Что такое прямая пропорциональность: Прямая и обратная пропорциональность — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 26.11.197211.01.2022 by alexxlab

Содержание

Прямая пропорциональность y = kx свойства и график функции

Определение прямой пропорциональности

Если машина движется со скоростью 50 км/ч, пройденное расстояние (в километрах) в зависимости от времени (в часах) s = 50t. Время мы определяем как $t\geq0$. Но механика позволяет нам рассчитать не только будущее положение тела, но и прошлое, подставив в формулу $t \lt 0$ и запросто «прокрутив» время назад. Поэтому в общем случае, если движение было и остаётся постоянным, мы получаем:

$${\left\{ \begin{array}{c} — \infty \lt t\lt + \infty \\ s = 50t \end{array} \right.}$$

Можно представить себе не только отрицательное время («поход в прошлое»). Ещё проще ввести отрицательные координаты: направо идём – координата растёт, становится положительной, поворачиваем налево – уменьшается, становится отрицательной.

В задачах, связанных с экономикой, величины также могут уходить в «плюс» и «минус»: покупки/продажи, кредиты/депозиты, доходы/затраты, прибыли/убытки .

Часто эти величины изменяются на какую-то постоянную сумму с течением времени.

Если обобщить формулы, описывающие подобные зависимости, то получаем:

$${\left\{ \begin{array}{c}- \infty \lt x \lt + \infty — аргумент, \quad любое \quad действительное \quad число \\ k = const ≠ 0 \quad — параметр, \quad константа \\ y = kx \quad — функция\end{array} \right.}$$

Функция такого вида называется прямой пропорциональностью.

Если $k \gt 0$, то чем больше x, тем больше y – функция возрастает.

Если $k \lt 0$, то чем больше x, тем больше y – функция убывает.

График прямой пропорциональности

Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат.

Согласно аксиоме планиметрии, через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Значит, положение прямой на плоскости полностью определяется двумя точками . Получаем:

Алгоритм построения графика прямой пропорциональности

Выбрать произвольное значение аргумента $x_*\neq 0$

Вычислить соответствующее значение функции $y_*=kx_*$
Отметить на координатной плоскости точку $(x_*,y_* )$
Провести прямую через начало координат (0;0) и точку $(x_*,y_* )$

Эта прямая – график прямой пропорциональности y=kx.

Например: построим график функции y = 2x

Примеры

Пример 1. Постройте графики прямых пропорциональностей.

Укажите, возрастает или убывает функция.

$k = 1 \gt 0$ – функция возрастает

$k = 3 \gt 0$ – функция возрастает

$k = \frac{1}{3} \gt 0$ – функция возрастает

$k = -1 \lt 0$ – функция убывает

$k = -2 \lt 0$ – функция убывает

е) $y = — \frac{1}{2} x$

$k = -\frac{1}{2} \lt 0$ – функция убывает

Пример 2. Известно, что график прямой пропорциональности проходит через точку A(5;22). Проходит ли этот график через точки B(7;32,4)и C(9;39,6)?

Точка A определяет коэффициент пропорциональности:

$$ k= \frac{y_A}{x_A} = \frac{22}{5} = 4,4 $$

При $x = 7:y = 4,4 \cdot 7 = 30,8 \neq 32,4 \Rightarrow$ B не принадлежит графику.

При $x = 9:y = 4,4 \cdot 9 = 39,6 \Rightarrow C$ принадлежит графику.

Пример 3. Является ли прямой пропорциональностью функция, проходящая через точки:

а) A(1,5;2,75) и B(12;22)

Найдём коэффициенты пропорциональностей для каждой из точек:

$$ k_A = \frac{y_A}{x_A} = \frac{2,75}{1,5} \stackrel{\text{ × 4}}{=} \frac{11}{6} = \frac{15}{6} $$

$$ k_B = \frac{y_B}{x_B} = \frac{22}{12} = \frac{11}{6} = \frac{15}{6} $$

$k_A = k_B \Rightarrow$ прямая AB $y=1 \frac{5}{6} x$ является прямой пропорциональностью.

б) A(3;4,5) и B(5;8)

Найдём коэффициенты пропорциональностей для каждой из точек:

$$ k_A = \frac{y_A}{x_A} = \frac{2,75}{1,5} = \frac{4,5}{3} = 1,5 $$

$$ k_B = \frac{y_B}{x_B} = \frac{8}{5} = 1,6 $$

$k_A \neq k_B \Rightarrow$ прямая AB не является прямой пропорциональностью.

Внеклассный урок — Линейная функция. Прямая пропорциональность. Обратная пропорциональность

Линейная функция. Прямая пропорциональность. Обратная пропорциональность.

Линейная функция

Линейная функция – это функция, которую можно задать формулой y = kx + b,

где x – независимая переменная, k и b – некоторые числа.

Графиком линейной функции является прямая.

Число k называют угловым коэффициентом прямой – графика функции y = kx + b.

Если k > 0, то угол наклона прямой y = kx + b к оси х острый; если k < 0, то этот угол тупой.

Если угловые коэффициенты прямых, являющихся графиками двух линейных функций, различны, то эти прямые пересекаются. А если угловые коэффициенты одинаковы, то прямые параллельны.

График функции y = kx + b, где k ≠ 0, есть прямая, параллельная прямой y = kx.

Прямая пропорциональность.

Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой y = kx, где х – независимая переменная, k – не равное нулю число. Число k называют коэффициентом прямой пропорциональности.

График прямой пропорциональности представляет собой прямую, проходящую через начало координат (см.рисунок).

Прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции.

Свойства функции y = kx:

1. Область определения функции — множество всех действительных чисел.

2. Это нечетная функция.

3. Переменные изменяются прямо пропорционально на всей числовой прямой: при возрастании аргумента функция пропорционально возрастает, при убывании аргумента функция пропорционально убывает.

Обратная пропорциональность

Обратной пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой:

k
y = —
x

где x – независимая переменная, а k – не равное нулю число.

Графиком обратной пропорциональности является кривая, которую называют гиперболой (см.рисунок).

Для кривой, которая является графиком этой функции, оси x и y выступают в роли асимптот. Асимптота – это прямая, к которой приближаются точки кривой по мере их удаления в бесконечность.

k
Свойства функции y = —:
x

1. Область определения функции — множество всех действительных чисел, кроме нуля.

2. Это нечетная функция.

3. При возрастании аргумента функция пропорционально убывает, при убывании аргумента функция пропорционально возрастает.

Функция прямая пропорциональность | Алгебра

Определение

Функция вида y=kx, где k — число (k≠0), называется функцией прямой пропорциональности (или функция прямая пропорциональность).

Число k называется коэффициентом пропорциональности. О переменной y говорят, что она пропорциональна переменной x.

Прямая пропорциональность — частный случай линейной функции y=kx+b (при b=0).

Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат — точку O (0;0).

Для построения графика прямой пропорциональности достаточно взять одну точку, вторая — точка O.

Свойства функции прямой пропорциональности

1) Область определения — множество действительных чисел:

D(y): x∈(-∞;+∞) (или x∈R).

2) Область значений — множество действительных чисел:

D(y): y∈(-∞;+∞) (или y∈R).

3) Нуль функции (y=0) при x=0.

4) При k>0 функция y=kx возрастает, при k<0 — убывает.

5) При k>0 график функции проходит через I и III координатные четверти.

Функция принимает положительные значения при положительных значениях аргумента:

y>0 при x>0.

Функция принимает отрицательные значения при отрицательных значениях аргумента:

y<0 при x<0.

При k<0 график функции проходит через II и IV координатные четверти.

Функция принимает положительные значения при отрицательных значениях аргумента:

y>o при x<0.

Функция принимает отрицательные значения при положительных значениях аргумента:

y<0 при x>0.

Число k называется угловым коэффициентом прямой

y=kx.

k=tg α, где α — угол, который прямая образует с положительным направлением оси Ox.

Чтобы сравнить угловые коэффициенты прямых, сравниваем углы между прямыми и положительным направлением оси абсцисс.

При k₁>0, k₂>0

так как α₁>α₂, то k₁>k₂.

При k₃<0, k₄<0

так как α₃>α₄, то k₄>k₃.

В качестве иллюстрации рассмотрим графики четырёх функций прямой пропорциональности.

Графики функций y=x и y= -x являются биссектрисами соответственно I и III, II и IV координатных четвертей. Эти графики легко построить на листе в клеточку: каждую клеточку делим по диагонали:

Открытая Математика. Функции и Графики. Прямая пропорциональность

Рассмотрим следующую задачу. Мотоцикл движется со скоростью 50 км/ч. Построить график зависимости расстояния, пройденного автомобилем, от времени за первые 6 часов движения.

Поместим сведения о движении мотоцикла в таблицу.

t, час	0	1	2	3	4	5	6
S (t), км	0	50	100	150	200	250	300

График зависимости пути, пройденного мотоциклом, от времени

Построим по этой таблице график функции y = S (t). Точки, описанные в таблице, лежат на одной прямой y = 50 t (км). Если мы хотим узнать путь мотоцикла за 3,5 часа, найдем на оси абсцисс точку t = 3,5, восстановим к этой оси перпендикуляр из данной точки. Он пересечет график функции в точке A. Спроецировав точку A на ось ординат, получим путь, равный 175 км.

В рассмотренной задаче, как и во многих других случаях, встречается ситуация, когда одна величина изменяется пропорционально другой. Так, длина окружности изменяется пропорционально ее радиусу: l = 2πR, площадь прямоугольника с постоянной шириной b пропорциональна длине прямоугольника: S = a · b, путь при равномерном движении пропорционален времени. В таких случаях мы имеем дело с функцией y = k x, называемой прямой пропорциональностью. Графиком этой функции является прямая, проходящая через начало координат и не совпадающая с осью

OY. Число k называется наклоном или угловым коэффициентом прямой.

Рассмотрим k > 0 и выберем на графике y = kx точку A (1; k). Пусть α – угол, образованный графиком с положительным направлением оси OX (его называют углом наклона прямой). Из прямоугольного треугольника OAB (см. рисунок) имеем, что tgα=ABOA=k.

Прямая пропорциональность Определение угла наклона прямой

Если же k < 0, то график функции y = kx образует с положительным направлением оси абсцисс тупой угол β. Выберем на графике точку A (1; k) Из теоремы о смежных углах следует, что α = 180º – β. Следовательно, tgα=tg180ˆ-β=-tgβ=-ABOA=-|k|=k. Наконец, если

k = 0, то угол α также равен нулю. Таким образом доказана следующая теорема.

Тангенс угла наклона прямой относительно оси абсцисс y = kx равен угловому коэффициенту k.

ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ

ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ.

I. Прямая пропорциональность.

О: Функция вида y = kx + b называется линейной функцией.

k, b — числа (параметры), x — переменная (аргумент)

О: Линейная функция вида y = kx называется прямой пропорциональностью.

Свойства функции y = kx                            График функции y = kx
1.

D_y = R
2. Корни: x = 0
3. При k > 0 Þ y > 0 при x Î (0;+¥)
                            y < 0 при x Î (-¥; 0)
    При k < 0 Þ y > 0 при x Î (-¥; 0)
                            y < 0 при x Î (0;+¥)
4. При k > 0 Þ функция возрастает
При k < 0 Þ функция убывает
5. Экстремумов нет.
6.

Зная две точки (x₁,y₁) и (x₂,y₂) можно    найти:
1. Угол наклона прямой к оси ОХ:
            tga = k = (y₂ - y₁)/(x₂ — x₁)
     2. Уравнение прямой:   y = y₁ + k(x₂ — x₁)

Наибольшего и наименьшего значения нет.
7. E_y = R
8. Нечётная, непериодическая.

График - прямая, строим по двум точкам.

Замечание: График функции y = kx + b получаем перемещением графика функции y = kx по вертикали:
если b > 0 , то вверх на b
если b < 0 , то вниз на b
II. Обратная пропорциональность.

О: Функция вида y = k / x называется обратной пропорциональностью.

            Свойства функции y = k / x                         График функции y = k / x
1. D_y = (-¥; 0)È (0; +¥)
2.

Корней нет
3. При k > 0 Þ y > 0 при x Î (0;+¥)
                            y < 0 при x Î (-¥; 0)
    При k < 0 Þ y > 0 при x Î (-¥; 0)
                            y < 0 при x Î (0;+¥)
4. При k > 0 Þ функция убывает
При k < 0 Þ функция возрастает
5. Экстремумов нет.
6.

      Зная координаты точки (x₁,y₁),                 можно найти k:
    k = x₁· y₁

Наибольшего и наименьшего значения нет.
7. E_y = (-¥; 0)È (0; +¥)
8. Нечётная, непериодическая.

График - гипербола, строим заполняя таблицу.

Примеры таких зависимостей:
Прямая пропорциональность и её график
АДМИНИСТРАЦИЯ МУНИЦИПАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ГОРОД САРАТОВ»
МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
«СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 95 С УГЛУБЛЕННЫМ
ИЗУЧЕНИЕМ ОТДЕЛЬНЫХ ПРЕДМЕТОВ»
Методическая разработка
урока алгебры в 7 классе
по теме:
«Прямая пропорциональность
и её график».
Учитель математики
1 квалификационной категории
Горюнова Е.В.
2014 – 2015 учебный год
Пояснительная записка
к уроку по теме:
«Прямая пропорциональность и её график».
Учитель математики Горюнова Елена Викторовна.
Вашему вниманию представлен урок в 7 классе. Учитель работает по программе, составленной на основе Примерных программ основного общего образования и авторской программы для общеобразовательных учреждений Ю.Н. Макарычев. Алгебра.7-9 классы //Сборник программ по алгебре 7-9 классы. М.Просвещение, 2009 составитель Т.А. Бурмистрова. Программа соответствует учебнику алгебры Ю.Н. Макарычев , Н.Г Миндюк, К.И. Нешков., С.Б Суворова., под редакцией С.А. Теляковского «Алгебра 7 класс» (издательство «Просвещение» 2009 год).
На изучение темы «Функции» отводится 14 часов, из них 6 часа на раздел «Функции и их графики», 3 часа — на раздел «Прямая пропорциональность и её график» , 4 часа- на раздел «Линейная функция и её график» и 1ч К/Р.
ЦЕЛИ:
• Образовательные:
1. Организовать деятельность учащихся по восприятию темы «Прямая пропорциональность и её график» и первичному закреплению: определения прямой пропорциональности и построения её графика, формировать навыки грамотного построения графиков
2. Создавать условия для создания в памяти учащихся системы опорных знаний и умений, стимулировать поисковую деятельность
• Развивающие:
1. Развивать аналитико – синтезирующее мышления (способствовать развитию наблюдательности, умению анализировать, развитие умений классифицировать факты, делать обобщающие выводы).
2. Развивать абстрактное мышление (развитие умений выделять общие и существенные признаки, отличать несущественные признаки и отвлекаться от них).
3. Побуждать учеников к самоконтролю и взаимоконтролю .
• Воспитательные:
Прививать чувство уважения к одноклассникам, внимание к слову, способствовать воспитанию самостоятельности, ответственности, аккуратности при построении чертежей
Достижение этих целей выполняется с помощью ряда задач:
Формирование умения сочетать знания и навыки, которые обеспечивают успешное выполнение деятельности;
Вести работу над развитием связанной речи учащихся, умением ставить и разрешать проблемы.
Оборудование урока:
На уроке использовались индивидуальные карточки с заданиями и мультимедийный проектор, все факты об Р. Декарте были взяты учителем в Интернете с официальных сайтов СМИ и переработаны специально для данного урока с учётом темы урока, учебник.
Содержание урока:
Содержание урока соответствует программе и задачам урока.
Тип и структура урока:
Данный урок является уроком освоения новых знаний и навыков ( типы уроков по В.А. Онищуку), поэтому рационально было применить элементы исследовательской деятельности .
Реализация принципов обучения:
На уроке были реализованы принципы:
Научности обучения.
Принцип систематичности и последовательности в обучении был осуществлён при постоянной опоре на ранее изученный материал.
Сознательность, активность и самостоятельность учащихся достигалась в виде стимулирования познавательной активности с помощью эффективных приёмов и средств наглядности (таких как показ слайдов, предоставления исторических фактов и сведений из жизни математика и философа Р. Декарте, индивидуальных печатных листов учащихся.
На уроке был реализован принцип комфортности.
Формы и методы обучения:
Во время урока были применены различные формы обучения – это индивидуальная и фронтальная работа, взаимопроверка. Такие формы более рациональны для данного типа урока, так как позволяют ребёнку развивать самостоятельность мышления, критичность мысли, способность отстаивания своей точки зрения, умение сравнивать и делать выводы.
Основным методом данного урока является частично-поисковый метод, который характеризуется работой учащихся по решению проблемных познавательных задач.
Физ. минутка представляла собой одновременно и физические упражнения и закрепление только что изученного материала.
В конце урока целесообразно провести обобщение проведённой работы на уроке.
Общие результаты урока:
Считаю, что задачи, поставленные на урок, реализованы, дети применяли знания в новой ситуации, каждый мог высказать свою точку зрения. Использование наглядности в виде презентации, индивидуальных печатных листов учащихся позволяет мотивировать учащихся на каждом этапе урока и избегать перегрузки и переутомления учащихся.
Тема урока: «Прямая пропорциональность и ее график»
Дидактическая задача: знакомство с прямой пропорциональностью и построением ее графика.
Цели:
• Образовательные:
1. Организовать деятельность учащихся по восприятию темы «Прямая пропорциональность и её график» и первичному закреплению: определения прямой пропорциональности и построения её графика, формировать навыки грамотного построения графиков
2. Создавать условия для создания в памяти учащихся системы опорных знаний и умений, стимулировать поисковую деятельность
• Развивающие:
1. Развивать аналитико – синтезирующее мышления (способствовать развитию наблюдательности, умению анализировать, развитие умений классифицировать факты, делать обобщающие выводы).
2. Развивать абстрактное мышление (развитие умений выделять общие и существенные признаки, отличать несущественные признаки и отвлекаться от них).
3. Побуждать учеников к самоконтролю и взаимоконтролю
• Воспитательные:
Прививать чувство уважения к одноклассникам, внимание к слову, способствовать воспитанию самостоятельности, ответственности, аккуратности при построении чертежей.
Оборудование: компьютер, презентация, карточки на печатной основе с заданиями на каждого ученика.
План урока:
1.Организационный момент.
2.Мотивация урока.
3.Актуализация знаний.
4.Изучение нового материала.
5. Закрепление материала.
6. Итог урока.
Ход урока.
1.Организационный момент.
-Доброе утро, ребята! Мне бы хотелось начать урок со следующих слов. (Слайд 1)
Французский учёный Рене Декарт однажды заметил: «Мыслю, следовательно существую ».
Ребята приготовили сообщение о французском учёном Р. Декарте.
Рене Декарт больше известен как великий философ, чем математик. Но именно он был пионером современной математики, и его заслуги в этой области столь велики, что он по справедливости входит в число великих математиков современности.
Сообщение ученика: (Слайд 2)
Родился Декарт родился во Франции, в небольшом городке Лаэ. Отец его был юристом, мать умерла, когда Рене был 1 год. После окончания коллежа для сыновей аристократических семейств, он по примеру своего брата стал изучать правоведение. В 22–летнем возрасте уехал из Франции и в качестве офицера–добровольца служил в войсках разных военачальников, участвовавших в 13-летней войне. Декарт в своем философском учении развивал идею о всемогуществе человеческого разума, и поэтому преследовался католической церковью. Желая найти убежище для спокойной работы по философии и математике, которыми он интересовался с детства, Декарт в 1629 году поселился в Голландии, где прожил почти до конца жизни. Все крупные произведения Декарта по философии, математике, физике, космологии и физиологии написаны им в Голландии.
Математические труды Декарта собраны в его книге „Геометрия» (1637). В „Геометрии» Декарт дал основы аналитической геометрии и алгебры. Декарт первый ввел в математику понятие переменной функции. Он обратил внимание на то, что кривая на плоскости характеризуется уравнением, обладающим тем свойством, что координаты любой точки, лежащей на этой линии, удовлетворяют данному уравнению. Он разделил кривые, заданные алгебраическим уравнением, на классы в зависимости от наибольшей степени неизвестной величины в уравнении. Декарт ввел в математику знаки плюс и минус для обозначения положительных и отрицательных величин, обозначение степени и знак для обозначения бесконечно большой величины. Для переменных и неизвестных величин Декарт принял обозначения х, у, z, а для величин известных и постоянных —a.b.c , как известно, эти обозначения применяются в математике до сегодняшнего дня. Несмотря на то, что в области аналитической геометрии Декарт продвинулся не очень далеко, его труды оказали решающее влияние на дальнейшее развитие математики. На протяжении 150 лет математика развивалась путями, предначертанными Декартом.
Давайте следовать совету учёного. Будем активны, внимательны, будем рассуждать, мыслить и узнавать новое, ведь знания пригодятся вам в дальнейшей жизни. А эти слова(Слайд3 ) Р.Декарта мне хочется предложить как девиз нашего урока : «Уважение других даёт повод к уважению самого себя».
2.Мотивация.
Проверим с каким настроением вы пришли на урок. Рисуем на полях смайлик.
-Возьмите карточки . Тут так же написаны слова Р.Декарта : « Для того, чтобы совершенствовать свой ум надо больше рассуждать, чем заучивать». Эти слова будут для нас руководством в нашей работе.
Задание №1 с математическими терминами, которые мы будем употреблять на уроке. Исправьте ошибки, допущенные в написании этих терминов. (Слайд 4)
-Поменяйтесь, листочками и проверьте, все ли ошибки исправлены. (Слайд 5) -Что вы заметили? В каком слове нет ошибок? (функция, график)
3.Актуализация знания.
а) С понятием «функция» мы познакомились на предыдущих уроках. Давайте вспомним основные понятия и определения по этой теме.
С графиками функций мы тоже работали . Какие из слов диктанта мы употребляли при работе по теме «Графики функций»? Что они обозначают?
На этом слайде определите какая из линий будет графиком функции? (Слайд 6)
-а кто скажет о чем мы будем рассуждать на этом уроке? Какие цели поставим на урок? (Слайд7 )
-на листах учащихся записать число и напишем тему урока: «Прямая пропорциональность и ее график»
Вспомним материал прошлых уроков
Составьте формулы, для решения следующих задач. (Слайд 9,10)
-Какие переменные зависимые, независимые? Что от чего зависит? Какая зависимость? (Слайд )
Какая из формул отличается от других? (Слайд )
в) Как можно записать формулы в общем виде? (Слайд )
y=kx, y — зависимая переменная
x – независимая переменная
k – постоянное число (коэффициент)
-Мы записали формулу, а это один из способов задания функции. Прямая пропорциональная зависимость – функция.
4.Изучение нового материала.
Определение. Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой у=кх, где х – независимая переменная, а к – некоторое число, неравное нулю, коэффициент прямой пропорциональности (неизменное отношение пропорциональных величин)
Прочитаем правило в учебнике на стр.65
-Область определения этой функции? (Множество всех чисел)
Закрепление материала.
-выполните задание в листах №4(Слайд ) Распредели формулы на 2 группы в соответствии с темой урока: (читаем правило в учебнике на стр.65)
у=2х, у=3х-7 , у=-0,2х, у=х, у=х², у=х, у=-5,8+3х, у=-х, у=50х,
1 группа:_____________________________________________________
2группа:_____________________________________________________
-подчеркните коэффициент прямой пропорциональности.
Выполняем №298 на стр.68 (устно), я диктую, вы на слух определяете формулу пр. пропорциональности и жмурите глаза, если не пр.пропорцинальностью, то вращаете глаза слева на право.
Придумай и запиши 4 формулы функции прямой пропорциональности:
1)у=_________2)у=__________3) у=_________4) у=__________
Изучение нового материала
-Каков график этой функции? Хотите узнать?
-Мы уже строили в задании№2 график функции, эту функцию мы можем назвать пр.пропорцинальностью? Значит мы уже строили график пр.пропорцинальности. Правило в учебнике на стр. 67.
— посмотрим как будем строить график этой функции (Слайд)
Закрепление материала.
-построим график №7 в листах учащихся (Слайд )
-Какую точку мы будем иметь в любом графике пр.пропорцинальности?
-Работаем по готовым чертежам. (Слайд)
-Вывод: графиком является прямая, проходящая через начало координат.
-Т.К. график – прямая, то сколько точек необходимо для ее построения? Одна уже есть (0;0)
Выполняем № 300
Итог урока. Обобщим работу на сегодняшнем уроке (Слайд ) . Всё сделали. Что запланировали?
Рефлексия. (Слайд)
Проверить настроение учащихся на конец урока.(смайлик) (Слайд)
«Прямая пропорциональность и ее график» Цель
Тема урока: «Прямая пропорциональность и ее график»
Цель: знакомство с прямой пропорциональностью и построением ее графика
Задачи:
-способствовать развитию наблюдательности, умению анализировать, обобщать, делать выводы;
-побуждать учеников к самоконтролю и взаимоконтролю;
-формировать навыки грамотного построения графиков.
Оборудование: компьютер, презентация, карточки с заданиями на каждого.
План урока:
1.Организационный момент.
2.Мотивация урока.
3.Актуализация знаний.
4.Изучение нового материала.
5.Физкультминутка.
6.Изучение нового материала.
7.Закрепление материала.
8.Итог урока.
9.Домашнее задание.
Ход урока.
1.Организационный момент.
-Доброе утро, ребята! Мне бы хотелось начать урок со следующих слов. (Слайд 1)
Французский писатель Анатоль Франс (1844 – 1924) однажды заметил: «Учиться можно только весело. Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом».
Давайте следовать совету писателя. Будем активны, внимательны, будем поглощать знания с большим желанием, ведь они пригодятся вам в дальнейшей жизни.
2.Мотивация.
У вас на столах лежат карточки с солнцем и тучкой. Проверим с каким настроением вы пришли на урок.
-Возьмите карточки с математическими терминами, которые мы будем употреблять на уроке. Исправьте ошибки, допущенные в написании этих терминов. (Слайд 2)
-Поменяйтесь, листочками и проверьте, все ли ошибки исправлены. (Слайд 3) -Что вы заметили? В каком слове нет ошибок? (функция)
3.Актуализация знания.
а) С понятием «функция» мы познакомились на предыдущих уроках. Давайте вспомним основные понятия и определения по этой теме. (Слайд 4)
В парах – выполнить соответствия. Соединить чертой понятие и определение. Прочитать по одному определению от парты. (Слайды 4,5,6,7,8)
б) В тетрадях записать число.
Составьте формулы, для решения следующих задач. (Слайд 9,10)
-Какие переменные зависимые, независимые? Что от чего зависит? Какая зависимость? (прямая и обратная пропорциональные зависимости)
в) Как в первой задаче можно записать формулу в общем виде? (Слайд 11)
y=kx, y — зависимая переменная
x – независимая переменная
k – постоянное число (коэффициент)
-Мы записали формулу, а это один из способов задания функции. Прямая пропорциональная зависимость – функция.
4.Изучение нового материала.
а) Сформулируйте тему, цель урока. (Слайд 12)
-Сегодня на уроке мы будем изучать функцию, которая называется прямой пропорциональностью.
-Чему бы вы хотели научиться? (строить график, и т.д.)
б) -Дайте определение прямой пропорциональности. (Слайд 13)
Определение. Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой у=кх, где х – независимая переменная, а к – некоторое число, неравное нулю.
-Область определения этой функции? (Множество всех чисел)
-Каков график этой функции? Хотите узнать?
-Постройте графики функций у=х, у=-х. (Слайд 14)
-Проверьте себя (Слайд 15)
Физминутка для глаз. 3 раза проводить глазами график функции у=х. За-жмурить глаза, представить, как меняется график, при изменении значения к.
-Что заметили? (Точки на одной прямой; прямая проходит через начало координат; к=1; к=-1)
-Вывод: графиком является прямая, проходящая через начало координат.
-Т.К. график – прямая, то сколько точек необходимо для ее построения? Одна уже есть (0;0) (Слайд 16)
5.Физминутка (Слайд 17)
6. Изучение нового материала.
а) Построить графики у=4х; у=-3х (Слайд 18). Проверка (Слайд 19).
б) Посмотрите на экран, назовите к? (Слайд 20,21)
-Какой можно сделать вывод? Как расположены графики в зависимости от к?
-В каких координатных четвертях расположены? (в1, 3, если к>0; 2,4 -если к<0) (Слайд 22)
-Вывод. (Слайд 23)
7.Закрепление материала.
а) Опишите, что собой представляет график функции, заданной формулой (Слайд 24)
у=25х у=-0,01х у=-7х у=0,6х
б) Назовите прямые (Слайд 25)
-Все ли являются графиком прямой пропорциональности? (нет -2,5; к>0 -3,4; k<0 – 1,6)
в) Задание по группам (Слайд 26,27)
Ответ: 1)С=15п 2) m=19,3v 3)C=2пR
8.Итог урока. (Слайд 28) Проверить настроение учащихся на конец урока.
9.Домашнее задание. (Слайд 29)
Прямая пропорция — формула, примеры, определение, график
Прямая пропорция — это математическое сравнение двух чисел, при котором отношение двух чисел равно постоянному значению. Определение пропорции гласит, что когда два отношения эквивалентны, они пропорциональны. Символ, используемый для обозначения пропорций, — «∝». Давайте узнаем больше о прямой пропорции в этой статье.
Определение прямой пропорциональности
Определение прямой пропорциональности гласит: «Когда отношения между двумя величинами таковы, что если мы увеличим одну, то увеличится и другая, а если мы уменьшим одну, то уменьшится и другая величина, то говорят, что эти две величины находятся в прямая пропорция».Например, если есть две величины x и y, где x = количество конфет, а y = общая сумма потраченных денег. Если мы покупаем больше конфет, нам придется платить больше денег, а если мы покупаем меньше конфет, то мы будем платить меньше денег. Итак, здесь мы можем сказать, что x и y прямо пропорциональны друг другу. Он представлен как x ∝ y.
Ниже приведены некоторые реальные примеры прямой пропорциональности:
Количество продуктов прямо пропорционально потраченным деньгам.
Выполненная работа прямо пропорциональна количеству рабочих.
Скорость прямо пропорциональна расстоянию за фиксированное время.
Формула прямой пропорции
Формула прямой пропорции говорит, что если величина y прямо пропорциональна величине x, то мы можем сказать, что y =kx для константы k. y=kx также является общей формой уравнения прямой пропорциональности.
где,
График прямой пропорциональности
График прямой пропорциональности представляет собой прямую линию с восходящим наклоном.Посмотрите на изображение, приведенное ниже. На оси X отмечены две точки, а на оси Y две точки, где $x_{1}$ < $x_{2}$ и $y_{1}$ < $y_{ 2}$. Если мы увеличим значение x с $x_{1}$ до $x_{2}$, мы заметим, что значение y также увеличится с $y_{1}$ до $y_{ 2}$. Таким образом, линия y=kx графически представляет прямую пропорциональность.
Прямая пропорция против обратной пропорциональности
Существует два типа пропорциональности, которые могут быть установлены на основе отношения между двумя заданными величинами. Это прямо пропорциональные и обратно пропорциональные. Две величины прямо пропорциональны друг другу, если увеличение или уменьшение одной ведет к увеличению или уменьшению другой. С другой стороны, две величины называются обратно пропорциональными, если увеличение одной величины приводит к уменьшению другой, и наоборот. График прямой пропорциональности представляет собой прямую линию, а график обратной пропорциональности — кривую. Посмотрите на изображение, приведенное ниже, чтобы понять разницу между прямой пропорцией и обратной пропорцией.
Темы, относящиеся к прямой пропорциональности
Проверьте эти интересные статьи, связанные с концепцией прямой пропорциональности.
Часто задаваемые вопросы о прямой пропорциональности
Что такое прямая пропорция в математике?
Две величины называются прямо пропорциональными, если увеличение одной ведет к увеличению другой величины, и наоборот. Например, если a ∝ b, это означает, что если «a» увеличивается, «b» также увеличивается, а если «a» уменьшается, «b» также уменьшается.
Что обозначает символ ∝ в формуле прямой пропорциональности?
В формуле прямой пропорции символ пропорциональности ∝ обозначает соотношение между двумя величинами. Он выражается как y ∝ x и может быть записан в уравнении как y=kx для константы k.
Что такое прямая пропорция и обратная пропорция?
Прямая пропорция, как следует из названия, указывает на то, что увеличение одной величины также увеличивает значение другой величины, а уменьшение одной величины также уменьшает значение другой величины.В то время как обратная пропорция показывает обратную зависимость между двумя данными величинами. Это означает, что увеличение одного приведет к уменьшению значения другого количества и наоборот.
Как представить формулу прямой пропорциональности?
Формула прямой пропорциональности описывает соотношение между двумя величинами и может быть понята с помощью шагов, указанных ниже:
Определите две величины, которые различаются в данной задаче.
Определите вариант как прямой вариант.
Формула прямой пропорции: y ∝ kx.
Что такое уравнение прямой пропорциональности?
Уравнение прямой пропорциональности: y=kx, где x и y – заданные величины, а k – любая постоянная величина. Некоторые примеры уравнений прямой пропорциональности: y=3x, m=10n, 10p=q и т. д.
Как решить задачи на прямую пропорцию?
Чтобы решить задачи на прямую пропорцию, выполните следующие действия:
Определите две величины, которые различаются в данной задаче.
Убедитесь, что изменение прямо пропорционально.
Составьте уравнение относительно y=kx и найдите значение k на основе заданных значений x и y.
Найдите неизвестное значение, подставив значения x и известную переменную.
Как показать связь между двумя величинами с помощью формулы прямой пропорциональности?
Прямо пропорциональную зависимость между двумя величинами можно выяснить, используя следующие ключевые моменты.
Определите две величины, данные в задаче.
Если x/y постоянны, то величины имеют прямо пропорциональную зависимость.
Прямо пропорциональные и обратно пропорциональные

Прямопропорционально: при увеличении одной суммы другая сумма увеличивается с той же скоростью.
∝ Символ «прямопропорциональности» — ∝
(не путайте с символом бесконечности ∞)

Пример: вам платят 20 долларов в час
Сколько вы зарабатываете, прямо пропорционально количеству часов, которые вы работаете
Работайте больше, получайте больше; прямо пропорционально.
Можно было бы написать:
Заработок ∝ Количество отработанных часов
Если вы работаете 2 часа, вам платят 40 долларов
Если вы работаете 3 часа, вам платят 60 долларов
и т. д. …
Константа пропорциональности
«Константа пропорциональности» — это значение, которое связывает две суммы
Пример: вам платят 20 долларов в час (продолжение)
Константа пропорциональности равна 20 , потому что:
Заработок = 20 × отработанных часов
Это можно записать:
у = кх
Где k — константа пропорциональности
Пример: y прямо пропорционален x, и если x=3, то y=15.

Что такое константа пропорциональности?
Они прямо пропорциональны, значит:
у = кх
Введите то, что мы знаем (y=15 и x=3):
15 = к × 3
Решить (разделив обе части на 3):
15/3 = к × 3/3
5 = к × 1
к = 5
Константа пропорциональности 5:
г = 5 х
Когда мы знаем константу пропорциональности, мы можем ответить на другие вопросы
Пример: (продолжение)
Чему равно значение y, когда x = 9?
у = 5 × 9 = 45
Каково значение x, когда y = 2?
2 = 5 х
х = 2/5 = 0.4
Обратно пропорциональная
Обратно Пропорционально: когда одно значение уменьшается на с той же скоростью, что и другое увеличивается.
Пример: скорость и время в пути
Скорость и время в пути обратно пропорциональны, потому что чем быстрее мы движемся, тем короче время.
По мере увеличения скорости время в пути уменьшается
И по мере снижения скорости время в пути увеличивается
Это: y обратно пропорционально x
То же самое, что: y прямо пропорционально 1/x
Что можно написать:
г = к х

Пример: 4 человека могут покрасить забор за 3 часа.
Сколько времени потребуется 6 людям, чтобы покрасить его?
(Предполагается, что все работают с одинаковой скоростью)
Это обратная пропорция:
Чем больше людей, тем меньше время рисования.
Чем меньше людей, тем больше время рисования.
Мы можем использовать:
т = к/н
Где:
t = количество часов
k = константа пропорциональности
n = количество человек
«4 человека могут покрасить забор за 3 часа» означает, что t = 3 при n = 4
3 = к/4
3 × 4 = к × 4 / 4
12 = к
к = 12
Итак, теперь мы знаем:
т = 12/n
А при n = 6:
t = 12/6 = 2 часа
Итак, 6 человек покрасят забор за 2 часа.

Сколько человек нужно, чтобы выполнить работу за полчаса?
½ = 12/n
n = 12 / ½ = 24
Значит, для выполнения работы за полчаса требуется 24 человека.
(При условии, что они не мешают друг другу!)

Пропорционально …
Также возможно быть пропорциональным квадрату, кубу, экспоненте или другой функции!
Пример: пропорционально x
²
С вершины высокой башни падает камень.
Расстояние, на которое он падает, пропорционально квадрату времени падения.
Камень падает на 19,6 м за 2 секунды, на какое расстояние он падает через 3 секунды?

Мы можем использовать:
д = кт ²
Где:
d — расстояние падения и
т это время осени

Когда d = 19,6, тогда t = 2
19,6 = k × 2 ²
19.6 = 4к
к = 4,9
Итак, теперь мы знаем:
d = 4,9 т ²
А при t=3:
d = 4,9 × 3 ²
д = 44,1
Итак, он упал на 44,1 м за 3 секунды.
Обратный квадрат
Обратный квадрат : когда одно значение уменьшает на квадрат другого значения.
Пример: свет и расстояние
Чем дальше мы от источника света, тем он менее ярок.
На самом деле яркость уменьшается как квадрат расстояния. Потому что свет распространяется во все стороны.
Таким образом, яркость «1» на расстоянии 1 метра составляет всего «0,25» на расстоянии 2 метра (удвоение расстояния приводит к четверти яркости) и так далее.

Прямо пропорциональный – объяснение и примеры
Что означает прямо пропорциональный?
Прямая пропорция — это отношение между двумя переменными, отношение которых равно постоянному значению.Другими словами, прямая пропорция — это ситуация, когда увеличение одной величины вызывает соответствующее увеличение другой величины или уменьшение одной величины приводит к уменьшению другой величины.
Иногда слово пропорциональный используется без слова прямого, просто знайте, что они имеют схожее значение.
Формула прямой пропорциональности
Прямая пропорция обозначается символом пропорциональности (∝). Например, если две переменные x и y прямо пропорциональны друг другу, то это утверждение можно представить как x ∝ y.Когда мы заменяем знак пропорциональности (∝) на знак равенства (=), уравнение меняется на:
x = k * y или x/y = k, где k называется ненулевой константой пропорциональности
В нашем В повседневной жизни мы часто сталкиваемся с ситуациями, когда изменение одной величины приводит к изменению другой величины. Давайте взглянем на некоторые из реальных примеров прямо пропорциональной концепции.
Стоимость продуктов прямо пропорциональна весу.
Выполненная работа прямо пропорциональна количеству рабочих. Это означает, что чем больше рабочих, тем больше работы, чем меньше рабочих, тем меньше выполненной работы.
Расход топлива автомобиля пропорционален пройденному расстоянию.

Пример 1
Расход топлива автомобиля составляет 15 литров дизельного топлива на 100 км. Какое расстояние может проехать автомобиль на 5 л дизельного топлива?
Решение
Расход топлива на каждые 100 км пробега = 15 литров
Следовательно, автомобиль проедет (100/15) км, используя 1 литр топлива
Если 1 литр => (100/15 ) км
Что насчет 5 литров дизеля
= {(100/15) × 5} км
= 33.3
Таким образом, на 5 литрах топлива автомобиль может проехать 33,3 км.

Пример 2
Стоимость 9 кг фасоли составляет 166,50 долларов США. Сколько килограммов фасоли можно купить на 259 долларов?
Solution
$ 166,50 = > 9 кг бобов
Что насчет $ 1 => 9/166,50 кг
Следовательно, количество бобов, купленных за $259 = {(9/166,50) × 25013 кг 9014} =14 кг
Следовательно, 14 кг бобов можно купить за 259 долларов

Пример 3
Общая заработная плата заКакова общая заработная плата 19 человек, работающих 5 дней?
Solution
Заработная плата 15 человек за 6 дней => $ 9450
Заработная плата за 6 дней для 1 рабочего = > $ (9450/15)
Заработная плата за 1 день для 1 рабочего => $ (9450/ 15 × 1/6)
Заработная плата 19 человек в день => $ (9450 × 1/6 × 19)
Суммарная заработная плата 19 мужчин за 5 дней = $ (9450 × 1/6 × 19 × 5)
= 9975$
Таким образом, 19 человек зарабатывают в общей сложности 9975$ за 5 дней.
Прямая пропорция
Значение прямой пропорции
Пропорция — это понятие математики, которое устанавливает связь между любыми двумя математическими величинами.Две величины называются пропорциональными, если они мультипликативно связаны константой. Пропорциональное отношение между любыми двумя величинами также можно определить как величины, произведение или отношение которых является постоянным. Две величины называются прямо пропорциональными, если их отношение постоянно. Если произведение любых двух величин является константой, то говорят, что эти две величины обратно пропорциональны. Две прямо пропорциональные величины связаны символом прямой пропорциональности «∝».Символ пропорциональности удаляется путем добавления константы прямой пропорциональности.
Определение прямой пропорциональности:
Значение прямой пропорциональности поясняется следующим образом. Две измеряемые величины называются прямо пропорциональными, если увеличение одной величины приводит к увеличению другой величины, и наоборот. При прямом изменении отношение двух измеряемых величин постоянно. Например, если x и y являются двумя измеримыми величинами, которые прямо пропорциональны друг другу, то определение прямой пропорции математически записывается как x ∝ y.Если символ прямой пропорции должен быть удален, добавляется константа пропорциональности, а символ прямой пропорции заменяется знаком равенства.
x = k y
\[\frac{{x }}{y}\] = K
В приведенном выше уравнении k является константой пропорциональности.
Если x1 и y1 — начальные значения любых двух величин, которые прямо пропорциональны друг другу, а x2 и y2 — конечные значения этих величин. Тогда согласно соотношению прямой пропорциональности
\[\frac{{x1}}{y1}\] = k и \[\frac{{x2 }}{y2}\] = k
Таким образом, мы можем сделать вывод что отношение начальных значений к конечным значениям любых двух непосредственно меняющихся величин равно и постоянно.
\[\frac{{x1}}{y1}\] = \[\frac{{x2}}{y2}\] = k
Прямая пропорция Пример:
Количество баллов прямо пропорционально производительность в тесте.
Температура прямо пропорциональна теплу.
Энергия прямо пропорциональна работе.
Скорость прямо пропорциональна расстоянию.
Заработок прямо пропорционален объему выполненной работы.
Количество потребляемой нами пищи прямо пропорционально тому, насколько мы голодны.
Это лишь несколько реальных примеров прямой пропорциональности.
Пример задач на прямую зависимость:
В одной из реальных ситуаций примеров на прямую пропорциональность автобус проезжает 150 км за 5 часов. За какое время автобус проедет 700 км?
Решение:
Пройденное расстояние и затраченное время прямо пропорциональны друг другу.
В заданном вопросе пройденное расстояние в случае 1 равно x1 = 150 км
Пройденное расстояние в случае 2 равно x2 = 700 км
Время, затраченное в случае 1, равно y1 = 5 часов 2 это у2 = ?
Соотношение пропорциональности можно выразить следующим образом: }}{5}\] = \[\frac{{700}}{y2}\]
y2 = \[\frac{{700}}{150}\] ✕ 5
y2=23.33
Итак, время, за которое автобус проедет 700 км, составляет 23,33 часа
Учитывая, что a и b прямо пропорциональны друг другу, заполните приведенную ниже таблицу.
Решение:
Из таблицы x1 = 4, y1 = 6, x2 = 5, x3 = 12, x4 = 6
y2 = ? у3 = ? у4 = ?
Случай 1: Чтобы найти y2
\[\frac{{x1}}{y1}\] = \[\frac{{x2}}{y2}\]
\[\frac{{4}} {6}\] = \[\frac{{5}}{y2}\]
y2= \[\frac{{5}}{4}\] ✕ 6
                                                 9000 3 9000 35
Случай 2: Чтобы найти y3
\[\frac{{x1}}{y1}\] = \[\frac{{x3}}{y3}\]
\[\frac{{4} }{6}\] = \[\frac{{12}}{y3}\]
y3 = \[\frac{{12}}{4}\] ✕ 6
y3= 18
Случай 3 : Чтобы найти y4
\[\frac{{x1}}{y1}\] = \[\frac{{x4}}{y4}\]
\[\frac{{4}}{6}\ ] = \[\frac{{6}}{y4}\]
y4 = \[\frac{{6}}{4}\] ✕ 6
y4 =9
Итак, заполненная таблица имеет вид ниже:
Сумант имеет рупий. 400р с ним.Если он может купить 5 кг топленого масла за 2180, сколько топленого масла он может купить на ту сумму, которая у него есть?
Решение:
Общая сумма за 5 кг топленого масла x1 = Rs. 2180/-
Топленое масло, купленное за рупий. 2180/- is y1 = 5 кг
Сумма с суммантом x2 = рупий. 400/-
Топленое масло, купленное за рупий. 400/- это у2 = ?
Деньги и количество купленного топленого масла прямо пропорциональны друг другу.
Отношение прямой пропорциональности можно записать в виде:
\[\frac{{x1}}{y1}\] = \[\frac{{x2}}{y2}\]
\[\frac{{ 2180}}{5}\] = \[\frac{{400}}{y2}\]
y2= \[\frac{{400}}{2180}\] ✕ 5
y2= \[\ frac{{400}}{2180}\] ✕ 5
y2=0.917
Сумант может купить 0,917 кг топленого масла за рупий. 400.
Веселая викторина:
Время и работа прямо пропорциональны друг другу. Это утверждение верно?
Да
Нет
Какие из следующих измерений являются прямо пропорциональными?
Течение и сопротивление
Объем и температура
Масса и вес
Из приведенного рисунка определите графики.
Иллюстративная математика
Задача
В учебнике есть следующее определение двух величин, которые должны быть прямо пропорциональны:
Мы говорим, что $y$ прямо пропорционально $x$, если $y=kx$ для некоторой константы $k$.
В качестве домашнего задания учащимся было предложено переформулировать определение своими словами и привести пример понятия. Ниже приведены некоторые из их ответов. Обсудите каждое утверждение и пример. Переведите утверждения и примеры в уравнения, чтобы решить, верны ли они.
Маркус:
Это означает, что оба количества одинаковы. При увеличении одного другого увеличивается на ту же величину. Примером этого может быть количество воздуха в воздушном шаре и объем воздушного шара.
Сэди:
Две величины пропорциональны, если изменение одной сопровождается изменением другой. Например, радиус круга пропорционален площади.
Бен:
Когда две величины прямо пропорциональны, это означает, что если одна величина увеличивается на определенный процент, другая величина также увеличивается на такой же процент.Например, когда цены на газ растут в цене, цены на продукты питания растут в цене.
Джессика:
Когда две величины пропорциональны, это означает, что при увеличении одной величины увеличивается и другая, и соотношение величин одинаково для всех значений. Примером может быть длина окружности и ее диаметр, отношение величин будет равно $\pi.$
Комментарий к IM
Задача имеет две основные цели. (1) Студенты понимают смысл определения прямой пропорциональности.(2) Они участвуют в СМП 3 «Приводить обоснованные аргументы и критиковать рассуждения других» и СМП 6 «Стремиться к точности».
Когда учащихся просят прочитать объяснения других людей к определению, они заставляют учащихся глубже изучить это определение. Чтобы помочь учащимся решить, правильно ли объяснение, учителя могут предложить им перевести слова в уравнения и попытаться «сломать» переформулировку. Это естественным образом приводит к вниманию к точности языка. Многие из приведенных объяснений частично верны, но недостаточно точны.Объяснение «Две величины пропорциональны, если изменение одной сопровождается изменением другой». верно, но неполно. Объяснение: «Когда две величины прямо пропорциональны, это означает, что если одна величина увеличивается на определенный процент, другая величина также увеличивается на тот же процент». на самом деле правильно, но не очевидно.
Студенты также должны решить, иллюстрирует ли данный пример определение. Сделайте это, учащимся снова следует предложить перевести слова в уравнения.
24 примера прямых пропорций в реальной жизни — StudiousGuy

Если два объекта напрямую изменяются и связаны друг с другом таким образом, что изменение стоимости или количества одного объекта соответствует пропорциональному изменению стоимости или количества другого объекта, то оба объекта считаются прямо пропорционально. Пусть две прямо пропорциональные величины обозначаются переменными x и y. Тогда отношение двух переменных может быть представлено константой k.Концепция прямой пропорциональности позволяет пользователю легко оценить количество или стоимость отсутствующего объекта при условии, что основные данные, касающиеся постановки задачи, уже известны. Проще говоря, две величины называются прямо пропорциональными, если увеличение или уменьшение количества первой величины вызывает пропорциональное увеличение или уменьшение второй величины таким образом, что отношение двух величин остается постоянным. Математически прямая пропорциональность задается как x ∝ y; где x и y — две переменные.
Указатель статей (щелкните, чтобы перейти)
Примеры прямой пропорциональности
Некоторые из реальных приложений прямой пропорциональности перечислены ниже:
1. Приготовление пищи в домашних условиях
Одним из лучших примеров прямой пропорциональности в реальной жизни является приготовление пищи дома. Возьмем пример семьи, состоящей из 4 человек. Количество чапати, необходимое для разового приема пищи четырьмя членами семьи, равно 20. Это примерно указывает на то, что на каждого члена приходится в общей сложности пять чапати.Предположим, однажды двое гостей присоединяются к семье за обедом. Это означает, что общее количество людей, потребляющих пищу, увеличивается с четырех до шести, следовательно, количество необходимых чапати также увеличивается с 20 до 30. Здесь можно легко наблюдать применение прямой пропорциональности, поскольку изменение количества людей вызывает пропорциональное изменение количества требуемых чапати.
2. Стоимость предмета и количество приобретенных предметов
Соотношение между стоимостью и количеством товара является ярким примером прямой пропорциональности.Предположим, что ребенок идет в магазин канцтоваров и покупает 3 карандаша. Стоимость одного карандаша равна 5 рупиям; следовательно, он платит 15 рупий за 3 карандаша. Через неделю ребенок идет в тот же магазин, покупает 5 карандашей и платит продавцу 75 рупий. Если вы пронаблюдаете зависимость между деньгами, потраченными на карандаши, и количеством принесенных карандашей, то легко заметите, что с увеличением количества карандашей увеличивается истраченная сумма, и точно так же с уменьшением количества карандашей увеличивается количество принесенных карандашей. потраченные деньги уменьшаются пропорционально.
3. Заработок рабочего в день
Предположим, рабочему платят 500 рупий за один рабочий день. Это означает, что заработная плата, полученная за два дня, равна 1000 рупий. Точно так же рабочий стремится заработать 2000 рупий за четыре дня работы и так далее. Можно легко проследить закономерность и взаимосвязь между количеством дней и суммой заработанных денег. С увеличением количества дней увеличивается сумма заработанных денег. Это подтверждает применение прямой пропорциональности в реальной жизни.
4. Требования к питанию в общежитии
Предположим, что колледж имеет два общежития. В одном из общежитий проживают 100 студентов, а в другом общежитии — 250 студентов. В общежитии со 100 студенческой численностью ежедневно расходуется 50 пакетов молока для приготовления чая и кофе. Это означает, что количество пакетов, необходимых второму общежитию ежедневно для приготовления чая и кофе, должно быть равно 125. Это связано с тем, что потребность в молочных пакетах прямо пропорциональна количеству студентов, проживающих в общежитии.Следует заметить, что отношение числа молочных пакетов к числу учащихся в этом случае равно 1/2 и остается постоянным для обоих общежитий независимо от изменения числа учащихся.
5. Расход бензина и пробег
Предположим, что автомобилю требуется 2 литра бензина, чтобы проехать расстояние, равное 30 км. Теперь можно легко применить унитарный метод для оценки количества бензина, необходимого автомобилю для преодоления расстояния в 60 км.Точно так же можно рассчитать расстояние, которое транспортное средство может преодолеть с 8 литрами топлива. Если проанализировать зависимость между количеством бензина и расстоянием, пройденным транспортным средством, то легко заметить, что они прямо пропорциональны друг другу. Кроме того, соотношение обоих сущностей по отношению друг к другу дает постоянное значение.
6. Тень и высота объектов
В любое конкретное время суток высота объекта прямо пропорциональна длине тени, отбрасываемой им на землю.Например, предположим, что два столба стоят в противоположных углах детской площадки. Один из столбов имеет высоту 3 м, а высота второго столба неизвестна. Столб высотой 3 м отбрасывает тень длиной 6,3 м. В то же время другой столб отбрасывает тень длиной 8,4 м. Теперь с помощью унитарного метода можно легко вычислить высоту второго столба. Высота второго столба получается 4м. Если сравнить высоты шестов и длины отбрасываемой ими тени, то легко заметить, что они прямо пропорциональны друг другу.Это означает, что с увеличением высоты полюса соответственно увеличивается и длина тени.
7. Возраст и рост человека
Возраст и рост человека, как правило, сохраняют прямую пропорциональность в течение первых нескольких лет его/ее жизни. С увеличением возраста можно легко наблюдать значительное и пропорциональное увеличение роста человека; однако обратное невозможно, поскольку возраст или рост человека нельзя обратить вспять.
8. Затраченное время и расстояние, пройденное транспортным средством
Путешествие — еще одно занятие в повседневной жизни, которое демонстрирует и подтверждает концепцию прямой зависимости в реальной жизни. Это связано с тем, что во время путешествия в транспортном средстве объекты времени и расстояния имеют тенденцию изменяться напрямую. Например, автомобиль за 1 час преодолевает расстояние в 20 км с определенной скоростью. Можно подсчитать, что за два часа автомобиль сможет преодолеть расстояние, равное 40 км, при условии, что автомобиль поддерживает постоянную скорость.Это означает, что с увеличением времени пропорционально увеличивается значение пройденного расстояния. Соотношение расстояния и времени известно как скорость, которая в этом случае остается постоянной на протяжении всего пути.
9. Температура и пламя
Газовая плита обычно имеет ручку для изменения пламени горелки. При вращении ручки по часовой стрелке интенсивность пламени увеличивается. Это вызывает пропорциональное увеличение тепла и температуры. Точно так же при вращении ручки против часовой стрелки интенсивность пламени уменьшается, тем самым снижается температура.Это ясно демонстрирует, что две сущности прямо пропорциональны друг другу.
10. Сельское хозяйство и доступная земля
Сельское хозяйство — это еще один реальный вид деятельности, в котором используется концепция прямой пропорциональности. Здесь напрямую различаются площадь поля и урожайность. Это означает, что если вы увеличиваете площадь поля, пропорционально увеличивается количество собранного урожая. Точно так же меньшая площадь поля соответствует меньшей урожайности.
11. Количество посетителей и прибыль ресторана
Общая сумма денег, заработанных конкретным рестораном, обычно напрямую зависит от количества клиентов или посетителей. Если количество клиентов, посещающих ресторан, увеличивается, продажи ресторана имеют тенденцию к резкому увеличению, тем самым увеличивая заработанные им деньги. Точно так же, когда количество посетителей в том же ресторане уменьшается, продажи падают и зарабатывается сравнительно меньше денег. Соотношение между двумя сущностями остается постоянным, поскольку изменение значений количества посетителей и заработанных денег пропорционально друг другу.
12. Товары, произведенные на заводе в час
. Предположим, что производство товаров производит 25 изделий в час, тогда количество товаров, которые можно изготовить за 2 часа, определенно равно 50. Аналогично, 100 изделий производятся за 4 часа и так далее. Этот пример ясно устанавливает прямо пропорциональную зависимость между количеством выпускаемых изделий и временем, затрачиваемым промышленностью на их изготовление.
13.Масштабирование карты и расстояния между двумя городами
Построение карты города — яркое применение прямой пропорциональности в реальной жизни. Масштабирование карты выполняется с очень высокой точностью. Это означает, что расстояние между городами, расположенными на карте, и расстояние между реальными городами точно определены и пропорциональны друг другу. Например, пусть масштаб карты задан как 1:20000000, а расстояние, измеренное между двумя городами, расположенными на карте с помощью линейки, равно 4 см.Теперь, с помощью прямо пропорциональной зависимости расстояния между городами на карте и в реальной жизни, можно легко рассчитать фактическое расстояние между городами. Приравнивая масштаб карты к соотношению расстояний между городами на карте и в реальности, реальное расстояние между двумя городами получается равным 800км.
14. Количество набранных очков и забитых голов
Количество набранных очков и количество голов, забитых конкретной футбольной командой, обе величины прямо пропорциональны друг другу.Если игрок забивает два гола, его команда получает два очка. Точно так же, если игроки забивают четыре гола, очки, заработанные их командой, увеличиваются на два и так далее.
15. Работа и энергия
Работа и энергия — две физические величины, которые обычно изменяются прямо пропорционально друг другу. Энергия – это способность выполнять определенную работу. Это означает, что чем больше будет энергии, тем больше будет количество выполненной работы. Точно так же чем меньше энергия, тем меньше будет количество выполненной работы.
16. Вес и стоимость фруктов
Фрукты и овощи обычно продаются по весу. Например, стоимость 1 кг яблок равна 80 рупий. Теперь, если вы собираетесь купить 4 кг яблок, вы должны заплатить продавцу 320 рупий. Точно так же общие затраты на покупку 2 кг яблок равны 160 рупиям. Это означает, что при увеличении веса фруктов стоимость увеличивается, а при уменьшении веса фруктов сумма к оплате пропорционально уменьшается.На протяжении всего процесса поддерживается постоянное соотношение между весом и ценой фруктов.
17. Температура и скорость плавления мороженого
Скорость таяния мороженого прямо пропорциональна температуре окружающей среды, в которой оно находится. Если температура места низкая, то мороженое будет таять медленнее. Точно так же, если температура места значительно выше, то мороженое имеет тенденцию таять сравнительно быстрее.Это означает, что увеличение или уменьшение стоимости одного объекта имеет тенденцию вызывать пропорциональное увеличение или уменьшение стоимости другого объекта.
18. Ингредиенты рецепта и количество потребителей
Предположим, что книга рецептов составлена таким образом, что блюдо, приготовленное по ней, могут съесть два человека. Ингредиенты, необходимые для приготовления одного и того же блюда для большего или меньшего количества людей, могут быть преобразованы в соответствии с принципом прямой пропорциональности.Например, для одного из рецептов приготовления яичницы, опубликованных в книге, требуется 2 яйца, 4 г сливочного масла и 40 мл молока. Теперь, если вам нужно приготовить яичницу на четверых человек, то от вас требуется рассчитать стоимость ингредиентов с помощью прямой пропорциональности. Здесь, в этом случае, стоимость ингредиентов удваивается, когда количество потребителей удваивается. Это означает, что количество ингредиентов, используемых в рецепте, прямо пропорционально количеству людей, потребляющих его.
19. Игрушки с электроприводом
На рынке доступно несколько игрушек с питанием от ключей. В основе работы таких игрушек лежит пружинное действие. Когда вы поворачиваете ключ, прикрепленный к одному концу пружины, присутствующей во внутренней конструкции игрушки, в определенном направлении в течение некоторого времени, пружина сжимается. Когда пользователь отпускает клавишу, пружина имеет тенденцию раскручиваться и восстанавливать свою первоначальную форму. В то же время механизм, прикрепленный к другому концу пружины, стремится двигаться, и игрушка начинает демонстрировать движение.Здесь количество витков, обеспечиваемых пружиной, прямо пропорционально времени, в течение которого игрушка работает. Это означает, что чем больше будет число витков, тем больше будет время работы и наоборот.
20. Надувание воздушного шара
Сила, необходимая для надувания воздушного шара, прямо пропорциональна количеству молекул воздуха, нагнетаемых в воздушный шар, а также размеру воздушного шара. Это означает, что с увеличением величины приложенной силы количество молекул воздуха внутри воздушного шара увеличивается, что дополнительно заставляет воздушный шар расширяться и пропорционально изменять форму.
21. Скорость вентилятора
Скорость большинства вентиляторов регулируется и может контролироваться с помощью регулятора. Как правило, потолочные вентиляторы, устанавливаемые в жилых домах, могут работать в 4-5 скоростных режимах. Скорость изменяется постепенно при вращении ручки регулятора вентилятора. Здесь вращение ручки регулятора прямо пропорционально изменению скорости двигателя или скорости вращения вентилятора.
22. Циклическая скорость и приложенная сила
Зависимость между величиной механической силы, приложенной велосипедистом, и скоростью, с которой движется велосипед, является ярким примером прямой пропорциональности.Это связано с тем, что при увеличении величины приложенной силы пропорционально увеличивается скорость цикла. Точно так же, когда гонщик замедляет скорость вращения педалей, общая скорость цикла уменьшается пропорционально.
23. Количество учащихся и количество скамеек в классе
Количество скамеек, установленных в классе, всегда поддерживается пропорциональным силе класса. Допустим, в классе 40 учеников, тогда количество двухместных скамеек, необходимых для размещения всех учеников класса, равно 20. Если вы увеличиваете количество учеников, то количество необходимых скамеек также должно увеличиваться соответственно.
24. Количество посетителей на сайте и вероятность сбоя
Количество посетителей на конкретном сайте прямо пропорционально вероятности сбоя сайта. Это связано с тем, что по мере увеличения числа людей, просматривающих определенный сайт, пропорциональная нагрузка на серверы увеличивается, что увеличивает вероятность сбоя сайта. Точно так же меньший трафик на сайте соответствует меньшему трафику и меньшей вероятности сбоя сервера.
Прямо пропорциональная зависимость: определение, уравнение и примеры — видео и расшифровка урока
Определение: прямо пропорционально
Допустим, вы строите самолеты разных размеров. Стоимость производства самолета увеличивается по мере того, как самолет становится больше в размерах. Самолеты малого размера будут иметь низкую стоимость, средние самолеты будут иметь среднюю стоимость, а большие самолеты будут иметь высокую стоимость. Пусть размер самолета равен S , а стоимость равна C .Обратите внимание, что когда S увеличивается, C увеличивается, а когда S уменьшается, то же самое происходит и с C .
Вариации описывают, как одна величина изменяется по отношению к другой. Когда одна величина постоянно увеличивается или постоянно уменьшается по отношению к другой величине, то эти две величины называются прямо пропорциональными друг другу. В примере с самолетом мы бы сказали, что количество C прямо пропорционально S , умноженному на константу ( k ).Мы можем записать эту формулу как C = k S .
В приведенном выше уравнении C — стоимость строительства, S — размер самолета, а k — постоянное число, также известное как константа пропорциональности. Если бы вы отложили размер плоскости по оси x , а стоимость по оси y , наклон линии будет равен константе пропорциональности k . Когда две величины связаны друг с другом постоянной пропорциональностью, мы получаем линейную функцию.Посмотрим на график зависимости стоимости самолета от размера.
Глядя на уравнение линии ( y = 0,5 x ), мы знаем, что наклон линии равен 0,5. Это означает, что в данном примере константа пропорциональности равна 0,5. Стоимость производства самолета прямо пропорциональна размеру самолета, умноженному на константу 0,5.
Теперь, когда мы понимаем, что означает прямое пропорциональное отношение, мы можем рассмотреть несколько примеров, чтобы увидеть, как мы можем применять эти варианты соотношения для решения различных типов задач.
Пропорциональные переменные в химии
Один из случаев, когда мы сталкиваемся с величинами, которые напрямую связаны, — это изучение физических свойств газов в химии. Если образец газа находится при постоянном давлении, то его объем и температура прямо пропорциональны друг другу. Это утверждение также известно как закон Чарльза в химии и записывается как V = k T , где V — объем в литрах, T — абсолютная температура в Кельвинах, а k – константа пропорциональности.Это выражение описывает, что происходит с объемом газа при изменении температуры. Если вы утроите температуру, то объем тоже утроится. Давайте решим задачу, используя закон Чарльза, чтобы найти константу пропорциональности для кислорода при заданных условиях.
Проблема: Общий объем газообразного кислорода при давлении 1,00 атмосферы и температуре 294 Кельвина составляет 800 литров.
Найти константу пропорциональности
Записать полное выражение
Рассчитайте объем при повышении температуры до 300 Кельвинов.
Решение:
Решение для k в законе Шарля дает нам: k = V / T . k = 800 литров / 294 Кельвина = 2,7 литра / Кельвин
Полное выражение: В = 2,7 Тл
Замена новой температуры в приведенном выше выражении даст нам новый объем газообразного кислорода:
В = (2,7 литра/Кельвина)*(300 Кельвина) = 810 литров
Это означает, что при повышении температуры до 300 градусов Кельвина объем увеличился на 10 литров.
Пропорциональные переменные в геометрии
Мы также можем найти величины в геометрии, которые напрямую связаны. Например, площадь круга напрямую связана с квадратом радиуса круга. Мы можем написать это выражение, как показано:
Где A — площадь круга, пи — константа пропорциональности, а r — радиус круга.
Допустим, круг имеет радиус 2 см, но тогда значение радиуса удваивается.Что происходит с районом?
Это означает, что если радиус круга удвоить, то площадь, обведенная кругом, увеличится в четыре раза, что указывает на отношение прямой вариации.
Подведение итогов
На этом уроке вы узнали математическое определение термина , прямо пропорционального , и то, как применить его к решению задач, связанных с двумя величинами. Теперь вы готовы решить еще несколько задач, в которых используется прямая пропорциональность для связи величин.