Арксинус 1 2: Mathway | Популярные задачи

Содержание

Mathway | Популярные задачи

1 Найти точное значение sin(30)
2 Найти точное значение sin(45)
3 Найти точное значение sin(30 град. )
4 Найти точное значение sin(60 град. )
5 Найти точное значение tan(30 град. )
6 Найти точное значение arcsin(-1)
7 Найти точное значение sin(pi/6)
8 Найти точное значение cos(pi/4)
9
Найти точное значение
sin(45 град. )
10 Найти точное значение sin(pi/3)
11 Найти точное значение arctan(-1)
12 Найти точное значение cos(45 град. )
13 Найти точное значение cos(30 град. )
14 Найти точное значение tan(60)
15 Найти точное значение csc(45 град. )
16 Найти точное значение tan(60 град.
)
17 Найти точное значение sec(30 град. )
18 Найти точное значение cos(60 град. )
19 Найти точное значение cos(150)
20 Найти точное значение sin(60)
21 Найти точное значение cos(pi/2)
22 Найти точное значение tan(45 град. )
23 Найти точное значение arctan(- квадратный корень 3)
24 Найти точное значение csc(60 град.
)
25 Найти точное значение sec(45 град. )
26 Найти точное значение csc(30 град. )
27 Найти точное значение sin(0)
28 Найти точное значение sin(120)
29 Найти точное значение cos(90)
30 Преобразовать из радианов в градусы pi/3
31 Найти точное значение tan(30)
32 Преобразовать из градусов в радианы
45
33 Найти точное значение cos(45)
34 Упростить sin(theta)^2+cos(theta)^2
35 Преобразовать из радианов в градусы pi/6
36 Найти точное значение cot(30 град. )
37 Найти точное значение arccos(-1)
38 Найти точное значение arctan(0)
39 Найти точное значение cot(60 град. )
40 Преобразовать из градусов в радианы 30
41 Преобразовать из радианов в градусы (2pi)/3
42 Найти точное значение sin((5pi)/3)
43 Найти точное значение sin((3pi)/4)
44 Найти точное значение tan(pi/2)
45 Найти точное значение sin(300)
46 Найти точное значение cos(30)
47 Найти точное значение cos(60)
48 Найти точное значение cos(0)
49 Найти точное значение cos(135)
50 Найти точное значение cos((5pi)/3)
51 Найти точное значение cos(210)
52 Найти точное значение sec(60 град. )
53 Найти точное значение sin(300 град. )
54 Преобразовать из градусов в радианы 135
55 Преобразовать из градусов в радианы 150
56 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/6
57 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/3
58 Преобразовать из градусов в радианы 89 град.
59 Преобразовать из градусов в радианы 60
60 Найти точное значение sin(135 град. )
61 Найти точное значение sin(150)
62 Найти точное значение sin(240 град. )
63 Найти точное значение cot(45 град. )
64 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/4
65 Найти точное значение sin(225)
66 Найти точное значение sin(240)
67 Найти точное значение cos(150 град. )
68 Найти точное значение tan(45)
69 Вычислить sin(30 град. )
70 Найти точное значение sec(0)
71 Найти точное значение cos((5pi)/6)
72 Найти точное значение csc(30)
73
Найти точное значение
arcsin(( квадратный корень 2)/2)
74 Найти точное значение tan((5pi)/3)
75 Найти точное значение tan(0)
76 Вычислить sin(60 град. )
77 Найти точное значение arctan(-( квадратный корень 3)/3)
78 Преобразовать из радианов в градусы (3pi)/4
79 Найти точное значение sin((7pi)/4)
80 Найти точное значение arcsin(-1/2)
81 Найти точное значение sin((4pi)/3)
82 Найти точное значение csc(45)
83 Упростить arctan( квадратный корень 3)
84 Найти точное значение sin(135)
85 Найти точное значение sin(105)
86 Найти точное значение sin(150 град. )
87 Найти точное значение sin((2pi)/3)
88 Найти точное значение tan((2pi)/3)
89 Преобразовать из радианов в градусы pi/4
90 Найти точное значение sin(pi/2)
91 Найти точное значение sec(45)
92 Найти точное значение cos((5pi)/4)
93 Найти точное значение cos((7pi)/6)
94 Найти точное значение arcsin(0)
95 Найти точное значение sin(120 град. )
96 Найти точное значение tan((7pi)/6)
97 Найти точное значение cos(270)
98 Найти точное значение sin((7pi)/6)
99 Найти точное значение arcsin(-( квадратный корень 2)/2)
100 Преобразовать из градусов в радианы 88 град.

Внеклассный урок - Арксинус

Арксинус

 

Арксинус  в переводе с латинского означает дуга и синус. Это обратная функция.


Арксинус числа а – это такое число из интервала от –π/2 до π/2, синус которого равен а.

При этом | a | ≤ 1.

Обозначается так: arcsin a.

 

Говоря иначе:

arcsin a = t,

следовательно sin t = a.

Условия: модуль а не больше 1;  t в отрезке [-π/2; π/2]

(| a | ≤ 1;  –π/2 ≤ t  ≤ π/2)

Пример-пояснение:
Найдем arcsin 1/2.

Решение.
Выражение arcsin 1/2 показывает, что синус угла t равен 1/2 (sin t = 1/2).

Далее просто находим точку этого синуса на числовой окружности, что и является ответом:

точка 1/2, находящася на оси у,  соответствует точке π/6 на числовой окружности.
Значит, arcsin 1/2 = π/6.

 

Обратите внимание:

если sin π/6 = 1/2, то arcsin 1/2 = π/6.

То есть в первом случае по точке на числовой окружности находим значение синуса, а во втором – наоборот, по значению синуса находим точку на числовой окружности. Движение в обратную сторону. Это и есть арксинус.

 

Формулы.

(1)


t = arcsin a  +  2πk

t = π – arcsin a  +  2πk

Эти две формулы можно объединить в одну:
t = (–1)narcsin a + πn

(k – любое целое число;  n – любое целое число; | a | ≤ 1)

Значение четного n:
n = 2k

Значение нечетного n:
n = 2k + 1

Если n – четное число, то получается первая формула.

Если n – нечетное число, то получается вторая формула.

 
(
2)


arcsin (–a) = –arcsin a

                                                       √2
Пример 1: Вычислить arcsin (– ——).
                                                        2

Решение.

Решая пример, следуем буквально по таблице над нашим примером.

Итак:

           √2
а = – ——.
            2

                           √2
Тогда sin t = – ——, при этом t входит в отрезок [–π/2; π/2]
                            2

                        π
Значит t = – —— (входит в отрезок [–π/2; π/2])
                        4

                            √2            π
Ответ: arcsin (– ——) = – —
                             2             4

Акцентируем ваше внимание: синусом числа –π/4 является -√2/2, а арксинусом -√2/2 является –π/4. Движение в обратном порядке. Cинусом числа является точка на оси координат, а арксинусом – точка на числовой окружности.

 

                                                  √3
Пример 2: Вычислить arcsin ——
                                                   2

Решение.

                       √3
Пусть arcsin —— = t.
                        2

                        √3
Тогда sin t = ——.
                         2

Точка t находится в отрезке [–π/2; π/2]. Вычисляем значение t.

              √3
Число —— соответствует значению sin π/3, при этом π/3 находится в отрезке [–π/2; π/2].
              2

Значит:

t = π/3.

Итог:

            √3
arcsin —— = π/3.
             2

Пример решен.

Арксинус. Решение простейших уравнений с синусом. Часть 2

Арксинусом числа \(a\) (\(a∈[-1;1]\)) называют число \(x∈[-\frac{π}{2};\frac{π}{2}]\) синус которого равен \(a\) т. е.

\(\arcsin ⁡a=x\)     \(<=>\)     \(\sin ⁡x=a\)

Примеры:

\(\arcsin⁡{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{π}{4}\) потому что \(\sin ⁡\frac{π}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\frac{π}{4}∈[-\frac{π}{2}; \frac{π}{2}]\)
\(\arcsin ⁡1=\frac{π}{2}\) потому что \(\sin⁡\frac{π}{2}=1\) и \(\frac{π}{2}∈[-\frac{π}{2};\frac{π}{2}]\)
\(\arcsin ⁡0=0\) потому что \(\sin ⁡0=0\) и \(0∈[-\frac{π}{2};\frac{π}{2}] \)
\(\arcsin⁡\sqrt{3}\) – не определен, потому что \(\sqrt{3}>1\)

Проще говоря, арксинус обратен синусу.

На круге это выглядит так:

     

Как вычислить арксинус?

Чтобы вычислить арксинус - нужно ответить на вопрос: синус какого числа (лежащего в пределах от \(-\frac{π}{2}\) до \(\frac{π}{2}\) ) равен аргументу арксинуса?

Например, вычислите значение арксинуса:

а) \(\arcsin⁡(-\frac{1}{2})\)
б) \(\arcsin⁡(\frac{\sqrt{3}}{2})\)
в) \(\arcsin(-1)\)

а) Синус какого числа равен \(-\frac{1}{2}\)? Или в более точной формулировке можно спросить так: если \(\sin ⁡x=-\frac{1}{2}\), то чему равен \(x\)? Причем, обратите внимание, нам нужно такое значение, которое лежит между \(-\frac{π}{2}\) и \(\frac{π}{2}\). Ответ очевиден:

\(\arcsin⁡(-\frac{1}{2})=-\frac{π}{6}\)

б) Синус какого числа равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)? Кто-то вспоминает тригонометрический круг, кто-то таблицу, но в любом случае ответ \(\frac{π}{3}\).

\(\arcsin⁡(-\frac{\sqrt{3}}{2})=-\frac{π}{3}\)

в) Синус от чего равен \(-1\)?
Иначе говоря, \(\sin ⁡x=-1\), \(x=\) ?

\(\arcsin⁡(-1)=-\frac{π}{2}\)

Тригонометрический круг со всеми стандартными арксинусами:


Зачем нужен арксинус? Решение уравнения \(\sin x=a\)

Чтобы понять зачем придумали арксинус, давайте решим уравнение: \(\sin ⁡x=\frac{1}{2}\).

Это не вызывает затруднений:

\( \left[ \begin{gathered}x=\frac{π}{6}+2πn, n∈Z\\ x=\frac{5π}{6}+2πl, l∈Z\end{gathered}\right.\)

Внимание! Если вдруг затруднения всё же были, то почитайте здесь о решении простейших уравнений с синусом.

А теперь решите уравнение: \(\sin ⁡x=\frac{1}{3}\).

Что тут будет ответом? Не \(\frac{π}{6}\), не \(\frac{π}{4}\), даже не \(\frac{π}{7}\) - вообще никакие привычные числа не подходят, однако при этом очевидно, что решения есть. Но как их записать?

Вот тут-то на помощь и приходит арксинус! Значение правой точки равно \(\arcsin⁡\frac{1}{3}\), потому что известно, что синус равен \(\frac{1}{3}\). Длина дуги от \(0\) до правой точки тогда тоже будет равна \(\arcsin⁡\frac{1}{3}\). Тогда чему равно значение второй точки? С учетом того, что правая точка находится на расстоянии равному \(\arcsin⁡\frac{1}{3}\) от \(π\), то её значение составляет \(π- \arcsin⁡\frac{1}{3}\).

Ок, значение этих двух точек нашли. Теперь запишем полный ответ: \( \left[ \begin{gathered}x=\arcsin \frac{1}{3}+2πn, n∈Z\\ x=π-\arcsin \frac{1}{3}+2πl, l∈Z\end{gathered}\right.\) Без арксинусов решить уравнение \(\sin ⁡x=\frac{1}{3}\) не получилось бы. Как и уравнение \(\sin ⁡x=0,125\), \(\sin ⁡x=-\frac{1}{9}\), \(\sin⁡ x=\frac{1}{\sqrt{3}}\) и многие другие. Фактически без арксинуса мы можем решать только \(9\) простейших уравнений с синусом:


С арксинусом – бесконечное количество.

Пример. Решите тригонометрическое уравнение: \(\sin ⁡x=\frac{1}{\sqrt{3}}\).
Решение:


Ответ:   \( \left[ \begin{gathered}x=\arcsin \frac{1}{\sqrt{3}}+2πn, n∈Z\\ x=π-\arcsin \frac{1}{\sqrt{3}}+2πl, l∈Z\end{gathered}\right.\)

Пример. Решите тригонометрическое уравнение: \(\sin ⁡x=\frac{1}{\sqrt{2}}\).

Решение:
Кто поторопился написать ответ \( \left[ \begin{gathered}x=\arcsin \frac{1}{\sqrt{2}}+2πn, n∈Z\\ x=π-\arcsin \frac{1}{\sqrt{2}}+2πl, l∈Z\end{gathered}\right.\), тот на ЕГЭ потеряет 2 балла. Дело в том, что в отличии от прошлых примеров \(\arcsin⁡ \frac{1}{\sqrt{2}}\) - вычислимое значение, но чтобы это стало очевидно нужно избавиться от иррациональности в знаменателе аргумента. Для этого умножим и числитель и знаменатель дробь на корень из двух \(\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}= \frac{\sqrt{2}}{2}\). Таким образом, получаем:

\(\arcsin⁡ \frac{1}{\sqrt{2}} = \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{π}{4}\)

Значит в ответе вместо арксинусов нужно написать \(\frac{π}{4}\).

Ответ:   \( \left[ \begin{gathered}x=\frac{π}{4}+2πn, n∈Z\\ x=\frac{3π}{4}+2πl, l∈Z\end{gathered}\right.\)

Пример. Решите тригонометрическое уравнение: \(\sin ⁡x=\frac{7}{6}\).

Решение:
И вновь тот, кто поторопился написать \( \left[ \begin{gathered}x= \arcsin \frac{7}{6}+2πn, n∈Z\\ x=π- \arcsin\frac{7}{6}+2πl, l∈Z\end{gathered}\right.\) на ЕГЭ потеряет \(2\) балла. Что не так? – спросите вы. Ведь точно не табличное значение, почему нельзя написать \(\arcsin⁡\frac{7}{6}\)? Пролистайте до самого верха, туда, где было определение арксинуса. Там написана маленькая, но очень важная деталь – аргумент арксинуса должен быть меньше или равен \(1\) и больше или равен \(-1\). Ведь синус не может выходить за эти пределы! И если решить уравнение с помощью круга, а не бездумно пользоваться готовыми формулами, то станет очевидно, что у такого уравнения решений нет.


Ответ:   решений нет.

Думаю, вы уловили закономерность.

Если \(\sin ⁡x\) равен не табличному значению между \(1\) и \(-1\), то решения будут выглядеть как: \( \left[ \begin{gathered}x= \arcsin a +2πn, n∈Z\\ x=π- \arcsin a +2πl, l∈Z\end{gathered}\right.\)

Арксинус отрицательного числа

Прежде чем научиться решать тригонометрические уравнения с отрицательным синусом советую запомнить формулу:

\(\arcsin⁡({-a})=-\arcsin ⁡a\)

Если хотите понять логику этой формулы, внимательно рассмотрите картинку ниже:

Примеры:

\(\arcsin⁡(-0,7)=-\arcsin⁡ 0,7\)
\(\arcsin⁡(-\frac{\sqrt{3}}{2})=-\arcsin⁡\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{π}{6}\)
\(\arcsin⁡(-\frac{\sqrt{7}}{2}) \neq -\arcsin⁡\frac{\sqrt{7}}{2}\)

Удивил последний пример? Почему в нем формула не работает? Потому что запись \(\arcsin⁡(-\frac{\sqrt{7}}{2})\) в принципе неверна, ведь \(-\frac{\sqrt{7}}{2}<-1\), а значит арксинус от \(-\frac{\sqrt{7}}{2}\) взять нельзя – он не вычислим, не существует, точно также как \(\sqrt{-5}\) или \(\frac{3}{0}\).

Пример. Решите тригонометрическое уравнение: \(\sin ⁡x=-\frac{1}{\sqrt{3}}\).

Решение:
Можно воспользоваться готовой формулой и написать:

\( \left[ \begin{gathered}x=\arcsin (-\frac{1}{\sqrt{3}})+2πn, n∈Z\\ x=π-\arcsin (-\frac{1}{\sqrt{3}})+2πl, l∈Z\end{gathered}\right.\)

\( \left[ \begin{gathered}x=-\arcsin (\frac{1}{\sqrt{3}})+2πn, n∈Z\\ x=π+\arcsin (\frac{1}{\sqrt{3}})+2πl, l∈Z\end{gathered}\right.\)

Но я фанатка круга, поэтому:


Ответ:   \( \left[ \begin{gathered}x=-\arcsin \frac{1}{\sqrt{3}}+2πn, n∈Z\\ x=π+\arcsin \frac{1}{\sqrt{3}}+2πl, l∈Z\end{gathered}\right.\)

На всякий случай, уточню, что при решении уравнений написанное синим писать не обязательно – это скорее пояснения, как надо рассуждать.

Смотрите также:
Синус
Тригонометрические уравнения


Основные формулы с арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом

Формулы с обратными тригонометрическими функциями: arcsin, arccos, arctg и arcctg

Ранее мы рассматривали обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Как и в случае с другими функциями, между ними существуют связи и зависимости, реализуемые в виде формул, которые можно использовать для решения задач.

Сейчас мы будем рассматривать основные формулы с использованием этих функций: какие они бывают, на какие группы их можно разделить, как их доказать и как решать задачи с их помощью.

Формулы котангенса арккотангенса, тангенса арктангенса, синуса арксинуса и косинуса арккосинуса

Для начала сгруппируем формулы, в которых содержатся основные свойства обратных тригонометрических функций. Мы уже обсуждали и доказывали их ранее, а здесь приведем, чтобы логика объяснения была более понятной и все формулы были в одной статье.

для α∈-1, 1  sin(arccis α)=α,   cos(arccos α)=α,для α∈(-∞, ∞)  tg(arctg α)=α, ctg(arcctg α)=α

Указанное в них легко сформулировать из самих определений обратных тригонометрических функций числа. Если вы забыли, как найти, например, тангенс арктангенса, все можно посмотреть в этой формуле.

Формулы арккотангенса котангенса, арктангенса тангенса и арксинуса синуса и арккосинуса косинуса

для -π2≤α≤π2  arcsin (sin α)=α,для 0≤α≤π arccos(cos α)=α,для -π2<α<π2 arctg (tg α)=α,для 0<α<π arcctg (ctg α)=α

Здесь все также более-менее очевидно, как и в предыдущем пункте: эти формулы можно вывести из определений арксинуса, арккосинуса и др. Единственное, на что нужно обратить пристальное внимание: они будут верны только в том случае, если a (число или угол) будут входить в указанный предел. В противном случае расчет по формуле будет ошибочен, и применять ее нельзя.

Как соотносятся между собой арксинусы, арккосинусы, арктангенсы и арккотангенсы противоположных чисел

В этом блоке мы сформулируем важное утверждение:

Определение 1

Обратные тригонометрические функции отрицательного числа можно выразить через арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс противоположного ему положительного числа.

для α∈-1, 1  arccis (-α)=-arcsin α,   arccos (-α)=π-arccos α,для α∈(-∞, ∞)  arctg (-α)=-arctg α, arcctg (-α)=π-arcctg α

Таким образом, если в расчетах нам встречаются эти функции для отрицательных чисел, мы можем от них избавиться, преобразовав их в аркфункции положительных чисел, с которыми иметь дело проще.

Формулы суммы: арксинус + арккосинус, арктангенс + арккотангенс

Они выглядят следующим образом:

для α∈-1, 1  arccis α+arccos α=π2,для α∈(-∞, ∞)  arctg α+arcctg α=π2

Из написанного видно, что арксинус некоторого числа можно вывести с помощью его арккосинуса, и наоборот. С арктангенсом и арккотангенсом аналогично – они соотносятся между собой аналогичным образом.

Формулы связи между прямыми и обратными тригонометрическими функциями

Знать связи между прямыми функциями и их аркфункциями очень важно для решения многих практических задач. Как же быть, если у нас есть необходимость вычислить, к примеру, тангенс арксинуса? Ниже приведен список основных формул для этого, которые полезно выписать себе.

-1≤α≤1,sin (arcsin α)=α -1≤α≤1,sin (arccos α)=1-α2 -∞≤α≤+∞,sin (arctg α)=α1+α2 -∞≤α≤+∞, sin (arcctg α)=11+α2
-1≤α≤1,cos (arcsin α)=1-α2 -1≤α≤1,cos (arccos α)=α -∞≤α≤+∞,cos (arctg α)=11+α2 -∞≤α≤+∞, cos (arcctg α)=11+α2
-1<α<1,tg (arcsin α) =α1-α2 α∈(-1, 0)∪(0, 1),tg (arccos α) =1-α2α -∞≤α≤+∞,tg (arctg α)=α α≠0 ,tg (arcctg α)=1α
α∈(-1, 0)∪(0, 1),ctg (arcsin α)=1-α2α -1<α<1,ctg (arccos α)=α1-α2 α≠0,ctg (arctg α)=1α -∞≤α≤+∞, ctg (arcctg α)=α

Теперь разберем примеры, как они применяются в задачах.

Пример 1

Вычислите косинус арктангенса из 5.

Решение

У нас для этого есть подходящая формула следующего вида: cos(arctg α)=11+α2

Подставляем нужное значение: cos(arctg5)=11+(5)2=26

Пример 2

Вычислить синус арккосинуса 12.

Решение

Для этого нам понадобится формула: sin (arccos α)=1-a2

Подставляем в нее значения и получаем: sin (arccos 12)=1-(12)2=32

Обратите внимание, что непосредственные вычисления приводят к аналогичному ответу: sin(arccos 12)=sin π3=32

Если вы забыли, как правильно вычислять значения прямых и обратных функций, вы всегда можете вернуться к нашим предыдущим материалам, где мы разбирали это.

Доказательства формул синусов арккосинуса, арккотангенса и арктангенса

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Для того, чтобы наглядно вывести полученные формулы, нам понадобятся основные тригонометрические тождества и собственно формулы основных обратных функций - косинуса арккосинуса и др. Мы их уже выводили ранее, поэтому тратить время на их доказательства не будем. Начнем сразу с формул синусов арккосинуса, арккотангенса и арктангенса. Используя тождество, получим:

sin2α+cos2α=11+ctg2α=1sin2α

Вспомним, что tgα·ctgα=1. Из этого можно получить:

sinα=1-cos2α, 0≤α≤π sinα=tgα1+tg2α, -π2<α<π2sinα=11+ctg2α, 0<α<π

У нас получилось, что мы выразили синус через необходимые аркфункции при заданном условии.

Теперь в первой формуле вместо a мы добавим arccos a. Итог - формула синуса арккосинуса.

Далее во вторую вместо a ставим arctg a. Это формула синуса арктангенса.

Аналогично с третьей – если мы добавим в нее arcctg a, будет формула синуса арктангенса.

Все наши расчеты можно сформулировать более емко:

  1. sinα=1-cos2α, 0≤α≤π

Следовательно, sin(arccosα)=1-cos2(arccosα)=1-a2

  1. sinα=tgα1+tgα, -π2<α<π2,

Следовательно, sin(arctgα)=tg(arctgα)1+tg2(arctgα)=α1+α2

  1. sinα=11+ctg2α, 0<α<π

Следовательно, sin(arctgα)=11+tg2(arctgα)=11+α2

Выводим формулы косинуса арксинуса, косинуса арктангенса и косинуса арккотангенса.

Их мы выведем по имеющемуся шаблону:

  1. Из cosα=1-sin2α, -π2≤α≤π2 следует, что

cos(arcsin α)=1-sin2(arcsin α)=1-a2

  1. Из cosα=11+tg2α, -π2<α<π2 следует, что
  2. Из cosα=ctgα1+ctg2α, 0<α<πcos(arctgα)=11+tg2(arctgα)=11+α2

следует, что cos(arctgα)=ctg(arcctgα)1+ctg2(arcctgα)=α1+α2

Доказательства формул тангенсов арксинуса, арккосинуса и арккотангенса

  1. Исходим из tgα=sin α1-sin2α, -π2<α<π2. Получаем tg(arcsin α)=sin(arcsinα)1-sin2(arcsinα)=α1-α2 при условии, что -1<α<1.
  2. Исходим из tgα=1-cos2αcosα, α∈[0, π2)∪(π2, π], получаем

tg(arccosα)=1-cos2(arccosα)cos(arccosα)=1-α2α при условии α∈(-1, 0)∪(0, 1).

  1. Исходим из tgα=1ctgα, α∈(0, π2)∪(π2, π), получаем tg(arcctgα)=1ctg(arcctgα)=1α при условии, что α≠0.

Теперь нам нужны формулы котангенсов арксинуса, арккосинуса и арктангенса. Вспомним одно из тригонометрических равенств:

ctgα=1tgα

Используя его, мы можем сами вывести необходимые формулы, используя формулы тангенса арксинуса, тангенса арккосинуса и тангенса арктангенса. Для этого понадобится поменять в них местами числитель и знаменатель.

Как выразить арксинус через арккосинус, арктангенс и арккотангенс и так далее

Мы связали между собой прямые и обратные тригонометрические функции. Полученные формулы дадут нам возможность связать и одни обратные функции с другими, то есть выразить одни аркфункции через другие аркфункции. Разберем примеры.

Здесь мы можем заменить арксинус на арккосинус, арктангенс и арккотангенс соответственно, и получить искомую формулу:

arcsinα=arccos1-α2, 0≤α≤1-arccos1-a2, -1≤α<0arcsinα=arctgα1-α2, -1<α<1arcsinα=arcctg1-α2α, 0<α≤1arcctg1-α2α-π, -1≤α≤0

А так мы выразим арккосинус через остальные обратные функции:

arccosα=arcsin1-α2, 0≤α≤1π-arcsin1-α2, -1≤α<0arccosα=arctg1-α2α, 0<α≤1π+arctg1-α2α, -1<α<0arccosα=arcctgα1-α2, -1<α<1

Формула выражения арктангенса:

arctgα=arcsinα1+α2, -∞<α<+∞arctgα=arccos11+α2, α≥0-arccos11+α2, α<0arctgα=arcctg1α, α≠0

Последняя часть – выражение арккотангенса через другие обратные функции:

arcctgα=arcsin11+α2, α≥0π-arcsin11+α2, α<0arcctgα=arccosα1+α2, -∞<α<+∞arcctgα=arctg1α, α≠0

Теперь попробуем доказать их, опираясь на основные определения обратных функций и ранее выведенных формул.

Возьмём arcsinα=arctgα1-α2, -1<α<1 и постараемся вывести доказательство.

Мы знаем, что arctgα1-α2 - это число, величина которого составляет от минус половины пи до плюс половины пи. Из формулы синуса арктангенса получим:

sin(arctgα1-α2)=α1-α21+(α1-α2)2=α1-α21+α21-α2=α1-α21+α21-α2=α1-α211-α2=α

Получается, что arctgα1-α2 при условии 1<a<1 – это и есть арксинус числа a.

Вывод: arcsina=arctga1-a2, -1<a<1

Прочие формулы доказываются по аналогии.

В завершение разберем один пример применения формул на практике.

Пример 3

Условие Вычислить синус арккотангенса минус корня из 3.

Решение

Нам понадобится формула выражения арккотангенса через арксинус: arcctgα=arcsin11+a2, α≥0π-arcsin 11+a2, α<0
Подставим в нее α=-3 и получим ответ – 12. Непосредственное вычисление дало бы нам те же результаты: sin(arcctg(-3))=sin5π6=12 Для решения задачи можно взять и другую формулу, выражающую синус через котангенс: sinα=11+ctg2α, 0<α<π

В итоге у нас бы вышло: sin(arcctg(-3))=11+ctg2(arcctg(-3))=11+(-3)2=12

Или возьмем формулу синуса арккотангенса и получим тот же ответ: sin(arcctgα)=11+α2  sin(arcctg(-3))=11+(-3)2=12

Прочие формулы с обратными функциями

Мы рассмотрели самые основные формулы, которые понадобятся вам при решении задач. Однако это не все формулы с аркфункциями: есть и ряд других, специфичных, которые употребляются нечасто, но все же их знание может быть полезно. Запоминать их особого смысла нет: проще вывести их тогда, когда они нужны.

Разберем одну из них, называемую формулой половинного угла. Она выглядит следующим образом:

sin2α2=1-cosα2

Если угол альфа при этом больше нуля, но меньше числа пи, то у нас выходит:

sinα2=1-cosα2

Учитывая данное условие, заменяем упомянутый угол на arccos. В итоге наша предварительная формула выглядит так:

sinarccosα2=1-cos(arccosα)2⇔sinarccosα2=1-α2

Отсюда мы выводим итоговую формулу, в которой арксинус выведен через арккосинус:

arccosα2=arcsin1-α2

Мы перечислили не все связи, которые имеются между обратными тригонометрическими функциями, а лишь наиболее употребляемые из них. Важно подчеркнуть, что ценность имеют не столько сами сложные формулы, что мы привели в статье: заучивать их наизусть не нужно. Гораздо важнее уметь самому делать нужные преобразования, и тогда сложные вычисления не потребуется хранить в голове.

В продолжение темы в следующей статье мы рассмотрим преобразование выражений с арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом.

определение, формула, таблица, график, свойства

Определение

Арксинус (arcsin) – это обратная тригонометрическая функция.

Арксинус x определяется как функция, обратная к синусу x, при -1≤x≤1.

Если синус угла у равен х (sin y = x), значит арксинус x равняется y:

arcsin x = sin-1 x = y

Примечание: sin-1x означает обратный синус, а не синус в степени -1.

Например:

arcsin 1 = sin-1 1 = 90° (π/2 рад)

График арксинуса

Функция арксинуса пишется как y = arcsin (x). График в общем виде выглядит следующим образом (-1≤x≤1, -π/2≤y≤π/2):

Свойства арксинуса

Ниже в табличном виде представлены основные свойства арксинуса с формулами.

Таблица арксинусов

xarcsin x (рад)arcsin x (°)
-1 -π/2 -90°
-√3/2 -π/3 -60°
-√2/2 -π/4 -45°
-1/2 -π/6 -30°
0 0
1/2 π/6 30°
√2/2 π/4 45°
√3/2 π/3 60°
1 π/2 90°

microexcel. ru

Обратные тригонометрические функции.

Алгебра. 10 класс. Глава VI. Тест 1.

Вариант I.

1. Вычислите:

2. Вычислите: arcsin (-0,5).

3. Вычислите: 2 arccos(-1).

Aπ;  B) 3π;  C) 4π;  D) 2π.

4. Вычислите:

5. Найдите значение выражения:

A) 0,5;   B) 1;  C)  0;  D-1.

6. Найдите значение выражения:

7. Вычислите:

A) -1;    B) 0;   C) 1;    D) π.

8.  Вычислите:

A) -1;  B) 0;  C) 1;  D) 0,5.

9.Вычислите:

10. Найдите значение выражения: sin(arccos 0,6).

A) 0,8;  B)  0,6;  C)  1,25;  D)  1.

11. Вычислить: sin(2arccos 0,8).

A) 0,8;  B) 0,6;  C) 0,96;  D) 0,48.

12. Вычислить:

Вариант II.

1. Вычислите:

2. Вычислите:

3. Вычислите: 4 arcsin(-1).

A) -2π; B) 3π ; C) -4π ; D) 2π.

4. Вычислите:

5. Найдите значение выражения:

A) 0,5; B) 1; C) 0; D) -1.

6. Найдите значение выражения:

cos(arccos0,4).

A) 0,5; B) 0,4; C) 0,6; D) 0.

7. Вычислите:

A) -1; B) 0; C) 1; D)  π.

8. Вычислите:

A) 3; B) 2; C) 1; D) 0.

9. Вычислите:

A) -1; B) 1; C) 0; D)  π/3.

10. Найдите значение выражения: cos(arcsin 0,8).

A) 0,8;  B)  0,6;  C)  1,25;  D) 1.

11. Вычислить: sin(2arccos 0,6).

A) 0,8; B) 0,6; C) 0,96; D) 0,48.

12. Вычислить:

A) -5; B) 12; C) 5; D)  π/6.

Сверить ответы.

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ.

π = 180°;  π/2 = 90°;  π/3 = 60°;  π/4 = 45°;  π/6 = 30°.

Обратные тригонометрические функции.

1) Арксинусом числа а (arcsin a) называется угол из промежутка [-  π/2; π/2], синус которого равен а. Примеры:

а) arcsin ( 1/2) = π/6, так как sin(π/6) = 1/2;

б) arcsin(-1/2  ) =- π/6 , т. к. sin(-π/6 )= — sin(π/6) = — 1/2.

arcsin(-a)=- arcsin a.

2) Арккосинусом числа а (arccos a) называется угол из промежутка [0; π], косинус которого равен а. Примеры:

а) arccos( 1/2) = π/3, так как cos (π/3) = 1/2;

б) arccos(-1/2)= 2π/3, так как cos (2π/3) =cos(π — π/3) = — cos (π/3)=-  1/2.

arccos(-a) = π–arccosa.

3) Арктангенсом числа а (arctg a) называется угол из промежутка (- π/2; π/2), тангенс которого равен а.

Примеры: а) arctg 1 = π/4, так как tg π/4 = 1;

б) arctg(-1)= — π/4, так как tg(- π/4)= — tg π/4 = — 1.

arctg(-a)=- arctg a.

4) Арккотангенсом числа а (arcctg a) называется угол из промежутка (0; π), котангенс которого равен а.

Примеры: а) arcctg 1 = π/4, так как ctg (π/4) = 1;

б) arcctg(-1)= 3π/4, так как ctg (3π/4) = ctg(π –  π/4) = — ctg (π/4)= -1.

arcctg(-a) = π–arcctg a.

Таблица значений тригонометрических функций некоторых углов.


Поделиться новостью в соцсетях  

радиана , который имеет это значение.

В каждом случае мы должны ограничить его диапазон, чтобы функция была однозначной.

Диапазон y = arctan x

Как y = arcsin x , y = arctan x имеет наименьшие абсолютные значения в 1-м и 4-м квадрантах.

Обратите внимание, что y - угол , тангенс которого равен x - должен быть больше - и меньше чем.Поскольку при этих углах квадранта касательная не существует. (Тема 15.)

Углы, тангенсы которых положительны, будут углами 1-го квадранта. Углы с отрицательными касательными попадают в 4-й квадрант.

То же самое, что и с arcsin (- x ).

Угол, тангенс которого равен - x , является просто отрицательной величиной угла, тангенс которого равен x .

= −θ.
= θ.
Следовательно,
arctan (- x ) = −arctan x .

Проблема 2. Оцените следующее.

а) арктангенс 1 = π
4
б) арктангенс (-1) = π
4
в) загар -1 = π
3
г) загар −1 (-) = π
3
д) арктангенс 0 = 0 е) = π
6

Диапазон y = arccos x

Пример 2.Оцените arccos ½.

Решение . arccos ½ = π
3
.
.
Угол в радианах, косинус которого равен ½, равен π
3
(60 °).

Проблема 3. Почему это не так?

arccos (−½) = -.

- угол 4-го квадранта. А в 4-м квадранте косинус положительный.

Урок 15.

.

Угол с отрицательным косинусом попадет во 2-й квадрант, где он будет иметь наименьшее абсолютное значение. (Тема 15.)

Косинус угла 2-го квадранта является отрицательной величиной косинуса соответствующего острого угла, который является его дополнением.

Другими словами:

Угол θ, косинус которого равен - x , является дополнением
к углу, косинус которого равен x .

arccos (- x ) = π - arccos x .

Пример 3. Вычислите arccos (−½).

Решение . Мы видели:

arccos ½ =.

Следовательно, arccos (−½) является дополнением к углу, к которому мы должны прибавить π.

+ θ = π.

Теперь это одна треть числа π. Следовательно, его добавка будет двух-

третей числа π:.

θ = arccos (−½) =.

Тогда диапазон y = arccos x будет от 0 до π.

Угол, косинус которого положителен, будет углом 1-го квадранта; угол с отрицательным косинусом попадет во 2-й угол. Будет дополнением угла 1-го квадранта.

Проблема 4. Оцените следующее.

а) arccos 1 = 0 б) arccos (−1) = π
в) cos -1
2
= π
4
г) cos −1 (-
2
) = π - π
4
=
4
e) = π
6
е) = π - π
6
=
6
г) arccos 0 = π
2

*

Обратное соотношение выглядит следующим образом:

arccos x = θ тогда и только тогда, когда x = cos θ.

Например,

arccos ½ = π
3
тогда и только тогда, когда ½ = cos π
3
.

В общем, так и есть.

Проблема 5.

a) arctan t = β тогда и только тогда, когда t = tan β.

б) arcsec u = α тогда и только тогда, когда u = sec α.

c) arccos 1 = 0 тогда и только тогда, когда 1 = cos 0.

г) arccot ​​1 = π
4
тогда и только тогда, когда 1 = детская кроватка π
4
.

Диапазон y = arcsec x

В исчислении наиболее важными обратными тригонометрическими функциями являются sin −1 x , tan −1 x и cos −1 x .Тем не менее, вот диапазоны, делающие остальные однозначными.

Если x положительно, то значение обратной функции всегда является углом первого квадранта, или 0. Если x отрицательно, значение обратной будет попадать в квадрант, в котором прямая функция отрицательна. Таким образом, если x отрицательно, arcsec x попадет во 2-й квадрант, потому что именно там sec x отрицательно.

Единственная обратная функция ниже, в которой x может быть 0, - это arccot ​​ x .arccot ​​0 = π / 2.

Опять же, мы ограничиваем значения y теми углами, которые имеют наименьшее абсолютное значение.

Обратные отношения

Если поставить

f ( x ) = sin x

и

г ( x ) = arcsin x ,

, то согласно определению обратных функций (Тема 19 Precalculus):

f ( g ( x )) = x и g ( f ( x )) = x .

sin (arcsin x ) = x и arcsin (sin x ) = x .

В частности, если

arcsin x = y
затем, взяв обратную функцию - синус - обеих сторон:
x = sin y .

Взяв обратную функцию обеих сторон, мы извлекли или освободили аргумент x . (См. Тему 19 Precalculus, Извлечение аргумента.) Это позволяет нам решать многие тригонометрические уравнения.

Пример 4. Решите относительно x :

arcsin ( x - 1) = .

Решение .Взяв обратную функцию - синус - с обеих сторон, мы можем освободить аргумент x - 1 и сразу записать -

x - 1 = грех =
2

Следовательно,

x = 1 +
2
.

Задача 6. Решите для x :

загар ( x + 2) = 1.

х + 2 = арктан 1 = π
4
.
x = π
4
- 2.

Задача 7. Решите для x :

cos x 2 = -1.

x 2 = arccos −1 = π.

х = ±.

Задача 8. Решите для x :

sin −1 ( x 2 -1) = 0.
x 2 - 1 = arcsin 0 = 0
x 2 = 1
x = ± 1.

Теорема. Если

y = arcsec x ,

, затем продукт

сек y tan y никогда не бывает отрицательным.

Например, если y = arcsec x , то угол y попадает либо в первый, либо во второй квадрант. Когда угол y попадает в первый квадрант, то значения sec y и tan y положительны.Следовательно, их продукт положительный.

Когда угол y попадает во второй квадрант, sec y и tan y оба отрицательны, так что их произведение снова положительно.

Если y = 0, то tan y = 0, следовательно, произведение sec y tan y равно 0.

Следовательно, этот продукт никогда не бывает отрицательным.

(Эта теорема упоминается в доказательстве производной от y = arcsec x .)

Следующая тема: Тригонометрические идентификаторы

Содержание | Дом


Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
Даже 1 доллар поможет.


Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Эл. Почта: [email protected]


Тригонометрическая функция arcsin () - обратный синус - определение математического слова

Тригонометрическая функция arcsin () - обратный синус - определение математического слова - Math Open Reference

Функция arcsin - это функция, обратная синусоиде.
Возвращает угол, синус которого является заданным числом.

Попробуй это Перетащите любой вершине треугольника и посмотрите, как вычисляется угол C с помощью функции arcsin ().

Для каждой тригонометрической функции существует обратная функция, которая работает в обратном порядке. Эти обратные функции имеют то же имя, но с дугой впереди. (На некоторых калькуляторах кнопка arcsin может быть помечена как asin, а иногда грех -1 .) Итак, обратное к греху - это arcsin и т. Д. Когда мы видим «arcsin A», мы понимаем его как «угол, грех которого равен A».

sin30 = 0.5 Означает: синус 30 градусов равен 0,5
arcsin 0,5 = 30 Означает: Угол, грех которого равен 0,5, равен 30 градусам.
Используйте arcsin, если вы знаете синус угла и хотите узнать фактический угол.
См. Также Обратные функции - тригонометрия

Пример - использование arcsin для нахождения угла

На рисунке выше нажмите «Сброс». Нам известны длины сторон, но нам нужно найти величину угла C.
Мы знаем, что поэтому нам нужно знать угол, грех которого равен 0.5, или формально: Используя калькулятор, чтобы найти arcsin 0,5, мы находим, что это 30 °.

Большие и отрицательные углы

Напомним, что мы можем применить триггерные функции на любой угол, включая большие и отрицательные углы. Но когда мы Рассмотрим обратную функцию, мы столкнемся с проблемой, потому что существует бесконечное количество углов, которые имеют один и тот же синус. Например, 45 ° и 360 + 45 ° будут иметь одинаковый синус. Подробнее об этом см. Обратные тригонометрические функции.

Чтобы решить эту проблему, диапазон обратных триггерных функций ограничены таким образом, чтобы обратные функции были взаимно однозначными, то есть для каждого входного значения был только один результат.

Диапазон и домен arcsin

Напомним, что область определения функции - это набор допустимых входных данных для нее. Диапазон - это набор возможных выходов.

Для y = arcsin x:

По соглашению диапазон arcsin ограничен от -90 ° до + 90 °. Итак, если вы используете калькулятор для решения, скажем, arcsin 0,55, из бесконечного числа возможностей он вернет 33,36 °, тот, который находится в диапазоне функции.

Что попробовать

  1. На рисунке выше нажмите «сбросить» и «скрыть детали».
  2. Отрегулируйте треугольник до нового размера
  3. Используя функцию arcsin, вычислите значение угла C из длин сторон
  4. Щелкните «Показать подробности», чтобы проверить ответ.

Другие темы по тригонометрии

Уголки

Тригонометрические функции

Решение задач тригонометрии

Исчисление

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.

кол-во номеров.arcsin - NumPy v1.20 Manual

Обратный синус, поэлементно.

Параметры
x array_like

y - координата на единичной окружности.

из ndarray, None или кортеж из ndarray и None, необязательно

Местоположение, в котором сохраняется результат. Если предусмотрено, он должен иметь форма, которой транслируются входы. Если не указано или Нет, возвращается только что выделенный массив.Кортеж (возможно только как аргумент ключевого слова) должен иметь длину, равную количеству выходов.

, где array_like, необязательно

Это условие транслируется по входу. В местах, где Условие равно True, массив out будет установлен на результат ufunc. В другом месте массив из сохранит свое исходное значение. Обратите внимание, что если неинициализированный массив из создается по умолчанию out = None , местоположения в нем, где условие False будет оставаться неинициализированным.

** kwargs

Другие аргументы, содержащие только ключевые слова, см. ufunc docs.

Возвращает
angle ndarray

Обратный синус каждого элемента в x , в радианах и в закрытый интервал [-pi / 2, pi / 2] . Это скаляр, если x - скаляр.

Банкноты

arcsin - многозначная функция: на каждые x приходится бесконечно много чисел z таких, что.Конвенция заключается в вернуть угол z , действительная часть которого лежит в [-pi / 2, pi / 2].

Для типов входных данных с действительным знаком arcsin всегда возвращает действительный вывод. Для каждого значения, которое не может быть выражено действительным числом или бесконечностью, он дает нан и устанавливает флаг ошибки с плавающей запятой недопустимый .

Для входных комплексных значений arcsin - это комплексная аналитическая функция, которая по соглашению ветвь разрезает [-inf, -1] и [1, inf] и является сплошной сверху на первом и снизу на втором.{-1}.

Список литературы

Абрамовиц М., Стегун И. А., Справочник по математическим функциям , 10-е издание, Нью-Йорк: Довер, 1964, стр. 79 и далее. http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/

Примеры

 >>> np.arcsin (1) # pi / 2
1,5707963267948966
>>> np.arcsin (-1) # -pi / 2
-1,5707963267948966
>>> np.arcsin (0)
0,0
 
.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *