2Х первообразная – Первообразная функция и неопределенный интеграл / Блог

Mathway | Популярные задачи

1 Найти производную — d/dx квадратный корень x
2 Найти производную — d/dx натуральный логарифм x
3 Вычислить интеграл натурального логарифма x по x
4 Найти производную — d/dx e^x
5 Вычислить интеграл e^(2x) относительно x
6 Найти производную — d/dx 1/x
7 Найти производную — d/dx x^2
8 Вычислить интеграл e^(-x) относительно x
9 Найти производную — d/dx 1/(x^2)
10 Найти производную — d/dx sin(x)^2
11 Найти производную — d/dx sec(x)
12 Вычислить интеграл e^x относительно x
13 Вычислить интеграл x^2 относительно x
14 Вычислить интеграл квадратного корня x по x
15 Вычислить натуральный логарифм 1
16 Вычислить e^0
17 Вычислить sin(0)
18 Найти производную — d/dx cos(x)^2
19 Вычислить интеграл 1/x относительно x
20 Вычислить cos(0)
21 Вычислить интеграл sin(x)^2 относительно x
22 Найти производную — d/dx x^3
23 Найти производную — d/dx sec(x)^2
24 Найти производную — d/dx 1/(x^2)
25 Вычислить интеграл arcsin(x) относительно x
26 Вычислить интеграл cos(x)^2 относительно x
27 Вычислить интеграл sec(x)^2 относительно x
28 Найти производную — d/dx e^(x^2)
29 Вычислить интеграл в пределах от 0 до 1 кубического корня 1+7x по x
30 Найти производную — d/dx sin(2x)
31 Вычислить интеграл натурального логарифма x по x
32 Найти производную — d/dx tan(x)^2
33 Вычислить интеграл e^(2x) относительно x
34 Вычислить интеграл 1/(x^2) относительно x
35 Найти производную — d/dx 2^x
36 График натуральный логарифм a
37 Вычислить e^1
38 Вычислить интеграл 1/(x^2) относительно x
39 Вычислить натуральный логарифм 0
40 Найти производную — d/dx cos(2x)
41 Найти производную — d/dx xe^x
42 Вычислить интеграл 1/x относительно x
43 Вычислить интеграл 2x относительно x
44 Найти производную — d/dx ( натуральный логарифм x)^2
45 Найти производную — d/dx натуральный логарифм (x)^2
46 Найти производную — d/dx 3x^2
47 Вычислить натуральный логарифм 2
48 Вычислить интеграл xe^(2x) относительно x
49 Найти производную — d/dx 2e^x
50 Найти производную — d/dx натуральный логарифм 2x
51 Найти производную — d/dx -sin(x)
52 Вычислить tan(0)
53 Найти производную — d/dx 4x^2-x+5
54 Найти производную — d/dx y=16 корень четвертой степени 4x^4+4
55 Найти производную — d/dx 2x^2
56 Вычислить интеграл e^(3x) относительно x
57 Вычислить интеграл cos(2x) относительно x
58 Вычислить интеграл cos(x)^2 относительно x
59 Найти производную — d/dx 1/( квадратный корень x)
60 Вычислить интеграл e^(x^2) относительно x
61 Вычислить sec(0)
62 Вычислить e^infinity
63 Вычислить 2^4
64 Найти производную — d/dx x/2
65 Вычислить 4^3
66 Найти производную — d/dx -cos(x)
67 Найти производную — d/dx sin(3x)
68 Вычислить натуральный логарифм 1/e
69 Вычислить интеграл x^2 относительно x
70 Упростить 1/( кубический корень от x^4)
71 Найти производную — d/dx 1/(x^3)
72 Вычислить интеграл e^x относительно x
73 Вычислить интеграл tan(x)^2 относительно x
74 Вычислить интеграл 1 относительно x
75 Найти производную — d/dx x^x
76 Найти производную — d/dx x натуральный логарифм x
77 Вычислить интеграл sin(x)^2 относительно x
78 Найти производную — d/dx x^4
79 Вычислить предел (3x-5)/(x-3), если x стремится к 3
80 Вычислить интеграл от x^2 натуральный логарифм x по x
81 Найти производную — d/dx f(x) = square root of x
82 Найти производную — d/dx x^2sin(x)
83 Вычислить интеграл sin(2x) относительно x
84 Найти производную — d/dx 3e^x
85 Вычислить интеграл xe^x относительно x
86 Найти производную — d/dx y=x^2
87 Найти производную — d/dx квадратный корень x^2+1
88 Найти производную — d/dx sin(x^2)
89 Вычислить интеграл e^(-2x) относительно x
90 Вычислить интеграл натурального логарифма квадратного корня x по x
91 Вычислить 2^5
92 Найти производную — d/dx e^2
93 Найти производную — d/dx x^2+1
94 Вычислить интеграл sin(x) относительно x
95 Вычислить 2^3
96 Найти производную — d/dx arcsin(x)
97 Вычислить предел (sin(x))/x, если x стремится к 0
98 Вычислить e^2
99 Вычислить интеграл e^(-x) относительно x
100 Вычислить интеграл 1/x относительно x

www.mathway.com

1. Определение первообразной.

Первообразной
функции f(x) на
промежутке (a;
b)
 называется
такая функция F(x),
что выполняется равенство для
любогох из
заданного промежутка.

Если
принять во внимание тот факт, что
производная от константы С равна
нулю, то справедливо равенство . Таким
образом, функция f(x) имеет
множество первообразных F(x)+C,
для произвольной константы С,
причем эти первообразные отличаются
друг от друга на произвольную постоянную
величину.

Определение
неопределенного интеграла.

Все
множество первообразных функции f(x) называется
неопределенным интегралом этой функции
и обозначается .

Выражение называютподынтегральным
выражением
,
а f(x) – подынтегральной
функцией
.
Подынтегральное выражение представляет
собой дифференциал функции f(x).

Действие
нахождения неизвестной функции по
заданному ее дифференциалу называется
неопределенным интегрированием,
потому что результатом интегрирования
является не одна функция F(x),
а множество ее первообразных F(x)+C.

Геометрический
смысл неопределенного интеграла. График
первообразной Д(х) называют интегральной
кривой. В системе координат х0у графики
всех первообразных от данной функции
представляют семейство кривых, зависящих
от величины постоянной С и получаемых
одна из другой путем параллельного
сдвига вдоль оси 0у. Для примера,
рассмотренного выше, имеем:

J
2 х^х = х2 + C.

Семейство
первообразных (х + С) геометрически
интерпретируется совокупностью парабол.

Если
из семейства первообразных нужно найти
одну, то задают дополнительные условия,
позволяющие определить постоянную С.
Обычно с этой целью задают начальные
условия: при значении аргумента х = х0
функция имеет значение Д(х0) = у0.

Пример.
Требуется найти ту из первообразных
функции у = 2 х, которая принимает значение
3 при х0 = 1.

Искомая
первообразная: Д(х) = х2 + 2.

Решение.
^2х^х = х2 + C; 12 + С = 3; С = 2.

2. Основные свойства неопределенного интеграла

1.
Производная неопределенного интеграла
равна подинтегральной функции:

2.
Дифференциал неопределенного интеграла
равен подинтегральному выражению:

3.
Неопределенный интеграл от дифференциала
некоторой функции равен сумме самой
этой функции и произвольной постоянной:

4.
Постоянный множитель можно выносить
за знак интеграла:

,
причем 

5.
Интеграл суммы (разности) равен сумме
(разности) интегралов:

6.
Свойство является комбинацией свойств
4 и 5:

,
причем 

7.
Свойство инвариантности неопределенного
интеграла:

Если ,
то

8.
Свойство:

Если ,
то

Фактически
данное свойство представляет собой
частный случай интегрирования при
помощи метода
замены переменной, который более
подробно рассмотрен в следующем разделе.

Рассмотрим
пример:

3.
Метод
интегрирования,

при котором данный интеграл путем
тождественных преобразований
подынтегральной функции (или выражения)
и применения свойств неопределенного
интеграла приводится к одному или
нескольким табличным интегралам,
называется непосредственным
интегрированием
.
При
сведении данного интеграла к табличному
часто используются следующие преобразования
дифференциала (операция «подведения
под знак дифференциала
»):

Вообще, f’(u)du
= d(f(u)).
 эта
(формула очень часто используется при
вычислении интегралов.

Пример:

 Найти
интеграл 

Решение. Воспользуемся свойствами
интегралаи приведем данный интеграл
к нескольким табличным.

4.
Интегрирование
методом подстановки.

Суть
метода заключается в том, что мы вводим
новую переменную, выражаем подынтегральную
функцию через эту переменную, в результате
приходим к табличному (или более простому)
виду интеграла.

Очень
часто метод подстановки выручает при
интегрировании тригонометрических
функций и функций с радикалами.

Пример.

Найти
неопределенный интеграл .

Решение.

Введем
новую переменную .
Выразимх через z:

Выполняем
подстановку полученных выражений в
исходный интеграл:

Из
таблицы первообразных имеем .

Осталось
вернуться к исходной переменной х:

Ответ:

5.
Интегрирование
по частям.

Интегрирование
по частям основано на представлении
подынтегрального выражения в виде
произведения и
последующем применении формулы.
Этот метод является очень мощным
инструментом интегрирования. В зависимости
от подынтегральной функции, метод
интегрирования по частям иногда
приходится применять несколько раз
подряд до получения результата. Для
примера найдем множество первообразных
функции арктангенс.

Пример.

Вычислить
неопределенный интеграл .

Решение.

Пусть ,
тогда

Следует
отметить, что при нахождении функции v(x) не
прибавляют произвольную постоянную С.

Теперь
применяем формулу интегрирования по
частям: 

Последний
интеграл вычислим по методу подведения
под знак дифференциала.

Так
как ,
то.
Поэтому

Следовательно,
где.

Ответ:

.

studfile.net

Таблица интегралов

1.  

sin (x) dx = -cos (x) + C
2.  

cos (x) dx = sin (x) + C
3.  

sin2 (x) dx = x2 — 14 sin (2x) + C
4.  

cos2 (x) dx = x2 + 14 sin (2x) + C
5.  

sinn (x) dx = -1n sinn — 1 (x) cos (x) + n — 1n sinn — 2 (x) dx
6.  

cosn (x) dx = 1n cosn — 1 (x) sin (x) + n — 1n cosn — 2 (x) dx
7.  

dxsin (x) = ln|tg(x2)| + C
8.  

dxcos (x) = ln|ctg(x2)| + C
9.  

dxsin2 (x) = -ctg (x) + C
10.  

dxcos2 (x) = tg (x) + C
11.  

sin (x) cos (x) dx = -14cos (2x) + C
12.  

sin2 (x) cos (x) dx = 13sin3 (x) + C
13.  

sin (x) cos2 (x) dx = -13cos3 (x) + C
14.  

sin2 (x) cos2 (x) dx = -18x — 132sin (4x) + C
15.  

tg (x) dx = -ln |cos (x)| + C
16.  

ctg (x) dx = ln |sin (x)| + C
17.  

sin (x)cos2 (x)dx = 1cos (x) + C
18.  

cos (x)sin2 (x)dx = -1sin (x) + C
19.  

sin2 (x)cos2 (x)dx = tg (x) — x + C
20.  

cos2 (x)sin2 (x)dx = -ctg (x) — x + C
21.  

sin2 (x)cos (x)dx = ln|ctg(x2)| — sin (x) + C
22.  

cos2 (x)sin (x)dx = ln|tg(x2)| + cos (x) + C
23.  

dxsin (x) cos (x) = ln|tg(x)| + C
24.  

dxsin2 (x) cos (x) = -1sin (x) + ln|ctg(x2)| + C
25.  

dxsin (x) cos2 (x) = 1cos (x) + ln|tg(x2)| + C
26.  

dxsin2 (x) cos2 (x) = tg(x) — ctg(x) + C
27.  

dxsinn (x) = -1n — 1cos (x)sinn — 1 (x) + n — 2n — 1 dxsinn — 2 (x)
28.  

tgn (x) dx = tgn — 1 (x)n — 1 —  tgn — 2 (x) dx
29.  

ctgn (x) dx = -ctgn — 1 (x)n — 1 —  ctgn — 2 (x) dx
30.  

sin (x) cosn (x) dx = -cosn + 1 (x)n + 1 + C
31.  

cos (x) sinn (x) dx = sinn + 1 (x)n + 1 + C

ru.onlinemschool.com

Mathway | Популярные задачи

1 Найти производную — d/dx квадратный корень x
2 Найти производную — d/dx натуральный логарифм x
3 Вычислить интеграл натурального логарифма x по x
4 Найти производную — d/dx e^x
5 Вычислить интеграл e^(2x) относительно x
6 Найти производную — d/dx 1/x
7 Найти производную — d/dx x^2
8 Вычислить интеграл e^(-x) относительно x
9 Найти производную — d/dx 1/(x^2)
10 Найти производную — d/dx sin(x)^2
11 Найти производную — d/dx sec(x)
12 Вычислить интеграл e^x относительно x
13 Вычислить интеграл x^2 относительно x
14 Вычислить интеграл квадратного корня x по x
15 Вычислить натуральный логарифм 1
16 Вычислить e^0
17 Вычислить sin(0)
18 Найти производную — d/dx cos(x)^2
19 Вычислить интеграл 1/x относительно x
20 Вычислить cos(0)
21 Вычислить интеграл sin(x)^2 относительно x
22 Найти производную — d/dx x^3
23 Найти производную — d/dx sec(x)^2
24 Найти производную — d/dx 1/(x^2)
25 Вычислить интеграл arcsin(x) относительно x
26 Вычислить интеграл cos(x)^2 относительно x
27 Вычислить интеграл sec(x)^2 относительно x
28 Найти производную — d/dx e^(x^2)
29 Вычислить интеграл в пределах от 0 до 1 кубического корня 1+7x по x
30 Найти производную — d/dx sin(2x)
31 Вычислить интеграл натурального логарифма x по x
32 Найти производную — d/dx tan(x)^2
33 Вычислить интеграл e^(2x) относительно x
34 Вычислить интеграл 1/(x^2) относительно x
35 Найти производную — d/dx 2^x
36 График натуральный логарифм a
37 Вычислить e^1
38 Вычислить интеграл 1/(x^2) относительно x
39 Вычислить натуральный логарифм 0
40 Найти производную — d/dx cos(2x)
41 Найти производную — d/dx xe^x
42 Вычислить интеграл 1/x относительно x
43 Вычислить интеграл 2x относительно x
44 Найти производную — d/dx ( натуральный логарифм x)^2
45 Найти производную — d/dx натуральный логарифм (x)^2
46 Найти производную — d/dx 3x^2
47 Вычислить натуральный логарифм 2
48 Вычислить интеграл xe^(2x) относительно x
49 Найти производную — d/dx 2e^x
50 Найти производную — d/dx натуральный логарифм 2x
51 Найти производную — d/dx -sin(x)
52 Вычислить tan(0)
53 Найти производную — d/dx 4x^2-x+5
54 Найти производную — d/dx y=16 корень четвертой степени 4x^4+4
55 Найти производную — d/dx 2x^2
56 Вычислить интеграл e^(3x) относительно x
57 Вычислить интеграл cos(2x) относительно x
58 Вычислить интеграл cos(x)^2 относительно x
59 Найти производную — d/dx 1/( квадратный корень x)
60 Вычислить интеграл e^(x^2) относительно x
61 Вычислить sec(0)
62 Вычислить e^infinity
63 Вычислить 2^4
64 Найти производную — d/dx x/2
65 Вычислить 4^3
66 Найти производную — d/dx -cos(x)
67 Найти производную — d/dx sin(3x)
68 Вычислить натуральный логарифм 1/e
69 Вычислить интеграл x^2 относительно x
70 Упростить 1/( кубический корень от x^4)
71 Найти производную — d/dx 1/(x^3)
72 Вычислить интеграл e^x относительно x
73 Вычислить интеграл tan(x)^2 относительно x
74 Вычислить интеграл 1 относительно x
75 Найти производную — d/dx x^x
76 Найти производную — d/dx x натуральный логарифм x
77 Вычислить интеграл sin(x)^2 относительно x
78 Найти производную — d/dx x^4
79 Вычислить предел (3x-5)/(x-3), если x стремится к 3
80 Вычислить интеграл от x^2 натуральный логарифм x по x
81 Найти производную — d/dx f(x) = square root of x
82 Найти производную — d/dx x^2sin(x)
83 Вычислить интеграл sin(2x) относительно x
84 Найти производную — d/dx 3e^x
85 Вычислить интеграл xe^x относительно x
86 Найти производную — d/dx y=x^2
87 Найти производную — d/dx квадратный корень x^2+1
88 Найти производную — d/dx sin(x^2)
89 Вычислить интеграл e^(-2x) относительно x
90 Вычислить интеграл натурального логарифма квадратного корня x по x
91 Вычислить 2^5
92 Найти производную — d/dx e^2
93 Найти производную — d/dx x^2+1
94 Вычислить интеграл sin(x) относительно x
95 Вычислить 2^3
96 Найти производную — d/dx arcsin(x)
97 Вычислить предел (sin(x))/x, если x стремится к 0
98 Вычислить e^2
99 Вычислить интеграл e^(-x) относительно x
100 Вычислить интеграл 1/x относительно x

www.mathway.com

Внеклассный урок — Первообразная. Интегрирование

Первообразная. Интегрирование.

 

Первообразная.

Первообразную легко понять на примере.

Возьмем функцию у = х3. Как мы знаем из предыдущих разделов, производной от х3 является 3х2:

(х3)’ = 3х2.

Следовательно, из функции у = х3 мы получаем новую функцию: у = 3х2.
Образно говоря, функция у = х3 произвела функцию у = 3х2 и является ее «родителем». В математике нет слова «родитель», а есть родственное ему понятие: первообразная.

То есть: функция у = х3 является первообразной для функции у = 3х2.

Определение первообразной:

Если F‘(x) = f(x), то функцию у = F(x) называют первообразной для функции у =  f(x).

В нашем примере (х3)’ = 3х2, следовательно у = х3 – первообразная для у = 3х2.

 

Интегрирование.

Как вы знаете, процесс нахождения производной по заданной функции называется дифференцированием. А обратная операция называется интегрированием.

Интегрирование – это процесс нахождения функции по заданной производной.

 
Приведенный выше пример как раз является примером интегрирования: по производной (х3)’ мы вычислили функцию у = 3х2.

 

Правила и формулы для первообразной.

(1)

Первообразная суммы равна сумме первообразных.

 

Пример-пояснение:

Найдем первообразную для функции у = 3х2 + sin x.

Решение:

Мы знаем, что первообразной для 3х2 является х3.

Первообразной для sin x является –cos x.

Складываем два первообразных и получаем первообразную для заданной функции:

у = х3 + (–cos x),

у = х3 – cos x.

Ответ:
для функции у = 3х2 + sin x первообразной является функция у = х3 – cos x.

 

(2)

kF(x) является первообразной для kf(x), если F(x) является первообразной для f(x).

 

Пример-пояснение:

Найдем первообразную для функции у = 2 sin x.

Решение:

Замечаем, что k = 2. Первообразной для sin x является –cos x.

Следовательно, для функции у = 2 sin x первообразной является функция у = –2 cos x.
Коэффициент 2 в функции у = 2 sin x соответствует коэффициенту первообразной, от которой эта функция образовалась.

 

(3)

Если  у = F(x) является первообразной для функции y = f(x), то для функции y = f(kx + m) первообразной является функция:

                                                                             1
                                                                      y = — F (kx + m)
                                                                             k

 

Пример-пояснение:

Найдем первообразную для функции y = sin 2x.

Решение:

Замечаем, что k = 2. Первообразной для sin x является –cos x.

Применяем нашу формулу при нахождении первообразной для функции y = cos 2x:

       1
y = — · (–cos 2x),
       2

            cos 2x
y = – ————
               2

                                                                                                                       cos 2x
Ответ: для функции y = sin 2x первообразной является функция y = – ————
                                                                                                                           2


(4)

Если у = F(x) является первообразной для функции y = f(x), то функция y = f(x) имеет бесконечное множество первообразных, имеющих вид:

y = F(x) + C

 

Пример-пояснение.

Возьмем функцию из предыдущего примера: y = sin 2x.

Для этой функции все первообразные имеют вид:

            cos 2x
y = – ———— + C.
               2

 

Пояснение.

Возьмем первую строчку. Читается она так: если функция y = f(x) равна 0, то первообразной для для нее является 1. Почему? Потому что производная единицы равна нулю: 1′ = 0.

В таком же порядке читаются и остальные строчки.

Как выписывать данные из таблицы? Возьмем восьмую строчку:

(-cos x)’ = sin x

Пишем вторую часть со знаком производной, затем знак равенства и производную.

Читаем: первообразной для функции sin x является функция -cos x.

Или: функция -cos x является первообразной для функции sin x.

 

raal100.narod.ru

Лекция «Первообразная. Понятие первообразной. Основное свойство первообразной функции» (11-й класс)

Цель:

  • Формирование понятия первообразной.
  • Подготовка к восприятию интеграла.
  • Формирование вычислительных навыков.
  • Воспитание чувства прекрасного (умение видеть красоту в необычном).


Математический анализ — совокупность разделов математики,
посвященных исследованию
функций и их обобщений методами
дифференциального и
интегрального исчислений.

Если до настоящего времени мы изучали раздел математического анализа,
называемого диффренциальным исчислением, суть которого заключается в изучении
функции в “малом”.

Т.е. исследование функции в достаточно малых окрестностях каждой точки
определения. Одна из операций дифференцирования- нахождение производной (дифференциала)
и применении к исследованию
функций.

Не менее важной является обратная задача. Если известно поведение функции в
окрестностях каждой точки ее определения, то как восстановить функцию в целом,
т.е. во всей области ее определения. Эта задача составляет предмет изучения так называемого интегрального
исчисления.

Интегрированием называется действие обратное дифференцированию. Или
восстановление функции f(х) по данной производной f`(х). Латинское слово “integro” означает – восстановление.

Пример №1.

Пусть (х)`=3х2.

Найдем f(х).

Решение:

Опираясь на правило дифференцирования, нетрудно догадаться, что f(х)=х3, ибо (х3)`=3х2
Однако, легко можно заметить, что f(х) находится неоднозначно.

В качестве f(х) можно взять

f(х)= х3+1

f(х)= х3+2

f(х)= х3-3 и др.

Т.к.производная каждой из них равно 3х2. (Производная постоянной
равна 0). Все эти функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым. Поэтому общее решение задачи можно записать в виде f(х)= х3+С, где С — любое постоянное действительное число.

Любую из найденных функций f(х) называют ПЕРВООБРАЗНОЙ для функции F`(х)= 3х2

Определение. Функция F(х) называется первообразной для функции
f(х) на заданном промежутке J, если для всех х из этого промежутка F`(х)= f(х). Так функция F(х)=х3 первообразная для f(х)=3х2 на (- ∞
; ∞ ).

 Так как, для всех х ~R справедливо равенство: F`(х)=(х3)`=3х2

Как мы уже заметили, данная функция имеет бесконечное множество первообразных
(смотри пример № 1).

Пример № 2. Функция F(х)=х есть первообразная для всех f(х)= 1/х на
промежутке ( 0; + ), т.к. для всех х из этого промежутка, выполняется равенство.

F`(х)= (х 1/2)`=1/2х-1/2=1/2х

Пример № 3. Функция F(х)=tg3х есть первообразная для f(х)=3/cos3х на
промежутке (-п/2; п/2),
т.к. F`(х)=(tg3х)`= 3/cos2

Пример № 4.Функция F(х)=3sin4х+1/х-2 первообразная для f(х)=12cos4х-1/х2
на промежутке (0;∞)

т.к. F`(х)=(3sin4х)+1/х-2)`= 4cos4х-1/х2

Лекция 2.


Тема: Первообразная. Основное свойство первообразной функции.

При изучении первообразной будем опираться на следующее утверждение. Признак постоянства функции: Если на промежутке J производная Ψ(х)
функции равна 0, то на этом промежутке функция Ψ(х) постоянна.

Это утверждение можно продемонстрировать геометрически.

Известно, что Ψ`(х)=tgα, γде α-угол
наклона касательной к графику функции Ψ(х) в точке с абсциссой х0. Если Ψ`(υ)=0 в любой точке промежутка J,
то tgα=0 δля любой касательной к графику функции Ψ(х). Это означает, что касательная к графику функции в любой его точке параллельна оси абсцисс. Поэтому на указанном промежутке график функции Ψ(х) совпадает с отрезком прямой у=С.

Итак, функция f(х)=с постоянна на промежутке J, если f`(х)=0 на этом
промежутке.

Действительно, для произвольного х1 и х2 из промежутка
J по теореме о среднем значении функции можно записать:

f(х2)- f(х1)=f`(с) (х2— х1), т.к.
f`(с)=0, то f(х2)= f(х1)

Теорема: (Основное свойство первообразной функции)

Если F(х) одна из первообразных для функции f(х) на промежутке J, то множество всех первообразных этой функции имеет вид: F(х)+С, где С — любое действительное число.

Доказательство:

Пусть F`(х) = f (х), тогда (F(х)+С)`= F`(х)+С`= f (х), для х Є J.

Допустим существует Φ(х)- другая
первообразная для f (х) на промежутке J, т.е. Φ`(х) = f (х),

тогда (Φ(х)- F(х))` = f (х) – f (х) = 0,
для х Є J.

Это означает, что Φ(х)- F(х) постоянна на
промежутке J.

Следовательно, Φ(х)- F(х) = С.

Откуда Φ(х)= F(х)+С.

Это значит, что если F(х) — первообразная для функции f (х) на промежутке J, то множество всех первообразных этой функции имеет вид: F(х)+С, где С — любое действительное число.

Следовательно, любые две первообразные данной функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым.

Пример: Найти множество первообразных функции f (х) = cos х. Изобразить графики первых трех.

Решение: Sin х — одна из первообразных для функции f (х) = cos х

F(х) = Sin х+С –множество всех первообразных.

F1 (х) = Sin х-1

F2 (х) = Sin х

F3 (х) = Sin х+1

Геометрическая иллюстрация: График любой первообразной F(х)+С можно получить из графика первообразной F(х) при помощи параллельного переноса r (0;с).

Пример: Для функции f (х) = 2х найти первообразную, график которой проходит
через т.М (1;4)

Решение: F(х)=х2+С – множество всех первообразных, F(1)=4 — по условию задачи.


Следовательно, 4 = 12

С = 3
F(х) = х2+3

urok.1sept.ru

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск