7 класс решение примеров: 7 класс. Алгебра – ГДЗ по алгебре за 7 класс, решебник и ответы онлайн

7 класс. Алгебра

Рубрика «7 класс. Алгебра»

I. Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить на этот одночлен каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Пример 1.  Умножить одночлен на многочлен: 2a·(4a2-0,5ab+5a3).

Решение. Одночлен будем умножать на каждый одночлен многочлена:

2a·(4a2-0,5ab+5a3)=2a∙4a2+2a∙(-0,5ab)+2a∙5a3=8a3-a2b+10a4. Запишем полученный многочлен в стандартном виде:

10a4+8a3-a2b.

Пример 2. Умножить многочлен на одночлен: (3xyz5-4,5x2y+6xy3+2,5y2z)∙(-0,4x3).

Решение. Каждое слагаемое, стоящее в скобках, умножаем на одночлен (-0,4x3).

(3xyz5-4,5x2y+6xy3+2,5y

2z)∙(-0,4x3)=

=3xyz5∙(-0,4x3) -4,5x2y∙(-0,4x3)+6xy3∙(-0,4x3)+2,5y2z∙(-0,4x3)=

=-1,2x4yz5+1,8x5y-2,4x4y3-x3y2z.

II. Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов называется разложением многочлена на множители.


 III. Вынесение общего множителя за скобки – простейший способ разложения многочлена на множители.

Пример 3. Разложить на множители многочлен:  5a3+25ab-30a2.

Решение. Вынесем общий множитель всех членов многочлена за скобки. Это одночлен , потому что на делится каждый из членов данного многочлена. Итак, 

мы запишем перед скобками, а в скобках запишем частные от деления каждого одночлена на .

5a3+25ab-30a2=5a·(a2+5b-6a). Проверяем себя: если мы умножим на многочлен в скобках a2+5b-6a, то получим данный многочлен 5a3+25ab-30a2.

Пример 4.Вынесите общий множитель за скобки: (x+2y)2-4·(x+2y).

Решение. (x+2y)2-4·(x+2y)=(x+2y)(x+2y-4).

Общим множителем здесь являлся двучлен (х+2у). Мы вынесли его за скобки, а в скобках записали частные от деления данных членов (x+2y)и -4·(x+2y) на их общий делитель

(х+2у).

В результате мы представили данный многочлен в виде произведения двух многочленов (x+2y) и (x+2y-4), другими словами, мы разложили многочлен (x+2y)2-4·(x+2y) на множители. Ответ:  (x+2y)(x+2y-4).

IV. Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и записать полученные произведения в виде суммы одночленов. При необходимости привести подобные слагаемые.

Пример 5. Выполнить умножение многочленов: (4x2-6xy+9y2)(2x+3y).

Решение. По правилу мы должны каждый член первого многочлена (4x2-6xy+9y2) умножить на каждый член второго многочлена (2x+3y). Чтобы не запутаться, делайте всегда так: сначала умножьте каждый член первого многочлена на 2х, потом опять каждый член первого многочлена умножайте на 3у.

(4x2-6xy+9y2)(2x+3y)=4x22x-6xy∙2x+9y22x+4x23y-6xy∙3y+9y23y=

=8x3-12x2y+18xy2+12x2y-18xy2+27y3=8x3+27y3.

Подобные слагаемые -12x2y и 12x2y, а также 18xy2 и -18xy2 оказались противоположными, их суммы равны нулю.

Ответ: 8x3+27y3.

 

I.  Сумма одночленов называется многочленом. Одночлены, из которых составлен многочлен, называются членами многочлена.

Например, многочлен 2a+3a2b-6b4+3,5a3b состоит из суммы четырех одночленов.

II.  Двучлен – это многочлен, состоящий из двух членов (одночленов).

Примеры двучленов: 2a-3b; 6x2+5; 2x-1.

III. Трехчлен – это многочлен, состоящий из трех членов (одночленов).

Например,  2а+3с-х или x2+4x-5 — трехчлены, так как состоят из трех одночленов.

IV. Степенью многочлена называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.

Например, многочлен 2a2-3b+abc-d2 имеет третью степень, так как наибольшей степенью входящих в него одночленов является третья степень одночлена 

abc (складываем показатели: 1+1+1=3).

Многочлен 4x4yz+2x2y3-xz4+3x2y2 имеет шестую степень, так как наибольшей (шестой) степенью является степень его члена 4x4yz (складываем показатели: 4+1+1=6).

V. Многочлен стандартного вида не содержит подобных членов и записан в порядке убывания степеней его членов.

Например, приведенный выше многочлен 4x4yz+2x2y3-xz4+3x2yявляется многочленом стандартного вида, так как записан в порядке убывания степеней его членов.

Пример 1. Упростить многочлен, записав каждый его член в стандартном виде: 4aabb∙(-0,5c2)+5a

2bb3-6abcab2c.

Решение.

4aabb∙(-0,5c2)+5a2bb3-6abcab2c=-2a2b2c2+5a2b4-6a2b3c2, а теперь запишем этот многочлен в стандартном виде (в порядке убывания степеней его членов):

-6a2b3c2-2a2b2c2+5a2b4.

Пример 2. Вычислить значение многочлена 5y2-3xy+x2при x=-1, y=2.

Решение.

5y2-3xy+x2=5∙22-3∙(-1)∙2+(-1)2=5∙4+6+1=27.

Пример 3. Упростить многочлен 2aba-a3bb+7bbbb и найти его числовое значение при

a=3, b=2.

Решение.

Упрощаем многочлен: 2aba-a3bb+7bbbb=2a2b-a3b2+7b4.

Подставляем значения a и b.

2a2b-a3b2+7b4=2∙32∙2-33∙22+7∙24=2∙9∙2-27∙4+7∙16=36-108+112=40.

Пример 4. Привести подобные члены многочлена:

Пример 5. Привести к стандартному виду многочлен:

Напоминание: подобными считают одночлены, имеющие одинаковую буквенную часть.

 I. Выражения, которые составлены из чисел, переменных и их степеней, при помощи действия умножения называются одночленами.

Примеры одночленов: 

а) a; б) ab; в) 12; г) -3c; д) 2a2∙(-3,5b)3; е) -123,45xy5z; ж) 8ac∙2,5a2∙(-3c3).

II. Такой вид одночлена, когда на первом месте стоит числовой множитель (коэффициент), а за ним переменные с их степенями, называют стандартным видом одночлена.

Так, одночлены, приведенные выше, под буквами а), б), в), г)  и е) записаны в стандартном виде, а одночлены под буквами д) и ж) требуется привести к стандартному виду, т. е. к такому виду, когда на первом месте стоит числовой множитель, а за ним записывают буквенные множители с их показателями, причем, буквенные множители стоят в алфавитном порядке. Приведем одночлены

д) и ж) к стандартному виду.

д) 2a2∙(-3,5b)3=2a2∙(-3,5)3∙b3=-2a2∙3,5∙3,5∙3,5∙b3=-85,75a2b3;

ж) 8ac∙2,5a2∙(-3c3)=-8∙2,5∙3a3c3=-60a3c3.

III. Сумму показателей степеней всех переменных, входящих в состав одночлена, называют степенью одночлена.

Примеры. Какую степень имеют одночлены а) — ж)?

а) a.  Первую;

б) ab. Вторую: а в первой степени и b в первой степени-сумма показателей 1+1=2;

в) 12. Нулевую, так как буквенных множителей нет;

г) -3c. Первую;

д) -85,75a2b3. Пятую. Мы привели этот одночлен к стандартному виду, имеем а во второй степени и b в третьей. Складываем показатели: 2+3=5;

е)  -123,45xy5z. Седьмую. Сложили показатели степеней буквенных множителей: 1+5+1=7;

ж) -60a3c3. Шестую, так как сумма показателей буквенных множителей 3+3=6.

IV.  Одночлены, имеющие одинаковую буквенную часть, называются подобными одночленами.

Пример. Указать подобные одночлены среди данных одночленов 1) -7).

1) 3aabbc; 2) -4,1a3bc; 3) 56a2b2c; 4) 98,7a2bac; 5) 10aaa2x; 6) -2,3a4x; 7) 34x2y.

Приведем одночлены 1), 4) и 5) к стандартному виду. Тогда строчка данных одночленов будет выглядеть так:

1) 3a2b2c; 2) -4,1a3bc; 3) 56a2b2c; 4) 98,7a3bc; 5) 10a4x;  6) -2,3a4x; 7) 34x2y.

Подобными будут те, которые имеют одинаковую буквенную часть, т.е.

1) и 3); 2) и 4); 5) и 6).

1) 3a2b2c и 3) 56a2b2c;

2) -4,1a3bc и 4) 98,7a3bc;

5) 10a4x и  6) -2,3a4x.

 

Очень большие и очень малые числа принято записывать в стандартном виде: a∙10n, где 1≤а<10 и n  (натуральное или целое) – есть порядок числа, записанного в стандартном виде.

Например, 345,7=3,457∙102; 123456=1,23456∙105; 0,000345=3,45∙10-4.

Примеры. 

Записать в стандартном виде число: 1) 40503; 2) 0,0023; 3) 876,1; 4) 0,0000067.

Решение.

1) 40503=4,0503·104;

2) 0,0023=2,3∙10-3;

3) 876,1=8,761∙102;

4) 0,0000067=6,7∙10-6.

Еще примеры на стандартный вид числа.

5) Число молекул газа в 1 см3 при 0°С и давлении 760 мм.рс.ст равно

27 000 000 000 000 000 000. Записать это число в стандартном виде.

Решение.

27 000 000 000 000 000 000=2,7∙1019.

6) 1 парсек (единица длины в астрономии) равен 30 800 000 000 000 км. Записать это число в стандартном виде.

Решение.

1 парсек=30 800 000 000 000=3,08∙1013 км.

В тему:

Киловатт-час — это внесистемная единица энергии или работы, применяется в электротехнике, обозначается кВт·ч.

1 кВт·ч=3,6∙106 Дж (Джоулей).

 

 I. Определение.  (- n)-й степенью (n – натуральное) числа а, не равного нулю, считается число, обратное n-й степени числа а:

Примеры. Вычислить:

Решение.

II. Следующая формула позволяет заменить обыкновенную дробь с отрицательным показателем на обратную ей дробь с положительным показателем:

Примеры. Вычислить:

Решение.

 Свойства степени с натуральным показателем справедливы и для  степеней с любым показателем.

Свойства степени с натуральным показателем с примерами смотрите в предыдущем уроке здесь.

Примеры на все свойства степени.

Упростить:

Решение.

       При решении 7) примера  I способом мы использовали свойства умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями:  am∙an=am+n  и am:an=am-nПри решении II способом мы использовали понятие степени с отрицательным показателем:  и свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями:  am∙an=am+n .

 

Пример 8 ) решаем так же, как решали пример 7) вторым способом.

 

 

 

В примере 9) представим 73как 72∙7, а степень 45как 43∙42, а затем сократим дробь на (72∙43).

 

В 10) примере применим формулу степени произведения: (ab)n=anbn, а затем сократим дробь на (26∙35).

                 

I. Произведение n сомножителей, каждый из которых равен а называется n-й степенью числа а и обозначается аn.

Примеры. Записать произведение в виде степени.

1) mmmm;          2) aaabb;         3) 5·5·5·5·ccc;        4) ppkk+pppk-ppkkk.

Решение.

1) mmmm=m4, так как, по определению степени, произведение четырех сомножителей, каждый из которых равен m, будет четвертой степенью числа m.

  2) aaabb=a3b2;    3) 5·5·5·5·ccc=54c3;     4) ppkk+pppk-ppkkk=p2k2+p3k-p2k3.

II. Действие, посредством которого находится произведение нескольких равных сомножителей, называется возведением в степень. Число, которое возводится в степень, называется основанием степени. Число, которое показывает, в какую степень возводится основание, называется показателем степени. Так, аn – степень, а – основание степени, n – показатель степени. Например:

 23 — это степень. Число 2 — основание степени, показатель степени равен 3. Значение степени 23равно 8, так как 23=2·2·2=8.

Примеры. Написать следующие выражения без показателя степени.

5) 43;       6) a3b2c3;       7) a3-b3;       8 ) 2a4+3b2.

Решение.

5) 43=4·4·4;       6) a3b2c3=aaabbccc;       7) a3-b3=aaa-bbb;       8) 2a4+3b2=2aaaa+3bb.

 III. а0=1  Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице. Например, 250=1. 
 IV. а1=а  Любое число в первой степени равно самому себе. 

 V. aman=am+n   При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают.

Примеры. Упростить:

9) a·a3·a7;             10) b0+b2·b3;             11) c2·c0·c·c4.

Решение.

9) a·a3·a7=a1+3+7=a11;           10) b0+b2·b3=1+b2+3=1+b5;             

11) c2·c0·c·c4=1·c2·c·c4=c2+1+4=c7.

VI.  am:an=am—  При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Примеры. Упростить:

12) a8:a3;       13) m11:m4;         14) 56:54.

12) a8:a3=a8-3=a5;       13) m11:m4=m11-4=m7;         14) 56:54=52=5·5=25.

VII. (am)n=amn   При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают.

Примеры. Упростить:

15) (a3)4;         16) (c5)2.

15) (a3)4=a3·4=a12;         16) (c5)2=c5·2=c10.

Обратите внимание, что, так как от перестановки множителей произведение не меняется, то:

15) (a3)4=(a4)3;         16) (c5)2=(c2)5.

 VIII. (a∙b)n=an∙bn   При возведении произведения в степень возводят в эту степень каждый из множителей.

Примеры. Упростить:

17) (2a2)5;      18) 0,26·56;        19) 0,252·402.

Решение.

17) (2a2)5=25·a2·5=32a10;      18) 0,26·56=(0,2·5)6=16=1;

19) 0,252·402=(0,25·40)2=102=100.


       
IX. При возведении в степень дроби возводят в эту степень и числитель и знаменатель дроби.

Примеры. Упростить:

Решение.

 

Функцию вида y=x3 называют кубической функцией. Графиком кубической функции является кубическая парабола, проходящая через начало координат. Ветви кубической параболы y=x3 находятся в I и III четвертях.

Построение графика кубической функции y=x3

Составим таблицу значений функции y=x3 для х=0, х=±1, х=±2.

   x     |    y=x3

   0    |    0³=0            Точка О(0; 0)

   1    |    1³=1            Точка А(1; 1)

  -1    | (-1)³=-1          Точка С(-1; -1)

    2   |   2³=8             Точка В(2; 8 )

  -2   | (-2)³=-8           Точка D(-2; -8)

Функцию вида y=x2 называют квадратной функцией. Графиком квадратной функции является парабола с вершиной в начале координат. Ветви параболы y=x2 направлены вверх.

Построение графика функции y=x2. Составим таблицу значений функции для х=0, х=±1, х=±2, х=±3.

х    |   y=x² 

0    |  0²=0  

1    |  1²=1              Точка А(1; 1)

-1   | (-1)²=1           Точка А1(-1; 1)

2    |   2²=4             Точка В(2; 4)

-2   | (-2)²=4           Точка В1(-2; 4)

3    |  3²=9              Точка С(3; 9)

-3   | (-3)²=9           Точка С1(-3; 9)

1)    Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

       (a+b)2 = a2+2ab+b

  a) (x + 2y)2 = x2 + 2 ·x·2y + (2y)2 = x2 + 4xy + 4y2

б) (2k + 3n)2 = (2k)2 + 2·2k·3n + (3n)2 = 4k2 + 12kn + 9n2

2)    Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

        (a-b)2 = a2-2ab+b2

 а)   (2a – c)2 = (2a)2-2·2a·c + c2 = 4a2 – 4ac + c2

б)   (3a – 5b)2 = (3a)2-2·3a·5b + (5b)2 = 9a2 – 30ab + 25b2

3)    Разность квадратов двух выражений равна произведению разности самих выражений на их сумму.

         a2–b2 = (a–b)(a+b)

a)      9x2 – 16y2 = (3x)2 – (4y)2 = (3x – 4y)(3x + 4y)

б)  (6k – 5n)( 6k + 5n) = (6k)2 – (5n)2 = 36k2 – 25n2

4)  Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

        (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3

a)  (m + 2n)3 = m3 + 3·m2·2n + 3·m·(2n)2 + (2n)3 = m3 + 6m2n + 12mn2 + 8n3

б)  (3x + 2y)3 = (3x)3 + 3·(3x)2·2y + 3·3x·(2y)2 + (2y)3 = 27x3 + 54x2y + 36xy2 + 8y3

5)  Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

(a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3

а)  (2x – y)3 = (2x)3-3·(2x)2·y + 3·2x·y2 – y3 = 8x3 – 12x2y + 6xy2 – y3

б)  (x – 3n)3 = x3-3·x2·3n + 3·x·(3n)2 – (3n)3 = x3 – 9x2n + 27xn2 – 27n3

6)  Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы самих выражений на неполный квадрат их разности.

a3+b3 = (a+b)(a2–ab+b2)

a)      125 + 8x3 = 53 + (2x)3 = (5 + 2x)(52 — 5·2x + (2x)2) = (5 + 2x)(25 – 10x + 4x2)

б)  (1 + 3m)(1 – 3m + 9m2) = 13 + (3m)3 = 1 + 27m3

7)  Разность кубов двух выражений равна произведению разности самих выражений на неполный квадрат их суммы.

 a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2)

а) 64с3 – 8 = (4с)3 – 23 = (4с – 2)((4с)2 + 4с·2 + 22) = (4с – 2)(16с2 + 8с + 4)

б) (3a – 5b)(9a2 + 15ab + 25b2) = (3a)3 – (5b)3 = 27a3 – 125b3

Дорогие друзья! Карта сайта поможет вам выбрать нужную тему.

Страница 1 из 11

ГДЗ по алгебре за 7 класс, решебник и ответы онлайн

GDZ.RU - готовые домашние заданияРешение есть!
  • 1 класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Музыка
    • Литература
    • Окружающий мир
    • Человек и мир
  • 2 класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Немецкий язык
    • Информатика
    • Музыка
    • Литература
    • Окружающий мир
    • Человек и мир
  • 3 класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Немецкий язык
    • Информатика
    • Музыка
    • Литература
    • Окружающий мир
  • 4 класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Немецкий язык
    • Информатика
    • Музыка
    • Литература
    • Окружающий мир
  • 5 класс
    • Математика
    • Английский язык
    • Русский язык
    • Немецкий язык
    • Украинский язык
    • Биология
    • История
    • Информатика
    • ОБЖ
    • География
    • Музыка
    • Литература
    • Обществознание
    • Технология
    • Естествозн

Способ группировки в более сложных задачах и уравнениях

Рассмотрим пример:

Пример 1 – разложить на множители:

;

У всех членов общего множителя нет, значит нужно применить способ группировки. Следует выбрать группы так, чтобы в каждой можно было вынести общий множитель и желательно, чтобы после этого появился общий множитель у всего выражения. Объединим члены по три: первая тройка и вторая:

;

Выносим общие множители в группах:

;

Напомним, что можно проверить, правильно ли множитель вынесен за скобку. Для этого нужно его на эту скобку умножить и проверить, соответствует ли произведение исходному многочлену или группе членов.

Появился общий множитель у всего выражения. Вынесем его:

;

Способ группировки применяется при решении различных задач, в частности уравнений. Рассмотрим примеры:

Пример 2:

;

Поскольку в левой части уравнения стоит многочлен, то нужно разложить его на множители, чтобы решить уравнение. Общего множителя мы не видим, поэтому следует применить способ группировки. Объединим первый член с третьим и второй с четвертым:

;

Вынесем общие множители в группах:

;

Очевидно, что у всего выражения появился общий множитель. Вынесем его за скобки:

;

теперь можем перейти к решению уравнения:

;

Мы уже знаем, что произведение равно нулю только если хотя бы один из множителей равен нулю. Составим и решим уравнения:

 или ;

Решим первое уравнение:

,  – уравнение не имеет решений, так как квадрат любого числа это число неотрицательное, то есть большее либо равное нулю;

Решим второе уравнение:

 ,

Ответ: данное уравнение имеет единственное решение .

Пример 3:

;

аналогично предыдущему примеру чтобы решить уравнение нужно разложить многочлен в левой части на множители. Но мы не можем сразу воспользоваться способом группировки, так как задан трехчлен и в нем нельзя выделить группы. Поэтому один из членов нужно представить как два. Для того, чтобы это выполнить, обратим внимание, что , а :

;

Теперь можем выделить группы:

;

Вынесем в группах общие множители:

;

Вынесем появившийся общий множитель:

;

Перейдем к решению уравнения:

;

Аналогично предыдущему примеру составим новые уравнения:

 или

Решим первое уравнение:

,

Решим второе уравнение:

,

Ответ:  или

Напомним, что корнем уравнения называется такое число , при подстановке которого в уравнение оно превращается в верное равенство.

Пример 4:

;

;

 или

, ;

, ;

Ответ:  или  ;

Комментарий: пример решается аналогично предыдущему.

Пример 5 – построить на координатной плоскости (Х0У) график уравнения:

;

сначала заданное уравнение нужно решить, для этого воспользуемся методом группировки:

 или

, ;

, ;

Построим координатную плоскость. Напомним, что координатная ось считается построенной, если выбрано начало координат, направление положительного возрастания  и масштаб:

Рис. 1. Графики уравнений y = 1 и x = 2

Заданное уравнение соответствует двум таким уравнениям:  и ;

Рассмотрим первое уравнение:

; про  ничего не известно, значит, он принимает любые значения.

Аналогично второе уравнение, ,  принимает любые значения. Построим две прямые.

Объединение двух прямых и есть исходный график. Любая точка, лежащая на графике, является корнем уравнения.

Напомним, что график – это такое множество точек (х; у), координаты которых удовлетворяют заданному уравнению.

Пример 6 – построить на координатной плоскости (Х0У) график уравнения:

;

Поступаем, как и в предыдущем примере.

Сгруппируем первый член со вторым и третий с четвертым:

;

;

Составим и решим уравнения:

 или

, ;

, ;

Выполним построение:

Рис. 2. График функции y = -x

Уравнение  это уравнение прямой, проходящей через точку  на оси и параллельной оси 0Х.

Для построения уравнения  составим таблицу:

Решение задач по теме «Одночлены. Арифметические операции над одночленами»

На этом уроке мы будем решать задачи, связанные с одночленами. Мы умеем выполнять следующие действия: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень. На эти действия мы и будем решать задачи.

Выполнить сложение одночленов: .

Решение. Прежде всего вспомним, что складывать и вычитать, приводя подобные, можно только одночлены с одинаковой буквенной частью. Принцип здесь очень прост. Если у вас было  яблока и  яблок, то вместе у вас  яблок. А если было  яблока и  груш, то вы не можете говорить ни про  яблок, ни про  груш. Наконец, если было  яблока и  груши, а потом вам дали еще  яблока и  груш, то стало  яблок и  груш, то есть мы складываем яблоки с яблоками, груши – с грушами. Точно так же и с одночленами: складывать (или вычитать) коэффициенты мы можем только у тех одночленов, у которых буквенная часть полностью совпадает (в том числе и степени переменных).

Чтобы увидеть подобные слагаемые, запишем каждый одночлен в стандартном виде (упорядочив переменные по алфавиту для удобства). Будет: .

Найдем и приведем подобные слагаемые: .

Можно заметить, что, по сути, мы применили распределительный закон два раза, вынеся за скобки  и  соответственно: .

То есть получаем, что .

Умножить одночлены: .

Решение. Напомним, что при умножении одночлена на одночлен нужно перемножить коэффициенты отдельно, а буквенные части отдельно – к каждой букве применяем свойство степеней, складывая показатели.

Получаем: .

Умножить одночлены: .

Решение. Чтобы возвести одночлен в степень, нужно его коэффициент возвести в эту степень, а также каждую переменную возвести в степень. При возведении степени в степень, показатели степеней перемножаются.

Сначала возведём выражение в скобках в куб, а затем применим уже повторенное свойство умножения одночлена на одночлен. Получаем: 

.

Разделить одночлены: .

Решение. В этом случае мы делим коэффициент делимого на коэффициент делителя, а затем последовательно делим степень каждой переменной (буквы). При делении показатели степени вычитаются.

Сначала возведем одночлены в степень, а потом выполним деление. Получаем:

.

Упростить выражение: .

Решение

1. Первым действием приведем подобные в первых скобках и возведем полученный результат в куб: 

2. Возведем в четвертую степень второй множитель: 

3. Перемножим результаты первого и второго действия: 

4. Поделим одночлены: 

5. Отнимем одночлены, которые получились в третьем и четвертом действиях:

Получаем, что: .


Пример

Упростить выражение: 
при условии, что  такое, что в первой скобке можно привести подобные слагаемые.

Решение. Найдем . Чтобы вычесть одночлены, их буквенные части должны совпадать с точностью до показателя степени, то есть , откуда . Тогда .

Имеем:

На этом уроке мы вспомнили все основные действия с одночленами (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень), и повторили, как их выполнять, на различных примерах.

 

Список литературы

1. М.И. Башмаков. Алгебра. Рабочая тетрадь для 7 класса. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2014. – 224 с.

2. Гельфман Э.Г., Демидова Л.Н., Терре А.И. Алгебра. Практикум для 7 класса. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2014. – 184 с.

3. Э.Г. Гельфман и др., Алгебра. Учебник для 7 класса. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013. – 264 с.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт «ЯКласс» (Источник)

2. Интернет-сайт «ЯКласс» (Источник)

3. Интернет-сайт «ЯКласс» (Источник)

 

Домашнее задание

1. Упростить выражение .

2. Решить уравнение .

3. Замените символ  таким одночленом, чтобы выполнялось равенство: .

Основные понятия. Алгебра, 7 класс: уроки, тесты, задания.

1. Вопросы по теме «Многочлены»

Сложность: лёгкое

1
2. Противоположные многочлены

Сложность: лёгкое

1
3. Определение вида многочлена

Сложность: лёгкое

1
4. Выбор вида многочлена

Сложность: лёгкое

1
5. Коэффициент и степень членов многочлена

Сложность: лёгкое

2
6. Степень многочлена

Сложность: лёгкое

1
7. Составление многочлена

Сложность: лёгкое

1
8. Упрощение многочлена (преобразование одночленов)

Сложность: лёгкое

3
9. Приведение подобных слагаемых

Сложность: лёгкое

2
10. Многочлен

Сложность: лёгкое

2
11. Подобные слагаемые многочлена

Сложность: лёгкое

2
12. Стандартный вид, подобные члены многочлена

Сложность: среднее

3
13. Приведение подобных членов многочлена

Сложность: среднее

3
14. Подобные члены многочлена

Сложность: среднее

3
15. Числовое значение многочлена (целые числа)

Сложность: среднее

3
16. Приведение подобных членов (обыкновенные дроби)

Сложность: среднее

3
17. Значение многочлена

Сложность: среднее

4
18. Числовое значение многочлена (десятичные дроби)

Сложность: среднее

5
19. Числовое значение многочлена (обыкновенные дроби)

Сложность: среднее

5
20. Стандартный вид многочлена (противоположный)

Сложность: сложное

5
21. Стандартный вид многочлена

Сложность: сложное

4

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск