Конспекты на тему «Системы тригонометрических уравнений»

1. Простейшие системы уравнений

К ним отнесем системы, в которых или одно из уравнений является линейным, или уравнения системы могут быть решены независимо друг от друга.

Пример 1

Решим систему уравнений 

Так как первое уравнение является линейным, то выразим из него переменную  и подставим во второе уравнение:  Используем формулу приведения и основное тригонометрическое тождество. Получим уравнение 

 или  Введем новую переменную t = sin у. Имеем квадратное уравнение 3t2 — 7t + 2 = 0, корни которого t1 = 1/3 и t2 = 2 (не подходит, так как sin у ≤ 1). Вернемся к старой неизвестной и получим уравнение sin y= 1/3, решение которого  Теперь легко найти неизвестную:  Итак, система уравнений имеет решения  где n ∈ Z.

 епае

Пример 2

Решим систему уравнений 

Уравнения системы независимы. Поэтому можно записать решения каждого уравнения. Получим:  Почленно сложим и вычтем уравнения этой системы линейных уравнений и найдем:  откуда 

Обратим внимание на то, что в силу независимости уравнений при нахождении х — у и х + у должны быть указаны разные целые числа n и k. Если бы вместо k было также поставлено n, то решения имели бы вид: 

 При этом было бы потеряно бесконечное множество решений и, кроме того, возникла бы связь между переменными x и у: х = 3у (чего нет на самом деле). Например, легко проверить, что данная система имеет решение х = 5π и у = п (в соответствии с полученными формулами), которое при k = n найти невозможно. Поэтому будьте внимательнее.

 

2. Системы вида 

Такие системы приводятся к простейшим при сложении и вычитании уравнений. При этом получим системы  или 

 Отметим очевидное ограничение:     и  Само же решение подобных систем сложностей не представляет.

 

Пример 3

 

Решим систему уравнений 

Преобразуем сначала второе уравнение системы, используя равенство  Получим: 

 Подставим в числитель этой дроби первое уравнение: и выразим  Теперь имеем систему уравнений  Сложим и вычтем эти уравнения. Имеем:  или  Запишем решения этой простейшей системы:   Складывая и     вычитая эти линейные уравнения, находим: 

 

3. Системы вида 

Такие системы можно рассматривать как простейшие и решать их соответствующим образом. Однако есть и другой способ решения: преобразовать сумму тригонометрических функций в произведение и использовать оставшееся уравнение.

Пример 4

Решим систему уравнений 

Сначала преобразуем первое уравнение, используя формулу для суммы синусов углов. Получим: 

 Используя второе уравнение, имеем:  откуда  Выпишем решения этого уравнения:  С учетом второго уравнения данной системы получаем систему линейных уравнений  Из этой системы находим   Такие решения удобно записать в более рациональном виде. Для верхних знаков имеем:  для нижних знаков — 

 

4. Системы вида 

Прежде всего необходимо получить уравнение, содержащее только одну неизвестную. Для этого, например, выразим из одного уравнения sin у, из другого — cosу. Возведем в квадрат эти соотношения и сложим. Тогда получается тригонометрическое уравнение, содержащее неизвестную х. Решаем такое уравнение. Затем, используя любое уравнение данной системы, получаем уравнение для нахождения неизвестной у.

 

Пример 5

Решим систему уравнений 

Запишем систему в виде    Возведем в квадрат каждое уравнение системы и получим:  Сложим уравнения этой системы:  или  Используя основное тригонометрическое тождество, запишем уравнение в виде 

 или    Решения этого уравнения cos x = 1/2 (тогда ) и cos x = 1/4 (откуда                                                  ),    где n, k ∈ Z. Учитывая связь между неизвестными cos y = 1 – 3 cos x, получим: для cos x = 1/2 cos y= -1/2; для cos x = 1/4 cos y = 1/4. Необходимо помнить, что при решении системы уравнений проводилось возведение в квадрат и эта операция могла привести к появлению посторонних корней. Поэтому надо учесть первое уравнение данной системы, из которого следует, что величины sin x и sin у должны быть одного знака.

С учетом этого получим решения данной системы уравнений  и  где n, m, k, l ∈ Z. При этом для неизвестных х и у одновременно выбирают или верхние, или нижние знаки.

В частном случае  система может быть решена преобразованием суммы (или разности) тригонометрических функций в произведение и последующим почленным делением уравнений друг на друга.

 

Пример 6

Решим систему уравнений 

В каждом уравнении преобразуем сумму и разность функций в произведение и разделим каждое уравнение на 2. Получим:  Так как ни один множитель в левых частях уравнений не равен нулю, то почленно разделим уравнения друг на друга (например, второе на первое). Получим:  откуда  Подставим найденное значение  например, в первое уравнение:  Учтем, что  Тогда  откуда 

Получили систему линейных уравнений   Складывая и вычитая уравнения этой системы, найдем  и  где n, k  ∈ Z.

 

5. Системы, решаемые с помощью замены неизвестных

Если система содержит только две тригонометрические функции или приводится к такому виду, то удобно использовать замену неизвестных.

Пример 7

Решим систему уравнений 

Так как в данную систему входят только две тригонометрические функции, то введем новые переменные а = tg х и b = sin у. Получим систему алгебраических уравнений  Из первого уравнения выразим                      а = b + 3 и подставим во второе:  или  Корни этого квадратного уравнения b1 = 1 и   b2 = -4. Соответствующие значения а1 = 4 и а2 = -1. Вернемся к старым неизвестным. Получим две системы простейших тригонометрических уравнений:

а)  ее решение  где n, k ∈ Z.

б)   решений не имеет, так как sin у ≥ -1.

 

 

 

Пример 8

Решим систему уравнений 

Преобразуем второе уравнение системы так, чтобы оно содержало только функции sin х и cos у. Для этого используем формулы понижения степени. Получим:  (откуда ) и   (тогда ). Второе уравнение системы имеет вид:  или  Получили систему тригонометрических уравнений  Введем новые переменные a = sin х и b = cos у. Имеем симметричную систему уравнений  единственное решение которой a = b = 1/2. Вернемся к старым неизвестным и получим простейшую систему тригонометрических уравнений  решение которой  где n, k ∈ Z.

 

 

6. Системы, для которых важны особенности уравнений

Практически при решении любой системы уравнений используются те или иные ее особенности. В частности, один из наиболее общих приемов решения системы — тождественные преобразования, позволяющие получить уравнение, содержащее только одну неизвестную. Выбор преобразований, конечно, определяется спецификой уравнений системы.

Пример 9

Решим систему 

Обратим внимание на левые части уравнений, например на  Используя формулы приведения, сделаем из нее функцию с аргументом π/4 + х. Получим:  Тогда система уравнений имеет вид:  Чтобы исключить переменную х, почленно умножим уравнения и получим:  или 1 = sin3 2у, откуда sin 2у = 1. Находим  и  Удобно отдельно рассмотреть случаи четных и нечетных значений n. Для четных n (n = 2k, где k ∈ Z)  Тогда из первого уравнения данной системы получим:  где m ∈ Z. Для нечетных  Тогда из первого уравнения имеем:  Итак, данная система имеет решения 

Как и в случае уравнений, достаточно часто встречаются системы уравнений, в которых существенную роль играет ограниченность функций синуса и косинуса.

 

Пример 10

 

Решим систему уравнений 

Прежде всего преобразуем первое уравнение системы:  или  или  или  или  Учитывая ограниченность функции синуса, видим, что левая часть уравнения не меньше 2, а правая часть не больше 2. Поэтому такое уравнение равносильно условиям sin2 2х = 1 и sin2 у = 1.

Второе уравнение системы запишем в виде sin2 у = 1 — cos2 z или sin2 у = sin2 z, и тогда sin2 z = 1. Получили систему простейших тригонометрических уравнений  Используя формулу понижения степени, запишем систему в виде  или  тогда  

Разумеется, при решении других систем тригонометрических уравнений также необходимо обращать внимание на особенности этих уравнений.

 

7. Системы, содержащие обратные тригонометрические функции

Такие системы встречаются гораздо реже, чем системы уравнений с тригонометрическими функциями. Поэтому остановимся только на нескольких примерах и обратим внимание на особенности решения подобных систем.

Пример 11

Выясним, при каких целых значениях k система уравнений  имеет решения, и найдем все эти решения,

Так как в эту систему входят только две обратные тригонометрические функции, то введем новые переменные a = arctg х и b = arccos у. Тогда система имеет вид:  Найдем возможные значения k. Учитывая области изменения функций arctg х и arccos у, получим:  Отсюда имеем:  Сложив эти неравенства одного знака, получим:  Учитывая первое уравнение системы, получим:  или  В промежуток [0; 5/4) входят два целых значения k = 0 и k = 1. Рассмотрим два этих случая.

а) При k = 0 система имеет вид:  и решений не имеет.

б) При k = 1 система принимает вид:  Из второго уравнения выразим b = π/2 — а и подставим в первое. Имеем:  или  Корни этого квадратного уравнения  Очевидно, что корень не подходит, так как  Для значения  найдем  (очевидно, что 0 ≤ b ≤ π). Вернемся к старым неизвестным и получим систему уравнений  которая имеет единственное решение 

Итак, только при k = 1 данная система уравнений имеет единственное решение 

На экзаменах встречаются также системы уравнений, содержащие обратные и прямые тригонометрические функции. Рассмотрим пример такой смешанной системы.

 

Пример 12

Решим систему уравнений 

Учитывая область изменения функции арксинуса, из второго уравнения получим неравенство  Откуда  По определению функции арксинуса из второго уравнения имеем:  или  или  откуда выразим  Подставим это соотношение в первое уравнение данной системы. Получим:  или  Используя основное тригонометрическое тождество, имеем уравнение  Решения этого уравнения cos y = -1 (тогда ) и cos y = 1/4 (откуда ). Из всех найденных решений условию  удовлетворяет только значение у = arccos 1/4. Определим  и найдем  Таким образом, данная система уравнений имеет единственное решение 

 

IV. Задание на уроках и на дом

Решите систему уравнений:

Ответы: 

 при  

 при   t- любое действительное число, кроме  при 

 

V. Подведение итогов уроков

Урок 10. Тригонометрические функции. Тригонометрические уравнения и их системы. Практика

Подготовка к ЕГЭ по математике

Эксперимент

Урок 10. Тригонометрические функции. Тригонометрические уравнения и их системы.

 

Практика

Конспект урока

Основную часть урока мы посвятим решению тригонометрических уравнений и систем, но начнем с заданий на свойства тригонометрических функций, которые с решением уравнений не связаны. Рассмотрим вычисление периода тригонометрических функций со сложным аргументом.

Задача №1. Вычислить период функций а) ; б) .

Воспользуемся указанными в лекции формулами.

а) Для функции  период . В нашем случае , т.е. .

б) Для функции  период . У нас , т.к. аргумент можно представить не только разделенным на три, но и умноженным на . Остальные действия с функцией (умножение на , добавление 1) не влияет на аргумент, поэтому нас не интересуют.

Получаем, что

Ответ. а) ; б) .

Переходим к основной части нашей практики и начинаем решение тригонометрических уравнений. Для удобства разберем решение тех же примеров, которые мы упоминали в лекции, когда перечисляли основные виды уравнений.

Задача №2. Решить уравнение: а) ; б) ; в) ; г) .

Для нахождения корней таких уравнений пользуемся формулами общих решений.

а)

Для вычисления значений аркфункции пользуемся нечетностью арктангенса и таблицей значений тригонометрических функций, что мы подробно рассматривали на предыдущем уроке. Далее не будем отдельно останавливаться на этих действиях.

б)

в)

г) При решении уравнения  хочется написать по общей формуле, что , но этого делать нельзя. Здесь принципиально важна проверка области значений косинуса, которая проверяется вначале решения уравнения.

Поскольку , что не лежит в области значений функции, следовательно, уравнение не имеет решений.

Важно не перепутать значение  с табличным значением косинуса , будьте внимательны!

Ответ. 

 

Замечание. Достаточно часто в задачах на решение тригонометрических уравнений и систем требуется указать не общее решение, демонстрирующее бесконечное семейство корней, а выбрать только несколько из них, которые лежат в определенном диапазоне значений. Давайте проделаем эти действия на примере ответа к пункту «в».

 

Дополнительная задача к пункту «в». Указать количество корней уравнения , которые принадлежат промежутку  и перечислить их.

 

Общее решение нам уже известно:

Для того чтобы указать корни, принадлежащие указанному промежутку, их необходимо по очереди выписать, подставляя конкретные значения параметра. Подставлять будем целые числа, начиная с , т.к. корни нас интересуют из диапазона, который близок к нулю.

 

 

При подстановке  мы получим еще большее значение корня, поэтому нет смысла этого делать. Теперь подставим отрицательные значения:

 

Подставлять  по тем же соображениям не имеет смысла. Следовательно, мы нашли единственный корень уравнения, который принадлежит указанному диапазону.

Ответ. ; указанному диапазону принадлежит одно значение корня уравнения.

 

Аналогичная постановка вопроса о поиске определенных значений корней уравнений может встречаться и в заданиях других типов, далее мы не будем тратить на это время. Поиск необходимых корней всегда будет выполняться аналогично. Иногда для этого изображают тригонометрическую окружность. Попробуйте сами нанести на окружность корни уравнений из пунктов «а» и «б», которые попадают в диапазон .

Задача №3. Решить уравнение .

Воспользуемся методом нахождения корней с использованием тригонометрической окружности, как это было показано на лекции.

Наносим на окружность точки, соответствующие углам, при которых . Такой угол один.

 

 

Первое значение угла, соответствующего указанной точке  — точка находится на луче, который является началом отсчета. Далее, чтобы попасть еще раз в эту же точку, но уже при другом значении угла, необходимо к первому найденному корню прибавить  и получим следующий корень . Для получения следующего корня необходимо проделать ту же операцию и т.д.

Таким образом, можем указать общее решение, которое будет демонстрировать, что для получения всех корней уравнения к первому значению необходимо любое целое количество раз добавлять :

Ответ..

 

Напомним, что аналогичным способом решаются уравнения вида:

 и

.

Задача №4. Решить уравнение . 

Наличие сложного аргумента не меняет того, что уравнение, по сути, является простейшим, и подход к решению сохраняется. Просто теперь в роли аргумента выступает . Его и пишем в формуле общего решения:

Далее выполняем преобразование линейного уравнения, пока не выразим искомую неизвестную :

 

Ответ..

Задача №5. Решить уравнение .

Самое главное, это не допустить типичную ошибку и не сократить обе стороны уравнения на , т.к. при этом мы потеряем корни уравнения, соответствующие . Грамотный подход к решению предполагает перенос всех выражений в одну сторону и вынесение общего множителя.

Решение систем тригонометрических уравнений — АЛГЕБРА — Уроки для 10 классов — конспекты уроков — План урока — Конспект урока — Планы уроков

УРОК 27

Тема. Решение систем тригонометрических уравнений

 

Цель урока: познакомить учащихся с отдельными приемами решения систем тригонометрических уравнений.

И. Проверка домашнего задания

1. Четыре ученики воспроизводят решения домашних заданий: упражнение№ 2 (10; 18; 26; 38).

2. Устное решения тригонометрических уравнений, используя таблицу «Тригонометрические уравнения».

 

Таблица 11

 

	1	2	3	4
1	sin x = 0	cos x = 0	tg x = 0	ctg x = 0
2	sin x = 1	cos x = 1	tg x = 1	ctg x = -1
3	sin x =	cos x =	tg x =	сtg x =
4	sin x = —	сos x = —	2 sin x cos x = 1	cos2 x — sin2 x = 1
5	sin2 x = 1	cos2 x =	tg2 x = 1
6	sin x — cos x = 0	sin x + cos x = 0	sin2 x + cos2 x = 0	sin2 x + cos2 x = 1

 

II. Повторение сведений о методах решения систем алгебраических уравнений

1. Решите систему уравнений (методом добавления).

Ответ: (5; 3).

2. Решите систему уравнений.

Ответ: (1; 3), (3; 1).

 

III. Восприятия и осознания материала о решение систем тригонометрических уравнений

Основные методы решения систем тригонометрических уравнений почти такие, как и методы решения алгебраических систем.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Решить систему уравнений:

Решение

Прибавив и вычтя (1) и (2) уравнение, получаем

               

Ответ: х = (-1) + πn, nZ; у = ± + 2nk, kZ.

Пример 2. Решите систему уравнений:

.

Решение

Из первого уравнения находим у = n — х. Тогда cos х — cos(n — х) = 1, cos х + cos х = 1, 2 cos х = 1, cos х = , х = ± +2 πn, nZ.

Затем находим: y=π — = ± + (1 — 2n)π, п Z.

Ответ: х = ± + 2πп, у = ± + (1 — 2п)π, где n Z.

Пример 3. Решите систему уравнений:

Решение

  

Ответ: х = (k + n), y = (k — n), где n, k Z.

 

IV. Формирование умений решать системы тригонометрических уравнений

Решить систему уравнений:

а)б)в) г)

Ответы: а) x1 = + 2πk, y1 = — 2πk, х2 = + 2πk, y2 = — — 2πk, kZ.

б) х = ± + 2πk, y = πn где nZ, kZ.

в) х = + 2πk, у = + πn, где nZ, kZ.

г) х = — + π(n + k), n, kZ, у = — + n(k — n), n, kZ.

 

V. Подведение итогов урока

 

VI. Домашнее задание

Решить системы уравнений:

План урока по математике на тему Решение систем тригонометрических уравнении (10 класс)

План урока

Четверть: II

Раздел: 10.2A Тригонометрические уравнения

НИШ ХБН г. Атырау

Дата:

ФИО учителя: Адилгалиева Ж.С

Класс: 10

Количество присутствующих:

Отсутствующих:

Тема урока:

Методы решения тригонометрических уравнении и их систем

Цели обучения, которые достигаются на данном уроке (ссылка на учебную программу)

Учащиеся будут:

10.2.3.16. уметь решать системы тригонометрических уравнений

Цели урока:

сформировать у учащихся умения и закрепить навыки решения систем тригонометрических уравнений;

сформировать умения классифицировать по методам решений, применять эти методы в новой ситуации.

Критерии оценивания:

Учащиеся достиг цели, если

умеет решать тригонометрические уравнения методом разложения на множители.

Языковые цели:

Учащиеся:

Лексика и терминология:

• арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс числа;

• обратно тригонометрические функции;

• частные случаи решения простейших тригонометрических уравнений;

• однородное тригонометрическое уравнение.

Серия полезных фраз для диалога/письма:

• однородные тригонометрические уравнения второй степени решаются делением обеих частей уравнения на …;

• простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения вида … ;

Привитие ценностей

Умение учиться, добывать самостоятельно информацию, анализировать ситуацию, адаптироваться к новым ситуациям, ставить проблемы и принимать решения, работать в команде, отвечать за качество своей работы, умение организовывать свое время

Привитие ценностей осуществляется посредством работ, запланированных на данном уроке.

Межпредметные связи

У учащихся закладываются базовые знания решения тригонометрических уравнений.

Навыки использования ИКТ

Использование интерактивной доски в качестве демонстрационного средства и средства записи.

Предварительные знания

Знают, как решать простейшие тригонометрические уравнения

Тип урока:

Урок применения знаний в комплексе.

Ход урока:

Запланированные этапы урока

Запланированная деятельность на уроке

Ресурсы

Начало урока

Проверочная работа с целью восприятия нового материала

4-5 мин

Работа в группах

15-20 мин

Повторение пройденного материала.

Эпиграф занятия: «Без уравнения нет математики как средства познания природы» (академик Александров П. С.).

Учитель: «Сегодня у нас очередной урок по теме «Решение тригонометрических уравнений». Повторяем, приводим в систему изученные виды, типы, методы и приемы решения тригонометрических уравнений.

Перед вами стоит задача – показать свои знания и умения по решению тригонометрических уравнений. Все виды работ на уроке будут оценены, результаты занесены в лист учета знаний».

Повторение теории.

Вопросы к классу:

1). Какое уравнение называется тригонометрическим?

2). Каков алгоритм решения тригонометрических уравнений?

3). Уравнения какого вида называются простейшими тригонометрическими уравнениям?

Учитель обращается к учащимся:

«Назовите основные методы решения тригонометрических уравнений»

Ответы учащихся:

Введение новой переменной.

Разложение на множители.

Деление обеих частей уравнения на cos(mx) для однородных уравнений первой степени.

Деление обеих частей уравнения на cos²(mx) для однородных уравнений второй степени.

Метод предварительного преобразования с помощью формул

Каждая группа получает карточку уравнений, определяет метод решения, письменно записывает каким рациональным методом решаются уравнения, и приступает к решению.

Время на решение 15-20 минут.

1 группа готовит решение уравнения а),

2 группа-уравнение б)

3 группа –уравнение в)

4 группа –уравнение г)

«А по пятому уравнению д) попрошу обратить внимание группе учащихся» (можно разделить 2 –м учащимся решить одним из прилагаемых способов, а второй группке-другим способом). Если не успевают на уроке –задать на дом, с последующим объяснением на уроках

Математическая эстафета «Кто быстрее?»

Каждая группа получает карточки с уравнениями, они- находятся в файлах, на столах. Решив уравнение, один из учащихся группы выходит, изначально записывает ответ на доске, а потом проверяет решение со слайда.

Карточка с уравнениями (на столах- карточки без ответов)

а) sin²x + 4cos x = 2,75;

б) tg x + 3ctg x = 4;

в) 2 sin х · cos х — cos²x = 0;

г) 5 sin²x + sin х · cos х – 2 cos²x = 2.

д) cos x – sin x=1

(Решение показать на доске, желательно несколькими способами

ФО критерии оценивания: умеет решать простейшие тригонометрические уравнения

Объяснение новой темы

19-20 мин

Повторение сведений о методах решения систем алгебраических уравнений

1. Решите систему уравнений (методом добавления).

 Ответ: (5; 3).

2. Решите систему уравнений. 

Ответ: (1; 3), (3; 1).

 

 Восприятия и осознания материала о решение систем тригонометрических уравнений

Основные методы решения систем тригонометрических уравнений почти такие, как и методы решения алгебраических систем.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Решить систему уравнений:

Решение

Прибавив и вычтя (1) и (2) уравнение, получаем

               

Ответ: х = (-1)  + πn, nZ; у = ±  + 2nk, kZ.

Пример 2. Решите систему уравнений:

.

Решение

Из первого уравнения находим у = n — х.

Тогда cos х – cos (n — х) = 1, cos х + cos х = 1,

2 cos х = 1, cos х = , х = ± +2 πn, nZ.

Затем находим: y=π — = ± + (1 — 2n)π, п  Z.

Ответ: х = ±  + 2πп, у = ± + (1 — 2п)π, где n  Z.

Пример 3. Решите систему уравнений:

Решение

  

Ответ: х = (k + n), y =  (k — n), где n, k  Z.

 

а)  б) 

Ответ: а) х= — πn, у = πn, nZ;

б) х= (-1)k + nk, в = (-1)k+1  + n(1 — k), kZ.

Формирование умений решать системы тригонометрических уравнений

Работа в группе

15 20 мин

Решить систему уравнений:

а)

б) 

в) 

г)

Ответы: а) x1 =  + 2πk, y1 =  — 2πk, х2 =  + 2πk, y2 = —  — 2πk, kZ.

б) х = ± + 2πk, y = πn где nZ, kZ.

в) х =  + 2πk, у =  + πn, где nZ, kZ.

г) х = —  + π(n + k), n, kZ, у = —  + n(k — n), n, kZ.

ФО критерии оценивания:

умеет решать системы тригонометрических уравнении

Конец урока

Рефлексия

2 -3 мин

• Было ли тебе интересно на уроке?

• Сумел ли ты приобрести новые знания и умения на уроке?

• Сумел ли ты применить свои знания?

• Какой отметкой ты бы оценил свою работу на уроке?

Дифференциация – каким образом Вы планируете оказать больше поддержки? Какие задачи Вы планируете поставить перед более способными учащимися?

Оценивание – как Вы планируете проверить уровень усвоения материала учащимися?

Здоровье и соблюдение техники безопасности

Рефлексия по уроку

Были ли цели урока/цели обучения реалистичными?

Все ли учащиеся достигли ЦО?

Если нет, то почему?

Правильно ли проведена дифференциация на уроке?

Выдержаны ли были временные этапы урока?

Какие отступления были от плана урока и почему?

Используйте данный раздел для размышлений об уроке. Ответьте на самые важные вопросы о Вашем уроке из левой колонки.

Общая оценка

Какие два аспекта урока прошли хорошо (подумайте как о преподавании, так и об обучении)?

1:

2:

Что могло бы способствовать улучшению урока (подумайте как о преподавании, так и об обучении)?

1:

2:

Что я выявил(а) за время урока о классе или достижениях/трудностях отдельных учеников, на что необходимо обратить внимание на последующих уроках?

Решение системы тригонометрических уравнений

   Здравствуйте, Дорогие друзья! Сегодня мы рассмотрим задание из части С. Это система из двух уравнений. Уравнения довольно своеобразны. Здесь и синус, и косинус, да ещё и корни имеются. Необходимо умение решать квадратные уравнения и неравенства, простейшие тригонометрические уравнения. В представленном задании их подробные решения не представлены, это вы уже должны уметь делать. По указанным ссылкам можете посмотреть соответствующую теорию и практические задания.

Основная трудность в подобных примерах заключается в том, что необходимо полученные решения сопоставлять с найденной областью определения, здесь легко можно допустить ошибку из-за невнимательности.

Решением системы всегда является пара(ры) чисел х и у, записывается как (х;у). Обязательно после того  как получили ответ делайте проверку. Для вас представлено три способа, нет, не способа, а три пути рассуждения, которыми можно пойти. Лично мне наиболее близок третий. Приступим:

Решите систему уравнений:

ПЕРВЫЙ ПУТЬ!

Найдём область определения уравнения. Известно, что подкоренное выражение имеет неотрицательное значение:

Решая  неравенство 6х –  х² + 8 ≥ 0  получим  2 ≤ х ≤ 4   (1).

Величины 2  и  4 это радианы, 1 радиан как мы знаем ≈ 57,297⁰

В градусах приближённо можем записать  114,549⁰  ≤  х  ≤ 229,188⁰.

Решая  неравенство 2 – y – у² ≥ 0  получим   – 2 ≤ у ≤ 1   (2).

В градусах можем записать   – 114,549⁰  ≤  у  ≤ 57,297⁰.

Решая неравенство sin x ≥ 0 получим, что

Решая неравенство cos y ≥ 0 получим, что

Рассмотрим первое уравнение:

1. Оно равно нулю при х = 2 или при х = 4, но 4 радиана не принадлежит определения выражения (3).

*Угол в 4 радиана (229,188⁰)  лежит в третьей четверти, в ней значение синуса отрицательно. Поэтому

остаётся только корень  х = 2.  

Рассмотрим  второе уравнении при х = 2. 

При этом значении х выражение 2 – y – у² должно быть равно нулю, так как

Решим  2 – y – у² = 0, получим  y = – 2 или  y = 1.

Отметим, что при  y = – 2  корень из   cos y   не имеет решения.

*Угол в  –2 радиана (– 114,549⁰)  лежит в третьей четверти, а в ней значение косинуса отрицательно.

Поэтому остаётся только  y = 1.  

Таким образом,  решением системы будет пара (2;1).

2. Первое уравнение так же равно нулю при  cos y = 0, то есть при

Но учитывая найденную область определения (2),  получим:

Рассмотрим второе уравнение при этом у.

Выражение  2 – y – у² при у = – Пи/2 не равно нулю, значит для того, чтобы оно имело решение должно выполнятся условие:

Решаем:

Учитывая найденную область определения (1) получаем, что

Таким образом, решением системы является ещё одна пара:

*Мы нашли область определения. Далее начали рассматривать первое уравнение и учитывая область определения вычислили «по кругу» все множители в системе.

ВТОРОЙ ПУТЬ!

Найдём область определения для выражения:

Известно, что выражение под корнем имеет неотрицательное значение.
Решая  неравенство 6х –  х² + 8 ≥ 0,  получим  2 ≤ х ≤ 4  (2 и 4 это радианы).

Рассмотрим Случай 1:

Пусть х = 2  или  х = 4.  

Если  х = 4, то sin x < 0. Если х = 2, то sin x > 0.

Учитывая то, что sin x ≠ 0, получается, что в этом случае во втором уравнении  системы  2 – y – у² = 0.

Решая уравнение получим, что y = – 2 или  y = 1.

Анализируя полученные значения можем сказать, что х = 4  и  y = – 2 не является корнями, так как получим sin x < 0  и  cos y < 0 соответственно, а выражение стоящее под корнем должно быть ≥ 0 (то есть числом неотрицательным).

Видно, что х = 2 и y = 1 входят область определения.

Таким образом, решением является пара (2;1).

Рассмотрим Случай 2:

Пусть теперь 2 < х < 4, тогда 6х –  х² + 8 > 0. Исходя из этого можем сделать вывод, что в первом уравнении cos y  должен быть равен нулю.

Решаем уравнение, получим:

Во втором уравнении при нахождении области определения выражения:

Получим:

2 – y – у² ≥ 0

– 2 ≤ у ≤ 1

Из всех решений уравнения cos y = 0 этому условию удовлетворяет только:

При данном значении у, выражение  2 – y – у² ≠ 0. Следовательно, во втором уравнении  sin x будет равен нулю, получим:

Из всех решений этого уравнения интервалу 2 < х < 4 принадлежит только

Значит решением системы будет ущё пара:

*Область определения сразу для всех выражений в системе находить не стали, рассмотрели выражение из первого уравнения (2 случая) и далее уже  по ходу определяли соответствие найденных решений с установленной областью определения. На мой взгляд не очень удобно, как-то путано получается.

ТРЕТИЙ ПУТЬ!

Он схож с первым, но есть отличия. Также сначала находится область определения для  выражений. Затем отдельно решается первое и второе уравнение, далее находится решение системы.

Найдём область определения. Известно, что подкоренное выражение имеет неотрицательное значение:

Решая  неравенство 6х – х² + 8 ≥ 0  получим  2 ≤ х ≤ 4  (1).

Величины 2  и  4 это радианы, 1 радиан как мы знаем   ≈ 57,297⁰

В градусах приближённо можем записать  114,549⁰  ≤  х  ≤ 229,188⁰.

Решая  неравенство 2 – y – у² ≥ 0  получим   – 2 ≤ у ≤ 1   (2).

В градусах можем записать   – 114,549⁰  ≤  у  ≤ 57,297⁰.

Решая неравенство sin x ≥ 0 получим, что

Решая неравенство cos y ≥ 0 получим, что

Известно, что произведение равно нулю тогда, когда один из множителей равен нулю (и другие при этом не теряют смысла).

Рассмотрим первое уравнение:

Значит

Решением  cos y = 0   является:

Решением  6х – х² + 8 = 0   являются   х = 2  и  х = 4.

Рассмотрим второе уравнение:

Значит

Решением  sin x = 0  является:

Решением уравнения  2 – y – у² = 0   будут   y = – 2  или  y = 1.

Теперь учитывая область определения проанализируем

полученные значения:

Так как   114,549⁰  ≤  х  ≤ 229,188⁰, то данному отрезку принадлежит только одно решение уравнения sin x = 0,  это  x = Пи.

Так как    – 114,549⁰  ≤  у  ≤ 57,297⁰, то данному  отрезку принадлежит только одно решение уравнения cos y = 0, это   

Рассмотрим корни  х = 2  и  х = 4.

Из того, что  sin x ≥ 0, следует, что х = 4 не будет корнем, так как

sin 4 ≤ 0.

Рассмотрим корни  y = – 2 и  y = 1.

Из того, что cos x ≥ 0, следует, что у = –2 не будет корнем, так как

cos (– 2) ≤ 0.

Далее просто необходимо перебрать все возможные решения:

То есть подставить их в систему и проверить!

Верно!

Неверно, значит данная пара не является решением!

Неверно, значит данная пара не является решением!

Верно!

Таким образом, решением системы будут две пары чисел:

*Здесь учитывая найденную область определения мы исключили все полученные значения, не принадлежащие ей и далее перебрали все варианты возможных пар. Далее проверили, какие из них являются решением системы.

Рекомендую сразу в самом начале решения уравнений, неравенств, их систем, если имеются корни, логарифмы, тригонометрические функции, обязательно находить область определения. Есть, конечно, такие примеры, где проще бывает сразу решить, а потом просто проверить решение, но таких относительное меньшинство.

Вот и всё. Успеха Вам!

решение систем тригонометрических уравнений

Вы искали решение систем тригонометрических уравнений? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и решение тригонометрических систем уравнений, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «решение систем тригонометрических уравнений».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как решение систем тригонометрических уравнений,решение тригонометрических систем уравнений,системы тригонометрических уравнений. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и решение систем тригонометрических уравнений. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, системы тригонометрических уравнений).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же решение систем тригонометрических уравнений Онлайн?

Решить задачу решение систем тригонометрических уравнений вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Примеры решения тригонометрических уравнений и систем уравнений

 

Решение тригонометрических уравнений и систем тригонометрических уравнений основывается на решении простейших тригонометрических уравнений.

Напомним основные формулы для решения простейших тригонометрических уравнений.

Решение уравнений вида sin(x) = a.

При |a|< = 1 x = (-1)^k *arcsin(a) +π*k, где k принадлежит Z.

При |a|>1 решений не существует.

Решение уравнений вида cos(x) = a.

При |a|< = 1 x = ±arccos(a) +2*π*k, где k принадлежит Z.

При |a|>1 решений не существует.

Решение уравнений вида tg(x) = a.

x = arctg(a) + π*k, где k принадлежит Z.

Решение уравнений вида ctg(x) = a.

 x = arcctg(a)+ π*k, где k принадлежит Z.

Некоторые частые случаи:

sin(x) =1; x = π/2 +2* π*k, где k принадлежит Z.

sin(x) = 0; x = π*k, где k принадлежит Z.

sin(x) = -1; x = — π/2 +2* π*k, где k принадлежит Z.

cos(x) = 1; x = 2* π*k, где k принадлежит Z.

cos(x) = 0; x= π/2 + π*k, где k принадлежит Z.

cos(x) = -1; x = π+2* π*k, где k принадлежит Z.

Рассмотрим несколько примеров:

Пример 1. Решить тригонометрическое уравнение 2*(sin(x))^2 + sin(x) -1 = 0.

Уравнения такого вида решаются сведение к квадратному уравнению заменой переменной.

Пусть у = sin(x). Тогда получаем,

2*y^2 + y — 1 = 0.

Решаем полученное увадратное уравнение одним из известных способов.

y1 = 1/2, y2 = -1.

Следовательно, получаем два простейших тригонометрических уравнения которые решаются по формулам, указанным выше.

sin(x) = 1/2, x = ((-1)^k)*arcsin(1/2) + pi*k = ((-1)^k)*pi/6 + pi*k, длю любого целого k.

sin(x) = -1, x = — pi/2 +2* pi*n, где n принадлежит Z.

Пример 2. Решить уравнение 6*(sin(x))^2 + 5*cos(x) – 2 = 0.

По основному тригонометрическому тождеству заменяем (sin(x))^2 на 1 — (cos(x))^2

Получаем квадратное уравнение относительно cos(x):

6*(cos(x))^2 – 5*cos(x) — 4 = 0.

Вводим замену y=cos(x).

6*y^2 — 5*y — 4 = 0.

Решаем полученное квадратное уравнение y1 = -1/2, y2 = 1(1/3).

Так как y = cos(x), а косинус не может быть больше единицы, получаем одно простейшее тригонометрическое уравнение.

cos(x) = -1/2.

x = ±2*pi/3+2*pi*k, при любом целом k.

Пример 3. tg(x) + 2*ctg(x) = 3.

Введем переменную y = tg(x). Тогда 1/y = ctg(x). Получаем

у+2*(1/y) = 3.

Умножаем на y не равное нулю, получаем квадратное уравнение.

y^2 – 3*y + 2 = 0.

Решаем его:

y = 2, y = 1.

tg(x) = 2, x = arctg(2)+pi*k, для любого целого k.

tg(x) = 1, x = arctg(1) + pi*k, pi/4 +pi*k, для любого целого k.

Пример 4. 3*(sin(x))^2 – 4*sin(x)*cos(x) + (cos(x))^2 = 0.

Это уравнение сводится к квадратному делением либо на (cos(x))^2, либо на (sin(x))^2. При делении на (cos(x)^2 получим

3*(tg(x))^2 – 4*tg(x) +1 = 0.

tg(x) = 1, x = pi/4+pi*n, для любого целого n

tg(x) = 1/3, x = arctg(1/3) + pi*k, для любого целого k.

Пример 4. Решить систему уравнений

{x-y = 5*pi/3,

{ sin(x) = 2*sin(y)

Из пергового уравнения выразим y,

y = x-5*pi/3.

Тогда получим, 2*sin(y) = 2*sin(x-5*pi/3) = 2*(sin(x)*cos(5*pi/3) — cos(x)*sin(5*pi/3)) = 2*(sin(x)*(1/2) –((√3)/2)*cos(x)) = sinx + √3*cos(x).

Подставляем это во второе уравнение системы получим cos(x) = 0, x = pi/2 + pi*n, для любого целого n.

Теперь находим y,

y = x — 5*pi/3 = pi/2 + pi*n – 5*pi/3 = -7*pi/6 + pi*n, для любого целого n.

Ответ: (pi/2+pi*n; -7*pi/6 + pi*n), для любого целого n.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Решение простейших тригонометрических неравенств: примеры и алгоритмы
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspПонятие о приращении функции, приращении аргумента: примеры

Все неприличные комментарии будут удаляться.