9 класс уравнения с одной переменной: «Уравнение с одной переменной». 9-й класс

Posted on by alexxlab

Содержание

«Уравнение с одной переменной». 9-й класс

Используемая технология: Блочно-модульное обучение.

Для средней общеобразовательной школы.

Автор учебника Макарычев Ю.Н., 3 часа в неделю.

  • Информационный блок
    • : выдержка из КТП

№

Содержание учебного материала

Кол-во

часов

Тип урока

Планируемый результат

базовый

повышенный
§5. Уравнения с одной переменной, 6 часов.
1. Целое уравнение и его корни.

1

 Урок-лекция (формирование понятий).

Формирование понятия уравнение высших степеней, умение решать биквадратные уравнения.

Формирование понятия уравнения высших степеней, их типы; умение

безошибочно находить способ решения уравнения, определяя для этого его тип.
2.
Решение уравнений высших степеней.

1

 Урок-отработка лекции.

2

 Урок-диагностика знаний (с\р).
3. Решение целых уравнений с параметрами.

1

 Урок-коррекция

( РНО).
4. Проверочная работа.

1

 Урок- контроля ЗУН
  • Цели блока уроков:
    •

    Образовательные

    Развивающие

    Воспитывающие

    Сформировать понятие и закрепить знания учащихся по теме “Уравнения с одной переменной”;

    Умения составлять алгоритм решения уравнения;

    Закрепить умения и навыки решать уравнения высших степеней с использованием разных приемов, в нестандартных ситуациях.

    Развивать умения пользоваться опорным конспектом и вспомогательной литературой для постановки задачи и ее выполнения в ходе решения;

    Развивать внимательность, собранность и аккуратность;

    Развивать умения работать самостоятельно и в микро группах, ставить перед собой цель и делать выводы, выполнять безошибочно необходимые арифметические вычисления

    Чувство ответственности;

    Умение работать в микро группе;

    Культура труда, аккуратность.
    • Дидактические разработки урока.
      •

    1. Урок-лекция. На этом уроке обзорно рассматриваются следующие вопросы:

    • Понятие целого уравнения, корни уравнения, повторить способы решения уже известных уравнений;
    • Рассмотреть все виды уравнений высших степеней, уметь определять количество корней уравнения;
    • Разобрать алгоритмы решения уравнений высших степеней.
    • Составить опорный конспект урока. (д\з)

    2. Урок-отработка лекции

    .

    На этом уроке разбираются и отрабатываются основные понятия, приемы и способы, о которых говорилось на первом уроке (пошаговая отработка лекции). Привожу пример лучшего опорного конспекта, составленного учащимися.

    Опорный конспект урока по теме:

    “Целое уравнение. Уравнения высших степеней”.

    Основные методы решений уравнений.

    Разложение на множители.

    Введение новой переменной.

    Ключевые понятия:

    уравнение, корень уравнения, решить уравнение, равносильные уравнение.

    Виды уравнений:

    №

    Название уравнения

    Общий вид

    пример

    1.

    Биквадратное

    ах4+ вх2 + с = 0

    замена х2=t

    обратная замена переменных

    3х4— 5х2 + 8=0

    замена х2 = t

    3 t2— 5 t +8=0

    2.

    Уравнение, сводящееся к квадратному с помощью замены выражения.

    		   (х2— 3х)2 + 5(х2— 3х) = 2

    замена (х2— 3х) = а

    а2 + 5а = 2

    а2 + 5а — 2 = 0

    3.

    Уравнение, решая которое используем метод группировки слагаемых.

    		 Прием группировки

    3(х-5) –х(х-5)=(х-5)(3-х)

    		 3х-15-х2+5х=0

    3(х-5) + х(-х+5)=0

    3(х-5) – х(х-5)=0

    (х-5)(3-х)=0

    х — 5=0 или 3 — х=0

    4.

    Симметрическое

    (возвратное)

    а

    х4+вх3+сх2+вх+а=0 сгруппируем

    а

    х4+ а +вх3+ вх+ с=0

    а(х4+1) + в(х3+х) + с=0

    делим все уравнение на х2

    а(х2+) + в(х+)+с=0

    замена

    х += к ; х2+= к – 2

    а(к-2) + вк + с = 0

    найдем к

    обратная замена

    		 х4+5х3+4х2-5х-1=0

    5.

    Уравнение с использованием способа деления углом многочлена на одночлен (т.Безу)

    Любой многочлен.

    Если не удалось решить перечисленными способами, тогда применяем данный прием.

    х3 +6х +4х2+3=0

    подробно рассмотреть решение в конспекте.

    Далее учащиеся разбиваются на микро группы и выполняют предложенное учителем задание.

    Задание 1: Определить вид уравнения.

    №

    пример

    Вид уравнения

    1.

    (х-2)6— 19(х-2)3= 216

    		  

    2.

    3х3— 7х2-7х +3 =0

    		  

    3.

    2х4-х3-9х2+13х -5=0

    		  

    4.

    х(х+1)(х+2)(х+3)=0,5625

    		  

    5.

    6х4-5х3-38х2-5х + 6 = 0

    		  

    6.

    (х2+5)2 – 36 = 0

    		  

    7.

    х4 + 2х2 – 24 = 0

    		  

    8.

    		 

    9.

    а2х4— (а2 + 1)х2 + 1 = 0

    		  

    Задание 2: Решить уравнения.

    Оценка

    Вариант 1

    Вариант 2

    “3”

    №7

    №6

    “4”

    №1

    №2

    “5”

    №5

    №8

    Проверка решений у учителя. Выставление оценок.

    Домашнее задание.

    Уровень

    Решить уравнение.

    “3”

    		 По учебнику, авторы Ю.Н.Макарычев и др.

    №234(а,б),247а,248а

    “4”

    		 №3,№4,№5

    “5”

    		 №9,№4,№6

    3. Урок-диагностика знаний

    .

    На этом уроке учащимся предлагается самостоятельно выполнить работу с целью определения уровня владения новым материалом. Каждому выдается разработка модуля урока, учащийся сам выбирает темп работы и по окончанию урока (2 часа) получает оценку.

    Комментарий: У учителя разработка с ответами, учащимся же выдается без ответов.

    Разработка модуля урока по теме: ” Решение уравнений высших степеней”, 9 класс.

    ДЛЯ УЧИТЕЛЯ

    Для успешного освоения данной темы:

    На ”3” нужно выполнить таблицы №1,№2,№3

    На “4” нужно выполнить таблицы №1- 4

    На “5” нужно выполнить все задания.

    Желаю УДАЧИ всем!!!

    Блок №1. Решить различные уравнения уже известными способами.

    Цель: Закрепить знания и умения, полученные ранее.

    Таблица №1 служит разминкой для дальнейшего решения уравнений более высокой степени. Следует решить два уравнения из таблицы, проверить результат и если вы успешно справились, то перейти к следующему заданию.

    ТАБЛИЦА №1

    1. (х+5)(3х-6) = 0

    2. х2— 6х = 0

    3. (8х –1)2— х(64х + 1) = 12

    4. х –5 + 4х-1 = 1

             2        3

    5. 0.5х2— х2 = 0

    Блок №2. Решить уравнения, сделав замену переменных.

    Цель: Закрепить способ решения уравнений, используя замену переменных.

    Пример- образец №1. Решить уравнение (х2+2х)2 — 2(х2+ 2х) = 3

    Решение: Запишем равносильное данному уравнение (х2+ 2х)2 – (х2+ 2х) –3 =0, сделаем замену переменных, выражения в скобках одинаковые, поэтому можно записать:

    Замена: х2 + 2х =у

    Перепишем получившееся уравнение и решим его.

    у2— 2у – 3= 0

    Д= в2— 4ас= (-2)2— 4·1·(-3)= 16

    у= 3, у= -1

    Вернемся теперь к переменной х, сделаем обратную замену и решим два уранения.

    Обратная замена:

    Ответ: 1, -3, -1.

    ТАБЛИЦА №2

    Вариант 1

    Вариант 2
    1. (х2 +6х)2 –5 (х2 +6х) = 24

    2. (х2+2)2– (х2+2) = 12

    		 1. (х2 –5)2 –5 (х2 –5) – 36 =0

    2. (х2 –4х)2 + 9(х2-4х) = — 20

    Блок №3. Решение биквадратных уравнений.

    Цель: Закрепить способ решения биквадратных уравнений.

    Уравнение вида ах4+вх2+с=0, где а,в,с – числа, х – неизвестная переменная называется биквадратным уравнением. Решение биквадратного уравнения с помощью замены переменной сводится к решению квадратного уравнения.

    Пример-образец №2 Решить биквадратное уравнение х4 – 5х2 +4 = 0

    Решение: х4 –5х2 +4 =0, биквадратное уравнение, сделаем замену переменной и решим получившееся квадратное уравнение.

    Замена: х2= t >= 0

    t2-5t +4 = 0

    D= 9

    t= 4, t= 1

    Оба корня положительные, поэтому удовлетворяют условию t >= 0.

    Обратная замена:

    Ответ: ± 2, ± 1.

    ТАБЛИЦА №3

    Вариант 1

    Вариант2
    1. х4 – 2х2— 3 =0

    2. 5у4 – 5у2 + 2 = 0

    3. х4 –4х2 + 4 = 0

    		 1. х4 – 5х2 — 36 = 0

    2. у4 – 6у2 + 8 = 0

    3. 2х4 – 9х2 + 4 = 0

    Блок №4. Решить уравнения высшей степени.

    Цель: Закрепить разные способы решения уравнений высших степеней.

    Если ребята вы добрались до 4 блока, поздравляю вас, вы делаете успехи. Сейчас вам предстоит самостоятельно выбирать способ решения, переменную, которую нужно заменить.

    КАРТОЧКА №4

    Вариант 1

    Вариант 2
    1. (х2 +2х)(х2 +2х +2) = 3

    2. х4 – 9х2 + 18 =0

    3. (х2 –х-16)(х2-х+2) =88

    		 1. (х2 +х)(х2 +х — 5) = 84

    2. х4 – 20х2 +100 =0

    3. (2х2 +7х –8)(2х2 +7х – 3) –6 =0

    Блок №5.

    Указания учителя. Молодцы!!! Вы ребята освоили решение уравнений высших степеней. Целью дальнейшей вашей работы является применение своих знаний и умений в более сложных ситуациях.

    КАРТОЧКА №5

    1. (х2 –1)(х2 +1) – 4(х2 – 11) = 0

    2. х5 + х4 – 6х2 – 6х2 + 5х +5 = 0

    3. При каких с не имеет корней уравнение

    х4 – 12х2 +с = 0

    Указания учителя: В случае затруднений воспользуйтесь подсказками, данными ниже.

    Подсказки.

    1. Воспользуйтесь формулой (а-в)(а+в)=а2-в2, преобразуйте данное уравнение в биквадратное.

    2. Сгруппируйте первое слагаемое со вторым, третье с четвертым и пятое с шестым, примените способ группировки и разложите на множители.

    3. Сделайте замену и запишите условие, при котором уравнение не имеет корней, решите получившееся неравенство.

    ОТВЕТЫ: (только у учителя)

    ОТВЕТЫ
    № таблицы

    № задания

    вариант

    I

    II

     

     

    1

    1

    — 5; 2.

    		  

    2

    0, -v6, v6.

    3

    — 11/17

    4

    23/11

    5

    0; 2.

    2

    1

    — 3±v6; — 3 ± v17

    ±2, ± 1.

    2

    ±v2

    2

    3

    1

    ±v3

    ± 3

    2

    Нет корней

    ±v2, ± 2

    3

    ± v2

    ± 0. 5; ± 2.

    4

    1

    — 1, 3.

    — 3, 4.

    2

    ±v3, ± v6.

    ±v10

    3

    — 4, 5.

    -4,5; 1; (-7± v65)· 0,25

    5

    1

    Нет корней

    		  

    2

    ±1, ±v5

    3

    с > 36

    4.

    Урок-коррекция ЗУН.

    На этом уроке разбираются у доски задания, которые вызвали затруднения на самостоятельной работе, вторая часть урока посвящена решению задач повышенного уровня, заданиям с параметрами. “Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы”,9 класс, издательство “Дрофа”. Л.В.Кузнецова и др.

    5.

    Урок контроля ЗУН.

    Проводится проверочная или контрольная работа. Предлагаю провести проверочную работу в форме ЕГЭ с целью подготовки учащихся 9-х классов к выпускным экзаменам в форме ЕГЭ.

    Цель проверки: 1. Проверка ЗУН по основным разделам курса алгебры по теме “Уравнения”; 2. Корректировка учебной программы, с целью ликвидации пробелов в ЗУН учащихся.

    Время проведения работы – 1 урок (40 минут).

    Бланк для ответов: Часть А, часть В.

    Ответы к тесту Ф.И. _______________________________________________ класс ______________

    № вопроса

    А1

    А2

    А3

    А4

    А5

    В1

    В2

    Вариант ответа

     

    		            

    Для части С выдается двойной лист или задание выполняется в тетради для контрольных работ, куда обязательно вкладывается черновик и бланк ответов частиА,В.

    Приложение

    Конспект урока по математике на тему «Уравнения с одной переменной»(9 класс)

    Графический способ решения уравнений не обеспечивает …?

    Каким способом можно решить уравнение х3+х-4=0?

    Полное квадратное, старший коэффициент которого равен 1, называется … квадратным уравнением?

    Задание 2. Выпишите буквы обозначенные цифрами в кружках.

    Ученики получают фамилию известного математика Виета. После этого заслушивается сообщение ученика по теме «Великий математик Франсуа Виет».

    Франсуа Виет (1540-1603)

    Знаменитый математик Франсуа Виет родился в 1540 году в небольшом городке Фантанеле-Конт на юге Франции. Юрист по образованию, Виет служил при дворе Генриха IX. Математикой занимался в часы отдыха. Франсуа Виет обладал огромной трудоспособностью, он мог работать по трое суток без отдыха, многие его результаты и открытия достойны восхищения. Во время войны с Франции с Испанией Виет оказал большую услугу родине – он расшифровал весьма важное письмо испанского двора. Правители Испании, письмо которых было перехвачено, не допускали мысли, что такой сложный шифр может быть раскрыт. Впоследствии они приписали раскрытие их шифра волшебству чародея.

    Его знаменитой теоремой, которая известна под названием теорема Виета, люди пользуются уже пятое столетие.

    Теорема Виета.

    По праву достойна в стихах быть воспета

    О свойствах корней теорема Виета.

    Что лучше, скажи, постоянства такого,

    Умножишь ты корни – и дробь уж готова:

    В числителе c, в знаменателе a,

    И сумма корней тоже дроби равна.

    Хоть с минусом дробь эта,

    Что за беда –

    В числителе b, в знаменателе а.

    (На магнитной доске висит плакат).

    — Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета.

    — Для решения каких квадратных уравнений ее удобно применять?

    Задание 3. На доске висят 4 карточки.

    x2-6x+5=0

    3x2-4x+7=0

    x2-10x+9=0

    7x2-3x+5=0


    1. Какие уравнения удобно решить по теореме, обратной теореме Виета?

    2. Если вы найдете корни этих уравнений, пользуясь данной теоремой, то сможете узнать, в каком году Ф. Виет доказал ее. (Ответ: в 1591 г.)

    Задание 4. Самостоятельно ответьте на вопросы теста, букву правильного ответа занесите в таблицу в конце теста.

    1. Функция у=х2 задается графиком изображенным на рисунке.

    1. Уравнение х2=а при а>0 имеет

    у) 1 корень; а) 2 корня; т) нет корней.

    1. Сколько точек пересечения имеют графики функций, изображенных на рисунке?

    н) одну; а) две; т) три.

    1. Чтобы построить график линейной функции, сколько точек достаточно отметить?

    а) одну; ю) две; к) как можно больше, чтобы график был точнее.

    1. Функция y=kx+b, если k>0

    т) возрастает; у) убывает.

    1. В каких четвертях расположен график функции у=2х2-3х+15 (D<0)?

    а) III и IV четверти; у) I и II четверти.

    1. График какой функции изображен на рисунке?

    б) y=kx; р) у=1/х; и) у=√х.

    1. В каких четвертях расположен график функции y=kx, если k<0?

    и) I и III; д) II и IV.

    1. Когда вершина параболы находится на оси Ох?

    а) D<0; в) D=0; н) D>0.

    Задание 5. Как бы Вы могли окончить фразу «Статую красит вид, а …»?

    («… человека его деяния.»)

    — Чьи это слова? (Пифагора).

    Пифагор (справка)

    В Древней Греции жил ученый Пифагор. О жизни этого ученого известно немного, зато с его именем связано много легенд. Пифагор организовал кружок молодежи из представителей аристократии. В кружок принимали после долгих испытаний. Каждый вступивший в кружок отрекался от своего имущества. Ими было сделано множество открытий. В школе существовал обычай, по которому авторство всех работ приписывалось Пифагору. После его смерти ученики окружили имя своего учителя множеством легенд.

    Задание 6. Решите уравнения:

    1. x3=4-3x;

    2. .

    На столах лежат таблицы. Назовите букву рисунка, на котором график соответствует графику функции y=x3. Назовите букву рисунка, на котором график соответствует графику функции y=4-3x.

    Если мы изобразим графики данных функций в одной системе координат, то мы узнаем, есть ли точки пересечения, сколько их и какие у них абсциссы.





    1. Решение задач.

    Задание 7. На доске вывешиваются карточки с правильными и неправильными ответами, на которых с одной стороны варианты ответов, с другой обрывки фразы «Ты лучше голодай, чем что попало ешь». Ученикам предлагается решить шесть уравнений. Ученик, решивший уравнение, выходит к доске и переворачивает карточку с правильным ответом. В результате должна получиться фраза.

    Уравнения, предлагаемые ученикам:

    1. Решить уравнение

    Ответ: 0;6.

    1. Решить уравнение (6-х)(6+х)-х(х-11)=36.

    Ответ: 0; 5,5.

    1. Решить уравнение х3+4х=5х2.

    Ответ: 0; 4; 1.

    1. Решить уравнение 3х3-х2+18х-6=0.

    Ответ: 1/3.

    1. I Вариант. Решить уравнение х4-5х2-36=0.

    Ответ: ±3.

    1. II Вариант. Решить уравнение x4-7x2+12=0.

    Ответ: , ±2.

    №5 и №6 ученикам предлагается решить самостоятельно, с последующей проверкой при помощи плаката с правильными ответами.

    — Получена строка из стихотворения поэта и математика Омара Хаяма.

    Омар Хаям (справка)

    Омар Хаям жил в Северной Персии. Он написал «Алгебру» (полное название «Трактат о документах алгебры и алмукабалы»), выдающееся произведение, так как в ней содержится систематическое исследование уравнений третьей степени.

    Чтоб мудро жизнь прожить

    Знать надобно не мало

    Ты лучше голодай, чем что попало ешь

    И лучше будь один, чем вместе с кем попало.

    Человек — это истина мира, венец,

    Знает это не каждый, а только мудрец.

    1. Закрепление пройденного за урок в форме игры.

    Задание. Ученик решил уравнения и получил следующие ответы. Вам нужно оставить только те карточки, на которых корни найдены правильно.

    После выполнения задания учитель переворачивает оставшиеся карточки и если задание выполнено верно, то получится слово Фалес.

    +4)=0

    x = ±5

    x = ±8

    Сообщение

    x = 5

    x = ±3

    x = 3, =4

    x = 8

    x=0, x = ±2

    Фалес (справка)

    Отцом греческой математики является милетский купец Фалес. Среди семи известных мудрецов, живших в VII—VI вв. до н. э. в Греции, он занимал первое место. Фалес ставил перед собой не только вопрос «как?», но и современный научный вопрос «почему?». Он разделил год на 365 дней, объяснил причину солнечных затмений. Одна из теорем геометрии носит его имя.

    VI. Подведение итогов урока.

    VII. Домашнее задание. Повторить тему «Уравнения с одной переменной».

    Линейное уравнение с одной переменной с примерами.

    п.1. Количество корней линейного уравнения с одной переменной

    Линейным уравнением с одной переменной x называют уравнение вида ax = b, где a и b — действительные числа.
    a называют коэффициентом при переменной , а b — свободным членом .

    При решении линейных уравнений возможны три случая.

    a

    b

    x

    Количество корней

    $b \in \Bbb R$ — любой

    $x = \frac{b}{a}$

    $x \in \Bbb R$ — любой

    Бесконечное множество корней

    $x \in \Bbb \varnothing $

    п.

    2. Примеры

    Пример 1. Решите уравнение 6-5x = 8(3,5-2x)

    Решение:

    $ 6-5x = 8(3,5-2x) \iff 6-5x = 28-16x \iff -5x+16x = 28-6 \iff $

    $ \iff 11x = 22 \iff x = 2 $

    Ответ: x=2

    Пример 2. Решите уравнение $\frac{2}{3} x-\frac{4}{5} = 0,6x$

    Решение:

    $ \frac{2}{3}x-\frac{4}{5} = 0,6x | ×15 \iff 2x∙5-4∙3 = 0,6x∙15 \iff 10x-12=9x \iff $

    $ \iff 10x-9x = 12 \iff x = 12 $

    Ответ: x = 12

    Пример 3. Решите уравнение 8(x+7)-7(2x-3) = 2(5x-11)

    Решение:

    $ 8(x+7)-7(2x-3) = 2(5x-11) \iff 8x+56-14x+21 = 10x-22 \iff$

    $ \iff -6x+77 = 10x-22 \iff -6x-10x = -22-77 \iff -16x=-99 \iff $

    $ \iff x = \frac{-99}{-16} = 6\frac{3}{16}$

    Ответ: x = $6\frac{3}{16}$

    Пример 4. Найдите все значения коэффициента a, при которых корень уравнения ax=-6– целое число.

    Решение:

    $$ax = -6 \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} a ≠ 0 \\ x=- \frac{6}{a} \end{array} \right. 2-3a)}{a} = \frac{a(a-3)}{a} = a-3 \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} a = 0 \\ 0x = 0 \end{array} \right.} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} a≠0 \\ x = a-3 \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} a = 0 \\ x \in \Bbb R \end{array} \right.} \end{array} \right. $$

    Ответ: при a ≠ 0,x = a-3; при a = 0, $x \in \Bbb R$ — любой

    Пример 6*. Решите уравнение (k+1)x = k

    Решение:

    $$ (k+1)x = k \iff \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} k+1 ≠ 0 \\ x = \frac{k}{k+1} \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} k+1 = 0 \\ 0x = -1 \end{array} \right.} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} k ≠ -1 \\ x = \frac{k}{k+1} \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} k = -1 \\ x \in \Bbb \varnothing — решений \quad нет \end{array} \right.} \end{array} \right. $$

    Ответ: при k ≠ -1, $ x = \frac{k}{k+1} $, при k = -1 решений нет

    Пример 7*. Решите уравнение ax+b = cx+d

    Решение:

    $$ ax+b = cx+d \iff ax-cx = d-b \iff (a-c)x = d-b \iff $$

    $$ \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} a-c ≠ 0 \\ x = \frac{d-b}{a-c} \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} a-c = 0 \\ d-b = 0 \\ 0x = 0 \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} a-c = 0 \\ d-b ≠ 0 \\ 0x ≠ 0 \end{array} \right.} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} a ≠ c \\ x = \frac{d-b}{a-c} \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} a = c \\ d = b \\ x \in \Bbb R — любой \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} a = c \\ d ≠ b \\ x \in \Bbb \varnothing — решений \quad нет \end{array} \right.} \end{array} \right. $$

    Линейное уравнение с одной переменной

    Нам известно, что решить уравнение — значит найти все его корни или показать, что их нет вообще. Также нам известно, что при решении уравнений используют следующие свойства:

    1. корни уравнения не изменяются, если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак;
    2. корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

    Уравнение вида , где — переменная, и — некоторые числа, называют линейным уравнением с одной переменной.

    Примеры линейных уравнений с одной переменной:

    Выясним, сколько корней может иметь линейное уравнение .

    1) Если в линейном уравнении коэффициент , то разделив обе части этого уравнения на , получим . Значит, линейное уравнение , в котором , имеет единственный корень, равный .

    2) Если в линейном уравнении коэффициент и , то получим уравнение . Значит, линейное уравнение , в котором и , имеет бесконечного много корней, т.е. его корнем является любое число (т.к. при умножении любого числа на ноль всегда получится ноль).

    3) Если в линейном уравнении коэффициент и , то при любом значении получим неверное равенство . Значит, линейное уравнение , в котором и , не имеет корней.

    Вывод:

    Решение многих уравнений сводится к решению линейных уравнений.

    Пример:

    .

    Раскроем скобки:

    .

    Перенесем слагаемое в левую часть уравнения, а слагаемое 28 в правую часть, изменив при этом их знаки:

    .

    Приведем подобные слагаемые:

    .

    Разделим обе части уравнения на 3:

    .

    При решении исходного уравнения мы применяли свойства уравнений и выполняли тождественные преобразования, последовательно заменяя одно уравнение другим, равносильным ему. Значит, корнем уравнения является число 11.

    В рассматриваемом примере исходное уравнение свелось к равносильному линейному уравнению , в котором коэффициент при переменной отличен от нуля ( = 3).

    Если при решении уравнения равносильное ему линейное уравнение получится вида , то исходное уравнение имеет бесконечно много корней.

    Если при решении уравнения равносильное ему линейное уравнение получится вида , то исходное уравнение не имеет корней.

    Уравнения с одной переменной

    • Главная
    • Справочник
    • Алгебра
    • Уравнения с одной переменной

    На предыдущих занятиях мы знакомились с выражениями, а также учились их упрощать и вычислять. Теперь переходим к более сложному и интересному, а именно к уравнениям.

    Уравнение и его корни

    Равенство, содержащие переменную (-ые) называются уравнениями. Решить уравнение, значит найти значение переменной, при котором равенство будет верным. Значение переменной называют корнем уравнения.

    Уравнения могут иметь, как один корень, так и несколько или вообще ни одного.

    При решении уравнений используются следующие свойства:

    • если в уравнении перенести слагаемое из одной части уравнения в другую, поменяв при этом знак на противоположный, то получится уравнение равносильное данному. 2=10-3x \) являются числа -2 и 2.

      Линейное уравнение с одной переменной

      Линейное уравнение с одной переменной — это уравнения вида ax = b, где x — переменная, а a и b — некоторые числа.

      Существует большое количество видов уравнений, но решение многих из них сводится именно к решению линейных уравнений, поэтому знание этой темы обязательно для дальнейшего обучения!

      Пример №2 Решить уравнение: 4(x+7) = 3-x

      Для решения данного уравнения, в первую очередь, нужно избавиться от скобки, а для этого домножим на 4 каждое из слагаемых в скобке, получаем:

      4х + 28 = 3 — х

      Теперь нужно перенести все значения с «х» в одну сторону, а все остальное в другую сторону (не забывая менять знак на противоположный), получаем:

      4х + х = 3 — 28

      Теперь вычитаем значение слева и справа:

      5х = -25

      Чтобы найти неизвестный множитель (х) нужно произведение (25) разделить на известный множитель (5):

      х = -25:5

      х = -5

      Ответ х = -5

      Если сомневаетесь в ответе можно проверить, подставив полученное значение в наше уравнение вместо х:

      4(-5+7) = 3-(-5)

      4*2 = 8

      8 = 8 — уравнение решено верно!

      Решить теперь что-нибудь по-сложнее:

      Пример №3 Найти корни уравнения: \( (y+4)-(y-4)=6y \)

      В первую очередь, также избавимся от скобок:

      \( y+4-y+4=6y \)

      Сразу видим в левой части y и -y, а значит их можно просто вычеркнуть, а полученные числа просто сложить, и записать выражение:

      \( 8 = 6y \)

      Теперь можно перенести значения с «y» в левую сторону, а значения с числами в правую. Но ведь это не обязательно, ведь не важно с какой стороны находятся переменные, главное, чтобы они были без чисел, а значит, ничего переносить не будем. Но для тех кто не понял, то сделаем, как гласит правило и разделим обе части на (-1), как гласит свойство:

      \( 6y=8 \)

      Чтобы найти неизвестный множитель нужно произведение разделить на известный множитель:

      \( y=\frac{8}{6} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \)

      Ответ: y = \( 1\frac{1}{3} \)

      Также можно проверить ответ, но сделайте это самостоятельно.

      Пример №4 \( (0,5x+1,2)-(3,6-4,5x)=(4,8-0,3x)+(10,5x+0,6) \)

      Теперь я просто решу, без объяснений, а вы посмотрите на ход решения и правильную запись решения уравнений:

      \( (0,5x+1,2)-(3,6-4,5x)=(4,8-0,3x)+(10,5x+0,6) \)

      \( 0,5x+1,2-3,6+4,5x=4,8-0,3x+10,5x+0,6 \)

      \( 0,5x+4,5x+0,3x-10,5x=4,8+0,6-1,2+3,6 \)

      \( -5,2x=7,8 \)

      \( x=\frac{7,8}{-5,2}=\frac{3}{-2} =-1,5 \)

      Ответ: x = -1,5

      Если что-то не понятно по ходу решения пишите в комментариях

      Решение задач с помощью уравнений

      Зная что такое уравнения и научившись их вычислять — вы также открываете себе доступ к решению множества задач, где для решения используются именно уравнения.

      Не буду вдаваться в теорию, лучше показать все и сразу на примерах

      Пример №5 В корзине было в 2 раза меньше яблок, чем в ящике. После того, как из корзины переложили в ящик 10 яблок, в ящике их стало в 5 раз больше, чем в корзине. Сколько яблок было в корзине, а сколько в ящике?

      В первую очередь нужно определить, что мы примем за «х», в данной задаче можно принять и ящики, и корзины, но я возьму яблоки в корзине.

      Значит, пусть в корзине было x яблок, так как в ящике яблок было в два раза больше, то возьмем это за 2х. После того, как  из корзины яблоки переложили в ящик в корзине яблок стало: х — 10,  а значит, в ящике стало — (2х + 10) яблок.

      Теперь можно составить уравнение:

      5(х-10) — в ящике стало в 5 раз больше яблок, чем в корзине.

      Приравняем первое значение и второе:

      2x+10 = 5(x-10) и решаем:

      2х + 10 = 5х — 50

      2х — 5х = -50 — 10

      -3х = -60

      х = -60/-3 = 20 (яблок) — в корзине

      Теперь, зная сколько яблок было в корзине, найдем сколько яблок было в ящике — так как их было в два раза больше, то просто результат умножим на 2:

      2*20 = 40 (яблок) — в ящике

      Ответ:  в ящике — 40 яблок, а в корзине — 20 яблок.

      Я понимаю, что многие из вас, возможно, не до конца разобрались в решении задач, но уверяю к этой теме мы вернемся и еще не раз на наших уроках, а пока если у вас остались вопросы — задавайте их в комментариях.

      Под конец еще несколько примеров на решения уравнений

      Пример №6 \( 2x — 0,7x = 0 \)

      \( 1,3x = 0 \)

      \( x=0/1,3 \)

      \( x = 0 \)

      Пример №7 \( 3p — 1 -(p+3) = 1 \)

      \( 3p-1-p-3=1 \)

      \( 3p-p=1+1+3 \)

      \( 2p=5 \)

      \( p=5/2 \)

      \( p=2,5 \)

      Пример №8 \( 6y-(y-1) = 4+5y \)

      \( 6y-y+1=4+5y \)

      \( 6y-y-5y=4-1 \)

      \( 0y=3 \) — корней нет, т.к. на ноль делить нельзя!

       

      Всем спасибо за внимание. Если что-то непонятно спрашивайте в комментариях.

       

       

      В вашем браузере отключен Javascript.
      Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!