Задачи с системами уравнений

Задача 1 Две следующие системы уравнений имеет решение (1, 3). Найдите их, выполняя проверку.
a)
|x + y = 5
|2x — y = 7;
b)
|2x + y = 5
|x — y = 2
c)
|3x + y = 6
|4x — 3y = -5
d)
|1/(x — 1) = y — 3
|x — y = -2
e)
|(9x + 4y)/3 — (5x — 11)/2 = 13 — y
|13x — 7y = -8
Ответ:c) и e).

Задача 2 Равны ли системы уравнений?
|4x + 5y = 11
|x — y = 5
and
|4x — 5y = 11
|2x + y = 9 ?
Ответ: Нет.

(3-32) Решите систему уравнений:

Задача 3
|2y — x = -5
|y = 1 — 3x
Ответ:(1; -2).

Задача 4
|3x — y = 13
|3y — 2x = -4
Ответ:(5; 2).

Задача 5
|6x — y = 11
|12x — 2y — 22 = 0
Ответ: Решением является каждая пара чисел, которая есть решениея уравнения 6x — y = 11.

Задача 6
|5u — 6v = -2
|7u + 18v = 2
Ответ:(-1; 1/2).

Задача 7
|8x — 5y + 16 = 0
|1x + 3y — 17 = 0
Ответ:(1/2; 4).

Задача 8
|4(x + 2) — 7(x — y) = 7
|7(x + y) + 10(x — 2) = 79
Ответ:(5; 2).

Задача 9
|3x + 4(x — 3) = 3(2y — 3) — 3y
|3y + 2(x — 4) = 5(y + 2) — 28
Ответ:(-4; 1).

Задача 10
|(x + 3)(x — 1) = 4y + x² + 5
|(x — 3)(3x + 2) = 3x² — 14y + 15
Ответ: Нет решения.

Задача 11
|(x — 1)(y + 2) — (x — 2)(y + 5) = 0
|(x + 4)(y — 3) — (x + 7)(y — 4) = 0
Ответ:(5; 7)

Задача 12
|(x + 2)² — (x + 3)(x — 3) — 3(y + 5) = 0
|(2y — 3)² — y(4y — 3) + 12x — 15 = 0
Ответ: Решением является каждая пара чисел, которая есть решением уравнения 4x — 3y — 2 = 0.

Задача 13
|(y + 2)/6 — (y — 4)/2 = x/3
|(4/3)(y — 1) — 2x = -2

Ответ:(3; 4)

Задача 14
|0,25x — 0,04y = 1
|0,4x + 1,5y = 40,7
Ответ:(8; 25)

Задача 15
|(5x — 3y)/4 = (x — 5y)/3
|7x + y = 12
Ответ:(2; -2)

Задача 16
|(3x + 1)/5 + 2y -3 = 0
|(4y — 5)/6 + 3y — 9 = -1/2
Ответ:(-42/11; 28/11)

Задача 17
|(3x — 1)/5 + 3y — 4 = 15
|(3y — 5)/6 + 2x — 8 = 23/3
Ответ:(7; 5)

Задача 18
|(2x — z)/6 + (2x — z)/9 = 3
|(x + z)/3 — (x — z)/4 = 4
Ответ:(6; 6)

Задача 19
|(x — 1)/3 + (5y + 1)/2 = (x + 10y — 8)/6
|(x + 2)(5y — 2)/2 = 5 + 5xy/2 — 2(x + 1)
Ответ: Нет решения.

Задача 20
|(5x — 1)/6 + (3y — 1)/10 = 3
|(11 — x)/6 + (11 + y)/4 = 3
Ответ:(5; -3).

Задача 21
|y — 0,2(x — 2) = 1,4
|5/2 — (2y — 3)/4 = (4x — y)/8
Ответ:(5; 2).

Задача 22

|x/5 + 0,03(10y — 20) = 0,8
|(2x + 4,5)/20 — 0,75 = (y — 3)/8
Ответ:(4; 2).

Задача 23
|y — x — (5x — 4)/2 = 3 — (11y + 17)/4
|x + (9y + 11)/4 — (3y + 4)/7 = 6
Ответ:(2; 1).

Задача 24
|(5x — 3y)/3 — (2y — 3x)/5 = x + 1
|(2x — 3y)/3 — (3y — 4x)/2 = y + 1
Ответ:(3; 2).

Задача 25
|(x — 1)/4 (1 + y)/2 = 1/6 — (x + 2y)/6
|(x — 2)/3 + x/15 = (y + 4)/5 — (4x — y)/15
Ответ: Решением является каждая пара чисел, которая есть решением уравнения 5x — 2y = 11.

Задача 26
|(x + 2y)/4 — (x — 2y)/2 = 1 — [x — (7 — 2y)/3]
|3x — 2y = 8
Ответ:(3; 1/2).

Задача 27
|(7 + x)/5 — (2x — y)/4 — 3y = -5
|(5y — 7)/2 + (4x — 3)/6 — 18 = -5x
Ответ:(3; 2).

Задача 28
|11y/20 — 0,8(x/4 + 2,5) = 5/2
|(6x — 0,3y)/2 — 3/2 = 2(1 + x)

Ответ:(5; 10).

Задача 29
|0,5x — (y — 4)/5 = 0,3x — (y — 4)/2
|0,5y — (x — 4)/6 = 7y/12 — (x — 3)/3
Ответ:(3; 2).

Задача 30
|2(x — y)/3 + 1,6 = 8x/15 — (3y — 10)/5
|(3x + 4)/4 + y/8 = 5x/6 — (y — 17)/12
Ответ:(5; 4).

Задача 31
|(2 + x)(5y — 2)/2 = 5 + 5xy/2 — 2(1 + x)
|(x — 1)² + (2y + 1)² = 2(1 + 2y)(x — 1)
Ответ: Решением является каждая пара чисел, которая есть решением уравнения x + 5y = 5

Многочлен Стандартного Вида. Примеры.

Определение многочлена

Многочлен — это сумма одночленов. Получается, что многочлен — не что иное, как несколько одночленов, собранных «под одной крышей».

Одночлен — это произведение, состоящее из числового множителя и одной или нескольких переменных, каждая из которых взята в неотрицательной степени.

Рассмотрим примеры многочленов:

Если многочлен состоит из двух одночленов, его называют двучленом:

• 10x − 3x²
• 10x — одночлен
• −3x² — одночлен

Многочлен — это сумма одночленов, поэтому знак «минус» относится к числовому коэффициенту одночлена. Именно поэтому мы записываем −3x², а не просто 3x².

Этот же многочлен можно записать вот так:

• 10x – 3x² = 10x − 3x² = 10x + (−3x²).

Это значит, что каждый одночлен важно рассматривать вместе со знаком, который перед ним стоит.

Многочлен вида 10x − 3x² + 7 называется трехчленом.

Линейный двучлен — это многочлен первой степени: ax + b. a и b здесь — некоторые числа, x — переменная.

Если разделить многочлен с переменной x на линейный двучлен x − b (где b — некоторое положительное или отрицательное число) — остаток будет только многочленом нулевой степени.

То есть некоторым числом N, которое можно определить без поиска частного.

Если многочлен содержит обычное число — это число является свободным членом многочлена.

• Например, в многочлене 6a + 2b − x + 2 число 2 — свободный член.

Свободный член многочлена не имеет буквенной части. Кроме того, любое числовое выражение — это многочлен. Например, вот такие числовые выражения — тоже многочлены:

• 16 + 13
• (7 − 2) ∙ 9
• (25 + 25) : 5

Такие выражения состоят из свободных членов.

Коэффициенты многочлена

Коэффициенты членов многочлена — это числа, которые указаны перед переменными множителями. Если перед переменной нет числа, то коэффициент этого члена = 1.

Иными словами — коэффициенты членов многочлена — это члены многочлена, представленные в виде стандартных одночленов.

Например:

Дан многочлен 2x + 5x − 18y

Все одночлены имеют стандартный вид. 2, 5 и 18 — коэффициенты членов данного многочлена.

Многочлен стандартного вида

Недостаточно просто знать, что такое многочлен и что такое одночлен. Это целая алгебраическая экосистема, где у всего есть названия, определения и особенности.

Давайте разберемся, что такое многочлен стандартного вида. Многочленом стандартного вида называют многочлен, каждый член которого имеет одночлен стандартного вида и не содержит подобных членов.

Получается, что всякий многочлен можно привести к стандартному виду. Таким образом можно получить многочлен, работать с которым гораздо проще и приятнее.

К стандартному виду многочлен приводится очень просто. Нужно лишь привести в нем подобные слагаемые.

Подобные слагаемые — это подобные члены многочлена. Приведение подобных слагаемых в многочлене — приведение его подобных членов. Тут же возникает резонный вопрос: Что такое подобные члены многочлена? Это члены с одинаковой буквенной частью.

Давайте разберем на примере, как «нестандартный» многочлен приводится к стандартному виду.

Дан красавец многочлен: 3x + 5xy² + x − xy²

Приведем подобные слагаемые. Для этого найдем все члены с одинаковыми буквенными составляющими:

• 3x и x — подобные слагаемые.
• 5xy² и −xy² — подобные слагаемые.

Получаем многочлен вот такого вида: 3x + 5xy² + x − xy² = 4x + 4xy².

Как видите, в получившемся многочлене нет подобных членов. Такой многочлен — это многочлен стандартного вида.

Онлайн-подготовка к ОГЭ по математике — отличный способ снять стресс и закрепить знания перед экзаменом.

Степень многочлена

Многочлен может иметь степень — имеет на это полное право.

Степень многочлена стандартного вида — это наибольшая из степеней, входящих в него одночленов.

Из определения можно сделать вывод, что степень многочлена возможно определить только после приведения его к стандартному виду.

1. Приводим многочлен к стандартному виду.
2. Выбираем одночлен с наибольшей степенью.

Рассмотрим на примере:

Дан многочлен 6x + 4xy² + x + xy²

Сначала приводим многочлен к стандартному виду — для этого приводим подобные слагаемые:

• 6x и x — подобные слагаемые
• 4xy² и xy² — подобные слагаемые

Получаем многочлен стандартного вида 6x + 4xy² + x + xy² = 7x + 5xy².

• Степень первого одночлена (7x) — 1.
• Степень второго одночлена (5xy
  2) — 3.
• Наибольшая из двух степеней — 3.

Отсюда делаем вывод, что многочлен 7x + 5xy² — многочлен третьей степени.

Кроме того, можно сделать вывод, что и исходный многочлен 6x + 4xy² + x + xy² — многочлен третьей степени, поскольку оба многочлена равны друг другу.

В некоторых случаях необходимо сначала привести к стандартному виду одночлены многочлена, а затем уже и сам многочлен.

Пример:

Дан многочлен 6xx² + 5xx² − 3xx³ − 3x²x

Приведем его к стандартному виду: 6xx³ + 5xx² − 3xx³ − 3x²x = 6x⁴ + 5x³ − 3x⁴ − 3x³

Получившийся многочлен без труда приводим к стандартному виду. Приводим подобные слагаемые:

• 5x³ и −3x³ — подобные слагаемые.
• 6x⁴ и −3x⁴ — подобные слагаемые.
• 6x⁴ + 3x³ − 3x⁴ − 3x³ = 3x⁴ − 2x³
• 6xx³ + 5xx² − 3xx³ − 3x²x — многочлен четвертой степени.

Практика

Кажется, со стандартным видом многочлена все понятно. Чтобы без труда приводить любой многочлен к стандартному виду, нужно потренироваться, ведь в 7 классе только и разговоров, что о многочленах. Давайте разберем несколько примеров. Попробуйте решить их самостоятельно, сверяясь с ответами.

Задание раз. Приведите многочлен к стандартному виду и определите его степень: 4x + 6xy² + x − xy².

Как решаем: приведем подобные слагаемые. Для этого найдем все члены с одинаковыми буквенными составляющими:

• 4x и x — подобные слагаемые.
• 6xy² и −xy² — подобные слагаемые.

Получаем многочлен стандартного вида: 4x + 6xy² + x − xy² = 5x + 5xy².

Ответ: стандартный вид многочлена 5x + 5xy². Данный многочлен — многочлен второй степени.

Задание два. Приведите многочлен к стандартному виду: 2x²y³ − xy³ − x⁴ − x²y³ + xy³ + 2x⁴.

Как решаем: сначала необходимо привести все одночлены к стандартному виду: 2x²y³ − xy³ − x⁴ − x²y³ + xy³ + 2x⁴ = (−x⁴ + 2x⁴) + (2x²y³ − x²y³) + (− xy³ + xy³) = x⁴ + x²y³ + 0 = x⁴ + x²y³.

Многочлен приведен к стандартному виду.

Ответ: x⁴ + x²y³

Задание три. Приведите многочлен к стандартному виду и определите его степень: 8x + 8xy² − x + xy².

Как решаем: приведем подобные слагаемые. Для этого найдем все члены с одинаковыми буквенными составляющими:

• 8x и −x — подобные слагаемые.
• 8xy² и xy² — подобные слагаемые.

Получаем многочлен стандартного вида: 8x + 8xy² − x + xy² = 7x + 9xy².

Ответ: стандартный вид многочлена 7x + 9xy², данный многочлен — многочлен третьей степени.

Разобраться в многочленах не так-то просто. В этой теме немало нюансов и подводных камней. Чтобы не запутаться в множестве похожих одно на другое определений, побольше практикуйтесь. Чтобы перейти на следующую ступень и начать выполнение арифметических действий с многочленами, важно научиться приводить многочлен к стандартному виду.

Урок 13. многочлены от нескольких переменных — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №13. Многочлены от нескольких переменных.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) определение многочлена от нескольких переменных;

2) понятие симметрических многочленов;

3) формулы сокращенного умножения для старших степеней;

4) бином Ньютона;

5) метод неопределенных коэффициентов.

Глоссарий по теме

Многочлен Р(х;у) называют однородным многочленом n-й степени, если сумма показателей степеней переменных в каждом члене многочлена равна n. Если Р(х;у) — однородный многочлен, то уравнение Р(х;у) = 0 называют однородным уравнением.

Многочлен Р(х;у) называют симметрическим, если он сохраняет свой вид при одновременной замене х на у и у на х.

Уравнение Р(x;y) = а, где , называютсимметрическим, если Р(х;y) — симметрический многочлен.

Треугольник Паскаля —бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Назван в честь Блеза Паскаля. 

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Многочлены от нескольких переменных можно складывать, вычитать, перемножать, возводить в натуральную степень, разлагать на множители — это вам известно из курса алгебры 7—9-го классов. Этот урок позволит нам несколько расширить знания о многочленах.

Пример 1. Разложить на множители многочлен: 2x²-5xy+2y².

Воспользуемся методом группировки

2x²-5xy+2y²⁼ 2x²-4xy-xy+2y²= 2x(x-2y) –y(x-2y)=

(x-2y)(2x+2y).

Пример 2. Выведем формулу сокращенного умножения для «квадрата суммы» (x+y+z+u)².

(x+y+z+u)²=((x+y)+(z+u))²= (x+y)²+2(x+y)(z+u)+(z+u)²= x²+y²+z²+u²+2(xy+xz+xu+yz+yu+zu).

Итак, мы получили (x+y+z+u)²= x²+y²+z²+u²+2(xy+xz+xu+yz+yu+zu).

Среди многочленов от двух переменных выделяют однородные и симметрические многочлены.
 
Многочлен Р(х;у) называют однородным многочленом n-й степени, если сумма показателей степеней переменных в каждом члене многочлена равна n. Если Р(х;у) — однородный многочлен, то уравнение Р(х;у) = 0 называют однородным уравнением.

Приведем примеры.

1) р(х; у)=2х+3у – однородный многочлен первой степени; соответственно 2х+3у=0 – однородное уравнение первой степени.

2) р(х; у)=3х²+5ху-7у²  — однородный многочлен второй степени; соответственно 3х²+5ху-7у² =0 — однородное уравнение второй степени.

3) p(x; y)= x³+4xy²-5y³ — однородный многочлен третьей степени; x³+4xy²-5y³ =0 соответственно  — однородное уравнение третьей степени.

4) p(x; y)= a_nxⁿ+a_n-1x^n-1y+a_n-2x^n-2y²₊…+a₁xy^n-1+a₀yⁿ — общий вид однородного многочлена n-й степени.

Рассмотрим еще один метод разложения многочленов на множители-

метод неопределенных коэффициентов. Суть метода неопределённых коэффициентов состоит в том, что вид сомножителей, на которые разлагается данный многочлен, угадывается, а коэффициенты этих сомножителей (также многочленов) определятся путём перемножения сомножителей и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях переменной. Теоретической основой метода являются следующие утверждения

1. Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты.
2. Любой многочлен третьей степени имеет хотя бы один действительный корень, а потому разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителя.
3. Любой многочлен четвёртой степени разлагается в произведение многочленов второй степени.

Пример 3.  Разложить на множители многочлен

3 x ³ – x ² – 3 x + 1.

Решение. Поскольку многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителей, то будем искать многочлены x – p и ax ² + bx + c такие, что справедливо равенство 3 x ³ – x ² – 3 x + 1 = ( x – p )( ax ²+ bx + c ) = ax ³ + ( b – ap ) x ² + ( c – bp ) x – pc . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях этого равенства, получаем систему четырех уравнений для определения четырех неизвестных коэффициентов:

Решая эту систему, получаем: a = 3, p = –1, b = 2, c = –1. Итак, многочлен 3 x ³ – x ² – 3 x + 1 разлагается на множители: 3 x ³ – x ² – 3 x + 1 = ( x – 1)(3 x ² + 2 x – 1).

Стоит отметить, что существует достаточно изящный способ решения однородных уравнений. Поясним его суть на примере.

Пример 4. Решим уравнение x³+4xy²-5y³ =0

Заметим, что если в заданном уравнении взять х=0, то получится у=0; это означает, что пара (0; 0) является решением однородного уравнения. Пусть теперь х. Разделим почленно обе части заданного однородного уравнения на х³, получим:

Введем новую переменную . Тогда уравнение примет вид 1+4z²-5z³=0.

Далее последовательно находим:

5z³-4z²-1=0

(5z³-5z²)+(z²-1)=0

5z²(z-1)+(z-1)(z+1)=0

(z-1)(5z²+z+1)=0

Из уравнения z-1=0 находим z=1, уравнение 5z³-4z²-1=0 действительных корней не имеет.

Если z=1, то , т.е. у=х. Это значит, что любая пара вида (t; t) является решением заданного однородного уравнения. Между прочим, и отмеченная нами ранее пара (0; 0) также входит в указанный перечень решений.

Ответ: (t; t), где t- любое действительное число.

Теперь поговорим о симметрических многочленах. Многочлен Р(х;у) называют симметрическим, если он сохраняет свой вид при одновременной замене х на у и у на х. Например, симметрическим является двучлен x²y+xy². В самом деле, при одновременной замене х на у и у на х получится двучлен y²x+yx², но это то же самое, что x²y+xy² . Другие примеры симметрических многочленов: xy, x+y, x²+y², x³+y³, x⁴+y⁴ и т.д. Первые два из записанных многочленов считаются основными в том смысле, что любые другие симметрические многочлены можно представить в виде некоторой комбинации многочленов х + у и ху.

Теорема. Любой симметрический многочлен Р(х;у) можно представить в виде многочлена от ху и х+у.

Например,

x²+y²=(x+y)²-2xy

x³+y³=(x+y)³-3xy(x+y)

x⁴+y⁴= 2xy(x²+y²)-(x⁴+y⁴)+3(xy)² и т.д.

Уравнение Р(x;y) = а, где , называют симметрическим, если Р(х;y) — симметрический многочлен. Мы с вами рассматривали его на предыдущем уроке.

А теперь перейдем к такому понятию как бином Ньютона.

Слово бином означает «Два числа». В математике биномом называют «формулу для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных». Бином Ньютона — название формулы, выражающей степень двучлена в виде суммы одночленов.

Давайте вслед за Ньютоном попробуем ее вывести, чтобы затем применять.

Вы наверняка помните (или, по крайней мере, должны помнить), формулы сокращенного умножения для квадрата и куба суммы двух слагаемых (такая сумма называется «бином», по-русски – двучлен.

(a+b)²=a²+2ab+b²

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

Если вы забыли эти формулы, можно их получить напрямую, раскрыв скобки в очевидных равенствах

(a+b)²=(a+b)(a+b)

(a+b)³=(a+b)(a+b)(a+b)

Может быть, вам приходил в голову вопрос: можно ли (без компьютера) получить формулы типа для биномов четвертой степени, пятой, десятой – какой угодно?

Давайте попробуем дойти напрямую хотя бы до пятой степени, а там, может быть, окажется «рояль в кустах» (для порядка будем размещать слагаемые в правой части по убыванию степени а, она убывает от максимума до нуля):

(a+b)⁴=(a+b)³(a+b)=(a³+3a²b+3ab²+b³)(a+b)=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴

(a+b)⁵=(a+b)⁴(a+b)=(a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴)(a+b)=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵

Теперь отдельно выпишем численные коэффициенты в правых частях формул при возведении бинома в заданную степень:

n=2 1,2,1

n=3 1,3,3,1

n=4 1,4,6,4,1

n=5 1,5,10,5,1

Легко проверить, что выписанные на численные коэффициенты – это строчки треугольника Паскаля, начиная с третьей. Этот «усеченный треугольник», в котором не хватает первых двух строк, легко сделать полным (получить строчки при n=0 и n=1):

n=0, (a+b)⁰=1

n=1, (a+b)¹=a+b

Окончательно получим:

n=0 1

n=1 1,1

n=2 1,2,1

n=3 1,3,3,1

n=4 1,4,6,4,1

n=5 1,5,10,5,1

Общая формула бинома Ньютона:

.

Правая часть формулы называется разложением степени бинома.

 — называется биномиальными коэффициентами, а все слагаемые — членами бинома.

Треугольник Паскаля — бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Назван в честь Блеза Паскаля. 

На самом деле, о треугольнике Паскаля было известно задолго до Паскаля — его знал живший в XI-XII вв. среднеазиатский математик и поэт Омар Хайям (к сожалению, его сочинение об этом до нас не дошло). Первое, дошедшее до нас описание формулы бинома Ньютона содержится в появившейся в 1265 г. книге среднеазиатского математика ат-Туси, где дана таблица чисел   (биномиальных коэффициентов) до n=12 включительно.

Европейские ученые познакомились с формулой бинома Ньютона, по-видимому, через восточных математиков. Детальное изучение свойств биномиальных коэффициентов провел французский математик и философ Б. Паскаль в 1654 г.

В заключении рассмотрим пример, в котором использование бинома Ньютона позволяет доказать делимость выражения на заданное число.

Пример 5.

Доказать, что значение выражения 5ⁿ+28n-1, где n – натуральное число, делится на 16 без остатка.

Решение: представим первое слагаемое выражение как 5ⁿ= (4+1)ⁿ и воспользуемся формулой бинома Ньютона:

Полученное произведение доказывает делимость исходного выражения на 16. 

Бином Ньютона применяется при доказательстве Теоремы Ферма, в теории бесконечных рядов и выводе формулы Ньютона-Лейбница

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля

№1.

Из данных многочленов выделите симметрические:

1. 2х²-5ху+2у²-6
2. 6x⁴-16xy²-6y³+19
3. -3ху+6х²-5у²+8
4. 16x⁴y²+16x²y⁴-x⁴-y⁴

Решение: к данному заданию применим определение симметрических многочленов (Многочлен Р(х;у) называют симметрическим, если он сохраняет свой вид при одновременной замене х на у и у на х). Получим, что нам подходят 1 и 4 пункты.

Верный ответ:

1. 2х²-5ху+2у²-6
2. 6x⁴-16xy²-6y³+19
3. -3ху+6х²-5у²+8
4. 16x⁴y²+16x²y⁴-x⁴-y⁴

№2.

(а+b)⁵= __a⁵ +___a⁴b+___a³b²+___a²b³+___ab⁴+__b⁵

Решение: для решения данного задания воспользуемся треугольником Паскаля

1    
1    1    
1    2    1    
1    3    3    1    
1    4    6    4    1    
1    5    10    10    5    1

Нас интересует последняя строчка.

Применив ее, получим ответ:

(а+b)⁵= 1a⁵ +5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+1b⁵

{2} -4ac}} {2a}.

x = \ frac {-5 ± \ sqrt {25-4 \ left (-2 \ right) \ left (-y \ right)}} {2 \ left (-2 \ right)}

Квадрат 5.

x = \ frac {-5 ± \ sqrt {25 + 8 \ left (-y \ right)}} {2 \ left (-2 \ right)}

Умножить -4 на -2.

x = \ frac {-5 ± \ sqrt {25-8y}} {2 \ left (-2 \ right)}

Умножить 8 раз -y.

x = \ frac {-5 ± \ sqrt {25-8y}} {- 4}

Умножить 2 на -2.

x = \ frac {\ sqrt {25-8y} -5} {- 4}

Теперь решите уравнение x = \ frac {-5 ± \ sqrt {25-8y}} {- 4}, когда ± равно плюс.{2}} = \ sqrt {- \ frac {y} {2} + \ frac {25} {16}}

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

x- \ frac {5} {4} = \ frac {\ sqrt {25-8y}} {4} x- \ frac {5} {4} = — \ frac {\ sqrt {25-8y}} {4}

Упростить. {c} \)

\ (a_ {b} \)

\ (\ sqrt {a} \)

\ (\ sqrt [b] {a} \)

\ (\ frac {a} {b} \)

\ (\ cfrac {a} {b} \)

\ (+ \)

\ (- \)

\ (\ times \)

\ (\ div \)

\ (\ pm \)

\ (\ cdot \)

\ (\ amalg \)

\ (\ ast \)

\ (\ barwedge \)

\ (\ bigcirc \)

\ (\ bigodot \)

\ (\ bigoplus \)

\ (\ bigotimes \)

\ (\ bigsqcup \)

\ (\ bigstar \)

\ (\ bigtriangledown \)

\ (\ bigtriangleup \)

\ (\ blacklozenge \)

\ (\ blacksquare \)

\ (\ blacktriangle \)

\ (\ blacktriangledown \)

\ (\ bullet \)

\ (\ cap \)

\ (\ cup \)

\ (\ circ \)

\ (\ circledcirc \)

\ (\ кинжал \)

\ (\ ddagger \)

\ (\ diamond \)

\ (\ dotplus \)

\ (\ lozenge \)

\ (\ mp \)

\ (\ ominus \ )

\ (\ oplus \)

\ (\ oslash \)

\ (\ otimes \)

\ (\ setminus \)

\ (\ sqcap \)

\ (\ sqcup \)

\ (\ квадрат \)

\ (\ звезда \)

\ (\ треугольник \)

\ (\ треугольник вниз \)

\ (\ треугольник влево \)

\ (\ Cap \)

\ (\ Cup \)

\ (\ uplus \)

\ (\ vee \)

\ (\ veebar \)

\ (\ wedge \)

\ (\ wr \)

\ (\ поэтому \)

\ (\ left (a \ right) \)

\ (\ left \ | a \ right \ | \)

\ (\ left [a \ right] \)

\ (\ left \ {a \ right \} \)

\ (\ left \ lceil a \ right \ rceil \)

\ (\ left \ lfloor \ right \ rfloor \)

\ (\ left (a \ right) \)

\ (\ vert a \ vert \)

\ (\ leftarrow \)

\ (\ leftharpoondown \)

\ (\ leftharpoonup \)

\ (\ leftrightarrow \)

\ (\ leftrightharpoons \)

\ (\ mapsto \)

\ (\ rightarrow \)

\ (\ rightharpoondown \)

\ (\ rightharpoonup \)

\ (\ rightleftharpoons \)

\ (\ to \)

\ (\ Leftarrow \)

\ (\ Leftrightarrow \)

\ (\ Rightarrow \ )

\ (\ overset {a} {\ leftarrow} \)

\ (\ overset {a} {\ rightarrow} \)

\ (\ приблизительно \)

\ (\ asymp \)

\ (\ cong \)

\ (\ dashv \)

\ (\ doteq \)

\ (= \)

\ (\ Equiv \)

\ (\ frown \)

9000 2 \ (\ geq \)

\ (\ geqslant \)

\ (\ gg \)

\ (\ gt \)

\ (| \)

\ (\ leq \)

\ (\ leqslant \)

\ (\ ll \)

\ (\ lt \)

\ (\ models \)

\ (\ neq \)

\ (\ ngeqslant \)

\ (\ ngtr \)

\ (\ nleqslant \)

\ (\ nless \)

\ (\ not \ Equiv \)

\ (\ overset {\ подмножество {\ mathrm {def}} {}} {=} \)

\ (\ parallel \)

\ (\ perp \)

\ (\ prec \)

\ (\ prevq \)

\ (\ sim \)

\ (\ simeq \)

\ (\ smile \)

\ (\ succ \)

\ (\ successq \)

\ (\ vdash \)

\ ( \ in \)

\ (\ ni \)

\ (\ notin \)

\ (\ nsubseteq \)

\ (\ nsupseteq \)

\ (\ sqsubset \)

\ (\ sqsubseteq \)

\ (\ sqsupset \)

\ (\ sqsupseteq \)

\ (\ subset \)

\ (\ substeq \)

\ (\ substeqq \)

\ (\ supset \)

\ (\ supsete q \)

\ (\ supseteqq \)

\ (\ emptyset \)

\ (\ mathbb {N} \)

\ (\ mathbb {Z} \)

\ (\ mathbb {Q} \)

\ (\ mathbb {R} \)

\ (\ mathbb {C} \)

\ (\ alpha \)

\ (\ beta \)

\ (\ gamma \)

\ (\ delta \)

\ (\ epsilon \)

\ (\ zeta \)

\ (\ eta \)

\ (\ theta \)

\ (\ iota \)

\ ( \ kappa \)

\ (\ lambda \)

\ (\ mu \)

\ (\ nu \)

\ (\ xi \)

\ (\ pi \)

\ (\ rho \)

\ (\ sigma \)

\ (\ tau \)

\ (\ upsilon \)

\ (\ phi \)

\ (\ chi \)

\ (\ psi \)

\ (\ omega \)

\ (\ Gamma \)

\ (\ Delta \)

\ (\ Theta \)

\ (\ Lambda \)

\ (\ Xi \)

\ (\ Pi \)

\ (\ Sigma \)

\ (\ Upsilon \)

\ (\ Phi \)

\ (\ Ps i \)

\ (\ Omega \)

\ ((a) \)

\ ([a] \)

\ (\ lbrace {a} \ rbrace \)

\ (\ frac {a + b} {c + d} \)

\ (\ vec {a} \)

\ (\ binom {a} {b} \)

\ ({a \ brack b} \)

\ ({a \ brace b} \)

\ (\ sin \)

\ (\ cos \)

\ (\ tan \)

\ (\ cot \)

\ (\ sec \)

\ (\ csc \)

\ (\ sinh \)

\ (\ cosh \)

\ (\ tanh \)

\ (\ coth \)

\ (\ bigcap {a} \)

\ (\ bigcap_ {b} ^ {} a \)

\ (\ bigcup {a} \)

\ (\ bigcup_ {b} ^ {} a \)

\ (\ coprod {a} \)

\ (\ coprod_ {b} ^ {} a \)

\ (\ prod {a} \)

\ (\ prod_ {b} ^ {} a \)

\ (\ sum_ { a = 1} ^ b \)

\ (\ sum_ {b} ^ {} a \)

\ (\ sum {a} \)

\ (\ underset {a \ to b} \ lim \)

\ (\ int {a} \)

\ (\ int_ {b} ^ {} a \)

\ (\ iint {a} \)

\ (\ iint_ {b} ^ {} a \)

\ (\ int_ {a} ^ {b} {c} \)

\ (\ iint_ {a} ^ {b} {c} \)

\ (\ iiint_ {a} ^ { b} {c} \)

\ (\ oint {a} \)

\ (\ oint_ {b} ^ {} a \)

Добавление многочленов | Purplemath

Purplemath

Добавление многочленов — это просто вопрос объединения одинаковых членов с учетом некоторого порядка операций. Если вы осторожны со знаками «минус» и не путаете сложение и умножение, у вас все будет хорошо.

Существует пара форматов для сложения и вычитания многочленов, и они повторяют два метода сложения и вычитания простых чисел, которые вы изучили еще в начальной школе. Сначала вы выучили сложение «по горизонтали», вот так:

MathHelp.com

То есть вам были даны относительно небольшие значения, и вы научились складывать — в основном в уме и по горизонтали. Таким же образом мы можем добавлять многочлены, группируя любые «похожие» термины, а затем упрощая результаты.

• Упростить (2

  x + 5 y ) + (3 x — 2 y )

Сначала уберу скобки.Это легко сделать при добавлении, потому что в скобках нет знаков «минус». Затем я сгруппирую похожие термины в соответствии с их переменными (сохраняя их в алфавитном порядке), и, наконец, я упрощу:

(2 x + 5 y ) + (3 x — 2 y )

2 x + 5 y + 3 x — 2 y

2 x + 3 x + 5 y — 2 y

5 x + 3 y

Эти два термина не похожи друг на друга (потому что у них разные переменные), поэтому я не могу их объединить.Это означает, что я зашел так далеко, как мог, поэтому мой ручной ответ:

.

---

Горизонтальное сложение отлично работает для простых многочленов. Но когда вы добавляли простые старые числа, вы обычно не пытались применить горизонтальное сложение к сложению чисел вроде 432 и 246; вместо этого вы складываете числа вертикально, одно поверх другого, а затем складываете столбцы (при необходимости выполняя «перенос»):

То же самое можно сделать и с многочленами.Вот как выглядит приведенное выше упражнение по упрощению, когда оно выполняется «вертикально»

• Упростить (2

  x + 5 y ) + (3 x — 2 y )

Я помещу каждую переменную в отдельный столбец; в этом случае первым столбцом будет столбец x , а вторым столбцом будет столбец y :

Я получаю то же решение по вертикали, что и по горизонтали.

---

Используемый формат, горизонтальный или вертикальный, — дело вкуса (если в инструкциях явно не указано иное). Если у вас есть выбор, вы должны использовать тот формат, который вам удобнее и успешнее. Обратите внимание, что для простых добавлений горизонтальное сложение (так что вам не нужно переписывать задачу), вероятно, является самым простым, но, как только многочлены усложняются, вертикальное, вероятно, является самым безопасным выбором (так что вы не «роняете» или не проигрываете , термины и знаки минус).

Одно преимущество вертикального полиномиального сложения перед вертикальным числовым сложением: никогда нечего «переносить» из одного столбца в другой.

---

• Упростить (3

  x ³ + 3 x ² — 4 x + 5) + ( x ³ — 2 x ² + x — 4)

Могу добавить по горизонтали:

(3 x ³ + 3 x ² — 4 x + 5) + ( x ³ — 2 x ² + x — 4)

3 x ³ + 3 x ² — 4 x + 5 + x ³ — 2 x ² + x — 4

3 x ³ + x ³ + 3 x ² — 2 x ² — 4 x + x + 5-4

4 x ³ + 1 x ² — 3 x + 1

. ..или вертикально:

В любом случае я получаю тот же ответ. В качестве окончательного ответа я уберу «понятые» единицы.

Обратите внимание, что каждый столбец в вертикальном сложении выше содержит только один градус x : первый столбец выше (то есть самый левый столбец, который добавляется вниз) был столбцом x ³ , второй столбец был столбец x ² , третий столбец был столбцом x , а четвертый столбец был столбцом констант.Это аналогично наличию столбца тысяч, столбца сотен, столбца десятков и столбца единиц при строго числовом сложении.

И точно так же, как нам нужно использовать нули для заполнения пустых мест в сотнях столбцов (или в любом столбце, в котором нет цифр), нам нужно оставить пробелы в вертикальном добавлении для любых пробелов в степенях переменных.

• Упростить (7

  x ² — x — 4) + ( x ² — 2 x — 3) + (–2 x ² + 3 x + 5 )

Сложить сразу три или более многочленов — это нормально.Я просто буду делать каждый шаг медленно и тщательно, и все должно получиться правильно.

Сначала я добавлю по горизонтали:

(7 x ² — x — 4) + ( x ² — 2 x — 3) + (–2 x ² + 3 x + 5)

7 x ² — x — 4 + x ² — 2 x — 3 + –2 x ² + 3 x + 5

7 x ² + 1 x ² — 2 x ² — 1 x — 2 x + 3 x — 4 — 3 + 5

8 x ² — 2 x ² — 3 x + 3 x — 7 + 5

6 x ² -2

Обратите внимание на 1 в третьей строке. Каждый раз, когда у меня есть переменная без коэффициента, в качестве коэффициента используется «понимаемая» 1. Если мне будет полезно написать это 1 дюйм, я так и сделаю.

Теперь добавлю по вертикали:

В любом случае я получаю тот же ответ. В своем ручном ответе я не буду включать термин «+0 x ».

---

• Упростить (

  x ³ + 5 x ² — 2 x ) + ( x ³ + 3x — 6) + (–2 x ² + x — 2)

По горизонтали:

( x ³ + 5 x ² — 2 x ) + ( x ³ + 3 x — 6) + (–2 x ² + х — 2)

x ³ + 5 x ² — 2 x + x ³ + 3 x — 6 + –2 x ² + x — 2 9

x ³ + x ³ + 5 x ² — 2 x ² — 2 x + 3 x + x — 6 — 2

2 x ³ + 3 x ² + 2 x — 8

Когда я складываю большие числа, в числах иногда появляются нули, например, в следующем:

Нули в «1002» означают «ноль сотен» и «ноль десятков». Это так называемые «заполнители», указывающие на отсутствие сотен или десятков. Если бы я не включил эти нули в числовое выражение, то у меня было бы (в верхней строке) «12», что я не имею в виду. Нули поддерживают правильную линию. Когда я добавляю полиномы по вертикали, пропускающие некоторые из степеней x , мне нужно оставлять пробелы, чтобы члены в различных полиномах выстраивались правильно (то есть в соответствии с градусами).

Вот как это выглядит, когда у меня есть многочлены с пробелами в их степенях, и я складываю по вертикали:

Независимо от того, работаю ли я вертикально или горизонтально, я получаю один и тот же ответ:

---

Вычитание многочленов работает почти так же, как и добавление многочленов, как мы увидим на следующей странице.

---

URL: https://www.