Решение дифференциального уравнения онлайн: Решение дифференциальных уравнений онлайн. Любые с подробным решением.

Содержание

Дифференциальные уравнения

Одной из дисциплин, входящих в курс Высшей математики, является курс дифференциальных уравнений, решение которых у студентов традиционно вызывают трудности. В данной статье постараюсь показать примеры решения некоторых видов таких уравнений.

Итак, дифференциальным уравнением (иногда, студенты называют их любя – “дифуры”) называют уравнение, которое содержит неизвестные функции, их аргументы и производные от неизвестных функций по этим аргументам (или дифференциалы неизвестных функций). 

Подавляющее большинство задач в прикладных науках, если формулируют их на языке математики, приводят именно к различным дифференциальным уравнениям. Мы рассматриваем лишь обычные дифференциальные уравнения, одной из характерных особенностей которых есть то, что неизвестные функции в этих уравнениях зависят лишь от одной переменной.

Общий вид обычного дифференциального уравнения n — го порядка такой: F(x

, y, y’,…, y(n-1), y(n)) = 0, где x — независимая переменная, y — неизвестная функция переменной x, а y, y’,…,y(n) — производные неизвестной функции по переменной x.

Порядком дифференциального уравнения называют порядок старшей производной, которая входит в это уравнение.

Решением дифференциального уравнения называют функцию y = φ(x), которая при подстановке в уравнение на место неизвестной функции превращает это уравнение в тождество. Решение дифференциального уравнения, заданное неявным соотношением, Ф(x,y) = 0 называют интегралом этого уравнения.

В этой статье будем употреблять термин проинтегрировать дифференциальное уравнение, которое означает найти все его решения. 

§1. Дифференциальное уравнение I-го порядка 

Общий вид дифференциального уравнения I-го порядка выглядит следующим образом:

F(x, y, y’) = 0 (1.1)

Если соотношение (1.1) решить относительно производной, как вариант дифференциала, то получим уравнение такого вида:

y’ = f(x, y) (1.2)

Такое уравнение называют дифференциальным уравнением, решенным относительно производной. Дифференциальное уравнение I-го порядка имеет, вообще говоря, не одно, а бесконечное множество число решений. Чтобы из этого множества решений выделить определенное решение, задают значение неизвестной функции y = y0  при некотором значении аргумента x = x0.

Условие, что при x = x0 функция упринимает заранее заданное значение

y0, называют начальным условием. Мы это условие запишем в виде 

y|x=x0 = y0или y(x0) = y(1.3)

Проблему нахождения решения дифференциального y’ = f(x,y) уравнения, которое удовлетворяет начальному условию y(x0) = y0, называют задачей Коши.

Теорема 1.1. Если в уравнении y’ = f(x,y)  функция f(x,y)  и ее частная производная f’y(x,y)  непрерывны в некоторой области G плоскости Oxy, которая содержит точку (x0,y0), то существует и при этом единственное решение y=φ(x) такого уравнения, которое удовлетворяет условию

y(x0) = y0.

Введем теперь еще несколько основных определений.

Определение 1.1. Общим решением (в дальнейшем, для краткости ОР) дифференциального уравнения I-го порядка называется функция

y = φ(x, C) (1.4)

которая зависит от одной произвольной постоянной С и удовлетворяет таким условиям:

1) она удовлетворяет уравнению при любом конкретном значении постоянной С;

2) каким бы не было начальное условие y(x0) = y0, всегда можно найти такое значение С = С0, так что функция y= φ(x, C0) будет удовлетворять этому начальному условию.

Замечание. При построении общего решения «дифура» очень часто приходят к соотношению вида

Ф(x, y, c) = 0 (1.5)

не решаемому относительно y.

Равенство Ф(x, y, c) = 0, которое неявно задает общее решение (в дальнейшем, для краткости ОР), называют общим интегралом (в дальнейшем, для краткости ОИ) дифференциального уравнения.

Определение 1.2. Частным решением дифференциального уравнения I-го порядка называется функцияy= φ(x, C0), которую получаем из его общего решения y= φ(x, C) при определенном значении C = C0.

Соотношение Ф(x, y, C0) = 0называют частным интегралом дифференциального уравнения I-го порядка. 

§2. Дифференциальные уравнения I-го порядка с разделяющимися переменными

Определение 2.1. Дифференциальное уравнение I-го порядка вида

φ(y)dy = f(x)dx (2.1)

называется уравнением с переменными, которые можно разделить.

Непосредственно (дифференцированием) устанавливается, что ОИ уравнения (2.1) является соотношение

∫ φ(y)dy = ∫ f(x)dx (2. 2)

где — C=const.

Пример 2.1. Решить “дифур” 2y2dy = 3xdx.

Решение. Найдем неопределенные интегралы от правой и, конечно же, левой части

Легко увидеть, что это решение, при желании, можно записать в явной форме , но обычно его оставляют в той форме, в которой получили, кое-что упростив получим 4y

3 = 9x2 + C.

Пример 2.2. Решить “дифур”  

Решение. Найдем неопределенные интегралы от правой и, конечно же, левой части

Поскольку C=const, то зачастую в такой форме решения для удобства записи, вместо C пишут ln |C|, а дальше выражение потенцируют

ln|y — 1| = ln|x| + ln C

ln|y — 1| = ln|Cx|

y – 1 = Cx

y = Cx + 1. 

Определение 2. 2. Дифференциальное уравнение I-го порядка называется уравнением с переменными, которые можно разделить, если его правая часть является произведением двух функций, одна из которых зависит лишь от аргумента х, а вторая от неизвестной функции

у:

 

Здесь мы считаем, что функция φ(x) определена и непрерывна для всех ϵ (a,b) а функция ѱ(y) определена и непрерывна и не равна нулю для всех ϵ (c,d).

Если переписать уравнение (2.2) в виде  , то левая часть зависит только от переменной у, а правая часть зависит только от переменной х, то есть переменные отделены. Тогда общий интеграл запишется в виде

,

где С=const.

Пример 2.3. Решить “дифур”

Решение. Перед нами уравнение с переменными, которые можно разделить,. Запишем производную в виде соотношения дифференциалов: y’ = dy/dx, умножим обе части уравнения на dx  и разделим на lny

. В результате проделанной замены и “перемещения” переменных получим уравнение, в котором разделены переменные

После вычисления интегралов, имеем

y= eCx  ОР искомого уравнения.

Пример 2.4. Эффективность рекламы.

Пусть фирма продает продукцию B, про которую на момент времени tиз числа возможных клиентов знает лишь xклиентов. Далее, для увеличения продажи продукции, были сделаны рекламные объявления на радио и телевидении. Далее информация о товаре распространяется между клиентами через общение. После рекламы скорость изменения числа клиентов, которые знают о продукции B, пропорциональная не только числу клиентов, которые знают о товаре, но и числу клиентов, которые еще не знают.

Если допустить, что счет времени начинается после рекламных объявлений, когда о продукции узнало

N/ɣ  человек, то получаем дифференциальное уравнением с переменными, которые можно разделить

При таких начальных условиях: x = N/ɣ , если t = 0. Здесь k— положительной коэффициент пропорциональности.

Интегрируя уравнение, имеем:

В экономической литературе это выражение называют уравнением логистической кривой.

С учетом начальных условий, получим

Замечание. Уравнение с переменными, которые можно разделить, можно также задать в симметричной относительно и y дифференциальной форме

M(x) · N(y)dx+ P(x) · Q(y)dy=0 (2.4)

где функции M(x), P(x), N(y), Q(y) непрерывны соответственно в интервалах x ϵ (a,b), y ϵ (c,d).

Для нахождения решений необходимо разделить правую, (желательно, конечно) и левую части на произведение: N(y) · P(x).

и интегрируют полученное так соотношение

Если для x ϵ (a,b), y ϵ (c,d) функции P(x) и N(y) отличающиеся от нуля, то соотношение (2.6) является ОИ уравнения (2.4).

Пример 2.5. Решить “дифур” x(1 + y2)dx– y(1 + x2)dy = 0

Решение. Поступим также, как и в серии предыдущих примеров (разделим обе части уравнения на (1 + y2) · (1 + x2)

Интегрируя каждое из слагаемых (для этого не обязательно один из них переносить в правую часть), приравниваем сумму первообразных постоянной, которую обозначаем через ½ ln C, имеем:

Пример 2. 6. Решить “дифур” y’ + 2x2y’ + 2xy– 2x = 0.

Решения. Представим производные в виде соотношения dy/dxи далее все члены уравнения домножим на dx:

Сгруппируем члены с разными дифференциалами и вынесем за скобки дифференциалы.

(1 + 2x2)dx +2x(y– 1)dx = 0

В результате деления на (1 + 2x2) (y– 1). Получим:

Интегрируем каждое из слагаемых:

Сумму первообразных приравниваем постоянной:

тогда

– ОИ уравнения.

В следующей своей статье я расскажу Вам об Однородных дифференциальных уравнениях I-го порядка и о Линейных дифференциальных уравнениях I-го порядка, уравнении Бернулли.

Если у Вас есть желание более детально изучить данный материал, научиться решать задания по данным разделам, записывайтесь на мои занятия на сайте. Буду рад Вам помочь. Онлайн репетитор Андрей Зварыч.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Найти частные решения удовлетворяющие данным начальным условиям. Дифференциальные уравнения

Приложение

Решение дифференциальных уравнений онлайн на сайт для закреплеения студентами пройденного материала. И тренировки своих практических навыков. Дифференциальные уравнения онлайн. Дифуры онлайн, решение математики в режиме онлайн. Пошаговое решение математических задач онлайн. Порядок, или степень дифференциального уравнения — наивысший порядок производных, входящих в него. Дифференциальные уравнения онлайн. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Задача об интегрировании дифференциального уравнения считается решённой, если нахождение неизвестной функции удается привести к квадратуре, независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде через известные функции или нет. Пошаговое решение дифференциальных уравнений онлайн. Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Дифференциальные уравнения онлайн. Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы. Пошаговое решение дифференциальных уравнений онлайн. В зависимости от комбинаций производных, функций, независимых переменных дифференциальные уравнения подразделяются на линейные и нелинейные, с постоянными или переменными коэффициентами, однородные или неоднородные. В связи с важностью приложений в отдельный класс выделены квазилинейные (линейные относительно старших производных) дифференциальные уравнения в частных производных. Решения дифференциальных уравнений подразделяются на общие и частные решения. Дифференциальные уравнения онлайн. Общие решения включают в себя неопределенные постоянные, а для уравнений в частных производных — произвольные функции от независимых переменных, которые могут быть уточнены из дополнительных условий интегрирования (начальных условий для обыкновенных дифференциальных уравнений, начальных и граничных условий для уравнений в частных производных). Пошаговое решение дифференциальных уравнений онлайн. После определения вида указанных постоянных и неопределенных функций решения становятся частными. Поиск решений обыкновенных дифференциальных уравнений привёл к установлению класса специальных функций — часто встречающихся в приложениях функций, не выражающихся через известные элементарные функции. Дифференциальные уравнения онлайн. Их свойства были подробно изучены, составлены таблицы значений, определены взаимные связи и т.д.. Множество перечисляемых чисел исследовать можно. Лучший ответ на поставленную задачу. Как найти в первом приближении исходящий вектор к области сходимости про Дифференциальные уравнения без выяснения найденного верхнего предела. Выбор очевиден для возрастания математических функций. Есть прогрессивный метод над уровнем исследования. Выровнять по начальному условию задачи решение дифференциальных поможет найти однозначное выбранное значение. Может быть так, что сможет неизвестную определить сразу. Как в предыдущем примере на указание решения для математической задачи, линейные дифференциальные уравнения есть ответ на поставленную конкретно задачу в указанные сроки. Локально не определено поддержание процедуры исследования. Будет так, что пример найдется для каждого студента и решение дифференциальных уравнений определит назначенный на ответственного исполнителя как минимум из двух значений. Взять на некотором отрезке функцию общего значения и предупредить по которой оси будет разрыв. Изучив дифференциальные уравнения онлайн, возможно однозначно показать на сколько важен результат, если таковой предусмотрен из начальных условий. Вырезать область из определения функции — это невозможно, так как локально нет определения по задаче. Будучи найденным из системы уравнений, ответ содержит в себе переменную, исчисляемую в общем смысле, но решить дифференциальное уравнение онлайн естественно получится без этого действия по определению сказанного условия. Рядом с промежутком отрезка видно как решение дифференциальных уравнений онлайн способно продвинуть результат исследований в положительную сторону на момент среза знаний у студентов. Лучшее не всегда получается путем общего принятого подхода к делу. На уровне двукратного увеличения можно с пользой просмотреть все необходимые линейные дифференциальные уравнения в естественном представлении, но возможность подсчитать числовое значение приведет к улучшению знаний. По любой методике в математике есть дифференциальные уравнения, которые представлены в различных по своей сути выражениях, такие как однородные или сложные. Проведя общий анализ исследования функции, станет ясно, что решение дифференциальных как множество возможностей представляет собой явную погрешность в значениях. Истинна в ней заключается в пространстве над линий абсцисс. Где-то в области определения сложной функции в некоторой точке её определения линейные дифференциальные уравнения смогут представить ответ в аналитическом виде. то есть в общем виде как суть. Не поменяется ничего при замене переменной. Однако нужно с особым интересом вглядываться в ответ. Меняет по сути калькулятор отношение в итоге, то есть как решение дифференциальных уравнений пропорционально глобальному значению обозначается в пределах искомого решения. В ряде случаев предупреждение о массовой ошибке неизбежно. Дифференциальные уравнения онлайн реализуют общее представление о задаче, но в итоге нужно как можно скорее предусмотреть положительные стороны векторного произведения. В математике не редки случаи заблуждения в теории чисел. Однозначно нужна будет проверка. Естественно лучше предоставить это право профессионалам в своем деле и решить дифференциальное уравнение онлайн помогут именно они, так как их опыт колоссальный и положительный. Разница на поверхностях фигур и площадь такова, что не решение дифференциальных уравнений онлайн позволит видеть, а множество не пересекаемых объектов таково, что линия параллельна оси. В итоге можно получить в два раза больше значений. Будучи не в явном виде, наше представление о правильности формально записи предусматривает линейные дифференциальные уравнения как в области просмотра, так и в отношении преднамеренного завышения качества результата. Несколько раз выходит в обзор решаемое на коллегии обсуждение на тему, интересную всем студентам. На протяжении всего изучения полного курса лекций, мы заострим наше пристальное внимание на дифференциальные уравнения и связные с ними области изучения науки, если тем самым не противоречить истине. Многих этапов можно избежать в начале пути. Если решение дифференциальных по-прежнему является принципиально чем-то новым для студентов, то старое вовсе не забывается, а прогрессирует в будущее с высокой скоростью развития. Изначально условия по задаче в математике расходятся, но это обозначено в абзаце справа. По истечению времени заданного по определению не исключены возможности пропорционального зависимого исхода на различных плоскостях движения вектора. Исправляется такой простой случай также как описываются линейные дифференциальные уравнения на калькуляторе в общем виде, так будет быстрее и взаимозачет расчетов не приведет к ошибочному мнению. Лишь пять названных по теории случаев могут раздвигать грани происходящего. Вручную рассчитать значение в цифрах поможет наше решение дифференциальных уравнений уже на первых этапах разложения функционального пространства. В нужных местах необходимо точку соприкосновения четырех линий представить в общем значении. Но если придется задачу вытеснить, то приравнять сложность будет просто. Исходных данных достаточно для оформления прилежащего катета и дифференциальные уравнения онлайн выглядят выровненными по левому краю и поверхность односторонняя направлена к ротору вектора. Выше верхнего предела возможны числовые значения сверх обозначенного условия. Принимать во внимание математическую формулу и решить дифференциальное уравнение онлайн за счет трех неизвестных в общем значении пропорции возможно. Локальный метод расчета признан действительным. Система координат прямоугольная в относительном движении плоскости. Общее решение дифференциальных уравнений онлайн позволяет однозначно сделать вывод в пользу расчетной прогонки сквозь матричные определения на всей прямой, расположенной выше графика заданной в явном виде функции. Решение насквозь проглядывается, если приложить вектор движения к точке соприкосновения трех полушарий. Цилиндр получается путем вращения прямоугольника вокруг стороны и линейные дифференциальные уравнения смогут показать направление движения точки по заданным выражениям её закона движения. Исходные данные верные и задача в математике взаимозаменяема при одном несложном условии. Однако в силу обстоятельств, в виду сложности постановочной подзадачи, дифференциальные уравнения упрощают процесс калькулировано числовых пространств на уровне трехмерного пространства. Легко доказать обратное, но этого возможно избежать, как в приведенном примере. В высшей математике предусмотрены следующие моменты: когда задача приводится к упрощенному виду, на неё следует распространить как можно большее усилие со стороны студентов. Взачет попадают наложенные друг на друга линии. Про решение дифференциальных по-прежнему возобновляет преимущество сказанного метода на кривой линии. Если распознать вначале не то, что нужно, то математическая формула составит новое значение выражения. Цель — оптимальный подход к решению поставленных профессором задания. Не стоит полагать, что линейные дифференциальные уравнения в упрощенном виде превзойдут ожидаемый результат. На конечно составленной поверхности разместим три вектора. ортогональные друг другу. Вычислим произведение. Проведем сложение большего числа символов и распишем из полученного выражения все переменные функции. Есть пропорция. Несколько действий, предшествующих окончанию вычисления, однозначного ответа на решение дифференциальных уравнений дадут не сразу, а только по истечению отведенного времени по оси ординат. Слева от точки разрыва, заданной в неявном виде от функции, проведем ось, ортогональную лучшему возрастающему вектору и дифференциальные уравнения онлайн расположим вдоль наименьшего граничного значения нижней грани математического объекта. Лишний аргумент присоединим в области разрыва функции. Правее от точек расположения кривой линии решить дифференциальное уравнение онлайн помогут написанные нами формулы приведения к общему знаменателю. Единственно верным подходом примем тот, что прольет свет на нерешенные задачи из теории в практику, в общем случае однозначно. Линии по направлению координат заданных точек ни разу не сомкнули крайнее положение квадрата, однако решение дифференциальных уравнений онлайн поможет в изучении математики и студентам, и нам, и просто начинающим людям в этой области. Речь идет о возможности подстановки аргумента значения во все значимые под линии одного поля. В принципе, как и следовало ожидать, наши линейные дифференциальные уравнения есть нечто обособленное в единое понятие приведенного смысла. В помощь студентам один из лучших среди аналогичных сервисов калькулятор. Пройдите все курсы и выберите оптимальный правильный для себя.

=

6.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

При решении различных задач математики и физики, биологии и медицины довольно часто не удается сразу установить функциональную зависимость в виде формулы, связывающей переменные величины, которые описывают исследуемый процесс. Обычно приходится использовать уравнения, содержащие, кроме независимой переменной и неизвестной функции, еще и ее производные.

Определение. Уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные различных порядков, называется дифференциальным.

Неизвестную функцию обычно обозначают y(x) или просто y, а ее производные — , и т. д.

Возможны и другие обозначения, например: если y = x(t), то x»(t), x»»(t) — ее производные, а t — независимая переменная.

Определение. Если функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Общий вид обыкновенного дифференциального уравнения:

или

Функции F и f могут не содержать некоторых аргументов, но для того, чтобы уравнения были дифференциальными, существенно наличие производной.

Определение. Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в него.

Например, x 2 y» y = 0, y» + sinx = 0 — уравнения первого порядка, а + 2 + 5 y = x — уравнение второго порядка.

При решении дифференциальных уравнений используется операция интегрирования, что связано с появлением произвольной постоянной. Если действие интегрирования применяется n раз, то, очевидно, и в решении будет содержаться n произвольных постоянных.

6.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка определяется выражением

Уравнение может не содержать в явном виде x и y, но обязательно содержит у».

Если уравнение можно записать в виде

то получим дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка (6.3) (или (6.4)) является множество решений, где С — произвольная постоянная.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Придавая произвольной постоянной С различные значения, можно получить частные решения. На плоскости xOy общее решение представляет собой семейство интегральных кривых, соответствующих каждому частному решению.

Если задать точку A (x 0 , y 0), через которую должна проходить интегральная кривая, то, как правило, из множества функций можно выделить одну — частное решение.

Определение. Частным решением дифференциального уравнения называется его решение, не содержащее произвольных постоянных.

Еслиявляется общим решением, тогда из условия

можно найти постоянную С. Условиеназывают начальным условием.

Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения (6.3) или (6.4), удовлетворяющего начальному условиюпри называется задачей Коши. Всегда ли эта задача имеет решение? Ответ содержит следующая теорема.

Теорема Коши (теорема существования и единственности решения). Пусть в дифференциальном уравнении = f (x, y) функция f (x, y) и ее

частная производная определены и непрерывны в некоторой

области D, содержащей точкуТогда в области D существует

единственное решение уравнения, удовлетворяющее начальному условиюпри

Теорема Коши утверждает, что при определенных условиях существует единственная интегральная кривая y = f (x), проходящая через точкуТочки, в которых не выполняются условия теоремы

Коши, называются особыми. В этих точках терпит разрыв f (x, y) или.

Через особую точку проходит либо несколько интегральных кривых, либо ни одной.

Определение. Если решение (6.3), (6.4) найдено в виде f (x, y, C) = 0, не разрешенным относительно у, то оно называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Теорема Коши только гарантирует, что решение существует. Поскольку единого метода нахождения решения нет, мы будем рассматривать только некоторые типы дифференциальных уравнений первого порядка, интегрируемые в квадратурах.

Определение. Дифференциальное уравнение называется интегрируемым в квадратурах, если отыскание его решения сводится к интегрированию функций.

6.2.1. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными,

Правая часть уравнения (6.5) представляет собой произведение двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной.

Например, уравнениеявляется уравнением с разделяющи-

мися переменными
а уравнение

нельзя представить в виде (6.5).

Учитывая, что, перепишем (6.5) в виде

Из этого уравнения получим дифференциальное уравнение с разделенными переменными, в котором при дифференциалах стоят функции, зависящие лишь от соответствующей переменной:

Интегрируя почленно, имеем


где C = C 2 — C 1 — произвольная постоянная. Выражение (6.6) представляет собой общий интеграл уравнения (6.5).

Разделив обе части уравнения (6.5) на,, мы можем потерять те решения, при которых,Действительно, еслипри

тоочевидно, является решением уравнения (6.5).

Пример 1. Найти решение уравненияудовлетворяющее

условию: y = 6 при x = 2 (y (2) = 6).

Решение. Заменим у» натогда. Умножим обе части на

dx, так как при дальнейшем интегрировании нельзя оставлять dx в знаменателе:

а затем, разделив обе части наполучим уравнение,

которое можно проинтегрировать. Интегрируем:

Тогда; потенцируя, получим y = C . (x + 1) — об-

щее решение.

По начальным данным определяем произвольную постоянную, подставив их в общее решение

Окончательно получаем y = 2(x + 1) — частное решение. Рассмотрим еще несколько примеров решения уравнений с разделяющимися переменными.

Пример 2. Найти решение уравнения

Решение. Учитывая, что, получим.

Проинтегрировав обе части уравнения, будем иметь

откуда

Пример 3. Найти решение уравненияРешение. Делим обе части уравнения на те сомножители, которые зависят от переменной, не совпадающей с переменной под знаком дифференциала, т. е. наи интегрируем. Тогда получим


и, наконец,

Пример 4. Найти решение уравнения

Решение. Зная, чтополучим. Разде-

лим переменные. Тогда

Интегрируя, получим


Замечание. В примерах 1 и 2 искомая функция y выражена явно (общее решение). В примерах 3 и 4 — неявно (общий интеграл). В дальнейшем форма решения оговариваться не будет.

Пример 5. Найти решение уравненияРешение.


Пример 6. Найти решение уравнения, удовлетворяющее

условию y(e) = 1.

Решение. Запишем уравнение в виде

Умножая обе части уравнения на dx и на, получим

Интегрируя обе части уравнения (интеграл в правой части берется по частям), получим

Но по условию y = 1 при x = e . Тогда

Подставим найденные значения С в общее решение:

Полученное выражение называется частным решением дифференциального уравнения.

6.2.2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если его можно представить в виде

Приведем алгоритм решения однородного уравнения.

1.Вместо y введем новую функциюТогдаи, следовательно,

2. В терминах функции u уравнение (6.7) принимает вид

т. е. замена сводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.

3.Решая уравнение (6.8), находим сначала u, а затем y = ux.

Пример 1. Решить уравнениеРешение. Запишем уравнение в виде

Производим подстановку:
Тогда

Заменим

Умножим на dx: Разделим на x и натогда

Проинтегрировав обе части уравнения по соответствующим переменным, будем иметь


или, возвращаясь к старым переменным, окончательно получим

Пример 2. Решить уравнениеРешение. Пустьтогда


Поделим обе части уравнения на x 2: Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:


Переходя к старым переменным, придем к окончательному результату:

Пример 3. Найти решение уравнения при условии

Решение. Выполняя стандартную заменуполучаем

или


или

Значит, частное решение имеет видПример 4. Найти решение уравнения

Решение.

Пример 5. Найти решение уравнения Решение.

Самостоятельная работа

Найти решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными (1-9).

Найти решение однородных дифференциальных уравнений (9-18).

6.2.3. Некоторые приложения дифференциальных уравнений первого порядка

Задача о радиоактивном распаде

Скорость распада Ra (радия) в каждый момент времени пропорциональна его наличной массе. Найти закон радиоактивного распада Ra, если известно, что в начальный момент имелосьRa и период полураспада Ra равен 1590 лет.

Решение. Пусть в моментмасса Ra составляет x = x(t) г, причем Тогда скорость распада Ra равна


По условию задачи

где k

Разделяя в последнем уравнении переменные и интегрируя, получим

откуда

Для определения C используем начальное условие: при.

Тогдаи, значит,

Коэффициент пропорциональности k определяем из дополнительного условия:

Имеем

Отсюдаи искомая формула

Задача о скорости размножения бактерий

Скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству. В начальный момент имелось 100 бактерий. В течение 3 ч их число удвоилось. Найти зависимость количества бактерий от времени. Во сколько раз увеличится количество бактерий в течение 9 ч?

Решение. Пусть x — количество бактерий в момент t. Тогда, согласно условию,

где k — коэффициент пропорциональности.

ОтсюдаИз условия известно, что. Значит,

Из дополнительного условия. Тогда

Искомая функция:

Значит, при t = 9 x = 800, т. е. в течение 9 ч количество бактерий увеличилось в 8 раз.

Задача об увеличении количества фермента

В культуре пивных дрожжей быстрота прироста действующего фермента пропорциональна его начальному количеству x. Первоначальное количество фермента a в течение часа удвоилось. Найти зависимость

x(t).

Решение. По условию дифференциальное уравнение процесса имеет вид

отсюда

Но. Значит, C = a и тогда

Известно также, что

Следовательно,

6.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

6.3.1. Основные понятия

Определение. Дифференциальным уравнением второго порядка называется соотношение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую и вторую производные.

В частных случаях в уравнении могут отсутствовать x, у или у». Однако уравнение второго порядка обязательно должно содержать у». В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка записывается в виде:

или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно второй производной:

Как и в случае уравнения первого порядка, для уравнения второго порядка могут существовать общее и частное решения. Общее решение имеет вид:

Нахождение частного решения

при начальных условиях- заданные

числа) называется задачей Коши. Геометрически это означает, что требуется найти интегральную кривую у = у (x), проходящую через заданную точкуи имеющую в этой точке касательнуюкоторая об-

разует с положительным направлением оси Ox заданный уголт. е. (рис. 6.1). Задача Коши имеет единственное решение, если правая часть уравнения (6.10),непре-

рывна и имеет непрерывные частные производные по у, у» в некоторой окрестности начальной точки

Для нахождения постоянных входящих в частное решение, надо разрешить систему

Рис. 6.1. Интегральная кривая

Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка, т.е. уравнение

и установим некоторые свойства его решений.

Свойство 1
Если является решением линейного однородного уравнения, то C , где C — произвольная постоянная, является решением того же уравнения.
Доказательство.
Подставляя в левую часть рассматриваемого уравнения C , получим: ,
но , т.к. является решением исходного уравнения.
Следовательно,

и справедливость указанного свойства доказана.

Свойство 2
Сумма двух решений линейного однородного уравнения является решением того же уравнения.
Доказательство.
Пусть и являются решениями рассматриваемого уравнения, тогда
и .
Подставляя теперь + в рассматриваемое уравнение будем иметь:
, т.е. + есть решение исходного уравнения.
Из доказанных свойств следует, что, зная два частных решения и линейного однородного уравнения второго порядка, мы можем получить решение , зависящее от двух произвольных постоянных, т.е. от такого количества постоянных, какое должно содержать общее решение уравнение второго порядка. Но будет ли это решение общим, т.е. можно ли путем выбора произвольных постоянных и удовлетворить произвольно заданным начальным условиям?
При ответе на этот вопрос будет использовано понятие линейной независимости функций, которую можно определить следующим образом.

Две функции и называются линейно независимыми на некотором интервале, если их отношение на этом интервале не является постоянным, т.е. если
.
В противном случае функции называются линейно зависимыми .
Иными словами, две функции и называются линейно зависимыми на некотором интервале, если на всем интервале.

Примеры

1. Функции y 1 = e x и y 2 = e — x линейно независимы при всех значениях x , т.к.
.
2. Функции y
1 = e x и y 2 = 5 e x линейно зависимы, т.к.
.

Теорема 1.

Если функции и линейно зависимы на некотором интервале, то определитель , называемый определителем Вронского данных функций, тождественно равен нулю на этом интервале.

Доказательство.

Если
,
где , то и .
Следовательно,
.
Теорема доказана.

Замечание.
Определитель Вронского, фигурирующий в рассмотренной теореме, обычно обозначается буквой W или символами .
Если функции и являются решениями линейного однородного уравнения второго порядка, то для них справедлива следующая обратная и притом более сильная теорема.

Теорема 2.

Если определитель Вронского, составленный для решений и линейного однородного уравнения второго порядка, обращается в ноль хотя бы в одной точке, то эти решения линейно зависимы.

Доказательство.

Пусть определитель Вронского обращается в ноль в точке , т.е. =0,
и пусть и .
Рассмотрим линейную однородную систему

относительно неизвестных и .
Определитель этой системы совпадает со значением определителя Вронского при
x= , т. е. совпадает с , и, следовательно, равен нулю. Поэтому система имеет ненулевое решение и ( и не равны нулю). Используя эти значения и , рассмотрим функцию . Эта функция является решением того же уравнения, что и функции и . Кроме того, эта функция удовлетворяет нулевым начальным условиям: , т.к. и .
С другой стороны, очевидно, что решением уравнения , удовлетворяющим нулевым начальным условиям, является функция y =0.
В силу единственности решения, имеем: . Откуда следует, что
,
т.е. функции и линейно зависимы. Теорема доказана.

Следствия.

1. Если определитель Вронского, фигурирующий в теоремах, равен нулю при каком-нибудь значении x= , то он равен нулю при любом значении x из рассматриваемого интервала.

2. Если решения и линейно независимы, то определитель Вронского не обращается в ноль ни в одной точке рассматриваемого интервала.

3. Если определитель Вронского отличен от нуля хотя бы в одной точке, то решения и линейно независимы.

Теорема 3.

Если и — два линейно независимых решения однородного уравнения второго порядка , то функция , где и — произвольные постоянные, является общим решением этого уравнения.

Доказательство.

Как известно, функция является решением рассматриваемого уравнения при любых значениях и . Докажем теперь, что каковы бы ни были начальные условия
и ,
можно так подобрать значения произвольных постоянных и , чтобы соответствующее частное решение удовлетворяло заданным начальным условиям.
Подставляя начальные условия в равенства, получим систему уравнений
.
Из этой системы можно определить и , т.к. определитель этой системы

есть определитель Вронского при x= и, следовательно, не равен нулю (в силу линейной независимости решений и ).

; .

Частное решение при полученных значениях и удовлетворяет заданным начальным условиям. Таким образом, теорема доказана.

Примеры

Пример 1.

Общим решением уравнения является решение .
Действительно,
.

Следовательно, функции sinx и cosx линейно независимы. В этом можно убедиться, рассмотрев отношение этих функций:

Пример 2.

Решение y = C 1 e x + C 2 e — x уравнения является общим, т.к. .

Пример 3.

Уравнение , коэффициенты которого и
непрерывны на любом интервале, не содержащем точки x = 0, допускает частные решения

(легко проверить подстановкой). Следовательно, его общее решение имеет вид:
.

Замечание

Мы установили, что общее решение линейного однородного уравнения второго порядка можно получить зная два каких-либо линейно независимых частных решения этого уравнения. Однако, не существует общих методов для нахождения таких частных решений в конечном виде для уравнений с переменными коэффициентами. Для уравнений с постоянными коэффициентами такой метод существует и будет рассмотрен нами позднее.

На сегодняшний день одним из важнейших навыков для любого специалиста является умение решать дифференциальные уравнения. Решение дифференциальных уравнений – без этого не обходится ни одна прикладная задача, будь это расчет какого-либо физического параметра или моделирование изменений в результате принятой макроэкономической политики. Эти уравнения также важны для ряда других наук, таких как химия, биология, медицина и т.д. Ниже мы приведем пример использования дифференциальных уравнений в экономике, но перед этим кратко расскажем об основных типах уравнений.

Дифференциальные уравнения – простейшие виды

Мудрецы говорили, что законы нашей вселенной написаны на математическом языке. Конечно, в алгебре есть много примеров различных уравнений, но это, большей частью, учебные примеры, неприменимые на практике. По-настоящему интересная математика начинается, когда мы хотим описать процессы, протекающие в реальной жизни. Но как отразить фактор времени, которому подчиняются реальные процессы – инфляция, выработка продукции или демографические показатели?

Вспомним одно важное определение из курса математики, касающееся производной функции. Производная является скоростью изменения функции, следовательно, она может помочь нам отразить фактор времени в уравнении.

То есть, мы составляем уравнение с функцией, которая описывает интересующий нас показатель и добавляем в уравнение производную этой функции. Это и есть дифференциальное уравнение. А теперь перейдем к простейшим типам дифференциальных уравнений для чайников .

Простейшее дифференциальное уравнение имеет вид $y’(x)=f(x)$, где $f(x)$ – некоторая функция, а $y’(x)$ – производная или скорость изменения искомой функции. Оно решается обычным интегрированием: $$y(x)=\int f(x)dx.$$

Второй простейший тип называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Такое уравнение выглядит следующим образом $y’(x)=f(x)\cdot g(y)$. Видно, что зависимая переменная $y$ также входит в состав конструируемой функции. Уравнение решается очень просто – нужно «разделить переменные», то есть привести его к виду $y’(x)/g(y)=f(x)$ или $dy/g(y)=f(x)dx$. Остается проинтегрировать обе части $$\int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx$$ – это и есть решение дифференциального уравнения разделяющегося типа.

Последний простой тип – это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид $y’+p(x)y=q(x)$. Здесь $p(x)$ и $q(x)$ – некоторые функции, а $y=y(x)$ – искомая функция. Для решения такого уравнения применяют уже специальные методы (метод Лагранжа вариации произвольной постоянной, метод подстановки Бернулли).

Есть более сложные виды уравнений – уравнения второго, третьего и вообще произвольного порядка, однородные и неоднородные уравнения, а также системы дифференциальных уравнений. Для их решения нужна предварительная подготовка и опыт решения более простых задач.

Большое значение для физики и, что неожиданно, финансов имеют так называемые дифференциальные уравнения в частных производных. Это значит, что искомая функция зависит от нескольких переменных одновременно. Например, уравнение Блека-Шоулса из области финансового инжиниринга описывает стоимость опциона (вид ценной бумаги) в зависимости от его доходности, размера выплат, а также сроков начала и конца выплат. Решение дифференциального уравнения в частных производных довольно сложное, обычно нужно использовать специальные программы, такие как Matlab или Maple.

Пример применения дифференциального уравнения в экономике

Приведем, как и было обещано, простой пример решения дифференциального уравнения. Вначале поставим задачу.

Для некоторой фирмы функция маржинальной выручки от продажи своей продукции имеет вид $MR=10-0,2q$. Здесь $MR$ – маржинальная выручка фирмы, а $q$ – объем продукции. Нужно найти общую выручку.

Как видно из задачи, это прикладной пример из микроэкономики. 2$. Задача решена.

Другие примеры по разным типам ДУ собраны на странице:

Часто одно лишь упоминание дифференциальных уравнений вызывает у студентов неприятное чувство. Почему так происходит? Чаще всего потому, что при изучении основ материала возникает пробел в знаниях, из-за которого дальнейшее изучение дифуров становиться просто пыткой. Ничего не понятно, что делать, как решать, с чего начать?

Однако мы постараемся вам показать, что дифуры – это не так сложно, как кажется.

Основные понятия теории дифференциальных уравнений

Со школы нам известны простейшие уравнения, в которых нужно найти неизвестную x. По сути дифференциальные уравнения лишь чуточку отличаются от них – вместо переменной х в них нужно найти функцию y(х) , которая обратит уравнение в тождество.

Дифференциальные уравнения имеют огромное прикладное значение. Это не абстрактная математика, которая не имеет отношения к окружающему нас миру. С помощью дифференциальных уравнений описываются многие реальные природные процессы. Например, колебания струны, движение гармонического осциллятора, посредством дифференциальных уравнений в задачах механики находят скорость и ускорение тела. Также ДУ находят широкое применение в биологии, химии, экономике и многих других науках.

Дифференциальное уравнение (ДУ ) – это уравнение, содержащее производные функции y(х), саму функцию, независимые переменные и иные параметры в различных комбинациях.

Существует множество видов дифференциальных уравнений: обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные и нелинейные, однородные и неоднородные, дифференциальные уравнения первого и высших порядков, дифуры в частных производных и так далее.

Решением дифференциального уравнения является функция, которая обращает его в тождество. Существуют общие и частные решения ДУ.

Общим решением ДУ является общее множество решений, обращающих уравнение в тождество. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, удовлетворяющее дополнительным условиям, заданным изначально.

Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим порядком производных, входящих в него.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие одну независимую переменную.

Рассмотрим простейшее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид:

Решить такое уравнение можно, просто проинтегрировав его правую часть.

Примеры таких уравнений:

Уравнения с разделяющимися переменными

В общем виде этот тип уравнений выглядит так:

Приведем пример:

Решая такое уравнение, нужно разделить переменные, приведя его к виду:

После этого останется проинтегрировать обе части и получить решение.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Такие уравнения имеют вид:

Здесь p(x) и q(x) – некоторые функции независимой переменной, а y=y(x) – искомая функция. Приведем пример такого уравнения:

Решая такое уравнение, чаще всего используют метод вариации произвольной постоянной либо представляют искомую функцию в виде произведения двух других функций y(x)=u(x)v(x).

Для решения таких уравнений необходима определенная подготовка и взять их “с наскока” будет довольно сложно.

Пример решения ДУ с разделяющимися переменными

Вот мы и рассмотрели простейшие типы ДУ. Теперь разберем решение одного из них. Пусть это будет уравнение с разделяющимися переменными.

Сначала перепишем производную в более привычном виде:

Затем разделим переменные, то есть в одной части уравнения соберем все «игреки», а в другой – «иксы»:

Теперь осталось проинтегрировать обе части:

Интегрируем и получаем общее решение данного уравнения:

Конечно, решение дифференциальных уравнений – своего рода искусство. Нужно уметь понимать, к какому типу относится уравнение, а также научиться видеть, какие преобразования нужно с ним совершить, чтобы привести к тому или иному виду, не говоря уже просто об умении дифференцировать и интегрировать. И чтобы преуспеть в решении ДУ, нужна практика (как и во всем). А если у Вас в данный момент нет времени разбираться с тем, как решаются дифференциальные уравнения или задача Коши встала как кость в горле или вы не знаете, обратитесь к нашим авторам. В сжатые сроки мы предоставим Вам готовое и подробное решение, разобраться в подробностях которого Вы сможете в любое удобное для Вас время. А пока предлагаем посмотреть видео на тему «Как решать дифференциальные уравнения»:

Дифференциальное уравнение первого порядка (трудности понимания решения)

заполнитель не отображается в IE9

Перемещение OneNote в sharepoint с помощью разрывов файлового проводника Получить страницы Ошибка маршрутизации Rails 3 в отношении в ассоциации has_many => through Копирование .apk android в другой файл .apk через java-код и переопределение его файлов ресурсов? Странное поведение циклов php Реализация очень простой байесовской калибровки \ n не работает в значении тела mailto: link CodingBat Warm up 2 Python last2 «(Пустой)» текст «буквально» вместо «» в столбце данных из Visual Studio Raven. Abstractions.Exceptions.ConcurrencyException: попытка операции транзакции на: MoreThan127 Проверка статических границ массивов Haskell Смогут ли осы когда-нибудь отказаться от защиты своего гнезда от живой угрозы, которая их игнорирует? Where to put the negation particle in a subordinate clause? Как реализовать нейронную сеть с векторными (1×160) входами и выходными векторами (1×6) Как предотвратить изменение повторяющейся переменной вместе с реальной переменной? Как определить документ SVG в и повторно использовать с тегом ? Create Django dependent dropdown list doesnot autopopulate second dropdown Обновление не работает с использованием WHERE, AND, JOIN, хотя выберите Факторный анализ предметов, измеряемых по двум различным предметам шкалы 5 Лайкерта, одна шкала измеряет частоту, а другая — согласованность. сохранение значений во временной переменной перед сохранением в желаемом месте Prior for categorical transformation in catboost Почему лучше использовать filter_input ()? can i integrate PayPal payment integration in android application through laravel api? Ожидается, что будет вызвана фиктивная функция, но она не была вызвана Какого рода эффект разрушения гендерных ролей/стереотипов в художественной литературе? Текстовые поля становятся пустыми во время проверки php В jQuery как запустить событие элементов, добавленное в mootools? их нельзя было импортировать: _sqlite3 /Python3. 6 / CentOS6 What port is this and what is is used for? Есть ли подводные камни при написании приложений WPF с помощью IronRuby? Запросы, операторы GO и транзакции в T-SQL Какая единица измерения длительности медиа в MediaMetadataRetriever Как исправить проблему совместимости с проверкой JSR-303 и orientdb Звук не работает через несколько минут Как заставить RelatedListHover работать в с RelatedList = «false» Преобразование SAS в БД с помощью Pandas Как получить все таблицы и количество строк в каждой таблице Аксессоры и открытые члены R can not install packages on centos 6.5 Сохранить изображение в переменной, повторить позже [CustomCell setImageView:]: unrecognized selector

Как извлечь код фильтра в локальную переменную

состояние проверки redux в componentWillMount Как я могу отобразить поле ntext в виде длинной строки в представлении? Я получаю сообщение об ошибке при попытке получить данные с сервера в UDP-сокете python с помощью recvfrom () Переписать на основе параметров запроса Ввод в запрос Jmeter SOAP/XML-RPC через несколько листов в Excel Lubridate not converting datetime to POSIXct correctly in R (dd/mm/yy hh:mm:ss) терминал не запускается после установки python 3,7 каков угол в центральной точке базовой линии наклонного треугольника, разрезанного пополам, от вершины до центра базовой линии? Ошибка нескольких единиц сохраняемости JPA Визуализация 2 ListBoxes, один из которых содержит строки, а другой — длины одинаковых строк Исключение при потере потока Counting ways to partition a set into fixed number of subsets Проблема с отправкой электронной почты с помощью Codeigniter — заголовки, отправленные в теле сообщения Для чего можно использовать Bluetooth iPod 4-го поколения? Check macro in Access 2010 2-е событие не срабатывает Обеспечение успешного копирования файла Приводит ли предупреждение об обслуживании аккумулятора к замедлению работы Macbook? Интеграция с Android Graylog Sidecar Как обобщить условие квантования Бора-Зоммерфельда на большее количество измерений? Массивы и объекты в localstorage не работают Использование LINQ для запроса свойств внутреннего списка IList Таблица производительности TokenMismatchException в VerifyCsrfToken после загрузки онлайн использование spread () внутри map () Как предсказать компоненты неизвестной функции в scikit-learn? Цели удаленной публикации Sitecore — одна из двух не удается автоматически Иврит выглядит как тарабарщина, импорт БД с помощью PyPyODBC преобразовать строки в столбец Поделиться намерением Android Android: программная клавиатура вместе с основным приложением R: использование объектов-формул в Shiny для получения описательной статистики ESP8266 as wifi Card? создает ли он много функций в памяти, если не использовать ключевое слово new в js? О первом доказательстве теоремы Силова MuscleCommandline не работает в Biopython как остановить activityIndicator только тогда, когда содержимое webView полностью загружено Итерационный подход к разработке — хорошо или плохо для веб-приложения Create list from column-row matches Shorhand for a = (a == val1) ? null : val1;

Есть ли слово, которое относится и к оратору, и к писателю?

getDeclaredConstructor в интерфейсе? shell_exec () ведет себя странно MSBuild deploy failing after upgrade to . NET 4.5 Как Spark считается GC’d? HTML Поделиться в facebook/twitter вырезать мою ссылку How do I take values from 3 fields (Month, Day, Year) and have all three of these fields inserted as a single field (MySQL)? Заполните базу данных новыми данными твита из таблицы json_cache Сопоставление типов по универсальному признаку Scala What to do if expediting your ascent or descent is impossible/unsafe? Как использовать DescriptionAttribute для получения имен перечислений с пробелами? Don’t have sound anymore after upgrade Удаление завершающих слэшей при перезаписи мода? Почему (int) 55 == 54 в C ++? Пропуск меток оси категорий на гистограмме JFree трудности с перемещением камеры кадра и передачей событий в элементы управления кадром камеры Динамически отменить ControlEvent в InstallShield If time2 is greater than 9 hours to time 1 then true Команда /Developer/Platforms/iPhoneOS.platform/Developer/usr/bin/llvm-g++-4.2 завершилась ошибкой с кодом выхода 1 Странное поведение при копировании в libreoffice writer find the relationship of two vectors by coefficient of determination Есть ли эффективный алгоритм объединения числовых диапазонов? Есть ли способ или указанный параметр использовать перечисление в python при пропуске значений None? Как мне обработать приведенные ниже данные json из формы, состоящей из табличных div Проблема со странным языком на сервере Ubuntu Рисование квадрата с цветной заливкой в ​​центре кадра, но цвет выбирает пользователь Как я могу уточнить этот запрос, чтобы сузить возвращаемый набор результатов TYPO3 (7. 2 в solr? Yii CDbCommand привязка параметров без кавычек Интегрированная теория информации — Если верно, могут ли люди создать искусственное сознание? Понимание$H$-теоремы Гиббса: откуда взялся аргумент Джейнса о «размытости»? How do i get past this certificate error? Асимптотика числа различных простых множителей ненулевых значений непостоянных многочленов Материалы, которые не впитывают

Update Table with a multi-criteria form

Как отобразить строку, содержащую Php?> MySQL Group Использование неверных результатов MAX Инструменты автоматического анализа кода C # Связанные ячейки в двумерном двоичном массиве Набор инструментов Arm и связанная среда выполнения Create if statement for checkbox WooCommerce variation Сканирование на вирусы — невозможно открыть каталог/файл MRPT: Можно ли получить изображение из области просмотра? Как совместить изображение и контент? Все продолжает разделяться как показать файл .kml на MapBox Как передать выделенный текст в событие щелчка элемента DOM? Смешанные и равноудаленные объекты Зачем использовать ppa? Приемлемые сроки для тупиковой работы У меня есть обработанные файлы с использованием протокола 3 в python3, и теперь мне нужно распаковать их с помощью python2, что я могу сделать? Как создавать флип-панели в Swift/iOS Нульмерное хаусдорфово пространство полностью несвязно Что такое «идентификатор ключа» RSA? identity server4: Почему я получаю сообщение «Ключ подписи не найден» при вызове авторизованного контроллера Как создать исполняемый файл python с «. /» без pyinstaller Многопользовательская архитектура Entity Framework с несколькими базами данных и универсальными шаблонами OpenStreetMap/iOS: Markers and Routes Don’t Work Together Уточнение, необходимое для доказательства изоморфизма Дольбо, связанного с римановой поверхностью Чтение таблицы SQL Server в Orbeon Общая библиотека среды выполнения Intellij IDEA и Flex SDK обновление в кадре данных pandas в многопоточном режиме Норма линейного функционала как перенаправить мою форму подзадачи в файл показа задач в laravel 5.2 NPOI: как читать ячейку Excel без заголовка Are the powers and authorities in Ephesians brought under Christ’s rule — the same as every nation bowing in Revelation? Int в быстром закрытии не увеличивается Как перезапустить нумерацию на PHPWord с помощью addListItem ()? Проблема с символом умлаута в Python — необходимы mbcs, есть ли лучший способ для всех символов неявное преобразование беззнакового и подписанного Prefuse — можно ли перевести ключи, используемые в легенде? Qt UI stalling with poor performance of QFileSystemModel Достаточно ли использования свойства css3 ‘background-size’ для отображения сетчатки? Что q = 0,01$. getJSON добавляет в заголовок запроса? Устранение тайм-аутов подключения AWS Application Load Balancer при малых нагрузках Как отобразить значок меню на мобильных устройствах в Bootstrap nav?

Как редактировать внешний вид сайта через HTML/CSS в wordpress

API входа в систему, который проверяет имя пользователя и пароль и позволяет пользователю видеть свою информацию с помощью веб-API swift и asp.net Как изменить размер всех шрифтов eclipse сразу? Выходной параметр SQL Server возвращает смешанные результаты Как настроить индекс Hibernate Lucene, чтобы он указывал на общее местоположение. (Чтобы на локальном сервере не было индекса) InnoSetup, silent install with «splash» Как извлечь код фильтра в локальную переменную Реализация конструктора перемещения и присваивания с помощью unique_ptr WinRT не создает Windows.UI.Popups.MessageDialog в настольном приложении регулярное выражение очень медленное , как проверить, быстро ли строка содержит только символы слова? Azure DevOps, как следует определять путь сборки YAML Matlab: прочитать всю волну в папке Как поддерживать разные активные сеансы в одном Firefox и Internet Explorer? показывать повторяющиеся данные произвольным образом в angularJS Physical distinction between mixing and ergodicity Абсолютная сходимость рядов . .. намек? parallax.js автоматически загружать слайд Есть ли слово, которое относится и к оратору, и к писателю? Почему при ремонте потолка грязь потрескалась и отвалилась? Изображения RGB определены как YCbCr с помощью libjpeg-turbo Проблемы с производительностью при вызове хранимой процедуры MySQL с использованием Hibernate r блестящий ползунок ввода круглый gmap v2 -> v3 (пользовательский маркер не отображается + как добавить адрес php) Как исправить ошибку ts lint о пространстве имен? Простой Java-сервер с PrintWriter — проблема с отправкой ответа браузеру asp.net how to test load balancing is working Update Table with a multi-criteria form Как изменить цвет селектора/пульсации на стандартной кнопке? Попытка сканировать значения с помощью scanf в цикле. Требуется вторичный ввод для печати первого ввода PHP CLI регистрирует ошибку в файле, но PHP через apache не делает Могу ли я программно редактировать приложение для открытия файла .txt заполнитель не отображается в IE9 Android make phone call by clicking a button not working for Galaxy 5 python csv to tsv: если в записи есть запятая внутри Перекодирование mp3 файлов и потеря качества Как редактировать внешний вид сайта через HTML/CSS в wordpress Java — как переместить файл в zip-архив? ItemsControl [of Views] Полоса прокрутки не работает при заполнении BindableCollection изменить/изменить URL-адрес на лету laravel красноречивое отношение, объединяющее две таблицы с использованием промежуточной таблицы Получить пароль по известной комбинации клавиш-iv (RijndaelManaged в C #)

Wolfram|Alpha Примеры: дифференциальные уравнения


Обыкновенные дифференциальные уравнения

Решите ОДУ или найдите ОДУ, которому удовлетворяет функция.

Решите линейное обыкновенное дифференциальное уравнение:

Решить неоднородное уравнение:

Решите уравнение с параметром:

Решите нелинейное уравнение:

Найдите дифференциальные уравнения, которым удовлетворяет заданная функция:

Еще примеры


Другие примеры

Решение численно-дифференциального уравнения

Численное решение дифференциального уравнения с использованием различных классических методов.

Решите ОДУ с помощью указанного численного метода:

Укажите адаптивный метод:

Еще примеры

Калькулятор дифференциальных уравнений — примеры, факты

Калькулятор дифференциальных уравнений вычисляет решение данного дифференциального уравнения первого порядка, когда мы знаем начальное условие. Дифференциальное уравнение – это уравнение, содержащее производную функции.

Что такое калькулятор дифференциальных уравнений?

Калькулятор дифференциальных уравнений — это онлайн-инструмент, который помогает вычислить решение дифференциального уравнения первого порядка при заданном начальном условии. Дифференциальное уравнение, имеющее степень, равную 1, называется дифференциальным уравнением первого порядка. Чтобы использовать этот калькулятор дифференциальных уравнений , введите значения в указанные поля ввода.

Калькулятор дифференциальных уравнений

Как использовать калькулятор дифференциальных уравнений?

Чтобы найти решение дифференциального уравнения первого порядка с помощью онлайн-калькулятора дифференциальных уравнений, выполните следующие действия:

  • Шаг 1: Перейдите к онлайн-калькулятору дифференциальных уравнений Cuemath.
  • Шаг 2: Введите значения в поля ввода.
  • Шаг 3: Нажмите кнопку «Решить» , чтобы найти решение.
  • Шаг 4: Нажмите кнопку «Сброс», чтобы очистить поля и ввести новые значения.

Как работает калькулятор дифференциальных уравнений?

Дифференциальное уравнение определяется как уравнение, состоящее из производной зависимой переменной по независимой переменной. Скорость изменения количества представлена ​​производными. Таким образом, дифференциальное уравнение представляет отношение между изменяющейся величиной и изменением другой величины . Дифференциальное уравнение можно разделить на разные типы в зависимости от степени. У нас могут быть дифференциальные уравнения первого порядка (степень = 1), второго порядка (степень = 2), n -го -го порядка (степень = n). В дифференциальном уравнении первого порядка все линейные уравнения, выраженные в виде производных, имеют первый порядок. Такое уравнение задается как y’ = dy/dx = f(x, y). Чтобы найти решение дифференциального уравнения первого порядка, когда известно начальное условие y(0), необходимо выполнить следующие шаги:

  • Выразите данное уравнение в виде dy/dx = f(x).
  • Теперь запишите уравнение в виде dy = f(x)dx.
  • Интегрировать обе части функции.
  • Получаем результат как y = F(x) + C.
  • Чтобы определить значение C, подставьте значения начального условия y(0). Таким образом, y(0) = F(0) + C или C = y(0) — F(0).
  • Теперь снова подставьте значение C в уравнение, данное на шаге 4. Это будет решением дифференциального уравнения.

Хотите найти сложные математические решения за считанные секунды?

Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором, чтобы решить сложные вопросы.С Cuemath находите решения простыми и легкими шагами.

Забронируйте бесплатный пробный урок

Решенные примеры дифференциальных уравнений

Пример 1: Найдите решение дифференциального уравнения первого порядка y’ = x 2 и y(0) = 2 и проверьте его с помощью калькулятора дифференциальных уравнений.

Решение :

Дано: y’ = x 2 и y(0) = 2

dy/dx = х 2

дх = х 2 дх.

Проинтегрировать данное дифференциальное уравнение первого порядка y(x) = x 3 / 3 + C

г(0) = 2

у(0) = F(0) + С

2 = (0) 3 / 3 + С

С = 2

у(х) = х 3 / 3 + 2

Пример 2: Найдите решение дифференциального уравнения первого порядка y’ = sinx и y(0) = 3 и проверьте его с помощью калькулятора дифференциальных уравнений.

Решение :

Дано: y’ = sinx и y(0) = 3

dy/dx = sinx

dy = sinx dx.

Проинтегрировать данное дифференциальное уравнение первого порядка y(x) = -cosx + C

г(0) = 3

у(0) = F(0) + С

3 = -cos (0) + С

3 + 1 = С

С = 4,

у(х) = -cosx + 4

Теперь попробуйте калькулятор дифференциальных уравнений и найдите решения для:

  • y’ = 3x 2 и y(0) = 5
  • y’ = secx и y(0) = 7

☛ Математические калькуляторы:

Калькулятор треугольников — Примеры, Онлайн калькулятор треугольников

Калькулятор треугольника вычисляет основание треугольника по высоте и площади. Замкнутый многоугольник, имеющий 3 ребра, 3 вершины и 3 угла, называется треугольником. Классификация треугольников основана на измерении сторон и углов.

Что такое калькулятор треугольников?

Triangle Calculator — это онлайн-инструмент, который помогает рассчитать основание треугольника с помощью формулы площади. Чтобы применить формулу площади для определения основания, нам нужно знать высоту, а также площадь треугольника. Чтобы использовать этот калькулятор треугольник , введите значения в поле ввода.

Калькулятор треугольников

*Используйте только 3 цифры.

Как пользоваться калькулятором треугольников?

Чтобы найти основание треугольника с помощью онлайн-калькулятора треугольника, выполните следующие действия:

  • Шаг 1: Перейдите к онлайн-калькулятору треугольников Cuemath.
  • Шаг 2: Введите значения в поле ввода калькулятора треугольников.
  • Шаг 3: Нажмите на кнопку «Вычислить» , чтобы найти основание треугольника.
  • Шаг 4: Нажмите кнопку «Сброс», чтобы очистить поля и ввести новые значения.

Как работает калькулятор треугольников?

В геометрии существует множество различных типов треугольников. Они подразделяются на следующие категории:

В зависимости от длины сторон

  • Равносторонний треугольник. Все стороны этого треугольника равны, а все углы равны 60 градусов.
  • Равнобедренный треугольник — В таком треугольнике только две стороны имеют одинаковую длину.
  • Разносторонний треугольник — Все стороны имеют разную длину.

На основании измерения внутренних углов

  • Остроугольный треугольник. В этом треугольнике все углы меньше 90 градусов.
  • Прямоугольный треугольник. Один угол равен 90 градусам, а остальные два образуют острые углы.
  • Тупоугольный треугольник — в таком треугольнике один угол тупой и больше 90 градусов.

Мы можем найти площадь любого из вышеперечисленных треугольников, используя приведенную ниже формулу, если известна высота.

Площадь = 1/2 x Основание x Высота

Эту же формулу можно изменить, чтобы найти основание, зная площадь и высоту треугольника.

Основание = (2 x площадь) / высота.

Хотите найти сложные математические решения за считанные секунды?

Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором, чтобы решить сложные вопросы. С Cuemath находите решения простыми и легкими шагами.

Забронируйте бесплатный пробный урок

Решенные примеры на треугольнике

Пример 1: Найдите основание треугольника, если площадь и высота треугольника равны 24 квадратным единицам и 8 единицам соответственно.Проверьте это с помощью калькулятора треугольников.

Решение:

Дано: Площадь = 24, Высота = 8

Основание = (2 x площадь) / высота.

Основание = 2 x 24 / 8 = 6

Пример 2: Найдите основание треугольника, если площадь и высота треугольника равны 57 единицам и 3 единицам соответственно. Проверьте это с помощью калькулятора треугольников.

Решение:

Дано: Площадь = 24, Высота = 8

Основание = (2 x площадь) / высота.

База = 2 x 57 / 3 = 38 шт.

Точно так же вы можете попробовать калькулятор треугольника и найти основание треугольника для следующего:

  • Площадь = 24, высота = 5
  • Площадь = 20, Высота = 10

☛ Математические калькуляторы:

Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Возможно, сначала вы захотите прочитать о дифференциальных уравнениях
и о разделении переменных!

Дифференциальное уравнение — это уравнение с функцией и одной или несколькими ее производными:


Пример: уравнение с функцией y и ее производная ды дх  

Здесь мы рассмотрим решение специального класса дифференциальных уравнений под названием Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Первый Орден

Они «Первый Орден», когда есть только ды дх , а не д 2 у дх 2 или д 3 у дх 3 и т. д.

Линейный

Дифференциальное уравнение первого порядка является линейным , когда его можно привести к следующему виду:

ды дх + Р(х)у = Q(х)

Где P(x) и Q(x) являются функциями x.

Для ее решения есть специальный метод:

  • Мы изобрели две новые функции x, назовем их u и v и скажем, что y=uv .
  • Затем мы решаем найти u , а затем найти v , привести в порядок и готово!

И мы также используем производную от y=uv (см. Производные правила (правило произведения)):

ды дх = ты дв дх + в дю дх

шагов

Вот пошаговый метод их решения:

Попробуем посмотреть пример:

Пример 1: Решите это:

ды дх г х = 1

Во-первых, это линейно? Да, как есть в форме

ды дх + P(x)y = Q(x)
, где P(x) = − 1 х и Q(x) = 1

Итак, давайте пошагово:

Шаг 1: Замените y = uv и  . ды дх = ты дв дх + в дю дх

Итак: ды дх г х = 1

становится следующим:u дв дх + в дю дх уф х = 1

Шаг 2: Фактор частей, включающих и

Фактор против :u дв дх + v( дю дх и х ) = 1

Шаг 3: Приравняйте член к нулю

v слагаемое равно нулю: дю дх и х = 0

Итак: дю дх знак равно и х

Шаг 4: Решите, используя разделение переменных, чтобы найти u

Отдельные переменные: дю и знак равно дх х

Поставьте знак интеграла: ∫ дю и = ∫ дх х

Интегрировать: ln(u) = ln(x) + C

Сделать C = ln(k):ln(u) = ln(x) + ln(k)

Итак: u = kx

Шаг 5: Подставьте u обратно в уравнение на шаге 2

(помните, что термин v равен 0, поэтому его можно игнорировать): kx дв дх = 1

Шаг 6: Решите это, чтобы найти v

Отдельные переменные:k dv = дх х

Поставьте знак интеграла: ∫k dv = ∫ дх х

Интегрировать: kv = ln(x) + C

Сделать C = ln(c):kv = ln(x) + ln(c)

Итак:kv = ln(cx)

И так:v= 1 к пер(сх)

Шаг 7: Подставьте в y = uv , чтобы найти решение исходного уравнения.

у = ув: у = кх 1 к пер(сх)

Упростить:y = x ln(cx)

И получается это прекрасное семейство кривых:


y = x ln(cx) для различных значений c

Что означают эти кривые?

Они являются решением уравнения   ды дх г х = 1

Другими словами:

В любом месте любой из этих кривых
наклон минус г х равно 1

Давайте проверим несколько точек на c=0.6 кривая:

Оценка вне графика (до 1 знака после запятой):

Точка х г Уклон ( ды дх ) ды дх г х
А 0. 6 −0,6 0 0 — −0,6 0,6 = 0 + 1 = 1
Б 1,6 0 1 1 — 0 1,6 = 1 — 0 = 1
С 2,5 1 1.4 1,4 — 1 2,5 = 1,4 — 0,4 = 1

Почему бы не проверить несколько точек самостоятельно? Вы можете построить кривую здесь.

 

Возможно, вам поможет еще один пример? Может чуть сложнее?

Пример 2: Решите это:

ды дх 3 года х = х

Во-первых, это линейно? Да, как есть в форме

ды дх + P(x)y = Q(x)
, где P(x) = − 3 х и Q(x) = x

Итак, давайте пошагово:

Шаг 1: Замените y = uv и  . ды дх = ты дв дх + в дю дх

Итак: ды дх 3 года х = х

становится следующим: u дв дх + в дю дх 3уф х = х

Шаг 2: Фактор частей, включающих и

Фактор против :u дв дх + v( дю дх 3U х ) = х

Шаг 3: Приравняйте член к нулю

v термин = ноль: дю дх 3U х = 0

Итак: дю дх знак равно 3U х

Шаг 4: Решите, используя разделение переменных, чтобы найти u

Отдельные переменные: дю и = 3 дх х

Поставьте знак интеграла: ∫ дю и = 3 ∫ дх х

Интегрировать: ln(u) = 3 ln(x) + C

Сделать C = −ln(k):ln(u) + ln(k) = 3ln(x)

Тогда: uk = x 3

И так:u= х 3 к

Шаг 5: Подставьте u обратно в уравнение на шаге 2

(помните, что термин и равен 0, поэтому его можно игнорировать):( х 3 к ) дв дх = х

Шаг 6: Решите это, чтобы найти v

Отдельные переменные: dv = k x -2 dx

Поставьте знак интеграла: ∫dv = ∫k x -2 dx

Интегрировать: v = −k x -1 + D

Шаг 7: Подставьте в y = uv , чтобы найти решение исходного уравнения.

у = ув: у = х 3 к (-к х -1 + D)

Упростить:y = −x 2 + Д к х 3

Заменить D/k одной константой c : y = с х 3 − х 2

И получается это прекрасное семейство кривых:


у = с x 3 − x 2 для различных значений c

И еще один пример, на этот раз еще сложнее :

Пример 3: Решите это:

ды дх + 2xy= −2x 3

Во-первых, это линейно? Да, как есть в форме

ды дх + P(x)y = Q(x)
, где P(x) = 2x и Q(x) = −2x 3

Итак, давайте пошагово:

Шаг 1: Замените y = uv и  . ды дх = ты дв дх + в дю дх

Итак: ды дх + 2xy= −2x 3

становится следующим: u дв дх + в дю дх + 2xув = −2x 3

Шаг 2: Фактор частей, включающих и

Фактор против :u дв дх + v( дю дх + 2xu ) = −2x 3

Шаг 3: Приравняйте член к нулю

v термин = ноль: дю дх + 2xu = 0

Шаг 4: Решите, используя разделение переменных, чтобы найти u

Отдельные переменные: дю и = -2x дх

Поставьте знак интеграла: ∫ дю и = −2∫x dx

Интегрировать: ln(u) = −x 2 + C

Сделать C = −ln(k):ln(u) + ln(k) = −x 2

Тогда: uk = e -x 2

И так:u= е 2 к

Шаг 5: Подставьте u обратно в уравнение на шаге 2

(помните, что термин и равен 0, поэтому его можно игнорировать):( е 2 к ) дв дх = −2x 3

Шаг 6: Решите это, чтобы найти v

Отдельные переменные: dv = −2k x 3 e x 2 dx

Поставьте знак интеграла: ∫dv = ∫−2k x 3 e x 2 dx

Интегрировать:v = о нет! это трудно!

Посмотрим. .. мы можем интегрировать по частям… что говорит:

∫RS dx = R∫S dx − ∫R’ ( ∫S dx ) dx

(Примечание: здесь мы используем R и S, использование u и v может сбивать с толку, поскольку они уже означают что-то другое.)

Выбор R и S очень важен, это лучший выбор, который мы нашли:

Итак, вперед:

Первое вытягивание k:v = k∫−2x 3 e x 2 dx

R = −x 2 и S = 2x e x 2 :v = k∫(−x 2 )(2xe x 2 ) dx

Теперь интегрировать по частям:v = kR∫S dx − k∫R’ ( ∫ S dx) dx

Подставьте R = −x 2 и S = ​​2x e x 2

А также R’ = −2x и ∫ S dx = e x 2

Получается:v = −kx 2 ∫2x e x 2 dx − k∫−2x (e x 2 ) dx

Теперь интегрируйте:v = −kx 2 e x 2 + k e x 2 + D

Упростить:v = ke x 2 (1−x 2 ) + D

Шаг 7: Подставьте в y = uv , чтобы найти решение исходного уравнения.

у = ув: у = е 2 к ( ke x 2 (1−x 2 ) + D )

Упростить:y =1 − x 2 + ( Д к )e x 2

Заменить D/k одной константой c : y = 1 − x 2 + с е x 2

И мы получаем это прекрасное семейство кривых:


у = 1 — х 2 + с e x 2 для различных значений c

 

9429, 9430, 9431, 9432, 9433, 9434, 9435, 9436, 9437, 9438

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения — видео и расшифровка урока

Решение дифференциальных уравнений

Теперь, разобравшись с основными терминами, приступим к решению! Предположим, у нас есть две зависимые переменные, x и y , представляющие популяцию криля и яка. Представьте скорость изменения яков, d 91 193 x 91 194 / d 91 193 t 91 194, в отрицательной зависимости от количества криля. Точно так же в этом гипотетическом мире скорость изменения криля d 91 193 y 91 194 / d 91 193 t 91 194 отрицательно зависит от количества яков. Таким образом, наша гипотетическая связанная система линейных дифференциальных уравнений имеет вид:

Два неизвестных и два уравнения предлагает метод исключения из алгебры. Как мы увидим, запись d x /d t как D x выглядит так, как будто D умножается на x .D, однако, является оператором на x , где операцией является дифференцирование. На самом деле, даже умножение, например, умножение 4 x на 4 x , является 4 операцией с x .

На систему криль-як!

Шаг 1: Используйте обозначение D для производной.

Заменить d x /d t на D x и d y /d t на D y :

0

Шаг 2: Организуйте уравнения.

Поставив на первое место x , получим следующее изменение:

Шаг 3: Решите методом исключения.

Умножив уравнение 2 на D, получим:

Умножив уравнение 1 на 4, мы получим:

Как вы можете видеть здесь, теперь мы исключаем 4D x из уравнения:

Вычитая одно уравнение из другого, мы исключили 4D x .

Шаг 4: Решите дифференциальное уравнение.

Как решить это уравнение?

  1. Сначала пусть y = e at .
  2. Используя оператор дифференцирования D на y , мы имеем y = a e на .
  3. Это дает нам D2 y = a 2 e at .

Подставляя в -36 y + D2 y = 0, получаем:

-36e at + a 2 e at = 0.

Разделив на количество еды, получим:

-36 + a 2 = 0.

Решив a , получим:

a = ±6.

Таким образом:

y = c 1 e6 t + c 2 e-6 t .

Шаг 5: Используя исключение, найдите другие переменные.

Это повтор шага 3, но и исключены.

Умножьте уравнение 1 на D:

Умножьте уравнение 2 на 9:

Исключение 9D y дает -36 x + D2 x = 0.

Форма этого уравнения для x такая же, как и для y . Таким образом, решения для x и y одинаковы, за исключением нижних индексов у констант:

Шаг 6: Используя начальные условия, найдите константы.

Начальные условия являются значениями переменной и ее первой производной в момент времени t = 0.

Представьте, что в начале y = 0 и d y /d t = 12.

получаем:

Поскольку e0 = 1,

y = ( c 1)1 + ( c 2)1.

Во время t = 0, y = 0.

Таким образом:

c 1 + c 2 = 0.

Теперь начальное состояние на d y /d t , которое вы можете увидеть здесь:

При t = 0 получается так:

в момент T = 0, D y / D T = 12:

6 C 1 — 6 C 2 = 12.

Разделение на 6, мы получаем:

с 1 — с 2 = 2.

Отлично! Две уравнения и два неизвестных:

C 1 + C 2 = 0

C 1 — C 1 — C 2 = 2 C 2 = 2 C 2 = 2 C 2 = 2

Решение для C 1 и C 2, мы получаем:

с 1 = 1 и с 2 = -1.

Таким образом:

Решение для y используется для нахождения c 3 и c 4 в решении x .

Дифференцируйте решение для x и подставьте в первое уравнение D x = -9 y , которое вы можете увидеть здесь:

Приравнивая слагаемые e6 t , получаем:

6 c 3 = -9 или c 3 = -3/2.

Приравнивая е-6 т членов, получаем:

-6 с 4 = 9 или с 4 = -3/2.

Таким образом:

Шаг 7: Проверьте решение.

Если выражения для x и y верны, подстановка обратно в исходную систему уравнений делает эти уравнения верными.

Мы собираемся проверить, удовлетворяет ли исходная гипотетическая связанная система этим значениям x и y .

и

удовлетворить

У нас есть LHS (левая сторона):

Упрощение до:

-9e6 t + 9e-6 t .

И у нас есть RHS (правая часть), в которую мы подставляем -9 y , чтобы получить:

-9e6 t + 9e-6 t .

Проверить!

Для второго уравнения:

LHS: d y /d t = 6e6 t + 6e-6 t .

RHS: подставьте в -4 x , чтобы получить

, что упрощается до

6e6 t + 6e-6 t .

Отлично, мы поняли!

Шаг 8: Постройте график и прокомментируйте решение:

Сюжет решений

График популяции криля, x , показывает начальное состояние x = 0 и положительный наклон. Это население растет в геометрической прогрессии. Популяция яков, y , с другой стороны, начинается с -3 (мы не уверены, как будут функционировать яки с популяцией -3), наклона 0 и продолжает экспоненциально уменьшаться.

Конечно, эта связь между яком и крилем чисто гипотетическая. Естественными хищниками криля являются тюлени, киты, пингвины, а не яки. Тем не менее, на графике показано решение, согласующееся с уравнениями и начальными условиями, и это самое главное!

Резюме урока

Хорошо, давайте на минутку-другую повторим, так как это было совсем немного! Как мы узнали, дифференциальное уравнение просто содержит производные. Мы также узнали, что если нет произведений зависимых переменных и если все производные и зависимые переменные возведены в первую степень, то дифференциальное уравнение будет линейным .С двумя или более уравнениями это система , а когда в одном и том же уравнении появляются разные зависимые переменные, система связана .

Это аналог систем уравнений, встречающихся в алгебре. Чтобы решить систему дифференциальных уравнений, воспользуйтесь алгебраическим методом исключения. Производные, такие как d x / d t , записываются как D x , а оператор D обрабатывается как умножающая константа.

Методом исключения система дифференциальных уравнений сводится к одному дифференциальному уравнению с одной переменной.Для решения этого дифференциального уравнения используются стандартные методы. Полученное решение содержит неизвестные константы, определенные с использованием начальных условий , которые являются переменными и их значениями первой производной в момент времени t = 0. Процесс исключения переменных, решения дифференциального уравнения и нахождения значений констант повторяется. пока не будут решены все зависимые переменные.

Онлайн-справка по дифференциальным уравнениям | 24HourAnswers

Дифференциальные уравнения — это продвинутые математические уравнения, которые студенты обычно изучают после изучения математического анализа в течение нескольких семестров. Проще говоря, это уравнения, которые относятся к одной или нескольким функциям и их производным. У них есть реальные приложения в таких областях, как физика, наука о погоде, химия, инженерия, математика и биология.

Курс дифференциальных уравнений в колледже будет посвящен методам решения этих уравнений в различных математических и научных контекстах. Чтобы преуспеть в изучении дифференциальных уравнений, вам необходимо освоить сложные концепции. Опытные преподаватели 24HourAnswers помогут вам лучше понять дифференциальные уравнения.У нас есть преподаватели, которые специализируются на этом продвинутом математическом предмете и стремятся помочь вам добиться успеха.

Онлайн-репетиторы по дифференциальным уравнениям

Вы можете получить помощь в выполнении домашних заданий и онлайн-обучение у наших экспертов по дифференциальным уравнениям. Они разберут любой аспект предмета, с которым вы боретесь, и помогут вам с проектами любого масштаба.

Репетиторские занятия

Запланируйте интерактивное онлайн-обучение, чтобы получить индивидуальные инструкции. Ваш преподаватель будет использовать нашу платформу интерактивной доски, чтобы продемонстрировать, как решать уравнения, и предоставить подробные, увлекательные объяснения сложных тем.Они также будут использовать любые материалы, которые вы предоставите, для разработки своего урока с учетом ваших конкретных потребностей. Вам понравится очень персонализированный, продуктивный опыт обучения, который расширит ваши знания о дифференциальных уравнениях.

Помощь с домашним заданием

Если у вас возникли проблемы с выполнением определенного домашнего задания, наши репетиторы могут помочь. Они рассмотрят проблемы и предоставят письменные примеры, которые вы можете использовать для уверенного выполнения своей работы. Они также дадут вам советы и рекомендации, которые помогут вам в будущих заданиях.

Чтобы получить немедленную помощь, вы можете воспользоваться поиском в нашей библиотеке домашних заданий. Вы найдете решенные дифференциальные уравнения с пошаговыми пояснениями, которые можно использовать в качестве руководства при создании оригинальных решений.

Дифференциальные уравнения Темы

Наши преподаватели могут помочь вам разобраться с такими понятиями дифференциальных уравнений, как:

  • Комплексный анализ: Комплексный анализ изучает функции комплексных чисел.
  • Системы первого порядка:  Системы первого порядка содержат производную первого порядка без производных выше первого порядка.
  • Линейные системы: Линейные системы — это наборы линейных уравнений, которые связывают группу функций с их производными.
  • Преобразование Лапласа:  Преобразование Лапласа преобразует дифференциальное уравнение в алгебраическое уравнение.

 

Что делает 24HourAnswers лучшим сайтом онлайн-обучения?

24HourAnswers специализируется на онлайн-репетиторстве для студентов колледжей. Наши первоклассные услуги принесли нам рейтинг A+ от Better Business Bureau (BBB) ​​и 99.5% рейтинг удовлетворенности студентов. Сотрудничество с нами позволяет:

Учитесь у экспертов

Наши преподаватели являются экспертами в области дифференциальных уравнений. Они обладают исключительными квалификациями, такими как докторские степени и опыт работы в ведущих университетах и ​​учреждениях. Они помогут вам получить более глубокое понимание дифференциальных уравнений, чем если бы вы работали с наставником.

Доступ к репетиторским услугам 24/7

Мы доступны круглосуточно и без выходных для оказания академической поддержки.Вы можете запланировать сеанс репетиторства или запросить помощь с домашним заданием в любое удобное для вас время.

Получение подсказок

Вы получите ответ от преподавателя как можно быстрее — часто в течение нескольких минут после вашего запроса.

Платите по справедливой цене

Указанная вами цена уникальна для вашего запроса. Это зависит от ряда факторов, таких как продолжительность сеанса, уровень сложности и время выполнения. Вы будете платить справедливую цену, соответствующую вашим потребностям — без ежемесячных платежей или минимальных платежей.

Отправьте запрос с легкостью

Мы делаем наш процесс простым, чтобы сэкономить ваше время. Все, что вам нужно сделать, это написать в своем запросе, загрузить свои документы, указать крайний срок или выбрать продолжительность сеанса. Вы также можете заранее сообщить нам свой бюджет, чтобы исключить переговоры и ускорить процесс.

Свяжитесь с 24HourAnswers для онлайн-обучения по дифференциальным уравнениям

24HourAnswers — ваш надежный источник онлайн-репетиторских занятий и помощи в выполнении домашних заданий по дифференциальным уравнениям.Если вы никогда раньше не работали с нами, начните с создания бесплатной учетной записи. Для регистрации нам требуется только имя пользователя и пароль, а процесс занимает менее 30 секунд. Зарегистрируйтесь сегодня, чтобы получить первоклассную поддержку, необходимую для достижения успеха в вашей академической карьере.

Чтобы выполнить нашу репетиторскую миссию по онлайн-обучению, наши центры помощи с домашними заданиями в колледже и онлайн-репетиторские центры работают круглосуточно и без выходных, готовые помочь студентам колледжей, которым нужна помощь в выполнении домашних заданий по всем аспектам дифференциальных уравнений.Наши преподаватели по математике могут помочь со всеми вашими проектами, большими или маленькими, и мы призываем вас найти лучшие онлайн-репетиторы по дифференциальным уравнениям в любом месте.

Дифференциальные уравнения

Найдите решение дифференциального уравнения

у» + у = 0

, который удовлетворяет начальным условиям     y(0) = 0     y'(0) = 2

Следующее решение:

y(x) = c 1 cos x + c 2 sin x

можно также выразить как:

y(x) = A 1 sin(x + B 1 )

или как:         y(x) = A 2 cos(x + B 2 )

A 1 , B 1 , A 2 , B 2 — константы, зависящие от начальных условий.

Подставляя решение вида e rx в исходное дифференциальное уравнение и после выполнения вывода получаем:

1

4

1

8 E

RX (R 2 + 1) = 0

4

R 2 E RX + E RX = 0 RX = 0
, потому что E RX никогда не получают значение 0 для  −∞

И решение:             y(x) = e ix + e −ix

Из комплексного исчисления: e k + ix = e kx (cos x + isin x)
e k − ix = e kx (cos x − isin x)

Поскольку добавление или вычитание обоих решений, приведенных выше, также является решением, мы получаем общий вид:

e 0 (cos x + isin x) = cos x + isin x

В нашем случае k = 0 в r не существует вещественной части.

После пренебрежения константой   i   решение будет таким:

y(x) = c 1 cos x + c 2 sin x

Константы c 1 и c 2 находятся по начальным условиям.

y(0) = c 1 cos 0 + c 2 sin 0 →       c 1 = 0
y'(0) = −c 1 sin 0 + c 2 cos 0 = 2 →       c 2 = 2
И окончательное решение: у(х) = 2 sin х
.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск