Калькулятор степеней — возвести в степень онлайн

Калькулятор помогает быстро возвести число в степень онлайн. Основанием степени могут быть любые числа (как целые, так и вещественные). Показатель степени также может быть целым или вещественным, и также как положительным, так и отрицательным. Следует помнить, что для отрицательных чисел возведение в нецелую степень не определено и потому калькулятор сообщит об ошибке в случае, если вы всё же попытаетесь это выполнить.

Что такое натуральная степень числа?

Число p называют n-ой степенью числа a, если p равно числу a, умноженному само на себя n раз: p = an = a·...·a
n — называется показателем степени, а число a — основанием степени.

Как возвести число в натуральную степень?

Чтобы понять, как возводить различные числа в натуральные степени, рассмотрим несколько примеров:

Пример 1. Возвести число три в четвёртую степень. То есть необходимо вычислить 3

4
Решение: как было сказано выше, 34 = 3·3·3·3 = 81.
Ответ: 34 = 81.

Пример 2. Возвести число пять в пятую степень. То есть необходимо вычислить 5⁵
Решение: аналогично, 55 = 5·5·5·5·5 = 3125.
Ответ: 55 = 3125.

Таким образом, чтобы возвести число в натуральную степень, достаточно всего лишь умножить его само на себя n раз.

Что такое отрицательная степень числа?

Отрицательная степень -n числа a — это единица, поделённая на a в степени n: a^-n = .

При этом отрицательная степень существует только для отличных от нуля чисел, так как в противном случае происходило бы деление на ноль.

Как возвести число в целую отрицательную степень?

Чтобы возвести отличное от нуля число в отрицательную степень, нужно вычислить значение этого числа в той же положительной степени и разделить единицу на полученный результат.

Пример 1. Возвести число два в минус четвёртую степень. То есть необходимо вычислить 2^-4

Решение: как было сказано выше, 2-4 = = = 0.0625.

Ответ: 2-4 = 0.0625.

programforyou.ru

Сократите дробь x^51/(x^8+x^7+x^3+x+1)^1 (х в степени 51 делить на (х в степени 8 плюс х в степени 7 плюс х в кубе плюс х плюс 1) в степени 1)

           51          
          x            
-----------------------
                      1
/ 8    7    3        \ 
\x  + x  + x  + x + 1/ 

$$\frac{x^{51}}{\left(x + x^{3} + x^{8} + x^{7} + 1\right)^{1}}$$

         51         
        x           
--------------------
         3    7    8
1 + x + x  + x  + x 

$$\frac{x^{51}}{x^{8} + x^{7} + x^{3} + x + 1}$$

Численный ответ

[LaTeX]

x^51/(1.0 + x + x^3 + x^7 + x^8)

Рациональный знаменатель

[LaTeX]

         51         
        x           
--------------------
         3    7    8
1 + x + x  + x  + x 

$$\frac{x^{51}}{x^{8} + x^{7} + x^{3} + x + 1}$$

Объединение рациональных выражений

[LaTeX]

               51              
              x                
-------------------------------
      /     2 /     4        \\
1 + x*\1 + x *\1 + x *(1 + x)//

$$\frac{x^{51}}{x \left(x^{2} \left(x^{4} \left(x + 1\right) + 1\right) + 1\right) + 1}$$

Общее упрощение

[LaTeX]

         51         
        x           
--------------------
         3    7    8
1 + x + x  + x  + x 

$$\frac{x^{51}}{x^{8} + x^{7} + x^{3} + x + 1}$$

Собрать выражение

[LaTeX]

         51         
        x           
--------------------
         3    7    8
1 + x + x  + x  + x 

$$\frac{x^{51}}{x^{8} + x^{7} + x^{3} + x + 1}$$

Общий знаменатель

[LaTeX]

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    4          6          2                     5           3           7
           39    41    43    40    42           2          4          6          8         10         12         14         16        18        20        22        24       26       28       30       32      34      36      38      37      35      33       31       29       27        25        23        21        19         17         15         13         11          9          7          5          3              182168 - 154441*x  - 85184*x  - 34815*x  + 46929*x + 114698*x  + 208013*x  + 245408*x 
-182168 + x   + x   + x   - x   - x   - 100424*x  - 55377*x  - 30498*x  - 16809*x  - 9282*x   - 5107*x   - 2810*x   - 1558*x   - 856*x   - 467*x   - 262*x   - 145*x   - 77*x   - 44*x   - 25*x   - 12*x   - 7*x   - 5*x   - 2*x   + 3*x   + 6*x   + 9*x   + 18*x   + 34*x   + 57*x   + 105*x   + 196*x   + 349*x   + 632*x   + 1158*x   + 2091*x   + 3784*x   + 6889*x   + 12492*x  + 22635*x  + 41103*x  + 74579*x  + 135239*x + --------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             3    7    8                                 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    1 + x + x  + x  + x                                  

$$x^{43} — x^{42} + x^{41} — x^{40} + x^{39} — 2 x^{38} + 3 x^{37} — 5 x^{36} + 6 x^{35} — 7 x^{34} + 9 x^{33} — 12 x^{32} + 18 x^{31} — 25 x^{30} + 34 x^{29} — 44 x^{28} + 57 x^{27} — 77 x^{26} + 105 x^{25} — 145 x^{24} + 196 x^{23} — 262 x^{22} + 349 x^{21} — 467 x^{20} + 632 x^{19} — 856 x^{18} + 1158 x^{17} — 1558 x^{16} + 2091 x^{15} — 2810 x^{14} + 3784 x^{13} — 5107 x^{12} + 6889 x^{11} — 9282 x^{10} + 12492 x^{9} — 16809 x^{8} + 22635 x^{7} — 30498 x^{6} + 41103 x^{5} — 55377 x^{4} + 74579 x^{3} — 100424 x^{2} + 135239 x — 182168 + \frac{1}{x^{8} + x^{7} + x^{3} + x + 1} \left(245408 x^{7} — 85184 x^{6} + 114698 x^{5} — 154441 x^{4} + 208013 x^{3} — 34815 x^{2} + 46929 x + 182168\right)$$

Комбинаторика

[LaTeX]

         51         
        x           
--------------------
         3    7    8
1 + x + x  + x  + x 

$$\frac{x^{51}}{x^{8} + x^{7} + x^{3} + x + 1}$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

Таблица степеней, таблица степеней для чисел от 1 до 10, полная таблица степеней

Таблица степеней — перечень чисел от 1 до 10 возведенных в степень от 1 до 10. Таблица степеней редко применяется в учебе, но когда она нужна, без нее просто не обойтись. Ведь не сразу вспомнишь сколько будет 6 в 4-ой степени! Всятаблица степеней представлена ниже. На нашем сайте помимо таблицы степеней советуем посмотреть программы для решения задач по теории вероятности, геометрии и математике! Также на сайте работает форум, на котором Вы всегда можете задать вопрос и на котором Вам всегда помогуть с решением задач. Пользуйтесь нашими сервисами на здоровье!

Таблица степеней 1 — 10

1 в степени:

1¹ = 1

1² = 1

1³ = 1

1⁴ = 1

1⁵ = 1

1⁶ = 1

1⁷ = 1

1⁸ = 1

1⁹ = 1

1¹⁰ = 1

2 в степени:

2¹ = 2

2² = 4

2³ = 8

2⁴ = 16

2⁵ = 32

2⁶ = 64

2⁷ = 128

2⁸ = 256

2⁹ = 512

2¹⁰ = 1024

3 в степени:

3¹ = 3

3² = 9

3³ = 27

3⁴ = 81

3⁵ = 243

3⁶ = 729

3⁷ = 2187

3⁸ = 6561

3⁹ = 19683

3¹⁰ = 59049

4 в степени:

4¹ = 4

4² = 16

4³ = 64

4⁴ = 256

4⁵ = 1024

4⁶ = 4096

4⁷ = 16384

4⁸ = 65536

4⁹ = 262144

4¹⁰ = 1048576

5 в степени:

5¹ = 5

5² = 25

5³ = 125

5⁴ = 625

5⁵ = 3125

5⁶ = 15625

5⁷ = 78125

5⁸ = 390625

5⁹ = 1953125

5¹⁰ = 9765625

6 в степени:

6

www.webmath.ru

Решите уравнение x^8+1=0 (х в степени 8 плюс 1 равно 0)

Найду корень уравнения: x^8+1=0

Решение

Подробное решение

[LaTeX]

Дано уравнение
$$x^{8} + 1 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 8 и свободный член = -1 зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

Остальные 8 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{8} = -1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{8} e^{8 i p} = -1$$
где
$$r = 1$$
— модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{8 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left (8 p \right )} + \cos{\left (8 p \right )} = -1$$
значит
$$\cos{\left (8 p \right )} = -1$$
и
$$\sin{\left (8 p \right )} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{4} + \frac{\pi}{8}$$
где N=0,1,2,3,…
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = — \sqrt{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$z_{2} = \sqrt{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} — i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$z_{3} = — \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} — i \sqrt{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$z_{4} = \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + i \sqrt{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$z_{5} = — \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + \frac{\sqrt{2} i}{2} \sqrt{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + \frac{\sqrt{2} i}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$z_{6} = \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} — \frac{\sqrt{2} i}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + \frac{\sqrt{2} i}{2} \sqrt{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$z_{7} = — \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} — \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} — \frac{\sqrt{2} i}{2} \sqrt{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + \frac{\sqrt{2} i}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$z_{8} = — \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} — \frac{\sqrt{2} i}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} — \frac{\sqrt{2} i}{2} \sqrt{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = — \sqrt{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$x_{2} = \sqrt{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} — i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$x_{3} = — \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} — i \sqrt{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$x_{4} = \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + i \sqrt{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$x_{5} = — \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + \frac{\sqrt{2} i}{2} \sqrt{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + \frac{\sqrt{2} i}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$x_{6} = \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} — \frac{\sqrt{2} i}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + \frac{\sqrt{2} i}{2} \sqrt{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$x_{7} = — \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} — \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} — \frac{\sqrt{2} i}{2} \sqrt{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + \frac{\sqrt{2} i}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$

$$x_{8} = — \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} — \frac{\sqrt{2} i}{2} \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} — \frac{\sqrt{2} i}{2} \sqrt{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$

Быстрый ответ

[LaTeX]

Данное ур-ние не имеет решений

Численный ответ

[LaTeX]

x1 = -0.923879532511 + 0.382683432365*i

x2 = 0.923879532511 + 0.382683432365*i

x3 = -0.923879532511 - 0.382683432365*i

x4 = -0.382683432365 + 0.923879532511*i

x5 = 0.923879532511 - 0.382683432365*i

x6 = 0.382683432365 + 0.923879532511*i

x7 = 0.382683432365 - 0.923879532511*i

x8 = -0.382683432365 - 0.923879532511*i

www.kontrolnaya-rabota.ru