5 х у: Решить систему: х-у=5 х+у=7 — Школьные Знания.com

Содержание

2,5-местные диваны — 2,5-х местный модуль дивана Modena

ДОСТАВКА И СБОРКА

Вы можете воспользоваться услугами нашей доставки и сборки. Доставка и сборка осуществляется профессиональной командой, которая прошла соответствующее обучение и имеет большой опыт работы с BoConcept. Поэтому, заказывая доставку и сборку у нас, вы можете быть уверены в качестве этих услуг.

СРОК ПОСТАВКИ

К сожалению, не весь ассортимент представлен в наличии. Некоторая мебель изготавливается на заказ по вашим предпочтениям. Поэтому срок поставки мебели может достигать 70 рабочих дней.

ВНЕСЕНИЕ ИЗМЕНЕНИЙ ИЛИ ОТМЕНА ЗАКАЗА

Если вы решили изменить ваш заказ, вы можете сделать это в течении 48 часов с момента оформления заказа. Для товаров, производящихся под заказ, отмена заказа или внесения изменений должны быть сделаны не позднее 24 часов с момента заказа.

ВОЗВРАТЫ

Мы уверены, вам понравится ваши покупки в BoConcept, но в случае, если вы передумаете, вы можете вернуть товар, купленный из наличия в течении 14 дней с момента совершения покупки. Все возвраты производятся в соответствии с законом РФ «О защите прав потребителей».

ВОЗВРАТ ТОВАРА, СДЕЛАННОГО ПОД ЗАКАЗ

Обращаем ваше внимание на то, что согласно Ст. 26.1 Закона «О защите прав потребителей» товар с индивидуальными характеристиками (то есть изготовленный под заказ), имеющий надлежащее качество — обмену и возврату не подлежит. Однако, ваш ближайший магазин может пойти на уступки, для этого обратитесь в ближайший салон BoConcept.

НЕНАДЛЕЖАЩЕЕ КАЧЕСТВО

Мы много работаем, чтобы наша продукция радовала вас. Однако, если вы считаете, что получили товар ненадлежащего качества, обратитесь к нам как можно скорее. Мы рассмотрим ваше обращение в кратчайшие сроки и, в зависимости от проблемы, предложим вам возврат, ремонт или замену товара.

Оговорка об ограничении ответственности

Некоторые из наших изображений являются трехмерной визуализацией и могут немного отличаться от той продукции, которую они изображают. Цветопередача также может на разных устройствах быть разной.

ЦЕНЫ

На сайте указана рекомендованная розничная цена, которая включает НДС.

5-ти осевый обрабатывающие центры Модели МС-5Х

СТОЛ

 

 

Диаметр поворотного стола

600

мм

Максимальная допустимая нагрузка на стол

600

кг

Т-образные пазы

7х14

шт/мм

РАБОЧАЯ ЗОНА

 

 

Перемещение по оси X

580

мм

Перемещение по оси Y

500

мм

Перемещение по оси Z

500

мм

Угол поворота оси А

±120

град

Вращение оси С

360

град

Расстояние от конуса шпинделя до поверхности стола

140-640

мм

ШПИНДЕЛЬ

 

 

Конус шпинделя

ISO40/HSK-A63

Диапазоны вращения шпинделя

12000(15000)/ 18000(24000)

об/мин

Мощность двигателя шпинделя

20/25

кВт

ПОДАЧИ

 

 

Ускоренные перемещения X,Y,Z

36

м/мин

Максимальная скорость оси А

16

об/мин

Максимальная скорость оси С

90

об/мин

Ускорение X,Y,Z

7

м/с²

ШВП

Диаметр по осям X,Y,Z

40хР12

мм

МАГАЗИН ИНСТРУМЕНТА

 

 

Тип смены инструмента

«рука»

Количество мест

24 (32)

шт

Время смены инструмента

4

сек

Максимальный вес инструмента

7

кг

Максимальная длина инструмента

300

мм

Максимальный диаметр инструмента:

при полном магазине

при пустом соседнем гнезде

 

78

120

 

мм

мм

ТОЧНОСТЬ

 

 

Точность позиционирования, линейная

±0,008

мм

Повторяемость, линейная

±0,004

мм

Точность позиционирования, угловая

±4”

град

Повторяемость, угловая

±2”

град

ГАБАРИТЫ И МАССА

 

 

Габариты (ДхШхВ)

2731х3900х3000

мм

Масса станка

7500

кг

Oventrop Multidis SH Коллектор 5 х G 3/4 сталь

Описание товара

Распределительная гребенка Oventrop Multidis SH предназначена для систем отопления с принудительной циркуляцией. Она применяется как для однотрубных, так и для двухтрубных систем.

При монтаже двухтрубных систем каждый вход и выход отопительного прибора с помощью трубопровода непосредственно присоединяются к гребенке. Для присоединения к одной ветви нескольких отопительных приборов Oventrop предлагает программу присоединения с h-элементами.
OVENTROPГребенка из нержавеющей стали Multidis SH для подключения отопительных приборов, тип 140 70, в смонтированном виде. Макс. рабочее давление: 10 бар, макс. рабочая температура: 100 C. Подающий и обратный коллектор из нержавеющей стали (1.4301). Отводы с наружной резьбой G 3/4 для присоединительных наборов Oventrop со стяжным кольцом. С накидными гайками с внутренней резьбой G 1 для непосредственного подключения шаровых кранов с плоским уплотнением. С воздухоспускными пробками G 1/2, с заглушками G ½, торцевыми заглушками G 3/4. Все латунные части никелированные. Крепежные хомуты из оцинкованной стали с шумоизоляционными вставками, соответствуют DIN 4109. 

Функции:
Гребенка из нержавеющей стали Oventrop „Multidis SH“ служит для распределения теплоносителя к отопительным приборам в различных помещениях.
Рекомендуется оборудовать гребенку шаровыми кранами напр., арт. No 140 63 83 или 140 63 84, которые позволят отключать гребенку от подающего и обратного трубопровода,
напр., во время проведения техобслуживания. Воздухоспускные пробки служат для удаления воздуха при  заполнении и, при необходимости, во время работы системы.
Теплоноситель должен соответствовать техническим нормам (напр., VDI 2035 – предотвращение повреждений в системах  водяного отопления).
Технические достоинства:
–  все необходимые компоненты от одного производителя
–  быстрый монтаж, т.к. гребенка уже смонтирована и уплотнения не требуются
–  высококачественная, долговечная гребенка из нержавеющей стали
–  устойчивость к коррозии
–  хорошие гидравлические характеристики
–  небольшая строительная глубина
–  возможность подключения любого вида труб
–  возможность подключения тепло счетчиков для центрального учета тепла
–  широкий ряд арматуры для подключения отопительных  приборов
–  система Oventrop „Combi“, включающая металлопластиковые трубы „Copipe“, прессовые фитинги „Cofit P“ и резьбовые фитинги „Cofit S“ позволяют быстро и надежно подключить гребенку из нержавеющей стали „Multidis SH“ к стояку  и контурам отопления.

Гарантия

Гарантия на Распределительный коллектор Oventrop Multidis SH 1 год.

Кулер для воды AEL YLR 2-5-X (16L-B) напольный с холодильником

Простой вариант напольного кулера, дополнительно к подаче горячей и холодной воды установлен холодильник. Модель 16L-B с холодильником на 16л прекрасно подойдет для использования небольшим коллективом. Оптимальное соотношение цены и качества.

Тип исполнения напольный с холодильником 16л
Мощность нагрева 500 Вт
Мощность охлаждения 112 Вт
Нагрев 5 л/ч 85-94°C
Охлаждение 3 л/ч 5-10°C
Тип охлаждения компрессорный
Кран комнатной температуры нет
Панель управления и индикации нет
Тип крана нажим кружкой
Цвет бежевый
Защита от случайного нажатия нет
Гарантия 12 мес.
Страна производства Китай

Волжане достойно прошли испытания конкурса «Большая перемена» среди учащихся 5-7-х классов | Новости Волжского

реклама

В международном детском центре «Артек» завершились конкурсные испытания для самых юных участников Всероссийского конкурса «Большая перемена» — учащихся 5-7-х классов.

Как рассказали «Волжской правде» в пресс-службе мэрии, финалистами конкурса 2021 года стали 8 школьников Волжского: Анастасия Артемова, Даниил Елсаков, Андрей Коваленко, Валентин Первушин, Алина Сухова (школа № 30), Елизавета Денисова (школа № 14 «Зеленый шум»), Виктория Орлова (лицей № 1), Виктория Якунина (школа № 32 «Эврика-развитие). Всего в финале «Большой перемены» приняли участие 20 ребят из школ Волгоградской области. Они были приглашены для участия в кастингах известных телепроектов.

В Артеке прошли отборы для Всероссийского конкурса юных талантов  «Синяя птица» и нового шоу канала «Пятница» «Вундеркинды». После прослушиваний директор кастинг-платформы «Большая перемена» Наталья Тихонова в качестве победителей в числе 15 школьников отметила шестиклассниц 30-й школы Елизавету Денисову и Алину Сухову. 

Свои просмотры провели представители вокально-музыкальной академии «Утренняя звезда». Представитель академии, музыкальный продюсер Елена Максимова вручила четырем победителям, в числе которых и волжанка Виктория Якунина, сертификаты на бесплатное участие в конкурсе «Утренняя звезда». Он пройдет 30 и 31 октября в Москве.

Напомним, Всероссийский онлайн-конкурс «Большая перемена» – проект президентской платформы «Россия – страна возможностей». Впервые он проводился в 2020 году и объединил около миллиона участников, а с 2021-го стал частью федерального проекта «Патриотическое воспитание граждан Российской Федерации» нацпроекта «Образование». В этом году школьники 5-7-х классов впервые участвовали в «Большой перемене». Всего заявки подали почти 5 тысяч волжан – помимо учеников 5-7-х классов, это старшеклассники, студенты образовательных учреждений среднего профессионального образования, педагоги.

Как собрать кубик Рубика 5х5. Самая легкая инструкция по сборке кубика Рубика

Как собрать кубик Рубика 5х5. Самая легкая инструкция по сборке кубика Рубика

Как собрать кубик Рубика 5х5. Самая легкая инструкция по сборке кубика Рубика Легкая инструкция как собрать кубик рубика 5х5. Если вы умеете собирать кубик 3х3, то вам нужно будет выучить всего лишь 2 формулы. Главное запомнить, что кубик надо привести к виду обычной трешки, а потом уже собирать по известным формулам

Наглядная видео инструкция

Этапы сборки кубика рубика 5х5

Сборки центров (по 9 элементов) Сборка ребер (по 3 элемента) Два последних ребра Сборка по формулам 3х3

Язык вращений

F — front — фронтальная грань B — back — задняя грань L — left — левая грань R — right — правая грань U — up — верхняя грань D — down — нижняя грань f — внутренняя фронтальная грань b — вн задняя грань l — вн левая грань r — вн правая грань u — вн верхняя грань d — вн нижняя грань e — средняя грань между верней и нижней (Ff) — две фронтальные грани (Bb) — две задние грани (Ll) — две левые грани (Rr) — две правые грани (Uu) — две верхние грани (Dd) — две нижние грани F’, r’, (Ll)’ … — поворот против чаcовой стрелки F2, r2, (Ll)2 … — поворот 2 раза (180 градусов)Совет 1: чтобы не путаться с правильным направлением вращения граней (по или против часовой стрелки) поверните эту грань ненадолго к себе лицом, потом верните кубик в исходное положение и продолжайте формулу. Совет 2: поворот грани 2 раза делайте как вам удобно, т.к. все равно по или против часовой стрелки вы его сделаете.

Этап 1. Сборка центров

На первом этапе нужно собрать центральные (девять элементов) на каждой грани кубика 5х5 (рис.1). Центр — это 9 элементов одного цвета в середине каждой грани. Если вращать только внешние грани (рис.2), вы не нарушите положение центральных элементов кубика. Вращением внешних граней мы добиваемся правильного позиционирования элементов из центра кубика перед тем, как применить формулу. На этом этапе есть только две формулы (рис.3,4). Перед их выполнением нужно подготовить кубик. Вращением внешних граней спозиционируйте элементы центров, которые вы хотите поменять местами. Примените формулу, чтобы поменять элементы местами. При этом собранные ранее элементы остальных центров не нарушатся. рис. 1 Результат, к которому нужно прийти на первом этапе. рис. 2 Если вращать только внешние грани, вы не нарушите положение центральных кубиков. рис. 3 Формулы для замены двух элементов из соседних центров (Rr) U (Rr)’ U (Rr) U2 (Rr)’ рис. 4 Формулы для замены двух элементов из соседних центров (Rr)’ F’ (Ll)’ (Rr) U (Rr) U’ (Ll) (Rr)’Совет: сборка центров проста и интересна, для этого совсем не обязательно знать формулы, достаточно понять принципы, посмотрев видео для начинающих (выше). Поняв идею, вы будете собирать центры кубика, как будто играете в пятнашки.

Этап 2. Сборка ребер

На втором этапе нужно собрать тройки реберных элементов кубика. Для этого вращением внещних граней кубика позиционируем его так, чтобы при вращении двух левых или двух правых граней кубика реберные элементы совмещались. Исходные позиции перед применением формул даны на рисунках. Применение формул не затрагивает ранее собранные центры и ребра. Везде на рисунках считается, что синий — это фронт (передняя грань), красный — это верх. У вас может быть другое расположение центров — это не имеет значения. рис. 5 Результат, к которому нужно прийти на втором этапе. рис. 6 (Ll)’ U L’ U’ (Ll) Белым показаны реберные пары, которые еще НЕ состыкаваны. рис. 7 (Ll)’ U L2 U’ (Ll) Белым показаны реберные пары, которые еще НЕ состыкаваны. рис. 8 (Ll)’ U L U’ (Ll) Белым показаны реберные пары, которые еще НЕ состыкаваны. рис. 9 Третий идет к паре теми же формулами (выше). рис. 10 (Rr) U’ R U (Rr)’ Желтым показаны реберные пары, которые еще НЕ состыкаваны. рис. 11 (Rr) U’ R2 U (Rr)’ Желтым показаны реберные пары, которые еще НЕ состыкованы. рис. 12 (Rr) U’ R’ U (Rr)’ Желтым показаны реберные пары, которые еще НЕ состыкаваны.ВНИМАНИЕ! Важно понять ПРОСТУЮ идею этого этапа. Все формулы состоят из 5 шагов. Шаг 1 — это всегда поворот 2-х граней (правых или левых) так, чтобы совместить 2 реберных элемента. Шаг 2 — это всегда поворот верха. Куда повернуть верх — зависит от того, с какой стороны есть несобранное ребро, которое вы подставите взамен состыкованного на шаге 1. Шаг 3 — это всегда поворот одной правой или левой грани так, чтобы вместо состыкованного ребра подставить несостыкованное. Шаги 4 и 5 это обратные повороты шагов 2 и 1, чтобы вернуть кубик в первоначальное состояние. Итак — состыковали, убрали в сторону, подставили несобранное, вернули обратно. Нужна демонстрация? Смотрите видео для начинающих (выше).

Этап 3. Сборка последних двух ребер и Паритеты

Вы прошли этапы 1 и 2 и пришли к ситуации, когда все ребра КРОМЕ ДВУХ собраны, и невозможно подставить несобранное ребро, чтобы воспользоваться формулами этапа 2. Для сборки двух последних ребер Вам понадобятся специальные схемы отдельно для каждого случая. рис. 13 (Dd) R F’ U R’ F (Dd)’ затем может понадобиться рис. 16 рис. 14 (Uu)2 (Rr)2 F2 u2 F2 (Rr)2 (Uu)2 затем может понадобиться рис. 16 рис. 15 e R F’ U R’ F e’ рис. 16 (Rr)2 B2 U2 (Ll) U2 (Rr)’ U2 (Rr) U2 F2 (Rr) F2 (Ll)’ B2 (Rr)2 рис. 17 (Ll)’ U2 (Ll)’ U2 F2 (Ll)’ F2 (Rr) U2 (Rr)’ U2 (Ll)2 рис. 18 F’ L’ F U’ или U F’ LВНИМАНИЕ! Если вашего случая нет среди рис.13-17, то разверните одно из ДВУХ НЕСОБРАННЫХ ребер с помощью формулы рис.18. и ситуация сведется к одной из рис.13-17.

Этап 4. Сборка кубика по формулам 3х3

Завершающим этапом сборки является сборка кубика 3х3, в который мы преобразовали нашу головоломку 5х5. Убедитесь, что все центры собраны, ребра не разбиты и стоят на своих местах. Купить YuXin 5×5 Kilin Stickerless | Кубик Юксин 5×5 без стикеров
459 грн Купить MoYu Aochuang WRM 5×5 black | Кубик Мою 5×5 магнитный
1349 грн Купить YJ 5×5 Yuchuang V2 M stickerless | Кубик 5×5 без наклеек магнитный
379 грн Купить MoYu Aochuang GTS5M 5×5 Color | Магнитный кубик
1299 грн created with passion

сколько множителей имеет алгебраическое выражение 5xy?

Келли К.

задано • 14.01.21

г. 3

3 фактора: 5, x и y

Все еще ищете помощь? Получите правильный ответ быстро.

ИЛИ
Найдите онлайн-репетитора сейчас

Выберите эксперта и познакомьтесь онлайн.Никаких пакетов или подписок, платите только за необходимое время.


¢ € £ ¥ ‰ µ · • § ¶ SS ‹ › « » < > ≤ ≥ — — ¯ ‾ ¤ ¦ ¨ ¡ ¿ ˆ ˜ ° — ± ÷ ⁄ × ƒ ∫ ∑ ∞ √ ∼ ≅ ≈ ≠ ≡ ∈ ∉ ∋ ∏ ∧ ∨ ¬ ∩ ∪ ∂ ∀ ∃ ∅ ∇ * ∝ ∠ ´ ¸ ª º † ‡ А Á Â Ã Ä Å Æ Ç È É Ê Ë Я Я Я Я Ð Ñ Ò Ó Ô Õ Ö Ø Œ Š Ù Ú Û Ü Ý Ÿ Þ à á â ã ä å æ ç è é ê ë я я я я ð ñ ò ó ô х ö ø œ š ù ú û ü ý þ ÿ Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ρ ς σ τ υ φ χ ψ ω ℵ ϖ ℜ ϒ ℘ ℑ ← ↑ → ↓ ↔ ↵ ⇐ ⇑ ⇒ ⇓ ⇔ ∴ ⊂ ⊃ ⊄ ⊆ ⊇ ⊕ ⊗ ⊥ ⋅ ⌈ ⌉ ⌊ ⌋ 〈 〉 ◊

СИСТЕМЫ СКАНИРОВАНИЯ

XY — сканер-макс

  • СИСТЕМА КОМПАКТ-506

    Обычная цена
    $ 0.00

    Цена продажи
    0,00 руб.

    Обычная цена

    Цена за единицу
    / за

    Распродажа Распроданный

  • СИСТЕМА САТУРН-1

    Обычная цена
    $ 0.00

    Цена продажи
    0,00 руб.

    Обычная цена

    Цена за единицу
    / за

    Распродажа Распроданный

  • СИСТЕМА САТУРН-5

    Обычная цена
    $ 0.00

    Цена продажи
    0,00 руб.

    Обычная цена

    Цена за единицу
    / за

    Распродажа Распроданный

  • СИСТЕМА САТУРН 9

    Обычная цена
    $ 0.00

    Цена продажи
    0,00 руб.

    Обычная цена

    Цена за единицу
    / за

    Распродажа Распроданный

ГАЛЬВАНОМЕТРЫ

Оптические сканеры на основе гальваномтера

(иногда называемые гальваном) — это сканеры, в которых используется физическое зеркало, которое вращается с помощью какого-либо двигателя.Чаще всего на вал гальванометра крепят гальваническое зеркало. Оптические сканеры на основе гальванометров требуют использования отдельной приводной электроники, называемой «сервоусилителями, сервоприводом или усилителем сканера».

Системы

могут быть сконфигурированы как одноосные или двухосные. ScannerMAX производит широкий спектр систем оптического сканирования на основе гальванометров, специализирован для использования в различных приложениях. Технология оптического сканирования на основе гальванометра ScannerMAX предлагает широкое применение в следующих основных областях:

СИСТЕМЫ ОПТИЧЕСКОГО СКАНИРОВАНИЯ XY

ScannerMAX — это запатентованный и отмеченный наградами диапазон полных оптических систем сканирования XY, включая нашу оптическую систему сканирования Compact-506, систему оптического сканирования Saturn 1, Оптические сканирующие системы Saturn 5 и оптические сканирующие системы Saturn 9 могут похвастаться нашим современным подходом к проектированию оптических систем сканирования XY — «сильнее, круче, быстрее».

Мы начинаем с использования более сильного магнитного поля, конструкции ротора и вала, конфигурации установки зеркала, материалов подшипников и обратной связи по положению. Мы сочетаем это с нашей инновационной конструкцией двигателя-магнита, которая позволяет нашим системам оптического сканирования XY работать в более низких температурах. И кульминация этих подходов позволяет нашим системам оптического сканирования XY работать быстрее, чем любая другая традиционная система оптического сканирования XY на рынке.

ЗЕРКАЛА GALVO

Стандартные гальванические зеркала

ScannerMAX доступны для луча диаметром от 3 до 10 мм.Зеркала большего размера и зеркала с гальваническим покрытием могут быть поставлены по запросу после консультации с нашей командой инженеров. У нас также есть возможность точно установить предоставленные клиентом гальванические зеркала и оптику гальванометра по мере необходимости. Доступны различные покрытия для длин волн лазера от 355 нм до 10,6 мкм. Подложки для наших гальванических зеркал включают оптическое стекло, плавленый кварц и кремний.

РЕЗОНАНСНЫЕ СКАНЕРЫ

Резонансные сканеры используют структуру спринтерского и массового типов, чтобы резонировать на фиксированной характеристической частоте, определяемой жесткостью пружины и количеством массы.В большинстве случаев с резонансными сканерами зеркало обеспечивает большую часть движущейся массы (в форме инерции).

Пружинная часть может быть выполнена в виде торсионного стержня или полосок из материала, такого как пружинная сталь (в случае МЭМС) кремний. Резонансные сканеры обычно требуют небольшого количества электроэнергии и предлагают преимущество, заключающееся в наличии относительно высоких частот сканирования и возможностей широкого угла сканирования. ScannerMAX в прошлом производила резонансные сканеры на заказ для OEM-приложений.Если у вас есть потенциальное применение для резонансных сканеров, свяжитесь с нами для получения дополнительной информации.

ПОЛИГОННЫЙ ЛАЗЕРНЫЙ СКАНЕР

Полигональные сканеры прикрепляют отражающую поверхность к валам непрерывно вращающегося двигателя. Вращающаяся поверхность может быть призматической, пирамидальной, моногональной или иметь неправильную форму. Во всех сканерах с полигональным лазером используется зеркало, которое обеспечивает высокую оптическую пропускную способность (обычно 85% или больше) и узкий или широкий угол сканирования, который определяется размером многоугольного отражателя и количеством граней.Также можно использовать лазерный луч очень большого диаметра. Отличительной чертой полигональных сканеров является то, что они сканируют один и тот же узор снова и снова. Для некоторых приложений, таких как инспекция или лазерная печать, это может быть желательно.

Используйте стрелки влево / вправо для навигации по слайд-шоу или смахивайте влево / вправо при использовании мобильного устройства

(ii) [x + y 2 5 + z xy] = [6 2 5 8]

Нокаут NEET 2024

Персонализированный наставник AI и адаптивное расписание, Материал для самообучения, Неограниченные пробные тесты и персонализированные аналитические отчеты, Круглосуточная поддержка в чате сомнений.

40000 / —

купить сейчас
Нокаут NEET 2025

Персонализированный наставник AI и адаптивное расписание, Материал для самообучения, Неограниченные пробные тесты и персонализированные аналитические отчеты, Круглосуточная поддержка в чате сомнений.

₹ 45000 / —

купить сейчас
Основание NEET + Нокаут NEET 2024

Персонализированный наставник AI и адаптивное расписание, Материал для самообучения, Неограниченные пробные тесты и персонализированные аналитические отчеты, Круглосуточная поддержка в чате сомнений.

54999 ₹ / — 42499 ₹ / —

купить сейчас
NEET Foundation + Knockout NEET 2024 (простая установка)

Персонализированный наставник AI и адаптивное расписание, Материал для самообучения, Неограниченные пробные тесты и персонализированные аналитические отчеты, Круглосуточная поддержка в чате сомнений.

3999 / —

купить сейчас
NEET Foundation + Knockout NEET 2025 (простая установка)

Персонализированный наставник AI и адаптивное расписание, Материал для самообучения, Неограниченные пробные тесты и персонализированные аналитические отчеты, Круглосуточная поддержка в чате сомнений.

3999 / —

купить сейчас

Глава 5 Отношения X-Y | STA 141

Прозрачность

В книге

Wilke используется пример времени вылета в сравнении с суммой задержки для всех рейсов из Нью-Йорка в 2013 году.Рассказывают, что более длительные задержки обычно происходят позже днем ​​или вечером, а не утром. Уилке использует эти данные, чтобы доказать, что чрезмерное построение графика раздражает и что тепловая карта может помочь.

Карты интенсивности

Как бы мы ни настраивали прозрачность, мы не можем это исправить, потому что данных очень много. Если для каждой области на графике мы посчитаем, сколько наблюдений попадает в область, мы можем раскрасить область в зависимости от того, сколько наблюдений находится в регионе.

Этот график наводит меня на мысль, что БОЛЬШИНСТВО рейсов довольно поздно, хотя на самом деле это не так. Это связано с проблемой «пропорциональных пикселей». Полеты с опозданием более чем на 30 минут отведены так много места и цвета, что у зрителя остается такое впечатление.

(-30, -10) 12465 0,03794
(-10,0] 187620 0.5711
(0,10] 45598 0,1388
(10,30] 34543 0,1051
(30,60] 21710 0,06608
(60,120) 16858 0,05132
(120,180) 5830 0,01775
(180, Инф.] 3893 0,01185

Поскольку нас интересует распределение значительных задержек по времени, а ранние отбытия обычно составляют всего пару минут, мы возьмем логарифмическое преобразование всех задержек \ (_ {10} \). более 10 минут.Мы также изменим цветовую шкалу, чтобы шестиугольники с небольшим числом переходили на задний план и были белыми, а шестиугольники с относительно большим числом имели заметный цвет.

Контурные графики

Контурные графики похожи на графики плотности, но для двухосных. Линии отмечают области с одинаковой вероятностью, и мы читаем это так же, как топологическую карту, показывающую высоту. В этом случае мы видим, что наиболее частые задержки составляют около 30 минут и происходят около 17:00.Также есть местный пик с 20-минутными задержками около 10 утра.

Графические неравенства с программой «Пошаговое решение математических задач»

В предыдущих главах мы решали уравнения с одной неизвестной или переменной. Теперь мы изучим методы решения систем уравнений, состоящих из двух уравнений и двух переменных.

ОЧКОВ НА САМОЛЕТЕ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Представьте декартову систему координат и определите начало координат и оси.
  2. Для упорядоченной пары найдите эту точку в декартовой системе координат.
  3. Для данной точки в декартовой системе координат укажите связанную с ней упорядоченную пару.

Мы уже использовали числовую прямую, на которой мы представили числа в виде точек на прямой.

Обратите внимание, что эта концепция содержит элементы из двух областей математики, строки из геометрии и чисел из алгебры. Рене Декарт (1596-1650) разработал метод соотношения точек на плоскости с алгебраическими числами.Эта схема называется декартовой системой координат , (от Декарта) и иногда называется прямоугольной системой координат.

Эта система состоит из двух числовых линий, перпендикулярных в своих нулевых точках.

Перпендикуляр означает, что две прямые расположены под прямым углом друг к другу.

Внимательно изучите диаграмму, отмечая каждый из следующих фактов.

Числовые линии называются осями .Горизонтальная линия — это ось x , а вертикальная — ось y . Нулевая точка, в которой они перпендикулярны, называется началом .

Оси множественного числа. Ось особенная.

Положительный к справа и вверх ; отрицательный — слева и вниз .

Стрелки указывают, что числовые линии продолжаются бесконечно. Таким образом, плоскость бесконечно простирается во всех направлениях.

Самолет разделен на четыре части, которые называются квадрантами . Они пронумерованы в направлении против часовой стрелки, начиная с верхнего правого угла.

Точки на плоскости обозначаются упорядоченными парами чисел, записанных в круглых скобках с запятой между ними, например (5,7). Это называется упорядоченной парой, потому что важен порядок, в котором написаны числа. Заказанная пара (5,7) — это , а не , как заказанная пара (7,5).Точки расположены на плоскости следующим образом.

Сначала начните с начала координат и посчитайте слева или справа количество пробелов, обозначенных первым числом в упорядоченной паре. Во-вторых, от точки на оси x, заданной первым числом, отсчитайте вверх или вниз количество пробелов, обозначенных вторым числом упорядоченной пары. Упорядоченные пары всегда сначала пишутся с x, а затем y, (x, y). Числа, представленные x и y, называются координатами точки (x, y).

Это важно. Первое число упорядоченной пары всегда относится к горизонтальному направлению, а второе число всегда относится к вертикальному направлению.

Пример 1 В следующей декартовой системе координат точки A (3,4), B (0,5), C (-2,7), D (-4,1), E (-3 , -4), F (4, -2), G (0, -5) и H (-6,0) обозначены. Проверьте каждый, чтобы определить, как они расположены.

Каковы координаты начала координат?

ГРАФИЧЕСКИЕ ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Найдите несколько упорядоченных пар, которые делают данное линейное уравнение истинным.
  2. Найдите эти точки в декартовой системе координат.
  3. Проведите прямую линию через те точки, которые представляют график этого уравнения.

График — это графическое изображение пронумерованных фактов. Есть много типов графиков, таких как гистограммы, круговые графики, линейные графики и так далее. Примеры таких графиков обычно можно найти в финансовом разделе газеты. Графики используются, потому что изображение обычно упрощает понимание числовых фактов.

В этом разделе мы обсудим метод построения графика уравнения с двумя переменными. Другими словами, мы нарисуем картину уравнения с двумя переменными.
Рассмотрим уравнение x + y — 7 и заметим, что мы легко можем найти множество решений. Например, если x = 5, то y — 2, поскольку 5 + 2 = 7. Кроме того, если x = 3, то y = 4, поскольку 3 + 4 = 7. Если мы представим эти ответы в виде упорядоченных пар (x, y) , то у нас есть (5,2) и (3,4) как две точки на плоскости, которые представляют ответы на уравнение x + y = 7.

Все возможные ответы на это уравнение, расположенные в виде точек на плоскости, дадут нам график (или картинку) уравнения.

Конечно, мы никогда не сможем найти все числа x и y такие, что x + y = 7, поэтому мы должны довольствоваться наброском графика. Эскиз можно охарактеризовать как «кривую наилучшего соответствия». Другими словами, необходимо найти достаточно точек, чтобы получить достаточно точную картину уравнения.

Помните, существует бесконечно много упорядоченных пар, которые удовлетворяли бы уравнению.

Пример 1 Нарисуйте график 2x + y = 3.

Решение Мы хотим найти несколько пар чисел, которые сделают это уравнение истинным. Мы добьемся этого, выбрав число для x, а затем найдя соответствующее значение для y. Таблица значений используется для записи данных.

В верхней строке (x) мы разместим числа, которые мы выбрали для x. Затем в нижней строке (y) мы поместим соответствующее значение y, полученное из уравнения.

Конечно, мы также могли бы начать с выбора значений для y, а затем найти соответствующие значения для x.

В этом примере мы позволим x принимать значения -3, -2, -1,0, 1,2,3.

Эти значения произвольны. Мы могли выбирать любые ценности.

Обратите внимание, что после того, как мы выбрали значение для x, значение для y определяется с помощью уравнения.

Эти значения x дают целые числа для значений y.Таким образом, это хороший выбор. Предположим, мы выбрали

Эти факты дают нам следующую таблицу значений:

Теперь мы находим упорядоченные пары (-3,9), (-2,7), (-1,5), (0,3), (1,1), (2, -1), (3, -3) на координатной плоскости и соедините их линией.

Теперь у нас есть график 2x + y = 3.

Линия показывает, что все точки на линии удовлетворяют уравнению, а также точки из таблицы.Стрелки указывают, что линия продолжается бесконечно.

Графики всех уравнений первой степени с двумя переменными будут прямыми линиями. Этот факт будет использован здесь, хотя в математике будет гораздо позже, прежде чем вы сможете доказать это утверждение. Такие уравнения первой степени называются линейными уравнениями .

Таким образом, любое уравнение вида ax + by — c, где a, b и c — действительные числа, является линейным уравнением.

Уравнения с двумя неизвестными более высокой степени дают графики, которые представляют собой кривые разных типов.Вы изучите их на будущих курсах алгебры.

Поскольку график уравнения первой степени с двумя переменными представляет собой прямую линию, необходимо иметь только две точки. Однако ваша работа будет более точной, если вы найдете хотя бы три точки. Ошибки можно найти и исправить, если найденные точки не лежат на одной линии. Таким образом, мы называем третью точку «контрольной точкой».

Это важно. Не пытайтесь сократить свою работу, найдя только два момента.Вы будете удивлены, как часто вы обнаружите ошибку, обнаружив все три точки.

Пример 2 Нарисуйте график 3x — 2y — 7.

Решение Сначала составьте таблицу значений и выберите три числа, которые будут заменять x. Попробуем 0, 1,2.

Опять же, вы также могли начать с произвольными значениями y.

Ответ не так легко найти на графике, как целое число.Похоже, что x = 0 был не очень удачным выбором. Иногда можно заглянуть вперед и сделать лучший выбор для x.

Поскольку и x, и y являются целыми числами, x = 1 было хорошим выбором.

Точку (1, -2) будет легче найти. Если x = 2, у нас будет другая дробь.

Точку (3,1) будет легко найти.

x = 3 был еще одним хорошим выбором.

Мы скорректируем таблицу значений и будем использовать точки, дававшие целые числа.Это не всегда возможно, но попытка получить целые значения даст более точный набросок. Теперь у нас есть таблица для 3x — 2y = 7.

Мы можем это сделать, поскольку выбор x был произвольным.

Расположение точек (1, -2), (3,1), (- 1, -5) дает график 3x — 2y = 7.

Сколько упорядоченных пар удовлетворяют этому уравнению?

НАКЛОН ЛИНИИ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Свяжите наклон линии с ее крутизной.
  2. Запишите уравнение прямой в форме пересечения наклона.
  3. Постройте прямую линию, используя ее наклон и точку пересечения по оси Y.

Теперь мы хотим обсудить важную концепцию, называемую наклоном линии. Интуитивно мы можем думать об уклоне как о крутизне линии по отношению к горизонтали.

Ниже приведены графики из нескольких линий. Внимательно изучите их и мысленно ответьте на следующие вопросы.

Какая линия круче?

Какова, по-видимому, связь между коэффициентом при x и крутизной Какой график будет круче: линии, когда уравнение имеет вид y = mx?

Какой график будет круче: y = 3x или y = 7x?

Теперь изучите следующие графики.

Какая линия круче?

Как отрицательное значение m влияет на график?

Какой график будет круче: y = 3x или y = 7x?

Для графика y = mx следовало сделать следующие наблюдения.

  1. Если m> 0, то
    • по мере увеличения значения m крутизна линии увеличивается и
    • линия поднимается вправо и опускается влево.
  2. Если м
  3. по мере увеличения значения m крутизна линии уменьшается и
  4. линия поднимается влево и опускается вправо
Помните, m> 0 означает, что «m больше нуля.»

Другими словами, в уравнении вида y — mx, m управляет крутизной линии. В математике мы используем слово наклон в отношении крутизны и формируем следующее определение:

В уравнении вида y = mx, m — это наклон графика уравнения.

Пример 1 Нарисуйте график y = 6x и укажите наклон линии.

Решение Сначала мы составим таблицу, показывающую три набора упорядоченных пар, которые удовлетворяют уравнению.

Помните, нам нужны только две точки для определения линии, но мы используем третью точку в качестве проверки.

Затем мы рисуем график.

Значение m равно 6, следовательно, наклон равен 6. Мы можем просто написать m — 6.

Пример 2 Нарисуйте график и укажите наклон

Решение Выбирая значения x, которые делятся на 3, получаем таблицу

Зачем использовать значения, которые делятся на 3?

Тогда график

Склон

Теперь мы хотим сравнить графики двух уравнений, чтобы установить другую концепцию.

Пример 3 Нарисуйте графики y 3x и y — 3x + 2 на одном и том же наборе координатных осей.

Сравните коэффициенты при x в этих двух уравнениях.

Раствор

В примере 3 посмотрите на таблицы значений и обратите внимание, что для данного значения x, значение y в уравнении y = 3x + 2 на два больше, чем соответствующее значение y в уравнении y = 3x.

Теперь посмотрите на графики двух уравнений и обратите внимание, что график y = 3x + 2, кажется, имеет тот же наклон, что и y = 3x.Также обратите внимание, что если весь график y = 3x перемещается вверх на две единицы, он будет идентичен графику y = 3x + 2. График y = 3x пересекает ось y в точке (0,0). , а график y = 3x + 2 пересекает ось y в точке (0,2).

Снова сравните коэффициенты при x в двух уравнениях.

Сравните эти таблицы и графики, как в примере 3.

Обратите внимание: когда две линии имеют одинаковый наклон, они параллельны.

Наклон от одной точки на линии к другой определяется отношением изменения y к изменению x. То есть

Если вы хотите произвести впечатление на своих друзей, вы можете написать

, где греческая буква (дельта) означает «изменение».

Обратите внимание, что изменение x равно 3, а изменение y равно 2.

Изменение x равно -4, а изменение y равно 1.


Можно также сказать, что изменение x равно 4, а изменение y равно -1.Это приведет к той же строке.

Пример 7 На графике y = 3x — 2 наклон равен 3.

Изменение x равно 1, а изменение y равно 3.

y = mx + b называется формой с пересечением наклона уравнения прямой линии. Если уравнение имеет такую ​​форму, m — это наклон линии, а (0, b) — точка, в которой график пересекает (пересекает) ось y.

Точка (0, b) называется точкой пересечения по оси y.

Если уравнение прямой имеет форму пересечения наклона, можно нарисовать его график, не составляя таблицу значений. Используйте точку пересечения оси Y и наклон, чтобы нарисовать график, как показано в примере 8.

Обратите внимание, что это уравнение имеет вид y = mx + b.

Сначала найдите точку (0, -2). Это одна из точек на линии. Наклон показывает, что изменение x равно 4, поэтому из точки (0, -2) мы перемещаем четыре единицы в положительном направлении параллельно оси x.Поскольку изменение y равно 3, мы перемещаем три единицы в положительном направлении параллельно оси y. Получившаяся точка тоже на линии. Поскольку две точки определяют прямую линию, мы рисуем график.

Всегда начинайте с точки пересечения оси y.
Распространенная ошибка, которую допускают многие студенты, — это путать точку пересечения по оси Y с точкой пересечения по оси x (точка, в которой линия пересекает ось x).

Пример 9 Задайте наклон и точку пересечения по оси Y и нарисуйте график y = 3x + 4.

Решение m = -3, пересечение оси y = (0,4).

Чтобы выразить наклон в виде отношения, мы можем написать -3 как или. Если мы запишем наклон как, то из точки (0,4) мы перемещаем одну единицу в положительном направлении параллельно оси x, а затем перемещаем три единицы в отрицательном направлении параллельно оси y. Затем мы проводим линию через эту точку и (0,4).

Предположим, уравнение не имеет формы y = mx + b. Сможем ли мы найти наклон и точку пересечения по оси Y? Ответ на этот вопрос — да.Однако для этого мы должны изменить форму данного уравнения, применив методы, использованные в разделе 4-2.

Раздел 4-2 посвящен решению буквальных уравнений. Вы можете просмотреть этот раздел.

Пример 10 Найдите наклон и точку пересечения оси Y для 3x + 4y = 12.

Решение Во-первых, мы понимаем, что уравнение не находится в форме пересечения наклона, необходимой для ответа на заданные вопросы. Чтобы получить эту форму, решите данное уравнение относительно y.

Нарисуйте здесь диаграмму.

Пример 11 Найдите наклон и точку пересечения оси Y для 2x — y = 7.

Решение Помещая уравнение в форму пересечения наклона, получаем

Нарисуйте график линии на сетке ниже.

ГРАФИЧЕСКИЕ ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете построить график линейных неравенств.

В главе 4 мы построили линейные графики неравенств, например

Это были неравенства с участием только одной переменной. Мы обнаружили, что во всех таких случаях график представлял собой некоторую часть числовой прямой. Поскольку уравнение с двумя переменными дает график на плоскости, кажется разумным предположить, что неравенство с двумя переменными будет отображаться как некоторая часть или область плоскости. На самом деле это так. Решение неравенства x + y

Пример 1 Каждая из следующих пар чисел в наборе решений x + y

Решение

Набор решений состоит из всех упорядоченных пар, которые делают утверждение истинным.
Подводя итог, следующие упорядоченные пары дают верное утверждение.
(2,1), (3, -4), (0,0), (- 1,4)
Следующие упорядоченные пары дают ложное утверждение.
(5,6), (3,2), (- 2,8)

Ниже приведен график прямой x + y = 5. Точки из примера 1 указаны на графике с ответами на вопрос «Является ли x + y

Обратите внимание, что все точки, удовлетворяющие уравнению, находятся слева и ниже линии, а все точки, которые не соответствуют, находятся сверху и справа.

Обратите внимание, что все ответы «да» лежат на одной стороне линии x + y = 5, а все ответы «нет» лежат на другой стороне линии или на самой строке.

График прямой x + y = 5 делит плоскость на три части: саму линию и две стороны линий (называемые полуплоскостями).

х + у х + у

Если одна точка полуплоскости находится в наборе решений линейного неравенства, то все точки в этой полуплоскости входят в набор решений.Это дает нам удобный метод построения графиков линейных неравенств.

Построение графика линейного неравенства
1. Замените символ неравенства знаком равенства и нанесите на график полученную линию.
2. Отметьте одну точку, которая, очевидно, находится в определенной полуплоскости этой прямой, чтобы увидеть, входит ли она в набор решений неравенства.
3. Если выбранная точка находится в наборе решений, тогда вся эта полуплоскость является набором решений. Если выбранная точка не входит в набор решений, тогда другая полуплоскость является набором решений.

Почему нужно проверять только одну точку?

Пример 2 Нарисуйте график 2x 4- 3y> 7.

Решение Шаг 1. Сначала нарисуйте график линии 2x + 3y = 7, используя таблицу значений или форму пересечения наклона.

Шаг 2: Затем выберите точку, которая не находится на прямой 2x + 3y = 7. [Если линия не проходит через начало координат, то точка (0,0) всегда является хорошим выбором.] Теперь обратимся к неравенство 2x + 3y>> 7, чтобы увидеть, находится ли выбранная точка в наборе решений.

Шаг 3: Точка (0,0) не входит в набор решений, поэтому полуплоскость, содержащая (0,0), не является набором решений. Следовательно, другая полуплоскость, определяемая линией 2x + 3y = 7, является множеством решений.
Поскольку сама линия не является частью решения, она показана пунктирной линией, а полуплоскость заштрихована, чтобы показать набор решений.

Множество решений — это полуплоскость сверху и справа от прямой.

Пример 3 Изобразите график решения линейного неравенства 2x — y ≥ 4.

Решение Шаг 1. Первый график 2x — y = 4. Поскольку линейный график для 2x — y = 4 не проходит через начало координат (0,0), проверьте эту точку в линейном неравенстве.

Шаг 2:

Шаг 3: Поскольку точка (0,0) не входит в набор решений, полуплоскость, содержащая (0,0), отсутствует в наборе. Следовательно, решение — другая полуплоскость. Обратите внимание, однако, что строка 2x — y = 4 включена в набор решений. Поэтому нарисуйте сплошную линию, чтобы показать, что это часть графика.

Набор решений — это линия и полуплоскость ниже и правее линии.

Пример 4 График x

Решение Первый график x = y. Затем проверьте точку не на линии. Обратите внимание, что график линии содержит точку (0,0), поэтому мы не можем использовать ее в качестве контрольной точки. Чтобы определить, какая полуплоскость является набором решений, используйте любую точку, которая явно не находится на прямой x = y. Точка (- 2,3) является такой точкой.

Используя эту информацию, график x

Когда график линии проходит через начало координат, любая другая точка на оси x или y также будет хорошим выбором.

ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Нарисуйте графики двух линейных уравнений в одной и той же системе координат.
  2. Найдите общее решение двух графиков.

Пример 1 Пара уравнений называется системой линейных уравнений.

Мы заметили, что каждое из этих уравнений имеет бесконечно много решений, и каждое из них будет образовывать прямую линию, когда мы построим его в декартовой системе координат.

Теперь мы хотим найти решения для системы. Другими словами, нам нужны все точки (x, y), которые будут на графике обоих уравнений.

Решение Мы рассуждаем следующим образом: если все решения 2x — y = 2 лежат на одной прямой, а все решения x + 2y = 11 лежат на другой прямой, то решение обоих уравнений будет их точками пересечение (если две прямые пересекаются).

В этой таблице мы позволяем x принимать значения 0, 1 и 2. Затем мы находим значения для y с помощью уравнения. Сделайте это перед тем, как продолжить.
В этой таблице мы позволяем y принимать значения 2, 3 и 6. Затем мы находим x, используя уравнение. Также проверьте эти значения.

Две прямые пересекаются в точке (3,4).

Обратите внимание, что точка пересечения выглядит как (3,4). Теперь мы должны проверить точку (3,4) в обоих уравнениях, чтобы убедиться, что это решение системы.

В качестве проверки мы подставляем упорядоченную пару (3,4) в каждое уравнение, чтобы увидеть, получим ли мы истинное утверждение.
Существуют ли другие точки, которые удовлетворяли бы обоим уравнениям? Почему?

Следовательно, (3,4) является решением системы.

Не все пары уравнений дают однозначное решение, как в этом примере. На самом деле существует три возможности, и вы должны знать о них.

Поскольку мы имеем дело с уравнениями, которые представляют собой прямые линии, мы можем исследовать эти возможности, наблюдая за графиками.

1. Независимые уравнения Две прямые пересекаются в одной точке. В этом случае есть единственное решение.

Приведенный выше пример представляет собой систему независимых уравнений.

2. Несогласованные уравнения Две прямые параллельны. В этом случае решения нет.

Независимо от того, как далеко протянуты эти линии, они никогда не пересекутся.

3. Зависимые уравнения Два уравнения дают одну и ту же линию. В этом случае любое решение одного уравнения является решением другого.

В этом случае общих решений будет бесконечно много.

На более поздних курсах алгебры будут изучены методы распознавания несовместных и зависимых уравнений. Однако на этом уровне мы будем иметь дело только с независимыми уравнениями. Тогда вы можете ожидать, что все проблемы, приведенные в этой главе, будут иметь уникальные решения.

Это означает, что графики всех систем в этой главе будут пересекаться в одной точке.

Решение системы двух линейных уравнений путем построения графиков
1. Составьте таблицу значений и нарисуйте график каждого уравнения в той же системе координат.
2. Найдите значения (x, y), которые называют точку пересечения линий.
3. Отметьте эту точку (x, y) в обоих уравнениях.

Опять же, в этой таблице мы произвольно выбрали значения x равными — 2, 0 и 5.
Здесь мы выбрали для x значения 2, 4 и 6. Вы могли выбрать любые значения, которые хотели.
Мы говорим «очевидный», потому что мы еще не проверили упорядоченную пару в обоих уравнениях. Как только он проверит, это определенно решение.

Поскольку (3,2) проверяет оба уравнения, это решение системы.

ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Постройте два или более линейных неравенства на одном и том же наборе осей координат.
  2. Определите область плоскости, которая является решением системы.

Более поздние занятия по математике будут включать тему линейного программирования. Несмотря на то, что сама тема выходит за рамки этого текста, одна техника, используемая в линейном программировании, вполне доступна вам — построение графиков систем линейных неравенств — и мы обсудим это здесь.

В предыдущем разделе вы обнаружили, что решение системы линейных уравнений — это пересечение решений каждого из уравнений.Таким же образом решение системы линейных неравенств представляет собой пересечение полуплоскостей (и, возможно, прямых), которые являются решениями каждого отдельного линейного неравенства.

Другими словами, x + y> 5 имеет множество решений и 2x — y

имеет в качестве своего решения область плоскости, которая находится в наборе решений обоих неравенств.

Для построения графика решения этой системы мы наносим на график каждое линейное неравенство на одном и том же наборе координатных осей и указываем пересечение двух наборов решений.

Обратите внимание, что решением системы линейных неравенств будет набор точек.

Опять же, используйте либо таблицу значений, либо форму уравнения с пересечением наклона для построения графика линий.

Проверка точки (0,0) в неравенстве x + y> 5 показывает, что точка (0,0) не входит в набор ее решений. Мы указываем набор решений x + y> 5 экраном справа от пунктирной линии.

Эта область находится справа и выше линии x + y = 5.

Проверка точки (0,0) в неравенстве 2x — y

Эта область находится слева и выше линии 2x — y = 4.

Пересечение двух наборов решений — это та область плоскости, в которой пересекаются два экрана. Этот регион показан на графике.

Обратите внимание еще раз, что решение не включает строки.Если, например, нас попросили изобразить решение системы

, что указывает на то, что решение включает точки на линии x + y = 5.

Результаты показывают, что все точки в заштрихованной части графика будут в наборах решений x + y> 5 и 2x — y.

РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЗАМЕНА

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы должны уметь решать систему двух линейных уравнений методом подстановки.

В разделе 6-5 мы решили систему двух уравнений с двумя неизвестными с помощью построения графиков. Графический метод очень полезен, но он был бы непрактичным, если бы решения были дробными. Фактическую точку пересечения может быть очень сложно определить.
Существуют алгебраические методы решения систем. В этом разделе мы обсудим метод подстановки.

Пример 1 Решить методом подстановки:

Решение
Шаг 1 Мы должны решить для одной неизвестной в одном уравнении.Мы можем выбрать либо x, либо y либо в первом, либо во втором уравнении. Наш выбор может быть основан на получении простейшего выражения. В этом случае мы решим относительно x во втором уравнении, получив x = 4 + 2y, потому что любой другой выбор привел бы к дроби.

Посмотрите на оба уравнения и посмотрите, есть ли в одном из них переменная с коэффициентом, равным единице.


Шаг 2 Подставьте значение x в другое уравнение.В этом случае уравнение:
2х + 3у = 1.
Подставляя (4 + 2y) вместо x, мы получаем 2 (4 + 2y) + 3y = 1, уравнение только с одной неизвестной.
Причина в том, что если x = 4 + 2y в одном из уравнений, то x должен быть равен 4 + 2y в другом уравнении.

Шаг 3 Решите неизвестное.

Помните, сначала удалите скобки.

Шаг 4 Подставьте y = — 1 в любое уравнение, чтобы найти соответствующее значение для x.Поскольку мы уже решили второе уравнение относительно x через y, мы можем его использовать.

Мы можем подставить y = — 1 в любое уравнение, поскольку y имеет одинаковое значение в обоих.

Таким образом, у нас есть решение (2, -1).
Помните, x записывается первым в упорядоченной паре.

Шаг 5 Проверьте решение в обоих уравнениях. Помните, что решение системы должно быть верным для каждого уравнения в системе.С

решение (2, -1) действительно проверяет.
Это проверяет: 2x + 3y = 1 и x — 2y = 4.

Отметьте эту упорядоченную пару в обоих уравнениях.
Ни в одном из этих уравнений не было переменной с коэффициентом, равным единице. В этом случае решение заменой — не лучший метод, но мы сделаем это так, просто чтобы показать, что это возможно. В следующем разделе будет предложен более простой метод.

РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДОПОЛНЕНИЕМ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы должны уметь решать систему двух линейных уравнений методом сложения.

Метод сложения для решения системы линейных уравнений основан на двух фактах, которые мы использовали ранее.

Во-первых, мы знаем, что решения уравнения не меняются, если каждый член этого уравнения умножается на ненулевое число. Во-вторых, мы знаем, что если мы добавим одинаковые или равные количества к обеим сторонам уравнения, результаты все равно будут одинаковыми.

Пример 1 Решить сложением:

Обратите внимание, что мы можем решить эту систему методом подстановки, решив первое уравнение относительно y.Решите эту систему методом подстановки и сравните свое решение с решением, полученным в этом разделе.

Решение
Шаг 1 Наша цель — сложить два уравнения и исключить одно из неизвестных, чтобы мы могли решить полученное уравнение с одним неизвестным. Если мы сложим уравнения как есть, мы не удалим неизвестное. Это означает, что мы должны сначала умножить каждую сторону одного или обоих уравнений на число или числа, что приведет к исключению одного из неизвестных при сложении уравнений.
Внимательно изучив проблему, мы замечаем, что проще всего устранить неизвестное y. Это делается путем умножения каждой стороны первого уравнения на -2.

Обратите внимание, что каждый член необходимо умножить на (- 2).

Шаг 2 Добавьте уравнения.

Шаг 3 Решите полученное уравнение.

В этом случае мы просто умножаем каждую сторону на (-1).

Шаг 4 Найдите значение другого неизвестного, подставив это значение в одно из исходных уравнений.Используя первое уравнение,

Подставьте x = 4 во второе уравнение и посмотрите, получите ли вы такое же значение для y.

Шаг 5 Если мы проверим упорядоченную пару (4, -3) в обоих уравнениях, мы увидим, что это решение системы.

Пример 2 Решить сложением:

Обратите внимание, что в этой системе ни одна переменная не имеет коэффициента, равного единице. Поэтому лучший метод решения — метод сложения.

Решение
Шаг 1 Оба уравнения необходимо изменить, чтобы исключить одно из неизвестных. Ни одно из неизвестных не будет проще другого, поэтому удалите либо x, либо y.
Чтобы исключить x, умножьте каждую сторону первого уравнения на 3 и каждую сторону второго уравнения на -2.

Если вы решили исключить y, умножьте первое уравнение на — 2, а второе уравнение на 3. Сделайте это и решите систему.Сравните ваше решение с полученным в примере.

Шаг 2 Сложив уравнения, мы получаем

Шаг 3 Решение для урожайности

Шаг 4 Использование первого уравнения в исходной системе для нахождения значения другой неизвестной дает

Шаг 5 Убедитесь, что упорядоченная пара (- 1,3) является решением системы.
Чек остается на ваше усмотрение.

СТАНДАРТНАЯ ФОРМА

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Напишите линейное уравнение в стандартной форме.
  2. Решите систему двух линейных уравнений, если они заданы в нестандартной форме.

Уравнения в предыдущих разделах не содержали дробей, как неизвестные в левой части уравнения, так и неизвестные в том же порядке.
Такие уравнения имеют стандартную форму. То есть они имеют вид ax + by = c, где a, b и c — целые числа. Перед решением методом сложения уравнения необходимо привести к стандартному виду.

Пример 1 Изменить 3x = 5 + 4y на стандартную форму.

Решение 3x = 5 + 4y не в стандартной форме, потому что одно неизвестное находится справа. Если мы добавим -4y к обеим сторонам, мы получим 3x — 4y = 5, что в стандартной форме.

Будьте осторожны. Многие студенты забывают умножить правую часть уравнения на 24.

Снова убедитесь, что каждый член умножен на 12.

Теперь прибавьте — 24x к обеим сторонам, получив — 24x + 9y = -10, что в стандартной форме.Обычно уравнения пишутся так, чтобы первый член был положительным. Таким образом, мы умножаем каждый член этого уравнения на (- 1).

Вместо того, чтобы говорить «первый член положительный», мы иногда говорим «ведущий коэффициент положительный».

ПРОБЛЕМЫ СО СЛОВОМ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Определите, когда проблема со словом может быть решена с использованием двух неизвестных.
  2. Составьте уравнения и решите словесную задачу.

Многие проблемы со словами можно обрисовать в общих чертах, и с ними будет проще работать, используя два неизвестных.

Пример 1 Сумма двух чисел равна 5. Трижды первое число, добавленное к пяти умноженным на второе число, равно 9. Найдите числа.

Решение Пусть x = первое число
y = второе число
Первое утверждение дает нам уравнение
x + y = 5.
Второе утверждение дает нам уравнение
3x + 5 y = 9.
Теперь у нас есть система

, которую мы можем решить любым из известных нам методов, давая
x = 8 и y = — 3.

Решите систему с помощью подстановки.

Пример 2 Два работника получают в общей сложности 136 долларов за 8-часовую работу. Если одному работнику платят на 1 доллар в час больше, чем другому, найдите почасовую ставку для каждого.

Решение Пусть x = почасовая ставка одного работника
y = почасовая ставка другого работника.

Обратите внимание, что очень важно сказать, что представляют x и y.

Первое утверждение дает нам уравнение
8x + 8y = 136.
Второе утверждение дает уравнение
х = у + 1.
Теперь у нас есть система (в стандартном виде)

Решение дает x = 9 и y = 8. Ставка одного рабочего составляет 9 долларов в час, а другого — 8 долларов в час.
Решите эту систему методом сложения.

РЕЗЮМЕ

Ключевые слова

  • Декартова система координат — это метод наименования точек на плоскости.
  • Упорядоченные пары чисел используются для обозначения точек на плоскости.
  • Линейное уравнение представляет собой прямую линию.
  • Угол наклона от одной точки на линии к другой является отношением.
  • Форма пересечения наклона уравнения прямой имеет вид y = mx + b.
  • A линейное неравенство графики как часть плоскости.
  • Система двух линейных уравнений состоит из линейных уравнений, для которых мы хотим найти совместное решение.
  • Независимые уравнения имеют уникальные решения.
  • Несогласованные уравнения не имеют решения.
  • Зависимые уравнения имеют бесконечно много решений.
  • Система двух линейных неравенств состоит из линейных неравенств, для которых мы хотим найти одновременное решение.
  • Стандартная форма линейного уравнения — это ax + by = c, где a, b и c — действительные числа.

Процедуры

  • Чтобы нарисовать график линейного уравнения, найдите упорядоченные пары чисел, которые являются решениями этого уравнения.Найдите эти точки в декартовой системе координат и соедините их линией.
  • Чтобы нарисовать график линии, используя ее наклон:
    Шаг 1 Запишите уравнение прямой в форме y — mx + b.
    Шаг 2 Найдите точку пересечения j (0, b).
    Шаг 3 Начиная с (0, b), используйте наклон m, чтобы найти вторую точку.
    Шаг 4 Соедините две точки прямой линией.
  • Чтобы построить график линейного неравенства:
    Шаг 1 Замените символ неравенства знаком равенства и нанесите на график полученную линию.
    Шаг 2 Проверьте одну точку, которая явно находится в определенной полуплоскости этой прямой, чтобы увидеть, входит ли она в набор решений неравенства.
    Шаг 3 Если выбранная точка находится в наборе решений, то вся эта полуплоскость является набором решений. Если выбранная точка не входит в набор решений, тогда другая полуплоскость является набором решений.
  • Чтобы решить систему двух линейных уравнений с помощью построения графиков, тщательно изобразите уравнения в одной и той же системе координат.Их точка пересечения и будет решением системы.
  • Чтобы решить систему двух линейных неравенств с помощью построения графиков, определите область плоскости, которая удовлетворяет обоим утверждениям неравенства.
  • Чтобы решить систему двух уравнений с двумя неизвестными путем подстановки, решите одну неизвестную одного уравнения через другую неизвестную и подставьте эту величину в другое уравнение. Затем подставьте полученное таким образом числовое значение в любое уравнение, чтобы найти значение другого неизвестного.Наконец, проверьте решение в обоих уравнениях.
  • Чтобы решить систему двух уравнений с двумя неизвестными путем сложения, умножьте одно или оба уравнения на необходимые числа так, чтобы при сложении уравнений одно из неизвестных было удалено. Решите оставшиеся неизвестные и подставьте это значение в одно из уравнений, чтобы найти другое неизвестное. Проверьте оба уравнения.
  • Чтобы решить словесную задачу с двумя неизвестными, найдите два уравнения, которые показывают взаимосвязь между неизвестными.Затем решите систему. Всегда проверяйте решение указанной проблемы.

График по точкам

Решения уравнений с двумя переменными

Линейное уравнение с двумя переменными Уравнение с двумя переменными, которое может быть записано в стандартной форме ax + by = c, где действительные числа a и b не равны нулю. имеет стандартную форму ax + by = c, где a , b и c — действительные числа, а a и b одновременно не равны 0.Решения уравнений этой формы представляют собой упорядоченные пары ( x , y ), где координаты при подстановке в уравнение дают истинное утверждение.

Пример 1: Определите, являются ли (1, −2) и (−4, 1) решениями для 6x − 3y = 12.

Решение: Подставьте значения x и y в уравнение, чтобы определить, дает ли упорядоченная пара истинное утверждение.

Ответ: (1, −2) — решение, а (−4, 1) — нет.

Часто бывает, что линейное уравнение задается в форме, в которой одна из переменных, обычно y , изолирована. Если это так, то мы можем проверить, является ли упорядоченная пара решением, подставив значение одной из координат и упростив, чтобы увидеть, получим ли мы другую.

Пример 2: Являются ли (12, −3) и (−5, 14) решениями y = 2x − 4?

Решение: Замените значения x и упростите, чтобы увидеть, получены ли соответствующие значения y .

Ответ: (12, −3) — решение, а (−5, 14) — нет.

Попробуй! Является ли (6, −1) решением y = −23x + 3?

Ответ: Да

Если даны линейные уравнения с двумя переменными, мы можем решить для одной из переменных, обычно y , и получить эквивалентное уравнение следующим образом:

В таком виде мы видим, что y зависит от x .Здесь x — это независимая переменная, которая определяет значения других переменных. Обычно мы думаем о значении x как о независимой переменной. и y — зависимая переменная Переменная, значение которой определяется значением независимой переменной. Обычно мы думаем о значении и как о зависимой переменной.

Линейное уравнение y = 2x − 4 можно использовать для нахождения упорядоченных парных решений. Если мы заменим x любым действительным числом, то можно упростить поиск соответствующего значения y .Например, если x = 3, то y = 2 (3) −4 = 6−4 = 2, и мы можем сформировать упорядоченное парное решение (3, 2). Поскольку для x можно выбрать бесконечно много действительных чисел, линейное уравнение имеет бесконечно много упорядоченных парных решений ( x , y ).

Пример 3: Найдите упорядоченные парные решения уравнения 5x − y = 14 с заданными значениями x {−2, −1, 0, 4, 6}.

Решение: Сначала решите относительно и .

Затем подставьте значения x в уравнение y = 5x − 14, чтобы найти соответствующие значения y .

Ответ: {(−2, −24), (−1, −19), (0, −14), (4, 6), (6, 16)}

В предыдущем примере приведены определенные значения x , но это не всегда так. Рассматривая x как независимую переменную, мы можем выбрать любые значения для x , а затем подставить их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения y .Этот метод дает любое количество упорядоченных парных решений.

Пример 4: Найдите пять упорядоченных парных решений уравнения 6x + 2y = 10.

Решение: Сначала решите относительно и .

Затем выберите любой набор значений x . Обычно мы выбираем некоторые отрицательные значения и некоторые положительные значения. В этом случае мы найдем соответствующие значения y , когда x равно {−2, −1, 0, 1, 2}.Сделайте замены, необходимые для заполнения следующей таблицы (часто называемой t-диаграммой):

Ответ: {(−2, 11), (−1, 8), (0, 5), (1, 2), (2, −1)}. Поскольку существует бесконечно много упорядоченных парных решений, ответы могут варьироваться в зависимости от выбора значений для независимой переменной.

Попробуй! Найдите пять упорядоченных парных решений уравнения 10x − 2y = 2.

Ответ: {(−2, −11), (−1, −6), (0, −1), (1, 4), (2, 9)} ( ответов могут отличаться от )

График по точкам

Поскольку решения линейных уравнений представляют собой упорядоченные пары, их можно построить в виде графиков в прямоугольной системе координат.Набор всех решений линейного уравнения может быть представлен на прямоугольной координатной плоскости с помощью прямой линии, соединяющей по крайней мере две точки; эта линия называется его графиком Точка на числовой прямой, связанной с координатой .. Чтобы проиллюстрировать это, постройте пять упорядоченных парных решений: {(−2, 11), (−1, 8), (0, 5), (1) , 2), (2, −1)}, в линейное уравнение 6x + 2y = 10.

Обратите внимание, что точки коллинеарны; так будет для любого линейного уравнения.Проведите линию через точки с помощью линейки и добавьте стрелки с обоих концов, чтобы указать, что график продолжается бесконечно.

Результирующая линия представляет все решения 6x + 2y = 10, которых бесконечно много. Шаги построения линий путем нанесения точек описаны в следующем примере.

Пример 5: Найдите пять упорядоченных парных решений и построите график: 10x − 5y = 10.

Решение:

Шаг 1: Найдите и .

Step2 : Выберите как минимум два значения x и найдите соответствующие значения y . В этом разделе мы выберем пять действительных чисел для использования в качестве значений x . Рекомендуется выбирать 0 и некоторые отрицательные числа, а также некоторые положительные числа.

Пять упорядоченных парных решений: {(−2, −6), (−1, −4), (0, −2), (1, 0), (2, 2)}

Шаг 3: Выберите подходящий масштаб, нанесите точки и проведите через них линию с помощью линейки.В этом случае выберите масштаб, в котором каждая отметка на оси y представляет 2 единицы, поскольку все значения y кратны 2.

Ответ:

Не всегда будет так, что y может быть решено в терминах x с целыми коэффициентами. На самом деле коэффициенты часто оказываются дробными.

Пример 6: Найдите пять упорядоченных парных решений и построите график: −5x + 2y = 10.

Решение:

Помните, что вы можете выбрать любое действительное число для независимой переменной x , так что выбирайте здесь с умом. Поскольку знаменатель коэффициента переменной x равен 2, вы можете избежать дробей, выбрав для значений x кратные 2. В этом случае выберите набор значений x {−6, −4, −2, 0, 2} и найдите соответствующие значения y .

Пять решений: {(−6, −10), (−4, −5), (−2, 0), (0, 5), (2, 10)}.Здесь мы выбираем масштабирование оси x с кратностью 2 и оси y с кратностью 5.

Ответ:

Попробуй! Найдите пять упорядоченных парных решений и граф: x + 2y = 6.

Ответ: {(−2, 4), (0, 3), (2, 2), (4, 1), (6, 0)}

Горизонтальные и вертикальные линии

Нам нужно распознать путем осмотра линейные уравнения, которые представляют собой вертикальную или горизонтальную линию.

Пример 7: График, состоящий из пяти точек: y = −2.

Решение: Поскольку данное уравнение не имеет переменной x , мы можем переписать его с коэффициентом 0 для x .

Выберите любые пять значений для x и убедитесь, что соответствующее значение y всегда равно -2.

Теперь у нас есть пять упорядоченных парных решений для построения графиков {(−2, −2), (−1, −2), (0, −2), (1, −2), (2, −2)}.

Ответ:

Когда коэффициент для переменной x равен 0, график представляет собой горизонтальную линию. В общем, уравнение для горизонтальной линии — это любая линия, уравнение которой можно записать в виде y = k , где k — действительное число. можно записать в виде y = k, где k представляет любое действительное число.

Пример 8: График из пяти точек: x = 3.

Решение: Поскольку данное уравнение не имеет переменной y , перепишите его с коэффициентом 0 для y .

Выберите любые пять значений для y и убедитесь, что соответствующее значение x всегда равно 3.

Теперь у нас есть пять упорядоченных парных решений для построения: {(3, −2), (3, −1), (3, 0), (3, 1), (3, 2)}.

Ответ:

Когда коэффициент для переменной y равен 0, график представляет собой вертикальную линию.В общем, уравнение для вертикальной линии — любая линия, уравнение которой можно записать в виде x = k , где k — действительное число. можно записать как x = k, где k представляет любое действительное число.

Подводя итог, если k — действительное число,

Попробуй! Изобразите y = 5 и x = −2 на одном и том же наборе осей и определите, где они пересекаются.

Ответ: (−2, 5)

Основные выводы

  • Решения линейных уравнений с двумя переменными ax + by = c представляют собой упорядоченные пары ( x , y ), где координаты при подстановке в уравнение приводят к истинному утверждению.
  • Линейные уравнения с двумя переменными имеют бесконечно много упорядоченных парных решений. Когда решения изображены на графике, они коллинеарны.
  • Чтобы найти упорядоченные парные решения, выберите значения для независимой переменной, обычно x , и подставьте их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения y .
  • Чтобы построить график линейных уравнений, определите по крайней мере два упорядоченных парных решения и проведите через них линию линейкой.
  • Горизонтальные линии описываются как y = k , где k — любое действительное число.
  • Вертикальные линии описываются как x = k , где k — любое действительное число.

Тематические упражнения

Часть A: Решения для линейных систем

Определите, является ли данная точка решением.

1.5x − 2y = 4; (-1, 1)

2. 3x − 4y = 10; (2, −1)

3. −3x + y = −6; (4, 6)

4. −8x − y = 24; (−2, −3)

5. −x + y = −7; (5, −2)

6. 9x − 3y = 6; (0, −2)

7. 12x + 13y = −16; (1, −2)

8. 34x − 12y = −1; (2, 1)

9. 4x − 3y = 1; (12, 13)

10. −10x + 2y = −95; (15, 110)

11. y = 13x + 3; (6, 3)

12.у = −4x + 1; (−2, 9)

13. y = 23x − 3; (0, −3)

14. y = −58x + 1; (8, −5)

15. y = −12x + 34; (−12, 1)

16. y = −13x − 12; (12, −23)

17. y = 2; (−3, 2)

18. y = 4; (4, −4)

19. х = 3; (3, −3)

20. х = 0; (1, 0)

Найдите упорядоченные парные решения по набору значений x .

21. y = −2x + 4; {−2, 0, 2}

22. y = 12x − 3; {−4, 0, 4}

23. y = −34x + 12; {−2, 0, 2}

24. y = −3x + 1; {−1/2, 0, 1/2}

25. y = −4; {−3, 0, 3}

26. y = 12x + 34; {−1/4, 0, 1/4}

27. 2x − 3y = 1; {0, 1, 2}

28. 3x − 5y = −15; {−5, 0, 5}

29. –x + y = 3; {−5, −1, 0}

30. 12x − 13y = −4; {−4, −2, 0}

31.35х + 110у = 2; {−15, −10, −5}

32. х-у = 0; {10, 20, 30}

Найдите упорядоченные парные решения, учитывая набор значений y .

33. y = 12x − 1; {−5, 0, 5}

34. y = −34x + 2; {0, 2, 4}

35. 3x − 2y = 6; {−3, −1, 0}

36. −x + 3y = 4; {−4, −2, 0}

37. 13x − 12y = −4; {−1, 0, 1}

38. 35х + 110у = 2; {−20, −10, −5}

Часть B: Графические линии

Учитывая набор x -значений {−2, −1, 0, 1, 2}, найдите соответствующие значения y и изобразите их на графике.

39. у = х + 1

40. у = −x + 1

41. у = 2x − 1

42. y = −3x + 2

43. y = 5x − 10

44. 5x + y = 15

45. 3x − y = 9

46. 6x − 3y = 9

47. y = −5

48. y = 3

Найдите не менее пяти упорядоченных парных решений и график.

49. у = 2x − 1

50.у = −5x + 3

51. у = −4x + 2

52. у = 10x − 20

53. y = −12x + 2

54. у = 13x − 1

55. у = 23x − 6

56. у = −23x + 2

57. у = х

58. y = −x

59. −2x + 5y = −15

60. х + 5у = ​​5

61. 6x − y = 2

62. 4x + y = 12

63. −x + 5y = 0

64.х + 2у = 0

65. 110x − y = 3

66. 32x + 5y = 30

Часть C: горизонтальные и вертикальные линии

Найдите не менее пяти упорядоченных парных решений и нанесите их на график.

67. y = 4

68. y = −10

69. х = 4

70. х = -1

71. y = 0

72. х = 0

73. y = 34

74.х = -54

75. Постройте линии y = −4 и x = 2 на одном и том же наборе осей. Где они пересекаются?

76. Постройте линии y = 5 и x = −5 на одном и том же наборе осей. Где они пересекаются?

77. Какое уравнение описывает ось x ?

78. Какое уравнение описывает ось y ?

Часть D: Смешанная практика

График по точкам.

79. y = −35x + 6

80. y = 35x − 3

81. у = −3

82. х = −5

83. 3x − 2y = 6

84. −2x + 3y = −12

Часть E: Темы дискуссионной доски

85. Обсудите значение взаимосвязи между алгеброй и геометрией при описании линий.

86. Приведите реальные примеры, связанные с двумя неизвестными.

ответов

1: №

3: Есть

5: Есть

7: Есть

9: Есть

11: №

13: Есть

15: Есть

17: Есть

19: Есть

21: {(−2, 8), (0, 4), (2, 0)}

23: {(−2, 2), (0, 1/2), (2, −1)}

25: {(−3, −4), (0, −4), (3, −4)}

27: {(0, −1/3), (1, 1/3), (2, 1)}

29: {(−5, −2), (−1, 2), (0, 3)}

31: {(-15, 110), (-10, 80), (-5, 50)}

33: {(−8, −5), (2, 0), (12, 5)}

35: {(0, −3), (4/3, −1), (2, 0)}

37: {(−27/2, −1), (−12, 0), (−21/2, 1)}

39:

41:

43:

45:

47:

49:

51:

53:

55:

57:

59:

61:

63:

65:

67:

69:

71:

73:

75:

77: y = 0

79:

81:

83:

Dover Motion представляет линейный позиционер SmartStage XY

Dover Motion, обладающий более чем 30-летним опытом в области точного проектирования и производства, объявляет о запуске своего новейшего продукта: SmartStage XY.Платформа SmartStage XY упрощает перемещение и управление в одном пакете, поэтому группы разработчиков приборов могут сосредоточиться на выводе на рынок своей основной технологии.

SmartStage XY сочетает в себе точное движение прямого привода по двум осям (X и Y) со всеми компонентами управления движением, встроенными внутри сцены. Интегрированные компоненты включают контроллеры, усилители, кодеры, ввод / вывод и три варианта связи. В результате платформа SmartStage XY имеет две оси движения, и только один стационарный кабель выходит из устройства.Доступен с четырьмя стандартными ходами (50, 100, 150 и 200 мм), каждый столик можно настроить в соответствии с механическими требованиями и размерами образца инструмента или микроскопа. В результате, SmartStage XY на основе линейного двигателя позволяет уменьшить громкость подсистемы движения и управления до 400%.

«Работая с нашими клиентами, мы видим, как все различные подсистемы, включая движение, оптику, освещение, хранение реагентов и контроль температуры, агрессивно конкурируют за ограниченное пространство, доступное в настольных микроскопах», — говорит Джон Гаррити, менеджер по стратегическому маркетингу Dover Motion. .«Мы решили создать платформу, которая поможет им преодолеть эту космическую проблему, и в результате получился наш SmartStage XY».

SmartStage XY — это сверхвысокопроизводительный стол со встроенным кодировщиком Dover Encoder с разрешением 5 нм. В кодировщике используется толстая и стабильная шкала из хрома на стекле, обеспечивающая разрешение 5 нм и двунаправленную повторяемость 0,8 мкм. Энкодер Dover и моторная технология обеспечивают низкий джиттер и постоянное усилие мотора на протяжении всего хода столика, что приводит к чрезвычайно низким колебаниям скорости при сканировании и стабильности менее 30 нм в состоянии покоя.SmartStage XY — единственный линейный каскад с прямым приводом, имеющий встроенный контроллер и обратную связь от энкодера. Дополнительные преимущества интегрированной конструкции заключаются в том, что чувствительные компоненты защищены от шума и посторонних предметов. SmartStage XY также поддерживает несколько вариантов связи, включая RS-232, RS-485 и CAN.

Повышенная производительность системы также достигается за счет усовершенствованного контроллера движения, встроенного во все линейные позиционеры SmartStage XY; Каждый контроллер включает расширенные возможности запуска, называемые триггером по положению (TOP).TOP позволяет точно запускать ключевые компоненты внутри микроскопа, такие как камеры и лазеры, синхронно с движением и положением предметного столика. «TOP позволяет пользователям гибко генерировать высокоточные триггеры либо с периодическими приращениями, либо с табличными позициями», — говорит Кевин Маккарти, технический директор Dover Motion. «Возможности TOP делают SmartStage XY идеальной платформой для работы с критически важными и требовательными приложениями, такими как сканирование изображений TDI-CCD».

SmartStage XY — идеальная платформа как для создания прототипов системы, так и для запуска производства.Имеются готовые конфигурации для быстрого создания прототипов и экспериментальных проектов. Dover Motion также предоставляет инструменты и поддержку для быстрой настройки plug-and-play.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск