Вычисление квадратного корня методом ньютона – алгоритм герона



В статье описываются способы извлечения квадратного корня, и приведены примеры извлечения корней.

Ключевые слова: квадратный корень, извлечение квадратного корня.

На уроках математики я познакомился с понятием квадратного корня, и операцией извлечения квадратного корн. Мне стало интересно извлечение квадратного корня возможно только по таблице квадратов, с помощью калькулятора или есть способ извлечения вручную. Я нашел несколько способов: формула Древнего Вавилона, через решение уравнений, способ отбрасывания полного квадрата, метод Ньютона, геометрический метод, графический метод (, ), метод подбора угадыванием, метод вычетов нечётного числа.

Рассмотрим следующие способы:

1. Извлечение корня путем разложения подкоренного числа на простые множители . Например.

Разложим на простые множители, используя признаки делимости 27225=5*5*3*3*11*11. Таким образом

1. Канадский метод.

   Методы извлечения квадратного корня

   Этот быстрый метод был открыт молодыми учёными одного из ведущих университетов Канады в 20 веке. Его точность — не более двух — трёх знаков после запятой.

где х-число, из которого надо извлечь корень, с-число ближайшего квадрата), например:

=5,92

1. Столбиком. Этот способ позволяет найти приближённое значение корня из любого действительного числа с любой наперёд заданной точностью. К недостаткам способа можно отнести увеличивающуюся сложность вычисления с увеличением количества найденных цифр. Для ручного извлечения корня применяется запись, похожая на деление столбиком

Алгоритм извлечения квадратного корня

1.От запятой отдельно дробную и отдельно целую части делим на грани по две цифры в каждой грани (целую часть — справа налево; дробную — слева направо). Возможно, что в целой части может оказаться одна цифра, а в дробной — нули.

2.Извлечение начинается слева направо, и подбираем число, квадрат которого не превосходит числа, стоящего в первой грани. Это число возводим в квадрат и записывает под числом, стоящим в первой грани.

3.Находим разность между числом, стоящим в первой грани, и квадратом подобранного первого числа.

4.К получившейся разности сносим следующую грань, полученное число будет делимым. Образовываем делитель. Первую подобранную цифру ответа удваиваем (умножаем на 2), получаем число десятков делителя, а число единиц должно быть таким, чтобы его произведение на весь делитель не превосходило делимого.

Подобранную цифру записываем в ответ.

5.К получившейся разности сносим следующую грань и выполняем действия по алгоритму. Если данная грань окажется гранью дробной части, то в ответе ставим запятую. (Рис. 1.)

Рис. 1	Рис. 2

Данным способом можно извлекать числа с разной точностью, например с точностью до тысячных. (Рис.2)

Рассматривая различные способы извлечения квадратного корня, можно сделать вывод: в каждом конкретном случае нужно определиться с выбором наиболее эффективного для того, чтобы меньше затратить времени для решения

Литература:

1. Киселев А. Элементы алгебры и анализа. Часть первая.-М.-1928 г

Ключевые слова:квадратный корень, извлечение квадратного корня.

Аннотация:В статье описываются способы извлечения квадратного корня, и приведены примеры извлечения корней.

steptosleep.ru

Извлечение квадратного корня в столбик

Когда-то уже довольно давно, когда я училась классе в восьмом, моя учительница математики на кружке показала, как в столбик можно извлекать квадратные корни. Вычислить корень можно с произвольной точностью, найти сколько угодно цифр в его десятичной записи, даже если он получается иррациональным. Алгоритм запомнился, а вопросы остались. Непонятно было, откуда взялся метод и почему он дает верный результат. В книжках этого не было, а может, просто не в тех книжках искала. В итоге, как и многое из того, что на сегодняшний день знаю и умею, вывела сама. Делюсь своим знанием здесь. Кстати сказать, до сих пор не знаю, где приведено обоснование алгоритма)))

Итак, сначала на примере рассказываю, “как работает система”, а потом объясняю, почему она на самом деле работает.

Возьмем число (число взято “с потолка”, только что в голову пришло).

1. Разбиваем его цифры на пары: те, что стоят слева от десятичной запятой, группируем по две справа налево, а те, что правее – по две слева направо. Получаем .

2. Извлекаем квадратный корень из первой группы цифр слева — в нашем случае это (ясно, что точно корень может не извлекаться, берем число, квадрат которого максимально близок к нашему числу, образованному первой группой цифр, но не превосходит его). В нашем случае это будет число . Записываем в ответ — это старшая цифра корня.

3. Возводим число, которое стоит уже в ответе — это — в квадрат и вычитаем из первой слева группы цифр — из числа . В нашем случае остается .

4. Приписываем справа следующую группу из двух цифр: . Число , которое уже стоит в ответе, умножаем на , получаем .

5. Теперь следите внимательно. Нам нужно к числу справа приписать одну цифру , и число умножить на , то есть на ту же самую приписанную цифру. Результат должен быть как можно ближе к , но опять-таки не больше этого числа. В нашем случае это будет цифра , ее записываем в ответ рядом с , справа. Это следующая цифра в десятичной записи нашего квадратного корня.

6. Из вычитаем произведение , получаем .

7. Далее повторяем знакомые операции: приписываем к справа следующую группу цифр , умножаем на , к полученному числу > приписываем справа одну цифру, такую, чтобы при умножении на нее получилось число, меньшее , но наиболее близкое к нему –– это цифра –– следующая цифра в десятичной записи корня.

8. Далее у нас в числе стоит десятичная точка, ставим такую же в результате после цифры . Продолжаем процесс, снося по две цифры после точки. Ясно, что можно сносить и два нуля.

Вычисления запишутся следующим образом:

А теперь обещанное объяснение. Алгоритм основан на формуле

   

Первый раз вычитаем квадрат, дальше, приписывая по одной цифре к результату, к числу под корнем, тем самым, приписываем две десятичных цифры. Отсюда разбиение на пары (видно из формулы). Вычтя квадрат, необходимо вычитать дальше числа вида , где — удвоенный известный на данный момент результат, приписывая к нему цифру, получаем , умножаем на эту же самую цифру, имеем . Вот и все!

P.S. Красивую модификацию описанного метода извлечения квадратного корня, которую предложил С.В. Савич, можно найти здесь: http://hijos.ru/2012/04/25/krasivaya-modifikaciya-metoda-izvlecheniya-kvadratnogo-kornya/

hijos.ru

Методы извлечения квадратного корня | Статья в журнале «Юный ученый»

Библиографическое описание:

Прямостанов С. М., Лысогорова Л. В. Методы извлечения квадратного корня // Юный ученый. — 2017. — №2.2. — С. 76-77. — URL https://moluch.ru/young/archive/11/823/ (дата обращения: 01.01.2020).



В статье описываются способы извлечения квадратного корня, и приведены примеры извлечения корней.

Ключевые слова: квадратный корень, извлечение квадратного корня.

На уроках математики я познакомился с понятием квадратного корня, и операцией извлечения квадратного корн. Мне стало интересно извлечение квадратного корня возможно только по таблице квадратов, с помощью калькулятора или есть способ извлечения вручную. Я нашел несколько способов: формула Древнего Вавилона, через решение уравнений, способ отбрасывания полного квадрата, метод Ньютона, геометрический метод, графический метод (

, ), метод подбора угадыванием, метод вычетов нечётного числа.

Рассмотрим следующие способы:

1. Извлечение корня путем разложения подкоренного числа на простые множители. Например.

Разложим на простые множители, используя признаки делимости 27225=5*5*3*3*11*11. Таким образом

2. Канадский метод. Этот быстрый метод был открыт молодыми учёными одного из ведущих университетов Канады в 20 веке. Его точность — не более двух — трёх знаков после запятой.

где х-число, из которого надо извлечь корень, с-число ближайшего квадрата), например:

=5,92

3. Столбиком. Этот способ позволяет найти приближённое значение корня из любого действительного числа с любой наперёд заданной точностью. К недостаткам способа можно отнести увеличивающуюся сложность вычисления с увеличением количества найденных цифр. Для ручного извлечения корня применяется запись, похожая на деление столбиком

Алгоритм извлечения квадратного корня

1.От запятой отдельно дробную и отдельно целую части делим на грани по две цифры в каждой грани (целую часть — справа налево; дробную

— слева направо). Возможно, что в целой части может оказаться одна цифра, а в дробной — нули.

2.Извлечение начинается слева направо, и подбираем число, квадрат которого не превосходит числа, стоящего в первой грани. Это число возводим в квадрат и записывает под числом, стоящим в первой грани.

3.Находим разность между числом, стоящим в первой грани, и квадратом подобранного первого числа.

4.К получившейся разности сносим следующую грань, полученное число будет делимым. Образовываем делитель. Первую подобранную цифру ответа удваиваем (умножаем на 2), получаем число десятков делителя, а число единиц должно быть таким, чтобы его произведение на весь делитель не превосходило делимого. Подобранную цифру записываем в ответ.

5.К получившейся разности сносим следующую грань и выполняем действия по алгоритму. Если данная грань окажется гранью дробной части, то в ответе ставим запятую. (Рис. 1.)

Рис. 1	Рис. 2

Данным способом можно извлекать числа с разной точностью, например с точностью до тысячных. (Рис.2)

Рассматривая различные способы извлечения квадратного корня, можно сделать вывод: в каждом конкретном случае нужно определиться с выбором наиболее эффективного для того, чтобы меньше затратить времени для решения

Литература:

1. Киселев А. Элементы алгебры и анализа. Часть первая.-М.-1928 г

Основные термины (генерируются автоматически): квадратный корень, целая часть, грань, число, получившаяся разность, способ извлечения.

moluch.ru

Извлечение квадратного корня с помощью нормальных алгоритмов Маркова / Habr

Захотел я однажды вычислить квадратный корень с помощью нормальных алгоритмов Маркова (НАМ).

Кратко о НАМ:

• Существует список замен одной подстроки на другую, называемых правилами
• Ищем с начала списка первое правило которое можем применить и применяем его для первого вхождения
• Если такое правило было обнаружено, то возвращаемся к предыдущему пункту и просматриваем список правил сначала
• Если правило было заключительным, то завершаем работу
• Если больше нет правил, которые мы можем применить, то завершаем работу

Итак, вроде бы все просто? Однако, как писать программы на НАМ?
Для себя я сделал примерно такой план:

• Пытаемся написать обычный алгоритм использующий только строки
• Следим за тем, чтобы последние замены не пересекались с первыми
• Переворачиваем алгоритм и записываем с конца к началу

Итак, вернемся к вычислению квадратного корня. Мы будем использовать «детский» метод (он же арифметический), который основывается на том простом факте, что квадрат числа — это сумма нечетных чисел от 1 до 2n-1:

• 1 = 1² = 1
• 1 + 3 = 2² = 4
• 1 + 3 + 5 = 3² = 9

Как бы мы могли реализовать извлечение корня основываясь на этом свойстве? Мы будем последовательно отнимать от числа сначала 1, потом 3, потом 5 и т.д., пока число не станет меньше нуля, паралельно считая сколько отниманий мы сделали. Итого, уже два счетчика + одна переменная для хранения результата

Маленькая особенность НАМ — нету здесь чисел. И переменных нету. Поэтому нам надо бы симулировать их. Так как писать длинную арифметику мне было лень (да и сомневаюсь что это возможно человеку), то арифметические операции сделал по простому принципу — с помощью инкремента и декремента.

Я решил сделать так, чтобы у меня строка хранилась в формате {Результат}.{Число}{ОчередноеНечетноеЧисло}{ИндикаторКонцаСтроки}
Нечетное число я решил хранить в унарной системе исчисления и обозначать единицу как «#» — так гораздо проще работать будет.

Теперь, каким образом мы будем отнимать от числа очередное нечетное, не потеряв данные? Я решил, что между нечетным число и индикатором конца строки нужно добавить маркер «a», который перемещаясь сквозь число будет его дублировать, но уже в другом виде (обозначаем через «-«). После будем сдвигать все минусы к числу и отнимать их. После того как мы все числа отняли, нам нужно увеличить результат на единицу.

В моей реализации была маленькая особенность — результат всегда выходит округленным вверх. Я решил сделать так, чтобы этот алгоритм работал с абсолютной точностью 0.5, а не 1 (как в описании). Когда в строке остается минусов больше чем половина от их начального значения, мы должны взять и уменьшить результат.

В итоге получился «пинг-понг», который извлекает квадратный корень заданного числа.

Очень интересно выглядит зависимость количества замен от числа:

Посмотреть код: paste.org.ru/?3uweqh
Посмотреть пример выполнения: paste.org.ru/?34caeb
Скачать программу: sites.google.com/site/nsinreal/markovsqrt.zip

habr.com

Исследовательская работа «Извлечение квадратного корня»

МКУ «Закаменское районное управление образования»

МБОУ «Холтосонская СОШ»

Школьная научно-практическая конференция

«Первые шаги»

Номинация: математика

Способы извлечения квадратного корня из многозначных чисел.

Автор: Попова Алена, 6 класс

МБОУ «Холтосонская СОШ», 6класс

Домашний адрес: РБ, Закаменский район,

село Холтосон, ул. Комсомольская, дом 41

Контактный телефон: 8-924-352-8322

Руководитель: Харакшинова Ирина Вячеславовна

Год выполнения: 2016

Оглавление

Введение………………………………………………………………………….…….………3

1. История квадратного корня…………………………………………………………….4

2. Методы извлечение квадратного корня………………………………………………6

2.1. Разложение подкоренного выражения на простые множители………………………6

2.2. Извлечение квадратного корня уголком………………………………………………6

2.3. Методика быстрого извлечения квадратного корня………………………………….7

Выводы……………………………………………………………………………………………………………..9

Список литературы …………………………………….…………………….…..…………10

Введение.

Можно ли представить себе мир без чисел? Без чисел ни покупки не сделаешь, ни времени не узнаешь, ни номера телефона не наберёшь. А космические корабли, лазеры и все другие технические достижения? Они были бы попросту невозможны, если бы не наука о числах.

В наш век высоких технологий и повсеместного использования компьютера умение быстро и правильно производить сложные вычисления ни в коем случае не утратило своей актуальности. Гибкость ума является предметом гордости людей, а способность, например, быстро производить вычисления вызывает откровенное удивление. Такие навыки помогут человеку в учебе, в быту, в профессиональной деятельности. Кроме того, быстрый счет — настоящая гимнастика для ума, приучающая в самых сложных жизненных ситуациях находить в кратчайшее время хорошие и нестандартные решения.

В этом году я случайно услышала, «излечение квадратного корня». Мне стало интересно, что же такое квадратный корень и как его извлечь? Если ли алгоритмы для извлечения квадратного корня?

С этим вопросом я обратилась к своей учительнице математики, она ответила, что такие алгоритмы есть, и посоветовала мне самой исследовать этот вопрос. Я заинтересовалась и решила изучить этот вопрос глубже, чем он освещен в школьной программе.

В работе представлены простые алгоритмы извлечения квадратного корня, которыми может овладеть каждый.

Цель работы: Исследовать различные способы вычисления квадратных корней.

Задачи:

1. Проанализировать математическую литературу по данной теме, использовать также интернет-ресурсы.

2. Составить алгоритмы по вычислению квадратного корня в случаях его вычисления «нацело».

3. Привести примеры быстрого извлечения квадратного корня.

Глава 1.История квадратного корня.

Потребность в действиях возведения в степень и извлечения корня была вызвана, как и другие четыре арифметических действия, практической жизнью. Так, наряду с задачей вычисления площади квадрата, сторона которого а известна, с давних пор встречалась обратная задача: «Какую длину должна иметь сторона квадрата, чтобы его площадь равнялась в?»

Применяемый знак корня произошел от обозначения, которое применяли немецкие математики 15-16 в.в., называвшие алгебру «Косс», а алгебраистами «косстистами». Неизвестные числа с 17 века стали обозначать последними буквами латинского алфавита x, y, z. Однако долго ещё неизвестное в уравнении писали буквой R (от «Radix» — « корень»), а квадрат его – буквой q (« quadratus»). Это объяснение не является общепринятым. В самых старых рукописях перед числом, из которого нужно извлечь корень, ставилась точка, а позднее точка или узкий ромбик с черточкой, направленной вправо и вверх. Так образовался знак .

Зная время , можно найти путь при свободном падении по формуле: Решим обратную задачу.

Задача. Сколько секунд будет падать камень, сброшенный с высоты 122,5 м?

Решение: Чтобы найти ответ, нужно решить уравнение Из него находим, что Теперь осталось найти такое положительное число t, что его квадрат равняется 25. Этим числом является 5, так как Значит, камень будет падать 5 с.

Искать положительное число по его квадрату приходится и при решении других задач, например при отыскании длины стороны квадрата по его площади. Введем следующее определение:

Определение. Неотрицательное число, квадрат которого равен неотрицательному числу а, называется квадратным корнем из а.

Это число обозначают . Таким образом

Пример. Так как

Из отрицательных чисел нельзя извлекать квадратные корни, так как квадрат любого числа или положителен, или равен нулю. Например, выражение не имеет числового значения.

В записи знак называют знаком радикала (от латинского «радикс» — корень), а число а — подкоренным числом. Например, в записи подкоренное число равно 25. Так как Это означает, что квадратный корень из числа, записанного единицей и 2n нулями, равен числу, записываемому единицей и n нулями: .

Во время работы над данным исследованием мною была обнаружена интересная информация. Оказывается, существует неофициальный праздник, посвященный квадратному корню.

День квадратного корня -праздник, отмечаемый девять раз в столетие: в день, когда и число, и порядковый номер месяца являются квадратными корнями

из двух последних цифр года (например, 2 февраля 2004 года: 02-02-04).

Впервые этот праздник отмечался 9 сентября 1981 года (09-09-81).

Основателем праздника является школьный учитель Рон Гордон из города Редвуд Сити, Калифорния, США. По состоянию на 2010год Гордон продолжает

публиковать заметки о придуманном им празднике, активно контактируя поэтому поводу со СМИ.

Главным блюдом на этом «праздничном столе» обычно являются вареные

кубики из овощей и выпечка в форме математического знака квадратного корня

По объективным математическим причинам этот праздник может

отмечаться строго девять раз в столетие (семь раз в первой половине века и

дважды — во второй), всегда в одни и те же дни:

1 января хх01 года

2 февраля хх04 года

3 марта хх09 года

4 апреля хх16 года

5 мая хх25 года

6 июня хх36 года

7 июля хх49 года

8 августа хх64 года

9 сентября хх81 года

При этом интересно заметить, что промежуток (в годах) между

праздниками составляет непрерывную последовательность нечётных чисел: 3, 5,

7 и т. д.

Глава II. Методы извлечения квадратного корня

Первый способ — таблица квадратов, телефоны и калькуляторы, можно воспользовались ими, но если их нет под рукой.

2.1. Разложение подкоренного выражения на множители.

Второй способ –разложение подкоренного выражения на множители. Например, найдем .Число 6561 делится на 3. Разложим 6561 на множители: 6561=3·3•3•3•81 =81• 81, 81

2.2. Извлечение квадратного корня уголком.

Третий способ. Извлечение квадратного корня уголком.
1-й шаг. Число 8649 разбиваем на грани справа налево; каждая из которых должна содержать две цифры. Получаем две грани: .
2-й шаг. Извлекаем квадратный корень из первой грани 86, получаем  с недостатком. Цифра 9 –это первая цифра корня.
3-й шаг. Число 9 возводим в квадрат (9²= 81) и число 81 вычитаем из первой грани, получаем 86- 81=5. Число 5 – первый остаток.
4-й шаг. К остатку 5 приписываем вторую грань 49, получаем число 549.

5-й шаг. Удваиваем первую цифру корня 9 и, записывая слева, получаем-18

К числу нужно приписать такую наибольшую цифру, чтобы произведение числа, которое мы получим, на эту цифру было бы либо равно числу 549, либо меньше, чем 549. Это цифра 3. Она находится путем подбора: количество десятков числа 549, то есть число 54 делится на 18, получаем 3, так как 183 ∙ 3 = 549. Цифра 3 – это вторая цифра корня.

6-й шаг. Находим остаток 549 – 549 = 0. Так как остаток равен нулю, то мы получили точное значение корня – 93.

Пример:

Для поверки мы возвысили в квадрат 63 и к результату  приложили 113; так как в сумме получилось данное число 4082, то действие сделано верно.

2.3. Методика быстрого извлечения квадратного корня

1=1²

1+3=2²

1+3+5=3²

1+3+5+7=4² и т.д.

Пример: найдём √529

Решение: 1)_529

1

2)_528

3

3)_525

5

4)_520

7

5)_513

9

6)_504

11

7)_493

13

8)_480

15

9)_465

17

10)_448

19

11)_429

21

12)_408

27

13)_385

25

14)_360

27

15)_333

29

16)_304

31

17)_273

33

18)_240

35

19)_205

37

20)_168

39

21)_129

41

22)_88

43

23)_45

45

0

Ответ: √529 = 23

Выводы.

Извлечение квадратного корня часто встречается в заданиях школьного курса математики, при подготовке к экзаменам, в практических вычислениях в быту. В работе представлены простые алгоритмы извлечения арифметических корней, которыми может овладеть каждый. Описанные в работе методы извлечения корней встречаются во многих источниках. Тем не менее, разобраться в них оказалось для меня непростой задачей, что вызвало немалый интерес. Представленные алгоритмы позволят всем, кто заинтересуется данной темой, быстрее овладеть навыками вычисления квадратного корня, их можно использовать при проверке своего решения и не зависеть от наличия в кармане калькулятора. Тем более, что на экзамене в 9 и 11 классах применение калькулятора не допускается.

Работая над проектом, я пришла к следующим выводам:

Для извлечения квадратного корня существуют таблицы квадратов. Для двухзначных чисел, можно разложить число на простые множители и извлечь квадратный корень из произведения. Таблицы квадратов бывает недостаточно, извлечение корня разложением на множители — трудоёмкая задача, которая тоже не всегда приводит к желаемому результату. Я постаралась найти способы, которые бы позволили извлечь квадратный корень. Привела примеры быстрого извлечения квадратного корня.

В рамках данного проекта исследовались алгоритмы извлечения арифметического корня, которые позволят всем, кто заинтересуется данной темой, быстрее овладеть навыками вычисления квадратного корня, и применить их при решении задач и экзаменационных работ, независимо от наличия в кармане калькулятора.

Список литературы:

1. Пичугин Л.Ф. /Просвещение/ За страницами учебника алгебры, книга для учащихся, М:, 1990 г.

2. Похраменко Е.Ю. «Я познаю мир: математика»

3. Макарычев Ю.Н. /Просвещение/ Алгебра 8 кл.: учебник для общеобразовательных учреждений, М:, 2010 г.

4. Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика. М.: Просвещение, 1985.

5. http://festival.1september.ru/articles/517087/

6. http://otvet.mail.ru/question/19989676

7. http://hijos.ru/2012/04/25/krasivaya-modifikaciya-metoda-izvlecheniya-kvadratnogo-kornya/

infourok.ru

Оригинальный метод извлечения квадратного корня

Арифмометр Феликс

Интересующимся извлечением корней “в столбик” рекомендую новую статью С.В. Савича здесь.

Об извлечении квадратного корня в столбик я уже писала здесь. Сейчас хочу вам предложить модификацию этого метода, которая мне кажется гораздо более простой и красивой. Предложил ее Сергей Валентинович Савич, который и написал мне об этом. Метод был изобретен для арифмометра — механической вычислительной машины, на которой в свое время считали, причем очень активно. Вот что пишет сам Сергей Валентинович: “Схема вычисления квадратных корней была придумана мной в конце 70-х г., и мне хотелось даже опубликовать её описание. Но время арифмометров закончилось, и этот алгоритм остался только в моей памяти. Теперь немного истории. В 1975–76 гг. я учился в Ленинградском топографическом техникуме, и у нас было очень много высокоточных измерений и расчётов. Калькуляторов и ПК тогда ещё не было, всё считали на арифмометрах, а значения функций приходилось брать из толстых 7 — 10-значных таблиц. Тогда у меня и появилась мысль “научить’’ арифмометр вычислять корни. Проштудировал кучу литературы, но ничего подходящего не нашёл. Методы последовательных приближений (дихотомии, Ньютона) отложил как неэкономичные для реализации на арифмометре. Когда я узнал о свойстве арифметической прогрессии нечётных чисел, то решил попробовать на его основе разработать алгоритм извлечения квадратного корня. Наибольшую трудность представляло то, что я никак не мог сообразить, что делать с остатком от вычитания квадрата первой цифры из аргумента. Интуитивно было понятно, что решение где-то рядом. В общем, вертел этот остаток и так, и сяк, и в конечном итоге набрёл на правильное решение.” Как уже говорилось, идея очень красивая. В основе метода лежит следующее свойство суммы первых нечетных чисел:

   

Доказать это легко, если вспомнить формулу суммы первых членов арифметической прогрессии. Еще понадобится следующая идея, которая основывается на этом свойстве. Если требуется приписать к какому-то числу справа еще одну цифру , а потом умножить полученное число на эту же цифру, то сделать это можно сложением последовательных нечетных чисел:

   

Действительно, давайте раскроем скобки во всех слагаемых справа и их перегруппируем:

   

   

А теперь можно изменять метод, о котором уже было рассказано. Я опишу каждый шаг, а затем на примере покажу, как он выполняется.

1. Сначала мы точно так же, как было описано, делим число, из которого будем извлекать квадратный корень, на группы цифр, по две цифры в каждой группе. Целую часть числа (то, что стоит слева от десятичной запятой) разбиваем на группы по две цифры справа налево, а дробную часть (начиная от первой цифры справа от десятичной запятой) — слева направо. Пример давайте рассмотрим тот же, что уже был просчитан. Можно будет сравнить, насколько проще получается алгоритм. Возьмем число . Итак, разбиваем цифры этого числа на пары .

2. Из первой группы цифр слева вычитаем последовательно нечетные числа до тех пор, пока не получится отрицательное число. Запомним последнюю положительную разность, которая получилась — , и то число, которое при этом вычитали — . Если последняя разность равна , то корень извлечен точно. В нашем примере можно вычесть два нечетных числа: Это означает, что первая цифра корня — , остаток , вычитали при его получении число . Здесь — порядковый номер последнего нечётного числа. Далее, к последнему вычитаемому прибавим . В нашем случае к прибавляем , получаем число .

3. Теперь к остатку справа припишем следующую группу из двух цифр подкоренного числа, получим число . В нашем примере, приписывая следующие две цифры, получим число . Из числа снова начинаем вычитать последовательно нечётные числа, предварительно сдвинув вычитаемое на один разряд вправо. Эти нечётные числа формируются следующим образом: первое число, которое будем вычитать, будет число , к которому справа припишем цифру , т.е. , затем . Делаем вычитания до тех пор, пока остаток не станет меньше вычитаемого. И снова запомним остаток (это будет ), последнее вычитаемое и количество вычитаний . Если же получили разность , и оставшиеся цифры в подкоренном числе — нули, то корень извлечён точно. В нашем примере делаем следующие действия: , поэтому вычитания прекращаем. Было выполнено три вычитания, значит, следующая цифра корня — .

4. Если нам нужно посчитать следующие цифры корня, то возьмём снова ту последнюю положительную разность, которую мы запомнили в п. 3, как и последнее вычитаемое , увеличенное на — как . Для разбираемого нами примера получим . И повторяем алгоритм, начиная с шага 3. В том случае, если первое вычитаемое больше, чем , то следующая цифра корня — , так как ни одного вычитания сделать нельзя. В этом случае принимаем за , за , и выполняем действия, начиная с шага 3. Если же корень вычислен точно (последняя разность равна и оставшиеся цифры справа в подкоренном числе — нули) или корень вычислен с требуемой точностью, то завершаем процесс. Далее я не буду описывать все шаги, просто приведу то, что получается, если все вычисления записать в столбик. Пояснения — в фигурных скобках.

{точность — 6 значащих цифр, 21 вычитание} Как видно из приведённого описания, этот способ легко может быть формализован и записан в виде программного кода для ЭВМ, причём время выполнения этой программы сопоставимо с временем выполнения операции деления. Сергей Валентинович предложил также некоторые изменения, упрощающие процесс вычислений и позволяющие повысить точность. Так, можно заметить, что после каждого цикла вычитаний цифры последнего вычитаемого, увеличенного на (т.е. , по нашему соглашению), представляют собой цифры удвоенного значения корня. Поэтому можно не подсчитывать число вычитаний, а просто разделить , полученное из последнего вычитаемого, на . Положение запятой можно определить, руководствуясь следующим правилом: количество цифр целой части результата равно количеству пар цифр в целой части аргумента, каждой паре цифр аргумента соответствует одна цифра результата.

Примеры:

аргумент 61 71 , 67 36                                                                                               (1)

результат 7   8 ,    5   6

аргумент   0 , 00 78 93 10                                                                                        (2)

результат  0 ,   0  8   8   8  4   3   1   2

Кроме этого, вдобавок можно получить ещё примерно столько же значащих цифр, сколько уже было получено, простым делением последнего остатка с приписанными неиспользованными парами цифр на последнее вычитаемое, увеличенное на . Для описанного нами примера имеем: Здесь шесть цифр являются, с учётом округления последней, верными. Отсюда получаем конечный результат с точностью 12 дес. знаков (!): Конечно, вычислять вручную с такой точностью значения корней вряд ли целесообразно, но данное правило позволяет для нахождения корней с точностью 5-6 знаков ограничиться вычислением с помощью вычитания нечётных чисел только 3-х цифр.

Ни Сергей Валентинович, ни я нигде не встречали описание данного метода. Если кто-либо из вас где-то об этом читал, напишите, пожалуйста. Заранее большое спасибо.

Подробный пример извлечения квадратного корня на арифмометре можно увидеть в статье Савича С.В. здесь (www.twirpx.com/file/1096076/).

hijos.ru

Учебно-исследовательская работа «Способы извлечения квадратных корней»(8класс)

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Гимназия

Тема:

Способы извлечения

квадратных корней

Выполнила: Нагимова Диана

ученица 8 класса

МБОУ Гимназия

Руководитель: Капитонова

Надежда Викторовна

учитель математики

2018

Содержание

1. Введение

2. Методы извлечения квадратного корня

2.1. Метод вычетов нечётного числа.

2.2. Метод подбора.

2.3. Канадский.

2.4 Способ извлечения квадратного корня уголком.

2.5 Вавилонский способ.

2.6 Арифметический.

2.7. Метод оценки

2.8. Метод (известный как метод Ньютона).

2.9. Отбрасывание полного квадрата.

3. Задания с квадратными корнями на образовательном портале

«Решу ОГЭ».

4. Заключение.

5. Литература.

ВВЕДЕНИЕ

В ходе решения некоторых математических задач приходится оперировать с

квадратными корнями. Поэтому важно знать правила действий с квадратными корнями. Данная тема актуальна, так как задания на вычисление квадратных корней есть в каждом классе на уроках физики, химии и биологии. Для извлечения квадратного корня существуют таблицы квадратов. Таблицы иногда бывает недостаточно. В этом году я и мои одноклассники изучали тему квадратные корни. Все было замечательно, пока под рукой была таблица квадратов, но однажды корень из шестизначного числа нам нужно было вычислить на уроке геометрии. Те, у кого были телефоны и калькуляторы, воспользовались ими, телефон я забыла дома, и

пришлось разбивать число на простые множители. Корень был извлечен, но вопрос есть ли другие алгоритмы для извлечения квадратного корня, остался. Все знают, что извлечь квадратный корень без калькулятора — это непосильная задача. Я провела опрос, в ходе которого выяснилось, что извлекать квадратный корень без калькулятора умеют только учителя математики. В лучшем случае, в ситуации, когда решение задач требует извлечения корня, а калькулятор вне зоны досягаемости, прибегают к методу подбора и стараются вспомнить данные из таблицы квадратов целых чисел, но это не всегда спасает. Сколько раз все попадали в подобные ситуации? Почти все, к кому я обращалась с этим вопросом, не знали ни одного

способа решения этой проблемы. Но однажды я узнала, что извлекать корни люди научились задолго до изобретения ≪умной≫ техники. Мои вопросы и легли в основу исследования, которое для меня стало маленьким открытием. Исследуя эту тему, я нашла не один, а несколько способов решения данной проблемы.

Актуальность исследования обусловлена стремлением углублять математические знания через применение простейших способов извлечения квадратных корней без калькулятора, распространение алгоритмов извлечения корней среди учащихся, что особенно актуально при сдаче экзаменов, где запрещено пользование калькулятором, а также использовать эти знания при работе с вычислениями корней на уроках математики.

Цель работы: изучить способы извлечения квадратных корней без калькулятора и отобрать самые рациональные для практического применения.

Задачи:

1.Изучить литературу по данному вопросу.

2. Рассмотреть особенности каждого найденного способа и его алгоритм.

3.Показать практическое применение полученных знаний и оценить степень сложности в использовании различных способов и алгоритмов.

4. Познакомить с результатами полученных исследований одноклассников и друзей.

5.Создать буклет – памятку по самым интересным алгоритмам.

Гипотеза: Предположим, что существуют способы извлечения квадратных корней без калькулятора, которые можно использовать на практике в качестве рационального решения.

Объект исследования: математические символы – квадратные корни.

Предмет исследования: особенности способов извлечения квадратных корней без калькулятора. Для извлечения квадратного корня существуют таблицы квадратов для двухзначных чисел, можно разложить число на простые множители и извлечь квадратный корень из произведения. Таблицы квадратов бывает недостаточно, извлечение корня разложением на множители — трудоёмкая задача, которая тоже не всегда приводит к желаемому результату. Мы постарались найти способы, которые бы позволили извлечь квадратный корень в любом случае.

Методы исследования:

1.Поиск способов и алгоритмов.

2.Сравнение найденных способов и выявление их преимущества и недостатков.

3.Экспериментальное подтверждение правильности разных способов на практике при исследовании путём решения конкретных задач.

Методы извлечения квадратного корня

В ходе данного исследования нами было обнаружено несколько способов извлечения квадратного корня:

1. Метод вычетов нечётного числа.

2. Метод подбора.

3. Канадский.

4. Способ извлечения квадратного корня уголком.

5. Вавилонский способ.

6. Арифметический.

7. Метод оценки

8. Метод (известный как метод Ньютона).

9.Отбрасывание полного квадрата.

Расскажем о каждом из способов подробнее.

Метод вычетов нечётного числа.

Способ очень простой. Заметим, что для квадратов чисел верны следующие равенства:

1=1²

1+3=2²

1+3+5=3²

1+3+5+7=4² и т.д.

Правило: узнать целую часть квадратного корня числа можно вычитая из него все нечётные числа по порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или равен нулю, и сочтя количество выполненных действий.

Например, чтобы получить квадратный корень из 36 и 121 это:

36 — 1 = 35 — 3 = 32 — 5 = 27 — 7 = 20 — 9 = 11 — 11 = 0

Общее количество вычитаний = 6, поэтому квадратный корень из 36 = 6.

121 — 1 = 120 — 3 = 117- 5 = 112 — 7 = 105 — 9 = 96 —11 = 85 – 13 = 72 — 15 = 57 – 17 = 40 —19 = 21 — 21 = 0

Общее количество вычитаний = 11, поэтому √121 = 11.

Метод подбора.

Пример: Извлечь корень из числа 676.

Замечаем, что 20² = 400, а 30² = 900, значит 20 < √676 < 900.

Точные квадраты натуральных чисел оканчиваются цифрами 0; 1; 4; 5; 6; 9. 
Цифру 6 дают 4² и 6². 
Значит, если из 676 извлекается корень, то это либо 24, либо 26.

Осталось проверить: 24² = 576, 26² = 676.

Ответ: √676 = 26.

Еще пример: √6889.

Так как 80² = 6400, а 90² = 8100, то 80 < √6889 < 90. 
Цифру 9 дают 3² и 7², то √6889 равен либо 83, либо 87.

Проверяем: 83² = 6889.

Ответ: √6889 = 83.

Если затрудняетесь решать методом подбора, то можно подкоренное выражение разложить на множители.

Например, найти √893025.

Разложим число 893025 на множители, вспомните, вы делали это в шестом классе.

Получаем: √893025 = √3⁶ ∙5² ∙7² = 3³ ∙5 ∙7 = 945.

Канадский метод.

Этот быстрый метод был открыт молодыми учёными одного из ведущих университетов Канады в 20 веке. Его точность – не более двух – трёх знаков после запятой. Вот их формула:

√ X = √ S + (X — S) / (2 √ S), где X — число, из которого необходимо извлечь квадратный корень, а S — число ближайшего точного квадрата.

Пример. Извлечь квадратный корень из 75.

X = 75, S = 81. Это означает, что √ S = 9.

Просчитаем по этой формуле √75: √ 75 = 9 + (75 — 81) / (2∙ 9)
√ 75 = 9 + ( — 6/18 ) = 9 — 0,333 = 8,667

Способ извлечения квадратного корня уголком.

1. Разбиваем число (5963364) на пары справа налево (5`96`33`64)

2. Извлекаем квадратный корень из первой слева группы ( — число 2). Так мы получаем первую цифру числа.

3. Находим квадрат первой цифры (2²=4).

4. Находим разность первой группы и квадрата первой цифры (5-4=1).

5.Сносим следующие две цифры (получили число 196).

6. Удваиваем первую, найденную нами цифру, записываем слева за чертой (2*2=4).

7.Теперь необходимо найти вторую цифру числа: удвоенная первая цифра, найденная нами, становится цифрой десятков числа, при умножении которого на число единиц, необходимо получить число меньшее 196 (это цифра 4, 44*4=176). 4 — вторая цифра числа &.

8. Находим разность (196-176=20).

9. Сносим следующую группу (получаем число 2033).

10. Удваиваем число 24, получаем 48.

11.48 десятков в числе, при умножении которого на число единиц, мы должны получить число меньшее 2033 (484*4=1936). Найденная нами цифра единиц (4) и есть третья цифра числа.

Далее процесс повторяется.

Вавилонский метод.

Шаг №1. Представить число х в виде суммы: х=а² + b, где а² ближайший к числу х точный квадрат натурального числа а.

Шаг №2. Использовать формулу:

Пример. Вычислить .

Древние вавилоняне пользовались следующим способом нахождения приближенного значения квадратного корня из числа х.

Число х они представляли в виде суммы а² + b, где а² ближайший к числу х точный квадрат натурального числа а и пользовались формулой: √a² + b ≈ a + .

Извлечём с помощью этой древней формулы корень квадратный из числа 28:

Cпособ вавилонян дает хорошее приближение к точному значению корня. Но без знания полных квадратов больших чисел и умения их быстро находить, результат извлечения будет найти крайне трудно.

Арифметический метод.

Вычитаем из числа все нечётные числа по порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или равен нулю. Подсчитав количество выполненных действий, определяем, целую часть квадратного корня из числа.

Пример. Вычислить целую часть числа.

Решение. 12 — 1 = 11; 11 — 3 = 8; 8 — 5 = 3; 3 < 7. Выполнено 3 действия, 3 — целая часть числа. Итак, .

Для квадратов чисел верны следующие равенства:

1 = 1²

1 + 3 = 2²

1 + 3 + 5 = 3² и так далее.

То есть, узнать целую часть квадратного корня числа можно, вычитая из него все нечётные числа по порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или равен нулю, и посчитав количество выполненных действий. Например, так:

9 − 1 = 8

8 − 3 = 5

5 − 5 = 0

Выполнено 3 действия, квадратный корень числа 9 равен 3. Российские ученые называют этот метод арифметическим извлечением квадратного корня или «методом черепахи». Для извлечения квадратного корня требуется много времени и хорошие вычислительные навыки.

Метод оценки.

Шаг №1. Выяснить диапазон, в котором лежит исходный корень (100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000).

Шаг №2. По последней цифре определить на какую цифру заканчивается искомое число.

Шаг №3. Возвести в квадрат предполагаемые числа и определить из них искомое число.

Пример 1. Вычислить.

Решение. 2500 < 3364 < 3600 50² < 3364 < 60² 50 < < 60.

= *2 или = *8.

52² = (50 +2)² = 2500 + 2 · 50 · 2 + 4 = 2704;
58² = (60 − 2)² = 3600 − 2 · 60 · 2 + 4 = 3364.

Следовательно, = 58.

Метод (известный как метод Ньютона) заключается в следующем.

Пусть а₁ — первое приближение числа  (в качестве а₁ можно брать значения квадратного корня из натурального числа — точного квадрата, не превосходящего х) .

Следующее, более точное приближение а₂ числа  найдется по формуле .

Третье, еще более точное приближение  и т.д.

(n+1)-е приближение  найдется по формуле .

Пример.

Нахождение приближенного значения числа  методом Ньютона дает следующие результаты: а₁=5; а₂= 5,3; а₃=5,2915.

 — итерационная формула Ньютона для нахождения квадратного корня из числа х (n=2,3,4,…, а_n — n-е приближение .

Указанный способ позволяет извлекать квадратный корень из большого числа с любой точностью, правда с существенным недостатком: громоздкость вычислений.

Способ отбрасывания полного квадрата.

Этот способ применим только для извлечения квадратного корня из точного квадрата, а алгоритм нахождения зависит от величины подкоренного числа. Выделяем из числа квадрат, который оканчивается той же цифрой, что и данное число.

Извлечение корней до числа 75²= 5625. Число 2209 представим в виде суммы, выделив из этого числа квадрат 9, затем выделенный квадрат отбрасываем, к числу сотен первого слагаемого (22) прибавляем всегда 25. Получим ответ 47.

Так можно извлекать только квадратные корни до числа 752 =5625!

√(2209 )= √(2200+9)= √(2200+3²)= 22+25 =47

√4624= √(4300+324)= √(4300+18²)= 43+25 = 68

Извлечение корней после 75²= 5625.

√8649= √(8600+49)= √(8600+7²) = 86+7 =93. Поясним,8649 представим в виде суммы 8600 и выделенного квадрата 49. Затем к числу сотен прибавить квадратный корень из 49, равный 7. Получим ответ 93.

Задания с квадратными корнями на образовательном портале «Решу ОГЭ».

Задание 3 № 314247. Сравните числа  и 14.

В ответе укажите номер правильного варианта.

 

1) 

2) 

3) 

Правильный ответ указан под номером 1.

Решение, приведенное на этом же сайте.

Решение.

В силу цепочки неравенств

 

 

первое число меньше второго.

 

Решение, которое мы получили, используя Канадский способ:

√52 = √49 + = 7;

√46 = √36 + = 6;

7 + 6 = 13 =13; 13 < 14. Верно.

Задание 3 № 314248. Сравните числа и 12.

В ответе укажите номер правильного варианта.

 

1) 

2) 

3) 

Правильный ответ указан под номером 1.

Решение.

В силу цепочки неравенств √34 +√38 < 12 ↔ (√34 +√38)² < 12² ↔

↔34+38+ 2√34*38 < 144 ↔ √ 34*38 < 36 ↔ 1292 < 1296, 

первое число меньше второго.

Наше решение с использованием Вавилонского способа:

√34 = √5² + 9 ≈ 5 + ≈ 5;

√38 = √6² + 2≈ 6 + ≈ 6;

5 6 = 12. Не верно.

Канадский способ:

√34 = √25 + = 5+ = 5;

 √38 = √36 + = 6+ = 6;

56 = 11 = 12 = 12. Тоже не верно.

Арифметический способ:

34-1=33;

33-3=30;

30-5=25;

25-7=18;

18-9=9. Следовательно, √34 = 5

38-1=37

37-3=34

34-5=29

29-7=22

22-9=13

13-11=2. Получаем, 6

5 = 11= 11.

Таким образом, мы пришли к выводу, что самый надежный из нами рассмотренных способов оказался арифметический.

Заключение.

В ходе исследования было выявлено, что современной науке известно много

способов извлечения квадратного корня, начиная со способа математиков Древнего Вавилона и заканчивая способом степенных рядов сложных степеней из разделов высшей математики. Были изучены и отработаны на практике все найденные способы. Наше предположение, что существует не менее двух-трех способов извлечения квадратных корней без калькулятора подтвердилось.

Описанные в работе методы извлечения корней встречаются во многих источниках.

Тем не менее, разобраться в них оказалось для меня непростой задачей, что вызвало немалый интерес. Представленные алгоритмы позволят всем, кто заинтересуется данной темой, быстрее овладеть навыками вычисления квадратного корня, их можно использовать при проверке своего решения и не зависеть от наличия в кармане калькулятора. Тем более что на экзамене в 9 и 11 классах применение калькулятора не допускается.

Таким образом, цель работы достигнута, задачи выполнены.

Список литературы:

1. Алгебра: Учеб. Для 8 кл. сред.шк.\ Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров

и др. – Просвещение, 2012г.

2. В.А. Гусев, А.Т. Мордкович ≪Математика: справочные материалы≫; Книга для

учащихся – 2-е издание. – М: Просвещение.

3. Керимов З., ≪Как найти целый корень?≫ Научно-популярный физико-

математический журнал «Квант» №2, 1980

4. Петраков И.С. ≪математические кружки в 8-10 классах≫; Книга для учителя.–

М.:Просвещение,1987

5. И.Н. Сергеев, С.Н. Олехник, С.Б.Гашков ≪Примени математику≫. – М.: Наука,

1990

6. Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. ≪Рассказы о прикладной математики≫.- М.:

Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979

infourok.ru