Система уравнений — это… Что такое Система уравнений?

Система уравнений — это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных.

Формальная запись общего вида может выглядеть так:

Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений обращается в верное равенство.

Классификация

• Алгебраические уравнения:
• Дифференциальные уравнения:

Решение системы уравнений

Существует множество методов решения системы уравнений. Подход зависит от типа системы. Так, решение систем линейных уравнений полностью исследовано: у них найдены аналитические методы (метод Крамера) и предложено несколько численных как точных (простейший — метод Гаусса), так и приближённых (метод итераций).

Общего аналитического решения системы нелинейных уравнений не найдено. Существуют лишь численные методы.

Некоторое программное обеспечение, основанное на интервальном анализе, в частности бесплатный interalg, способно находить все решения системы уравнений в заданном регионе lb

i <= x_i <= ub_i

Для решения систем дифференциальных уравнений разработана целая отрасль численных методов.

Разные факты

• Любая система уравнений над действительными числами может быть представлена одним равносильным уравнением, если взять все уравнения в форме , возвести их в квадрат и сложить.
• Обыкновенное дифференциальное уравнение любого порядка можно записать как систему диф. уравнений первого порядка.

См. также

dic.academic.ru

Система уравнений — Википедия. Что такое Система уравнений

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Система уравнений — это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных.

Обозначения

Формальная запись общего вида может выглядеть так:

{F1(x1,x2,…,xM)=0F2(x1,x2,…,xM)=0…FN(x1,x2,…,xM)=0{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}F_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M})=0\\F_{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M})=0\\\ldots \\F_{N}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M})=0\end{matrix}}\right.}

Фигурная скобка означает, что решение (x1,x2,…,xM){\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M})} должно удовлетворять каждому уравнению.

Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений обращается в верное равенство.

Типы систем уравнений

• Алгебраические уравнения:
• Дифференциальные уравнения:

Методы решения

Существует множество методов решения системы уравнений. Подход зависит от типа системы. Так, решение систем линейных уравнений полностью исследовано: у них найдены аналитические методы (метод Крамера) и предложено несколько численных как точных (простейший — метод Гаусса), так и приближённых (метод итераций).

Общего аналитического решения системы нелинейных уравнений не найдено. Существуют лишь численные методы.

Для решения систем дифференциальных уравнений разработана целая отрасль численных методов.

Разные факты

• Любая система уравнений над действительными числами может быть представлена одним равносильным уравнением, если взять все уравнения в форме fi(x)=0{\displaystyle f_{i}(x)=0}, возвести их в квадрат и сложить.
• Обыкновенное дифференциальное уравнение любого порядка можно записать как систему диф. уравнений первого порядка.

wiki.sc

Системы уравнений

Если перед нами ставится задача найти все общие решения двух уравнений с двумя переменными, то говорят, что нужно решить систему уравнений. Решением системы уравнений называется каждая пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство. Иными словами, решить систему – это значит найти все решения этой системы или доказать, что их нет.

Запись системы уравнений сопровождается фигурной скобкой {.

Две системы уравнений называются равносильными, если эти системы имеют одни и те же решения. Системы уравнений считаются равносильными также и в случае, когда каждое уравнение системы не имеет решения.

Теорема 1. Пусть дана система двух уравнений с двумя переменными. Если одно уравнение системы оставить без изменения, а другое уравнение системы заменить уравнением, ему равносильным, то полученная система будет равносильна заданной.

{х – 3у = 10,                                     {х = 3у + 10
{3х – 2у = 2                                      {3х – 2у = 2

Следствие. Если каждое уравнение системы заменить равносильным уравнением, то получится система, равносильная данной. Так, равносильными являются системы:

{х – 3у = 10,                                     {х = 3у + 10
{3х – 2у = 2                                      {х = 2/3у + 2/3.

Теорема 2. Пусть дана система двух уравнений с двумя переменными. Если одно уравнение оставить без изменения, а другое уравнение заменить суммой или разностью обоих уравнений системы, то полученная системы будет равносильна данной.

Так, равносильны системы:

{х – 3у = 10,                                    {(х – 3у) + (3х – 2у) = 10 + 2
{3х – 2у = 2                                     {3х – 2у = 2.

Существует несколько методов решения систем уравнений с двумя переменными.

Метод подстановки реализуется так:

1. В одном из уравнений мы выражаем одну переменную через другую (например, х через у).

2. Полученное выражение подставляем во второе уравнение вместо х. В результате получается уравнение с одной переменной.

3. Находим корни этого уравнения.

4. Воспользовавшись нашим выражением из пункта 1, находим вторую переменную.

Решим систему уравнений:

{х – 3у = 10,
{х² – 24у = 100.

Решение.

1. В уравнении 1 выразим х через у и получим: х – 3у = 10 → х = 3у + 10

2. В уравнение 2 подставим полученное выражение: х² – 24у = 100 – (3у + 10)² – 24 у = 100.

3. Решим преобразованное уравнение 2 и получим корни 0 и -4.

4. Исходя из полученных значений у, найдем значения х.

Если у = 0, х = 10.

Если у = -4, х = -2.

Т.о., система уравнений имеет два решения: (-2; -4) и (10; 0).

Ответ. (-2; -4) и (10; 0).

Метод сложения основан на рассмотренных нами теориях. Изучим данный метод, работая с примером:

Решим систему:

{2х + 3у = 7,
{3х – у = 16.

Решение.

1. Умножим обе части второго уравнения на 3, получим систему:

{2х + 3у = 7,
{9х – 3у = 48.

Эта система, в соответствии с теоремами, равносильна первоначальной.

2. Сложим оба уравнения новой системы и получим:

{2х + 3у = 7,
{(2х + 3у) + (9х – 3у) = 7 + 48.

3. Преобразуем полученную систему:

{2х + 3у = 7,
{11х = 55.

4. Из уравнения 2 получаем х = 5. Подставим получившееся значение в уравнение 1 и получим у = -1 .

Ответ. х = 5, у = -1.

Метод введения новых переменных работает так: либо мы вводим новую переменную только для одного уравнения, либо вводим две новых переменных сразу для обоих уравнений.

Решим систему

{х/у = у/х = 13/6
{х = у = 5.

Решение.

1. Предположим, что х/у = a, тогда у/х = 1/а → уравнение 1 примет вид: а + 1/а = 13/6.

Решим полученное уравнение относительно переменной а: 6а² + 6 = 13а

6а² – 13а + 6 = 0. Корнями уравнения являются а₁ = 2/3 и а₂

= 3/2.

2. Отсюда получим, что либо х/у = 2/3, т.е. у = 3х/2, либо х/у = 3/2, т.е. у = 2х/3.

3. Т.к. с учетом полученных результатов, уравнение 1 распалось на два уравнения, нам предстоит решить совокупность двух систем:

{у = 2х/3,                       {у = 2х/3.
{х + у = 5                        {х + у = 5.

Из системы 1 находим  х = 2, у = 3, из системы 2 находим х = 3, у = 2.

Ответ: (2; 3) и (3; 2).

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Система линейных алгебраических уравнений — это… Что такое Система линейных алгебраических уравнений?

Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (или, линейная система

, также употребляется аббревиатура СЛА́У) в линейной алгебре — это система уравнений вида

(1)

Система линейных уравнений от трёх переменных определяет набор плоскостей. Точка пересечения является решением.

Здесь  — количество уравнений, а  — количество неизвестных. x₁, x₂, …, x_n — неизвестные, которые надо определить. a₁₁, a₁₂, …, a_mn — коэффициенты системы — и b₁, b₂, … b_m — свободные члены — предполагаются известными^[1]. Индексы коэффициентов (a_ij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно^[2].

Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (

b₁ = b₂ = … = b_m = 0), иначе — неоднородной.

Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Решение системы (1) — совокупность n чисел c₁, c₂, …, c_n, таких что подстановка каждого c_i вместо x_i в систему (1) обращает все её уравнения в тождества.

Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.

Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.

Решения c₁⁽¹⁾, c₂⁽¹⁾, …, c_n⁽¹⁾ и c₁⁽²⁾, c₂⁽²⁾, …, c_n⁽²⁾ совместной системы вида (1) называются

различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:

c1(1) = c1(2), c2(1) = c2(2), …, cn(1) = cn(2).

Совместная система вида (1) называется определённой, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.

Матричная форма

Система линейных уравнений может быть представлена в матричной форме как:

или:

.

Здесь  — это матрица системы,  — столбец неизвестных, а  — столбец свободных членов. Если к матрице приписать справа столбец свободных членов, то получившаяся матрица называется расширенной.

Эквивалентные системы линейных уравнений

Системы линейных уравнений называются эквивалентными, если множество их решений совпадает, то есть любое решение одной системы одновременно является решением другой, и наоборот.

Систему, эквивалентную данной, можно получить, в частности, заменив одно из уравнений на это уравнение, умноженное на любое отличное от нуля число. Эквивалентную систему можно получить также, заменив одно из уравнений суммой этого уравнения с другим уравнением системы. В общем, замена уравнения системы на линейную комбинацию уравнений даёт систему, эквивалентную исходной.

Система линейных алгебраических уравнений

эквивалентна системе

,

где  — невырожденная матрица.

В частности, если сама матрица  — невырожденная, и для неё существует обратная матрица , то решение системы уравнений можно формально записать в виде

.

Методы решения

Прямые (или точные) методы позволяют найти решение за определённое количество шагов. Итерационные методы основаны на использовании повторяющегося процесса и позволяют получить решение в результате последовательных приближений.

Прямые методы

Итерационные методы

Итерационные методы устанавливают процедуру уточнения определённого начального приближения к решению. При выполнении условий сходимости они позволяют достичь любой точности просто повторением итераций. Преимущество этих методов в том, что часто они позволяют достичь решения с заранее заданной точностью быстрее, а также позволяют решать большие системы уравнений. Суть этих методов состоит в том, чтобы найти неподвижную точку матричного уравнения

,

эквивалентного начальной системе линейных алгебраических уравнений. При итерации в правой части уравнения заменяется, например, в методе Якоби (метод простой итерации) приближение, найденное на предыдущем шаге:

.

Среди итерационных методов можно отметить самые популярные:

См. также

Примечания

1. ↑ В рамках данной статьи коэффициенты системы, свободные члены и неизвестные считаются действительными числами, хотя они могут быть комплексными или даже сложными математическими объектами с условием, что для них определены операции умножения и сложения.
2. ↑ Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. — 6-е изд., стер. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 280 с.
3. ↑ Вержбицкий В. М. Основы численных методов. — М.: Высшая школа, 2009. — С. 80—84. — 840 с. — ISBN 9785060061239

Ссылки

biograf.academic.ru

Система линейных алгебраических уравнений — это… Что такое Система линейных алгебраических уравнений?

Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (или, линейная система, также употребляется аббревиатура СЛА́У) в линейной алгебре — это система уравнений вида

(1)

Система линейных уравнений от трёх переменных определяет набор плоскостей. Точка пересечения является решением.

Здесь  — количество уравнений, а  — количество неизвестных. x₁, x₂, …, x_n — неизвестные, которые надо определить. a₁₁, a₁₂, …, a_mn — коэффициенты системы — и b₁, b₂, … b_m — свободные члены — предполагаются известными^[1]. Индексы коэффициентов (a_ij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно^[2].

Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b₁ = b₂ = … = b_m = 0), иначе — неоднородной.

Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Решение системы (1) — совокупность n чисел c₁, c₂, …, c_n, таких что подстановка каждого c_i вместо x_i в систему (1) обращает все её уравнения в тождества.

Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.

Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.

Решения c₁⁽¹⁾, c₂⁽¹⁾, …, c_n⁽¹⁾ и c₁⁽²⁾, c₂⁽²⁾, …, c_n⁽²⁾ совместной системы вида (1) называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:

c1(1) = c1(2), c2(1) = c2(2), …, cn(1) = cn(2).

Совместная система вида (1) называется определённой, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.

Матричная форма

Система линейных уравнений может быть представлена в матричной форме как:

или:

.

Здесь  — это матрица системы,  — столбец неизвестных, а  — столбец свободных членов. Если к матрице приписать справа столбец свободных членов, то получившаяся матрица называется расширенной.

Эквивалентные системы линейных уравнений

Системы линейных уравнений называются эквивалентными, если множество их решений совпадает, то есть любое решение одной системы одновременно является решением другой, и наоборот.

Систему, эквивалентную данной, можно получить, в частности, заменив одно из уравнений на это уравнение, умноженное на любое отличное от нуля число. Эквивалентную систему можно получить также, заменив одно из уравнений суммой этого уравнения с другим уравнением системы. В общем, замена уравнения системы на линейную комбинацию уравнений даёт систему, эквивалентную исходной.

Система линейных алгебраических уравнений

эквивалентна системе

,

где  — невырожденная матрица.

В частности, если сама матрица  — невырожденная, и для неё существует обратная матрица , то решение системы уравнений можно формально записать в виде

.

Методы решения

Прямые (или точные) методы позволяют найти решение за определённое количество шагов. Итерационные методы основаны на использовании повторяющегося процесса и позволяют получить решение в результате последовательных приближений.

Прямые методы

Итерационные методы

Итерационные методы устанавливают процедуру уточнения определённого начального приближения к решению. При выполнении условий сходимости они позволяют достичь любой точности просто повторением итераций. Преимущество этих методов в том, что часто они позволяют достичь решения с заранее заданной точностью быстрее, а также позволяют решать большие системы уравнений. Суть этих методов состоит в том, чтобы найти неподвижную точку матричного уравнения

,

эквивалентного начальной системе линейных алгебраических уравнений. При итерации в правой части уравнения заменяется, например, в методе Якоби (метод простой итерации) приближение, найденное на предыдущем шаге:

.

Среди итерационных методов можно отметить самые популярные:

См. также

Примечания

1. ↑ В рамках данной статьи коэффициенты системы, свободные члены и неизвестные считаются действительными числами, хотя они могут быть комплексными или даже сложными математическими объектами с условием, что для них определены операции умножения и сложения.
2. ↑ Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. — 6-е изд., стер. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 280 с.
3. ↑ Вержбицкий В. М. Основы численных методов. — М.: Высшая школа, 2009. — С. 80—84. — 840 с. — ISBN 9785060061239

Ссылки

dik.academic.ru