Дифференциальные уравнения, формулы и примеры

Понятие дифференциального уравнения

Например.

Толчком к развитию теории дифференциальных уравнений послужили различного рода механические задачи, в которых находились координаты тел, их скорости и ускорения. Названные величины зависели от времени при различных воздействиях.

Основой теории дифференциальных уравнений стало дифференциальное исчисление, которое было предложено немецким философом, логиком, математиком, механиком, физиком, юристом, историком, дипломатом, изобретателем и языковедом Готфридом Вильгельмом Лейбницем (1646-1716) и английским физиком, математиком, механиком и астрономом сэром Исааком Ньютоном (1642-1727). Термин «дифференциальное уравнение» предложил Готфрид Лейбниц в 1676 г.

18 век стал вправе переломным для развития теории дифференциальных уравнений. Появилось огромное количество работ, среди которых особо выделялись труды швейцарского, немецкого и российского математика и механика Леонардо Эйлера (1707-1783) и французского математика, астронома и механика Жозефа Луи Лагранжа (1736-1813).

В их работах получила свое развитие теория малых колебаний, которая основывалась на теории линейных систем дифференциальных уравнений. Методы теории возмущения были разработаны французским математиком, механиком, физиком и астрономом Пьером-Симоном, маркизом де Лапласом (1749-1827), Ж. Лагранжем и немецким математиком, механиком, физиком, астрономом и геодезистом Иоганном Карлом Фридрихом Гауссом (1777-1855).

Французский математик Жозеф Лиувиль (1809-1882) установил неразрешимость ряда дифференциальных уравнений в элементарных функциях и квадратурах. «Качественная теория дифференциальных уравнений» (или теория динамических систем), предложенная французским математиком, механиком, физиком, астрономом и философом Жюлем Анри Пуанкаре (1854-1912), стала новой вехой в развитии теории дифференциальных уравнений.

От истории развития дифференциальных уравнений вернемся к ее основным определениям и понятиям.

Если неизвестная функция, входящая в дифференциальное уравнение, зависит только от одной независимой переменной, то такое уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

Например. .

Порядок дифференциального уравнения

Например. Уравнение – дифференциальное уравнение третьего порядка, поскольку старший порядок производной, входящей в него, равен трем (данная производная подчеркнута).

Обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид:

   

Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка – или, если оно разрешимо относительно производной, – .

Решение дифференциального уравнения

Решением или общим интегралом дифференциального уравнения называется функция , удовлетворяющая указанному уравнению.

Кривая , соответствующая решению дифференциального уравнения, называется интегральной кривой этого уравнения.

Общее и частное решение дифференциального уравнения

Общим решением дифференциального уравнения называется соотношение

   

или

   

здесь C – произвольная постоянная или константа интегрирования. Это решение обладает следующим свойством: если разрешить выражение (или ) относительно y, то в результате получим функцию , являющуюся решением рассматриваемого дифференциального уравнения.

Уравнения (2) задают семейство интегральных кривых дифференциального уравнения (1).

Частное решение дифференциального уравнения – это решение, полученное из общего решения вида (2) при некотором значении произвольной постоянной C.

Например. Для дифференциального уравнения функция является общим решением, а при получаем частное решение .

Произвольную постоянную C можно определить из начальных условий – это такие условия, при которых ищется решение дифференциального уравнения, чтобы оно (решение) принимало значение при некотором заданном значении независимой переменной , то есть выполняется равенство

   

Если задано дифференциальное уравнение (1) с начальными условиями (3), то такая задача называется задачей Коши.

Например. .

Дифференциальные уравнения (4) — Задача

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную x, искомую функцию y и ее производные.

F(x, y, y, y, …, y⁽ⁿ⁾) = 0

Порядок старшей производной, входящей в уравнение, называется порядком уравнения.

Пример:

xy  – 3y = 0 – уравнение I порядка

y  + 5y  – 4y = 0 – уравнение II порядка

Решением (интегралом) дифференциального уравнения называется функция y = f(x), которая обращает исходное уравнение в тождество.

Пример:

y  + y = 0 y(x) = 2sinx y = 2cosx

y = –2sinx –2sinx + 2sinx = 0 y = c1sinx + c2cosx

Общим решением дифференциального уравнения называется его решение, которое содержит столько произвольных постоянных, каков порядок уравнения.

y = (x, c₁, c₂, …, c_n) – общее решение дифференциального уравнения n-го порядка.

Если общее решение задано неявно, то его называют общим интегралом уравнения.

Ф(x, y, c₁, c₂, …, c_n) – общий интеграл.

Геометрически общий интеграл представляет собой семейство интегральных кривых, являющихся графиками решений уравнения.

Пример:

Если в общем решении произвольным постоянным c_i придать конкретное значение, то мы получим частное решение дифференциального уравнения. Геометрически частное решение представляет собой одну интегральную кривую. Частных решений бесконечное множество, как и дифференциальных кривых.

Дифференциальные уравнения первого порядка.

F(x, y, y) = 0

Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка.

y = f(x, y)

y(x₀) = y₀ – начальное условие

Совокупность дифференциального уравнения и начального условия называется задачей Коши.

ТЕОРЕМА: Если f(x, y) и непрерывны в некоторой области плоскости

XOY, содержащей точку (x₀; y₀), то решение задачи Коши единственное.

Дифференциальные уравнения с разделенными переменными.

Уравнением с разделенными переменными называются уравнения вида

f(x)dx = g(y)dy или M(x)dx + N(y)dy = 0.

Если дифференциалы функций равны, то сами функции отличаются на константу.

Пример:

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

y = f(x)y(y) или M₁(x)N₁(y)dx + M₂(x)N₂(y)dy = 0

ЗАМЕЧАНИЕ: . Необходимо привести уравнение к уравнению с разделяющимися переменными, т.е. преобразовать его таким образом, чтобы множитель при dx содержал только переменную x, а множитель при dy – только y. Это действие называется разделением переменных.

Пример:

Уравнения, приводимые к уравнениям с разделяющимися переменными.

y = f(ax + by), Замена: z = ax + by

Пример:

Пример:

Однородные уравнения первого порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Функция f(x; y) называется однородной функцией

n-го измерения, если для любого  выполняется равенство

Пример:

Пример:

Утверждение 1:

Если f(x; y) – однородная функция нулевого измерения, то она является функцией аргумента

Доказательство:

Утверждение 2:

Если функция M(x; y) и функция N(x; y) однородные функции одного измерения, то их отношение есть однородная функция нулевого измерения.

Доказательство:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Уравнение y = f(x; y), где f(x; y) – однородная функция нулевого измерения, называется однородным уравнением первого порядка.

Проверка однородности:

Решение однородных уравнений первого порядка.

Пример:

Пример:

Уравнения, приводимые к однородным.

УТВЕРЖДЕНИЕ: Если c = c₁ = 0, то (*) – однородное уравнение первого порядка.

Пример:

Пример:

Линейные уравнения первого порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Линейным уравнением первого порядка называется уравнение линейное относительно y и y. (Относительно x линейность никто не гарантирует. )

y + P(x)y = Q(x) (1)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Если Q(x) = 0, то линейное уравнение называется линейным однородным уравнением.

УТВЕРЖДЕНИЕ: Линейное однородное уравнение y + P(x)y = 0          (2) является уравнением с разделяющимися переменными.

Доказательство:

ДВА СПОСОБА РЕШЕНИЯ

1) Чтобы решить уравнение (1) необходимо найти общее решение соответствующего однородного уравнения (2). В полученном решении постоянную c рассматривать как функция от x, т.е. c = c(x), подставить в (1) и найти c.

Пример:

2) y + P(x)y = Q(x)

Метод Бернулли.

Пример:

Иногда, чтобы получить линейное уравнение, требуется поменять ролями x и y по теореме о производной обратной функции.

Пример:

Пример:

Найти кривые, у которых площадь трапеций, ограниченных осями координат, касательной и ординатой точки касания, равна 27.

Определение обыкновенных дифференциальных уравнений — Русские Блоги

Обыкновенное дифференциальное уравнение
Глава 1
1. Нормальное уравнение с частными и дифференциальными уравнениями
Определение 1. Выражение отношения, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и обратную (или дифференциальную) неизвестной функции, называется дифференциальным уравнением.

Определение 1.1: Если в дифференциальном уравнении есть только одна независимая переменная, то такое дифференциальное уравнение является обыкновенным дифференциальным уравнением.

Определение 1.2: Дифференциальное уравнение с двумя или более независимыми переменными является уравнением в частных производных.

2. Порядок дифференциального уравнения.
Определение 2. Наивысшая производная или дифференциальный порядок неизвестной функции, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

(обратите внимание, чтобы различать порядок и номер)

Общий вид дифференциального уравнения n-го порядка имеет вид

3. Линейные и нелинейные
Определение 3.1:

Определение 3.1: Другие ситуации представляют собой нелинейные дифференциальные уравнения.

4. Решение дифференциального уравнения:
Определение 4.1:
Явное решение:

Определение 4.2: неявное решение

Определение 4. 3. Если решение дифференциального уравнения содержит любую постоянную, а количество независимых произвольных постоянных совпадает с порядком дифференциального уравнения, то такое решение называется общим решением уравнения.
Общее решение должно удовлетворять двум условиям:
Количество произвольных констант, содержащихся в решении дифференциального уравнения, такое же, как и порядок
Константы не зависят друг от друга.

(определитель Якоби)
Определение 4.4: Решение, полученное путем присвоения любой константе определенного значения в общем решении, называется специальным решением уравнения.

Определение 4.5 Чтобы получить специальное решение, которое удовлетворяет требованиям из общего решения, необходимо добавить определенное условие к дифференциальному уравнению в соответствии с реальной задачей, которое называется условием определенного решения. Нахождение проблемы решения, которая удовлетворяет условию определенного решения, становится проблемой определенного решения. Условием общего определенного решения является начальное условие, начальное условие дифференциального уравнения n-го порядка относится к следующим n условиям:

Когда условие определенного решения является начальным условием, соответствующая задача определенного решения называется проблемой начального значения.

5. Интегральная кривая и поле направлений
Определение 5.1: Решение дифференциального уравнения первого порядка, кривая на плоскости xy, представленная y = φ (x), называется интегральной кривой дифференциального уравнения, а его общее решение y = φ (x , c) соответствует семейству кривых на плоскости xy.

5.2 Поле направления:

поле указанного направления
В поле направления геометрические траектории точек с одинаковым направлением называются изоклиниками.

Дифференциальные уравнения — общий интеграл, начальные условия, задача Коши. Решение задач и контрольных работ по высшей математике онлайн

Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее независимую переменную , искомую функцию  и ее производные. Если искомая функция есть функция одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным.

Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. Следовательно, общий вид дифференциального уравнения n-го порядка следующий:

   (*)

причем в частных случаях в это уравнение могут и не входить  и отдельные производные, ниже чем . Например, уравнения

имеет соответственно первый и второй порядок.

Всякая функция , которая, будучи подставлена в дифференциальное уравнение, обращает его в тождество, называется решением дифференциального уравнения.

Интеграл

   (**)

дифференциального уравнения (*), содержащий n независимых произвольных постоянных  и эквивалентный (в данной области) уравнению (*), называется общим интегралом дифференциального уравнения (в соответствующей области). Придавая в соотношении (**) постоянным  определенные значения, получаем частный интеграл уравнения (*).

Если для искомого частного решения  дифференциального уравнения

заданы начальные условия (задача Коши)

и известно общее решение уравнения

то произвольные постоянные  определяются, если это возможно, из системы уравнений:

Решение многих научных и технических задач приводит к интегрированию дифференциальных уравнений. В этих задачах требуется установить зависимость между переменными величинами некоторого физического, химического или другого процесса, найти уравнение линии или поверхности и т. п.

При решении таких задач можно руководствоваться следующим:

Необходимо сначала составить дифференциальное уравнение из условия задачи.Определить тип полученного уравнения и выбрать метод решения. Найти общее решение уравнения.Получить частное решение, удовлетворяющее данным начальным условиям.В случае необходимости вычислить значения вспомогательных параметров (коэффициент пропорциональности и др.).Если это требуется, найти численные значения искомых величин.

Составление дифференциального уравнения по условию научной или технической задачи состоит в определении математической зависимости между переменными величинами и их приращениями, в нахождении выражения для производной. В некоторых случаях приращения целесообразно сразу заменить соответствующими дифференциалами. При составлении дифференциальных уравнений используются соответственно геометрический или механический смысл производной; кроме того, в зависимости от условия задачи применяются соответствующие законы физики, механики, химии и других наук.

Задача 3

Найти линию, у которой отрезок нормали в любой ее точке, заключенный между осями координат, делится пополам в этой точке. Составить уравнение такой линии, проходящей через точку

Решение

Пусть  – произвольная точка искомой линии

Уравнение нормали к линии . В точке :

Обозначим через  и  точки пересечения нормали с координатными осями. Положив в этом уравнении  найдем  – абсциссу точки .

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь — свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

При  из того же уравнения найдем ординату точки

Поскольку  – середина отрезка , то

Каждое из этих уравнений приводится к уравнению

Этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки  искомой линии, поэтому:

Последнее уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, получаем общий интеграл:

Общий интеграл определяет множество гипербол. Найдем ту линию, которая проходит через точку

 или

 

Ответ:

. Руководство по решению дифференциальных уравнений.

реальных примеров, где Используемые дифференциальные уравнения включают рост населения, электродинамику, тепловое поток, планетарное движение, экономические системы и многое другое!

Решение

Дифференциальное уравнение может быть очень естественным способом описания чего-либо.

Пример: рост населения

Это короткое уравнение говорит о том, что популяция «N» увеличивается (в любой момент) как скорость роста, умноженная на популяцию в этот момент:

дН дт = рН

Но это не очень полезно.

Нам нужно решить это!

Мы решим его, когда откроем функцию y (или набор функций y), который удовлетворяет уравнению, и тогда его можно успешно использовать.

Пример: продолжение

Наш пример решает с помощью этого уравнения:

N(t) = N ₀ e ^rt

Что там написано? Давайте используем его, чтобы увидеть:

С t в месяцах, населением, которое начинается с 1000 ( N ₀ ) и темпом роста 10% в месяц ( r ) получаем:

• N (1 месяц) = 1000e ^0.1×1 = 1105
• N(6 месяцев) = 1000e ^0,1×6 = 1822
• и т. д.

 

Нет волшебного способа решить все дифференциальные уравнения.

Но на протяжении тысячелетий великие умы опирались на работу друг друга и открыли разные методы (возможно, длинные и сложные!) решения некоторых типов дифференциальных уравнений.

Итак, давайте возьмем посмотрите на некоторые различные типа дифференциальных уравнений и как их решить:

Разделение переменных

Разделение переменных может использоваться, когда:

• Все элементы y (включая dy) можно переместить в одну сторону уравнения, и
• Все x членов (включая dx) на другую сторону.

Если это так, мы можем интегрировать и упростить, чтобы получить решение.

Линейный номер первого порядка

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка относятся к этому типу:

dy dx + P(x)y = Q(x)

Где P(x) и Q(x) являются функциями x.

Они «первый заказ», когда есть только DY DX (не D ² Y DX ² или D ³ Y DX ³ и т.д.)

Примечание: нелинейное дифференциальное уравнение часто трудно решить, но иногда мы можем аппроксимировать его линейным дифференциальным уравнением к найти более простое решение.

Однородные уравнения

Уравнение Бернулли

Уравнения Бернулла имеют следующую общую форму:

dy dx + P(x)y = Q(x)y ⁿ
где n — любое действительное число, но не 0 или 1

• При n = 0 уравнение можно решить как линейное уравнение первого порядка Дифференциальное уравнение.
• При n = 1 уравнение можно решить, используя Разделение Переменные.

Для других значений n мы можем решить его, подставив u = y ¹⁻ⁿ и превратив его в линейное дифференциальное уравнение (а затем решив его).

Уравнение второго порядка

второго порядка (гомогенные) относятся к типу:

d ² y dx + P(x) dy dx + Q(x)y = 0

Обратите внимание, что есть вторая производная d ² y dx ²

общее уравнение второго порядка выглядит так

 a(x) d ² y dx ² + b(x) dy dx + c(x)y = Q(x)

Среди этих случаев много отличительных уравнения.

Классифицируются как однородные (Q(x)=0), неоднородные, автономные, постоянные коэффициенты, неопределенные коэффициенты и др.

Для неоднородных уравнений общий решение является суммой:

• раствор соответствующий гомогенный уравнение и
• частный раствор неоднородное уравнение

Неопределенные коэффициенты

Не определено Метод коэффициентов работает для такого неоднородного уравнения:

d ² y dx ² + P(x) dy dx + Q(x)y = f (х)

, где f(x) представляет собой полином , экспоненту, синус, косинус или линейную комбинацию этих . (Более общую версию см. в разделе «Изменение параметров» ниже)

Этот метод также включает в себя предположение !

Изменение параметров

Вариация Параметров немного сложнее, но работает с более широким набором функций, чем предыдущий Undetermined. Коэффициенты .

Точные уравнения и интегрирующие коэффициенты

Точные уравнения и коэффициенты интегрирования можно использовать для дифференциального уравнения первого порядка, например:

М(х, у)dx + N(х, у)dy = 0

, у которого должна быть какая-то особая функция I(x, y), чьи частные производные можно поставить вместо M и N следующим образом:

∂I ∂x dx + ∂I ∂y dy = 0

Наша задача — найти эту волшебную функцию I(x, y), если она существует.

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) и уравнения в частных производных (УЧП)

Все методы до сих пор известны как Обыкновенные Дифференциальные Уравнения (ОДУ).

Термин обычный используется в отличие от термина частичный для обозначения производных только по одной независимой переменной.

Дифференциальные уравнения с неизвестными функциями многих переменных и их частные производные относятся к другому типу и требуют отдельных методов для решить их.

Они называются уравнениями в частных производных (УЧП), и извините, но у нас пока нет страницы по этой теме.

 

Дифференциальные уравнения. Определения

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 1-1: Определения

Дифференциальное уравнение

Первым определением, которое мы должны рассмотреть, должно быть определение дифференциального уравнения .Дифференциальное уравнение — это любое уравнение, которое содержит производные, либо обычные производные, либо частные производные.

Существует одно дифференциальное уравнение, которое, вероятно, известно каждому, это второй закон движения Ньютона. Если объект массы \(m\) движется с ускорением \(a\) и на него действует сила \(F\), то второй закон Ньютона говорит нам об этом.

\[\begin{уравнение}F = ma \label{eq:eq1} \end{уравнение}\]

Чтобы увидеть, что это на самом деле дифференциальное уравнение, нам нужно его немного переписать. 2}}} = F\left( {t,u,\frac{{du}}{{dt }}} \right) \label{eq:eq4}\end{equation}\]

Итак, вот наше первое дифференциальное уравнение.2\partial t}} = 1 + \frac{{\partial u}}{{\partial y}} \label{eq:eq10}\end{equation}\]

Заказ

порядок дифференциального уравнения является наибольшей производной, присутствующей в дифференциальном уравнении. В дифференциальных уравнениях, перечисленных выше, \(\eqref{eq:eq3}\) является дифференциальным уравнением первого порядка, \(\eqref{eq:eq4}\), \(\eqref{eq:eq5}\), \( \eqref{eq:eq6}\), \(\eqref{eq:eq8}\) и \(\eqref{eq:eq9}\) — дифференциальные уравнения второго порядка, \(\eqref{eq:eq10}\ ) — дифференциальное уравнение третьего порядка, а \(\eqref{eq:eq7}\) — дифференциальное уравнение четвертого порядка.

Обратите внимание, что порядок не зависит от того, есть ли в дифференциальном уравнении обычные или частные производные.

В этих заметках мы будем рассматривать почти исключительно дифференциальные уравнения первого и второго порядка. Как вы увидите, большинство методов решения дифференциальных уравнений второго порядка можно легко (и естественно) распространить на дифференциальные уравнения более высокого порядка, и мы обсудим эту идею позже.

Обыкновенные уравнения и уравнения с частными производными

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением , сокращенно ода, , если оно содержит обыкновенные производные.Точно так же дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных , сокращенно pde, , если в нем есть частные производные. В приведенных выше дифференциальных уравнениях \(\eqref{eq:eq3}\) — \(\eqref{eq:eq7}\) являются одами, а \(\eqref{eq:eq8}\) — \(\eqref{eq: eq10}\) являются pde.

Подавляющее большинство этих заметок посвящено одам. Единственным исключением из этого правила будет последняя глава, в которой мы кратко рассмотрим распространенную и базовую технику решения задач pde. y}\).

Коэффициенты \({a_0}\left( t \right),\,\, \ldots \,\,,{a_n}\left( t \right)\) и \(g\left( t \right) \) могут быть нулевыми или ненулевыми функциями, постоянными или непостоянными функциями, линейными или нелинейными функциями. Только функция \(y\left( t \right)\) и ее производные используются для определения того, является ли дифференциальное уравнение линейным.

Если дифференциальное уравнение не может быть записано в виде \(\eqref{eq:eq11}\), то оно называется нелинейным дифференциальным уравнением.

В \(\eqref{eq:eq5}\) — \(\eqref{eq:eq7}\) выше только \(\eqref{eq:eq6}\) является нелинейным, два других являются линейными дифференциальными уравнениями . Мы не можем классифицировать \(\eqref{eq:eq3}\) и \(\eqref{eq:eq4}\), так как не знаем, какой вид имеет функция \(F\). Они могут быть как линейными, так и нелинейными в зависимости от \(F\).

Решение

Решение дифференциального уравнения на интервале \(\alpha < t < \beta \) есть любая функция \(y\left( t \right)\), которая удовлетворяет рассматриваемому дифференциальному уравнению на интервале \( \альфа < т < \бета \). 3}} }}\]

В этой форме ясно, что нам нужно как минимум избежать \(x = 0\), так как это дало бы деление на ноль.

Кроме того, есть общее практическое правило, которому мы будем следовать в этом классе. Это эмпирическое правило: начните с реальных чисел, закончите реальными числами. Другими словами, если наше дифференциальное уравнение содержит только действительные числа, нам не нужны решения, дающие комплексные числа. Итак, чтобы избежать комплексных чисел, нам также нужно будет избегать отрицательных значений \(x\).

Итак, мы видели в последнем примере, что хотя функция может символически удовлетворять дифференциальному уравнению, из-за определенных ограничений, налагаемых решением, мы не можем использовать все значения независимой переменной и, следовательно, должны наложить ограничение на независимую переменную . Так будет со многими решениями дифференциальных уравнений.

Обратите внимание, что в последнем примере существует гораздо больше возможных решений данного дифференциального уравнения. { — \frac{1}{2}}}\end{align*}\]

Мы предоставим вам подробности, чтобы убедиться, что это действительно решения. Учитывая эти примеры, можете ли вы найти какие-либо другие решения дифференциального уравнения? На самом деле существует бесконечное множество решений этого дифференциального уравнения.

Итак, учитывая, что существует бесконечное число решений дифференциального уравнения в последнем примере (при условии, что вы все равно верите нам, когда мы это говорим….), мы можем задать естественный вопрос.Какое решение мы хотим, или имеет значение, какое решение мы используем? Этот вопрос приводит нас к следующему определению в этом разделе.

Исходное(ые) состояние(я)

Исходное(ые) условие(я) – это условие или набор условий для решения, которые позволят нам определить, какое решение нам нужно. Начальные условия (часто сокращенно i.c., когда нам лень…) имеют форму

. \[y\left( {{t_0}} \right) = {y_0}\hspace{0. {\ влево ( k \ вправо)}} \ влево ( {{t_0}} \ вправо) = {y_k} \]

Другими словами, начальные условия — это значения решения и/или его производной(ей) в определенных точках. Как мы со временем увидим, решения «достаточно хороших» дифференциальных уравнений уникальны, и, следовательно, только одно решение удовлетворяет заданным начальным условиям.

Количество начальных условий, необходимых для данного дифференциального уравнения, будет зависеть от порядка дифференциального уравнения, как мы увидим.2}y» + 12xy’ + 3y = 0\hspace{0.25in}y\left( 4 \right) = \frac{1}{8},\,\,\,\,y’\left( 4 \справа) = — \frac{3}{{64}}\]

Пример 4 Вот еще один IVP.

\[2t\,y’ + 4y = 3\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\,y\left( 1 \right) = — 4\]

Как мы отмечали ранее, количество требуемых начальных условий будет зависеть от порядка дифференциального уравнения.

Интервал действия

Интервал действия для IVP с начальным(и) условием(ями)

\[y\left( {{t_0}} \right) = {y_0}\hspace{0. {\ влево ( k \ вправо)}} \ влево ( {{t_0}} \ вправо) = {y_k} \]

— это максимально возможный интервал, на котором решение действительно и содержит \({t_0}\). Их легко определить, но бывает трудно найти, поэтому мы собираемся отложить что-либо еще об этом до тех пор, пока мы не приступим к решению дифференциальных уравнений и нам не понадобится интервал достоверности.

Общее решение

Общее решение дифференциального уравнения является наиболее общей формой, которую может принять решение, и не принимает во внимание никаких начальных условий.2}}}\) является общим решением для \[2т\,у’ + 4у = 3\]

Мы предоставим вам проверить, действительно ли эта функция является решением данного дифференциального уравнения. На самом деле все решения этого дифференциального уравнения будут именно в таком виде. Это одно из первых дифференциальных уравнений, которое вы научитесь решать, и вскоре вы сможете сами в этом убедиться. 2}}}\]

Все, что нам нужно сделать, это определить значение \(c\), которое даст нам решение, которое мы ищем.2}}}\]

Из этого последнего примера мы можем видеть, что, когда у нас есть общее решение дифференциального уравнения, поиск фактического решения является не чем иным, как применением начальных условий и поиском констант, которые находятся в общем решении.

Неявное/явное решение

В этом случае проще определить явное решение, затем сказать, чем неявное решение не является, а затем привести пример, показывающий разницу.Итак, это то, что мы будем делать.

Явное решение — это любое решение, заданное в виде \(y = y\left( t \right)\). Другими словами, единственное место, где \(y\) действительно появляется, это один раз слева и только в первой степени. Неявное решение — это любое решение, не представленное в явной форме. Обратите внимание, что могут быть как общие неявные/явные решения, так и фактические неявные/явные решения. 2} — 3\) является фактическим неявным решением \(y’ = \frac{t}{y},\,\,\,\,\,y \влево( 2 \вправо) = — 1\)

В этот момент мы просим вас поверить нам, что это на самом деле решение дифференциального уравнения.2} — 3} \]

В этом случае нам удалось найти явное решение дифференциального уравнения. Следует, однако, отметить, что не всегда удается найти явное решение.

Также обратите внимание, что в этом случае мы смогли получить только явное фактическое решение, потому что у нас было начальное условие, которое помогло нам определить, какая из двух функций будет правильным решением.

Теперь мы разобрались с большинством основных определений и можем перейти к другим темам.

17.1 Дифференциальные уравнения первого порядка

Начнем с рассмотрения уравнений, в которых только первая производная функции.

Определение 17.1.1 Дифференциал первого порядка уравнение представляет собой уравнение форма $F(t, y, \dot{y})=0$. Решением дифференциального уравнения первого порядка является функция $f(t)$, которая делает $\ds F(t,f(t),f'(t))=0$ для каждого значения $t$. $\квадрат$

Здесь $F$ — функция трех переменные, которые мы обозначаем как $t$, $y$ и $\dot{y}$.3/3+t+8/3$. $\квадрат$

Общее уравнение первого порядка слишком общее, т. е. мы не можем описать методы, которые будут работать на всех, или даже на большом количестве часть из них. Мы можем добиться прогресса в конкретных видах дифференциальные уравнения первого порядка. Например, многое можно сказать об уравнениях вида $\ds ​​\dot{y} = \phi (t, y)$, где $\phi $ является функцией двух переменных $t$ и $y$. При разумных условиях на $\phi$ такой уравнение имеет решение и соответствующее задача с начальным значением имеет единственное решение.Однако в целом эти уравнения могут быть очень сложными или невозможно решить в явном виде.

Пример 17.1.6. Рассмотрим этот конкретный пример задачи с начальным значением. для закона охлаждения Ньютона: $\dot y = 2(25-y)$, $y(0)=40$. Мы первые обратите внимание, что если $y(t_0) = 25$, правая часть дифференциала уравнение равно нулю, поэтому постоянная функция $y(t)=25$ является решением к дифференциальному уравнению. Это не решение первоначального проблема значения, поскольку $y(0)\not=40$. (Физическая интерпретация это постоянное решение состоит в том, что если жидкость находится при той же температуре как и его окружение, то жидкость останется при этой температуре.{-2t}$ описывает все решения дифференциальной уравнение $\ds\dot y = 2(25-y)$, и все решения связанного проблемы с начальной стоимостью. $\квадрат$

Почему мы смогли решить эту проблему? Наше решение зависело от переписывания уравнение так, чтобы все экземпляры $y$ находились на одной стороне уравнение и все экземпляры $t$ были на другом; конечно, в в этом случае единственный $t$ изначально был скрыт, так как мы не писали $dy/dt$ в исходном уравнении. Однако это не требуется.2}$, позволяя $A$ быть равным нулю. $\квадрат$

Определение 17. 1.8. Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид отделяемый если он можно записать в виде $\dot{y} = f(t)g(y)$. $\квадрат$

Как и в примерах, мы можем попытаться решить разделимое уравнение с помощью преобразование в форму $$\int {1\over g(y)}\,dy=\int f(t)\,dt.$$ Этот метод называется разделением переменные . Самый простой (в принцип) своего рода разделимое уравнение такое, в котором $g(y)=1$, в какой случай мы пытаемся решить $$\int 1\,dy=\int f(t)\,dt.$$ Мы можем это сделать, если найдем антипроизводную $f(t)$.

Кроме того, как мы уже видели, дифференциальное уравнение обычно имеет бесконечное число решений. В идеале, но обязательно не всегда соответствующая задача с начальными значениями будет иметь только один решение. Решение, в котором не осталось неизвестных констант называется конкретное решение .

Общий подход к разделимым уравнениям таков: Предположим, мы хотим решить $\dot{y} = f(t) g(y) $, где $f$ и $g$ — непрерывные функции. 2-1$ имеет постоянные решения $y(t)=1$ и $y(t)=-1$.

Для нахождения непостоянных решений заметим, что функция $1/g(y)$ непрерывна, где $g\not=0$, поэтому $1/g$ имеет первообразную $G$. Пусть $F$ будет первообразная $f$. Теперь мы пишем $$G(y) = \int {1\over g(y)}\,dy = \int f(t)\,dt=F(t)+C,$$ поэтому $G(y)=F(t)+C$. Теперь решим это уравнение относительно $y$.

Конечно, есть несколько мест, где это идеальное описание могло бы быть использовано. неверно: нужно уметь находить первообразные $G$ и $F$, а нам нужно решить окончательное уравнение относительно $y$.В результате решения исходного дифференциального уравнения постоянные решения, если они есть, и все функции $y$, удовлетворяющие $G(y)=F(t)+C$.

Пример 17.1.9 Рассмотрим дифференциальное уравнение $\dot y=ky$. Когда $k>0$, это описывает некоторые простые случаи роста населения: это говорит о том, что изменение населения $y$ пропорционально Население. Основное предположение состоит в том, что каждый организм в текущая популяция воспроизводится с фиксированной скоростью, поэтому чем больше популяции, тем больше образуется новых организмов. \circ$? (отвечать)

Пример 17.1.13 Решать Логистическое уравнение $\dot{y} = ky(M-y)$. (это несколько более разумная модель населения в большинстве случаев, чем более простая $\dot y=ky$.) Нарисуйте график решения этого уравнения при $M=1000$, $k=0,002$, $y(0)=1$. (отвечать)

Пример 17.1.14 Предположим, что $\dot{y} = ky$, $y(0)=2$ и $\dot{y}(0)=3$. Что такое $y$? (отвечать)

Пример 17.1.15 Радиоактивное вещество подчиняется уравнению $\dot{y} =ky$, где $k0$.Через какое время останется половина массы? (Это известно как период полураспада. Обратите внимание, что период полураспада зависит от $k$, но не на $M$.) (отвечать)

Пример 17.1.16 Висмут-210 имеет период полураспада пять дней. Если есть изначально 600 миллиграмм, сколько осталось через 6 дней? Когда будет осталось всего 2 миллиграмма? (отвечать)

Пример 17.1.17 Период полураспада углерода-14 составляет 5730 лет. Если начать при 100 миллиграммах углерода-14 сколько осталось после 6000 годы? Как долго мы должны ждать, прежде чем останется меньше 2 миллиграммы? (отвечать)

Пример 17. 1.18 Определенный вид бактерий удваивает свою популяцию (или его масса) каждый час в лаборатории. Дифференциальное уравнение, моделирующее это явление есть $\dot{y} =ky$, где $k>0 $ и $y$ – популяция бактерий в момент времени $t$. Что такое $y$? (отвечать)

Пример 17.1.19 Если определенный микроб удваивает свою популяцию каждые 4 часов, а через 5 часов общая популяция имеет массу 500 граммов, какова была начальная масса? (отвечать)

Решение дифференциального уравнения. Практические задачи

Общее и частное решение дифференциального уравнения

Решение дифференциального уравнения представляет собой отношение между включенными переменными, которое удовлетворяет дифференциальному уравнению.Существует два типа решений дифференциальных уравнений, а именно: общее решение дифференциальных уравнений и частное решение дифференциальных уравнений. Общие и частные решения дифференциальных уравнений используют некоторые шаги интегрирования для решения уравнений. Существует 5 способов решения дифференциального уравнения.

Эти 5 способов:

1. Решение по проверке

2. переменная отделимо

3. однородный

9

4. линейное дифференциальное уравнение
   7

5. General

В этой статье мы узнаем общих частное решение дифференциального уравнения, единичное решение дифференциального уравнения, как найти частное решение и общее решение дифференциального уравнения с помощью практических задач дифференциального уравнения с решением и т. д.

Что такое дифференциальное уравнение?

Дифференциальное уравнение – это уравнение, которое включает один или несколько членов, а также включает производные одной переменной (т. е. зависимой переменной) через другую переменную (т. е. независимую переменную)

dt/dz = f(z)

Здесь «z» — независимая переменная, а «t» — зависимая переменная

Например, dt/dz = 5z

Общее решение дифференциального уравнения

Общее решение дифференциального уравнения n-го порядка определяется как решение, включающее n важных произвольных констант.

Нам необходимо ввести произвольную константу сразу же после интегрирования, если мы решаем дифференциальное уравнение первого порядка методом переменных. Отсюда после упрощения видно, что в решение дифференциального уравнения первого порядка входит важная произвольная постоянная.

Аналогично, общее решение дифференциального уравнения второго порядка будет включать важные произвольные константы и так далее. Геометрически общее решение представляет собой n-параметрическое семейство кривых.Например, общее решение дифференциального уравнения dy/dx = 8x², которое оказывается равным y = x³ + C, где c рассматривается как произвольная константа, представляет собой однопараметрическое семейство кривых, как показано на рисунке ниже. .

(Изображение будет добавлено в ближайшее время)

Частное решение дифференциального уравнения

Частное решение дифференциального уравнения — это решение, которое мы получаем из общего решения, придавая частные значения произвольному решению.Условия для вычисления значений произвольных констант могут быть заданы нам в виде начально-значной задачи или граничных условий в зависимости от вопросов.

Сингулярное решение дифференциального уравнения

Сингулярное решение дифференциального уравнения — это особый вид частного решения дифференциального уравнения, но его нельзя вывести из общего решения дифференциального уравнения путем присвоения значений случайной константы.

Практические задачи по дифференциальным уравнениям

Здесь вы можете увидеть некоторые практические задачи по дифференциальным уравнениям.

1. Найдите общее решение следующего дифференциального уравнения ) ( 1+ t²)

   dt( 1+ t²) = (1 + x²)dx

   Интегрируя обе части приведенного выше уравнения, мы получаем

   ∫dt/( 1+ t²) = ∫(1 + x² )dx

   tan-1 t = ∫dx ∫dx²

   tan-1 t  = x + x³/x + C

   Приведенное выше уравнение является требуемым общим решением дифференциального уравнения.

   2. Найдите общее решение приведенного ниже дифференциального уравнения , мы получаем

      dt/dz = ez + et

      Разделяя переменные с помощью процедуры разделения переменных, мы получаем

      et dt = ez dz

      Теперь, интегрируя обе стороны, мы получаем

      ∫et dt = ∫ ez dz

      При интегрировании получаем

      Практические задачи по дифференциальным уравнениям с решениями

      Здесь вы можете увидеть некоторые из практических задач по дифференциальным уравнениям с решениями

      1. Найдите частное решение дифференциального уравнения, которое удовлетворяет следующему условию

      dy/dx = 3×2 – 4 ; y(0) = 4

      Решение:

      Сначала найдем общее решение дифференциального уравнения.Для этого мы проинтегрируем обе части и найдем y

      dy/dx = 3×2 – 1

      y = ∫(3×2 – 1) dx

      y = x3 –x + 4

      Это наше общее решение, найти частное решение дифференциального уравнения, мы применим данное нам начальное условие ( y = 4 и x = 0) и решим для C:

      y = x3 — x + c

      Теперь мы применим наши начальные условия (x = 0, y = 4) и найдите C, что даст нам наше конкретное решение:

      4 = (0)3 – 0 + C

      Теперь найдем C

      4 = C

      y = x3 –x + 4

      Следовательно, частным решением дифференциального уравнения является x3 –x + 4

      2. Найдите частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее следующему условию

      dy/dx = 1 /x2 ; y(1) = 4

      Решение:

      Сначала найдем общее решение дифференциального уравнения. Для этого мы проинтегрируем обе части, чтобы найти y 

      dy/dx = 1/x2;

      y(1) = 4

      Это наше общее решение, чтобы найти частное решение дифференциального уравнения, мы применим данное нам начальное условие ( y = 4 и x = 1) и решим для C:

      y = -1/x+ c

      y= ∫(1/x2) dx

      y= ∫(1/x2) dx

      y = x-1 / -1 + C

      Теперь применим наш начальный условия (x = 1, y = 4) и решить для C, что даст нам наше конкретное решение:

      4 = -1/1+C

      Теперь мы будем решать для C

      4 = -1 + C

      5 = C

      y = -1/x + 5

      Следовательно, частным решением дифференциального уравнения является y = -1/x + 5

      Quiz Time

      1. обычный, когда он имеет

      1. одну зависимую переменную

      2. более одной зависимой переменной

      3. одну независимую переменную

      4. более одной ind зависимая переменная.

      7

   3. Общее решение на 3 градуса Заказать Дифференциальное уравнение включает _________ Константы

   1. 2

   2. 3

   3. 4

   3. Общее решение 4 градуса Дифференциальное уравнение включает в себя _________ Константы

   1. 1

   2

   3

   2. 4

   3. 6

   4. 6

      Найти определенное решение дифференциального уравнения

   DY dx = 4x-2

   Когда y = 5 и x = 3

   1. 2x² — 2x + 7

   2. 5x² — 3x + 7

   3. 9x² — 1x + 5

   4. 6x² — 3x + 4

   Как находить решения дифференциальных уравнений

   Если вы считаете, что контент, доступный с помощью Веб-сайта (как это определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или более ваших авторских прав, пожалуйста, сообщите нам, предоставив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному агенту, указанному ниже. Если университетские наставники примут меры в ответ на ан Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, предоставившей такой контент средства самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

   Ваше Уведомление о нарушении может быть направлено стороне, предоставившей контент, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

   Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или деятельность нарушают ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что содержимое находится на Веб-сайте или на который ссылается Веб-сайт, нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к адвокату.

   Чтобы подать уведомление, выполните следующие действия:

   Вы должны включить следующее:

   Физическая или электронная подпись владельца авторских прав или лица, уполномоченного действовать от его имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробно, чтобы преподаватели университета могли найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылку на конкретный вопрос (а не только название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Заявление от вас: (а) что вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права не разрешены законом или владельцем авторских прав или его агентом; б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство вы либо владельцем авторских прав, либо лицом, уполномоченным действовать от их имени.

   Отправьте жалобу нашему назначенному агенту по адресу:

   Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
   101 S. Hanley Rd, Suite 300
   St. Louis, MO 63105
   

   Или заполните форму ниже:

    

   Глава 6 Дифференциальные уравнения | Исчисление и анализ

   Введение

   Дифференциальные уравнения возникают почти каждый раз, когда мы пытаемся моделировать реальные явления мира с помощью математики. Напомним, что производная измеряет одну величину относительно Другая. Второй закон Ньютона гласит:

   .

   Скорость изменения импульса тела равна приложенной внешняя сила.

   Импульс тела есть произведение массы \(m\) и скорость \(v\) (в одном измерении). Таким образом, если на тело действует сила \(F\), то можно записать закон Ньютона математически как \[ {d \over dt} (mv) = F.tg(x)dx. \] Важно, чтобы мы знали значение \(f\) в какой-то момент, или иначе мы не можем точно сказать, что такое \(f\). Нам нужна константа интегрирования . Ниже у нас есть картинка, на которой мы видим, что все эти функции имеют одну и ту же производную, поэтому, чтобы выбрать правильную для нашей ситуации, мы должны знать точку, через которую проходит функция.

   Определение 6.1 Решение, в котором константы не указаны, называется общим решением .Известное значение \(f\) равно называется начальным условием , если наша проблема связана со временем проблема, например, с законом Ньютона. Если известное значение является пространственным значение, которое мы называем граничным условием . Вы покрыли уравнения типа (6.1) на уровне А, поэтому мы не будем беспокоиться об этих здесь.

   Вот веб-страница с большим количеством примеров дифференциальных уравнений Дифференциальные уравнения на Mathisfun.com

   Культурное наследие математики

   Кэтрин Джонсон (1918–2020)

   
   В 1962 году США решили отправить людей на Луну.Чтобы добраться до Луны и с нее, потребуется много работы. Кэтрин изучала, как использовать геометрию для космических путешествий. Она выяснила, как космический корабль должен выйти на орбиту (обогнуть) Землю и приземлиться на Луне. НАСА использовало математику Кэтрин, и это сработало.
   https://www.nasa.gov/audience/forstudents/k-4/stories/nasa-knows/who-was-katherine-johnson-k4

   Пути, по которым движутся тела под действием гравитационного притяжения, представляют собой так называемые конические сечения.

   Гипатия (370-415)

   Гипатия была известна больше своими работами в математике, чем в астрономии, в первую очередь своими работами над идеями конических сечений, введенными Аполлонием.Она редактировала работу «О кониках Аполлония», разделявшую конусы плоскостью на разные части. Эта концепция развила идеи гипербол, парабол и эллипсов.
   https://www.agnesscott.edu/lriddle/women/hypatia.htm

   Разделимые уравнения

   Следующее наиболее простое дифференциальное уравнение, которое мы можем решить является одной из форм \[ {d y \over dx} = f(x) g(y), \tag{6.2} \] ибо тогда мы можем написать \[ \int {dy \over g(y)} = \int f(x) dx.\] Нам еще понадобится граничное условие (будем считать, что \(x\) и \(y\) здесь пространственные переменные). Мы можем интегрировать их оба в Принцип получения решения.

   Пример 6.1

   На снаряд, движущийся вверх, действует сила тяжести, равная к \(mg\), где \(m\) — его масса, а \(g\) — ускорение, вызванное сила тяжести. Кроме того, его тормозит сопротивление воздуха, равное \(mkv\), где \(v\) — его скорость, а \(k\) — некоторая положительная вещественная константа, которая зависит от геометрии снаряда.Скорость снаряд в момент времени \(t=0\) равен \(u\) (это начальных условие ).

   Второй закон Ньютона говорит \[ {d \over dt} (mv) = -mkv-mg. \] Поскольку \(т\) в этом уравнении постоянно (снаряд не изменить массу во время полета) мы можем сократить \(m\) с обеих сторон сверху на получить \[ {dv \over dt} = -(kv+g). \] Это отделимо. Преобразовывая, мы имеем уравнение \[ \int {dv \over kv+g} = -\int dt. \] Интегрируя обе стороны, мы имеем \[ {1 \над k} \log(kv+g) = -t+C, \] где \(С\) — постоянная интегрирования, которую мы находим с помощью начальное состояние.Когда \(t=0\) \(v=u\), так что \[ {1 \over k} \log(ku+g) = C. \] Таким образом \[ {1 \over k} \log(kv+g) = -t+{1 \over k} \log(ku+g). \] Преобразовывая приведенное выше уравнение, мы имеем \[\begin{выравнивание*} t & = & {1 \over k} (\log(ku+g)-\log(kv+g)) \\ & = & {1 \over k} \log \left ( {ku+g\over kv+g } \right ). \end{эквнаррай*}\] Таким образом \[ \exp(kt) = \left ( {ku+g\over kv+g } \right ). \] Умножая обе части на \(kv+g\), мы имеем \[ kv \exp(kt)+g\exp(kt)=ku+g.\] Следовательно \[ kv \exp(kt) = ku+g(1-\exp(kt)), \] так что \[ v = u\exp(-kt)+{g \over k}(\exp(-kt)-1). \]

   Вы можете найти больше примеров разделимых уравнений и их решений на Math34.net.

   Пример 6.2 Найдите общее решение сепарабельного дифференциального уравнения \[ у’=у(1-у). \]

   Уравнение разделимо с \(f(x)=1\) и \(g(y)=y(1-y)\). В настоящее время \(g(y)=0\) тогда и только тогда, когда \(y=0\) или \(y=1\).Таким образом, уравнение может быть решается путем разделения переменных на трех интервалах \(y<0\), \(01\). На любом таком интервале имеем: \[ \int \frac{dy}{y(1-y)}=\int dx+C_1, \] с \(C_1 \in {\mathbb R}\). Это означает, что \[ \int \left(\frac{1}{y}+\frac{1}{1-y}\right)dy=\int dx+C_1. \] Следовательно \[ \ln |y|-\ln |1-y|=x+C_1 \; \Правая стрелка \; \ln \left|\frac{y}{1-y}\right|=x+C_1, \] и взяв экспоненту обеих сторон, мы имеем \[ \left|\frac{y}{1-y}\right|=\exp(x+C_1)=\exp(C_1)\exp(x). \] Поскольку \(C_1\) является константой, \(\exp(C_1)>0\) также является константой. Назовем это \(C_2\). Потом, \[ \left|\frac{y}{1-y}\right|=C_2\exp(x). \] Теперь \(y/(1-y)\) положительна, если \(0 0. \]

   Теперь \(y/(1-y)\) отрицательно, если \(y<0\) или \(y>1\).В этом случае
   \[ \left|\frac{y}{1-y}\right|=-\frac{y}{1-y}=C_2\exp(x), \] так что \[ y = \ frac {C_2 \ exp (x)} {C_2 \ exp (x) -1} = \ frac {\ exp (x)} {\ exp (x) -1 / C_2} \ quad C_2> 0. \] Теперь, если \(\exp(x)>1/C_2\), то есть \(x>-\log(C_2)\), то \(y>1\), и если \(x<\log(C_2 )\), затем \(y<0\). Следовательно, у нас будет вертикальный аимптот в \(y\) в точке \(x=-\log(C_2)\).

   Замечание На картинке выше вы можете видеть, где находятся асимптоты по странной вершине на графике. Я оставил это, чтобы вы могли видеть, как решение меняется с отрицательного на значение больше 1 по мере прохождения через \(-\log(C_2)\). Ситуация, наблюдаемая в предыдущем примере, типична для сепарабельных уравнения. Вам всегда нужно рассматривать случай \(g(y)=0\) отдельно. Обратите внимание, что если \(g(y)=0\), то \(y’=0\) благодаря дифференциалу Уравнение (6.2). Таким образом, значения \(y\), для которых \(g(y)=0\), постоянны стационарные решения уравнения.

   Определение 6.2 стационарное или равновесное решение дифференциального уравнения \(y’=f(x) g(y)\) есть любое решение \(y(x)=Constant\). стационарный решения могут быть найдены путем решения для \(y\) уравнения \(g(y)=0\) .

   Мы можем получить качественное (поведенческое) понимание решений такого рода уравнения, рисуя так называемые поля направлений.

   Определение 6.3 Поле направлений в области \(S\) декартовой плоскости является отображением который сопоставляет каждой точке области линию, проходящую через эту точка. Кривая \({\bf r} = {\bf r}(t)\) на декартовой плоскости представляет собой интегральная кривая поля направлений, если ее касательные совпадают точно с линиями поля направлений вдоль кривой.

   Линии поля направления можно рассматривать как касательные к гипотетические кривые. Идея касательной тесно связана с идея наклона (также известная как производная). Поэтому вместо того, чтобы думать о линиях в поле направления мы можем думать о наклоне линий. (Мы разрешаем бесконечный склон здесь.) И наклон задается числом.

   Итак, на \((x,y)\)-плоскости мы можем отождествить поле направлений с функция \(f(x,y)\). И идея наклона приводит нас к уравнению \(\frac{dy}{dx} =g(x,y)\).

   Следовательно, интегральные кривые для поля направлений точно соответствуют решения этого дифференциального уравнения.

   Пример 6.3 Нарисуйте поле направления для уравнения \(y’=y(1-y)\).

   Имеем \(g(x,y)=y(1-y)\). Мы видели уже в Пример 6.2 что \(y=0\) и \(y=1\), соответствующие нулю скорости изменения (наклон горизонтальный) являются стационарными решениями. 2 \над a+bx}\)

   Линейные уравнения первого порядка

   Определение 6.4 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка имеют вид \[ {d y \over dx} + p(x)y(x)=q(x). \] Они называются линейными , потому что \(y\) оказывается со степенью 1 на правая сторона. На самом деле предыдущий пример тоже относится к этому типу, но его легче решить как разделимое уравнение.

   Основная идея за решением этих уравнений является преобразование уравнения в \[ {d y \over dx} + p(x)y(x) = q(x), \tag{6.3} \] и попытаться превратить левую часть в производную от продукт .

   Напомним, что \[ {d \ над dx} (I (x) y (x)) = I (x) {dy \ над dx} + y (x) {dI \ над dx}. \] Умножьте (6.3) на \(I(x)\) (мы используем \(I\), потому что это будет называется интегрирующим фактором ), а затем попытайтесь заставить его выглядеть как уравнение выше. Умножение на \(I(x)\) дает \[ I (x) {d y \ над dx} + I (x) p (x) y (x) = I (x) q (x) \] Мы хотим \[ I(x) {d y \over dx} + I(x) p(x)y(x) \equiv I(x){dy \over dx}+y(x){dI \over dx}. \] Чтобы это было правдой, нам нужно \[ I(x) p(x) = {dI \over dx}. \] Это разделимое уравнение: \[ \int {dI \over I} = \int p(x) dx, \] которые мы решаем дать \[ \log I = \int p(x) dx, \] так что \[ I(x) = \exp\left ( \int p(x) dx \right ). \тег{6.4} \]

   Определение 6.5 Функция
   \[ I(x) = \exp\left ( \int p(x) dx \right ) \] называется интегрирующим коэффициентом для дифференциального уравнения \[ {d y \over dx} + p(x)y(x) = q(x).\]

   Таким образом, мы имеем следующую теорему:

   Теорема 6.1 (интегрирующий множитель) Предположим, у нас есть линейное дифференциальное уравнение \[ {dy \над dx} + p(x) y(x) =q(x). \] Тогда, если \(I\) задается уравнением (6.4), мы можем переписать приведенное выше уравнение как \[ {d \над dx} (I(x) y(x)) = I(x) q(x). \] Общее решение этого дифференциального уравнения имеет вид \[ y (x) = {C \ над I (x)} + {\ int I (x) q (x) dx \ над I (x)}, \] где \(С\) — произвольная постоянная интегрирования.

   Пример 6.4 Давайте попробуем это на примере 6.2. Уравнение, которое у нас было, было \[ {d v \over dt} = -kv-g. \]

   Преобразуем последнее уравнение, чтобы привести его к нашей стандартной форме. \[ {d v \over dt} +kv = -g. \] которое является линейным дифференциальным уравнением для \(v\). Функция \(p(x)=k\) и \(q(x)=-g\). Следовательно \[ I(t)=\exp(\int (k) dt) = \exp(kt). \] потом \[ {d \over dt} (\exp(kt)v) = k\exp(kt)v+\exp(kt){dv \over dx}=\exp(kt)\left ( {dv \over dt}+kv \right ) = -g \exp(kt).\] Если мы объединим обе стороны, мы получим \[ \exp(kt)v = -{g \over k} \exp(kt) + C, \] где \(с\) — постоянная интегрирования. Генерал решение (умножить обе части на \(\exp(-kt)\)) равно \[ v=-{g \over k}+C\exp(-kt). \] Теперь мы используем начальное условие, что \(v=u\) при \(t=0\), чтобы дать \[ и=-{г\над к}+С, \] другими словами \[ C=u+{g \ над k}. \] Разделив обе части на \(\exp(kt)\), мы получим \[ v=u\exp(-kt)+{g \over k}(1-\exp(-kt)), \] который является тем же результатом, что и раньше. 2}. \] Теперь мы используем граничное условие \(y(1)=0\), чтобы найти конкретный решение, дающее \(C=-1/5\).

   Вы можете найти другие примеры линейных дифференциальных уравнений первого порядка на math34.net.

   Однородные уравнения

   Определение 6.6 Однородные дифференциальные уравнения — это уравнения вида \[ {d y \over dx} = f \left ( {y \over x} \right ). \]

   В этом случае мы ставим \(v=y/x\) так, чтобы \(y=vx\).С>0\). Следовательно \[ v= \pm \sqrt {2\log Ax}, \] где \(А\) — произвольная положительная постоянная интегрирования. Чтобы это имело смысл, мы требуем, чтобы \(2 \log A|x|>0\), так что \(|x|>1/A\). тем не мение \(v=y/x\), так что \[ y= \pm x\sqrt {2\log A|x|}, \quad |x|>1/A, \] является общим решением дифференциального уравнения. Мы будем выбирать ветвь решения в зависимости от того, где находится начальное условие. Например, \(y(x)>0\) для положительного \(x\), тогда мы должны выбрать положительный квадратный корень. 2} + b {d y \ над dx} + cy = g (x), \] где \(a,b,c\in\mathbb{R}\) и \(g(x)\) является функцией \(x\).2}, \] и \[ v={dx\over dt}. \]

   Закон Гука для моделирования движения пружины

   Для пружины у нас есть Закон Гука , который гласит, что если мы растянем пружинит на величину \(x\) от своего естественного положения покоя, то сила сопротивления растяжению пружины равна \(-kx\), где \(k\) является константой, называемой жесткостью пружины.

   Таким образом, если у нас есть масса \(m\) на пружине, то направленная вниз сила будет быть \(мг\) и восходящей силы из-за натяжения пружины, когда расширенное расстояние \(l\) будет \(kl\).2} = -{k \ над m} x. \тег{6.5} \] Это известное дифференциальное уравнение, называемое уравнением простое гармоническое движение . Это пример секунд линейное дифференциальное уравнение порядка с постоянными коэффициентами . Вот объяснение от человека с американским акцентом.

   Мы решаем подобные уравнения, используя свойство экспоненциальной функцию, которую мы обнаружили ранее, — это собственных функций оператора дифференцирования.2 = \pm i \sqrt{{k \over m}}. \] Следовательно, решение дифференциального уравнения есть \[ x=A \exp \left ( i \sqrt{{k \over m}} \right )+B \exp \left ( -i \sqrt{{k \over m}} \right ), \] для произвольной константы \(A, B\) (определяемой начальными условия). Используя уравнения \[ \exp(i \theta) = \cos \theta + i \sin \theta, \] мы можем переписать это как \[\begin{выравнивание*} x & = & A \left [ \cos \left (\sqrt{{k \over m}} \right )+i \sin \left (\sqrt{{k \over m}} \right ) \right ] + B \left [\cos \left ( -\sqrt{{k \over m}} \right )+i \sin \left ( -\sqrt{{k \over m}} \right ) \right ]\\ & = & A \left [ \cos \left (\sqrt{{k \over m}} \right )+i \sin \left (\sqrt{{k \over m}} \right ) \right ] + B \left [\cos \left ( \sqrt{{k \over m}} \right )-i \sin \left (\sqrt{{k \over m}} \right ) \right ] \\ & = & (A+B) \cos\left (\sqrt{{k \over m}} \right ) + i(AB)\sin \left ( -\sqrt{{k \over m}} \right ) . 2+2\лямбда+3=0, \] которое имеет решение \(\lambda=-1\pm i\sqrt{2}\). Итак, \(\lambda_R=-1\) и \(\lambda_I=\sqrt{2}\). Отсюда и общее решение этой дифференциальное уравнение \[ y=\exp(-x)(A \cos (\sqrt{2} x)+B\sin (\sqrt{2} x)). \] Предположим, что \(y(0)=1\) и \(y'(0)=0\). Потом \[ у(0)=А=1, \] и \[ y'(0)=-A+\sqrt{2}B=0, \] так что \(B=1/\sqrt{2}\). Следовательно, решение в этом случае \[ y=\exp(-x)\left (\cos (\sqrt{2} x)+{1 \over \sqrt{2}} \sin (\sqrt{2} x) \right ).n\), для \(n \ge 0\).

2. В этом вопросе вам предстоит приближенно решить дифференциальное уравнение \(y’=y\), \(y(0)=2\), используя предельное определение дифференцирования. Пусть \(h=0,1\). Найдите приблизительное значение \(y(h)\), используя аппроксимацию \[ {y(h)-y(0) \над h} = y'(0)=y(0), \] где второе уравнение следует из дифференциального уравнения \(y’=y\). Сравните приблизительный ответ с фактическим путем аналитического решения дифференциального уравнения.2} + B{dy \над dx}+Cy = g(x). \]

Решения дифференциальных уравнений серии

— Исчисление, том 3

Цели обучения

• Использование степенных рядов для решения дифференциальных уравнений первого и второго порядка.

В разделе «Введение в степенные ряды» мы изучали, как функции могут быть представлены в виде степенных рядов. Мы также увидели, что можно найти ряды, представляющие производные таких функций, путем почленного дифференцирования степенного ряда.Это дает и В некоторых случаях эти представления степенных рядов можно использовать для нахождения решений дифференциальных уравнений.

Имейте в виду, что в этом тексте эта тема дается очень кратко. Большинство вводных учебников по дифференциальным уравнениям включают целую главу, посвященную решениям степенных рядов. В этом тексте есть только один раздел по теме, поэтому здесь не рассматриваются некоторые важные вопросы, особенно вопросы, связанные с существованием решений. Примеры и упражнения в этом разделе были выбраны для которых существуют силовые решения.Однако не всегда существуют силовые решения. Тем из вас, кто заинтересован в более строгом рассмотрении этой темы, следует обратиться к тексту по дифференциальным уравнениям.

Серия

Решения дифференциальных уравнений

Найдите решение степенного ряда для следующих дифференциальных уравнений.

1. Предположим (шаг 1). Затем и (шаг 2). Мы хотим найти такие значения коэффициентов, что
   

   
   Мы хотим, чтобы индексы наших сумм совпадали, чтобы мы могли выразить их с помощью одного суммирования.То есть мы хотим переписать первое суммирование так, чтобы оно начиналось с
   . Чтобы переиндексировать первый член, замените n внутри суммы и измените нижний предел суммирования на Получаем
   

   
   Это дает
   

   
   Поскольку разложения функций в степенной ряд уникальны, это уравнение может быть верным, только если коэффициенты каждой степени x равны нулю. Итак, у нас есть
   

   
   Это рекуррентное соотношение позволяет нам выразить каждый коэффициент через коэффициент двумя членами ранее. Это дает одно выражение для четных значений n и другое выражение для нечетных значений n . Глядя сначала на уравнения, включающие четные значения n , мы видим, что
   

   
   Таким образом, в общем случае, когда n четно (шаг 5).
   Для уравнений с нечетными значениями n мы видим, что
   

   
   Поэтому, как правило, когда n нечетно (продолжение шага 5).
   Собираем вместе, у нас есть
   

   
   Переиндексируя суммы для учета четных и нечетных значений n отдельно, получаем
   

   
   Анализ части а.
   Как и ожидалось для дифференциального уравнения второго порядка, это решение зависит от двух произвольных констант. Однако обратите внимание, что наше дифференциальное уравнение является дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, хотя решение степенного ряда не имеет знакомой формы (содержащей экспоненциальные функции), которую мы привыкли видеть. Кроме того, поскольку является общим решением этого уравнения, мы должны быть в состоянии записать любое решение в этой форме, и неясно, может ли только что найденное решение степенного ряда быть записано в этой форме.
   К счастью, после написания представлений степенного ряда и и некоторых алгебраических вычислений мы обнаруживаем, что если мы выберем
   

   
   у нас есть и и
   

   
   Итак, мы, по сути, нашли одно и то же общее решение. Обратите внимание, что этот выбор и не является очевидным. Это тот случай, когда мы знаем, каким должен быть ответ, и, по сути, «перепроектировали» наш выбор коэффициентов.

2. Предположим (шаг 1). Затем и (шаг 2). Мы хотим найти такие значения коэффициентов, что
   

   
   Взяв внешние факторы внутрь суммирования, получим
   

   
   Теперь, в первом суммировании, мы видим, что когда или слагаемое равно нулю, мы можем сложить эти слагаемые обратно в нашу сумму, чтобы получить
   

   
   Точно так же в третьем члене мы видим, что когда выражение оценивается как ноль, мы можем также добавить этот член обратно. У нас есть
   

   
   Тогда нам нужно только сдвинуть индексы во втором члене. Получаем
   

   
   Итак, имеем
   

   
   Глядя на коэффициенты каждой степени x , мы видим, что постоянный член должен быть равен , а коэффициенты всех остальных степеней x должны быть равны нулю. Затем, глядя сначала на постоянный член,
   

   
   Ибо у нас есть
   

   
   Поскольку мы видим, что
   

   
   и, следовательно,
   

   
   Для четных значений n имеем
   

   
   В общем, (шаг 5).
   Для нечетных значений n имеем
   

   
   В общем (шаг 5 продолжение).
   Собираем вместе, у нас есть
   

Найдите решение степенного ряда для следующих дифференциальных уравнений.

Подсказка

Следуйте стратегии решения проблем.

Мы завершаем этот раздел кратким введением в функции Бесселя.Полное рассмотрение функций Бесселя выходит далеко за рамки этого курса, но здесь мы немного познакомимся с этой темой, чтобы увидеть, как ряды решений дифференциальных уравнений используются в реальных приложениях. Уравнение Бесселя порядка n имеет вид

Это уравнение возникает во многих физических приложениях, особенно связанных с цилиндрическими координатами, таких как вибрация круглой головки барабана и переходный нагрев или охлаждение цилиндра. В следующем примере мы находим решение уравнения Бесселя нулевого порядка в виде степенного ряда.

Решение уравнения Бесселя в степенном ряду

Найдите степенное решение уравнения Бесселя нулевого порядка и нарисуйте решение.

Убедитесь, что выражение, найденное на (рисунке), является решением уравнения Бесселя порядка 0.

Подсказка

Почленно дифференцировать степенной ряд и подставить его в дифференциальное уравнение.

Ключевые понятия

• Степенные ряды функций иногда можно использовать для нахождения решений дифференциальных уравнений.
• Дифференцируйте степенной ряд почленно и подставьте в дифференциальное уравнение, чтобы найти отношения между коэффициентами степенного ряда.

Найдите решение степенного ряда для следующих дифференциальных уравнений.

Дифференциальное уравнение является уравнением Бесселя 1-го порядка.Используйте степенной ряд формы, чтобы найти решение.

Упражнения по обзору главы

Верно или неверно ? Обоснуйте свой ответ доказательством или контрпримером.

Если и оба являются решениями, то также является решением.

Следующая система алгебраических уравнений имеет единственное решение:

является решением дифференциального уравнения второго порядка

Чтобы найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка, вам нужно одно начальное условие.

Классифицировать дифференциальное уравнение. Определить порядок, является ли он линейным и, если линейным, является ли дифференциальное уравнение однородным или неоднородным. Если уравнение однородно и линейно второго порядка, найти характеристическое уравнение.

второго порядка, линейный, однородный,

первый порядок, нелинейный, неоднородный

Для следующих проблем найдите общее решение.

Для следующих задач найдите решение задачи с начальным значением, если это возможно.

Для следующих задач найдите решение краевой задачи.

Для следующей задачи составьте и решите дифференциальное уравнение.

В следующих задачах рассматриваются «биения», возникающие, когда форсирующий член дифференциального уравнения вызывает «медленные» и «быстрые» амплитуды. Рассмотрим общее дифференциальное уравнение, описывающее незатухающие движения. Предположим, что

Найдите общее решение этого уравнения ( Подсказка: вызов ).

Предполагая, что система запускается из состояния покоя, покажите, что конкретное решение можно записать как

[T] Используя полученные ранее решения, постройте решение системы на интервале Найдите аналитически период быстрой и медленной амплитуд.

Для следующей задачи составьте и решите дифференциальные уравнения.

.