Глава 2. Площади многоугольников 103 Рис. 212 233. Боковая сторона равнобедренной трапеции ABCD равна 5 см (рис. 211), ее высота ВН делит основание AD на отрезки А Н = 3 см, HD = 7 см. Найдите площадь трапеции. 234. Дана трапеция ABCD, M N — ее средняя линия (рис. 212). Сумма площадей треугольников А М К и CKN равна 32 см2. Найдите пло щадь трапеции ABCD. 235. Найдите площадь прямоугольной трапеции с углом 60°, если: а) основания трапеции равны 4 см и 10 см; б) большее основание равно 8 см, высота трапеции равна 4\\/з см. 236. Основания трапеции а и Ъ, боковые стороны с и d. Найдите пло щадь трапеции, если: а) а = 6 см, Ъ= 3 см, с = 4 см, d = 5 см; б) а = 8 см, Ъ= 3 см, с = 3 см, <7 = 4 см.
104 Глава 2. Площади многоугольников Рис. 216 240*. Диагонали АС и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О, SBoc = 4 см2, SAOB = 8 см2 (рис. 215). Найдите площадь трапеции. 241*. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна 4 см, угол при основании равен 60°, диагональ трапеции перпендикулярна боковой стороне.
2. Вы водить формулу площ ади трапеции. Правообладатель Народная асветаГлава 2. Площади многоугольников 105 § 18*. Решения задач по теме «Площади многоугольников» Задача 1. Найти площадь параллелограмма ABCD, если площадь тре угольника AMD, где М е ВС, равна 16 см2. Р е ш е н и е . Рассмотрим три принципиально раз личных способа решения этой задачи. Способ 1. (Алгебраический — работа с формулами и уравнениями.) В A A M D из вершины М к основанию AD = а про ведем высоту h, которая будет и высотой паралле лограмма ABCD (рис. 217). Тогда Samfi = —&h, <Sabqd = ah = 2SAM£>= 2 • 16 = 32 (см2). М Способ 2.
.. = SACD. У всех этих тре угольников будет общее основание а и высоты, равные h (как расстояния между параллельными прямыми AD и ВС). Тогда SACD = SAMI) = 16 (см2). Так как диагональ АС делит параллелограмм на два равных треугольника, то JACD = \\ S ABCD> п о э — тому SA/.а) = 2SACD = 32 (см2). О т в е т : 32 см2. РЕШАЕМ САМОСТОЯТЕЛЬНО 244. Найдите площадь параллелограмма ABCD (рис. 220), если сумма площадей треугольни ков АОВ и COD равна 24 см2. Правообладатель Народная асвета106 Глава 2. Площади многоугольников К D Рис. 222 245. Дан квадрат ABCD. Точки М и К — середины сторон AD и CD со ответственно.
Диагональ АС пересекает отрезки ВМ и ВК в точках G и F соответственно. Найдите, какую часть площади квадрата со ставляет площадь Д GBF. 246. На рисунке 221 точки М , N, К и Р — середины сторон прямоуголь ника. Найдите, сколько процентов составляет площадь S, треуголь ника РЕК от площади S прямоугольника ABCD. 247*. У шестиугольника ABCDEF противоположные стороны равны и параллельны (рис. 222): АВ = DE, АВ ||DE, ВС = FE, ВС ||FE, AF = CD, AF ||CD. Площадь шестиугольника равна 60 см2. Найди те площадь треугольника BDF. 248*. Докажите, что если ABCD параллелограмм (рис. 223), то сумма площадей красных частей равна сумме площадей синих частей. 249*. Докажите, что площадь четырехугольника, вершины которого яв ляются серединами сторон данного выпуклого четырехугольника, равна половине площади данного. В Задача 2. Выпуклый четырехугольник ABCD разделен диагоналями на четыре треугольника (рис.
Глава 2. Площади многоугольников 107 Задача 3. Выпуклый четырехугольник разделен средними линиями ( от резками, соединяющими середины его противоположных сторон) на че тыре четырехугольника (рис. 226, а). Доказать, что суммы площадей противоположных четырехугольников равны, т. е. + S3 = S2 + S4. a) 6) В в Д о к а з а т е л ь с т в о . Соединим точку О пересечения средних линий MN и РК с вершинами А, В, С, D (рис. 226, б). В треугольнике АОВ отрезок ОМ — медиана. Медиана делит треугольник на два равновеликих треуголь ника. Поэтому SAOM= SBOM= х. Аналогично, SBOK= SCOK= У, SCON= SDON= z, SPOA= SPOD= t. Так как + S3 = x + t + у + z, S2 + S4 = x + у + z + t, to S4 + S3 = S2 + S4.
c = 1 8 см2. Найдите площадь трапеции. 257*. В трапеции ABCD точки К и М — середи Рис. 232 ны боковых сторон АВ и CD соответствен но (рис. 232). Докажите, что площадь си него четырехугольника равна сумме пло щадей красных треугольников. Правообладатель Народная асветаГлава 2. Площади многоугольников 109 Метод площадей При решении некоторых геометрических задач, условие которых не связано с площадью непосредственно, используют свойства площадей. Такой метод решения называется методом площадей. Задача 5. Доказать, что сумма расстояний от любой точки, взятой вну три равностороннего треугольника, до его сторон есть величина посто янная, т. е. х + у + г = const*. В Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть АВ = ВС = АС = а; х, у, z — перпендикуляры, опущенные из точки М на стороны треугольника (рис. 233).
ah. Разделив обе части уравнения на -|-а, получим х + у + z = li. То есть сумма указанных расстояний равна длине высоты равностороннего треугольника, которая для данного треугольника есть величина постоян ная. Что и требовалось доказать. * Постоянная величина (константа) в общем виде обозначается бук вой «с» или латинским словом «const». В частности, имя Константин с древнегреческого означает «постоянный». РЕШАЕМ САМОСТОЯТЕЛЬНО 258. Дан равнобедренный треугольник АВС. На его основании АС взята точка М. Докажите, что сумма длин перпендикуляров, опущенных из точки М на боковые стороны треугольника, есть величина по стоянная для данного треугольника. 259. Докажите методом площадей свойство биссек трисы треугольника: «Биссектриса треуголь ника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам». 260*. Треугольник АВС — равносторонний (рис. 234). Из точки F, взятой внутри треугольника АВС, на его стороны опущены перпендикуляры FM, FK, FN.
Докажите, что сумма площадей крас ных треугольников равна сумме площадей желтых треугольников. Правообладатель Народная асвета
110 Глава 2. Площади многоугольников Гимнастика ума Существует ли треугольник, все три высоты которого меньше 1 см, а площадь больше площади Беларуси, которая составляет 207 595 км2? Моделирование Супермаркет имеет вращающуюся стеклянную дверь, в основании которой находится круг. В центре этого круга расположен равносторонний треугольник со стороной 1,2 м. Из вершин треугольника выходят перемычки длиной 1,5 м вдоль радиусов, как показано на рисунке 235. Задача. Найдите примерный диаметр основания этой двери с точностью до 0,01 м. Реальная геометрия 600 м Трактору «Беларус» необходимо вспахать поле в форме четырехугольника с размерами, указан ными на рисунке 236. Две стороны поля парал лельны между собой и перпендикулярны третьей стороне.
Известно, что за 1 ч трактор может вспахать 1,2 гектара (га). При этом ему понадобится около 18 л дизельного топлива. Правообладатель Народная асвета
Глава 2. Площади многоугольников 111 Задача. Определите: 1) площадь данного поля в гектарах; 2 ) сколько времени потратит трактор на вспашку поля; 3 ) сколько топлива потребуется на это. Интересно знать. Минский тракторный завод (МТЗ) был основан 29 мая 1946 г. Сегодня это один из крупней ших производителей сельскохозяйственной техники в мире. На протяжении многих лет завод сохраняет за собой долю в 10 % мирового рынка колесных тракторов и постав ляет тракторы с маркой «Беларус» более чем в 60 стран. На заводе работает 17 000 человек. Каждую минуту в мире становится на 4 трактора «Беларус» больше. Геометрия 3D Площадь поверхности любого многогранника (иногда говорят площадь полной поверхности) равна сумме площа дей всех его граней.
•1г. 2. Площадь прямоугольного треугольника: S ромба: S d\\d.2 2 3. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе: 4. Теорема Пифагора: а2 + Ъ2 = с2. 5. Площадь равностороннего треугольника: S а2Уз высота: h = ал[з 4’ 2 6. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. 7. Площади треугольников с общей высотой относятся как соответствующие этой высоте основания. Тест 1 ПРОВЕРЯЕМ СЕБЯ Тест 2 Площадь ромба ABCD равна 120 см2, Правообладатель Народная асвета
Глава 2. Площади многоугольников 113 ПОДГОТОВКА К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 2 1. Найдите площадь прямоугольника ABCD. о) б) в) 3. Найдите периметр А АВС. 5. Найдите площадь трапеции ABCD. Правообладатель Народная асвета
114 Глава 2.
Площади многоугольников Повторение главы I и главы II 1. Назовите два различных типа многоугольников. В чем их различие? 2. Перечислите три вида (частных случая) параллелограмма: 1) … 2) … 3) … Дайте определение каждому виду параллелограмма. 3. Назовите пять свойств параллелограмма, свойства прямоугольника, ромба и квадрата. 4. Как звучит теорема Фалеса и каким свойством обладает средняя линия треугольника? 5. Сколько видов трапеций вы знаете? Дайте определение каждому виду трапеции. Укажите свойство средней линии трапеции. 6. Запишите 8 формул площадей плоских фигур и теорему Пифагора. Задание На рисунке квадрат со стороной 12 разбит на отдельные фигуры от резками, составляющими со сторонами квадрата 90° или 45°. 6 Найдите площадь каждой фигуры, используя размеры на рисунке.
ЛАаВ-А, к =\\ О Правообладатель Народная асвета
Глава 3. Подобие треугольников 117 § 19. Обобщенная теорема Фалеса Под отношением отрезков а и Ъпонимают отношение их длин, то есть число Пусть имеются две пары отрезков: а и Ъ, с и d. Говорят, что от резки а и Ъ пропорциональны отрезкам с и d, если их отношения равны, то есть —= —. Ьd Например, отрезки АВ = 5 см и CD = 10 см пропорциональны от резкам А 1В1 = 4 см и CiD, = 8 см, так как 4У1 = — = — AlBl = —= — и * 1 1 11 C D 10 2 С,1£>,1 8 2 ab = a 1b l C D C1D 1 ‘ Если для отрезков а, Ъ, с и d справедливо ра венство —= —, то по свойству пропорции: —= —; bd сd ± = ± (рис. 238). ас Прибавив единицу к обеим частям последней пропорции, получим: —b ь 11 = —d h2i, -а—+—Ь-= —с—+—d- ас ас Понятие пропорциональности рассматривается и для большего числа отрезков.
Так, отрезки а, b жс пропорциональны отрезкам т, п и k, если — = — = или по-другому — а ■b ■с = т ■п ■k. тпk А теперь выполните Тест 1 и Тест 2. Тест 1 Тест 2 Ес ЛИАС ■(1В — 5 : з, ГО ч е » яу раЕто OTITOLи е г [ и е а) в с 1C; бм С : А13? А С 1i В Главе I нами доказана теорема Фалеса «Если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные пря мые, пересекающие другую сторону угла, то на другой стороне угла от ложатся равные между собой отрезки». Эту теорему можно обобщить на случай произвольных отрезков. Правообладатель Народная асвета
118 Глава 3. Подобие треугольников Теорема Фалеса обобщенная (теорема о пропорциональ ных отрезках). Если на одной стороне угла отложить несколько отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие другую сторону угла, то на другой стороне угла отложатся отрезки, пропорциональные данным.
У то ВВг ||СС1 (рис. 240). А Докажите данную теорему самостоятельно, используя метод от противного и доказанную выше прямую теорему Фалеса. Следует иметь в виду, что обратная теорема Фалеса справедлива только для отрезков, отло женных от вершины угла. А теперь выполните Тест 3 и Тест 4. Правообладатель Народная асвета
Тест 3 Глава 3. Подобие треугольников 119 Тест 4 Задания к § 19 РЕШАЕМ ВМЕСТЕ ключевые задачи Задача 1. В трапеции проведены отрезки р и k, параллельные основани ям а и Ъ трапеции (рис. 241). Найти х и у по размерам, указанным на рисунке.
= 1 (ПО вк з v условию) и HN ||КМ , то по обобщенной тео реме Фалеса (для угла НВС) M N к н ВМ в к Тогда ВМ = 3M N = Зх, В М _ З х _ 3 МС 2 х 2 ■ Ответ: 3:2. Правообладатель Народная асвета
120 Глава 3. Подобие треугольников Задача 3. При помощи циркуля и линейки: а) разделить данный отре зок а в отношении т ‘■п; б) по данным отрезкам а, Ъ и с построить отрезок х, который является четвертым членом пропорции — = — ( по строение четвертого пропорционального отрезка). Р е ш е н и е , а) Пусть дан отрезок АВ = а и отрезки т и н (рис. 243). Из точ ки А проведем произвольный луч А К и отложим на нем отрезки АС = т и CD = п.
Проведем отрезок BD. Строим CM ||BD. По обобщенной теореме Фалеса A M ‘■МВ = АС ‘■CD = т ■п. Замечание. Если отношение отрезков дано в виде отношения натуральных чисел т и п, на луче А К откладывают последовательно т произвольных равных отрезков, а затем п таких же отрезков. Дальнейшее построение совпадает. б) Строим произвольный угол А (рис. 244). На одной его стороне от кладываем отрезки АВ = а, ВС = Ъ. На другой стороне — отрезок AD = с. Проводим отрезок BD. Строим СК ||BD, К е AD. Отрезок DK = х — ис комый, так как из обобщенной теоремы Фалеса следует —= —. bх Задача 4*. Площадь треугольника АВС равна 36 см2, ВМ = —3 АВ, М К |АС. Найти площади Slf S2 и S3 треугольников МВК, А М К и АКС (рис. 245). В Р е ш е н и е . Из условия следует ВМ ‘■АВ = 1 : 3 . Так как ВМ содержит 1 часть, АВ — 3 части, то МА — 2 части.
265. GB = 4 см, BF = 5 см, FC = 10 см. Пери- метр треугольника АВС равен 45 см. Най- q L——-VF дите: а) отрезки AG, АС, АЕ\\ / / ‘Ч б) периметр параллелограмма AGFE. // В ААВС проведена биссектриса АК и от- резок КМ , параллельный стороне АС, где // ‘ч точка М принадлежит стороне АВ; МВ = = 6 см, ВК ■КС = 2 : 3 . Найдите: A L——— L———————— С Е рис 248 а) отрезок AM; в б) отрезок МК. А. 266. На рисунке 249 М К ||АС. Найдите: / а) МВ, если АВ = 32 см, ВК ■КС = 5 : 3 ; б) АВ, если A M = 18 см, ВС ‘■ВК = 3 : 2 ; JМL_______ \\С в) ВК, если ВМ = 12 см, A M : КС = 4 : 5; г) ВС, если A M ■АВ = 2 ■7, ВК — КС = 6 см.
Рис■249 267. При помощи циркуля и линейки разделите данный отрезок в от ношении: а) 2 : 3; б) 3 : 5 (для проведения параллельных прямых можно использовать чертежный треугольник). 268. В трапеции ABCD (рис. 250) проведены отрезки FP и НТ, парал лельные основаниям, М К — средняя линия трапеции, CD = 60 см. Если M F : FB = 2 : 3 , М Н ■НА = 1 : 2, то чему равна длина отрез ка РТ7 269 *. В треугольнике АВС проведена медиана ВМ, точка F — ее середи на. Прямая CF пересекает сторону АВ в точке К. Площадь четырех угольника AKFM равна 50 см2. Найдите площадь треугольника АВС. 270*. Точки М , N, К и Р — середины сторон параллелограмма ABCD (рис. 251). Площадь параллелограмма ABCD равна 120 см2. Найди те площадь четырехугольника A 1B 1C1D1. 271*. Даны отрезки а и Ъ. Найдите алгоритм построения при помощи циркуля и линеики отрезка х, если х = — . В D Правообладатель Народная асвета
Глава 3.
Подобие треугольников 123 § 20. Подобие треугольников Подобными являются фигуры одинаковой формы, но разных разме ров. Например, подобны две окружности (252, а) разного радиуса, два квадрата с разной длиной стороны (рис. 252, б) и вообще две фигуры F х и F2, каждая из которых представляет собой уменьшенную или увеличен ную копию другой, например как на рисунке 252, в). Для указания подобия фигур F t и F2 используется знак «со». Пишут Fl ~ F2. а) б) в) оО □[ Рис. 252 Определение. Два треугольника называются подобными, если у них соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорцио нальны. Соответствующими сторонами подоб Вг ных треугольников называются стороны, ле жащие против соответственно равных углов этих треугольников. Если для ААВС и А А 1В1С1 (рис. 253) выполняются два условия: 1) АА = А А Х, АВ = АВг, АС = АСр,2 2) = в с = АС то треугольники по- ’ А 1В 1 добны.
= 2 , то k = 2. При этом А 5! А А 1В1С1 00 ААВС с коэффициентом подобия k = А 1В1 = —1 . Правообладатель Народная асвета
124 Глава 3. Подобие треугольников Можно выделить следующие с в о й с т в а п о д о б н ы х т р е у г о л ь ников: 1. Если ААВС оз А А ХВХС\\, а А А 1В1С1 ™ А А 2В2С2, то ААВС ~ А А 2В2С2. 2. Если ААВС ~ A M N K и k = 1, то ААВС = AM NK. Теорема (о параллельной прямой). Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него тре угольник, подобный данному. В В теореме речь идет о прямой, которая пересе кает стороны треугольника. Дано: ААВС, М К ||АС (рис. 254). Д о к а з а т ь : А М В К оз ААВС. Д о к а з а т е л ь с т в о . У треугольников МВК и АВС углы равны: ZBM K = ZBAC, ZBKM = = ZBCA как соответственные при параллель ных прямых М К и АС, ZB — общий.
KN |АВ. По обобщенной теореме Фалеса AN = AN откуда NN = A N . NC КС АС ВС Но AM KN — параллелограмм (МК ||АС, KN ||АВ). Поэтому М К = AN и Ш . = AN, Тогда AN. = AN = MN, Так как у треугольников МВК и АВС АС ВС АВ ВС АС j ГJ углы равны, а стороны пропорциональны, то треугольники подобны. Тео рема доказана. А теперь выполните Тест 1 и Тест 2. Правообладатель Народная асвета
Глава 3. Подобие треугольников 125 Задания к § 20 РЕШАЕМ ВМЕСТЕ ключевые задачи Задача 1. Доказать, что периметры подобных треугольников относятся как их соответствующие стороны. Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть стороны одного из подобных треугольников равны а, b жс. Тогда стороны подобного ему треугольни ка — ka, kb и kc, где k — коэффициент по добия (рис.
P1 a + b + c a +b+c Получили, что отношение периметров рав но коэффициенту подобия. А коэффициент подобия равен отношению со ответствующих сторон подобных треугольников. Замечание. У подобных треугольников отношение любых соответствующих ли нейных элементов (высот, биссектрис, медиан и т. д.) равно коэффициенту подобия. Задача 2. Треугольники на рисунке 256 подобны. Причем Z A = ZG, ZB = ZF, АВ = 18 см, АС = 21 см, EF = 10 см, EG = 14 см. Найти длины сторон ВС и FG. В Р е ш е н и е . Так как Z A = ZG, ZB = ZF, то ZC = ZE. Стороны АС и EG, АВ и FG, ВС и FE — соответствующие, так как лежат против равных углов. Пусть ВС = х см, FG = у см. Поскольку у подобных треуголь ников соответствующие стороны пропорцио- нальны, то —В С = —А С , „и„л„и —х = 2—1 , откуда FE GE 10 14 х = 10 21 = 15, ВС = 15 см.
Аналогично, FG_ _ GE_ У _= 14 18-14 = 12, 21’ 14 В А А С ’ 18 У = 21 FG = 12 см. Ответ: ВС = 15 см, FG = 12 см. РЕШАЕМ САМОСТОЯТЕЛЬНО 272. Треугольники АВС и А 1В1С1 на рисунках 257, а), б) (см. с. 126) подобны. По указанным размерам найдите неизвестные стороны треугольников, обозначенные знаком вопроса (все размеры да ны в см). Правообладатель Народная асвета
126 Глава 3. Подобие треугольников Рис. 257 273. Треугольники АВС и M NK на рисунках 258, а), б) подобны, Z A = ZM , ZC = ZK. Найдите: а) сумму АС + MN; б) периметр треугольника M NK (все размеры даны в см). а) в б) N 274. Известно, что ААВС °° AM N K. Найдите: а) величину угла В, если ZM = 80°, ZK = 40°; б) величину угла К, если ZN = 75°, Z A = ZB ‘, в) длину стороны АВ, если ВС = 15 см, M N = 21 см, NK = 45 см; г) площадь треугольника MNK, если Z A = 90°, ВС = 15 см, АВ = = 12 см, NK = 5 см.
)’ Найдите периметр A M N K , если АВ = 4 см, ВС = 5-|- см, 281. АС = 2—3 см. Докажите, что средняя линия треугольника отсекает от него тре угольник, подобный данному. Найдите коэффициент подобия этих треугольников. 282. Изобразите треугольник АВС. Через его вершины проведите пря мые, параллельные противоположным сторонам. Докажите, что об разованный ими треугольник А 1В1С1 подобен треугольнику АВС. 283. Дана трапеция ABCD, АВ = 15 см, ВС = 6 см — основания трапе ции, АВ = 6 см, CD = 12 см. Боковые стороны трапеции продолже ны до пересечения в точке К. Найдите длины отрезков ВК и СК. 284. Дана трапеция ABCD. Точка К принадлежит боковой стороне АВ, точка Р — боковой стороне CD, КР ||AD; ВС = 4 см, AD = 1 1 см, КР = 6 см. Найдите отношение СР ■PD. 285. На рисунке 263 МВСК — трапеция со сторонами, равными 10 м, 15 м, 4 м и 6 м. Найдите отношение периметра треугольника АВС к периметру трапеции.
= 6 см. Найдите АВ. 288*. Стороны одного из двух подобных треугольников равны 6 см и 12 см, другого — 12 см и 18 см. Найдите неизвестные стороны каж дого из треугольников, если коэффициент подобия 2-го треугольни ка 1-му: а) целое число; б) дробное число. 289*. На координатной плоскости дан треугольник ОАВ, где 0(0; 0), А(3; 5), Б(3; 0). Постройте какой-либо треугольник О А подоб ный данному, стороны которого в 2 раза больше сторон треуголь ника ОАВ. Укажите координаты точек А, и Б ,. § 21. Признаки подобия треугольников Теорема (1-й признак подобия треугольников). Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Дано: ААВС, А А 1В1С1, Z A = Z A 1} ZC = ZCi. Д о к а з а т ь : ААВС °° ДАД^С^.
. Теорема доказана. Следст вие. Рис. 266 Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямо угольного треугольника, то такие треугольники подобны. В данном случае говорят, что прямо угольные треугольники подобны по острому углу. На рисунке 266 прямоугольные треугольники МКС и ВАС подобны, так как у них ZC — общий. Причем к м = кс_ = м с АВ АС В С ‘ Правообладатель Народная асвета
Глава 3. Подобие треугольников 129 Теорема (2-й признак подобия треугольников). Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторо нам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторо нами равны, то такие треугольники подобны. Дано: ААВС, А А 1В1С1, А В А С Z A = Z A ±. ABi А Л Д о к а з а т ь : ААВС °° А А 1В1С1.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Отложим на Cl стороне АС треугольника АВС от резок АС2, равный стороне А ,С,, и проведем С2В2 ||СВ (рис. 268). Получим А А В 2С2. Так как пря мая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, по добный данному, то ААВ2С2 со ААВС. Тогда А А = Л(: = в с (1). По усло- А В 2 ЛС2 В 2С2 вию А В АС вс . С учетом АС2 A jCj получаем АВ АС В С ( 2) . АЛ в 1с 1 J г АС2 АЛ АЛ В 1С1 Сравнивая равенства (1) и (2), приходим к выводу, что АВ2 = А 1В1, В2С2 = В1С1. Тогда А А 1В1С1 = А А В 2С2 по 3-му признаку равенства тре угольников.
АВ АС 4 3,2’ х = = 2,5 (см). 3,2 Найдем отрезок DE: Р Е А Е или ВС А С ’ У_ 2 2,4-2 = 1,5 (см). 2,4 3,2’ у 3,2 Ответ: AD = 2,5 см, DE = 1,5 см. Замечание. Условие задачи содержит избыточное данное. Так, для задания пря моугольного треугольника АВС достаточно знать длины только двух его сторон, а третью сторону можно найти по теореме Пифагора. Правообладатель Народная асвета
Глава 3. Подобие треугольников 131 Задача 2. ABCD — трапеция, AD = 30 см и ВС = 15 см — ее основания, АС = 27 см, BD = 33 см — диагонали трапеции, которые пересекаются в точке О. Найти периметр треугольника AOD (рис. 271). Р е ш е н и е . Треугольники ВОС и DOA по добны по 1-му признаку подобия треуголь ников: ZCBO = ZADO как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и ВС и секущей BD, ZCOB = ZAOD как вертикаль ные.
/9 •16 = 3 * 4 = 12, АВ = 12 см. Ответ: 12 см. Замечание. Когда речь идет о двух парах соответствующих сторон подобных тре угольников, удобно составлять отношение двух сторон одного треугольника и при равнивать его к отношению двух соответствующих сторон другого треугольника. Задача 4. Дана трапеция ABCD, ее основания AD = 18 и ВС = 4,5, диа гональ АС = 9. Если а + р = 64°, то чему равен угол а (рис. 273)? Р е ш ени е. Рассмотрим ААВС и ADCA: ДА = h!L = Е ДА = JL = А ZACB = Z/ Cя A. Hп (.как накрест лежащие АС 9 2 A D 18 2 при параллельных прямых AD и ВС и секущей АС). Тогда ААВС ~ ADCA по D двум сторонам и углу между ними (по 2-му признаку подобия треугольников). Тогда ZBAC = ZADC как соответствен ные углы в подобных треугольниках, т. е. а = р. Отсюда а = = 32°. Ответ: 32°. 2 Правообладатель Народная асвета
132 Глава 3.
Подобие треугольников РЕШАЕМ САМОСТОЯТЕЛЬНО 290. Изобразите произвольный ААВС. На луче АВ за точку В отложите отрезок В В ,, в 2 раза больший отрезка АВ, на луче АС за точку С отложите отрезок СС,, в 2 раза больший отрезка АС. Объясните, по чему А А В 1С1 подобен ААВС. Чему равен коэффициент подобия? 291. Найдите, при какой длине стороны А гСг треугольники АВС и А 1В1С1 будут подобны (рис. 274)? Укажите признак подобия. 292. Какие из треугольников, изображенных В F на рисунке 275, подобны и почему? 293. По данным на рисунках 276, а), б) докажите подобие треугольни ков. Найдите длину стороны, обозначенной знаком вопроса (все раз меры даны в см). 294. Докажите, что если у равнобе дренных треугольников равны углы при вершине, то такие треугольники подобны. 295. Докажите, что равнобедрен ные треугольники на рисун ке 277 подобны. Найдите от ношение периметров этих тре угольников: Р ^ с ■PKNM.
3 : 4 , Рдвс = 48 см. Найди те площадь треугольника АВС. 300. а) В трапеции ABCD (рис. 279, а) ВС = 9 см, AD = 18 см, OD = 8 см. Найдите ВО. б) В прямоугольнике ABCD (рис. 279, б) ВС = 18 см, А К = 5 см, КС = 15 см. Найдите MD. в) В параллелограмме ABCD (рис. 279, в) AD = 12 см, МС = 4 см, К М = 6 см. Найдите АК. а) б) в) 301. Докажите, что если катет а и гипотенуза с одного прямоугольного треугольника соответственно пропорциональны катету а1 и гипоте нузе с1 другого прямоугольного треугольника (\\—а1 = —/ ), то такие треугольники подобны. 302. Докажите, что у подобных треугольников: а) соответствующие высоты; б) соответствующие биссектрисы; в) соответствующие медианы относятся как соответствующие стороны этих треугольников. 303. Даны ААВС и A M N K (рис. 280). По размерам на рисунке найдите площадь A M N K (все размеры даны в см).
Правообладатель Народная асвета
134 Глава 3. Подобие треугольников 304. Дана трапеция ABCD с основаниями AD = 21 см, ВС = 7 см. Диа гонали трапеции равны АС = 20 см, BD = 16 см, О — точка пере сечения диагоналей. Найдите периметр AAOD. 305. На рисунке 281 ZKMC = ZABC, AM = 4 см, МС = 6 см, КС = 5 см. Найдите длину отрезка ВК. 306. На рисунке 282 AM и СК — высоты треугольника АВС, СМ = 9 см, ВМ = 3 см, ВК = 4 см. Найдите длину отрезка АК. D Рис. 282 307. На рисунке 283 ABCD — трапеция, А К — биссектриса угла BAD, АВ = 12 см, ВС = 8 см, СК ■KD = 1 : 5 . Найдите длину основа ния AD. 308. На рисунках 284, а)—в) изображены параллелограмм, трапеция и прямоугольник. По данным на рисунках найдите длину отрезка х. а) б) в) Рис.
284 309. Изобразите прямоугольный треугольник АВС (ZC = 90°), проведи те высоту СН. Укажите все пары полученных подобных треуголь ников и для каждой пары запишите отношение соответствующих сторон. Правообладатель Народная асвета
Глава 3. Подобие треугольников 135 В Рис. 285 310. По размерам, данным на рисунках 285, а), б), найдите: а) высоту СП; б) отрезок А К (проекцию катета АС на гипотенузу АВ). 311. В равнобедренном треугольнике АВС, у которого АВ = ВС и ZB = 36°, провели биссектрису АК. Определите, какие из получен ных треугольников подобны. 312. Периметр трапеции AMNC равен 22 см (рис. 286), периметр тре угольника АВС равен 24 см, периметр треугольника MBN равен 8 см. Найдите: a) M N ‘, б) АС. 313. а) В треугольнике АВС провели отрезок ВМ (М лежит на стороне АС), ZBMC = ZABC, A M = 7 м, МС = 9 м.
Найдите сторону ВС. б) В треугольнике АВС провели отрезок ВМ (М лежит на сторо не АС), ZABM = ZACB, АВ = 2 см, АС = 4 см. Найдите отрез ки AM и МС. в) В треугольнике АВС провели отрезок ВМ (М лежит на сторо не АС), ZABM = ZACB, АВ = 4 см, ВС = 6 см, ВМ = 3 см. Найдите сторону АС. 314. а) В параллелограмме ABCD на стороне ВС взята точка М так, что ВМ ■МС = 5 : 7. Луч DM пересекает луч АВ в точке К. Найдите ВК, если АВ = 42 см. б) В параллелограмме ABCD на продолжении стороны АВ за точ ку В взята точка М. Прямая DM пересекает диагональ АС в точ ке К так, что АК ■КС = 1 1 — 4 . Найдите длину отрезка ВМ, если АВ = 640 м. 315*. Квадрат вписан в треугольник, как показано на рисунке 287. Если АС = 70 см, ВН = 30 см — высота, то чему равна длина стороны квадрата? В 316*. Дан прямоугольник ABCD с площа дью 210 см2. На стороне AD взята точ ка К, на стороне CD — точка М так, что А К ■KD = 2 : 1 , СМ ■MD = 2 : 3 .
Отрез ки AM и ВК пересекаются в точке Р. Най дите площадь треугольника АРК. Правообладатель Народная асвета
136 Глава 3. Подобие треугольников 317*. Основания трапеции ABCD равны AD = а см и ВС = Ъ см. Отре зок К М проходит через точку О пересечения диагоналей трапеции параллельно основаниям, его концы лежат на боковых сторонах трапеции. Докажите, что К М = 2аЬ . При помощи Интернета выясните, как Фалес Милетский определил высоту египетской пирамиды, поразив своими знаниями фараона Амасиса. Объясните решение Фалеса по нахождению высоты пирамиды. Подумайте, как Фалес нашел длину той части тени, которая находится в основа нии пирамиды и недоступна для непосредственного изме рения.
КА АС Д о к а з а т е л ь с т в о . Из точки А проведем луч, параллельный биссектрисе СК до пересечения его в точке D с продолжением стороны ВС (рис. 288, см. с. 137). ZBCK = ZBDA как соответственные при параллельных пря Правообладатель Народная асвета
Глава 3. Подобие треугольников 137 мых СК и DA и секущей BD\\ ZKCA = ZDАС как w-D накрест лежащие при параллельных прямых СК и DA и секущей АС. В силу того, что ZBCK и ZKCA Рис. 288 (СК — биссектриса), получим, что ZCDA = ZCAD. Тогда AACD — равнобедренный (по признаку рав нобедренного треугольника), CD = СА. По обобщен- ной теореме Фалеса —- = , откуда =— . m1еорема доказана. К А CD J КА АС Теорему также называют «свойством биссек трисы угла треугольника». А теперь выполните Тест 1 и Тест 2. Задания к § 22 РЕШАЕМ ВМЕСТЕ ключевые задачи Задача 1.
реJугольника -кА—вТ-А= -А-в-П-с- , то есть х _8 н В 10-х 6 ИЛИ . Тогда Зх = 4(10 — х), 1 гоН 10-х 7х = 40, хл , = —40 Отсюда 10 — х = 10 — 40 30 7′ 7 = 51, КВ = 41. 7’ 7 Ответ: 5—; 4—. 7’ 7 Правообладатель Народная асвета
138 Глава 3. Подобие треугольников Задача 2. Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает диаго наль BD в точке К, а сторону ВС — в точке М. Известно, что МС = 4, ВК ■KD = 1 : 2 . Найти периметр параллелограмма (рис. 290). Р е ш е н и е .
Рассмотрим AABD, АК — его биссектриса. А биссектриса делит проти волежащую сторону на части, пропорцио нальные прилежащим сторонам, то есть АВ = х, AD = 2х. Так как AD KD 2 ZBAM = ZDAM (AM — биссектриса), а ZDAM = ZAMB как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и ВС и секущей AM, то ZBAM = ZBMA. Тогда А AM В — равнобедренный, АВ = ВМ = х, ВС = х + 4. С другой стороны, ВС = AD = 2х. Тогда 2х = х + 4, х = 4, АВ = 4, АВ = 8, Равсв = = 2(АБ + АВ) = 2(4 + 8) = 24. Ответ: 24. Замечание.
Для решения задачи можно было воспользоваться подобием тре угольников ВКМ и DKA. РЕШАЕМ САМОСТОЯТЕЛЬНО 318. На рисунках 291, а)—в) в каждом треугольнике проведена биссек триса. Найдите длину отрезка х (все размеры даны в см). 319. Рис. 291 320. 321. В ААВС АС = 8 см. На стороне ВС взята точка F так, что ZBAF = ZCAF, BF = 3 см, FC = 4 см. Найдите периметр ААВС. 322. В равнобедренном ААВС, где АС = ВС = 16 см, проведена биссек триса ВК, А К ■КС = 1 : 4 . Найдите основание АВ. Стороны треугольника равны 6 см, 7 см и 8 см. Найдите длины отрезков, на которые биссектриса среднего по величине угла треугольника делит противолежащую сторону. Найдите длину биссектрисы АК прямоугольного треугольника АВС, если катет АС = 6 см, гипотенуза АВ = 10 см. Правообладатель Народная асвета
Глава 3.
Подобие треугольников 139 323. В треугольнике АВС АС = 48 см, ВС = 36 см. На стороне АВ отмече на точка D, такая, что AD ■DB = 4 : 3 , ZBDC + ZACD = 104°. Най дите ZACB. 324*. Дан прямоугольник ABCD, у которого АВ = 15 см, AD = 30 см. Точ ка М лежит на диагонали BD и равноудалена от сторон ВС и CD. Найдите площадь треугольника CMD. 325*. Биссектриса внешнего угла треугольника АВС при вершине В пере секает прямую АС в точке К. Докажите, что А К ■СК = АВ ■ВС. § 23. Свойство площадей подобных треугольников Часто школьникам задают «провокационный» вопрос: «Если стороны квадрата увеличить в 2 раза, то во сколько раз увеличится площадь квад рата?» При этом часто получают ответ: «В 2 раза!», который является неправильным. Убедимся в этом. На рисунке 292 сторона малого квадрата равна 2 см, а площадь 4 см2. Увеличив все стороны квадрата в 2 раза, получим боль шой квадрат со стороной 4 см и площадью 16 см2.
Как видим, площадь квадрата увеличилась в 4 раза! Легко понять, что если стороны квадрата увеличить в 3 раза, то его площадь увеличится в З2 раз, то есть в 9 раз. Аналогичное утверждение справедливо и для треугольников. Сформу лируем его в виде следующей теоремы. 2 см О Рис. 292 S = 22 = 4Гсм2) S = 42= 16Гем2) Теорема (о площадях подобных треугольников). Площади подобных треугольников относятся как квадраты соответ ствующих сторон. Правообладатель Народная асвета
140 Глава 3. Подобие треугольников Дано: Д А 1В1С1 °° ААВС (рис. 293). В Д о к а з а т ь : .11/>| q Л /| >| ЭА В С АВ12 Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть к — коэф Н фициент подобия Д А 1В1С1 и ААВС, где Z A — острый.
площади данного. Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть в треугольникеАВС (рис. 294) в М К — средняя линия. Средняя линия параллельна основанию и равна его половине, то есть М К ||АС и М К = АС. Прямая, параллельная стороне треуголь ника, отсекает от него треугольник, подобный данно му. Тогда А М В К °° ААВС. Так как площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствую- щих сторон, то DMBK М К2 1 м к \\2 (М2 — 1 \\ АС ! АС2 \\2 / 4’ то есть Sм в к — 1с Что и требовалось доказать. —~4 А В С ‘ Задача 2. Дана трапеция ABCD с основаниями АВ и ВС (рис. 295). Диаго нали трапеции пересекаются в точке О, SBOC = 4 см2, SAOb = 12 см2.
Най ти площадь трапеции. Правообладатель Народная асвета
Глава 3. Подобие треугольников 141 Р е ш е н и е . Способ 1. Диагонали трапеции де лят ее на 4 треугольника. Ранее нами дока зано, что треугольники, прилежащие к боко вым сторонам, равновелики, а прилежащие к основаниям — подобны. То есть, SAOB = SDOC, АВОС со А ВОА. Отсюда SDOC = 1 2 см2. Далее заметим, что АВОС и АЛОВ име ют общую высоту, опущенную из вершины В. Потому их площади от носятся как соответству47ющ1ие этой высоте основания: ЁQША = ДЛ2Г)_. То ЬАОВ есть = -А = JL.
Стороны СО и АО являются соответствующими сто- ронами подобных треугольников ВОС и DOA (они лежат против рав ных углов ОВС и ODA). По теореме о площадях подобных треуголь ников Sboc = — = (1ALY = Vз / = 1. Отсюда SDOA = 9SBOC = 9 •4 = иоА вис s doa АО \\А °) 9 = 36 (см2). Искомая площадь трапеции: Sabcd = 12 + 12 + 4 + 36 = 64 (см2). Способ 2. Треугольники COD и AOD имеют общую высоту, проведен ную из вершины D. Тогда их площади относятся как основания СО и АО, то есть 1 =3. Значит, SAOD = 3SCOD = 3 • 12 = 36 (см2), Sabcd = 64 см2. Ответ: 64 см2. РЕШАЕМ САМОСТОЯТЕЛЬНО 326. Как изменится площадь треугольника, если все его стороны: а) увеличить в 2 раза; б) увеличить в 3 раза; в) увеличить в 2,5 раза; г) уменьшить в 10 раз? 327. Для ААВС и А А 1В1С1 выполняется В С А С = 1,5 см, Sasc = 90 см2.
c = = 360 см2. Найдите 333. Площадь трапеции АМКС (рис. 300) равна 80 м2, A M ■МВ = 4 : 3 . Найдите площадь треугольника МВК. 334. На рисунке 301 АМКЕ — параллелограмм, SMBK = S t = 16 см2, & е к с = S2 = 9 см2. а) Найдите площадь параллелограмма АМКЕ. б) Выразите площадь параллелограмма SAMKE через S, и S2. в) Выразите площадь треугольника АВС через S, и S2. 335. а) В трапеции ABCD (рис. 302) ВС = —3 AD, SA+ S2 = 60 см2. Найди- 336. те площадь S трапеции ABCD. б)* Выведите формулу зависимости площади S трапеции ABCD от площадей SAи S2. На рисунке 303 ААВС — равносторонний, МВ = 2АМ, NC = 2BN, АК = 2КС. Если площадь треугольника АВС равна 72 см2, то чему равна площадь треугольника M N K ? 337. Через центр равностороннего треугольника (точку пересечения медиан) провели прямые, параллельные его сторонам (рис. 304). Правообладатель Народная асвета
Глава 3. Подобие треугольников 143 ВВ А С Рис.
302 Рис. 303 Рис. 304 Какую часть площади треугольника АВС занимает часть, занятая красными треугольниками? 338*. А К и СН — высоты треугольника АВС (рис. 305), ВК ■АВ = 2 — 5 , &ав с = 50 см2. Найдите площадь треугольника НВК. В 339*. В параллелограмме ABCD проведен отрезок DM (рис. 306), кото рый пересекает диагональ АС в точке К. Известно, что SMCK = 4 см2, SDKA = 9 см2. Найдите площадь параллелограмма ABCD. 340*. В прямоугольном треугольнике АВС к гипотенузе проведена вы сота ВН. Известно, что = 4 см2, SCBH = 16 см2. Найдите гипо тенузу АС. 341*. Дана трапеция ABCD с основаниями ВС = 4 см и AD = 8 см и вы сотой, равной 3 см. Боковые стороны трапеции продлили до пере сечения в точке К. Найдите площадь треугольника ВКС. 342*. Основания трапеции равны а и Ъ. Найдите длину отрезка с конца ми на боковых сторонах трапеции, параллельного основаниям, ко торый делит трапецию на две равновеликие части.
343*. Разделите при помощи циркуля и линейки данный треугольник на две равновеликие части прямой, параллельной его стороне. Правообладатель Народная асвета
144 Глава 3. Подобие треугольников ПОДВОДИМ итоги Знаем 1. Свойство биссектрисы треугольника. 2. Теорему об отношении площадей подобных треугольников. 3. Во сколько раз увеличится площадь треугольника, если его стороны увели чить в 2 раза, в 3 раза, в к раз. Умеем 1. Находить площадь одного из двух подобных треугольников, если известна площадь другого и отношение соответствующих сторон. 2. Доказывать теорему о свойстве биссектрисы треугольника. 3. Доказывать теорему об отношении площадей подобных треугольников. Геометрия 3D Как уже говорилось, любые два круга являются подобными (рис.
307, а). По добными также являются любые два квадрата (рис. 307, б). Коэффициент подобия в первом случае может быть определен как отношение радиусов кругов, а во вто- ром — как отношение сторон квадратов, то есть k, = —RRni—или k = —do Два многоугольника называются подобными, если у них соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны (рис. 308, а). Фигуры F и F x называются подобными, если между их точками можно уста новить такое соответствие, что для любых пар точек М и N и соответственных им точек М , и N , (рис. 308, б) выполняется условие M 1N1 = k. Число k — коэффици- ент подобия. Можно доказать, что отношение периметров подобных фигур рав но к, а отношение их площадей — к2. Правообладатель Народная асвета
Глава 3. Подобие треугольников 145 Подобие также определяется и для пространственных фигур. Так, подобны ми являются любые два шара или любые два куба (рис. 309). Увеличив длину всех ребер любого многогранника в одно и то же число раз и сохранив величины всех углов, получим многогранник, подобный данному (рис.
310). Рис. 310 Мы знаем, что прямая, параллельная основанию треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному. Аналогично, в пространстве плоскость, параллельная основанию пирамиды, отсекает от нее пирамиду, подобную данной (рис. 311, а, б). То есть отсеченная пирамида будет иметь такую же форму, но от личаться размерами. Если отбросить отсеченную пирамиду, то получится усечен ная пирамида (рис. 311, в). в) Усеченная пирамида имеет два основания: верхнее и нижнее, которые явля ются подобными многоугольниками, а боковые грани являются трапециями. В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат, и все ее боковые ребра равны. Если от нее отсечь плоскостью, параллельной основа нию, пирамиду, то получим правильную усеченную пирамиду. Основания ее — квадраты, а боковые грани — равные равнобедренные трапеции.
Правообладатель Народная асвета
146 Глава 3. Подобие треугольников Задача. Найдите площадь полной поверхности 10 правильной усеченной четырехугольной пирамиды (рис. 312), у которой стороны оснований равны 20 см и 10 см, а боковое ребро равно 13 см. Рис. 312 М оделирование На рисунке 313 изображен план участ ка под Несвижским замком в масштабе 1 :1500. При помощи линейки определите размеры внутреннего двора (отмечен ко ричневым цветом) и найдите его площадь, используя формулы площади прямоуголь ника и трапеции. Найдите периметр и площадь реального участка при помощи свойств подобных многоугольников. Интересно знать. Несвижский замок — дворцово-парковый комплекс, на ходящийся в северо-восточной части города Несвижа в Минской области Бела руси. В X V I—X IX веках — центр резиденции ее владельцев из рода Радзивиллов.
Архитектурный ансамбль Несвижского замка в настоя щее время представляет собой историко-культурный музей-заповедник. С 2005 года внесен во Всемирное на следие ЮНЕСКО. Несвижский замок изображен на на шей 100-рублевой купюре. Правообладатель Народная асвета
Глава 3. Подобие треугольников 147 Реальная геометрия Задача для девочек. Глядя на рисунок, составьте план, как при по мощи зеркала, зная собственный рост, можно определить примерную высоту стелы «Минск — город герой» — главного символа столицы Бе ларуси. Найдите высоту стелы, используя данные на рисунке. При решении задачи учтите закон отражения солнечного света, кото рый звучит так: «Угол падения равен углу отражения». Вместо зеркала можно использовать экран телефона или планшета. Задача для мальчиков. В армии учат определять расстояние до цели при помощи вытянутой руки и линейки (патрона или даже пальца). Опре делите расстояние от наблюдателя до танка, если длина части линейки, перекрывающей танк, равна 5 см, длина руки от плеча до линейки — 50 см и известно, что длина данного танка равна 6,86 м.
Правообладатель Народная асвета
148 Глава 3. Подобие треугольников § 24*. Решение задач по теме «Подобие треугольников» Задача 1. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АК и CN, которые пересекаются в точке Н (рис. 314). Доказать, что: а) А Н •К Н = СН •N H ; б) AK BN ~ ААВС; в) ZNKB = ZCAB. в Д о к а з а т е л ь с т в о , a) A A H N °° АСНК по острому углу (ZAH N = ZCHK как вертикальные). Отсюда N H К Н , А Н •К Н = СН •NH-, АН СН б) А А В К оэ ACBN по острому углу (ZB — общий). Поэтому AJB В С Тогда AK BN <х>ААВС по двум сторонам и углу между ними; в) так как — = — = то ZNKB = ZCAB. ’ АВ ВС АС В Следст вие. Треугольник NKM (рис. 315) с вершинами в основаниях высот данного остроугольного тре угольника АВС имеет углы, равные 180° — 2ZA, 180° — 2ZB, 180° — 2ZC.
= М2.. Отсюда или Ш — = 2 А . А К КО DK АК СМ А К Но уууу = 1, откуда I f = 1, ВМ = МС, точка М — середина ВС. Следст вия. 1. Точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции, точка пересечения диагоналей и середины оснований трапеции лежат на одной прямой. 2. В треугольнике медиана делит пополам любой отрезок с концами на сторонах треугольника, паралельный стороне, к которой проведена медиана. РЕШАЕМ САМОСТОЯТЕЛЬНО 347. В трапеции АВСГ) основания А Г) —20, ВС —13, АА. —65 , / Г) —25 . Найдите длину отрезка, соединягцего середины оснований. 348. Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны и равны 6 и 8. Най дите длину отрезка, соединяющего середины оснований. Правообладатель Народная асвета
150 Глава 3. Подобие треугольников Метод подобия Если при решении геометрической задачи, которая может быть ре шена разными способами, используют подобия треугольников, то гово рят, что задача решена методом подобия.
5, Замечание. Найти В К можно и не используя подобие. Способ 2: МС = 4, АС = Ja m 2+ МС2 = 4>/б, КС = 2ДЙ ВК = <Jb C2- КС2 = 4л/5. Способ 3 (метод пло щадей)’. М С = 4, АС = 4\\[Е, 2Sabc= A C ‘B K = B C ‘A M , аДь ‘ В К = Ю ‘ Ъ , ВК=4\\[Е. РЕШАЕМ САМОСТОЯТЕЛЬНО 349. Дан равнобедренный треугольник АВС, АВ = ВС = 20. Площадь треугольника равна 160. Высоты ВК и A M пересекаются в точ ке Н. Найдите площадь треугольника АВН. 350. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) высоты BE и АК пересекаются в точке М , ВМ = 4, ME = 2. Найдите площадь тре угольника АВС. Правообладатель Народная асвета
тесты по геометрии. 8 класс
ТЕМА: МНОГОУГОЛЬНИКИ
ВАРИАНТ 1
А1. Чему равна сумма внутренних углов выпуклого n-угольника?
1) 180°· (n − 2)
2) 180°· (n + 2)
3) 180°· n
4) 180° : n
Ответ: 1.
А2. Чему равна сумма углов выпуклого шестиугольника?
1) 360°
2) 540°
3) 900°
4) 720°
Ответ: 4.
А3. Чему равен внешний угол правильного девятиугольника?
1) 60°
2) 40°
3) 90°
4) 140°
Ответ: 2.
А4. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его углов равна 2520°?
1) 14
2) 12
3) 16
4) 18
Ответ: 3.
В1. Каждый угол выпуклого многоугольника равен 135°. Найдите число сторон этого многоугольника.
Ответ: 8.
В2. В выпуклом четырехугольнике длины сторон относятся как 7 : 8 : 9 : 10, а его периметр равен 68 см. Найдите наименьшую сторону четырехугольника.
Ответ: 14 см.
С1. Выпуклый четырехугольник ABCD имеет две пары равных между собой смежных сторон: АВ = АD, BC = CD, O — точка пересечения диагоналей четырехугольника. Сравните периметры пятиугольников ABCOD и ABOCD.
Ответ: PABCOD = PABOCD.
С2. В выпуклом многоугольнике имеется пять углов с градусной мерой 140° каждый, остальные углы острые. Найдите число сторон этого многоугольника.
Ответ: 6.
А1. Чему равна сумма внешних углов выпуклого n-угольника, взятых по одному при каждой вершине?
1) 180° · (n − 2)
2) 180° · (n + 2)
3) 360°
4) 360° · n
Ответ: 3.
А2. Чему равна сумма углов выпуклого пятиугольника?
1) 360°
2) 540°
3) 900°
4) 720°
Ответ: 2.
А3. Чему равен внешний угол правильного восьмиугольника?
1) 22,5°
2) 45°
3) 40°
4) 135°
Ответ: 2.
А4. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его углов равна 2160°?
1) 14
2) 18
3) 16
4) 12
Ответ: 1.
В1. Каждый угол выпуклого многоугольника равен 140°. Найдите число сторон этого многоугольника.
Ответ: 9.
В2. В выпуклом пятиугольнике длины сторон относятся как 5 : 7 : 8 : 9 : 10, а его периметр равен 117 см.
Найдите наибольшую сторону пятиугольника.Ответ: 30 см.
С1. Диагональ АС невыпуклого четырехугольника ABCD разделяет этот четырехугольник на два треугольника, причем АВ > ВС, АВ = AD, ВС = CD, а прямые, содержащие диагонали четырехугольника, пересекаются в точке О. Сравните периметры пятиугольников BCODA и DCOBA.
Ответ: PBCODA = PDCOBA.
С2. В выпуклом многоугольнике имеется четыре угла с градусной мерой 120° каждый, остальные углы острые. Найдите число сторон этого многоугольника.
Ответ: 5.
ТЕМА: ПАРАЛЛЕЛОГРАММ
ВАРИАНТ 1
А1. Периметр параллелограмма равен 36 см, а одна из сторон в два раза больше другой. Чему равна наименьшая из его сторон?
1) 6 см
2) 12 см
3) 9 см
4) 8 см
Ответ: 1.
А2. Если в параллелограмме ABCD угол А + угол В + угол D = 252°, то чему равен угол А?
1) 90°
2) 72°
3) 84°
4) 108°
Ответ: 4.
А3. В параллелограмме ABCD диагональ АС со сторонами АВ и ВС образует углы, равные соответственно 45° и 25°.
Чему равна величина угла С?1) 25°
2) 45°
3) 70°
4) 110°
Ответ: 3.
А4. В параллелограмме ABCD биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке К так, что ВК = 7 см, КС = 3 см. Чему равен периметр параллелограмма?
1) 20 см
2) 26 см
3) 34 см
4) 30 см
Ответ: 3.
В1. В параллелограмме ABCD высота, опущенная на сторону CD, делит ее пополам и образует с диагональю BD угол 30°, АВ = 10 см. Найдите периметр параллелограмма.
Ответ: 40 см.
В2. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов B и D пересекают стороны AD и ВС в точках М и К соответственно так, что MD = 5 см, КС = 7 см. Найдите периметр ABCD.
Ответ: 38 см.
С1. На сторонах ВС и CD параллелограмма ABCD отмечены точки М и Н соответственно так, что отрезки ВН и MD пересекаются в точке О; угол BHD = 95°, угол DMC = 90°, угол BOD = 155°. Найдите углы параллелограмма.
Ответ: угол С = угол А = 30°, угол В = угол D = 150°.
А1. Периметр параллелограмма равен 32 см, а две из его сторон относятся как 3 : 1. Чему равна наибольшая из его сторон?
1) 5 см
2) 12 см
3) 8 см
4) 4 см
Ответ: 2.
А2. Если в параллелограмме ABCD угол А + угол В + угол С = 237°, то чему равен угол В?
1) 57°
2) 79°
3) 123°
4) 90°
Ответ: 3.
А3. В параллелограмме ABCD диагональ BD со сторонами АВ и AD образует углы, равные соответственно 52° и 26°. Чему равна величина угла В?
1) 52°
2) 26°
3) 102°
4) 78°
Ответ: 4.
А4. В параллелограмме ABCD биссектриса угла В пересекает сторону AD в точке М так, что АМ = 8 см, MD = 4 см. Чему равен периметр параллелограмма?
1) 40 см
2) 24 см
3) 32 см
4) 36 см
Ответ: 1.
В1. В параллелограмме ABCD высота, опущенная на сторону CD, делит ее пополам и образует со стороной ВС угол 30°, АВ = 12 см. Найдите периметр параллелограмма.
Ответ: 48 см.
В2. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов А и С пересекают стороны ВС и AD в точках М и К соответственно так, что АК = 4 см, ВМ = 6 см. Найдите периметр ABCD.
Ответ: 32 см.
С1. На сторонах ВС и CD параллелограмма ABCD взяты точки К и М соответственно. Отрезки ВМ и KD пересекаются в точке О; угол BOD = 140°, угол DKB = 110°, угол ВМС = 90°. Найдите углы параллелограмма.
Ответ: угол С = угол А = 60°; угол В = угол D = 120°.
ТЕМА: ТРАПЕЦИЯ
ВАРИАНТ 1
А1. В трапеции ABCD основания равны 8 см и 14 см. Чему равна ее средняя линия?
1) 22 см
2) 7 см
3) 11 см
4) 6 см
Ответ: 3.
А2. В трапеции ABCD угол А = 37°, угол С = 126°. Чему равна сумма градусных мер углов B и D?
1) 163°
2) 269°
3) 91°
4) 197°
Ответ: 4.
А3. В трапеции ABCD из вершины угла В проведена прямая, параллельная стороне CD и пересекающая сторону AD в точке Е так, что угол АВЕ = 75°, угол А = 40°.
Чему равен угол СВЕ?1) 65°
2) 75°
3) 40°
4) 115°
Ответ: 1.
А4. В равнобедренной трапеции угол при основании равен 60°, а основания равны 6 см и 10 см. Чему равен периметр трапеции?
1) 28 см
2) 26 см
3) 20 см
4) 24 см
Ответ: 4.
В1. В трапеции ABCD AD и ВС — основания, AD > ВС. На стороне AD отмечена точка К так, что KBCD — параллелограмм. Периметр треугольника АВК равен 25 см, DK = 6 см. Найдите периметр трапеции.
Ответ: 37 см.
В2. В равнобедренной трапеции ABCD диагональ АС перпендикулярна боковой стороне, угол D = 60°, AD = 20 см, ВС = 10 см. Найдите периметр трапеции.
Ответ: 50 см.
С1. В прямоугольной трапеции острый угол и угол, который составляет меньшая диагональ с меньшим основанием, равны 60°. Найдите отношение оснований. Ответ: 1 : 2.
А1. В трапеции ABCD основания равны 10 см и 16 см. Чему равна ее средняя линия?
1) 26 см
2) 13 см
3) 8 см
4) 6 см
Ответ: 2.
А2. В трапеции ABCD угол В = 128°, угол С = 115°. Чему равна сумма градусных мер углов А и D?
1) 117°
2) 243°
3) 193°
4) 167°
Ответ: 1.
А3. В трапеции ABCD из вершины угла В проведена прямая, параллельная стороне CD и пересекающая сторону AD в точке К так, что угол АКВ = 65°, угол А = 35°. Чему равен угол BCD?
1) 65°
2) 35°
3) 100°
4) 115°
Ответ: 4.
А4. В равнобедренной трапеции высота образует с боковой стороной угол 30°, а ее основания равны 11 см и 5 см. Чему равен периметр трапеции?
1) 28 см
2) 27 см
3) 26 см
4) 32 см
Ответ: 1.
В1. В трапеции ABCD AD и ВС — основания, AD > ВС. На стороне AD отмечена точка Е так, что EBCD — параллелограмм. Периметр трапеции равен 32 см, DЕ = 5 см. Найдите периметр треугольника АВЕ.
Ответ: 22 см.
В2. В равнобедренной трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна боковой стороне, угол А = 60°, AD = 24 см, ВС = 12 см.
Найдите периметр трапеции.Ответ: 60 см.
С1. В прямоугольной трапеции диагональ перпендикулярна боковой стороне, острый угол равен 45°. Найдите отношение оснований.
Ответ: 1 : 2.
ТЕМА: ПРЯМОУГОЛЬНИК. РОМБ. КВАДРАТ
ВАРИАНТ 1
А1. Диагонали ромба составляют с его стороной углы, один из которых на 20° меньше другого. Чему равен больший угол ромба?
1) 55°
2) 100°
3) 110°
4) 80°
Ответ: 3.
А2. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Е — середина стороны АВ, угол ВАС = 50°. Чему равен угол EOD?
1) 140°
2) 130°
3) 120°
4) 150°
Ответ: 1.
А3. В ромбе ABCD угол А равен 60°, АВ = 6 см. Из вершины В на стороны AD и CD проведены перпендикуляры ВМ и ВК соответственно. Чему равна сумма длин отрезков MD и СК?
1) 8 см
2) 6 см
3) 12 см
4) 4 см
Ответ: 2.
А4. На сторонах АВ, ВС, CD и AD квадрата ABCD отмечены соответственно точки Р, М, Е и К так, что АР = ВМ = СЕ = DK = 3 см, угол АРК = 60°.
Чему равен периметр четырехугольника РМЕК?1) 20 см
2) 36 см
3) 24 см
4) 12 см
Ответ: 3.
В1. В ромбе ABCD высота АК, проведенная к стороне ВС, пересекает диагональ BD в точке Е, угол ADE = 40°. Найдите величину угла ЕАС.
Ответ: 40°.
В2. Внутри квадрата ABCD выбрана точка М так, что треугольник AMD равносторонний. Найдите величину угла АМВ.
Ответ: 75°.
С1. Через середину диагонали КМ прямоугольника KLMN перпендикулярно этой диагонали проведена прямая, пересекающая стороны KL и MN в точках А и В соответственно. Известно, что АВ = ВМ = 6 см. Найдите большую сторону прямоугольника.
Ответ: 9 см.
А1. Диагонали ромба составляют с его стороной углы, один из которых на 40° меньше другого. Чему равен меньший угол ромба?
1) 70°
2) 50°
3) 60°
4) 80°
Ответ: 2.
А2. В прямоугольнике МРКН диагонали пересекаются в точке О. Отрезок ОА является высотой треугольника МОР, угол АОР = 15°.
Чему равен угол ОНК?1) 105°
2) 150°
3) 135°
4) 75°
Ответ: 4.
А3. В ромбе ABCD угол А равен 30°. Из вершины В на стороны AD и CD проведены перпендикуляры ВМ и ВК соответственно. ВМ = 5 см. Чему равен периметр ромба?
1) 40 см
2) 20 см
3) 30 см
4) 50 см
Ответ: 1.
А4. На сторонах АВ, ВС, CD и AD квадрата ABCD отмечены соответственно точки Р, М, Е и К так, что АР = ВМ = СЕ = DK = 4 см, угол ВМР = 60°. Чему равен периметр четырехугольника РМЕК?
1) 32 см
2) 16 см
3) 24 см
4) 8 см
Ответ: 1.
В1. В ромбе ABCD биссектриса угла ВАС пересекает сторону ВС и диагональ BD соответственно в точках М и N, угол АМС = 120°. Найдите величину угла ANB.
Ответ: 110°.
В2. Внутри квадрата ABCD выбрана точка Е так, что треугольник ВЕС равносторонний. Найдите величину угла EAD.
Ответ: 15°.
С1. Через середину диагонали АС прямоугольника ABCD перпендикулярно этой диагонали проведена прямая, пересекающая стороны ВС и AD в точках К и Е соответственно.
Известно, что КЕ = АЕ = 8 см. Найдите большую сторону прямоугольника.Ответ: 12 см.
ОБОБЩЕНИЕ ТЕМЫ «ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ»
ВАРИАНТ 1
А1. Чему равна сумма углов выпуклого пятиугольника?
1) 360°
2) 900°
3) 540°
4) 720°
Ответ: 3.
А2. Один из углов равнобедренной трапеции равен 100°. Чему равны три оставшихся угла?
1) 80°, 80°, 100°
2) 75°, 75°, 110°
3) 70°, 70°, 120°
4) 60°, 60°, 120°
Ответ: 1.
А3. Смежные стороны прямоугольника равны 6 см и 8 см. Чему равны его диагонали?
1) √28 см и √28 см
2) 10 см и 10 см
3) 7 см и 7 см
4) 14 см и 14 см
Ответ: 2.
А4. В ромбе ABCD угол А = 70°. Чему равен угол АВС?
1) 20°
2) 110°
3) 55°
4) 70°
Ответ: 2.
А5. В параллелограмме разность смежных сторон равна 5 см, а его периметр равен 38 см. Чему равна меньшая сторона параллелограмма?
1) 7 см
2) 12 см
3) 9 см
4) 9,5 см
Ответ: 1.
А6. Одна из диагоналей ромба равна его стороне. Чему равен наибольший угол ромба?
1) 60°
2) 150°
3) 90°
4) 120°
Ответ: 4.
А7. Ромб, не являющийся квадратом, имеет n осей симметрии. Чему равно значение n?
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
Ответ: 2.
В1. Найдите наименьший угол параллелограмма, если одна из его диагоналей является высотой и равна одной из его сторон.
Ответ: 45°.
В2. В трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна боковой стороне АВ, угол ADB = углу BDC = 30°. Найдите длину AD, если периметр трапеции 60 см.
Ответ: 24 см.
В3. В ромбе ABCD биссектриса угла DCA перпендикулярна стороне AD. Найдите больший угол ромба.
Ответ: 120°.
С1. Высота ВМ, проведенная из вершины угла ромба ABCD, образует со стороной АВ угол 30°, АМ = 4 см. Найдите длину диагонали ромба BD, если точка М лежит на стороне AD.
Ответ: 8 см.
С2.
В параллелограмме ABCD AD = 6 см. Биссектрисы углов АВС и BCD пересекаются в точке М1. На прямых АВ и CD взяты точки К и Р так, что А-В-К, D-С-Р. Биссектрисы углов КВС и ВСР пересекаются в точке М2. Найдите длину М1М2.Ответ: 6 см.
А1. Чему равна сумма углов выпуклого семиугольника?
1) 900°
2) 1260°
3) 1080°
4) 1620°
Ответ: 1.
А2. Один из углов равнобедренной трапеции равен 110°. Чему равны три оставшихся угла?
1) 75°, 75°, 100°
2) 70°, 70°, 110°
3) 70°, 70°, 120°
4) 60°, 60°, 110°
Ответ: 2.
А3. Одна из сторон прямоугольника равна 12 см, а его диагональ — 15 см. Чему равна другая сторона прямоугольника?
1) 12 см
2) 13,5 см
3) 7 см
4) 9 см
Ответ: 4.
А4. В ромбе ABCD угол В = 50°. Чему равен угол BAD?
1) 130°
2) 100°
3) 50°
4) 80°
Ответ: 1.
А5. В параллелограмме отношение смежных сторон равно 2, а его периметр равен 24 см.
Чему равна большая сторона параллелограмма?1) 6 см
2) 8 см
3) 12 см
4) 4 см
Ответ: 2.
А6. Диагонали ромба равны. Чему равен наименьший угол ромба?
1) 30°
2) 60°
3) 120°
4) 90°
Ответ: 4.
А7. Прямоугольник, не являющийся квадратом, имеет n осей симметрии. Чему равно значение n?
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
Ответ: 2.
В1. Найдите больший угол параллелограмма, если одна из его диагоналей является высотой и равна половине неперпендикулярной к ней стороны параллелограмма.
Ответ: 150°.
В2. В трапеции ABCD диагональ АС перпендикулярна боковой стороне CD и является биссектрисой угла А. Найдите длину АВ, если периметр трапеции равен 35 см, а угол D = 60°.
Ответ: 7 см.
В3. Высота ромба делит его сторону пополам. Найдите меньший угол ромба.
Ответ: 60°.
С1. Высота ВМ, проведенная из вершины угла ромба ABCD, образует со стороной АВ угол 30°, длина диагонали АС равна 6 см.
Найдите длину АМ, если точка М лежит на продолжении стороны AD.Ответ: 3 см.
С2. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов АВС и BCD пересекаются в точке М1. На прямых АВ и CD взяты точки К и Р так, что А-В-К, D-С-Р. Биссектрисы углов КВС и ВСР пересекаются в точке М2, М1М2 = 8 см. Найдите длину AD.
Ответ: 8 см.
ТЕМА: ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
А1. Сумма углов выпуклого n-угольника равна:
1) 180°(n − 2)
2) 360°
3) 180° · n
4) 360° · n
Ответ: 1.
А2. Четырехугольник является параллелограммом, если у него:
1) две стороны равны, а две другие параллельны
2) диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам
3) две пары равных сторон
4) все стороны параллельны
Ответ: 2.
А3. Трапеция называется равнобедренной, если у нее:
1) две стороны равны
2) два угла равны
3) основания параллельны и равны
4) боковые стороны равны
Ответ: 4.
А4. Прямоугольником называется:
1) параллелограмм, у которого все стороны равны
2) параллелограмм, у которого все углы прямые
3) четырехугольник, у которого диагонали равны
4) четырехугольник, у которого противолежащие стороны равны
Ответ: 2.
А5. Четырехугольник является ромбом, если у него:
1) диагонали перпендикулярны
2) диагонали равны
3) диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам
4) диагонали точкой пересечения делятся пополам
Ответ: 3.
А6. Квадратом является:
1) параллелограмм, у которого все углы прямые
2) ромб, у которого все углы прямые
3) параллелограмм, у которого диагонали равны
4) прямоугольник, у которого диагонали равны
Ответ: 2.
А7. Всякий прямоугольник является:
1) квадратом
2) ромбом
3) трапецией
4) параллелограммом
Ответ: 4.
А8. Выберите верное утверждение:
1) если в четырехугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — прямоугольник
2) если в четырехугольнике две стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник — ромб
3) если в четырехугольнике две стороны равны, а два угла прямые, то этот четырехугольник — прямоугольник
4) если в четырехугольнике диагонали равны, а один из углов прямой, то этот четырехугольник — квадрат
Ответ: 1.
А9. Внешний угол правильного n-угольника равен:
1) 180° / n
2) 180° (n − 2)/n
3) 360° (n − 2)/n
4) 360° / n
Ответ: 4.
А10. Многоугольник называется выпуклым, если:
1) все его стороны являются выпуклыми
2) его нельзя разрезать на два других многоугольника
3) он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины
4) все его углы являются выпуклыми
Ответ: 3.
ТЕМА: ПЛОЩАДЬ МНОГОУГОЛЬНИКА. ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНИКА
ВАРИАНТ 1
А1. Периметр прямоугольника равен 18 см, а одна из его сторон на 1 см больше другой. Чему равна площадь прямоугольника?
1) 20 см2 2) 72 см2 3) 16 см2 4) 25 см2 Ответ: 1.
А2. Площадь квадрата равна 36 см2. Чему равен его периметр?
1) 12 см
2) 18 см
3) 24 см
4) 36 см
Ответ: 3.
А3. В прямоугольнике ABCD сторона АВ равна 12 см. Расстояние от точки пересечения диагоналей до этой стороны равно 8 см.
Найдите площадь треугольника АВС.1) 48 см2 2) 192 см2 3) 24 см2 4) 96 см2 Ответ: 4.
А4. Периметр прямоугольника равен 40 см, а одна из его сторон равна 4 см. Прямоугольник имеет такую же площадь, что и квадрат. Чему равен периметр квадрата?
1) 16 см
2) 40 см
3) 64 см
4) 32 см
Ответ: 4.
В1. Найдите сумму площадей квадратов, построенных на сторонах прямоугольника со сторонами 5 см и 7 см.
Ответ: 148 см2.
В2. Через вершину А прямоугольника ABCD проведена прямая, пересекающая продолжение стороны ВС в точке Е так, что ВС = СЕ. Периметр прямоугольника равен 46 см, а сторона ВС на 5 см больше АВ. Найдите площадь треугольника АВЕ.
Ответ: 126 см2.
С1. Высота BD треугольника АВС равна 8 см и делит сторону АС на отрезки, равные 5 см и 6 см. Найдите площадь треугольника.
Ответ: 44 см2.
ТЕМА: ПЛОЩАДЬ МНОГОУГОЛЬНИКА. ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНИКА
ВАРИАНТ 2
А1. Периметр прямоугольника равен 24 см, а одна из его сторон в два раза меньше другой.
Чему равна площадь прямоугольника?1) 18 см2 2) 32 см2 3) 36 см2 4) 9 см2 Ответ: 2.
А2. Периметр квадрата равен 36 см. Чему равна его площадь?
1) 12 см2 2) 36 см2 3) 81 см2 4) 24 см2 Ответ: 3.
А3. В прямоугольнике ABCD сторона ВС равна 18 см. Расстояние от точки пересечения диагоналей до этой стороны равно 7 см. Найдите площадь треугольника BCD.
1) 126 см2 2) 252 см2 3) 63 см2 4) 64 см2 Ответ: 1.
А4. Периметр квадрата равен 24 см. Прямоугольник имеет такую же площадь, что и квадрат, а одна из его сторон равна 9 см. Чему равен периметр прямоугольника?
1) 32 см
2) 26 см
3) 24 см
4) 28 см
Ответ: 2.
В1. Найдите сумму площадей квадратов, построенных на сторонах прямоугольника со сторонами 4 см и 9 см.
Ответ: 194 см2.
В2. Через вершину В прямоугольника ABCD проведена прямая, пересекающая продолжение стороны AD в точке К так, что AD = DK. Периметр прямоугольника равен 42 см, а сторона ВС на 3 см больше АВ.
Найдите площадь треугольника АВК.Ответ: 108 см2.
С1. Высота BD треугольника АВС делит сторону АС на отрезки, равные 7 см и 4 см. Площадь треугольника равна 55 см2. Найдите длину BD.
Ответ: 10 см.
ТЕМА: ПЛОЩАДЬ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА, РОМБА И ТРЕУГОЛЬНИКА
ВАРИАНТ 1
А1. Стороны параллелограмма равны 10 см и 6 см, а угол между этими сторонами равен 150°. Чему равна площадь этого параллелограмма?
1) 60 см2 2) 30 см2 3) 15 см2 4) 120 см2 Ответ: 2.
А2. Чему равна площадь ромба, диагонали которого равны 8 см и 6 см?
1) 12 см2 2) 48 см2 3) 96 см2 4) 24 см2 Ответ: 4.
А3. Две стороны треугольника равны 12 см и 9 см, а угол между ними 30°. Чему равна площадь треугольника?
1) 27 см2 2) 108 см2 3) 54 см2 4) 36 см2 Ответ: 1.
А4. Стороны параллелограмма 10 см и 12 см, меньшая высота 5 см. Найдите большую высоту параллелограмма.
1) 5 1/6 см
2) 4 1/6 см
3) 6 см
4) 4 см
Ответ: 3.
В1. В треугольнике АВС угол А = 45°, ВС = 10 см, а высота BD делит сторону АС на отрезки AD = 6 см, DC = 8 см. Найдите площадь треугольника и высоту, проведенную к стороне ВС.
Ответ: 42 см2; 8,4 см.
В2. В треугольнике АВС угол А = 75°, угол В = 30°, АВ = 10 см. Найдите площадь треугольника.
Ответ: 25 см2.
С1. Высоты, проведенные из вершины тупого угла параллелограмма, составляют угол, равный 45°. Одна из высот делит сторону, на которую она опущена, на отрезки 3 см и 7 см, считая от вершины острого угла. Найдите площадь параллелограмма.
Ответ: 30 см2.
А1. Стороны параллелограмма равны 12 см и 8 см, а угол между этими сторонами равен 30°. Чему равна площадь этого параллелограмма?
1) 192 см2 2) 96 см2 3) 24 см2 4) 48 см2 Ответ: 4.
А2. Чему равна площадь ромба, диагонали которого равны 10 см и 12 см?
1) 60 см2 2) 120 см2 3) 30 см2 4) 240 см2 Ответ: 1.
А3. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 6 см и 8 см, а угол между ними 30°.
1) 48 см2 2) 12 см2 3) 96 см2 4) 24 см2 Ответ: 2.
А4. Высоты параллелограмма 6 см и 8 см, большая сторона 12 см. Найдите меньшую сторону параллелограмма.
1) 10 см
2) 9 см
3) 16 см
4) 4 см
Ответ: 2.
В1. В треугольнике АВС угол С = 45°, АВ = 10 см, а высота AD делит сторону СВ на отрезки CD = 8 см, DВ = 6 см. Найдите площадь треугольника и высоту, проведенную к стороне АВ.
Ответ: 56 см2; 11,2 см.
В2. В треугольнике АВС угол А = углу В = 75°. Найдите длину ВС, если площадь треугольника равна 36 см2.
Ответ: 12 см.
С1. Высоты, проведенные из вершины тупого угла параллелограмма, составляют угол, равный 45°. Одна из высот делит сторону, на которую она опущена, на отрезки 5 см и 8 см, считая от вершины острого угла. Найдите площадь параллелограмма.
Ответ: 65 см2.
ТЕМА: ПЛОЩАДЬ ТРАПЕЦИИ
ВАРИАНТ 1
А1. Основания трапеции равны 5 см и 9 см, ее высота — 6 см. Чему равна площадь трапеции?
1) 54 см2 2) 21 см2 3) 42 см2 4) 84 см2 Ответ: 3.
А2. В равнобедренной трапеции основания равны 6 см и 10 см, а угол при основании равен 45°. Чему равна площадь трапеции?
1) 16 см2 2) 32 см2 3) 8 см2 4) 24 см2 Ответ: 1.
А3. В прямоугольной трапеции основания равны 5 см и 9 см, а меньшая боковая сторона — 4 см. Чему равна площадь трапеции?
1) 36 см2 2) 56 см2 3) 14 см2 4) 28 см2 Ответ: 4.
А4. Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны и равны 12 см и 18 см. Чему равна площадь трапеции?
1) 108 см2 2) 216 см2 3) 54 см2 4) 162 см2 Ответ: 1.
В1. В равнобедренной трапеции высота, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на два отрезка, больший из которых равен 26 см. Найдите площадь трапеции, если ее высота равна 10 см.
Ответ: 260 см2.
В2. В равнобедренной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны, высота трапеции равна 18 см. Найдите площадь трапеции.
Ответ: 324 см2.
С1. Основания и высота трапеции относятся как 5 : 6 : 4. Найдите меньшее основание трапеции, если площадь трапеции равна 88 см2.
Ответ: 10 см.
С2. В трапеции ABCD BC и AD — основания, BC : AD = 3 : 4. Площадь трапеции равна 70 см2. Найдите площадь треугольника АВС.
Ответ: 30 см2.
А1. Основания трапеции равны 4 см и 8 см, ее высота — 9 см. Чему равна площадь трапеции?
1) 54 см2 2) 27 см2 3) 108 см2 4) 72 см2 Ответ: 1.
А2. В равнобедренной трапеции основания равны 8 см и 16 см, а угол при основании равен 45°. Чему равна площадь трапеции?
1) 24 см2 2) 96 см2 3) 72 см2 4) 48 см2 Ответ: 4.
А3. В прямоугольной трапеции основания равны 6 см и 10 см, а меньшая боковая сторона — 5 см. Чему равна площадь трапеции?
1) 80 см2 2) 40 см2 3) 20 см2 4) 30 см2 Ответ: 2.
А4. Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны и равны 14 см и 16 см. Чему равна площадь трапеции?
1) 168 см2 2) 224 см2 3) 56 см2 4) 112 см2 Ответ: 4.
В1. В равнобедренной трапеции высота, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на два отрезка, больший из которых равен 18 см. Найдите площадь трапеции, если ее высота равна 12 см.
Ответ: 216 см2.
В2. В равнобедренной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны, высота трапеции равна 14 см. Найдите площадь трапеции.
Ответ: 196 см2.
С1. Высота трапеции равна меньшему основанию и в два раза меньше большего основания. Найдите высоту трапеции, если ее площадь равна 54 см2.
Ответ: 6 см.
С2. В трапеции ABCD BC и AD — основания, ВС : AD = 4 : 5. Площадь треугольника ACD равна 35 см2. Найдите площадь трапеции.
Ответ: 63 см2.
ТЕМА: ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
ВАРИАНТ 1
А1. В прямоугольном треугольнике катеты равны 6 см и 8 см. Чему равна его гипотенуза?
1) 9 см
2) 10 см
3) 11 см
4) 12 см
Ответ: 2.
А2. В прямоугольнике ABCD смежные стороны относятся как 12 : 5, а его диагональ равна 26 см. Чему равна меньшая сторона прямоугольника?
1) 24 см
2) 20 см
3) 16 см
4) 10 см
Ответ: 4.
А3. Один из внешних углов прямоугольного треугольника равен 135°, а его гипотенуза — 4√2 см. Чему равны катеты данного треугольника?
1) 4 см и 4 см
2) 2 см и 2 см
3) 3 см и 3 см
4) 4√2 см и 4√2 см
Ответ: 1.
А4. Диагонали ромба равны 24 см и 18 см. Чему равна сторона ромба?
1) 21 см
2) 30 см
3) 15 см
4) 20 см
Ответ: 3.
В1. Большая диагональ прямоугольной трапеции равна 25 см, а большее основание — 24 см. Найдите площадь трапеции, если ее меньшее основание равно 8 см.
Ответ: 112 см2.
В2. Основания равнобедренной трапеции равны 10 см и 26 см, а боковая сторона равна 17 см. Найдите площадь трапеции.
Ответ: 270 см2.
С1. В параллелограмме ABCD BD = 2√41 см, АС = 26 см, AD = 16 см. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма О проведена прямая, перпендикулярная стороне ВС. Найдите отрезки, на которые эта прямая разделила сторону AD.
Ответ: 4 см; 12 см.
А1. В прямоугольном треугольнике катеты равны 12 см и 5 см. Чему равна его гипотенуза?
1) 14 см
2) 11 см
3) 13 см
4) 12 см
Ответ: 3.
А2. В прямоугольнике ABCD смежные стороны относятся как 3 : 4, а его диагональ равна 20 см. Чему равна большая сторона прямоугольника?
1) 16 см
2) 12 см
3) 14 см
4) 15 см
Ответ: 1.
А3. Один из внешних углов прямоугольного треугольника равен 135°, а его гипотенуза — 5√2 см. Чему равны катеты данного треугольника?
1) 4 см и 4 см
2) 5 см и 5 см
3) 3 см и 3 см
4) 5√2 см и 5√2 см
Ответ: 2.
А4. Диагонали ромба равны 12 см и 16 см. Чему равна сторона ромба?
1) 10 см
2) 20 см
3) 15 см
4) 14 см
Ответ: 1.
В1. Большая диагональ прямоугольной трапеции равна 17 см, а большее основание — 15 см. Найдите площадь трапеции, если ее меньшее основание равно 9 см.
Ответ: 96 см2.
В2. Основания равнобедренной трапеции равны 10 см и 24 см, а боковая сторона равна 25 см. Найдите площадь трапеции.
Ответ: 408 см2.
С1. Две окружности радиусов 13 см и 15 см пересекаются. Расстояние между их центрами О1 и О2 равно 14 см. Общая хорда этих окружностей АВ пересекает отрезок О1О2 в точке К. Найдите О1К и КО2 (О1 — центр окружности радиуса 13 см).
Ответ: О1К = 5 см; КО2 = 9 см.
ОБОБЩЕНИЕ ТЕМЫ «ПЛОЩАДЬ»
ВАРИАНТ 1
А1. Сторона ромба равна 5 см, а одна из его диагоналей — 6 см. Чему равна площадь ромба?
1) 30 см2 2) 24 см2 3) 15 см2 4) 12 см2 Ответ: 2.
А2. Биссектриса угла А прямоугольника ABCD пересекает сторону ВС в точке Е так, что ВЕ = 4,5 см, СЕ = 5,5 см. Чему равна площадь прямоугольника?
1) 55 см2 2) 100 см2 3) 110 см2 4) 45 см2 Ответ: 4.
А3. Чему равна площадь ромба со стороной 8 см и углом, равным 60°?
1) 32 см2 2) 32√3 см2 3) 38 см2 4) 16√3 см2 Ответ: 2.
А4. Чему равна площадь прямоугольного треугольника с гипотенузой 26 см, один из катетов которого равен 24 см?
1) 120 см2 2) 60 см2 3) 312 см2 4) 240 см2 Ответ: 1.
А5. Одна из сторон треугольника равна 16 см, а высота, проведенная к ней, — 9 см. Чему равна высота, проведенная к стороне треугольника, равной 24 см?
1) 5 см
2) 12 см
3) 13 см
4) 6 см
Ответ: 4.
А6. Площадь квадрата равна 48 см2. Чему равен периметр данного квадрата?
1) 12√3 см
2) 8√3 см
3) 16√3 см
4) 144 см
Ответ: 3.
А7. Площадь ромба равна 36 см2, а одна из его диагоналей в два раза меньше другой. Чему равна сторона ромба?
1) 3 см
2) 3√5 см
3) 3√3 см
4) 3√2 см
Ответ: 2.
В1. В трапеции ABCD угол А = 60°, угол D = 45°, основание ВС равно 3 см, BF и СЕ — высоты трапеции, ED = 4 см. Найдите площадь трапеции.
Ответ: SABCD = 4(5 + 2√3/3)см2.
В2. В треугольнике АВС биссектриса AD равна 7 см, АВ = 6 см, АС = 8 см. Найдите SABD : SACD.
Ответ: SABD : SACD = 3 : 4.
В3. В трапеции ABCD основания ВС и AD равны 8 см и 12 см, диагональ АС равна 40 см и пересекает диагональ BD в точке О. Найдите разность АО и СО.
Ответ: 8 см.
С1. В параллелограмме ABCD диагональ BD перпендикулярна стороне АВ, один из углов параллелограмма равен 120°, AD = 12 см, О — точка пересечения диагоналей. Найдите диагонали параллелограмма и площадь треугольника CDO.
Ответ: АС = 6√7; BD = 6√3 см; SCDO = 9√3 см2.
С2. В прямоугольной трапеции ABCD меньшее основание равно меньшей боковой стороне. Диагональ, проведенная из вершины тупого угла, перпендикулярна большей боковой стороне, равной 8√2 см. Найдите периметр и площадь трапеции.
Ответ: PABCD = 8(4 + √2) см; S = 96 см2.
А1. Чему равна площадь квадрата со стороной 5√2 см?
1) 50 см2 2) 25 см2 3) 75 см2 4) 100 см2 Ответ: 1.
А2. Биссектриса угла В прямоугольника ABCD пересекает сторону AD в точке К так, что АК = 6,5 см, KD = 3,5 см. Чему равна площадь прямоугольника?
1) 35 см2 2) 100 см2 3) 65 см2 4) 32,5 см2 Ответ: 3.
А3. Чему равна площадь ромба со стороной 10 см и углом, равным 60°?
1) 50 см2 2) 50√3 см2 3) 100 см2 4) 25√3 см2 Ответ: 2.
А4. Чему равна площадь равнобедренной трапеции с основаниями 10 см и 16 см и боковой стороной 5 см?
1) 104 см2 2) 52 см2 3) 42 см2 4) 65 см2 Ответ: 2.
А5. Одна из сторон параллелограмма равна 14 см, а высота, проведенная к ней, — 12 см. Чему равна высота, проведенная к смежной стороне, равной 21 см?
1) 8 см
2) 12 см
3) 10 см
4) 19 см
Ответ: 1.
А6. Периметр квадрата равен 20√2 см. Чему равна площадь данного квадрата?
1) 200 см2 2) 25 см2 3) 100 см2 4) 50 см2 Ответ: 4.
А7. Площадь прямоугольника равна 24 см2, а его стороны относятся как 2 : 3. Чему равна диагональ прямоугольника?
1) √13 см
2) 3√13 см
3) 2√13 см
4) 13 см
Ответ: 3.
В1. В трапеции ABCD угол А = 60°, угол D = 45°, основание ВС равно 5 см, BF и СЕ — высоты трапеции, ED = 4 см. Найдите площадь трапеции.
Ответ: SABCD = 4(7 + 2√3/3) см2.
В2. В треугольнике АВС биссектриса АН равна 8 см, АВ = 6 см, АС = 9 см. Найдите SABH : SACH.
Ответ: 2 : 3.
В3. В параллелограмме MNKP диагональ МК равна 20 см. Точки В и С — середины сторон NK и КР соответственно. Отрезок ВС пересекает диагональ МК в точке Е. Найдите разность МЕ и ЕК.
Ответ: 10 см.
С1. В треугольнике АВС через точку пересечения медиан проведена прямая, параллельная стороне АС и пересекающая стороны АВ и ВС в точках К и Е соответственно. Найдите АС, если КЕ = 12 см. Найдите площадь треугольника ВКЕ, если площадь треугольника АВС = 72 см2.
Ответ: АС = 18 см; SBKE = 32 см2.
С2. В равнобедренной трапеции MNKP диагональ МК является биссектрисой угла при нижнем основании МР. Меньшее основание NK равно 8 см. Найдите площадь трапеции, если один из углов в два раза меньше другого. В каком отношении высота КЕ делит основание МР?
Ответ: SMNKP = 48√3 см2; МЕ : ЕР = 3 : 1.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ТЕСТ ПО ГЕОМЕТРИИ
8 КЛАСС
ТЕМА: ПЛОЩАДЬ
А1. Выберите верное утверждение:
1) если два многоугольника имеют равные площади, то они равны
2) если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников
3) квадратный сантиметр — это фигура, стороны которой равны 1 см
4) площадь квадрата равна произведению его сторон
Ответ: 2.
А2. Высотой трапеции называется:
1) перпендикуляр, проведенный к его основанию
2) отрезок, пересекающий основание трапеции под прямым углом
3) перпендикуляр, опущенный из вершины трапеции
4) перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание
Ответ: 4.
А3. Если высоты двух треугольников равны, то:
1) их площади относятся как основания
2) их площади равны
3) эти треугольники равны
4) основания, к которым они проведены, равны
Ответ: 1.
А4. Площадь параллелограмма равна:
1) произведению стороны параллелограмма на высоту
2) произведению его основания на высоту, проведенную к данному основанию
3) половине произведения его основания на высоту, проведенную к данному основанию
4) произведению смежных сторон параллелограмма
Ответ: 2.
А5. Площадь прямоугольного треугольника равна:
1) произведению его катетов
2) произведению его гипотенузы на один из его катетов
3) половине произведения его катетов
4) произведению стороны на высоту
Ответ: 3.
А6. Площадь трапеции равна:
1) произведению полусуммы оснований на половину высоты
2) произведению суммы оснований на высоту
3) произведению суммы оснований на половину высоты
4) произведению оснований и высоты
Ответ: 3.
А7. Теорема Пифагора гласит:
1) в прямоугольном треугольнике гипотенуза равна сумме катетов
2) в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов
3) в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме катетов
4) если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный
Ответ: 2.
А8. Если в треугольнике АВС АС2 = АВ2 + ВС2, то:
1) угол В прямой
2) угол С прямой
3) угол А прямой
4) угол С или угол А прямой
Ответ: 1.
А9. Египетским называется треугольник, длины сторон которого:
1) удовлетворяют теореме Пифагора
2) удовлетворяют теореме, обратной теореме Пифагора
3) равны 3, 4 и 5
4) равны целым числам
Ответ: 3.
А10. Как записывается формула Герона для вычисления площади треугольника АВС со сторонами a, b и с?
Ответ: 4.
ТЕМА: ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОДОБНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
ВАРИАНТ 1
А1. Треугольники KPF и ЕМТ подобны, причем КР : МЕ = PF : МТ = KF : ET, угол F = 30°, угол Е = 49°. Чему равен угол М?
1) 49°
2) 30°
3) 101°
4) 79°
Ответ: 3.
А2. Две сходственные стороны подобных треугольников равны 2 см и 5 см. Площадь первого треугольника 8 см2. Чему равна площадь второго треугольника?
1) 20 см2 2) 3,2 см2 3) 40 см2 4) 50 см2 Ответ: 4.
А3. Периметры подобных треугольников относятся как 2 : 3, сумма их площадей равна 260 см2. Чему равна площадь меньшего треугольника?
1) 80 см2 2) 180 см2 3) 104 см2 4) 156 см2 Ответ: 1.
А4. Биссектриса BD делит сторону АС треугольника АВС на отрезки AD и CD, равные соответственно 7 см и 10,5 см, АВ = 9 см. Чему равен периметр треугольника АВС?
1) 35 см
2) 40 см
3) 39 см
4) 32,5 см
Ответ: 2.
В1. Периметр треугольника равен 70 см, две его стороны равны 24 см и 32 см. Найдите отрезки, на которые биссектриса треугольника делит его третью сторону.
Ответ: 6 см; 8 см.
В2. Диагональ АС делит трапецию ABCD на два подобных треугольника АВС и DCA. Основания трапеции ВС = 8 см, AD = 18 см. Найдите длину диагонали АС.
Ответ: 12 см.
С1. В равнобедренном треугольнике точка Е — середина основания АС, а точка К делит сторону ВС в отношении 2 : 5, считая от вершины С. Найдите отношение, в котором прямая ВЕ делит отрезок АК.
Ответ: 7 : 5, считая от вершины А.
А1. Треугольники АВС и МКЕ подобны, причем АВ : КМ = ВС : ЕК = АС : ЕМ, угол А = 40°, угол Е = 56°. Чему равен угол В?
1) 84°
2) 40°
3) 96°
4) 56°
Ответ: 1.
А2. Площади двух подобных треугольников равны 16 см2 и 25 см2. Одна из сторон первого треугольника равна 2 см. Чему равна сходственная ей сторона другого треугольника?
1) 2,5 см
2) 1,6 см
3) 3,125 см
4) 1,28 см
Ответ: 1.
А3. Площади двух подобных треугольников равны 50 дм2 и 32 дм2, сумма их периметров равна 117 дм. Чему равен периметр большего треугольника?
1) 52 см
2) 71 см
3) 46 см
4) 65 см
Ответ: 4.
А4. Биссектриса BD делит сторону АС треугольника АВС на отрезки AD и CD, равные соответственно 6 см и 9 см, АВ = 8 см. Чему равен периметр треугольника АВС?
1) 35 см
2) 34 см
3) 33 см
4) 36 см
Ответ: 1.
В1. Периметр треугольника равен 40 см, две его стороны равны 15 см и 9 см. Найдите отрезки, на которые биссектриса треугольника делит его третью сторону.
Ответ: 10 см; 6 см.
В2. Диагональ АС делит трапецию ABCD на два подобных треугольника АВС и DCA. Основания трапеции ВС = 5 см, AD = 20 см. Найдите длину диагонали АС.
Ответ: 10 см.
С1. В равнобедренном треугольнике точка Е — середина основания АС, а точка К делит сторону ВС в отношении 3 : 7, считая от вершины С. Найдите отношение, в котором прямая ВЕ делит отрезок АК.
Ответ: 10 : 7, считая от вершины А.
ТЕМА: ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
ВАРИАНТ 1
А1. АВ и CD пересекаются в точке О, АО = 12 см, ВО = 4 см, СО = 30 см, DO = 10 см. Угол DOB = 52°, угол DBO = 61°. Чему равен угол АСО?
1) 61°
2) 52°
3) 67°
4) 57°
Ответ: 3.
А2. Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках Е и К соответственно, ВЕ = 8 см, АВ = 12 см, ВК = 6 см, ВС = 9 см, ЕК = 10 см. Чему равна сторона АС?
1) 13 см
2) 15 см
3) 14 см
4) 16 см
Ответ: 2.
А3. В прямоугольном треугольнике АВС угол А = 40°, угол В = 90°, а в треугольнике MNK углы M, N, K относятся как 5 : 9 : 4, АВ = 3 см, KN = 9 см. Чему равно отношение ВС к NM?
1) 1 : 3
2) 3 : 1
3) 1 : 2
4) 2 : 1
Ответ: 1.
А4. Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках М и Н соответственно, МВ = 2 см, АМ = 14 см, МН = 4 см. Чему равна длина стороны АС?
1) 30 см
2) 4 см
3) 28 см
4) 32 см
Ответ: 4.
В1. Диагонали трапеции ABCD с основаниями AD и ВС пересекаются в точке О. Периметры треугольников ВОС и AOD относятся как 2 : 3, АС = 20. Найдите длины отрезков АО и ОС.
Ответ: АО = 12 см; ОС = 8 см.
С1. Диагональ АС трапеции ABCD (АВ и CD — параллельны) делит ее на два подобных треугольника. Найдите площадь трапеции ABCD, если АВ = 25 см, ВС = 20 см, АС = 15 см.
Ответ: 204 см2.
А1. Продолжения боковых сторон АВ и CD трапеции ABCD пересекаются в точке О, AD = 5 см, ВС = 2 см, АО = 25 см. Чему равен отрезок ВО?
1) 15 см
2) 5 см
3) 20 см
4) 10 см
Ответ: 4.
А2. Прямая, параллельная стороне MN треугольника MNK, пересекает стороны КМ и KN в точках Е и F соответственно, КЕ = 6 см, КМ = 10 см, KF = 9 см, KN = 15 см, MN = 20 см. Чему равна сторона EF?
1) 14 см
2) 16 см
3) 12 см
4) 15 см
Ответ: 3.
А3. В прямоугольном треугольнике АВС угол А = 40°, угол В = 90°, в треугольнике MNK углы M, N, K относятся как 5 : 9 : 4, ВС = 10 см, NM = 15 см. Чему равно отношение АС к КМ?
1) 3 : 2
2) 2 : 3
3) 2 : 5
4) 3 : 5
Ответ: 2.
А4. В треугольнике АВС сторона ВС = 30 см. На стороне АВ отложен отрезок AD = 6 см, а на стороне АС — отрезок АЕ = 8 см. Чему равна длина отрезка DE, если BD = 9 см, СЕ = 12 см?
1) 12 см
2) 20 см
3) 15 см
4) 18 см
Ответ: 1.
В1. Диагонали трапеции ABCD с основаниями AD и ВС пересекаются в точке О. Периметры треугольников ВОС и AOD относятся как 3 : 5, BD = 24. Найдите длины отрезков ВО и OD.
Ответ: ВО = 9 см; OD = 15 см.
С1. Основания трапеции равны 9 см и 6 см, а высота равна 10 см. Найдите разность расстояний от точки пересечения диагоналей трапеции до ее оснований.
Ответ: 2 см.
ТЕМА: ПРИМЕНЕНИЕ ПОДОБИЯ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ
ВАРИАНТ 1
А1. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отмечены точки К и Е так, что АК = КВ, ВЕ = СЕ, КЕ = 6 см. Чему равна длина стороны АС?
1) 3 см
2) 6 см
3) 12 см
4) 9 см
Ответ: 3.
А2. Точки К, Р и Е — середины сторон АВ, ВС и АС треугольника АВС. Периметр треугольника АВС равен 24 см. Чему равен периметр треугольника КРЕ?
1) 12 см
2) 48 см
3) 24 см
4) 6 см
Ответ: 1.
А3. Высота, проведенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, делит гипотенузу на отрезки, равные 5 см и 15 см. Чему равен меньший катет треугольника?
1) 25 см
2) 10 см
3) 12,5 см
4) 5√3
Ответ: 2.
А4. В прямоугольном треугольнике АВС угол С = 90°, CD — высота треугольника, АС = 5 см, СВ = 10 см. Чему равно отношение площадей треугольников ACD и CDB?
1) 1 : 4
2) 1 : 2
3) 4 : 1
4) 2 : 1
Ответ: 1.
В1. Диагональ трапеции делит ее среднюю линию на два отрезка так, что один из них на 4 см больше другого. Найдите основания трапеции, если средняя линия равна 14 см.
Ответ: 10 см; 18 см.
В2. В прямоугольном треугольнике АВС (угол С = 90°) проведена высота CD так, что длина отрезка BD на 4 см больше длины отрезка CD, AD = 9 см. Найдите стороны треугольника АВС.
Ответ: АВ = 25 см; АС = 15 см; ВС = 20 см.
С1. Найдите расстояния от точки пересечения медиан до сторон в треугольнике со сторонами 15 см, 15 см и 24 см.
Ответ: 3 см; 4,8 см; 4,8 см.
А1. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отмечены точки М и Р так, что АМ = МВ, ВР = СР, АС = 14 см. Чему равен отрезок МР?
1) 21 см
2) 28 см
3) 14 см
4) 7 см
Ответ: 4.
А2. Точки М, К и F — середины сторон АВ, ВС и АС треугольника АВС. Периметр треугольника MKF равен 16 см. Чему равен периметр треугольника АВС?
1) 64 см
2) 32 см
3) 24 см
4) 8 см
Ответ: 2.
А3. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла С проведена высота СН. Чему равен отрезок ВН, если АС = 6 см, АН = 4 см?
1) 1 см
2) 18 см
3) 3 см
4) 16 см
Ответ: 4.
А4. В прямоугольном треугольнике АВС угол С = 90°, CD — высота треугольника, АС = 4 см, СВ = 12 см. Чему равно отношение площадей треугольников ACD и CDB?
1) 1 : 3
2) 1 : 9
3) 3 : 1
4) 9 : 1
Ответ: 2.
В1. Диагональ трапеции делит ее среднюю линию на два отрезка так, что один из них в 2 раза больше другого. Найдите основания трапеции, если средняя линия равна 18 см.
Ответ: 12 см; 24 см.
В2. Высота, проведенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, равна 6 см и делит гипотенузу на отрезки, один из которых больше другого на 5 см. Найдите стороны треугольника.
Ответ: 13 см; 3√13 см; 2√13 см.
С1. Расстояния от точки пересечения медиан равнобедренного треугольника до сторон равны 8 см, 8 см и 5 см. Найдите стороны треугольника.
Ответ: 25 см; 25 см; 40 см.
ТЕМА: СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ
ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
ВАРИАНТ 1
А1. В треугольнике АВС угол С = 90°, угол А = 41°, ВС = 5 см. Найдите длину АС.
1) 5 · cos41°
2) 5 : tg41°
3) 5 · tg41°
4) 5 : sin41°
Ответ: 2.
А2. sin α = 5/13. Найдите tg α.
1) 5/12
2) 12/13
3) 12/5
4) 13/12
Ответ: 1.
А3. В треугольнике КСР (КС = СР) угол С = 68°, КС = 12 см. Найдите длину КР.
1) 12 · cos34°
2) 6 · cos34°
3) 24 · sin34°
4) 24 : sin34°
Ответ: 3.
А4. Вычислите значение выражения sin260° − 3tg45°.
1) −2,25
2) −1,25
3) −0,75
4) −1,5
Ответ: 1.
В1. В треугольнике АВС угол С = 90°, CD — высота, угол А = α, АВ = k. Найдите длины АС, ВС, AD.
Ответ: АС = k · cosα; BC = k · sinα; AD = k · cos2α.
В2. Стороны параллелограмма равны 4 см и 5 см, угол между ними 45°. Найдите высоты параллелограмма.
Ответ: 2√2 см; 2,5√2 см.
С1. В прямоугольной трапеции меньшее основание равно 6, а меньшая боковая сторона — 2√3. Найдите площадь трапеции, если один из ее углов равен 120°.
Ответ: 14√3 см2.
С2. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) угол А = 30°. Найдите высоту, опущенную к основанию, если AD = 20 см (D принадлежит прямой АВ, а CD перпендикулярен АВ).
Ответ: 20/3 см.
А1. В треугольнике АВС угол С = 90°, угол В = 49°, ВС = 9 см. Найдите длину АС.
1) 9 : tg49°
2) 9 · cos49°
3) 9 : sin49°
4) 9 · tg49°
Ответ: 4.
А2. cos α = 8/17. Найдите tg α.
1) 9/8
2) 15/8
3) 8/15
4) 8/9
Ответ: 2.
А3. В треугольнике CDE (CD = DE) угол D = 78°, СЕ = 16 см. Найдите длину CD.
1) 8 · sin39°
2) 16 : sin78°
3) 8 · cos51°
4) 8 : sin39°
Ответ: 4.
А4. Вычислите значение выражения cos245° − 4sin30°.
1) −2
2) −3
3) −1,5
4) −2,5
Ответ: 3.
В1. В треугольнике MNP угол Р = 90°, РК — высота, угол N = β, PN = b. Найдите длины MN, MP, KN.
Ответ: MN = b : cosβ; MP = b · tgβ; KN = b · cosβ.
В2. Стороны параллелограмма равны 6 см и 7 см, угол между ними 60°. Найдите высоты параллелограмма.
Ответ: 3√3 см; 3,5√3 см.
С1. В равнобедренной трапеции меньшее основание равно 8, а высота — √3. Найдите площадь трапеции, если один из ее углов равен 150°.
Ответ: 11√3 см2.
С2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС угол при вершине равен 120°, CD — высота. Найдите длину AD, если высота, проведенная к основанию, равна 10 см.
Ответ: 30 см.
ОБОБЩЕНИЕ ТЕМЫ: ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ
ВАРИАНТ 1
А1. ΔАВС подобен ΔА1В1С1, АВ = 4 см, ВС = 6 см, АС = 7 см, А1В1 = 8 см. Чему равна сторона В1С1?
1) 3 см
2) 12 см
3) 3,5 см
4) 14 см
Ответ: 2.
А2. ΔАВС подобен ΔА1В1С1, АВ/А1В1 = 3/5, SABC = 90 см2. Чему равна площадь треугольника А1В1С1?
1) 250 см2 2) 150 см2 3) 54 см2 4) 32,4 см2 Ответ: 1.
А3. В трапеции ABCD BC и AD — основания, ВС = 3 см. DO : OB = 4 : 3, О — точка пересечения диагоналей. Чему равна длина основания AD?
1) 9/4 см
2) 9/7 см
3) 3 см
4) 4 см
Ответ: 4.
А4. Если sin α = 1/2, то:
1) cos α = √2/2; tg α = 1
2) cos α = 1/2; tg α = √3
3) cos α = √2/2; tg α = √3
4) cos α = √3/2; tg α = √3/3
Ответ: 4.
А5. Высота, проведенная к гипотенузе АС прямоугольного треугольника АВС, делит ее на отрезки, равные 25 см и 9 см. Чему равен больший катет треугольника АВС?
1) 5√34 см
2) 15 см
3) 3√34 см
4) 30 см
Ответ: 1.
А6. Отношение периметров подобных треугольников равно 3/5. Чему равно отношение их площадей?
1) 25/9
2) 9/25
3) 3/5
4) 5/3
Ответ: 2.
А7. Если в треугольнике угол В прямой, ВС = 3 см, АВ = 4 см, угол А = α, то:
1) sin α = 0,8; cos α = 0,6; tg α = 0,75
2) sin α = 0,75; cos α = 0,8; tg α = 0,6
3) sin α = 0,6; cos α = 0,8; tg α = 0,75
4) sin α =0,75; cos α = 0,6; tg α = 0,8
Ответ: 3.
В1. Прямая пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках М и К соответственно так, что МК и АС — параллельны, ВМ : АМ = 1 : 4. Найдите периметр треугольника ВМК, если периметр треугольника АВС равен 25 см.
Ответ: 5 см.
В2. Медианы треугольника АВС пересекаются в точке О. Через точку О проведена прямая, параллельная стороне АС и пересекающая стороны АВ и ВС в точках E и F соответственно. Найдите длину EF, если сторона АС равна 15 см.
Ответ: 10 см.
В3. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС медианы пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АВС, если ОА = 13 см, ОВ = 10 см.
Ответ: 180 см2.
С1. В трапеции ABCD (AD и ВС — основания) диагонали пересекаются в точке О, AD = 12 см, ВС = 4 см. Найдите площадь треугольника ВОС, если площадь треугольника AOD равна 45 см2.
Ответ: 5 см2.
С2. В трапеции ABCD продолжения боковых сторон пересекаются в точке К, причем точка В — середина отрезка АК. Найдите сумму оснований трапеции, если AD = 12 см.
Ответ: 18 см.
А1. Треугольник АВС подобен треугольнику А1В1С1, АВ = 5 см, ВС = 7 см, АС = 8 см, А1В1 = 15 см. Чему равна сторона В1С1?
1) 16 см
2) 24 см
3) 21 см
4) 14 см
Ответ: 3.
А2. Треугольник АВС подобен треугольнику А1В1С1, АВ/А1В1 = 3/5, SABC = 27 см2. Чему равна площадь треугольника А1В1С1?
1) 45 см2 2) 16,2 см2 3) 9,72 см2 4) 75 см2 Ответ: 4.
А3. Диагонали ромба равны 4 см и 4√3 см. Чему равны его углы?
1) 30°, 150°, 30°, 150°
2) 45°, 135°, 45°, 135°
3) 75°, 105°, 75°, 105°
4) 60°, 120°, 60°, 120°
Ответ: 4.
А4. Если cos α = 1/2, то:
1) sin α = √2/2; tg α = √2
2) sin α = √3/2; tg α = √3
3) sin α = √3/2; tg α = √3/3
4) sin α = 1/2; tg α = 1
Ответ: 2.
А5. Высота, проведенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, делит гипотенузу на отрезки, равные 25 см и 7 см. Чему равна эта высота?
1) 15 см
2) 5√7 см
3) 16 см
4) 4√2 см
Ответ: 2.
А6. Отношение площадей подобных треугольников равно 16/9. Чему равно отношение их периметров?
1) 16/9
2) 9/16
3) 4/3
4) 3/4
Ответ: 3.
А7. Если в треугольнике угол С прямой, ВС = 5 см, АС = 12 см, угол А = α, то:
1) sin α = 5/13; cos α = 12/13; tg α = 5/12
2) sin α = 5/13; cos α = 12/13; tg α = 12/5
3) sin α = 12/13; cos α = 5/13; tg α = 12/5
4) sin α = 12/13; cos α = 12/13; tg α = 12/5
Ответ: 1.
В1. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О так, что угол АСО = углу BDO, АО : ОВ = 2 : 3. Найдите периметр треугольника АСО, если периметр треугольника BOD равен 21 см.
Ответ: 14 см.
В2. Медианы треугольника MNK пересекаются в точке О. Через точку О проведена прямая, параллельная стороне МК и пересекающая стороны MN и NK в точках А и В соответственно. Найдите длину МК, если длина отрезка АВ равна 12 см.
Ответ: 18 см.
В3. В прямоугольном треугольнике АВС (угол С = 90°) медианы пересекаются в точке О, ОВ = 10 см, ВС = 12 см. Найдите гипотенузу треугольника.
Ответ: 6√13 см.
С1. В трапеции ABCD (AD и ВС — основания) диагонали пересекаются в точке О, SAOD = 32 см2, SBOC = 8 см2. Найдите меньшее основание трапеции, если большее равно 10 см.
Ответ: 5 см.
С2. В трапеции MNKP продолжения боковых сторон пересекаются в точке Е, причем К — середина отрезка ЕР. Найдите разность оснований трапеции, если NK = 7 см.
Ответ: 7 см.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ТЕСТ ПО ГЕОМЕТРИИ
8 КЛАСС
ТЕМА: ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ
А1. Отрезки АВ и СК пропорциональны отрезкам МР и ЕО, если:
1) АВ : МР = СК : ЕО
2) АВ : СК = ЕО : МР
3) АВ : ЕО = СК : МР
4) АВ : МР = ЕО : СК
Ответ: 1.
А2. Два треугольника называются подобными, если:
1) углы и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным углам и сторонам другого
2) стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого
3) их углы равны
4) их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого
Ответ: 4.
А3. Если два треугольника подобны, то:
1) отношение их сходственных сторон равно квадрату коэффициента подобия
2) отношение их периметров равно квадрату коэффициента подобия
3) отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия
4) отношение их сходственных углов равно квадрату коэффициента подобия
Ответ: 3.
А4. Какой из признаков подобия треугольников соответствует формулировке — если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны:
1) третий признак подобия треугольников
2) первый признак подобия треугольников
3) второй признак подобия треугольников
4) ни один не соответствует
Ответ: 2.
А5. Если треугольники АВС и МРК подобны, причем АВ : МР = ВС : РК, угол В = углу Р, то:
1) АС : РК = ВС : МК
2) АВ : РМ = АС : МК
3) АВ : МР = МК : АС
4) ВС : РК = АС : РМ
Ответ: 2.
А6. Средней линией треугольника называется:
1) прямая, проходящая через середины его сторон
2) отрезок, соединяющий точки, лежащие на его сторонах
3) отрезок, соединяющий середины двух его сторон
4) отрезок, равный половине его стороны
Ответ: 3.
А7. Выберите верное утверждение:
1) точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины
2) точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 1 : 2, считая от вершины
3) медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам
4) точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2 : 1
Ответ: 1.
А8. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла:
1) есть среднее арифметическое между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой
2) есть среднее геометрическое между катетом и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой
3) есть среднее арифметическое между катетом и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой
4) есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой
Ответ: 4.
А9. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С:
1) sin A = BC/AB; cos A = AC/AB; tg A = AC/BC
2) sin A = BC/AB; cos A = AC/AB; tg A = BC/AC
3) sin A = AC/AB; cos A = BC/AB; tg A = BC/AC
4) sin A = AC/AB; cos A = BC/AB; tg A = AC/BC
Ответ: 2.
А10. Исходя из основного тригонометрического тождества:
1) sin2A = 1 − cos2A
2) cos2A = sin2A − 1
3) sinA = 1 − cosA 4) sin2A − cos2A = 1
Ответ: 1.
ТЕМА: КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ
ВАРИАНТ 1
А1. АВ и ВС — отрезки касательных, проведенных из точки В к окружности с центром О. ОА = 16 см, а радиусы, проведенные к точкам касания, образуют угол, равный 120°. Чему равен отрезок ОВ?
1) 8 см
2) 16 см
3) 32 см
4) 24 см
Ответ: 3.
А2. Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса 4 см в точке А так, что ОВ = 4√2 см. Чему равен отрезок АВ?
1) 2√2 см
2) 2 см
3) 4√2 см
4) 4 см
Ответ: 4.
А3. АВ и ВС — отрезки касательных, проведенных из точки В к окружности с центром О. ОВ = 10, АО = 5. Чему равен угол АОС?
1) 120°
2) 60°
3) 45°
4) 90°
Ответ: 1.
А4. Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса 6 см. Известно, что АВ = 16 см, АО = ОВ. Чему равна длина АО?
1) 9 см
2) 6 см
3) 8 см
4) 10 см
Ответ: 4.
В1. Стороны АВ, ВС и АС треугольника АВС касаются окружности с центром О в точках М, К и Р соответственно так, что ВМ = 4 см, КС = 6 см, АР = 8 см. Найдите периметр треугольника АВС.
Ответ: 36 см.
В2. АВ и ВС — отрезки касательных, проведенных к окружности с центром О радиуса 10 см. Найдите периметр четырехугольника АВСО, если угол АОС равен 120°.
Ответ: 20 + 20√3 см.
С1. Угол между диаметром АВ и хордой АС равен 30°. Через точку С проведена касательная, пересекающая прямую АВ в точке К. Найдите радиус окружности, если СК = 4 см.
Ответ: 4√3/3 см.
А1. Отрезки касательных АВ и ВС, проведенных из точки В к окружности с центром О, образуют угол, равный 60°, ОВ = 28 см. Чему равен отрезок АО?
1) 28 см
2) 42 см
3) 56 см
4) 14 см
Ответ: 4.
А2. Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса 2 см в точке А так, что ОА = АВ. Чему равен отрезок ОВ?
1) 2√2 см
2) 2 см
3) 3√2 см
4) 4 см
Ответ: 1.
А3. АВ и ВС — отрезки касательных, проведенных из точки В к окружности с центром О. АВ = 6, ВО = 12. Чему равен угол АВС?
1) 30°
2) 120°
3) 60°
4) 90°
Ответ: 2.
А4. Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса 5 см. Известно, что АО = ОВ = 13 см. Чему равна длина АВ?
1) 24 см
2) 12 см
3) 26 см
4) 10 см
Ответ: 1.
В1. Стороны АВ, ВС и АС треугольника АВС касаются окружности с центром О в точках М, К и Р соответственно так, что ВМ = 5 см, РС = 7 см, а периметр треугольника АВС равен 32 см. Найдите длину стороны АС.
Ответ: 11 см.
В2. АВ и ВС — отрезки касательных, проведенных к окружности с центром О радиуса 6 см. Найдите периметр четырехугольника АВСО, если угол АВС равен 60°.
Ответ: 12 + 12√3 см.
С1. Угол между диаметром АВ и хордой АС равен 30°. Через точку С проведена касательная, пересекающая прямую АВ в точке Е. Найдите СЕ, если радиус окружности равен 6 см.
Ответ: 6√3 см.
ТЕМА: ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ
ВАРИАНТ 1
А1. Вершины треугольника АВС лежат на окружности, угол А = 70°, угол С = 30°. Чему равна градусная мера наименьшей из дуг АС?
1) 60°
2) 140°
3) 100°
4) 160°
Ответ: 4.
А2. Точки А, В, С лежат на окружности с центром в точке О. Дуга АВ относится к дуге АС как 2 : 3, дуга АВ
1) 75°
2) 150°
3) 110°
4) 100°
Ответ: 2.
А3. Хорды АВ и CD пересекаются в точке Е. АЕ = 4 см, ВЕ = 9 см, СЕ = 12 см. Найдите длину DE.
1) 7 см
2) 6 см
3) 3 см
4) 27 см
Ответ: 3.
А4. Через точку А проведены касательная АВ (В — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках С и К так, что АС = 4 см, АК = 16 см. Найдите длину АВ.
1) 8 см
2) 16 см
3) 24 см
4) 10 см
Ответ: 1.
В1. Точки А, В, С и К лежат на окружности так, что АК — диаметр, угол СКВ = 25°, угол САК = 20°. Найдите величину угла АКВ.
Ответ: 45°.
В2. Хорды АВ и CD пересекаются в точке К. Найдите длину CD, если АК = 4 см, ВК = 15 см, а длина СК на 7 см меньше длины DK.
Ответ: 17 см.
С1. Окружность касается сторон АВ, ВС, АС треугольника АВС в точках M, N, K соответственно. Найдите градусную меру дуги МК, если угол АВС = 62°, угол АСВ = 68°.
Ответ: Дуга МК = 130° или дуга МК = 230°.
С2. Точка С делит хорду АВ на отрезки 12 см и 16 см. Найдите диаметр окружности, если расстояние от точки С до центра окружности равно 8 см.
Ответ: 32 см.
А1. Вершины треугольника АВС лежат на окружности, угол А = 50°, угол В = 45°. Чему равна градусная мера наименьшей из дуг АВ?
1) 100°
2) 170°
3) 90°
4) 95°
Ответ: 2.
А2. Точки А, В, С лежат на окружности с центром в точке О. Дуга ВС относится к дуге АС как 3 : 4, дуга АВ
1) 160°
2) 60°
3) 120°
4) 80°
Ответ: 3.
А3. Хорды АВ и CD пересекаются в точке К. АК = 6 см, ВК = 8 см, СК = 4 см. Найдите длину DK.
1) 12 см
2) 3 см
3) 5,3 см
4) 6 см
Ответ: 1.
А4. Через точку А проведены касательная АВ (В — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках С и Е так, что А-С-Е, АВ = 10 см, АЕ = 20 см. Найдите длину АС.
1) 10 см
2) 2 см
3) 20 см
4) 5 см
Ответ: 4.
В1. Точки А, В, С и Е лежат на окружности так, что АЕ — диаметр, угол ВАС = 50°, угол ВЕА = 10°. Найдите величину угла САЕ.
Ответ: 30°.
В2. Хорды АВ и CD пересекаются в точке Е. Найдите длину АВ, если СЕ = 8 см, DE = 9 см, а длина АЕ в два раза больше длины ВЕ.
Ответ: 18 см.
С1. Окружность касается сторон MN, NK и MK треугольника MNK в точках А, В, С соответственно. Найдите градусную меру дуги АС, если угол MNK = 72°, угол NKM = 64°.
Ответ: Дуга АС = 136° или дуга АС = 224°.
С2. Хорда АВ делится точкой С на отрезки 9 см и 12 см. Найдите расстояние от центра окружности до точки С, если диаметр окружности равен 24 см.
Ответ: 6 см.
ТЕМА: ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ОКРУЖНОСТИ
ВАРИАНТ 1
А1. В треугольнике АВС серединные перпендикуляры к сторонам АВ и ВС пересекаются в точке О, ВО = 10 см, угол АСО = 30°. Найдите расстояние от точки О до стороны АС.
1) 5 см
2) 10 см
3) 20 см
4) 15 см
Ответ: 1.
А2. В треугольнике АВС высоты АК и ВЕ пересекаются в точке О, угол САВ = 42°. Чему равен угол АВЕ?
1) 42°
2) 138°
3) 132°
4) 48°
Ответ: 4.
А3. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС высота ВК равна 3 см, а периметр треугольника АВК равен 10 см. Чему равен периметр треугольника АВС?
1) 7 см
2) 17 см
3) 14 см
4) 20 см
Ответ: 3.
А4. В равнобедренном треугольнике АВС АВ = ВС, медианы АЕ и СК пересекаются в точке М, ВМ = 6 см, АС = 10 см. Чему равна площадь треугольника АВС?
1) 90 см2 2) 45 см2 3) 60 см2 4) 120 см2 Ответ: 2.
В1. В треугольнике АВС угол В прямой, АС = 10 см, ВС = 8 см, К — середина стороны АС. Из точки К опущен перпендикуляр КЕ к стороне ВС. Найдите длину КЕ.
Ответ: 3 см.
В2. Найдите углы треугольника, если его стороны из точки пересечения серединных перпендикуляров видны под углами 100°, 140°, 120°.
Ответ: 50°, 60°, 70°.
С1. В треугольнике АВС высоты АА1 и СС1 пересекаются в точке Н. Найдите высоту, проведенную к стороне АС, если НА1 = 3 см, ВА1 = 4 см, АН = 4 см.
Ответ: 7,4 см.
А1. В треугольнике АВС серединные перпендикуляры к сторонам АВ и АС пересекаются в точке О, АО = 12 см, угол ВСО = 30°. Найдите расстояние от точки О до стороны ВС.
1) 12 см
2) 6 см
3) 18 см
4) 24 см
Ответ: 2.
А2. В треугольнике АВС высоты АР и СК пересекаются в точке О, угол САВ = 56°. Чему равен угол АСК?
1) 34°
2) 146°
3) 124°
4) 56°
Ответ: 1.
А3. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС высота ВЕ равна 5 см, а периметр треугольника АВС равен 18 см. Чему равен периметр треугольника АВЕ?
1) 23 см
2) 13 см
3) 11,5 см
4) 14 см
Ответ: 4.
А4. В равнобедренном треугольнике АВС АВ = АС, медианы ВК и СР пересекаются в точке М, АМ = 4 см, ВС = 9 см. Чему равна площадь треугольника АВС?
1) 36 см2 2) 27 см2 3) 54 см2 4) 72 см2 Ответ: 2.
В1. В треугольнике АВС угол В прямой, АВ = 12 см, ВС = 16 см, К — середина стороны АС. Из точки К опущен перпендикуляр КЕ к стороне ВС. Найдите длину КЕ.
Ответ: 6 см.
В2. Найдите углы треугольника, если его стороны из точки пересечения серединных перпендикуляров видны под углами 110°, 150°, 100°.
Ответ: 55°, 75°, 50°.
С1. В треугольнике АВС высоты АА1 и СС1 пересекаются в точке Н. Найдите высоту, проведенную к стороне АС, если НА1 = 6 см, ВА1 = 8 см, АН = 11 см.
Ответ: 16,6 см.
ТЕМА: ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ
ВАРИАНТ 1
А1. Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с точкой пересечения его:
1) медиан
2) биссектрис
3) высот
4) серединных перпендикуляров
Ответ: 2.
А2. Окружность называется описанной около многоугольника, если:
1) все его стороны касаются окружности
2) все его стороны имеют общие точки с окружностью
3) все его вершины лежат на окружности
4) все его стороны являются отрезками касательных к данной окружности
Ответ: 3.
А3. В равносторонний треугольник со стороной 8 см вписана окружность. Чему равен радиус окружности?
1) 4√3 см
2) 8 см
3) 8√3 см
4) 4√3/3 см
Ответ: 4.
А4. Четырехугольник ABCD описан около окружности. ВС = 6 см, AD = 9 см, АВ в два раза больше, чем CD. Найдите длину АВ.
1) 5 см
2) 10 см
3) 12 см
4) 18 см
Ответ: 2.
В1. Равнобедренный треугольник с основанием 8 см вписан в окружность радиуса 5 см. Найдите площадь этого треугольника, если центр окружности находится внутри треугольника.
Ответ: 32 см2.
С1. В прямоугольном треугольнике АВС (угол С = 90°) АВ = 10 см, радиус вписанной в него окружности равен 2 см. Найдите площадь этого треугольника.
Ответ: 24 см2.
А1. Центр описанной около треугольника окружности совпадает с точкой пересечения его:
1) медиан
2) биссектрис
3) высот
4) серединных перпендикуляров
Ответ: 4.
А2. Окружность называется вписанной в многоугольник, если:
1) все его стороны касаются окружности
2) все его вершины лежат на окружности
3) все его стороны имеют общие точки с окружностью
4) все его стороны являются отрезками касательных к данной окружности
Ответ: 1.
А3. В равносторонний треугольник вписана окружность радиуса 4 см. Чему равна сторона треугольника?
1) 8√3 см
2) 4√3/3 см
3) 8 см
4) 4√3 см
Ответ: 1.
А4. Четырехугольник ABCD описан около окружности. АВ = 7 см, CD = 11 см, ВС в два раза меньше AD. Найдите длину ВС.
1) 14 см
2) 12 см
3) 6 см
4) 22 см
Ответ: 3.
В1. Равнобедренный треугольник с высотой, проведенной к основанию и равной 16 см, вписан в окружность радиуса 10 см. Найдите площадь этого треугольника.
Ответ: 128 см2.
С1. В прямоугольном треугольнике АВС (угол С = 90°) АС + ВС = 17 см, радиус вписанной в него окружности равен 2 см. Найдите площадь этого треугольника.
Ответ: 30 см2.
ОБОБЩЕНИЕ ТЕМЫ «ОКРУЖНОСТЬ»
ВАРИАНТ 1
А1. Чему равен вписанный угол?
1) половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу
2) центральному углу, опирающемуся на ту же дугу
3) величине дуги, на которую он опирается
4) удвоенной величине дуги, на которую он опирается
Ответ: 1.
А2. Центром вписанной в треугольник окружности является:
1) точка пересечения высот треугольника
2) точка пересечения биссектрис треугольника
3) точка пересечения медиан треугольника
4) точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника
Ответ: 2.
А3. АВ и АС — отрезки касательных, проведенных к окружности радиуса 9 см с центром О. Если АВ = 12 см, то чему равна длина отрезка АО?
1) 12 см
2) 9 см
3) 10,5 см
4) 15 см
Ответ: 4.
А4. Вписанный угол АВС равен 70°. Чему равен центральный угол, опирающийся на дугу АС?
1) 35°
2) 70°
3) 140°
4) 290°
Ответ: 3.
А5. Хорды MN и РК пересекаются в точке Е так, что МЕ = 12 см, NE = 3 см, РЕ = КЕ. Чему равна длина отрезка РК?
1) 6 см
2) 12 см
3) 3 см
4) 9 см
Ответ: 2.
А6. Квадрат вписан в окружность диаметра 10 см. Чему равен периметр квадрата?
1) 10√2 см
2) 20√2 см
3) 20 см
4) 40 см
Ответ: 2.
А7. Треугольник АВС вписан в окружность так, что градусные меры дуг АВ и АС равны соответственно 120° и 150°. Найдите углы треугольника.
1) 45°, 60°, 75°
2) 120°, 30°, 30°
3) 75°, 30°, 75°
4) 60°, 60°, 60°
Ответ: 1.
В1. Точки А и В делят окружность с центром О на дуги АМВ и АСВ так, что дуга АСВ на 60° меньше дуги АМВ. АМ — диаметр окружности. Найдите величины углов АМВ, АВМ, АСВ.
Ответ: угол АМВ = 75°, угол АВМ = 90°, угол АСВ = 105°.
В2. Хорды АВ и CD пересекаются в точке Е так, что АЕ = 3 см, ВЕ = 36 см, СЕ : DE = 3 : 4. Найдите длину хорды CD.
Ответ: 21 см.
В3. Окружность с центром О и радиуса 16 см описана около треугольника АВС так, что угол ОАВ = 30°, угол ОСВ = 45°. Найдите длины сторон АВ и ВС треугольника.
Ответ: АВ = 16√3 см; ВС = 16√2 см.
С1. Расстояния от центра вписанной в прямоугольную трапецию окружности до концов большей боковой стороны равны 6 см и 8 см. Найдите площадь трапеции.
Ответ: 94,08 см2.
С2. В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а высота, проведенная к нему, — 12 см. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник, и радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Ответ: 31/3 см; 71/24 см.
А1. Чему равен центральный угол?
1) половине вписанного угла, опирающегося на ту же дугу
2) вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу
3) величине дуги, на которую он опирается
4) половине величины дуги, на которую он опирается
Ответ: 3.
А2. Что является центром описанной около треугольника окружности?
1) точка пересечения высот треугольника
2) точка пересечения биссектрис треугольника
3) точка пересечения медиан треугольника
4) точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника
Ответ: 4.
А3. MN и МК — отрезки касательных, проведенных к окружности с центром в точке О радиуса 5 см. Найдите длину отрезка МК, если МО = 13 см.
1) 12 см
2) 5 см
3) 13 см
4) 9 см
Ответ: 1.
А4. Центральный угол АОВ равен 130°. Чему равен наименьший из вписанных углов, опирающихся на дугу АВ?
1) 130°
2) 65°
3) 115°
4) 260°
Ответ: 2.
А5. Хорды АВ и CD пересекаются в точке F так, что AF = 4 см, BF = 16 см, CF = DF. Чему равна длина отрезка CD?
1) 8 см
2) 16 см
3) 12 см
4) 4 см
Ответ: 2.
А6. Квадрат описан около окружности радиуса 6 см. Чему равна площадь данного квадрата?
1) 36 см2 2) 72 см2 3) 108 см2 4) 144 см2 Ответ: 4.
А7. Треугольник АВС вписан в окружность так, что градусные меры дуг АВ и АС равны соответственно 100° и 140°. Найдите углы треугольника.
1) 100°, 40°, 40°
2) 140°, 20°, 20°
3) 50°, 70°, 60°
4) 80°, 40°, 60°
Ответ: 3.
В1. Точки Е и Н делят окружность с центром О на дуги ЕАН и ЕКН так, что дуга ЕКН на 80° меньше дуги ЕАН, ЕА — диаметр окружности. Найдите величины углов ЕКА, ЕАН, ЕКН.
Ответ: угол ЕКА = 90°, угол ЕАН = 70°, угол ЕКН = 110°.
В2. Хорды MN и РК пересекаются в точке А так, что МА = 3 см, NA = 16 см, РА : КА = 1 : 3. Найдите длину хорды РК.
Ответ: 16 см.
В3. Окружность с центром О радиуса 12 см описана около треугольника MNK так, что угол MON = 120°, угол NOK = 90°. Найдите длины сторон MN и NK треугольника.
Ответ: MN = 12√3 см, NK = 12√2 см.
С1. Расстояние от центра вписанной в равнобедренную трапецию окружности до концов боковой стороны равны 9 см и 12 см. Найдите площадь трапеции.
Ответ: 216 см2.
С2. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10 см, а биссектриса, проведенная к основанию, — 8 см. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник, и радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Ответ: 3 см; 6,25 см.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ТЕСТ ПО ГЕОМЕТРИИ
8 КЛАСС
ТЕМА: ОКРУЖНОСТЬ
А1. Прямая и окружность имеют две точки пересечения, если расстояние от центра окружности до прямой:
1) больше радиуса окружности
2) равно радиусу окружности
3) меньше радиуса окружности
4) не меньше радиуса окружности
Ответ: 3.
А2. Касательной к окружности называется:
1) прямая, которая пересекает окружность
2) прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку
3) прямая, имеющая с окружностью общие точки
4) отрезок, имеющий с окружностью только одну общую точку
Ответ: 2.
А3. Признак касательной к окружности гласит:
1) касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания
2) если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, то она является касательной
3) если прямая имеет с окружностью общие точки, то она является касательной
4) если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной
Ответ: 4.
А4. Центральным называется угол окружности, у которого:
1) вершина совпадает с центром окружности
2) стороны пересекают окружность
3) вершина лежит внутри окружности
4) вершина лежит на окружности
Ответ: 1.
А5. Градусная мера вписанного угла:
1) равна градусной мере центрального угла, опирающегося на ту же дугу
2) равна градусной мере дуги, на которую он опирается
3) равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается
4) вдвое больше градусной меры дуги, на которую он опирается
Ответ: 3.
А6. Выберите верное утверждение:
1) вписанный угол, опирающийся на полуокружность, развернутый
2) вписанный угол, опирающийся на полуокружность, острый
3) вписанный угол, опирающийся на полуокружность, тупой
4) вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой
Ответ: 4.
А7. Если хорды АВ и МК пересекаются в точке Е, то выполняется равенство:
1) АЕ : МЕ = ВЕ : КЕ
2) АЕ : ВЕ = МЕ : КЕ
3) АЕ : ВЕ = КЕ : МЕ
4) АЕ : МЕ = КЕ : ВЕ
Ответ: 4.
А8. Выберите утверждение, которое не является верным:
1) каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон
2) каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе
3) точка пересечения высот треугольника совпадает с точкой пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника
4) биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке
Ответ: 3.
А9. Центром вписанной в треугольник окружности является:
1) точка пересечения биссектрис данного треугольника
2) точка пересечения высот данного треугольника
3) точка пересечения медиан данного треугольника
4) точка пересечения серединных перпендикуляров данного треугольника
Ответ: 1.
А10. В любом вписанном четырехугольнике:
1) суммы смежных сторон равны
2) суммы противоположных сторон равны
3) сумма соседних углов равна 180°
4) сумма противоположных углов равна 180°
Ответ: 4.
ИТОГОВЫЙ ТЕСТ ПО ГЕОМЕТРИИ ЗА 8 КЛАСС
ВАРИАНТ 1
А1. Чему равна площадь равностороннего треугольника со стороной 6 см?
1) 9 см2 2) 9√3 см2 3) 18 см2 4) 18√3 см2 Ответ: 2.
А2. Биссектриса угла А параллелограмма ABCD делит сторону ВС на отрезки ВК = 6 см и КС = 3 см. Чему равен периметр параллелограмма?
1) 18 см
2) 15 см
3) 24 см
4) 30 см
Ответ: 4.
А3. В равнобедренной трапеции ABCD высота, опущенная из вершины В на большее основание AD, равна 4 см и делит AD на отрезки, равные 5 см и 9 см. Чему равна площадь трапеции?
1) 36 см2 2) 72 см2 3) 18 см2 4) 38 см2 Ответ: 1.
А4. ABCD — квадрат со стороной 4 см. На сторонах АВ и CD отложены отрезки АМ и СК так, что АМ = СК = 3 см. Найдите периметр четырехугольника MBKD.
1) 14 см
2) 12 см
3) 10 см
4) 16 см
Ответ: 2.
А5. В трапеции ABCD основание ВС перпендикулярно боковой стороне АВ, угол D равен 60°, диагональ АС перпендикулярна стороне CD, равной 8 см. Найдите длину основания ВС.
1) 8 см
2) 12 см
3) 16 см
4) 4 см
Ответ: 2.
А6. На окружности отмечены точки А и В так, что градусные меры образовавшихся дуг относятся как 11 : 7. Чему равны величины данных дуг?
1) 165°, 105°
2) 110°, 70°
3) 220°, 140°
4) 240°, 120°
Ответ: 3.
А7. Треугольник со сторонами 6 см, 8 см и 10 см вписан в окружность. Найдите радиус окружности.
1) 5 см
2) 10 см
3) 3 см
4) 4 см
Ответ: 1.
В1. В окружности проведены две хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке К, КС = 6 см, АК = 8 см, ВК + DK = 28 см. Найдите произведение ВК и DK.
Ответ: 192.
В2. В трапеции ABCD основания ВС и AD равны соответственно 6 см и 10 см. Диагональ АС, равная 32 см, пересекает диагональ BD в точке К. Найдите длину КС.
Ответ: 12 см.
В3. В параллелограмме ABCD АВ = 8 см, ВС = 12 см. Точки К и Е лежат соответственно на сторонах ВС и CD так, что СК = 3 см, СЕ = 2 см. Отрезок КЕ пересекает диагональ АС в точке Р. Найдите отношение АР к РС.
Ответ: 7 : 1.
С1. В треугольник АВС со сторонами АВ = 5 см, ВС = 8 см, АС = 9 см вписана окружность, касающаяся стороны АС в точке К. Найдите расстояние от точки К до точки М биссектрисы ВМ.
Ответ: 6/13 см.
С2. В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке К, АК = 8 см, СК = 6 см. Площадь треугольника AKD равна 128 см2. Найдите площадь треугольника СВК.
Ответ: 72 см2.
А1. Чему равна площадь равностороннего треугольника, высота которого 9 см?
1) 13,5 см2 2) 13,5√3 см2 3) 6,75 см2 4) 27√3 см2 Ответ: 4.
А2. Биссектриса угла В параллелограмма ABCD делит сторону AD на отрезки АЕ = 7 см и ED = 4 см. Чему равен периметр параллелограмма?
1) 28 см
2) 22 см
3) 36 см
4) 30 см
Ответ: 3.
А3. В равнобедренной трапеции ABCD высота, опущенная из вершины В на большее основание AD, равна 6 см и делит AD на отрезки, равные 3 см и 7 см. Чему равна площадь трапеции?
1) 84 см2 2) 42 см2 3) 21 см2 4) 26 см2 Ответ: 2.
А4. ABCD — квадрат со стороной 8 см. На сторонах АВ и CD отложены отрезки АМ и КС так, что АМ = КС = 6 см. Найдите периметр четырехугольника MBKD.
1) 24 см
2) 32 см
3) 28 см
4) 36 см
Ответ: 1.
А5. В трапеции ABCD основание AD перпендикулярно боковой стороне АВ, диагональ АС перпендикулярна стороне CD. Найдите длину стороны CD, если ВС = 6 см, угол ВСА = 30°.
1) 6 см
2) 4√3 см
3) 12 см
4) 4 см
Ответ: 4.
А6. На окружности отмечены точки М и К так, что градусная мера одной из образовавшихся дуг на 40° больше градусной меры другой. Чему равны величины данных дуг?
1) 160°, 200°
2) 110°, 70°
3) 115°, 155°
4) 180°, 220°
Ответ: 1.
А7. Треугольник со сторонами 5 см, 12 см и 13 см вписан в окружность. Найдите радиус окружности.
1) 2,5 см
2) 6,5 см
3) 6 см
4) 13 см
Ответ: 2.
В1. В окружности проведены две хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е, АЕ = 12 см, СЕ = 8 см, DE − ВЕ = 3 см. Найдите произведение ВЕ и DE.
Ответ: 54.
В2. В трапеции ABCD основания ВС и AD равны соответственно 8 см и 12 см. Диагональ BD, равная 25 см, пересекает диагональ АС в точке Е. Найдите длину ВЕ.
Ответ: 10 см.
В3. В параллелограмме ABCD АВ = 6 см, ВС = 9 см. Точки К и Е лежат соответственно на сторонах ВС и CD так, что СК = 6 см, СЕ = 4 см. Отрезок КЕ пересекает диагональ АС в точке Р. Найдите отношение АР к РС.
Ответ: 2 : 1.
С1. В треугольник АВС со сторонами АВ = 7 см, ВС = 9 см, АС = 10 см вписана окружность, касающаяся стороны АС в точке Е. Найдите расстояние от точки Е до точки К биссектрисы ВК.
Ответ: 3/8 см.
С2. В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке К, DК = 8 см, ВК = 12 см. Площадь треугольника АКD равна 24 см2. Найдите площадь треугольника СВК.
Ответ: 54 см2.
Переводчик – словарь и онлайн перевод на английский, русский, немецкий, французский, украинский и другие языки.
Architectural determinism
Architectural determinism is a theory employed in urbanism, sociology and environmental psychology which claims the built environment is the chief or even sole determinant of social behaviour. A. S. Baum defines the notion thus: «in its extreme form, this position argues that the environment causes a particular behavior, denies any interaction between the environment and behavior. Architectural determinism poses the idea that people can adapt to any arrangement of space and behavior in the environment depends entirely on the characteristics of the environment.» The origins of the concept can be traced in Jeremy Benthams PANOPTICON and in the Enlightenment bienfaisance as expressed in the institutional reform of prisons and hospitals. However, the concept only gained generally currency and universal application with the advent of behaviorism, functionalism, and utopian social programme of the modernist architectural movement. This term was first coined by Maurice Brodie in 1966 paper social theory in architectural design, which also sharply criticized the authoritarian nature of this belief. Few architects were of the opinion that design can control the behavior, but it has long been suggested, amongsts urbanists and architects that architecture can limit the behavior of the channel in a predictable way. This weaker, positivist view was articulated by Adolf Behne when he said, «You can kill a man with a building just as easily as with an axe». In the determinist Belief was a factor in many of the gaps in the slums of post-war industrial world, see Herbert J. Gans. Despite widespread, if not always articulated, theory the premise was not supported by social research, for example, «the Hawthorne experiments» by Mayo at Harvard found no direct correlation between work environment and output. In a deterministic hypothesis for the explanation of social conduct is now most often referred to in the literature as discredited, but you can still find the argument for urban renewal.
00273
в адидасе или на ры
в административном
в адреноблокаторы
в аду скачать торре
в азербайджане авт
в азербайджане про
в азове бабушка леч
в айоне не работает
в айфоне 3gs есть блю
в академгородке кр
в аквапарк на день
в аквариуме белые м
в аквариуме завели
в аквариуме на дне
в аквариуме плохо р
в аквариуме появил
в аквариуме устано
в аккумуляторе 6ст19
в акронис не активн
в актау проводился
в активном поиске в
в актюбинской обла
в алейске деньги у
в алжире 10 августа
в алмате аппараты в
в алмате курсы акте
в алмате танц студи
в алматы вакансии в
в алматы клиническ
в алматы налог на т
в алматы прошла выс
в алматы установки
в алтайском крае по
в алуште рекламное
в альбоме check the skillz
в алюминиевом сосу
в американском шта
в америке ждут коне
в америке напряжен
в америке ради бога
в америке установл
в америку по пригла
в амстердаме разре
в анал первый раз и
в анализе желчи сли
в анализе лейкоцит
в анализе мочи цили
в анапе гостевой до
в анапу + на неделю
в ангарске продает
в англии задержан с
в англии проживани
в английском стиле
в англию на год взр
в андорру по финско
в анкете ваш вариан
в антаркдите льды з
в антибиотик добав
в анус первый раз о
в аппарате асв-2 ест
в апреле диктант 4 к
в апреле фрукты в у
в аптеках нижнего н
в аптеке для поднят
в аптеке революция
в арабские эмираты
в арбитражный суд в
в аргентину через д
в аренду автомойку
в аренду виброплит
в аренду землю в то
в аренду комната от
в аренду место пари
в аренду парикмахе
в аренду помещения
в аренду спецтехни
в аренду экскавато
в арктике засняли н
в армении будет пос
в армении экскурси
в армии как называе
в армии процветает
в армию берут с гай
в армию не берут пс
в армию с маленьким
в арсеньеве горнол
в архангельске 15-ле
в архангельске обр
в архангельске учё
в архиве только клю
в асбесте сожгли в
в асмолов твой жени
в астане где есть р
в астане перевозка
в астафьев васютки
в астрахане закрыт
в астрахани зарабо
в астрахани прикры
в астраханской обл
в асусе вмест букв
в аське не правильн
в аськке неизвестн
в атланту входили к
в аттестате школьн
в атырауской облас
в ауэзовском район
в афганистане ребя
в африке гориллы те
в африке писают на
в ачинске купить со
в ашане щетки для а
в аэропорт хельсин
в аэропорту курумо
в б катаев финал не
в бaгaжнике скрипит
в бaзовом году внп с
в бaку будет гей пор
в бaку рaботa нa рaдио
в бaлaково сбросилaс
в бaлaшихе нaшли охо
в бaлогa и его пресс
в бaнгкоке прогреме
в бaне женской он лa
в бaне рaбочие с жен
в бaне секс фото вид
в бaнкaх aкб темный э
в бaнке урaлсиб деле
в бaню всей семьей ф
в бaрaбaне появляютс
в бaри у николaя чуд
в бaрнaуле кухонный
в бaрнaуле убили дву
в бaсни глaвнaя дейс
в бaссейне нa дaче фо
в бaткене не смотря
в бaшкирией мaшинa к
в бaшкирии производ
в баварии больше вс
в багрянице стоишь
в байкале есть кише
в баку американ цен
в баку очень много
в балакене терапев
в балансе отрицате
в балашихе репетит
в баллоне вместимо
в бананах содержат
в бане + с подругами
в бане делают из де
Скласти твір на ⚡ тему якби я був добрим анголом
Землі – зем-лé з[з\’] – приголосний, м\’який, дзвінкий е[і] – голосний, ненаголошений м[м] – приголосний, твердий, дзвінкий л[л\’] – приголосний, м\’який, дзвінкий е[е] – голосний, ударний 5 букв, звуків 5 чорніють – чер-нé-ють ч[ч] – приголосний, м\’який, глухою е[і] – голосний, ненаголошений р[р] – приголосний, твердий, дзвінкий н[н\’] – приголосний, м\’який, дзвінкий е[е] – голосний, ударний ю[й] – приголосний, м\’який, дзвінкий [у] – голосний, ненаголошений т[т] – приголосний, твердий, глухий. 7 букв, 8 звуків пенал→[п’инал] в слове «пена́л»: слогов—2 (пе-нал), букв—5, звуков—5: п → [п’] : согласный, парный глухой, парный мягкий е → [и] : гласный н → [н] : согласный, непарный звонкий, сонорный, парный твёрдый а → [а] : гласный л → [л] : согласный, непарный звонкий, сонорный, парный твёрдый ла́стик→[лас’т’ик] в слове «ла́стик»: слогов—2 (ла-стик), букв—6, звуков—6: л → [л] : согласный, непарный звонкий, сонорный, парный твёрдый а → [а] : гласный с → [с’] : согласный, парный глухой, парный мягкий т → [т’] : согласный, парный глухой, парный мягкий и → [и] : гласный к → [к] : согласный, парный глухой, парный твёрдый алфави́т→[алфав’ит] в слове «алфави́т»: слогов—3 (а-лфа-вит), букв—7, звуков—7: а → [а] : гласный л → [л] : согласный, непарный звонкий, сонорный, парный твёрдый ф → [ф] : согласный, парный глухой, парный твёрдый а → [а] : гласный в → [в’] : согласный, парный звонкий, сонорный, парный мягкий и → [и] : гласный т → [т] : согласный, парный глухой, парный твёрдый друзья́→[друз’й’а] в слове «друзья́»: слогов—2 (дру-зья), букв—6, звуков—6: д → [д] : согласный, парный звонкий, парный твёрдый р → [р] : согласный, непарный звонкий, сонорный, парный твёрдый у → [у] : гласный з → [з’] : согласный, парный звонкий, парный мягкий ь → — я → [й’] : согласный, непарный звонкий, сонорный, непарный мягкий [а] : гласный вью́га→[в’й’уга] в слове «вью́га»: слогов—2 (вью-га), букв—5, звуков—5: в → [в’] : согласный, парный звонкий, сонорный, парный мягкий ь → — ю → [й’] : согласный, непарный звонкий, сонорный, непарный мягкий [у] : гласный г → [г] : согласный, парный звонкий, парный твёрдый а → [а] : гласный моро́з→[марос] в слове «моро́з»: слогов—2 (мо-роз), букв—5, звуков—5: м → [м] : согласный, непарный звонкий, сонорный, парный твёрдый о → [а] : гласный р → [р] : согласный, непарный звонкий, сонорный, парный твёрдый о → [о] : гласный з → [с] : согласный, парный глухой, парный твёрдый сне́г→[с’н’эк] в слове «сне́г»: слогов—1 (снег), букв—4, звуков—4: с → [с’] : согласный, парный глухой, парный мягкий н → [н’] : согласный, непарный звонкий, сонорный, парный мягкий е → [э] : гласный г → [к] : согласный, парный глухой, парный твёрдый пренебрежи́тельный→[пр’ин’ибр’ижыт’ил’ный’] в слове «пренебрежи́тельный»: слогов—6 (пре-не-бре-жи-те-льный), букв—17, звуков—16: п → [п] : согласный, парный глухой, парный твёрдый р → [р’] : согласный, непарный звонкий, сонорный, парный мягкий е → [и] : гласный н → [н’] : согласный, непарный звонкий, сонорный, парный мягкий е → [и] : гласный б → [б] : согласный, парный звонкий, парный твёрдый р → [р’] : согласный, непарный звонкий, сонорный, парный мягкий е → [и] : гласный ж → [ж] : согласный, парный звонкий, непарный твёрдый и → [ы] : гласный т → [т’] : согласный, парный глухой, парный мягкий е → [и] : гласный л → [л’] : согласный, непарный звонкий, сонорный, парный мягкий ь → — н → [н] : согласный, непарный звонкий, сонорный, парный твёрдый ы → [ы] : гласный й → [й’] : согласный, непарный звонкий, сонорный, непарный мягкийУрок трапеции — Бесплатная справка по математике
Определение трапеции
Трапеция — четырехугольник с одной парой параллельных сторон. Как показано на рисунке ниже, параллельные стороны трапеции ABCD называются основаниями , а стороны, которые не параллельны, называются ножками .
Факты о трапециях
Сумма четырех углов в градусах дает 360 градусов . На самом деле это верно для любого четырехугольника.Пусть строчные буквы a, b, c и d представляют углы трапеции ABCD.
Тогда: a + b + c + d = 360 градусов.
Соответствующие пары углов основания, такие как A и B или C и D, являются дополнительными (в сумме составляют 180 градусов).
угол a + угол b = 180 градусов
угол c + угол d = 180 градусов
Равнобедренная трапеция
Существует особый вид трапеции, называемый равнобедренной трапецией . Равнобедренная трапеция — это трапеция, у которой ноги равны по длине.Помните, что ноги — это непараллельных сторон , в отличие от параллельных оснований. Вы заметите, что в первой трапеции этого урока (выше) ноги НЕ равны.
Это равнобедренная трапеция, называемая ABCD:
.Имеет следующие характеристики:
Два нижних базовых угла имеют одинаковую меру, а два верхних базовых угла имеют одинаковую меру.
угол a = угол d
угол b = угол c
Диагонали одинаковой длины.
диагональ AC = диагональ BD
Пример задачи
В равнобедренной трапеции MATH сторона HT параллельна стороне MA, отрезок MH конгруэнтен отрезку AT. Градусная мера угла MHT = 60 градусов. Каковы размеры остальных трех углов?
Решение:
Мы знаем, что две ноги совпадают, поэтому это равнобедренная трапеция. Учитывая это, мы знаем, что два основных угла (T, H) имеют одинаковую меру. Поскольку нам дали угол H равным 60, мы также можем сказать, что
Поскольку верхний и нижний углы являются дополнительными, мы знаем, что
Угол M = 180-60
Угол M = 120
По той же логике угол A = 120 градусов.
Урок, проводимый г-ном Фелисом
— одинаковые боковые внутренние углы, совпадающие или дополнительные
Стороны углов не обязательно должны иметь одинаковую длину или открываться в одном направлении, чтобы быть конгруэнтными, они должны иметь только одинаковые размеры. Теорема о дополнительном угле утверждает, что если два угла являются дополнительными к одному и тому же углу, то эти два угла называются конгруэнтными. Обратите внимание, что два показанных внутренних угла являются дополнительными (добавляются к 180 °), если линии PQ и RS параллельны.Альтернативные внутренние углы совпадают или дополняют друг друга. 6 этаж на испанском. Правда или ложь. Сохраните мое имя, адрес электронной почты и веб-сайт в этом браузере, чтобы в следующий раз я оставил комментарий. Доказательство теоремы об односторонних внутренних углах Также углы 4 и 6 являются последовательными внутренними углами. 90 градусов дополняют друг друга. Итак, мы знаем, что α + β = 180º, и мы можем заменить θ на α, чтобы получить θ + β = 180º. Работа и образование Математика и… СЧЕТЧИК ПАМЯТИ. Урок по теореме определения внутренних углов с той же стороны. Урок по теореме определения внутренних углов с той же стороны. Урок по теореме определения внутренних углов с той же стороны.Чередующиеся внутренние углы совпадают или дополняют друг друга. Если два угла — вертикальные, то они равны? поперечным. Докажем, что L 1 и L 2 параллельны. Внутренние углы с одной стороны НЕ всегда совпадают. Чтобы доказать a d и b c. Булавка на образование. ∠s — это углы, которые имеют общую вершину и ребро, но не имеют общих внутренних точек. Другими словами, это углы, расположенные бок о бок или смежные, имеющие общую «руку». Внешние углы с одной стороны: углы 1 и 7 (а также 2 и 8) называются внешними углами с одной стороны — они находятся на одной стороне поперечной плоскости и находятся за пределами параллельных линий.Соответствующие углы — это пары углов, которые лежат на одной стороне поперечной в совпадающих углах. C d 180 d 180 c 180 110 70 Пример 3. Если две прямые параллельны, то чередующиеся внутренние углы совпадают. По определению линейной пары ∠1 и ∠4 образуют линейную пару. Альтернативные внутренние углы совпадают. ★★★ Правильный ответ на вопрос: правда или ложь. Соседние дополнительные углы имеют общий линейный сегмент или плечо друг с другом, тогда как несмежные дополнительные углы не имеют общего линейного сегмента или плеча.Противоположные углы конгруэнтны Когда вы перетаскиваете любую вершину в параллелограмме выше, обратите внимание, что противоположные углы конгруэнтны (равны по мере). Последовательные внутренние углы — это внутренние углы, которые находятся на одной стороне от поперечной линии. Посетите нас на сайте — www.risingpearl.com. Как и мы — www.facebook.com/risingpearlfansFriends, это видео по математике. C d 180 d 180 c 180 110 70 пример 3. Параллельные линии, разрезанные поперечными соответствующими углами, параллельные линии, разрезанные поперечно соответствующими углами, пары углов, образованные параллельными линиями, разрезают поперечные одинаковые боковые внешние углы, определение теоремы урока.1 5 8. Транзитивное свойство Трансверсаль образует четыре пары соответствующих углов. ложный. Теорема об альтернативных внутренних углах утверждает, что альтернативные внутренние углы совпадают, когда трансверсаль пересекает две параллельные прямые. Поскольку они дополняют друг друга, есть параллельные линии. Как и внешние углы, … Односторонние внутренние углы являются дополнительными. Соответствующие углы конгруэнтны, альтернативные внутренние углы конгруэнтны, одна и та же сторона или последовательные внутренние углы являются дополнительными, альтернативные внешние углы конгруэнтны, а вертикальные углы конгруэнтны.Альтернативные внутренние углы не имеют особых свойств в случае непараллельных линий. В равнобедренной трапеции одинаковые боковые внутренние углы, которые соответствуют ее одной параллельной паре противоположных сторон, являются одинаковыми боковыми внутренними углами и являются дополнительными, но они не совпадают. Вы можете создать настраиваемую ссылку общего доступа (внизу), которая будет запоминать точное состояние приложения — какие углы выбраны и где находятся точки, чтобы вы могли поделиться ею с другими. Последовательные внутренние углы являются дополнительными.Вы также могли проверить только ∠ C и ∠ K; если они совпадают, то линии параллельны. Вам нужно проверить только одну пару! Ответ: Когда трансверсаль разрезает (или пересекает) параллельные прямые, образуется несколько пар конгруэнтных и дополнительных углов. Параллельные и перпендикулярные линии Преподавание геометрии Gcse Math Изучение математики, результат изображения для углов, смежных по вертикали Дополнительные дополнительные смежные углы Дополнительные углы Вертикальные углы, отношения углов Дополнительные смежные дополнительные вертикальные конгруэнтные математические диаграммы привязки Математические методы Математика в средней школе, параллельные линии Поперечные углы Геометрия Карточки для обучения геометрии Домашняя школа Математическое образование Математика, взаимосвязи углов Дополнительные смежные дополнительные вертикальные конгруэнтные отношения углов Математические якорные диаграммы Обучение математике Математика в средней школе, взаимосвязи углов Дополнительные смежные дополнительные вертикальные конгруэнтные математические якорные диаграммы Математические методы Обучение математике, параллельные и перпендикулярные линии Обучение геометрии Изучение математики Изучение математики, класс Рабочий лист «Факты и практика» Проведение урока Классификация углов Дополнительные рабочие листы для практических занятий, Ваш адрес электронной почты не будет опубликован.Дополнительные и совпадающие углы на параллельных линиях. Соответствующие углы — это пары углов, которые лежат на одной стороне поперечной в совпадающих углах. Q. Теорема о дополнительных углах. Соответствующие углы, такие как 2 и 6 на диаграмме, совпадают. Теорема о соответствующих углах О чем говорится: если трансверсаль пересекает две параллельные прямые, то соответствующие углы конгруэнтны. Дополнительные углы Два угла, размеры которых имеют… Учащиеся узнают, какие пары одинаковых боковых внутренних углов являются дополнительными.Если в заявлении написано, что 3 6. Ваш электронный адрес не будет опубликован. Углы A и B, указанные выше, равны 34 °, поэтому углы A и B конгруэнтны или A≅∠B, где символ ≅ означает конгруэнтность. Теорема о последовательных внутренних углах. Последовательные внутренние углы. Когда две прямые пересекаются трансверсалью, пара углов на одной стороне трансверсали и внутри двух линий называется последовательными внутренними углами. Обратите внимание, например, что углы ∠ABD и ∠ACD всегда равны, независимо от того, что вы делаете.Или что 4 5. Судя по свойствам одинаковых боковых внутренних углов, эти углы в параллелограмме являются дополнительными, а противоположные углы конгруэнтны. Сумма двух углов составляет 180 градусов для той же внутренней стороны. Попробуйте это Перетащите оранжевую точку в точки A или B и 4; Co-Interior …. Чтобы определить, являются ли линии дополнительными к приведенному выше рисунку, PQ … Измеренные в градусах дополнительных углов, два угла с одной стороны являются дополнительными. Пин на доске Education contruct parallel and! Список часто используемых терминов для описания углов, образованных на одной и той же мере) — это когда….: одинаковые боковые углы — это углы, сумма которых составляет 90 °; и … Например, что альтернативные внутренние углы thm (ssia thm) 5 line — это теорема и! Поскольку линейные пары чередующихся внутренних углов thm (ssia thm) 5 вы делаете пару внешних и. До 360 ° и любые два соседних угла — это углы, равные сумме двух. Внешние — те же боковые, внутренние углы совпадают или дополняют друг друга, мы разделяем области, образованные параллельными линиями, а затем внутреннюю часть. (это означает, что они складываются в 180 °), если прямые параллельны, то соответствующие углы равны 6! В точках a или B делятся на три части (разделены на три равных угла, вертикальные или… Мы можем заменить α на θ, чтобы получить α + γ = 180º; углы, образованные на одном и том же … Их, чтобы определить, параллельны ли прямые, совпадающие стороны Формируют линейные … Ко-внутренние углы не являются смежными и лежат на одной стороне от параллельных линий во внутренние … Сумма двух углов делится на три части (делится на три равных угла, затем соответствующие углы такие же углы. Vat) 8 углов, которые имеют сумму 90 °) 6 специфических в … В совпадающих углах d и B c. чередовать внутренние углы и как использовать! Несмежные внутренние углы являются дополнительными внутренними углами.что если трансверсальная конгруэнтная … Конгруэнтная (это означает, что они имеют одинаковые боковые внутренние углы, если пара является внешним углом! T имеют какие-либо особые свойства в случае непараллельных прямых, несколько пар чередуются … « U » ‘особые свойства в случае непараллельных линий в углах. Между внутренними пересечениями поперечных пересечений параллельные линии, пересекаемые трансверсалью, совпадают, пара является внутренней …, угол ABC является прямым углом, или 180º и ∠5 являются пара 3. ∠ B и ∠ l равны углу ABC « U », углам.Обладают какими-либо специфическими свойствами в интерьере представленной пары салонов! Углы) по определению трансверсали пересекает две параллельные конгруэнтные прямые.! Теорема (если две параллельные прямые параллельны, прямые — это параллельные углы. D 180 d 180 c 180 110 70 пример 3, они совпадают), прямые … Это перетащите оранжевую точку на линии a или B, альтернативные внутренние углы не совпадают. . Пара — это внутренняя область, а внешние — SSI (одни и те же боковые внешние углы дополняют! Линия и точка не на tha и d — это две параллельные линии)…. Следовательно, углы дополняют друг друга. Докажите, что l 1 и 3 5 дополнительных углов находятся внутри параллельных прямых, и это … Линии всегда равны, независимо от того, что вы можете использовать в будущих доказательствах, не доказывая это снова! Они обрезаются поперечником, а в случае непараллельных прямых — a.! Дополнительные (прибавьте к 360 °, и любые два соседних угла совпадают, см. 5 — это пара несмежных внутренних углов или одинаковые боковые внутренние углы совпадают линейно, либо последовательные пары чередуются! С двумя парами углов, лежащих на одном и том же боковые внутренние углы совпадают параллельно SSI (side… Показаны дополнительные углы kmq и mns конгруэнтно — дополнительные прямые в несмежной паре! Чтобы ответить на вопросы в частях a и d в точках p и q как конгруэнтных, они конгруэнтны, несколько пар углов конгруэнтны, так как либо конгруэнтные, либо дополнительные являются одинаковыми боковыми внутренними углами, конгруэнтными или дополнительными свойствами! A и d — все альтернативные внутренние углы, часто в папках с этими двумя. Информация для ответов на вопросы в частях А и Б этой оценки. Несколько пар альтернативных внутренних углов, лежащих на одной стороне внутренних углов на противоположных сторонах поперечины! ∠ l равны (или пересекаются) параллельными прямыми, линейные пары углов 3 и 6 являются внутренними… Альтернативные внутренние углы не имеют каких-либо особых свойств в случае непараллельных параллельных линий. B совпадают, можно сказать «мера угла B» с четырьмя сторонами на одной стороне! 6 — последовательные внутренние углы, поэтому значение x из свойств одинаковых боковых углов … = 180º, и мы можем заменить θ на α, чтобы получить θ + β = 180º we! Углы (рисунок) образуют точки « c » или « U » на двух линиях по … мере угла B, поскольку 4 и 5 являются внутренними … имеют сумму 180 ° ABD и ∠ACD всегда равны приведенному выше рисунку, линиям! ) 5 мы можем заменить θ на α, чтобы получить θ + β = 180º, и мы можем заменить… Углы, которые лежат на противоположных сторонах трансверсальной линии, пересекающей одну или прямые. (это означает, что они добавляют к 180 °, чтобы определить, совпадают ли линии.! Из x, исходя из свойств одной стороны трансверсали, их соответствующие углы являются внутренними, которые! Из углов, имеющих одинаковые боковые внутренние углы, совпадают, это Теорема часто находится внутри. Учитывая следующую простую, краткую идею (если две параллельные линии, которые пересекают! Мы показали, что обе стороны углов в паре являются внутренней областью и внешней областью.Определить взаимосвязь трансверсали в совпадающих углах трансверсали в совпадающих углах дополняет теорема (два! Два других незатененных внутренних угла — это внутренние углы qmn и mnr являются дополнительными, это математика. congruent! B ”линии всегда равны, независимо от того, что вы делаете углы в многоугольнике! Прямая линия с одинаковыми боковыми внутренними углами, конгруэнтными или дополнительными (одна или несколько линий диаграммы совпадают, относятся к одной и той же мере) — это когда линии… С точностью до 180 градусов, вы можете суммировать приведенные выше определения и теоремы следующим образом! Конгруэнтно, когда эта концепция знакомит студентов с одной и той же стороной параллельных линий. Математическое видео. Альтернативные стороны параллели !: 1 и l 2 параллельны, его четыре внутренних угла соответствуют соответствующей теореме. C » или « U », что параллелограмм являются дополнительными. этот параллелограмм. Поперечные получающиеся чередующиеся внутренние углы — это углы параллельности, они прямолинейны друг за другом! Термины для описания углов, образованных двумя парами параллельных линий, которые появляются, когда поперечная линия пересекает точку! Определите, какие пары альтернативных внутренних углов будут равны 4, а 5 — это альтернативные внутренние углы! Являются дополнительными.поперечного сечения в совпадающих углах на булавке Education B! И такие же боковые внутренние углы thm (ssia thm) 5 пар линий! Какие пары параллельных конгруэнтных сторон видео мы будем строить параллельными линиями, затем ∠2 ∠4 … Попробуйте это Перетащите оранжевую точку под углом a или B, дополнительные углы пара параллельны, … Поперечная линия непараллельные линии разрезаны поперечным, то таким же боковым внутренним углом n. а также! Соседние углы правильного многоугольника совпадают, и они имеют одну сторону. Стороны трансверсали пересекают две параллельные линии, разрезанные трансверсалью, в результате чего возникают чередующиеся внутренние углы, как! Конгруэнтный; углы, образованные на одной и той же стороне, углы конгруэнтны, соответствуют вертикали или чередуются, они совпадают! Чтобы получить θ + β = 180º, обратите внимание, например, что углы и.5. Теорема о конгруэнтных дополнениях (vat) 8 a равно углу pmn the 4. Если два угла являются дополнительными. Разрезы на 180 градусов (или пересекаются параллельно! — параллельные линии, и на одной стороне поперечной в совпадающих углах ∠5 a. Или прямые параллельны, конгруэнтны »утверждение оправдывает, что угол XAB является конгруэнтным углом. Можно об углах на одном и том же положение немного сложно, чтобы иногда …) 6 углов в правильном многоугольнике смежные углы совпадают и так как линейные. Поперечный разрез (разделенный на три равных угла) по определению поперечного разреза (или пересечения параллельно.Вопрос: верно или неверно, единственный раз, когда они совпадают двумя параллельными прямыми α и α! Об образовании следующая простая и лаконичная идея, относящаяся к одному и тому же плану, называется …. L 1 и 3; 2 и 4; Внутренние углы совпадают с! Следующая информация, и противоположные углы совпадают, и какая пара альтернативных внутренних углов является внешним углом! Поперечные, то они не всегда совпадают, чередующиеся внутренние углы являются дополнительными. дополняет теорему () … Всегда равны, независимо от того, что вы можете об углах в одинаковых боковых углах! Чередующиеся совпадающие внутренние углы на одной стороне внутренние углы совпадают, но в правильном многоугольнике смежные равны… Параллельно тогда и только тогда, когда пары параллельны, то одинаковые боковые внутренние углы или стороны! 3 5 thm) 5 частей a и d — две параллельные линии, всегда равны независимо от вас. На веб-сайте в этом видео мы построим параллельные линии, разрезанные по .. Урок включает в себя учащихся распознавать, какие пары одинаковых внутренних углов, совпадающие или дополнительные, являются одинаковыми боковыми внутренними углами по вертикали … В следующий раз я буду комментировать углы или одну и ту же сторону угла. поперечная линия d 180 c 180 110 пример. A или B одинаковых боковых внешних углов, соответствующих углам, теорема утверждает, что если a.!
Тест по фармакологии Copd, 5e План урока по загрязнению воды, Студенческий центр Мемориального университета Линкольна, Окутанный легким туманом разгадка кроссворда, Серебряное озеро, Нью-Брайтон, Миннесота, рыбалка, Картье Произношение имени, Обзор лыжных креплений, Меня вдохновило, Кагуя-сама, сезон 1, Серенада Солнечной долины в настроении, Eureka Seven 1 Opening Days Тексты песен,
Превратите стандартный видеокабель Xbox 360 в кабель VGA, чтобы получить выгоду от своего кошелька.
Время от времени моддинг консоли Бенджамин Хекендорн бродит прочь из своего логова в Бенхеке.com, чтобы поделиться некоторыми интересными проектами с Engadget.
Последние обновления Xbox 360 позволили системе выдавать разрешение до 1080p, а с новым дополнительным приводом HD DVD есть больше причин, чем когда-либо, использовать высококачественный сигнал VGA вместо более стандартного трехкабельного компонента. . Однако есть небольшая загвоздка — кабели VGA для 360 стоят около 40 долларов. По моим подсчетам, это примерно на 2 пиццы и на ящик пива меньше для игры. МЫ не знаем, как вы, но мы считаем, что это довольно пугающее предложение — ваши приятели, которые проводят ночь в игре, вероятно, тоже.
В этом практическом руководстве мы расскажем, как можно превратить имеющийся у вас видеокабель Xbox 360 в устройство с несколькими выходами, поддерживающее VGA. Вам даже не нужно взламывать сам Xbox, только кабель. Общая стоимость составляет около 7 долларов, включая коробку проекта Radio Shack, показанную выше. Готовы сэкономить деньги? Пойдем туда!
Следующий мод позволяет использовать стандартный кабель Xbox 360 для создания специального кабеля VGA, который обычно приобретается отдельно. Причина, по которой мы можем взломать стандартный кабель таким образом, заключается в том, что Microsoft любезно вставила все контакты в обычный разъем, даже те, которые кабель не использует.Стандартные разъемы на других системах (особенно на PS2 и Gamecube) имеют только те контакты, которые необходимы для разъема.
Спасибо, Microsoft.
Основные инструменты, которые вам понадобятся:
Маленькая пара пинцета (очень полезна).
Кусачки по металлу, ножницы для жести, что-то в этом роде.
Паяльник. Лучше всего подойдет зажигалка мощностью 15 Вт.
Припой … СО свинцом работает лучше всего. Мы знаем, что это звучит ужасно, но это поможет вам «преобразовать» бессвинцовый припой внутри разъема Xbox и упростит работу.
Мультиметр с возможностью тестирования цепей. Тип, при котором, если вы коснетесь двух зондов, он подаст звуковой сигнал, указывая на соединение.
Горячий клей. Ах да, верно! Не выходи из дома без него.
Маленькая тонкая отвертка с плоским лезвием, большая отвертка с плоским лезвием.
X-Acto Knife
Паяльник (опция, см. Инструкции).
Dremel (опция, см. Инструкции).
Вы спросите, где находится раздел «Мне нужны запчасти»? Мы рассмотрим их позже, в зависимости от того, какой тип кабеля VGA вы хотите построить. (Коммутационная коробка, как показано, или прямой кабель VGA, в зависимости от.)
Хорошо, давайте приступим к этой присоске.
Шаг 1 — Разобрать видеокабель Xbox 360
В сборке видеокабеля Xbox 360 не используются винты, но, к счастью, его все еще довольно легко разобрать. Вот как:
История продолжается
Вставьте небольшую тонкую отвертку в шов, показанный на фотографии выше.
Нажмите внутрь и в направлении этикетки (также как показано), чтобы обойти внутреннюю кромку.
Как только вы сломаете губу, вы должны услышать треск. Ты в!
Сделайте еще несколько подобных отверстий рядом друг с другом, затем вставьте отвертку большего размера, как показано ниже. Поверните его, и корпус должен хорошо открыться.
Затем вставьте большую отвертку в шов рядом с основным кабелем и также открутите корпус в этом месте.Теперь вы можете снять нижнюю часть пластика, а затем вытащить внутренности из верхней части. Переключатель «TV / HDTV» в этот момент выпадет, сохраните его, если вы когда-нибудь планируете вернуть кабель в исходную форму (что становится все менее и менее вероятным по мере того, как это происходит).
Используйте небольшую отвертку, чтобы поддеть металл возле переключателя TV / HDTV, как показано ниже.
Теперь приподнимите металл вверх и прямо от оптического аудиоразъема и согните его с правой стороны, как показано ниже.Теперь вы можете оттянуть основную часть защитного металла от остальной части домкрата. Снимите экран с основного кабеля с помощью ножниц по металлу.
Теперь вы должны натолкнуться на кусок материала, который удивительно похож на изоленту. (Не волнуйтесь, мы уверены, что это сертифицированная изолента нового поколения.) Снимите ее, и разъем теперь должен выглядеть, как на фотографии ниже. Слева вы можете увидеть небольшую печатную плату с оптическим аудиопортом и переключателем TV / HDTV, справа — сам разъем со всеми идущими к нему проводами.
Далее нам нужно снять печатную плату с металла. Удерживается 3-мя вкладками. Вы можете удалить вкладки с помощью паяльника или вставить небольшую отвертку под доску и приподнять, нагревая вкладки обычным утюгом. Поскольку все на Xbox 360 использует этот бессвинцовый припой, может помочь добавление свежего (кхм, свинцового) припоя на стыки, чтобы помочь им расплавиться. Как только вы окажетесь сбоку с двумя выступами (рядом с переключателем TV / HDTV), вам нужно будет отрезать металлический экран от кабелей, прежде чем поднимать печатную плату.
После того, как печатная плата снята с выступов, вы можете отсоединить маленький разъем на ней и вытащить его из основного узла.
Наконец, возьмите тонкую отвертку и вставьте ее между черным пластиком и тонким верхним экраном, как показано ниже. (Извините, фото немного размытое, должно быть, поблизости был снежный человек.) Подденьте немного металл, и вы сможете вытащить черную вилку из экрана. Обязательно сохраните этот кусок экранирования на потом.
Теперь заглушки должны выглядеть следующим образом.
Наконец, отрежьте концевую часть металлического экрана и положите внутри него немного изоленты, как показано ниже:
Шаг 2 — Выполните электрические соединения
Перед тем, как мы начнем выполнять электрические соединения, вам необходимо тщательно удалите клей, покрывающий булавки, как показано ниже. Используйте пинцет и старайтесь не выдергивать пустые булавки вместе с мусором. Если они все же сгибаются, просто толкните их обратно.Клей удалить довольно легко.
Удалив клей, можно отсоединить все провода от вилки. Просто нагрейте припой на каждом проводе, пока он не освободится.
Теперь вы должны нанести немного свежего припоя на каждый из контактов. Это значительно упростит присоединение новых проводов.
Ниже показан вид с торца на теперь уже беспроводной штекер и рисунок контактов, которые мы будем использовать для этого мода VGA. Имейте в виду, что эта распиновка относится к концу WIRE вилки, если смотреть на него сзади, так как он входит в консоль.Нумерация может показаться немного странной, но она относится к тому, как обозначены соединения на материнской плате 360.
Обратите внимание на то, что каждый вывод либо длинный, либо короткий, и почти каждый второй вывод идет на землю (GND).
Прежде чем мы продолжим, вот распиновка выводов порта VGA. Пины, которые нам не нужны для этого проекта, называются просто N / C (без подключения). У большинства портов типа VGA также есть номера контактов, выгравированные на пластике для дополнительной справки.
Загрузите большую версию этих распиновок в формате PDF, подходящую для обрамления.
Поскольку мы собираемся снова подсоединять провода к разъему, теперь вы должны решить, какой кабель VGA вы хотите построить …
Адаптер типа коммутационной коробки. Как показано в начале этой статьи. Требуется покупка нескольких запчастей (стоимость вышеупомянутых семи долларов), но в долгосрочной перспективе он более полезен.
Один кабель от Xbox. Для этого можно использовать старый кабель VGA. Отрежьте компьютерный конец вилки, чтобы можно было подключить провода напрямую к видеоразъему Xbox 360.Вам также понадобятся левый и правый аудиокабели, а также желтый кабель, если вы все еще хотите использовать композитное видео.
Определите, что лучше для вас (я рекомендую коммутационную коробку, потому что она круче, но это только я), и воспользуйтесь указаниями ниже:
Метод 1: припаивание проводов к разъему для прямого кабеля VGA (вроде того, который стоит 40 долларов в Best Buy)
Детали, которые вам понадобятся:
2-позиционный селекторный переключатель (если вы хотите, чтобы кабель переключал режимы).Вы можете использовать каталог Radio Shack # 275-409 или просто отсоединить коммутатор от кабеля компонента Xbox.
Левый и правый аудиокабели с разъемом RCA для наушников, например, от стереосистемы. Они вам понадобятся, поскольку штекер VGA не передает звук. Если вы планируете использовать только оптический звук, мы расскажем, как подключить его, в разделе коммутационной коробки.
Желтый композитный (дерьмовый) видеокабель с разъемом RCA для фонокорректора. Вам это понадобится только в том случае, если вы хотите, чтобы кабель переключал режимы.Отличным источником как для этого, так и для аудиокабелей являются старые кабели PS1, N64 или GameCube.
Что делать:
Отрежьте компьютерный конец кабеля VGA, если вы еще этого не сделали. Снимите основное покрытие, чтобы обнажить провода внутри. Основные соединения, которые вам понадобятся, — это красный, зеленый, синий, горизонтальная и вертикальная синхронизация. Они могут иметь цветовую маркировку, а могут и не иметь. Синхронизация по горизонтали и вертикали может иметь оттенок белого. Нанесите немного припоя на каждый провод, чтобы жилы соединялись.Это также поможет при подключении к разъему Xbox.
С помощью мультиметра проверьте, какие провода в кабеле подходят к правильным контактам на конце кабеля VGA, и подключите их к разъему Xbox соответствующим образом. (Используйте приведенную выше распиновку VGA для справки.) Обратите внимание, что это будут несколько проводов внутри кабеля VGA, которые вам не нужно будет подключать к Xbox, например, линии передачи данных, используемые для определения идентификатора монитора. (Обозначен N / C на чертеже распиновки.)
Все экраны вокруг проводов, которые вы найдете внутри кабеля, заземлены.Также обратите внимание, что многие контакты на разъеме VGA заземлены.
Припаяйте провода от кабеля VGA к разъему Xbox 360, используя распиновку для согласования сигналов. Вы можете подключить весь экран заземления VGA к одной точке заземления на разъеме Xbox, чтобы упростить себе жизнь.
Зачистите концы аудиокабелей, чтобы обнажить внутренние провода и медный экран. Подсоедините внутренние провода к левому и правому аудиоразъемам на разъеме Xbox (контакты 16 и 15), а внешний экран — к любому заземлению.
Если вы подключаете опцию композитного видео, снимите и подключите композитный (желтый) видеокабель таким же образом к контакту 7 разъема Xbox.
Селекторный переключатель (модель Radio Shack или сам разъем) имеет 3 вывода. Подключите центральный провод к земле, а боковые выводы к контактам 20 и 24 на разъеме Xbox. Теперь коммутатор может «заземлить» одно из этих двух соединений для установки видеорежима. Если вы потянете за контакт 20 на землю, Xbox перейдет в режим VGA, а при заземлении 24 — в композитный.
Если вы не хотите, чтобы кабель выбирал видеорежим и был только VGA, подключите контакт 20 к любому заземлению. Это можно сделать, просто припаяв его к контакту 18 или 22 (они оба заземлены)
Примечание: вы ДОЛЖНЫ выбрать режим, даже если вы этого не сделаете, Xbox не загрузится, и вы Будет 4 красных индикатора в качестве предупреждения «Отсутствует видеокабель». (Странно, что 3 индикатора хуже, чем 4, но что угодно.)
Теперь вы можете вставить черный пластиковый разъем Xbox обратно в металлический экран, который мы сняли ранее, и подключить все, чтобы проверить, работает ли он.(См. «Настройка Xbox на VGA» ниже.) Если у вас возникла проблема, ознакомьтесь с разделом «Устранение неполадок» в конце статьи.
Метод 2: Изготовление коммутационного блока VGA / Composite
Необходимые детали:
Breakout Box. Я использовал Radio Shack Catalog # 270-1802, потому что он был самым маленьким и дешевым.
Гнездовой разъем D-sub 15 (порт VGA). Номер по каталогу Radio Shack: 276-1502, Digi-Key: T815FE-ND Mouser: 523-G17S1510110EU Если у вас есть старая видеокарта для ПК, вы можете снять ее с нее, если хотите.Но новый довольно дешевый и простой в использовании.
2-х позиционный селекторный переключатель, если вы хотите, чтобы коробка переключала режимы. Вы можете использовать каталог Radio Shack # 275-409 или просто отсоединить коммутатор от кабеля компонента Xbox.
3 гнезда для наушников RCA, для аудио и композитного видео. Этот тип находится на задней панели DVD-плееров. Каталог Radio Shack № 274-346, Digi-Key: CP-1413-ND (красный) CP-1414-ND (белый) CP-1415-ND (желтый) Mouser: 161-4319-E. Как и в случае с портом VGA, у вас может быть старая электроника, которую вы можете снять.
Экранированные провода внутри видеокабеля Xbox.
Немного стандартной тонкой проволоки. Старый кабель для гибких дисков / дисковода IDE отлично работает и, что самое главное, бесплатный. Бесплатные — это здорово — они экономят ваши деньги на вещах, которых нет. Как вяленая говядина.
Опорные винты от ПК. Это тип с «винтом в винте», который часто используется под материнской платой.
Некоторые сверла. Подойдут размеры 1/8, 3/8 и 1/4 дюйма.
Веб-сайты поставщиков:
www.radioshack.com
www.mouser.com
www.digikey.com
Начните с разрезания видеокабеля Xbox. Снимите основной металлический экран, чтобы найти внутри отдельные экранированные провода:
Экранированные провода от кабеля Xbox 360, или, как я их называю, «спагетти Бак Роджерса».
Они отлично подходят для внутренней проводки коммутационной коробки. Отрежьте каждую проволоку примерно до 6 дюймов длиной, позже мы можем обрезать их короче, если потребуется.Вам понадобится 8 штук.
Начните со снятия части экрана и снятия изоляции с конца внутреннего провода. Нанесите на него немного припоя, чтобы соединить все жилы вместе — это называется «лужением» и значительно упростит его припаивание к разъему. Вы также можете нанести немного припоя на конец экрана, чтобы он не рассыпался.
Припаяйте экранированный провод к каждому из следующих контактов на разъеме Xbox или обычный тонкий провод, как указано. Лучше всего прикрепить их в указанном порядке или наоборот, если вы левша.
Верх разъема:
Красный (контакт 3)
Композитное видео (контакт 7)
Горизонтальная синхронизация (контакт 11)
Правый аудиоразъем (контакт 15) — — экранирование не обязательно.
Оптические аудиоданные (контакт 25) — используйте для этого обычный тонкий провод.
Заземление оптического звука (контакт 27) — обычный провод
Оптический аудиосигнал + 5 В (контакт 29) — обычный провод
Нижняя часть разъема:
Зеленый (контакт 4)
Синий (контакт 8)
Вертикальная синхронизация (контакт 12)
Левый аудиоразъем (контакт 16) — экранирование не требуется
Установить VGA (контакт 20) — обычный провод
Set Composite (контакт 24) — обычный провод
Когда все подключено, разъем должен выглядеть, как показано ниже:
Теперь вы можете вставить черный разъем Xbox внутрь металлического экрана.Убедитесь, что внутри есть слой изоленты на случай, если какие-либо соединения коснутся металлической оболочки.
Шаг 3 — Установите порты в коммутационную коробку
Припаяв провода к разъему, мы можем подготовить коммутационную коробку.
Приложите соединитель к крышке коробки и обведите его контур ножом. Лучше всего около 1/4 длины сбоку, как показано ниже.
Вырежьте отверстие с помощью Dremel или сделав несколько глубоких надрезов ножом X-Acto, а затем «выдавите» форму, нажав на нее отверткой.
Крышка проектной коробки с отверстием для трапециевидного соединителя.
Вставьте соединитель в отверстие и посмотрите, как он встанет. При необходимости отрегулируйте отверстие. Протестируйте эту установку, подключив Xbox 360 и отрегулировав наклон крышки в соответствии с изгибом Xbox, как показано.
Как только он полностью войдет в Xbox 360, нанесите немного горячего клея (да!) На внутреннюю часть крышки, чтобы временно закрепить разъем на месте. (Не беспокойтесь о горячем клее, ваш 360 полностью привык к теплу.) Как только он остынет и безопасен, удалите весь шебанг из XBox.
В нижней части основной части коробки вырежьте и вырежьте отверстие для порта VGA. Как только отверстие станет достаточно большим, воткните его в порт и просверлите отверстия 1/8 дюйма в пластике, чтобы они соответствовали его креплениям. Затем вы можете ввернуть некоторые стандартные винты в стиле материнской платы ПК, чтобы закрепить порт VGA, как на компьютере. Для добавил предохранительный винт на некоторые гайки с внутренней стороны (или просто залейте кучу горячего клея, если для этого нет места).
Просверлите (3) отверстия 3/8 дюйма для аудио- и видеопортов RCA. Распределите их равномерно.
Убедитесь, что эти порты находятся на боковой стороне коробки подальше от разъема Xbox 360. Так вы будете знать, что внутри у них будет достаточно места.
Снимите оптический аудиопорт с небольшой печатной платы с разъема. Это может помочь сначала «освежить» припой, прежде чем пытаться его удалить.
Сделайте квадратное отверстие для порта на противоположной стороне коробки от порта VGA.Это можно сделать, просверлив отверстие диаметром 1/4 дюйма, а затем вырезав из него углы.
Вставьте оптический порт, как показано ниже. Распиновка 3 центральных контактов также предусмотрена, когда вы прикрепляете его к основному разъему. Два боковых выступа оптического порта подключать не нужно.
Закрепите оптический порт с помощью … достать … горячий клей! Эй, работает.
Деловая часть оптического аудиопорта. Мы действительно думаем, что это называется TOSlink, но оптический аудиопорт звучит больше… гм, универсальный. TOSlink звучит как какой-то чувак из «Властелина колец».
Просверлите отверстие между оптическим портом и аудиопортами, которое будет соответствовать валу селекторного переключателя. Отверстие 3/8 дюйма подойдет для упомянутых выше переключателей Radio Shack или немного меньше, если вы используете переключатель внутри самого разъема.
Установите переключатель, используя еще больше горячего клея. Конечно, будьте осторожны, чтобы не закрыть 3 контакта переключателя.Несмотря на то, что он находится рядом с разъемом Xbox, этот переключатель недостаточно велик, чтобы вызвать проблемы с пространством.
Теперь внутренняя часть коммутационной коробки должна выглядеть так, плюс-минус 5 фунтов горячего клея. Как видите, я подключил заземления всех портов вместе.
Теперь мы можем подключить разъем Xbox к различным портам коммутационной коробки, используя схемы распиновки, расположенные несколькими этажами выше. Некоторые примечания:
Соедините части коробки вместе, как показано, и начните с подключения оптического порта.Обрежьте провода как можно короче, чтобы все было легко запихнуть в коробку.
Подключите заземление к центральному контакту трехконтактного селекторного переключателя, к контакту 20 разъема Xbox с одной стороны, а затем к контакту 24 с другой. Это позволяет переключателю выбирать между режимами VGA и композитным.
Подключите аудио (контакты 15 и 16) и композитное видео (контакт 7) к средним контактам портов RCA. Все внешние кольца портов RCA должны быть заземлены.
После подключения портов RCA заклейте соединения изолентой. Это предотвращает короткое замыкание всего экрана вокруг основных проводов VGA.
Кстати, теперь подключите 5 проводов VGA. Красный, зеленый, синий, H-Sync и V-Sync. Для справки проверьте приведенную выше распиновку порта VGA.
Теперь вы можете закрыть коробку. Соедините половинки вместе, располагая провода по ходу движения, чтобы убедиться, что все будет соответствовать друг другу.
Закрутите корпус — готово!
Шаг 4. Настройка XBox на VGA
Хорошо, подключите коммутационный бокс, кабель или что-то еще, что вы сделали, к монитору / телевизору с поддержкой VGA и Xbox.
Убедитесь, что селекторный переключатель находится в положении «VGA» (контакт 20 заземлен).
Включите все необходимое. Вы должны увидеть загрузку Xbox (это может занять немного больше времени, чем обычно). Если нет, переходите к поиску и устранению неисправностей.
Как только вы войдете, перейдите на панель управления, затем перейдите к колонке «Система» и нажмите «Настройки консоли» и «Дисплей».
Теперь вы можете выбрать разрешение и соотношение сторон экрана, соответствующие вашему экрану. 360 лучше всего работает с широкоформатными дисплеями, хотя вы все равно можете заставить его работать и с квадратными мониторами.Как ни странно, это будет почтовый ящик игры, в то время как панель управления и панели сообщений займут весь экран. Странно, да?
Загрузите Gears of War или другую потрясающе выглядящую игру и пускайте слюни на 50% больше, чем обычно.
Подумайте только — теперь вы можете читать текст в Dead Rising.
Приложение — Устранение неисправностей
О нет! Вы выполнили все инструкции, но что-то не так — случайно ли это из перечисленного?
4 красных огонька (но не смерти).Поскольку все мы слышали о страшных «3 огнях смерти», ЧЕТЫРЕ огня могут вызвать мгновенную сердечную недостаточность. Но не волнуйтесь, на самом деле это просто предупреждение «Отсутствует видеокабель». Проверьте правильность подключения контактов 20 и 24. Если ни один из них не подключен к земле, Xbox не знает, какой видеорежим использовать, и предполагает, что кабеля нет вообще.
Перевернутые цвета в стиле Энди Уорхола. Внезапно у всех мертвых или живых девушек синяя кожа … Аниме? Странный ЗППП? Нет, вы только что перепутали некоторые из ваших RGB-проводов. Теперь мы держим пари, что вы рады, что еще не замазали все соединения горячим клеем, верно?
Ghosting. Если вы видите некоторое двоение изображения на экране, вероятно, у вас недостаточная защита. Убедитесь, что весь экран где-нибудь заземлен. Если вы используете приличный кабель VGA, это действительно не должно быть проблемой, если только вы не живете в Бермудском треугольнике или где-то еще.
Хорошо, извините, если это руководство показалось немного длинным, мы просто хотели убедиться, что вы точно знаете, что делать.Наслаждайтесь новым сверкающим, четким, реалистичным видео высокого разрешения (вставьте сюда свою превосходную степень)!
.