Решение: Положим .

Исходное уравнение примет вид .

Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.

Возвращаясь к первоначальной функции, получаем уравнение

3.Если в запись уравнения не входит переменная x, т.е. оно имеет вид то такое уравнение можно решить, найдя вспомогательную функцию .

Пример: Решить уравнение .

Решение: Положим . Исходное уравнение примет вид .

Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.

Возвращаясь к первоначальной функции, получаем уравнение

1. Найти общее решение дифференциальных уравнений:

1) , 2) ; 3) .

2. Записать структуру частного решения линейного неоднородного уравнения по виду правой части.

а) ; б)

3. Найти общее решение дифференциальных уравнений:

1) ; 2) .

4. Найти общее решение дифференциального уравнения:

1) ; 2).

5. Найти решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка.

1) , 2) , , .

1. Найти общее решение дифференциальных уравнений:

1) ; 2) ; 3) .

2. Записать структуру частного решения линейного неоднородного уравнения по виду правой части:

а) ; б) .

3. Найти общее решение дифференциальных уравнений:

1) ; 2) .

4. Найти общее решение дифференциального уравнения:

1) ; 2).

5. Найти решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка.

1) , 2) , , .

1. Найти общее решение дифференциальных уравнений:

1) , 2) ; 3) .

2. Записать структуру частного решения линейного неоднородного уравнения по виду правой части.

а) ; б) .

3. Найти общее решение дифференциальных уравнений:

1) ; 2) .

4. Найти общее решение дифференциального уравнения:

1) ; 2)

5. Найти решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка.

1) , 2) , , .

1. Найти общее решение дифференциальных уравнений:

1) ; 2) ; 3) .

2. Записать структуру частного решения линейного неоднородного уравнения по виду правой части.

а) ; б) .

3. Найти общее решение дифференциальных уравнений:

1) ; 2) .

4. Найти общее решение дифференциального уравнения:

1) ; 2).

5. Найти решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка.

1) , 2) , , .

6. Подведение итогов урока: выводы, оценки, домашнее задание:

повторить методы решения дифференциальных уравнений второго порядка

Подпись преподавателя

Метод вариации постоянной онлайн калькулятор.

Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков методом лагранжа. Метод вариации произвольных постоянных для построения решений системы линейных дифференциальных уравнений в векторной

Метод вариации произвольных постоянных

Метод вариации произвольных постоянных для построения решения линейного неоднородного дифференциального уравнения

a n (t )z (n ) (t ) + a n − 1 (t )z (n − 1) (t ) + … + a 1 (t )z «(t ) + a 0 (t )z (t ) = f (t )

состоит в замене произвольных постоянных c k в общем решении

z (t ) = c 1 z 1 (t ) + c 2 z 2 (t ) + … + c n z n (t )

соответствующего однородного уравнения

a n (t )z (n ) (t ) + a n − 1 (t )z (n − 1) (t ) + . .. + a 1 (t )z «(t ) + a 0 (t )z (t ) = 0

на вспомогательные функции c k (t ) , производные которых удовлетворяют линейной алгебраической системе

Определителем системы (1) служит вронскиан функций z 1 ,z 2 ,…,z n , что обеспечивает её однозначную разрешимость относительно .

Если — первообразные для , взятые при фиксированных значениях постоянных интегрирования, то функция

является решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения. Интегрирование неоднородного уравнения при наличии общего решения соответствующего однородного уравнения сводится, таким образом, к квадратурам .

Метод вариации произвольных постоянных для построения решений системы линейных дифференциальных уравнений в векторной нормальной форме

состоит в построении частного решения (1) в виде

где Z (t ) — базис решений соответствующего однородного уравнения, записанный в виде матрицы, а векторная функция , заменившая вектор произвольных постоянных, определена соотношением . Искомое частное решение (с нулевыми начальными значениями при t = t 0 имеет вид

Для системы с постоянными коэффициентами последнее выражение упрощается:

Матрица Z (t )Z − 1 (τ) называется матрицей Коши оператора L = A (t ) .

Метод вариации произвольной постоянной, или метод Лагранжа — еще один способ решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка и уравнения Бернулли.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка — это уравнения вида y’+p(x)y=q(x). Если в правой части стоит нуль: y’+p(x)y=0, то это — линейное однородное уравнение 1го порядка. Соответственно, уравнение с ненулевой правой частью, y’+p(x)y=q(x), — неоднородное линейное уравнение 1го порядка.

Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа) состоит в следующем:

1) Ищем общее решение однородного уравнения y’+p(x)y=0: y=y*.

2) В общем решении С считаем не константой, а функцией от икса: С=С(x). Находим производную общего решения (y*)’ и в первоначальное условие подставляем полученное выражение для y* и (y*)’. Из полученного уравнения находим функцию С(x).

3) В общее решение однородного уравнения вместо С подставляем найденное выражение С(x).

Рассмотрим примеры на метод вариации произвольной постоянной. Возьмем те же задания, что и в , сравним ход решения и убедимся, что полученные ответы совпадают.

1) y’=3x-y/x

Перепишем уравнение в стандартном виде (в отличие от метода Бернулли, где форма записи нам нужна была только для того, чтобы увидеть, что уравнение — линейное).

y’+y/x=3x (I). Теперь действуем по плану.

1) Решаем однородное уравнение y’+y/x=0. Это уравнение с разделяющимися переменными. Представляем y’=dy/dx, подставляем: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Обе части уравнения умножаем на dx и делим на xy≠0: dy/y=-dx/x. Интегрируем:

2) В полученном общем решении однородного уравнения будем считать С не константой, а функцией от x: С=С(x). Отсюда

Полученные выражения подставляем в условие (I):

Интегрируем обе части уравнения:

здесь С — уже некоторая новая константа.

3) В общее решение однородного уравнения y=C/x, где мы считали С=С(x), то есть y=C(x)/x, вместо С(x) подставляем найденное выражение x³+C: y=(x³+C)/x или y=x²+C/x. Получили такой же ответ, как и при решении методом Бернулли.

Ответ: y=x²+C/x.

2) y’+y=cosx.

Здесь уравнение уже записано в стандартном виде, преобразовывать не надо.

1) Решаем однородное линейное уравнение y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Интегрируем:

Чтобы получить более удобную форму записи, экспоненту в степени С примем за новую С:

Это преобразование выполнили, чтобы удобнее было находить производную.

2) В полученном общем решении линейного однородного уравнения считаем С не константой, а функцией от x: С=С(x). При этом условии

Полученные выражения y и y’ подставляем в условие:

Умножим обе части уравнения на

Интегрируем обе части уравнения по формуле интегрирования по частям, получаем:

Здесь С уже не функция, а обычная константа.

3) В общее решение однородного уравнения

подставляем найденную функцию С(x):

Получили такой же ответ, как и при решении методом Бернулли.

Метод вариации произвольной постоянной применим и для решения .

y’x+y=-xy².

Приводим уравнение к стандартному виду: y’+y/x=-y² (II).

1) Решаем однородное уравнение y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. Умножаем обе части уравнения на dx и делим на y: dy/y=-dx/x. Теперь интегрируем:

Подставляем полученные выражения в условие (II):

Упрощаем:

Получили уравнение с разделяющимися переменными относительно С и x:

Здесь С — уже обычная константа. В процессе интегрирования писали вместо С(x) просто С, чтобы не перегружать запись. А в конце вернулись к С(x), чтобы не путать С(x) с новой С.

3) В общее решение однородного уравнения y=C(x)/x подставляем найденную функцию С(x):

Получили такой же ответ, что и при решении способом Бернулли.

Примеры для самопроверки:

1. Перепишем уравнение в стандартном виде:y’-2y=x.

1) Решаем однородное уравнение y’-2y=0. y’=dy/dx, отсюда dy/dx=2y, умножаем обе части уравнения на dx, делим на y и интегрируем:

Отсюда находим y:

Выражения для y и y’ подставляем в условие (для краткости будем питать С вместо С(x) и С’ вместо C»(x)):

Для нахождения интеграла в правой части применяем формулу интегрирования по частям:

Теперь подставляем u, du и v в формулу:

Здесь С =const.

3) Теперь подставляем в решение однородного

Рассмотрим теперь линейное неоднородное уравнение
. (2)
Пусть y 1 ,y 2 ,.., y n — фундаментальная система решений, а — общее решение соответствующего однородного уравнения L(y)=0 . Аналогично случаю уравнений первого порядка, будем искать решение уравнения (2) в виде
. (3)
Убедимся в том, что решение в таком виде существует. Для этого подставим функцию в уравнение. Для подстановки этой функции в уравнение найдём её производные. Первая производная равна
. (4)
При вычислении второй производной в правой части (4) появится четыре слагаемых, при вычислении третьей производной — восемь слагаемых и так далее. Поэтому, для удобства дальнейшего счёта, первое слагаемое в (4) полагают равным нулю. С учётом этого, вторая производная равна
. (5)
По тем же, что и раньше, соображениям, в (5) также полагаем первое слагаемое равным нулю. Наконец, n-я производная равна
. (6)
Подставляя полученные значения производных в исходное уравнение, имеем
. (7)
Второе слагаемое в (7) равно нулю, так как функции y j , j=1,2,..,n, являются решениями соответствующего однородного уравнения L(y)=0. Объединяя с предыдущим, получаем систему алгебраических уравнений для нахождения функций C» j (x)
(8)
Определитель этой системы есть определитель Вронского фундаментальной системы решений y 1 ,y 2 ,..,y n соответствующего однородного уравнения L(y)=0 и поэтому не равен нулю. Следовательно, существует единственное решение системы (8). Найдя его, получим функции C» j (x), j=1,2,…,n, а, следовательно, и C j (x), j=1,2,…,n Подставляя эти значения в (3), получаем решение линейного неоднородного уравнения.
Изложенный метод называется методом вариации произвольной постоянной или методом Лагранжа.

Пример №1 . Найдём общее решение уравнения y»» + 4y» + 3y = 9e -3 x . Рассмотрим соответствующее однородное уравнение y»» + 4y» + 3y = 0. Корни его характеристического уравнения r 2 + 4r + 3 = 0 равны -1 и -3. Поэтому фундаментальная система решений однородного уравнения состоит из функций y 1 = e — x и y 2 = e -3 x . Решение неоднородного уравнения ищем в виде y = C 1 (x)e — x + C 2 (x)e -3 x . Для нахождения производных C» 1 , C» 2 составляем систему уравнений (8)
C′ 1 ·e -x +C′ 2 ·e -3x =0
-C′ 1 ·e -x -3C′ 2 ·e -3x =9e -3x
решая которую, находим , Интегрируя полученные функции, имеем
Окончательно получим

Пример №2 . Решить линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами методом вариации произвольных постоянных:

y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Решение:
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = e rx . Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 — 4·1·8 = 4

Корни характеристического уравнения: r 1 = 4, r 2 = 2
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y 1 =e 4x , y 2 =e 2x
Общее решение однородного уравнения имеет вид: y =C 1 ·e 4x +C 2 ·e 2x
Поиск частного решения методом вариации произвольной постоянной.
Для нахождения производных C» i составляем систему уравнений:
C′ 1 ·e 4x +C′ 2 ·e 2x =0
C′ 1 (4e 4x) + C′ 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Выразим C» 1 из первого уравнения:
C» 1 = -c 2 e -2x
и подставим во второе. В итоге получаем:
C» 1 = 2/(e 2x +2e 4x)
C» 2 = -2e 2x /(e 2x +2e 4x)
Интегрируем полученные функции C» i:
C 1 = 2ln(e -2x +2) — e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2

Поскольку y =C 1 ·e 4x +C 2 ·e 2x , то записываем полученные выражения в виде:
C 1 = (2ln(e -2x +2) — e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) — e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) — e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
или
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) — e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

Найдем частное решение при условии:
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Подставляя x = 0, в найденное уравнение, получим:
y(0) = 2 ln(3) — 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) — 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Находим первую производную от полученного общего решения:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Подставляя x = 0, получим:
y’(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3

Получаем систему из двух уравнений:
3 ln(3) — 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
или
C * 1 + C * 2 = 2
4C 1 + 2C 2 = 4
или
C * 1 + C * 2 = 2
2C 1 + C 2 = 2
Откуда: C 1 = 0, C * 2 = 2
Частное решение запишется как:
y = 2e 4x ·ln(e -2x +2) — e 2x + e 2x ·ln(2e 2x +1) – 2x·e 2x + 2·e 2x

Метод вариации произвольных постоянных применяется для решения неоднородных дифференциальных уравнений. Данный урок предназначен для тех студентов, кто уже более или менее хорошо ориентируется в теме. Если вы только-только начинаете знакомиться с ДУ, т.е. являетесь чайником, то рекомендую начать с первого урока: Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений . А если уже-уже заканчиваете, пожалуйста, отбросьте возможное предвзятое мнение, что метод сложный. Потому что он простой.

В каких случаях применяется метод вариации произвольных постоянных?

1) Метод вариации произвольной постояннОЙ можно использовать при решении линейного неоднородного ДУ 1-го порядка . Коль скоро уравнение первого порядка, то и постоянная (константа) тоже одна.

2) Метод вариации произвольнЫХ постоянных используют для решения некоторых линейных неоднородных уравнений второго порядка . Здесь варьируются две постоянные (константы).

Логично предположить, что урок будет состоять из двух параграфов…. Вот написал это предложение, и минут 10 мучительно думал, какую бы еще умную хрень добавить для плавного перехода к практическим примерам. Но почему-то мыслей после праздников нет никаких, хотя вроде и не злоупотреблял ничем. Поэтому сразу примемся за первый параграф.

Метод вариации произвольной постоянной
для линейного неоднородного уравнения первого порядка

Перед рассмотрением метода вариации произвольной постоянной желательно быть знакомым со статьей Линейные дифференциальные уравнения первого порядка . На том уроке мы отрабатывали первый способ решения неоднородного ДУ 1-го порядка. Этот первый способ решения, напоминаю, называется метод замены или метод Бернулли (не путать с уравнением Бернулли !!!)

Сейчас мы рассмотрим второй способ решения – метод вариации произвольной постоянной. Я приведу всего три примера, причем возьму их из вышеупомянутого урока . Почему так мало? Потому что на самом деле решение вторым способом будет очень похоже на решение первым способом. Кроме того, по моим наблюдениям, метод вариации произвольных постоянных применяется реже метода замены.

Пример 1

(Диффур из Примера №2 урока Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка )

Решение: Данное уравнение является линейным неоднородным и имеет знакомый вид:

На первом этапе необходимо решить более простое уравнение:
То есть, тупо обнуляем правую часть – вместо пишем ноль.
Уравнение я буду называть вспомогательным уравнением .

В данном примере нужно решить следующее вспомогательное уравнение:

Перед нами уравнение с разделяющимися переменными , решение которого (надеюсь) уже не представляет для вас сложностей:

Таким образом:
– общее решение вспомогательного уравнения .

На втором шаге заменим константу некоторой пока ещё неизвестной функцией , которая зависит от «икс»:

Отсюда и название метода – варьируем константу . Как вариант, константа может быть некоторой функцией , которую нам предстоит сейчас найти.

В исходном неоднородном уравнении проведём замену:

Подставим и в уравнение :

Контрольный момент – два слагаемых в левой части сокращаются . Если этого не происходит, следует искать ошибку выше.

В результате замены получено уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем.

Какая благодать, экспоненты тоже сокращаются:

К найденной функции приплюсовываем «нормальную» константу :

На заключительном этапе вспоминаем про нашу замену:

Функция только что найдена!

Таким образом, общее решение:

Ответ: общее решение:

Если вы распечатаете два способа решения, то легко заметите, что в обоих случаях мы находили одни и те же интегралы. Отличие лишь в алгоритме решения.

Теперь что-нибудь посложнее, второй пример я тоже прокомментирую:

Пример 2

Найти общее решение дифференциального уравнения
(Диффур из Примера №8 урока Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка )

Решение: Приведем уравнение к виду :

Обнулим правую часть и решим вспомогательное уравнение:

Общее решение вспомогательного уравнения:

В неоднородном уравнении проведём замену:

По правилу дифференцирования произведения:

Подставим и в исходное неоднородное уравнение :

Два слагаемых в левой части сокращаются, значит, мы на верном пути:

Интегрируем по частям. Вкусная буква из формулы интегрирования по частям у нас уже задействована в решении, поэтому используем, например, буквы «а» и «бэ»:

Теперь вспоминаем проведённую замену:

Ответ: общее решение:

И один пример для самостоятельного решения:

Пример 3

Найти частное решение дифференциального уравнения, соответствующее заданному начальному условию.

,
(Диффур из Примера №4 урока Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка )
Решение:
Данное ДУ является линейным неоднородным. Используем метод вариации произвольных постоянных. Решим вспомогательное уравнение:

Разделяем переменные и интегрируем:

Общее решение:
В неоднородном уравнении проведем замену:

Выполним подстановку:

Таким образом, общее решение:

Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию:

Ответ: частное решение:

Решение в конце урока может служить примерным образцом для чистового оформления задания.

Метод вариации произвольных постоянных
для линейного неоднородного уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами

Часто приходилось слышать мнение, что метод вариации произвольных постоянных для уравнения второго порядка – штука не из легких. Но я предполагаю следующее: скорее всего, метод многим кажется трудным, поскольку встречается не так часто. А в действительности особых сложностей нет – ход решения чёткий, прозрачный, понятный. И красивый.

Для освоения метода желательно уметь решать неоднородные уравнения второго порядка способом подбора частного решения по виду правой части. Данный способ подробно рассмотрен в статье Неоднородные ДУ 2-го порядка . Вспоминаем, что линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

Метод подбора, который рассматривался на вышеупомянутом уроке, проходит лишь в ограниченном ряде случаев, когда в правой части находятся многочлены, экспоненты, синусы, косинусы. Но что делать, когда справа, например, дробь, логарифм, тангенс? В такой ситуации на помощь как раз и приходит метод вариации постоянных.

Пример 4

Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка

Решение: В правой части данного уравнения находится дробь, поэтому сразу можно сказать, что метод подбора частного решения не прокатывает. Используем метод вариации произвольных постоянных.

Ничто не предвещает грозы, начало решения совершенно обычное:

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

Составим и решим характеристическое уравнение:

– получены сопряженные комплексные корни, поэтому общее решение:

Обратите внимание на запись общего решения – если есть скобки, то их раскрываем.

Теперь проделываем практически тот же трюк, что и для уравнения первого порядка: варьируем константы , заменяя их неизвестными функциями . То есть, общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде:

Где – пока ещё неизвестные функции.

Похоже на свалку бытовых отходов, но сейчас всё рассортируем.

В качестве неизвестных выступают производные функций . Наша цель – найти производные , причем найденные производные должны удовлетворять и первому и второму уравнению системы.

Откуда берутся «игреки»? Их приносит аист. Смотрим на полученное ранее общее решение и записываем:

Найдем производные:

С левыми частями разобрались. Что справа?

– это правая часть исходного уравнения, в данном случае:

Коэффициент – это коэффициент при второй производной:

На практике почти всегда , и наш пример не исключение.

Всё прояснилось, теперь можно составить систему:

Систему обычно решают по формулам Крамера , используя стандартный алгоритм. Единственное отличие состоит в том, что вместо чисел у нас функции.

Найдем главный определитель системы:

Если позабылось, как раскрывается определитель «два на два», обратитесь к уроку Как вычислить определитель? Ссылка ведёт на доску позора =)

Итак: , значит, система имеет единственное решение.

Находим производную:

Но это еще не всё, пока мы нашли только производную.
Сама функция восстанавливается интегрированием:

Разбираемся со второй функцией:

Здесь добавляем «нормальную» константу

На заключительном этапе решения вспоминаем, в каком виде мы искали общее решение неоднородного уравнения? В таком:

Нужные функции только что найдены!

Осталось выполнить подстановку и записать ответ:

Ответ: общее решение:

В принципе, в ответе можно было раскрыть скобки.

Полная проверка ответа выполняется по стандартной схеме, которая рассматривалась на уроке Неоднородные ДУ 2-го порядка . Но проверка будет непростой, поскольку предстоит находить достаточно тяжелые производные и проводить громоздкую подстановку. Это неприятная особенность, когда вы решаете подобные диффуры.

Пример 5

Решить дифференциальное уравнение методом вариации произвольных постоянных

Это пример для самостоятельного решения. На самом деле в правой части тоже дробь. Вспоминаем тригонометрическую формулу , её, к слову, нужно будет применить по ходу решения.

Метод вариации произвольных постоянных – наиболее универсальный метод. Им можно решить любое уравнение, которое решается методом подбора частного решения по виду правой части . Возникает вопрос, а почему бы и там не использовать метод вариации произвольных постоянных? Ответ очевиден: подбор частного решения, который рассматривался на уроке Неоднородные уравнения второго порядка , значительно ускоряет решение и сокращает запись – никакого трахча с определителями и интегралами.

Рассмотрим два примера с задачей Коши .

Пример 6

Найти частное решение дифференциального уравнения, соответствующее заданным начальным условиям

,

Решение: Опять дробь и экспонента в интересном месте.
Используем метод вариации произвольных постоянных.

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

– получены различные действительные корни, поэтому общее решение:

Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде: , где – пока ещё неизвестные функции.

Составим систему:

В данном случае:
,
Находим производные:
,

Таким образом:

Систему решим по формулам Крамера:
, значит, система имеет единственное решение.

Восстанавливаем функцию интегрированием:

Здесь использован метод подведения функции под знак дифференциала .

Восстанавливаем вторую функцию интегрированием:

Такой интеграл решается методом замены переменной :

Из самой замены выражаем:

Таким образом:

Данный интеграл можно найти методом выделения полного квадрата , но в примерах с диффурами я предпочитаю раскладывать дробь методом неопределенных коэффициентов :

Обе функции найдены:

В результате, общее решение неоднородного уравнения:

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям .

Технически поиск решения осуществляется стандартным способом, который рассматривался в статье Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка .

Держитесь, сейчас будем находить производную от найденного общего решения:

Вот такое вот безобразие. Упрощать его не обязательно, легче сразу составить систему уравнений. В соответствии с начальными условиями :

Подставим найденные значения констант в общее решение:

В ответе логарифмы можно немного запаковать.

Ответ: частное решение:

Как видите, трудности могут возникнуть в интегралах и производных, но никак не в самом алгоритме метода вариации произвольных постоянных. Это не я вас запугал, это всё сборник Кузнецова!

Для расслабления заключительный, более простой пример для самостоятельного решения:

Пример 7

Решить задачу Коши

,

Пример несложный, но творческий, когда составите систему, внимательно на неё посмотрите, прежде чем решать;-),




В результате общее решение:

Найдем частное решение, соответствующее начальным условиям .



Подставим найденные значения констант в общее решение:

Ответ: частное решение:

2)

Вы увидите, что калькулятор считает, что вы ввели (что может немного отличаться от того, что вы ввели), а затем пошаговое решение.

Примечание: может быть несколько способов найти решение.

Калькулятор все еще находится в разработке и может ошибаться. , так что будьте осторожны!

Дерево

Нажмите кнопку «дерево», чтобы увидеть сумму в виде дерева. Вы будете делать расчеты сверху вниз…. иногда у вас есть выбор, какой расчет произвести в первую очередь.

Все функции

Операторы

	+	Оператор сложения
	–	Оператор вычитания
	*	Оператор умножения
	/	Оператор отдела
	^	Оператор экспоненты (степени)

Функции

	кв.	Квадратный корень значения или выражения.
	грех	синус значения или выражения
	cos	Косинус значения или выражения
	желто-коричневый	тангенс значения или выражения
	asin	обратный синус (арксинус) значения или выражения
	acos	обратный косинус (arccos) значения или выражения
	атан	Арктангенс (арктангенс) значения или выражения
	синх	Гиперболический синус значения или выражения
	cosh	Гиперболический косинус значения или выражения
	танх	Гиперболический тангенс значения или выражения
	эксп.	e (константа Эйлера) в степени значения или выражения
	пер.	Натуральный логарифм значения или выражения
	журнал	Логарифм по основанию 10 значения или выражения
	этаж	Возвращает наибольшее (ближайшее к положительной бесконечности) значение, которое не больше аргумента и равно математическому целому числу.
	потолок	Возвращает наименьшее (ближайшее к отрицательной бесконечности) значение, которое не меньше аргумента и равно математическому целому числу.
	абс	Абсолютное значение (расстояние от нуля) значения или выражения
	знак	Знак (+1 или -1) значения или выражения

Константы

	пи	Константа π (3. 141592654 …)
	e	Константа Эйлера (2,71828 …), основание натурального логарифма

Колл-центр ресторана | Решения для заказов

Радуйте своих клиентов, улучшайте качество обслуживания гостей и увеличивайте продажи заказов по телефону. Наши дружелюбные и обученные агенты колл-центра ресторана обрабатывают ваши заказы по телефону в тихой обстановке, уделяя 100% внимание вашим гостям.

Наши партнеры по ресторанам столкнулись с увеличением среднего размера заказа на 15–30% после партнерства с Order Solutions.

Клиент звонит по номеру

Когда клиент звонит, чтобы разместить заказ на вынос, он напрямую разговаривает с сертифицированным агентом, прошедшим обучение работе с вашим брендом. Никаких длительных периодов ожидания или неотвеченных звонков! Клиента встретят дружелюбные агенты в наушниках с шумоподавлением, что обеспечит приятное и комфортное обслуживание вашего клиента. В нашей системе онлайн-заказов наши агенты всегда готовы ответить на ваш запрос.

Ответы агентов

Все наши агенты прошли обширную подготовку по меню наших партнеров по ресторанам и помогают клиентам выбрать идеальный заказ. Благодаря нашим «дружественным» методам дополнительных продаж, прошедшим научную проверку, наши агенты могут значительно увеличить ваш доход.

+ 18%

Увеличение размера заказа

+ 60%

Успешные дополнительные продажи

РАЗМЕЩЕН ЗАКАЗ

Клиент размещает свой заказ через нашу команду агентов, и наша технология легко интегрируется в систему POS (точки продаж) наших клиентов, чтобы сделать процесс простым и легким.Затем клиенты забирают свой заказ в ресторане и довольны полученным опытом. Многие рестораны пользуются нашей службой автоответчика, чтобы никогда не пропустить ни одного звонка и упростить свои кадровые потребности!

+ 75%

Удержание клиентов

+ 100%

Удовлетворенность ресторанов

Автоматизация заказов по телефону

Как мы обучаем наших агентов

1.

Быстрое и гибкое обучение

Мы отправляем нашего руководителя по обучению в ваш ресторан на 7–14 дней, чтобы узнать все тонкости вашей работы. бизнес.Мы предоставляем анкету, чтобы помочь управлять процессом и отслеживать его.

2. ПОНИМАНИЕ

ВАШ БРЕНД

Мы обучаем каждого агента call-центра работе с вашим бизнесом. Во время нашего обучения мы рассмотрим несколько различных сценариев, чтобы наши агенты были готовы к любому типу звонка.

3. Высокий УРОВЕНЬ

Связь

После того, как мы изучим ваш бизнес, наш руководитель по обучению возвращается, чтобы обсудить, спланировать и реализовать стратегию высокого уровня для увеличения количества успешных заказов.Все агенты обучены этой стратегии.

4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ

Отслеживание результатов

Мы отслеживаем каждый звонок и заказ, поступающий через нашу систему, и доставляем результаты непосредственно вашему представителю. Мы не останавливаемся на достигнутом и постоянно работаем над улучшением нашей системы.

Наш искусственный интеллект

Сочетание лучшего опыта обслуживания живых агентов с самым передовым искусственным интеллектом, созданным специально для ресторанов.

Наш современный искусственный интеллект (ИИ) принимает заказы клиентов, может воспринимать эмоциональные реакции и голосовой тон (например, стресс и гнев), время отклика, разрушительные шумы и многое другое.Наш ИИ может работать с отдельными брендами и всегда легко интегрируется с POS-системами ресторанов.

Малый заказ

• Включает отвлекающий шум / дребезг со стороны вызывающего абонента

• Быстрое понимание адресов

• Дополнительная информация и предложение напитков

Полный заказ

Помимо нашего ИИ, у нас есть живые агенты, обученные бренду ресторана и меню, готовые принять вызовы, когда клиент хочет поговорить с человеком или если звонок слишком сложный (слишком много мешающего шума , непонятный язык и многое другое).

Часто задаваемые вопросы:

1) Получит ли наш ресторан рентабельность инвестиций?

Да. Когда TSD Global выбирает нового партнера, мы ставим перед собой задачу показать им рентабельность инвестиций. Благодаря нашему научному процессу дополнительных продаж мы смогли максимизировать и оптимизировать направление бизнеса наших клиентов.

Мы увеличили средний размер заказа наших клиентов на 8-18%

Узнать больше о нас

Узнайте о ключевых отличиях, которые делают нас уникальным и очевидным выбором для ресторанов, которые хотят значительно увеличить свою прибыль, а также порадовать своих клиентов удивительным решением для заказов за пределами помещения.

Наша платформа заказов ЭКОНОМИЯ клиентов обедов до 40% по сравнению с использованием дорогих приложений доставки и ОБЕСПЕЧИВАЕТ увеличение среднего размера заказа в ресторанах более чем на 20%. Это создает огромную прибыль от этого дополнительного бизнеса. Позвоните нам, чтобы повысить рентабельность инвестиций сегодня!

Не пропустите эти статьи

Узнайте больше о состоянии отрасли, ключевых игроках, новых технологиях и последних новостях OrderSolutions.

Стенограммы — Офис Регистратора — UW – Мэдисон

Стенограмма объединяет всех ваших зачисленных действий в UW – Мэдисон в один документ.Если вы посещали бакалавриат, аспирантуру и юридический факультет, все они включены в вашу стенограмму, и не может быть разделен по степени или школе / колледжу . Узнайте больше о том, как читать ключ / легенду стенограммы.

Стенограммы, как и дипломы, являются официальными юридическими документами, подтвержденными Университетом. Стенограммы подписываются регистратором университета и печатаются на защищенной бумаге с печатью Университета Висконсина-Мэдисона.

Официальный зашифрованный PDF-файл версии также может быть доступен при размещении заказа, в зависимости от того, когда вы были зарегистрированы. Эти PDF-файлы доставляются по электронной почте и имеют специальные коды доступа для защиты вашей конфиденциальности.

Курсы в других вузах

Курсы, которые были переведены из других школ в программу получения степени UW – Madison, перечислены в стенограммах UW – Madison. Эквивалентность курса и присужденные кредиты включены; оценок из других заведений нет.

UW – Madison не предоставляет официальные стенограммы из других учебных заведений, даже если вы ранее отправляли их в UW – Madison.

Это нужно сегодня?

Самый быстрый способ получить вашу бумажную стенограмму — это из нашего офиса в обычные рабочие часы, где мы можем немедленно распечатать вашу стенограмму (в большинстве случаев; студентам, зачисленным до осени 1979 года, обычно требуется несколько дней для обработки). Вы также можете сделать заказ онлайн и выбрать «Личный самовывоз».

Онлайн-заказы надежно обрабатываются службой под названием «Пергамент», которая обеспечивает доставку распечатанных и зашифрованных расшифровок стенограмм в формате PDF, включая стоимость ускоренной или международной доставки.

Бланк заказа бумаги. Если вы не хотите делать заказы онлайн или лично в нашем офисе, заполните эту форму заказа с расшифровкой (или используйте Adobe Acrobat или Reader, чтобы ввести свои ответы, а затем распечатать) и отправьте нам по почте, электронной почте или факс (см. контактную информацию внизу страницы). Наш офис не может принимать заказы на расшифровку стенограммы по телефону, но вы можете сделать заказ по телефону из Parchment (847-716-3005) за 10 долларов США.

• Перед тем, как заказывать стенограмму, убедитесь, что последние полученные оценки или полученные степени внесены в вашу студенческую книжку.
• Если ваше официальное имя изменилось с тех пор, как вы были студентом, и вы хотите, чтобы это было отражено в стенограмме, пожалуйста, свяжитесь с нами, чтобы изменить имя, прежде чем заказывать стенограмму.

Стоимость и варианты доставки

Расшифровка стенограммы бесплатна. Стоимость изготовления различных официальных документов для студентов покрывается единовременным сбором, взимаемым с платы за обучение в первом семестре.

Вы можете запросить до пяти стенограмм в одном заказе и отправить их разным получателям.

Бумажные стенограммы не будут сканироваться и отправляться по электронной почте или по факсу вам или любому другому получателю. Если вы хотите распечатать стенограмму на специальной защищенной бумаге, выберите «Распечатанная стенограмма, отправленная получателю» в процессе заказа.

Если вы хотите, чтобы стенограмма пришла по электронной почте, выберите «PDF-стенограмма, загруженная получателем».

Плата за первоклассную доставку почтовой службой США или доставку в формате PDF не взимается. Услуга FedEx с отслеживающими номерами доступна за дополнительную плату.Visa и MasterCard можно использовать для онлайн-заказов. Наш офис может принимать чеки по почте или лично.

Первоклассная Почтовая служба США: бесплатно
Fedex в 48 смежных штатов: 23 доллара на получателя
Fedex на Аляску или Гавайи: 30 долларов на получателя
Fedex за пределами 50 штатов: 53 доллара на получателя

Время обработки

Мы можем начать заполнение вашего заказа, когда у вас будет полный заказ, то есть у вас будет:

• удалил все удерживает в вашей записи
• оплачена экспресс-доставка, если вы выбрали эту опцию
• отправил нам датированную и подписанную форму авторизации, если применимо
• получил подтверждение того, что мы получили сторонних вложений. были получены, если применимо.

Заказы, сделанные лично в нашем офисе , выполняются немедленно, за исключением случаев, когда все ваши академические данные относятся к лету 1979 года. Для таких заказов нам необходимо запросить материалы, хранящиеся в других архивах. Обработка этих заказов может занять до четырех дней.

Большинство онлайн-заказов на обработку занимает от одного до трех дней, не считая времени доставки по почте / экспресс-доставке. Если вы оплатили экспресс-доставку и ваш полный заказ был размещен до 14.01 по центральному времени, мы обработаем ваш заказ в тот же день.

Запечатанные конверты

Большинство учреждений требуют, чтобы стенограмма приходила запечатанной в оригинальных официальных конвертах. Каждая бумажная стенограмма, заказанная для почтовой или экспресс-доставки, отправляется в собственном запечатанном официальном конверте для защиты ваших записей и конфиденциальности.

• Не вскрывайте запечатанный конверт!

Если вы откроете запечатанный конверт, вам может потребоваться разместить новый заказ (включая любые дополнительные платежи). Несколько транскриптов, отправленных одному получателю (например, если вы заказываете более одного для отправки самому себе), будут запечатаны в отдельные конверты и отправлены вместе в одном пакете.Если вы получите стенограммы лично в нашем офисе, вы можете попросить их запечатать в официальных конвертах.

Кто еще может заказать стенограммы

Сторонний заказ. Если вы заказываете чью-то стенограмму (например, вы представляете колледж или работодателя, которому требуется эта информация), используйте эту систему заказа. Все заказы на стенограммы требуют правильной авторизации перед выполнением заказа.

Умершие студенты. Чтобы заказать стенограмму умершего студента, используйте стороннюю форму заказа или форму заказа стенограммы, отправьте ее в наш офис с объяснением вашего запроса и приложите свидетельство о смерти или газетный некролог.

Родители. Ваши родители не могут самостоятельно заказать стенограмму . Вы можете поделиться с ними заказанной стенограммой или назначить их получателями стенограммы, отправленной по почте или в формате PDF.

Отправка других документов с вашей расшифровкой

Возможность прикрепления сторонних приложений. Если у вас есть какие-либо другие документы или формы, которые должны сопровождать вашу стенограмму (например, формы заявки в Службу приема заявок в Американский медицинский колледж или Совет по приему юридических лиц, формы для аспирантов и т. Д.), выберите и заполните опцию Сторонние вложения при запросе расшифровки стенограммы. Мы начинаем обработку вашего заказа на стенограмму, когда это приложение (-а) будет получено в нашем офисе, поэтому процесс может занять немного больше времени.

Отслеживание вашего заказа

Проверьте статус обработки вашего запроса стенограммы, используя номер заказа, отправленный на ваш адрес электронной почты. Вы также можете выбрать получение обновлений текстовых сообщений на свой мобильный телефон.

Стенограммы на бумаге. Когда статус обработки показывает «Завершено», подождите около двух недель для U.Доставка почты S., прежде чем вы свяжетесь с нами. Если расшифровка стенограммы не была получена в течение 30 дней, сообщите нам, и мы пришлем замену. Если с момента получения статуса обработки «Завершено» прошло более 60 дней, а расшифровка стенограммы все еще не получена, проверьте почтовый адрес и начните заново с нового заказа.

Когда защищенные PDF-версии вашей стенограммы будут открыты вашим назначенным получателем (например, работодателем), вы получите уведомление по электронной почте.

Если вы оплатили экспресс-доставку , вы получите номер отслеживания FedEx для каждого получателя, который можно использовать для подтверждения прибытия.

Что делать, если расшифровка неверна

Свяжитесь с нами, если вы получили неправильную или пустую транскрипцию, либо если есть ошибка, например неправильная степень, курс или оценка.

Если ваше официальное имя изменилось на с тех пор, как вы были студентом, и вы хотите, чтобы это было отражено в стенограмме, заполните эту форму изменения имени перед тем, как заказать стенограмму.

Powerwall | Tesla

Powerwall | Тесла Для оптимальной работы мы рекомендуем обновить или изменить ваш веб-браузер.Выучить больше

Резервная энергия
Накопитель

Резервная энергия
Накопитель

Отказ
Защита

Отказ
Защита

Энергия
Независимость

Энергия
Независимость

Следующий герой

Используйте накопленную энергию для питания
вашего дома во время отключения электроэнергии

Использование энергии
во время отключений

Подзарядка солнечной энергией
вы производите

Перезарядка
С
Solar

Обеспечение бесперебойной работы устройств

Поддержание устройств
Работает

Powerwall — это интегрированная система аккумуляторов, в которой накапливается солнечная энергия для резервной защиты, поэтому при отключении сети ваше электричество остается включенным. Ваша система обнаруживает перебои в работе и автоматически заряжается от солнечного света, чтобы ваши приборы работали в течение нескольких дней.

Powerwall — это интегрированная система аккумуляторов, в которой накапливается солнечная энергия для резервной защиты, поэтому при отключении сети ваше электричество остается включенным. Ваша система обнаруживает перебои в работе и автоматически заряжается от солнечного света, чтобы ваши приборы работали в течение нескольких дней.

Накопитель солнечной энергии

Используйте накопленную энергию днем ​​или ночью

Или при отключении электроэнергии во время отключения электроэнергии

Подзарядка от солнца

Настройка параметров
для персональной экономии

Настроить
для экономии

Оставайтесь на связи с мгновенными оповещениями
перед суровой погодой

Мгновенные
Оповещения

Управляйте своей энергией

Управляйте
своей энергией

С помощью приложения Tesla вы можете контролировать свою солнечную энергию в режиме реального времени. Задайте свои предпочтения для оптимизации энергонезависимости, защиты от сбоев или экономии. Управляйте своей системой из любого места с помощью удаленного доступа и мгновенных предупреждений.

С помощью приложения Tesla вы можете контролировать свою солнечную энергию в режиме реального времени. Задайте свои предпочтения для оптимизации энергонезависимости, защиты от сбоев или экономии. Управляйте своей системой из любого места с помощью удаленного доступа и мгновенных предупреждений.

Подходит для детей и домашних животных, без оголенных проводов
или горячих вентиляционных отверстий

Дети и
Разрешены домашние животные

Объедините в стек до 10 Powerwall
, чтобы удовлетворить ваши потребности

Масштабируемый

Водонепроницаемость и прочность
для любых погодных условий

Водонепроницаемость
и прочность

Благодаря простой установке и минималистичному дизайну Powerwall дополняет различные домашние стили и солнечные системы. Компактная конструкция «все в одном» предлагает универсальные варианты монтажа для внутренних и наружных пространств.

Благодаря простой установке и минималистичному дизайну Powerwall дополняет различные домашние стили и солнечные системы. Компактная конструкция «все в одном» предлагает универсальные варианты монтажа для внутренних и наружных пространств.

Powerwall Технические характеристики

Powerwall + Powerwall

• Инвертор

  КПД 97. 5%
  Счетчики точки максимальной мощности: 4
  Солнечная входная мощность

• Установка

  Интегрированный инвертор и системный контроллер
  от -4 ° F до 122 ° F
  Защита от воды и пыли

• Сертификаты

  Соответствует требованиям безопасности и безопасности в Северной Америке. Стандарты EMI

• Гарантия

  10 лет

Развернуть список

Снизьте зависимость от электросети

Google Fiber | Ваш Интернет.За все.

Google Fiber | Ваш Интернет. За все.

Для начала проверьте свой адрес.

закрыть

Для всего, что вы делаете (и будете делать) через Интернет.

Согласно реальным тестам, проведенным реальными пользователями Speedtest® в наших городах.

¹

Спасибо за то, что сделали нас интернет-провайдером PCMag №1 в 2020 и 2021 годах.

Никаких сборов за оборудование, никаких мертвых зон, только Wi-Fi, который работает в каждой комнате.(Да, даже тот.)

За все, что вы делаете (и будете делать) через Интернет.

Узнайте, доступен ли Google Fiber для вашего дома.

Создан, чтобы отличаться

Ваш Интернет — от компании, которая считает, что каждый заслуживает быстрого, надежного и недорогого Интернета.

Ваш интернет. Для

все.

Умный дверной звонок, умный холодильник и система безопасности настолько же умны, как и ваш Интернет.

Выигрывайте больше с меньшими задержками, играя с гигабитным интернетом.

Когда вы смотрите телевизор через Интернет, вы можете смотреть практически все.

Ваш офис может быть вашим диваном, но это не значит, что вы меньше работаете.

Обучайте и учитесь практически без конфликтов и перебоев, связанных с Интернетом.

На основе анализа данных Speedtest Intelligence®, проведенного Ookla®, со средней скоростью в городах с сервисом Google Fiber за третий квартал 2021 года. ¹

№1 в 22 категориях, включая уровень удовлетворенности клиентов, измеренный Американским индексом удовлетворенности клиентов (ACSI) в 2021 году. ²

«Google Fiber — золотой стандарт среди интернет-провайдеров». — PCMag, 2021 Readers ’Choice Awards

Wi-Fi, который охватывает весь ваш дом.

Получите повсюду покрытие Wi-Fi с помощью Google Wifi. Никаких комиссий за оборудование. Просто стабильное, надежное соединение для вас и всех ваших устройств.

Оставайтесь с нами на связи.

Нет

• Скрытые комиссии.
• плата за установку.
• дросселирование.
• годовых контрактов.
• плата за оборудование.
• замки.
• колпачки данных.

Вот где вы,

, можете нас найти.

Atlanta, GA

Austin, TX

Charlotte, NC

Huntsville, AL

Kansas City, KS / MO

Nashville, TN

Orange County, CA

Provo, UT

Salt UT

San Antonio, TX

The Triangle, NC

West Des Moines, IA Скоро в продаже

Google Fiber Webpass Cities

• Google Fiber City
• Google Fiber Webpass City

Начните бизнес, развивайте свой бизнес

Начни бизнес, развивай свой бизнес — Shopify 14-дневная бесплатная пробная версия Перейти к содержанию

• Начать
  • Начать свой бизнес
  • Брендинг

    Выглядите профессионально и помогите клиентам соединиться с вашим бизнесом

  • Присутствие в Интернете

    Найдите домен, изучите стоковые изображения и продвигайте свой бренд

  • Настройка магазина

    Используйте мощные функции Shopify для начала продаж

• Продать
  • Продать повсюду
  • Интернет-магазин

    Продать через Интернет через веб-сайт электронной коммерции

  • Пункт продажи

    Продать в розничных точках, всплывающих окнах и за их пределами

  • Кнопка покупки

    Преобразование с существующего веб-сайта или блога в интернет-магазин

  • Касса

    Обеспечьте быструю и удобную оплату

  • Каналы продаж

    Охватите миллионы покупателей и увеличьте продажи

  • Оптовый рынок

    Продавайте свои товары оптом розничным продавцам по всей территории США

  • Индивидуальные инструменты для витрины

    Выделитесь с помощью настраиваемой связи erce

  • Международная торговля

    Привлекайте покупателей на новые рынки с помощью инструментов международных продаж

Открыть главную навигацию

• Начать
  • Начать свой бизнес
  • Брендинг

    Выглядите профессионально и помогите клиентам соединиться с вашим бизнесом

  • Присутствие в Интернете

    Найдите домен, изучите стоковые изображения и продвигайте свой бренд

  • Настройка магазина

    Используйте мощные функции Shopify для начала продаж

• Продать
  • Продать повсюду
  • Интернет-магазин

    Продать через Интернет через веб-сайт электронной коммерции

  • Пункт продажи

    Продать в розничных точках, всплывающих окнах и за их пределами

  • Кнопка покупки

    Преобразование с существующего веб-сайта или блога в интернет-магазин

  • Касса

    Обеспечьте быструю и удобную оплату

  • Каналы продаж

    Охватите миллионы покупателей и увеличьте продажи

  • Оптовый рынок

    Продавайте свои товары оптом розничным продавцам по всей территории США

  • Индивидуальные инструменты для витрины

    Выделитесь с помощью настраиваемой связи erce

  • Международная торговля

    Привлекайте покупателей на новые рынки с помощью инструментов международных продаж

• Рынок
• Управляйте

Открывается в новом окне Открывает внешний сайт Открывает внешний сайт в новом окне

Более миллиона самых успешных мировых брендов доверяют Shopify при продаже, отправке и обработке платежей в любом месте.

Попробуйте Shopify бесплатно в течение 14 дней, кредитная карта не требуется. Введя свой адрес электронной почты, вы соглашаетесь получать маркетинговые электронные письма от Shopify.

Сделайте свой бизнес онлайн

Создайте веб-сайт электронной торговли с мощными инструментами, которые помогут вам находить клиентов, стимулировать продажи и управлять повседневными делами.

Лучшим путем вперед

Начать бизнес в Интернете

Создайте бизнес независимо от того, есть ли у вас свежая идея или вы ищете новый способ заработка.

Переведите свой бизнес в онлайн

Превратите свой розничный магазин в интернет-магазин и продолжайте обслуживать клиентов без промедления.

Перейти на Shopify

Разместите свой бизнес на Shopify независимо от того, какую платформу электронной коммерции вы используете в настоящее время.

Нанять Shopify эксперт

Настройтесь с помощью надежного фрилансера или агентства из Shopify Experts Marketplace.

С вами куда угодно

Единая платформа со всеми функциями электронной коммерции и точек продаж. нужно начать, запустить и развивать свой бизнес.

Воспроизвести видеоПауза видео

Видео загружается

Чтобы показать все способы, которыми вы можете продавать с помощью Shopify, есть медленная анимация трех разных изображений: гладкий белый стул продается на веб-сайте электронной коммерции, такое же кресло появляется на онлайн-рынок и транзакция в магазине с использованием POS-терминала.Воспроизвести видеоПауза видео

Видео загружается

Чтобы показать все способы, которыми вы можете продавать с помощью Shopify, есть медленная анимация трех разных изображений: гладкий белый стул продается на веб-сайте электронной коммерции, такое же кресло появляется на онлайн-рынок и транзакция в магазине с использованием POS-терминала.

Продавать везде

Используйте единую платформу для продажи продуктов кому угодно и где угодно — лично в торговой точке или онлайн через свой веб-сайт, социальные сети и онлайн-магазины.

Изучите способы продажи

Продвигайте свой бизнес

Избавьтесь от догадок в маркетинге с помощью встроенных инструментов, которые помогут вам создавать, проводить и анализировать кампании цифрового маркетинга.

Узнайте, как продвигать свой бизнес

218 долларов

Транзакции

# 1009

150 долларов

# 1010

160 долларов

# 1011

80,00 долларов

# 1012

120 долларов

# 1013 800007

.00

Расширение прав и возможностей независимых владельцев бизнеса во всем мире

Свыше 1,700,000 предприятий в странах 175 по всему миру заработали более 200 миллиардов долларов США продаж с помощью Shopify.

Подробнее о Shopify

Моделирование глобальных продаж

На медленно вращающемся глобусе видны зеленые дуги, перемещающиеся от одной стороны земли к другой.Он иллюстрирует международную сеть продавцов и клиентов Shopify.

Приостановить анимацию глобуса

Возобновить анимацию глобуса

«За 3 года мы смогли построить что-то, что многие бренды фактически не смогли этого сделать за 10 лет ».

Chioma | Шкаф Cee Cee’s NYC

Посмотреть историю Чиомы и Ученны

Бренды, использующие Shopify

Получите необходимую помощь на каждом этапе пути

Shopify поддержка

Обращайтесь в службу поддержки 24/7, если вы решаете проблемы или ищете бизнес-совет.

Обратиться в службу поддержки

Магазин приложений Shopify

Добавьте возможности и функциональность в свой бизнес с помощью более 6000 приложений, которые напрямую интегрируются с Shopify.

Посетите магазин приложений Shopify

Дополнительные ресурсы

Продвижение мира здоровья — США

Возможность Пожалуйста, выберитеДоставка анестезииБиопсияБиопсииБиохирургияСкрининг рака шейки маткиУход за диабетомСистемы доставки лекарствУход за желудочно-кишечным трактомБезопасность опасных лекарствВосстановление и фиксация грыжиУход за домомПрофилактика инфекцийИнфузионная терапияИнтервенционные специальностиАвтоматизация лабораторийМедикаментозное лечение и управление поставкамиМикробиологические решенияМолекулярная диагностикаУправление хирургическими вмешательствами для лечения заболеваний почекРешения для лечения хирургических заболеваний

Линия продуктов Пожалуйста выберите

Пожалуйста, выберите Анестезиологические иглы и шприцыBD Intelliport ™ Система управления лекарствами Региональные лотки для анестезии Биопсия груди Биопсия молочной железы Биопсия чувствительных лимфатических узлов Биопсия мягких тканейBD Accuri ™ C6 PlusBD FACS ™ Lyse Wash AssistantBD FACSDAC ™ FSCaDac ™ BDAC ™ FSCADAC ™ BDAC ™ FSCADAC ™ BDAC ™ FSCaDAC ™ FSCADAC ™ BSCA ™ BDAC ™ FSCaDAC ™ BSCA ™ BSCA ™ BSCA ™ BDAC ™ FSCaDAC ™ BSCA ™ BDAC ™ FSCaDAC ™ FSCA ™ BSCA ™ BSCA ™ • BSCADAC ™ FSCa ™ • BSCADAC ™ FSCA ™ BSCA ™ BSCA ™ BSCA ™ • BSCADAC ™ FSCa ™ BSCA ™ BSCA ™ BSCA ™ • BSCADAC ™ BDAC ™ BSCA ™ BSCA ™ BSCA ™ • • • • • • • • BSCaDac ™ • ™ BD FACSCount ™ BD FACSJazz ™ BD FACSLyric ™ BD FACSMelody ™ BD FACSVerse ™ BD FACSVia ™ BD FACSymphony ™ BD LSRFortessa ™ BD LSRFortessa ™ X-20BD ™ Medimachine SystemHemostatsSealantsCervical образцов продукции collectionCytology instrumentsNon-Gyn cytologyBD FlowSmart technologyInsulin syringesPen needlesSharps containmentSupport для injectionNeedle technologiesPharmaceutical innovationsPharmaceutical услугиСистемы предварительно заполняемых шприцевСистемы безопасности и защитыСистемы самоинъекцииЭнтеральное питаниеЖелудочные трубкиВедение желудочно-кишечного трактаBD HD Check systemBD PhaSeal ™ systemBD PhaSeal ™ Optima systemTexium ™ systemBiologic hernia graftsBioresorbable meshFixationSynthe сетка для мочи, недержание мочи ™ биопсия костного мозга Система катетерного дренажа EleurX ™ Диагностические и процедурные лотки Safe-T ™ PLUS Биопсия мягких тканей Устройства для торакоцентеза / парацентезаBD Kiestra ™ InoqulA ™ + процессор образцовBD Kiestra ™ Система Pyxisledge ™ Система Pyxisledge ™ BD Kiestra ™ Система WCA для DBD Pyxisledge ™ PortK Medication Technologies для технологий PrepK Технологии поставок Технологии лекарств Pyxis ™ Периоперационные решения BD Pyxis ™ Верификация точек оказания помощи Pyxis Технологии поставки Pyxis Культура кровиКультуральные средыСистемы окружающей средыИдентификация и тестирование на чувствительностьПромышленные микробы ОбиологияЛабораторное оборудование и расходные материалыТестирование на микобактерииТестирование в месте оказания медицинской помощиСерологические тестыСоставы и реактивыСбор образцов на основе мазковВзятие кровиМолекулярные системыМолекулярные тестыДиагностика и мониторинг мочевого пузыряМониторинг сердцаИнтро-абдоминальное давлениеМониторинг внутрибрюшного давленияЦелевая регулировка температурыМониторинг температурыБрахитерапияПринадлежности для сбора абдоминальных коллекторов и коллекторов для удаления острого паразита Алларпс ™ Принадлежности для удаления острого паразита и удаления острых абразивов SystemKnowledge Portal for Pyxis ™ Medication TechnologiesХирургические инструменты Mueller ™ Альтернативный сайтАнестезиологические иглы и шприцыBD Blunt Fill и Blunt Filter иглыU Традиционные иглы и шприцыBD Eclipse ™ иглы Энтеральные и пероральные шприцыBD Integra ™ ШприцыBD PosiFlush ™ Предварительно заполненные шприцыБезопасные иглы и шприцы для катетеризации мочевых пузырей ™Безопасность для катетеризации мочевых пузырейBDБезопасность Катетеры для диализаСистемы доступа к портам AllPointsСистемы наведения катетераBD ChloraPrep Предоперационная подготовка кожи пациента с помощью стерильного раствораCue ™ Система отслеживания иглыDuoGlide® Краткосрочный диализный катетерEZ Huber® Безопасный инфузионный набор Groshong® Катетер PICCGroshong® и Per-Q-Cathuber ™ Midline® Антикоррозийный катетер® Groshong® и Per-Q-Cathuber ™ Plus безопасный инфузионный наборBD Insyte ™ Autoguard ™ BC Pro Shielded IV Catheter с технологией контроля крови Системы внутрикостного доступа к сосудамIV уход и обслуживаниеIV Интродьюсеры и проводникиМаксимальные барьерные наборыMi Набор для безопасной инфузии dline CathetersMiniLoc® Система подтверждения наконечника Nautilus Delta ™ Система закрытых внутривенных катетеров BD Nexiva ™ Закрытая система внутривенных катетеров BD Nexiva ™ Diffusics ™ Закрытые внутривенные катетеры Per-Q-Cath ™ Катетер PICCПериферические внутривенные катетерыПериферические катетеры для доступа к центральным катетерам иглыBD PosiFlush ™ Предварительно заполненные шприцыPower-Trialysis ™ Краткосрочный диализный катетерPower-Trialysis ™ Slim-Cath ™ Краткосрочный диализный катетерPowerGlide Pro ™ Midline CatheterPowerGlide ™ ST Midline CatheterPowerGroshong ™ PICC CatheterPowerhn® infusion® CatheterPowerPICC ™ CatheterPowerPICC ™ Provena ™ CatheterPowerPICC SOLO ™ 2 КатетерPowerPICC ™ SV Катетер Provena ™ Срединный катетерBD PureHub ™ дезинфицирующий колпачокBD Saf-T-Intima ™ Закрытая система катетеров для внутривенных катетеров Tip-Sherirm-Intima ™ Система закрытых катетеров Система 3SafeStep® UltraSite ™ ConfigSiteSafeSiteStep® Huberx ™ Набор игл ™ SeciteSafeSiteStepSite ™ ConfigSite ™ Набор игл GuberSite ™ SeciteSiteSiteStep® Huberx ™ ™ 8 Набор игл Ультразвуковая система Halcyon ™ Si Ультразвуковая система te-Rite Prevue + Устройства стабилизации StatLock Внутрисосудистые катетерыBD VeloCath ™ Внутрисосудистый катетерАнгиопластикаТестирование артерийАтерэктомияКаротидные шунтыВальвулопластикаСосудистые трансплантатыОкклюзия сосудовСосудистые оболочкиСосудистое стентирование0007 орошение и эвакуация .