Модуль числа. Ненаучное объяснение того, зачем он нужен

P.S. Последний бесценный совет!

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут. Почему? Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем большинство твоих сверстников. Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ и поступления в ВУЗ мечты на бюджет и, самое главное, для жизни. Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…  Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. 

Это статистика.  Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы сдать наверняка ЕГЭ, поступить в ВУЗ мечты и быть в конечном итоге… более счастливым? Две вещи.

Первое, тебе нужно набить руку, решая задачи

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию. Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.  “Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Второе, заниматься по системе  — иначе у тебя уйдет много времени и ты, что-нибудь пропустишь.

И сейчас будет честная реклама наших курсов подготовки к ЕГЭ, потому что они решают обе эти проблемы.

Тебе же понятен этот учебник? Так вот наши курсы такие же понятные как этот учебник.  

Потому что их подготовил и ведет автор этого учебника Алексей Шевчук. 

Он буквально разжевывает все на вебинарах. Вы решаете задачи. Много задач. У вас будет проверка домашки и марафон «Год за месяц» в мае, чтобы «упаковать» ваши знания и улучшить результат на 20-30%.

Курсы очень бюджетные: от 2000 до 3990 тыс/мес за 12 двухчасовых занятий с Алексеем. 

Кликайте по этим кнопкам и читайте условия, там все очень подробно описано:

Модуль числа. Абсолютная величина | Математика

Модуль числа обозначается двумя вертикальными чертами, между которыми заключается число:

|-7|  —  модуль числа  -7.

Модуль числа — это абсолютная величина числа. Абсолютная величина — это неотрицательное число, удовлетворяющее условиям:

|x| = x,   если   x ⩾ 0;

|x| = —x,   если   x < 0.

Следовательно, модуль числа – это положительное число или нуль.

Модуль на координатной прямой

Модуль числа — это расстояние от начальной точки до соответствующей точки на координатной прямой. Рассмотрим координатную прямую с точками  A  и  B:

Точка  A  соответствует числу  -5,  которое находится в пяти единичных отрезках от начальной точки, то есть длина отрезка 

AO  равна  5. Так как модуль равен расстоянию от начала координат до точки, то модуль числа  -5  равен  5,  это можно записать так:

|-5| = 5.

Точка  B  соответствует числу  4,5,  значит длина отрезка  OB  равна  4,5. Следовательно, модуль числа  4,5  равен  4,5:

|4,5| = 4,5.

Точка  O  соответствует числу  0  и является начальной точкой, следовательно, модулем нуля будет нуль:

|0| = 0.

Следует иметь ввиду, что чем дальше от нуля точка, изображающая данное число, тем больше модуль этого числа.

Свойства абсолютной величины

Абсолютной величиной нуля является число нуль.

Пример:

|+0| = |-0| = 0.

Модулем положительного числа называется само это число.

Пример:

|+2| = 2;   |+35| = 35   и т. д.

Модулем отрицательного числа называется противоположное ему числу.

Пример:

|-10| = 10,

потому что  -(-10) = 10.

Модули противоположных чисел равны.

Пример:

|+7| = |-7| = 7,   |-5| = |+5| = 5.

Чему равен модуль х 2. Как решать уравнения с модулем: основные правила

Инструкция

Если модуль представлен в виде непрерывной функции, то значение ее аргумента может быть как положительным, так и отрицательным: |х| = х, х ≥ 0; |х| = — х, х

Модуль нулю, а модуль любого положительного числа – ему . Если аргумент отрицательный, то после раскрытия скобок его знак меняется с минуса на плюс. На основании этого вытекает вывод, что модули противоположных равны: |-х| = |х| = х.

Модуль комплексного числа находится по формуле: |a| = √b ² + c ², а |a + b| ≤ |a| + |b|. Если в аргументе присутствует в виде множителя положительное число, то его можно вынести за знак скобки, например: |4*b| = 4*|b|.

Если аргумент представлен в виде сложного числа, то для удобства вычислений допускается порядка членов выражения, заключенного в прямоугольные скобки: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1, поскольку (2-3) меньше нуля.

Возведенный в степень аргумент одновременно находится под знаком корня того же порядка – он решается при помощи : √a² = |a| = ±a.

Если перед вами задача, в которой не указано условие раскрытия скобок модуля, то избавляться от них не нужно – это и будет конечный результат. А если требуется их раскрыть, то необходимо указать знак ±. Например, нужно найти значение выражения √(2 * (4-b)) ². Его решение выглядит следующим образом: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Поскольку знак выражения 4-b неизвестен, то его нужно оставить в скобках. Если добавить дополнительное условие, например, |4-b| >

Модуль нуля равен нулю, а модуль любого положительного числа – ему самому. Если аргумент отрицательный, то после раскрытия скобок его знак меняется с минуса на плюс. На основании этого вытекает вывод, что модули противоположных чисел равны: |-х| = |х| = х.

Модуль комплексного числа находится по формуле: |a| = √b ² + c ², а |a + b| ≤ |a| + |b|. Если в аргументе присутствует в виде множителя целое положительное число, то его можно вынести за знак скобки, например: |4*b| = 4*|b|.

Отрицательным модуль быть не может, поэтому любое отрицательное число преобразуется в положительное: |-x| = x, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, |-2,5| = 2,5.

Если аргумент представлен в виде сложного числа, то для удобства вычислений допускается изменение порядка членов выражения, заключенного в прямоугольные скобки: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1, поскольку (2-3) меньше нуля.

Если перед вами задача, в которой не указано условие раскрытия скобок модуля, то избавляться от них не нужно – это и будет конечный результат. А если требуется их раскрыть, то необходимо указать знак ±. Например, нужно найти значение выражения √(2 * (4-b)) ². Его решение выглядит следующим образом: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Поскольку знак выражения 4-b неизвестен, то его нужно оставить в скобках. Если добавить дополнительное условие, например, |4-b| > 0, то в итоге получится 2 * |4-b| = 2 *(4 — b). В качестве неизвестного элемента также может быть задано конкретное число, которое следует принимать во внимание, т.к. оно будет влиять на знак выражения.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

А вычисляется в соответствии с такими правилами:

Для краткости записи применяют |а| . Так, |10| = 10; — 1 / 3 = | 1 / 3 |; | -100| =100 и т. д.

Всякой величине х соответствует достаточно точная величина |х |. И значит тождество у = |х | устанавливает у как некоторую

функцию аргумента х .

График этой функции представлен ниже.

Для x > 0 |x | = x , а для x x |= —x ; в связи с этим линия у = |x | при x > 0 совмещена с прямой у =х (биссектриса первого координатного угла), а при х у = -х (биссектриса второго координатного угла).

Отдельные уравнения включают в себя неизвестные под знаком модуля .

Произвольные примеры таких уравнений — |х — 1| = 2, |6 — 2х | =3х + 1 и т. д.

Решение уравнений содержащих неизвестную под знаком модуля базируется на том, что если абсолютная величина неизвестного числа х равняется положительному числу а, то само это число х равняется или а, или -а.

Например :, если |х | = 10, то или х =10, или х = -10.

Рассмотрим решение отдельных уравнений .

Проанализируем решение уравнения |х — 1| = 2.

Раскроем модуль тогда разность х — 1 может равняться или + 2, или — 2. Если х — 1 = 2, то х = 3; если же х — 1 = — 2, то х = — 1. Делаем подставновку и получаем, что оба эти значения удовлетворяют уравнению.

Ответ. Указанное уравнение имеет два корня: x 1 = 3, x 2 = — 1.

Проанализируем решение уравнения | 6 — 2х | = 3х + 1.

После раскрытия модуля получаем: или 6 — 2х = 3х + 1, или 6 — 2х = — (3х + 1).

В первом случае х = 1, а во втором х = — 7.

Проверка. При х = 1 |6 — 2х | = |4| = 4, 3x + 1 = 4; от суда следует, х = 1 — корен ь данного уравнения .

При x = — 7 |6 — 2x | = |20| = 20, 3x + 1= — 20; так как 20 ≠ -20, то х = — 7 не является корнем данного уравнения.

Ответ. У уравнения единственный корень: х = 1.

Уравнения такого типа можно решать и графически .

Так решим, например , графически уравнение |х- 1| = 2.

Первоначально выполним построение графика функции у = |x — 1|. Первым начертим график функции у =х- 1:

Ту часть этого графика , которая расположена выше оси х менять не будем. Для нее х — 1 > 0 и потому |х -1|=х -1.

Часть графика, которая расположена под осью х , изобразим симметрично относительно этой оси. Поскольку для этой части х — 1 х — 1|= — (х — 1). Образовавшаяся в результате линия (сплошная линия) и будет графиком функции у = |х —1|.

Эта линия пересечется с прямой у = 2 в двух точках: M 1 с абсциссой -1 и М 2 с абсциссой 3. И, соответственно, у уравнения |х — 1| =2 будет два корня: х 1 = — 1, х 2 = 3.

Одна из самых сложных тем для учащихся – это решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля. Давайте разберемся для начала с чем же это связано? Почему, например, квадратные уравнения большинство детей щелкает как орешки, а с таким далеко не самым сложным понятием как модуль имеет столько проблем?

На мой взгляд, все эти сложности связаны с отсутствием четко сформулированных правил для решения уравнений с модулем. Так, решая квадратное уравнение, ученик точно знает, что ему нужно сначала применять формулу дискриминанта, а затем формулы корней квадратного уравнения. А что делать, если в уравнении встретился модуль? Постараемся четко описать необходимый план действий на случай, когда уравнение содержит неизвестную под знаком модуля. К каждому случаю приведем несколько примеров.

Но для начала вспомним определение модуля . Итак, модулем числа a называется само это число, если a неотрицательно и -a , если число a меньше нуля. Записать это можно так:

|a| = a, если a ≥ 0 и |a| = -a, если a

Говоря о геометрическом смысле модуля, следует помнить, что каждому действительному числу соответствует определенная точка на числовой оси – ее координата. Так вот, модулем или абсолютной величиной числа называется расстояние от этой точки до начала отсчета числовой оси. Расстояние всегда задается положительным числом. Таким образом, модуль любого отрицательного числа есть число положительное. Кстати, даже на этом этапе многие ученики начинают путаться. В модуле может стоять какое угодно число, а вот результат применения модуля всегда число положительное.

Теперь перейдем непосредственно к решению уравнений.

1. Рассмотрим уравнение вида |x| = с, где с – действительное число. Это уравнение можно решить с помощью определения модуля.

Все действительные числа разобьем на три группы: те, что больше нуля, те, что меньше нуля, и третья группа – это число 0. Запишем решение в виде схемы:

{±c, если с > 0

Если |x| = c, то x = {0, если с = 0

{нет корней, если с

1) |x| = 5, т.к. 5 > 0, то x = ±5;

2) |x| = -5, т.к. -5

3) |x| = 0, то x = 0.

2. Уравнение вида |f(x)| = b, где b > 0. Для решения данного уравнения необходимо избавиться от модуля. Делаем это так: f(x) = b или f(x) = -b. Теперь необходимо решить отдельно каждое из полученных уравнений. Если в исходном уравнении b

1) |x + 2| = 4, т.к. 4 > 0, то

x + 2 = 4 или x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, т.к. 11 > 0, то

x 2 – 5 = 11 или x 2 – 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 нет корней

3) |x 2 – 5x| = -8 , т. к. -8

3. Уравнение вида |f(x)| = g(x). По смыслу модуля такое уравнение будет иметь решения, если его правая часть больше или равна нулю, т.е. g(x) ≥ 0. Тогда будем иметь:

f(x) = g(x) или f(x) = -g(x) .

1) |2x – 1| = 5x – 10. Данное уравнение будет иметь корни, если 5x – 10 ≥ 0. Именно с этого и начинают решение таких уравнений.

1. О.Д.З. 5x – 10 ≥ 0

2. Решение:

2x – 1 = 5x – 10 или 2x – 1 = -(5x – 10)

3. Объединяем О.Д.З. и решение, получаем:

Корень x = 11/7 не подходит по О.Д.З., он меньше 2, а x = 3 этому условию удовлетворяет.

Ответ: x = 3

2) |x – 1| = 1 – x 2 .

1. О.Д.З. 1 – x 2 ≥ 0. Решим методом интервалов данное неравенство:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Решение:

x – 1 = 1 – x 2 или x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0

x = -2 или x = 1 x = 0 или x = 1

3. Объединяем решение и О.Д.З.:

Подходят только корни x = 1 и x = 0.

Ответ: x = 0, x = 1.

4. Уравнение вида |f(x)| = |g(x)|. Такое уравнение равносильно двум следующим уравнениям f(x) = g(x) или f(x) = -g(x).

1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Данное уравнение равносильно двум следующим:

x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 или x 2 – 5x +7 = -2x + 5

x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0

x = 3 или x = 4 x = 2 или x = 1

Ответ: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Уравнения, решаемые методом подстановки (замены переменной). Данный метод решения проще всего объяснить на конкретном примере. Так, пусть дано квадратное уравнение с модулем:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. По свойству модуля x 2 = |x| 2 , поэтому уравнение можно переписать так:

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Сделаем замену |x| = t ≥ 0, тогда будем иметь:

t 2 – 6t + 5 = 0. Решая данное уравнение, получаем, что t = 1 или t = 5. Вернемся к замене:

|x| = 1 или |x| = 5

x = ±1 x = ± 5

Ответ: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Рассмотрим еще один пример:

x 2 + |x| – 2 = 0. По свойству модуля x 2 = |x| 2 , поэтому

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Сделаем замену |x| = t ≥ 0, тогда:

t 2 + t – 2 = 0. Решая данное уравнение, получаем, t = -2 или t = 1. Вернемся к замене:

|x| = -2 или |x| = 1

Нет корней x = ± 1

Ответ: x = -1, x = 1.

6. Еще один вид уравнений – уравнения со «сложным» модулем. К таким уравнениям относятся уравнения, в которых есть «модули в модуле». Уравнения данного вида можно решать, применяя свойства модуля.

1) |3 – |x|| = 4. Будем действовать так же, как и в уравнениях второго типа. Т.к. 4 > 0, то получим два уравнения:

3 – |x| = 4 или 3 – |x| = -4.

Теперь выразим в каждом уравнении модуль х, тогда |x| = -1 или |x| = 7.

Решаем каждое из полученных уравнений. В первом уравнении нет корней, т.к. -1

Ответ x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Решаем это уравнение аналогичным образом:

3 + |x + 1| = 5 или 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 или x + 1 = -2. Нет корней.

Ответ: x = -3, x = 1.

Существует еще и универсальный метод решения уравнений с модулем. Это метод интервалов. Но мы его рассмотрим в дальнейшем.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Модуль числа легко найти, и теория, которая лежит в его основе, важна при решении задач.

Свойства и правила раскрытия, используемые при решении упражнений и на экзаменах, будут полезны школьникам и студентам. Заработай деньги с помощью своих знаний на https://teachs.ru !

Что такое модуль в математике

Модуль числа описывает расстояние на числовой линии от нуля до точки без учета того, в каком направлении от нуля лежит точка. Математическое обозначение: |x|.

Иными словами, это абсолютная величина числа. Определение доказывает, что значение никогда не бывает отрицательным.

Свойства модуля

Важно помнить о следующих свойствах:

Модуль комплексного числа

Абсолютной величиной комплексного числа называют длину направленного отрезка, проведенного от начала комплексной плоскости до точки (a, b).

Этот направленный отрезок также является вектором, представляющим комплексное число a + bi , поэтому абсолютная величина комплексного числа – это то же самое, что и величина (или длина) вектора, представляющего a+ bi .

Как решать уравнения с модулем

Уравнение с модулем – это равенство, которое содержит выражение абсолютного значения. Если для действительного числа оно представляет его расстояние от начала координат на числовой линии, то неравенства с модулем являются типом неравенств, которые состоят из абсолютных значений.

Уравнения типа |x| = a

Уравнение |x| = a имеет два ответа x = a и x = –a , потому что оба варианта находятся на координатной прямой на расстоянии a от 0.

Равенство с абсолютной величиной не имеет решения, если величина отрицательная.

Если |x|

Уравнения типа |x| = |y|

Когда есть абсолютные значения по обе стороны уравнений, нужно рассмотреть обе возможности для приемлемых определений – положительные и отрицательные выражения.

Например, для равенства |x − a| = |x + b| есть два варианта: (x − a) = − (x + b) или (x − a) = (x + b).

Уравнения типа |x| = y

Уравнения такого вида содержат абсолютную величину выражения с переменной слева от нуля, а справа – еще одну неизвестную. Переменная y может быть как больше, так и меньше нуля.

Для получения ответа в таком равенстве нужно решить систему из нескольких уравнений, в которой нужно убедиться, что y – неотрицательная величина:

Решение неравенств с модулем

Чтобы лучше понять, как раскрыть модуль в разных типах равенств и неравенств, нужно проанализировать примеры.

Уравнения вида |x| = a

Пример 1 (алгебра 6 класс). Решить: |x| + 2 = 4.

Решение.

Такие уравнения решаются так же, как и равенства без абсолютных значений. Это означает, что, перемещая неизвестные влево, а константы – вправо, выражение не меняется.

После перемещения константы вправо получено: |x| = 2 .

Поскольку неизвестные связаны с абсолютным значением, это равенство имеет два ответа: 2 и −2 .

Ответ: 2 и −2 .

Пример 2 (алгебра 7 класс). Решить неравенство |x + 2| ≥ 1.

Решение.

Первое, что нужно сделать, это найти точки, где абсолютное значение изменится. Для этого выражение приравнивается к 0 . Получено: x = –2 .

Это означает, что –2 – поворотная точка.

Разделим интервал на 2 части:

1. для x + 2 ≥ 0

[−1; + ∞).

1. для х + 2

Общим ответом для этих двух неравенств является интервал (−∞; –3].

Окончательное решение – объединение ответов отдельных частей:

x ∈ (–∞; –3] ∪ [–1; + ∞).

Ответ: x ∈ (–∞; –3] ∪ [–1; + ∞) .

Уравнения вида |x| = |y|

Пример 1 (алгебра 8 класс). Решить уравнение с двумя модулями: 2 * |x – 1| + 3 = 9 – |x – 1|.

Решение:

Ответ: x 1 = 3; x 2 = − 1.

Пример 2 (алгебра 8 класс). Решить неравенство:

Решение:

Уравнения вида |x| = y

Пример 1 (алгебра 10 класс). Найти x:

Решение:

Очень важно провести проверку правой части, иначе можно написать в ответ ошибочные корни. Из системы видно, что не лежит в промежутке.

Ответ: x = 0 .

Модуль суммы

Модуль разности

Абсолютная величина разности двух чисел x и y равна расстоянию между точками с координатами X и Y на координатной прямой.

Пример 1.

Пример 2.

Модуль отрицательного числа

Для нахождения абсолютного значения числа, которое меньше нуля, нужно узнать, как далеко оно расположено от нуля. Поскольку расстояние всегда является положительным (невозможно пройти «отрицательные» шаги, это просто шаги в другом направлении), результат всегда положительный. То есть,

Проще говоря, абсолютная величина отрицательного числа имеет противоположное значение.

Модуль нуля

Известно свойство:

Вот почему нельзя сказать, что абсолютная величина – положительное число: ноль не является ни отрицательным, ни положительным.

Модуль в квадрате

Модуль в квадрате всегда равен выражению в квадрате:

Примеры графиков с модулем

Часто в тестах и на экзаменах встречаются задания, которые возможно решить, лишь проанализировав графики. Рассмотрим такие задания.

Пример 1.

Дана функция f(x) = |x|. Необходимо построить график от – 3 до 3 с шагом 1.

Решение:

Объяснение : из рисунка видно, что график симметричен относительно оси Y.

Пример 2 . Необходимо нарисовать и сравнить графики функций f(x) = |x–2| и g(x) = |x|–2.

Решение:

Объяснение: константа внутри абсолютной величины перемещает весь график вправо, если ее значение отрицательное, и влево, если положительное. Но постоянная снаружи будет передвигать график вверх, если значение положительное, и вниз, если оно отрицательное (как –2 в функции g (x)) .

Координата вершины x (точка, в которой соединяются две линии, вершина графа) – это число, на которое график сдвигается влево или вправо. А координата y – это значение, на которое график сдвигается вверх или вниз.

Строить такие графики можно с помощью онлайн приложений для построения. С их помощью можно наглядно посмотреть, как константы влияют на функции.

Метод интервалов в задачах с модулем

Метод интервалов – один из лучших способов найти ответ в задачах с модулем, особенно если в выражении их несколько.

Для использования метода нужно совершить следующие действия:

1. Приравнять каждое выражение к нулю.
2. Найти значения переменных.
3. Нанести на числовую прямую точки, полученные в пункте 2.
4. Определить на промежутках знак выражений (отрицательное или положительное значение) и нарисовать символ – или + соответственно. Проще всего определить знак с помощью метода подстановки (подставив любое значение из промежутка).
5. Решить неравенства с полученными знаками.

Пример 1 . Решить методом интервалов.

Решение:

6.2.4. Модуль числа

Модулем числа а (записывают |a|) называют расстояние от начала отсчета до точки, соответствующей данному числу а.

Значение модуля любого числа неотрицательно. |3|=3; |-3|=3, т.к. расстояние от начала отсчета и до числа -3, и до числа 3 равно трем единичным отрезкам. Противоположные числа имеют равные модули. Модуль нуля равен нулю: |0|=0.

По определению модуля числа: |a|=a, если a≥0 и |a|=-a, если а<0. Читают: модуль неотрицательного числа равен самому этому числу; модуль отрицательного числа равен противоположному числу.

Примеры.

1. Вычислить: а) |5|-2; б) |-12| : 6; в) |-24| + |13|; г) |65|-|-45|.

Решение. а) |5|-2=5-2=3;

б) |-12| : 6=12 : 6=2;

в) |-24|+|13|=24+13=37;

г) |65|-|-45|=65-45=20.

2. Решить уравнение: а) |m|+4=10; б) 6-|x|=2.

Решение.

а) |m|+4=10;

|m|=10-4; из суммы вычли известное слагаемое;

|m|=6. Так как |-6|=6  и  |6|=6, то m=-6  или m=6.

Ответ: -6; 6.

б) 6-|x|=2.

|x|=6-2;

|x|=4, отсюда х=-4 или х=4.

Ответ: -4; 4.

3. Записать перечислением элементов множество целых чисел А, модуль которых меньше числа 5.

Решение. По определению модуля числа 5 искомые числа должны отстоять от начала отсчета как вправо, так и влево на расстояние, меньшее пяти единичных отрезков. В этом промежутке (показан штриховкой на рисунке) бесконечно много чисел, но нам нужно выбрать из них лишь все целые числа. Берем числа: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4. Числа -5 и 5 не подходят по условию.

Ответ:  множество А={-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}.

4. Записать перечислением множество натуральных чисел В, модуль которых меньше числа 5.

Решение. Из всех чисел, показанных на рисунке штриховкой, нам нужно выбрать натуральные, т.е. только те числа, которые употребляются при счете предметов. Ответ: B={1, 2, 3, 4}.

 

Открытый урок по математике 6 класс по теме: «Понятие модуля числа»

Тест по теме «Модуль числа»

1. Найдите значение выражения |х|, если х = – 4,5 А) – 4,5 и 4,5; B) 4,5; С) – 4,5.

2. Выберите верные равенства: 1) |– 7| = 7; 2) |– 4| = – 4; 3) |5| = 5. А) 1; В) 1 и 2; С) 2 и 3; D) 1 и 3; Е) Все.

3. Известно, что |– а| = 18. Чему равен |а|? А) – 18; В) 18 и – 18; С) 18.

4. Из чисел: 1) – 6,8; 2) 0; 3) – 8,35 выберите то, у которого бoльший модуль А) 3; В) 2; С) 1.

5. При каких значениях х верно равенство |х| = 9? А) – 9 и 9; В) 9; С) – 9; D) Таких чисел нет.

2. Выберите верные равенства:

1) |– 7| = 7; 2) |– 4| = – 4; 3) |5| = 5.
А) 1; В) 1 и 2; С) 2 и 3; D) 1 и 3; Е) Все.

3. Известно, что |– а| = 18. Чему равен |а|?
А) – 18; В) 18 и – 18; С) 18.

4. Из чисел: 1) – 6,8; 2) 0; 3) – 8,35 выберите то, у которого бoльший модуль
А) 3; В) 2; С) 1.

5. При каких значениях х верно равенство |х| = 9?
А) – 9 и 9; В) 9; С) – 9; D) Таких чисел нет.

2. Выберите верные равенства:

1) |– 7| = 7; 2) |– 4| = – 4; 3) |5| = 5.
А) 1; В) 1 и 2; С) 2 и 3; D) 1 и 3; Е) Все.

3. Известно, что |– а| = 18. Чему равен |а|?
А) – 18; В) 18 и – 18; С) 18.

4. Из чисел: 1) – 6,8; 2) 0; 3) – 8,35 выберите то, у которого бoльший модуль
А) 3; В) 2; С) 1.

5. При каких значениях х верно равенство |х| = 9?
А) – 9 и 9; В) 9; С) – 9; D) Таких чисел нет.

2. Выберите верные равенства:

1) |– 7| = 7; 2) |– 4| = – 4; 3) |5| = 5.
А) 1; В) 1 и 2; С) 2 и 3; D) 1 и 3; Е) Все.

3. Известно, что |– а| = 18. Чему равен |а|?
А) – 18; В) 18 и – 18; С) 18.

4. Из чисел: 1) – 6,8; 2) 0; 3) – 8,35 выберите то, у которого бoльший модуль
А) 3; В) 2; С) 1.

5. При каких значениях х верно равенство |х| = 9?
А) – 9 и 9; В) 9; С) – 9; D) Таких чисел нет.

2. Выберите верные равенства:

1) |– 7| = 7; 2) |– 4| = – 4; 3) |5| = 5.
А) 1; В) 1 и 2; С) 2 и 3; D) 1 и 3; Е) Все.

3. Известно, что |– а| = 18. Чему равен |а|?
А) – 18; В) 18 и – 18; С) 18.

4. Из чисел: 1) – 6,8; 2) 0; 3) – 8,35 выберите то, у которого бoльший модуль
А) 3; В) 2; С) 1.

5. При каких значениях х верно равенство |х| = 9?
А) – 9 и 9; В) 9; С) – 9; D) Таких чисел нет.

2. Выберите верные равенства:

1) |– 7| = 7; 2) |– 4| = – 4; 3) |5| = 5.
А) 1; В) 1 и 2; С) 2 и 3; D) 1 и 3; Е) Все.

3. Известно, что |– а| = 18. Чему равен |а|?
А) – 18; В) 18 и – 18; С) 18.

4. Из чисел: 1) – 6,8; 2) 0; 3) – 8,35 выберите то, у которого бoльший модуль
А) 3; В) 2; С) 1.

5. При каких значениях х верно равенство |х| = 9?
А) – 9 и 9; В) 9; С) – 9; D) Таких чисел нет.

2. Выберите верные равенства:

1) |– 7| = 7; 2) |– 4| = – 4; 3) |5| = 5.
А) 1; В) 1 и 2; С) 2 и 3; D) 1 и 3; Е) Все.

3. Известно, что |– а| = 18. Чему равен |а|?
А) – 18; В) 18 и – 18; С) 18.

4. Из чисел: 1) – 6,8; 2) 0; 3) – 8,35 выберите то, у которого бoльший модуль
А) 3; В) 2; С) 1.

5. При каких значениях х верно равенство |х| = 9?
А) – 9 и 9; В) 9; С) – 9; D) Таких чисел нет.

2. Выберите верные равенства:

1) |– 7| = 7; 2) |– 4| = – 4; 3) |5| = 5.
А) 1; В) 1 и 2; С) 2 и 3; D) 1 и 3; Е) Все.

3. Известно, что |– а| = 18. Чему равен |а|?
А) – 18; В) 18 и – 18; С) 18.

4. Из чисел: 1) – 6,8; 2) 0; 3) – 8,35 выберите то, у которого бoльший модуль
А) 3; В) 2; С) 1.

5. При каких значениях х верно равенство |х| = 9?
А) – 9 и 9; В) 9; С) – 9; D) Таких чисел нет.

Решение уравнений с модулем (часть 1)

Уравнения с модулем с решениями (часть 1)

перейти к содержанию

Свойства модуля (справочник)

1. Найдите корни уравнения

Решение

Так как и для любого , то . Поэтому и уравнение принимает вид , откуда . Условию удовлетворяет только число .

Ответ:

2. Найдите сумму корней уравнения

Решение

www.itmathrepetitor.ru Раскроем модуль. Для этого рассмотрим первый случай: . Тогда . Корнями этого уравнения являются числа и . После проверки остается только .

Второй случай: . Тогда , откуда . Условию удовлетворяет только .

Сумма корней равна

Ответ:

3. Найдите произведение корней уравнения .

Решение

Пусть , тогда , откуда или , то есть или . Первое уравнение имеет корни , второе уравнение корней не имеет, так как . Значит, произведение корней исходного уравнения равно .

Ответ:

4. Найдите сумму корней уравнения

Решение

www.itmathrepetitor.ru , что равносильно при условии . Корнями первого уравнения совокупности являются числа и , корнями второго — числа и . Неравенству удовлетворяют только и . Значит, сумма корней исходного уравнения равна .

Ответ: 

5. Найдите разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения

Решение

. Пусть , тогда и , то есть или . Первое уравнение корней не имеет, так как . Из второго следует, что . Сумма этих корней равна .

Ответ: 

6. Найдите сумму корней уравнения

Решение

Уравнение равносильно совокупности , откуда  Избавимся от знаменателя: .

Ответ: 

7. Найдите сумму корней уравнения

Решение

www.itmathrepetitor.ru Уравнение равносильно совокупности , откуда . Сумма корней равна .

Ответ: 

8. Решите уравнение

Решение

Нули модулей равны и . Рассмотрим три случая: . Для каждого из них модули раскрываются с определенным знаком.

Первый случай.

, то есть — любое число. С учетом ограничения случая, .

Второй случай. 

. С учетом ограничения случая, корней нет.

Третий случай. 

, то есть корней нет.

Ответ: 

9. Найдите сумму корней уравнения

Решение

Нули модулей равны и . Рассмотрим три случая: . Для каждого из них модули раскрываются с определенным знаком.

Первый случай.

. Найденный корень удовлетворяет ограничению случая.

Второй случай. 

. С учетом ограничения случая, корней нет.

Третий случай. 

. Найденный корень удовлетворяет ограничению случая.

Сумма корней исходного уравнения равна .

Ответ: 

10. Найдите произведение корней уравнения

Решение

Уравнение равносильно совокупности , откуда . Произведение корней равно .

Ответ: 

смотрите раздел «Математика»

 

Чему равен модуль 5. Модуль числа. Полные уроки — Гипермаркет знаний

Базовые сведения о модуле

Определение модуля может быть дано следующим образом: Абсолютной величиной числа a (модулем) называется расстояние от точки, изображающей данное число a на координатной прямой, до начала координат. Из определения следует, что:

Таким образом, для того чтобы раскрыть модуль необходимо определить знак подмодульного выражения. Если оно положительно, то можно просто убирать знак модуля. Если же подмодульное выражение отрицательно, то его нужно умножить на «минус», и знак модуля, опять-таки, больше не писать.

Основные свойства модуля:

Некоторые методы решения уравнений с модулями

Существует несколько типов уравнений с модулем, для которых имеется предпочтительный способ решения. При этом данный способ не является единственным. Например, для уравнения вида:

Предпочтительным способом решения будет переход к совокупности:

А для уравнений вида:

Также можно переходить к почти аналогичной совокупности, но так как модуль принимает только положительные значения, то и правая часть уравнения должна быть положительной. Это условие нужно дописать в качестве общего ограничения для всего примера. Тогда получим систему:

Оба этих типа уравнений можно решать и другим способом: раскрывая соответствующим образом модуль на промежутках где подмодульное выражение имеет определённый знак. В этом случае будем получать совокупность двух систем. Приведем общий вид решений получающихся для обоих типов уравнений приведённых выше:

Для решения уравнений в которых содержится более чем один модуль применяется метод интервалов , который состоит в следующем:

• Сначала находим точки на числовой оси, в которых обращается в ноль каждое из выражений, стоящих под модулем.
• Далее делим всю числовую ось на интервалы между полученными точками и исследуем знак каждого из подмодульных выражений на каждом интервале. Заметьте, что для определения знака выражения надо подставить в него любое значение x из интервала, кроме граничных точек. Выбирайте те значения x , которые легко подставлять.
• Далее на каждом полученном интервале раскрываем все модули в исходном уравнении в соответствии с их знаками на данном интервале и решаем полученное обычное уравнение. В итоговый ответ выписываем только те корни этого уравнения, которые попадают в исследуемый промежуток. Еще раз: такую процедуру проводим для каждого из полученных интервалов.

• Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике . На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.
• Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.

Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того на что Вы способны.

Нашли ошибку?

Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на почту. Написать об ошибке можно также в социальной сети (). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.

Инструкция

Таким же образом решайте уравнения, в которых х содержится одновременно и под модулем, и без модуля . Перенесите все части без модуля в правую часть и раскройте модуль, превратив одно уравнение в систему из двух. Здесь уже обязательно надо указывать ОДЗ, так как оно будет участвовать в поиске решения.

Если уравнение содержит два модуля, равных между собой, поступите таким образом. Раскройте второй модуль так, будто это обычное число. Таким образом, у вас получится система из двух уравнений, решите каждое по отдельности и объедините решение. Например, дано уравнение Iх+3I=Iх-7I. После раскрытия модуля вы получите два уравнения: х+3=х-7 и х+3=-(х-7). Первое уравнение решений не имеет (3=-7), а из второго можно получить х=2. Таким образом, решение одно х=2.

Если помимо двух модулей в уравнении есть число, решение несколько усложняется. Чтобы решить такое уравнение, разбейте область допустимых значений на несколько интервалов. Для этого найдите значения х, при которых модули обнуляются (приравняйте модули к нулю). Таким образом, вы получите несколько интервалов, при которых модули раскрываются с разными знаками. Затем рассмотрите отдельно каждый случай, раскрывая модуль с тем знаком, который получается при подстановке одного из значений интервала. В результате вы получите несколько решений, которые необходимо будет объединить. Например, дано уравнение Iх+2I+Iх-1I=5. Приравняв модули к нулю, получите границы интервалов -2 и 1. Рассмотрите первый интервал: х

Добавление нового модуля или копии уже существующего на сайт не представляет особых сложностей для пользователей Joomla, благодаря удобным настройкам администраторской панели. Она обеспечивает простоту применения и автоматизацию выбранной операции.

Инструкция

Осуществите вход в администраторскую панель стандартным способом и раскройте меню «Расширения» верхней панели инструментов для инициации осуществления процедуры добавления нового или копии уже существующего модуля на свой сайт . Вызовите диалоговое окно «Менеджера модулей» и воспользуйтесь кнопкой «Создать» для проведения необходимой операции. Создайте предназначенный для добавления модуль и раскройте его кликом мыши на строку с названием.

Введите желаемое значение имени создаваемого модудя в поле «Заголовок» и примените флажки на полях «Показать заголовок» и «Включен». Укажите желаемую позицию размещения компонента в раскрывающемся меню строки «Позиция» и помните, что данный параметр позволяет создание непредустановленного значения. Выберите необходимые настройки доступности создаваемого модуля для посетителей сайт а в выпадающем меню поля «Доступ» или воспользуйтесь возможностью автоматической конфигурации по умолчанию, выбрав команду «Выбрать все пункты меню».

Еще раз раскройте меню «Расширения» верхней панели инструментов окна приложения и вызовите инструмент «Менеджер плагинов». Разверните меню утилиты и укажите пункт Content — Load Module. Раскройте созданный модуль левым кликом мыши на строку его названия разверните диалог «Параметры» в правой области окна менеджера. Примените флажок на поле «Включить плагин» и укажите пункт «Нет обрамления» в выпадающем каталоге строки «Стиль». Сохраните сделанные изменения нажатием кнопки «Сохранить» в верхней панели инструментов окна утилиты.

Перейдите на страницу, подлежащую добавлению созданного модуля, и вставьте значение loadposition сохраненное_имя_созданного_модуля в желаемое место размещения компонента. Убедитесь в том, что не использовалась ссылка, не имеющая itemid, определяющего выбранный пункт меню и не используйте страницы, связанные исключительно содержанием — ссылки на другие материалы, ссылки из категорий. Возможность назначения модуля на выбранную станицу напрямую связана с существованием itemid!

Видео по теме

Источники:

• Как вставить модуль на конкретную страницу?

Источники:

• как раскрыть модуль в модуле

Модуль числа a — это расстояние от начала координат до точки А (a ).

Чтобы понять это определение, подставим вместо переменной a любое число, например 3 и попробуем снова прочитать его:

Модуль числа 3 — это расстояние от начала координат до точки А (3 ).

Становится ясно, что модуль это ни что иное, как обычное расстояние. Давайте попробуем увидеть расстояние от начала координат до точки А(3 )

Расстояние от начала координат до точки А(3 ) равно 3 (трём единицам или трём шагам).

Модуль числа обозначает двумя вертикальными линиями, например:

Модуль числа 3 обозначается так: |3|

Модуль числа 4 обозначается так: |4|

Модуль числа 5 обозначается так: |5|

Мы искали модуль числа 3 и выяснили, что он равен 3. Так и записываем:

Читается как: «Модуль числа три равен три»

Теперь попробуем найти модуль числа -3. Опять же возвращаемся к определению и подставляем в него число -3. Только вместо точки A используем новую точку B . Точку A мы уже использовали в первом примере.

Модулем числа —3 называют расстояние от начала координат до точки B (—3 ).

Расстояние от одного пункта до другого не может быть отрицательным. Поэтому и модуль любого отрицательного числа, будучи являясь расстоянием тоже не будет отрицательным. Модуль числа -3 будет число 3. Расстояние от начала координат до точки B(-3) равно также трём единицам:

Читается как: «Модуль числа минус три равен три»

Модуль числа 0 равен 0, та как точка с координатой 0 совпадает с началом координат, т. е. расстояние от начала координат до точки O(0) равно нулю:

«Модуль нуля равен нулю»

Делаем выводы:

• Модуль числа не может быть отрицательным;
• Для положительного числа и нуля модуль равен самому числу, а для отрицательного – противоположному числу;
• Противоположные числа имеют равные модули.

Противоположные числа

Числа, отличающиеся только знаками называют противоположными . Например, числа −2 и 2 являются противоположными. Они отличаются только знаками. У числа −2 знак минуса, а у 2 знак плюса, но мы его не видим, потому что плюс, как мы говорили ранее, по традиции не пишут.

Еще примеры противоположных чисел:

Противоположные числа имеют равные модули. Например, найдём модули для −2 и 2

На рисунке видно, что расстояние от начала координат до точек A(−2) и B(2) одинаково равно двум шагам.

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Уравнения с модулями, методы решений. Часть 1.

Прежде чем приступать к непосредственному изучению техник решения таких уравнений, важно понять суть модуля, его геометрическое значение. Именно в понимании определения модуля и его геометрическом смысле, заложены основные методы решения таких уравнений. Так называемый, метод интервалов при раскрытии модульных скобок, настолько эффективен, что используя его возможно решить абсолютно любое уравнение или неравенство с модулями. В этой части мы подробно изучим два стандартных метода: метод интервалов и метод замены уравнения совокупностью.

Однако, как мы убедимся, эти методы, всегда эффективные, но не всегда удобные и могут приводить к долгим и даже не очень удобным вычислениям, которые естественно потребуют большего времени на их решение. Поэтому важно знать и те методы, которые решение определенных структур уравнений значительно упрощают. Возведение обеих частей уравнения в квадрат, метод введения новой переменной, графический метод, решение уравнений, содержащих модуль под знаком модуля. Эти методы мы рассмотрим в следующей части.

Определение модуля числа. Геометрический смысл модуля.

Первым делом познакомимся с геометрическим смыслом модуля:

Модулем числа а (|а|) называют расстояние на числовой прямой от начала координат (точки 0) до точки А(а) .

Исходя из этого определения рассмотрим некоторые примеры:

|7| — это расстояние от 0 до точки 7, конечно оно равно 7. → | 7 |=7

|-5|- это расстояние от 0 до точки -5 и оно равно: 5. → |-5| = 5

Все мы понимаем расстояние не может быть отрицательным! Поэтому |х| ≥ 0 всегда!

Решим уравнение: |х |=4

Это уравнение можно прочитать так: расстояние от точки 0 до точки x равно 4. Ага, получается, от 0 мы можем двигаться как влево так и вправо, значит двигаясь влево на расстояние равное 4 мы окажемся в точке: -4, а двигаясь вправо окажемся в точке: 4. Действительно, |-4 |=4 и |4 |=4.

Отсюда ответ х=±4.

При внимательном изучении предыдущего уравнения можно заметить, что: расстояние вправо по числовой прямой от 0 до точки равно самой точке, а расстояние влево от 0 до числа равно противоположному числу! Понимая, что вправо от 0 положительные числа, а влево от 0 отрицательные, сформулируем определения модуля числа: модулем (абсолютной величиной) числа х (|х|) называется само число х , если х ≥0, и число –х , если х

Здесь нам надо найти множество точек на числовой прямой расстояние от 0 до которых будет меньше 3, давайте представим числовую прямую, на ней точка 0, идем влево и считаем один (-1), два (-2) и три (-3), стоп. Дальше пойдут точки, которые лежат дальше 3 или расстояние до которых от 0 больше чем 3, теперь идем вправо: один, два, три, опять стоп. Теперь выделяем все наши точки и получаем промежуток х:(-3;3).

Модуль числа, определения и свойств

Определение модуля числа

Алгебра дает четкое определение модуля числа. Модуль в математике — это от начала отсчёта до точки координатной системы, прямой этот путь.

Если мы возьмем число «a» и из его на координатной прямой точке «A» — расстояние от точки «A» до начала отсчёта (то есть до нуля, длина отрезка «OA») будет называться модулем числа «a».

Знак модуля: | a | = OA

Разберем на примере:

Точка «В», которая соответствует значению «−3», находится на расстоянии 3 единичных отрезков от точки 0 (то есть есть от начала отсчёта).То есть длина отрезка «OB»

Число 3 (длина отрезка «OB») называют модулем числа «−3».

Обозначение модуля: | −3 | = 3

Читают символы выше следующим образом: «модуль числа минус три равен трем».

Точка «С», которая соответствует числу «+4», находится на расстоянии четырех единичных отрезков от начала отсчёта, то есть длина отрезка «OС» равна четырем единицам.

Число 4 называют модулем числа «+4» и обозначают так: | +4 | = 4.

Также можно опустить плюс и записать значение, как | 4 | = 4,

Записывайся на занятия по математике для учеников с 1 по 11 классы.

Свойства модуля числа

Давайте рассмотрим семь основных свойств модуля. Независимо от того, в какой класс перешел ребенок — правила пригодятся всегда.

1. Модуль числа — это расстояние, а расстояние не может быть отрицательным. Поэтому и модуль числа не бывает отрицательным:

2.Модуль положительного числа равен самому количеству.

3. Модуль отрицательного числа сравнение противоположному сопротивлению.

• | −a | = a, если a <0

4. Модуль нуля равенство нулю.

5. Противоположные числа имеют равные модули.

6. Модуль произведения равенства модулей этих чисел.

• | а б | = | а | | b |, когда

а · б 0

или

— (a · b), когда a · b <0

7. Модуль частного равенства от деления модуля числа числителя на модуль числа знаменателя:

Геометрическая интерпретация модуля

Как мы уже знаем, модуль числа — это расстояние от нуля до данного числа. То есть расстояние от точки −5 до нуля равно 5.

Нарисуем числовую прямую и обозначим это на ней.

Эта геометрическая интерпретация используется для решения неравенств с модулем. Давайте рассмотрим на примерах.

Решим уравнение : | х | = 5

Мы видим, что на числовой прямой есть две точки, расстояние от которых до нуля равно 5. Это точки 5 и −5. Значит, уравнение имеет два решения: x = 5 и x = −5.

Когда у нас есть два числа a и b, то их разность | a — b | равна расстоянию между ними на числовой прямой. Или длине отрезка АВ

Расстояние от точки a до точки b расстояний от точки b до точки a, тогда | a — b | = | Ь — а |.

Решим уравнение: | a — 3 | = 4. Запись читаем так: от точки а до точки 3 равно 4. Отметим на числовой прямой точки, удовлетворяющие этому условию.

Уравнение имеет два решения: −1 и 7. Мы из 3 вычли 4 — и это один ответ, а также к 3 мы прибавили 4 — и это второй ответ.

Решим неравенство : | a + 7 | <4.

Эту запись так: расстояние от точки до точки −7 меньше читрёх. Отмечаем на числовой прямой точки, удовлетворяющие этому условию:

Ответ в данном случае будет таким: (-11; -3).

Решим неравенство : | 10 — x | ≥ 7.

Расстояние от точки 10 до точки x больше или равно семи. Отметим эти точки на числовой прямой.

Ответ: (-; 3] [17, +)

График функции

График функции равенство y = | х |.

Для x 0 имеем y = x.

Для x <0 имеем y = −x. В результате получаем:

Этот график можно использовать при решении уравнений и неравенств.

Корень из квадрата

В контрольной или задаче ЕГЭ может встретиться задач, которую просят вычислить √a ² , где a — некоторое число или выражение.

При этом, √a ² = | a |.

По определению арифметического квадратного корня √a ² — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен a ² .

Оно равно a, при а 0 и -а, при а <0, т. е. как раз | а |.

Модуль комплексного числа

У нас есть комплексное число, которое выглядит следующим образом: z = x + i · y , где x и y представляют собой действительную и мнимую часть комплексного числа z (и являются действительными), а i — мнимая единица и равна √-1

Чему равенство модуля числа в данном случае? Это арифметический квадратный корень из суммы квадратов действительной и мнимой части комплексного числа:

Свойства модуля комплексных чисел Область определения: вся комплексная плоскость. Диапазон значений: [0; + ∞). Модуль как комплексная функция не дифференцируется ни в одной точке, так как условия Коши-Римана не выполнены.

Модуль рационального числа

Как найти рационального числа — это расстояние от начала отсчёта до точки координатной прямой, которая соответствует этому числу.

Модуль рационального числа, примеры:

| -3,5 | = 3,5

| 0 | = 0

Модуль вещественных чисел

• Область определения: (−∞; + ∞).
• Диапазон значений: [0; + ∞).
• Функция чётная.
• Функция дифференцируется везде, кроме нуля. В точке x = 0 функция претерпевает излом.

Модуль противоположного числа, нуля, отрицательного и положительного чисел

Исходя из свойств модуля, которые мы рассмотрели выше, получаем:

• Противоположные числа равные модули, то есть | = | а | = а.
  . Посмотреть две относительно координатной прямой, то точки, у которых координаты — это противоположные числа, располагаются на одном расстоянии от начала отсчета.То есть модули противоположных чисел одинаковы.
• Модуль нуля равен нулю.
  | 0 | = 0, если a = 0
• Для положительного числа модуль самого сравнения, а для отрицательного — противоположному количеству.
  | а | = — а
  | −a | =

Приходите заниматься нескучной математикой в ​​детскую онлайн-школу Skysmart. Поможем ребенку разобраться в сложной теме, подготовиться к контрольной, подтянуть оценки и почувствовать себя увереннее на математике в школе.

Запишите своего ребенка на бесплатный пробный урок и начните заниматься уже завтра.

Уравнения с модулем. Исчерпывающий гид (ЕГЭ — 2021)

P.S. Последний бесценный совет!

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут. Почему? Потому что только 5% людей могут освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем большинство твоих сверстников. Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ и поступления в ВУЗ мечты на бюджет и, самое главное, для жизни. Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь… Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше , чем те, кто его не получил.

Это статистика. Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы сдать наверняка ЕГЭ, поступить в ВУЗ мечты и быть в итоге… более счастливым? Две вещи.

Первое, тебе нужно набить руку, решающие задачи

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию. Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), Ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверрать. «Понял» и «Умею решать» — это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Второе, заниматься по системе — иначе у тебя уйдет много времени и ты, что-нибудь пропустишь.

И сейчас будет честная реклама наших курсов подготовки к ЕГЭ, потому что они решают обе эти проблемы.

Тебе же понятен этот учебник? Так вот наши курсы такие же понятные как этот учебник.

Их подготовил и ведет автор этого учебника Алексей Шевчук.

Он буквально разжевывает все на вебинарах. Вы решаете задачи. Много задач. У вас будет проверка домашки и марафон «Год за месяц» в мае, чтобы «упаковать» ваши знания и улучшить результат на 20-30%.

Курсы очень бюджетные: от 2000 до 3990 тыс / мес за 12 двухчасовых занятий с Алексеем.

Кликайте по этим кнопкам и читайте условия, там все очень подробно описано:

6. 2.4. Модуль числа

Модулем числа а (записывают | a | ) называют расстояние от начала отсчета до точки, установленной данным а .

Значение модуля любого числа неотрицательно. | 3 | = 3; | -3 | = 3, т.к. Расстояние от начала отсчета и до числа -3, и до числа 3 равно трем единичным отрезкам.Противоположные числа имеют равные модули. Модуль нуля равен нулю: | 0 | = 0 .

По определению модуля числа: | a | = a , если a≥0 и | a | = -a , если а <0 . Читают: модуль неотрицательного числа равенства самому этому количеству; модуль отрицательного числа равен противоположному числу.

Примеры.

1. Вычислить: а) | 5 | -2; б) | -12 | : 6; в) | -24 | + | 13 |; г) | 65 | — | -45 |.

Решение. а) | 5 | -2 = 5-2 = 3;

б) | -12 | : 6 = 12: 6 = 2;

в) | -24 | + | 13 | = 24 + 13 = 37;

г) | 65 | — | -45 | = 65-45 = 20.

2. Решить уравнение: а) | m | + 4 = 10; б) 6- | x | = 2.

Решение.

а) | м | + 4 = 10;

| м | = 10-4; из суммы вычли известное слагаемое;

| м | = 6. Так как | -6 | = 6 и | 6 | = 6, то m = -6 или m = 6.

Ответ: -6; 6.

б) 6- | x | = 2.

| х | = 6-2;

| x | = 4, отсюда х = -4 или х = 4.

Ответ: -4; 4.

3. Записать перечислением элементов множества целых чисел А , модуль которых меньше числа 5.

Решение. По определению модуля числа 5 искомые числа должны отстоять от начала отсчета как вправо, так и влево на расстояние, меньшее пяти единичных отрезков. В этом промежутке (показан штриховкой на рисунке) бесконечно много чисел, но нам нужно выбрать из них лишь все целые числа. Берем числа: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4. Числа -5 и 5 не подходят по условию.

Ответ: множество А = {- 4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}.

4. Записать перечисление множества натуральных чисел В , модуль которых меньше числа 5.

Решение. Из всех чисел, показанных на рисунке штриховкой, нам нужно выбрать натуральные, т.е. только те числа, которые употребляются при счетах. Ответ: B = {1, 2, 3, 4}.

Модуль числа. Абсолютная величина | Математика

Модуль числа обозначается вертикальными чертами, между двумя соответствующими числами:

| -7 | — модуль числа -7 .

Модуль числа — это абсолютная величина числа. Абсолютная величина — это неотрицательное число, удовлетворяющее условия:

| x | = x , если x & ges; 0;

| x | = — x , если x <0.

Следовательно, модуль числа — это положительное число или нуль .

Модуль на координатной прямой

Модуль числа — это расстояние от начальной точки до положения точки на координате прямой. Рассмотрим координатную прямую с точками A и B :

Точка A соответствует -5 , которое находится в пяти единичных отрезках от начальной точки, то есть длина отрезка AO равна 5.Так как модуль расстоянию от начала до координат точки, то модуль числа -5 равенство 5, это можно записать так:

| -5 | = 5.

Точка B соответствует 4,5 , значит длина отрезка OB равна 4,5. Следовательно, модуль числа 4,5 равен 4,5:

| 4,5 | = 4,5.

Точка O соответствует 0 и является начальной точкой, следовательно, модулем нуля будет нуль:

| 0 | = 0.

Следует иметь ввиду, что чем дальше от нуля точка, изображающая данное число, тем больше модуля этого числа.

Свойства абсолютной величины

Абсолютной величиной нуля является числом нуль.

Пример:

| +0 | = | -0 | = 0.

Модулем положительного числа называется само это число.

Пример:

| +2 | = 2; | +35 | = 35 и т.д.

Модулем отрицательного числа называется противоположное ему сравнение.

Пример:

| -10 | = 10,

потому что — (- 10) = 10.

Модули противоположных чисел равны.

Пример:

| +7 | = | -7 | = 7, | -5 | = | +5 | = 5.

Чему равенство модуль х 2. Как решать уравнения с модулем: основные правила

Инструкция

Если модуль представлен в виде непрерывной функции, то значение ее аргумента может быть как положительным, так и отрицательным: | х | = х, х ≥ 0; | х | = — х, х

Модуль нулю, а модуль любого положительного числа — ему.Если аргумент отрицательный, то после раскрытия скобок его знак меняется с минуса на плюс. На основании этого вытекает вывод, что модули противоположных равны: | -х | = | х | = х.

Модуль комплексного числа находится по формуле: | a | = √b ² + c ², а | a + b | ≤ | а | + | Ь |. Если в аргументе присутствует в виде множителя положительное число, то его можно вынести за знак скобки, например: | 4 * b | = 4 * | Ь |.

Если представлен представлен в виде сложного числа, то для удобства вычислений используется порядок выражения заключенного в прямоугольные скобки: | 2-3 | = | 3-2 | = 3-2 = 1, поскольку (2-3) меньше нуля.

Возведенный в степени аргумент одновременно находится под знаком корня того же порядка — он решается при помощи: √a² = | a | = ± а.

Если перед вами задача, в которой не указано условие раскрытия скобок модуля, это и будет конечный результат. А если требуется их раскрыть, то необходимо указать знак ±. Например, нужно найти значение выражения √ (2 * (4-b)) ². Его решение выглядит следующим образом: √ (2 * (4-b)) ² = | 2 * (4-b) | = 2 * | 4-б |. Знак выражения 4-b неизвестен, то его нужно оставить в скобках.Если добавить дополнительное условие, например, | 4-b | >

Модуль нуля равен нулю, а модуль любого положительного числа — ему самому. Если аргумент отрицательный, то после раскрытия скобок его знак меняется с минуса на плюс. На основании этого вытекает вывод, что модули противоположных чисел равны: | -х | = | х | = х.

Модуль комплексного числа находится по формуле: | a | = √b ² + c ², а | a + b | ≤ | а | + | Ь |. Если в аргументе присутствует в виде множителя целое положительное число, то его можно вынести за знак скобки, например: | 4 * b | = 4 * | Ь |.

Отрицательный модуль быть не может, поэтому любое отрицательное число преобразуется в положительное: | -x | = х, | -2 | = 2, | -1/7 | = 1/7, | -2,5 | = 2,5.

Если представлен представлен в виде сложного числа, то для удобства внесения изменения порядка элементов выражения, заключенного в прямоугольные скобки: | 2-3 | = | 3-2 | = 3-2 = 1, поскольку (2-3) меньше нуля.

Если перед вами задача, в которой не указано условие раскрытия скобок модуля, это будет избавляться от них не нужно — это и будет конечный результат.А если требуется их раскрыть, то необходимо указать знак ±. Например, нужно найти значение выражения √ (2 * (4-b)) ². Его решение выглядит следующим образом: √ (2 * (4-b)) ² = | 2 * (4-b) | = 2 * | 4-б |. Знак выражения 4-b неизвестен, то его нужно оставить в скобках. Если добавить дополнительное условие, например, | 4-b | > 0, то в итоге получится 2 * | 4-b | = 2 * (4 — б). В качестве неизвестного элемента также может быть задано конкретное число, которое следует принимать во внимание, т.к. оно будет влиять на знак выражения.

Соблюдение конфиденциальности важной для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая используется, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации личности либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы собираем различную информацию, включая имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как аудит, анализ данных и различные исследования в целях улучшения услуг, предоставляемых и предоставляемых Вам относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае необходимости — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и / или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию.Мы также можем раскрывать информацию о вас, если такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или в общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую персональную информацию соответствующему третьему лицу — правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая технические и физические средства защиты вашей персональной информации от утратов, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменений и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того, чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы конфиденциальности и безопасности наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

А вычисляется в соответствии с такими правилами:

Для краткости записи применяют | а | . Так, | 10 | = 10; — 1/3 = | 1/3 |; | -100 | = 100 и т.д.

Всякой величине х соответствует достаточно точная величина | х |. И значит тождество у = | х | устанавливает у как некоторую функция аргумента х .

График эта функции представлен ниже.

Для x > 0 | х | = х , а для x х | = — х ; в связи с этой линией у = | х | при х > 0 совмещена с прямой у = х (биссектриса первого координатного угла), а при х у = -х (биссектриса второго угла).

Отдельные уравнения включает в себя неизвестные под знаком модуля .

Произвольные примеры таких действий — | х — 1 | = 2, | 6 — 2 х | = 3 х + 1 и т. д.

Решение условий устанавливается неизвестную под знаком модуля базируется на том, что если абсолютная величина неизвестного числа устанавливается положительному числу, то само это число х равняется или а, -а.

Например :, если | х | = 10, то или х = 10, или х = -10.

Рассмотрим решение различных соотношений .

Проанализируем решение уравнения | х — 1 | = 2.

Раскроем модуль тогда разность х — 1 может равняться или + 2, или — 2. Если х — 1 = 2, то х = 3; если же х — 1 = — 2, то х = — 1. Делаем подставновку и получаем, что оба эти значения удовлетворяют уравнению.

Ответ. Указанное уравнение имеет два корня: x 1 = 3, х 2 = — 1.

Проанализируем решение уравнения | 6-2 х | = 3 х + 1.

После раскрытия модуля получаем: или 6-2 х = 3 х + 1, или 6-2 х = — (3 х + 1).

В первом случае х = 1, а во втором х = — 7.

Проверка. При х = 1 | 6 — 2 х | = | 4 | = 4, 3 х + 1 = 4; от суда следует, х = 1 — корен ь данного уравнения .

При x = — 7 | 6 — 2 х | = | 20 | = 20, 3 х + 1 = — 20; так как 20 ≠ -20, то х = — 7 не является корнем данного уравнения.

Ответ. У уравнения единственный корень: х = 1.

Уравнения такого типа можно решать и графически .

Так решим, например , графически уравнение | х- 1 | = 2.

Первоначально выполним построение графика функции у = | х — 1 |. Первым начертим график функции у = х- 1:

Ту часть этого графика , которая расположена выше оси х менять не будем. Для нее х -1> 0 и потому | х -1 | = х -1.

Часть графика, которая находится под осью х , изобразим симметрично относительно этой оси. На этой части х — 1 х — 1 | = — ( х — 1).Образовавшаяся в результате линия (сплошная линия) и будет графиком функции у = | х —1 |.

Эта линия пересечется с прямой у = 2 в двух точках: M 1 с абсциссой -1 и М 2 с абсциссой 3. И, соответственно, у уравнения | х — 1 | = 2 будет два корня: х 1 = — 1, х 2 = 3.

Одна из самых сложных тем для учащихся — это решение, необходимое переменную под знаком модуля.Давайте разберемся для начала с чем же это связано? Почему, например, квадратные уравнения большинства детей самым сложным из модулей имеют столько проблем?

На мой взгляд, существуют сформулированные правила для решений с модулем. Так, решая квадратное уравнение, ученик точно знает, что ему нужно сначала применить формулу дискриминанта, а формулы корней квадратного уравнения. А что делать, если в уравнении встретился модуль? Постараемся четко описать план действий на случай, когда уравнение содержит неизвестную под знаком модуля.К каждому случаю приведем несколько примеров.

Но для начала вспомним определение модуля . Итак, модулем числа a называется само это число, если a неотрицательно и -а , если число a меньше нуля. Записать это можно так:

| а | = a, если a ≥ 0 и | a | = -a, если a

Говоря о геометрическом смысле модуля, следует помнить, что каждому действительному соответствует определенная точка на числовой оси — ее координата.Так вот, модулем или абсолютной величиной числа называется расстояние от этой точки до начала отсчета числовой оси. Расстояние всегда задается положительным числом. Таким образом, модуль любого отрицательного числа есть число положительное. Кстати, даже на этом этапе многие ученики начинают путаться. В модуле может стоять любое число, а вот результат применения модуля всегда число положительное.

Теперь перейдем непосредственно к решению.

1. Рассмотрим уравнение вида | x | = с, где с — действительное число.Это уравнение можно решить с помощью определения модуля.

Все действительные числа разобьем на три группы: те, что больше нуля, те, что меньше нуля, и третья группа — это число 0. Запишем решение в виде схемы:

{± c, если с> 0

Если | x | = c, то x = {0, если с = 0

{нет корней, если с

1) | x | = 5, т.к. 5> 0, то есть x = ± 5;

2) | x | = -5, т.к. -5

3) | x | = 0, то x = 0.

2. Уравнение вида | f (x) | = b, где b> 0.Для решения данного уравнения необходимо избавиться от модуля. Делаем это так: f (x) = b или f (x) = -b. Теперь необходимо решить отдельно каждое из полученных соотношений. Если в исходном уравнении b

1) | x + 2 | = 4, т. к. 4> 0, то есть

х + 2 = 4 или х + 2 = -4

2) | x 2 — 5 | = 11, т.к. 11> 0, то есть

x 2 — 5 = 11 или x 2 — 5 = -11

х 2 = 16 х 2 = -6

x = ± 4 нет корней

3) | x 2 — 5x | = -8, т.к. -8

3. Уравнение вида | f (x) | = g (x). По смыслу модуля такое уравнение будет иметь решения, если его правая часть больше или равна нулю, т.е. g (x) ≥ 0. Тогда будем иметь:

f (x) = g (x) или f (x) = -g (x) .

1) | 2x — 1 | = 5x — 10. Данное уравнение будет иметь корни, если 5x — 10 ≥ 0. Именно с этого и начинают решение таких уравнений.

1. О.Д.З. 5x — 10 ≥ 0

2. Решение:

2x — 1 = 5x — 10 или 2x — 1 = — (5x — 10)

3.Объединяем О.Д.З. и решение, получаем:

Корень x = 11/7 не подходит по О.Д.З., он меньше 2, а x = 3 этому условию удовлетворяет.

Ответ: x = 3

2) | x — 1 | = 1 — х 2.

1. О.Д.З. 1 — x 2 ≥ 0. Решим методом интервалов данное неравенство:

(1 — х) (1 + х) ≥ 0

2. Решение:

х — 1 = 1 — х 2 или х — 1 = — (1 — х 2)

х 2 + х — 2 = 0 х 2 — х = 0

х = -2 или х = 1 х = 0 или х = 1

3.Объединяем решение и О.Д.З .:

Подходят только корни x = 1 и x = 0.

Ответ: x = 0, x = 1.

4. Уравнение вида | f (x) | = | g (x) |. Такое уравнение равносильно двум следующим уравнениям f (x) = g (x) или f (x) = -g (x).

1) | x 2 — 5x + 7 | = | 2x — 5 |. Данное уравнение равносильно двум следующим:

x 2 — 5x + 7 = 2x — 5 или x 2 — 5x +7 = -2x + 5

x 2 — 7x + 12 = 0 x 2 — 3x + 2 = 0

х = 3 или х = 4 х = 2 или х = 1

Ответ: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Уравнения, решаемые методом подстановки (замены). Данный метод решения проще всего объяснить на конкретном примере. Так, пусть дано квадратное уравнение с модулем:

x 2 — 6 | x | + 5 = 0. По свойству модуля x 2 = | x | 2, поэтому уравнение можно переписать так:

| x | 2 — 6 | x | + 5 = 0. Сделаем замену | x | = t ≥ 0, тогда будем иметь:

t 2 — 6t + 5 = 0. Решая данное уравнение, получаем, что t = 1 или t = 5. Вернемся к замене:

| x | = 1 или | x | = 5

х = ± 1 х = ± 5

Ответ: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Рассмотрим еще один пример:

х 2 + | х | — 2 = 0. По свойству модуля x 2 = | x | 2, поэтому

| x | 2 + | x | — 2 = 0. Сделаем замену | x | = t ≥ 0, тогда:

t 2 + t — 2 = 0. Решая данное уравнение, получаем, t = -2 или t = 1. Вернемся к замене:

| x | = -2 или | x | = 1

Нет корней x = ± 1

Ответ: x = -1, x = 1.

6. Еще один вид уравнений — уравнения со «сложным» модулем. К таким системам уравнения, в которых есть «модули в модуле».Уравнения данного вида можно решать, применяя свойства модуля.

1) | 3 — | x || = 4. Будем действовать так же, как и в уравнениях второго типа. Т.к. 4> 0, то получим два уравнения:

3 — | x | = 4 или 3 — | x | = -4.

Теперь выразим в каждом уравнении модуль х, тогда | x | = -1 или | x | = 7.

Решаем каждое из полученных формул. В первом уравнении нет корней, т.к. -1

Ответ x = -7, x = 7.

2) | 3 + | x + 1 || = 5. Решаем это уравнение аналогичным образом:

3 + | x + 1 | = 5 или 3 + | x + 1 | = -5

| x + 1 | = 2 | x + 1 | = -8

х + 1 = 2 или х + 1 = -2.Нет корней.

Ответ: x = -3, x = 1.

Существует еще и универсальный метод решения уравнений с модулем. Это метод интервалов. Но мы его рассмотрим в дальнейшем.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Модуль числа легко найти, и теория, которая лежит в его основе, важна при решении задач.

Свойства и правила раскрытия полезны при решении задач на экзаменах, будут использоваться школьникам и студентам.Заработай деньги с помощью своих знаний на https://teachs.ru!

Что такое модуль в математике

Модуль числа числовой линии от нуля до точки без учета того, в каком направлении от нуля лежит точка. Математическое обозначение : | x |.

Иными словами, это абсолютная величина числа. Определение доказывает, что значение никогда не бывает отрицательным.

Свойства модуля

Важно помнить о следующих свойствах:

Модуль комплексного числа

Абсолютной величиной комплексного числа называют длину направленного отрезка, проведенного от начала комплексной плоскости до точки (a, b).

Этот направленный отрезок также является вектором, представляющим комплексное число a + bi , поэтому абсолютная величина комплексного числа — это то же самое, что и величина (или длина) вектора, представляющего a + bi .

Как решать уравнения с модулем

Уравнение с модулем — это равенство, содержащее выражение абсолютного значения. Если для действительного числа оно представляет его расстояние от начала координат на числовой линии, то неравенства с модулем представляют собой типом неравенств, которые состоят из абсолютных значений.

Уравнения типа | x | =

Уравнение | x | = a имеет два ответа x = a и x = –a , потому что оба они находятся на координатной прямой на расстоянии a от 0.

Равенство с абсолютной величиной не имеет решения, если величина отрицательная.

Если | x |

Уравнения типа | x | = | y |

Когда есть абсолютные значения по обе стороны, нужно рассмотреть две возможности для приемлемых определений — положительные и отрицательные выражения.

Например, для равенства | x — a | = | x + b | есть два варианта: (x — a) = — (x + b) или (x — a) = (x + b).

Уравнения типа | x | = y

Уравнения такого вида содержат абсолютную форму выражения слева от нуля, а справа — еще одну неизвестную. Переменная y может быть как больше, так и меньше нуля.

Для получения ответа из нескольких соотношений, в которой нужно убедиться, что y — неотрицательная величина:

Решение неравенств с модулем

Чтобы лучше понять, как раскрыть модуль в разных типах равенств и неравенств, нужно проанализировать примеры.

Уравнения вида | x | =

Пример 1 (алгебра 6 класс). Решить: | x | + 2 = 4.

Решение.

Такие уравнения решаются так же, как и равны без абсолютных значений. Это означает, что, перемещенная неизвестные влево, а константы — вправо, выражение не меняется.

После перемещения константы вправо получено: | x | = 2 .

неизвестные связаны с абсолютным значением, это равенство имеет два ответа: 2 и −2 .

Ответ: 2 и −2 .

Пример 2 (алгебра 7 класс). Решить неравенство | x + 2 | ≥ 1.

Решение.

Первое, что нужно сделать, это найти точки, где абсолютное значение изменится. Для этого приравнивается к 0 . Получено: x = –2 .

Это означает, что –2 — поворотная точка.

Разделим интервал на 2 части:

1. для x + 2 ≥ 0

[-1; + ∞).

1. для х + 2

Общим ответом для этих двух неравенств является интервал (−∞; –3].

Окончательное решение — объединение ответов отдельных частей:

х ∈ (–∞; –3] ∪ [–1; + ∞).

Ответ: х ∈ (–∞; –3] ∪ [–1; + ∞) .

Уравнения вида | x | = | y |

Пример 1 (алгебра 8 класс).Решить уравнение с двумя модулями: 2 * | x ​​- 1 | + 3 = 9 — | х — 1 |.

Решение:

Ответ: х 1 = 3; х 2 = — 1.

Пример 2 (алгебра 8 класс). Решить неравенство:

Решение:

Уравнения вида | x | = y

Пример 1 (алгебра 10 класс). Найти x:

Решение:

Очень провести проверку правой части, иначе можно написать в ответ ошибочные корни.Из системы видно, что не лежит в промежутке.

Ответ: х = 0 .

Модуль суммы

Модуль разности

Абсолютная величина разности двух чисел x и y равна расстоянию между точками с координатами X и Y на координатной прямой.

Пример 1.

Пример 2.

Модуль отрицательного числа

Для нахождения абсолютного значения числа, которое меньше нуля, нужно, как далеко оно расположено от нуля.Результат всегда положительный (пройти «отрицательным» шагом), результат всегда положительный. То есть,

Проще говоря, абсолютная величина отрицательного числа имеет противоположное значение.

Модуль нуля

Известно свойство:

Вот почему нельзя сказать, что абсолютная величина — положительное число: ноль не является отрицательным, ни положительным.

Модуль в квадрате

Модуль в квадрате всегда равенство выражению в квадрате:

Примеры графиков с модулем

Часто в тестах и ​​на экзаменах встречаются задания, которые возможно решить, лишь проанализировав графики.Рассмотрим такие задания.

Пример 1.

Дана функция f (x) = | x |. Необходимо построить график от — 3 до 3 с шагом 1.

Решение:

Объяснение : из рисунка видно, что график симметричен относительно оси Y.

Пример 2 . Необходимо нарисовать и сравнить графики функций f (x) = | x – 2 | и g (x) = | x | –2.

Решение:

Объяснение: константа внутри абсолютной величины перемещает весь график вправо, если ее значение, и влево, если отрицательное.Постоянная снаружи будет передвигать график вверх, если значение положительное, и вниз, если оно отрицательное (как — 2 в функции г (x)) .

Координата вершины x (две точки, которые соединяются линии, вершина графа) — это число, на которое график сдвигается влево или вправо. А координата г — это значение, на которое график сдвигается вверх или вниз.

Строить такие графики можно с помощью онлайн приложений для построения.С их помощью можно наглядно посмотреть, как константы на функции.

Метод интервалов в задаче с модулем

Метод интервалов — один из лучших способов найти ответ в задаче с модулем, особенно если в их выражении.

Для использования метода нужно совершить следующие действия:

1. Приравнять каждое выражение к нулю.
2. Найти значения чис.
3. Нанести на числовую прямую точку, полученную в 2.
4. Определить на отрицательных знаках выражений (или положительное значение) и нарисовать символ — или + соответственно. Проще всего определить знак с помощью метода подстановки (подставив любое значение из промежутка).
5. Решить неравенства с полученными знаками.

Пример 1 . Решить методом интервалов.

Решение:

Решение решения с модулем (часть 1)

Уравнения с модулем с решениями (часть 1)

перейти к содержанию

Свойства модуля (справочник)

1.Найдите корни уравнения

Решение

Так как и для любого, то. Поэтому и уравнение принимает вид, откуда. Условию удовлетворяет только число.

Ответ:

2. Найдите сумму корней уравнения

Решение

www.itmathrepetitor.ru Раскроем модуль. Для этого рассмотрим первый случай:. Тогда. Корнями этого уравнения являются числа и. После проверки остается только.

Второй случай:. Тогда, откуда.Условию удовлетворяет только.

Сумма корней равна

Ответ:

3. Найдите корней уравнения .

Решение

Пусть, тогда, откуда или, то есть или. Первое уравнение имеет корни, второе уравнение корней не имеет, так как. Значит, произведение корней исходного уравнения равно.

Ответ:

4. Найдите сумму корней уравнения

Решение

www.itmathrepetitor.ru, что равносильно при условии. Корнями первого сравнения являются числа и корнями — числа и. Неравенству удовлетворяют только и. Значит, сумма корней исходного уравнения равна.

Ответ:

5. Найдите разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения

Решение

. Пусть, тогда и, то есть или. Первое уравнение корней не имеет, так как. Из второго следует, что. Сумма этих корней равна.

Ответ:

6.Найдите сумму корней уравнения

Решение

Уравнение равносильно совокупности, откуда Избавимся от знаменателя:.

Ответ:

7. Найдите сумму корней уравнения

Решение

www.itmathrepetitor.ru Уравнение равносильно совокупности, откуда. Сумма корней равна.

Ответ:

8. Решите уравнение

Решение

Нули модулей равны и. Рассмотрим три случая:.Для каждого из них модули раскрываются с определенным знаком.

Первый случай.

, то есть — любое число. С учетом ограничения случая,.

Второй случай.

. С учетом ограничения случая, корней нет.

Третий случай.

, то есть корней нет.

Ответ:

9. Найдите сумму корней уравнения

Решение

Нули модулей равны и. Рассмотрим три случая:. Для каждого из них модули раскрываются с определенным знаком.

Первый случай.

. Найденный корень удовлетворяет ограничению случая.

Второй случай.

. С учетом ограничения случая, корней нет.

Третий случай.

. Найденный корень удовлетворяет ограничению случая.

Сумма корней исходного уравнения равна.

Ответ:

10. Найдите корней уравнения

Решение

Уравнение равносильно совокупности, откуда.Произведение корней равно.

Ответ:

смотрите раздел «Математика»

Найти модуль с корнем

☰

Как известно, модуль числа — это его абсолютное значение, без учета знака. Модуль всегда неотрицателен. Это значит, что он может быть равен либо положительному, либо нулю.

Таким образом, если дается положительное число или ноль, то их модуль будет равен им самим. А вот для отрицательного числа, его модуль будет иметь противоположное значение, т. е. являться противоположным числом. Так

| –3 | = 3,
| –1 345 | = 1,345.

Если представить числовую прямую (координатную прямую), то можно сказать, что на том расстоянии, на котором от нуля находится отрицательное число в одной стороне, на том же расстоянии от нуля находится его модуль, но в другую сторону.

Однако как найти модуль числового выражения, если его вычислить проблематично. Например, в выражениях с корнями получаются иррациональные числа.Пусть требуется найти модуль √2-2. Понятно, что здесь получится отрицательное число, т. к. 2 определенно больше √2. Следовательно, модулем этого выражения будет противоположное число. Но каково оно?

Чтобы получить противоположное число, надо умножить его на –1. Обычно просто приписывают к нему знак минуса. Если число отрицательное, то минус на минус дает плюс, и в результате получается положительное. Например, для –5 противоположное — (- 5) = 5. Поэтому, когда берется модуль отрицательного числа, то можно не просто писать | –1,2 | = | 1,2 |, а расписывать действие подробно:

| –1,2 | = — (- 1,2) = 1,2

Сделаем то же самое по отношению к выражению √2 — 2, коли мы уже знаем, что это отрицательное число:

| √2 — 2 | = — (√2 — 2) = –√2 + 2 = 2 — √2

Таким образом, вычисление модуля выражения с корнем следует придерживаться алгоритма:

1. Определить, является ли число положительным или отрицательным.
2. Если число положительное или 0, то его модуль будет равен ему самому.
3. Если число отрицательное, то умножить его на –1, после чего преобразовать выражение к удобному виду.

Теперь обратим на следующее внимание. Выше было сказано, что модуль отрицательного числа отстоит от точки отсчета (нуля) на таком же расстоянии (но в другую сторону), как и само это число. Не выглядят такими уж уникальными представлениями.Трудно сказать, действительно ли √2 — 2 отстоит от нуля на таком же расстоянии как 2 — √2.

Однако это так. Если записать отрицательное число с корнем как –2 + √2, то понятно, что мы получаем число, которое больше –2, т. е. находится от –2 ближе к нулю на √2. Модуль же числа равен 2 — √2. Это число, которое меньше 2 на √2. То есть тоже находится от 2 ближе к нулю на √2.

.