Теорема синусов и косинусов для прямоугольного треугольника – Теорема синусов, теорема косинусов — урок. Геометрия, 9 класс. — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 18.12.202024.12.2019 by alexxlab

Содержание

Опорный конспект 3. Теорема синусов. Теорема косинусов

Теорема синусов. Теорема косинусов

Наглядная геометрия 9 класс. Опорный конспект 3. Теорема синусов. Теорема косинусов

Есть в курсе геометрии две очень важные теоремы, связанные с синусом и косинусом угла треугольника. Они так и называются: Теорема синусов и Теорема косинусов.

Теорема синусов вам, в принципе, уже знакома по 1-му и 2-му конспектам: «Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла есть величина постоянная: a / sin α = 2R».

Теорема косинусов позволяет, зная две стороны и угол между ними, найти третью сторону треугольника. Звучит она достаточно длинно: «Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними». В виде формулы теорема выглядит уже проще: a² = b

2 + с² – 2bc cos α. Запоминается она легко.

Из теоремы косинусов вытекают многочисленные следствия, которые часто используются при решении задач. Можно смело сказать, что это самая работающая теорема. Из нее, в частности, следует и теорема Пифагора: если α = 90°, то cos 90° = 0, тогда а² = b² + с².

При помощи теоремы косинусов можно вывести красивую формулу площади треугольника по трем сторонам. Это формула Герона:

где а, b и с — стороны треугольника, а р = (a + b + c)/2 — полупериметр. Измерили три стороны треугольника линейкой и при помощи формулы нашли его площадь. Здорово?! А вот формулу Герона открыл не Герон, а Архимед. Но ее назвали в честь Герона. В науке так бывает.

ТАБЛИЦА «Теорема синусов. Теорема косинусов»

1. Теорема синусов.

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Доказательство. Дан треугольник со стороной а и противолежащим углом α. Опишем вокруг треугольника окружность. Из конца хорды а проведем диаметр QG. Так как угол, опирающийся на диаметр, — прямой, то получим прямоугольный треугольник с гипотенузой QG и острым углом α (углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны).

Точно так же доказываем, что

Следовательно,

* Для тупого угла (180° – α) по формуле приведения

2. Формула нахождения радиуса R описанной окружности.

3. Теорема косинусов.

Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними: а² = b² + с² – 2bc cos α.

Доказательство. Проекция стороны b на сторону с равна b cos α. Проекция стороны а на сторону с равна с –

b cos α. Из левого прямоугольного треугольника h² = b² – (b cos α)², из правого h² = а² – (с – b cos α)². Приравняем правые части равенств: b² – (b cos α)² = а² – с² + 2bc cos α – (b cos α)², откуда a² = b² + c²– 2bc cos α.

4. Нахождение косинуса угла треугольника по трем сторонам.

5. Теорема о сумме квадратов диагоналей параллелограмма.

Теорема. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его четырех сторон.

6. Формула медианы треугольника.

7. Формула Герона.

ЭТО НУЖНО ЗНАТЬ !

Это опорный конспект № 3 по геометрии для 9 класса «Теорема синусов. Теорема косинусов». Выберите дальнейшие действия:

uchitel.pro

Теорема косинусов. Видеоурок. Геометрия 9 Класс

Вспомним теорему Пифагора (рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к теореме

К данному выражению прибавим и отнимем квадрат второго катета:

Но так как

то

Эту формулу мы получили для катетов в прямоугольном треугольнике, но оказывается, что аналогичная связь между стороной а и косинусом противолежащего угла справедлива и для произвольного треугольника, это покажет нам теорема косинусов. Она звучит так:

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Чтобы записать формулой данную теорему, принимаем стандартные значения.

Рис. 2. Иллюстрация к теореме

(рис. 2)

В доказательстве теоремы используем формулу длины отрезка в координатах. Рассмотрим данную формулу.

Рис. 3. Иллюстрация к теореме

Рис. 4. Иллюстрация к теореме

В доказательстве теоремы косинусов BC – это сторона треугольника АВС, обозначенная а (рис. 4). Вводим удобную систему координат и находим координаты нужных нам точек. У точки В координаты (

с;0). А координаты точки С – (b

, при

– основное тригонометрическое тождество.

Что и требовалось доказать.

Эта теорема справедлива для всех сторон треугольника (рис. 5), то есть:

Рис. 5. Иллюстрация к теореме

Таким образом, теорема косинусов обобщает теорему Пифагора, то есть используется для произвольного треугольника.

Теорема косинусов позволяет найти как косинус, так и угол треугольника. Найдём косинусы углов:

Аналогично:

Теперь найдём углы.

Вспомним, что косинус угла из промежутка однозначно определяет угол (в отличие от синуса).

Рис. 6. Иллюстрация к теореме

Поясним это. Дана единичная полуокружность (рис. 6). Если нам задан , то нам задана точка на верхней полуокружносте и задан угол α. Следовательно, однозначно определяет точку М(), и однозначно определяется угол .

Рассмотрим пределы изменения синуса и косинуса α, если α – угол треугольника, то есть он лежит в пределах от 0.

Рис. 7. Иллюстрация к теореме

Предел изменения косинуса (рис. 7):

Предел изменения синуса (рис. 7):

Если , то

Если

Теорема косинусов активно используется при решении задач, вот одна из них.

Рис. 8. Иллюстрация к задаче

Дано: Треугольник АВС. , АВ = 9, ВС = 3, , где М- точка на гипотенузе АВ (рис. 8).

Найти: СМ

Решение:

Так как АМ+МВ = 9, а , то АМ = 3, МВ = 6.

Из треугольника АВС найдём :

Из треугольника СМВ по теореме косинусов найдём СМ:

Дано: треугольник АВС, со сторонами – 5, 8, 10 (рис. 9).

Найти: остроугольный ли треугольник.

Решение:

Рис. 9. Иллюстрация к задаче

В треугольнике АВС наибольшая сторона ВС. Напротив наибольшей стороны находится наибольший угол, то есть следует сначала оценить его. .

По теореме косинусов:

Косинус угла α меньше 0, следовательно, тупой, поэтому данный треугольник АВС не остроугольный.

Дано: треугольник АВС, (рис. 10)

Доказать:тупой.

Доказательство:

Рис. 10. Иллюстрация к задаче

Для доказательства достаточно написать теорему косинусов для угла :

Так как , то , следовательно, тупой. Что и требовалось доказать.

Данная задача показывает, что с помощью теоремы косинусов можно определить тупой угол или острый. Рисунки 10,11 и 12 иллюстрируют это.

Рис. 11. Иллюстрация к задаче

Если , то (рис. 11)

Рис. 12. Иллюстрация к задаче

Если , то острый (рис. 12).

На данном уроке мы рассмотрели и доказали теорему косинусов и решили задачи с её применением.

Список литературы

Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.
Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.
Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Profmeter.com.ua (Источник).
Webmath.ru (Источник).
Treugolniki.ru (Источник).

Домашнее задание

В треугольнике , и . Найти угол, противолежащий стороне AB.
Задан треугольник , длины сторон которого , , . Найти длину третьей стороны рассматриваемого треугольника.
В произвольном треугольнике АВС биссектриса ВЕ перпендикулярна медиане АD, причем ВЕ = AD = 4. Найти стороны треугольника АВС.

interneturok.ru

Теорема синусов и теорема косинусов [wiki.eduVdom.com]

Будем обозначать стороны треугольника через $a, b, c$, a противолежащие им углы через $\alpha, \beta, \gamma$.

Теорема 1. Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Доказательство. Пусть ABC — треугольник со сторонами $a, b, c$ и противолежащими углами $\alpha, \beta, \gamma$ (рис.1, а).

Рис.1
Докажем, что $$ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} $$ Опустим из вершины С высоту CD. Из прямоугольного треугольника ACD, если угол $\alpha$ острый, получаем: $CD = b \sin \alpha$ (рис.1, б). Если угол $\alpha$ тупой, то $CD = b \sin(180° — \alpha ) = b \sin \alpha$ (рис.1, в). Так же из треугольника BCD получаем: $CD = a \sin \beta$ . Итак, $a \sin \beta = b \sin \alpha$ . Отсюда $$ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} $$ Аналогично доказывается равенство $$ \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} $$ Для доказательства надо провести высоту треугольника из вершины А. Теорема доказана.
Следствие 1. $$ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R $$ , где R — радиус окружности, описанной около треугольника ABC.
Справедлива и следующая теорема.
Теорема 2. Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
Например, $$ a^2 = b^2 + c^2 — 2bc \bullet \cos \alpha $$
Пример 1. В треугольнике ABC угол $\alpha$ равен 30°, угол $\beta$ равен 30°. Найти отношение а:с.
Решение. По теореме синусов $$ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \gamma} $$ Используя теорему о сумме внутренних углов треугольника, имеем $$ \gamma = 180° — (30° + 30°) = 120° $$ Так как $$ sin 120° = sin(180° — 60°) = sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} $$ $$\text{ , то } \frac{a}{ \frac{1}{2} } = \frac{c}{ \frac{ \sqrt{3} }{2} } \text{ , или } a:с = 1:\sqrt{3} $$
Пример 2. В треугольнике две стороны 20 м и 21 м, а синус острого угла а между ними равен 0,6. Найти третью сторону а.
Решение. Угол $\alpha$ острый, следовательно, $\cos \alpha > 0$ . Найдем его, используя тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ : $$ \cos \alpha = \sqrt{1 — \sin^2 \alpha } = \sqrt{1 — 0,36} = 0,8 $$ Теперь по теореме косинусов имеем: $$ a^2 = 20^2 + 21^2 — 2•20•21•0,8 = 169 $$ откуда а = 13 м.
Пример 3. Доказать, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
Доказательство. Пусть ABCD — параллелограмм (рис.2).
Рис.2
Применим теорему косинусов к треугольникам ABC и ABD. Получим $$ АС^2 = АВ^2 + ВС^2 — 2АВ • ВС • cos \beta \\ BD^2 = АВ^2 + AD^2 — 2АВ • AD • cos \alpha $$ Так как $\beta = 180° — \alpha$ , то, складывая эти равенства и замечая, что $\cos \beta = \cos (180° — \alpha) = -\cos \alpha \,; АВ = CD\,; ВС = AD$ , получим $$ АС^2 + BD^2 = АВ^2 + ВС^2 + CD^2 + AD^2 $$
Пример 4. Длина вектора AB равна 3, длина вектора AC равна 5. Косинус угла между этими векторами равен 1/15. Найдите длину вектора AB + AC.
Видео-решение.
wiki.eduvdom.com
Теорема косинусов, синусов. Применение для любых треугольников. Формулы
Рис. 1. Треугольник. Теорема косинусов. Теорема синусов
Для произвольного треугольника существуют две теоремы, позволяющие формульно связать длины сторон и углы треугольника: теорема косинусов и теорема синусов.
Теорема косинусов — соотношение, позволяющее связать стороны и углы в произвольном треугольнике (рис. 1). Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними, или математически:
(1)
Теорема синусов — соотношение, позволяющее связать стороны и углы в произвольном треугольнике (рис. 1). Отношение стороны треугольника к синусу противоположного угла есть величина постоянная, или математически:
(2)
Как применять:
если в вашей задаче необходимо найти сторону треугольника, а известны ещё две стороны и угол между ними, то легче использовать теорему косинусов
если в вашей задаче необходимо найти сторону треугольника, а известны два угла и любая сторона, то легче использовать теорему синусов
если в вашей задаче необходимо найти угол треугольника, а известны три стороны, то легче использовать теорему косинусов
если в вашей задаче необходимо найти угол треугольника, а известны две стороны и любой из углов, то легче использовать теорему синусов
Поделиться ссылкой:
Понравилось это:
Нравится Загрузка…
www.abitur.by
Теорема синусов. Видеоурок. Геометрия 9 Класс
Сформулируем, проанализируем и докажем теорему синусов. Теорема звучит так:
стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
Запишем данную теорему формулой в стандартных для треугольника обозначениях (рис. 1).
Рис. 1. Треугольник
Формула для данной теоремы выглядит так (рис. 2):

Докажем данную теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.
Из этой формулы мы получаем два соотношения:
1.

На b сокращаем, синусы помещаем в знаменатели:

2.

Из этих двух соотношений получаем:

Теорема доказана.
Из теоремы синусов вытекает важное следствие.
Рис. 2. Иллюстрация к теореме
,
где R – радиус описанной около треугольника окружности (рис. 2).
Следовательно, мы получили три формулы радиуса описанной окружности:
Но, по существу, весь смысл следствия из теоремы синусов заключён в формуле:

Радиус описанной окружности не зависит от угла α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.
Для доказательства рассмотрим три случая:
1. Угол – острый в треугольнике АВС (рис. 3)

Рис. 3. Иллюстрация к теореме
Проведём диаметр . В этом случае точка А и точка лежат в одной полуплоскости от прямой ВС. Используем теорему о вписанном угле и видим, что . Треугольник       прямоугольный, в нём угол равен 90, так как он опирается на диаметр .
Для того чтобы найти катет a в треугольнике , нужно гипотенузу В=2R (R – радиус окружности) умножить на синус противолежащего угла.

Следовательно

В первом случае теорема доказана.
2. Угол – тупой в треугольнике АВС (рис. 4)
Проведём диаметр окружности . Точки А и по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник вписан в окружность, и его свойство таково, что сумма противолежащих углов равна . Следовательно, =.
Вспомним данное свойство вписанного в окружность четырёхугольника (рис. 4):
=
Также мы знаем, что .
В треугольнике угол при вершине С равен 90, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:
Рис. 4. Иллюстрация к теореме

Следовательно

Во втором случае теорема доказана.
3. Угол (рис. 5)

Рис. 5. Иллюстрация к теореме
В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона , где R – это радиус описанной окружности. Следовательно:
И в третьем случае теорема доказана.
Из теоремы синусов и следствия из неё мы видим, что радиус описанной окружности можно найти, зная только одну сторону треугольника и синус противолежащего угла. Но треугольник не задаётся только этими величинами. То есть получается, что треугольник ещё не задан, а мы уже можем найти радиус описанной окружности. Объясним этот факт, повторив теорему о вписанном в окружность угле и следствиях из неё.
Теорема о вписанном угле:
Вписанный в окружность угол измеряется половинной дуги, на которую он опирается.

Рис. 6. Иллюстрация к теореме
А=α опирается на дугу ВС (рис. 6). Дуга ВС содержит столько градусов, сколько градусов её центральный угол . То есть теорема утверждает:

Следствие 1 из теоремы звучит так:
Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
Рис. 7. Иллюстрация к теореме
ВАС опирается на дугу ВС (рис. 7). Поэтому

Если мы возьмём точки и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:
На рисунке 7 мы видим множество треугольников, у которых общая одна сторона (СВ) и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, их объединяет то, что радиус описанной окружности у них одинаковый.
Следствие 2 из теоремы о вписанном угле:
Вписанные углы, опирающиеся на диаметр, – прямые.
Рис. 8. Иллюстрация к теореме
ВС – диаметр описанной окружности, следовательно (рис. 8).
Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле:
Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180.
В этом следствии утверждается, что

Угол А=&alpha
interneturok.ru
Теорема синусов, теорема косинусов

Описание презентации по отдельным слайдам:
1 слайд Описание слайда:
Урок по теме: «Теорема синусов, Теорема косинусов» Подготовила Ищук Ольга Эдуардовна Геометрия 9 класс
2 слайд Описание слайда:
Цели урока: 1) выработать умения и навыки решения задач, применяя теоремы; 2) показать связь теории с практикой; 3) продолжать развивать внимание, активность, аккуратность, самостоятельность.
3 слайд Описание слайда:
План урока: Повторение Устные упражнения Теорема синусов Теорема косинусов Практические упражнения Подберите чертеж Подберите условие Решите задачи Вопросы Домашнее задание Рефлексия 1 2
4 слайд Описание слайда:
С А В АВ2 = АС2 + ВС2 Теорема Пифагора:
5 слайд Описание слайда:
Сформулируйте теорему о площади треугольника? Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.
6 слайд Описание слайда:
Запишите, чему равна площадь треугольника АВС? А В С
7 слайд Описание слайда:
Устные упражнения: 1 вариант: 2 вариант: 8 ? ? 6 1. 1.
8 слайд Описание слайда:
Проверь ответы: 1 вариант: 2 вариант: 8 10 6 Ответ: 10 см Ответ: см 1. 1. 2 вариант:
9 слайд Описание слайда:
Рассмотрим подробнее формулу площади треугольника АВС? А В С
10 слайд Описание слайда:
ТЕОРЕМА СИНУСОВ Длины сторон треугольника пропорциональны синусам противоположных углов А В С
11 слайд Описание слайда:
Дано: АВС Доказать: А В С
12 слайд Описание слайда:
Доказательство: S ABC = (1) S ABC = (2) S ABC = (3) А В С
13 слайд Описание слайда:
Приравняем равенства (1) и (2), получим = Сократим на , получим =
14 слайд Описание слайда:
Приравняем равенства (2) и (3), получим = Сократим на , получим =
15 слайд Описание слайда:
Объединив равенства И получим ЧТД
16 слайд Описание слайда:
Запишите теорему синусов для треугольника: M F N
17 слайд Описание слайда:
Теорема косинусов Квадрат длины любой стороны треугольника равен сумме квадратов длин двух других его сторон без удвоенного произведения длин этих сторон на косинус угла между ними. A B C а с b
18 слайд Описание слайда:
А С Дано: АВС Доказать: В
19 слайд Описание слайда:
Пусть в треугольнике АВС АВ = с, ВС = а, АС = b. Введем систему координат с началом в точке А. Тогда В (с; 0), С (bcosA; bsinA). Найдем расстояние ВС: ВС = а = (bcosA – c) + b sin A = b cos A + b sin A — 2bc cosA + c = b + c — 2bc cosA А С В (bcosA; bsinA) у х (с; 0) Доказательство: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ЧТД
20 слайд Описание слайда:
M N K Запишите теорему косинусов для вычисления стороны МК:
21 слайд Описание слайда:
Подберите чертеж к условию задачи В треугольнике АВС, АВ=4, АС=6, ВС=2√7, А=60°. Найдите ВH-высоту, проведенную из вершины В к стороне ВС. А В С Н А С В Н 1) 2) А С Н 3) В
22 слайд Описание слайда:
Решение: Дано: ∆ АВС, А=60°, АВ=4, АС=6, ВС=2 . Найти: BH. 2)
23 слайд Описание слайда:
В А С 8 6 30 о 1) В треугольнике АВС А=30°,АВ=8, АС=6. Найдите длину стороны ВС. 2) В треугольнике АВС А=30°,АВ=8, АС=6. Найдите SАВС. 3) В треугольнике АВС А=30°,АВ=8, АС=6. Найдите длину медианы, проведенной к стороне ВС. Подберите условие задачи к данному чертежу
24 слайд Описание слайда:
Дано: ∆ АВС, А=30°, АВ=8, АС=6. Найти: ВС. 1) Решение:
25 слайд Описание слайда:
1)
26 слайд Описание слайда:
Решение Ответ:
27 слайд Описание слайда:
А С В Дано: ∆ АВС, С=60°, АС=4, АС= CB= Найти: ВС Решение: 2)
28 слайд Описание слайда:
Решение: А С В 3 Ответ: 2)
29 слайд Описание слайда:
Верно ли? а2 = b2 + с2 — 2aс cosC в2 = с2 + a2 — 2сa cosB с2 = a2 + c2 — 2ab cosA неверно верно неверно
30 слайд Описание слайда:
Верно ли записаны формулировки? 1. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов всех сторон минус удвоенное произведение любых двух сторон на косинус угла между ними. НЕВЕРНО
31 слайд Описание слайда:
2. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон на синус угла между ними. НЕВЕРНО
32 слайд Описание слайда:
3. Квадрат стороны трапеции равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. НЕВЕРНО
33 слайд Описание слайда:
4. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. ВЕРНО
34 слайд Описание слайда:
Домашнее задание Знать теорему синусов, теорему косинусов. 1. Найдите неизвестную сторону треугольника MNP , если MN см, NP = 6 см, а угол N равен 150°. 2. Найдите косинус угла, лежащего против диагонали 14 мм, если стороны параллелограмма равны 8 мм и 10 мм.
35 слайд Описание слайда: 36 слайд Описание слайда:
Спасибо за внимание! Среди равных умов при одинаковости прочих условий превосходит тот, кто знает геометрию. Блез Паскаль

Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики

Курс повышения квалификации

Курс повышения квалификации
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
Выберите категорию: Все категорииАлгебраАнглийский языкАстрономияБиологияВсеобщая историяГеографияГеометрияДиректору, завучуДоп. образованиеДошкольное образованиеЕстествознаниеИЗО, МХКИностранные языкиИнформатикаИстория РоссииКлассному руководителюКоррекционное обучениеЛитератураЛитературное чтениеЛогопедияМатематикаМузыкаНачальные классыНемецкий языкОБЖОбществознаниеОкружающий мирПриродоведениеРелигиоведениеРусский языкСоциальному педагогуТехнологияУкраинский языкФизикаФизическая культураФилософияФранцузский языкХимияЧерчениеШкольному психологуЭкологияДругое
Выберите класс: Все классыДошкольники1 класс2 класс3 класс4 класс5 класс6 класс7 класс8 класс9 класс10 класс11 класс
Выберите учебник: Все учебники
Выберите тему: Все темы
также Вы можете выбрать тип материала:

Общая информация
Номер материала: ДБ-318137
Похожие материалы
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
infourok.ru
Теорема синусов. Теорема косинусов
При решении прямоугольных треугольников используются только основные тригонометрические функции. Для решения же косоугольных треугольников потребуется знание зависимостей между сторонами и тригонометрическими функциями углов косоугольных треугольников, известные как теоремы синусов, косинусов и тангенсов. К выводу этих теорем мы и переходим.
В дальнейшем мы будем пользоваться следующими обозначениями: a, b и c — стороны треугольника; А, В и С — противолежащие им углы; S — площадь; 2р — периметр; R — радиус описанного круга; r — радиус вписанного круга; h_а, l_а и m_а — высота, биссектриса и медиана, соответствующие стороне а.
Теорема синусов
Теорема. Во всяком треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов:
$$ \frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB} = \frac{c}{sinC} $$
Доказательство. Опишем круг около данного треугольника ABC. Пусть R — радиус этого круга. Возьмём одну из вершин треугольника, например А; через одну из других вершин, например через В, проведём диаметр ВА описанного круга. Вспомогательный треугольник АВС прямоугольный, так как вписанный угол АСВ опирается на диаметр. Из вспомогательного треугольника найдём:
а = 2Rsin A.
Если угол А острый, то А = А, так как вписанные углы A и A опираются на одну и ту же дугу.
Если угол А тупой, то угол А острый, измеряющийся половиной дуги ВАС:
$$ A = \frac{1}{2}\smile BAC = \frac{1}{2}(2\pi-\smile BAC) = \pi — \frac{\smile BAC}{2} = \pi-A $$
Итак, или A= А, или A =$\pi$ — A, в обоих случаях sin A = sin A, а потому
а = 2R sin A. (1)
Если угол Aпрямой, то а = 2R, sin A= 1 и равенство (1) также справедливо.
Аналогичные равенства найдём и для прочих углов В и С. Итак,
а =2R sin A; b =2R sin В; с = 2R sin С, откуда
$$ \frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB} = \frac{c}{sinC} = 2R $$
Следствие. Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру круга, описанного около треугольника.
Теорема косинусов
Теорема. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
а² =b² + с² — 2bccosА
b² =c² + a² — 2cacosB
c² =a² + b² — 2abcosC
Доказательство. Докажем первое равенство.
Случай 1. Угол A острый.
Пусть ВН — высота, опущенная из вершины В ; из геометрии известно, что
а² = b² + с²—2b · АН. (1)
Из прямоугольного треугольника АВН найдём
АН = с cos А; подставив в формулу (1), получим доказываемое равенство.
Случай 2. Угол A тупой.
В этом случае а² = b² + с² +2b · АН. (2)
Из треугольника АВН найдём:
АН = с cos∠BAH = с cos($\pi$ — A) = — с cosA.
Подставив в формулу (2), получим доказываемое равенство.
Случай 3. Угол А прямой.
В этом случае (по теореме Пифагора):
а² = b² + с²= b² + с² — 2bccosА
(так как cos А = 0).
Итак, во всех случаях
а² = b² + с² — 2bccosА
razdupli.ru