Числа фибоначчи (1) — Исследовательская работа

Управление образования администрации г. Новочебоксарск

МОУ «Основная общеобразовательная школа № 1 имени Бабакина Г.О.»

Исследовательская работа

Числа Фибоначчи

Выполнил: Андреев Денис ученик 8 «А» класса

Руководитель: Майорова А.А.

учитель математики и информатики

г. Новочебоксарск

2009

Содержание

Введение 3

1. Теоретическое обоснование темы 4

1. Определения последовательности чисел и спиралей 4

2. Виды спиралей 5

   1. Прямолинейные ломанные спирали 5

   2. Криволинейные спирали 7

3. Числа Фибоначчи 8

2. Практическая часть 8

2.1 Спираль Архимеда 8

2.2 Трёхмерная спираль 9

2.3. Числа Фибоначчи 10

3. Золотая спираль в природе 11

3.1 Золотой прямоугольник 13

3.2 Золотая спираль 14

4. Заключение 15

5. Литература 16

Приложение 1. Трёхмерная спираль 17

Приложение 2. Золотая спираль 18

Приложение 3. Примеры спиралей встречающихся

в природе и технике 19

Введение

Математика (греческое mathematike, от mathema – наука), наука, в которой изучаются пространственные формы и количественные отношения.

Математика включает в себя алгебру и геометрия. Раздел геометрии, в котором свойства геометрических образов (точек, линий, поверхностей) устанавливаются средствами алгебры, называется аналитической геометрией. Аналитической геометрией пользовался Ж. Лагранж при построении аналитической механики и Г. Монж в дифференциальной геометрии. В настоящее время аналитическая геометрия не имеет самостоятельного значения как наука, однако её методы широко применяются в различных разделах математики, механики, физики и других наук.

Объект исследования:

раздел математики – «Аналитическая геометрия».

Предмет исследования: числа Фибоначчи,

спирали,.

Цель исследования:

 изучить виды спиралей, возможность их построения с помощью числовой последовательности; э

кспериментальное получение спиралей.

Гипотеза исследования:

последовательности чисел можно применять для описания некоторых видов спиралей, что позволяет эффективно подготовиться к изучению понятия «Последовательности» и раздела математики «Аналитическая геометрия».

 В соответствии с поставленной целью и выдвинутой гипотезой были определены частные

задачи исследования:

1. Изучить литературу по данной теме.

2. Изобразить прямолинейные ломанные спирали на треугольной, шестиугольной и квадратной сетках.

3. Рассмотреть различные последовательности чисел, которые описывают самопересекающиеся и криволинейные спирали.

4. Провести эксперименты по получению спирали Архимеда, трёхмерной спирали.

5. Найти примеры спиралей, встречающихся в природе и жизни человека.

Методы исследования:

1. Теоретический – аксиоматический метод.

2. Эмпирический – эксперимент и сравнение.

1. Теоретическое обоснование темы

1.1. Определения последовательности чисел и спиралей

Числовая последовательность – это числовая функция f , заданная на множестве N натуральных чисел [1].

Например:

1) баллы, которыми учитель оценивает знания ученика, можно представить последовательностью из пяти чисел: 1, 2, 3, 4, 5;

2) средняя скорость приземного ветра (в м/с) в городе Ачинске с 22 по 29 января 2007 года, может быть представлена последовательностью из восьми чисел: 4, 3, 3, 6, 3, 6, 4, 3.

3) средняя скорость ветра (в м/с) по направлениям частей света (С, СВ, В, ЮВ, Ю, ЮЗ, З, СЗ) в городе Новочебоксарск, в июле месяце, можно представить последовательностью из восьми чисел: 2,8; 3; 3,3; 2,8; 3; 3,2; 3,3; 3,1;

4) если считать, что человек бессмертен, то его возраст от рождения можно представить числовой последовательностью: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, … .

Любые записанные подряд n чисел (среди которых могут быть и повторяющиеся) образуют числовую последовательность длины n. Ее обозначают а₁, а₂, …, а_n. Т.е. каждое число последовательностей снабжено номером, соответствующим тому месту, которое оно занимает в записи числовой последовательности. Число

а_k , записанное на k—м месте, называют k-м членом этой последовательности. Например, на 5-м месте, в примере 2, находится число 3, поэтому а₅ = 3. Число записанное на n-м месте, т.е. а_n, называют обычно общим членом последовательности.

Последовательность чисел занумерованных конечным отрезком (примеры 1, 2, 3) натуральных чисел называется конечной числовой последовательностью, а занумерованных в семи натуральными числами (пример 4) – бесконечной [1].

Бесконечная числовая последовательность считается заданной, если известно правило, по которому для любого n можно найти значение

n-го члена последовательности, т.е. если задан ее общий член.

Таким образом, задать последовательность – это значит задать некоторую функцию на множестве натуральных чисел.

Последовательности чисел можно описать с помощью спирали, например 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, … Каждое из этих чисел показывает расстояние, проходимое по линии квадратной, треугольной, шестиугольной сетки до очередного поворота; каждый поворот делается против хода часовой стрелки [4].

Спираль – это кривая, которая огибает некоторую центральную точку или ось, постепенно приближаясь или удаляясь от нее, в зависимости от направления обхода кривой [2].

Примеры спиралей, встречающихся в природе и жизни человека, даны в Приложении 4.

1.2. Виды спиралей

1.2.1. Прямолинейные ломанные спирали

Я записал периодически повторяющуюся числовую последовательность и решил изобразить их на тетрадном листе в клеточку.

П
ример 1. Числовая последовательность: 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 6, 5, 7, 6, 8 …

Вид спирали:

Другую конечную числовую последовательность я решил построить на треугольной сетке.

Пример 2. Числовая последовательность: 5, 3, 4, 2, 3, 1, 2.

Вид спирали:

Следующую числовую поверхность я изобразил на шестиугольной сетке.

Пример 3. Числовая последовательность: 1, 1, 4, 3, 4, 5, 6, 7, 6, 9, 8, …

В
ид спирали:

А что получится, если одну и ту же последовательность чисел изобразить на разных сетках.

П
ример 4. Я взял последовательность чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … и изобразил ее на прямоугольной, треугольной и шестиугольной сетках:

а) прямоугольная сетка

б) треугольная сетка

в
) шестиугольная сетка

Я определил сходство и различия построенных изображений:

— три спирали имеют одинаковую числовую последовательность;

— спирали на треугольной и шестиугольной сетках наклонены по отношению к спирали на прямоугольной сетке на 60⁰ против хода часовой стрелки;

— спираль на шестиугольной сетке не состоит из прямых линий, в отличие от спиралей на прямоугольной и треугольной сетках.

1.2.2. Криволинейные спирали

В
иды криволинейных спиралей [3]:

Один из способов начертить криволинейную спираль – использовать линии компаса или часового циферблата, откладывая от центра по соответствующим направлениям величины, например в миллиметрах [4]. Я использовал эти способы и определил вид полученных спиралей.

3. Числа Фибоначчи

Последовательность чисел Фибоначчи была открыта (на самом деле, повторно) Леонардо Фибоначчи де Пиза, математиком тринадцатого века. Когда Эллиотт описывал свою теорию, он, в частности, ссылался на последовательность Фибоначчи, как математическую основу Закона волн [9]. В последовательности Фибоначчи: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…, сумма любых чисел, расположенных рядом, дает следующее число.

Если рассмотреть сосновые шишки, цветки подсолнуха, колючки ананаса, то можно увидеть, что у них есть спирали идущие по часовой стрелке и против часовой стрелки. При этом количество спиралей будут соседними числами последовательности Фибоначчи. Например, у ананаса 8 и 13, у подсолнуха 21 и 34, у сосновой шишки 5 и 8.

Решетчатое расположение листьев, семян, лепестков и чешуек многих видов растений называется филлотаксисом. Это свойство я использовал на практике.

2. Практическая часть

2.1. Спираль Архимеда

Спираль Архимеда – это плоская кривая, описываемая точкой, равномерно движущейся по прямой, в то время как эта прямая равномерно вращается в плоскости вокруг одной из своих точек.

Наглядно представить спираль Архимеда можно следующим образом: представим, что по радиусу равномерно вращающегося диска с постоянной скоростью ползет муха. Траектория движения мухи будет спиралью Архимеда [5].

Для проведения эксперимента я взял цилиндр и закрепил его на листе бумаги, лежащем на столе. Намотал на этот цилиндр нить. На конце этой нити сделал петлю, вставил в нее карандаш и, натягивая нить, смотал ее с цилиндра. Конец карандаша на листе бумаги описал спираль.

Из проведённых экспериментов я выявил, что расстояние между витками зависит от диаметра, с которого сматывается или наматывается нить. Чем меньше диаметр, тем меньше расстояние между витками, а отношение диаметра цилиндра к расстоянию между витками  0,3:

№ спирали	Диаметр цилиндра, d (мм)	Расстояние между витками, h (мм)	Отношение d/h
1	12	43	0,28  0,3
2	22	83	0,27  0,3
3	42,5	142	0,299  0,3

Результаты эксперимента представлены в Приложении 1.

2.2. Трехмерная спираль

Трехмерную спираль я «сконструировал» следующим образом [6]. Вырезал из бумаги прямоугольный треугольник ( АВС). Взял круговой цилиндр и приклеим к его поверхности треугольник АВС по катету ВС так, чтобы этот катет совпадал с образующей цилиндрической поверхности. Затем обернул бумажным треугольником цилиндр, плотно прижимая бумагу к поверхности цилиндра; при этом гипотенуза АВ превратилась в трехмерную спираль. Возможны два варианта оборачивания треугольника вокруг цилиндра. Один вариант соответствует левой, а другой правой спирали.

Результаты эксперимента представлены в Приложении 1.

2.3. Числа Фибоначчи

Я сконструировал устройство для моделирования расположения листьев (семян, лепестков, чешуек) в растениях [8]. Для этого из плотного листа бумаги свернул трубу, на поверхность которой нанесена вертикальная градусная разметка. По спирали, как показано на рисунке, сделал отверстия, в которые вставил «листья».

На цилиндре из листа формата А4 с сеткой 1см  1 см я нашел три направления спиралей. Их количество 5, 8 и 13. Эти числа являются соседними числами Фибоначчи.

На цилиндре из листа формата А3 с сеткой 0,5 см  0,5 см я выявил также три направления спиралей. Их количество 13, 21 и 34. Эти числа опять же являются соседними числами Фибоначчи.

Результаты эксперимента представлены в Приложении 2.

3. Золотая пропорция в природе.

Просто удивительно, сколько постоянных можно вычислить пpи помощи последовательности Фибоначчи, и как ее члены проявляются в огромном количестве сочетаний. Однако не будет преувеличением сказать, что это не просто игра с числами, а самое важное математическое выражение природных явлений из всех когда-либо открытых. Приводимые ниже примеры показывают некоторые интересные приложения этой математической последовательности.

4. П
   рирода. Раковина закручена по спирали. Если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35. Спирали очень распространены в природе.

ОБ:ОА=ОВ:ОБ=ОГ:ОВ=…=1.618

(ОБ+ОГ)ОВ+ОА)=…=1.618

Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Паук плетет паутину спиралеобразно. Cпиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНK закручена двойной спиралью. Гете называл спираль «кривой жизни».

Cреди придорожных трав растет ничем не примечательное растение – цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок.

Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый – 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.

В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции – длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.

И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы – симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста.

Яйцо птицы

5. Человеческое тело.

Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа – важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела – длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.

Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского. Подверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружения различных эпох, растения, животные, птичьи яйца, музыкальные тона, стихотворные размеры. Цейзинг дал определение золотому сечению, показал, как оно выражается в отрезках прямой и в цифрах. Когда цифры, выражающие длины отрезков, были получены, Цейзинг увидел, что они составляют ряд Фибоначчи, который можно продолжать до бесконечности в одну и в другую сторону. Следующая его книга имела название «Золотое деление как основной морфологический закон в природе и искусстве». В 1876 г. в России была издана небольшая книжка, почти брошюра, с изложением этого труда Цейзинга.

Следует отметить, что, узнав о данных пропорциях человеческого тела, мне захотелось лично измерить некоторые из них на практике – большинство результатов совпало с представленными ниже.

3.1 Золотой прямоугольник.

Стороны золотого прямоугольника находятся в пропорции 1.618 к 1. Чтобы построить золотой прямоугольник, нужно начать с квадрата со сторонами в 2 единицы и провести линию от середины одной из его сторон к одному из углов у противоположной стороны.

Треугольник EDB — прямоугольный. Пифагор, около 550 г. до н. э., доказал, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов. В этом случае, следовательно, X2 = 22 + 12, или X2 = 5. Длина гипотенузы ЕВ тогда равна корню квадратному из 5. Следующий шаг в построении золотого прямоугольника заключается в продолжении линии CD до точки G так, чтобы EG равнялась корню квадратному из 5, или 2.236 единиц длины, как показано на рис. 3-5. После завершения построения, стороны прямоугольника будут соотноситься как золотая пропорция, поэтому и прямоугольник AFGC, и BFGD являются золотыми прямоугольниками.

Произведения в искусстве значительно улучшены с использованием знания золотого прямоугольника. Притягательность его ценности и употребления были особенно сильны в древнем Египте и Греции и во времена Ренессанса, т. Е. во всех важных периодах цивилизации. Леонардо да Винчи придавал огромное значение золотой пропорции. Он также находил ее приятной в своих соотношениях и говорил: «Если предмет не имеет правильного облика, он не работает». Многие из его картин обладают правильным обликом, потому что он использовал золотое сечение для того, чтобы усилить их привлекательность.

В то время как пропорция фи использовалась сознательно и продумано художниками и архитекторами по своим собственным причинам, она, очевидно, действительно оказывает влияние на обозревателей таких форм. Экспериментаторы определили, что люди находят соотношение 0.618 эстетически приятным. Например, людей просили выбрать один прямоугольник из группы прямоугольников различных типов, и средний выбор в основном был близок к форме золотого прямоугольника. Когда просили пересечь одну полоску другой так, как им больше нравится, люди в основном применяли одну полоску для деления другой в соотношении фи. Окна, рамы картин, здания и книги часто приблизительно соответствуют золотому прямоугольнику.

В то время как Золотое сечение и Золотой прямоугольник представляют статические формы естественной и сотворенной человеком красоты и деятельности, представление эстетически привлекательного динамизма, организованного движения роста и развития может быть выполнено только самой прекрасной формой во Вселенной — Золотой спиралью.

3.2. Золотая спираль.

Золотой прямоугольник можно использовать для построения золотой спирали. Любой золотой прямоугольник, как на рисунке, приведённом ниже, можно разделить на квадрат и меньший золотой прямоугольник, как показано на рисунке. Этот процесс теоретически можно продолжать до бесконечности. Эти получающиеся прямоугольники, которые мы нарисовали и которые, как оказалось, скручиваются внутрь, промаркированы A, B, C, D, E, F и G.

Пунктирные линии, которые сами находятся в золотом соотношении одна к другой, рассекают прямоугольники по диагонали и точно обозначают теоретический центр скручивающихся квадратов. Приблизительно из центральной точки мы можем начертить спираль, соединяя точки пересечения каждого скручивающегося квадрата в порядке возрастания размера. Так как квадраты скручиваются внутрь и наружу, их точки соединения выписывают золотую спираль. Для построения золотой спирали может применяться такой же процесс, но с использованием скручивающихся треугольников.

Паук Epeira прядет свою паутину в виде логарифмической спирали. Бактерии размножаются в логарифмической прогрессии, которую можно начертить в виде логарифмической спирали. Метеориты, врезаясь в поверхность Земли, формируют впадины, которые соотносятся с логарифмической спиралью. Сосновые шишки, морские коньки, раковины улиток, раковины моллюсков, волны океана, папоротники, рога животных и расположение семян подсолнуха и маргаритки — все они образуют логарифмические спирали.

Облака циклона и галактики открытого космоса скручиваются в логарифмические спирали. Даже человеческий палец, который составлен из трех фаланг, находящихся по отношению друг к другу в золотой пропорции, принимает спиральную форму умирающего листа, когда сжимается. Таким образом, золотая спираль развертывается перед нами в символической форме, как один из величественных замыслов природы, образ жизни в бесконечном расширении и сжатии, статический закон, управляющий динамическим процессом, подкрепленный и изнутри, и снаружи пропорцией 1.618, Золотым сечением.

Таким образом, будучи мерой, законом природы, золотое сечение становится и мерой человеческого творчества, мерой всей человеческой жизни – именно поэтому я считаю тему последовательности Фибоначчи актуальной в настоящее время.

Заключение

1. Изучена литература по данной теме.

2. Изображены прямолинейные спирали на треугольной, шестиугольной и квадратной сетках.

3. Рассмотрены различные последовательности чисел, которые описывают самопересекающиеся и криволинейные спирали.

4. Найдены примеры спиралей, встречающихся в природе и жизни человека.

5. Проведены эксперименты по получению спирали Архимеда и трёхмерных спиралей.

Литература

1. Алгебра: учеб. для учащихся 9 кл. с углубл. Изучением математики / [Н.Я. Виленкин, Г.С. Сурвилло, А.С. Симонов, А.И. Кудрявцев]; под ред. Н.Я. Виленкина. – 6-е изд., дораб. – М.: Просвещение, 2005.–367с.

2. Виноградов И.М. Аналитическая геометрия.- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. – 176 с.

3. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Наука, 1969. – 272 с.

4. Лэнгдон Н., Снейп Ч. С математикой в путь. – М.: Педагогика, 1987. – 47 с.

5. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся. – 4-е изд., перераб. и доп. – М.: Просвещение, 1984. – 160 с.

6. Тарасов Л. Этот удивительно симметричный мир.- М.: Просвещение, 1982. – 176 с.

7. Цыпкин А.Г. Справочник по математике для средних учебных заведений. – 4-е изд., испр. И доп. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. – 432 с.

8. Щетников А.И. Проблема филлотаксиса. /Математическое образование/ — 22 с.

9. Энциклопедия для детей. Е. 11. Математика / Глав. Ред. М.Аксенова; метод. и отв. ред. В.Володин. – М.: Аванта+, 2004. – 688 с.

Приложение 1 Трёхмерная спираль

Приложение 2. Числа Фибоначчи

Компьютерная модель золотой спирали.

Приложение 3. Примеры спиралей встречающихся в природе и технике

М
лечный Путь,

рога горного барана,

морские раковины,

усики растений,

винт-пропеллер,

винтовая лестница, детские игровые комплексы и др.

Воробьев Н. Н. Числа Фибоначчи. — 1984 // Библиотека Mathedu.Ru

Воробьев Н. Н. Числа Фибоначчи. — 1984

Подготовка
текстаПодготовка
текста

Содержание

Загрузка
структуры

Информация

Загрузка
описаний

Справка

Загрузка
справки

Поиск

Страниц найдено: 1

Если строка в кавычках «…», то найдутся страницы со словосочетанием в точно такой форме.

Если слова указаны через пробел или оператор «&», то найдутся страницы, содержащие все введенные слова в одном предложении.

Если указано несколько слов через оператор «|», то найдутся страницы, содержащие любое из введенных слов.

Если указано два слова через оператор «~», то найдутся страницы, содержащие первое, но не содержащие второе слово в одном предложении.

По вашему запросу ничего не найдено.

Убедитесь, что слова написаны без ошибок или попробуйте выбрать другие значения.

null

Подождите,
пожалуйста…

Печать

Обложка123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100101102103104105106107108109110111112113114115116117118119120121122123124125126127128129130131132133134135136137138139140141142143144

Подготовка [0%]…

Отмена

{«root»:»text»,»url»:»vorobjev_chisla_fibonachchi_1984″,»surl-package»:»\/text\/%PACKAGE%\/?query=%QUERY%»,»surl-page»:»\/text\/%PACKAGE%\/p%PAGE%\/?query=%QUERY%»,»query»:»\»\»»,»section»:»library»,»mode-gfx»:true,»mode-html»:true,»mode-prefer»:»gfx»,»layout-prefer»:»1×1″,»zoom»:{«1×1»:{«level»:100,»_w»:false,»_h»:true},»2×1″:{«level»:100,»_w»:true,»_h»:false},»html»:{«level»:100}},»textsize-prefer»:»2″,»textfont-prefer»:»a»,»tree-type»:»ajax»,»tree-state»:»visible»,»printbox-state»:»hidden»,»print-allowed»:»1″,»searchbox-state»:»hidden»,»searchbox-type»:»inline»,»goto-pageno»:null,»goto-page»:-1,»defw»:»800″,»defh»:»1357″,»minh»:1357,»maxh»:1357,»fixeven»:null,»package»:»left»,»sitemode»:»live»,»user»:{«uuid»:»»}}

Удержи­вайте пра­вую кнопку мыши для выде­ле­ния группы стра­ниц.

Удержи­вайте кла­вишу Shift для выде­ле­ния диапа­зона стра­ниц.

Удержи­вайте кла­вишу Ctrl для пере­хода к стра­нице без её выде­ле­ния.

Поз­во­ляет нахо­дить задан­ные слова и сло­во­со­че­та­ния в тек­сте пуб­ли­кации.

Поиск под­держи­вает кирил­ли­че­ский и латин­ский алфа­виты.

Пере­клю­чайте вид списка результа­тов поиска кноп­ками «Спи­сок» и «Карта».

Функция печати/ска­чи­ва­ния доступна только зареги­стри­ро­ван­ным поль­зо­ва­те­лям.

Пожа­луй­ста, зареги­стри­руй­тесь или авто­ри­зуй­тесь.

Выбор оформ­ле­ния (свет­лое/тём­ное) доступен только зареги­стри­ро­ван­ным поль­зо­ва­те­лям.

Пожа­луй­ста, зареги­стри­руй­тесь или авто­ри­зуй­тесь.

Фибоначчи повсюду!. Числа Фибоначчи названы в честь… | by Сергей Базанов | Paradox Review

Числа Фибоначчи и золотое сечение

Как известно, последовательность Фибоначчи начинается с 1 и 1, после чего каждое новое число является результатом сложения двух предыдущих чисел:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …

Если разделить два последовательных числа в этом ряду, например 144/89, в конечном итоге получится число 1,618, которое называется «Золотое число» или «Золотое сечение».

Последовательное приближение соотношения двух соседних чисел ряда Фибоначчи к Золотому сечению.

Пропорция золотого сечения считается эстетически приятной и из-за этого многие художники и архитекторы, в том числе Сальвадор Дали и Ле Корбюзье использовали её в своих работах.

Последовательность Фибоначчи и Золотое сечение тесно взаимосвязаны. Отношение последовательных чисел Фибоначчи сходится и приближается к золотому сечению, а выражение замкнутой формулы для последовательности Фибоначчи включает Золотое сечение.

Золотой прямоугольник (розовый) с длинной стороной a и короткой стороной b, и находящийся рядом с ним квадрат со стороной длиной a, создадут подобный золотой прямоугольник с длинной стороной а + b и короткой стороной a. Это изобажение иллюстрирует взаимосвязь отношений (a+b)/a = a/b.

Спираль Фибоначчи или золотая спираль — это последовательность соединенных четвертей окружностей, вписанных внутри массивов квадратов со сторонами равными числам Фибоначчи. Квадраты идеально подходят друг к другу из-за природы последовательности Фибоначчи, в которой следующее число равно сумме двух перед ним (см.предыдущий рисунок). Любые два последовательных числа Фибоначчи имеют отношение, очень близкое к золотому сечению, которое составляет примерно 1.618034. Чем больше пара чисел Фибоначчи, тем ближе это приближение. Спираль и результирующий прямоугольник называются золотым прямоугольником.

Высшая математика жизни: где в природе встречаются числа Фибоначчи? | Наука | Общество

Каждый год 23 ноября в мире вспоминают первого крупного математика средневековой Европы Леонардо Пизанского, известного под прозвищем Фибоначчи. Он открыл для современников десятичную арабскую систему счисления и в целом обогатил их знания в точных науках. Но главным его открытием стала последовательность, названная числами Фибоначчи. Её называют удивительной за свойство неожиданно проявляться в самых разных сферах жизни — от биологии до живописи.

Кролики Леонардо Пизанского

Леонардо Пизанский, наиболее известный под прозвищем Фибоначчи (чаще всего имя трактуют как «счастливчик»), родился около 1170 года в итальянском городе Пиза. Его отец был купцом и посещал по торговым делам Алжир, куда привёз сына для изучения математики у арабских учителей. Позднее Фибоначчи сам ездил в Египет, Сирию, Византию и Сицилию, где ещё ближе познакомился с достижениями античных и индийских математиков. На основе полученных там знаний Леонардо написал ряд математических трактатов, ставших революционными для средневековой западноевропейской науки. Самым известным его трудом стала «Книга абака» (абак — это древнеримские счёты).

«Фактически это была энциклопедия математики того времени, — рассказывает кандидат физико-математических наук, доцент Кубанского госуниверситета Эдуард Сергеев. — В ней впервые в Европе была изложена десятичная позиционная система счисления арабов. Там впервые использовались отрицательные числа как долг. Завершалась эта большая книга изложением алгебры и примерами решения практических задач, связанных с торговым делом. В её 12-й главе содержалась знаменитая задача о кроликах. Именно благодаря ей мир узнал о числах Фибоначчи».

Золотое сечение в пятиконечной звезде. Фото: YouTube/ Скриншот

Придуманная средневековым математиком задача предназначалась для расчёта потомства кроликов. По её условию в огороженный со всех сторон загон поместили двух животных для размножения. Вопрос: сколько они могут произвести на свет пар кроликов за год, если известно, что каждый месяц, начиная со второго, каждая пара кроликов производит на свет одну пару? Ответ — 233 пары. Для поиска решения автор задачи вывел числовой ряд, в котором каждый последующий член равен сумме двух предыдущих. Он выглядит так: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 и так далее до бесконечности. Намного позже, уже в XIX веке эту последовательность назвали «числами Фибоначчи».

Дату 23 ноября для неофициального праздника Дня Фибоначчи тоже выбрали исходя из его последовательности. Для этого использовали принятый на Западе календарный формат, при котором цифрами сначала пишут месяц, а потом день. Получается 11/23, что повторяет первые четыре числа из ряда математика: 1, 1, 2, 3.

Но ещё интереснее то, что числовой ряд Фибоначчи нашёл применение во многих областях математики и по сей день удивляет учёных своей универсальностью. Кроме того, с ним также оказались связаны многие явления окружающего мира.

Проявления золотого сечения в природе. Фото: YouTube/ Кадр из видео

Удивительные числа

«В Италии выпускается периодический журнал, который называется „Числа Фибоначчи“, — продолжает Эдуард Сергеев. — Авторы со всего мира пишут для него статьи, связанные с последовательностью Леонардо Пизанского и другими свойствами чисел. И практически каждый год открывают что-то новое. В мои студенческие годы были известны одни свойства чисел Фибоначчи, а сегодня уже появились другие, в том числе совершенно неожиданные. Одно из открытых недавно удивительных свойств чисел Фибоначчи в том, что с определённой периодичностью в них повторяются одни и те же последовательности последних цифр. То есть рост этого ряда не случаен и подчиняется некоему закону, который, видимо, пока недоступен нашему пониманию. Это действительно загадочная вещь».

Поразительные свойства последовательности Фибоначчи в математике сложно объяснить человеку без специальных знаний, но многое можно понять и без формул. Одна из главных особенностей этого «золотого ряда» в том, что отношение каждого последующего его члена к предыдущему неуклонно приближается к показателю 1,618. Математикам он известен как число Фи, но у него есть и много других имён: число Бога, божественная гармония, асимметричная симметрия, золотое сечение (последнее понятие придумал Пифагор). Константу Фи назвали так в честь древнегреческого скульптора Фидия. Еще древние строители знали, что при использовании определённых пропорций здание выглядит максимально красиво и к тому же получается наиболее устойчивым. Коротко золотое сечение определяется так: меньшая часть относится к большей, как большая ко всему целому. В процентном выражении это соответствует показателям 62 и 38.

Спираль Фибоначчи и «золотые» прямоугольники. Фото: Википедия/ Джахобр, CC0, via Wikimedia Commons

«Леонардо Да Винчи тоже был виртуозом золотого сечения, — говорит Эдуард Сергеев. — Эту пропорцию можно найти в его знаменитой „Джоконде“ и других картинах. По тому же принципу я как-то давал своим студентам задачу нарисовать самый красивый эллипс, который только возможен. Для этого нужно рассчитать отношение большого диаметра к меньшему по числу Фи. Это такая константа, к которой удивительным образом сходятся все рекуррентные последовательности».

Отражение «числа Бога» можно найти даже в пропорциях человеческого тела. Расстояние от ног до пупа (центра тела) и от пупа до головы находятся между собой в золотой пропорции. То же самое касается отношения расстояния от пупка до коленей и от коленей до ступней. Число Фи или близкое к нему получится, если вычислить отношение расстояния от плеч до макушки к размеру головы. И лицо кажется тем красивее, чем ближе его пропорции к числу Фи. Именно по этим принципам было создано известное изображение Леонардо да Винчи «Витрувианский человек». Согласно сопроводительным записям самого мастера, он сделал этот рисунок для определения пропорций мужского тела, как это описано в трактате античного архитектора Витрувия «Об архитектуре».

Кстати, учёные также находят математическую взаимосвязь между величиной Фи и числом Пи, которое тоже часто называют загадочным.

«Витрувианский человек» Леонардо да Винчи. Источник: Public Domain

В подсолнухе и в ухе

С рядом Фибоначчи и числом Фи в геометрии связана логарифмическая спираль, которая разворачивается по принципу золотого сечения. Её можно вписать в систему вложенных друг в друга «золотых» прямоугольников с отношением сторон, равным Фи, или описать вокруг неё. А удивляет то, что такие модели часто встречаются в природе. По образу спирали Фибоначчи построены раковины моллюсков Nautilus pompilius и окаменелых аммонитов. Их рост хорошо описывается на основе числа Фи с коэффициентом 2.

Отношение длин трёх витков спирали уха человека точно соответствует Фи и такие же параметры — у раковин некоторых улиток. Недавно узнали, что золотая и другие логарифмические спирали встречаются в роговичном эпителии мышей.

Ещё Леонардо да Винчи и знаменитый немецкий учёный Кеплер обращали внимание на винтовое расположение листьев у растений, напоминающее спираль. Так же растут лепестки у цветов, семечки в подсолнечнике, шишки у хвои, чешуйки на плодах ананаса. Эту закономерность в ботанике называют филлотаксисом, и в формулах листорасположения тоже встречаются числа Фибоначчи, расположенные через одно. Такие свойства определяет генетика, уходящая корнями на клеточный и молекулярный уровни. А полипептидные цепи в молекуле ДНК тоже имеют винтовое расположение. Есть данные, что соотношение длины и ширины у них несёт в себе формулу золотого сечения.

Тот же принцип виден и в строении галактик. Например, наш Млечный Путь имеет несколько рукавов, растущих по принципу логарифмической спирали с шагом примерно 12 градусов. Великий поэт Гёте, который также был естествоиспытателем, считал спиральность одним из характерных признаков всех организмов, проявлением самой сокровенной сущности жизни. И, может быть, не случайно символ спирали присутствовал в культуре многих коренных народов Земли.

«Кеплер говорил, что Бог является хорошим геометром и строит Вселенную по математическим законам, — продолжает Эдуард Сергеев. — И я на сто процентов с этим согласен. Узнавая окружающий мир, всё больше изумляешься и удивляешься. На эти темы очень замечательно пишет астрофизик Марио Ливио. Я читал его книгу „Был ли Бог математиком? Галопом по божественной Вселенной с калькулятором, штангенциркулем и таблицами Брадиса“. Он там рассказывает и о спирали жизни, и о строении ДНК, и о многих других явлениях. Конечно, всё это математика — и ещё какая математика».

Что такое числа Фибоначчи и почему их выделили в отдельную группу чисел?

Числа Фибоначчи в Европе популяризовал Леонардо Пизанский (по прозвищу Фибоначчи – сын Боначчи), в задаче о кроликах:

Пусть в огороженном месте имеется пара кроликов (самка и самец) в первый день января. Эта пара кроликов производит новую пару кроликов (самку и самца) в первый день февраля и затем в первый день каждого следующего месяца. Каждая новорожденная пара кроликов становится зрелой уже через месяц и затем через месяц дает жизнь новой паре кроликов. Возникает вопрос: сколько пар кроликов будет в огороженном месте через год, то есть через 12 месяцев с начала размножения.

Оказывается, число кроликов по месяцам описывается последовательностью

1, 2, 3, 5, 8, 13,…

В ней каждое число равно сумме двух предыдущих. Условия задачи все равно нереалистичны, так что можно не стесняться: предположить, что кролики бессмертны, и продолжить последовательность до бесконечности:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169, 63245986, 102334155, ….

Есть свидетельства, что последовательность задолго до Леонардо была известна в Индии, и что в честь Фибоначчи ее назвал Эдуард Люка.

Про экспоненциальный рост

Как мы видим, последовательность очень быстро растет (экспоненциально, как последовательность степеней). Примерно как 1, 2, 4, 8, 16, 32, … или 1, 10, 100, 1000, … (тоже экспоненциальный рост.) Экспоненциальный рост вообще встречается в природе и в приложениях: так растут популяции, капиталы в банке, число радиоактивных атомов и число зерен на шахматной доске (Вы же помните легенду про жадного султана и бедного изобретателя шахмат ;))

В природе экспоненциальный рост имеет место лишь приблизительно и только в некоторых пределах.

Красивые фотографии

Последовательности в природе, напоминающие Фибоначчи, тоже похожи на Фибоначчи только приблизительно и в некоторых пределах. Широко известны примеры из мира растений: семена подсолнуха, сосновые шишки, лепестки цветков, ячейки ананаса. Видимо, здесь задействован один механизм (я скопировала первую попавшуюся картинку из интернета):

Отчасти популярность чисел Фибоначчи связана с такими красивыми картинками. В интернете их полным-полно.

А вот скажем, закон радиоактивного распада не менее поразителен, история его открытия драматична, человечество поставило его себе на службу… но он не так популярен в СМИ. Нет для него таких красивых картинок, да и описывается он дифференциальным уравнением, а любителей дифференциальных уравнений меньше, чем любителей красивых картинок.

В математике

В математике бывают объекты, которые задаются очень просто, но показывают удивительно сложные и многогранные связи между своими компонентами. Например: треугольник в планиметрии, конические сечения, треугольник Паскаля, простые числа, … Они завораживают нас как картинки в калейдоскопе. Чуть повернешь – и открываются новые узоры, новые свойства. Числа Фибоначчи –один из таких объектов. Каждый математик на пути в науку их обязательно встречал.

Чтобы перечислить все их удивительные свойства, нужна отдельная книга (и кстати, выходит журнал с таким названием, посвященный одним только числам Фибоначчи). Скажу только, что отношение каждого числа Фибоначчи к предыдущему приближает золотое сечение, и чем числа больше, тем приближение лучше.

Почему же математики выделили числа Фибоначчи в отдельную группу чисел

Потому что любят все классифицировать и раскладывать по полочкам. Раз есть объект – надо дать ему название. На сайте https://oeis.org/A000045 , где собраны большинство последовательностей чисел, встречающихся в математике, последовательность Фибоначчи идет под номером 45. Она вовсе не такая уж исключительная, кроме неё на этом сайте собрано около трети миллиона последовательностей. Каждая из них тоже представляет собой «отдельную группу чисел».

Специалист по теории чисел Леопольд Кронекер считал, что только одна из них создана Богом (и это вовсе не последовательность Фибоначчи, а другая, на сайте ее номер 27), а остальные – дело рук человеческих.

В целом журналисты несколько преувеличивают значимость чисел Фибоначчи: они, безусловно, прекрасны, но стоят в одном ряду с многими другими не менее прекрасными и полезными математическими объектами.

Числа Фибоначчи (0,1,1,2,3,5,8,13, …)

Последовательность Фибоначчи — это последовательность чисел, где каждое число является суммой двух предыдущих чисел, за исключением первых двух чисел, равных 0 и 1.

Формула последовательности Фибоначчи

Например:

F ₀ = 0

F ₁ = 1

F ₂ = F ₁ + F ₀ = 1 + 0 = 1

F ₃ = F ₂ + F ₁ = 1 + 1 = 2

F ₄ = F ₃ + F ₂ = 2 + 1 = 3

F ₅ = F ₄ + F ₃ = 3 + 2 = 5

…

Конвергенция золотого сечения

Отношение двух последовательных чисел Фибоначчи сходится к золотому сечению:

φ — золотое сечение = (1 + √ 5 ) / 2 ≈ 1,61803399

Таблица последовательности Фибоначчи

п	F n
0	0
1	1
2	1
3	2
4	3
5	5
6	8
7	13
8	21
9	34
10	55
11	89
12	144
13	233
14	377
15	610
16	987
17	1597
18	2584
19	4181
20	6765

Калькулятор последовательности Фибоначчи

TBD

C-код функции Фибоначчи

double Fibonacci(unsigned int n)

{

    double f_n =n;

    double f_n1=0. 0;

    double f_n2=1.0;

 

    if( n / 1 ) {

        for(int k=2; k<=n; k++) {

            f_n  = f_n1 + f_n2;

            f_n2 = f_n1;

            f_n1 = f_n;

        }

    }

 

    return f_n;

}

 

Числа Фибоначчи знакомы многим математикам. Рассмотрим в данной заметке старинный способ получения указанных чисел и одно оригинальное применение этих чисел для примерного перевода миль в километры.

Кролики Фибоначчи

Данная задача придумана итальянским ученым Фибоначчи в 13-м веке.
Некто приобрел пару кроликов и поместил их в огороженный со всех сторон загон. Сколько кроликов будет через год, если считать, что каждый месяц пара дает в качестве приплода новую пару кроликов, которые со второго месяца жизни также начинают приносить приплод?

Ответ: 377 пар. В первый месяц кроликов окажется уже 2 пары: 1 первоначальная пара, давшая приплод, и 1 родившаяся пара. Во второй месяц кроликов будет 3 пары: 1 первоначальная, снова давшая приплод, 1 растущая и 1 родившаяся. В третьем месяце – 5 пар: 2 пары, давшие приплод, 1 растущая и 2 родившиеся. В четвертом месяце – 8 пар: 3 пары, давшие приплод, 2 растущие пары, 3 родившиеся пары. Продолжая рассмотрение по месяцам, можно установить связь между количествами кроликов в текущий месяц и в два предыдущих. Если обозначить количество пар через N, а через m – порядковый номер месяца, то N_m = N_m-1 + N_m-2 . С помощью этого выражения рассчитывают количество кроликов по месяцам года: 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377.

Замечание. Конечно же кто-то скажет, что кролики умирают, что не обязательно в новой паре будут самец и самка. Надо понимать, что это некая математическая модель, которая предполагает некоторые допущения. Вот мы и вводим допущения, что кролики не умирают, в паре самец и самка.

Перевод миль в километры

Замечена интересная особенность чисел Фибоначчи для примерного перевода километров в мили. Например, 8 миль это примерно 13 километров. Обратите внимание на цифру 8 в последовательности Фибоначчи, где после цифры «восемь» идет цифра «тринадцать». Или вот еще пример. Допустим мы хотим перевести в километры значение «13 миль». Посмотрите на числовую последовательность, и вы увидите, что в ней после цифры «13» идет цифра «21». Это означает, что 13 миль = 21 километр. В итоге применив числа Фибоначчи в качестве преобразования милей в километры, мы можем без фактических вычислений максимально быстро перевести мили в километры

В настоящее время работе в Интернет отводится большое внимание. Особое место занимают продажи, т.к. люди заинтересованы в покупках через Интернет, мы же хотим научить вас продавать. Для этого мы научим вас осуществлять оценку эффективности вашего сайта, продвигать сайт в социальных сетях, разработать концепцию и план собственной маркетинговой кампании и многому другому. Рекомендуем записаться на интернет маркетинг обучение.

Связанные статьи

Список чисел Фибоначчи

В математике числа Фибоначчи образуют последовательность, в которой каждое число является суммой двух предыдущих чисел, начиная с 0 и 1. То есть F _n = F _n-1 + F _n-2 , где F ₀ = 0, F ₁ = 1 и n≥2. Последовательность, образованная числами Фибоначчи, называется последовательностью Фибоначчи.

Ниже приводится полный список первых 10, 100 и 300 чисел Фибоначчи.

Первые 10 чисел Фибоначчи

1. 1

2. 1

3. 2

4. 3

5. 5

6. 8

7. 13

8. 21

9. 34

10. 55

Первые 100 чисел Фибоначчи

Первые 100 чисел Фибоначчи включают числа Фибоначчи, указанные выше, и числа в этом разделе.

11. 89

12. 144

13. 233

14. 377

15. 610

16. 987

17. 1597

18. 2584

19. 4181

20. 6765

21. 10946

22. 17711

23. 28657

24. 46368

25. 75025

26. 121393

27. 196418

28. 317811

29. 514229

30. 832040

31. 1346269

32. 2178309

33. 3524578

34. 5702887

35. 65

36. 14930352

37. 24157817

38. 3

69

39. 63245986

40. 102334155

41. 165580141

42. 2676

43. 433494437

44. 701408733

45. 1134

0

46. 1836311903

47. 2971215073

48. 4807526976

49. 7778742049

50. 12586269025

51. 20365011074

52. 32951280099

53. 533162

54. 86267571272

55. 139583862445

56. 225851433717

57. 365435296162

58. 5

729879

59. 956722026041

60. 1548008755920

61. 2504730781961

62. 4052739537881

63. 6557470319842

64. 10610209857723

65. 17167680177565

66. 277778288

67. 44945570212853

68. 72723460248141

69. 1176660994

70. 14

135

71. 308061521170129

72. 498454011879264

73. 806515533049393

74. 1304969544928657

75. 2111485077978050

76. 3416454622

7

77. 5527939700884757

78. 89443943237

79. 14472334024676221

80. 23416728348467685

81. 378873143906

82. 613057

611591

83. 9

53094755497

84. 160500643816367088

85. 2596954962585

86. 420196140727489673

87. 6798

638612258

88. 1100087778366101931

89. 1779979416004714189

90. 2880067194370816120

91. 4660046610375530309

92. 7540113804746346429

93. 12200160415121876738

94. 19740274219868223167

95. 319404346349905

96. 51680708854858323072

97. 83621143489848422977

98. 135301852344706746049

99. 2185834555169026

100. 3542248481792615

Первые 300 чисел Фибоначчи

Первые 300 чисел Фибоначчи включают числа Фибоначчи вверху и числа внизу.

101. 573147844013817084101

102. 9273726

078999176

103. 1500520536206896083277

104. 2427893228399975082453

105. 3928413764606871165730

106. 6356306993006846248183

107. 10284720757613717413913

108. 16641027750620563662096

109. 26925748508234281076009

110. 43566776258854844738105

111. 704

76708
14114

112. 114059301025943970552219

113. 184551825793033096366333

114. 2986111268189770662

115. 483162952612010163284885

116. 781774079430987230203437

117. 1264937032042997393488322

118. 20467111114739846236

119. 3311648143516982017180081

120. 53583592549

640871840

121. 8670007398507948658051921

122. 1402836665349881

123. 22698374052006863956975682

124. 36726740705505779255899443

125. 59425114757512643212875125

126. 96151855463018422468774568

127. 155576970220531065681649693

128. 251728825683549488150424261

129. 4073057950553832073954

130. 65

21587630041982498215

131. 10663404174

595814572169

132. 172537503

40637797070384

133. 27

456571051233611642553

134. 451706503

408712937

135. 7308805952221443105020355490

136. 118258964478718349764227

137. 102400093278081449423917

138. 309605988479651130578784

139. 5009530124805833271

140. 81055_{6023504197206408605}

141. 131151201344081895336534324866

142. 212207101440105399533740733471

143. 343358302784187294870275058337

144. 5555654042242926944040157

145. 89870084799892742

145

146. 14544832772683678306641953

147. 23534128182412526729525974

148. 38079474025356630

4051

149. 6161314747715278029583501626149

150. 99677189303386214405760200

151. 16130531424

1415797

6349

152. 26099748102093884802012313146549

153. 42230279526998466217810220532898

154. 683300276251019822533679447

155. 1105603071560

237632754212345

156. 1788

7851831682574552878

157. 289450641941273985495088042104137

158. 468340976726457153752543329995929

159. 75776677311331372100066

160. 1226132595394188293000174702095995

161. 19834061

2247806074196061

162. 32100568094561077252479807762

163. 5193981023518027157495786850488117

164. 8404037832974134882743767626780173

165. 135980188564040239554477268290

166. 220020566894662963322104048463

167. 35600075545958458963222876581316753

168. 57602132235424755886206198685365216

169. 932022077813832148494266681969

170. 150804340016807970735635273952047185

171. 2440065477981

5850643429154

172. 3948108878149920699623170776339

173. 6388174356131

3972389505493

174. 1033628323428189498226463595560281832

175. 167244575

79840132227567949787325

176. 27060740824695693383586510069157

177. 437851984151094

731459856482

178. 70845930518516849609894969925639

179. 114631137654695340528626429782121

180. 185477076894719862121

521399707760

181. 30010821454963453

0667147829489881

182. 48558523544011972080566922

41

183. 78569350599398894027251472817058687522

184. 127127879743834334146972278486287885163

185. 205697230343233228174223751303346572685

186. 332825110087067562321196029789634457848

187. 5385223404303007419781092981030533

188. 871347450517368352816615810882615488381

189. 1409869766

120355

596518914

190. 2281217241465037496128651402858212007295

191. 36032412706639440686994833808526209

192. 59723042738777441355693383976

533504

193. 966332

7750100253

82

13

194. 15635695580168194

93637
849593217

195. 2529864586456855893843678652930

196. 40934782466626840596168752972961528246147

197. 66233869353085486281758142155705206899077

198. 107168651819712326877926895128666735145224

199. 173402521172797813159685037284371942044301

200. 2805711729140037611932413038677189525

201. 4539736941653079531972969696974106126

202. 7345448671578180932349080449296423351

203. 11885185613231260464322058718078597177

204. 1342848094413966711477380528

205. 31115819898040701860993206457261637705

206. 5034645418285014325766435419644478339818233

207. 814622740808

11865756065370647467555938

208. 131808728263740988376321015125807374171

209. 21327100234463183349497947550385773274930109

210. 3450797306083728218713013

008904280

211. 55835073295300465536628086585786672357234389

212. 046356137747723758225621187571439538669

213. 146178119651438213260386312206974243796773058

214. 236521166007575960984144537828161815236311727

215. 38269928565

7424453085003513605

84785

216. 61516665228675387863297874269396512

217. 1001

7325604309473206237898433933302481297

218. 16211401889

444701881625761731807571877809

219. 2623059926317798754175087863660165740874359106

220. 4244200115309993198876969489421897548446236915

221. 68672600416277052057353082063289320596021

222. 111114601569377851519242503960837766832936

223. 17978720198565577104981084195586024127087428957

224. 2903555033622561038089984964854261893

225. 470684068939361823367600416

226. 7615

09572301618801306271765994056795952743

227. 1232279814636412409806505442003148737643593

228. 199387062373213542599493807777207997205533596336

229. 322615043836854783580186309282650000354271239929

230. 522002106210068326179680117059857997559804836265

231. 84461715004697598664263425079976076194

232. 13666192562569939546543402365995473880

9

233. 22112364063035699412969744873993387956988653

234. 3577855662560

16389595131472399888618372

235. 578688648205273383724828982249794889765

236. 93669477314257265089773319960393539711116327

237. 151560398002036315704478931467953361427680642

238. 245229875317162735452930364749708213060471519

239. 3967

320068205816087409539877834488152161

240. 64202014863723094126

7428873111802307548623680

241. 1038810421957298510518382775401680142036775841

242. 168083057059453008835412295811648513482449585399521

243. 2719640992551823419442325175362

244. 440047156314635932379335110006072428645041207574883

245. 71201125556981885570496343807632829750245

246. 1152058411884454788302593034206568772452674037325128

247. 1864069667454273644225850958407065116260306867075373

248. 30161280793387284325284439926136338887129800501

249. 488019774679300207675429495102069

73287771475874

250. 7896325826131730509282738943634332893686268675876375

251. 127765235722586037033894655031898659556447352249

252. 2067284939630953197728382893647825123228624

253. 334493729719811956813568067329443966

381570580873

254. 54122222371037658776676579571233761483351206693809497

255. 875715953430188544580333863041781581743565882643

256. 1416938177140565132347099658754117707794958199867

257. 2292654130570753676927433521795

8320643832225

258. 37095711318809274533180550019974897721781807

259. 6002246438282072486201966702345

321836561403380341

260. 9711838745993347649988289594072811608739584170445

261. 1571408518427546378167846658524186148133445300987550786

262. 25425026885507715496646813780220945054040571721231

263. 4114000

44318858833433053379663699341559272017

264. 66565933044813173935988399521517465553382130993248

265. 1077059421593574927948218325748971295527236

265

266. 1742718752041706667308102320964145954

06105821258513

267. 28197781736352815952563206467131172508227658829511523778

268. 45624969256769882625644229676772632057353264935332782291

269. 7382275099312269857820743614345655804844306069

270. 119447720249892581203851665820676436622934188700177088360

271. 1932704712430152797820564580241188515112465021394429

272. 3127181

09857785256677811449301165198482789

273. 50598866273507679698697498369964413630219877218

274. 818706854228831001753880637535093596811413714795418360007

275. 1324695516964754142521850507284930515811378128425638237225

276. 21434023711935851442757311448200241126227

221056597232

277. 3468097888158339286797581652104954628434169971646694834457

278. 561150025935110733127968741056961814867751431689

279. 9814751026371787089444333694786514446266146

280. 146

4068621881489442072459540548093601382197697835

281. 237706965543724518668151016949848454800387896643963981

282. 384617949612346400157593089409397575318989278841661816

283. 6223246070

5744106353070626544377175485625797

284. 100694286476841731898333719576864360661213863366454327287613

285. 1629267779823780

02127889637318404077436298120

286. 26362106446926749789653324393054271110084140201023

287. 426547842461739379460149980002442288124894678853713953114433

288. 6

102993513937
612517948949963798093315456

289. 11167167493927693145995418097945372843628817512046429889

290. 18068856563237938933639586633513160792578781310139745345

291. 22405716568564338475449381171413803636207598822186175234

292. 473048806204036781407740

67804926964428786380132325
9

293. 76540756936378415884538348976340768064993978954512095813

294. 1238457852979730412936273167812677324937803538016392

295. 20038668997554240570

8165665757608500558774338041350112205

296. 32423247527351544763402471792982538876233052554697128188128597

297. 52461⁴

53343116499586482964847336113269538240802

298. 84885164052257330097714121751630835360966663883732297726369399

299. 1373470805771631154320257717102745700275212767467264610201

300. 222232244629420445529739893461720666693997649600

чисел Фибоначчи — определение, правила, типы, примеры

Числа Фибоначчи — это особые виды чисел, образующие особую последовательность. Эта последовательность — одна из самых известных математических формул. Вы можете найти числа Фибоначчи в структурах растений и животных. Эти числа также называют универсальным правилом природы и секретным кодом природы.

В этой статье давайте узнаем о числах Фибоначчи, их последовательности с правилами и решенных примерах.

Что такое числа Фибоначчи?

Числа Фибоначчи представляют собой последовательность целых чисел, расположенных как 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … Вот некоторые интересные факты о числах Фибоначчи:

Как показано ниже, числа Фибоначчи можно представить в виде спирали, если мы построим квадраты с такой шириной. На данном рисунке мы видим, как квадраты аккуратно сочетаются друг с другом. Например, 5 и 8 в сумме дают 13, 8 и 13 в сумме дают 21, и так далее.

Формула Фибоначчи

Числа Фибоначчи следуют определенной схеме. Чтобы найти числа Фибоначчи в последовательности, мы можем применить формулу Фибоначчи. Связь между последовательным числом и двумя предыдущими числами может использоваться в формуле для вычисления любого конкретного числа Фибоначчи в ряду с учетом его положения.

Формула для поиска чисел Фибоначчи

Формула для вычисления (n + 1) ^{-го числа} в последовательности чисел Фибоначчи может быть представлена ​​как,

\ (F_n = F_ {n-1} + F_ {n-2} \)

где,
n> 1
F \ (_ {n-1} \) — n ^th Число Фибоначчи
F \ (_ {n-2} \) — (n — 1) ^th Число Фибоначчи

Правила для чисел Фибоначчи

Правила для чисел Фибоначчи даны как:

• Первое число в списке чисел Фибоначчи выражается как \ (F_0 \) = 0, а второе число в списке чисел Фибоначчи выражается как \ (F_1 \) = 1
• Числа Фибоначчи подчиняются правилу, согласно которому \ (F_n = F_ {n-1} + F_ {n-2} \), где n> 1
• Третье число Фибоначчи задается как \ (F_2 = F_ {1} + F_ {0} \).Как известно, \ (F_0 \) = 0 и \ (F_1 \) = 1, значение \ (F_2 \) = 0 + 1 = 1
• Последовательность чисел Фибоначчи выглядит как 0, 1, 1, 2 и так далее.

Правило для чисел Фибоначчи, если его объяснить простым языком, гласит, что каждое число в последовательности является суммой двух чисел, предшествующих ему в последовательности.

Как мы можем вычислить числа Фибоначчи?

Давайте посчитаем числа Фибоначчи, используя правило из приведенного выше раздела.Последовательность задается как 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144. Давайте посмотрим, как в последовательности появляются первые десять членов. Если свести расчет в таблицу, получим:

n	Срок	\ (F_ {n-1} \)	\ (F_ {n-2} \)	\ (F_n = F_ {n-1} + F_ {n-2} \) , (для n> 1)
0	Первая	–	–	\ (F_0 \) = 0
1	Второй	\ (F_ {0} \) = 0	–	\ (F_1 \) = 1
2	Третий	\ (F_1 \) = 1	\ (F_0 \) = 0	\ (F_2 \) = 0 + 1 = 1
3	Четвертый	\ (F_2 \) = 1	\ (F_1 \) = 1	\ (F_3 \) = 1 + 1 = 2
4	Пятая	\ (F_3 \) = 2	\ (F_2 \) = 1	\ (F_4 \) = 2 + 1 = 3
5	Шестой	\ (F_4 \) = 3	\ (F_3 \) = 2	\ (F_5 \) = 3 + 2 = 5
6	Седьмой	\ (F_5 \) = 5	\ (F_4 \) = 3	\ (F_6 \) = 5 + 3 = 8
7	Восьмая	\ (F_6 \) = 8	\ (F_5 \) = 5	\ (F_7 \) = 8 + 5 = 13
8	Девятый	\ (F_7 \) = 13	\ (F_6 \) = 8	\ (F_8 \) = 13 + 8 = 21
9	Десятая	\ (F_8 \) = 21	\ (F_7 \) = 13	\ (F_9 \) = 21 + 13 = 34

Из приведенной выше таблицы мы можем сделать вывод, что:

• В последовательности, образованной числами Фибоначчи, первый член всегда равен 0, а второй член всегда равен 1.
• Результат, полученный в столбце 4 ^-й , является суммированием значений в столбце 2 ^-й и столбце 3 ^-й , которые представляют два предыдущих числа.

Согласно некоторым старым определениям, значение \ (F_ {0} \) = 0 опущено, поэтому список чисел Фибоначчи начинается с \ (F_ {1} \) = \ (F_ {2} \) = 1. \ (F_ {n} \) = \ (F_ {n-1} \) + \ (F_ {n-2} \) действительно для n> 2. Но согласно исходному определению числа Фибоначчи начинаются с \ (F_ {1} \) = 1 и \ (F_ {2} \) = 2.

Список чисел Фибоначчи

Используя формулу чисел Фибоначчи и метод поиска последовательных членов в последовательности, образованной числами Фибоначчи, описанных в предыдущем разделе, мы можем сформировать список чисел Фибоначчи, как показано ниже,

\ (F_0 \) = 0	\ (F_ {10} \) = 55
\ (F_1 \) = 1	\ (F_ {11} \) = 89
\ (F_2 \) = 1	\ (F_ {12} \) = 144
\ (F_3 \) = 2	\ (F_ {13} \) = 233
\ (F_4 \) = 3	\ (F_ {14} \) = 377
\ (F_5 \) = 5	\ (F_ {15} \) = 610
\ (F_6 \) = 8	\ (F_ {16} \) = 987
\ (F_7 \) = 13	\ (F_ {17} \) = 1597
\ (F_8 \) = 21	\ (F_ {18} \) = 2584
\ (F_9 \) = 34	\ (F_ {19} \) = 4181

Свойства чисел Фибоначчи

Числа Фибоначчи используются во многих компьютерных алгоритмах, таких как кубы Фибоначчи, структура данных кучи Фибоначчи и метод поиска Фибоначчи. Давайте посмотрим на различные свойства чисел Фибоначчи в зависимости от положения числа выше и ниже нуля.

Первые 10 чисел Фибоначчи в последовательности могут быть представлены как:

\ (F_0 \)	\ (F_1 \)	\ (F_2 \)	\ (F_3 \)	\ (F_4 \)	\ (F_5 \)	\ (F_6 \)	\ (F_7 \)	\ (F_8 \)	\ (F_9 \)
0	1	1	2	3	5	8	13	21	34

• Последовательность чисел Фибоначчи может быть расширена до отрицательного индекса n также путем изменения рекуррентного отношения \ (F_ {n-2} \) = \ (F_ {n} \) — \ (F_ {n-1} \)
• Это дает последовательность чисел Негафибоначчи, которая имеет соотношение \ (F _ {- n} \) = (-1) ^{n + 1} × \ (F_ {n} \)

Таким образом, для чисел Фибоначчи двунаправленная последовательность выглядит так:

\ (F _ {- 5} \)	\ (F _ {- 4} \)	\ (F _ {- 3} \)	\ (F _ {- 2} \)	\ (F _ {- 1} \)	\ (F_ {0} \)	\ (F_ {1} \)	\ (F_ {2} \)	\ (F_ {3} \)	\ (F_ {4} \)	\ (F_ {5} \)
5	-3	2	–1	1	0	1	1	2	3	5

Из приведенной выше таблицы видно, что числа Фибоначчи ниже нуля такие же, как числа Фибоначчи выше нуля, с той лишь разницей, что они следуют паттерну + — + -. Интересно отметить, что числа Фибоначчи используются при планировании покерных игр.

Связь чисел Фибоначчи с золотым сечением

Если взять любые два последовательных числа Фибоначчи, их отношение будет очень близко к 1,618034. Возьмем случайный пример двух последовательных чисел:

• Пусть A = 13, B = 21 и разделим B на A. Получаем 21 ÷ 13 = 1,625.
• Это соотношение последовательных чисел Фибоначчи известно как золотое сечение.

Мы можем вычислить любое число Фибоначчи, используя это золотое сечение по следующей формуле: \ (F_ {n} \) = ((ɸ) ⁿ — (1 − ɸ) ⁿ ) ÷ √5. Здесь ɸ = 1,618034.

Вычислим \ (F_ {6} \) = ((1.618034) ⁶ — (1− 1.618034) ⁶ ) ÷ √5. Когда этот расчет выполняется с помощью калькулятора, мы получаем значение \ (F_ {6} \) как 8.00000033, которое при округлении до ближайшего целого числа становится 8.

Числа Фибоначчи в природе

Мы можем найти числа Фибоначчи везде в природе. Вот некоторые из наиболее распространенных закономерностей и последовательностей чисел Фибоначчи в природе:

• Лепестки некоторых растений, таких как подсолнухи, лилии, розы и лютики, соответствуют образцу Фибоначчи, и эти цветы называются цветами Фибоначчи.
• Спирали на шишке равны числам Фибоначчи.
• Говорят, что даже семена подсолнечника следуют паттерну Фибоначчи.
• Морские ракушки, морские звезды, которых мы находим на берегу моря, следуют схеме чисел Фибоначчи.

Одним из практических применений концепции чисел Фибоначчи является то, что она применялась при построении Великой пирамиды в Гизе.

Статьи по теме:

Посмотрите следующие страницы, связанные с числами Фибоначчи

Важные примечания к числам Фибоначчи:

Вот список из нескольких моментов, которые следует помнить при изучении чисел Фибоначчи.

• Концепция чисел Фибоначчи применима только для целых и десятичных чисел с финансовой точки зрения.
• Последовательность чисел Фибоначчи также применима к числам ниже нуля.
• Первое число Фибоначчи всегда равно 0, а второе число Фибоначчи всегда 1.

Часто задаваемые вопросы о числах Фибоначчи

Почему числа Фибоначчи так важны?

Числа Фибоначчи находят множество практических приложений в компьютерных технологиях, музыке, финансовых рынках и во многих других областях. Числа Фибоначчи существуют в природе в различных формах и образцах.

Является ли 0 числом Фибоначчи?

Да, 0 — это число Фибоначчи, и это первое число Фибоначчи. Обозначается F \ (_ 0 \).

Бесконечны ли числа Фибоначчи?

Да, список Фибоначчи состоит из бесконечных чисел Фибоначчи, где каждое число вычисляется простым сложением двух чисел, стоящих перед ним. Каждое число в последовательности чисел Фибоначчи представлено как F \ (_ n \).

Есть ли формула для нахождения чисел Фибоначчи?

Да, есть формула для нахождения чисел Фибоначчи. Числа Фибоначчи следуют этой формуле, согласно которой F \ (_ n \) = F \ (_ {(n-1)} \) + F \ (_ {(n-2)} \), где F \ (_ n \ ) представляет собой (n + 1) ^th член и n> 1. Первое число Фибоначчи выражается как F \ (_ 0 \) = 0, а второе число Фибоначчи выражается как F \ (_ 1 \) = 1.

Как рассчитать числа Фибоначчи?

Рядов Фибоначчи в зависимости от их положения в ряду можно рассчитать, используя общую формулу для чисел Фибоначчи, заданную следующим образом: F \ (_ n \) = F \ (_ {(n-1)} \) + F \ (_ {( n-2)} \), где F \ (_ n \) — член (n + 1) ^th и n> 1.

Какова формула для нахождения чисел Фибоначчи?

Формула для нахождения (n + 1) ^th члена в последовательности, образованной числами Фибоначчи, может быть задана как, F \ (_ n \) = F \ (_ {(n-1)} \) + F \ (_ {(n-2)} \), где n> 1.

Каковы применения чисел Фибоначчи?

Числа Фибоначчи имеют различные приложения в области математического и финансового анализа. Мы используем числа Фибоначчи в вычислительном анализе времени выполнения алгоритма Евклида, чтобы найти HCF.Кроме того, многие закономерности в природе можно изучать с помощью чисел Фибоначчи.

Каковы первые 10 чисел Фибоначчи?

Первые 10 чисел Фибоначчи: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. Здесь мы видим, что первое число Фибоначчи всегда равно 0, а второе число Фибоначчи всегда равно 1.

Что такое числа Фибоначчи в природе?

Мы можем найти числа Фибоначчи везде в природе. Вот некоторые из наиболее распространенных закономерностей и последовательностей чисел Фибоначчи в природе:

• Лепестки некоторых растений, таких как подсолнухи, лилии, розы и лютики, соответствуют образцу Фибоначчи, и эти цветы называются цветами Фибоначчи.
• Спирали на шишке равны числам Фибоначчи.
• Говорят, что даже семена подсолнечника следуют паттерну Фибоначчи.
• Морские ракушки, морские звезды, которых мы находим на берегу моря, следуют схеме чисел Фибоначчи.

Каковы первые 20 чисел Фибоначчи?

Первые 10 чисел Фибоначчи: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181.

Является ли 33 числом Фибоначчи?

Нет, 33 не является числом Фибоначчи, поскольку его нет среди первых 10 чисел Фибоначчи 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34.

10.4: Числа Фибоначчи и золотое сечение

Известной и важной последовательностью является последовательность Фибоначчи, названная в честь итальянского математика Леонардо Пизано по прозвищу Фибоначчи, жившего с 1170 по 1230 год. Эта последовательность:

\ [\ {1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, \ ldots \ ldots \ ldots \} \]

Эта последовательность определяется рекурсивно. Это означает, что каждый термин определяется предыдущими терминами.

и так далее.

Последовательность Фибоначчи определяется, для всех, когда и.

Другими словами, чтобы получить следующий член в последовательности, сложите два предыдущих члена.

\ [\ {1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,55 + 34 = 89,89 + 55 = 144, \ cdots \} \]

Обозначения, которые мы будем использовать для представления последовательности Фибоначчи, следующие:

\ [f_ {1} = 1, f_ {2} = 1, f_ {3} = 2, f_ {4} = 3, f_ {5} = 5, f_ {6} = 8, f_ {7} = 13, f_ {8} = 21, f_ {9} = 34, f_ {10} = 55, f_ {11} = 89, f_ {12} = 144, \ ldots \]

Пример \ (\ PageIndex {1} \): Рекурсивный поиск чисел Фибоначчи

Найдите 13, 14 и 15 числа Фибоначчи, используя приведенное выше рекурсивное определение последовательности Фибоначчи.

Во-первых, обратите внимание, что уже есть 12 чисел Фибоначчи, перечисленных выше, поэтому, чтобы найти следующие три числа Фибоначчи, мы просто складываем два предыдущих члена, чтобы получить следующий член, как указано в определении. {n} \ right]} {\ sqrt {5}} \]

Формула Бине является примером последовательности , явно определенной .Это означает, что условия последовательности не зависят от предыдущих условий.

Иногда вместо приведенной выше формулы иногда используется несколько более удобная и упрощенная версия формулы Бине.

Упрощенная формула Бине : n-е число Фибоначчи определяется по следующей формуле: Примечание. Символ означает «округление до ближайшего целого числа».”

Пример \ (\ PageIndex {2} \): поиск явно

Найдите ценность использования упрощенной формулы Бине.

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): Работа калькулятора для

Пример \ (\ PageIndex {3} \): Поиск Явно

Найдите значение , используя упрощенную формулу Бине.

Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): Работа калькулятора для

Пример \ (\ PageIndex {4} \): Поиск Явно

Найдите значение , используя упрощенную формулу Бине.

Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): Работа калькулятора для

В природе мы можем найти числа Фибоначчи вокруг нас. Количество ветвей на некоторых деревьях или количество лепестков некоторых ромашек часто являются числами Фибоначчи

Рисунок \ (\ PageIndex {4} \): числа Фибоначчи и ромашки

а. Ромашка с 13 лепестками б. Ромашка с 21 лепестком

а. б.

(Ромашки, н.о.)

Числа Фибоначчи также появляются в схемах спирального роста, таких как количество спиралей на кактусе или на грядках с семенами подсолнечника.

Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): числа Фибоначчи и спиральный рост

а. Кактус с 13 спиралями по часовой стрелке b. Подсолнечник с 34 спиралями по часовой стрелке и 55 спиралями против часовой стрелки

а. б.

(Кактус, н.о.) (Подсолнечник, н.о.)

Другой интересный факт возникает при рассмотрении соотношений последовательных чисел Фибоначчи.

Похоже, что эти коэффициенты приближаются к цифре. Число, к которому приближаются эти соотношения, — это особое число, называемое золотым соотношением, которое обозначается (греческой буквой фи).Вы видели это число в формуле Бине.

Золотое сечение: \ [\ phi = \ frac {1+ \ sqrt {5}} {2} \] Золотое сечение имеет десятичное приближение \ (\ phi = 1,6180339887 \).

Золотое сечение является особым числом по разным причинам. Его также называют божественной пропорцией, и он проявляется в искусстве и архитектуре.Некоторые утверждают, что это самое приятное для глаз соотношение. Чтобы найти это соотношение, греки разрезали отрезок на две части и позволили меньшему отрезку равняться одной единице. Самый приятный крой — это когда отношение полной длины к длинной части такое же, как отношение длинной части к короткой 1.

1

перемножим, чтобы получить

переставить, чтобы получить

решите это квадратное уравнение, используя формулу корней квадратного уравнения.

Золотое сечение — это решение квадратного уравнения, означающее, что оно обладает свойством. Это означает, что если вы хотите возвести золотое сечение в квадрат, просто добавьте к нему единицу. Чтобы проверить это, просто подключите.

Сработало!

Еще одна интересная связь между золотым сечением и последовательностью Фибоначчи возникает при использовании степеней.

И так далее.

Обратите внимание, что коэффициенты и числа, добавленные к члену, являются числами Фибоначчи.{n} = f_ {n} \ phi + f_ {n-1} \)

, где \ (f_ {n} \) — n-е число Фибоначчи, а \ (\ phi \) — золотое сечение .

Пример \ (\ PageIndex {5} \): Степени золотого сечения

Найдите следующее, используя правило золотой силы: a. и б.

чисел Фибоначчи (последовательность)

1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 год , 34 , 55 , 89 , 144 , 233 , 377 , . ..

Числа Фибоначчи (Первый 14 перечислены выше) являются последовательность чисел, рекурсивно определяемых формулой

F 0 знак равно 1
F 1 знак равно 1
F п знак равно F п — 2 + F п — 1 где п ≥ 2 .

Каждый член последовательности после первых двух — сумма двух предыдущих членов.

1 + 1 знак равно 2 , 1 + 2 знак равно 3 , 2 + 3 знак равно 5 , 3 + 5 знак равно 8 , 5 + 8 знак равно 13 и так далее

Эта последовательность чисел была впервые создана Леонардо Фибоначчи в 1202 . Это обманчиво простая серия с почти безграничным количеством приложений. Математики были очарованы им почти 800 годы. Бесчисленные математики добавили кусочки к информации о последовательности и о том, как она работает. Это происходит в природе в виде спиралей из листьев и семян. Он играет значительную роль в искусстве и архитектуре.

Когда вы находите соотношение последовательных чисел в последовательности Фибоначчи и делите каждое на предыдущее, вы обнаруживаете, что значение становится все ближе и ближе к 1.61538 … , что является близким приближением Золотое сечение , точное значение которого 1 + 5 2 . Золотое сечение — это отношение длины к ширине Золотой прямоугольник . Обе эти увлекательные темы требуют дальнейшего изучения с вашей стороны.

Почему 1/89 представляет последовательность Фибоначчи? | Кришнан

Моя цель в этой статье — показать, как десятичное разложение некоторых дробей дает последовательность Фибоначчи. Давайте сначала взглянем на десятичное разложение 1/89:

Теперь, чтобы быстро освежить в памяти последовательность Фибоначчи. Вы начинаете с чисел 0 и 1, и каждое число после этого является суммой двух перед ним. Это дает нам последовательность: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…

(Небольшое примечание об обозначениях: Fₙ = Fib (n) = nth Fibonacci number)

Посмотрев на последовательность Фибоначчи, оглянитесь на десятичное разложение 1/89 и попытайтесь обнаружить какие-либо сходства.Вы бы увидели

Теперь, на первый взгляд, этот паттерн разваливается. Следующей цифрой должно было быть 8, то есть Фибоначчи (6). Однако, если мы присмотримся внимательнее, вы увидите, что мы получаем 9 из 8 и десятки из 13, что является Fib (7).

Это дает нам интуицию, что каждому числу Фибоначчи дается одна цифра пространства, поэтому оно начинает переходить к предыдущей цифре, когда размер числа Фибоначчи превышает одну цифру. Это делает чрезвычайно трудным отследить, какие значения Фибоначчи отвечают за какие десятичные разряды.

(В конце мы решим проблему переполнения цифр.)

Хотя мы видели закономерность, мы не знаем, будет ли это справедливо для бесконечного расширения 1/89, поэтому нам нужно доказать это соотношение. Полное доказательство начнется с бесконечного суммирования чисел Фибоначчи, разделенных на возрастающие степени 10, и докажет, что выражение равно 1/89. Итак, мы можем начать с выражения:

Разделив на 10, мы получим:

Вычтя первое выражение из второго, мы получим:

И доказательство завершено.

Итак, настоящий математик спросит: «А что, если бы мы хотели обобщить это, чтобы получить более общее выражение? Что, если бы нам нужно было n знаков пробела для каждого числа Фибоначчи? » Это приводит нас к следующему выражению.

Следовательно, мы получили выражение, которое будет генерировать последовательность Фибоначчи в виде десятичного разложения. Давайте посмотрим, работает ли он:

Во-первых, мы можем подключить n = 1 и получить результат, который мы видели ранее.

А теперь давайте попробуем n = 5

И мы можем ясно видеть, что закономерность продолжается.

Чтобы быть справедливым и беспристрастным судьей, я хотел бы остановиться на недостатках этого метода. Чтобы вычислить n-е число Фибоначчи, вам нужно будет найти размер числа, чтобы вы могли использовать правильное значение n. В противном случае вам придется иметь дело с переносом цифр, что является головной болью.

Этот метод вычисления n-го числа Фибоначчи может быть вычислен с той же скоростью, что и самый быстрый из известных методов (матричное возведение в степень). Кроме того, это очень интересный способ найти n-е число Фибоначчи, потому что, в отличие от формулы Бине, этот метод можно выполнить вручную.

В будущем я напишу еще одну статью, анализирующую вычислительную сторону этой формулы, но это все, что сейчас. До свидания.

(Примечание: одна техническая деталь, которую я упустил, заключается в том, что для того, чтобы мы установили суммирование равным конечной величине S, нам нужно доказать, что сумма сходится. Это выходит за рамки данной статьи, но может быть доказано с помощью Формула Бине.)

числа Фибоначчи, 6 | Блог Питера Кэмерона

Во второй части этой серии я объяснил, что она была вдохновлена ​​беседой с Джоном Конвеем в Файн Холле, Принстон, в 1996 году.Я хотел бы закончить второй частью этого разговора. Я понимаю, что отчасти это произошло благодаря Кларку Кимберлингу, и я не знаю, как распределить кредит. Но здесь есть некоторые загадки.

Напомним из части 3, что отношение последовательных чисел Фибоначчи стремится к золотому сечению α = (1 + √5) / 2.

Теперь предположим, что у растущего растения появляются листья, каждый из которых представляет собой долю (α − 1) круга дальше вокруг стебля, чем предыдущий. (Это феномен филлотаксиса , и ему были даны различные объяснения, более или менее убедительные; я приму его как данность.) Мы можем отметить положение следующих друг за другом листьев на окружности с углами (кратными 2π), отсчитываемыми от положения начального листа, номер 0. Таким образом, лист номер n появляется под углом { n α}, где фигурные скобки {} обозначают дробную часть .

Когда появляется номер листа n , круг уже разделен на n интервалов предыдущими листьями; Предположим, что существует a _n интервалов между нулевым листом и n -м, и b _n интервалов между n -м листом и нулевым листом.Таким образом, a _n + b _n = n +1.

Что можно сказать о заказанных парах ( a _n , b _n )?

Ответ основан на теории непрерывных дробей, которую я обсуждал в части 4. Отношения последовательных чисел Фибоначчи являются хорошими рациональными приближениями к α в точном смысле, который подразумевает, что различия между F _n α и F _{n +1} чередуются по знаку, но уменьшаются по величине по мере увеличения n . Итак, если n = F _{k +1} , то ( a _n , b _n ) равно (1, n ), если k нечетное , и равно ( n , 1), если k четное.

Итак, если мы проследим последовательность чисел Фибоначчи, то число 1 будет раскачиваться из стороны в сторону от упорядоченной пары.

Более того, свойство аппроксимации подразумевает, что единственный раз, когда a _n или b _n равно 1, — это когда n является числом Фибоначчи.

А как насчет других ценностей? В следующей таблице приведены первые несколько:

n	a n	b n
1	1	1
2	1	2
3	3	1
4	2	3
5	1	5
6	5	2
7	3	5
8	8	1
9	5	5
10	2	9
11	9	3
12	5	8
13	1	13
14	10	5
15	5	11
16	15	2
17	9	9
18	3	16
19	15	15
20	8	13
21	21	1
22	13	10
23	5	19
24	20	5
25	11	15

Прежде чем читать дальше, вы можете потратить несколько минут на выявление закономерностей в этой таблице.

В части 2 я объяснил, как натуральные числа можно разделить на последовательности, подобные Фибоначчи, проиндексированные неотрицательными целыми числами: первая запись в каждой последовательности — это наименьшее число, которое ранее не встречалось; второй получается из него применением «функции преемника Фибоначчи», а остальные элементы — обычным повторением Фибоначчи. Вторая строка таблицы начинается с 4, 7, 11, 18,…. Теперь посмотрите на соответствующие записи в таблице: (2,3), (3,5), (9,3), (3,16),….На этот раз цифра 3 «прыгает» из стороны в сторону по мере продвижения. В третьей последовательности 6, 10, 16,… цифра 2 подпрыгивает. В таблице ниже дано «число подпрыгивания» t для последовательности n -й.

n	т
0	1
1	3
2	2
3	5
4	8
5	5
6	9
7	5
8	10
9	15
10	9

Не знаю, в чем тут картина. Думаю, в 1996 году Кануэй тоже не знал. Я не уверен, что сейчас известно больше. Если это так, и кто-нибудь захочет рассказать мне об этом или написать об этом, я был бы счастлив!

Предыдущая | Следующий

Нравится:

Нравится Загрузка …

Связанные

Игра с последовательностью Фибоначчи: будьте естественно любопытны: 9781942403142: Amazon.com: Books

Этот интерактивный многоцелевой мини-курс, предназначенный для детей классов K-5 и проводимый дома или в небольших группах, знакомит детей с последовательность Фибоначчи и то, как математика и искусство могут пересекаться с наукой и природой.Он берет одну из самых увлекательных математических тем, последовательность Фибоначчи и соответствующее золотое сечение, и показывает детям, как с помощью математики можно увидеть закономерности во всех видах природных условий, таких как расположение листьев, раковины улиток и ураганы. Мини-курс включает в себя хорошо иллюстрированный урок, основанный на рассказах, а также игры, задания и проекты, которые нравятся всем учащимся.

Иллюстрированный рассказ о Фибоначчи и его воображаемом бобовом стебле знакомит детей с математическими концепциями последовательностей и множеств, а также является иллюстрацией знаменитого паттерна Фибоначчи.Создавая свои собственные Цветочные Книги Фибоначчи, дети затем начинают исследовать некоторые места в природе, в которых встречается знаменитая последовательность. Затем детям предлагается визуализировать взаимосвязь между числами и фигурами, когда они учатся создавать свои собственные золотые спирали из последовательности Фибоначчи. Какие элементы природы они видят в своих спиралях? Затем, в игре «Чистые числа», дети укрепляют и расширяют свое понимание этих математических понятий, составляя свои собственные математические наборы.Наконец, дети весело проведут время, проверяя, насколько хорошо они знают последовательность Фибоначчи, играя в Прогулку по Фибоначчи, основанную на движении.

Большинство материалов, необходимых для прохождения мини-курса, можно вырезать из книги.