Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Напомним, что геометрическая прогрессия – это числовая последовательность, , , …, , …, где, что для всех натуральных  выполняется равенство, где . Число называется знаменателем геометрической последовательности, число –первым её членом, а число – общим её членом.

, , , , …, , …,

, , , , …, , …, 

Также напомним, что ­­—ый член геометрической прогрессии можно вычислить по формуле

А сумму первых ­­ членов геометрической прогрессии можно вычислить по формуле , если ;

 , если .

Однако среди геометрических прогрессий особый интерес вызывают так называемые

бесконечно убывающие геометрические прогрессии. Давайте познакомимся с такими прогрессиями.

Начнём с примера. Итак, перед вами изображены квадраты.

Сторона первого, самого большого квадрата равна , сторона второго равна  , сторона третьего квадрата – , сторона четвёртого квадрата –  , сторона пятого квадрата –  и так далее.

Обратите внимание! Стороны наших квадратов образуют геометрическую прогрессию: , , , , , …

Перепишем эту геометрическую прогрессию в таком виде: , , , , , …, , …

Знаменатель этой геометрической прогрессии равен  .

Заметим, что и площади этих квадратов также образуют геометрическую прогрессию:

, , , , , …

, , , , , …, , …

 

Хотелось бы отметить, что стороны квадратов и их площади с возрастанием номера   становятся всё меньше и всё больше приближаются к. Так вот, каждую из прогрессий, что мы с вами записали, называют бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

А теперь давайте рассмотрим следующую геометрическую прогрессию:

, , , , …, , …

Здесь, , , , … , знаменатель нашей геометрической прогрессии  .

Видим, что с возрастанием номера члены этой прогрессии приближаются к. Значит, эта прогрессия является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Обратите внимание! .

Запомните: геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы.

А теперь давайте перейдём к выводу формулы суммы

бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Итак, на экране вы видите квадрат со стороной равной единице. Разделим этот квадрат пополам. Заштрихуем обе части нашего квадрата, как показано на экране. Продолжим делить пополам наши квадраты и штриховать их. Заметим, что площади заштрихованных прямоугольников образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию:  , , , , , …

Если мы заштрихуем все получающиеся таким образом прямоугольники, то понятно, что весь квадрат покроется штриховкой. Разумеется, сумма площадей всех заштрихованных прямоугольников будет равна единице. То есть  …

Обратите внимание: в левой части нашего равенства стоит сумма бесконечного числа слагаемых.

Давайте рассмотрим сумму первых слагаемых. Применяя формулу суммы членов

геометрической прогрессии, имеем  …. Получим, что .

Заметим, что если  неограниченно возрастает, то  будет как угодно близко приближаться к 0. Это выражение записывают следующим образом:  при , а читают так: «единица делённая на два в степени эн стремится к нулю при эн стремящемся к бесконечности, или предел единицы делённой на два в степени эн при эн стремящемся к бесконечности равен нулю».

Так как  при , то  при , то есть  или . Поэтому бесконечную сумму   ….

В этом случае говорят, что сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии есть предел последовательности  , , , …, , …

Например, если мы возьмём бесконечно убывающую геометрическую прогрессию , , , , …, , …

Где ,.

,

,

, …,

, …

Так как , то .

А теперь выведем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Мы помним, что сумму первых  членов геометрической прогрессии можно вычислить по формуле  .

Перепишем эту формулу таким образом:  .

Так как , то ,.

Следовательно, .

Таким образом, сумму  бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно вычислить по формуле: .

Из этой формулы при  имеем .

Это равенство обычно записывают следующим образом:

  … … .

Обратите внимание: это равенство справедливо при , в частности при .

Задание 1.

Докажите, что геометрическая прогрессия:

 … , является бесконечно убывающей.

Решение

.

 , .

 

Следовательно, данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.

Задание  2.

Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии  …

Решение.

, .

 

   

Задание 3.

Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если , .

Решение. По условию нам даны и  прогрессии.

, .

 

 

 

 

  

    

««Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии»

Филиал Муниципального бюджетного общеобразовательного учреждения «Трудовская школа» при ГБУЗ РК «КПБ №5»

Урок в 9 классе на тему:

«Сумма бесконечно убывающей

геометрической прогрессии»

Подготовила:

Павловская Светлана Фёдоровна,

учитель математики МБУО

«Трудовская школа» при ГБУЗ РК

«КПБ №5»

2016 год

ЦЕЛИ УРОКА.

Образовательные цели:

закрепить навыки решения задач по нахождению суммы n первых членов геометрической прогрессии; ввести понятие бесконечно убывающей геометрической прогрессии; вывести формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, сформировать умение в её применении.

Развивающие цели:

развивать познавательные процессы, память, воображение, мышление, сообразительность, речь учащихся.

Воспитательные цели:

повысить интерес к решению нестандартных задач, сформировать положительный мотив учения.

Образовательные технологи:

Тип урока: урок изучения и закрепления полученных знаний.

Оборудование: проектор, компьютер, экран, презентация, карточки с домашней контрольной работой.

ХОД УРОКА.

1. Организационный момент (2 минуты): приветствие, проверка готовности учащихся к уроку, определение личностных целей (приложение 1).

. Познакомить учащихся с порядком работы на уроке.

2. Математическая разминка (8 минут).

1. Сообщение исторического содержания (приложение 2).

2. Математический диктант.

с) Фронтальный опрос:

1. Какая последовательность называется геометрической прогрессией?

2. Что называется знаменателем геометрической прогрессии?

3. Какова формула n –го члена геометрической прогрессии?

4. Формулы суммы n первых членов геометрической прогрессии?

5. Такие геометрические прогрессии называются бесконечно убывающими.

3. Самостоятельная работа контролирующего характера (7 мин.). (Учащиеся выполняют работу по карточкам и сдают на проверку учителю)

Уровень 1.

1. b₁ = -4, q = 2. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии.

2. Найдите сумму первых 5 членов геометрической прогрессии: 2; 4; …

Уровень 2.

1. b₁ = 8, q = 1/2. Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии.

2. Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии: 3; — 6; ….

3. Найдите сумму четырех первых членов геометрической прогрессии (b_n), в которой: b₂ = 2, b₄ = 18, q > 0.

Уровень 3.

1. Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии, если b₁ = 2 , q = .

2. Найдите сумму четырех первых членов геометрической прогрессии (b_n), в которой: b₂ = 6, b₄ = 24, q > 0.

3. Докажите, что последовательность (b_n) является геометрической прогрессией, и найдите сумму n первых ее членов, если b_n = 32^n-1.

4. Изучение нового материала (8 мин.).

1. Устные упражнения:

Укажите знаменатель геометрической прогрессии сравните его модуль с 1:

1,

1; 0,1; 0,01; ……

25; — 5; 1; ……..

1; 0,25; ……….

Сделайте вывод. Предллагаю учащимся самостоятельно сформулировать определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии. (определение записывают в тетрадь)

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя меньше единицы.

а) Задача практического характера.

Один из учеников, вызванный к доске, должен идти от стола учителя к двери по прямой. Первый шаг он делает длиной 1 м., второй 1/2м, третий 1/4 м и т. д. так, что длина следующего шага в два раза меньше длины предыдущего.

Дойдет ли ученик до двери, если расстояние от стола до двери по прямой 5 м?

(после практического решения задачи делается вывод, что не дойдёт). Возникает вопрос: «А какое расстояние он пройдёт?»

5. Актуализация знаний учащихся, подготовка к восприятию нового. Устные упражнения (8 мин).

Сообщение темы и цели урока.

В результате, мы получили последовательность шагов: образующих геометрическую прогрессию со знаменателем .

Применяя формулу суммы первых членов геометрической прогрессии

Получим: = = — 2( -1) = 2, т.к. 0, при n

б) Вывод формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называют число, к которому стремится сумма её первых n членов при n →∞

6. Практическое применение нового материала (6 мин. ). (приложения 2-3).

Задача №1 (самостоятельно на местах).

b₁ = , b₂ = , S — ?

q = : 1, то

S = = = Ответ:

Задача №2 (один учащийся у доски, остальные помогают и записывают в тетрадь).

Записать бесконечную периодическую десятичную дробь

а = 0,(15) = =0,151515 в виде обыкновенной дроби.

Решение этой задачи знакомит учащихся с ещё одним способом обращения бесконечных периодических дробей в обыкновенные с помощью формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

0,(15) = 0,15 + 0,0015 + 0,000015 + …………

0,15; 0,0015; ……- бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

b₁ = 0,15

b₂ = 0,0015

S — ?

Решение:

q = = 0,0015 : 0,15 = 0,01

S = = : = = =

Ответ: 0,(15) =

7. Самостоятельная работа на закрепление материала с последующей проверкой (4 мин).

Уровень 1.

Представьте бесконечную десятичную дробь 0,(5) в виде обыкновенной. Ответ:

Уровень 2.

Представьте бесконечную десятичную дробь 0,(18) в виде обыкновенной. Ответ:

Уровень 3.

Представьте бесконечную десятичную дробь 0,4(6) в виде обыкновенной. Ответ:

8. Итог урока. Рефлексия (2 мин.)

1. С каким видом геометрической прогрессии мы познакомились на уроке?

2. Какую последовательность чисел можно назвать геометрической прогрессией?

3. Какую геометрическую прогрессию называют бесконечно убывающей?

4. Как найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии?

Спасибо за урок! П. 27-28. Выполнить домашнюю контрольную работу (приложение 4).

Приложение 2.

ДЛЯ ЧЕГО НУЖНА ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ

И ИСТОРИЯ ЕЕ ВОЗНИКНОВЕНИЯ.

Еще в древности итальянский математик монах Леонардо из Пизы (более известный под именем Фибоначчи) занимался решением практических нужд торговли. Перед монахом стояла задача определить, с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? В своих трудах Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая система гирь: 1, 2, 4, 8, 16…Это одна из первых ситуаций, в которой людям пришлось столкнуться с геометрической прогрессией, о которой ты уже наверное слышал и имеешь хотя бы общее понятие. Как только полностью разберешься в теме, подумай, почему такая система является оптимальной?

В настоящее время, в жизненной практике, геометрическая прогрессия проявляется при вложении денежных средств в банк, когда сумма процентов начисляется на сумму, скопившуюся на счете за предыдущий период. Иными словами, если положить деньги на срочный вклад в сберегательный банк, то через год вклад увеличится на 7%, умноженному на 1,07. Ещё через год уже эта сумма увеличится на 7%, т.е. получившаяся в тот раз сумма вновь умножится на 1,07. Подобная ситуация описана в задачах на вычисление так называемых сложных процентов – процент берется каждый раз от суммы, которая есть на счете с учетом предыдущих процентов. Об этих задачах мы поговорим чуть позднее.

Есть еще много простых случаев, где применяется геометрическая прогрессия. Например, распространение гриппа: один человек заразил 4 человек, те в свою очередь заразили еще по 4 человека, и таким образом вторая волна заражения – 16 человек, а те в свою очередь, заразили еще 4… и так далее…

Кстати, финансовая пирамида, та же МММ – это простой и сухой расчет по свойствам геометрической прогрессии. Интересно? Давай разбираться.

Приложение 3.

Приложение 4.

ДОМАШНЯЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Уровень 1.

1. Найдите седьмой член геометрической прогрессии (b_n), если b₁ = — 3, q = 2.

2. Первый член геометрической прогрессии (b_n) равен 2, а знаменатель 3. Найдите сумму шести первых членов этой прогрессии.

3. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии 24, 12, 6, ……

4. Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную дробь 0,(27).

Уровень 2.

1. Найдите шестой член геометрической прогрессии (b_n), если b₁ = 0,81, q = .

2. Второй член геометрической прогрессии (b_n) равен 21 , а четвёртый равен 189. Найдите сумму шести первых членов этой прогрессии, если все члены прогрессии положительны.

3. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии — 40, 20, — 10, ……

4. Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную дробь 0,5(6).

Уровень 3.

1. Найдите седьмой член геометрической прогрессии (b_n), если b₁ = 729, q = .

2. Третий член геометрической прогрессии (b_n) равен 3,6, а пятый равен 32,4. Найдите сумму пяти первых членов этой прогрессии, если все члены прогрессии положительны.

3. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии -54, 18, — 6, ……

4. Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную дробь 0,7(4).

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

а) Геометрическая прогрессия, знаменатель которой удовлетворяет условию называется бесконечно убывающей.

б) Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называется предел S последовательности , где — сумма первых n членов этой прогрессии. Эта сумма выражается формулой

Примеры с решениями

Пример №31.

Найти первый член и знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если сумма этой прогрессии равна 4, а сумма кубов ее членов равна 192.

Решение:

Пусть — первый член, — знаменатель, — сумма прогрессии, — сумма кубов ее членов. Тогда

откуда

так как Полученное уравнение, записанное в виде имеет корни Первый корень следует отбросить, так как Следовательно,

Ответ.

Пример №32.

Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если ее второй член, удвоенное произведение первого члена на четвертый и третий член являются последовательными членами арифметической прогрессии с разностью, равной .

Решение:

Пусть — первый член, — знаменатель, — сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Тогда

По условию,

Складывая уравнения (2) и (3), получаем откуда

Подставляя выражение (4) для \ в уравнение (2), получаем уравнение которое можно преобразовать к виду откуда Так как то и из (4) находим а из (1) следует, что

Ответ.

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Решение задач по математике

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Бесконечная убывающая геометрическая прогрессия и парадокс Зенона



Бесконечная убывающая геометрическая прогрессия и парадокс Зенона

• Главная
• Политика конфиденциальности
• Q&A
• Новости и общество
  • Знаменитости
  • Культура
  • Экономика
  • Окружающая среда
  • Бесплатно
  • Журналистика
  • Природа
  • Философия
  • Политика
  • Переработка
  • Погода
  • Женские вопросы
• Дом и семья
  • Дети
  • Пожилые люди
  • Отцовство
  • Генеалогия
  • Праздники
  • Воспитание
  • Домашние животные
  • Беременность
  • Подростки
• Еда и напитки
  • Шоколад
  • Кофе
  • Советы по приготовлению
  • Рецепты
  • Десерты
  • Напитки
  • Домашняя пивоварня
  • Низкокаллорийные продукты
  • Главный курс
  • Блюда из макаронных иделий
  • Рецепты
  • Отзывы о ресторанах
  • Салаты
  • Супы
  • Чай
  • Вина и спиртные напитки
• Образование
  • Среднее образование и школы
  • Колледжи и университеты
  • Обучение на дому
  • Международные исследования
  • Языки
  • Обучение инвалидов
  • Интернет-образование
  • Наука
  • Репетиторство
• Путешествия
  • Кемпинг
  • Круизы
  • Направления
  • Экзотические места
  • Авиабилеты
  • Отели
  • Советы туристам
  • Аренда
• Автомобили
  • Легковые автомобили
  • Классика
  • Мотоциклы
  • Аренда
  • РВС-технология
  • Внедорожники
  • Грузовые автомобили
  • Фургоны
• Спорт
  • Аэробика
  • Баскетбол
  • Бодибилдинг
  • Экстремальные виды спорта
  • Рыбалка
  • Фитнес
  • Футбол
  • Гольф
  • Хоккей
  • Боевые искусства
  • Наращивание мышечной массы
  • Пилатес
  • Дайвинг
  • Самооборона
  • Теннис
  • Легкая атлетика
  • Водные виды спорта
  • Снижение веса
  • Йога
• Книги

• Новости и общество
  • Знаменитости
  • Культура
  • Экономика
  • Окружающая среда
  • Бесплатно
  • Журналистика
  • Природа
  • Философия
  • Политика
  • Переработка
  • Погода
  • Женские вопросы
• Дом и семья
  • Дети
  • Пожилые люди
  • Отцовство
  • Генеалогия
  • Праздники
  • Воспитание
  • Домашние животные
  • Беременность
  • Подростки
• Еда и напитки
  • Шоколад
  • Кофе
  • Советы по приготовлению
  • Рецепты
  • Десерты
  • Напитки
  • Домашняя пивоварня
  • Низкокаллорийные продукты
  • Главный курс
  • Блюда из макаронных иделий
  • Рецепты
  • Отзывы о ресторанах
  • Салаты
  • Супы
  • Чай
  • Вина и спиртные напитки
• Образование
  • СДВГ
  • Среднее образование и школы

Урок математики в 9-м классе по теме «Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия»

Цели урока:

1. ознакомление учащихся с новым видом последовательности – бесконечно убывающей геометрической прогрессией;
2. формулирование начального представления о пределе числовой последовательности;
3. знакомство с ещё одним способом обращения бесконечных периодических дробей в обыкновенные с помощью формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Ход урока

1. Проверка домашнего задания.

1) Проверка основных формул, связанных с арифметической и геометрической прогрессиями. Два ученика готовят записи формул у доски.

2) Остальные учащиеся выполняют математический диктант по теме «Формулы суммы».

Задания:

№1. Найдите сумму первых пяти членов арифметической прогрессии, если её первый член равен 6 (1-й вариант), -20 (2-й вариант), а пятый член -6 (1-й вариант), 20 (2-й вариант).

№2. Найдите сумму первых пяти членов арифметической прогрессии, если её первый член равен -20(1-й вариант), 6 (2-й вариант), а разность равна 10(1-й вариант), -3(2-й вариант).

№3. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если её первый член равен 1(1-й вариант), -1 (2-й вариант), а знаменатель равен -2(1-й вариант), 2(2-й вариант).

По окончании диктанта, выборочно, у двоих учеников работы проверяются на оценку, остальные выполняют самопроверку по готовым решениям, записанным на отворотах доски.

Решения:

   

2. Изучение новой темы. (демонстрация презентации. Приложение 1)

1) Слайд №2.

Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Нарисуем ещё один квадрат, сторона которого равна половине первого квадрата, затем ещё один, сторона которого – половина второго, потом следующий и т.д. Каждый раз сторона нового квадрата равна половине предыдущего.

В результате, мы получили последовательность сторон квадратов образующих геометрическую прогрессию со знаменателем .

И, что очень важно, чем больше мы будем строить таких квадратов, тем меньше будет сторона квадрата. Например,

Т.е. с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.

С помощью этого рисунка можно рассмотреть и ещё одну последовательность. Например, последовательность площадей квадратов:

. И, опять, если n неограниченно возрастает, то площадь, как угодно близко приближается к нулю.

2) Слайд №3.

Рассмотрим ещё один пример. Равносторонний треугольник со стороной равной 1см. Построим следующий треугольник с вершинами в серединах сторон 1-го треугольника, по теореме о средней линии треугольника – сторона 2-го равна половине стороны первого, сторона 3-го – половине стороны 2-го и т.д. Опять получаем последовательность длин сторон треугольников.

Если рассмотреть геометрическую прогрессию с отрицательным знаменателем.

То, опять, с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.

Обратим внимание на знаменатели этих последовательностей. Везде знаменатели были меньше 1 по модулю.

Можно сделать вывод: геометрическая прогрессия будет бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше 1.

Фронтальная работа.

Записать определение: геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы.

С помощью определения можно решить вопрос о том, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей или нет.

Задача №1.

Является ли последовательность бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если она заданна формулой:

а)

Решение:

а) (фронтальная работа, запись на доске)

данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.

б) (самостоятельно)

данная последовательность не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Продолжить работу с презентацией.

3) Слайд №4.

Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Разделим его пополам, одну из половинок ещё пополам и т.д. площади всех полученных прямоугольников при этом образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию:

Сумма площадей всех полученных таким образом прямоугольников будет равна площади 1-го квадрата и равна 1.

 

Но в левой части этого равенства – сумма бесконечного числа слагаемых.

Рассмотрим сумму n первых слагаемых.

По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии, она равна .

Если n неограниченно возрастает, то

4) Слайд №5.

Записать определение. Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называют число, к которому стремится сумма её первых n членов при n →. Теперь получим формулу, с помощью которой будем вычислять сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Рассмотрим формулу n первых членов геометрической прогрессии.

Тренировочные упражнения.

Задача №2. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом 3,вторым 0,3.

Решение:

Задача №3. учебник [1], стр. 160, №433(1)

Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Решение:

Задача №4. учебник [1], стр. 160, №434(1)

Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если

Решение:

Пользуясь формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, можно записывать бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби.

Задача №4. Записать бесконечную периодическую десятичную дробь 0,(5) в виде обыкновенной дроби.

1-й способ. Пусть х=0,(5)= 0,555… /•10         2-й способ. 0,(5)=0,555…=

Задача №5. учебник [1], стр. 162, №445(3) (самостоятельное решение)

Записать бесконечную периодическую десятичную дробь 0,(12) в виде обыкновенной дроби.

Ответ: 0,(12)= 4/33.

5) Слайд №6.

Подведение итогов.

1. С какой последовательностью сегодня познакомились?
2. Дайте определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
3. Как доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей?
4. Назовите формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Самостоятельная работа. (выполняется в рабочих тетрадях с использованием копирок и чистых листов бумаги, по окончании работы, откопированные записи решений сдаются на проверку, а по записям в тетрадях учащиеся выполняют самопроверку по готовым решениям).

Задания (слайд №6):

1. Является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей, если: b₇= -30; b₆= 15?
2. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: -25; -5; -1;…
3. Записать бесконечную десятичную периодическую дробь 0,(9) в виде обыкновенной дроби.

Самопроверка (слайд №7).

Домашнее задание.

№435(1;3), 445(4), 436. [1]

Литература:

1. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров и др.- 8-е изд.-М.: Просвещение, 2002.

Геометрическая прогрессия. Часть 1

Геометрическая прогрессия — это еще один частный случай числовых последовательностей.

Геометрической  прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число. 

Очевидно, что первый член последовательности, и, следовательно, все ее члены, отличны от нуля.

Число называется знаменателем геометрической прогрессии.

 

Основное свойство геометрической прогрессии.

Мы видим, что

Перемножив эти два равенства, получим:

Итак,

квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению двух соседних:

Нетрудно доказать, что

квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная с номера , равен произведению двух соседних:

Формулу n-го члена геометрической прогрессии можно получить аналогично формуле n-го члена арифметической прогрессии, выписав несколько первых членов и установив закономерность.

Формула n-го члена геометрической прогрессии:

ВАЖНО! Зная первый член и знаменатель геометрической прогрессии, можно найти любой ее член.

Несложно получить формулу суммы n членов геометрической прогрессии.

…  (1)

Умножим обе части равенства на

… (2)

Вычтем из равенства (2) равенство (1). Получим:

(остальные слагаемые в правой части равенства взаимно уничтожатся)

Отсюда получаем формулу суммы n членов геометрической прогрессии:

(1)

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Если знаменатель геометрической прогрессии , то каждый следующий член прогрессии по модулю меньше предыдущего. Если в этой прогрессии бесконечное число членов, то при

Такая геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей.

Сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии мы находим по формуле:

(2)

ВАЖНО! Формулу суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии (2) мы используем только в том случае, если в условии в явном виде указано, что нужно найти сумму бесконечного числа членов. Если указано конкретное число n, то пользуемся формулой (1) суммы n членов, даже если .

Рассмотрим примеры задач.

1. Дана последовательность . Докажите, что эта последовательность является геометрической прогрессией.

Докажем, что для любого номера n отношение

—  мы видим, что отношение не зависит от номера n и равно числу -2, следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией.

 

2. Дана геометрическая прогрессия

1. Найдите пятый член прогрессии.

2. Найдите сумму первых восьми членов прогрессии.

1.

2.

Найдем и .

Ответ: 1. -162; 2. -366

 

3. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии

Сумму бесконечной геометрической прогрессии найдем по формуле . (В задаче в явном виде указано, что мы имеем дело с бесконечной геометрической прогрессией. )

;

Ответ:

 

4. Дана геометрическая прогрессия с положительными членами, в которой .

а) Найдите .

б) Определите количество членов прогрессии, начиная с первого, сумма которых равна 45.

а) Запишем условие задачи, выразив его через и . Получим систему уравнений:

Разделим второе уравнение на первое, получим

; .

По условию наша прогрессия с положительными членами, поэтому .

Найдем . Для этого подставим в первое уравнение системы.

б) По условию

Ответ: а) 3; б) 4.

 

5. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии в три раза больше ее первого члена. Найдите отношение .

Выразим условие задачи через и

Т.к. по условию , получим

. Отсюда

Нам нужно найти .

Ответ: 2,25

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Геометрическая прогрессия. Формулы и примеры.

А вы знаете удивительную легенду о зернах на шахматной доске? + показать

Легенда о зернах на шахматной доске

Когда создатель шахмат (древнеиндийский математик по имени Сесса) показал своё изобретение правителю страны, тому так понравилась игра, что он позволил изобретателю право самому выбрать награду. Мудрец попросил у короля за первую клетку шахматной доски заплатить ему одно зерно  пшеницы, за второе — два, за третье — четыре и т. д., удваивая количество зёрен на каждой следующей клетке. Правитель, не разбиравшийся в математике, быстро согласился, даже несколько обидевшись на столь невысокую оценку изобретения, и приказал казначею подсчитать и выдать изобретателю нужное количество зерна. Однако, когда неделю спустя казначей всё ещё не смог подсчитать, сколько нужно зёрен, правитель спросил, в чём причина такой задержки. Казначей показал ему расчёты и сказал, что расплатиться невозможно.С изумлением внимал царь словам старца.

— Назови же мне это чудовищное число, – сказал он.

— 18 квинтильонов 446 квадрильонов 744 триллиона 73 биллиона 709 миллионов 551 тысяча 615, о повелитель!

Если принять, что одно зёрнышко пшеницы имеет массу 0,065 грамма, тогда общая масса пшеницы на шахматной доске составит 1,200 триллионов тонн, что  превышает весь объем урожая пшеницы, собранный за всю историю человечества!

---

Определение

Геометрическая прогрессия — последовательность чисел (членов прогрессии) ,   в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число  (знаменатель прогрессии):

,  где

Например, последовательность 1, 2, 4, 8, 16, … – геометрическая ()

Геометрическая прогрессия

Знаменатель геометрической прогрессии

,

Характеристическое свойство геометрической прогрессии

для

Последовательность  является геометрической тогда и только тогда, когда для любого n > 1 выполняется указанное выше соотношение.

В частности,  для геометрической прогрессии с положительными членами, верно:

Формула  n-го члена геометрической прогрессии

Сумма n первых членов геометрической прогрессии

, где

(если же , то )

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия 

При ,  геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей. Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называется число  и

---

Посмотри это видео 

---

Примеры

Пример 1. Последовательность {} –геометрическая прогрессия.

Найдите , если ,

Решение: + показать

Согласно формуле

 

 имеем:

Откуда

Ответ:  

---

Приметр 2. Найдите знаменатель геометрической прогрессии {}, в которой

Решение:  + показать

---

Пример 3. Найдите девятый член геометрической прогрессии, если ее десятый член равен , а одиннадцатый член равен

Решение:  + показать

Воспользуемся характеристическим свойством геометрической прогрессии

Ответ: 36.   

---

Пример 4. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии

Решение:  + показать

---

Пример 5. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии {}, в которой  

Решение:  + показать

Найдем знаменатель прогрессии :

Так как по условию , то  берем  только .

Далее, чтобы применить формулу суммы геометрической прогрессии

,

нам потребуется найти :

Так как

,

то

;

Тогда

 

Ответ:   

---

Пример 6. Представьте в виде обыкновенной дроби число

Решение:  + показать

---

Пример 7. Найдите , если известно, что числа являются последовательными членами геометрической прогрессии (в указанном порядке).

Решение:  + показать

---

Пример 8. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, отношение суммы первых четырех членов которой, к сумме первых двух членов равно

Решение:  + показать

Пусть дана геометрическая прогрессия {}.

Тогда, согласно условию,  

Ответ:   

---

Пример 9. Между числами и вставьте три числа так, чтобы получилась геометрическая прогрессия

Решение: + показать

Когда мы вставим три числа (назовем их ), у нас получится геометрическая прогрессия из пяти членов ().

Так как

то

Так как по условию , то

Тогда имеем следующую геометрическую прогрессию:

Ответ:   

---

Вы можете пройти тест по теме «Геометрическая прогрессия»

Бесконечный геометрический ряд

Бесконечный геометрический ряд это сумма бесконечного геометрическая последовательность . В этой серии не будет последнего члена. Общий вид бесконечного геометрического ряда таков: а 1 + а 1 р + а 1 р 2 + а 1 р 3 + . .. , где а 1 является первым термином и р является обычным соотношением.

Мы можем найти сумму всех конечных геометрических рядов. Но в случае бесконечного геометрического ряда, когда обыкновенное отношение больше единицы, члены последовательности будут становиться все больше и больше, и если вы добавите большие числа, вы не получите окончательного ответа. Единственным возможным ответом будет бесконечность. Таким образом, мы не имеем дело с обыкновенным отношением больше единицы для бесконечного геометрического ряда.

Если обычное отношение р лежит между − 1 к 1 , мы можем иметь сумму бесконечного геометрического ряда.То есть сумма выходит за | р | < 1 .

Сумма С бесконечного геометрического ряда с − 1 < р < 1 дается формулой,

С знак равно а 1 1 − р

Бесконечный ряд, имеющий сумму, называется сходящимся рядом, а сумма С н называется частичной суммой ряда.

Вы можете использовать сигма-нотацию для представления бесконечного ряда.

Например, ∑ н знак равно 1 ∞ 10 ( 1 2 ) н − 1 представляет собой бесконечный ряд. Символ бесконечности, расположенный над обозначением сигмы, указывает на то, что ряд бесконечен.

Чтобы найти сумму вышеупомянутого бесконечного геометрического ряда, сначала проверьте, существует ли сумма, используя значение р .

Здесь значение р является 1 2 . С | 1 2 | < 1 , сумма выходит.

Теперь воспользуемся формулой суммы бесконечного геометрического ряда.

С знак равно а 1 1 − р

Заменять 10 за а 1 и 1 2 за р .

С знак равно 10 1 − 1 2

Упрощать.

С знак равно 10 ( 1 2 ) знак равно 20

Вся элементарная математика — Учебное пособие — Алгебра

Последовательности.Числовые последовательности. Общий термин числовой последовательности. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Преобразование повторяющейся десятичной дроби в обыкновенную. Последовательности. Рассмотрим ряд натуральных чисел: 1, 2, 3, , n 1, n , . Если заменить каждый натуральный номер N в этой серии по каким-то числу U N , подчиненный какой-либо закону, хорошо получить новую серию номеров: U 1 , U 2 , U 3 ,, U N — — 1 , U N ,, , называемый Численная последовательность . Число u n называется общим членом числовой последовательности. Примеры числовых последовательностей: 2, 4, 6, 8, 10, , 2 n ,  ; 1, 4, 9, 16, 25, , n ² , ; 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, , 1/ n , . Арифметическая прогрессия. Числовая последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, равен предыдущему члену, дополненному константой для этого порядкового номера d , называется арифметической прогрессией .Число d называется общей разностью . Любой член арифметической прогрессии вычисляется по формуле: a n = a 1 + d (n 1 ) . Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется как: П р и м е р . Найдите сумму первых 100 нечетных чисел. Раствор. Используйте последнюю формулу. Здесь a 1 = 1, d = 2 . Итак, имеем: Геометрическая прогрессия. Числовая последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на константу для этого порядкового номера q , называется геометрической прогрессией . Число q называется обыкновенным отношением . Любой член геометрической прогрессии вычисляется по формуле: b n = b 1 q n — 1 . Сумма n первых членов геометрической прогрессии вычисляется как: Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Это геометрическая прогрессия, где | q | < 1 . Для него понятие суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии определяется как число, к которому неограниченно приближается сумма первых n членов рассматриваемой прогрессии при неограниченном возрастании числа n . Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле: Пример. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: Решение. Используйте последнюю формулу. Здесь b 1 = 1, q = 1/2. Итак, имеем:                                                                          Преобразование повторяющегося десятичного числа Предположим, мы хотим преобразовать повторяющийся десятичный 0.(3) к вульгарной дроби. Рассмотрим это десятичное число в более естественной форме: Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с первым членом 3/10 и знаменателем q = 1/10. Согласно приведенной выше формуле последняя сумма равна: Назад

Знакомство с древними вещами — магия математики! | Мухаммад Усман

Вернемся к тому, о чем мы спрашивали, как узнать возраст древних артефактов? «Великие пирамиды Гизы» ок. 4500 лет. И здесь « Геометрическая последовательность » играет важную роль.

Количество радиоактивного изотопа углерода (углерод-14), присутствующего в артефакте, помогает определить его возраст. У углерода-14 период полураспада составляет 5730 лет, то есть каждые 5730 лет он сокращается до половины своего содержания. Это последовательно уменьшающееся количество углерода-14 создает уменьшающуюся геометрическую прогрессию с общим отношением ½.

Великие пирамиды Гизы

Давайте углубимся в приведенное выше утверждение.Углерод-14 постоянно образуется в нашей атмосфере в результате взаимодействия космических лучей и атмосферного азота. Образовавшийся С-14 соединяется с атмосферным кислородом, образуя радиоактивный углекислый газ, который поглощается растениями посредством фотосинтеза. Животные получают этот углерод-14, поедая растения. Итак, когда умирает животное или растение, прекращается обмен углеродом с атмосферой. Содержание углерода-14 начинает уменьшаться и уменьшается наполовину каждые 5730 лет. Это создает убывающую геометрическую последовательность с общим отношением 1/2 и помогает определить ее сумму, которая является возрастом этого артефакта.Как упоминалось выше, геометрическая последовательность — это бесконечная последовательность с конечной суммой, выполнение вычислений по формуле не является сложной задачей.

Древесина, древесный уголь, кости, рога и другие образцы карбонатов за последние 70 000 лет были сохранены для этой цели. Даты древесного угля, широко разбросанного вокруг пирамид, помогли определить его возраст.

Математика — королева наук

Немецкий математик, Иоганн Карл Фридрих Гаусс (род.Он также является изобретателем первого телеграфа.

Написано: М. Усман и Мисбах Афзал

Объяснение урока: Сумма бесконечной геометрической последовательности

В этом объяснителе мы научимся вычислять сумму бесконечной геометрической последовательности.

Геометрическая последовательность — это последовательность, имеющая общее отношение между последовательными членами. Мы можем рассчитать значение обыкновенного отношения, разделив любой член на член, который ему предшествует.

Например, следующая последовательность является геометрической: 1,3,9,27,81,….

Эта последовательность имеет знаменатель, равный 3, так как каждый член можно вычислить, умножив предыдущий член на 3. в следующей последовательности:

Посмотрите, что происходит, когда мы делим термин на предшествующий ему термин: 𝑇𝑟𝑇=𝑇𝑟𝑇𝑟=𝑟.

Независимо от того, какую пару терминов мы выбираем, их частное всегда равно 𝑟, знаменателю.

Давайте обобщим.

Определение:

Геометрическая последовательность — это последовательность, которая имеет общее отношение между последовательными элементами. Общий член 𝑇 геометрической последовательности с первым членом 𝑇 и знаменателем 𝑟 определяется формулой 𝑇=𝑇𝑟.

Геометрический ряд представляет собой сумму заданного числа членов геометрической последовательности. Ряд может быть конечным или бесконечным.

Определение:

Обычное отношение 𝑟 геометрической последовательности, 𝑛-й член которой равен 𝑇, определяется выражением 𝑟=𝑇𝑇.

Альтернативно, это может быть также задано как 𝑟=𝑇𝑇.

Теперь давайте вернемся к нашему предыдущему примеру геометрической последовательности: 1,3,9,27,81,….

Мы замечаем, что по мере увеличения числа членов 𝑛 значение самого члена 𝑇 растет экспоненциально. Тогда мы могли бы заключить, что если бы нам нужно было вычислить сумму большого числа членов, наш результат был бы особенно большим. На самом деле, когда 𝑛 приближается к бесконечности для этой последовательности, сумма членов 𝑆 также будет стремиться к бесконечности.

Но это не всегда так. На самом деле, несколько парадоксально, некоторые бесконечные геометрические последовательности от до имеют конечную сумму. Мы можем увидеть такие последовательности при рассмотрении фрактальной геометрии, например, при вычислении площади снежинки Коха или при преобразовании повторяющихся десятичных дробей в их эквивалентную дробную форму.

Когда бесконечная геометрическая последовательность имеет конечную сумму, мы говорим, что ряд (это просто сумма всех членов) сходится .Чтобы геометрический ряд сходился, нам нужно, чтобы последовательные члены становились экспоненциально меньшими, пока не приблизились к нулю. Для этого обыкновенное отношение должно находиться в интервале ]−1,1[.

Например, следующая последовательность имеет обыкновенное отношение 12 и является сходящейся; когда 𝑛 приближается к бесконечности, 𝑇 приближается к нулю, то есть мы можем найти сумму бесконечной последовательности: 8,4,2,1,12,….

Определение:

Бесконечный геометрический ряд называется сходящимся, если абсолютное значение знаменателя 𝑟 меньше 1: |𝑟|1.

Чтобы найти формулу суммы членов бесконечной геометрической последовательности, давайте сначала рассмотрим конечный геометрический ряд с первым членом 𝑇 и знаменателем 𝑟 с членами 𝑛: 𝑆=𝑇+𝑇𝑟+𝑇𝑟+𝑇𝑟+⋯+𝑇𝑟 .

Умножив это уравнение на 𝑟, мы получим 𝑟𝑆=𝑇𝑟+𝑇𝑟+𝑇𝑟+𝑇𝑟+⋯+𝑇𝑟.  . Обратите внимание, что когда мы вычитаем слагаемые в правой части, большинство слагаемых становятся равными нулю: сторон этого уравнения на 1−𝑟, получаем формулу суммы первых 𝑛 членов геометрического ряда с первым членом 𝑇 и знаменателем 𝑟: 𝑆=𝑇(1−𝑟)1−𝑟.

Ранее мы утверждали, что для сходящегося геометрического ряда −1𝑟1.

Это означает, что по мере того, как 𝑛 приближается к бесконечности, 𝑟 должно стремиться к нулю.

Другими словами, если |𝑟|1, то lim→∞𝑟=0.

Мы можем рассмотреть, что происходит с нашим сходящимся геометрическим рядом, когда 𝑛 приближается к бесконечности. Для |𝑟|1 lim→∞𝑇(1−𝑟)1−𝑟=𝑇(1−0)1−𝑟=𝑇1−𝑟.

Иногда это называют суммой до бесконечности геометрического ряда.

Определение: сумма бесконечной геометрической последовательности

Если обыкновенное отношение 𝑟 удовлетворяет условию |𝑟|1, то сумма бесконечного геометрического ряда с первым членом 𝑇 равна 𝑆=𝑇1−𝑟.∞

Давайте теперь рассмотрим вопрос, который требует от нас применения наших знаний об общих соотношениях в геометрических последовательностях и условиях сходимости этих рядов, а также вычисления значения сходящегося бесконечного геометрического ряда.

Пример 1. Нахождение суммы бесконечного геометрического ряда

Нахождение суммы геометрического ряда 132+134+138+⋯.

Ответ

Мы знаем, что если знаменатель 𝑟 удовлетворяет условию |𝑟|1, то сумма бесконечной геометрической последовательности с первым членом 𝑇 равна 𝑆=𝑇1−𝑟.∞

Мы видим, что первый член равен 132, поэтому нам нужно вычислить знаменатель 𝑟. Мы находим это, разделив термин на предшествующий ему термин, поэтому мы будем использовать первые два термина: 𝑟=134÷132=12.

Мы видим, что абсолютное значение обыкновенного отношения меньше 1, поэтому мы можем найти сумму этого ряда, полагая 𝑇=132 и 𝑟=12: 𝑆=1−=132÷12=13.∞ 

Сумма ряда равна 13.

В нашем следующем примере мы увидим, как применять эту технику при работе с радикальными отношениями.

Пример 2. Определение знаменателя бесконечной геометрической последовательности и нахождение ее суммы, если она существует

Рассмотрим ряд 160+160√2+80+80√2+40+40√2+⋯.

Серия геометрическая. Каково его обыкновенное отношение?

Сходится ли этот ряд? Если да, то какова его сумма?

Ответ

Часть 1

Обычное отношение в геометрической последовательности 𝑟 находится путем деления члена ряда на предшествующий ему член. Выберем первые два члена: 160√2÷160=1√2.

Обычное отношение равно 1√2.

Заметьте, мы получили бы тот же результат, если бы разделили третий член на второй или даже любой член на член, который ему предшествует!

Часть 2

Геометрический ряд сходится, если |𝑟|1 или −1𝑟1.

В данном случае −11√21, что означает, что этот ряд сходится. Таким образом, мы можем найти сумму ряда с первым членом 𝑇 и знаменателем 𝑟, применяя формулу 𝑆=𝑇1−𝑟∞ с 𝑇=160 и 𝑟=1√2: 𝑆=1601−.∞√

упрощая 1−1√2, мы создаем общий знаменатель √2: 1−1√2=√2√2−1√2=√2−1√2.

Сумма ряда теперь равна 𝑆=160=160×√2√2−1=160√2√2−1.∞√√

Чтобы закончить, мы должны не забыть рационализировать знаменатель умножение на , сопряженное числа √2−1. Сопряжение находится путем изменения знака между двумя терминами: +1=320+160√21.∞

Факторизируя это выражение, мы находим 𝑆=1602+√2.∞

Да, ряд сходится, с бесконечной суммой 1602+√2 .

В наших предыдущих двух примерах мы установили существование суммы и вычислили эту сумму на основе нескольких первых членов ряда.Мы также можем использовать формулу для 𝑛-го члена геометрической прогрессии, чтобы получить тот же результат.

Пример 3. Нахождение суммы бесконечного числа членов геометрической последовательности по заданному ее общему члену .

Ответ

Общий член геометрического ряда с первым членом 𝑇 и знаменателем 𝑟 равен 𝑇=𝑇𝑟.

Сравнивая это с нашей последовательностью, мы видим, что они не совсем совпадают.Вместо этого мы можем использовать формулу 𝑛-го члена, которую нам дали, чтобы сгенерировать первые два члена.

Когда 𝑛=1, 𝑇=3×14=3×14=3.

Когда 𝑛=2, 𝑇=3×14=3×14=314.

Таким образом, первый член равен 3, а обыкновенное отношение равно 314÷3=114.

Поскольку знаменатель находится в интервале (−1,1), ряд сходится, поэтому мы можем найти его сумму, используя формулу 𝑆=𝑇1−𝑟∞ с 𝑇=3 и 𝑟=114: 𝑆=31 −=3÷1314=4213.∞

Как упоминалось ранее, применение этого процесса выходит за рамки только данного ряда.На самом деле мы можем представить повторяющееся десятичное число как дробь, представляя десятичное число как геометрическую серию.

Пример 4. Повторяющиеся десятичные дроби

Найдя сумму бесконечной геометрической прогрессии, выразите 0,̇37̇5 в виде обыкновенной дроби.

Ответ

Повторяющееся десятичное число 0.̇37̇5=0.375375375375….

Это означает, что мы можем разделить его на 0,375+0,000375+0,000000375+⋯, а затем записать каждый член в виде дроби: 0,̇37̇5=3751000+3751000000+3751000000000+⋯.

Это геометрический ряд с первым членом 3751000 и знаменателем 11000. Поскольку знаменатель находится в интервале ]−1,1[, мы можем сказать, что этот ряд сходится, и таким образом найти его сумму.

Использование формулы 𝑆 = 𝑇1-𝑟∞ с 𝑇 = 3751000 и 𝑟 = 11000 дает 𝑆 = 1- = 3751000 ÷ 99 = 375999.∞

Упрощение полностью, мы видим, что повторяющееся десятичное число 0.̇37̇5 эквивалентно 125333.

Давайте теперь рассмотрим, как этот процесс будет отличаться для повторяющегося десятичного числа, цифры которого не повторяются все .

Пример 5. Повторяющиеся десятичные дроби

Найдя сумму бесконечной геометрической последовательности, выразите 0,4̇3 в виде обыкновенной дроби.

Ответ

Повторяющееся десятичное число 0,4̇3=0,4333333….

Это означает, что мы можем разделить его на 0,4+0,0̇3=0,4+0,03+0,003+0,0003+⋯.

Рассматривая сумму 0,03+0,003+0,0003+⋯, мы видим, что имеем геометрический ряд с первым членом 𝑇=0,03. Обычное отношение 0,0030,03=110.

Поскольку абсолютное значение этого знаменателя меньше 1, этот ряд сходится, поэтому мы можем найти его сумму.

Использование формулы 𝑆=𝑇1−𝑟∞ с 𝑇=0,03 и 𝑟=110 дает 𝑆=0,031−=0,03÷910=390,∞

Полностью упрощая, мы видим, что повторяющееся десятичное число 0,0̂ эквивалентно 130.

Это означает, что 0,4̇3=0,4+130=1330.

Как обыкновенная дробь, 0,4̇3 равно 1330.

В нашем следующем примере мы рассмотрим, как найти бесконечную сумму геометрической прогрессии, зная значение двух ее членов. Это будет включать применение формулы для общего члена геометрической последовательности, а затем вычисление значения обыкновенного отношения в обратном направлении.

Пример 6. Нахождение суммы бесконечной геометрической последовательности по значениям двух членов

Нахождение суммы бесконечной геометрической последовательности, если первый член равен 171, а четвертый член равен 17164.

Ответ

Геометрический ряд сходится, если |𝑟|1 или −1𝑟1, где 𝑟 — знаменатель.

В этом случае сумма бесконечной геометрической последовательности с первым членом 𝑇 равна 𝑆=𝑇1−𝑟.∞

Обратите внимание, что нам дано значение первого и четвертого членов, поэтому нам нужно будет использовать эту информацию для расчета обыкновенного отношения.

Воспользуемся формулой для 𝑛-го члена геометрической прогрессии с 𝑇=171 и 𝑇=17164: 𝑇=𝑇𝑟17164=171𝑟17164=171𝑟. разделите на 171 и найдите кубический корень из обеих частей уравнения: 164=𝑟𝑟=14.

Поскольку абсолютное значение этого знаменателя меньше 1, этот ряд сходится, и мы можем найти его сумму.

Использование формулы 𝑆=𝑇1−𝑟∞ с 𝑇=171 и 𝑟=14 дает 𝑆=1711−=171÷34=228.∞

Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 228.

В нашем последнем примере мы рассмотрим, как можно применить формулу бесконечной суммы геометрического ряда для вычисления первого члена.

Пример 7. Нахождение первого члена бесконечной геометрической последовательности по ее знаменателю и сумме членов

Найдите первый член бесконечной геометрической последовательности, знаменатель которой равен 14, а сумма равна 9867.

Ответ

Мы знаем, что если знаменатель 𝑟 удовлетворяет условию |𝑟|1, то сумма бесконечной геометрической последовательности с первым членом 𝑇 равна 𝑆=𝑇1−𝑟. ∞

Полагая 𝑟=14, мы видим, что абсолютное значение 𝑟 действительно удовлетворяет требованию сходимости ряда.

Принимая 𝑆=9867∞, наша формула для суммы до бесконечности принимает вид =9867×34=6927×34=5197.

Первый член бесконечной геометрической последовательности равен 5197.

Ключевые моменты

• Говорят, что бесконечный геометрический ряд сходится, если абсолютное значение знаменателя 𝑟 меньше 1: |𝑟|1.
• Для сходящегося геометрического ряда с первым членом 𝑇 бесконечная сумма определяется выражением 𝑆=𝑇1−𝑟.∞
• Выражая повторяющуюся десятичную дробь в виде геометрической последовательности, мы можем найти ее сумму и записать ее в виде обыкновенной дроби.

Введение в алгоритмы: ГЛАВА 3: СУММИРОВАНИЕ

Существует множество методов ограничения суммирования, описывающих время выполнения алгоритмов. Вот некоторые из наиболее часто используемых методов.

Математическая индукция

Самый простой способ оценить ряд — использовать математическую индукцию. В качестве примера докажем, что арифметический ряд равен 1/2 n ( n + 1). Мы можем легко проверить это для n = 1, поэтому мы делаем индуктивное предположение, что оно верно для n , и доказываем, что оно верно для n + 1. Мы имеем

Не нужно угадывать точное значение суммы, чтобы использовать математическую индукцию. Индукцию также можно использовать для демонстрации границы. В качестве примера докажем, что геометрический ряд равен 0 (3 ⁿ ).Более конкретно, докажем, что для некоторой константы c . Для начального условия n = 0 имеем пока c 1. Предполагая, что оценка верна для n , докажем, что она верна для n + 1. Имеем

пока (1/3 + 1/ c ) 1 или, что то же самое, c 3/2. Таким образом, как мы и хотели показать.

Мы должны быть осторожны, когда используем асимптотические обозначения для доказательства оценок по индукции. Рассмотрим следующее ложное доказательство того, что . Конечно, . Приняв оценку для n , мы теперь докажем ее для n +1:

Ошибка в аргументе заключается в том, что «константа», скрытая «большим-о», растет с на и, следовательно, не является постоянной. Мы не показали, что одна и та же константа работает для всех n.

Ограничение терминов

Иногда хорошую верхнюю границу ряда можно получить, ограничивая каждый член ряда, и часто достаточно использовать наибольший член для ограничения остальных.Например, быстрая верхняя граница арифметического ряда (3.1) равна

.

А вообще для серии то

Техника ограничения каждого члена ряда наибольшим членом является слабым методом, когда ряд фактически может быть ограничен геометрическим рядом. Учитывая ряд, предположим, что a _k +1/ a _k r для всех k 0, где r < 1 — константа.Сумма может быть ограничена бесконечным убывающим геометрическим рядом, так как a _k a ₀ r ^k , и, таким образом,

Мы можем применить этот метод, чтобы ограничить суммирование. Первый член равен 1/3, а отношение последовательных членов равно

.

для всех k 1. Таким образом, каждый член ограничен сверху (1/3)(2/3) ^k , так что

Распространенная ошибка при применении этого метода состоит в том, чтобы показать, что отношение последовательных членов меньше 1, а затем предположить, что суммирование ограничено геометрическим рядом.Примером может служить бесконечный гармонический ряд, который расходится, начиная с

Отношение ( k + 1)st и k th членов этого ряда равно k /( k + 1) < 1, но ряд не ограничен убывающим геометрическим рядом. Чтобы связать ряд геометрическим рядом, нужно показать, что отношение не равно 1; то есть должно быть r < 1, которое является константой , так что отношение всех пар последовательных терминов никогда не превышает r .В гармоническом ряду таких r не существует, потому что отношение становится сколь угодно близким к 1.

Расщепление сумм

Один из способов получить границы сложного суммирования состоит в том, чтобы выразить ряд как сумму двух или более рядов путем разбиения диапазона индекса, а затем ограничить каждый из результирующих рядов. Например, предположим, что мы пытаемся найти нижнюю границу арифметического ряда, верхняя граница которого, как уже было показано, равна n ² .Мы могли бы попытаться ограничить каждый член суммирования наименьшим членом, но поскольку этот член равен 1, мы получаем нижнюю границу суммирования n , что далеко от нашей верхней границы n ² .

Мы можем получить лучшую нижнюю оценку, сначала разделив сумму. Предположим для удобства, что n четно. У нас есть

что является асимптотически точной оценкой, так как .

Для суммирования, возникающего в результате анализа алгоритма, мы часто можем разделить суммирование и игнорировать постоянное количество начальных членов. Как правило, этот метод применяется, когда каждый термин a _k в суммировании не зависит от n . Тогда для любой константы k ₀ > 0 можно записать

так как все начальные члены суммирования постоянны и их постоянное число. Затем мы можем использовать другие методы для привязки . Например, чтобы найти асимптотическую верхнюю границу числа

мы видим, что отношение последовательных терминов равно

если к 3.Таким образом, сумма может быть разбита на

так как вторая сумма представляет собой убывающий геометрический ряд.

Технику расщепления сумм можно использовать для определения асимптотических границ в гораздо более сложных ситуациях. Например, мы можем получить оценку 0 (lg n ) гармонического ряда (3.5):

Идея состоит в том, чтобы разделить диапазон от 1 до n на 1g n частей и ограничить вклад каждой части сверху на 1. Таким образом,

(3.8)

Аппроксимация интегралами

Когда сумма может быть выражена как , где â( k ) — монотонно возрастающая функция, мы можем аппроксимировать ее интегралами:

(3.9)

Обоснование этого приближения показано на рис. 3.1. Сумма представлена ​​как площадь прямоугольников на рисунке, а интеграл — как заштрихованная область под кривой. Когда â( k ) является монотонно убывающей функцией, мы можем использовать аналогичный метод для получения оценок

(3.10)

Интегральное приближение (3.10) дает точную оценку для номера гармоники n . Для нижней оценки получаем

(3.11)

Для верхней границы получаем неравенство

что дает оценку

(3.12)

Рисунок 3.1 Аппроксимация интегралами. Площадь каждого прямоугольника показана внутри прямоугольника, а общая площадь прямоугольника представляет собой значение суммы.

Интеграл представлен заштрихованной областью под кривой. Сравнивая площади в (а), получаем , а затем, сдвигая прямоугольники на одну единицу вправо, получаем .in (б).

3.2-1

Покажите, что ограничено сверху константой.

3.2-2

Найдите асимптотическую верхнюю границу суммы

3.2-3

Покажите, что номер n-й гармоники равен (1g n), разделив суммирование.

3.2-4

Приблизительно с интегралом.

3.2-5

Почему мы не использовали интегральное приближение (3.10) непосредственно для получения верхней границы числа n -й гармоники?

3-1 Суммирование границ

Дайте асимптотически точные оценки для следующих сумм. Предположим, что r 0 и s 0 являются константами.

Кнут [121] является прекрасным справочником по материалу, представленному в этой главе. Основные свойства рядов можно найти в любой хорошей книге по математическому анализу, такой как Апостол [12] или Томас и Финней [192].

Перейти к главе 4     Вернуться к содержанию

Сумма сходящегося геометрического ряда

Содержимое:

1. Что такое геометрический ряд?
2. Сумма сходящегося геометрического ряда
3. Правый момент

Связанная статья : Конечные геометрические последовательности.

Геометрический ряд (или геометрическая прогрессия ) — это ряд, в котором каждые два последовательных члена имеют одно и то же отношение.Как только общий множитель удаляется из ряда, вы получаете значение, возведенное в ряд последовательных степеней. Этот тип рядов имеет важные приложения во многих областях, включая экономику, информатику и физику.

Пример геометрического ряда. Этот уменьшается на обычный коэффициент ½.

Бесконечный ряд — это описание операции, при которой к заданному исходному количеству одно за другим прибавляется бесконечное множество величин. Любой геометрический ряд можно записать как

.

а + ар + ар ² + ар ³ + …

, где a — начальный член (также называемый ведущим членом), а r — постоянное отношение между членами. Мы называем это отношение обыкновенным отношением .

Геометрический ряд может быть конечным или бесконечным .

• Конечный ряд сходится на числе. Например, 1/2 + 1/4 + 1/8… сходится (т. е. устанавливается) на 1.
• Бесконечный геометрический ряд не сходится к числу. Например, 10 + 20 + 20… не сходится (просто продолжает увеличиваться).

Конечный геометрический ряд имеет заданное количество членов. Например, вместо бесконечного числа терминов в нем может быть 10, 20 или 99. Пока есть установленный конец ряда, он конечен. Например, все следующие числа являются конечными геометрическими рядами:

Геометрический ряд	Начальный срок (a)	Соотношение (r)	Количество терминов (n)
2 + 4 + 8 + 16 + 32	2	2	5
2 – 20 + 200 – 2000	3	-10	4
	5	½	101

Серия:

— бесконечный геометрический ряд. «…» в конце серии означает, что эта конкретная серия продолжается до бесконечности. Каждый член равен предыдущему члену, умноженному на константу, обычное отношение. Поскольку это обыкновенное отношение равно ½, мы знаем, что этот ряд сходится, и мы знаем, что он будет приближаться к (½)/(1 – ½) = 1, когда число членов стремится к бесконечности.

Другим примером серии этого типа является

.

2 + 4 + 8 + 16 + 32 + …,

Здесь снова каждый член равен предыдущему члену, умноженному на константу, поэтому мы знаем, что наш ряд является геометрическим.Константа 2 больше 1, поэтому ряд будет расходиться.

В чередующемся геометрическом ряду члены чередуются по знаку: либо нечетные члены отрицательны, либо четные отрицательны. Например, следующий ряд имеет нечетные отрицательные члены [1]:

И этот ряд имеет четные отрицательные члены:

Чередующийся геометрический ряд также можно записать в виде суммирования. Например [2]:

Сходимость переменного геометрического ряда

Переменный геометрический ряд будет сходиться, если его члены постоянно будут уменьшаться и приближаться к нулю. Любой ряд этого типа с малым знаменателем будет быстро сходиться. Таким образом, вам нужно только суммировать несколько терминов.

Не все знакопеременные геометрические ряды сходятся. Чтобы проверить сходимость, используйте тест переменного ряда.

Однако, если

, то вместо этого используйте проверку n-го члена.

Сходимость в комплексной плоскости

Чередующиеся геометрические ряды либо восходящие либо убывающие . В следующей таблице приведены условия сходимости в комплексной плоскости [3]:

Чемодан	По возрастанию	По убыванию
Дивергент	|з| > 1	|з| < 1
Дивергент	|з| = -1	|з| = -1
Осциллирующий	|з| = 1 ≠ -z	|з| = 1 ≠ -z
Абсолютная конвергенция	|з| < 1	|з| > 1
Полностью конвергентный	|з| ≤ 1 -ε	|з| ≥ 1 + δ
Где	0 < ε < 1	δ > 0

Каталожные номера

[1] Ларсон, Р. и другие. (1995). Исчисление одной переменной: ранние трансцендентные функции. Глава 9. Бесконечная серия. Cengage Learning. Получено 5 апреля 2021 г. с: http://www.math.utep.edu/Faculty/nsharma/public_html/LarCalc10_ch09_sec5.pdf
[2] Hassoun, M. ECE 4330 Lecture 3 Math Review (продолжение). Получено 5 апреля 2021 г. с: https://neuron.eng.wayne.edu/auth/ece4330/lectures/lecture_3_ece4330t.pdf
[3] Braga da Costa Campos, L. (2010). Комплексный анализ с приложениями к потокам и полям.КПР Пресс.

Сумма сходящегося геометрического ряда может быть вычислена по формуле ^a ⁄ _{1 – r} , где «a» — первый член ряда, а «r» — число, возведенное в степень. Геометрический ряд сходится, если значение r (т. е. число, возведенное в степень) находится в диапазоне от -1 до 1.
Геометрический ряд

сходится тогда и только тогда, когда абсолютное значение обыкновенного отношения |r| меньше 1. Формула: если:
0 < | р | < 1
Где r — обыкновенное отношение.
В этом случае ряды будут приближаться к a /(1 – r ).

Если r больше или равно 1, ряд расходится. По формуле это если:
| р | ≥ 1

В общем, вычисление сумм рядов в исчислении чрезвычайно сложно и выходит за рамки курса исчисления II. Однако геометрического ряда является исключением.

Сумма сходящегося геометрического ряда: Пример

Пример задачи: Найдите сумму следующего геометрического ряда:

Шаг 1: Определите r-значение (число, возведенное в степень).В этой примерной задаче значение r равно ¹ ⁄ ₅ .

Шаг 2: Подтвердите, что ряд действительно сходится . Значение r для этого конкретного ряда ( ¹ ⁄ ₅ ) находится в диапазоне от -1 до 1, поэтому ряд сходится.

Шаг 3: Найдите первый член . Получить первый член получается путем подстановки нижнего значения «n» из суммы. Нижнее значение n равно 0, поэтому первый член ряда будет ( ¹ ⁄ ₅ ) ⁰ .

Шаг 4: Установите формулу для вычисления суммы геометрического ряда, ^a ⁄ _1-r . «a» — это первый член, вычисленный на шаге 3, а «r» — значение r из шага 1:

Сумма этого конкретного геометрического ряда равна ⁵ ⁄ ₄
Вот и все!

Что такое r-й момент?

«r-й момент» относится к следующему геометрическому ряду:

R мгновение = (x _{R 8 ^R + x 2 ^R + x 3 ^R + … + x N ^R ) / N.}

См. : Rth моменты и моменты определены

Ссылки

Аомото, К. и Кита, М. (2011). Теория гипергеометрических функций. Springer Science and Business Media.
Берресфорд, Г. и Рокет, А. (2015). Прикладное исчисление. Cengage Learning.
Каллахан, Дж. (2010). Расширенное исчисление: геометрический вид. Springer Science & Business Media.
Erdelyi, A. Ed. (1955). Высшие трансцендентальные функции. Макгроу-Хилл.
Пирсон, Дж. и др.(2017) Численные методы вычисления конфлюэнтных и гипергеометрических функций Гаусса. Numer Algor (2017) 74: 821–866
Seaborn. Гипергеометрические функции и их приложения. Получено 26 ноября 2019 г. с: https://books.google.com/books?id=HJXkBwAAQBAJ

. ————————————————— ————————-

Нужна помощь с домашним заданием или контрольным вопросом? С Chegg Study вы можете получить пошаговые ответы на ваши вопросы от эксперта в данной области.Ваши первые 30 минут с репетитором Chegg бесплатны!

Рост и затухание — Геометрический рост и затухание — Последовательность, скорость, время и население

Геометрический рост и распад моделируются геометрическими последовательностями. Геометрическая последовательность — это последовательность, в которой каждый последующий член умножается на фиксированную величину. В общем, геометрическая последовательность — одна из форм, где P ₁ = CP 9112 0 , P ₂ = CP ₁ , P ₃ = CP ₂ ,…, P _n = cP _n-1 , а c — константа, называемая общим отношением . Если c больше 1, последовательность увеличивается. Если c меньше 1, последовательность убывающая. Скорость, с которой растут инвестиции, когда они размещаются на счете, по которому выплачиваются сложные проценты, является примером геометрической скорости роста. Предположим, что первоначальный депозит в размере P ₀ сделан в банке с фиксированной процентной ставкой, которая ежегодно начисляется.Пусть процентная ставка в десятичной форме равна r. Тогда остаток на счете на конец первого года будет P ₁ = (P ₀ + r P ₀ ) = (1+r) P 8 0 . В конце второго года остаток на счете составит ₂ = ( ₁ + rP ₁ ) = (1+r)2 8
8
. Продолжая в том же духе, легко увидеть, что остаток на счете в любой заданный год будет равен (1+r), умноженному на остаток за предыдущие годы.Таким образом, скорость роста первоначальных инвестиций, приносящих сложные проценты, определяется геометрической последовательностью, которая начинается с первоначальных инвестиций, и имеет обыкновенный коэффициент, равный процентной ставке плюс 1,

.

Эту же модель начисления сложных процентов можно применить к росту населения. Однако, в отличие от роста инвестиций, рост населения ограничивается наличием пищи, воды, крова и распространением болезней . Таким образом, популяционные модели обычно включают переменную скорость роста, а не фиксированную скорость роста, которая может принимать как отрицательные, так и положительные значения.Когда скорость роста отрицательна, прогнозируется сокращение численности населения. Одна из таких моделей роста населения называется логистической моделью. Он включает в себя переменную скорость роста, которая получается путем сравнения численности населения в данном году со способностью окружающей среды поддерживать дальнейшее увеличение. В этой модели, когда текущее население превышает способность окружающей среды поддерживать население, количество в скобках становится отрицательным, вызывая последующее сокращение населения.

Еще одним примером процесса, который можно смоделировать с помощью геометрической последовательности, является процесс радиоактивного распада .Когда ядро ​​радиоактивного элемента распадается, оно испускает одну или несколько альфа-, бета- или гамма-частиц и становится стабильной (нерадиоактивной). Этот процесс распада характерен для конкретного распадающегося элемента и зависит только от времени . Таким образом, вероятность распада одного ядра определяется выражением: Вероятность распада = λt, где λ зависит от рассматриваемого элемента, а t — произвольный, но конечный (не бесконечно малый) отрезок времени. Если изначально присутствуют радиоактивные ядра N ₀ , то вероятно, что ядра N ₀ λt распадутся за период времени t.В конце первого периода времени будет N ₁ = (N ₀ — N _{— N 0 λt) или N 1 = N 0 1- λt) присутствуют ядра. В конце второго периода времени будет N 2 = N 1 (1-λt) и так далее. Выполнение этой процедуры для n периодов времени приводит к последовательности, аналогичной той, которая описывает сложные проценты, однако λ таково, что эта последовательность не увеличивается, а уменьшается. Чтобы выразить количество радиоактивных ядер как непрерывную функцию времени, а не как последовательность разделенных времен, необходимо только признать, что t должно быть выбрано бесконечно малым, что означает, что число членов n в последовательности должно стать бесконечно большим. Для этого записывается обычное отношение (1 — λt/n), где t/n становится бесконечно малым, когда n становится бесконечно большим. Поскольку геометрическая прогрессия имеет обыкновенное отношение, любой член можно записать в виде T n+1 = c ⁿ T 0 , где T 0 9058 , так что количество радиоактивных ядер в любой момент времени t определяется последовательностью N = N 0 (1 — λt/n) ⁿ , когда n приближается к бесконечности .Хорошо известно, что предел выражения (1 + x/n) ⁿ при стремлении n к бесконечности равен e ^x , где e — основание натуральных логарифмов . Таким образом, количество радиоактивных ядер, присутствующих в любой момент времени t, определяется формулой N = N 0 e ^λt , где N 0 — число радиоактивных ядер, присутствующих в момент времени, принимаемый за t. = 0,}

Наконец, не все темпы роста успешно моделируются с помощью арифметических или геометрических последовательностей.Многие темпы роста основаны на других типах последовательностей, таких как последовательность Фибоначчи , которая начинается с двух единиц, после чего каждый член является суммой двух предыдущих членов. Таким образом, последовательность Фибоначчи есть. Рост популяции самцов медоносных пчел является примером скорости роста, которая следует последовательности Фибоначчи.

Книги

Биттингер, Марвин Л. и Дэвик Элленбоген. Алгебра среднего уровня: концепции и приложения. 6-е изд.Рединг, Массачусетс: Addison-Wesley Publishing, 2001.