Выражения

Выражение — это любое сочетание чисел, букв и знаков операций. Можно сказать, что вся математика состоит из выражений.

Выражения бывают двух видов: числовые и буквенные.

Числовые выражения состоят из чисел и знаков математических операций. Например, следующие выражения являются числовыми:

Буквенные выражения помимо чисел и знаков операций содержат ещё и буквы. Например, следующие выражения являются буквенными:

Буквы, которые содержатся в буквенных выражениях, называются переменными. Запомните это раз и навсегда! Спросите любого школьника что такое переменная — этот вопрос поставит его в ступор, несмотря на то что он будет решать сложные задачи по математике, не зная что это такое. А между тем, переменная это фундаментальное понятие, без понимания которого математику невозможно изучать.

Под словом «изучать» мы подразумеваем самостоятельное чтение соответствующей литературы  и способность понимать, что там написано.

А то вроде и знаешь математику на четвёрку, задачи решаешь, но не можешь понять, что написано в лекциях и книгах. Каждому знакомо такое чувство, особенно студентам.

Поскольку понятие переменной очень важно, остановимся на нём подробнее. Посмотрите внимательно на слово «переменная». Ничего не напоминает? Слово «переменная» происходит от слов «меняться», «изменить», «изменить своё значение». Переменная в математике всегда выражена какой-то буквой. Например, запишем следующее выражение:

a + 5

Это буквенное выражение. Здесь одна переменная a. Поскольку она является переменной, значит может изменить свое значение в любой момент времени. Изменить значение может любой: вы, учитель, ваш товарищ, кто угодно. Например, давайте изменим значение этой переменной. Присвоим ей значение 5. Для этого запишем саму переменную, затем поставим знак равенства и запишем 5

a = 5 

Что случится в результате этого? Значение переменной a, то есть 5 отправится в главное выражение a + 5, и подставится вместо a.

Значение переменной a подставляется в исходное выражение.

В результате имеем: 5 + 5 = 10

Конечно, мы рассмотрели простейшее выражение. На практике встречаются более сложные выражения, в которых присутствуют дроби, степени, корни и скобки. Выглядит это устрашающе. На самом деле ничего страшного. Главное понять сам принцип.

В учебниках часто встречаются задания следующего содержания: найдите значение выражения x + 10, при x = 5. Такие задания как раз и требуют, чтобы вместо переменной подставили её значение. Давайте выполним это задание. Значение переменной x равно 5. Подставляем эту пятёрку в исходное выражение x + 10 и получаем 5 + 10 = 15.

Значение переменной x подставляется в выражение x + 10

Переменная это своего рода контейнер, где хранится значение. Переменные удобны тем, что они позволяют, не приводя примеров доказывать теоремы, записывать различные формулы и законы.

Вспомните второй урок «Основные операции». Чтобы понять, что такое сложение, мы привели пример 5 + 2 = 7, и сказали, что числа 5 и 2 являются слагаемыми, а число 7 — суммой. Но мы могли бы понять эту тему и без примера, если бы воспользовались буквенным выражением. Обозначили бы слагаемые любыми буквами, например a и b, а сумму обозначили бы как с. Тогда у нас получилось бы выражение с тремя переменными a + b = c, и мы бы сказали, что a и b — это слагаемые, c — сумма.

И вот, имея выражение a + b = c, можно пользоваться им, подставляя вместо переменных

a и b любые числа. А переменная c будет получать своё значение автоматически, в зависимости от того, какие числа мы подставим вместо a и b

В качестве практики можете выполнить следующее задание. Дано выражение a + b = c. Найдите его значение, если a = 10, b = 6. Переменная c получит своё значение автоматически. Ответ запишите следующим образом: при a = 10 и b = 6, переменная c равна такому-то числу.

Решение:

a + b = c

10 + 6 = 16

Ответ: при a = 10 и b = 6, переменная c равна 16.

---

Значение выражения

Фраза «выполнить действие» означает выполнить одну из операций действия. В учебниках младших классов часто можно встретить задания следующего содержания: выполнить действия, и далее перечисляются примеры, которые нужно решить. Когда перед вами подобное задание, вы сразу должны понимать, что от вас требуют решить пример. В народе это звучит как «

решить пример«, но если быть более  грамотным, то надо говорить «найти значение выражения». Решить пример и найти значение выражения это фактически одно и то же.

Например, дано выражение 10 + 6, и от нас требуют найти значение этого выражения. Это означает, что нам нужно решить данный пример. Поставить знак равенства = и записать ответ:

10 + 6 = 16

Сумма 16, которая получилась в результате и называется значением выражения 10 + 6.

Значение выражения — это результат выполнения действий, содержащихся в выражении.

Рассмотрим еще примеры:

• 16 это значение выражения 4 × 4, поскольку 4 × 4 = 16
• 20 это значение выражения 10 + 10, поскольку 10 + 10 = 20
• 5 это значение выражения 10 ÷ 2, поскольку 10 ÷ 2 = 5

---

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Найдите значение выражения 5 + x при x = 4

Задание 2. Найдите значение выражения a + 3 при a = 7

Задание 3. Найдите значение выражения a + a + a при a = 10

Задание 4. Найдите значение выражения a + b при a = 10 и b = 20

Задание 5. Найдите значение выражения b + b + b при b = 5

---

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Урок 14.

числовые выражения. порядок действий в числовых выражениях. скобки. сравнение числовых выражений — Математика — 2 класс

Математика, 2 класс

Урок № 14. Числовые выражения. Порядок действий в числовых выражениях. Скобки. Сравнение числовых выражений

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— Что такое числовые выражения?

— Как правильно читать и записывать числовые выражения?

— Как выполнять порядок действий, если есть скобки?

— Как сравнить два выражения?

Глоссарий по теме:

Числовое выражение – это запись, состоящая из чисел и знаков действий между ними.

Значение выражения – это результат выполненных действий.

Сравнить числовые выражения – найти значение каждого из выражений и их сравнить.

Скобки — парные знаки ( )

Порядок выполнения действий – это последовательность проводимых вычислений в данном выражении.

Основная и дополнительная литература по теме:

1. Моро М. И., Бантова М. А., Бельтюкова Г. В.и др. Математика. 2 класс. Учебник для общеобразовательных организаций. В 2 ч. Ч.1. –8-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – с.38-40

2. Волкова А. Д. Математика. Проверочные работы. 2 кл: учебное пособие для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение, 2017, с. 22-27

3. Глаголева Ю. И., Волкова А. Д. Математика. КИМы. 2 кл: учебное пособие для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение, Учлит, 2017, с.16

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Маша и Миша решали пример: из числа 12 вычесть сумму чисел 7 и 3. Они записали его по-разному и получили разные ответы. Маша сначала из 12 вычла 7 и получила 5, потом прибавила 3, получила 8.

Маша: 12 – 7 + 3 = 8

Миша обвёл овалом сумму чисел 7 и 3 и сначала посчитал сумму, получил 10. Затем от 12 отнял 10, получил 2.

Миша: 12 — 7 + 3 = 2

Кто из них вычислил верно? Решил верно, Миша.

В математике для обозначения действий, которые должны выполняться первыми используют специальный знак ( ) — скобки.

Запишем пример, который решали дети правильно:

12 — (7 + 3) =2

Вычислим. 7 + 3 равно 10, из 12 вычесть 10, получится 2. Запомните: действия, записанные в скобках, выполняются первыми.

Посмотрим на запись.

9 – (6 + 2) = 1

Запись, в которой разные числа (однозначные и двузначные) соединены знаками «+» и «–» в различных сочетаниях, называется числовым выражением и читается так: «из числа 9 вычесть сумму чисел 6 и 2».

Найти значение выражения – это значит, нужно выполнить все указанные действия в выражении. Значение данного выражения 1.

Теперь мы будем называть примеры числовыми выражениями, а ответы значениями числовых выражений.

9 – (6 + 2) = 1

числовое значение

выражение числового

выражения

Прочитаем выражение: 10 + (8 — 3) =

К числу 10 прибавить разность чисел 8 и 3.

Как найти значение выражения? Нужно выполнить необходимые действия. Но с какого действия нужно начинать? С того, которое записано в скобках. Находим разность чисел 8 и 3, будет 5, к 10 прибавить 5, получится 15.

10+(8-3)=15

Давайте сравним значения двух выражений:

11 — 4 и 16 — 7.

Сначала найдем значение каждого из выражений и их сравним.

11 — 4 = 7

16 — 7 = 9

7 < 9, значит, 11-4 < 16-7

Выводы: Итак, оказывается, порядок должен быть и в действиях, он так и называется «Порядок выполнения действий». Если в числовом выражении стоят скобки, это означает, что действие, которое в них записано, должно быть выполнено первым, а все остальные действия выполняют по порядку. 

Тренировочные задания.

1.Выберите правильный ответ. Как правильно прочитать данное числовое выражение: 13 – (7 + 3)?

Вариант ответов:

1. К 13 прибавить сумму чисел 7 и 3

2. Из 13 вычесть 7 плюс 3

3. Из 13 вычесть сумму чисел 7 и 3

4. Разность чисел 13 и 7 плюс 3

Правильный ответ:

3. Из 13 вычесть сумму чисел 7 и 3

2. Соотнесите числовые выражения с их значениями

3+ (16-6) 15

10-4+9 16

13-(6+4) 13

9+ (13-6) 3

Правильный ответ:

3+ (16 – 6) 13

10 – 4 + 9 15

13 – (6 + 4) 3

9 + (13 – 6) 16

Выражения в математике | О математике понятно

       Числовые и алгебраические выражения и их преобразования.

        Как работать с математическими выражениями?

        Допустим, перед вами пример. Хоть простой, хоть суперсложный (уравнение, неравенство, интеграл, производная и т.д….). Допустими, вы не Витя Перестукин и с математикой на «ты». Сможете, глядя на пример, сразу дать ответ?

        В 99% случаев — нет. Если вы не гений математической мысли, конечно.)

        Почему? А потому, что вам, так или иначе, придётся решать этот пример. Что значит «решать»? Это значит, последовательно, шаг за шагом, этот пример упрощать, добираясь до окончательного ответа. Или, по-другому, преобразовывать. Естественно, все эти фокусы (т.е. преобразования) надо проделывать по определённым правилам математики. Вот насколько успешно вы проведёте эти самые преобразования, настолько вы и сильны в математике.)

        Так вот, имейте в виду: если вы не умеете делать правильные преобразования выражений, в математике вы не сможете сделать НИЧЕГО. Вообще ничего. Грустная перспектива? Вот и я так думаю.

        Чтобы нас с вами не постигла столь печальная участь, имеет смысл разобраться в этой теме. Тем более тема достаточно простая. Разберёмся?:)

 

Что такое выражение в математике?

        Выражение в математике (или — математическое выражение) — это, фактически, язык, на котором говорит вся математика. Да-да! Какую бы задачу мы с вами ни решали (хоть простую, хоть сложную), без математических выражений — никак. Любые формулы, дроби, уравнения, неравенства, синусы, логарифмы, функции, производные, интегралы и т.д. — это всё состоит из математических выражений. Намёк понятен?)

        2+3 — это математическое выражение. a² — b² — это математическое выражение. И здоровенная дробь, и интеграл, и даже одно число или одна буковка — это всё математические выражения.

        Например, уравнение:

        3x+1 = 2x-5

состоит из двух математических выражений, соединённых знаком равенства «=» (равно).

        Неравенство:

        x²-4x+4≤0 – это тоже два математических выражения, соединённых знаком «≤» (меньше либо равно).

        Короче говоря, термин «математическое выражение» применяется, чаще всего, чтобы не мычать, как корова и не кукарекать, как петух…

        Спросят у вас, к примеру, что такое разность квадратов двух выражений. Первый вариант ответа: «Это ммммм… такая фиговина… Может, я лучше напишу разность? Вам какую?»

         А человек в теме уверенно и с блеском в глазах ответит: «Разность квадратов двух выражений — это математическое выражение, представляющее собой произведение разности этих выражений и их суммы»!

        Или: что такое квадратный корень? Квадратный корень — это математическое выражение, состоящее из подкоренного выражения и знака корня (радикала).

        Согласитесь, второй вариант ответа выглядит куда более солидно и научно.)

        Вот в таких вопросах фраза «математическое выражение» очень и очень удобна. Чтобы не объясняться на пальцах, как иностранные туристы в экзотической стране.

        Гораздо сложнее — это конкретные математические выражения и работа с ними. Это совершенно другое дело.

         Дело всё в том, что у каждого вида математических выражений имеется свой набор правил и приёмов, которому необходимо следовать при работе с ними.

        У чисел — свой набор, у буквенных выражений — свой, у дробей — свой, у всяких там синусов, логарифмов, производных, интегралов — свои наборы действий.  В каких-то наборах эти правила похожи или даже совпадают, а где-то — кардинально отличаются. Но пугаться этих жутких слов не надо. Эти страшные понятия мы с вами обязательно освоим в соответствующих разделах. А здесь мы с вами поработаем только с двумя видами математических выражений. А  именно — с числовыми выражениями и с алгебраическими выражениями.

 

Что такое числовое выражение?

        Что такое числовое выражение? Всё проще пареной репы.) Числовое выражение — это какое-то выражение с числами. Да-да, всего-навсего. Математическое выражение, составленное из цифр, знаков действий, скобок, знаков равенства/неравенства — это всё числовые выражения.

        Например:

        10-6 — числовое выражение,

        (3-2,1)·0,5 — числовое выражение.

        Или даже вот эти монстры:

        это всё числовые выражения.

        Да, в последнем примере появились специальные математические символы — радикал, значок логарифма и значок синуса. Но в этом выражении тоже нет букв. Только числа! Это самое главное.

        Короче говоря, любые числа, дроби, примеры на вычисление без иксов, игреков и прочих буковок — это всё числовые выражения. Намёк понятен?)

        В чём главный признак числового выражения? В том, что в нём нет букв. Вообще никаких. Математические значки (если надо) — пожалуйста. А вот букв — нету. Это ключевой признак.)

        Что же можно делать с числовыми выражениями? Числовые выражения, как правило, можно (и нужно) считать.  Для этого, бывает, приходится менять знаки, раскрывать скобки (или наоборот, заключать в скобки), сокращать, выносить общий множитель, раскладывать на множители т. д. То есть, делать преобразования числовых выражений. Но о преобразованиях выражений — чуть позже. Терпение, друзья.)

        А здесь мы с вами разберёмся с одним забавным случаем, когда с числовым выражением делать ничего не надо. Совсем! Эта приятная операция (ничего не делать)) производится, когда числовое выражение не имеет смысла.

        Понятное дело, что если мы с вами напишем какую-то белиберду типа 4+)-(=), то делать ничего и не будем. Ибо непонятно, что с этим делать. Ну, разве посчитать количество скобочек.)

        Однако, попадаются в математике и внешне вполне себе благопристойные выражения.

        Например, такое:

       Однако это числовое выражение тоже не имеет смысла. Почему? А потому, что если выписать отдельно знаменатель дроби да посчитать, получается ноль. На который делить нельзя. Нет такой операции в математике!

        Или вот такое:

        И это выражение тоже не имеет смысла! Догадались? А вы посчитайте, что под корнем получится. ) Минус единичка там получится. А извлекать квадратный корень из отрицательных чисел в средней школе не учат (а вот в ВУЗе — пожалуйста). Это тоже запретное действие в (школьной) математике.

        Конечно, чтобы сделать такое умозаключение, пришлось потрудиться и посчитать, что в знаменателе да под корнем получится. А в примерах может быть такого понаворочено, что… Тут уж ничего не поделаешь.)

        Короче говоря, числовое выражение не имеет смысла тогда, когда в результате преобразований этого самого выражение получается запретное действие. Запретных действий в математике не так уж много: это деление на ноль, извлечение корня чётной степени из отрицательного числа, ограничения в логарифмах, в тригонометрии и в арках. Это обсуждается в соответствующих темах.

        Итак, что такое числовое выражение — вникли (надеюсь).

        Когда числовое выражение не имеет смысла — осознали.

        Пора двигаться на следующий уровень.)

 

Что такое алгебраическое выражение?

           Если в игру дополнительно вступают буквы, то выражение становится… Да! Оно становится алгебраическим выражением!

           Например:     

           a+6, x+y, 2a/b, c² + 9, x²+2x+1

           В общем, вы поняли…

           Понятие алгебраическое выражение — более широкое, чем числовое. Почему? Потому, что в понятие алгебраические выражения входят и все числовые тоже. То есть, любое числовое выражение — это и алгебраическое выражение. Только без букв. Типа всякий русский — россиянин, но не всякий россиянин — русский.)

        Такие выражения ещё называют выражениями с переменными. Или просто буквенными выражениями. Почему буквенное — ясно, надеюсь. Ну, раз буквы есть.) Фраза «выражение с переменными» тоже не требует особого умственного напряжения. Если, конечно, понимать, что под буквами могут скрываться различные числа. Всякие могут скрываться: и 5, и -30 — всё что угодно. То есть, букву в алгебраическом выражении можно заменять на разные числа. Какие хотим.

        В выражении х+6, например, буква икс — переменная величина. Или коротко — переменная. В отличие от шестёрки, которая — величина постоянная. Или коротко — постоянная.

        Что означает термин «алгебраическое выражение»? Он означает, что, в отличие от арифметики, (которая, как известно, работает только с числами), мы должны использовать законы и правила алгебры. Непонятно? Поясняю на несложном примере:

         2·3 = 3·2

         Что можно сделать? Посчитать и всего делов-то.) Слева шестёрка и справа тоже. А для каких-нибудь других чисел такое выполняется? Тоже можно посчитать и сравнить. Но чисел в математике — бесконечное количество. И что же? Каждый раз считать и сравнивать?!

         А вот если мы шагнём из арифметики в алгебру и распишем данное равенство через алгебраические выражения:

         ab = ba,

         то мы сразу решим все вопросы! Для всех чисел махом! Мощная штука — алгебра.)

 

           А когда алгебраическое выражение не имеет смысла? Что такое ОДЗ?

        С числовыми выражениями всё ясно. Там на ноль делить нельзя да корни извлекать из отрицательных чисел, ну и некоторые другие логарифмические/тригонометрические фишки. А тут как узнаешь, на что делим или из чего извлекаем…

        Очень просто! Точно так же!

        Возьмём, к примеру, алгебраическое выражение:

        

        Имеет ли оно смысл? Бэ-то любое число… Любое-то любое… Но есть среди этого бесконечного набора чисел такое значение b, при котором это выражение точно не имеет смысла. Догадались? Да! Это единичка (b=1). Если в знаменателе дроби заменить переменную b (как по-школьному говорят «подставить») на единичку, то в знаменателе нолик получится. На который делить нельзя. Вот и получается, что наше выражение имеет смысл при любом b, кроме единички.

        А остальные b подставлять можно? Конечно! Хоть 5 возьмите, хоть -100 — наше выражение иметь смысл будет. В таких случаях говорят, что выражение имеет смысл при любом b , кроме 1.

        И вот этот самый весь остальной набор чисел, которые можно подставлять в данное выражение, и который не приводит к запретному действию, в математике называется областью допустимых значений (ОДЗ) выражения. В нашем примере областью допустимых значений (ОДЗ) служат все числа, кроме единички.

        Другой пример:

        

        Видим квадратный корень. Сразу соображаем (из теории, т.е. основ), что корень квадратный извлекается только из положительных чисел и нуля. А вот из отрицательных — ни в какую!

        Вот и обезопасим себя вот такой записью:

        x-2≥0

        x≥2

        Таким образом, данный хитрое выражение имеет смысл лишь при иксах, больших (или равных) двойке. Число, скажем, 3, вполне себе прокатит, а вот ноль — никак нет: он меньше двойки. ОДЗ — штука жёсткая!

         Уловили принцип? Внимательно смотрим на выражение с переменными, ищем опасные места и смотрим, при каких переменных получается запретная операция. И исключаем эти значения из ОДЗ.

         А потом внимательно читаем задание. Чего хотят-то? Внимательное чтение никто не отменял, да… Если в задании спрашивают, при каких значениях переменной выражение имеет смысл, то ответом будут служить все значения, кроме запретных.

         Или наоборот: при каких значениях переменных выражение не имеет смысла? Тогда найденные запретные значения и будут служить ответом к заданию. Почувствуйте разницу, что называется.)

         А теперь вопрос к размышлению. А зачем нам смысл выражения? Есть он, нет его… Какая разница? Дело всё в том, что это понятие становится крайне важным в старших классах! Да и в ВУЗе тоже. Без этого важного понятия вы не сможете проделывать такие простые операции, как нахождение области определения функции, ОДЗ уравнений, неравенств. Что неизбежно будет приводить к полному провалу и непониманию всех этих серьёзных тем. Увы.)

 

        Итак, самое главное из сегодняшнего урока:

        1. Числовое выражение — это выражение с числами (т.е. без букв).

        2. Если, помимо чисел, в выражении есть буквы, то оно называется алгебраическим выражением.

        3. Как числовое, так и алгебраическое выражение, может иметь смысл, а может и не иметь. При встрече с алгебраическим выражением первым делом ищем его ОДЗ.

        4. Все допустимые значения переменной (переменных), не приводящих к запретному действию, составляют Область Допустимых Значений (ОДЗ) алгебраического выражения. При необходимости ищем её!

 

        Ну а в различных видах преобразований выражений мы с вами подробненько разберёмся и плотно поработаем в следующих уроках этого раздела.)

примеры, значение, числовое равенство, правила

 

Запись, которая состоит из чисел, знаков и скобок, а также имеет смысл, называется числовым выражением.

Например, следующие записи:

• (100-32)/17,
• 2*4+7,
• 13,
• 4*0.7 -3/5,
• 1/3 +5/7

будут являться числовыми выражениями. Следует понимать, что одно число тоже будет являться числовым выражением. В нашем примере, это число 13.

А, например,  следующие записи

не будут являться числовыми выражениями, так как они лишены смысла и являются просто набором чисел и знаков.

Значение числового выражения

Так как в качестве знаков в числовых выражениях входят знаки арифметических действий, то мы можем посчитать значение числового выражения. Для этого необходимо выполнить указанные действия.

Например, 

(100-32)/17 = 4, то есть для выражения (100-32)/17 значением этого числового выражения будет являться число 4.

 2*4+7=15, число 15 будет являться значением числового выражения 2*4+7.

Часто для краткости записи не пишут полностью значение числового выражения, а пишут просто «значение выражения», опуская при этом слово «числового».

Числовое равенство

Если два числовых выражения записаны через знак равно, то эти выражения образуют числовое равенство. Например,  выражение 2*4+7=15 является числовым равенством.

Как уже отмечалось выше, в числовых выражениях могут использоваться скобки. Как уже известно скобки влияют на порядок действий.

Вообще, все действия разделены на несколько ступеней.

• Действия первой ступени: сложение и вычитание.
• Действия второй ступени: умножение и деление.
• Действия третей ступени – возведение в квадрат и возведение в куб.

Правила при вычислении значений числовых выражений

При вычислении значений числовых выражений следуют руководствоваться следующими правилами.

• 1. Если выражение не имеет скобок, то надо выполнять действия начиная с высших ступеней: третья ступень, вторая ступень и первая ступень. Если имеется несколько действий одной ступени, то их выполняют в порядке в котором они записаны, то есть слева на право.
• 2. Если в выражении присутствуют скобки, то сначала выполняются действия в скобках, а лишь затем все стальные действия в обычном порядке. При выполнении действий в скобках, если их там несколько, следует пользоваться порядком описанным в пункте 1.
• 3. Если выражение представляет собой дробь, то сначала вычисляются значении в числителе и знаменателе, а потом числитель делится на знаменатель.
• 4. Если в выражении присутствуют вложенные скобки, то выполнять действия следует с внутренних скобок.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Наименьшее общее кратное (НОК): определение, как найти, общая схема
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspВыражения с переменными: разбираем пример с фокусом

Числовые и буквенные выражения. Формула

              Числовые и буквенные выражения.

Формула

Сложение, вычитание, умножение, деление — арифметические действия (или арифметические операции). Этим арифметическим действиям соответствуют знаки арифметических действий:

+ (читаем «плюс«)          —   знак операции сложения,

— (читаем «минус«)         —  знак операции вычитания,

∙ (читаем «умножить«)    —  знак операции умножения,

: (читаем «разделить«)   —  знак операции деления.

Запись, состоящая из чисел, связанных между собой знаками арифметических действий, называется числовым выражением. В числовом выражении могут присутствовать также скобки Например, запись 1290 : 2 – (3 + 20 ∙ 15) является числовым выражением.

Результат выполнения действий над числами в числовом выражении называется значением числового выражения. Выполнение этих действий называется вычислением значения числового выражения. Перед записью значения числового выражения ставят знак равенства «=». В таблице 1 приведены примеры числовых выражений и их значений.

Запись, состоящая из чисел и малых букв латинского алфавита, связанных между собой знаками арифметических действий называется буквенным выражением. В этой записи могут присутствовать скобки.  Например, запись a + b –  3 ∙ c является буквенным выражением. Вместо букв  в буквенное выражение можно подставлять различные числа. При этом значение букв может изменяться, поэтому буквы в буквенном выражении называют еще переменными.

Подставив в буквенное выражение числа  вместо букв   и  вычислив значение получившегося числового выражения, находят значение буквенного выражения при данных значениях букв (при данных значениях переменных). В таблице 2 приведены примеры буквенных выражений.

Буквенное выражение может не иметь значения,  если при подстановке   значений букв получается  числовое выражение, значение которого для натуральных чисел не может быть найдено.  Такое числовое выражение называется некорректным для натуральных чисел. Говорят также, что значение такого выражения «не определено» для натуральных чисел, а само выражение «не имеет смысла». Например, буквенное выражение a –  b  не имеет значения  при a = 10 и b = 17. Действительно, для натуральных чисел, уменьшаемое не может быть меньше вычитаемого. Например, имея  всего 10 яблок (a = 10),  нельзя отдать из них 17  (b = 17)! 

В таблице 2 (колонка 2) приведён пример буквенного выражения. По аналогии заполните таблицу полностью.

Для натуральных чисел выражение 10 -17 некорректно (не имеет смысла), т.е. разность 10 -17 не может быть выражена натуральным числом. Другой пример: на ноль делить нельзя, поэтому для  любого натурального  числа b, частное b : 0 не определено.

 Математические законы, свойства, некоторые правила и соотношения часто записывают в буквенном виде (т.е. в виде буквенного выражения). В этих случаях буквенное выражение называют формулой. Например, если стороны семиугольника равны  a, b, c, d, e, f, g,  то формула (буквенное выражение) для вычисления его периметра p имеет вид:                           

                                                       
         

p = a + b + c + d + e + f + g

При  a = 1, b = 2, c = 4, d = 5, e = 5, f = 7, g = 9, периметр семиугольника p = a + b + c + d + e + f + g = 1 + 2 + 4 + 5 +5 + 7 + 9 = 33.

При  a = 12, b = 5, c = 20, d = 35, e = 4, f = 40, g = 18, периметр другого  семиугольника  p = a + b + c + d + e + f + g = 12 + 5 + 20 + 35 + 4 + 40 + 18 = 134.

 

 

Блок 1. Словарь

Составьте словарь новых терминов и определений из параграфа.  Для этого в пустые клетки впишите  слова из списка терминов, приведенного ниже. В таблице (в конце блока) укажите номера терминов в соответствии с номерами рамок. Рекомендуется перед заполнением  клеток словаря еще раз внимательно просмотреть параграф.

1. Операции: сложение, вычитание, умножение, деление.

     

      2.Знаки «+» (плюс), «-» (минус), «∙» (умножить,  «:» (разделить).

    

      3.Запись, состоящая из чисел, которые связанны между собой знаками арифметических действий и в которой могут присутствовать также скобки.   

   

       4.Результат выполнения действий над числами в числовом выражении.

    

       5. Знак, стоящий перед  значением числового выражения.

    

      6. Запись, состоящая из чисел и малых букв латинского алфавита, связанных между собой знаками арифметических действий (могут присутствовать также скобки).

    

      7. Общее название букв в буквенном выражении.

    

      8. Значение числового выражения, которое получается при подстановке переменных.в буквенное выражение.

   

     9.Числовое выражение, значение которого для натуральных чисел не может быть найдено.

    

     10. Числовое выражение, значение которого для натуральных чисел может быть найдено.

 

     11. Математические законы, свойства, некоторые правила и соотношения, записанные в буквенном виде.

  

     12. Алфавит, малые буквы которого используются для записи буквенных выражений.

   

 

 

 

Блок 2. Установите соответствие

Установите соответствие между заданием  в левой колонке и решением в правой. Ответ запишите в виде:   1а,   2г,    3б…

 

Блок 3. Фасетный тест. Числовые и буквенные выражения

 Фасетные тесты заменяют сборники задач по математике, но выгодно отличаются от них тем, что  их можно решать на компьютере, проверять решения и  сразу узнавать результат работы. В этом тесте содержится 70 задач. Но  решать задачи можно по выбору, для этого есть оценочная таблица, где указаны простые задачи и посложнее. Ниже приведён тест.

16. Дан треугольник со сторонами c, d, m, выраженными в см
17. Дан четырехугольник со сторонами b, c, d, m, выраженными в м
18. Скорость автомобиля в км/ч равна b, время движения в часах равно d
19. Расстояние, которое преодолел турист за m часов, составляет с км
20. Расстояние, которое преодолел турист, двигаясь со скоростью m км/ч, составляет b км
21. Сумма двух чисел больше второго числа на 15
22. Разность меньше уменьшаемого на 7
23. Пассажирский лайнер имеет две палубы с одинаковым количеством пассажирских мест. В каждом  из рядов  палубы m мест, рядов на палубе  на n больше, чем мест в ряду
24. Пете m лет Маше n лет, а Кате на k лет меньше, чем Пете и Маше вместе
25. m = 8,  n = 10,   k = 5
26. m = 6, n = 8,     k = 15
27.  t = 121,  x = 1458

    

 

ТО:

30. Значение данного выражения
31. Буквенное выражение для периметра имеет вид
32. Периметр, выраженный в сантиметрах
33. Формула пути s, пройденного автомобилем
34. Формула скорости v, движения туриста
35. Формула времени t, движения туриста
36. Путь, пройденный автомобилем в километрах
37. Скорость туриста в километрах в час
38. Время движения туриста в часах
39. Первое число равно…
40. Вычитаемое равно….
41. Выражение для наибольшего количества пассажиров, которое может перевезти лайнер за k рейсов
42. Наибольшее количество пассажиров, которое может перевезти лайнер за k рейсов
43. Буквенное выражение для возраста Кати
44. Возраст Кати
45. Координата точки В, если координата точки С равна t
46. Координата точки D, если координата точки С равна t
47. Координата точки А, если координата точки С равна t
48. Длина отрезка BD на числовом луче
49. Длина отрезка CА на числовом луче
50. Длина отрезка DА на числовом луче

Ответы (равно, имеет вид, не определено):

а)1;  б) s=b ∙d;  в) 9;   г) 40;   д) b + c + d + m;  е) 7;   ж) выражение не имеет смысла (некорректно) для натуральных чисел;   з) 2 ∙ m (m + n) ∙ k;   и) (m + n) – k;   к) 6;   л) 15;       м) 3760;   н) t –  3;  о) фигура не может быть  треугольником;   п) 22;    р) t – 3 ∙ 7;   с) 0;   т) 32;   у) 59600;   ф) 6019;   х) 2880;  ц) 10378;  ч)1440;   ш) на ноль делить нельзя;  щ) 13;   ы) 1800;  э) 496;  ю) 2;   я) 12;   аа) 14;   бб) 5;   вв) 35;    дд)  79200;   ее) 1900;   жж) 118;     зз) 18;   ии) 12800;  кк) 98;   лл) 1458;   мм) v = c : m;   нн) 100;   оо) 19900;   пп) t = b : m; рр) 2520;   сс) c + d + m;   тт) x;   уу) 1579;   фф) t + 2;   хх) 10206;   цц) 135;   чч) t + 2 ∙ 7; шш) 7 ∙ x;   щщ) x – 2;   ыы) 7 ∙ x – 2 ∙ 7;   ээ)  t + x ∙ 7;   юю) 10192;   яя) t + x;   ааа) 123;       ббб) 1456;   ввв) 10327.

 

ПОКАЗАТЕЛИ ТЕСТА. Число задач 70,  время выполнения 2 – 3  часа,  сумма баллов: 1 ∙ 22 + 2 ∙ 24 + 3 ∙ 24 = 142. Для фасетного теста можно использовать  следующую шкалу оценок.

Блок 4. Давайте поиграем

 Блок 5. Обучающая игра «Уроки кота Леопольда»

 

 

Для учителя приводим ответы к блокам параграфа 6

Ответы к игре «Уроки Леопольда»

Западня 1 : 1/2, 1/3, 2/3, 7/8.  Западня 2. 12, 2, 13 5. Западня 3.  6

Западня 4. 15.              Западня 5. 396

 

 Блок 1.  Словарь

 

Блок 2. Установите соответствие.

Вариант 1: 1и, 2з, 3е, 4б, 5м, 6л, 7а, 8ж, 9в, 10д, 11г, 12к, 13т, 14н, 15ф, 16о, 17у, 18с, 19р, 20п

Вариант 2: 1д, 2е, 3к, 4а, 5г, 6з, 7и, 8б, 9ж, 10в

 

Блок 3. Фасетный тест. Числовые и буквенные выражения (ответы под заданиями)

Ответы к игре «Сокровища»

Деревянный – 10250. Оловянный – 21640. Медный – 50400. Серебряный – 191000. Золотой – 289800.

Названия математических выражений | Алгебра

Все математические выражения именуются по действию, которое должно быть выполнено последним.

Именование выражений

Если в алгебраическом выражении последнее по порядку действие является сложением, то выражение называется суммой. Например, выражения:

a + b,    ab + 5,    a² + b²,    a + b(x + y)  — это суммы.

Если последним действием является вычитание, то выражение называется разностью. Например, выражения:

27 — a,    a² — b²,    a — b(x + y)  — это разности.

Если в выражении последним действием является умножение, то такое выражение называется произведением. Например, выражения:

ab,    (a — b)c,    a³b³  — это произведения.

Произведение, составленное из нескольких букв, принято записывать с соблюдением алфавитного порядка. Например, вместо  b⁴a³c²  пишут  a³b⁴c².

Если в выражении последним действием является деление, то такое выражение называется частным. Например, выражения:

  — это частные.

Если в выражении последним действием является возведение в степень, то такое выражение называется степенью. Например, выражения:

a³,    (a — b)²,    (ab)⁴  — это степени.

Если последним действием является возведение во вторую степень, то выражение называется квадратным, а если в третью, то кубом.

Полные словесные формулировки

• a² + b²  — сумма квадратов чисел  a  и  b.
• (a + b)²  — квадрат суммы чисел  a  и  b.
• (a + b)(a — b)  — произведение суммы чисел  a  и  b  на их разность.
• a³ — b³  — разность кубов чисел  a  и  b.
• (a — b)³  — куб разности чисел  a  и  b.
• (a + b)ⁿ  —  n-я  степень суммы чисел  a  и  b.
•   — частное от деления суммы квадратов чисел  a  и  b  на произведение чисел  x  и  y.
• 3a²b  — утроенное произведение квадрата числа  a  на число  b.

Обратите внимание на то, что полное название выражения  a² + b²  мы начали со слова сумма, потому что в этом выражении последним действием является сложение. Полное название выражения  (a + b)²  мы начали со слова квадрат, потому что в этом выражении последним действием является возведение в квадрат. Полное название выражения  a² — b²  мы должны начинать со слова разность, а выражение  a²b²  — со слова произведение.

Если бы последним действием было бы деление, то мы должны были бы начинать формулировку со слова частное.

Числовые, буквенные выражения и выражения с переменными: определения, примеры

В математике принято использовать свои обозначения. Запись условий задач с их помощью приводит к появлению так называемых математических выражений. Можно говорить про числовые, буквенные  выражения и математические выражения с переменными. Для удобства и одни, и вторые и третьи называются просто выражениями. В этой статье мы дадим определения и по порядку рассмотрим каждый тип математических выражений.

Числовые выражения

С самый первых уроков математики школьники начинают знакомство с числовыми выражениями. Выражение содержит числа, и действия над этими числами. Возьмем простейшие примеры для счета: 5+2; 3-8; 1+1. Все это — числовые выражения. Если выполнить действия, указанные в выражении, то получится его значение.

Конечно, числовые выражения содержат не только знаки «плюс» и «минус». Они могут включать деление и умножение, содержать скобки, степени, корни, логарифмы и состоять из нескольких действий.

Учитывая все сказанное, дадим определение. Что такое числовое выражение?

Определение. Числовое выражение

Числовые выражения — это комбинация чисел, арифметических действий, знаков дробных черт, корней, логарифмов, тригонометрических и других функций, а также скобок и иных математических символов. 

Числовым выражением считается только та комбинация, которая составлена с учетом математических правил.

Поясним данное определение.

Во-первых, числа. Математическое выражение может содержать любые числа. Это значит, что в математическом выражении можно встретить:

• натуральные числа: 6, 173, 9,
• целые числа: 18, 0, 64,
• рациональные числа:
  обыкновенные дроби 13, 34,
  смешанные числа 618, 8957,
  периодические и непериодические десятичные дроби 9,78, 8,556
• иррациональные числа: π, e, 
• комплексные числа: i=-1.

Во-вторых, арифметические действия. то известные нам еще из курса начальной школы сложение, умножение, вычитание и деление. Знаки «+», «-«, «·» и «÷» могут присутствовать в выражении не один раз. Вот пример такого числового выражения: 12+4-3+3÷1·8·6÷2.

деление в выражениях может присутствовать как в виде знака, так и в виде дробной черты. 

Скобки в числовых выражениях

• указывают порядок выполнения действий: 5-2,5+5*0,25;
• используются для записи отрицательных чисел: 5+(-2);
• отделяют аргумент функции: sinπ2-π3;
• отделяют показатель степени: 2-1,32

Есть и специальные значения для записи скобок. Например, запись 1,75+2 означает, что к целой части числа 1,75прибавляется число 2. 

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Согласно определению,  числовые выражения могут содержать степени, корни, логарифмы, тригонометрические и обратные тригонометрическим функции. Приведем пример такого числового выражения: 

В качестве примера использования в числовых выражениях специальных знаков, можно привести знак модуля. 

-225·6+-5-8·2

Буквенные выражения

После знакомства с числовыми выражениями можно вводить понятие буквенных выражений. Интуитивно понятно, что в них вместо чисел используются буквы. Но обо всем по порядку. 

Запишем числовое выражение, но вместо одного числа оставим пустой квадратик.

3+□

В квадратик мы можем вписать любое число. Например, 2, или 1032.

3+2; 3+1032.

Если условится записывать вместо числа в квадратике букву a, означающую данное число, то мы получим буквенное выражение:

3+a

Определение. Буквенное выражение

Выражение, в котором буквы заменяняют некоторые цифры, называется буквенным выражением. Буквенное выражение должно содержать по крайней мере одну букву.

Принципиальная разница числового и буквенного выражений в том, что первое не может содержать букв. В буквенных выражениях чаще всего используются маленькие буквы латинского алфавита a, b, c.. или маленькие греческие буквы α, β, γ.. и т.д.

Приведем пример сложного буквенного выражения.

x3+2-4·x5+4xy+8y238-4×2·arccosα+13×2+2y-1

Выражения с переменными

В рассмотренных выше буквенных выражениях буква обозначала какое-то конкретное числовое значение. Величина, которая может принимать ряд различных значений, называется переменной. Выражение с такой величиной, соответственно, называются выражением с переменной.

Определение. Выражения с переменными

Выражение с переменной — выражение, в котором все или некоторые буквы обозначают величины, принимающие различные значения.

Пусть переменная x  принимает натуральные значения из интервала от 0 до 10. Тогда выражения x2-1 есть выражение с переменной, а x — переменная в этом выражении.

В выражении может быть не одна, а несколько переменных. Например, при переменных x и yвыражение x3·y+y22-1 представляет собой выражение с двумя переменными.

Вообще буквенные выражения и выражения с переменными позволяют посмотреть на задачу вне контекста конкретных чисел, то есть более широко. Они широко используются в математическом анализе для формулировок и доказательств.

Внешний вид буквенного выражения не позволяет узнать, являются входящие в него буквы переменными, или нет. Для этого нужно знать условия конкретной задачи, описываемой выражением. Вне контекста ничто не мешает считать входящие в выражение буквы переменными. Таким образом, разница между понятиями «буквенное выражение» и «выражение с переменными» нивелируется.

Что такое выражение? [Определение, факты и пример]

Учитесь с помощью полной программы обучения математике K-5

Что такое выражение?

Выражение — это предложение, состоящее как минимум из двух чисел и как минимум одной математической операции. Эта математическая операция может быть сложением, вычитанием, умножением и делением. Структура выражения:

Выражение = (число, математический оператор, число)

Например ,

= 7 + 9

= 23 × 4

= 37 — 6

= 25 + 9 — 4 ÷ 2

Во всех данных выражениях между двумя числами используется математический оператор.

Математическое выражение отличается от математического уравнения. В уравнении всегда будет использоваться эквивалентный оператор (=) между двумя математическими выражениями.

Например,

= 25 + 7 = 64 ÷ 2

= 20 × 5 = 102

Структура определения математических выражений улучшается в разных классах. В младших классах дети должны писать математические выражения, используя числа и операторы. Позже слова помогают учащимся сформировать математическое выражение.

Давайте рассмотрим проблему со словами.

Том должен наполнить ящик апельсинами и яблоками. Количество яблок должно быть на 5 больше, чем апельсинов. Том каждый раз выбирает 3 апельсина и повторяет это 5 раз. Подсчитайте общее количество апельсинов и яблок.

Чтобы решить эту проблему, сформулируйте математические выражения следующим образом:

= Количество апельсинов = 3 × 5

= Количество апельсинов = 15

Количество яблок = Количество апельсинов + 5

= Количество яблок = 15 + 5

= Количество яблок = 20

Общее количество фруктов = Количество апельсинов + Количество яблок

Третье математическое выражение будет:

= 15 + 20

= 35

Заявка

Знание применения математических операций над числами — это первый шаг к построению у детей основ арифметических рассуждений и логики.Формулирование математических выражений с использованием соответствующих навыков закладывает прочную основу для изучения алгебры и преобразования реальных задач в подходящие математические модели.

Интересные факты

Что такое выражения в математике? — Определение, типы, примеры, практические вопросы

Выражения — это математические утверждения, содержащие как минимум два члена, содержащие числа или переменные, или и то, и другое, соединенных оператором между ними.Математические операторы могут быть сложения, вычитания, умножения или деления. Например, x + y — это выражение, где x и y — это члены, между которыми находится оператор сложения. В математике есть два типа выражений: арифметические выражения, которые содержат только числа; и алгебраические выражения, содержащие как числа, так и переменные.

Что такое выражение в математике?

Выражение в математике — это предложение, содержащее как минимум два числа и как минимум одну математическую операцию в нем.Давайте разберемся, как писать выражения. Число на 6 больше, чем половина другого числа, а второе число — x. Этот оператор записывается как \ (\ dfrac {x} {2} +6 \) в математическом выражении. Математические выражения используются для решения сложных головоломок.

Определение выражения : Выражение — это комбинация терминов, которые объединяются с помощью математических операций, таких как вычитание, сложение, умножение и деление.

• Константа — это фиксированное числовое значение.
• Переменная — это символ, не имеющий фиксированного значения.
• Термин может быть единственной константой, единственной переменной или комбинацией переменной и константы в сочетании с умножением или делением.

Пример выражения

Есть бесконечное количество примеров выражения. Например, 2y-9, 3a × 2, -7 + 6 ÷ 3 и т. Д. Давайте также посмотрим на реальный пример. Сара сказала своему младшему брату Дэниелу, что ее возраст на 3 года больше его возраста. Она попросила его вычислить ее возраст, если ему x лет.Поможем ему написать выражение. Дважды возраст Даниила можно записать как 2x. Сейчас Сары возраст в 3 раза больше, чем в 2 раза. Следовательно, возраст Сары будет записан как 2x + 3.

Типы выражений

Есть три основных типа математических выражений. На основе имеющихся в них терминов их можно классифицировать как арифметические выражения, дробные выражения и алгебраические выражения. Давайте узнаем больше о каждом из них с помощью приведенной ниже таблицы:

Типы математических выражений	Определение выражения	Список математических выражений
Арифметическое выражение	Содержит только числа и математические операторы	40-5 + 2
Дробное выражение	Содержит дробные числа и математические операторы	\ (\ dfrac {5} {3} — \ dfrac {7} {6} \)
Алгебраическое выражение	Содержит переменные, числа и математические операторы	3x + 2 года

Теперь алгебраические выражения подразделяются на одночлены, двучлены, трехчлены и т. Д.Их также называют полиномами. Давайте посмотрим на типы алгебраических выражений в таблице ниже:

Категория	Определение выражения	Примеры
Мономин	Выражение, состоящее из одного члена с неотрицательными целыми экспоненциальными числами.	2×2
Биномиальное	Выражение, образованное сложением или вычитанием двух одночленов.	2×2 + 5xy
Трехчлен	Выражение, образованное сложением или вычитанием трех одночленов.	2×2 + 5xy + 4yz
Полином	Выражение, состоящее из одного или нескольких одночленов.	2×2 + 5xy + 4yz + 2y + 3

Выражение против уравнения

В математике выражения и уравнения — это два разных понятия. Давайте попробуем понять разницу между ними. Выражение может быть числом, переменной или комбинацией чисел и переменных, связанных математическими операторами, то есть сложением, вычитанием, умножением и делением.С другой стороны, уравнение — это отношение равенства между двумя выражениями. Чтобы лучше понять это, посмотрите таблицу, приведенную ниже:

Выражение	Уравнение
Выражения только односторонние.	Уравнения двусторонние (левая и правая)
Выражения можно упростить, чтобы получить числовой ответ.	Уравнения можно решить, чтобы проверить равенство или найти пропущенные значения.
Выражение — это комбинация терминов, между которыми находятся операторы.	Уравнение — это комбинация двух выражений, между которыми стоит знак «равно» (=).
Пример: 3x-8	Пример: 3x-8 = 16

Посмотрите еще несколько примеров выражений и уравнений на рисунке ниже:

Упрощающее выражение

Выражения можно упростить, чтобы сформировать ответ.Например, 3 + 6-2 — это выражение, которое можно упростить до 7. Есть два разных способа упростить арифметические выражения и алгебраические выражения. Мы используем правило BODMAS (правило PEMDAS), чтобы упростить их. В случае алгебраических выражений подобные термины могут быть добавлены или вычтены для упрощения. Подобные термины — это те, у которых одна и та же переменная возведена в одинаковую степень. Таким образом, мы можем легко добавить или вычесть два или более одинаковых члена, добавив их коэффициенты. Например, 2x + 5x приводит к 7x, тогда как 7ab-b — это выражение, содержащее два разных термина, которые нельзя складывать.

В случае выражений, содержащих несколько терминов и операторов, мы применяем правило PEMDAS (правило BODMAS). Например, давайте упростим 23 — 6 + 7 × 3. Здесь, поскольку нет скобок и экспонент, мы сначала вычислим 7 × 3, что равно 21. Теперь выражение 23-6 + 21. Теперь есть два оператора: сложение и вычитание. Поскольку оба являются операциями одного уровня, а вычитание сначала выполняется с левой стороны, мы вычтем 6 из 23, то есть 17. Теперь наше выражение стало 17 + 21, что приводит к 38, а 38 — это упрощенное значение выражения 23 — 6 + 7 × 3.

Важные примечания:

• Выражение состоит из 3 частей: константы, переменной и члена.
• Есть 3 типа выражений: арифметические, дробные и алгебраические.
• Полином — это тип выражения переменной.

Темы выражений

Прочтите следующие статьи, чтобы узнать больше об определении выражения.

---

Часто задаваемые вопросы по Expression

Как определить одинаковые термины в математических выражениях?

Как и в терминах, в выражении одни и те же переменные возведены в одинаковую степень.Например, 5x, −x и −3x — одинаковые термины.

Как написать выражение?

Мы пишем выражение, используя числа или переменные и математические операторы: сложение, вычитание, умножение и деление. Например, выражение математического утверждения «4 прибавлено к 2» будет 2 + 4.

Что такое числовое выражение?

Числовое выражение состоит из чисел и операторов. Примеры числовых выражений: 8-7, 3 + 6 × 7-3 и т. Д.

Сколько терминов в выражении?

В выражении может быть любое количество терминов. Выражение — это математическая фраза, состоящая из терминов, разделенных операторами между ними. Итак, у нас может быть выражение с 1 термином, 2 терминами, 3 терминами или n количеством терминов.

В чем разница между математическим выражением и алгебраическим выражением?

Обычно математические выражения или числовые выражения содержат только числа и операторы, в то время как алгебраические выражения содержат как числа, так и переменные в терминах, разделенных операторами между ними.

Можете ли вы решить выражение?

Поскольку выражения не имеют знака «равно» (=), мы не можем их решить. Мы можем только упростить выражения и найти их сокращенный вид с помощью заданных математических операторов.

Алгебраические выражения — объяснения и примеры

Алгебра — интересный и увлекательный раздел математики, в котором числа, фигуры и буквы используются для выражения задач. Независимо от того, изучаете ли вы алгебру в школе или сдаете какой-то тест, вы заметите, что почти все математические задачи представлены словами.

Следовательно, необходимость переводить письменные текстовые задачи в алгебраические выражения возникает тогда, когда нам нужно их решить.

Большинство алгебраических задач на слова состоят из рассказов или случаев из реальной жизни. Другие — простые фразы, такие как описание математической задачи. В этой статье вы узнаете, как написать алгебраических выражений из простых задач со словами, а затем перейти к легко сложным задачам со словами.

Что такое алгебраическое выражение?

Многие люди попеременно используют алгебраические выражения и алгебраические уравнения, не подозревая, что это совершенно разные термины.

Алгебраика — это математическая фраза, в которой две стороны фразы соединены знаком равенства (=). Например, 3x + 5 = 20 — это алгебраическое уравнение, где 20 представляет собой правую часть (RHS), а 3x +5 представляет собой левую часть (LHS) уравнения.

С другой стороны, алгебраическое выражение — это математическая фраза, в которой переменные и константы объединяются с помощью рабочих символов (+, -, × & ÷). В алгебраическом символе отсутствует знак равенства (=). Например, 10x + 63 и 5x — 3 являются примерами алгебраических выражений.

Давайте рассмотрим терминологию, используемую в алгебраических выражениях:

• Переменная — это буква, значение которой нам неизвестно. Например, x — это наша переменная в выражении: 10x + 63.
• Коэффициент — это числовое значение, используемое вместе с переменной. Например, 10 — это переменная в выражении 10x + 63.
• Константа — это термин, имеющий определенное значение. В этом случае 63 — это константа в алгебраическом выражении 10x + 63.

Существует несколько типов алгебраических выражений, но основной тип включает:

• Мономиальное алгебраическое выражение

Этот тип выражения имеет только один член, например, 2x, 5x ² , 3xy и т. Д.

Алгебраическое выражение, имеющее два отличных друг от друга члена, например 5y + 8, y + 5, 6y ³ + 4 и т. Д.

Это алгебраическое выражение с более чем одним членом и ненулевыми показателями переменных.Пример полиномиального выражения: ab + bc + ca и т. Д.

Другие типы алгебраических выражений:

Числовое выражение состоит только из чисел и операторов. В числовое выражение не добавляется никакая переменная. Примеры числовых выражений: 2 + 4, 5-1, 400 + 600 и т. Д.

Это выражение содержит переменные вместе с числами, например 6x + y, 7xy + 6 и т. Д.

Как решить алгебраическое выражение?

Цель решения алгебраического выражения в уравнении — найти неизвестную переменную.Когда два выражения приравниваются, они образуют уравнение, и поэтому становится легче найти неизвестные члены.

Чтобы решить уравнение, поместите переменные с одной стороны, а константы — с другой. Вы можете изолировать переменные, применяя арифметические операции, такие как сложение, вычитание, умножение, деление, квадратный корень, кубический корень и т. Д.

Алгебраическое выражение всегда взаимозаменяемо. Это означает, что вы можете переписать уравнение, поменяв местами LHS и RHS.

Пример 1

Рассчитайте значение x по следующему уравнению

5x + 10 = 50

Раствор

Учитывая уравнение как 5x + 10 = 50

• Изолируйте переменные и константы;
• Вы можете сохранить переменную на левой стороне, а константы — на правой.

5x = 50-10

5x = 40

Разделим обе части на коэффициент переменной;

х = 40/5 = 8

Следовательно, значение x равно 8.

Пример 2

Найдите значение y, когда 5y + 45 = 100

Раствор

Изолировать переменные от констант;

5лет = 100-45

5лет = 55

Разделим обе части на коэффициент;

г = 55/5

г = 11

Пример 3

Определите значение переменной в следующем уравнении:

2x + 40 = 30

Раствор

Отделить переменные от констант;

2x = 30-40

2x = -10

Разделите обе стороны на 2;

х = -5

Пример 4

Найдите t, когда 6t + 5 = 3

Раствор

Отделить константы от переменной,

6т = 5-3

6т = -2

Разделим обе части на коэффициент,

т = -2/6

Упростить дробь,

т = -1/3

Практические вопросы

1.Если x = 4 и y = 2, решите следующие выражения:

а. 2лет + 4

г. 10х + 40л;

г. 15лет — 5x

г. 5x + 7

e. 11лет + 6

ф. 6x — 2

г. 8лет — 5

ч. 60 — 5x — 2 года

2. Сэм кормит свою рыбу одинаковым количеством корма (пусть равным x ) трижды в день. Сколько еды он накормит рыбу в неделю?

3. Нина испекла 3 кекса для сестры и по 2 кекса для каждой подруги (пусть равно x ).Сколько всего кексов она испекла?

4. У Джонса на ферме 12 коров. Большинство коров дают 30 литров молока в день (пусть равно х ). Сколько коров не дают 30 литров молока в день?

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Части выражения

Алгебраические выражения — это комбинации переменные , числа и хотя бы одну арифметическую операцию.

Например, 2 Икс + 4 у — 9 является алгебраическим выражением.

Срок: Каждое выражение состоит из терминов. Термин может быть числом со знаком, переменной или константой, умноженной на переменную или переменные.

Фактор: То, что умножается на другое. Фактор может быть числом, переменной, термином или более длинным выражением. Например, выражение 7 Икс ( у + 3 ) имеет три фактора: 7 , Икс , а также ( у + 3 ) .

Коэффициент: Числовой коэффициент выражения умножения, содержащего переменную. Рассмотрим выражение на рисунке выше, 2 Икс + 4 у — 9 . В первом семестре 2 Икс , коэффициент равен 2 : во втором семестре, 4 у , коэффициент равен 4 .

Постоянный: Число, значение которого не может измениться.В выражении 2 Икс + 4 у — 9 , термин 9 является константой.

Как условия: Термины, содержащие такие же переменные, как 2 м , 6 м или же 3 Икс у а также 7 Икс у . Если в выражении содержится несколько постоянных членов, они также похожи на термины.

Выражение	Словесные фразы
п + 5	Сумма числа и 5
м — 7	Разница количества и 7
6 Икс	Продукт 6 и ряд
у ÷ 9	Частное числа и 9

Пример:

Определите термины, такие как термины, коэффициенты и константы в выражении.

9 м — 5 п + 2 + м — 7

Во-первых, мы можем переписать вычитания как добавления.

9 м — 5 п + 2 + м — 7 знак равно 9 м + ( — 5 п ) + 2 + м + ( — 7 )

Итак термины находятся 9 м , ( — 5 п ) , м , 2 , а также ( — 7 ) .

Как условия — это термины, содержащие одинаковые переменные.

9 м а также 9 м пара как условия . Постоянные условия 2 а также — 7 также похожи на термины.

Коэффициенты — числовые части термина, содержащего переменную.

Итак, вот коэффициенты находятся 9 , ( — 5 ) , а также 1 . ( 1 коэффициент при члене м .)

В постоянный термины — это термины без переменных, в данном случае 2 а также — 7 .

Алгебраические выражения должны быть написаны и интерпретированы осторожно.Алгебраическое выражение 5 ( Икс + 9 ) является нет эквивалентно алгебраическому выражению, 5 Икс + 9 .

Посмотрите разницу между двумя выражениями в таблице ниже.

Словесные фразы	Алгебраическое выражение
В пять раз больше числа и девяти	5 ( Икс + 9 )
Девять больше, чем в пять раз больше	5 Икс + 9

При написании выражений для неизвестных величин мы часто используем стандартные формулы.Например, алгебраическое выражение «расстояние, если скорость 50 миль в час, а время Т часов «это D знак равно 50 Т (по формуле D знак равно р Т ).

Выражение вроде Икс п называется властью. Здесь Икс это база, а п — показатель степени. Показатель степени — это количество раз, когда основание используется в качестве фактора.Словосочетание для этого выражения: » Икс к п th мощность.»

Вот несколько примеров использования экспонент.

Словесные фразы	Алгебраическое выражение
Семь раз м в четвертой степени	7 м 4
Сумма Икс в квадрате и 12 времена у	Икс 2 + 12 у
Икс раз в кубе у в шестой степени	Икс 3 ⋅ у 6

3.1: Математические выражения — математика LibreTexts

Напомним определение переменной , представленное в разделе 1.6.

Определение: переменная

Переменная — это символ (обычно буква), обозначающий значение, которое может меняться.

Добавим определение математического выражения .

Определение: математическое выражение

Когда мы объединяем числа и переменные допустимым способом, используя такие операции, как сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и другие операции и функции, которые еще не изучены, результирующая комбинация математических символов называется математическим выражением .

Таким образом,

2 a , x + 5 и y ² ,

, образованный комбинацией чисел, переменных и математических операторов, является допустимым математическим выражением. Математическое выражение должно быть в правильном формате . Например,

2 + ÷ 5 х

— это , недопустимое выражение , потому что за знаком плюс нет члена (недопустимо писать + ÷, если между этими операторами ничего нет).Аналогично

2 + 3 (2

имеет неправильный формат, потому что круглые скобки не сбалансированы.

Перевод слов в математические выражения

В этом разделе мы обращаем внимание на перевод словосочетаний в математические выражения. Начнем с фраз, которые переводят в сумов, . Существует множество словосочетаний, которые переводятся в суммы. Некоторые общие примеры приведены в Таблице \ (\ PageIndex {1a} \), хотя список далеко не полный.Подобным образом ряд фраз, которые переводятся в различия, показаны в Таблице \ (\ PageIndex {1b} \).

Таблица \ (\ PageIndex {1} \): преобразование слов в символы.

Фраза	Переводит на:	Фраза	Переводит на:
сумма x и 12	x + 12	разность x и 12	x — 12
4 больше b	б + 4	4 менее b	б — 4
6 более y	y + 6	7 вычитается из y	y — 7
44 плюс r	44 + р	44 минус r	44 — r
3 больше z	z + 3	3 меньше z	z — 3
а) Фразы, представляющие собой суммы		б) Фразы, которые отличаются друг от друга

Давайте рассмотрим несколько примеров, некоторые из которых переводятся в выражения, содержащие суммы, а некоторые — в выражения, содержащие различия.

Пример 1

Переведите следующие фразы в математические выражения:

1. «12 больше, чем x, »
2. «11 меньше y » и
3. « r уменьшено на 9.»

Решение

Вот переводы.

1. «12 больше, чем x» становится x + 12.
2. «11 меньше, чем y» становится y — 11.
3. «r уменьшилось на 9» становится r — 9.

Упражнение

Переведите следующие фразы в математические выражения:

1. «13 больше x » и
2. «12 меньше, чем y «.

Ответ

(а) x + 13 и

б y — 12

Пример 2

Пусть W представляет ширину прямоугольника. Длина прямоугольника на 4 фута больше его ширины.Выразите длину прямоугольника через его ширину W .

Решение

Мы знаем, что ширина прямоугольника W . Поскольку длина прямоугольника на 4 фута больше ширины, мы должны прибавить 4 к ширине, чтобы найти длину.

\ [\ begin {array} {ccccc} \ colorbox {cyan} {Length} & \ text {is} & \ colorbox {cyan} {4} & \ text {more than} & \ colorbox {cyan} {ширина } \\ \ text {Длина} & = & 4 & + & W \ end {array} \ nonumber \]

Таким образом, длина прямоугольника по ширине W равна 4 + W .

Упражнение

Ширина прямоугольника на 5 дюймов короче его длины L . Выразите ширину прямоугольника через его длину L .

Ответ

л — 5

Пример 3

Струна размером 15 дюймов разрезается на две части. Пусть x представляет длину одной из полученных частей. Выразите длину второй части как длину x первой части.

Решение

Струна имеет исходную длину 15 дюймов. Он разрезан на две части, и первая часть имеет длину х . Чтобы найти длину второй части, мы должны вычесть длину первой части из общей длины.

\ [\ begin {array} {ccccc} \ colorbox {cyan} {Длина второго фрагмента} & \ text {is} & \ colorbox {cyan} {Общая длина} & \ text {minus} & \ colorbox {cyan } {длина первой части} \\ \ text {Длина второй части} & = & 15 & — & x \ end {array} \ nonumber \]

Таким образом, длина второго отрезка относительно длины x первого отрезка Ответ: 12 + x составляет 15 — x .

Упражнение

Струна разрезается на две части, размер первой из которых составляет 12 дюймов. Выразите общую длину строки как функцию x , где x представляет длину второго отрезка строки.

Ответ

12 + x

Существует также большое количество разнообразных фраз, которые можно перевести в продукты. Некоторые примеры показаны в Таблице 3.2 (а), хотя список опять же далеко не полный.Подобным образом ряд фраз переводится в частные, как показано в Таблице 3.2 (b).

Таблица \ (\ PageIndex {2} \): преобразование слов в символы.

Фраза	Переводит на:	Фраза	Переводит на:
произведение x и 12	12 x	частное x и 12	x /12
4 раза b	4 б	4 разделить на b	4/ b
дважды r	2 r	соотношение 44 к r	44/ r
а) Фразы, являющиеся продуктами.		б) Фразы, которые отличаются друг от друга.

Давайте рассмотрим несколько примеров, некоторые из которых переводятся в выражения, включающие продукты, а некоторые — в выражения, включающие частные.

Пример 4

Переведите следующие фразы в математические выражения: (a) «11 умножить на x » (b) «частное от y и 4» и (c) «дважды a .”

Решение

Вот переводы. а) «11 раз x » становится 11 x . б) «частное y и 4» становится y /4, или, что эквивалентно, \ (\ frac {y} {4} \). c) «дважды a » становится 2 a .

Упражнение

Переведите математическими символами: (a) «произведение 5 и x » и (b) «12, разделенное на y ».

Ответ

(а) 5 x и (б) 12/ y .

Пример 5

У сантехника есть труба неизвестной длины x . Он разрезает его на 4 равные части. Найдите длину каждой части в единицах неизвестной длины x .

Решение

Общая длина неизвестна и равна x . Сантехник делит его на 4 равные части. Чтобы найти длину каждой части, мы должны разделить общую длину на 4.

\ [\ begin {array} {ccccc} \ colorbox {cyan} {Длина каждого фрагмента} & \ text {is} & \ colorbox {cyan} {Общая длина} & \ text {разделено на} & \ colorbox {cyan } {4} \\ \ text {Длина каждой части} & = & x & \ div & 4 \ end {array} \ nonumber \]

Таким образом, длина каждого куска, с точки зрения неизвестной длины x , составляет x /4, или, что эквивалентно, \ (\ frac {x} {4} \).

Упражнение

Плотник разрезает доску неизвестной длины L на три равные части. Выразите длину каждого куска в L .

Ответ

л / 3

Пример 6

Мэри вкладывает A долларов на сберегательный счет, выплачивая 2% годовых. Она вкладывает в пять раз больше суммы в депозитный сертификат с выплатой 5% годовых. Сколько она вкладывает в депозитный сертификат, исходя из суммы А на сберегательном счете?

Решение

Сумма на сберегательном счете — A долларов.Она вкладывает в депозитный сертификат в пять раз больше этой суммы.

\ [\ begin {array} {ccccc} \ colorbox {cyan} {Количество на CD} & \ text {is} & \ colorbox {cyan} {5} & \ text {times} & \ colorbox {cyan} {Количество в сбережениях} \\ \ text {Сумма на компакт-диске} & = & 5 & \ cdot & A \ end {array} \ nonumber \]

Таким образом, сумма, вложенная в депозитный сертификат, относительно суммы A на сберегательном счете, составляет 5 A .

Упражнение

Дэвид инвестирует тыс. долларов на сберегательный счет, выплачивая 3% в год.Половину этой суммы он инвестирует в паевой инвестиционный фонд с выплатой 4% в год. Выразите сумму, вложенную в паевой инвестиционный фонд, в единицах K , сумму, вложенную в сберегательный счет.

Ответ

\ (\ frac {1} {2} К \)

Комбинации

Некоторые фразы требуют комбинации математических операций, использованных в предыдущих примерах.

Пример 7

Пусть первое число равно x .Второе число на 3 больше первого числа более чем в два раза. Выразите второе число через первое число x .

Решение

Первое число — x . Второе число на 3 больше первого числа более чем в два раза.

\ [\ begin {align} \ colorbox {cyan} {второе число} & \ text {is} & \ colorbox {cyan} {3} & \ text {больше чем} & \ colorbox {cyan} {в два раза больше первого числа } \\ \ text {Второе число} & = & 3 & + & 2x \ end {выровнено} \ nonumber \]

Следовательно, второе число в терминах первого числа x равно 3 + 2 x .

Упражнение

Второе число на 4 меньше, чем первое число в 3 раза. Выразите второе число через первое число y .

Ответ

3 y — 4

Пример 8

Длина прямоугольника L . Ширина на 15 футов меньше, чем в 3 раза больше длины. Какова ширина прямоугольника по отношению к длине L ?

Решение

Длина прямоугольника L .Ширина на 15 футов меньше, чем в 3 раза больше длины.

\ [\ begin {align} \ colorbox {cyan} {Width} & \ text {is} & \ colorbox {cyan} {в 3 раза больше длины} & \ text {less} & \ colorbox {cyan} {15} \ \ \ text {Ширина} & = & 3L & — & 15 \ end {выравнивается} \ nonumber \]

Таким образом, ширина по длине L составляет 3 L — 15.

Упражнение

Ширина прямоугольника W . Длина на 7 дюймов больше, чем в два раза больше ширины.Выразите длину прямоугольника через его длину L .

Ответ

2 Вт + 7

Упражнения

В упражнениях 1-20 переведите фразу в математическое выражение, включающее заданную переменную.

1. «В 8 раз больше ширины n»

2. «В 2 раза больше длины z»

3. «6-кратная сумма числа n и 3»

4. «10-кратная сумма числа n и 8»

5.«Спрос b увеличился в четыре раза»

6. «Предложение увеличилось в 4 раза»

7. «Скорость y уменьшилась на 33»

8. «Скорость u уменьшилась на 30»

9. «В 10 раз больше ширины n»

10. «10-кратная длина z»

11. «9-кратная сумма числа z и 2»

12. «14-кратная сумма числа n и 10»

13. «Предложение увеличилось вдвое»

14. «Спрос вырос в 4 раза»

15. «13 более чем в 15 раз больше числа p»

16.«14 меньше пятикратного числа y»

17. «На 4 меньше, чем в 11 раз больше x»

18. «13 меньше пятикратного числа p»

19. «Скорость u уменьшилась на 10»

20. «Скорость w увеличилась на 32»

---

21. Представление чисел. Предположим, что n представляет собой целое число.

i) Что означает n + 1?

ii) Что означает n + 2?

iii) Что означает n — 1?

22. Предположим, 2n представляет собой целое четное число.Как мы можем представить следующее четное число после 2n?

23. Предположим, 2n + 1 представляет собой нечетное целое число. Как мы можем представить следующее нечетное число после 2n + 1?

24. Ежемесячно производится b мешков мульчи. Сколько мешков с мульчей производится каждый год?

25. Стив продает в два раза больше товаров, чем Майк. Выберите переменную и напишите выражение для продаж каждого человека.

26. Найдите математическое выражение для представления значений.

i) Сколько четвертей в d долларах?

ii) Сколько минут в часах?

iii) Сколько часов в d дней?

iv) Сколько дней в y годах?

v) Сколько месяцев в y годах?

vi) Сколько дюймов в футах?

vii) Сколько футов в ярдах?

---

ответы

1.8н

3. 6 (п + 3)

5. 4b

7. г — 33

9. 10н

11. 9 (г + 2)

13. 2 года

15. 15p + 13 17.

11x — 4

19. u — 10

21.

i) n + 1 представляет следующее целое число после n.

ii) n + 2 представляет следующее целое число после n + 1 или два целых числа после n.

iii) n — 1 представляет собой целое число перед n.

23. 2н + 3

25.Пусть Майк продаст p продуктов. Затем Стив продает 2p-продукты.

Определение выражений и уравнений | Предалгебра

Результаты обучения

• Находить и записывать математические выражения с помощью слов и символов
• Определить и написать математические уравнения, используя слова и символы
• Определите разницу между выражением и уравнением
• Используйте экспоненциальную запись для выражения многократного умножения
• Запишите экспоненциальное выражение в развернутом виде

Определить выражения и уравнения

В чем разница между фразой и предложением в английском языке? Фраза выражает отдельную мысль, которая сама по себе является неполной, а предложение — законченное утверждение.«Очень быстро бежал» — это фраза, а «Футболист бежал очень быстро» — это предложение. В предложении есть подлежащее и глагол.

В алгебре у нас есть выражения и уравнения . Выражение похоже на фразу. Вот несколько примеров выражений и их отношения к словосочетаниям:

Выражение	слов	Фраза
[латекс] 3 + 5 [/ латекс]	[латекс] 3 \ text {plus} 5 [/ латекс]	сумма трех и пяти
[латекс] n — 1 [/ латекс]	[латекс] н [/ латекс] минус один	разница [латекс] н [/ латекс] и одна
[латекс] 6 \ cdot 7 [/ латекс]	[латекс] 6 \ text {times} 7 [/ латекс]	произведение шести и семи
[латекс] \ frac {x} {y} [/ латекс]	[латекс] x [/ латекс] разделить на [латекс] y [/ латекс]	частное [латекс] х [/ латекс] и [латекс] y [/ латекс]

Обратите внимание, что фразы не образуют законченное предложение, потому что во фразе нет глагола.Уравнение — это два выражения, соединенных знаком равенства. Когда вы читаете слова, которые символы представляют в уравнении, вы получаете полное предложение на английском языке. Знак равенства дает глагол. Вот несколько примеров уравнений:

Уравнение	Предложение
[латекс] 3 + 5 = 8 [/ латекс]	Сумма трех и пяти равна восьми.
[латекс] n — 1 = 14 [/ латекс]	[латекс] н [/ латекс] минус один равно четырнадцати.
[латекс] 6 \ cdot 7 = 42 [/ латекс]	Произведение шести и семи равно сорока двум.
[латекс] x = 53 [/ латекс]	[латекс] х [/ латекс] равно пятидесяти трем.
[латекс] y + 9 = 2y — 3 [/ латекс]	[латекс] y [/ latex] плюс девять равно двум [латексу] y [/ latex] минус три.

Выражения и уравнения

Выражение — это число, переменная или комбинация чисел, переменных и символов операций.
Уравнение состоит из двух выражений, соединенных знаком равенства.

пример

Определите, является ли каждое из них выражением или уравнением:

1. [латекс] 16 — 6 = 10 [/ латекс]
2. [латекс] 4 \ cdot 2 + 1 [/ латекс]
3. [латекс] x \ div 25 [/ латекс]
4. [латекс] y + 8 = 40 [/ латекс]

Решение

1. [латекс] 16 — 6 = 10 [/ латекс]	Это уравнение — два выражения связаны знаком равенства.
2. [латекс] 4 \ cdot 2 + 1 [/ латекс]	Это выражение — без знака равенства.
3. [латекс] x \ div 25 [/ латекс]	Это выражение — без знака равенства.
4. [латекс] y + 8 = 40 [/ латекс]	Это уравнение — два выражения связаны знаком равенства.

Упростите выражения с помощью экспонентов

Упростить числовое выражение — значит сделать все возможное.Например, чтобы упростить [латекс] 4 \ cdot 2 + 1 [/ latex], мы сначала умножим [latex] 4 \ cdot 2 [/ latex], чтобы получить [latex] 8 [/ latex], а затем добавить [latex ] 1 [/ latex], чтобы получить [latex] 9 [/ latex]. Хорошая привычка — работать со страницей вниз, записывая каждый шаг процесса под предыдущим. Только что описанный пример будет выглядеть так:

[латекс] 4 \ cdot 2 + 1 [/ латекс]
[латекс] 8 + 1 [/ латекс]
[латекс] 9 [/ латекс]

Предположим, у нас есть выражение [латекс] 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 [/ latex].{5} [/ латекс] [латекс] 12 [/ латекс] в пятой степени

пример

Запишите каждое выражение в экспоненциальной форме:

1. [латекс] 16 \ cdot 16 \ cdot 16 \ cdot 16 \ cdot 16 \ cdot 16 \ cdot 16 [/ латекс]
2. [латекс] \ text {9} \ cdot \ text {9} \ cdot \ text {9} \ cdot \ text {9} \ cdot \ text {9} [/ latex]
3. [латекс] x \ cdot x \ cdot x \ cdot x [/ латекс]
4. [латекс] a \ cdot a \ cdot a \ cdot a \ cdot a \ cdot a \ cdot a \ cdot a [/ latex]

Показать решение

Решение

1.{4} [/ латекс]
Разверните выражение.	[латекс] 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 [/ латекс]
Умножение слева направо.	[латекс] 9 \ cdot 3 \ cdot 3 [/ латекс]
	[латекс] 27 \ cdot 3 [/ латекс]
Умножить.	[латекс] 81 [/ латекс]

Язык алгебры — Определения

Обучение алгебра немного похожа на изучение другого языка.На самом деле алгебра — это простая язык, используемый для создания математических моделей реальных ситуаций и решать проблемы, которые мы не можем решить, используя только арифметику. Вместо того, чтобы использовать слов, алгебра использует символы, чтобы делать утверждения о вещах. В алгебре мы часто используют буквы для обозначения чисел.

Так как алгебра использует те же символы, что и арифметические, для сложения, вычитания, умножения и деление, вы уже знакомы с основной лексикой.

В этом уроке вы выучите несколько важных новых словарных слов, и вы увидите, как переводить от простого английского до «языка» алгебры.

Первый шаг в обучении «говорить на алгебре» изучает определения наиболее часто употребляемые слова.

Алгебраический Выражения | Переменные | Коэффициенты | Константы | Реальные числа | Рациональный Числа | Иррациональные числа | Идет перевод Слова в выражения

Алгебраический Выражения
Алгебраическое выражение — это один или несколько алгебраических терминов во фразе.Он может включать переменные, константы, и рабочие символы, такие как знаки плюс и минус. Это всего лишь фраза, а не все предложение, поэтому оно не включает знак равенства.

Алгебраический выражение:

3x ² + 2y + 7xy + 5

В алгебраическое выражение, термины — это элементы, разделенные знаком плюс или минус приметы. В этом примере четыре члена: 3x ² , 2y , 7xy , и 5 .Термины могут состоять из переменных и коэффициентов или констант.

Переменные
В алгебраических выражениях буквы обозначают переменные. Эти буквы на самом деле числа замаскированные. В этом выражении переменные x и y. Мы называем эти буквы « var iables», потому что числа, которые они представляют, могут варьироваться , — это мы можем заменить буквы в выражении одним или несколькими числами.

Коэффициенты
Коэффициенты — это числовая часть термов с переменными. В 3x ² + 2y + 7xy + 5 , коэффициент при первом члене равен 3. Коэффициент второго члена равен 2, а коэффициент третьего члена равен 7.

Если термин состоит только переменных, его коэффициент равен 1.

Константы
Константы — это члены алгебраического выражения, содержащие только числа.То есть это термины без переменных. Мы называем их константами, потому что их значение никогда не меняется, поскольку в термине нет переменных, которые могут изменить его значение. В выражении 7x ² + 3xy + 8 постоянный член — «8».

Реальный Номера
В алгебре мы работаем с набором действительных чисел, который мы можем смоделировать, используя числовая строка.

Реальные числа описывают реальные величины, такие как количество, расстояние, возраст, температура и т. д.Действительное число может быть целым числом, дробью или дробью. десятичный. Они также могут быть как рациональными, так и иррациональными. Числа, которые не «настоящие» называются мнимыми. Мнимые числа используют математики для описания чисел, которые не могут быть найдены в числовой строке. Они более сложная тема, с которой мы будем работать здесь.

Рациональный Номера
Мы называем множество действительных целых чисел и дробей рациональными числами.» Rational происходит от слова « соотношение » потому что рациональное число всегда можно записать как соотношение , или частное двух целых чисел.

Примеры рациональных чисел
Дробь ½ — это отношение 1 к 2.

С трех может быть выражено как три к одному или как отношение 3 к одному, это также Рациональное число.

Число «0,57» также является рациональным числом, так как его можно записать в виде дроби.

Иррациональное Номера
Некоторые действительные числа нельзя выразить как частное от двух целых чисел. Мы называем эти числа «иррациональные числа». Десятичная форма иррационального число — это неповторяющееся и не завершающееся десятичное число. Например, Вы, вероятно, знакомы с числом под названием «пи».Это иррациональное номер настолько важен, что мы даем ему имя и специальный символ!

Пи не может быть записывается как частное двух целых чисел, и его десятичная форма продолжается вечно и никогда не повторяется.

Перевод Слова на язык алгебры
Здесь некоторые заявления на английском языке. Чуть ниже каждого утверждения находится его перевод по алгебре.

г. сумма трех чисел и восьми
3x + 8

Слова «the сумма «скажите нам, что нам нужен знак плюс, потому что мы собираемся добавить три умножить на число до восьми.Слова «трижды» говорят нам о первом термин — это число, умноженное на три.

В этом выражении нам не нужен знак умножения или круглые скобки. Фразы типа «число» или «число» говорят нам, что в нашем выражении есть неизвестная величина, называется переменной. В алгебре мы используем буквы для обозначения переменных.

г. произведение числа на такое же число за вычетом 3
х (х — 3)

Слова «the произведение «скажите нам, что мы собираемся умножить число, умноженное на меньше 3.В этом случае мы будем использовать круглые скобки для обозначения умножения. Слова «меньше 3» говорят нам вычесть три из неизвестного числа.

а число, деленное на такое же число за вычетом пяти

Слова «разделены» на «скажите нам, что мы собираемся разделить число на разность числа и 5. В этом случае мы будем использовать дробь для обозначения деления. Слова «меньше 5» говорит нам, что нам нужен знак минус, потому что мы собираемся вычесть пять.

назад наверх

.