Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Определение
- Однородное дифференциальное уравнение первого порядка
- – это уравнение вида
, где f – функция.
Как определить однородное дифференциальное уравнение
Для того, чтобы определить, является ли дифференциальное уравнение первого порядка однородным, нужно ввести постоянную t и заменить y на ty и x на tx: y → ty, x → tx. Если t сократится, то это однородное дифференциальное уравнение. Производная y′ при таком преобразовании не меняется.
.
Пример
Определить, является ли данное уравнение однородным
Решение
Делаем замену y → ty, x → tx.
Делим на t 2.
.
Уравнение не содержит t. Следовательно, это однородное уравнение.
Метод решения однородного дифференциального уравнения
Однородное дифференциальное уравнение первого порядка приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки y = ux. Покажем это. Рассмотрим уравнение:
(i)
Делаем подстановку:
y = ux,
где u — функция от x. Дифференцируем по x:
y′ = (ux)′ = u′ x + u (x)′ = u′ x + u
Подставляем в исходное уравнение (i).
,
,
(ii) .
Разделяем переменные. Умножаем на dx и делим на x ( f(u) – u ).
При f(u) – u ≠ 0 и x ≠ 0 получаем:
Интегрируем:
Таким образом, мы получили общий интеграл уравнения (i) в квадратурах:
Заменим постоянную интегрирования C на ln C, тогда
Опустим знак модуля, поскольку нужный знак определяется выбором знака постоянной C. Тогда общий интеграл примет вид:
Далее следует рассмотреть случай f(u) – u = 0.
Если это уравнение имеет корни, то они являются решением уравнения (ii). Поскольку уравнение (ii) не совпадает с исходным уравнением, то следует убедиться, что дополнительные решения удовлетворяют исходному уравнению (i).
Всякий раз, когда мы, в процессе преобразований, делим какое либо уравнение на некоторую функцию, которую обозначим как g(x, y), то дальнейшие преобразования справедливы при g(x, y) ≠ 0. Поэтому следует отдельно рассматривать случай g(x, y) = 0.
Пример решения однородного дифференциального уравнения первого порядка
Решить уравнение
.
Решение
Проверим, является ли данное уравнение однородным. Делаем замену y → ty, x → tx. При этом y′ → y′.
,
,
.
Сокращаем на t.
Постоянная t сократилась. Поэтому уравнение является однородным.
Делаем подстановку y = ux, где u – функция от x.
y′ = (ux)′ = u′ x + u (x)′ = u′ x + u
Подставляем в исходное уравнение.
,
,
,
.
При x ≥ 0, |x| = x. При x ≤ 0, |x| = – x. Мы пишем |x| = ± x подразумевая, что верхний знак относится к значениям x ≥ 0, а нижний – к значениям x ≤ 0.
,
Умножаем на ± dx и делим на .
При u2 – 1 ≠ 0 имеем:
Интегрируем:
Интегралы табличные,
.
Применим формулу:
(a + b)(a – b) = a 2 – b 2.
Положим a = u, .
.
Возьмем обе части по модулю и логарифмируем,
.
Отсюда
.
Таким образом имеем:
,
.
Опускаем знак модуля, поскольку нужный знак обеспечивается выбором знака постоянной C.
Умножаем на x и подставляем ux = y.
,
.
Возводим в квадрат.
,
,
.
Теперь рассмотрим случай, u2 – 1 = 0.
Корни этого уравнения
.
Легко убедиться, что функции y = ± x удовлетворяют исходному уравнению.
Ответ
,
,
.
Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: Изменено:
1cov-edu.ru
3. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Понятие однородного дифференциального уравнения первого порядка связано с однородными функциями.
Определение 1.Функция f(X,y) называется однородной функцией n-ого измерения (n-ой степени) относительно переменных X и y,если при любом t справедливо тождество
| (3.1) |
. Например, функция 
—
однородная функция первого измерения,
так как
;
;
— однородная функция нулевого измерения,
так как
,
т.е.
.
Определение 2.Дифференциальное уравнение первого порядкаy‘ = f(x,y) называется однородным, если функцияf(x,y) есть однородная функция нулевого измерения относительноx иy, или, как говорят,f(x,y) – однородная функция степени нуль.
Его можно представить в виде
P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0, | (3.2) |
где P(x,y) иQ(x,y) – однородные функции одинакового измерения: отношение двух однородных функций одного и того же измерения является однородной функцией нулевого измерения (см. третий из приведенных выше примеров).
Возможна следующая форма записи уравнения (3.2):
| (3.3) |
,что позволяет определить однородное уравнение как такое дифференциальное, которое можно преобразовать к виду (3.3).
Замена 
приводит однородное уравнение к
уравнению с разделяющимися переменными.
Действительно, после подстановкиу
= xzполучим
,
Разделяя переменные и интегрируя,
найдем:
,
Пример 1.Решить уравнение .
Δ Полагаем у =
zx,
Подставляем
эти выраженияy иdyв данное уравнение:
или
Разделяем переменные:
и интегрируем:
,
Заменяя zна
,
получим
.
Пример 2. Найти общее решение
уравнения
Δ В данном уравнении P (x,y)
=x2-2y2,Q(x,y)
=2xy– однородные
функции второго измерения, следовательно,
данное уравнение является однородным.
Его можно представить в виде
и решать так же, как и представленное
выше. Но используем другую форму записи.
Положимy = zx,
откудаdy = zdx + xdz. Подставляя эти
выражения в исходное уравнение, будем
иметь
,
то есть
или
dx+2zxdz = 0.
Разделяем переменные, считая 
.
Интегрируем почленно это уравнение
,
откуда
то есть 
.
Возвращаясь к прежней функции
находим общее решение
Пример 3. Найти общее
решение уравнения
.
Δ
Цепочка преобразований: 
,y = zx,
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
. Лекция 8.
4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка Линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид
| (4.1) |
, где 
,
,c(x) –
непрерывные функции.
,
то уравнение (4.1) можно записать в
приведённом виде | (4.1a) |
Здесь 
– свободный член, называемый также
правой частью уравнения. В этом виде
будем рассматривать линейное уравнение
в дальнейшем.
Если 
0,
то уравнение (4.1а) называется линейным
неоднородным. Если же
0, то уравнение принимает вид
| (4.2) |
и называется линейным однородным.
Название уравнения (4.1а) объясняется
тем, что неизвестная функция y и её производная
входят в него линейно, т.е. в первой
степени.
В линейном однородном уравнении
переменные разделяются. Переписав его
в виде 
откуда
и интегрируя, получаем:
,т.е.
| (4.3) |
При делении на 
теряем решение
.
Однако оно может быть включено в найденное
семейство решений (4.3), если считать, чтоСможет принимать и значение 0.
Существует несколько методов решения уравнения (4.1а). Согласно методу Бернулли, решение ищется в виде произведения двух функций отх:
| (4.4) |
Одна из этих функций может быть выбрана произвольно, так как лишь произведение uv должно удовлетворять исходному уравнению, другая определяется на основании уравнения (4.1а).
Дифференцируя обе части равенства
(4.4), находим 
.
Подставляя полученное выражение
производной 
,
а также значениеу в уравнение (4.1а), получаем
,
или
| (4.5) |
.Так как одну из неизвестных функций можем выбрать произвольно, выберем функцию u так, чтобы
| (4.6) |
,т.е. в качестве функции vвозьмём решение однородного линейного уравнения (4.6):
| (4.3а) |
.Ввиду произвольности в выборе v,мы можем не учитывать произвольную постояннуюС (точнее – можем приравнять её нулю). Подставляя найденное значениеv(x) в уравнение (4.5), получим, учитывая (4.6):
| (4.7) |
,откуда
| (4.8) |
(Здесь Cписать обязательно, иначе получится не общее, а частное решение).
Таким образом, видим, что в результате используемой подстановки (4.4) уравнение (4.1а) сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными (4.6) и (4.7).
Подставляя 
иv(x) в
формулу (4.4), окончательно получаем
,
или
| (4.9) |
. Пример 1.Найти общее решение
уравнения
Положим 
,
тогда
.
Подставляя выражения
и
в
исходное уравнение, получим
или
(*)
Приравняем нулю коэффициент при 
:
Разделяя переменные в полученном
уравнении, имеем 
(произвольную постояннуюC не пишем), отсюдаv=x.
Найденное значениеvподставляем в уравнение (*):
,
,
.
Следовательно, 
общее
решение исходного уравнения.
Отметим, что уравнение (*) можно было записать в эквивалентном виде:
.
Произвольно выбирая функцию u,
а неv, мы могли полагать
.
Этот путь решения отличается от
рассмотренного только заменойvнаu(и, следовательно,uнаv),
так что окончательное значениеуоказывается тем же самым.
На основании изложенного выше получаем алгоритм решения линейного дифференциального уравнения первого порядка.
Приводим рассматриваемое уравнение к виду
.Используя подстановку
,
находими
подставляем эти выражения в уравнение.Группируем члены уравнения, выносим одну из функций uилиvза скобки. Находим вторую функцию, приравняв выражение в скобках нулю и решив полученное уравнение.
Подставляем найденную функцию в оставшееся выражение и находим вторую функцию.
Записываем общее решение, подставив выражения для найденных функций u иvв равенство
.Если требуется найти частное решение, то определяем Сиз начальных условий и подставляем в общее решение.
.
,
находим
и
подставляем эти выражения в уравнение.
.Отметим далее, что иногда уравнение первого порядка становится линейным, если усчитать независимой переменной, аx– зависимой, т.е. поменять ролиx иy. Это можно сделать при условии, чтоxиdxвходят в уравнение линейно.
Пример 2. Решить уравнение 
.
Однако если рассматривать xкак функцию оту, то, учитывая, что
,его
можно привести к виду
| (4.1 б) |
Заменив 
на
,получим
или
.
Разделив обе части последнего уравнения
на произведениеydy,
приведем его к виду
, или
.
(**)
Здесь P(y)=
,
.
Это линейное уравнение относительноx. Полагаем
,
.
Подставляя эти выражения в (**), получаем
или
.
Выберем vтак, чтобы
,
,
откуда
;
.
Далее имеем
,
,
.
Т.к. 
,
то приходим к общему решению данного
уравнения в виде
.
Отметим, что в уравнение (4.1а) P(x) иQ (x) могут входить не только в виде функций от x, но и констант:P=a,Q=b. Линейное уравнение
| (4.10) |
можно решать и с помощью подстановки y=uv и разделением переменных:
;
.
Отсюда 
;
;
;
где
.
Освобождаясь от логарифма, получаем
общее решение уравнения
(здесь
).
При b=0 приходим к решению уравнения
| (4.10а) |
в виде
| (4.11) |
(см. уравнение показательного роста
(2.4) при 
).
Применим далее для интегрирования неоднородного линейного уравнения (4.1а) метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).
Сначала интегрируем соответствующее однородное уравнение (4.2). Как указано выше, его решение имеет вид (4.3). Будем считать сомножитель Св (4.3) функцией отх, т.е. по существу делаем замену переменной
| (4.3а) |
, где C(x)-новая
неизвестная функцияx.
Подставляя производную
в исходное неоднородное уравнение
(4.1а), получим:
,
или
| (4.12) |
,откуда, интегрируя, находим
| (4.13) |
dx+C1,где С1-постоянная. Следовательно,
| (4.14) |
.Отметим, что согласно (4.14) (см. также (4.9)), общее решение неоднородного линейного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (4.3) и частного решения неоднородного уравнения, определяемого вторым слагаемым, входящим в (4.14) (и в (4.9)).
При решении конкретных уравнений следует повторять приведённые выше выкладки, а не использовать громоздкую формулу (4.14).
Применим метод Лагранжа к уравнению, рассмотренному в примере 1:
.
Интегрируем соответствующее однородное
уравнение 
.
Разделяя переменные, получаем 
и далее
.
Решение выражения формулойy = Cx. Решение исходного
уравнения ищем в видеy = C(x)x.
Подставив это выражение в заданное
уравнение, получим
;
;
,
.
Общее решение исходного уравнения имеет
вид
.
В заключение отметим, что к линейному уравнению приводится уравнение Бернулли
| (4.15) |
,
(
)которое можно записать в виде
| (4.15а) |
. Заменой 
оно приводится к линейному уравнению:
,
,
.
Уравнения Бернулли также решаются изложенными выше методами.
Пример 3. Найти общее
решения уравнения
.
Цепочка преобразований: 
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
studfile.net
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Легко можно убедиться в том, что дифференциальные уравнения
не являются уравнениями с разделяющимися переменными. Они являются однородными уравнениями.
Определение. Дифференциальное уравнение 
называетсяоднородным
дифференциальным уравнением первого
порядка, если 
– однородная функция нулевого измерения.
Дадим понятие однородной функции нулевого измерения.
Определение. Функция 
называетсяоднородной
функцией нулевого измерения, если при любом t
справедливо тождество 
Так, функции 
– однородные функции нулевого измерения,
т. к.
Чтобы проверить,
является ли д. у.1 однородным уравнением,
нужно в этом уравнении заменить 
Если после этогоt
всюду сократится и получится
первоначальное уравнение, то данное
уравнение – однородное.
Поэтому уравнение 
является однородным. Действительно,
сократив уравнение
на t,
получим исходное уравнение.
Решение однородного дифференциального уравнения первого порядка
Так как функция 
в правой части уравнения
является однородной функцией нулевого
измерения, то, по определению,
Положим в этом тождестве
получим 
т. е. однородная функция нулевого
измерения зависит только от отношения у/х. Д.у.1 в этом случае примет вид
Сделаем подстановку y/x=u,
т. е. 
где 
неизвестная функция.
Тогда 
Уравнение 
примет вид
или
или
– уравнение с разделяющимися переменными.
Интегрируя, находим 
Найдя отсюда
выражение u
как функции от x,
подставим его в равенство 
получим искомое общее решение однородного
д.у.1. Чаще
всего не уда-
ется найти явное
выражение функции 
Тогда после интегрирования следует
в левую часть
вместо u
подставить 
В результате получим общий интеграл
(т. е. общее решение в неявном виде).
Решим уравнения.
Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решаем уравнение
подстановкой 
Подставив 
в данное уравнение, получим
или 
Получили
дифференциальное уравнение с разделяющимися
переменными относительно вспомогательной
функции 
Упростим правую часть:
Умножив на 
,
получим уравнение с разделенными
переменными
Интегрируя, получим 
или 
или 
Потенцируем 
Подставив 
получим общий интеграл данного
дифференциального уравнения.
Проверка: 
или 
– искомое уравнение.
Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения
при начальных
условиях 
Убедимся, что
данное дифференциальное уравнение
является однородным. Подставим в
уравнение вместо 
соответственно
Получим
Разделив на t обе части уравнения, получим данное уравнение. Решаем уравнение подстановкой
Поставим 
в уравнение, получим
Сгруппируем
слагаемые с 
.
–это уравнение
с разделяющимися переменными. Разделив
обе части на
получим
–уравнение с разделенными переменными. Интегрируя левую и правую части уравнения, получим
Подставив 
получим общий интеграл данного
дифференциального уравнения:
Найдем частное
решение дифференциального уравнения,
удовлетворяющее данным начальным
условиям 
Подставим в формулу
общего интеграла 
отсюда 
и частный интеграл
studfile.net
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравение первого порядка 
называется однородным, если 
и
— однородные функции
одной и то же степени.
Функция 
называется однородной функцией k-й степени, если для любого t выполняется равенство
.
В частном случае, если однородная функция имеет нулевую степень, то выполняется равенство
Пример 1. Установить, являются ли однородными функции
1) 
;
2) 
;
Решение. Находим
Следовательно, —
однородная функция третьей степени.
Аналогично устанавливается, что 
—
однородная функция четвёртой степени:
Отношение двух однородных функций одинаковых степеней также есть однородная функция, но
нулевой степени. Пусть и
— однородные функции
k-й степени. Это означает, что 
, а
. Их отношение — некоторая функция
, так как 
.
Как решить однородное дифференциальное уравнение первого порядка?
Решение однородного дифференциального уравнения первого порядка сводится к решению дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
Для этого преобразуем уравнение к виду
или
, (1)
где 
—
однородная функция нулевой степени как отношение однородных функций одинаковых степеней. Это равенство справедливо при любом t.
В частности, если 
, то
, или
, т. е. функция
представлена в виде функции
от 
.
Обозначим это отношение через z, т. е. 
,
откуда 
. Тогда
и уравнение (1) преобразуется так:
Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные и выполнив почленное интегрирование,
затем следует заменить z на .
Пример 5. Решить однородное дифференциальное уравнение
Решение. Поделим почленно уравнение на dx и получим
или
.
Произведём подстановку 
,
откуда 
. Тогда уравнение примет вид
.
Путём дальнейших преобразований получаем 
Итак, 
или
.
Почленное интегрирование даёт
.
Заменяя z на ,
получим 
Чтобы избавиться от дробности, умножим обе части выражения на x в кубе и получим 
— общий интеграл данного уравнения.
Выводы. Чтобы решать однородные дифференциальные уравнения, необходимо хорошо владеть методами интегрирования — путём замены переменной и по частям. В практических задачах на этот вид дифференциальных уравнений нередко после преобразований получаются выражения, интегрируя которые, требуется применять как один, так и другой метод интегрирования дважды или даже трижды.
Всё по теме «Дифференциальные уравнения»
Поделиться с друзьями
function-x.ru
3. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Понятие однородного дифференциального уравнения первого порядка связано с однородными функциями.
Определение 1.Функция f(X,y) называется однородной функцией n-ого измерения (n-ой степени) относительно переменных X и y,если при любом t справедливо тождество
| (3.1) |
. Например, функция 
—
однородная функция первого измерения,
так как
;
— однородная функция третьего измерения
, так как
;
— однородная функция нулевого измерения,
так как
,
т.е.
.
Определение 2.Дифференциальное уравнение первого порядкаy‘ = f(x,y) называется однородным, если функцияf(x,y) есть однородная функция нулевого измерения относительноx иy, или, как говорят,f(x,y) – однородная функция степени нуль.
Его можно представить в виде
P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0, | (3.2) |
где P(x,y) иQ(x,y) – однородные функции одинакового измерения: отношение двух однородных функций одного и того же измерения является однородной функцией нулевого измерения (см. третий из приведенных выше примеров).
Возможна следующая форма записи уравнения (3.2):
| (3.3) |
,что позволяет определить однородное уравнение как такое дифференциальное, которое можно преобразовать к виду (3.3).
Замена 
приводит однородное уравнение к
уравнению с разделяющимися переменными.
Действительно, после подстановкиу
= xzполучим
,
Разделяя переменные и интегрируя,
найдем:
,
Пример 1.Решить уравнение .
Полагаем у = zx, 
Подставляем
эти выраженияy иdyв данное уравнение:
или
Разделяем переменные:
и интегрируем:
,
Заменяя zна
,
получим
.
Пример 2. Найти общее решение
уравнения
.
В данном уравнении P (x,y)
=x2-2y2,Q(x,y)
=2xy– однородные
функции второго измерения, следовательно,
данное уравнение является однородным.
Его можно представить в виде
и решать так же, как и представленное
выше. Но используем другую форму записи.
Положимy = zx,
откудаdy = zdx + xdz. Подставляя эти
выражения в исходное уравнение, будем
иметь
,
то есть
или
dx+2zxdz = 0.
Разделяем переменные, считая 
.
Интегрируем почленно это уравнение
,
откуда
то есть 
.
Возвращаясь к прежней функции
находим общее решение
Пример 3. Найти общее
решение уравнения
.
Цепочка преобразований: 
,y = zx,
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
.
Лекция 8.
4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка Линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид
| (4.1) |
, где 
,
,c(x) –
непрерывные функции.
Если
,
то уравнение (4.1) можно записать в
приведённом виде
| (4.1a) |
Здесь 
– свободный член, называемый также
правой частью уравнения. В этом виде
будем рассматривать линейное уравнение
в дальнейшем.
Если 
0,
то уравнение (4.1а) называется линейным
неоднородным. Если же
0, то уравнение принимает вид
| (4.2) |
и называется линейным однородным.
Название уравнения (4.1а) объясняется
тем, что неизвестная функция y и её производная
входят в него линейно, т.е. в первой
степени.
В линейном однородном уравнении
переменные разделяются. Переписав его
в виде 
откуда
и интегрируя, получаем:
,т.е.
| (4.3) |
При делении на 
теряем решение
.
Однако оно может быть включено в найденное
семейство решений (4.3), если считать, чтоСможет принимать и значение 0.
Существует несколько методов решения уравнения (4.1а). Согласно методу Бернулли, решение ищется в виде произведения двух функций отх:
| (4.4) |
Одна из этих функций может быть выбрана произвольно, так как лишь произведение uv должно удовлетворять исходному уравнению, другая определяется на основании уравнения (4.1а).
Дифференцируя обе части равенства
(4.4), находим 
.
Подставляя полученное выражение
производной 
,
а также значениеу в уравнение (4.1а), получаем
,
или
| (4.5) |
.Так как одну из неизвестных функций можем выбрать произвольно, выберем функцию u так, чтобы
| (4.6) |
,т.е. в качестве функции vвозьмём решение однородного линейного уравнения (4.6):
| (4.3а) |
.Ввиду произвольности в выборе v,мы можем не учитывать произвольную постояннуюС (точнее – можем приравнять её нулю). Подставляя найденное значениеv(x) в уравнение (4.5), получим, учитывая (4.6):
| (4.7) |
,откуда
| (4.8) |
(Здесь Cписать обязательно, иначе получится не общее, а частное решение).
Таким образом, видим, что в результате используемой подстановки (4.4) уравнение (4.1а) сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными (4.6) и (4.7).
Подставляя 
иv(x) в
формулу (4.4), окончательно получаем
,
или
| (4.9) |
. Пример 1.Найти общее решение
уравнения
Положим 
,
тогда
.
Подставляя выражения
и
в
исходное уравнение, получим
или
(*)
Приравняем нулю коэффициент при 
:
Разделяя переменные в полученном
уравнении, имеем 
(произвольную постояннуюC не пишем), отсюдаv=x.
Найденное значениеvподставляем в уравнение (*):
,
,
.
Следовательно, 
общее
решение исходного уравнения.
Отметим, что уравнение (*) можно было записать в эквивалентном виде:
.
Произвольно выбирая функцию u,
а неv, мы могли полагать
.
Этот путь решения отличается от
рассмотренного только заменойvнаu(и, следовательно,uнаv),
так что окончательное значениеуоказывается тем же самым.
На основании изложенного выше получаем алгоритм решения линейного дифференциального уравнения первого порядка.
Приводим рассматриваемое уравнение к виду
.Используя подстановку
,
находими
подставляем эти выражения в уравнение.Группируем члены уравнения, выносим одну из функций uилиvза скобки. Находим вторую функцию, приравняв выражение в скобках нулю и решив полученное уравнение.
Подставляем найденную функцию в оставшееся выражение и находим вторую функцию.
Записываем общее решение, подставив выражения для найденных функций u иvв равенство
.Если требуется найти частное решение, то определяем Сиз начальных условий и подставляем в общее решение.
.
,
находим
и
подставляем эти выражения в уравнение.
.Отметим далее, что иногда уравнение первого порядка становится линейным, если усчитать независимой переменной, аx– зависимой, т.е. поменять ролиx иy. Это можно сделать при условии, чтоxиdxвходят в уравнение линейно.
Пример 2. Решить уравнение 
.
Однако если рассматривать xкак функцию оту, то, учитывая, что
,его
можно привести к виду
| (4.1 б) |
Заменив 
на
,получим
или
.
Разделив обе части последнего уравнения
на произведениеydy,
приведем его к виду
, или
.
(**)
Здесь P(y)=
,
.
Это линейное уравнение относительноx. Полагаем
,
.
Подставляя эти выражения в (**), получаем
или
.
Выберем vтак, чтобы
,
,
откуда
;
.
Далее имеем
,
,
.
Т.к. 
,
то приходим к общему решению данного
уравнения в виде
.
Отметим, что в уравнение (4.1а) P(x) иQ (x) могут входить не только в виде функций от x, но и констант:P=a,Q=b. Линейное уравнение
| (4.10) |
можно решать и с помощью подстановки y=uv и разделением переменных:
;
.
Отсюда 
;
;
;
где
.
Освобождаясь от логарифма, получаем
общее решение уравнения
(здесь
).
При b=0 приходим к решению уравнения
| (4.10а) |
в виде
| (4.11) |
(см. уравнение показательного роста
(2.4) при 
).
Применим далее для интегрирования неоднородного линейного уравнения (4.1а) метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).
Сначала интегрируем соответствующее однородное уравнение (4.2). Как указано выше, его решение имеет вид (4.3). Будем считать сомножитель Св (4.3) функцией отх, т.е. по существу делаем замену переменной
| (4.3а) |
, где C(x)-новая
неизвестная функцияx.
Подставляя производную
в исходное неоднородное уравнение
(4.1а), получим:
,
или
| (4.12) |
,откуда, интегрируя, находим
| (4.13) |
dx+C1,где С1-постоянная. Следовательно,
| (4.14) |
.Отметим, что согласно (4.14) (см. также (4.9)), общее решение неоднородного линейного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (4.3) и частного решения неоднородного уравнения, определяемого вторым слагаемым, входящим в (4.14) (и в (4.9)).
При решении конкретных уравнений следует повторять приведённые выше выкладки, а не использовать громоздкую формулу (4.14).
Применим метод Лагранжа к уравнению, рассмотренному в примере 1:
.
Интегрируем соответствующее однородное
уравнение 
.
Разделяя переменные, получаем 
и далее
.
Решение выражения формулойy = Cx. Решение исходного
уравнения ищем в видеy = C(x)x.
Подставив это выражение в заданное
уравнение, получим
;
;
,
.
Общее решение исходного уравнения имеет
вид
.
В заключение отметим, что к линейному уравнению приводится уравнение Бернулли
| (4.15) |
,
(
)которое можно записать в виде
| (4.15а) |
. Заменой 
оно приводится к линейному уравнению:
,
,
.
Уравнения Бернулли также решаются изложенными выше методами.
Пример 3. Найти общее
решения уравнения
.
Цепочка преобразований: 
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
studfile.net
Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка
Функция f (x, y) называется однородной функцией k –ой степени однородности (k –го измерения), если для любого λ > 0 имеет место равенство:
f
(λx, λy) = λk f (x, y), где k
= const, 
.
Например:
функция f (x, y) = х2 + у2 – 3ху есть однородная функция 2-ой степени однородности.
Действительно,
2)
функция 
есть однородная функция нулевой
степени однородности.
Действительно,
Дифференциальное
уравнение 
называется однородным,
если входящие в него функции М (х,у) и N
(х,у) есть однородные функции одной и
той же степени однородности.
Заметим,
что однородное дифференциальное
уравнение может быть приведено к виду: 
(16)
С
помощью подстановки 
(откуда у = х t),
где t
= t
(х) – новая неизвестная функция от х,
однородное дифференциальное уравнение
всегда сводится к уравнению с разделяющимися
переменными по отношению к функции t.
Пример 4.
Найти общее решение дифференциального уравнения: хуу/ = у2 + 2х2 (17)
Решение:
разделив обе части дифференциального
уравнения (17) на х у (предполагая, что ху
≠ 0), имеем: 
или 
(18)
Последнее
уравнение имеет вид (16), а значит заданное
уравнение (17) есть однородное
дифференциальное уравнение. Положим 
,
откуда у =x
t(х) и у/ = (х t(х))/ = х/ t(х) + х t/(х) = 1 t(х) + х t/(х) = t
+ х t/.
В результате, после указанной подстановки в уравнение (18), получаем уравнение с разделяющимися переменными:
;
;
;
;
;
; 
;
.
Произведя
обратную подстановку 
,
находим общее решение заданного
уравнения: 
;
.
Самостоятельно убедитесь, что в процессе преобразований при делении на ху и не были потеряны никакие решения исходного уравнения.
Ответ: .
Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка
Линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение вида: А (х) у/ + В (х) у = С (х), (19)
Где: А (х), В (х) и С(х) – заданные функции.
Если А (х) ≠ 0, то разделив обе части уравнения (19) на А(х), получаем каноническую форму линейного дифференциального уравнения:
,
(20)
где: 
Если
в уравнении (20) Q
(x) 
0,
то оно принимает вид:
у/ + Р(х) у = 0 (21)
и
называется линейным
однородным дифференциальным уравнением,
если же Q
0,
то уравнение (20) называется линейным
неоднородным дифференциальным уравнением
studfile.net
Обобщенные однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Определение
- Обобщенное однородное дифференциальное уравнение первого порядка
- – это уравнение вида:
, где α ≠ 0, α ≠ 1, f – функция.
Как определить, является ли дифференциальное уравнение обобщенным однородным
Для того, чтобы определить, является ли дифференциальное уравнение обобщенным однородным, нужно ввести постоянную t и сделать замену:
y → t α· y, x → t·x.
Если удастся выбрать такое значение α, при котором постоянная t сократится, то это – обобщенное однородное дифференциальное уравнение. Изменение производной y′ при такой замене имеет вид:
.
Пример
Определить, является ли данное уравнение обобщенным однородным:
.
Решение
Делаем замену y → t α· y, x → t·x, y′ → t α–1 y′:
;
.
Разделим на t α+5:
;
.
Уравнение не будет содержать t, если
4α – 6 = 0, α = 3/2.
Поскольку при α = 3/2, t сократилось, то это обобщенное однородное уравнение.
Метод решения
Рассмотрим обобщенное однородное дифференциальное уравнение первого порядка:
(1) .
Покажем, что оно приводится к однородному уравнению с помощью подстановки:
t = x α.
Действительно,
.
Отсюда
; .
Подставляем в исходное уравнение (1):
;
.
Это – однородное уравнение. Оно решается подстановкой:
y = z · t,
где z – функция от t.
При решении задач, проще сразу применять подстановку:
y = z x α,
где z – функция от x.
Пример решения обобщенного однородного дифференциального уравнения первого порядка
Решить дифференциальное уравнение
(П.1) .
Решение
Проверим, является ли данное уравнение обобщенным однородным. Для этого в (П.1) делаем замену:
y → t α· y, x → t·x, y′ → t α–1 y′.
.
Разделим на t α:
.
t сократится, если положить α = –1. Значит – это обобщенное однородное уравнение.
Делаем подстановку:
y = z x α = z x –1,
где z – функция от x.
.
Подставляем в исходное уравнение (П.1):
(П.1) ;
;
.
Умножим на x и раскрываем скобки:
;
;
.
Разделяем переменные – умножим на dx и разделим на x z 2. При z ≠ 0 имеем:
.
Интегрируем, пользуясь таблицей интегралов:
;
;
;
.
Потенцируем:
.
Заменим постоянную e C → C и уберем знак модуля, поскольку выбор нужного знака определяется выбором знака постоянной С:
.
Возвращаемся к переменной y. Подставляем z = xy:
.
Делим на x:
(П.2) .
Когда мы делили на z2, мы предполагали, что z ≠ 0. Теперь рассмотрим решение z = xy = 0, или y = 0.
Поскольку при y = 0, левая часть выражения (П.2) не определена, то к полученному общему интегралу, добавим решение y = 0.
Ответ
;
.
Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: Изменено:
1cov-edu.ru