Некоторые математические преобразования позволяют перейти от решаемого уравнения к равносильному.

Два уравнения равносильны, если у них одинаковые корни или они не имеют корней.

Каждый корень одного уравнения подойдет в качестве решения второму уравнению.

Например, равносильными можно считать уравнения:

Так как каждое из уравнений имеет только один корень, и он равен пяти.

Равносильными, например, будут уравнения x ∙ 0 = 0 и х + 28 = 28 + х, так как решением этих уравнений может быть любое число, следовательно, решения их совпадают.

Если одно уравнение при решении заменяется ему равносильным, то данная замена называется равносильным преобразованием уравнения.

Чаще всего равносильные преобразования позволяют сделать уравнение более простым для решения. Другими словами, равносильные преобразования позволяют упростить первоначальное уравнение.

Некоторые равносильные преобразования мы сегодня будем применять при решении уравнений и задач

Необходимо помнить, что при нахождении корней уравнения с правой и левой частью уравнения можно производить различные действия, однако эти действия не должны нарушать равенство между ними.

Если уравнение составное, содержит несколько арифметических операций, то прежде всего необходимо установить последнее действие и выделить в качестве неизвестного компонента арифметической операции целое выражение, а затем упрощать уравнение.

Рассмотрим некоторые способы решения уравнений.

1. Нахождение неизвестных компонентов арифметических операций.

Чтобы найти корни уравнения, необходимо знать, каким образом связаны между собой компоненты арифметических операций.

Ранее мы подробно рассмотрели такие математические операции, как сложение и вычитание.

Вспомним, как найти каждый из компонентов сложения и вычитания и попробуем разобраться, каким образом данные знания могут быть применены при решении уравнений.

Решение уравнений с неизвестным слагаемым.

В общем виде операция сложения выглядит так:

В данном случае может быть неизвестным первое или второе слагаемое.

Вспомним, как связаны между собой компоненты операции сложения.

Правило: чтобы найти неизвестное слагаемое (первое или второе), необходимо из суммы вычесть известное слагаемое.

Это правило позволит решать уравнения с неизвестным слагаемым.

Рассмотрим на примерах.

Пример 1.

Решим уравнение х + 7 = 12.

Неизвестное обозначено маленькой латинской буквой х.

В данном уравнении неизвестно первое слагаемое.

Применим правило: чтобы найти неизвестное слагаемое (х), необходимо из суммы (равной 12) вычесть известное слагаемое (равное 7).

х = 12 — 7

х = 5.

Выполним проверку найденного корня.

Для этого в исходное уравнение х + 7 = 12 вместо неизвестного (х) нужно подставить найденное значение х = 5.

5 + 7 = 12

Вычислим левую часть равенства.

12 = 12

Получили тождество, следовательно, корень уравнения найден верно.

Запишем ответ.

Ответ: х = 5.

Опуская все наши пояснения и рассуждения, решение уравнения запишем так:

х + 7 = 12

х = 12 — 7

х = 5

Проверка:

5 + 7 = 12

12 = 12

Ответ: х = 5.

Пример 2.

Решим уравнение 16 + х = 24 — 4.

Найдем значение неизвестного х, при котором данное уравнение обратится в верное равенство.

Сумма 16 и неизвестного числа х равна разности 24 и 4.

В этом уравнение значение суммы представлено не просто числом, а числовым выражением 24 — 4.

Упростим выражение, для этого найдем значение разности.

24 — 4 = 20.

Левую часть уравнения перепишем в первоначальном виде 16 + х, а справа запишем полученный результат разности 24 и 4.

16 + х = 20

Получили простое уравнение, в котором неизвестно второе слагаемое.

Нам известно, как связаны между собой компоненты сложения.

Применим правило: чтобы найти неизвестное слагаемое (х), необходимо из суммы равной 20 вычесть известное слагаемое равное 16.

х = 20 — 16

х = 4.

Выполним проверку найденного корня.

В исходное уравнение 16 + х = 24 — 4 вместо неизвестного числа (х) подставим найденный корень х = 4.

16 + 4 = 24 — 4

20 = 20

Сумма чисел 16 и 4 равна 20, разность 24 и 4 равна 20, следовательно, значение левой и правой части равенства одинаково.

Значит корень уравнения найден верно.

Запишем ответ.

Ответ: х = 4.

Опуская все наши пояснения и рассуждения, решение уравнения запишем так:

16 + х = 24 — 4

16 + х = 20

х = 20 — 16

х = 4

Проверка:

16 + 4 = 24 — 4

20 = 20

Ответ: х = 4.

Решение уравнения с неизвестным уменьшаемым или вычитаемым.

В общем виде операция вычитания выглядит так:

В таком случае неизвестным компонентом может быть уменьшаемое и вычитаемое.

Вспомним, как связаны компоненты арифметической операции вычитания.

Если неизвестно уменьшаемое число, необходимо сложить два известных компонента вычитания.

Правило: чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

Если из исходного уменьшаемого числа вычесть один из компонентов, то в итоге получается второй компонент.

Правило: чтобы найти вычитаемое, нужно от уменьшаемого отнять разность.

Эти правила позволят решать уравнения, в которых неизвестны уменьшаемое или вычитаемое.

Рассмотрим примеры.

Пример 1.

Решим уравнение х — 28 = 34.

Найдем значение неизвестного х, при котором данное уравнение обратится в верное равенство.

В данном уравнении неизвестно уменьшаемое.

Применим правило: чтобы найти уменьшаемое (х), необходимо к разности (равной 34) прибавить вычитаемое (равное 28).

х = 34 + 28

х = 62.

Выполним проверку.

Подставим в исходное уравнение х — 28 = 34 вместо неизвестного (х) найденный корень х = 62.

62 — 28 = 34

Вычислим левую часть равенства.

34 = 34

Получили верное равенство, следовательно, корень уравнения найден верно.

Запишем ответ.

Ответ: х = 62.

Опустим все наши пояснения и рассуждения; решение уравнения будет выглядеть так:

х — 28 = 34

х = 34 + 28

х = 62

Проверка:

62 — 28 = 34

34 = 34

Ответ: х = 62.

Пример 2.

Решим уравнение 48 — х = 17 + 20.

Найдем значение неизвестного х, при котором данное уравнение обратится в верное равенство.

Разность 48 и х равна сумме чисел 17 и 20.

Упростим уравнение, для этого в правой части равенства найдем сумму 17 и 20.

17 + 20 = 37

Левую часть равенства перепишем, сохраняя исходный вид, а справа запишем полученный результат суммы чисел 17 и 20.

48 — х = 37

Получили простое уравнение, в котором неизвестно вычитаемое.

Нам известно, как связаны между собой компоненты вычитания.

Применим правило: если из уменьшаемого (равного 48) вычесть разность (равную 37), то получится вычитаемое (х).

х = 48 — 37

х = 11

Выполним проверку.

В исходное уравнение 48 — х = 17 + 20 вместо неизвестного числа (х) подставим найденный корень х = 11.

48 — 11 = 17 + 20

Разность чисел 48 и 11 равна 37, сумма чисел 17 и 20 равна 37.

37 = 37

Получили верное равенство, следовательно, корень уравнения найден верно.

Запишем ответ.

Ответ: х = 11.

Опустим все наши пояснения и рассуждения, решение уравнения будет выглядеть так:

48 — х = 17 + 20

48 — х = 37

х = 48 — 37

х = 11

Проверка:

48 — 11 = 17 + 20

37 = 37

Ответ: х = 11.

Пример 3.

Попробуем решить более сложное уравнение.

(4 + х) — 5 = 19

Сразу решить такое уравнение невозможно.

Первым делом нужно определить арифметическую операцию, которая будет выполняться в последнюю очередь.

В данном равенстве это разность суммы (4 + х) и 5.

За неизвестное принимаем целое выражение, содержащее букву (4 + х), в уравнении оно является уменьшаемым.

Нам известно, чтобы найти уменьшаемое, необходимо к разности прибавить вычитаемое.

4 + х = 19 +5

Упростим данное равенство, вычислим правую часть уравнения, найдем сумму 19 и 5.

4 + х = 24

Получили простое уравнение, в котором неизвестно второе слагаемое.

Из суммы (равной 24) вычтем известное слагаемое (равное 4).

 х = 24 — 4

х = 20

Проверка:

(4 + 20) — 5 = 19

24 — 5 = 19

19 = 19

После подстановки х =20 получили верное равенство, следовательно, уравнение решено верно.

Ответ: х = 20.

2. Метод весов.

При решении уравнения с левой и правой частью уравнения приходится совершать различные преобразования, которые не должны нарушать равенство между ними.

Правило весов заключается в следующем: обе части уравнения можно поменять местами или уменьшить (увеличить) на одно и то же число, или разделить (умножить) на одно и то же число.

Данное правило позволяет упростить уравнение или избавиться от ненужных членов в уравнении, не влияя на тождественность.

Равносильные преобразования не меняют корни уравнения.

Представим уравнение в виде весов, чаши которых находятся в равновесии.

В нашей аналогии левая и правая чаши весов- это левая и правая части уравнения соответственно.

В таком случае:

• Если поменять местами грузы, т.е. переложить груз с левой чаши на правую, а с правой на левую, то равенство весов не нарушится.

Так и в уравнении, если переставить левую и правую части уравнения, равенство между ними сохранится.

• Какой массы груз положим на одну чашу весов, такой же массы груз необходимо положить на вторую чашу, чтобы равновесие весов не нарушилось.

Так и в уравнении, если обе части уравнения уменьшить или увеличить на одно и то же число, то на равенство левой и правой части уравнения это не повлияет.

В качестве примера рассмотрим уравнение уже решенное выше:

16 + х = 24 — 4.

Чтобы получить равенство, в котором в левой части будет находиться неизвестная величина, а в правой число, можно из левой и правой части уравнения вычесть число 16.

Получим равенство:

16 + х — 16 = 24 — 4 — 16

х = 20 — 16

х = 4

Уменьшая левую и правую часть равенства, мы получили уравнение, которое уже решали ранее (находили неизвестный компонент суммы).

Проверка данного корня показала, что корень уравнения х = 4 найден верно.

Ответ: х = 4.

У нас получилось верно решить одно и то же уравнение разными способами.

Что такое корень уравнения

Решая, например, уравнение \(2x+1=x+4\) находим ответ: \(x=3\). Если подставить тройку вместо икса, получатся одинаковые значения слева и справа: 

\(2x+1=x+4\)
\(2\cdot3+1=3+4\)
\(7=7\)

И никакое другое число, кроме тройки такого равенства нам не даст. {2}+15\cdot(-2)+22=0\)
      \(2\cdot4-30+22=0\)
    \(0=0\) — сошлось, значит \(-2\) — корень уравнения

Очевидно, что решать уравнения перебором всех возможных значений – безумие, ведь чисел бесконечно много. Потому были разработаны специальные методы нахождения корней. Так, например, для линейных уравнений достаточно одних только равносильных преобразований, для квадратных – уже используются формулы дискриминанта и т.д. Каждому типу уравнений – свой метод.

Ответы на часто задаваемые вопросы

Вопрос: Может ли корень уравнения быть равен нулю?
Ответ: Да, конечно. Например, уравнение \(3x=0\) имеет единственный корень — ноль. Можете проверить подстановкой.

Вопрос: Когда в уравнении нет корней?
Ответ: В уравнении может не быть корней, если нет таких значений для икса, которые сделают уравнение верным равенством. 2-5x-6=0\) имеет два корня: \(x_1=-1\) и \(x_2=6\). Меньший из корней: \(-1\). Вот его и надо будет записать в ответ. Если бы спрашивали про больший корень, то надо было бы записать \(6\).

Важные математические навыки для пятиклассников

Хотите помочь своему пятикласснику освоить математику? Вот некоторые из навыков, которые ваш пятиклассник будет изучать в классе.

Сложение, вычитание, умножение и деление

Многозначные целые числа

Быстро и точно умножайте многозначные целые числа. Разделите целые числа (до четырех цифр) на двузначные числа.

Пример:

Решить 4,824 ÷ 12 =?

Объясните или проиллюстрируйте, как вы решили эту проблему.

Совет: выделите практическое применение математики.

По мере того, как математика, которую они изучают, становится более сложной и менее очевидно связанной с их повседневным опытом, у некоторых детей начинает развиваться математическая тревога. Важно, чтобы ваш ребенок занимался математикой и помогал ему понять, как в реальной жизни применяются концепции, которые ребенок изучает в школе. Составление бюджета на школьные принадлежности или на их ежемесячное пособие — один из способов практиковать сложение и вычитание.Если вы попросите их помочь вам с приготовлением или выпечкой, это покажет им, как работают дроби. Помогать рассчитывать цены при покупке продуктов — тоже хорошая практика.

Связанные

Понимание разряда

Расширьте понимание разряда: в многозначном числе цифра в одном месте представляет 1⁄10 того, что она представляет в месте слева от него, и в 10 раз больше как он изображен справа от него.

Сравнение десятичных знаков

Чтение, запись и сравнение десятичных знаков с разрядами тысячных, используя символы> (больше чем) и <(меньше чем).Например:

• Прочтите это десятичное число: 23,002.
• Запишите две и шестьдесят две тысячные в виде десятичного числа.
• Какой знак подтверждает это утверждение: 5.389 _? _ 5.420
• Исследователь измеряет количество бактерий, выросших на образцах неохлажденных продуктов. Ваш ребенок насчитывает 73,343 миллиона бактерий в образце A, 73,431 миллиона бактерий в образце B и 74,399 миллиона бактерий в образце C. Расположите образцы в порядке от наибольшего количества бактерий к наименьшему.Объясните или проиллюстрируйте, как вы приводите эти образцы в порядок.

Связанные

Десятичные дроби с точностью до сотых

Сложение, вычитание, умножение и деление десятичных долей с точностью до сотых.

Совет: потренируйтесь в вычислениях с использованием десятичных знаков.

Свяжите работу с десятичными знаками, которую ваш ребенок делает в классе, с реальным миром, поощряя их делать покупки по выгодным ценам. Попросите их разделить стоимость товаров, фасованных навалом, на количество отдельных товаров, чтобы определить стоимость каждого товара.Итак, сколько вы платите за рулон бумажного полотенца или за банку газировки при покупке оптом? Или попросите ребенка подсчитать, сколько вы сэкономите на каждом товаре, если цены со скидкой предполагают оптовые скидки.

Что такое показатель степени

Понять, что такое показатель степени. Например, «2» в 10² указывает, сколько раз нужно умножить число само на себя. 10² можно читать как «10 в степени 2», «10 в степени 2» или «10 в квадрате» и означает 10 x 10 или 100.10³ (или «10 в третьей степени» или «10 в кубе») означает 10 x 10 x 10, или 1000.

Дроби

Решение задач со словами

Решение задач со словами, включающих сложение и вычитание дробей.

Пример:

Пятый класс собирает пазл из 600 деталей. Они начали вчера и собрали 100 частей — всего одну шестую (1⁄6) головоломки. Сегодня их собрано 400 штук. Какая часть головоломки завершена? Нарисуйте картинку И запишите математику, чтобы показать, как вы решили задачу.

Совет: выделите практическое применение математики.

По мере того, как математика, которую они изучают, становится более сложной и менее очевидно связанной с их повседневным опытом, у некоторых детей начинает развиваться математическая тревога. Важно, чтобы ваш ребенок занимался математикой и помогал ему понять практическое применение концепций, которые он изучает в школе. Составление бюджета на школьные принадлежности или ежемесячное пособие — один из способов для нее попрактиковаться в сложении и вычитании.Если вы попросите ее помочь вам с приготовлением или выпечкой, это покажет ей, как работают дроби. Помогать рассчитывать цены при покупке продуктов — тоже хорошая практика.

Нахождение общего знаменателя

Решите задачи со словами, включающие сложение и вычитание дробей с разными знаменателями (нижние числа), преобразовывая их в дроби с одинаковым знаменателем, называемые общим знаменателем.

Пример:

Самая высокая девочка в пятом классе имеет рост 51 7⁄8 дюйма.Самый высокий мальчик в пятом классе имеет рост 49 1⁄2 дюйма. Какая разница в их росте?

После вечеринки остались две чашки лимонада. В одной миске 1⁄3 галлона. В другом — 1⁄2 галлона лимонада. Друг говорит, что не стоит пытаться объединить их в 1-галлонный контейнер, потому что лимонад вытечет наверх. Вы согласны? Почему или почему нет?

Умножение дробей

Решайте задачи со словами, включающие умножение дробей на другие дроби и умножение дробей на смешанные числа (целое число и дробь, например 11⁄4 или 21⁄2).

Пример:

• В оркестре средней школы 1⁄3 учащихся-музыкантов играют на струнных инструментах. Из учеников, играющих на струнных инструментах, 3⁄4 играют на скрипке. Какая часть оркестра играет на скрипке?
• Утром во время экскурсии в яблоневый сад пятиклассники собрали 4⁄5 бушеля яблок. После обеда в полдень они собрали в 2,5 раза больше яблок. Уместятся ли все яблоки, собранные ими днем, в ящик на 2 бушеля? Откуда вы знаете?

Совет: потренируйтесь использовать дроби.

Помогите своему ребенку познакомиться с дробями, попросив его масштабировать рецепты для вашей семьи. Пусть они начнут с того, что уменьшат рецепт вдвое или вдвое. Когда они почувствуют себя комфортно, попросите их преобразовать его на 11⁄2, что позволит рецепту, который должен накормить семью из четырех человек, работать на семью из шести человек.

Единица деления дробей

Разделите дроби единицы (дроби с 1 в числителе или верхним числом) на целые числа. Разделите целые числа на единичные дроби.

Пример:

Если три человека разделят ½ фунта шоколада поровну, сколько шоколада получит каждый? Объясните или проиллюстрируйте, как вы решили эту проблему.

Умножение на дроби

Помните, что умножение числа на дробь меньше 1 даст ответ меньше числа — например: 12 x ¾ = 9. Умножение числа на дробь больше 1 даст результат в ответе больше числа — например: 12 x 2 ½ = 30.

Измерения и данные

Преобразование единиц и дробей

Преобразование единиц и долей единиц в рамках одной системы измерения.

Пример:

Сколько минут составляет 1⁄5 часа? Объясните или проиллюстрируйте, как вы решили эту проблему.

Проблемы многоступенчатого преобразования единиц измерения

Решите многоступенчатые задачи преобразования слов, используя преобразование стандартных единиц измерения разного размера.

Пример:

У меня 75 см ленты.Для выполнения проекта мне нужно в семь раз больше ленты. Сколько еще метров ленты мне нужно?

Объясните или проиллюстрируйте, как вы решили эту проблему.

Использование линейного графика

Решайте проблемы, используя информацию (в единицах дроби), представленную на линейном графике.

Геометрия

Понимание объема

Под объемом понимается измерение пространства внутри трехмерной или твердой фигуры. Используйте формулы длина x ширина x высота или основание x высота , чтобы измерить объем трехмерного или твердого объекта с прямоугольными сторонами, например куба.Измеряйте объем для решения реальных проблем.

Пример:

Прямоугольный контейнер для мороженого имеет длину 8 дюймов и высоту 4 дюйма. Каков объем контейнера, выраженный в кубических дюймах?

Советы, которые помогут вашему пятикласснику в классе математики, можно найти на нашей странице с советами по математике для пятого класса.

Ресурсы Parent Toolkit были разработаны NBC News Learn с помощью профильных экспертов и соответствуют Общим основным государственным стандартам.

Бесплатные листы по математике для 5-х классов

Основы алгебры — правила, операции и формулы

Алгебра — это область математики, которая занимается представлением ситуации с использованием математических символов, переменных и арифметических операций, таких как сложение, вычитание, умножение и деление, что приводит к формированию соответствующих математических выражений. В этом уроке мы пройдемся по всем правилам алгебры, операций и формул.

Основы алгебры

Нам необходимо знать основную терминологию, относящуюся к алгебре, чтобы понимать ее основы. Выражение, состоящее из 4 основных частей, переменных, операторов, показателей степени, коэффициентов и констант, а также символа равенства, известно как алгебраическое уравнение. Возьмем уравнение ax ² + bx + c = d. В алгебре член с наивысшим показателем записывается в начале, а далее члены записываются с понижающими степенями.

На изображении выше ax ² + bx + c = d, есть 4 члена. Алгебраическое уравнение может иметь разные члены, похожие или непохожие. Одинаковые члены в уравнении — это те, которые составляют одни и те же переменные и показатели. С другой стороны, разные члены уравнения представляют собой разные переменные и показатели.

Правила алгебры

Есть пять основных правил алгебры. Их:

• Коммутативное правило добавления
• Коммутативное правило умножения
• Ассоциативное правило сложения
• Ассоциативное правило умножения
• Распределительное правило умножения

Коммутативное правило добавления

В алгебре коммутативное правило сложения гласит, что когда добавляются два члена, порядок сложения не имеет значения. Уравнение для того же записывается как, (a + b) = (b + a). Например, (x ³ + 2x) = (2x + x ³ )

Коммутативное правило умножения

Коммутативное правило умножения гласит, что при умножении двух членов порядок умножения не имеет значения. Уравнение для того же записывается как, (a × b) = (b × a). Например, (x ⁴ — 2x) × 3x = 3x × (x ⁴ — 2x).
LHS = (x ⁴ — 2x) × 3x = (3x ⁵ — 6x ² )
ПРАВЫЙ = 3x × (x ⁴ — 2x) = (3x ⁵ — 6x ² )
Здесь LHS = RHS, это означает, что их значения равны.

Ассоциативное правило сложения

В алгебре ассоциативное правило сложения гласит, что при добавлении трех или более терминов порядок добавления не имеет значения. Уравнение для того же записывается как, a + (b + c) = (a + b) + c. Например, x ⁵ + (3x ² + 2) = (x ⁵ + 3x ² ) + 2

Ассоциативное правило умножения

Точно так же ассоциативное правило умножения гласит, что при умножении трех или более членов порядок умножения не имеет значения. Уравнение для того же записывается как, a × (b × c) = (a × b) × c. Например, x ³ × (2x ⁴ × x) = (x ³ × 2x ⁴ ) × x.

Распределительное правило умножения

Распределительное правило умножения гласит, что когда мы умножаем число на сложение двух чисел, получается результат, который совпадает с суммой их произведений на число по отдельности. Это распределение умножения над сложением. Уравнение для того же записывается как, a × (b + c) = (a × b) + (a × c).Например, x ² × (2x + 1) = (x ² × 2x) + (x ² × 1).

Алгебраические операции

Четыре основных алгебраических операции:

• Дополнение
• Вычитание
• Умножение
• Дивизион

В каждой выполняемой алгебраической операции мы всегда классифицируем члены в наших алгебраических уравнениях как одинаковые и непохожие.

Дополнение

Когда два или более члена в алгебраическом уравнении разделены знаком плюс «+», алгебраической операцией является сложение. Мы всегда добавляем одинаковые и непохожие термины отдельно, поскольку они рассматриваются как две разные величины. Математически две разные величины не могут быть сложены вместе.

• Пример сложения одинаковых терминов: 5b + 3b = 8b
• Пример сложения непохожих терминов: 25x + 35y

Как мы видим в примерах, одинаковые термины при добавлении дают один и тот же термин, в то время как разные термины не могут быть добавлены дальше.

Вычитание

Когда два или более члена в любом алгебраическом уравнении разделены знаком минус «-», алгебраической операцией является вычитание.Так же, как и в случае сложения, термины дифференцируются как похожие или непохожие, а затем вычитаются дальше.

• Пример вычитания одинаковых терминов: 3x ² — x ² = 2x ²
• Пример вычитания непохожих терминов: 6bc — 9ab

Умножение

Когда два или более члена в алгебраическом уравнении разделены знаком умножения «×», выполняется алгебраическая операция умножения. При умножении одинаковых или непохожих терминов мы используем законы экспонент.

• Пример умножения одинаковых терминов: 16f × 4f = 64f ²
• Пример умножения непохожих членов: x × y ³ = xy ³

Подразделение

Когда два или более члена в любом алгебраическом уравнении разделены знаком деления «/», выполняется алгебраическая операция. При разделении одинаковых терминов аналогичные термины могут быть упрощены, в то время как в случае разнородных терминов термины не могут быть легко упрощены.

• Пример разделения одинаковых терминов: 8b / 2b = 4
• Примеры разделения непохожих терминов: x ² / 2y ²

Алгебраические формулы

Алгебраические формулы, которые используются чаще и которые необходимо знать, следующие:

Темы, связанные с основами алгебры

Часто задаваемые вопросы по основам алгебры

Каковы основные правила алгебры?

Основные правила алгебры:

• Коммутативное правило добавления
• Коммутативное правило умножения
• Ассоциативное правило сложения
• Ассоциативное правило умножения
• Распределительное правило умножения

Что такое золотое правило алгебры?

Золотое правило алгебры — сбалансировать обе части уравнения, т. е.е; какая бы операция ни использовалась с одной стороны уравнения, то же самое будет использоваться и с другой стороны.

Что такое четыре алгебраических операции?

• Дополнение
• Вычитание
• Умножение
• Дивизион

Как складывать и вычитать похожие термины?

Когда одинаковые члены складываются или вычитаются, коэффициенты складываются или вычитаются и записываются перед аналогичными членами.

Можно ли сложить или вычесть два непохожих термина?

Нет, мы не можем складывать или вычитать два разных члена.

Заданий по алгебре

Добро пожаловать на страницу рабочих листов по алгебре на Math-Drills.com, где неизвестные являются обычным явлением, а переменные — нормой. На этой странице вы найдете рабочие листы по алгебре в основном для учащихся средних школ по таким темам алгебры, как алгебраические выражения, уравнения и функции построения графиков.

Эта страница начинается с некоторых пропущенных рабочих листов для младших школьников. Затем мы сразу переходим к алгебре, помогая студентам распознавать и понимать основной язык, связанный с алгеброй.Остальная часть страницы охватывает некоторые из основных тем, с которыми вы столкнетесь в модулях алгебры. Помните, что, обучая студентов алгебре, вы помогаете создавать будущих финансовых гениев, инженеров и ученых, которые решат все проблемы нашего мира.

Алгебра намного интереснее, когда вещи более реальны. Решать линейные уравнения намного веселее с двумя весами, загадочными мешочками и кучей мармеладов. Многие учителя используют плитки алгебры, чтобы помочь студентам понять различные темы алгебры.И нет ничего лучше набора осей координат для решения систем линейных уравнений.

самых популярных заданий по алгебре на этой неделе

Рабочие листы по свойствам и законам чисел

Коммутативный закон

Коммутативный закон или коммутативное свойство гласит, что вы можете изменить порядок чисел в арифметической задаче и при этом получить те же результаты. В контексте арифметики он работает только с операциями сложения или умножения , но не с смешанными операциями сложения и умножения.Например, 3 + 5 = 5 + 3 и 9 × 5 = 5 × 9. Забавное занятие, которое вы можете использовать в классе, — это мозговой штурм нечисловых вещей из повседневной жизни, которые являются коммутативными и некоммутативными. Например, надевание носков является коммутативным, потому что вы можете надеть правый носок, затем левый, или вы можете надеть левый носок, затем правый носок, и вы получите тот же результат. Однако надевание нижнего белья и брюк не является обязательным.

Ассоциативный закон

Ассоциативный закон или ассоциативное свойство позволяет изменять группировку операций в арифметической задаче с двумя или более шагами без изменения результата.Порядок чисел остается неизменным в ассоциативном законе. Как и в случае с законом коммутативности, применяется к задачам только сложения или только умножения. Его лучше всего рассматривать в контексте порядка операций, поскольку он требует, чтобы в первую очередь работали со скобками. Пример ассоциативного закона: (9 + 5) + 6 = 9 + (5 + 6). В этом случае не имеет значения, добавляете ли вы сначала 9 + 5 или 5 + 6, вы получите тот же результат. Учащиеся могут вспомнить несколько примеров из своего опыта, например, ставить предметы на поднос во время обеда.Они могут сначала положить на поднос молоко и овощи, затем бутерброд, или начать с овощей и бутерброда, а затем добавить молоко. Если их лоток выглядит одинаково оба раза, они смоделировали ассоциативный закон. Можно утверждать, что чтение книги является ассоциативным или неассоциативным, поскольку потенциально можно сначала прочитать последние главы и при этом понять книгу, а также тот, кто читает книгу обычным способом.

Обратные отношения с

Рабочие листы обратных соотношений охватывают навыки предварительной алгебры, призванные помочь учащимся понять взаимосвязь между умножением и делением, а также взаимосвязь между сложением и вычитанием.

Обратные отношения с

Рабочие листы с пропущенными числами или неизвестными числами

Отсутствующие числа в таблицах уравнений трех типов: пробелы для неизвестных, символы для неизвестных и переменные для неизвестных.

Рабочие листы с пропущенными номерами с

В этих таблицах неизвестное ограничено стороной вопроса в уравнении, которая может находиться слева или справа от знака равенства.

Рабочие листы с пропущенными числами с

Равенства с добавлением

Рабочие листы с пропущенными числами с неизвестными

Решение простых линейных уравнений

Рабочие листы по алгебраическим выражениям

Использование распределительного свойства

Дистрибутивность — важный навык в алгебре. Проще говоря, это означает, что вы можете разделить один из множителей при умножении на слагаемые, умножить каждое слагаемое отдельно, сложить результаты, и вы получите тот же ответ. Это также полезно в мысленной математике, и пример этого должен помочь проиллюстрировать определение. Рассмотрим вопрос 35 × 12. Разделение 12 на 10 + 2 дает нам возможность мысленно ответить на вопрос, используя свойство распределенности. Сначала умножьте 35 × 10, чтобы получить 350. Во-вторых, умножьте 35 × 2, чтобы получить 70.Наконец, прибавьте 350 + 70, чтобы получить 420. В алгебре свойство распределения становится полезным в тех случаях, когда нельзя легко сложить другой множитель перед умножением. Например, в выражении 3 (x + 5) нельзя сложить x + 5, не зная значения x. Вместо этого свойство распределения можно использовать для умножения 3 × x и 3 × 5, чтобы получить 3x + 15.

Правила экспонент и свойства

Практика с

Как сказано в названии, эти рабочие листы включают только основные вопросы по правилам экспоненты. Каждый вопрос имеет дело только с двумя экспонентами; запутанные сложные термины и вещи, которые мог бы понять более продвинутый ученик, остаются в покое. Например, 4 ² равно (2 ² ) ² = 2 ⁴ , но эти рабочие листы просто оставляют его как 4 ² , поэтому студенты могут сосредоточиться на изучении того, как умножать и делить показатели более или менее. в изоляции.

Линейные выражения и уравнения

Рабочие листы линейных уравнений, включая упрощение, построение графиков, оценку и решение систем линейных уравнений.

Знание языка алгебры может помочь понять смысл словесных задач и ситуаций за пределами школы. В этих рабочих листах студентам предлагается преобразовать фразы в алгебраические выражения.

Комбинирование одинаковых терминов — это то, что часто случается в алгебре. Студенты могут познакомиться с темой и немного попрактиковаться с этими рабочими листами. Полоса поднимается с добавлением и вычитанием версий, которые вводят круглые скобки в выражения. Для студентов, которые хорошо разбираются в дробях, упрощение простых рабочих листов алгебраических дробей представляет собой небольшую проблему по сравнению с другими рабочими листами в этом разделе.

Линейное уравнение

Построение графиков линейных уравнений и чтение существующих графиков дают учащимся наглядное представление, которое очень полезно для понимания концепций наклона и пересечения по оси Y.

Решение линейных уравнений с мармеладом — это увлекательное занятие для студентов, впервые изучающих алгебраические понятия. В идеале вам понадобятся непрозрачные пакеты без массы, но поскольку это невозможно (часть без массы), здесь есть небольшое условие, которое на самом деле поможет студентам лучше понять уравнения. Любые мешки, которые вы используете, должны быть сбалансированы по другую сторону уравнения с пустыми мешками.

Наверное, лучший способ проиллюстрировать это на примере.Возьмем 3 x + 2 = 14. Вы можете распознать x как неизвестное, что на самом деле является количеством мармеладов, которые мы кладем в каждый непрозрачный пакет. Число 3 в 3 x означает, что нам нужно три сумки. Лучше всего наполнить пакеты необходимым количеством мармеладов так, чтобы ученики не видели их, чтобы им действительно пришлось решать уравнение.

На одной стороне весов с двумя чашами поместите три пакета с мармеладом размером x в каждом и два рыхлых мармелада, чтобы представить + 2 часть уравнения.С другой стороны баланса поместите 14 мармеладов и три пустых мешка, которые, как вы заметите, необходимы для правильного «баланса» уравнения. А теперь самое интересное … если ученики удаляют две рыхлые мармеладки с одной стороны уравнения, все становится неуравновешенным, поэтому им нужно удалить две мармеладки с другой стороны весов, чтобы все оставалось равным. Кушать мармелад необязательно. Цель состоит в том, чтобы изолировать пакеты с одной стороны весов без каких-либо рыхлых желейных бобов, при этом сохраняя равновесие.

Последний шаг — разделить сыпучие мармеладки с одной стороны уравнения на то же количество групп, что и мешков. Это, вероятно, даст вам хорошее представление о том, сколько мармеладов в каждом пакете. Если нет, съешьте и попробуйте еще раз. Теперь мы понимаем, что это не сработает для каждого линейного уравнения, поскольку трудно получить отрицательные желеобразные бобы, но это еще одна обучающая стратегия, которую вы можете использовать для алгебры.

Несмотря на внешность, уравнения типа a / x не являются линейными.Вместо этого они принадлежат к другому виду уравнений. Они хороши для объединения их с линейными уравнениями, поскольку они вводят понятие действительных и недействительных ответов для уравнения (то, что позже будет называться областью определения функции). В этом случае неверными ответами для уравнений в форме a / x являются те, при которых знаменатель становится равным 0.

Линейные системы

Квадратичные выражения и уравнения

Квадратные выражения и рабочие листы уравнений, включая множители, факторинг и решение квадратных уравнений.

Рабочие листы факторизации квадратичных выражений в этом разделе содержат множество практических вопросов для студентов, чтобы отточить свои стратегии разложения. Если вы предпочитаете рабочие листы с квадратными уравнениями, см. Следующий раздел. Эти рабочие листы бывают разных уровней, самые простые — в начале. Коэффициенты ‘a’, упомянутые ниже, являются коэффициентами члена x ² , как в общем квадратичном выражении: ax ² + bx + c. В этом разделе также есть рабочие листы для вычисления суммы и произведения и для определения операндов для пар суммы и произведения.

Независимо от того, используете ли вы метод проб и ошибок, вычисляя квадрат или общую квадратичную формулу, эти рабочие листы включают множество практических вопросов с ответами.В первом разделе рабочие листы включают вопросы, в которых квадратичные выражения равны 0. Это делает процесс факторингом квадратичных выражений с дополнительным шагом нахождения значений для x, когда выражение равно 0. Во втором разделе параметр выражения обычно равны чему-то отличному от x, поэтому в начале есть дополнительный шаг, чтобы квадратное выражение стало равным нулю.

Другие полиномиальные и мономиальные выражения и уравнения

Таблицы факторинга неквадратичных выражений разного уровня сложности.

Выражения факторинга, которые

Факторинговые выражения

Факторинговые выражения

Неравенства с графиками

Рабочие листы неравенств, включая запись неравенства, которая соответствует графику, и отображение неравенств на числовой прямой.

: 5 наглядных примеров использования в классе

Что такое распределительное свойство ? Это одно из наиболее часто используемых свойств в математике, также известное как распределительный закон умножения.

Когда вы что-то распространяете, вы делите это на части. В математике свойство распределенности помогает упростить сложные задачи, поскольку оно разбивает выражения на сумму или разность двух чисел.

Согласно этому принципу, умножение суммы двух слагаемых на число даст нам тот же результат, что и умножение каждого слагаемого по отдельности на число, а затем их сложение.

Для выражений в форме a (b + c) , распределительное свойство показывает нам, как их решить:

• Умножение числа непосредственно за скобками на эти внутри
• Сложение продуктов

А как насчет PEMDAS? Что случилось с первой оценкой того, что заключено в круглые скобки?

Если ваши ученики задаются вопросом, почему вы не следуете порядку действий, которому их учили раньше, они не ошибаются.

Однако, когда в алгебраических выражениях есть круглые скобки, содержащие переменные — величину, которая может изменяться в контексте математической задачи, обычно представленной одной буквой, — выполнение этой операции невозможно.

Независимо от того, используете ли вы свойство распределения или следуете порядку операций, вы получите один и тот же ответ. В первом примере ниже мы просто оцениваем выражение в соответствии с порядком операций, упрощая сначала то, что было в скобках.

Используя закон распределения, мы:

1. Умножаем или распределяем внешний член на внутренние члены.
2. Объедините похожие термины.
3. Решите уравнение.

Давайте возьмем реальный сценарий в качестве примера свойства распределения.

Представьте, что у одной студентки и двух ее друзей по семь клубники и четыре клементина. Сколько всего фруктов съедают все трое учеников?

В пакетиках для завтрака — или в скобках — по 7 клубники и 4 клементина. Чтобы узнать общее количество кусочков фруктов, им нужно все это умножить на 3.

Когда вы разбите это на части, вы умножите 7 клубники и 4 клементина на 3 учеников. Итак, у вас есть 21 клубника и 12 клементинов, в общей сложности 33 фрукта.

Как и в описанной выше операции, выполнение распределительного свойства с вычитанием следует тем же правилам, за исключением того, что вы находите разницу вместо суммы.

Примечание : не имеет значения, положительная или отрицательная операция. Оставьте то, что указано в скобках.

Помните, что мы говорили об алгебраических выражениях и переменных? Распределительное свойство позволяет нам упростить уравнения при работе с неизвестными значениями .

Используя закон распределения с задействованными переменными, мы можем выделить x :

1. Умножить или распределить внешний член на внутренние члены.
2. Объедините похожие термины.
3. Расположите члены так, чтобы константы и переменные находились по разные стороны от знака равенства.
4. Решите уравнение и при необходимости упростите.

Примечание : При изоляции переменных (см. Шаг 3) то, что вы делаете с одной стороной, вы должны делать с другой. Чтобы исключить 12 с левой стороны, вы должны добавить по 12 к левой и правой сторонам. То же самое и с умножением и делением: чтобы выделить x , разделите каждую сторону на 4.

Показатель — это сокращенное обозначение, показывающее, сколько раз число умножается само на себя. Когда используются круглые скобки и показателя степени, использование свойства распределения может значительно упростить выражение.

1. Разверните уравнение.
2. Умножьте (распределите) первые числа каждого набора, внешние числа каждого набора, внутренние числа каждого набора и последние числа каждого набора.
3. Объедините похожие термины.
4. Решите уравнение и при необходимости упростите.

Примечание : Для второго шага используйте метод FOIL (first, external, inner, last) для распределения каждого выражения.

Решение алгебраических выражений с дробями выглядит сложнее, чем есть на самом деле. Следуйте инструкциям, описанным ниже, чтобы увидеть, как это делается.

Надеюсь, этот пошаговый процесс поможет вашим ученикам понять, как и почему свойство распределения может пригодиться при упрощении дробей и комплексных чисел.

1. Определите дроби. Используя свойство распределения, вы в конечном итоге превратите их в целые числа.
2. Для всех дробей найдите наименьшее общее кратное (НОК) — наименьшее число, в которое могут точно поместиться оба знаменателя. Это позволит вам добавлять дроби.
3. Умножьте каждый член уравнения на НОК.
4. Изолируйте переменные, добавляя или вычитая одинаковые члены по обе стороны от знака равенства.
5. Объедините похожие термины.
6. Решите уравнение и при необходимости упростите.

Примечание : На втором и третьем шагах мы находим НОК и используем его для умножения дробей, чтобы упростить и избавиться от них. Нужно быстро освежиться? См. Сообщение в нашем блоге о том, как умножать дроби.

Помимо свойства распределения, существуют другие часто используемые свойства, такие как свойство ассоциативности и свойство коммутативности.

Давайте посмотрим на ассоциативное свойство:

Ассоциативное свойство относится к группировке элементов вместе.Это правило гласит, что то, как числа (или целые числа) сгруппированы в математической задаче, не повлияет на результат.

Пример дополнения:

a + (b + c) = (a + b) + c или 2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4

Пример умножения:

5 × 4 × 2 = (5 x 4) x 2 = 20 x 2 = 40

Это свойство работает с умножением, сложением, вычитанием и делением.

Prodigy — это адаптивная игровая платформа для обучения математике, которую любят более миллиона учителей и 150 миллионов студентов по всему миру! Он предлагает согласованное с учебной программой содержание по каждой основной математической теме с 1 по 8 класс, в том числе инструкции:

• Используйте свойство распределения для раскрытия и решения выражений
• Заполните недостающие числа в эквивалентных выражениях, используя свойство распределения

Использование Prodigy Math Game может помочь студентам изучать и практиковать математику, выходящую за рамки беглости фактов, и на втором и третьем уровнях DoK.Задавая вопросы, подобные приведенному выше, студенты получат массу удовольствия, поскольку они практикуют распределительное свойство.

Заинтересованы в дополнении уроков математики увлекательной игровой платформой для обучения и мощными инструментами для учителей?

Распространение может быть неприменимо к повседневной жизни, но давайте посмотрим на это в действии через некоторые проблемы со словами!

У Лиама разноплановые музыкальные вкусы. Просматривая музыку на его телефоне, друзья Лиама находят песни трех разных жанров: поп, металл и кантри.Металл-песен в шесть раз больше, чем поп-песен, и в 11 раз больше кантри, чем поп-песен. Если x представляет количество поп-песен, какое общее количество песен у Лиама на телефоне? Напишите выражение. Упрощать.

Чтобы получить количество металлических песен, умножьте количество поп-песен на пять — 5x . Чтобы получить количество песен в стиле кантри, умножьте количество популярных песен на 11 — 11x . Поскольку вы знаете, что x — это количество поп-песен, вы можете записать выражение как:

Футбольный тренер школы предоставляет своей команде новую форму: майку, пару шорт и щитки на голенях. Одна футболка стоит 15 долларов, одна пара шорт — 11 долларов, а комплект щитков для голени — 8 долларов.

Сколько стоит каждая униформа на одного товарища по команде? Напишите выражение и упростите.

Сколько в сумме будет стоить, если в команде 11 игроков? Напишите выражение и упростите.

Визуальные или практические манипуляторы помогают учащимся понять математику и конкретизировать абстрактные концепции. Они особенно полезны для более глубокого понимания учащимися распределительной собственности.

Используйте предметы, картинки, числа — все что угодно! — в строках и столбцах как удобный способ представления математических выражений, таких как 4×5 и 5×9. Ознакомьтесь с приведенным ниже примером на Indulgy:

Разбивая выражения на небольшие части, учащиеся могут решать более крупные и сложные математические задачи. Вот здесь и помогает распределительная собственность.

Если ребенок не может ответить 45, используйте меньшие массивы и перепишите выражение как 4 (3 + 2) или 4 (3) +4 (2). Это четыре строки по три плюс четыре строки по два , что аналогично массиву из четырех строк по пять .

Поскольку это одно из наиболее часто используемых свойств, важно научиться выполнять и применять распределительное свойство. Без него очистить круглые скобки было бы невозможно.

Включая ресурсы EdTech, массивы или математические текстовые задачи, учащиеся должны увидеть практическое применение распределительного свойства.

Был ли один пример более эффективным для вовлечения студентов и углубления их понимания? Есть только один способ узнать это — попробовать!

Prodigy Math Game — это игровая платформа для обучения математике, которую легко использовать как преподавателям, так и студентам.Ваша бесплатная учетная запись учителя, соответствующая учебным планам англоязычных стран, дает вам доступ к инструментам, которые помогают дифференцировать, мотивировать и оценивать.

Алгебра в повседневной жизни

16 долларов США

Пояснение:

1.Разобраться в проблеме

Группа из 5 мальчиков идет в театр. Стоимость билета и попкорна составляет 55 и 25 долларов соответственно. Сколько стоит на человека?

2. Запишите переменную

Скажем, `x` = стоимость билета на человека, а` y` = стоимость попкорна на человека

3. Напишите уравнение

Если 5 билетов стоят 55 долларов, то стоимость одного билета

`5x` = 55

`x` = `55/5`

Если 5 пакетов попкорна стоят 25 долларов, то стоимость каждого пакета составляет

.

`5лет` = 25

`y` = `25/5`

Общая стоимость фильма (билет + попкорн) на человека = `x + y`

4.Решите уравнение

Стоимость билета на человека

`x` =` 55/5`

`x` = 11

долларов США

Стоимость попкорна на человека

`y` = `25/5`

`y` = 5 долларов США

5. Проверьте свой ответ

Стоимость билета на человека + Стоимость попкорна на человека = Общая стоимость

11 + 5 = 16

Если сложить 16 пять раз (так как мальчиков 5), получится

16 + 16 + 16 + 16 + 16 = 80

80 $ — это общая стоимость.

Пятый класс | Инструменты 4 Учителя NC

Учебная база Введение

Цель этого документа — связать и упорядочить математические идеи, чтобы позволить учителям планировать возможности обучения для учащихся, чтобы развить последовательное понимание математики. Кластеры и последовательность предназначены для того, чтобы помочь учащимся осмыслить связи между математическими идеями и процедурами. Это осмысление происходит сверхурочно. Следовательно, концепции включаются в несколько кластеров с возрастающей глубиной.Они строятся в течение года, начиная с концептуального понимания и постепенно переходя к процедурной беглости.

Каждый кластер включает список связанных стандартов контента и диапазон предлагаемой продолжительности. Стандарты указывают на математические ожидания учащихся к концу учебного года. Стандарты вводятся и разрабатываются в течение года, поэтому тот факт, что стандарт контента указан в конкретном кластере, не означает, что он должен быть освоен в кластере. В некоторых кластерах зачеркивание в стандартах контента обозначает часть стандарта этому мы научим позже.В других кластерах появляется полный стандарт, но предложения о предполагаемом фокусе указываются в описании кластера. Поскольку стандарты могут быть включены в кластеры задолго до ожидаемого успеваемости, формирующая оценка является важным инструментом для планирования обучения и отчетности об успеваемости учащихся. Эта оценка естественным образом происходит, когда учителя развивают математическое мышление и рассуждения учащихся во время выполнения математических задач.

Особые стандарты математической практики указаны для каждого кластера.Перечисленные предложения являются руководством для учителей. Хотя перечисленные практики могут особенно хорошо подходить для содержания кластера, это не означает, что студенты будут использовать только их. Учащиеся, выполняющие сложные математические задачи, естественно, будут заниматься многими математическими практиками, как и математикой. Во время обучения учителя могут наблюдать и решать другие практики, которые учащиеся используют, помимо тех, которые перечислены в кластере.

Каждый кластер включает раздел под названием «Что такое математика?» который описывает важные концепции и связи в рамках стандартов, необходимых учащимся для понимания и использования математики.Во втором разделе под названием «Важные соображения» представлены рекомендации, основанные на прогрессе учащихся в обучении, а также идеи и модели для обучения в ситуациях, связанных с решением проблем. Решение проблем и математические рассуждения определяют, что значит заниматься математикой. Богатые задания (включая задачи со словами) предоставляют учащимся конкретный контекст для использования при знакомстве с новой математикой. Позже работа с такими задачами позволяет учащимся развить понимание и в конечном итоге продемонстрировать мастерство.Богатые задачи с множеством точек входа и выхода позволяют естественным образом дифференцировать обучение и доступны для всех студентов.