Потенциальная энергия — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 26 мая 2016; проверки требуют 19 правок. Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 26 мая 2016; проверки требуют 19 правок. У этого термина существуют и другие значения, см. Потенциал.

Потенциальная энергия U(r→){\displaystyle U({\vec {r}})} — скалярная физическая величина, представляющая собой часть полной механической энергии системы, находящейся в поле консервативных сил. Зависит от положения материальных точек, составляющих систему, и характеризует работу, совершаемую полем при их перемещении^[1]. Другое определение: потенциальная энергия — это функция координат, являющаяся слагаемым в лагранжиане системы и описывающая взаимодействие элементов системы^[2].

Помимо символа U{\displaystyle U}, для потенциальной энергии могут использоваться обозначения  Ep{\displaystyle \ E_{p}},  W{\displaystyle \ W} и другие.

Термин «потенциальная энергия» был введен в XIX веке шотландским инженером и физиком Уильямом Ренкином.

Единицей измерения энергии в Международной системе единиц (СИ) является джоуль, а в системе СГС — эрг.

Взаимодействие тел можно описывать либо с помощью сил, либо (для случая консервативных сил) с помощью потенциальной энергии как функции координат. В квантовой механике используется исключительно второй способ: в её уравнениях движения фигурирует потенциальная энергия взаимодействующих частиц^[3].

О физическом смысле понятия потенциальной энергии[править | править код]

В то время как кинетическая энергия всегда характеризует тело относительно выбранной системы отсчёта, потенциальная энергия всегда характеризует тело относительно источника силы (силового поля). Кинетическая энергия тела определяется его скоростью относительно выбранной системы отсчёта; потенциальная — расположением тел в поле.

Кинетическая энергия системы всегда представляет собой сумму кинетических энергий точек, потенциальная энергия в общем случае существует лишь для системы в целом, и само понятие «потенциальная энергия отдельной точки системы» может быть лишено смысла^[4].

Потенциальная энергия определяется с точностью до постоянного слагаемого^[5] (приводимые в следующем разделе выражения для Ep{\displaystyle E_{p}} могут быть дополнены произвольным фиксированным членом +Ep0{\displaystyle +E_{p0}}). Однако основной физический смысл имеет не само значение потенциальной энергии, а её изменение: например, сила, действующая со стороны потенциального поля на тело, записывается (∇{\displaystyle \nabla } — оператор набла) как

F→(r→)=−∇Ep(r→),{\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})=-\nabla E_{p}({\vec {r}}),}

или, в простом одномерном случае,

F(x)=−dEp(x)/dx,{\displaystyle F(x)=-{\rm {d}}E_{p}(x)/{\rm {d}}x,}

так что произвол выбора Ep0{\displaystyle E_{p0}} не сказывается.

В поле тяготения Земли[править | править код]

Потенциальная энергия тела  Ep{\displaystyle \ E_{p}} в поле тяготения Земли вблизи поверхности приближённо выражается формулой:

 Ep=mgh,{\displaystyle \ E_{p}=mgh,}

где  m{\displaystyle \ m} — масса тела,  g{\displaystyle \ g} — ускорение свободного падения,  h{\displaystyle \ h} — высота положения центра масс тела над произвольно выбранным нулевым уровнем.

В электростатическом поле[править | править код]

Потенциальная энергия материальной точки, несущей электрический заряд  qp{\displaystyle \ q_{p}}, в электростатическом поле с потенциалом φ(r→){\displaystyle \varphi ({\vec {r}})} составляет:

 Ep=qpφ(r→).{\displaystyle \ E_{p}=q_{p}\varphi ({\vec {r}}).}

Например, если поле создаётся точечным зарядом  q {\displaystyle \ q\ } в вакууме, то будет  Ep=qpq/4πε0r{\displaystyle \ E_{p}=q_{p}q/4\pi \varepsilon _{0}r} (записано в системе СИ), где r{\displaystyle r} — расстояние между зарядами  q {\displaystyle \ q\ } и  qp{\displaystyle \ q_{p}}, а  ε0{\displaystyle \ \varepsilon _{0}} — электрическая постоянная.

В механической системе[править | править код]

Потенциальная энергия упругой деформации характеризует взаимодействие между собой частей тела и приближённо выражается формулой:

Ep=k(Δx)22,{\displaystyle E_{p}={\frac {k(\Delta x)^{2}}{2}},}

где k{\displaystyle k} — жёсткость деформированного тела, Δx{\displaystyle \Delta x} — смещение от положения равновесия.

1. ↑ Тарг С. М. Потенциальная энергия // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая Российская энциклопедия, 1994. — Т. 4. Пойнтинга—Робертсона эффект — Стримеры. — С. 92. — 704 с. — 40 000 экз. — ISBN 5-85270-087-8.
2. ↑ Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теоретическая физика. — Издание 5-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2004. — Т. I. Механика. — 224 с. — ISBN 5-9221-0055-6.
3. ↑ Сивухин Д. В. Общий курс физики. Механика. — М., Наука, 1979. — Тираж 50 000 экз. — с. 159
4. ↑ Айзерман М. А. Классическая механика. — М., Наука, 1980. — с. 76-77
5. ↑ С. К. Игнатов. Механика. Курс лекций для студентов химических специальностей. — Изд-во ННГУ (Нижний Новгород), 2010. — С. 50—51.

Кинетическая энергия точки

Кинетической энергией материальной точки (или ее живой силой) называют половину произведения массы точки на квадрат ее скорости.

Теорема об изменении кинетической энергии точки.

Теорема. Дифференциал кинетической энергии точки равен элементарной работе силы, действующей на точку.

Доказательство: Основной закон динамики .

Умножим левую и правую части уравнения скалярно на справа, получаем.— элементарная работа.

— дифференциал от кинетической энергии.

, что и требовалось доказать.

Теорема. Производная по времени от кинетической энергии точки равна мощности, подводимой к этой точке.

Теорема. Изменение кинетической энергии точки на каком-либо перемещении равно работе силы, действующей на точку на этом же перемещении.

Принцип Даламбера для материальной точки

Уравнение движения материальной точки относительно инерциальной системы отсчета под действием приложенных активных сил и сил реакции связей имеет вид:

,

— равнодействующая активных сил, — равнодействующая сил реакции связей.

Силой инерции материальной точки называют произведение массы точки на вектор ускорения, взятое с обратным знаком, т.е. .

Если использовать понятие силы инерции, то основной закон динамики принимает вид:

Принцип Даламбера. При движении материальной точки активные силы и силы реакции связей вместе с силой инерции точки образуют равновесную систему сил.

Принцип Даламбера называют еще методом кинетостатики. Задачи динамики с помощью этого метода сводятся к задачам статики.

Лекция 4

Краткое содержание:Динамика несвободной материальной точки. Относительное движение материальной точки. Частные случаи.

Динамика несвободной материальной точки

Несвободной материальной точкой называется точка, свобода движения которой ограничена.

Тела, ограничивающие свободу движения точки, называются связями.

Пусть связь представляет собой поверхность какого-либо тела, по которой движется точка. Тогда координаты точки должны удовлетворять уравнению этой поверхности, которое называется уравнением связи.

Если точка вынуждена двигаться по некоторой линии, то уравнениями связи являются уравнения этой лини.

,

Таким образом, движение несвободной материальной точки зависит не только от приложенных к ней активных сил и начальных условий, но так же от имеющихся связей. При этом значения начальных параметров должны удовлетворять уравнениям связей.

Связи бывают двухсторонние или удерживающие и односторонние или неудерживающие.

Связь называется двухсторонней если, накладываемые ею на координаты точки ограничения выражаются в форме равенств, определяющих кривые или поверхности в пространстве на которых должна находится точка.

Пример

Материальная точка подвешена на стержне длины .

Уравнение связи имеет вид:

Связь называется односторонней если, накладываемые ею на координаты точки ограничения выражаются в форме неравенств. Односторонняя связь препятствует перемещению точки лишь в одном направлении и допускает ее перемещение в других направлениях.

Пример

Материальная точка подвешена на нити длины

.

Уравнение связи имеет вид:

Обсуждение:Кинетическая энергия — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Господи! Формулу кинетической энергии «выводят». Какой ужас! Предлагаю убрать, пока кто-нибудь из детей этого не увидел. 91.77.213.204 14:22, 3 августа 2008 (UTC)

как вы формулу кинетической энергии выводите???? надо интегрировать, а вы без этого обходитесь рекомендую почитать книгу Детлаф А. А., Яворский Б. М. 2-е издание. Ужас Олег 213.85.81.90 00:44, 6 января 2009 (UTC)

>> Более строго, кинетическая энергия есть разность между полной энергией системы и её энергией покоя; таким образом, кинетическая энергия — часть полной энергии, обусловленная движением.
А как же потенциальная?
W = E_покоя + T + U 194.190.225.107 08:12, 23 марта 2011 (UTC)

Соотношение кинетической и внутренней энергии[править код]

Предлагаю указать что кинетическая носит относительный характер. Кинетическая энергия полуквадрат разности скоростей МТ и системы отсчета (относительной которой измеряют КЭ) умноженная на массу.

E=(V_тела — V_{системы отсчета})² * m/2 Ruslan Gubaidullin 09:19, 28 марта 2011 (UTC)

Здравый смысл и логика — требуют подтверждений и источников? —Ruslan Gubaidullin 11:00, 28 марта 2011 (UTC)

• Безусловно. Вы исключаете, что ваш смысл может быть не очень здравым, а в логике имеются ошибки? А если в Википедию придёт другой участник и назовёт свой смысл здравым, а логику правильной и всё напишет по-другому, что вы будете делать, и кто вас рассудит? В Википедии главным судьёй являются авторитетные источники, тем более, что никогда не вредно сверить свои расчёты с уже опубликованными, даже лучшие из лучших случается ошибаются. — Артём Коржиманов 11:39, 28 марта 2011 (UTC)

работа кинетической энергии[править код]

Есть про такое что-нибудь в АИ? Интересуют АИ с определением в стиле «Кинетическая энергия — скалярная физическая величина, характеризующая способность некоего тела (или материальной точки) совершать работу за счет изменения своей скорости» (эту фразу я скопировал из статьи потенциальная энергия и подправил тут под нужный смысл) —Nashev 14:09, 12 апреля 2013 (UTC)

Работа сил, действующих на материальную точку, не может изменять её потенциальную энергию? Или силы— это ускорение, ускорение — это изменение скорости, а изменение скорости — это изменение кинетической энергии, и все это, типа, однозначно? А если силы действуют, тело движется без ускорения, но с трением или вверх, растёт у него температура или потенциальная энергия — то это за счёт работы каких сил? —Nashev 20:28, 16 апреля 2013 (UTC)

• Изменение полной энергии тела равно работе только неконсервативных сил. Вроде в школе это проходят. — Артём Коржиманов 07:12, 17 апреля 2013 (UTC)

Кинетическая энергия в релятивистской механике[править код]

Перенесено с основной страницы — Алексей Копылов 18:14, 4 апреля 2019 (UTC)

В формуле для кинетической энергии в релятивистском случае упущение: масса покоя обозначена так же как и масса в движущейся системе. — Эта реплика добавлена с IP 77.234.13.247 (о) 18:04, 4 апреля 2019 (UTC)

5 Кинетическая энергия твердого тела

1. Кинетическая энергия вращения твёрдого тела складывается из кинетических энергий отдельных элементов. Пусть тело вращается вокруг неподвижной оси. Кинетическая энергия элемента dm_i, находящегося на расстоянии r_i от оси, равна

(5.1)

так как

Кинетическая энергия всего тела

Интеграл есть момент инерции тела:, поэтому

(5.2)

Мы видим, что кинетическая энергия твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, выражается так же, как и кинетическая энергия поступательного движения, только вместо массы фигурирует момент инерции, а вместо линейной скорости – угловая.

2. Найдём работу, совершаемую приложенным к телу вращательным моментом при повороте тела на некоторый угол вокруг неподвиж-

ной оси.

Пусть сила F, создающая вращательный момент действует по касательной к окружности, которую описывает при вращении тела точка приложения этой силы (рис.9).

При повороте тела на бесконечно малый угол d точка приложения силы переместится на расстояние ds (ds-длина дуги окружности).

Работа силы F при этом повороте будет равна:

dA=Fds (5.3)

(направление силы и направление перемещения совпадают). Из геометрических соотношений ds=rd. Тогда работа dA=Frd. Но rF=M есть момент силы F относительно оси вращения. Следовательно,

(5.4)

Работа силы, действующей на твёрдое тело при вращении его вокруг неподвижной оси, равна произведению момента этой силы относительно оси вращения на угол поворота тела.

При повороте тела на конечный угол работа будет равна сумме элементарных работ:

(5.5)

Если момент то работа, совершаемая при повороте

тела на угол ,будет равна

(5.6)

3. Покажем, что если к телу приложен вращательный момент, то работа сил, создающих этот момент, будет равна приращению кинетической энергии вращательного движения этого тела.

По основному закону динамики вращательного движения

(5.7)

Подставим (5.7) в (5.4):

но есть угловая скорость.

Следовательно, (5.8)

Полная работа , (5.9)

что и требовалось доказать.

4. В общем случае движение твёрдого тела может быть представлена как суперпозиция поступательного движения центра инерции и вращательного движения вокруг соответствующей оси.

Пусть скорость движения центра инерции тела — и тело вращается вокруг оси, проходящей через центр инерции. Тогда полная кинетическая энергия тела, обусловленная его участием в этих видах движения, будет равна: (5.10)

Первое слагаемое определяет кинетическую энергию поступательного движения, второе – кинетическую энергию вращательного движения.

5. В заключение приведём таблицу, в которой сопоставляются величины, играющие аналогичную роль в поступательном и вращательном движениях.

ПосП
1. Линейный путь S (м)	1. Угловой путь  (рад)
2. Линейная скорость (м/с)	2. Угловая скорость (рад/с)
3. Линейное ускорение (м/с2)	3. Угловое ускорение (рад/с2)
4. Масса m (кг)	4. Момент инерции относительно оси I (кг м2)
5. Сила (Н)	5. Момент силы (Н м)
6. Импульс (кг м/ с)	6. Момент импульса (кгм2/с)
7. Импульс силы (Н с)	7. Импульс момента силы
8.Второй закон Ньютона	8. Основной закон динамики:
9. Работа dA=Fds (Дж)	9. Работа dA=Md (Дж)
10. Кинетическая энергия (Дж)	10.Кинетическая энергия (Дж)

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Маховик, вращавшийся с постоянной угловой скоростью , при торможении начал вращаться равнозамедленно. Когда торможение прекратилось, вращение маховика снова сделалось равномерным, но уже с угловой скоростью

Определить угловое ускорение маховика и продолжительность торможенияt, если за время равнозамедленного движения маховик сделал N = 50 оборотов.

Решение. Угловое ускорение маховика связано с начальнойи конечнойугловыми скоростями соотношением

откуда

Но так как то

Выразим ,иN в единицах системы СИ: рад/с,

12рад/с, N = 50 об.

Подставив числовые значения в выражение для , получим

рад/с².

Угловое ускорение получилось отрицательным, так как маховик вращался замедленно.

Для определения продолжительности торможения используем формулу, связывающую угол поворота со средней угловой скоростьювращения и временемt:

или

откуда

Подставив числовые значения, найдём

Пример 2. Два шара массой m и 2m (m = 10 г) закреплены на тонком, невесомом стержне длиной l = 40 см так, как это указано на рисунке 10 в двух случаях. Определить момент инерции J системы, относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его конец в этих двух случаях. Размерами шаров пренебречь.

Решение. Для определения момента инерции воспользуемся теоремой Штейнера

где момент инерции системы шаров относительно оси, проходящей через центр масс – точкуС; М – масса всей системы, а — расстояние между заданной осью, проходящей через точку О и осью, проходящей через центр масс.

Положение центра масс определим по формуле

,

где массаi части системы, положение этой массы относительно заданной осиО.

Случай а. Находим положение центра масс

Это есть расстояниеа между осями, т.е. .

Расстояние шара массой от центра масс равно; расстояние шара массойот центра масс равно. С учётом этих замечаний момент инерции системы относительно оси, проходящей через центр масс равен

Момент инерции системы относительно заданной оси, проходящей через точку О равен

Подставив числовые значения, получим

Случай б. Находим положение центра масс (расстояние а)

, т.е.

Положение шара массой относительно центра масс

.

Положение шара массой относительно центра масс

.

Момент инерции системы шаров относительно оси, проходящей через центр масс

Момент инерции относительно заданной оси О

Численное значение момента инерции равно

Пример 3. Определить момент инерции сплошного шара массой

m= 10 кг и радиусом R = 0,1 м относительно оси, проходящей через центр тяжести.

Решение. При определении момента инерции шара воспользуемся тем, что момент инерции однородного диска относительно оси, проходящей через центр масс, перпендикулярно его плоскости равен

где m – масса диска, r – радиус диска.

Поэтому будем разбивать шар на диски толщиной dh, расположенные перпендикулярно оси, проходящей через центр масс (рис.11).

Выделим один из таких дисков радиусом r. Его момент инерции равен

Из рисунка следует, что

тогда

и момент инерции всего шара

Подставив числовые значения величин, получим

кг.м².

Пример 4. Маховик в виде сплошного диска радиусом R = 0,2 м и массой m = 50 кг раскручен до частоты вращения n₁ = 8 с^-1 и предоставлен сам себе. Под действием сил трения маховик остановился через с. Найти момент М сил трения.

Решение. Для решения задачи воспользуемся основным уравнением динамики вращательного движения твердого тела в виде

где момент внешних сил (в данном случае момент сил трения), действующих на маховик относительно оси, совпадающей с геометрической осью маховика,момент инерции маховика в виде сплошного диска (определяется как),угловое ускорение.

Угловое ускорение определим как где

.

Тогда момент М сил трения будет равен

Подставим числовые значения величин и произведем вычисления

Н.м.

Знак минус показывает, что момент сил трения оказывает на маховик тормозящее действие.

Пример 5. Маятник Максвелла представляет собой массивный диск, ось которого подвешена на двух накрученных на нее нитях (см. рис.12). Если маятник отпустить, то он будет совершать возвратно-поступательное движение в вертикальной плоскости при одновременном вращении диска вокруг оси.

Определить ускорение поступательного движения маятника, полагая, что момент инерции оси равен нулю.

Решение.Если маятник опустится и пройдет путь , то потенциальная энергия равнаяперейдет в кинетическую энергию поступательного и вращательного движений, т.е.

где – момент инерции диска (m – его масса, r – радиус диска), угловая скорость вращения диска, выраженная через линейную скорость крайних точек диска.

Учитывая замечания, имеем

откуда ;

Ускорение поступательного движения есть производная по времени от скорости, т.е.

но так как есть скорость, равная, то ускорение будет равно

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Какое тело является абсолютно твёрдым?

2. Какое движение твёрдого тела называется поступательным?

3. Какое движение твёрдого тела называется вращательным?

4. Что называется угловой скоростью вращательного движения? Как определяется направление угловой скорости?

5. Что такое угловое ускорение? Как выражается среднее и истинное угловое ускорение? Каково направление углового ускорения?

6. В каких единицах измеряется угловой путь, угловая скорость, угловое ускорение?

7. Какова связь между соответствующими линейными и угловыми характеристиками вращательного движения?

8. Что называется центром инерции твёрдого тела?

9. Что называется моментом силы относительно оси?

10. Какая физическая величина является мерой инерционных свойств вращающихся тел? От чего она зависит и как, в принципе, рассчитывается?

11. Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения. Запишите математическое выражение этого закона.

12. Как выражается кинетическая энергия вращения твёрдого тела?

13. Как выражается работа при вращении твёрдого тела?

14. Какова связь между кинетической энергией вращательного движения и работой вращательного момента, действующего на тело?

Кинетическая энергия — это… Что такое Кинетическая энергия?

Кинети́ческая эне́ргия — энергия механической системы, зависящая от скоростей движения её точек. Часто выделяют кинетическую энергию поступательного и вращательного движения.

Более строго, кинетическая энергия есть разность между полной энергией системы и её энергией покоя; таким образом, кинетическая энергия — часть полной энергии, обусловленная движением.

История

Впервые понятие кинетической энергии было введено в трудах Г. Лейбница, посвященных понятию «живой силы»

Физический смысл

Рассмотрим систему, состоящую из одной частицы, и запишем второй закон Ньютона:

 — есть результирующая всех сил, действующих на тело. Скалярно умножим уравнение на перемещение частицы . Учитывая, что , Получим:

Если система замкнута, то есть , то , а величина

остаётся постоянной. Эта величина называется кинетической энергией частицы. Если система изолирована, то кинетическая энергия является интегралом движения.

Для абсолютно твёрдого тела полную кинетическую энергию можно записать в виде суммы кинетической энергии поступательного и вращательного движения:

где:

 — масса тела

 — скорость центра масс тела

 — момент инерции тела

 — угловая скорость тела.

Физический смысл работы

Работа всех сил, действующих на частицу, идёт на приращение кинетической энергии частицы:

Релятивизм

При скоростях, близких к скорости света, кинетическая энергия любого объекта равна

где:

 — масса объекта;

 — скорость движения объекта в инерциальной системе отсчета;

 — скорость света в вакууме ( — энергия покоя).

Данную формулу можно переписать в следующем виде:

При малых скоростях () последнее соотношение переходит в обычную формулу .

Соотношение кинетической и внутренней энергии

Кинетическая энергия зависит от того, с каких позиций рассматривается система. Если рассматривать макроскопический объект (например, твёрдое тело видимых размеров), то тело неподвижно как единое целое, и можно говорить о такой форме энергии, как внутренняя энергия. Кинетическая энергия в этом случае появляется лишь тогда, когда тело движется как целое.

То же тело, рассматриваемое с микроскопической точки зрения, состоит из атомов и молекул, и внутренняя энергия обусловлена движением атомов и молекул и рассматривается как следствие теплового движения этих частиц, а абсолютная температура тела прямо пропорциональна средней кинетической энергии такого движения атомов и молекул. Коэффициент пропорциональности — Постоянная Больцмана.

См. также