Алгебра иррациональные уравнения 10 класс – «Иррациональные уравнения 10 класс Подготовила учитель математики СОШ 14 г. Северодонецка Афанасьевская Н.И.». Скачать бесплатно и без регистрации.

План-конспект и презентация по алгебре и началам анализа на тему «Иррациональные уравнения» (10 класс)

Тип урока: урок ознакомления с новым материалом и первичное его закрепление.

Цель урока: ввести понятие иррациональных уравнений и показать способы их решения.

Задачи: создать условия:

  • для формирования у обучающихся умений решать иррациональные уравнения;

  • для развития алгоритмического мышления, памяти, внимательности, умения излагать мысли, делать выводы, обобщать;

  • для усиления познавательной мотивации осознанием ученика своей значимости в образовательном процессе;

  • для воспитания у обучающихся самостоятельности.

Время проведения: 45 минут.

План урока.

I. Актуализация

1. Проверка домашнего задания.

2. Повторение пройденного материала.

II. Рассмотрение нового материала

1. Сообщение темы урока.

2. Постановка целей и задач.

3. Рассмотреть некоторые способы решения иррациональных уравнений.

III. Закрепление изученного материала

  1. Устная работа.

  2. Гимнастика для глаз.

  3. Выполнение практических задании.

IV. Подведение итогов. Рефлексия.

V. Домашнее задание

Ход урока.

Эпиграф

hello_html_31ad5ce7.png

I. Актуализация.

Проверка домашнего задания с помощью фронтального опроса при устной работе.

hello_html_m410ddbef.pnghello_html_m765400ae.png

II. Рассмотрение нового материала.

На экране вы видите уравнения

Посмотрите внимательно и определите, какие уравнения вы уже умеете решать, а какие у вас вызывают затруднения?

hello_html_m23f92954.pnghello_html_7926de62.pnghello_html_471d31a6.png

hello_html_m2ba0192c.pnghello_html_m1d45cfa5.pnghello_html_54e22716.png

– Кто может назвать тип уравнения, которые вам знакомы?

Вывод: Остались уравнения, которые вы еще не умеете решать.

– Чем отличается запись этих уравнений от тех, которые мы убрали?

Ответ: Неизвестное находится под знаком корня.

– Верно! Такие уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называются иррациональными уравнениями.

Иррациональное (от лат. irrationalis неразумный, бессознательный) находящееся за пределами разума, противоречащее логике. Обычно противопоставляется рациональному как разумному, целесообразному, обоснованному.

Итак, тема нашего урока: “Иррациональные уравнения”.

Цель урока: Рассмотреть и отработать некоторые способы решения простейших иррациональных уравнений.

Существует множество методов решения иррациональных уравнений, одни из них вы видите на экране. Сейчас мы рассмотрим в некоторые из них и на примерах. Вернемся к нашему эпиграфу, перефразировав слова Декарта, можно сказать, что чем труднее задача, тем больше удовольствия получит тот, кто ее решит. Что вам сейчас и предстоит испытать

hello_html_36ec6f1e.png

Метод возведения в квадрат обеих частей уравнения

ПРОВЕРКА:

3 = 3 (верно)

Ответ: 4

Запомни!

  1. Возвести обе части уравнения в квадрат.

  2. Обязательно сделать проверку!!!

ТРЕНИРУЕМСЯ РЕШАТЬ

Корней нет

Метод замены переменной

Динамическая пауза (лёгкие упражнения для глаз, шеи, плеч, рук, спины)

III. Выполнение практических заданий

IV. Подведение итогов

Рефлексия

Притча: Шёл мудрец, а навстречу ему три человека, которые везли под горячим солнцем тележки с камнями для строительства. Мудрец остановился и задал каждому по вопросу. У первого спросил: «Что ты делал целый день?» И тот с ухмылкой ответил, что целый день возил проклятые камни. У второго спросил мудрец: «А что ты делал целый день?», и тот ответил: «А я добросовестно выполнял свою работу». А третий улыбнулся, его лицо засветилось радостью и удовольствием: «А я принимал участие в строительстве храма!»

— Ребята! Давайте мы попробуем с вами оценить каждый свою работу за урок.

— Кто работал так, как первый человек?

— Кто работал добросовестно?

— Кто принимал участие в строительстве храма науки?

V. Домашнее задание №152(1,3), 153(1,3), 154(1,3)

infourok.ru

Урок алгебры в 10 классе «Иррациональные уравнения»

УРОК АЛГЕБРЫ В 10 КЛАССЕ ПО ТЕМЕ «ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ»

Автор: учитель математики высшей категории ГБОУ школа №38 набок Елена Ивановна

«Выкорчевав даже целый лес, вы едва ли извлечёте квадратные корень»

Фольклор.

Тип урока: урок ознакомления с новым материалом и первичное его закрепление.

Цель урока: ввести понятие иррациональных уравнений и показать способы их решения

Задачи:

Образовательные: сформировать у учащихся умение решать иррациональные уравнения различными способами, отработать навыки решения иррациональных уравнений.

Развивающие:

  • развитие алгоритмического мышления, памяти, внимательности;

  • развитие операционного мышления, направленного на выбор оптимальных решений;

  • развитие у учащихся умения излагать мысли, делать выводы, обобщения;

  • развитие познавательного интереса, логического мышления.

Воспитательные:

  • воспитывать умение преодолевать трудности при решении задач;

  • усиление познавательной мотивации , воспитание у учащихся самостоятельности, умение достойно вести спор, находчивость

Материал разработан применительно к учебнику “Алгебра и начала анализа, 10-11” под редакцией Ю.М.Колягина

Алгебраические выражения А(х) будем называть иррациональными, если неизвестная величина входит в это выражение под знаком корня.

Назовём иррациональными уравнения вида А(х)= В(х), в которых хотя бы одно из выражений иррационально.

Рассмотрим типы иррациональных уравнений.

=a? где a – некоторое число.

0, уравнение не имеет решений. Если а0, возведём обе части в квадрат и решим уравнение А(x)=

Решим уравнение из открытого банка ЕГЭ:

Найдите корень уравнения hello_html_26999dc7.png Возводим обе части в квадрат:

hello_html_30888c6.png

Скажите, обязательно ли искать ОДЗ? Верно, здесь не нужно, т.к. после возведения в квадрат подкоренное выражение оказалось равным положительному числу.

Сразу поговорим об уравнениях, где переменная величина будет находиться под знаком корня нечётной степени. С этими проще всего. Как вы считаете, что нужно сделать в этом уравнении?

Найдите корень уравнения hello_html_m2bdfb4f2.png

Верно, здесь достаточно возвести обе части в куб. (Класс решает самостоятельно, ответ проверяем: х=31).

Теперь посмотрим на уравнения, вида:

. Как вы предлагаете решать это уравнение? Возвести в квадрат? Я с вами соглашусь, но, кажется, этого недостаточно. Кто-то предлагает ещё найти ОДЗ. Но математики очень ленивы, и всячески стараются облегчить себе жизнь. Зачем искать всю область допустимых значений, тем более, что иногда это затратно по времени. Найдём только её часть. Решим, к примеру В(х)≥0. Почему не А(х)≥0 – спросите вы? И вы совершенно правы! Выбирайте, какое неравенство вам решить легче и решайте его! Ведь вы, возведя уравнение в квадрат, только что получили А(х)= В(х). Решим такое уравнение:

=3. Попробуйте сами. Проверим ответ: х=2, всё верно. Интересно, нашлись среди нас герои, которые решали неравенство

х

И, наконец, третий вид иррациональных уравнений:

. Это уравнение сводится к равносильной системе:

На эту тему хочется показать вам самое коварное уравнение среди иррациональных в банке ЕГЭ:

Решите уравнение hello_html_42d82496.png

 Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Обратите внимание на постановку вопроса: «Если уравнение имеет более одного корня». Но мы не такие простаки, мы знаем, что условие неотрицательности правой части выведет нас на правильный ответ! Зачем за этим следить? Правильно, неотрицательная левая часть тащит за собой то же условие для правой.

hello_html_7386df6c.png

А теперь, десерт, господа! Ещё несколько нестандартных приёмов для решения наших прекрасных иррациональных уравнений.

Метод замены

2=33.

Пусть y=, заметим, что y2+3х+9 и уравнение примет вид:

+y-9=33. Находим корни: y=6 (y= — 7 нам не подходит). Получаем уравнение:

=6 и, мы уже знаем, что его достаточно просто возвести в квадрат.

Подожду, пока вы решите сами. Ответ: -4,5 и 3.

Покажу вам более сложную замену. Решим уравнение:

+=1.

Естественно принять за t выражение , tх=+1 и исходное уравнение перепишется в виде: лицах, ибо вы догадались, что следующий переход — к уравнению с модулями:

Снимем модули методом интервалов. Недавно это проходили, кто хочет попробовать?

Ученик решает на доске. Получаем ответ: Для себя отметим, что решая уравнение, мы получили промежуток! Необычно!

Правило «расщепления»

(16

Произведение двух множителей равно нулю, тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0, а остальные при этом имеют смысл.

Тогда уравнение сводим к системе: и уравнению

Ответ: -4; 3.

Метод «угадывания»

. Думаю, ни у кого не возникло желания возводить обе части в куб, тем более, что это не избавит нас от радикалов. Я бы сказала, что это усложнит ситуацию. Заметим, что корень уравнения легко подбирается. Это х=1. Докажем, что других корней нет. Левая часть представляет собой сумму двух возрастающих функций и, следовательно, сама является возрастающей. Т.е. принимает каждое своё значение ровно один раз. А правая часть уравнения – const. Поэтому, других корней нет. Попробуйте этим же способом решить следующее:

= 3-х. Верно, корень х=1. Не забудьте пояснить проверяющему, что с учётом монотонности левой и правой части, других корней нет. Иначе вам не зачтётся решение – подбор надо обосновать!

Метод решения путём анализа области определения

+= 2.

Попытки возведения в квадрат приведут к сложному уравнению четвёртой степени. Выпишем условия, при которых выражения в левой части имеют смысл:

. Эта система не имеет решений! Значит и всё уравнение не имеет решения! Как нам повезло! Если бы не додумались сразу найти ОДЗ, какое разочарование ждало бы нас часа через полтора упорного возведения в квадрат!

Метод «оценок»

. Заметим, что оба радикала в левой части уравнения существуют при любых значениях переменной, правая же часть неотрицательна на . Заметим также, что левая часть может быть равна правой только если обе части одновременно равняются 3. Отсюда находим единственное решение уравнения х=0.

Вспомним, что вы сегодня узнали на уроке?

*Какие уравнения называются иррациональными?

*Какой метод является основным при решении иррациональных уравнений?

*Как избежать проверки и всегда ли надо находить ОДЗ?

*Какие методы решения вы запомнили?

Домашнее задание:

    1. изучите по учебнику метод решения при помощи графиков – задача 4 из §9;

    2. №154;

    3. № 158 решите при помощи монотонности функции;

    4. Найдите корень уравнения: hello_html_42165e1f.png Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них;

    5. Решите, исследуя область определения =.

«Всё есть число» — сказал когда-то Пифагор. Но открытие пифагорейцами иррациональности опровергло эту теорию. Есть трагическая легенда о том, что произошло с учеником Пифагора, рассказавшим эту правду людям. Интрига? Есть повод с толком использовать компьютер и продолжение этой истории мы услышим от самого любознательного на следующем уроке.

Спасибо всем, урок окончен.

infourok.ru

Конспект урока «Иррациональные уравнения», алгебра 10 класс

Конспект урока алгебры в 10 классе по теме «Иррациональные уравнения»

Цель: обобщить теоретические знания по данной теме, рассмотреть некоторые нестандартные способы решения иррациональных уравнений.

Задачи:

Образовательная: закрепить основные приёмы и навыки решения иррациональных уравнений, формировать умения открывать закономерности, решать уравнения нестандартными способами.

Развивающая: развивать логическое мышление, умение анализировать задачу перед выбором способа решения.

Воспитательная: прививать интерес к изучению математики, формировать уверенность в своих силах, умение преодолевать препятствия, как следствие снятие эмоционального напряжения и чувства тревожности пред предстоящей сдачей ЕГЭ.

Оборудование: учебник «Алгебра и начала математического анализа 10» : учебник для общеобразовательных учреждений / [Ю.М. Колягин и др.]; под ред. А.В. Жижченко;

Компьютер;

План урока

Постановка цели урока.

1 минута

II

Актуализация знаний.

6 минут

III

Работа по теме урока.

15 минут

IV

Изучение нового материала.

20минут

V

Итог урока.

2 минуты

VI

Домашнее задание.

1 минута

Ход урока

Какие уравнения называются иррациональными?

Какие приёмы решения иррациональных уравнений вы знаете?

Назовите основные причины появления посторонних корней?

Как избежать ошибки?

Работаем по карточкам. Вам даётся 2 минуты, чтобы решить иррациональное уравнение. Учитель раздаёт карточки (приложение 1) с индивидуальными заданиями, когда все закончат, называет правильные ответы

Уравнение, содержащее переменную под знаком корня, называется иррациональным.

При решении иррациональных уравнений используют тождественные преобразования, применяют метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

Основными причинами появления посторонних корней является возведение обеих частей уравнения в одну и ту же натуральную степень, т.к. получается уравнение – следствие данного.

Нужно обязательно сделать проверку, либо использовать область определения заданного уравнения.

Учащиеся выполняют задание, после сверки ответов ставт себе на карточках либо «+», либо «-» (приложение 2)

Работа по теме урока

Решим несколько уравнений из «Открытого банка математических заданий ЕГЭ 2012»

1)Задание B5 (№ 26656)

Найдите корень уравнения hello_html_5d1f6369.png

2)Задание B5 (№ 26660)

Найдите корень уравненияhello_html_m31c52647.png

3)Задание B5 (№ 26661)

Найдите корень уравненияhello_html_67d5562c.png

4)Задание B5 (№ 26668)

Найдите корень уравненияhello_html_65d3f4e.png

Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

5)Задание B5 (№ 28831)

Найдите корень уравненияhello_html_m406c96fa.png

Учащиеся решают у доски предложенные уравнения.

1) hello_html_5d1f6369.png

15 – 2x = 9

2x = 6

x = 3

Проверка.

3=3 (верно)

Ответ: x=3

2)hello_html_m31c52647.png

=

x=87

Проверка.

= (верно)

Ответ: x=87

3)hello_html_67d5562c.png

2x + 5 = 75

x = 35

Проверка.

5 = 5 (верно)

Ответ: x = 35

4)hello_html_65d3f4e.png

-72 — 17x =

Проверка.

x= -9 меньший корень

9 = 9

x= -8

Ответ: x= -9

5)hello_html_m406c96fa.png

x + 2 = 64

x =62

Ответ: x = 62

Новый материал

Рассмотрим несколько уравнений и найдем наиболее рациональные способы их решения.

= — 1

При любом допустимом значении x левая часть неотрицательна, а его правая часть отрицательна. Следовательно, уравнение не имеет решения.

Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю, если они одновременно равны нулю. Следовательно, уравнение равносильно системе

,

которая противоречива. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений.

Решите самостоятельно №61(3)

Подставляя корни первого уравнения во второе, узнаем, имеет ли система решение.

Подкоренные выражения – противоположные числа

=1;

Проверка показала, что x=1

+ 6t = 0

= 0;

= — 5; — 5

Учащиеся записывают решение в тетрадь

Учащиеся выполняют задание №61(3)

3)=0

Система не имеет решений.

Значит, уравнение не имеет решений.

Ученик решает у доски:

Т.к. ≥0 и ≥ 0, то левая часть уравнения равна нулю, если

+3x-4=0

=1

Учащиеся выполняют задание и приходят к выводу:

Учащиеся записывают решение в тетрадь.

Итог урока

Домашнее задание

№60(1), зад. В5 (№2999, 3285, 27471, 12561), дополнительно задание по карточкам.

Учащиеся записывают задание в дневник.

Приложение 1.

Карточка №1

Карточка №2

Карточка №3

Карточка №4

Карточка №5

Карточка №6

Карточка №7

Карточка №8

Карточка №9

Карточка №10

X+1 =

Карточка №11

Карточка №12

infourok.ru

Конспект урока по алгебре и началам анализа «Иррациональные уравнения» (10 класс)

Конспект урока

по алгебре и началам анализа

10 класс

Учитель – Бахарева С. П.

ГБОУ СОШ № 210

Санкт-Петербург

Вид урока:

— урок объяснения нового материала.

Основные цели урока:

— обучение решению иррациональных уравнений возведением обеих его частей в одну и ту же натуральную степень.

Основные требования к учащимся:

  • все учащиеся должны знать, что при возведении в натуральную степень обеих частей уравнения получается уравнение-следствие, все учащиеся должны знать, что при возведении в натуральную степень обеих частей уравнения полукчается уравнение-следствие,

  • все учащиеся должны уметь решать иррациональные уравнения, аналогичные предложенным в упражнениях урока.

Место урока в изучении данной темы:

План урока.

  1. Проверка домашнего задания – 10 мин.

  2. Постановка задачи урока – 2 мин.

  3. Объяснение нового материала и фронтальная работа с учащимися – 15 мин.

4) Работа учащихся у доски – 10 мин.

5) Подведение итогов урока и постановка домашнее задания на следующий урок – 3 мин.

Словарь использующихся математических терминов.

Степень (возведение в степень), натуральное число, левая и правая части уравнения, равносильные уравнения,
уравнение-следствие, посторонний корень уравнения, иррациональное уравнение, ОДЗ (область допустимых значений), проверка.

Список использующихся математических формул.

1) Если n – чётное число, то hello_html_mc5eeb8c.gif и hello_html_da8af30.gif

2) Если hello_html_4a028aa8.gif, то hello_html_3222b1d7.gif

3) hello_html_32e38858.gif

Ход урока.

  1. Проверка домашнего задания:

Выясните, равносильны ли следующие уравнения. Если уравнения неравносильны, то установите, какое из двух уравнений является следствием другого уравнения?

1) hello_html_51a2a9fc.gif и hello_html_4dcba364.gif

2) hello_html_m1a721ad2.gif и hello_html_m2e663996.gif

3) hello_html_6ce07243.gif и hello_html_36b53e13.gif

4) hello_html_m5c3b1063.gif и hello_html_647b538.gif

5) hello_html_m60822931.gif и hello_html_3e700112.gif

6) hello_html_3b4ff8e8.gif и hello_html_5a5a55fc.gif

7) hello_html_m22c3fca6.gif и hello_html_m2463b760.gif

8) hello_html_m6d2496c3.gif и hello_html_m31361ee5.gif

9) hello_html_m2c540935.gif и hello_html_3ac30caf.gif

10) hello_html_m21aa6d1c.gif и hello_html_639b885d.gif

! В домашней работе пять последних заданий даны по новой, ещё не изученной учащимися теме «Иррациональные уравнения». Задания эти содержат несколько несложных иррациональных уравнений, рассчитанных на догадливость и смекалку учащихся. Такой аспект в домашнем задании по всей вероятности будет способствовать более эффективному восприятию новой темы и как следствие более глубокому пониманию нового материала. Если всё же учащиеся не сообразят, как решить эти задания, учитель сначала объясняет новую тему, а потом уже учащиеся снова возвращаются к их выполнению.

  1. Постановка задачи урока:

Главная задача урока — научиться решать иррациональные уравнения c выполнением ОДЗ или проверки — исходит из проблемы выполнения последних пяти заданий домашней работы.

  1. Объяснение нового материала:

Определение.

Уравнение называется иррациональным, если неизвестное х в нём стоит под знаком корня.

! Иррациональные уравнения решают путём возведения обеих частей уравнения в натуральную степень.

Из разбора последних двух примеров домашнего задания ясно, что при возведении обеих частей уравнения в натуральную степень получается уравнение, неравносильное данному, а именно: уравнение–следствие данного. А тогда могут появиться посторонние «лишние» корни, которые в ответ записывать нельзя. Для того, чтобы узнать, является или нет получившийся корень посторонним, необходимо при решении любого иррационального найти ОДЗ или выполнить проверку (смотря что удобнее для конкретного примера).

После этой теоретической части учащиеся устно с помощью учителя выборочно разбирают задания:

1) hello_html_m6ab79aca.gif; 2) hello_html_m3ee3911.gif; 3) hello_html_m6b971c5c.gif; 4) hello_html_m5c339bbb.gif; 5) hello_html_m2e942cfa.gif,

а затем письменно, также с помощью учителя № 152 (1,3):

1)hello_html_m325fd1d9.gif, 3)hello_html_m205ea6c0.gif.

Фронтальная работа с учащимися:

Учитель предлагает каждому ученику одно задание, оформленное на листе формата А4 (заданий соответственно столько же, сколько учеников в классе). Ученики отвечают устно. Задания таковы:

1)hello_html_m2cffd4f8.gif; 2) hello_html_767101bc.gif; 3)hello_html_m3075e20d.gif; 4)hello_html_m47d7b56.gif; 5)hello_html_m5fb8d0e5.gif;

6)hello_html_4146e389.gif; 7) hello_html_1c8e18a5.gif; 8) hello_html_m5183a3cb.gif; 9) hello_html_m180b5d0f.gif.

  1. Работа учащихся у доски:

Учащиеся по очереди выполняют у доски:

hello_html_ee67f17.gif;

hello_html_m311e292f.gif;

  • hello_html_m2091588e.gif

5. Домашнее задание:

читать материал учебника

hello_html_163cee94.gif;

hello_html_61344b3c.gif, hello_html_m21015e81.gif.

hello_html_m82c425.gif, hello_html_4e201009.gif, hello_html_m27c17e98.gif.

infourok.ru

Урок по алгебре и началам математического анализа на тему «Решение иррациональных уравнений» (10 класс)

Решение иррациональных уравнений

10 класс

Учитель математики МБОУ СОШ №47

Яцкевич Татьяна Валентиновна

г.Белгород

2017г.

Тема. Решение иррациональных уравнений.

Цели.

Образовательные:

  • организовать деятельность учащихся по самостоятельному применению комплекса знаний и способов действий;

  • включить усвоенные знания и способы действий учащихся по данной теме в общую систему их знаний и способов действий.

Развивающие:

  • обеспечить развитие у школьников умений сравнивать познавательные объекты;

  • создать условия для развития умения осуществлять исследовательскую деятельность;

  • содействовать развитию у учащихся умений осуществлять самоконтроль, самооценку и самокоррекцию учебной деятельности.

Воспитательные:

  • содействовать осознанию учащимися ценности изучаемого предмета;

  • содействовать развитию у обучающихся умений общаться;

  • помочь учащимся осознать ценность совместной деятельности.

Тип занятия. Урок комплексного применения знаний и способов действий.

Вид учебного занятия. Урок исследование.

Технология. Традиционная в сочетании с элементами проблемного обучения, с элементами адаптивной системы обучения и элементами групповой технологии.

Оборудование. Проектор, плакат, оценочные таблицы, тесты, карточки с заданиями групповой и домашней работами.

Логика занятия.

Мотивация + задачиhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m6bb904b4.gif актуализация комплекса знаний и способов действий hello_html_m6bb904b4.gif самостоятельное применение знаний hello_html_m6bb904b4.gif выполнение тестов + групповая работа hello_html_m6bb904b4.gif самоконтроль и контроль hello_html_m6bb904b4.gifприменение комплекса знаний и способов действий hello_html_m6bb904b4.gif формулировка проблемы hello_html_m6bb904b4.gif выдвижение гипотезы hello_html_m6bb904b4.gif проверка гипотезы hello_html_m6bb904b4.gif выводы по результатам исследовательской работы hello_html_m6bb904b4.gif оценка результата hello_html_m6bb904b4.gif подведение итогов урока hello_html_m6bb904b4.gif рефлексия деятельности hello_html_m6bb904b4.gif информация о домашнем задании.

Эпиграф занятия: «Силу уму придают упражнения, а не покой».

Ход занятия.

I. Организация начала занятия.

Проверить готовность класса к уроку.

II. Подготовка учащихся к активной учебно – познавательной деятельности на основном этапе урока.

II1. Мотивация учения и формулировка задач в действиях учащихся.

А знаете ли вы, что термины радикал и корень были введены в XII в. и происходят от латинского слова radix? Знак корня в виде символаhello_html_m53d4ecad.gifV появился впервые в 1525 г. Современный символ hello_html_m26392bbb.gif введен Декартом, добавившим горизонтальную черту.

Сегодня на занятии мы продолжим рассмотрение способов решения иррациональных уравнений. Нами будут разобраны:

  1. Метод введения новых переменных.

  2. Метод умножения обеих частей на некоторое выражение.

  3. Метод, основанный на исследование монотонности функции.

  4. Метод оценки обеих частей уравнения.

Прежде, чем перейти к основному этапу урока, мы выполним тест, проверим его, затем решим уравнения, разбившись на группы.

II2. Актуализация комплекса знаний и способов действий.

1) Выполнение теста.

Вариант 1

  1. Найдите корень уравнения или сумму, если корней несколько

hello_html_m389d6cbe.gif

1) 7 2) 10 3) -1 4) 1;

  1. Решите уравнениеhello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_m4a53e2e1.gif

1hello_html_m3bedfe00.gifhello_html_3e457f67.gif) 0 2) 2 3) R 4) hello_html_m53d4ecad.gif;

  1. Решите уравнение

hello_html_m37c15383.gif;

  1. Решите уравнение, в ответе укажите число корней

hello_html_63fcbad6.gif

1) 0 2) 1 3) 2 4) 3;

5. Решите уравнение

hello_html_m7dde4934.gif

1hello_html_m3bedfe00.gifhello_html_3e457f67.gif) 4 2) –6 3) 4) 1.

  1. Найдите корень уравнения или сумму, если корней несколько

hello_html_m7b7a51f7.gif

1) 2 2) 7 3) 5 4) 3;

  1. Решите уравнение

hello_html_m260dff0.gif

1) (3; hello_html_m62eac1ed.gif) 2) [3; hello_html_m62eac1ed.gif) 3) 3 4) R;

  1. Решите уравнение

hello_html_4cf55034.gif

  1. Решите уравнение, в ответе укажите число корней уравнения

hello_html_143c2a25.gif

1) 0 2) 1 3) 2 4)3;

  1. Решите уравнение

hello_html_m2ee6b1c8.gif

1hello_html_m3bedfe00.gifhello_html_3e457f67.gif) 2 2) 3) –5 4) –3 .

2) Групповая работа.

Учащиеся решают задания по карточкам, разбившись на группы. Оценивает работу каждого ученика своей группы консультант.

I.

Решите уравнение:

1) hello_html_m668ead66.gif (2 балла)

2) hello_html_m71dc62d6.gif(2 балла)

II.

Решите уравнение:

1) hello_html_5d1dc56b.gif(2 балла)

2) hello_html_m2fd09ba1.gif(2 балла)

Оцените работу группы по каждому заданию по следующим критериям:

Результат своей деятельности учащиеся заносят в оценочную таблицу.

III. Применение комплекса знаний и способов действий.

На дом группам были заданы уравнения, которые они должны были решить с помощью метода введения новой переменной; метода умножения обеих частей на некоторое выражение; метода, основанного на исследование монотонности функции; метода оценки обеих частей уравнения.

Здесь идет исследовательская работа по схеме (схема представлена на доске):

  1. Осознание проблемной ситуации.

  2. Формулировка проблемы.

  3. Выдвижение гипотезы.

  4. Актуализация знаний, умений.

  5. Проверка гипотезы.

  6. Формулировка результата.

  7. Оценка результата.

На доске разбираются способы решения следующих иррациональных уравнений:

1. hello_html_d3b74ee.gif

2. hello_html_m59471d11.gif

3. hello_html_2db3093.gif

4. hello_html_m797bb0f3.gif.

5. hello_html_ma9f00b3.gif

6. hello_html_43827fa6.gif

7. hello_html_m3216e8bd.gif

Учащиеся предлагают свои способы решения. Взвешивают уровень сложности каждого предложенного способа, потраченное время на решение, рациональность решения. Определяют «красивый», с их точки зрения, способ.

№1

hello_html_m463ba2d4.gif

Предложены два способа решения данного уравнения:

  1. Пусть hello_html_m4990a444.gif, тогда х + 2 = t2, х = t2 – 2.

Получили уравнение четвертой степени: 3t4 – 4t3 – 11t2 + 8t + 12 = 0.

Подбором нашли, что t = 2 – один из его корней. Поделили многочлен 3t4 – 4t3 – 11t2 + 8t + 12 на двучлен t – 2, в частном получили 3t3 + 2t2 – 7t – 6 . Далее решили уравнение 3t3 + 2t2 – 7t – 6 = 0 способом подбора: t = -1. Опять поделили многочлен 3t3 + 2t2 – 7t – 6 на двучлен t + 1 и решили уравнение: 3t2 – t – 6 = 0, t =hello_html_m5ebb58e7.gif, где t =hello_html_247a5cb8.gif не удовлетворяет условию thello_html_m3bf73fd8.gif. Вернулись к замене:

hello_html_2892a046.gif или hello_html_48ae104e.gif, решая полученные уравнения получили корни исходного: х = 2; х = hello_html_3c2f1ee9.gif.

  1. Традиционный способ, т.е. возведение обеих частей уравнения в квадрат, привел к уравнению четвертой степени: 9х4 – 10х3 – 19х2 + 4х +4 = 0. Подбором нашли, что х =2. Разделили многочлен 9х4 – 10х3 – 19х2 + 4х +4 на двучлен х – 2, получили уравнение: 9х3 + 8х2 – 3х – 2 = 0. Можно ли считать уравнение решенным? Нет. Найти корни уравнения этим способом не удалось.

  2. Это уравнение однородное, разделим обе части уравнения на х2, х = 0 не является корнем уравнения.

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m37f4e75c.gif получим квадратное уравнение.

hello_html_m53d4ecad.gif Пустьhello_html_2c9a97c6.gif, тогда t2 – 4t + 3 = 0, t = 1 или t = 3. Отсюда

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m5071b17f.gif или hello_html_m60eada9f.gif. Решая полученные уравнения, находим корни исходного: hello_html_m2f3b3837.gif.

Ответ: hello_html_m2f3b3837.gif.

Учащиеся пришли к выводу, что второй способ рациональнее и на его решение ушло меньше времени

№2

Предложены два вида способа замены переменных уравнения:

hello_html_220178bc.gif

  1. Пусть hello_html_m341cd17b.gif тогда hello_html_57438af5.gif

Данное уравнение равносильно системе:

hello_html_463e5a66.gift = 0,6.

Вернемся к замене: hello_html_m78882f5e.gif получим х = 0,64.

  1. Пусть hello_html_6da5f45.gif тогда получим систему уравнений: hello_html_m194d2cbc.gif

Решая которую, получим: hello_html_m5076de65.gif или hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m357ec71b.gif

Первая система не удовлетворяет условию hello_html_m568030db.gif, следовательно

hello_html_ma2b7aaa.gifили х = 0,64. Проверкой убеждаемся, что х = 0,64 является корнем уравнения.

Ответ: 0,64

№3

hello_html_2db3093.gif

Рассмотрены два способа решения:

  1. Способ умножения на сопряженное выражение.

  2. Способ подстановки.

  1. Умножим обе части уравнения на hello_html_m4814e5e3.gif и перейдем к равносильной системе уравнений:

hello_html_a985e85.gif

которую решим способом сложения.

2hello_html_31757e8.gif

hello_html_m2ff5c225.gif

hello_html_15b9e63b.gif

hello_html_3123bb83.gif

2) Пусть hello_html_3c954273.gif, тогда hello_html_m3ed987ee.gif Решаем его возведением в квадрат, получим t = 1. Вернулись к замене: hello_html_m69dc1a3d.gifhello_html_3123bb83.gif

Проверкой убеждаемся, что это корни уравнения.

Предложена еще одна замена. Пусть hello_html_6f637b0f.gifтогда hello_html_m62efff5b.gif

после решения которого, пришли к тем же корням.

Ответ: 1; 2

Задаются вопросы.

Можно ли было решить уравнение способом возведения обеих частей

уравнения в квадрат? Можно.

Какой способ самый рациональный?

№4

hello_html_m797bb0f3.gif.

Было предложено два способа решения уравнения: метод оценки и введение новой переменной.

  1. Решим уравнение методом оценки.

Используя формулу hello_html_m7f5e151a.gifоценим левую часть, получим hello_html_4ee3632b.gif; в правой части выделим квадрат двучлена х2 –2х +3 = (х – 1)2 +2 hello_html_m1d892cb.gifhello_html_m4855e294.gifhello_html_7d762f34.gif

Решая второе уравнение системы, получим х = 1, подставим в первое уравнение, получим верное равенство. Отсюда х = 1 – корень уравнения.

  1. Метод введения новой переменной озадачил учащихся.

У учащихся не было уверенности в том, что корни найдены все.

Пусть hello_html_156a7d64.gif, тогда 2hello_html_m4f82e625.gif Возведем в квадрат обе части уравнения, получим: t4 — 4t2 +4t – 8 = 0, (t – 2)(t3 + 2t2 +4) = 0. t – 2 = 0 или

t3 + 2t2 +4 = 0. Первое уравнение имеет корень 2, второе не имеет корней, в этом мы убеждаемся, решив его графически.

Вернемся к замене: hello_html_mc86f48c.gif х2 – 2х + 1 = 0, х = 1.

Проверкой убеждаемся, что и есть корень уравнения.

Ответ: 1

Учащиеся пришли к выводу, что первый способ оригинальнее.

№5

hello_html_m7971b635.gif

Учащиеся пришли к единому мнению, что метод, основанный на монотонности функции, самый «красивый» и рациональный, хотя некоторые решали это уравнение методом введения новой переменной.

Найдем область допустимых значений уравнения: hello_html_m34c7ad0a.gif

Рассмотрим функцию f(x) = 2hello_html_1d5a34c6.gif, она возрастает на [1; 3], а g(x) = hello_html_m5033786f.gifубывает на [1; 3]. Следовательно, исходное уравнение имеет один корень, если он есть. Подбором находим, что х = 2.

Ответ: 2

№6

hello_html_m62b715c7.gif.

Рассмотрели один способ решения: способ введения новой переменной. Его оригинальность заключалась в том, что после введения замены перешли к равносильной системе.

Пусть hello_html_m36a4ea2f.gif 2х = t3 + 1,

hello_html_2bf51032.gif

Вычтем из первого уравнения второе, получим: hello_html_mb51dbaa.gifhello_html_m45c4df05.gif

Рассмотрим первое уравнение: х = t или х2+хt +t2+2 = 0, но х2+хt +t2+2 > 2, следовательно х3 – 2х + 1 = 0.

Получим: hello_html_m32c69e4d.gif

Ответ: hello_html_m52577737.gif

№7

hello_html_m3216e8bd.gif

Здесь учащиеся увидели метод оценки. Оценив слагаемые, пришли к системе: hello_html_525cf60d.gif Решая второе уравнение и подставляя корни в первое, получили: х = 1 или х = 6.

Ответ: 1; 6

IV. Подведение итогов урока – исследования.

1. Выставление оценок, отвечающим у доски учащимся.

  1. Перевод баллов в школьную оценку.

Подведя итог урока, хочется вернуться к эпиграфу урока: «Силу уму придают упражнения, а не покой».

V. Рефлексия деятельности.

1. Помогла ли тебе смекалка в выполнении некоторых заданий теста или ты полностью решал каждое задание?

2. Каково на твой взгляд последнее задание теста?

3. Работа в группе помогает или тебе все равно как работать?

4. Комфортно ли тебе работать в твоей группе?

5. То, что ты сделал сам, тебе больше нравится, бесспорно, но согласен ли ты с другими более рациональными методами?

VI. Информация о домашнем задании.

Решите уравнения:

1) hello_html_m75f91183.gif

2) hello_html_1d2e55d6.gif

3) hello_html_m37c896e8.gif

4) hello_html_m4d723dcd.gif

5) hello_html_m18613f50.gif

infourok.ru

Урок «иррациональные уравнения»( 10 класс)

Урок: иррациональные уравнения.

Тип урока – урок систематизации знаний.

Ход урока

1. Организационный момент.

Приветствие учителем учащихся. Настрой на работу.

2. Сообщение темы, целей, формы проведения урока.

Итак, мы завершаем изучение темы «Иррациональные уравнения», выходим на контрольную работу, поэтому цель нашего урока систематизировать знания по этой теме.

  1. Иррациональные уравнения

Иррациональным называется уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня.

Решаются такие уравнения возведением обеих частей в степень. При возведении в четную степень возможно расширение области определения заданного уравнения. Поэтому при решении таких иррациональных уравнений обязательны проверка или нахождение области допустимых значений уравнений. При возведении в нечетную степень обеих частей иррационального уравнения область определения не меняется.

Иррациональные уравнения стандартного вида можно решить пользуясь следующим правилом:

  1. Решение иррациональных уравнений стандартного вида:

а) Решить уравнение = x – 2,

Решение.

= x – 2,

2x – 1 = x2 – 4x + 4, Проверка:

x2 – 6x + 5 = 0, х = 5, = 5 – 2,

x1 = 5, 3 = 3

x2 = 1 – постор. корень х = 1, 1 – 2 ,

Ответ: 5 пост. к. 1 -1.

б) Решить уравнение = х + 4,

Решение.

= х + 4,

Ответ: -1

  1. Самостоятельная работа

Вариант 1

Решите уравнение:

а) hello_html_1d35b7fb.gif = hello_html_4805c602.gif. (4 балла)

б) hello_html_3820ac08.gif – hello_html_527cb1dd.gif = 2. (4 балла)

в) hello_html_3820ac08.gif = 2 – х. (4 балла)

Вариант 2

Решите уравнение:

a) hello_html_1951966d.gif = hello_html_mefc9e51.gif . (4 балла)

б) hello_html_m2cded4de.gif – hello_html_m647c24b7.gif = 2. (4 балла)

в) hello_html_2e1c62ad.gif = х – 3. (4 балла)

Ответ: В-1: а) корней нет; б) 6; в) корней нет.

В-2: а) 4; б) 5; в) корней нет.

4. Подведение итогов работы на уроке.

5. Рефлексия.

Учащимся предлагается закончить одно из предложений

Закончите предложение:

Мне сегодня удалось (понять, разобраться, осознать) …

Самым интересным (познавательным, необыкновенным ) сегодня было …

Труднее всего мне сегодня …

infourok.ru

Конспект урока по алгебре и началам анализа в 10 классе по теме: «Решение иррациональных уравнений»

Конспект урока по алгебре и началам анализа в 10 классе

Класс: 10

Тема урока: «Иррациональные уравнения»

Оборудование проектор, слайды по теме урока, доска на три человека, карточки-раздаточный материал.

Цели урока:

обучающая — обобщить и систематизировать знания учащихся по применению различных способов решения иррациональных уравнений с одним корнем или с двумя.

развивающая — развить нестандартное мышление через умение находить рациональные пути решения, научить переключаться с одного способа на другой.

воспитательная — воспитать культуру соблюдения всех этапов аргументации при решении уравнений, терпение, упорство в достижении цели.

Ход урока

1. Введение в урок, организационный этап.

Здравствуйте ребята! Тема нашего урока: «Способы решения иррациональных уравнений».

Цель урока состоит в том, чтобы обобщить и систематизировать методы решения иррациональных уравнений; познакомить вас с новым типом иррациональных уравнений, состоящих из двух радикалов; на этом уроке мы попытаемся научиться определять оптимальный способ решения того или иного иррационального уравнения.

2. Устный счет, проверка домашнего задания.

Начнем с обзора домашнего задания. Откройте тетради с домашней работой. На дом вам было задано решить уравнения различными способами: методом равносильных переходов и методом проверки. Кто покажет свое решение на доске? Пожалуйста. (Выходят два ученика и приступают к оформлению решений уравнений, решенных различными способами).

А остальные включаются в устный счет (работа с классом)

1) Имеет ли уравнение корни hello_html_m4d5e769d.gif

Ответ: Нет. Почему? (Так как правая и левая части принимают разные значения).

2) Решите уравнение hello_html_m280c629e.gif

Ответ: hello_html_m5d6e885a.gif

3) Решите уравнение hello_html_m7a0dc58a.gif

Ответ: Нет решений. Поясните. (Так как корень квадратный ни при каких значениях х не может принимать значение равное – 2.)

4) Решите уравнение hello_html_m77b72a9b.gif

Ответ: Нет решений. Поясните. (Так как сумма двух неотрицательных выражений не может принимать отрицательное значение).

5) Решите уравнение hello_html_m4309e95e.gif

Ответ: х=3. Поясните ход решения. (Так как сумма двух неотрицательных выражений равна нулю, если только оба слагаемых одновременно равны нулю).

Итак, как вы уже заметили, уравнение может иметь единственный корень или несколько корней, а может совсем не иметь решений. Вы так же поняли, что, иногда, только по виду уравнения можно сразу определить количество его корней. В большинстве же случаев, которые вы изучали уже ранее, только доведя решение задачи до конца, можно однозначно ответить на этот вопрос.

Напомню, что решениями или корнями уравнения называют те значения переменной, при подстановке которых в него, обе части уравнения одновременно принимают одно и тоже значение. Обратите внимание, что к решениям уравнения используется устоявшийся термин «корень». И сегодня мы будем рассматривать иррациональные уравнения, содержащие только квадратные корни.

Наши отвечающие у доски уже готовы, давайте посмотрим на их решения.

Уравнение на доске 1-го ученика. Решить: hello_html_1b56b1a1.gif.

Решение:hello_html_m75be547b.gif

hello_html_m6f68de16.gif

hello_html_m2a5b124b.gif. Ответ: hello_html_m6c908190.gif.

Учитель: Ответьте, ребята, почему этот пример не был проверен способом подстановки?

Ученик 1: В таком способе отбора корней необходимо вычислить значения обеих частей уравнения и убедиться, что они принимают равные значения. Очевидно, что достаточно трудно вычислить значение левой части уравнения при hello_html_m2a5b124b.gif.

Учитель: Да, но не надо забывать и достоинства способа проверки корней уравнения с помощью их подстановки в него. Ведь этим способом мы заодно проверяем, не допустили ли мы арифметической ошибки? Давайте разберем другое уравнение, приведенное на доске и проверенное методом подстановки.

Уравнение на доске 2-го ученика. Решить: hello_html_m76b2176f.gif.

Решение: hello_html_158278fa.gif

hello_html_449301da.gif

hello_html_m5fa3fd6b.gif.

Проверка: hello_html_m5ca82a04.gif

hello_html_m609b3277.gifравенство неверное.

hello_html_m5fa3fd6b.gif— не является корнем исходного уравнения.

Ответ: корней нет.

Учитель: Скажите, обязательно ли было записывать проверку в решении, если вы сделали ее устно?

Ученик 2: Здесь очень важно было доказать, что данное уравнение решений не имеет, поэтому проверка является доказательством того, что найденный корень как раз посторонний, поэтому эту часть решений приводят обязательно.

Учитель: А если бы этот корень при подстановке подходил и превращал уравнение в верное числовое равенство, надо было бы выписывать в решении проверку и почему? Кто из класса ответит?

Ученик 3: Конечно надо, так как при возведении в квадрат мы переходили к уравнению, которое может иметь посторонние для исходного уравнения корни. Надо проверить, какие именно корни являются решениями исходного иррационального уравнения.

Учитель: Молодцы все, кто был у доски и активно участвовал в обсуждении и устном счете!

3. Сравнительный анализ аналитических способов решений иррационального уравнения имеющего стандартный вид.

Учитель: Давайте теперь перейдем к обзору многочисленных способов решения иррациональных уравнений. Для начала вспомним, какие именно уравнения называются иррациональными?

Ученик: Уравнения, содержащие переменную под знаком корня.

Учитель: Верно, иногда еще говорят, что это уравнения, содержащие знак радикала, и это тоже будет правильно, так как знак самого корня hello_html_2d985148.gif произошел от латинской буквы r . Дело в том, что первыми «нерациональными» числами считались числа, содержащие корень, «который не извлекался». Например, hello_html_m1250cc10.gif Поэтому и уравнения, содержащие под корнем переменную, стали называть иррациональными. Однако в конце урока я напомню вам еще об одном «важном» для математиков иррациональном числе, которое вы прекрасно знаете. Однако, «иррациональным» оно стало считаться намного позже чисел, указанных выше, то есть содержащих радикал.

Итак, давайте обобщим наблюдения по использованию различных способов отбора корней при возведении в квадрат стандартного иррационального уравнения, выделим их достоинства и недостатки.

1) если проверять корни «подстановкой» их в исходное уравнение, то в случае равенства левой и правой части мы убеждаемся, что в решении мы не допускали арифметических ошибок. Помните, как именно для этого производилась проверка при решении уравнений в младших классах?

Недостаток способа решения «подстановкой» проявляется в случае, если корни «неудобные» с точки зрения арифметики.

2) если найденные корни дробные, многозначные или иррациональные, то, как вы уже знаете, можно проверить только неотрицательность правой части стандартного иррационального уравнения. В этом и заключается достоинство метода «равносильного перехода».

3) напомню теперь третий способ, который мы сегодня не приводили на примерах. Если при возведении в квадрат получаются трудоемкие упрощения и вычисления, тогда обратите внимание на решение системы условий, при которых одновременно и подкоренное выражение и правая часть, которой этот корень равен, являются неотрицательными. Посмотрите, пожалуйста, на следующий слайд:

Решить уравнениеhello_html_6afd33e6.gif.

hello_html_45fdc30a.gif

Ответ: решений нет.

Учитель: Кто прокомментирует решение?

Ученик: Так как корень уравнения при подстановке в уравнение превращает его в верное числовое равенство, то, прежде всего, этот корень должен удовлетворять выписанной системе условий. Достаточно заметить, что эта система решений не имеет, а это значит, что и само уравнение не имеет корней.

Учитель: Давайте этот метод назовем «метод пристального взгляда», так как если вовремя обратить на такую систему внимание, это значительно сэкономит время при решении такого уравнения.

4. Сравнительный анализ различных способов решения уравнений, содержащих один корень.

Учитель: Ранее мы обсудили различные способы отбора корней стандартного иррационального уравнения, повторив их дома. Давайте теперь решим одно уравнение различными способами в тетрадях и на доске. Открыли тетради, записали число и задание. Решить уравнение hello_html_m637e35f5.gif. Каждый ряд решает это уравнение своим способом: 1 ряд – возведением в квадрат, 2 ряд – введением новой переменной, 3 ряд – графическим способом. По одному ученику из каждого ряда выполнят эту же работу у доски. Кто к доске?

(Три ученика одновременно вызываются к доске)

(После пяти минут работы, происходит анализ решений со всем классом)

1-й способ решения, «Возведением в квадрат».

Решить уравнениеhello_html_m637e35f5.gif.

Решение:hello_html_m53db993d.gif

hello_html_3357705b.gif

hello_html_20ce3e87.gifОтсюда, hello_html_m2062a8d0.gifОтвет: 4.

Учитель: Вопрос ряду 2 и 3. Скажите, а почему важно было сначала уединить корень перед возведением в квадрат?

Ученик: Если уединить корень мы сразу от него избавляемся, для чего и возводим его в квадрат.

Учитель: Правильно. Давайте теперь посмотрим, как можно свести уравнение с корнем к квадратному методом «подстановки».

2-й способ решения. «Введения новой переменной».

Решить уравнение hello_html_m637e35f5.gif.

Решение: Пусть hello_html_5bfa308d.gif, где hello_html_m6579d8c5.gif, тогда hello_html_451c637d.gif.

Решим систему:

hello_html_m5b8934cb.gif

hello_html_m71cba2dd.gif

hello_html_11279a3.gif. Отсюда, hello_html_mb47d03f.gif; hello_html_b5a8b85.gif. Ответ: 4.

Учитель: Вопрос ряду 1 и 3. А если не выписывали бы условие на новую переменную, как тогда нужно оформлять решение?

Ученик: Тогда бы при возвращении к х нужно было бы записать, что уравнение hello_html_459b4397.gif не имеет решений.

Учитель: Правильно. Посмотрим теперь другое решение этого же уравнения.

3-й способ решения. «Графический».

Решить уравнениеhello_html_m637e35f5.gif.

Решение: hello_html_m53db993d.gif

hello_html_m1b3ed541.gif

hello_html_m689a1f4e.gif

Рис.1.

Проверка: подставим hello_html_b5a8b85.gif в систему hello_html_64bd4494.gif— система верна.

Из рисунка 1 видно, что найденная точка их пересечения hello_html_m58e469d3.gif единственная, то есть hello_html_b5a8b85.gif единственный корень исходного уравнения.

Учитель: Вопрос 1 и 2 ряду. Скажите, а почему «из чертежа очевидно», что будет только одна точка пересечения?

Ученик: Обе эти функции монотонно возрастают, причем прямая быстрее увеличивает свои значения, чем функция hello_html_m474286c5.gif. Это значит, что график последней функции никогда не догонит прямую hello_html_m33d553dc.gif после того, как они пересеклись при hello_html_b5a8b85.gif.

Учитель: Тем более, что при hello_html_111bcad6.gif прямая лежала ниже графика hello_html_m474286c5.gif.

Все молодцы! Мы рассмотрели различные способы решения уравнений с одним корнем. Как видите графический способ нагляднее, но трудный в угадывании корней, а так же, в обосновании их количества. В этом он и проигрывает любому аналитическому способу.

Давайте теперь проанализируем приведенные на слайде три решения одного иррационального уравнения и выберем самое красивое из них.

Слайд 1. Решить уравнение hello_html_eb3f45d.gif

Решение. «Возведение в квадрат» перейдем к системе:

hello_html_m3928ee2f.gif

hello_html_m1e76130b.gif

Так как первое уравнение имеет D= — 3<0, то система не имеет решений.

Ответ: нет решений.

Слайд 2. Решить уравнение hello_html_eb3f45d.gif

Решение: «Пристальным взглядом» можно заметить, что корень уравнения должен удовлетворять системе условий:

hello_html_3405506.gif

hello_html_3fba2ea0.gif

Так как система не имеет решений ни при одном значении x, то корней нет.

Ответ: нет решений.

Слайд 3. Решить уравнение hello_html_eb3f45d.gif

Решение: «Графический способ» применим к системе:

hello_html_1d8ef242.gif

hello_html_a2db956.gif

Так как при hello_html_m73fe69c0.gif функция hello_html_m7ed2ab56.gif монотонно возрастает, а hello_html_m51a2a55d.gif монотонно убывает. С учетом, что при hello_html_m2bcca9b2.gif прямая лежит ниже нуля, то графики рассматриваемых функций не пересекутся.

Ответ: нет решений.

Учитель: Каким же способом рациональнее было решать данное уравнение?

Класс: Вторым способом.

5. Индивидуальная работа. А теперь попробуйте решить уравнения методом введения новой переменной. Решаем уравнение, поднимаем руки и сверяем свои решения с приведенным на слайде.

hello_html_3189f62e.gif

6. Применение изученных способов к решению уравнений с двумя радикалами.

Учитель: Давайте теперь попробуем решить уравнение с двумя квадратными корнями различными способами. Все пишут в тетрадях, я у доски.

Решить уравнениеhello_html_30e4f365.gif.

Решение 1: Перед тем, как возвести обе части уравнения в квадрат часто целесообразно сначала уединить корень, как это уже мы делали ранее.

hello_html_m1d933e13.gif

Методом равносильных переходов решить полученное уравнение достаточно тяжело, а значит не рационально. Возведем в квадрат левую и правую часть уравнения и затем проверим корень подстановкой.

hello_html_857f5c5.gif

hello_html_m57d23154.gif

hello_html_m5168cbc3.gif

hello_html_m78fcfce9.gif

hello_html_7924ab2d.gif

Проверка. Подставим в уравнениеhello_html_7924ab2d.gifhello_html_46395721.gif; hello_html_m3b5d3d74.gif— верное равенство, то есть 2 является решением исходного уравнения.

Ответ: 2

Графически представить части уравнения, даже переносом радикалов в разные стороны достаточно сложно, хотя и можно построить с помощью переносов осей графики частей уравнения hello_html_m1d933e13.gif Но из этого все равно следует, что корень придется угадывать и проверять, а его единственность обосновывать монотонностью функций. В этом случае есть способ попроще, но, по сути, он аналогичен графическому.

Решение 2: Так как каждое из слагаемых левой части уравнения hello_html_30e4f365.gif монотонно возрастает при увеличении переменной, то и их сумма монотонно возрастает, а, значит, любое свое значение правая часть уравнения принимает только при одном значении hello_html_m70991190.gif. Подбором можно проверить, что при hello_html_6112d8ac.gif левая часть равна пяти, следовательно, других таких значений х не существует. Ответ: 2.

Учитель: Какой из способов решения наиболее оптимален?

Класс: Второй способ.

Учитель: Еще раз отметим, что метод возведения в квадрат значительно упрощается во многих случаях, если уединить корень. Но этот аналитический способ универсальный, так как графический способ «монотонности левой части»» не всегда применим. Тем более если корень попросту не угадывается. А доказать, что его не существует вообще не возможно. Например, кто может сказать, почему последний способ не применим к уравнению hello_html_63b7cc15.gif, в котором надо найти все целые решения?

Ученик: Так как один корень левой части является монотонно возрастающей функцией, а второй — убывающей, то их сумма может не быть монотонной при любых х. А значит и значение равное 1 может принимать два раза.

Учитель: Остается только уединять один из корней, возводить в квадрат и выполнить проверку. Но это я предлагаю вам сделать дома. Скажите лучше, а нельзя ли здесь «пристально посмотреть» на данное уравнение. Ведь если вернуться к предыдущему «графическому» способу, в случае, если бы мы не заметили, что правая часть не монотонная, то подбор корня мы бы осуществляли, ориентируясь на область определения функции, то есть левой части уравнения. Кто теперь решит эту задачу?

Ученик: Найдем область определения левой части, решив систему hello_html_4ad7c95b.gifhello_html_m4d72f994.gif. Так как по условию задачи надо найти только целые корни уравнения, то остается проверить все три целых числа, найденной области определения, числа: 2, 3, 4. Подстановкой не трудно проверить, что только hello_html_m5fa3fd6b.gif является корнем исходного уравнения.

Учитель: Молодец! Думаю, что, прорешав это задание дома возведением в квадрат, вы еще больше убедитесь в красоте только что разобранного решения.

7. Самостоятельная работа. Давайте посмотрим, как быстро вы теперь решите уравнения, не возводя их в квадрат.

Выписывайте ответы себе в тетрадку, а листочки с работой сдаете мне.

hello_html_55f752c7.gif

Учитель: Проверяем.

hello_html_m6654e0a4.gif

У кого 3 правильных ответа? Это 5. Вы получаете право сегодня называться УМНИКОМ!!!!!

2 ответа? – 4. Почти умник.

1 ответ? Хоть и тройка, но тоже не плохо.

8. Задание на дом. Итог урока.

— Дома вы решите приведенные на розданных вам листиках уравнения различными способами решения. На следующий урок ответите, каким именно способом рациональнее всего было решать каждое.

hello_html_m55013360.gif

14 марта — Всемирный день числа hello_html_3301a130.gif. Именно это число, равное отношению длины окружности к ее диаметру вы прекрасно знаете из геометрии. Как раз оно так же является иррациональным, хотя и не содержит в своей записи корень.

infourok.ru

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о