Квадратне рівняння — Вікіпедія

Квадра́тне рівня́ння — алгебраїчне рівняння виду

ax2+bx+c=0,{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,} де a≠0{\displaystyle a\neq 0},

де x є невідомою змінною, а a, b, і c є сталими відомими числами, такими що a не дорівнює нулю 0. Якщо a = 0, тоді рівняння буде лінійним, а не квадратним рівнянням. Числа a, b, і c є коефіцієнтами рівняння, і аби розрізнити їх можна називати відповідно, квадратичним коефіцієнтом, лінійний коефіцієнтом і вільною сталою.^[1]

Квадратне рівняння можна вирішити за допомогою процедури розкладання на множники, методу виділення квадрату, за допомогою побудови графіка функції, або з використанням наступної формули, що є загальним розв’язком цього рівняння:

x1,2=−b±b2−4ac2a.{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}

Рішення задачі, еквівалентної квадратному рівнянню були відомі ще в 2000 р. до н.е..

Історичні відомості про квадратні рівняння[ред. | ред. код]

Стародавній Вавилон

Уже в другому тисячолітті до нашої ери вавілоняни знали, як розв’язувати квадратні рівняння. Розв’язання їх в Стародавньому Вавилоні було тісно пов’язане з практичними завданнями, в основному такими, як вимірювання площі земельних ділянок, земельні роботи, пов’язані з військовими потребами; наявність цих знань також обумовлена розвитком математики та астрономії взагалі. Були відомі способи розв’язання як повних, так і неповних квадратних рівнянь.

Наведемо приклад квадратного рівняння, які розв’язувалися в Стародавньому Вавилоні, використовуючи сучасний алгебраїчний запис:

x2+x=3/4{\displaystyle x^{2}+x=3/4}

Правила розв’язування квадратних рівнянь багато в чому аналогічні сучасним, проте в вавилонських текстах не зафіксовано міркування, шляхом яких ці правила були отримані.

Індія

Завдання, які розв’язувалися за допомогою квадратних рівнянь, зустрічаються в трактаті з астрономії «Аріабхаттіам», написаним індійським астрономом і математиком Аріабхатою І в 499 році нашої ери. Один з перших відомих висновків формули коренів квадратного рівняння належить індійському вченому Брамагупті (близько 598 г.) [1]; Брамагупта виклав універсальне правило розв’язування квадратного рівняння, зведеного до канонічного вигляду: ax2+bx+c=0,{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,}причому передбачалося, що в ньому всі коефіцієнти, крім a{\displaystyle a}, можуть бути від’ємними. Сформульоване вченим правило по своїй суті збігається з сучасним.

Квадратні рівняння є різновидом рівнянь другого степеня з однією змінною. Числа  a,b,c{\displaystyle \ a,b,c} — його коефіцієнти, при чому  a{\displaystyle \ a} також називається першим коефіцієнтом,  b{\displaystyle \ b} — другим,  c{\displaystyle \ c} — вільним членом. Будь-яке квадратне рівняння має

• або два різних дійсних корені,
• або два однакові дійсних корені (тобто, по суті, один),
• або взагалі не має дійсних коренів, а має два комплексні корені.

(Зазвичай, коли кажуть, що коренів немає, то мається на увазі, що немає дійсних коренів: в такому разі обидва корені є комплексними. Вони позначаються як x1{\displaystyle x_{1}} та x2{\displaystyle x_{2}} або, якщо йдеться про обидва корені одночасно, то x1,2.{\displaystyle x_{1,2}.} В деякій літературі зустрічається ще й таке позначення: x+{\displaystyle x_{+}} і x−.{\displaystyle x_{-}.}.)

Неповні квадратні рівняння[ред. | ред. код]

Згідно з означенням, перший коефіцієнт квадратного рівняння не може дорівнювати нулю: якщо  a=0{\displaystyle \ a=0}, то  ax2+bx+c=0{\displaystyle \ ax^{2}+bx+c=0} перетворюється у лінійне рівняння  bx+c=0{\displaystyle \ bx+c=0}. Якщо хоч один коефіцієнт  b{\displaystyle \ b} або  c{\displaystyle \ c} дорівнює нулю, то квадратне рівняння називається непо́вним. Неповні квадратні рівняння бувають трьох видів:

• ax2=0{\displaystyle ax^{2}=0};
• ax2+bx=0{\displaystyle ax^{2}+bx=0};
• ax2+c=0{\displaystyle ax^{2}+c=0}.

Розв’язування неповних квадратних рівнянь[ред. | ред. код]

Повне квадратне рівняння[ред. | ред. код]

Повним називається таке квадратне рівняння, у якому жодний з коефіцієнтів a,b,c{\displaystyle a,b,c} не дорівнює нулю.

Дискримінант[ред. | ред. код]

Повні квадратні рівняння розв’язуються за допомогою дискриміна́нта (лат. diskriminans — розрізняючий), який позначається латинською літерою D{\displaystyle D}.

Помноживши обидві частини рівняння ax2+bx+c=0{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} на 4a{\displaystyle 4a}, дістанемо:

4a2x2+4axb+4ac=0{\displaystyle 4a^{2}x^{2}+4axb+4ac=0},

(2ax)2+4axb+b2−b2+4ac=0{\displaystyle (2ax)^{2}+4axb+b^{2}-b^{2}+4ac=0}

і далі за формулою скороченого множення отримаємо

(2ax+b)2=b2−4ac{\displaystyle (2ax+b)^{2}=b^{2}-4ac}.

Права частина цього виразу і є дискримінантом:

D=b2−4ac{\displaystyle D=b^{2}-4ac}

Розв’язування повних квадратних рівнянь[ред. | ред. код]

Якщо D>0{\displaystyle D>0}, то квадратне рівняння рівносильне рівнянню (2ax+b)2=(D)2{\displaystyle (2ax+b)^{2}=\left({\sqrt {D}}\right)^{2}}, звідки

2ax+b=D,x=−b+D2a,{\displaystyle 2ax+b={\sqrt {D}},\qquad x={\frac {-b+{\sqrt {D}}}{2a}},}

або

2ax+b=−D,x=−b−D2a.{\displaystyle 2ax+b=-{\sqrt {D}},\qquad x={\frac {-b-{\sqrt {D}}}{2a}}.}

У цьому випадку дане рівняння має два корені, які відрізняються лише знаком перед D{\displaystyle {\sqrt {D}}}. Коротко ці корені записують так:

x1,2=−b±D2a{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}}, де D=b2−4ac(1).{\displaystyle D=b^{2}-4ac\qquad (1).}

Якщо D=0{\displaystyle D=0}, то 2ax+b=0{\displaystyle 2ax+b=0}, звідки x=−b2a{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}} — єдиний корінь (точніше — два однакові корені)

У випадку, якщо дискримінант менший за нуль, то дане рівняння не має дійсних коренів. Але при цьому є можливість знайти два комплексних корені за формулою (1) або, скориставшись наступною формулою, щоб не добувати корінь з від’ємного числа:

x1,2=−b±i⋅−b2+4ac2a.{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm i\cdot {\sqrt {-b^{2}+4ac}}}{2a}}.}

Якщо коефіцієнти в рівнянні мають великі числові значення для уникнення довгих розрахунків можна скористатися формулою:

x1,2=−k±k2−aca,{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-k\pm {\sqrt {k^{2}-ac}}}{a}},} де :k=b2.{\displaystyle k={\frac {b}{2}}.}

Приклад:

2×2+3x−5=0.{\displaystyle 2x^{2}+3x-5=0.}

a=2{\displaystyle a=2} b=3{\displaystyle b=3} c=−5{\displaystyle c=-5}

D=32−4⋅2⋅(−5)=9+40=49=72{\displaystyle D=3^{2}-4\cdot 2\cdot (-5)=9+40=49=7^{2}}

У цьому випадку дане рівняння має два корені, які відрізняються лише знаком перед D{\displaystyle {\sqrt {D}}}

x1=−3−74=−2,5{\displaystyle x_{1}={\frac {-3-7}{4}}=-2,5}

x2=−3+74=1{\displaystyle x_{2}={\frac {-3+7}{4}}=1}

Зведені квадратні рівняння[ред. | ред. код]

Зведеними називаються такі квадратні рівняння, у яких перший коефіцієнт дорівнює одиниці — a=1{\displaystyle a=1}. Будь-яке квадратне рівняння можна перетворити у зведене, іншими словами, звести його. Для цього треба обидві частини рівняння поділити на a{\displaystyle a}:

x2+bax+ca=0.{\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0.}

Якщо зведене квадратне рівняння має два корені, то їх сума дорівнює другому коефіцієнтові рівняння, взятому з протилежним знаком, а добуток — вільному члену. Для прикладу візьмемо зведене рівняння x2+bax+ca=0{\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0} і позначимо ba{\displaystyle {\frac {b}{a}}} через p,{\displaystyle p,} а ca{\displaystyle {\frac {c}{a}}} через q.{\displaystyle q.} Тоді воно матиме такий вигляд:

x2+px+q=0,{\displaystyle x^{2}+px+q=0,}

отже за теоремою Вієта:

x1+x2=−p,{\displaystyle x_{1}+x_{2}=-p,}

x1⋅x2=q.{\displaystyle x_{1}\cdot x_{2}=q.}

Доведення[ред. | ред. код]

Якщо рівняння x2+px+q=0{\displaystyle x^{2}+px+q=0} має корені x1{\displaystyle x_{1}} і x2,{\displaystyle x_{2},} то їх можна знаходити за формулами:

x1=−p−p2−4q2{\displaystyle x_{1}={\frac {-p-{\sqrt {p^{2}-4q}}}{2}}} і x2=−p+p2−4q2.{\displaystyle x_{2}={\frac {-p+{\sqrt {p^{2}-4q}}}{2}}.}

При додаванні та множенні коренів отримуємо відповідно:

x1+x2=−p−p2−4q2+−p+p2−4q2=−p,{\displaystyle x_{1}+x_{2}={\frac {-p-{\sqrt {p^{2}-4q}}}{2}}+{\frac {-p+{\sqrt {p^{2}-4q}}}{2}}=-p,}

x1⋅x2=−p−p2−4q2∗−p+p2−4q2=q.{\displaystyle x_{1}\cdot x_{2}={\frac {-p-{\sqrt {p^{2}-4q}}}{2}}*{\frac {-p+{\sqrt {p^{2}-4q}}}{2}}=q.}

Теорема обернена до теореми Вієта[ред. | ред. код]

Якщо сума і добуток чисел m{\displaystyle m} і n{\displaystyle n} дорівнюють відповідно −p{\displaystyle -p} і q{\displaystyle q}, то m{\displaystyle m} і n{\displaystyle n} — корені рівняння x2+px+q=0.{\displaystyle x^{2}+px+q=0.}

Використання теореми Вієта та оберненої до неї[ред. | ред. код]

Використовуючи теорему Вієта можна перевіряти правильність розв’язання квадратних рівнянь. А користуючись оберненою теоремою, можна навіть усно розв’язувати більшість зведених рівнянь. Для прикладу розв’яжемо таке рівняння:

2×2+16x+14=0.{\displaystyle 2x^{2}+16x+14=0.}

Щоб звести рівняння поділимо його на 2 (незведене рівняння матиме такі ж корені, як і зведене)

x2+8x+7=0.{\displaystyle x^{2}+8x+7=0.}

Оскільки 7 (вільний член) — це добуток коренів рівняння, то коренями має бути пара чисел 7 та 1 або −7 та −1. Так як сума коренів дорівнює −8 (другий коефіцієнт з протилежним знаком), то шукана пара — −7 і −1. Отже:

x1=−7,x2=−1.{\displaystyle x_{1}=-7,\quad x_{2}=-1.}

Інші методи розв’язування[ред. | ред. код]

Для знаходження коренів існують формули, які можуть стати в нагоді у деяких часткових випадках. Так, наприклад, формулу

x1,2=−p2±(p2)2−q{\displaystyle x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}}

зручно використовувати при парному p. Її перевага полягає в непотрібності окремого знаходження дискримінанта, що значно спрощує необхідні обчислення.

Також поширеною є формула

x1,2=2c−b±b2−4ac(2),{\displaystyle x_{1,2}={\frac {2c}{-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}\qquad (2),}

але суттєвим її недоліком є неможливість отримати два корені при c=0{\displaystyle c=0}. Тобто у випадку відсутності вільного члена з її допомогою не вдасться добути другий корінь (перший дорівнюватиме нулю). Цю проблему можна вирішити використовуючи змішаний вигляд вищезазначеної формули:

x1=−b−sgn⁡bb2−4ac2a,{\displaystyle x_{1}={\frac {-b-\operatorname {sgn} b\,{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},}

x2=cax1,{\displaystyle x_{2}={\frac {c}{ax_{1}}},}

де sgn⁡b{\displaystyle \operatorname {sgn} b} — sign-функція. Цей спосіб розв’язування рівнянь дещо простіший за звичайний метод і позбавлений недоліку формули (2).

Аналітична геометрія[ред. | ред. код]

Графік функції y = x² − x − 2 перетинає вісь абсцис у точках з координатами, що дорівнюють кореням рівняння x² − x − 2 = 0

Корені рівняння

ax2+bx+c=0{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}

є також нулями функції

f(x)=ax2+bx+c.{\displa

Квадратне рівняння

Квадратне рівняння — це рівняння вигляду

a x² + b x + c = 0,

де a не дорівнює 0.

Геометричний зміст

Графіком квадратичної функції є парабола. Розв’язками (коренями) квадратного рівняння називають точки перетину параболи з віссю абсцис. Якщо парабола, яка описується квадратичною функцією, не перетинається з віссю абсцис, рівняння не має дійсних корнів. Якщо парабола перетинається з віссю абсцис в одній точці (вершині параболи), рівняння має один дійсний корінь (також кажуть, що рівняння має два співпадаючих кореня). Якщо парабола перетинає вісь абсцис в двох точках, рівняння має два дійсних кореня.

Якщо коефіцієнт a додатній, вітки параболи направлені вгору, якщо від’ємний — вітки параболи направлені вниз. Якщо коефіцієнт b додатній, то вершина параболи лежить в лівій півплощині, якщо від’ємний — в правій півплощині.

Вивід формули для розв’язання квадратного рівняння

Формулу для розв’язання квадратного рівняння a x² + b x + c = 0 можна отримати так:

• перенесемо c в праву частину a x² + b x = — c
• помножимо рівняння на 4a (2a x)² + 4a b x = — 4a c
• додамо b² до обох частин (2a x)² + 4a b x + b² = b² — 4a c
• в лівій частині виділимо повний квадрат (2a x + b)² = b² — 4a c
• знайдемо квадратний корінь 2a x + b = ± √b² — 4a c
• перенесемо b в праву частину 2a x = — b ± √b² — 4a c
• розділимо рівняння на 2a

  x =	-b ± √b2 — 4a c
  	2 a

Дискримінант квадратного рівняння

Дискримінантом

квадратного рівняння називають число яке дорівнює D = b² − 4ac

Квадратне рівняння з дійсними коефіцієнтами може мати від 0 до 2 дійсних коренів в залежності від значення дискримінанта:

• коли D > 0 корнів два, и вони обчислюються за формулою

  x1,2 =	-b ± √D
  	2 a

• коли D = 0 корінь один (два рівних або співпадаючих коріня), кратності 2:
• коли Dx_1,2 =  -b ± i√-D 2 a

Теорема Вієта

Зведеним квадратним рівнянням

називається рівняння, в якому коефіцієнт при x² дорівнює одиниці. Таке рівняння може бути отримане діленням всього виразу на коефіцієнт a: x² + px + q = 0, де p = ba, q = ca

Сума коренів зведеного квадратного рівняння

x² + px + q = 0 дорівнює коефіцієнту p, взятому з оберненим знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену q:
      x₁ + x₂ = -p,      x₁x₂ = q.

Розклад квадратного рівняння на множники

Якщо відомі обидва кореня квадратного рівняння, його можна розкласти за формулою

ax² + bx + c = a(x — x₁)(x — x₂)

Приклади розв’язання квадратних рівнянь

Наприклад. Знайти корені квадратного рівняння: 2x² + 5x + 3 = 0
D = 5² — 4·3·2 = 25 — 24 = 1

x1 =  —5 + √1  = -1, 2·2

x2 =  —5 — √1  = -1 1 2·2 2

Підготовка до ДПА по темах.

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

Біквадратне рівняння, рішення біквадратних рівнянь

Всім ще зі школи відомо таке поняття, якрівняння. Рівняння — це рівність, що містить одну або кілька змінних. Знаючи те, що одна з частин даної рівності дорівнює інший, можна виокремлювати окремі частини рівняння, переносячи ті чи інші його складові за знак рівності по чітко обумовленими правилами. Можна спростити рівняння до необхідного логічного завершення у вигляді х = n, де n — це будь-яке число.

З початкової школи всі діти проходять курс вивченнялінійних рівнянь різної складності. Пізніше в програмі з’являються більш складні лінійні рівняння — квадратні, потім йдуть кубічні рівняння. Кожен наступний вигляд рівнянь має нові методики рішення, стає важче в вивченні й повторенні.

Однак після цього виникає питання про рішеннятакого виду рівнянь, як біквадратні рівняння. Даний вид, не дивлячись на складність, вирішується досить просто: головне — вміти привести такі рівняння в належний вигляд. Їх рішення вивчається за один-два уроки разом з практичними завданнями, якщо в учнів є базові знання про рішення квадратних рівнянь.

Що необхідно знати людині, що зіткнулося зцим типом рівнянь? Для початку те, що вони включають в себе тільки парні ступеня змінної «ікс»: четверта і, відповідно, друга. Щоб біквадратне рівняння було вирішити, необхідно привести його до виду квадратного рівняння. Як це зробити? Досить просто! Потрібно всього лише замінити «ікс» в квадраті на «ігрек». Тоді страхітливий для багатьох школярів «ікс» в четвертого ступеня перетвориться в «ігрек» в квадраті, а рівняння набуде вигляду звичайного квадратного.

Далі воно вирішується як звичайне квадратнерівняння: розкладається на множники, після чого знаходиться значення таємничого «Ігрек». Щоб вирішити біквадратне рівняння до кінця, потрібно знайти квадратний корінь з числа «ігрек» — це і буде шукана величина «ікс», після знаходження значень якого можна буде привітати себе з успішним завершенням розрахунків.

Що ж слід пам’ятати, вирішуючи рівняння даноговиду? Перше і найголовніше: ігрек не може бути негативним числом! Саме умова, що ігрек — це квадрат числа ікс, виключає подібний варіант рішення. Тому якщо при первинному рішенні біквадратних рівняння одне зі значень «ігрек» виходить у вас позитивним, а друге — негативним, необхідно взяти тільки його позитивний варіант, інакше біквадратне рівняння буде вирішено невірно. Краще відразу ввести правило, що змінна «ігрек» більше або дорівнює нулю.

Другий важливий нюанс: число «ікс», будучи квадратним коренем числа «ігрек», може бути як позитивним, так і негативним. Припустимо, якщо «ігрек» дорівнює чотирьом, то біквадратне рівняння матиме два рішення: два і мінус два. Це відбувається з тієї причини, що негативне число, зведена в парну ступінь, дорівнює числу того ж модуля, але відмінного знаку, зведеному в ту ж ступінь. Тому завжди варто пам’ятати про це важливому моменті, інакше можна просто втратити один або кілька відповідей рівняння. Найкраще відразу писати, що «ікс» дорівнює плюс-мінус квадратному кореню від «ігрек».

У загальному і цілому, рішення біквадратних рівнянь -це досить просто і не вимагає великих витрат часу. На вивчення цієї теми в шкільній програмі вистачає двох академічних годин — не рахуючи, звичайно, повторень і контрольних робіт. Біквадратні рівняння стандартного виду вирішуються дуже легко, якщо дотримуватися перераховані вище правила. Їх рішення не складе для вас ніяких труднощів, тому що воно детально розписано в підручниках математики. Щасти вам навчання та успіхів у вирішенні будь-яких, не тільки математичних, завдань!