Калькулятор степеней онлайн | umath.ru
Калькулятор степеней поможет просто и быстро возвести число в степень онлайн. При этом показатель степени может быть как положительным, так и отрицательным!
Что такое степень числа?
Как возвести число в степень?
Чтобы понять, как возводить число в степень, рассмотрим несколько простых примеров.
Возведём в пятую степень число то есть вычислим значение выражения
По определению, данному выше,
Вычислим, чему равно то есть чему равно число
возведённое в третью степень.
Отрицательный показатель степени
Показатели степени могут быть не только положительными, но и отрицательными.
Например,
а
Как пользоваться калькулятором степеней
Калькулятор помогает возводить число в степень онлайн. Основанием степени могут быть любые целые числа и десятичные дроби. Показатель степени тоже может быть любой десятичной дробью, однако следует помнить о том, что для отрицательных чисел не определена операция возведения в нецелую степень.
При записи дробных чисел можно использовать как точку, так и запятую. В ответе большие числа записываются в так называемом «научном формате», то есть число выглядит как <число>e<количество нулей>. Например, , а
umath.ru
Решите уравнение 2^x+2=(1/2)^x (2 в степени х плюс 2 равно (1 делить на 2) в степени х)
Найду корень уравнения: 2^x+2=(1/2)^x
Решение
$$2^{x} + 2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{x}$$
Подробное решение[LaTeX]
Дано уравнение:
$$2^{x} + 2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{x}$$
или
$$2^{x} + 2 — 2^{- x} = 0$$
Сделаем замену
$$v = \left(\frac{1}{2}\right)^{x}$$
получим
$$- v + 2 + \frac{1}{v} = 0$$
или
$$- v + 2 + \frac{1}{v} = 0$$
делаем обратную замену
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{x} = v$$
или
$$x = — \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (2 \right )}}$$
Тогда, окончательный ответ
$$x_{1} = \frac{1}{\log{\left (\frac{1}{2} \right )}} \log{\left (\frac{1}{\log{\left (2 \right )}} \left(\log{\left (1 + \sqrt{2} \right )} + i \pi\right) \right )} = — \frac{1}{\log{\left (2 \right )}} \log{\left (\frac{1}{\log{\left (2 \right )}} \left(\log{\left (1 + \sqrt{2} \right )} + i \pi\right) \right )}$$
$$x_{2} = \frac{1}{\log{\left (\frac{1}{2} \right )}} \log{\left (\frac{\log{\left (-1 + \sqrt{2} \right )}}{\log{\left (2 \right )}} \right )} = \frac{1}{\log{\left (2 \right )}} \left(\log{\left (\log{\left (2 \right )} \right )} — \log{\left (- \log{\left (-1 + \sqrt{2} \right )} \right )} — i \pi\right)$$
[LaTeX]
/ ___\ log\-1 + \/ 2 / x1 = --------------- log(2)
$$x_{1} = \frac{\log{\left (-1 + \sqrt{2} \right )}}{\log{\left (2 \right )}}$$
/ ___\ log\1 + \/ 2 / pi*I x2 = -------------- + ------ log(2) log(2)
$$x_{2} = \frac{\log{\left (1 + \sqrt{2} \right )}}{\log{\left (2 \right )}} + \frac{i \pi}{\log{\left (2 \right )}}$$
Численный ответ[LaTeX]
x1 = 1.27155330316361 + 4.53236014182719*i
www.kontrolnaya-rabota.ru
Решите неравенство 2^(2*x+1)-5*2^x+2>=0 (2 в степени (2 умножить на х плюс 1) минус 5 умножить на 2 в степени х плюс 2 больше или равно 0)
Дано неравенство:$$- 5 \cdot 2^{x} + 2^{2 x + 1} + 2 \geq 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- 5 \cdot 2^{x} + 2^{2 x + 1} + 2 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$- 5 \cdot 2^{x} + 2^{2 x + 1} + 2 = 0$$
или
$$- 5 \cdot 2^{x} + 2^{2 x + 1} + 2 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 2^{x}$$
получим
$$2^{1} v^{2} — 5 v + 2 = 0$$
или
$$2 v^{2} — 5 v + 2 = 0$$
Это уравнение вида
a*v^2 + b*v + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 2$$
$$b = -5$$
$$c = 2$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(-5)^2 - 4 * (2) * (2) = 9
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$v_{1} = 2$$
$$v_{2} = \frac{1}{2}$$
делаем обратную замену
$$2^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (2 \right )}}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = 2$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = 2$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{2}{5}$$
=
$$\frac{2}{5}$$
подставляем в выражение
$$- 5 \cdot 2^{x} + 2^{2 x + 1} + 2 \geq 0$$
2*2 --- + 1 5 2/5 2 - 5*2 + 2 >= 0
2/5 4/5 2 - 5*2 + 2*2 >= 0
но
2/5 4/5 2 - 5*2 + 2*2
Тогда
$$x \leq \frac{1}{2}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq \frac{1}{2} \wedge x \leq 2$$_____ / \ -------•-------•------- x1 x2
www.kontrolnaya-rabota.ru