Раскрытие скобок

Продолжаем изучать основы алгебры. В данном уроке мы научимся раскрывать скобки в выражениях. Раскрыть скобки означает избавить выражение от этих скобок.

Чтобы раскрывать скобки, нужно выучить наизусть два правила. При регулярных занятиях раскрывать скобки можно с закрытыми глазами, и про те правила которые требовалось заучивать наизусть, можно благополучно забыть.

Первое правило раскрытия скобок

Рассмотрим следующее выражение:

8 + (−9 + 3)

Значение данного выражения равно 2. Раскроем скобки в данном выражении. Раскрыть скобки означает избавиться от них, не влияя на значение выражения. То есть после избавления от скобок значение выражения 8 + (−9 + 3) по прежнему должно быть равно двум.

Первое правило раскрытия скобок выглядит следующим образом:

При раскрытии скобок, если перед скобками стоит плюс, то этот плюс опускается вместе со скобками.

Итак, мы видим что в выражении 8 + (−9 + 3) перед скобками стоит плюс.

Этот плюс нужно опустить вместе со скобками. Иными словами, скобки исчезнут вместе с плюсом, который перед ними стоял. А то, что было в скобках запишется без изменений:

Мы получили выражение без скобок 8−9+3. Данное выражение равно 2, как и предыдущее выражение со скобками было равно 2.

8 + (−9 + 3) = 2

8 − 9 + 3 = 2

Таким образом, между выражениями 8+(−9+3) и 8−9+3 можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:

8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3

2 = 2

---

Пример 2. Раскрыть скобки в выражении 3 + (−1 − 4)

Перед скобками стоит плюс, значит этот плюс опускается вместе со скобками. То, что было в скобках останется без изменений:

3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4

---

Пример 3. Раскрыть скобки в выражении 2 + (−1)

Перед скобками стоит плюс, значит этот плюс опускается вместе со скобками. То, что было в скобках останется без изменений:

2 + (−1) = 2 − 1

В данном примере раскрытие скобок стало своего рода обратной операцией замене вычитания сложением. Как это понимать?

В выражении 2 − 1 происходит вычитание, но его можно заменить сложением. Тогда получится выражение 2 + (−1). Но если в выражении 2 + (−1) раскрыть скобки, то получится изначальное 2 − 1.

Поэтому первое правило раскрытия скобок можно использовать для упрощения выражений после каких-нибудь преобразований. То есть избавить его от скобок и сделать проще.

Например, упростим выражение 2a + a− 5b + b.

Чтобы упростить данное выражение, можно привести подобные слагаемые. Напомним, что для приведения подобных слагаемых, нужно сложить коэффициенты подобных слагаемых и результат умножить на общую буквенную часть:

Получили выражение 3a 

+ (−4b). В этом выражении раскроем скобки. Перед скобками стоит плюс, поэтому используем первое правило раскрытия скобок, то есть опускаем скобки вместе с плюсом, который стоит перед этими скобками:

3a + (−4b) = 3a − 4b

Таким образом, выражение 2a+a−5b+b упрощается до 3a−4b.

Раскрыв одни скобки, по пути могут встретиться другие. К ним применяем те же правила, что и к первым. Например, раскроем скобки в следующем выражении:

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6)

Здесь два места, где нужно раскрыть скобки. В данном случае применимо первое правило раскрытия скобок, а именно опускание скобок вместе с плюсом, который стоит перед этими скобками:

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6

---

Пример 3. Раскрыть скобки в выражении 6+(−3)+(−2)

В обоих местах, где имеются скобки, перед ними стоит плюс. Здесь опять же применяется первое правило раскрытия скобок:

6 + (−3) + (−2) = 6 − 3 − 2

---

Иногда первое слагаемое в скобках записано без знака. Например, в выражении 1+(2+3−4) первое слагаемое в скобках 2 записано без знака. Возникает вопрос, а какой знак будет стоять перед двойкой после того, как скобки и плюс, стоящий перед скобками опустятся? Ответ напрашивается сам — перед двойкой будет стоять плюс.

На самом деле даже будучи в скобках перед двойкой стоит плюс, но мы его не видим по причине того, что его не записывают. Мы уже говорили, что полная запись положительных чисел выглядит как +1, +2, +3. Но плюсы по традиции не записывают, поэтому мы и видим привычные для нас положительные числа 1, 2, 3.

Поэтому, чтобы раскрыть скобки в выражении 1+(2+3−4), нужно как обычно опустить скобки вместе с плюсом, стоящим перед этими скобками, но первое слагаемое которое было в скобках записать со знаком плюс:

1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4

---

Пример 4. Раскрыть скобки в выражении −5 + (2 − 3)

Перед скобками стоит плюс, поэтому применяем первое правило раскрытия скобок, а именно опускаем скобки вместе с плюсом, который стоит перед этими скобками. Но первое слагаемое, которое в скобках записываем со знаком плюс:

−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3

---

Пример 5. Раскрыть скобки в выражении (−5)

Перед скобками стоит плюс, но он не записан по причине того, что до него не было других чисел или выражений. Наша задача убрать скобки, применив первое правило раскрытия скобок, а именно опустить скобки вместе с этим плюсом (даже если он невидим)

(−5) = −5

---

Пример 6. Раскрыть скобки в выражении 2a + (−6a + b)

Перед скобками стоит плюс, значит этот плюс опускается вместе со скобками. То, что было в скобках запишется без изменений:

2a + (−6a + b) = 2a −6a + b

---

Пример 7. Раскрыть скобки в выражении 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)

В данном выражении имеется два места, где нужно раскрыть скобки. В обоих участках перед скобками стоит плюс, значит этот плюс опускается вместе со скобками. То, что было в скобках запишется без изменений:

5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a − 2d

---

Второе правило раскрытия скобок

Теперь рассмотрим второе правило раскрытия скобок. Оно применяется тогда, когда перед скобками стоит минус.

Если перед скобками стоит минус, то этот минус опускается вместе со скобками, но слагаемые, которые были в скобках, меняют свой знак на противоположный.

Например, раскроем скобки в следующем выражении

5 − (−2 − 3)

Видим, что перед скобками стоит минус. Значит нужно применить второе правило раскрытия, а именно опустить скобки вместе с минусом, стоящим перед этими скобками. При этом слагаемые, которые были в скобках, поменяют свой знак на противоположный:

Мы получили выражение без скобок 5 + 2 + 3. Данное выражение равно 10, как и предыдущее выражение со скобками было равно 10.

5 − (−2 − 3) = 10

5 + 2 + 3 = 10

Таким образом, между выражениями 5−(−2−3) и 5+2+3 можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:

5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3

10 = 10

---

Пример 2. Раскрыть скобки в выражении 6 − (−2 − 5)

Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок, а именно опускаем скобки вместе с минусом, который стоит перед этими скобками.

При этом слагаемые, которые были в скобках, записываем с противоположными знаками:

6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5

---

Пример 3. Раскрыть скобки в выражении 2 − (7 + 3)

Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок:

2 − (7 + 3) = 2 − 7 − 3

---

Пример 4. Раскрыть скобки в выражении −(−3 + 4)

Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок:

−(−3 + 4) = 3 − 4

---

Пример 5. Раскрыть скобки в выражении −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)

Здесь два места, где нужно раскрыть скобки. В первом случае нужно применить второе правило раскрытия скобок, а когда очередь доходит до выражения +(−9 − 2) нужно применить первое правило:

−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2

---

Пример 6.

Раскрыть скобки в выражении −(−a − 1)

Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок:

−(−a − 1) = a + 1

---

Пример 7. Раскрыть скобки в выражении −(4a + 3)

Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок:

−(4a + 3) = −4a − 3

---

Пример 8. Раскрыть скобки в выражении a − (4b + 3) + 15

Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок:

a − (4b + 3) + 15 = a − 4b − 3 + 15

---

Пример 9. Раскрыть скобки в выражении 2a + (3b − b) − (3c + 5)

Здесь два места, где нужно раскрыть скобки. В первом случае нужно применить первое правило раскрытия скобок, а когда очередь доходит до выражения −(3c+5)

нужно применить второе правило:

2a + (3b − b) − (3c + 5) = 2a + 3b − b − 3c − 5

---

Пример 10. Раскрыть скобки в выражении −a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)

Здесь три места, где нужно раскрыть скобки. Вначале нужно применить второе правило раскрытия скобок, затем первое, а затем опять второе:

−a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15) = −a + 4a − 6b + 8c − 15

---

Механизм раскрытия скобок

Правила раскрытия скобок, которые мы сейчас рассмотрели, основаны на распределительном законе умножения:

a(b + c) = ab + ac

На самом деле раскрытием скобок называют ту процедуру, когда общий множитель умножают на каждое слагаемое в скобках. В результате такого умножения скобки исчезают. Например, раскроем скобки в выражении 3×(4+5)

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Поэтому, если нужно умножить число на выражение в скобках (или выражение в скобках умножить на число) надо говорить

раскроем скобки.

Но как связан распределительный закон умножения с правилами раскрытия скобок, которые мы рассматривали ранее?

Дело в том, что перед любыми скобками стоит общий множитель. В примере 3 × (4 + 5) общий множитель это 3. А в примере a(b + c) общий множитель это переменная a.

Если перед скобками нет чисел или переменных, то общим множителем является 1 или −1, в зависимости от того, какой знак стоит перед скобками. Если перед скобками стоит плюс, значит общим множителем является 1. Если перед скобками стоит минус, значит общим множителем является −1.

К примеру, раскроем скобки в выражении −(3b − 1). Перед скобками стоит минус, поэтому нужно воспользоваться вторым правилом раскрытия скобок, то есть опустить скобки вместе с минусом, стоящим перед скобками. А выражение, которое было в скобках, записать с противоположными знаками:

−(3b − 1) = −3b + 1

Мы раскрыли скобки, воспользовавшись правилом раскрытия скобок. Но эти же скобки можно раскрыть, воспользовавшись распределительным законом умножения. Для этого сначала записываем перед скобками общий множитель 1, который не был записан:

−1(3b −1)

Минус, который раньше стоял перед скобками относился к этой единице. Теперь можно раскрыть скобки, применяя распределительный закон умножения. Для этого общий множитель −1 нужно умножить на каждое слагаемое в скобках и полученные результаты сложить.

Для удобства заменим разность, находящуюся в скобках на сумму:

−1(3b −1) = −1( 3b + (−1) )

Далее умножаем общий множитель −1 на каждое слагаемое в скобках:

−1(3b −1) = −1(3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1

Как и в прошлый раз мы получили выражение −3b + 1. Каждый согласится с тем, что в этот раз затрачено больше времени на решение столь простейшего примера. Поэтому разумнее пользоваться готовыми правилами раскрытия скобок, которые мы рассматривали в данном уроке:

−(3b − 1) = −3b + 1

Но не мешает знать, как эти правила работают.

---

В данном уроке мы научились ещё одному тождественному преобразованию. Вместе с раскрытием скобок, вынесением общего за скобки и приведением подобных слагаемых можно немного расширить круг решаемых задач. Например:

Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые в следующем выражении:

Здесь нужно выполнить два действия — сначала раскрыть скобки, а потом привести подобные слагаемые. Итак, по порядку:

1) Раскрываем скобки:

2) Приводим подобные слагаемые:

В получившемся выражении −10b+(−1) можно раскрыть скобки:

---

Пример 2. Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые в следующем выражении:

1) Раскроем скобки:

2) Приведем подобные слагаемые. В этот раз для экономии времени и места, не будем записывать, как коэффициенты умножаются на общую буквенную часть

---

Пример 3. Упростить выражение 8m+3m и найти его значение при m=−4

1) Сначала упростим выражение. Чтобы упростить выражение 8m+3m, можно вынести в нём общий множитель m за скобки:

8m + 3m = m(8 + 3)

2) Находим значение выражения m(8 + 3) при m = −4. Для этого в выражение m(8 + 3) вместо переменной m подставляем число −4

m (8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44

---

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задание 2. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задание 3. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задание 4. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задание 5. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задание 6. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задание 7. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задание 8. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задание 9. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задание 10. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задание 11. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задание 12. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задание 13. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задание 14. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задание 15. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задание 16. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задание 17. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задание 18. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задание 19. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задание 20. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задание 21. Раскройте скобки в следующем выражении:

Задание 22. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые в следующем выражении:

Задание 23. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые в следующем выражении:

---

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Урок математики по теме «Раскрытие скобок».

6-й класс

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цели урока:

• образовательные:

сформировать способность к раскрытию скобок с учетом знака, стоящего перед скобками;

развивающие:

развивать логическое мышление, внимание, математическую речь, умение анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы;

воспитывающие:

формирование ответственности, познавательного интереса к предмету

Ход урока

I. Организационный момент.

Проверь-ка дружок
Ты готов на урок?
Всё ли на месте? Всё в порядке?
Ручка, книжка и тетрадка.
Все ли правильно сидят?
Все ль внимательно глядят?

Начать урок я хочу с вопроса к вам:

Как вы думаете, что самое ценное на Земле? (Ответы детей.)

Этот вопрос волновал человечество не одну тысячу лет. Вот какой ответ дал известный ученый Аль-Бируни : “Знание – самое превосходное из владений. Все стремятся к нему, само же оно не приходит”.

Пусть эти слова станут девизом нашего урока.

II. Актуализация прежних знаний, умений, навыков:

Устный счет:

1.1. Какое сегодня число?

2. Расскажите, что вы знаете о числе 20?

3. А где расположено это число на координатной прямой?

4. Назовите число ему обратное.

5. Назовите число ему противоположное.

6. Как называется число – 20?

7. Какие числа называются противоположными?

8. Какие числа называются отрицательными?

9. Чем равен модуль числа 20? – 20?

10. Чему равна сумма противоположных чисел?

2. Объясните следующие записи:

а) Гениальный математик древности Архимед родился в 0 287 г.

б) Гениальный русский математик Н.И.Лобаческий родился в 1792 г.

в) Первые олимпийские игры состоялись в Греции в – 776 г.

г) Первые Международные олимпийские игры состоялись в 1896 г.

д) XXII Олимпийские зимние игры состоялись в 2014 году.

3. Узнайте, какие числа крутятся на “математической карусели” (все действия выполняются устно).

II. Формирование новых знаний, умений, навыков.

Вы научились выполнять разные действия с целыми числами. Чем же будем заниматься дальше? Как будем решать примеры и уравнения?

Давайте найдем значение данных выражений

-7 + (3 + 4) = -7 + 7 = 0
-7 + 3 + 4 = 0

Какой порядок действий в 1 примере? Сколько получилось в скобках? Порядок действий во втором примере? Результат первого действия? Что можно сказать об этих выражениях?

Конечно результаты первого и второго выражений одинаковы, значит между ними можно поставить знак равенства: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4

Что же мы сделали со скобками? (Опустили.)

Как вы думаете чем мы будем заниматься сегодня на уроке? (Дети формулируют тему урока.) В нашем примере, какой знак стоит перед скобками. (Плюс.)

И так мы подошли к следующему правилу:

Если перед скобками стоит знак +, то можно опустить скобки и этот знак +, сохраняя знаки слагаемых, стоящих в скобках. Если первое слагаемое в скобках записано без знака, то его надо записать со знаком +.

А как быть, если перед скобками стоит знак минус?

В этом случае нужно рассуждать так же как при вычитании: необходимо прибавить число противоположное вычитаемому:

-7 – (3 + 4) = -7 + (-7) = -7 + (-3) + (-4) = -7 – 3 – 4 = -14

– Итак, мы раскрыли скобки, когда перед ними стоял знак минус.

Правило раскрытия скобок, когда перед скобками стоит знак “-“.

Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак -, надо заменить этот знак на +, поменяв знаки всех слагаемых в скобках на противоположные, а потом раскрыть скобки.

Давайте послушаем правила раскрытия скобок в стихах:

Перед скобкой плюс стоит.
Он о том и говорит
Что ты скобки опускай
Да все знаки выпускай!
Перед скобкой минус строгий
Загородит нам дорогу
Чтобы скобки убирать
Надо знаки поменять!

Да ребята знак минус очень коварный, это “ сторож” у ворот(скобки), он выпускает числа и переменные только тогда, когда они поменяют “ паспорта”, то есть свои знаки.

Зачем вообще нужно раскрывать скобки? (Когда есть скобки, есть момент какой-то элемент незавершенности, какой-то тайны. Это – как закрытая дверь, за которой находится что-то интересное.) Вот сегодня мы изведали эту тайну.

Небольшой экскурс в историю:

Фигурные скобки появляются в сочинениях Виета (1593). Широкое применение скобки получили лишь в первой половине XVIII века, благодаря Лейбницу и ещё больше Эйлеру.

Физкультминутка.

III. Закрепление новых знаний, умений, навыков.

Работа по учебнику:

№ 1234 (раскройте скобки) – устно.

№ 1236(раскройте скобки) – устно.

№ 1235 (найдите значение выражения) – письменно.

№ 1238 (упростите выражения) – работа в парах.

IV. Подведение итогов урока.

1. Объявляются оценки.

2. Дом. задание . п.39 №1254 (а, б, в),1255 (а, б, в),1259.

3. Чему мы сегодня научились?

Что нового узнали?

И завершить урок я хочу пожеланиями каждому из вас:

“К математике способность проявляй,
Не ленись, а ежедневно развивай.
Умножай, дели, трудись, соображай,
С математикой дружить не забывай”.

Если перед скобками стоит знак минус. Правило раскрытия скобок при произведении

Скобки используются для указания на порядок выполнения действий в числовых и буквенных выражениях, а также в выражениях с переменными. От выражения со скобками удобно перейти к тождественно равному выражению без скобок. Этот прием носит название раскрытия скобок.

Раскрыть скобки означает избавить выражение от этих скобок.

Отдельного внимания заслуживает еще один момент, который касается особенностей записи решений при раскрытии скобок. Мы можем записать начальное выражение со скобками и полученный после раскрытия скобок результат как равенство. Например, после раскрытия скобок вместо выражения
3−(5−7) мы получаем выражение 3−5+7. Оба этих выражения мы можем записать в виде равенства 3−(5−7)=3−5+7.

И еще один важный момент. В математике для сокращения записей принято не писать знак плюс, если он стоит в выражении или в скобках первым. Например, если мы складываем два положительных числа, к примеру, семь и три, то пишем не +7+3, а просто 7+3, несмотря на то, что семерка тоже положительное число. Аналогично если вы видите, например, выражение (5+x) – знайте, что и перед скобкой стоит плюс, который не пишут, и перед пятеркой стоит плюс +(+5+x).

Правило раскрытия скобок при сложении

При раскрытии скобок, если перед скобками стоит плюс, то этот плюс опускается вместе со скобками.

Пример. Раскрыть скобки в выражении 2 + (7 + 3) Перед скобками плюс, значит знаки перед числами в скобках не меняем.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

Правило раскрытия скобок при вычитании

Если перед скобками стоит минус, то этот минус опускается вместе со скобками, но слагаемые, которые были в скобках, меняют свой знак на противоположный. Отсутствие знака перед первым слагаемым в скобках подразумевает знак +.

Пример. Раскрыть скобки в выражении 2 − (7 + 3)

Перед скобками стоит минус, значит нужно поменять знаки перед числами из скобок. В скобках перед цифрой 7 знака нет, это значит, что семерка положительная, считается, что перед ней знак +.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

При раскрытии скобок убираем из примера минус, который был перед скобками, и сами скобки 2 − (+ 7 + 3) , а знаки, которые были в скобках, меняем на противоположные.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

Раскрытие скобок при умножении

Если перед скобками стоит знак умножения, то каждое число, стоящее внутри скобок, умножается на множитель, стоящий перед скобками. При этом умножение минуса на минус дает плюс, а умножение минуса на плюс, как и умножение плюса на минус дает минус.

Таким образом, сскобки в произведениях раскрываются в соответствии с распределительным свойством умножения.

Пример. 2 · (9 — 7) = 2 · 9 — 2 · 7

При умножении скобки на скобку, каждый член первой скобки перемножается с каждым членом второй скобки.

(2 + 3) · (4 + 5) = 2 · 4 + 2 · 5 + 3 · 4 + 3 · 5

На самом деле, нет необходимости запоминать все правила, достаточно помнить только одно, вот это: c(a−b)=ca−cb. Почему? Потому что если в него вместо c подставить единицу, получится правило (a−b)=a−b. А если подставить минус единицу, получим правило −(a−b)=−a+b. Ну, а если вместо c подставить другую скобку – можно получить последнее правило.

Раскрываем скобки при делении

Если после скобок стоит знак деления, то каждое число, стоящее внутри скобок, делится на делитель, стоящий после скобок, и наоборот.

Пример. (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3

Как раскрыть вложенные скобки

Если в выражении присутствуют вложенные скобки, то их раскрывают по порядку, начиная с внешних или внутренних.

При этом важно при раскрытии одной из скобок не трогать остальные скобки, просто переписывая их как есть.

Пример. 12 — (a + (6 — b) — 3) = 12 — a — (6 — b) + 3 = 12 — a — 6 + b + 3 = 9 — a + b

краткое содержание других презентаций

«График функции 7 класс» -). 1. Построим график функции по точкам: 2. (. Примеры, приводящие к понятию функции. Умножьте одночлены: Функция График функции. 7 класс. Представьте выражения в виде одночлена стандартного вида: График функции. Зависимая переменная. Независимая переменная.

«Многочлен в алгебре» — Что называют приведением подобных членов? 2a5a2 + a2 + a3 – 3a2. 4x6y3 + 2x2y2 + x. 3аx – 6ax + 9a2x. Ответьте на вопросы: 17a4 + 8a5 + 3a – a3. Урок алгебры в 7 классе. Устная работа. 1. Выберите многочлены, записанные в стандартном виде: 12а2b – 18ab2 – 30ab3. учитель математики МОУ «СОШ №2» Токарева Ю.И. Объясните, как привести многочлен к стандартному виду.

«Многочлены 7 класс» — 1. 6. В результате умножения многочлена на многочлен получается многочлен. 9. Буквенный множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена. 4. В результате умножения многочлена на одночлен получается одночлен. 5. 5. Алгебраическая сумма нескольких одночленов называется многочленом. — + + — + + — + +. 3. Устная работа. 2.

«Сокращение алгебраических дробей» — 3. Основное свойство дроби можно записать так: , где b?0, m?0 . 7. (a-b)?=(a-b) (a+b). Урок по алгебре в 7 классе «Алгебраические дроби. 1. Выражение вида называют алгебраической дробью. «Путешествие в мир алгебраических дробей». Путешествие в мир алгебраических дробей. 2. В алгебраической дроби числитель и знаменатель- алгебраические выражения. «Путешествие в мир алгебраических дробей.». Сокращение дробей» Учитель Степнинской СОШ Жусупова А.Б. Достижения крупные людям Никогда не давались легко!

«Раскрытие скобок» — Раскрытие скобок. c. Математика. a. 7 класс. b. S = a · b + a · c.

«Координаты плоскости» — Прямоугольной сеткой пользовались также художники эпохи Возрождения. Содержание Краткая аннотация II. При игре в шахматы тоже используется метод координат. Заключение V. Литература VI. Ось Оу – ордината у. Целью Декарта было описание природы при помощи математических законов. С помощью координатной сетки летчики, моряки определяют местоположение объектов. Прямоугольная система координат. Краткая аннотация. Приложение Сборник заданий. Игровом поле определялась двумя координатами- буквой и цифрой. Введение Актуальность темы.

Раскрытие скобок является одним из видов преобразования выражения. В этом разделе мы опишем правила раскрытия скобок, а также рассмотрим наиболее часто встречающиеся примеры задач.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Что называется раскрытием скобок?

Скобки используются для указания на порядок выполнения действий в числовых и буквенных выражениях, а также в выражениях с переменными. От выражения со скобками удобно перейти к тождественно равному выражению без скобок. Например, заменить выражение 2 · (3 + 4) на выражение вида 2 · 3 + 2 · 4 без скобок. Этот прием носит название раскрытия скобок.

Определение 1

Под раскрытием скобок подразумевают приемы избавления от скобок и рассматривают его обычно в отношении выражений, которые могут содержать:

• знаки « + » или « — » перед скобками, в которые заключены суммы или разности;
• произведение числа, буквы или нескольких букв и суммы или разности, которая помещена в скобки.

Так мы привыкли рассматривать процесс раскрытия скобок в курсе школьной программы. Однако никто не мешает нам посмотреть на это действие шире. Мы можем назвать раскрытием скобок переход от выражения, которое содержит отрицательные числа в скобках, к выражению, не имеющему скобок. К примеру, мы можем перейти от 5 + (− 3) − (− 7) к 5 − 3 + 7 . Фактически, это тоже раскрытие скобок.

Точно также мы можем заменить произведение выражений в скобках вида (a + b) · (c + d) на сумму a · c + a · d + b · c + b · d . Такой прием также не противоречит смыслу раскрытия скобок.

Вот еще один пример. Мы можем допустить, что в выражениях вместо чисел и переменных могут быть использованы любые выражения. Например, выражению x 2 · 1 a — x + sin (b) будет соответствовать выражение без скобок вида x 2 · 1 a — x 2 · x + x 2 · sin (b) .

Отдельного внимания заслуживать еще один момент, который касается особенностей записи решений при раскрытии скобок. Мы можем записать начальное выражение со скобками и полученный после раскрытия скобок результат как равенство. Например, после раскрытия скобок вместо выражения 3 − (5 − 7) мы получаем выражение 3 − 5 + 7 . Оба этих выражения мы можем записать в виде равенства 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7 .

Проведение действий с громоздкими выражениями может потребовать записи промежуточных результатов. Тогда решение будет иметь вид цепочки равенств. Например, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 или 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .

Правила раскрытия скобок, примеры

Приступим к рассмотрению правил раскрытия скобок.

У одиночных чисел в скобках

Отрицательные числа в скобках часто встречаются в выражениях. Например, (− 4) и 3 + (− 4) . Положительные числа в скобках тоже имеют место быть.

Сформулируем правило раскрытия скобок, в которых заключены одиночные положительные числа. Предположим, что а – это любое положительное число. Тогда (а) мы можем заменить на а, + (а) на + а, — (а) на – а. Если вместо а взять конкретное число, то согласно правилу: число (5) запишется как 5 , выражение 3 + (5) без скобок примет вид 3 + 5 , так как + (5) заменяется на + 5 , а выражение 3 + (− 5) эквивалентно выражению 3 − 5 , так как + (− 5) заменяется на − 5 .

Положительные числа обычно записываются без использования скобок, так как скобки в этом случае излишни.

Теперь рассмотрим правило раскрытия скобок, внутри которых содержится одиночное отрицательное число. + (− a) мы заменяем на − a , − (− a) заменяется на + a . Если выражение начинается с отрицательного числа (− a) , которое записано в скобках, то скобки опускаются и вместо (− a) остается − a .

Приведем примеры: (− 5) можно записать как − 5 , (− 3) + 0 , 5 принимает вид − 3 + 0 , 5 , 4 + (− 3) превращается в 4 − 3 , а − (− 4) − (− 3) после раскрытия скобок принимает вид 4 + 3 , так как − (− 4) и − (− 3) заменяется на + 4 и + 3 .

Следует понимать, что записать выражение 3 · (− 5) как 3 · − 5 нельзя. Об этом речь пойдет в следующих пунктах.

Давайте посмотрим, на чем основываются правила раскрытия скобок.

Согласно правилу разность a − b равна a + (− b) . На основе свойств действий с числами мы можем составить цепочку равенств (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = a , которая будет справедлива. Эта цепочка равенств в силу смысла вычитания доказывает, что выражение a + (− b) — это разность a − b .

Основываясь на свойствах противоположных чисел и правил вычитания отрицательных чисел мы можем утверждать, что − (− a) = a , a − (− b) = a + b .

Встречаются выражения, которые составляются из числа, знаков минуса и нескольких пар скобок. Использование приведенных выше правил позволяет последовательно избавляться от скобок, продвигаясь от внутренних скобок к наружным или в обратном направлении. Примером такого выражения может быть − (− ((− (5)))) . Раскроем скобки, продвигаясь изнутри наружу: − (− ((− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . Также этот пример можно разобрать и в обратном направлении: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .

Под a и b можно понимать не только числа, но также произвольные числовые или буквенные выражения со знаком « + » впереди, которые не являются суммами или разностями. Во всех этих случаях можно применять правила точно также, как мы делали это в отношении одиночных чисел в скобках.

К примеру, после раскрытия скобок выражение − (− 2 · x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 · x · y 2: z) примет вид 2 · x − x 2 − 1 x − 2 · x · y 2: z . Как мы это сделали? Мы знаем, что − (− 2 · x) есть + 2 · x , а так как это выражение стоит вначале, то + 2 · x можно записать как 2 · x , − (x 2) = − x 2 , + (− 1 x) = − 1 x и − (2 · x · y 2: z) = − 2 · x · y 2: z .

В произведениях двух чисел

Начнем с правила раскрытия скобок в произведении двух чисел.

Предположим, что a и b – это два положительных числа. В этом случае произведение двух отрицательных чисел − a и − b вида (− a) · (− b) мы можем заменить на (a · b) , а произведения двух чисел с противоположными знаками вида (− a) · b и a · (− b) заменить на (− a · b) . Умножение минуса на минус дает плюс, а умножение минуса на плюс, как и умножение плюса на минус дает минус.

Верность первой части записанного правила подтверждается правилом умножения отрицательных чисел. Для подтверждения второй части правила мы можем использовать правила умножения чисел с разными знаками.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1

Рассмотрим алгоритм раскрытия скобок в произведении двух отрицательных чисел — 4 3 5 и — 2 , вида (- 2) · — 4 3 5 . Для этого заменим исходное выражение на 2 · 4 3 5 . Раскроем скобки и получим 2 · 4 3 5 .

А если мы возьмем частное отрицательных чисел (− 4) : (− 2) , то запись после раскрытия скобок будет иметь вид 4: 2

На месте отрицательных чисел − a и − b могут быть любые выражения со знаком минус впереди, которые не являются суммами или разностями. К примеру, это могут быть произведения, частные, дроби, степени, корни, логарифмы, тригонометрические функции и т.п.

Раскроем скобки в выражении — 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) . Согласно правилу, мы можем произвести следующие преобразования: — 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) = — 3 · x x 2 + 1 · x · ln 5 = 3 · x x 2 + 1 · x · ln 5 .

Выражение (− 3) · 2 можно преобразовать в выражение (− 3 · 2) . После этого можно раскрыть скобки: − 3 · 2 .

2 3 · — 4 5 = — 2 3 · 4 5 = — 2 3 · 4 5

Деление чисел с разными знаками также может потребовать предварительного раскрытия скобок: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 и 2 3 4: (- 3 , 5) = — 2 3 4: 3 , 5 = — 2 3 4: 3 , 5 .

Правило может быть использовано для выполнения умножения и деления выражений с разными знаками. Приведем два примера.

1 x + 1: x — 3 = — 1 x + 1: x — 3 = — 1 x + 1: x — 3

sin (x) · (- x 2) = (- sin (x) · x 2) = — sin (x) · x 2

В произведениях трех и большего количества чисел

Перейдем к произведенимя и частным, которые содержат большее количество чисел. Для раскрытия скобок здесь будет действовать следующее правило. При четном количестве отрицательных чисел можно опустить скобки, заменив числа противоположными. После этого необходимо заключить полученное выражение в новые скобки. При нечетном количестве отрицательных чисел, опустив скобки, заменить числа на противоположные. После этого полученное выражение необходимо взять в новые скобки и поставить перед ним знак минус.

Пример 2

Для примера, возьмем выражение 5 · (− 3) · (− 2) , которое представляет собой произведение трех чисел. Отрицательных чисел два, следовательно, мы можем записать выражение как (5 · 3 · 2) и затем окончательно раскрыть скобки, получив выражение 5 · 3 · 2 .

В произведении (− 2 , 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1 , 25) : (− 1) пять чисел являются отрицательными. поэтому (− 2 , 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1 , 25) : (− 1) = (− 2 , 5 · 3: 2 · 4: 1 , 25: 1) . Окончательно раскрыв скобки, получаем −2,5·3:2·4:1,25:1 .

Обосновать приведенное выше правило можно следующим образом. Во-первых, такие выражения мы можем переписать как произведение, заменив умножением на обратное число деление. Представляем каждое отрицательное число как произведение множительного числа и — 1 или — 1 заменяем на (− 1) · a .

Используя переместительное свойство умножения меняем местами множители и переносим все множители, равные − 1 , в начало выражения. Произведение четного числа минус единиц равно 1 , а нечетного – равно − 1 , что позволяет нам использовать знак минус.

Если бы мы не использовали правило, то цепочка действий по раскрытию скобок в выражении — 2 3: (- 2) · 4: — 6 7 выглядела бы следующим образом:

2 3: (- 2) · 4: — 6 7 = — 2 3 · — 1 2 · 4 · — 7 6 = = (- 1) · 2 3 · (- 1) · 1 2 · 4 · (- 1) · 7 6 = = (- 1) · (- 1) · (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = = — 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6

Приведенное выше правило может быть использовано при раскрытии скобок в выражениях, которые представляют собой произведения и частные со знаком минус, не являющихся суммами или разностями. Возьмем для примера выражение

x 2 · (- x) : (- 1 x) · x — 3: 2 .

Его можно привести к выражению без скобок x 2 · x: 1 x · x — 3: 2 .

Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак +

Рассмотрим правило, которое можно применить для раскрытия скобок, перед которыми стоит знак плюс, а «содержимое» этих скобок не умножается и не делится на какое-либо число или выражение.

Согласно правилу скобки вместе со стоящим перед ними знаком опускаются, при этом знаки всех слагаемых в скобках сохраняются. Если перед первым слагаемым в скобках не стоит никакого знака, то нужно поставить знак плюс.

Пример 3

Для примера приведем выражение (12 − 3 , 5) − 7 . Опустив скобки, мы сохраняем знаки слагаемых в скобках и ставим перед первым слагаемым знак плюс. Запись будет иметь вид (12 − 3 , 5) − 7 = + 12 − 3 , 5 − 7 . В приведенном примере знак перед первым слагаемым ставить не обязательно, так как + 12 − 3 , 5 − 7 = 12 − 3 , 5 − 7 .

Пример 4

Рассмотрим еще один пример. Возьмем выражение x + 2 a — 3 x 2 + 1 — x 2 — 4 + 1 x и проведем с ним действия x + 2 a — 3 x 2 + 1 — x 2 — 4 + 1 x = = x + 2 a — 3 x 2 + 1 — x 2 — 4 + 1 x

Вот еще один пример раскрытия скобок:

Пример 5

2 + x 2 + 1 x — x · y · z + 2 · x — 1 + (- 1 + x — x 2) = = 2 + x 2 + 1 x — x · y · z + 2 · x — 1 — 1 + x + x 2

Как раскрываются скобки, перед которыми стоит знак минус

Рассмотрим случаи, когда перед скобками стоит знак минус, и которые не не умножаются (или делятся) на какое-либо число или выражение. Согласно правилу раскрытия скобок, перед которыми стоит знак « — », скобки со знаком « — » опускаются, при этом знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные.

Пример 6

К примеру:

1 2 = 1 2 , — 1 x + 1 = — 1 x + 1 , — (- x 2) = x 2

Выражения с переменными могут быть преобразованы с использованием того же правила:

X + x 3 — 3 — — 2 · x 2 + 3 · x 3 · x + 1 x — 1 — x + 2 ,

получаем x — x 3 — 3 + 2 · x 2 — 3 · x 3 · x + 1 x — 1 — x + 2 .

Раскрытие скобок при умножении числа на скобку, выражения на скобку

Здесь мы рассмотрим случаи, когда нужно раскрыть скобки, которые умножаются или делятся на какое-либо число или выражение. Тут применимы формулы вида (a 1 ± a 2 ± … ± a n) · b = (a 1 · b ± a 2 · b ± … ± a n · b) или b · (a 1 ± a 2 ± … ± a n) = (b · a 1 ± b · a 2 ± … ± b · a n) , где a 1 , a 2 , … , a n и b – некоторые числа или выражения.

Пример 7

Например, проведем раскрытие скобок в выражении (3 − 7) · 2 . Согласно правилу, мы можем провести следующие преобразования: (3 − 7) · 2 = (3 · 2 − 7 · 2) . Получаем 3 · 2 − 7 · 2 .

Раскрыв скобки в выражении 3 · x 2 · 1 — x + 1 x + 2 , получаем 3 x 2 · 1 — 3 · x 2 · x + 3 · x 2 · 1 x + 2 .

Умножение скобки на скобку

Рассмотрим произведение двух скобок вида (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) . Это поможет нам получить правило для раскрытия скобок при проведении умножения скобки на скобку.

Для того, чтобы решить приведенный пример, обозначим выражение (b 1 + b 2) как b . Это позволит нам использовать правило умножения скобки на выражение. Получим (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) · b = (a 1 · b + a 2 · b) = a 1 · b + a 2 · b . Выполнив обратную замену b на (b 1 + b 2) , снова применим правило умножения выражения на скобку: a 1 · b + a 2 · b = = a 1 · (b 1 + b 2) + a 2 · (b 1 + b 2) = = (a 1 · b 1 + a 1 · b 2) + (a 2 · b 1 + a 2 · b 2) = = a 1 · b 1 + a 1 · b 2 + a 2 · b 1 + a 2 · b 2

Благодаря ряду несложных приемов мы можем прийти к сумме произведений каждого из слагаемых из первой скобки на каждое из слагаемых из второй скобки. Правило можно распространить на любое количество слагаемых внутри скобок.

Сформулируем правила умножения скобки на скобку: чтобы перемножить между собой две суммы, необходимо каждое из слагаемых первой суммы перемножить на каждое из слагаемых второй суммы и сложить полученные результаты.

Формула будет иметь вид:

(a 1 + a 2 + . . . + a m) · (b 1 + b 2 + . . . + b n) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a 2 b n + + . . . + + a m b 1 + a m b 1 + . . . a m b n

Проведем раскрытие скобок в выражении (1 + x) · (x 2 + x + 6) Оно представляет собой произведение двух сумм. Запишем решение: (1 + x) · (x 2 + x + 6) = = (1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6) = = 1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6

Отдельно стоит остановиться на тех случаях, когда в скобках присутствует знак минус наряду со знаками плюс. Для примера возьмем выражение (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) .

Сначала представим выражения в скобках в виде сумм: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)) . Теперь мы можем применить правило: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)) = = (1 · 3 · x · y + 1 · (− 2 · x · y 3) + (− x) · 3 · x · y + (− x) · (− 2 · x · y 3))

Раскроем скобки: 1 · 3 · x · y − 1 · 2 · x · y 3 − x · 3 · x · y + x · 2 · x · y 3 .

Раскрытие скобок в произведениях нескольких скобок и выражений

При наличии в выражении трех и более выражений в скобках, раскрывать скобки необходимо последовательно. Начать преобразование необходимо с того, что два первых множителя берут в скобки. Внутри этих скобок мы можем проводить преобразования согласно правилам, рассмотренным выше. Например, скобки в выражении (2 + 4) · 3 · (5 + 7 · 8) .

В выражении содержится сразу три множителя (2 + 4) , 3 и (5 + 7 · 8) . Будем раскрывать скобки последовательно. Заключим первые два множителя еще в одни скобки, которые для наглядности сделаем красными: (2 + 4) · 3 · (5 + 7 · 8) = ((2 + 4) · 3) · (5 + 7 · 8) .

В соответствии с правилом умножения скобки на число мы можем провести следующие действия: ((2 + 4) · 3) · (5 + 7 · 8) = (2 · 3 + 4 · 3) · (5 + 7 · 8) .

Умножаем скобку на скобку: (2 · 3 + 4 · 3) · (5 + 7 · 8) = 2 · 3 · 5 + 2 · 3 · 7 · 8 + 4 · 3 · 5 + 4 · 3 · 7 · 8 .

Скобка в натуральной степени

Степени, основаниями которых являются некоторые выражения, записанные в скобках, с натуральными показателями можно рассматривать как произведение нескольких скобок. При этом по правилам из двух предыдущих пунктов их можно записать без этих скобок.

Рассмотрим процесс преобразования выражения (a + b + c) 2 . Его можно записать в виде произведения двух скобок (a + b + c) · (a + b + c) . Произведем умножение скобки на скобку и получим a · a + a · b + a · c + b · a + b · b + b · c + c · a + c · b + c · c .

Разберем еще один пример:

Пример 8

1 x + 2 3 = 1 x + 2 · 1 x + 2 · 1 x + 2 = = 1 x · 1 x + 1 x · 2 + 2 · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 2 = = 1 x · 1 x · 1 x + 1 x · 2 · 1 x + 2 · 1 x · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 1 x · 1 x · 2 + + 1 x 2 · 2 + 2 · 1 x · 2 + 2 · 2 · 2

Деление скобки на число и скобки на скобку

Деление скобки на число предполагает, что необходимо разделить на число все заключенные в скобки слагаемые. Например, (x 2 — x) : 4 = x 2: 4 — x: 4 .

Деление можно предварительно заменить умножением, после чего можно воспользоваться подходящим правилом раскрытия скобок в произведении. Это же правило применимо и при делении скобки на скобку.

Например, нам необходимо раскрыть скобки в выражении (x + 2) : 2 3 . Для этого сначала заменим деление умножением на обратное число (x + 2) : 2 3 = (x + 2) · 2 3 . Умножим скобку на число (x + 2) · 2 3 = x · 2 3 + 2 · 2 3 .

Вот еще один пример деления на скобку:

Пример 9

1 x + x + 1: (x + 2) .

Заменим деление умножением: 1 x + x + 1 · 1 x + 2 .

Выполним умножение: 1 x + x + 1 · 1 x + 2 = 1 x · 1 x + 2 + x · 1 x + 2 + 1 · 1 x + 2 .

Порядок раскрытия скобок

Теперь рассмотрим порядок применения правил, разобранных выше в выражениях общего вида, т.е. в выражениях, которые содержат суммы с разностями, произведения с частными, скобки в натуральной степени.

Порядок выполнения действий:

• первым делом необходимо выполнить возведение скобок в натуральную степень;
• на втором этапе производится раскрытие скобок в произведениях и частных;
• заключительным шагом будет раскрытие скобок в суммах и разностях.

Рассмотрим порядок выполнения действий на примере выражения (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) . Намнем преобразование с выражений 3 · (− 2) : (− 4) и 6 · (− 7) , которые должны принять вид (3 · 2: 4) и (− 6 · 7) . При подстановке полученных результатов в исходное выражение получаем: (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) = (− 5) + (3 · 2: 4) − (− 6 · 7) . Раскрываем скобки: − 5 + 3 · 2: 4 + 6 · 7 .

Имея дело с выражениями, которые содержат скобки в скобках, удобно проводить преобразования, продвигаясь изнутри наружу.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

На этом уроке вы узнаете, как из выражения, содержащего скобки, путем преобразования получить выражение, в котором скобок нет. Вы научитесь раскрывать скобки, перед которыми стоит знак плюс и знак минус. Мы вспомним, как раскрывать скобки, используя распределительный закон умножения. Рассмотренные примеры позволят связать новый и ранее изученный материал в единое целое.

Тема: Решение уравнений

Урок: Раскрытие скобок

Как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+». Использование сочетательного закона сложения.

Если к числу нужно прибавить сумму двух чисел, то можно к этому числу прибавить сначала первое слагаемое, а затем второе.

Слева от знака равно выражение со скобками, а справа — выражение без скобок. Значит, при переходе от левой части равенства к правой произошло раскрытие скобок.

Рассмотрим примеры.

Пример 1.

Раскрыв скобки, мы изменили порядок действий. Считать стало удобнее.

Пример 2.

Пример 3.

Заметим, что во всех трех примерах мы просто убирали скобки. Сформулируем правило:

Замечание.

Если первое слагаемое в скобках стоит без знака, то его надо записать со знаком «плюс».

Можно выполнить пример по действиям. Сначала к 889 прибавить 445. Это действие в уме выполнить можно, но это не очень просто. Раскроем скобки и увидим, что изменённый порядок действий значительно упростит вычисления.

Если следовать указанному порядку действий, то нужно сначала из 512 вычесть 345, а затем к результату прибавить 1345. Раскрыв скобки, мы изменим порядок действий и значительно упростим вычисления.

Иллюстрирующий пример и правило.

Рассмотрим пример: . Найти значение выражения можно, сложив 2 и 5, а затем взять полученное число с противоположным знаком. Получим -7.

С другой стороны, тот же самый результат можно получить, сложив числа, противоположные исходным.

Сформулируем правило:

Пример 1.

Пример 2.

Правило не изменяется, если в скобках не два, а три или более слагаемых.

Пример 3.

Замечание. Знаки меняются на противоположные только перед слагаемыми.

Для того чтобы раскрыть скобки, в данном случае нужно вспомнить распределительное свойство.

Сначала умножим первую скобку на 2, а вторую — на 3.

Перед первой скобкой стоит знак «+», значит, знаки нужно оставить без изменения. Перед второй стоит знак «-», следовательно, все знаки нужно поменять на противоположные

Список литературы

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. — М.: Мнемозина, 2012.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. — Гимназия, 2006.
3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. — Просвещение, 1989.
4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс — ЗШ МИФИ, 2011.
5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. — ЗШ МИФИ, 2011.
6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. Библиотека учителя математики. — Просвещение, 1989.

1. Онлайн тесты по математике ().
2. Можно скачать указанные в п. 1.2. книги ().

Домашнее задание

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. — М.: Мнемозина, 2012. (ссылка см. 1.2)
2. Домашнее задание: № 1254, № 1255, № 1256 (б,г)
3. Другие задания: № 1258(в), № 1248

В данной статье мы подробно рассмотрим основные правила такой важной темы курса математики, как раскрытие скобок. Знать правила раскрытия скобок нужно для того, чтобы верно решать уравнения, в которых они используются.

Как правильно раскрывать скобки при сложении

Раскрываем скобки, перед которыми стоит знак « + »

Эта самый простой случай, ибо если перед скобками стоит знак сложения, при раскрытии скобок знаки внутри них не меняются. Пример:

(9 + 3) + (1 — 6 + 9) = 9 + 3 + 1 — 6 + 9 = 16.

Как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак « — »

В данном случае нужно переписать все слагаемые без скобок, но при этом сменить все знаки внутри них на противоположные. Знаки меняются только у слагаемых из тех скобок, перед которыми стоял знак « — ». Пример:

(9 + 3) — (1 — 6 + 9) = 9 + 3 — 1 + 6 — 9 = 8.

Как раскрыть скобки при умножении

Перед скобками стоит число-множитель

В данном случае нужно умножить каждое слагаемое на множитель и раскрыть скобки, не меняя знаков. Если множитель имеет знак « — », то при перемножении знаки слагаемых меняются на противоположные. Пример:

3 * (1 — 6 + 9) = 3 * 1 — 3 * 6 + 3 * 9 = 3 — 18 + 27 = 12.

Как раскрыть две скобки со знаком умножения между ними

В данном случае нужно каждое слагаемое из первых скобок перемножить с каждым слагаемым из вторых скобок и затем сложить полученные результаты. Пример:

(9 + 3) * (1 — 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 — 54 + 81 + 3 — 18 + 27 = 48.

Как раскрыть скобки в квадрате

В случае, если сумма или разность двух слагаемых возведена в квадрат, скобки следует раскрывать по следующей формуле:

(х + у) ^ 2 = х ^ 2 + 2 * х * у + у ^ 2. 2) * 12 = 1728.

Как раскрыть 3 скобки

Бывают уравнения, в которых перемножаются сразу 3 скобки. В таком случае нужно сначала перемножить между собой слагаемые первых двух скобок, и затем сумму этого перемножения умножить на слагаемые третьей скобки. Пример:

(1 + 2) * (3 + 4) * (5 — 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 — 6) = — 21.

Данные правила раскрытия скобок одинаково распространяются для решения как линейных, так и тригонометрических уравнений.

Раскрытие скобок с разными знаками. Минус меняет знаки в скобках

Скобки используются для указания на порядок выполнения действий в числовых и буквенных выражениях, а также в выражениях с переменными. От выражения со скобками удобно перейти к тождественно равному выражению без скобок. Этот прием носит название раскрытия скобок.

Раскрыть скобки означает избавить выражение от этих скобок.

Отдельного внимания заслуживает еще один момент, который касается особенностей записи решений при раскрытии скобок. Мы можем записать начальное выражение со скобками и полученный после раскрытия скобок результат как равенство. Например, после раскрытия скобок вместо выражения
3−(5−7) мы получаем выражение 3−5+7. Оба этих выражения мы можем записать в виде равенства 3−(5−7)=3−5+7.

И еще один важный момент. В математике для сокращения записей принято не писать знак плюс, если он стоит в выражении или в скобках первым. Например, если мы складываем два положительных числа, к примеру, семь и три, то пишем не +7+3, а просто 7+3, несмотря на то, что семерка тоже положительное число. Аналогично если вы видите, например, выражение (5+x) – знайте, что и перед скобкой стоит плюс, который не пишут, и перед пятеркой стоит плюс +(+5+x).

Правило раскрытия скобок при сложении

При раскрытии скобок, если перед скобками стоит плюс, то этот плюс опускается вместе со скобками.

Пример. Раскрыть скобки в выражении 2 + (7 + 3) Перед скобками плюс, значит знаки перед числами в скобках не меняем.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

Правило раскрытия скобок при вычитании

Если перед скобками стоит минус, то этот минус опускается вместе со скобками, но слагаемые, которые были в скобках, меняют свой знак на противоположный. Отсутствие знака перед первым слагаемым в скобках подразумевает знак +.

Пример. Раскрыть скобки в выражении 2 − (7 + 3)

Перед скобками стоит минус, значит нужно поменять знаки перед числами из скобок. В скобках перед цифрой 7 знака нет, это значит, что семерка положительная, считается, что перед ней знак +.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

При раскрытии скобок убираем из примера минус, который был перед скобками, и сами скобки 2 − (+ 7 + 3) , а знаки, которые были в скобках, меняем на противоположные.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

Раскрытие скобок при умножении

Если перед скобками стоит знак умножения, то каждое число, стоящее внутри скобок, умножается на множитель, стоящий перед скобками. При этом умножение минуса на минус дает плюс, а умножение минуса на плюс, как и умножение плюса на минус дает минус.

Таким образом, сскобки в произведениях раскрываются в соответствии с распределительным свойством умножения.

Пример. 2 · (9 — 7) = 2 · 9 — 2 · 7

При умножении скобки на скобку, каждый член первой скобки перемножается с каждым членом второй скобки.

(2 + 3) · (4 + 5) = 2 · 4 + 2 · 5 + 3 · 4 + 3 · 5

На самом деле, нет необходимости запоминать все правила, достаточно помнить только одно, вот это: c(a−b)=ca−cb. Почему? Потому что если в него вместо c подставить единицу, получится правило (a−b)=a−b. А если подставить минус единицу, получим правило −(a−b)=−a+b. Ну, а если вместо c подставить другую скобку – можно получить последнее правило.

Раскрываем скобки при делении

Если после скобок стоит знак деления, то каждое число, стоящее внутри скобок, делится на делитель, стоящий после скобок, и наоборот.

Пример. (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3

Как раскрыть вложенные скобки

Если в выражении присутствуют вложенные скобки, то их раскрывают по порядку, начиная с внешних или внутренних.

При этом важно при раскрытии одной из скобок не трогать остальные скобки, просто переписывая их как есть.

Пример. 12 — (a + (6 — b) — 3) = 12 — a — (6 — b) + 3 = 12 — a — 6 + b + 3 = 9 — a + b

Раскрытие скобок является одним из видов преобразования выражения. В этом разделе мы опишем правила раскрытия скобок, а также рассмотрим наиболее часто встречающиеся примеры задач.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Что называется раскрытием скобок?

Скобки используются для указания на порядок выполнения действий в числовых и буквенных выражениях, а также в выражениях с переменными. От выражения со скобками удобно перейти к тождественно равному выражению без скобок. Например, заменить выражение 2 · (3 + 4) на выражение вида 2 · 3 + 2 · 4 без скобок. Этот прием носит название раскрытия скобок.

Определение 1

Под раскрытием скобок подразумевают приемы избавления от скобок и рассматривают его обычно в отношении выражений, которые могут содержать:

• знаки « + » или « — » перед скобками, в которые заключены суммы или разности;
• произведение числа, буквы или нескольких букв и суммы или разности, которая помещена в скобки.

Так мы привыкли рассматривать процесс раскрытия скобок в курсе школьной программы. Однако никто не мешает нам посмотреть на это действие шире. Мы можем назвать раскрытием скобок переход от выражения, которое содержит отрицательные числа в скобках, к выражению, не имеющему скобок. К примеру, мы можем перейти от 5 + (− 3) − (− 7) к 5 − 3 + 7 . Фактически, это тоже раскрытие скобок.

Точно также мы можем заменить произведение выражений в скобках вида (a + b) · (c + d) на сумму a · c + a · d + b · c + b · d . Такой прием также не противоречит смыслу раскрытия скобок.

Вот еще один пример. Мы можем допустить, что в выражениях вместо чисел и переменных могут быть использованы любые выражения. Например, выражению x 2 · 1 a — x + sin (b) будет соответствовать выражение без скобок вида x 2 · 1 a — x 2 · x + x 2 · sin (b) .

Отдельного внимания заслуживать еще один момент, который касается особенностей записи решений при раскрытии скобок. Мы можем записать начальное выражение со скобками и полученный после раскрытия скобок результат как равенство. Например, после раскрытия скобок вместо выражения 3 − (5 − 7) мы получаем выражение 3 − 5 + 7 . Оба этих выражения мы можем записать в виде равенства 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7 .

Проведение действий с громоздкими выражениями может потребовать записи промежуточных результатов. Тогда решение будет иметь вид цепочки равенств. Например, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 или 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .

Правила раскрытия скобок, примеры

Приступим к рассмотрению правил раскрытия скобок.

У одиночных чисел в скобках

Отрицательные числа в скобках часто встречаются в выражениях. Например, (− 4) и 3 + (− 4) . Положительные числа в скобках тоже имеют место быть.

Сформулируем правило раскрытия скобок, в которых заключены одиночные положительные числа. Предположим, что а – это любое положительное число. Тогда (а) мы можем заменить на а, + (а) на + а, — (а) на – а. Если вместо а взять конкретное число, то согласно правилу: число (5) запишется как 5 , выражение 3 + (5) без скобок примет вид 3 + 5 , так как + (5) заменяется на + 5 , а выражение 3 + (− 5) эквивалентно выражению 3 − 5 , так как + (− 5) заменяется на − 5 .

Положительные числа обычно записываются без использования скобок, так как скобки в этом случае излишни.

Теперь рассмотрим правило раскрытия скобок, внутри которых содержится одиночное отрицательное число. + (− a) мы заменяем на − a , − (− a) заменяется на + a . Если выражение начинается с отрицательного числа (− a) , которое записано в скобках, то скобки опускаются и вместо (− a) остается − a .

Приведем примеры: (− 5) можно записать как − 5 , (− 3) + 0 , 5 принимает вид − 3 + 0 , 5 , 4 + (− 3) превращается в 4 − 3 , а − (− 4) − (− 3) после раскрытия скобок принимает вид 4 + 3 , так как − (− 4) и − (− 3) заменяется на + 4 и + 3 .

Следует понимать, что записать выражение 3 · (− 5) как 3 · − 5 нельзя. Об этом речь пойдет в следующих пунктах.

Давайте посмотрим, на чем основываются правила раскрытия скобок.

Согласно правилу разность a − b равна a + (− b) . На основе свойств действий с числами мы можем составить цепочку равенств (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = a , которая будет справедлива. Эта цепочка равенств в силу смысла вычитания доказывает, что выражение a + (− b) — это разность a − b .

Основываясь на свойствах противоположных чисел и правил вычитания отрицательных чисел мы можем утверждать, что − (− a) = a , a − (− b) = a + b .

Встречаются выражения, которые составляются из числа, знаков минуса и нескольких пар скобок. Использование приведенных выше правил позволяет последовательно избавляться от скобок, продвигаясь от внутренних скобок к наружным или в обратном направлении. Примером такого выражения может быть − (− ((− (5)))) . Раскроем скобки, продвигаясь изнутри наружу: − (− ((− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . Также этот пример можно разобрать и в обратном направлении: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .

Под a и b можно понимать не только числа, но также произвольные числовые или буквенные выражения со знаком « + » впереди, которые не являются суммами или разностями. Во всех этих случаях можно применять правила точно также, как мы делали это в отношении одиночных чисел в скобках.

К примеру, после раскрытия скобок выражение − (− 2 · x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 · x · y 2: z) примет вид 2 · x − x 2 − 1 x − 2 · x · y 2: z . Как мы это сделали? Мы знаем, что − (− 2 · x) есть + 2 · x , а так как это выражение стоит вначале, то + 2 · x можно записать как 2 · x , − (x 2) = − x 2 , + (− 1 x) = − 1 x и − (2 · x · y 2: z) = − 2 · x · y 2: z .

В произведениях двух чисел

Начнем с правила раскрытия скобок в произведении двух чисел.

Предположим, что a и b – это два положительных числа. В этом случае произведение двух отрицательных чисел − a и − b вида (− a) · (− b) мы можем заменить на (a · b) , а произведения двух чисел с противоположными знаками вида (− a) · b и a · (− b) заменить на (− a · b) . Умножение минуса на минус дает плюс, а умножение минуса на плюс, как и умножение плюса на минус дает минус.

Верность первой части записанного правила подтверждается правилом умножения отрицательных чисел. Для подтверждения второй части правила мы можем использовать правила умножения чисел с разными знаками.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1

Рассмотрим алгоритм раскрытия скобок в произведении двух отрицательных чисел — 4 3 5 и — 2 , вида (- 2) · — 4 3 5 . Для этого заменим исходное выражение на 2 · 4 3 5 . Раскроем скобки и получим 2 · 4 3 5 .

А если мы возьмем частное отрицательных чисел (− 4) : (− 2) , то запись после раскрытия скобок будет иметь вид 4: 2

На месте отрицательных чисел − a и − b могут быть любые выражения со знаком минус впереди, которые не являются суммами или разностями. К примеру, это могут быть произведения, частные, дроби, степени, корни, логарифмы, тригонометрические функции и т.п.

Раскроем скобки в выражении — 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) . Согласно правилу, мы можем произвести следующие преобразования: — 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) = — 3 · x x 2 + 1 · x · ln 5 = 3 · x x 2 + 1 · x · ln 5 .

Выражение (− 3) · 2 можно преобразовать в выражение (− 3 · 2) . После этого можно раскрыть скобки: − 3 · 2 .

2 3 · — 4 5 = — 2 3 · 4 5 = — 2 3 · 4 5

Деление чисел с разными знаками также может потребовать предварительного раскрытия скобок: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 и 2 3 4: (- 3 , 5) = — 2 3 4: 3 , 5 = — 2 3 4: 3 , 5 .

Правило может быть использовано для выполнения умножения и деления выражений с разными знаками. Приведем два примера.

1 x + 1: x — 3 = — 1 x + 1: x — 3 = — 1 x + 1: x — 3

sin (x) · (- x 2) = (- sin (x) · x 2) = — sin (x) · x 2

В произведениях трех и большего количества чисел

Перейдем к произведенимя и частным, которые содержат большее количество чисел. Для раскрытия скобок здесь будет действовать следующее правило. При четном количестве отрицательных чисел можно опустить скобки, заменив числа противоположными. После этого необходимо заключить полученное выражение в новые скобки. При нечетном количестве отрицательных чисел, опустив скобки, заменить числа на противоположные. После этого полученное выражение необходимо взять в новые скобки и поставить перед ним знак минус.

Пример 2

Для примера, возьмем выражение 5 · (− 3) · (− 2) , которое представляет собой произведение трех чисел. Отрицательных чисел два, следовательно, мы можем записать выражение как (5 · 3 · 2) и затем окончательно раскрыть скобки, получив выражение 5 · 3 · 2 .

В произведении (− 2 , 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1 , 25) : (− 1) пять чисел являются отрицательными. поэтому (− 2 , 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1 , 25) : (− 1) = (− 2 , 5 · 3: 2 · 4: 1 , 25: 1) . Окончательно раскрыв скобки, получаем −2,5·3:2·4:1,25:1 .

Обосновать приведенное выше правило можно следующим образом. Во-первых, такие выражения мы можем переписать как произведение, заменив умножением на обратное число деление. Представляем каждое отрицательное число как произведение множительного числа и — 1 или — 1 заменяем на (− 1) · a .

Используя переместительное свойство умножения меняем местами множители и переносим все множители, равные − 1 , в начало выражения. Произведение четного числа минус единиц равно 1 , а нечетного – равно − 1 , что позволяет нам использовать знак минус.

Если бы мы не использовали правило, то цепочка действий по раскрытию скобок в выражении — 2 3: (- 2) · 4: — 6 7 выглядела бы следующим образом:

2 3: (- 2) · 4: — 6 7 = — 2 3 · — 1 2 · 4 · — 7 6 = = (- 1) · 2 3 · (- 1) · 1 2 · 4 · (- 1) · 7 6 = = (- 1) · (- 1) · (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = = — 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6

Приведенное выше правило может быть использовано при раскрытии скобок в выражениях, которые представляют собой произведения и частные со знаком минус, не являющихся суммами или разностями. Возьмем для примера выражение

x 2 · (- x) : (- 1 x) · x — 3: 2 .

Его можно привести к выражению без скобок x 2 · x: 1 x · x — 3: 2 .

Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак +

Рассмотрим правило, которое можно применить для раскрытия скобок, перед которыми стоит знак плюс, а «содержимое» этих скобок не умножается и не делится на какое-либо число или выражение.

Согласно правилу скобки вместе со стоящим перед ними знаком опускаются, при этом знаки всех слагаемых в скобках сохраняются. Если перед первым слагаемым в скобках не стоит никакого знака, то нужно поставить знак плюс.

Пример 3

Для примера приведем выражение (12 − 3 , 5) − 7 . Опустив скобки, мы сохраняем знаки слагаемых в скобках и ставим перед первым слагаемым знак плюс. Запись будет иметь вид (12 − 3 , 5) − 7 = + 12 − 3 , 5 − 7 . В приведенном примере знак перед первым слагаемым ставить не обязательно, так как + 12 − 3 , 5 − 7 = 12 − 3 , 5 − 7 .

Пример 4

Рассмотрим еще один пример. Возьмем выражение x + 2 a — 3 x 2 + 1 — x 2 — 4 + 1 x и проведем с ним действия x + 2 a — 3 x 2 + 1 — x 2 — 4 + 1 x = = x + 2 a — 3 x 2 + 1 — x 2 — 4 + 1 x

Вот еще один пример раскрытия скобок:

Пример 5

2 + x 2 + 1 x — x · y · z + 2 · x — 1 + (- 1 + x — x 2) = = 2 + x 2 + 1 x — x · y · z + 2 · x — 1 — 1 + x + x 2

Как раскрываются скобки, перед которыми стоит знак минус

Рассмотрим случаи, когда перед скобками стоит знак минус, и которые не не умножаются (или делятся) на какое-либо число или выражение. Согласно правилу раскрытия скобок, перед которыми стоит знак « — », скобки со знаком « — » опускаются, при этом знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные.

Пример 6

К примеру:

1 2 = 1 2 , — 1 x + 1 = — 1 x + 1 , — (- x 2) = x 2

Выражения с переменными могут быть преобразованы с использованием того же правила:

X + x 3 — 3 — — 2 · x 2 + 3 · x 3 · x + 1 x — 1 — x + 2 ,

получаем x — x 3 — 3 + 2 · x 2 — 3 · x 3 · x + 1 x — 1 — x + 2 .

Раскрытие скобок при умножении числа на скобку, выражения на скобку

Здесь мы рассмотрим случаи, когда нужно раскрыть скобки, которые умножаются или делятся на какое-либо число или выражение. Тут применимы формулы вида (a 1 ± a 2 ± … ± a n) · b = (a 1 · b ± a 2 · b ± … ± a n · b) или b · (a 1 ± a 2 ± … ± a n) = (b · a 1 ± b · a 2 ± … ± b · a n) , где a 1 , a 2 , … , a n и b – некоторые числа или выражения.

Пример 7

Например, проведем раскрытие скобок в выражении (3 − 7) · 2 . Согласно правилу, мы можем провести следующие преобразования: (3 − 7) · 2 = (3 · 2 − 7 · 2) . Получаем 3 · 2 − 7 · 2 .

Раскрыв скобки в выражении 3 · x 2 · 1 — x + 1 x + 2 , получаем 3 x 2 · 1 — 3 · x 2 · x + 3 · x 2 · 1 x + 2 .

Умножение скобки на скобку

Рассмотрим произведение двух скобок вида (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) . Это поможет нам получить правило для раскрытия скобок при проведении умножения скобки на скобку.

Для того, чтобы решить приведенный пример, обозначим выражение (b 1 + b 2) как b . Это позволит нам использовать правило умножения скобки на выражение. Получим (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) · b = (a 1 · b + a 2 · b) = a 1 · b + a 2 · b . Выполнив обратную замену b на (b 1 + b 2) , снова применим правило умножения выражения на скобку: a 1 · b + a 2 · b = = a 1 · (b 1 + b 2) + a 2 · (b 1 + b 2) = = (a 1 · b 1 + a 1 · b 2) + (a 2 · b 1 + a 2 · b 2) = = a 1 · b 1 + a 1 · b 2 + a 2 · b 1 + a 2 · b 2

Благодаря ряду несложных приемов мы можем прийти к сумме произведений каждого из слагаемых из первой скобки на каждое из слагаемых из второй скобки. Правило можно распространить на любое количество слагаемых внутри скобок.

Сформулируем правила умножения скобки на скобку: чтобы перемножить между собой две суммы, необходимо каждое из слагаемых первой суммы перемножить на каждое из слагаемых второй суммы и сложить полученные результаты.

Формула будет иметь вид:

(a 1 + a 2 + . . . + a m) · (b 1 + b 2 + . . . + b n) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a 2 b n + + . . . + + a m b 1 + a m b 1 + . . . a m b n

Проведем раскрытие скобок в выражении (1 + x) · (x 2 + x + 6) Оно представляет собой произведение двух сумм. Запишем решение: (1 + x) · (x 2 + x + 6) = = (1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6) = = 1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6

Отдельно стоит остановиться на тех случаях, когда в скобках присутствует знак минус наряду со знаками плюс. Для примера возьмем выражение (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) .

Сначала представим выражения в скобках в виде сумм: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)) . Теперь мы можем применить правило: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)) = = (1 · 3 · x · y + 1 · (− 2 · x · y 3) + (− x) · 3 · x · y + (− x) · (− 2 · x · y 3))

Раскроем скобки: 1 · 3 · x · y − 1 · 2 · x · y 3 − x · 3 · x · y + x · 2 · x · y 3 .

Раскрытие скобок в произведениях нескольких скобок и выражений

При наличии в выражении трех и более выражений в скобках, раскрывать скобки необходимо последовательно. Начать преобразование необходимо с того, что два первых множителя берут в скобки. Внутри этих скобок мы можем проводить преобразования согласно правилам, рассмотренным выше. Например, скобки в выражении (2 + 4) · 3 · (5 + 7 · 8) .

В выражении содержится сразу три множителя (2 + 4) , 3 и (5 + 7 · 8) . Будем раскрывать скобки последовательно. Заключим первые два множителя еще в одни скобки, которые для наглядности сделаем красными: (2 + 4) · 3 · (5 + 7 · 8) = ((2 + 4) · 3) · (5 + 7 · 8) .

В соответствии с правилом умножения скобки на число мы можем провести следующие действия: ((2 + 4) · 3) · (5 + 7 · 8) = (2 · 3 + 4 · 3) · (5 + 7 · 8) .

Умножаем скобку на скобку: (2 · 3 + 4 · 3) · (5 + 7 · 8) = 2 · 3 · 5 + 2 · 3 · 7 · 8 + 4 · 3 · 5 + 4 · 3 · 7 · 8 .

Скобка в натуральной степени

Степени, основаниями которых являются некоторые выражения, записанные в скобках, с натуральными показателями можно рассматривать как произведение нескольких скобок. При этом по правилам из двух предыдущих пунктов их можно записать без этих скобок.

Рассмотрим процесс преобразования выражения (a + b + c) 2 . Его можно записать в виде произведения двух скобок (a + b + c) · (a + b + c) . Произведем умножение скобки на скобку и получим a · a + a · b + a · c + b · a + b · b + b · c + c · a + c · b + c · c .

Разберем еще один пример:

Пример 8

1 x + 2 3 = 1 x + 2 · 1 x + 2 · 1 x + 2 = = 1 x · 1 x + 1 x · 2 + 2 · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 2 = = 1 x · 1 x · 1 x + 1 x · 2 · 1 x + 2 · 1 x · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 1 x · 1 x · 2 + + 1 x 2 · 2 + 2 · 1 x · 2 + 2 · 2 · 2

Деление скобки на число и скобки на скобку

Деление скобки на число предполагает, что необходимо разделить на число все заключенные в скобки слагаемые. Например, (x 2 — x) : 4 = x 2: 4 — x: 4 .

Деление можно предварительно заменить умножением, после чего можно воспользоваться подходящим правилом раскрытия скобок в произведении. Это же правило применимо и при делении скобки на скобку.

Например, нам необходимо раскрыть скобки в выражении (x + 2) : 2 3 . Для этого сначала заменим деление умножением на обратное число (x + 2) : 2 3 = (x + 2) · 2 3 . Умножим скобку на число (x + 2) · 2 3 = x · 2 3 + 2 · 2 3 .

Вот еще один пример деления на скобку:

Пример 9

1 x + x + 1: (x + 2) .

Заменим деление умножением: 1 x + x + 1 · 1 x + 2 .

Выполним умножение: 1 x + x + 1 · 1 x + 2 = 1 x · 1 x + 2 + x · 1 x + 2 + 1 · 1 x + 2 .

Порядок раскрытия скобок

Теперь рассмотрим порядок применения правил, разобранных выше в выражениях общего вида, т.е. в выражениях, которые содержат суммы с разностями, произведения с частными, скобки в натуральной степени.

Порядок выполнения действий:

• первым делом необходимо выполнить возведение скобок в натуральную степень;
• на втором этапе производится раскрытие скобок в произведениях и частных;
• заключительным шагом будет раскрытие скобок в суммах и разностях.

Рассмотрим порядок выполнения действий на примере выражения (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) . Намнем преобразование с выражений 3 · (− 2) : (− 4) и 6 · (− 7) , которые должны принять вид (3 · 2: 4) и (− 6 · 7) . При подстановке полученных результатов в исходное выражение получаем: (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) = (− 5) + (3 · 2: 4) − (− 6 · 7) . Раскрываем скобки: − 5 + 3 · 2: 4 + 6 · 7 .

Имея дело с выражениями, которые содержат скобки в скобках, удобно проводить преобразования, продвигаясь изнутри наружу.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

На этом уроке вы узнаете, как из выражения, содержащего скобки, путем преобразования получить выражение, в котором скобок нет. Вы научитесь раскрывать скобки, перед которыми стоит знак плюс и знак минус. Мы вспомним, как раскрывать скобки, используя распределительный закон умножения. Рассмотренные примеры позволят связать новый и ранее изученный материал в единое целое.

Тема: Решение уравнений

Урок: Раскрытие скобок

Как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+». Использование сочетательного закона сложения.

Если к числу нужно прибавить сумму двух чисел, то можно к этому числу прибавить сначала первое слагаемое, а затем второе.

Слева от знака равно выражение со скобками, а справа — выражение без скобок. Значит, при переходе от левой части равенства к правой произошло раскрытие скобок.

Рассмотрим примеры.

Пример 1.

Раскрыв скобки, мы изменили порядок действий. Считать стало удобнее.

Пример 2.

Пример 3.

Заметим, что во всех трех примерах мы просто убирали скобки. Сформулируем правило:

Замечание.

Если первое слагаемое в скобках стоит без знака, то его надо записать со знаком «плюс».

Можно выполнить пример по действиям. Сначала к 889 прибавить 445. Это действие в уме выполнить можно, но это не очень просто. Раскроем скобки и увидим, что изменённый порядок действий значительно упростит вычисления.

Если следовать указанному порядку действий, то нужно сначала из 512 вычесть 345, а затем к результату прибавить 1345. Раскрыв скобки, мы изменим порядок действий и значительно упростим вычисления.

Иллюстрирующий пример и правило.

Рассмотрим пример: . Найти значение выражения можно, сложив 2 и 5, а затем взять полученное число с противоположным знаком. Получим -7.

С другой стороны, тот же самый результат можно получить, сложив числа, противоположные исходным.

Сформулируем правило:

Пример 1.

Пример 2.

Правило не изменяется, если в скобках не два, а три или более слагаемых.

Пример 3.

Замечание. Знаки меняются на противоположные только перед слагаемыми.

Для того чтобы раскрыть скобки, в данном случае нужно вспомнить распределительное свойство.

Сначала умножим первую скобку на 2, а вторую — на 3.

Перед первой скобкой стоит знак «+», значит, знаки нужно оставить без изменения. Перед второй стоит знак «-», следовательно, все знаки нужно поменять на противоположные

Список литературы

1. Виленкин Н. Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. — М.: Мнемозина, 2012.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. — Гимназия, 2006.
3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. — Просвещение, 1989.
4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс — ЗШ МИФИ, 2011.
5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. — ЗШ МИФИ, 2011.
6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. Библиотека учителя математики. — Просвещение, 1989.

1. Онлайн тесты по математике ().
2. Можно скачать указанные в п. 1.2. книги ().

Домашнее задание

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. — М.: Мнемозина, 2012. (ссылка см. 1.2)
2. Домашнее задание: № 1254, № 1255, № 1256 (б,г)
3. Другие задания: № 1258(в), № 1248

сформировать способность к раскрытию скобок с учетом знака, стоящего перед скобками;

развивающие:

развивать логическое мышление, внимание, математическую речь, умение анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы;

воспитывающие:

формирование ответственности, познавательного интереса к предмету

Ход урока

I. Организационный момент.

Проверь-ка дружок
Ты готов на урок?
Всё ли на месте? Всё в порядке?
Ручка, книжка и тетрадка.
Все ли правильно сидят?
Все ль внимательно глядят?

Начать урок я хочу с вопроса к вам:

Как вы думаете, что самое ценное на Земле? (Ответы детей.)

Этот вопрос волновал человечество не одну тысячу лет. Вот какой ответ дал известный ученый Аль-Бируни: “Знание – самое превосходное из владений. Все стремятся к нему, само же оно не приходит”.

Пусть эти слова станут девизом нашего урока.

II. Актуализация прежних знаний, умений, навыков:

Устный счет:

1.1. Какое сегодня число?

2. Расскажите, что вы знаете о числе 20?

3. А где расположено это число на координатной прямой?

4. Назовите число ему обратное.

5. Назовите число ему противоположное.

6. Как называется число – 20?

7. Какие числа называются противоположными?

8. Какие числа называются отрицательными?

9. Чем равен модуль числа 20? – 20?

10. Чему равна сумма противоположных чисел?

2. Объясните следующие записи:

а) Гениальный математик древности Архимед родился в 0 287 г.

б) Гениальный русский математик Н.И.Лобаческий родился в 1792 г.

в) Первые олимпийские игры состоялись в Греции в – 776 г.

г) Первые Международные олимпийские игры состоялись в 1896 г.

д) XXII Олимпийские зимние игры состоялись в 2014 году.

3. Узнайте, какие числа крутятся на “математической карусели” (все действия выполняются устно).

II. Формирование новых знаний, умений, навыков.

Вы научились выполнять разные действия с целыми числами. Чем же будем заниматься дальше? Как будем решать примеры и уравнения?

Давайте найдем значение данных выражений

7 + (3 + 4) = -7 + 7 = 0
-7 + 3 + 4 = 0

Какой порядок действий в 1 примере? Сколько получилось в скобках? Порядок действий во втором примере? Результат первого действия? Что можно сказать об этих выражениях?

Конечно результаты первого и второго выражений одинаковы, значит между ними можно поставить знак равенства: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4

Что же мы сделали со скобками? (Опустили. )

Как вы думаете чем мы будем заниматься сегодня на уроке? (Дети формулируют тему урока.) В нашем примере, какой знак стоит перед скобками. (Плюс.)

И так мы подошли к следующему правилу:

Если перед скобками стоит знак +, то можно опустить скобки и этот знак +, сохраняя знаки слагаемых, стоящих в скобках. Если первое слагаемое в скобках записано без знака, то его надо записать со знаком +.

А как быть, если перед скобками стоит знак минус?

В этом случае нужно рассуждать так же как при вычитании: необходимо прибавить число противоположное вычитаемому:

7 – (3 + 4) = -7 + (-7) = -7 + (-3) + (-4) = -7 – 3 – 4 = -14

– Итак, мы раскрыли скобки, когда перед ними стоял знак минус.

Правило раскрытия скобок, когда перед скобками стоит знак “-“.

Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак -, надо заменить этот знак на +, поменяв знаки всех слагаемых в скобках на противоположные, а потом раскрыть скобки.

Давайте послушаем правила раскрытия скобок в стихах:

Перед скобкой плюс стоит.
Он о том и говорит
Что ты скобки опускай
Да все знаки выпускай!
Перед скобкой минус строгий
Загородит нам дорогу
Чтобы скобки убирать
Надо знаки поменять!

Да ребята знак минус очень коварный, это “ сторож” у ворот(скобки), он выпускает числа и переменные только тогда, когда они поменяют “ паспорта”, то есть свои знаки.

Зачем вообще нужно раскрывать скобки? (Когда есть скобки, есть момент какой-то элемент незавершенности, какой-то тайны. Это – как закрытая дверь, за которой находится что-то интересное.) Вот сегодня мы изведали эту тайну.

Небольшой экскурс в историю:

Фигурные скобки появляются в сочинениях Виета (1593). Широкое применение скобки получили лишь в первой половине XVIII века, благодаря Лейбницу и ещё больше Эйлеру.

Физкультминутка.

III. Закрепление новых знаний, умений, навыков.

Работа по учебнику:

№ 1234 (раскройте скобки) – устно.

№ 1236(раскройте скобки) – устно.

№ 1235 (найдите значение выражения) – письменно.

№ 1238 (упростите выражения) – работа в парах.

IV. Подведение итогов урока.

1. Объявляются оценки.

2. Дом. задание. п.39 №1254 (а, б, в),1255 (а, б, в),1259.

3. Чему мы сегодня научились?

Что нового узнали?

И завершить урок я хочу пожеланиями каждому из вас:

“К математике способность проявляй,
Не ленись, а ежедневно развивай.
Умножай, дели, трудись, соображай,
С математикой дружить не забывай”.

На этом уроке вы узнаете, как из выражения, содержащего скобки, путем преобразования получить выражение, в котором скобок нет. Вы научитесь раскрывать скобки, перед которыми стоит знак плюс и знак минус. Мы вспомним, как раскрывать скобки, используя распределительный закон умножения. Рассмотренные примеры позволят связать новый и ранее изученный материал в единое целое.

Тема: Решение уравнений

Урок: Раскрытие скобок

Как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+». Использование сочетательного закона сложения.

Если к числу нужно прибавить сумму двух чисел, то можно к этому числу прибавить сначала первое слагаемое, а затем второе.

Слева от знака равно выражение со скобками, а справа — выражение без скобок. Значит, при переходе от левой части равенства к правой произошло раскрытие скобок.

Рассмотрим примеры.

Пример 1.

Раскрыв скобки, мы изменили порядок действий. Считать стало удобнее.

Пример 2.

Пример 3.

Заметим, что во всех трех примерах мы просто убирали скобки. Сформулируем правило:

Замечание.

Если первое слагаемое в скобках стоит без знака, то его надо записать со знаком «плюс».

Можно выполнить пример по действиям. Сначала к 889 прибавить 445. Это действие в уме выполнить можно, но это не очень просто. Раскроем скобки и увидим, что изменённый порядок действий значительно упростит вычисления.

Если следовать указанному порядку действий, то нужно сначала из 512 вычесть 345, а затем к результату прибавить 1345. Раскрыв скобки, мы изменим порядок действий и значительно упростим вычисления.

Иллюстрирующий пример и правило.

Рассмотрим пример: . Найти значение выражения можно, сложив 2 и 5, а затем взять полученное число с противоположным знаком. Получим -7.

С другой стороны, тот же самый результат можно получить, сложив числа, противоположные исходным.

Сформулируем правило:

Пример 1.

Пример 2.

Правило не изменяется, если в скобках не два, а три или более слагаемых.

Пример 3.

Замечание. Знаки меняются на противоположные только перед слагаемыми.

Для того чтобы раскрыть скобки, в данном случае нужно вспомнить распределительное свойство.

Сначала умножим первую скобку на 2, а вторую — на 3.

Перед первой скобкой стоит знак «+», значит, знаки нужно оставить без изменения. Перед второй стоит знак «-», следовательно, все знаки нужно поменять на противоположные

Список литературы

1. Виленкин Н. Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. — М.: Мнемозина, 2012.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. — Гимназия, 2006.
3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. — Просвещение, 1989.
4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс — ЗШ МИФИ, 2011.
5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. — ЗШ МИФИ, 2011.
6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. Библиотека учителя математики. — Просвещение, 1989.

1. Онлайн тесты по математике ().
2. Можно скачать указанные в п. 1.2. книги ().

Домашнее задание

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. — М.: Мнемозина, 2012. (ссылка см. 1.2)
2. Домашнее задание: № 1254, № 1255, № 1256 (б,г)
3. Другие задания: № 1258(в), № 1248

Раскрытие скобок / Рациональные числа / Справочник по математике 5-9 класс

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по математике 5-9 класс
4. Рациональные числа
5. Раскрытие скобок

Замена выражения, которое записано со скобками, на выражение, равное ему, но записанное без скобок называют раскрытием скобок.

При раскрытии скобок используем следующие правила:

Если перед скобками стоит знак «+», то можно опустить скобки и этот знак «+», сохранив знаки слагаемых, стоящих в скобках. Если первое слагаемое в скобках записано без знака, то его надо записать со знаком «+».

Примеры:

Примеры:

Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак ««, надо заменить этот знак на «+», поменяв знаки всех слагаемых в скобках на противоположные, а потом раскрыть скобки.

Примеры:

Подобные слагаемые

Подобные слагаемые — это слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть, т.е. подобные слагаемые могут отличаться только коэффициентами.

Так, например, в выражении 3 + 7 2 5 подобными слагаемыми будут 3 и 2, а также 7 и 5 .

Чтобы сложить (или привести) подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на общую буквенную часть.

Примеры:

1) 5 + 2 = 7;

2) 3 + 7 2 5 = (3 2) + (7 5 ) = + 2.

3) 4 + 5 3 = (4 3) + 5 = 7 + 5.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Положительные и отрицательные числа. Координаты на прямой

Модуль числа

Рациональные числа

Сравнение рациональных чисел

Сложение рациональных чисел

Вычитание рациональных чисел

Умножение рациональных чисел

Деление рациональных чисел

Свойства действий с рациональными числами

Решение уравнений

Рациональные числа

Правило встречается в следующих упражнениях:

6 класс

Номер 1, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1149, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1162, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Задание 1234, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1254, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1321, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1325, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1334, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1342, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1516, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

7 класс

Номер 38, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 107, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 113, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 303, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 309, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 402, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 448, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 529, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 540, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 586, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

---

© budu5. com, 2022

Пользовательское соглашение

Copyright

Если после скобки стоит минус то. Раскрытие скобок: правила, примеры, решения

Скобки используются для указания на порядок выполнения действий в числовых и буквенных выражениях, а также в выражениях с переменными. От выражения со скобками удобно перейти к тождественно равному выражению без скобок. Этот прием носит название раскрытия скобок.

Раскрыть скобки означает избавить выражение от этих скобок.

Отдельного внимания заслуживает еще один момент, который касается особенностей записи решений при раскрытии скобок. Мы можем записать начальное выражение со скобками и полученный после раскрытия скобок результат как равенство. Например, после раскрытия скобок вместо выражения
3−(5−7) мы получаем выражение 3−5+7. Оба этих выражения мы можем записать в виде равенства 3−(5−7)=3−5+7.

И еще один важный момент. В математике для сокращения записей принято не писать знак плюс, если он стоит в выражении или в скобках первым. Например, если мы складываем два положительных числа, к примеру, семь и три, то пишем не +7+3, а просто 7+3, несмотря на то, что семерка тоже положительное число. Аналогично если вы видите, например, выражение (5+x) – знайте, что и перед скобкой стоит плюс, который не пишут, и перед пятеркой стоит плюс +(+5+x).

Правило раскрытия скобок при сложении

При раскрытии скобок, если перед скобками стоит плюс, то этот плюс опускается вместе со скобками.

Пример. Раскрыть скобки в выражении 2 + (7 + 3) Перед скобками плюс, значит знаки перед числами в скобках не меняем.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

Правило раскрытия скобок при вычитании

Если перед скобками стоит минус, то этот минус опускается вместе со скобками, но слагаемые, которые были в скобках, меняют свой знак на противоположный. Отсутствие знака перед первым слагаемым в скобках подразумевает знак +.

Пример. Раскрыть скобки в выражении 2 − (7 + 3)

Перед скобками стоит минус, значит нужно поменять знаки перед числами из скобок. В скобках перед цифрой 7 знака нет, это значит, что семерка положительная, считается, что перед ней знак +.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

При раскрытии скобок убираем из примера минус, который был перед скобками, и сами скобки 2 − (+ 7 + 3) , а знаки, которые были в скобках, меняем на противоположные.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

Раскрытие скобок при умножении

Если перед скобками стоит знак умножения, то каждое число, стоящее внутри скобок, умножается на множитель, стоящий перед скобками. При этом умножение минуса на минус дает плюс, а умножение минуса на плюс, как и умножение плюса на минус дает минус.

Таким образом, сскобки в произведениях раскрываются в соответствии с распределительным свойством умножения.

Пример. 2 · (9 — 7) = 2 · 9 — 2 · 7

При умножении скобки на скобку, каждый член первой скобки перемножается с каждым членом второй скобки.

(2 + 3) · (4 + 5) = 2 · 4 + 2 · 5 + 3 · 4 + 3 · 5

На самом деле, нет необходимости запоминать все правила, достаточно помнить только одно, вот это: c(a−b)=ca−cb. Почему? Потому что если в него вместо c подставить единицу, получится правило (a−b)=a−b. А если подставить минус единицу, получим правило −(a−b)=−a+b. Ну, а если вместо c подставить другую скобку – можно получить последнее правило.

Раскрываем скобки при делении

Если после скобок стоит знак деления, то каждое число, стоящее внутри скобок, делится на делитель, стоящий после скобок, и наоборот.

Пример. (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3

Как раскрыть вложенные скобки

Если в выражении присутствуют вложенные скобки, то их раскрывают по порядку, начиная с внешних или внутренних.

При этом важно при раскрытии одной из скобок не трогать остальные скобки, просто переписывая их как есть.

Пример. 12 — (a + (6 — b) — 3) = 12 — a — (6 — b) + 3 = 12 — a — 6 + b + 3 = 9 — a + b

Раскрытие скобок является одним из видов преобразования выражения. В этом разделе мы опишем правила раскрытия скобок, а также рассмотрим наиболее часто встречающиеся примеры задач.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Что называется раскрытием скобок?

Скобки используются для указания на порядок выполнения действий в числовых и буквенных выражениях, а также в выражениях с переменными. От выражения со скобками удобно перейти к тождественно равному выражению без скобок. Например, заменить выражение 2 · (3 + 4) на выражение вида 2 · 3 + 2 · 4 без скобок. Этот прием носит название раскрытия скобок.

Определение 1

Под раскрытием скобок подразумевают приемы избавления от скобок и рассматривают его обычно в отношении выражений, которые могут содержать:

• знаки « + » или « — » перед скобками, в которые заключены суммы или разности;
• произведение числа, буквы или нескольких букв и суммы или разности, которая помещена в скобки.

Так мы привыкли рассматривать процесс раскрытия скобок в курсе школьной программы. Однако никто не мешает нам посмотреть на это действие шире. Мы можем назвать раскрытием скобок переход от выражения, которое содержит отрицательные числа в скобках, к выражению, не имеющему скобок. К примеру, мы можем перейти от 5 + (− 3) − (− 7) к 5 − 3 + 7 . Фактически, это тоже раскрытие скобок.

Точно также мы можем заменить произведение выражений в скобках вида (a + b) · (c + d) на сумму a · c + a · d + b · c + b · d . Такой прием также не противоречит смыслу раскрытия скобок.

Вот еще один пример. Мы можем допустить, что в выражениях вместо чисел и переменных могут быть использованы любые выражения. Например, выражению x 2 · 1 a — x + sin (b) будет соответствовать выражение без скобок вида x 2 · 1 a — x 2 · x + x 2 · sin (b) .

Отдельного внимания заслуживать еще один момент, который касается особенностей записи решений при раскрытии скобок. Мы можем записать начальное выражение со скобками и полученный после раскрытия скобок результат как равенство. Например, после раскрытия скобок вместо выражения 3 − (5 − 7) мы получаем выражение 3 − 5 + 7 . Оба этих выражения мы можем записать в виде равенства 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7 .

Проведение действий с громоздкими выражениями может потребовать записи промежуточных результатов. Тогда решение будет иметь вид цепочки равенств. Например, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 или 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .

Правила раскрытия скобок, примеры

Приступим к рассмотрению правил раскрытия скобок.

У одиночных чисел в скобках

Отрицательные числа в скобках часто встречаются в выражениях. Например, (− 4) и 3 + (− 4) . Положительные числа в скобках тоже имеют место быть.

Сформулируем правило раскрытия скобок, в которых заключены одиночные положительные числа. Предположим, что а – это любое положительное число. Тогда (а) мы можем заменить на а, + (а) на + а, — (а) на – а. Если вместо а взять конкретное число, то согласно правилу: число (5) запишется как 5 , выражение 3 + (5) без скобок примет вид 3 + 5 , так как + (5) заменяется на + 5 , а выражение 3 + (− 5) эквивалентно выражению 3 − 5 , так как + (− 5) заменяется на − 5 .

Положительные числа обычно записываются без использования скобок, так как скобки в этом случае излишни.

Теперь рассмотрим правило раскрытия скобок, внутри которых содержится одиночное отрицательное число. + (− a) мы заменяем на − a , − (− a) заменяется на + a . Если выражение начинается с отрицательного числа (− a) , которое записано в скобках, то скобки опускаются и вместо (− a) остается − a .

Приведем примеры: (− 5) можно записать как − 5 , (− 3) + 0 , 5 принимает вид − 3 + 0 , 5 , 4 + (− 3) превращается в 4 − 3 , а − (− 4) − (− 3) после раскрытия скобок принимает вид 4 + 3 , так как − (− 4) и − (− 3) заменяется на + 4 и + 3 .

Следует понимать, что записать выражение 3 · (− 5) как 3 · − 5 нельзя. Об этом речь пойдет в следующих пунктах.

Давайте посмотрим, на чем основываются правила раскрытия скобок.

Согласно правилу разность a − b равна a + (− b) . На основе свойств действий с числами мы можем составить цепочку равенств (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = a , которая будет справедлива. Эта цепочка равенств в силу смысла вычитания доказывает, что выражение a + (− b) — это разность a − b .

Основываясь на свойствах противоположных чисел и правил вычитания отрицательных чисел мы можем утверждать, что − (− a) = a , a − (− b) = a + b .

Встречаются выражения, которые составляются из числа, знаков минуса и нескольких пар скобок. Использование приведенных выше правил позволяет последовательно избавляться от скобок, продвигаясь от внутренних скобок к наружным или в обратном направлении. Примером такого выражения может быть − (− ((− (5)))) . Раскроем скобки, продвигаясь изнутри наружу: − (− ((− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . Также этот пример можно разобрать и в обратном направлении: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .

Под a и b можно понимать не только числа, но также произвольные числовые или буквенные выражения со знаком « + » впереди, которые не являются суммами или разностями. Во всех этих случаях можно применять правила точно также, как мы делали это в отношении одиночных чисел в скобках.

К примеру, после раскрытия скобок выражение − (− 2 · x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 · x · y 2: z) примет вид 2 · x − x 2 − 1 x − 2 · x · y 2: z . Как мы это сделали? Мы знаем, что − (− 2 · x) есть + 2 · x , а так как это выражение стоит вначале, то + 2 · x можно записать как 2 · x , − (x 2) = − x 2 , + (− 1 x) = − 1 x и − (2 · x · y 2: z) = − 2 · x · y 2: z .

В произведениях двух чисел

Начнем с правила раскрытия скобок в произведении двух чисел.

Предположим, что a и b – это два положительных числа. В этом случае произведение двух отрицательных чисел − a и − b вида (− a) · (− b) мы можем заменить на (a · b) , а произведения двух чисел с противоположными знаками вида (− a) · b и a · (− b) заменить на (− a · b) . Умножение минуса на минус дает плюс, а умножение минуса на плюс, как и умножение плюса на минус дает минус.

Верность первой части записанного правила подтверждается правилом умножения отрицательных чисел. Для подтверждения второй части правила мы можем использовать правила умножения чисел с разными знаками.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1

Рассмотрим алгоритм раскрытия скобок в произведении двух отрицательных чисел — 4 3 5 и — 2 , вида (- 2) · — 4 3 5 . Для этого заменим исходное выражение на 2 · 4 3 5 . Раскроем скобки и получим 2 · 4 3 5 .

А если мы возьмем частное отрицательных чисел (− 4) : (− 2) , то запись после раскрытия скобок будет иметь вид 4: 2

На месте отрицательных чисел − a и − b могут быть любые выражения со знаком минус впереди, которые не являются суммами или разностями. К примеру, это могут быть произведения, частные, дроби, степени, корни, логарифмы, тригонометрические функции и т.п.

Раскроем скобки в выражении — 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) . Согласно правилу, мы можем произвести следующие преобразования: — 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) = — 3 · x x 2 + 1 · x · ln 5 = 3 · x x 2 + 1 · x · ln 5 .

Выражение (− 3) · 2 можно преобразовать в выражение (− 3 · 2) . После этого можно раскрыть скобки: − 3 · 2 .

2 3 · — 4 5 = — 2 3 · 4 5 = — 2 3 · 4 5

Деление чисел с разными знаками также может потребовать предварительного раскрытия скобок: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 и 2 3 4: (- 3 , 5) = — 2 3 4: 3 , 5 = — 2 3 4: 3 , 5 .

Правило может быть использовано для выполнения умножения и деления выражений с разными знаками. Приведем два примера.

1 x + 1: x — 3 = — 1 x + 1: x — 3 = — 1 x + 1: x — 3

sin (x) · (- x 2) = (- sin (x) · x 2) = — sin (x) · x 2

В произведениях трех и большего количества чисел

Перейдем к произведенимя и частным, которые содержат большее количество чисел. Для раскрытия скобок здесь будет действовать следующее правило. При четном количестве отрицательных чисел можно опустить скобки, заменив числа противоположными. После этого необходимо заключить полученное выражение в новые скобки. При нечетном количестве отрицательных чисел, опустив скобки, заменить числа на противоположные. После этого полученное выражение необходимо взять в новые скобки и поставить перед ним знак минус.

Пример 2

Для примера, возьмем выражение 5 · (− 3) · (− 2) , которое представляет собой произведение трех чисел. Отрицательных чисел два, следовательно, мы можем записать выражение как (5 · 3 · 2) и затем окончательно раскрыть скобки, получив выражение 5 · 3 · 2 .

В произведении (− 2 , 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1 , 25) : (− 1) пять чисел являются отрицательными. поэтому (− 2 , 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1 , 25) : (− 1) = (− 2 , 5 · 3: 2 · 4: 1 , 25: 1) . Окончательно раскрыв скобки, получаем −2,5·3:2·4:1,25:1 .

Обосновать приведенное выше правило можно следующим образом. Во-первых, такие выражения мы можем переписать как произведение, заменив умножением на обратное число деление. Представляем каждое отрицательное число как произведение множительного числа и — 1 или — 1 заменяем на (− 1) · a .

Используя переместительное свойство умножения меняем местами множители и переносим все множители, равные − 1 , в начало выражения. Произведение четного числа минус единиц равно 1 , а нечетного – равно − 1 , что позволяет нам использовать знак минус.

Если бы мы не использовали правило, то цепочка действий по раскрытию скобок в выражении — 2 3: (- 2) · 4: — 6 7 выглядела бы следующим образом:

2 3: (- 2) · 4: — 6 7 = — 2 3 · — 1 2 · 4 · — 7 6 = = (- 1) · 2 3 · (- 1) · 1 2 · 4 · (- 1) · 7 6 = = (- 1) · (- 1) · (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = = — 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6

Приведенное выше правило может быть использовано при раскрытии скобок в выражениях, которые представляют собой произведения и частные со знаком минус, не являющихся суммами или разностями. Возьмем для примера выражение

x 2 · (- x) : (- 1 x) · x — 3: 2 .

Его можно привести к выражению без скобок x 2 · x: 1 x · x — 3: 2 .

Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак +

Рассмотрим правило, которое можно применить для раскрытия скобок, перед которыми стоит знак плюс, а «содержимое» этих скобок не умножается и не делится на какое-либо число или выражение.

Согласно правилу скобки вместе со стоящим перед ними знаком опускаются, при этом знаки всех слагаемых в скобках сохраняются. Если перед первым слагаемым в скобках не стоит никакого знака, то нужно поставить знак плюс.

Пример 3

Для примера приведем выражение (12 − 3 , 5) − 7 . Опустив скобки, мы сохраняем знаки слагаемых в скобках и ставим перед первым слагаемым знак плюс. Запись будет иметь вид (12 − 3 , 5) − 7 = + 12 − 3 , 5 − 7 . В приведенном примере знак перед первым слагаемым ставить не обязательно, так как + 12 − 3 , 5 − 7 = 12 − 3 , 5 − 7 .

Пример 4

Рассмотрим еще один пример. Возьмем выражение x + 2 a — 3 x 2 + 1 — x 2 — 4 + 1 x и проведем с ним действия x + 2 a — 3 x 2 + 1 — x 2 — 4 + 1 x = = x + 2 a — 3 x 2 + 1 — x 2 — 4 + 1 x

Вот еще один пример раскрытия скобок:

Пример 5

2 + x 2 + 1 x — x · y · z + 2 · x — 1 + (- 1 + x — x 2) = = 2 + x 2 + 1 x — x · y · z + 2 · x — 1 — 1 + x + x 2

Как раскрываются скобки, перед которыми стоит знак минус

Рассмотрим случаи, когда перед скобками стоит знак минус, и которые не не умножаются (или делятся) на какое-либо число или выражение. Согласно правилу раскрытия скобок, перед которыми стоит знак « — », скобки со знаком « — » опускаются, при этом знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные.

Пример 6

К примеру:

1 2 = 1 2 , — 1 x + 1 = — 1 x + 1 , — (- x 2) = x 2

Выражения с переменными могут быть преобразованы с использованием того же правила:

X + x 3 — 3 — — 2 · x 2 + 3 · x 3 · x + 1 x — 1 — x + 2 ,

получаем x — x 3 — 3 + 2 · x 2 — 3 · x 3 · x + 1 x — 1 — x + 2 .

Раскрытие скобок при умножении числа на скобку, выражения на скобку

Здесь мы рассмотрим случаи, когда нужно раскрыть скобки, которые умножаются или делятся на какое-либо число или выражение. Тут применимы формулы вида (a 1 ± a 2 ± … ± a n) · b = (a 1 · b ± a 2 · b ± … ± a n · b) или b · (a 1 ± a 2 ± … ± a n) = (b · a 1 ± b · a 2 ± … ± b · a n) , где a 1 , a 2 , … , a n и b – некоторые числа или выражения.

Пример 7

Например, проведем раскрытие скобок в выражении (3 − 7) · 2 . Согласно правилу, мы можем провести следующие преобразования: (3 − 7) · 2 = (3 · 2 − 7 · 2) . Получаем 3 · 2 − 7 · 2 .

Раскрыв скобки в выражении 3 · x 2 · 1 — x + 1 x + 2 , получаем 3 x 2 · 1 — 3 · x 2 · x + 3 · x 2 · 1 x + 2 .

Умножение скобки на скобку

Рассмотрим произведение двух скобок вида (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) . Это поможет нам получить правило для раскрытия скобок при проведении умножения скобки на скобку.

Для того, чтобы решить приведенный пример, обозначим выражение (b 1 + b 2) как b . Это позволит нам использовать правило умножения скобки на выражение. Получим (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) · b = (a 1 · b + a 2 · b) = a 1 · b + a 2 · b . Выполнив обратную замену b на (b 1 + b 2) , снова применим правило умножения выражения на скобку: a 1 · b + a 2 · b = = a 1 · (b 1 + b 2) + a 2 · (b 1 + b 2) = = (a 1 · b 1 + a 1 · b 2) + (a 2 · b 1 + a 2 · b 2) = = a 1 · b 1 + a 1 · b 2 + a 2 · b 1 + a 2 · b 2

Благодаря ряду несложных приемов мы можем прийти к сумме произведений каждого из слагаемых из первой скобки на каждое из слагаемых из второй скобки. Правило можно распространить на любое количество слагаемых внутри скобок.

Сформулируем правила умножения скобки на скобку: чтобы перемножить между собой две суммы, необходимо каждое из слагаемых первой суммы перемножить на каждое из слагаемых второй суммы и сложить полученные результаты.

Формула будет иметь вид:

(a 1 + a 2 + . . . + a m) · (b 1 + b 2 + . . . + b n) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a 2 b n + + . . . + + a m b 1 + a m b 1 + . . . a m b n

Проведем раскрытие скобок в выражении (1 + x) · (x 2 + x + 6) Оно представляет собой произведение двух сумм. Запишем решение: (1 + x) · (x 2 + x + 6) = = (1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6) = = 1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6

Отдельно стоит остановиться на тех случаях, когда в скобках присутствует знак минус наряду со знаками плюс. Для примера возьмем выражение (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) .

Сначала представим выражения в скобках в виде сумм: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)) . Теперь мы можем применить правило: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)) = = (1 · 3 · x · y + 1 · (− 2 · x · y 3) + (− x) · 3 · x · y + (− x) · (− 2 · x · y 3))

Раскроем скобки: 1 · 3 · x · y − 1 · 2 · x · y 3 − x · 3 · x · y + x · 2 · x · y 3 .

Раскрытие скобок в произведениях нескольких скобок и выражений

При наличии в выражении трех и более выражений в скобках, раскрывать скобки необходимо последовательно. Начать преобразование необходимо с того, что два первых множителя берут в скобки. Внутри этих скобок мы можем проводить преобразования согласно правилам, рассмотренным выше. Например, скобки в выражении (2 + 4) · 3 · (5 + 7 · 8) .

В выражении содержится сразу три множителя (2 + 4) , 3 и (5 + 7 · 8) . Будем раскрывать скобки последовательно. Заключим первые два множителя еще в одни скобки, которые для наглядности сделаем красными: (2 + 4) · 3 · (5 + 7 · 8) = ((2 + 4) · 3) · (5 + 7 · 8) .

В соответствии с правилом умножения скобки на число мы можем провести следующие действия: ((2 + 4) · 3) · (5 + 7 · 8) = (2 · 3 + 4 · 3) · (5 + 7 · 8) .

Умножаем скобку на скобку: (2 · 3 + 4 · 3) · (5 + 7 · 8) = 2 · 3 · 5 + 2 · 3 · 7 · 8 + 4 · 3 · 5 + 4 · 3 · 7 · 8 .

Скобка в натуральной степени

Степени, основаниями которых являются некоторые выражения, записанные в скобках, с натуральными показателями можно рассматривать как произведение нескольких скобок. При этом по правилам из двух предыдущих пунктов их можно записать без этих скобок.

Рассмотрим процесс преобразования выражения (a + b + c) 2 . Его можно записать в виде произведения двух скобок (a + b + c) · (a + b + c) . Произведем умножение скобки на скобку и получим a · a + a · b + a · c + b · a + b · b + b · c + c · a + c · b + c · c .

Разберем еще один пример:

Пример 8

1 x + 2 3 = 1 x + 2 · 1 x + 2 · 1 x + 2 = = 1 x · 1 x + 1 x · 2 + 2 · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 2 = = 1 x · 1 x · 1 x + 1 x · 2 · 1 x + 2 · 1 x · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 1 x · 1 x · 2 + + 1 x 2 · 2 + 2 · 1 x · 2 + 2 · 2 · 2

Деление скобки на число и скобки на скобку

Деление скобки на число предполагает, что необходимо разделить на число все заключенные в скобки слагаемые. Например, (x 2 — x) : 4 = x 2: 4 — x: 4 .

Деление можно предварительно заменить умножением, после чего можно воспользоваться подходящим правилом раскрытия скобок в произведении. Это же правило применимо и при делении скобки на скобку.

Например, нам необходимо раскрыть скобки в выражении (x + 2) : 2 3 . Для этого сначала заменим деление умножением на обратное число (x + 2) : 2 3 = (x + 2) · 2 3 . Умножим скобку на число (x + 2) · 2 3 = x · 2 3 + 2 · 2 3 .

Вот еще один пример деления на скобку:

Пример 9

1 x + x + 1: (x + 2) .

Заменим деление умножением: 1 x + x + 1 · 1 x + 2 .

Выполним умножение: 1 x + x + 1 · 1 x + 2 = 1 x · 1 x + 2 + x · 1 x + 2 + 1 · 1 x + 2 .

Порядок раскрытия скобок

Теперь рассмотрим порядок применения правил, разобранных выше в выражениях общего вида, т.е. в выражениях, которые содержат суммы с разностями, произведения с частными, скобки в натуральной степени.

Порядок выполнения действий:

• первым делом необходимо выполнить возведение скобок в натуральную степень;
• на втором этапе производится раскрытие скобок в произведениях и частных;
• заключительным шагом будет раскрытие скобок в суммах и разностях.

Рассмотрим порядок выполнения действий на примере выражения (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) . Намнем преобразование с выражений 3 · (− 2) : (− 4) и 6 · (− 7) , которые должны принять вид (3 · 2: 4) и (− 6 · 7) . При подстановке полученных результатов в исходное выражение получаем: (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) = (− 5) + (3 · 2: 4) − (− 6 · 7) . Раскрываем скобки: − 5 + 3 · 2: 4 + 6 · 7 .

Имея дело с выражениями, которые содержат скобки в скобках, удобно проводить преобразования, продвигаясь изнутри наружу.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

На этом уроке вы узнаете, как из выражения, содержащего скобки, путем преобразования получить выражение, в котором скобок нет. Вы научитесь раскрывать скобки, перед которыми стоит знак плюс и знак минус. Мы вспомним, как раскрывать скобки, используя распределительный закон умножения. Рассмотренные примеры позволят связать новый и ранее изученный материал в единое целое.

Тема: Решение уравнений

Урок: Раскрытие скобок

Как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+». Использование сочетательного закона сложения.

Если к числу нужно прибавить сумму двух чисел, то можно к этому числу прибавить сначала первое слагаемое, а затем второе.

Слева от знака равно выражение со скобками, а справа — выражение без скобок. Значит, при переходе от левой части равенства к правой произошло раскрытие скобок.

Рассмотрим примеры.

Пример 1.

Раскрыв скобки, мы изменили порядок действий. Считать стало удобнее.

Пример 2.

Пример 3.

Заметим, что во всех трех примерах мы просто убирали скобки. Сформулируем правило:

Замечание.

Если первое слагаемое в скобках стоит без знака, то его надо записать со знаком «плюс».

Можно выполнить пример по действиям. Сначала к 889 прибавить 445. Это действие в уме выполнить можно, но это не очень просто. Раскроем скобки и увидим, что изменённый порядок действий значительно упростит вычисления.

Если следовать указанному порядку действий, то нужно сначала из 512 вычесть 345, а затем к результату прибавить 1345. Раскрыв скобки, мы изменим порядок действий и значительно упростим вычисления.

Иллюстрирующий пример и правило.

Рассмотрим пример: . Найти значение выражения можно, сложив 2 и 5, а затем взять полученное число с противоположным знаком. Получим -7.

С другой стороны, тот же самый результат можно получить, сложив числа, противоположные исходным.

Сформулируем правило:

Пример 1.

Пример 2.

Правило не изменяется, если в скобках не два, а три или более слагаемых.

Пример 3.

Замечание. Знаки меняются на противоположные только перед слагаемыми.

Для того чтобы раскрыть скобки, в данном случае нужно вспомнить распределительное свойство.

Сначала умножим первую скобку на 2, а вторую — на 3.

Перед первой скобкой стоит знак «+», значит, знаки нужно оставить без изменения. Перед второй стоит знак «-», следовательно, все знаки нужно поменять на противоположные

Список литературы

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. — М.: Мнемозина, 2012.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. — Гимназия, 2006.
3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. — Просвещение, 1989.
4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс — ЗШ МИФИ, 2011.
5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. — ЗШ МИФИ, 2011.
6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. Библиотека учителя математики. — Просвещение, 1989.

1. Онлайн тесты по математике (). 3 \)

   Произведение одночлена и многочлена тождественно равно сумме произведений этого одночлена и каждого из членов многочлена.

   Этот результат обычно формулируют в виде правила.

   Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый из членов многочлена.

   Мы уже неоднократно использовали это правило для умножения на сумму.

   Произведение многочленов. Преобразование (упрощение) произведения двух многочленов

   Вообще, произведение двух многочленов тождественно равно сумме произведении каждого члена одного многочлена и каждого члена другого.

   Обычно пользуются следующим правилом.

   Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и сложить полученные произведения.

   Формулы сокращенного умножения. Квадраты суммы, разности и разность квадратов

   С некоторыми выражениями в алгебраических преобразованиях приходится иметь дело чаще, чем с другими. Пожалуй, наиболее часто встречаются выражения \((a + b)^2, \; (a — b)^2 \) и \(a^2 — b^2 \), т. 2 = (a — b)(a + b) \) — разность квадратов равна произведению разности на сумму.

   Эти три тождества позволяют в преобразованиях заменять свои левые части правыми и обратно — правые части левыми. Самое трудное при этом — увидеть соответствующие выражения и понять, чем в них заменены переменные а и b. Рассмотрим несколько примеров использования формул сокращенного умножения.

   Сейчас мы как раз перейдем к раскрытию скобок в выражениях, в которых выражение в скобках умножается на число или выражение. Сформулируем правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак минус: скобки вместе со знаком минус опускаются, а знаки всех слагаемых в скобках заменяются на противоположные.

   Одним из видов преобразования выражения является раскрытие скобок. Числовые, буквенные выражения и выражения с переменными бывают составлены с использованием скобок, которые могут указывать порядок выполнения действий, содержать отрицательное число и т.п. Допустим, что в описанных выше выражениях вместо чисел и переменных могут быть любые выражения.

   И обратим внимание еще на один момент, касающийся особенностей записи решения при раскрытии скобок. В предыдущем пункте мы разобрались с тем, что называют раскрытием скобок. Для этого существуют правила раскрытия скобок, к обзору которых мы и приступаем. Это правило продиктовано тем, что положительные числа принято записывать без скобок, скобки в этом случае излишни. Выражение (−3,7)−(−2)+4+(−9) может быть записано без скобок как −3,7+2+4−9.

   Наконец, третья часть правила просто обусловлена особенностями записи отрицательных чисел, стоящих слева в выражении (о чем мы упоминали в разделе скобки для записи отрицательных чисел). Можно столкнуться с выражениями, составленными из числа, знаков минус и нескольких пар скобок. Если раскрывать скобки, продвигаясь от внутренних к внешним, то решение будет таким: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5))=−(5)=−5.

   Как раскрыть скобки?

   Вот тому пояснение: −(−2·x) есть +2·x, а так как это выражение стоит вначале, то +2·x можно записать как 2·x, −(x2)=−x2, +(−1/x)=−1/x и −(2·x·y2:z)=−2·x·y2:z. Первая часть записанного правила раскрытия скобок напрямую следует из правила умножения отрицательных чисел. Вторая его часть является следствием правила умножения чисел с разными знаками. Переходим к примерам раскрытия скобок в произведениях и частных двух чисел с разными знаками.

   Раскрытие скобок: правила, примеры, решения.

   Приведенное выше правило учитывает всю цепочку этих действий и значительно ускоряет процесс раскрытия скобок. Это же правило позволяет раскрывать скобки в выражениях, представляющих собой произведения и частные выражений со знаком минус, не являющихся суммами и разностями.

   Рассмотрим примеры применения этого правила. Дадим соответствующее правило. Выше мы уже сталкивались с выражениями вида −(a) и −(−a), которые без скобок записываются как −a и a соответственно. Например, −(3)=3, и. Это частные случаи озвученного правила. Теперь рассмотрим примеры раскрытия скобок, когда в них заключены суммы или разности. Покажем примеры использования этого правила. Обозначим выражение (b1+b2) как b, после чего используем правило умножения скобки на выражение из предыдущего пункта, имеем (a1+a2)·(b1+b2)=(a1+a2)·b=(a1·b+a2·b)=a1·b+a2·b.

   По индукции это утверждение можно распространить на произвольное количество слагаемых в каждой скобке. Осталось раскрыть скобки в полученном выражении, используя правила из предыдущих пунктов, в итоге получаем 1·3·x·y−1·2·x·y3−x·3·x·y+x·2·x·y3.

   Правило по математике раскрытие скобок если перед скобками стоит (+) и (-) очень нужно прваило

   Это выражение представляет собой произведение трех множителей (2+4), 3 и (5+7·8). Раскрывать скобки придется последовательно. Теперь используем правило умножения скобки на число, имеем ((2+4)·3)·(5+7·8)=(2·3+4·3)·(5+7·8). Степени, основаниями которых являются некоторые выражения, записанные в скобках, с натуральными показателями можно рассматривать как произведение нескольких скобок.

   Для примера преобразуем выражение (a+b+c)2. Сначала запишем его в виде произведения двух скобок (a+b+c)·(a+b+c), теперь выполним умножение скобки на скобку, получаем a·a+a·b+a·c+b·a+b·b+b·c+c·a+c·b+c·c.

   Также скажем, что для возведения сумм и разностей двух чисел в натуральную степень целесообразно применять формулу бинома Ньютона. К примеру, (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. Не менее удобно предварительно деление заменить умножением, после чего воспользоваться соответствующим правилом раскрытия скобок в произведении.

   Осталось разобраться с порядком раскрытия скобок на примерах. Возьмем выражение (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7). Подставляем эти результаты в исходное выражение: (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7)=(−5)+(3·2:4)−(−6·7). Остается лишь закончить раскрытие скобок, в результате имеем −5+3·2:4+6·7. Значит, при переходе от левой части равенства к правой произошло раскрытие скобок.

   Заметим, что во всех трех примерах мы просто убирали скобки. Сначала к 889 прибавить 445. Это действие в уме выполнить можно, но это не очень просто. Раскроем скобки и увидим, что изменённый порядок действий значительно упростит вычисления.

   Как раскрыть скобки в другой степени

   Иллюстрирующий пример и правило. Рассмотрим пример: . Найти значение выражения можно, сложив 2 и 5, а затем взять полученное число с противоположным знаком. Правило не изменяется, если в скобках не два, а три или более слагаемых. Замечание. Знаки меняются на противоположные только перед слагаемыми. Для того чтобы раскрыть скобки, в данном случае нужно вспомнить распределительное свойство.

   У одиночных чисел в скобках

   Ваша ошибка заключается не в знаках, а в неправильной работе с дробями? В 6 классе мы познакомились с положительными и отрицательными числами. Как будем решать примеры и уравнения?

   Сколько получилось в скобках? Что можно сказать об этих выражениях? Конечно, результат первого и второго примеров одинаков, значит между ними можно поставить знак равенства: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. Что же мы сделали со скобками?

   Демонстрация слайда 6 с правилами раскрытия скобок. Таким образом, правила раскрытия скобок помогут нам решать примеры, упрощать выражения. Далее учащимся предлагается работа в парах: необходимо стрелками соединить выражение, содержащее скобки с соответствующим нему выражением без скобок.

   Слайд 11 Однажды в Солнечном городе поспорили Знайка и Незнайка, кто из них решил уравнение правильно. Далее учащиеся самостоятельно решают уравнение, применяя правила раскрытия скобок. Решение уравнений»Цели урока: образовательные (закрепление ЗУНов по теме: «Раскрытие скобок.

   Тема урока: «Раскрытие скобок. В данном случае нужно каждое слагаемое из первых скобок перемножить с каждым слагаемым из вторых скобок и затем сложить полученные результаты. Сначала берутся два первых множителя, заключаются еще в одни скобки, и внутри этих скобок проводится раскрытие скобок по одному из уже известных правил.

   rawalan.freezeet.ru

   Раскрытие скобок: правила и примеры (7 класс)

   Основная функция скобок – менять порядок действий при вычислениях значений числовых выражений . Например , в числовом выражении \(5·3+7\) сначала будет вычисляться умножение, а потом сложение: \(5·3+7 =15+7=22\). А вот в выражении \(5·(3+7)\) сначала будет вычислено сложение в скобке, и лишь потом умножение: \(5·(3+7)=5·10=50\).

   Однако если мы имеем дело с алгебраическим выражением , содержащим переменную — например таким: \(2(x-3)\) – то вычислить значение в скобке не получается, мешает переменная. Поэтому в таком случае скобки «раскрывают», используя для этого соответствующие правила.

   Правила раскрытия скобок

   Если перед скобкой стоит знак плюс, то скобка просто снимается, выражение в ней при этом остается неизменным. Иначе говоря:

   Здесь нужно пояснить, что в математике для сокращения записей принято не писать знак плюс, если он стоит в выражении первым. Например, если мы складываем два положительных числа, к примеру, семь и три, то пишем не \(+7+3\), а просто \(7+3\), несмотря на то, что семерка тоже положительное число. Аналогично если вы видите, например, выражение \((5+x)\) – знайте, что перед скобкой стоит плюс, который не пишут .

   
   
   

   Пример . Раскройте скобку и приведите подобные слагаемые: \((x-11)+(2+3x)\).
   Решение : \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

   Если перед скобкой стоит знак минус, то при снятии скобки каждый член выражения внутри нее меняет знак на противоположный:

   Здесь нужно пояснить, что у a, пока оно стояло в скобке, был знак плюс (просто его не писали), и после снятия скобки этот плюс поменялся на минус.

   Пример : Упростите выражение \(2x-(-7+x)\).
   Решение : внутри скобки два слагаемых: \(-7\) и \(x\), а перед скобкой минус. Значит, знаки поменяются – и семерка теперь будет с плюсом, а икс – с минусом. Раскрываем скобку и приводим подобные слагаемые .

   Пример. Раскройте скобку и приведите подобные слагаемые \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
   Решение : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

   Если перед скобкой стоит множитель, то каждый член скобки умножается на него, то есть:

   Пример. Раскройте скобки \(5(3-x)\).
   Решение : В скобке у нас стоят \(3\) и \(-x\), а перед скобкой — пятерка. Значит, каждый член скобки умножается на \(5\) — напоминаю, что знак умножения между числом и скобкой в математике не пишут для сокращения размеров записей .

   Пример. Раскройте скобки \(-2(-3x+5)\).
   Решение : Как и в предыдущем примере, стоящие в скобке \(-3x\) и \(5\) умножаются на \(-2\).

   Осталось рассмотреть последнюю ситуацию.

   При умножении скобки на скобку, каждый член первой скобки перемножается с каждым членом второй:

   Пример. Раскройте скобки \((2-x)(3x-1)\).
   Решение : У нас произведение скобок и его можно раскрыть сразу по формуле выше. Но чтобы не путаться, давайте сделаем всё по шагам.
   Шаг 1. Убираем первую скобку — каждый ее член умножаем на скобку вторую:

   Шаг 2. Раскрываем произведения скобки на множитель как описано выше:
   — сначала первое…

   Шаг 3. Теперь перемножаем и приводим подобные слагаемые:

   Так подробно расписывать все преобразования совсем необязательно, можно сразу перемножать. Но если вы только учитесь раскрывать скобок – пишите подробно, меньше будет шанс ошибиться.

   Примечание ко всему разделу. На самом деле, вам нет необходимости запоминать все четыре правила, достаточно помнить только одно, вот это: \(c(a-b)=ca-cb\) . Почему? Потому что если в него вместо c подставить единицу, получиться правило \((a-b)=a-b\) . А если подставить минус единицу, получим правило \(-(a-b)=-a+b\) . Ну, а если вместо c подставить другую скобку – можно получить последнее правило.

   Скобка в скобке

   Иногда в практике встречаются задачи со скобками, вложенными внутрь других скобок. Вот пример такого задания: упростить выражение \(7x+2(5-(3x+y))\).

   Чтобы успешно решать подобные задания, нужно:
   — внимательно разобраться во вложенности скобок – какая в какой находиться;
   — раскрывать скобки последовательно, начиная, например, с самой внутренней.

   При этом важно при раскрытии одной из скобок не трогать все остальное выражение , просто переписывая его как есть.
   Давайте для примера разберем написанное выше задание.

   Пример. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые \(7x+2(5-(3x+y))\).
   Решение:

   Выполнять задание начнем с раскрытия внутренней скобки (той, что внутри). Раскрывая ее, имеем дело только с тем, что к ней непосредственно относиться – это сама скобка и минус перед ней (выделено зеленым). Всё остальное (не выделенное) переписываем также как было.

   Решение задач по математике онлайн

   Калькулятор онлайн.

   
   Упрощение многочлена.
   Умножение многочленов.

   С помощью данной математической программы вы можете упростить многочлен.
   В процессе работы программа:
   — умножает многочлены
   — суммирует одночлены (приводит подобные)
   — раскрывает скобки
   — возводит многочлен в степень

   Программа упрощения многочленов не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы вы могли проконтролировать свои знания по математике и/или алгебре.

   Данная программа может быть полезна учащимся общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

   Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

   Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
   Через несколько секунд решение появится ниже.
   Пожалуйста подождите сек.

   Немного теории.

   Произведение одночлена и многочлена. Понятие многочлена

   Среди различных выражений, которые рассматриваются в алгебре, важное место занимают суммы одночленов. Приведем примеры таких выражений:

   Сумму одночленов называют многочленом. Слагаемые в многочлене называют членами многочлена. Одночлены также относят к многочленам, считая одночлен многочленом, состоящим из одного члена.

   Представим все слагаемые в виде одночленов стандартного вида:

   Приведем в полученном многочлене подобные члены:

   Получился многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, причем среди них нет подобных. Такие многочлены называют многочленами стандартного вида .

   За степень многочлена стандартного вида принимают наибольшую из степеней его членов. Так, двучлен имеет третью степень, а трехчлен — вторую.

   Обычно члены многочленов стандартного вида, содержащих одну переменную, располагают в порядке убывания показателей ее степени. Например:

   Сумму нескольких многочленов можно преобразовать (упростить) в многочлен стандартного вида.

   Иногда члены многочлена нужно разбить на группы, заключая каждую группу в скобки. Поскольку заключение в скобки — это преобразование, обратное раскрытию скобок, то легко сформулировать правила раскрытия скобок:

   Если перед скобками ставится знак «+», то члены, заключаемые в скобки, записываются с теми же знаками.

   Если перед скобками ставится знак «-», то члены, заключаемые в скобки, записываются с противоположными знаками.

   Преобразование (упрощение) произведения одночлена и многочлена

   С помощью распределительного свойства умножения можно преобразовать (упростить) в многочлен произведение одночлена и многочлена. Например:

   Произведение одночлена и многочлена тождественно равно сумме произведений этого одночлена и каждого из членов многочлена.

   Этот результат обычно формулируют в виде правила.

   Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый из членов многочлена.

   Мы уже неоднократно использовали это правило для умножения на сумму.

   Произведение многочленов. Преобразование (упрощение) произведения двух многочленов

   Вообще, произведение двух многочленов тождественно равно сумме произведении каждого члена одного многочлена и каждого члена другого.

   Обычно пользуются следующим правилом.

   Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и сложить полученные произведения.

   Формулы сокращенного умножения. Квадраты суммы, разности и разность квадратов

   С некоторыми выражениями в алгебраических преобразованиях приходится иметь дело чаще, чем с другими. Пожалуй, наиболее часто встречаются выражения и, т. е. квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов. Вы заметили, что названия указанных выражений как бы не закончены, так, например, — это, конечно, не просто квадрат суммы, а квадрат суммы а и b. Однако квадрат суммы а и b встречается не так уж часто, как правило, вместо букв а и b в нем оказываются различные, иногда довольно сложные выражения.

   Выражения нетрудно преобразовать (упростить) в многочлены стандартного вида, собственно, вы уже встречались с таким заданием при умножении многочленов:

   Полученные тождества полезно запомнить и применять без промежуточных выкладок. Помогают этому краткие словесные формулировки.

   — квадрат суммы равен сумме квадратов и удвоенного произведения.

   — квадрат разности равен сумме квадратов без удвоенного произведения.

   — разность квадратов равна произведению разности на сумму.

   Эти три тождества позволяют в преобразованиях заменять свои левые части правыми и обратно — правые части левыми. Самое трудное при этом — увидеть соответствующие выражения и понять, чем в них заменены переменные а и b. Рассмотрим несколько примеров использования формул сокращенного умножения.

   Книги (учебники) Рефераты ЕГЭ и ОГЭ тесты онлайн Игры, головоломки Построение графиков функций Орфографический словарь русского языка Словарь молодежного слэнга Каталог школ России Каталог ССУЗов России Каталог ВУЗов России Список задач Нахождение НОД и НОК Упрощение многочлена (умножение многочленов) Деление многочлена на многочлен столбиком Вычисление числовых дробей Решение задач на проценты Комплексные числа: сумма, разность, произведение и частное Системы 2-х линейных уравнений с двумя переменными Решение квадратного уравнения Выделение квадрата двучлена и разложение на множители квадратного трехчлена Решение неравенств Решение систем неравенств Построение графика квадратичной функции Построение графика дробно-линейной функции Решение арифметической и геометрической прогрессий Решение тригонометрических, показательных, логарифмических уравнений Вычисление пределов, производной, касательной Интеграл, первообразная Решение треугольников Вычисления действий с векторами Вычисления действий с прямыми и плоскостями Площадь геометрических фигур Периметр геометрических фигур Объем геометрических тел Площадь поверхности геометрических тел
   Конструктор дорожных ситуаций
   Погода — новости — гороскопы

   www. mathsolution.ru

   Раскрытие скобок

   Продолжаем изучать основы алгебры. В данном уроке мы научимся раскрывать скобки в выражениях. Раскрыть скобки означает избавить выражение от этих скобок.

   Чтобы раскрывать скобки, нужно выучить наизусть всего два правила. При регулярных занятиях раскрывать скобки можно с закрытыми глазами, и те правила, которые требовалось заучивать наизусть, можно благополучно забыть.

   Первое правило раскрытия скобок

   Рассмотрим следующее выражение:

   Значение данного выражения равно 2 . Раскроем скобки в данном выражении. Раскрыть скобки означает избавиться от них, не влияя на значение выражения. То есть, после избавления от скобок значение выражения 8+(−9+3) по прежнему должно быть равно двум.

   Первое правило раскрытия скобок выглядит следующим образом:

   При раскрытии скобок, если перед скобками стоит плюс, то этот плюс опускается вместе со скобками.

   Итак, мы видим что в выражении 8+(−9+3) перед скобками стоит плюс. Этот плюс нужно опустить вместе со скобками. Иными словами, скобки исчезнут вместе с плюсом, который перед ними стоял. А то, что было в скобках запишется без изменений:

   8−9+3 . Данное выражение равно 2 , как и предыдущее выражение со скобками было равно 2 .

   8+(−9+3) и 8−9+3

   8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3

   Пример 2. Раскрыть скобки в выражении 3 + (−1 − 4)

   Перед скобками стоит плюс, значит этот плюс опускается вместе со скобками. То, что было в скобках останется без изменений:

   3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4

   Пример 3. Раскрыть скобки в выражении 2 + (−1)

   В данном примере раскрытие скобок стало своего рода обратной операцией замене вычитания сложением. Как это понимать?

   В выражении 2−1 происходит вычитание, но его можно заменить сложением. Тогда получится выражение 2+(−1) . Но если в выражении 2+(−1) раскрыть скобки, то получится изначальное 2−1 .

   Поэтому первое правило раскрытия скобок можно использовать для упрощения выражений после каких-нибудь преобразований. То есть, избавить его от скобок и сделать проще.

   Например, упростим выражение 2a+a−5b+b .

   Чтобы упростить данное выражение, можно привести подобные слагаемые. Напомним, что для приведения подобных слагаемых, нужно сложить коэффициенты подобных слагаемых и результат умножить на общую буквенную часть:

   Получили выражение 3a+(−4b) . В этом выражении раскроем скобки. Перед скобками стоит плюс, поэтому используем первое правило раскрытия скобок, то есть опускаем скобки вместе с плюсом, который стоит перед этими скобками:

   Таким образом, выражение 2a+a−5b+b упрощается до 3a−4b .

   Раскрыв одни скобки, по пути могут встретиться другие. К ним применяем те же правила, что и к первым. Например, раскроем скобки в следующем выражении:

   Здесь два места, где нужно раскрыть скобки. В данном случае применимо первое правило раскрытия скобок, а именно опускание скобок вместе с плюсом, который стоит перед этими скобками:

   2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6

   Пример 3. Раскрыть скобки в выражении 6+(−3)+(−2)

   В обоих местах, где имеются скобки, перед ними стоит плюс. Здесь опять же применяется первое правило раскрытия скобок:

   Иногда первое слагаемое в скобках записано без знака. Например, в выражении 1+(2+3−4) первое слагаемое в скобках 2 записано без знака. Возникает вопрос, а какой знак будет стоять перед двойкой после того, как скобки и плюс, стоящий перед скобками опустятся? Ответ напрашивается сам — перед двойкой будет стоять плюс.

   На самом деле даже будучи в скобках перед двойкой стоит плюс, но мы его не видим по причине того, что его не записывают. Мы уже говорили, что полная запись положительных чисел выглядит как +1, +2, +3. Но плюсы по традиции не записывают, поэтому мы и видим привычные для нас положительные числа 1, 2, 3 .

   Поэтому, чтобы раскрыть скобки в выражении 1+(2+3−4) , нужно как обычно опустить скобки вместе с плюсом, стоящим перед этими скобками, но первое слагаемое которое было в скобках записать со знаком плюс:

   1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4

   Пример 4. Раскрыть скобки в выражении −5 + (2 − 3)

   Перед скобками стоит плюс, поэтому применяем первое правило раскрытия скобок, а именно опускаем скобки вместе с плюсом, который стоит перед этими скобками. Но первое слагаемое, которое в скобках записываем со знаком плюс:

   −5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3

   Пример 5. Раскрыть скобки в выражении (−5)

   Перед скобки стоит плюс, но он не записан по причине того, что до него не было других чисел или выражений. Наша задача убрать скобки, применив первое правило раскрытия скобок, а именно опустить скобки вместе с этим плюсом (даже если он невидим)

   Пример 6. Раскрыть скобки в выражении 2a + (−6a + b)

   Перед скобками стоит плюс, значит этот плюс опускается вместе со скобками. То, что было в скобках запишется без изменений:

   2a + (−6a + b) = 2a −6a + b

   Пример 7. Раскрыть скобки в выражении 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)

   В данном выражении имеется два места, где нужно раскрыть скобки. В обоих участках перед скобками стоит плюс, значит этот плюс опускается вместе со скобками. То, что было в скобках запишется без изменений:

   5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a − 2d

   Второе правило раскрытия скобок

   Теперь рассмотрим второе правило раскрытия скобок. Оно применяется тогда, когда перед скобками стоит минус.

   Если перед скобками стоит минус, то этот минус опускается вместе со скобками, но слагаемые, которые были в скобках, меняют свой знак на противоположный.

   Например, раскроем скобки в следующем выражении

   Видим, что перед скобками стоит минус. Значит нужно применить второе правило раскрытия, а именно опустить скобки вместе с минусом, стоящим перед этими скобками. При этом слагаемые, которые были в скобках, поменяют свой знак на противоположный:

   Мы получили выражение без скобок 5+2+3 . Данное выражение равно 10, как и предыдущее выражение со скобками было равно 10.

   Таким образом, между выражениями 5−(−2−3) и 5+2+3 можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:

   5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3

   Пример 2. Раскрыть скобки в выражении 6 − (−2 − 5)

   Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок, а именно опускаем скобки вместе с минусом, который стоит перед этими скобками. При этом слагаемые, которые были в скобках, записываем с противоположными знаками:

   6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5

   Пример 3. Раскрыть скобки в выражении 2 − (7 + 3)

   Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок:

   Пример 4. Раскрыть скобки в выражении −(−3 + 4)

   Пример 5. Раскрыть скобки в выражении −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)

   Здесь два места, где нужно раскрыть скобки. В первом случае нужно применить второе правило раскрытия скобок, а когда очередь доходит до выражения +(−9−2) нужно применить первое правило:

   −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2

   Пример 6. Раскрыть скобки в выражении −(−a − 1)

   Пример 7. Раскрыть скобки в выражении −(4a + 3)

   Пример 8. Раскрыть скобки в выражении a − (4b + 3) + 15

   Пример 9. Раскрыть скобки в выражении 2a + (3b − b) − (3c + 5)
   

   Здесь два места, где нужно раскрыть скобки. В первом случае нужно применить первое правило раскрытия скобок, а когда очередь доходит до выражения −(3c+5) нужно применить второе правило:

   2a + (3b − b) − (3c + 5) = 2a + 3b − b − 3c − 5

   Пример 10. Раскрыть скобки в выражении −a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)
   

   Здесь три места, где нужно раскрыть скобки. Вначале нужно применить второе правило раскрытия скобок, затем первое, а затем опять второе:

   −a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15) = −a + 4a − 6b + 8c − 15

   Механизм раскрытия скобок

   Правила раскрытия скобок, которые мы сейчас рассмотрели, основаны на распределительном законе умножения:

   На самом деле раскрытием скобок называют ту процедуру, когда общий множитель умножают на каждое слагаемое в скобках. В результате такого умножения скобки исчезают. Например, раскроем скобки в выражении 3×(4+5)

   3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

   Поэтому если нужно умножить число на выражение в скобках (или выражение в скобках умножить на число) надо говорить раскроем скобки .

   Но как связан распределительный закон умножения с правилами раскрытия скобок, которые мы рассматривали ранее?

   Дело в том, что перед любыми скобками стоит общий множитель. В примере 3×(4+5) общий множитель это 3 . А в примере a(b+c) общий множитель это переменная a .

   Если перед скобками нет чисел или переменных, то общим множителем является 1 или −1 , в зависимости от того какой знак стоит перед скобками. Если перед скобками стоит плюс, значит общим множителем является 1 . Если перед скобками стоит минус, значит общим множителем является −1 .

   К примеру, раскроем скобки в выражении −(3b−1) . Перед скобками стоит минус, поэтому нужно воспользоваться вторым правилом раскрытия скобок, то есть опустить скобки вместе с минусом, стоящим перед скобками. А выражение, которое было в скобках, записать с противоположными знаками:

   Мы раскрыли скобки, воспользовавшись правилом раскрытия скобок. Но эти же скобки можно раскрыть, воспользовавшись распределительным законом умножения. Для этого сначала записываем перед скобками общий множитель 1, который не был записан:

   Минус, который раньше стоял перед скобками относился к этой единице. Теперь можно раскрыть скобки, применяя распределительный закон умножения. Для этого общий множитель −1 нужно умножить на каждое слагаемое в скобках и полученные результаты сложить.

   Для удобства заменим разность, находящуюся в скобках на сумму:

   −1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1

   Как и в прошлый раз мы получили выражение −3b+1 . Каждый согласится с тем, что в этот раз затрачено больше времени на решение столь простейшего примера. Поэтому разумнее пользоваться готовыми правилами раскрытия скобок, которые мы рассматривали в данном уроке:

   Но не мешает знать, как эти правила работают.

   В данном уроке мы научились ещё одному тождественному преобразованию. Вместе с раскрытием скобок, вынесением общего за скобки и приведением подобных слагаемых можно немного расширить круг решаемых задач. Например:

   Здесь нужно выполнить два действия — сначала раскрыть скобки, а потом привести подобные слагаемые. Итак, по порядку:

   1) Раскрываем скобки:

   2) Приводим подобные слагаемые:

   В получившемся выражении −10b+(−1) можно раскрыть скобки:

   Пример 2. Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые в следующем выражении:

   1) Раскроем скобки:

   2) Приведем подобные слагаемые. В этот раз для экономии времени и места не будем записывать, как коэффициенты умножаются на общую буквенную часть

   Пример 3. Упростить выражение 8m+3m и найти его значение при m=−4

   1) Сначала упростим выражение. Чтобы упростить выражение 8m+3m , можно вынести в нём общий множитель m за скобки:

   2) Находим значение выражения m(8+3) при m=−4 . Для этого в выражение m(8+3) вместо переменной m подставляем число −4

   m (8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44

   Онлайн урок: Раскрытие скобок по предмету Математика 6 класс

   Как вам уже известно, скобки в математических выражениях часто используют для разграничения рядом стоящих знаков или для объединения и перегруппировки чисел, с которыми будут выполнятся определенные математические действия.

   Но иногда при решении математических выражений удобно раскрыть скобки, нежели высчитывать их значение.

   Раскрыть скобки- это значит освободить выражение от скобок, избавить выражение от лишних знаков, тем самым упростить его для вычисления.

   Значение выражение со скобками и значение выражения, полученное после раскрытия скобок, равны, их записывают в виде равенства.

   При преобразовании громоздких выражений, в которых содержится большое количество скобок, возникает потребность записывать промежуточные результаты вычислений. В таких случаях решение записывается в виде цепочки равенств.

   Рассмотрим правила раскрытия скобок.

   Разберем случаи, когда перед скобками стоит знак плюс «+».

   1. Выражение вида а + (-b) можно записать, опустив скобки.

   Так как вычитание обратное действие сложению (т.е. прибавить число (-b)  -это тоже самое, что вычесть положительное число b), получаем равенство

   а + (-b) = а — b

    

   2. Выражение вида а + (b+ c) можно записать без скобок.

   Согласно сочетательному свойству сложения, если к числу прибавить сумму двух чисел, то нужно сначала к этому числу прибавить первое слагаемое, а затем второе слагаемое.

   а + (b + c) = а + b + c

    

   3. Рассмотрим еще одно выражение а + (b— c), и преобразуем это выражение в выражение без скобок.

   Если первое слагаемое в скобках стоит без знака, то его знак определяется как знак плюс «+».

   Известно, что вычитание можно заменить сложением, следовательно:

   а + (b— c) = а + (b+ (-c))

   Применив сочетательное свойство, упростим выражение а + (b+ (-c)), в результате получим:

   а + (b — c) = а + b — c

   Рассуждая подобным образом, попробуем преобразовать еще два выражения со скобками.

    

   4. Преобразуем выражение вида а + (-b+ c) в выражение без скобок.

   Зная, что вычитание можно заменить сложением и применив сочетательное свойство сложения, упростим выражение:

   а + (-b+ c) = а + ((-b) + c) = а — b+ c, т.е. получаем равенство

   а + (-b + c) = а — b + c

    

   5. Преобразуем выражение вида а + (-b— c) в выражение без скобок.

   Зная, что вычитание можно заменить сложением, и применив сочетательное свойство сложения, упростим выражение:

   а + (-b— c) = а + ((-b) + (-c)) = а — b— c, т. е. получаем равенство

   а + (-b — c) = а — b — c

   Заметим, что в левой части каждого из равенств перед скобкой стоит знак «+», а слагаемые, стоящие в скобке, после преобразования сохраняют свои знаки:

   а + (-b) = а — b

   Пример: 15 + (-5) = 15 — 5 = 10

    

   а + (b + c) = а + b+ c

   Пример: 15 + (5 + 2) = 15 + 5 + 2 = 22

    

   а + (b — c) = а + b— c

   Пример: 15 + (5 — 2) = 15 + 5 — 2 = 18

    

   а + (-b + c) = а — b + c

   Пример: 15 + (-5 + 2) = 15 — 5 + 2 = 12

    

   а + (-b — c) = а — b— c

   Пример: 15 + (-5 — 2) = 15 — 5 — 2 = 8

    

   Сформулируем правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак плюс:

   Если перед скобками стоит знак плюс или не стоит никакого знака, то этот знак «+» и скобки необходимо опустить, сохранив знаки слагаемых, которые стояли в скобках.

   Пример:

   Найдите значения выражения -4 + (3 — 1 + 4).

   Решение:

   Избавимся от скобок, используя правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «+».

   Затем найдем значение выражения, используя переместительное свойство сложения и правило сложения чисел с разными знаками.

   -4 + (3 — 1 + 4) = -4 + 3 — 1 + 4 = 4 — 4 + 3 — 1= 0 + 3 — 1 = 3 — 1 = 2

   Ответ: 2

    

   Рассмотрим случаи, когда перед раскрываемыми скобками стоит знак минус «-».

   Вспомним, какие числа называют противоположными: два числа называют противоположными, если они отличны друг от друга только знаками, модули их равны.

   Число а противоположно числу (-а).

   -(-а) противоположно числу (-а).

   Тогда верно утверждение, что -(-а) = а

   Найдем значение выражения: -(-8 + 4)

   Определим значение данного выражения двумя способами:

   1. Найдем значение суммы в скобках, затем полученную сумму запишем со знаком минус «-».

   -(-8 + 4) = -(-4) = 4

    

   2. Раскроем скобки.

   Чтобы найти сумму противоположную сумме нескольких слагаемых, действуем по аналогии с утверждением -(-а) = а — необходимо изменить знаки слагаемых на противоположные.

   -(-8 + 4) = 8 — 4 = 4

    

   В первом и во втором случае получили одинаковый результат, он равен четырем.

   Сформулируем правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак минус.

   Если перед скобками стоит знак минус, то этот знак «-» и скобки необходимо опустить, изменив знаки слагаемых, которые стояли в скобках на противоположные (знак минус меняется на плюс, знак плюс на минус).

   Рассмотрим несколько равенств и раскроем скобки в них согласно данному правилу.

   а — (-b) = а + b

   Пример: 10 — (-5) = 10 + 5 = 15

    

   а — (b + c) = а — b— c

   Пример: 20 — (5 + 3) = 20 — 5 — 3 = 15 — 3 = 12

    

   а — (b — c) = а — b + c

   Пример: 20 — (5 — 3) = 20 — 5 + 3 = 15 + 3 = 18

    

   а — (-b + c) = а + b— c

   Пример: 20 — (-5 + 3) = 20 + 5 — 3 = 25 — 3 = 22

    

   а — (-b — c) = а + b+ c

   Пример: 20 — (-5 — 3) = 20 + 5 + 3 = 25 + 3 = 28

   Пример:

   Вычислите значение выражения 15 — (4 + 15 — 3).

   Решение:

   Избавимся от скобок, используя правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «-».

   Затем найдем значение выражения, используя переместительное свойство сложения и правило сложения чисел с разными знаками.

   15 — (4 + 15 — 3) = 15 — 4 — 15 + 3 = 15 — 15 — 4 + 3 = 0 — 4 + 3 = -4 + 3 = -1

   Ответ: -1

    

   Разберем правило раскрытия скобок при умножении числа на сумму (суммы на число).

   Правило раскрытия скобок для данного случая звучит так:

   Для раскрытия скобок в выражениях, содержащих умножение суммы на число или числа на сумму, используется распределительное свойство умножения относительно сложения.

   \(\mathbf{(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c}\)

   \(\mathbf{(a — b) \cdot c = a \cdot c + (-b) \cdot c = a \cdot c — b \cdot c}\)

    

   Если число с положительное, то знаки слагаемых a и b не изменяются.

   Если число с отрицательное, то знаки слагаемых a и b меняются на противоположные.

   Пример:

   Найдите значение выражения \(\mathbf{(7,2 — 5,3) \cdot 2}\)

   Решение:

   Воспользуемся правилом раскрытия скобок при умножении суммы на число.

   \(\mathbf{(7,2 — 5,3) \cdot 2 = 7,2 \cdot 2 — 5,3 \cdot 2 = 14,4 — 10,6 = 3,8}\)

   Ответ: 3,8

    

   Пример:

   Найдите значение выражения  \(\mathbf{(7,2 — 5,3) \cdot (-2)}\)

   Решение:

   Воспользуемся правилом раскрытия скобок при умножении суммы на число.

   \(\mathbf{(7,2 — 5,3) \cdot (-2) = 7,2 \cdot (-2) — 5,3 \cdot (-2) = -14,4 + 10,6 = -3,8}\)

   Ответ: -3,8

   скобок в математике: типы и примеры — видео и стенограмма урока

   Скобки и группировка

   Часто можно увидеть математические скобки, используемые для группировки . Эти скобки могут включать:

   При использовании для группировки скобки всегда идут парами. Там будет открывающая скобка и закрывающая скобка .

   Скобки используются для ясности в порядке операций , порядке, в котором несколько операций должны выполняться в математическом выражении.

   Например, предположим, что у вас есть следующее выражение: 2 + 4 * 6 — 1. Несмотря на то, что вы можете прочитать на Facebook, есть только один правильный ответ на это выражение. Вы выполняете умножение и деление, двигаясь слева направо, прежде чем выполнять сложение и вычитание, также двигаясь слева направо. Выполнив сначала умножение, вы получите 2 + 24 — 1 = 25.

   Что, если вместо этого вы хотите сначала выполнить сложение и вычитание (а затем умножить результаты)? Используйте скобки.Теперь проблема выглядит следующим образом: (2 + 4) * (6 — 1) = 6 * 5 = 30. В этом примере скобки говорят вам сделать что-то отличное от обычного порядка операций. В других случаях они просто используются для визуальной ясности.

   Несколько уровней группировки

   Возможно, вы захотите выполнить группировку внутри группировки. Если да, то сбивают с толку такие выражения: 2 + (1 + (3 + 2 * (4 + 5))). Хотя в использовании нескольких уровней скобок нет ничего плохого (а иногда в компьютерных приложениях у вас нет выбора), на это немного сложно смотреть.

   Вместо этого вы можете использовать различные скобки для каждого уровня. В математике чаще всего используются круглые скобки для первого уровня (первая операция, которую вы должны сделать), квадратные скобки для следующего уровня и фигурные скобки для последнего уровня: 2 + {1 + [3 + 2 * (4 + 5)] } .

   В любом случае сначала вы выполняете самую внутреннюю группировку (4 + 5) и перемещаетесь оттуда наружу следующим образом:

    2 + {1 + [3 + 2 * 9]} = 2 + {1 + [3 + 18] ]} = 2 + {1 + 21} = 2 + 22 = 24 

   Это немного похоже на поиск выхода из особняка дяди Джерома.Сначала вам нужно найти выход из гостевой комнаты, затем найти выход с третьего этажа, а затем выбраться из самого дома. Вы начинаете с самой внутренней «головоломки» и двигаетесь оттуда наружу.

   Другое использование скобок

   Однако иногда скобки используются не для группировки, а для других целей. Например, если вы работаете с функциями , то f( x ) означает «функция f с x в качестве входных данных». В этом случае круглые скобки используются для указания аргументов или входных данных функции.

   Кроме того, круглые скобки могут использоваться для обозначения упорядоченной пары , например (3,-1). Вы часто будете видеть, что это используется для обозначения декартовых координат : если вы рисуете точку относительно осей x и y , (3,-1) будет конкретной точкой на декартовой плоскости, где x равно 3, а и равно -1.

   Или скобки могут представлять обозначение интервала . (1,5) может означать все значения от чуть выше единицы до почти пяти.[4,6] может означать все числа от четырех до шести, включая четыре и шесть.

   Фигурные скобки также часто представляют наборы. Например, {3, 4, 5, 6} означает набор, включающий числа 3, 4, 5 и 6. Угловые скобки, такие как <1,3>, могут обозначать внутренний продукт в высшей математике или физике. class, а квадратные скобки могут означать, что внутри находится матрица.

   Итак, откуда вы знаете, что означают скобки, если их можно использовать так много раз? Точно так же вы знаете, относится ли слово «голубой» к цвету глаз вашего возлюбленного или к чувству, которое вы испытываете, когда возлюбленный бросает вас ради вашего лучшего друга — по контексту.

   Резюме урока

   Математические скобки часто используются для группировки, чтобы указать порядок, в котором следует выполнять набор математических операций. Однако в некоторых контекстах скобки используются для специальных математических целей.

   Ключевые точки

   • Группировка : скобки будут включать: ( ), [ ] и { }
   • Открывающая скобка и закрывающая скобка : все скобки поставляются парами
   • Порядок операций : порядок, в котором должны выполняться несколько операций в математическом выражении
   • Функции : скобки используют f( x ), что означает «функция f с x в качестве входных данных»
   • Аргументы : круглые скобки используются для указания входных данных функции
   • Упорядоченная пара : можно использовать круглые скобки для обозначения таких пар, как (3,-1)
   • Декартовы координаты : построение точки относительно осей x и y
   • Обозначение интервала : (1,5) может означать все значения от чуть выше единицы до почти пяти
   • Внутренний продукт : угловые скобки, такие как <1,3>; может обозначать наборы в продвинутом классе математики или физики

   Результаты обучения

   Просматривая урок по использованию скобок, поставьте перед собой цель:

   • Проиллюстрировать математические скобки
   • Приведите примеры различных вариантов использования скобок
   • Выделите их использование для нескольких уровней группировки
   • Обсудите роль скобок в представлении аргументов и указании упорядоченных пар, а также в представлении записи интервалов и наборов

   Что означают цифры в скобках в бухгалтерском балансе? – Ансамбль Бухгалтерии

   Ваш бухгалтер предоставил вам финансовые отчеты для вашего бизнеса и оставил вас, чтобы попытаться интерпретировать, что все это значит? Вы хотели бы понять, что все эти цифры значат для вашего бизнеса, но вы действительно не хотите спрашивать, потому что вы знаете, что вы на их часах, и ваш счет быстро растет. Давайте ответим на один из ваших вопросов в этой статье и объясним, что означают цифры в скобках в вашем бухгалтерском балансе.

   В большинстве случаев скобки или круглые скобки в балансовом отчете означают, что эта конкретная цифра является отрицательным числом. В зависимости от того, где в балансовом отчете появляются квадратные скобки или круглые скобки, можно настроить то, что на самом деле означает этот отрицательный баланс. Например:

   • Отрицательная сумма
     • Банковский счет перерасходован и т.д.
   • Убытки
     • Чистая прибыль указана в скобках в связи с убыточностью бизнеса.
   • Дебетовый остаток на счете, который обычно имеет кредитовый остаток, или наоборот
     • Если вы должны были погасить кредитную карту, но затем сделали возврат, который был зачислен обратно на карту, что покажет отрицательный остаток средств.

   Для неподготовленного человека иногда может быть запутанным, глядя на ваш баланс, чтобы узнать, являются ли эти цифры в скобках результатом ошибок бухгалтерского учета, допущенных вами или бухгалтером, или они могут быть предупреждающими признаками чего-то, что вы необходимо обратиться в вашем бизнесе.

   Отрицательная сумма

   Как правило, в математике скобки или круглые скобки используются для обозначения отрицательного числа. Учитывая, что бухгалтерский учет является подмножеством математики, имело бы смысл перенести этот принцип в стандартные финансовые отчеты, которые составляют бухгалтеры и бухгалтеры, такие как баланс, отчет о прибылях и убытках (также известный как отчет о прибылях и убытках) и отчет о прибылях и убытках. Денежный поток.

   Отрицательная сумма в активах

   Если вы обнаружите строку под своими активами, например банковский счет, номер которого указан в скобках, это может быть поводом для беспокойства или не иметь большого значения.Скорее всего, вы перерасходовали свой счет, выписали больше чеков, чем положили в банк, но они еще не были погашены, или у вас есть ошибки во введенных вами транзакциях, или ваша сверка неверна и / или устарела.

   Если у вас есть онлайн-доступ к веб-сайту вашего банка, вы сможете легко проверить наличие средств на банковском счете. Если счет действительно в дыре, и у вас есть финансовые ресурсы, чтобы исправить это, я бы порекомендовал вам немедленно довести баланс этого счета до положительного числа, чтобы избежать любых штрафов, которые могут быть понесены с возвращенными чеками.

   Если в банке есть деньги, но вы показываете отрицательную цифру или цифру в квадратных скобках в своем балансе, тогда нам нужно копнуть немного глубже, чтобы найти ответ.

   Предполагая, что ваша бухгалтерия актуальна и ваши счета были недавно выверены, вероятной причиной этого отрицательного баланса может быть наличие непогашенных чеков, которые еще не были обналичены.

   Вскоре после того, как я открыл свой бизнес по уходу за домом, я на короткое время нанял маркетолога. Он продержался недолго, но получил один комиссионный чек на 0 долларов.17. Мой маркетолог так и не обналичил этот чек (думаю, сейчас он, вероятно, в рамке и висит у него на стене).

   В течение многих лет я видел, как висит чек на 0,17 доллара, когда я проводил сверку. Баланс моего банковского счета и сумма в моем балансовом отчете будут отличаться на 0,17 доллара каждый месяц (и все это было правильно с использованием стандартных принципов бухгалтерского учета).

   Со временем эти виды расходов начали накапливаться до такой степени, что возникла значительная разница между итоговыми суммами в моем Балансовом отчете и фактической суммой на банковском счете, что привело к тому, что мой Балансовый отчет показывал отрицательные цифры для некоторых из моих Счета.

   (С тех пор, как я стал профессиональным бухгалтером, я научился разрешать эти давно просроченные чеки и, вероятно, напишу об этом статью в блоге в будущем. А пока, если вы хотите узнать, как решить те же самые проблемы, не стесняйтесь обращаться к нас в Ensemble Bookkeeping.)

   Часто мы встречаемся с потенциальными клиентами, у которых в скобках указаны отрицательные цифры, чего на самом деле быть не должно, что может быть связано с незавершенной работой по вводу и/или сверке счетов на регулярной основе.

   Например, владельцы бизнеса часто обращаются к нам за бесплатной консультацией, и их счета никогда раньше не согласовывались. Если вы не уверены в том, что я имею в виду под согласованием счетов, вы можете попасть в эту категорию.

   Короче говоря, сверка — это процесс, который происходит с той же частотой, что и вы получаете выписки по своим банковским счетам или кредитам.

   Обычно ежемесячно, ежеквартально или ежегодно учетная система, такая как Quickbooks Online, имеет процесс, в котором начальный и конечный балансы вводятся вместе с датой закрытия выписки.Затем все дебеты и кредиты сопоставляются с этим отчетом, чтобы гарантировать, что все транзакции зафиксированы и что ни одна из них не пропущена.

   Если вам нужна дополнительная информация о процессе согласования, пожалуйста, обращайтесь к нам в бухгалтерию Ensemble.

   Отрицательная сумма обязательств и собственного капитала

   Как только мы пересечем эту середину балансового отчета, поймите, что цифры несколько обратные. В верхней части страницы, когда мы смотрим на Активы, если отчет показывает 1000 долларов на текущем счете, это означает, что у вас есть тысяча в банке.В середине отчета, когда мы переходим к пассивам, дебетовые и кредитные счета переключаются так, что если на вашем счете кредитной карты отображается 500 долларов, это означает, что вы должны 500 долларов.

   Это все стандартные рекомендации по бухгалтерскому учету GAPP, важно, чтобы вы имели хотя бы базовый уровень понимания.

   Отрицательная сумма на кредитных картах

   Как упоминалось ранее, если вы показываете отрицательное число (в скобках или круглых скобках) в строке для кредитной карты, это означает, что либо произошла какая-то переплата или возврат средств на карту, либо произошла ошибка учета.Если это бухгалтерская ошибка, то хороший бухгалтер или бухгалтер должен это выяснить, просматривая ваши бухгалтерские книги.

   Если проблем с бухгалтерским учетом нет, то наиболее вероятной причиной этой проблемы будет переплата по кредитной карте или возврат средств на эту карту. Если кредитная карта используется на регулярной основе, на самом деле не о чем слишком беспокоиться, так как у вас будут новые расходы, и вы можете уменьшить будущие платежи на сумму кредита.

   Если эта карта редко используется, возможно, стоит обратиться в службу поддержки по поводу этой карты и попросить, чтобы чек был отправлен по почте или переведен на ваш счет.

   Отрицательная сумма собственного капитала

   В зависимости от того, как настроен ваш план счетов, у вас может быть одна строка для собственного капитала или у вас могут быть два субсчета собственного капитала, которые называются «Вклады владельца» и «Распределения владельца». Взносы владельцев — это средства, которые вы вложили в бизнес в качестве собственного капитала (а не займов).Распределение владельца — это деньги, которые вы вытащили из бизнеса (не фонд заработной платы).

   Если у вас есть две отдельные учетные записи, ожидается, что строка «Распределение владельца» будет отрицательной и заключена в скобки. Если у вас есть только одна линия, это число может быть положительным или отрицательным в зависимости от того, вложили ли вы больше капитала, чем вывели из бизнеса.

   Потери

   В балансовом отчете ключевое место, где вы увидите убыток, который будет указан в скобках, находится в нижней части строки «Чистый доход» раздела «Капитал».Этот номер напрямую связан с отчетом о прибылях и убытках (или отчете о прибылях и убытках).

   Если ваш бизнес приносит прибыль, это число будет положительным. Если ваш бизнес показывает убыток за этот период, то он будет отрицательным.

   Дебетовое сальдо на счете, который обычно имеет кредитовое сальдо, или наоборот

   Во всяком случае, одним из самых сложных моментов в обучении бухгалтера для меня было понять, как работают кредиты и дебеты в бухгалтерском мире.Я не собираюсь подробно объяснять это в этом посте, но просто поймите, что для непрофессионала, когда бухгалтер использует слова «дебет» и «кредит», это может означать противоположное тому, что вы предполагаете.

   Я попытаюсь рассказать об остатках на дебетовом и кредитовом счетах, фактически не используя термины «дебет» и «кредит», чтобы не запутаться.

   Если вы смотрите на строку в разделе «Активы» балансового отчета, знайте, что, скорее всего, она должна быть положительной.Если он отрицательный, вам следует разобраться и обратиться к специалисту по бухгалтерскому учету.

   Если вы видите строку в разделе «Обязательства» и она находится в скобках, то вам, вероятно, также необходимо обратиться к своему бухгалтеру. Единственным исключением может быть случай, когда у вас есть универсальный фонд, такой как «Спроси моего бухгалтера», где могут быть размещены как кредиты, так и дебеты, и у вас или у вашего бухгалтера есть вопросы, по которым требуется дополнительное объяснение для правильного кодирования.

   Кронштейн

   — ГИС Вики | Энциклопедия ГИС

   Скобки — это знаки препинания, используемые парами для разделения или вставки текста в другой текст. В Соединенных Штатах слово «скобка» иногда относится конкретно к квадратному или прямоугольному типу. ^[1]

   Существует четыре основных типа кронштейнов:

   • круглые скобки , открытые скобки или круглые скобки :  ( )
   • квадратные скобки , закрытые скобки или квадратные скобки :  [ ]
   • фигурные скобки , волнистые скобки , фигурные скобки , фигурные скобки или куриные губы :  { }
   • угловые кронштейны , ромбовидные кронштейны , конусные кронштейны или шевроны :  < > или ⟨ ⟩

   История

   Угловая скобка была самым ранним типом, появившимся на английском языке.Дезидериус Эразм ввел термин lunula для обозначения закругленных скобок (), напоминающих круглую форму Луны. ^[2]

   Использование

   Помимо обозначения класса всех типов скобок безоговорочное слово скобка чаще всего используется для обозначения определенного типа скобок. В современном американском использовании это обычно квадратная скобка, тогда как в современном британском использовании это обычно скобка (круглая скобка).

   В американском употреблении круглые скобки обычно рассматриваются отдельно от других скобок, и называть их «скобками» вообще необычно, хотя они выполняют аналогичную функцию. В более формальном использовании «круглые скобки» могут относиться ко всему тексту в квадратных скобках, а не только к используемым знакам препинания (поэтому можно сказать, что весь текст в этом наборе круглых скобок является скобками).

   Типы

   Скобки ( )

   скобок (сингулярные, скобки ) -Сомии называются круглые кронштейны , изогнутые кронштейны , овальные кронштейны , овальных кронштейнов , или всего кронштейнов , или, разговорно, Parens — содержат материал, который может быть опущен без разрушить или изменить смысл предложения.

   Скобки могут использоваться в официальном письме для добавления дополнительной информации, такой как «Sen. Эдвард Кеннеди (D., Массачусетс) говорил долго». Они также могут обозначать сокращение для «единственного или множественного числа» для существительных, например, «требование (я)».

   Фразы в скобках широко использовались в неформальной письменной форме и литературе потока сознания. Особо следует отметить южноамериканского писателя Уильяма Фолкнера (см. Авессалом, Авессалом! и раздел Квентина Шум и ярость ), а также поэта Э.Э. Каммингс. В большинстве текстов чрезмерное использование скобок обычно является признаком плохо структурированного текста. Более мягкий эффект можно получить, используя пару запятых в качестве разделителя. Если предложение содержит запятые для других целей, может возникнуть визуальная путаница.

   Круглые скобки исторически использовались там, где в настоящее время используется тире, то есть для обозначения альтернатив, таких как «круглые скобки» (круглые скобки). Примеры такого использования можно увидеть в выпусках Fowler’s .

   Круглые скобки также могут быть вложенными (с одним набором (таким как этот) внутри другого набора).Это обычно не используется в официальном письме (хотя иногда другие скобки [особенно квадратные скобки] будут использоваться для одного или нескольких внутренних наборов скобок [другими словами, вторичных {или даже третичных } фраз можно найти внутри главное предложение]). ^{[ необходима ссылка ]}

   Любые знаки препинания внутри круглых или других квадратных скобок не зависят от остального текста: «Mrs. Пеннифартинг (Что? Да, так ее звали!) была моей хозяйкой.В этом случае пояснительный текст в круглых скобках является скобкой. (Текст в скобках чаще всего находится в одном предложении, но также часто бывает, что целое предложение или даже несколько предложений дополнительного материала заключены в скобки. В этом случае даже последняя точка будет в скобках. Опять же, скобки подразумевают, что смысл и содержание текста в целом не изменились бы, если бы предложения в скобках были удалены. )

   Скобки в математике означают другой приоритет операций.Например, 2 + 3 × 4 будет 14, поскольку умножение выполняется до сложения. С другой стороны, (2 + 3) × 4 равно 20, потому что круглые скобки имеют приоритет над обычным приоритетом, в результате чего сложение выполняется первым. Они также используются для разделения аргументов в математических функциях. Например, f (x) — это функция f , примененная к переменной x. Круглые скобки обозначают набор координат в системе координат. (4,7), например, может представлять точку, расположенную в позиции 4 по оси x и 7 по оси y.Скобки также могут обозначать интервалы. (0,5), например, представляет собой интервал между 0 и 5, не включая 0 или 5. Круглые скобки также могут представлять умножение, как в случае 2(3) = 6. Некоторые авторы следуют соглашению в математических уравнениях, что , когда круглые скобки имеют один уровень вложенности, внутренней парой являются круглые скобки, а внешней парой — квадратные скобки. Пример:

   Круглые скобки также могут использоваться для представления биномиального коэффициента.

   Скобки используются в компьютерном программировании, особенно в языке программирования C и подобных языках, для передачи параметров или аргументов функциям или методам, как в следующем примере:

   В декартовой системе координат скобки используются для указания координат точки: (2,3) обозначает точку с координатой x 2 и координатой y 3.

   Прямоугольные скобки или квадратные скобки [ ]

   Квадратные скобки в основном используются для заключения пояснений или отсутствующих материалов, которые обычно добавляются кем-то другим, а не первоначальным автором, особенно в цитируемом тексте. ^[3] Примеры включают: «Я ценю это [честь], но я должен отказаться» и «будущее псионики [см. определение] под вопросом» .

   Выражение в квадратных скобках [так в оригинале] используется для обозначения ошибок, которые «таким образом в оригинале»; многоточие в квадратных скобках […] часто используется для обозначения удаленного материала; комментарии в квадратных скобках указывают, что исходный текст был изменен для ясности: «Я хотел бы поблагодарить [нескольких неважных людей] и моих родителей [ sic ] за их любовь, терпимость […] и помощь [курсив мой]». ^[4]

   Квадратные скобки используются в математике в различных обозначениях, включая стандартные обозначения интервалов, коммутаторов, скобок Ли и скобок Айверсона.

   В переведенных работах квадратные скобки используются для обозначения того же слова или фразы на языке оригинала, чтобы избежать двусмысленности. ^[5] Например: Он обучен пути открытой руки [каратэ].

   Когда необходимы вложенные круглые скобки, можно использовать квадратные скобки вместо внутренней пары круглых скобок во внешней паре. ^[6] Когда требуются более глубокие уровни вложенности, общепринятым соглашением является чередование скобок и квадратных скобок на каждом уровне или использование фигурных скобок. ^{[ необходима ссылка ]}

   Фонетическая транскрипция может быть заключена в квадратные скобки ^[7] , часто с использованием Международного фонетического алфавита. Однако обратите внимание, что в фонематической, а не фонетической транскрипции обычно используются парные косые черты, а не скобки.

   Квадратные скобки также могут использоваться в химии для представления концентрации химического вещества или для обозначения комплексного иона.

   Квадратные скобки могут использоваться в компьютерном программировании для доступа к элементам массива, особенно в C-подобных языках. Они используются в руководствах по программированию для обозначения отсутствующих или необязательных параметров.

   Квадратные скобки (называемые символами перемещения влево или символами перемещения вправо ) добавляются по бокам текста при корректуре, чтобы указать изменения в отступе:

   Влево	[К судьбе я предъявляю иск, лишенный других средств, единственное убежище для несчастных оставшихся.
   Центр	]Потерянный рай[
   Вверх

   Квадратные скобки используются для обозначения частей текста, которые необходимо проверить при подготовке черновиков до окончательной доработки документа. Они часто обозначают моменты, которые еще не были согласованы в законопроектах, и год, в котором был подготовлен отчет по определенным судебным решениям.

   Объекты html для квадратных скобок: [ и ]

   Сверху: квадратные скобки, фигурные скобки (скобки), круглые скобки, угловые скобки и (красным) знаки неравенства.

   Фигурные скобки или фигурные скобки {}

   Фигурные скобки (также называемые фигурными скобками или «волнистыми скобками») иногда используются в прозе для обозначения ряда равных вариантов: «Выберите свое животное {козу, овцу, корову, лошадь} и следуйте за мной».Они особым образом используются в поэзии и музыке (для обозначения повторов или соединенных строк). Музыкальные термины для этого знака, соединяющего нотоносцы, — это похвала и «скобка», и они соединяют две или более музыкальных строк, которые воспроизводятся одновременно. ^[8] В математике они разграничивают множества. Во многих языках программирования они заключают в себе группы операторов. Поэтому такие языки (один из самых известных примеров — C) называются языками с фигурными скобками. Некоторые люди используют фигурную скобку для обозначения движения в определенном направлении.

   Предположительно из-за схожести слов скобка и скобка (хотя у них нет общей этимологии), многие люди небрежно рассматривают скобка как синоним скобка . Поэтому, когда необходимо избежать любой возможности путаницы, например, в компьютерном программировании, может быть лучше использовать термин фигурная скобка , а не фигурная скобка . Однако в общем использовании в североамериканском английском предпочтение отдается последней форме. ^{[ нужна ссылка ]} Термин фигурные скобки является избыточным, так как не существует другого типа скобок. Индийские программисты часто используют название «цветочная скобка». ^[9]

   Фигурные скобки часто используются в интернет-сообществах и при обмене мгновенными сообщениями для обозначения объятий. ^[10]

   Угловые скобки, ромбовидные скобки или шевроны 〈 〉

   Угловые скобки (〈〉 ^[11] ; Unicode U+27E8 и U+27E9; и другие, см. ниже) часто используются для заключения выделенного материала.Некоторые словари используют угловые скобки для заключения коротких выдержек, иллюстрирующих использование слов.

   В физических науках угловые скобки используются для обозначения среднего значения во времени или другого непрерывного параметра. Например,

   Внутреннее произведение двух векторов обычно записывается как , но также используется обозначение (a, b).

   В лингвистике угловые скобки обозначают орфографию, например: «Английское слово /kæt/ пишется как 〈cat〉».

   В текстологической критике и, следовательно, во многих изданиях плохо переданных произведений угловые скобки обозначают части текста, которые неразборчивы или потеряны по иным причинам; редактор часто вставляет в них свою собственную реконструкцию, где это возможно.

   Угловые скобки редко используются для обозначения диалогов, которые мысленно произносятся, а не произносятся, например:

   〈Какой красивый цветок!〉

   Одинарные и двойные угловые скобки или пары операторов сравнения (<<, >>) (что означает, что намного меньше и намного больше ) иногда используются вместо кайр ( «, ») (используется в качестве кавычек во многих языках), когда нужные глифы недоступны.

   Математические или логические символы больше (>) и меньше (<) являются операторами неравенства и не являются знаками препинания при их использовании.Тем не менее, поскольку на типичной компьютерной клавиатуре нет настоящих угловых скобок, вместо них часто используются символы «меньше» и «больше». При таком использовании их часто называют угловыми скобками . Например, символы < и > часто используются для разделения URL-адресов в тексте, например: «Я нашел это на Example.com

   ». Также часто можно встретить указание на адрес электронной почты, например: «Эта фотография защищена авторскими правами Джона Смита com>», и является машиночитаемой формой для таких заголовков сообщений, как указано в RFC 2822. Кроме того, прямоугольные скобки используются во вложенных кавычках Usenet и различных форматах электронной почты и, как таковые, являются стандартными глифами кавычек.

   Шевроны являются частью стандартной китайской и корейской пунктуации, где они обычно заключают в себе названия книг: ︿ и ﹀ или ︽ и ︾ для традиционной вертикальной печати и 〈 и 〉 или 《 и 》 для горизонтальной печати.

   В комиксах угловые скобки часто используются для обозначения диалогов, условно переведенных с другого языка; другими словами, если персонаж говорит на другом языке, вместо того, чтобы писать на другом языке и предоставлять перевод, он пишет переведенный текст в угловых скобках.Конечно, поскольку ни один иностранный язык на самом деле не написан, это всего лишь условно переведенных . ^{[ необходима ссылка ]}

   Угловые скобки также могут использоваться для обозначения действия или состояния (например, или ), особенно в текстовых онлайн-дискуссиях в реальном времени (обмен мгновенными сообщениями, бюллетень доски и др. ). (Здесь звездочки также могут использоваться для обозначения действия.)

   Вычислительная техника

   Кодировка

   • Открывающая и закрывающая скобки соответствуют символам ASCII и Unicode 40 и 41 или U+0028 и U+0029 соответственно.
   • Для квадратных скобок соответствующие значения равны 91 и 93 или U+005B и U+005D.
   • Для скоб , 123 и 125 или U+007B и U+007D. Фигурные скобки впервые стали частью набора символов с 8-битным кодом IBM 7030 Stretch ^[12] .
   • Истинные угловые скобки доступны в Unicode в кодовых точках U+27E8 и U+27E9 (для математического использования) и/или U+3008 и U+3009 (для языков Восточной Азии). Третий набор угловых скобок кодируется как U + 2329 и U + 232A, но официально «не рекомендуется для математического использования» ^[13] , поскольку они канонически эквивалентны кодовым точкам CJK U + 300x и, следовательно, могут отображаться как двойные. -ширинные символы. Символы меньше и больше часто используются вместо угловых скобок. Они встречаются как в Unicode, так и в ASCII в кодовых точках 60 и 62, или U+003C и U+003E.

   Эти различные символы квадратных скобок часто используются во многих компьютерных языках в качестве операторов или для другой синтаксической разметки. Ниже приведены более распространенные варианты использования.

   Использование «(» и «)»

   • часто используются для определения синтаксической структуры выражений, отменяя приоритет операторов: a*(b+c) имеет подвыражения a и b+c , тогда как a*b+c имеет подвыражения a *b и c
   • содержат параметры или аргументы функций или могут обозначать вызов функции или функционально-подобной конструкции: substring($val,10,1)
   • в Lisp, они открывают и закрывают s-выражения и, следовательно, функциональные приложения: (cons a b)
   • в языках семейства Fortran, они также используются для ссылок на массивы
   • в языке программирования Perl до Perl 5, они используются для определения списков , структур, подобных статическим массивам; эта идиома распространяется на их использование в качестве контейнеров аргументов подпрограммы (функции)
   • в языке программирования Perl 6, они определяют захватывает , структуру, которая откладывает контекстную интерпретацию. Это использование распространяется и на обычные скобки. Они также используются для указания аргументов для вызовов функций и для объявления сигнатур формальных параметров или других переменных.
   • в Python они используются для устранения неоднозначности литералов кортежей (неизменяемых упорядоченных списков), которые обычно формируются запятыми, в местах, где круглые скобки и запятые в противном случае были бы частью вызова функции.
   • в Tcl они используются для заключения имени элемента переменной ассоциативного массива
   • используется для создания улыбки или хмурого лица в чате при обмене мгновенными сообщениями или текстовых сообщениях (см. Смайлик)

   Использование «[» и «]»

   • относятся к элементам массива или ассоциативного массива, а иногда и для определения количества элементов в массиве: queue[3]
   • может использоваться для определения буквального анонимного массива или списка: [5, 10, 15]
   • в большинстве синтаксисов регулярных выражений квадратные скобки обозначают класс символов: набор возможных символов на выбор
   • в Tcl, они заключают нижний индекс для оценки, а результат заменяет
   • в химии, [c] обозначает концентрацию определенного вещества — в этом примере c.
   • в некоторых языках Microsoft .NET (CLI), особенно в C# и C++, они используются для обозначения атрибутов метаданных.
   • используется для создания смайликов в текстовых или мгновенных сообщениях
   • Реализации сборки x86, такие как FASM, они используются для отличия указателей от их данных

   Использование «{» и «}»

   • используются в некоторых языках программирования для определения начала и конца блоков кода или данных. Говорят, что языки, использующие это соглашение, принадлежат к семейству фигурных скобок языков программирования
   .
   • используются для представления определенных определений типов или литеральных значений данных, таких как составная структура или ассоциативный массив
   • в математике заключают в себе элементы множества и обозначают множество
   • в Curl они используются для разделения выражений и операторов (аналогично использованию скобок в Лиспе).
   • в Паскале определяют начало и конец комментариев
   • в большинстве синтаксисов регулярных выражений они используются как квантификаторы, соответствующие n повторений предыдущей группы
   • в Perl они также используются для обозначения элементов ассоциативного массива
   • в PHP они используются для определения структур.
   • в Tcl они заключают в себе строку, которую нужно заменить без выполнения каких-либо внутренних замен
   • на сленге IRC, две фигурные скобки с закрывающей первой обозначают поцелуй: }{
   • в Python они используются для словарей
   • в LaTeX они группируют части, использующие один и тот же локальный формат или параметры переноса

   Использование «

   <» и «>»

   В вычислениях символы «меньше» и «больше» иногда используются с функцией, подобной скобке.Когда эти символы используются парами, как если бы они были скобками,

   • в SGML (и его приложениях и вариантах, таких как HTML и XML), используется для включения тегов кода:
   • в C++, C# и Java они ограничивают общие аргументы
   • при написании текста, содержащего адреса электронной почты или URI, они отделяют часть канонического адреса от любого окружающего текстового содержимого, особенно когда в противном случае может возникнуть двусмысленность
   • в Perl до Perl 5 они используются для чтения строки из источника ввода
   • в Perl 6 они сочетают в себе цитирование и поиск в ассоциативном массиве
   • в ABAP они обозначают символы полей — заполнители или символические имена для других полей, которые могут указывать на любой объект данных.
   • используется для общения в мысленной речи

   Когда не используется в парах для разделения текста (не действует как скобки),

   • знаки «меньше» и «больше» (возможно, в сочетании с другими знаками препинания) являются обычными операторами отношения; в некоторых языках пара вместе как <> обозначает сравнение неравенства
   • при удвоении как << или >> они могут представлять операторы сдвига битов или в C++ также как операторы потокового ввода/вывода
   • — это операторы для указания перенаправления ввода/вывода в различных командных оболочках.В этом контексте их часто называют hoinkies (единственное число hoinky ), чтобы «избежать путаницы с другими операторами скобочного типа». ^[14]

   Стили макета

   Основная статья: Стиль отступа

   В обычном письме (прозе) открывающая скобка редко остается висящей в конце строки текста, а закрывающая скобка не может начинаться. Однако в компьютерном коде это часто делается намеренно, чтобы упростить чтение. Например, список элементов в квадратных скобках, разделенных точкой с запятой, может быть написан с помощью скобок на отдельных строках, а элементы, за которыми следует точка с запятой, — на одной строке.

   Распространенная ошибка в программировании — несоответствие фигурных скобок; соответственно, многие IDE имеют сопоставление фигурных скобок, чтобы выделить совпадающие пары.

   Математика

   Основная статья: Скобка (математика)

   В дополнение к использованию круглых скобок для указания порядка операций, круглые и квадратные скобки используются для обозначения интервала. Обозначение

   [a, c) используется для обозначения интервала от a до c , который включает a , но не включает c .Это,

   [5, 12) будет набором всех действительных чисел от 5 до 12, включая 5, но не 12. Числа могут сколь угодно приближаться к 12, включая 11,999 и так далее (с любым конечным числом девяток). ), но 12.0 не входит. В Европе обозначение

   [5,12[ также используется для этого. Конечная точка, примыкающая к квадратной скобке, называется закрытой , а конечная точка, примыкающая к скобке, называется открытой . Если оба типа скобок одинаковы, весь интервал может обозначаться как закрытый или открытый в зависимости от ситуации.Всякий раз, когда в качестве конечной точки используется бесконечность или отрицательная бесконечность, она обычно считается открытой и присоединяется к скобкам. См. Интервал (математика) для более полного рассмотрения.

   В квантовой механике угловые скобки также используются как часть формализма Дирака, обозначения скобок, для обозначения векторов из двойственных пространств Бра ( ) и Кет ( |B> ). Математики также обычно пишут < a , b > для внутреннего произведения двух векторов.В статистической механике угловые скобки обозначают среднее по ансамблю или по времени. Угловые скобки используются в теории групп для записи групповых представлений и для обозначения подгруппы, порожденной набором элементов.

   В теории групп и теории колец квадратные скобки обозначают коммутатор. В теории групп коммутатор

   [ г , ч

   ] обычно определяется как г ^-1 ч ^-1 гх . В теории колец коммутатор

   [ а , б

   ] определяется как ab − ba .Кроме того, в теории колец фигурные скобки обозначают коммутатор, где { a , b } определяется как ab + ba . Квадратная скобка также используется для обозначения производной Ли или, в более общем смысле, скобки Ли в любой алгебре Ли.

   Различные обозначения, такие как винкулум, имеют эффект, аналогичный скобкам, в указании порядка операций или иным образом группируют несколько символов вместе для общей цели.

   В формальном языке спецификации Z фигурные скобки определяют набор, а угловые скобки определяют последовательность.

   Бухгалтерский учет

   Традиционно в бухгалтерском учете отрицательные суммы заключаются в круглые скобки. ^[15]

   Закон

   Скобки используются в цитировании юридических отчетов для обозначения параллельных ссылок на неофициальных журналистов. Например: Хроника Паб. Co. против Верховного суда, (1998) 54 Cal.2d 548, [7 Cal.Rptr. 109].

   Если цитируемый материал каким-либо образом изменен, изменения заключаются в скобки внутри цитаты. Например: Истец утверждает, что его причина справедлива, заявляя: «[мои] мои причины [ sic ] справедливы.«Хотя в исходном процитированном предложении слово «мой» было написано с заглавной буквы, оно было изменено в цитате, и изменение обозначено скобками. Точно так же, если цитата содержала грамматическую ошибку, цитирующий автор сигнализировал, что ошибка была в оригинале, с помощью «[ sic ]» (латинское «таким образом»). (Калифорнийское руководство по стилю , раздел 4:59 (4-е изд. ))

   Спорт

   Турнирные скобки, схематическое представление серии игр, сыгранных во время турнира, обычно ведущих к одному победителю, названы так из-за их сходства с квадратными или фигурными скобками.

   Ввод

   В ролевых играх и письмах скобки используются для неречевых предложений (также известных как OOC, нехарактерные). Пример:

   (Как тебя зовут?)

   Также в ролевых играх иногда предпочтительнее использовать двойные скобки для OOC, а иногда и квадратные скобки, в зависимости от личных предпочтений. ^{[ ссылка необходима ]}

   См. также

   • Смайлик
   • Японские типографские символы

   Ссылки

   1. ↑ Бесплатный онлайн-словарь по информатике
   2. ↑ Трасс, Линн. Eats, Shoots & Leaves , 2003. с. 161. ISBN 1-592-40087-6.
   3. ↑ Чикагское руководство по стилю, 15-е изд. , Издательство Чикагского университета, 2003 г., §6.104.
   4. ↑ The Columbia Guide to Standard American English
   5. ↑ Чикагское руководство по стилю, 15-е изд. , Издательство Чикагского университета, 2003 г., §6.105.
   6. ↑ Чикагское руководство по стилю, 15-е изд. , Издательство Чикагского университета, 2003 г., §6.102 и §6.106.
   7. ↑ Чикагское руководство по стилю, 15-е изд. , Издательство Чикагского университета, 2003 г., §6.107.
   8. ↑ decodeunicode.org > U+007B ЛЕВАЯ КРУПНАЯ СКОБКА Проверено 3 мая 2009 г.
   9. ↑ К. Р. Венугопал, Раджкумар Буйя, Т. Равишанкар. Освоение C++ , 1999. с. 34. ISBN 0-07-463454-2.
   10. ↑ Смайлики Messenger См. «Объятие слева» и «Объятие справа»
   11. ↑ Некоторые шрифты неправильно отображают эти символы. Вместо этого обратитесь к изображению справа.
   12. ↑ Боб, Бемер, The Great Curly Brace Trace Chase , http://www.bobbemer.com/BRACES.HTM, получено 05 сентября 2009 г.
   13. ↑ http://www.unicode.org/charts/PDF/U2300.pdf
   14. ↑ Брайант, Рэндал Э.; О’Халларон, Дэвид. Компьютерные системы: взгляд программиста , 2003. с. 794. ISBN 0-13-034074-X.
   15. ↑ IBM Information Management Software for z/OS Solutions Information Center

   Библиография

   • Леннард, Джон (1991). Но я отвлекся: использование скобок в английском печатном стихе .Оксфорд: Кларендон Пресс. ISBN 0-19-811247-5.
   • Тернбулл; и другие. (1964). Графика общения . Нью-Йорк: Холт. Указывает, что то, что изображено в виде квадратных скобок выше, называется фигурными скобками, а фигурные скобки называются скобками. Это была терминология печати в США до появления компьютеров.

   Брекеты и кронштейн | Нотная запись и гравюра

   Скобки — это перпендикулярные линии со скобками, которые имеют две цели: соединять два или более нотоносцев, указывая на то, что их следует читать одновременно; и для воспроизведения нотоносцев подобных инструментов ансамбля, таких как две скрипки струнного квартета.

   Скобки разделяют разделы в большой партитуре, а также используются в дуэтах с двумя нотами, хоралах и других музыкальных стилях.

   Брекеты

   Скобки используются для группировки двух или более нотоносцев в систему.

   Раскосы обычно соединяют нотоносцы для:

    

    

    

   • Селеста
   • Клавесин
   • Орган

    

    

    

    

   Скобки также используются между нотоносцами, чтобы показать, что динамическая или выразительная маркировка применяется к обоим нотоносцам в системе.В этих случаях используется небольшая скоба.

    

    

    

   Кронштейны

   Кронштейны соединяют отдельные отдельные детали, например детали для:

    

    

    

    

    

    

    

   1. Скобки следует использовать вместо скобок для группировки двух инструментов, принадлежащих к разным семействам, таких как кларнет и виолончель.
   2. Скобки также следует использовать для групп инструментов одного семейства, которые имеют отдельные отдельные части, например ансамбль из трех скрипок.
   3. Скобки используются в полной партитуре оркестра или оркестра для соединения всех партий в разделе.
   4. См.  Штрихи полной шкалы  , чтобы узнать, как разделы заключены в скобки.
   • Размер
     • Кронштейн несколько толще скобы.

    

   НАКОНЕЧНИКИ ДЛЯ ПРЕССОВ KALLISTI

   Для перераспределения одной системы:

   Оптимизация системы.В режиме просмотра страницы выберите инструмент нотоносца, затем, удерживая клавишу «Option», щелкните нижний маркер первого нотоносца, который вы хотите переключить в скобки. Появится диалоговое окно «Использование персонала». Введите новый номер группы для этого нотоносца (не номер, который уже используется в пьесе!), затем перемещайтесь с помощью кнопок «следующий» и «предыдущий», назначая тот же новый номер группы всем другим нотоносцам в группе. Пока вы это делаете, примените еще один новый номер группы к каждому из нотоносцев в каждой другой группе, которую вы хотите переключить в скобки. Закройте диалоговое окно использования персонала.Нотоносцы, которые вы перегруппировали, теперь будут отображаться без скобок. Примените к ним новые скобки обычным способом, как вы это делали в более ранних версиях Finale. Эти скобки появятся только в этой системе.

   Примечание. Если у вас есть другая оптимизированная страница, идентичная этой и требующая таких же настраиваемых скобок, вам нужно создать новые скобки только один раз. Для каждой последующей идентичной страницы все, что вам нужно сделать, это назначить нотоносцам те же номера групп, которые вы использовали на первой настроенной странице; скобки, которые вы там применили, также появятся на этой странице, потому что скобки привязаны к группам персонала, и вы используете одни и те же группы для обоих pp.

   Советы с благодарностью от Эндрю Стиллера и Каллисти Пресс

   Infinity использует квадратные или круглые скобки? – Кухня

   Символы бесконечности всегда сопровождаются круглыми скобками .

   Должны ли бесконечность использовать квадратные или круглые скобки в обозначении интервала?

   Используйте круглые скобки для обозначения бесконечности или отрицательной бесконечности, поскольку положительная и отрицательная бесконечность не являются числами в обычном смысле этого слова и, следовательно, не могут быть «приравнены». Несколько примеров интервала или набора чисел, в которые попадает решение: [−2,6) или все числа от −2 до 6, включая −2,

   .

   Как узнать, использую ли я квадратные или круглые скобки?

   Используйте скобки (иногда называемые квадратными скобками), чтобы указать, что конечная точка включена в интервал, и скобки (иногда называемые круглыми скобками), чтобы указать, что это не так.скобки подобны строгим неравенствам.

   Можно ли включить бесконечность?

   Если вы добавите единицу к бесконечности, у вас останется бесконечность; у вас нет большего числа. Если вы верите в это, то бесконечность — это не число.

   Можно ли использовать бесконечность в записи интервалов?

   Мы используем символ ∞ для обозначения «бесконечности» или представления о том, что интервал не имеет конечной точки. Поскольку ∞ не является числом, его нельзя использовать с квадратной скобкой.

   Как написать бесконечный интервал?

   Использование обозначения интервала Для бесконечных интервалов используйте Inf для ∞ (бесконечность) и/или -Inf для -∞ (-бесконечность). Например, бесконечный интервал, содержащий все точки, большие или равные 6, выражается [6,Inf). Если набор включает более одного интервала, они соединяются с помощью символа объединения U.

   Используете ли вы скобки для бесконечности?

   Символы бесконечности всегда сопровождаются круглыми скобками.

   Являются ли круглые скобки скобками?

   Скобки ( ) также известны как круглые скобки (parenthesEs) и обычно используются для обозначения круглых скобок.

   Являются ли скобки и круглые скобки одинаковыми в математике?

   Круглые скобки гладкие и изогнутые ( ), квадратные скобки [ ] и фигурные скобки { }. В математике они в основном используются для порядка операций. Сначала вычисляются самые внутренние круглые скобки, за ними следуют скобки, образующие следующий внешний слой, а затем фигурные скобки, образующие третий внешний слой.

   Бесконечность +1 равна бесконечности?

   По мнению математиков, существует множество видов бесконечности, но что произойдет, если добавить один? Математики определили множество различных типов бесконечности, из которых «наименьший» — это алеф-нуль, который достигается вечным счетом.Так что бесконечность плюс один — это все еще бесконечность.

   Определена ли бесконечность бесконечности?

   бесконечность, понятие чего-то безграничного, бесконечного, безграничного. Обычный символ бесконечности ∞ был изобретен английским математиком Джоном Уоллисом в 1655 году.

   Включены ли квадратные скобки?

   Обозначение может быть немного запутанным, но просто помните, что квадратные скобки означают, что конечная точка включена, а круглые скобки означают, что она исключена. Если обе конечные точки включены, интервал называется закрытым, если они обе исключены, он называется открытым.

   Как сделать скобку бесконечности?

   Используйте круглые скобки для обозначения бесконечности или отрицательной бесконечности, поскольку положительная и отрицательная бесконечность не являются числами в обычном смысле этого слова и, следовательно, не могут быть «приравнены». Несколько примеров интервала или набора чисел, в которые попадает решение: [−2,6) или все числа от −2 до 6, включая −2,

   .

   Бесконечность включительно или исключительно?

   Бесконечность и отрицательная бесконечность считаются открытыми конечными точками и поэтому всегда указываются в скобках.Если бы мы считали бесконечность замкнутой конечной точкой, это означало бы, что значение бесконечности будет включено в интервал.

   Является ли бесконечность замкнутым интервалом?

   Когда интервал включает бесконечность или отрицательную бесконечность, у нас есть следующие правила для того, является ли он открытым или закрытым интервалом: (a, ∞) и (-∞, a) являются открытыми интервалами. [a, ∞) и (-∞, a] являются закрытыми интервалами. (-∞, ∞) является как открытым, так и закрытым.

   квадратных скобок, фигурных скобок, угловых скобок, о боже!

   Узнайте, как эффективно использовать скобки в письме

   Позвольте мне дать вам представление о жизни в Скрибенди.ком. Когда мы не занимаемся редактурой до самого утра (чем, честно говоря, занимаемся большую часть времени), мы тратим оставшееся время на обсуждение и написание статей, призванных помочь вам (нашим замечательным клиентам) стать лучшими писателями. .

   Когда мне назначили статью о скобках, я обрадовался (ну ладно, не очень). По правде говоря, я не был уверен, как мне написать целую статью о скобках, но, как я обнаружил в ходе своего исследования, скобки на самом деле сложнее, чем думает большинство людей.

   Квадратные скобки

   Иногда квадратные скобки используются для большей ясности текста. Когда цитата, используемая в статье, содержит слово «это», автор статьи часто использует скобки, чтобы пояснить антецедент. Это делается по ряду причин, но чаще всего потому, что, когда автор использует цитату в статье, читатель сталкивается с цитатой вне ее исходного контекста, а поскольку читатели полагаются на контекст для определения антецедента, антецедент должен быть при условии.Например:

   Бланш Дюбуа заявляет, что «Хотя Бенджамину Франклину часто приписывают открытие его [электричества], древние египтяне на самом деле заслуживают большей части похвалы».

   Квадратные скобки также используются для заключения латинского слова sic, , что означает «так, таким образом». В академическом письме [так в оригинале] используется для обозначения ошибки, которая изначально появляется в исходном материале и не связана с автором, который использует цитату. Например:

   В письме в CK Daily Post генерал Росс написал, что «длительные сроки службы не способствуют поддержанию позитивной групповой морали [так в оригинале].

   Квадратные скобки также используются для обозначения того, что определенная часть цитаты была опущена.

   Например, Гор Видал сказал: «Энди Уорхол — единственный гений, которого я встречал […] с IQ 60».

   Фигурные скобки

   Если вы не физик или высококвалифицированный математик, вы вряд ли столкнетесь с фигурными скобками в своих исследованиях или чтении. Если вы программист, вы наверняка будете использовать эти устаревшие маленькие волнистые метки.Но так же, как рубашки Hypercolor или шорты из спандекса для чего-то другого, кроме езды на велосипеде, фигурные скобки в значительной степени вышли из моды. Но на всякий случай, если вы столкнетесь с фигурными скобками за пределами вышеупомянутых полей, они, вероятно, указывают на серию одинаковых вариантов. Например:

   Выберите начинку для пиццы {перец, лук, колбаса, помидор, фета, анчоусы, бекон, вяленые помидоры, курица, брокколи} и следуйте за мной.

   Фигурные скобки можно встретить только на форумах или при обмене мгновенными сообщениями.В этом контексте они используются для обозначения объятий. Направление фигурной скобки указывает на направление объятий. Фигурная скобка, открывающаяся вправо, является правым объятием, а фигурная скобка, открывающаяся влево, — левым объятием. Например:

   AlaskanWolfHunter: эй, я просто подумал, что хочу сообщить тебе, что приношу домой цветы

   ({)WasillaMomof5: оу….спасибо бу…(})

   Угловые кронштейны

   Эти скобки, также известные как шевроны, часто встречаются в математике и квантовой физике.Но в отличие от фигурных скобок, вы можете столкнуться с ними при чтении вне этих дисциплин, хотя и не с какой-либо частотой. Угловые скобки могут встречаться в лингвистике. Например:

                  Английское слово /kæt/ пишется как ⟨cat⟩.

   Иногда, хотя и не часто, угловые скобки используются для обозначения внутренней мысли. Например:

                   Тодд протянул мне цветок. "Понюхай."

                   Я понюхал. "Мило.<Какая отвратительная вонь!>

   Угловые скобки часто используются в комиксах для обозначения человека, говорящего на другом языке. Иногда вместо кавычек используются двойные угловые скобки. Они также используются в компьютерной коммуникации для обозначения действия или состояния. Например:

   < <волны>>

   <<офлайн>>

   Заключение

   Важно не злоупотреблять скобками и не полагаться на них слишком сильно. Некоторые авторы вместо запятых используют скобки.Другие думают, что всю проблему скобок лучше оставить в покое. Но нельзя вечно избегать проблем. В какой-то момент вам, возможно, придется использовать скобки или вы можете столкнуться с ними в своих исследованиях, и в этом случае мы надеемся, что эта статья вам помогла.

   Если вы все еще не знаете, как и когда использовать скобки, вы всегда можете отправить свое письмо экспертам Scribendi для тщательной профессиональной проверки.

   Кронштейны | Руководство по пунктуации

   Скобки позволяют вставлять редакционные материалы внутри цитат.

   Разъяснение

   Если исходный материал содержит непонятное существительное или местоимение, для пояснения можно использовать скобки.

   Примеры

   Президент заявил, что «не подпишет законопроект, о котором они [республиканские члены Палаты представителей] говорили».

   В своих мемуарах автор рассказывает: «Год, когда мы въехали в дом [1985], был для нас трудным как в эмоциональном, так и в финансовом плане».

   Было слышно, как медиа-магнат сказал: «Я бы никогда не заключил сделку с [генеральным директором Acme Corporation] Уайлом Э.Койот.

   При таком использовании информация в квадратных скобках должна быть дополнением, а не заменой. Например, если исходная цитата звучит так: «Она никогда не перезванивала», не меняйте ее на «[Люси] никогда не перезванивала». Вместо этого напишите: «Она [Люси] так и не перезвонила». (Примечание: многие газеты игнорируют это правило. В профессиональной и академической литературе лучше следовать ему.)

   Во многих случаях скобок можно избежать, переформулировав цитату.

   Неловко

   «Почему мы не можем сделать то же самое [предоставить государственные гранты независимым кинематографистам] в этой стране?» — спрашивает Кристина Блэк.

   Переделать

   Ссылаясь на гранты на создание фильмов, предоставленные правительством Австралии, независимый режиссер Кристина Блэк спрашивает: «Почему мы не можем делать то же самое в этой стране?»

   Перевод

   Если цитата содержит иностранное слово или фразу, которые могут быть непонятны, укажите перевод в скобках. (Используйте круглые скобки для перевода нецитируемого материала.)

   Пример

   Смит пишет в своей автобиографии: «Я редко говорил на уроках французского.Когда я это делал, я обычно просто говорил je ne sais pas [я не знаю]».

   Указание на изменение заглавной буквы

   В большинстве случаев допустимо молча изменить первую букву цитируемого материала с прописной на строчную или наоборот. В определенных контекстах такие изменения должны быть указаны в квадратных скобках.

   Примеры

   «[T]его исследование широко цитируется, несмотря на его сомнительную методологию».

   В соответствии с условиями его трудового договора, его «опционы на акции, основанные на эффективности, не переходят до 31 декабря 2025 года.

   Индикация ошибок

   Латинский термин sic , означающий «так» или «таким образом», используется для обозначения ошибки или подтверждения необычного употребления в исходном материале. Без sic читатель может задаться вопросом, не была ли ошибка допущена автором, предлагающим цитату. Обратите внимание, что sic , как иностранный термин, должен быть выделен курсивом, а скобки, содержащие его, - нет.

   Пример

   В окончательном отчете указано, что «ошибка пилота [ sic ] наиболее вероятная причина крушения.

   В качестве альтернативы переформулируйте цитату, чтобы устранить ошибку.

   Пример

   «Ошибка пилота», согласно итоговому отчету, была «наиболее вероятной причиной крушения».

   Если вы подозреваете, но не уверены в наличии ошибки в исходном материале, уместно предположить в квадратных скобках и вопросительный знак.

   Пример

   «Судя по всему, на архитектора сильно повлиял стиль Бахуса [Баухаус?].

   Акцент

   Если вы используете курсив, чтобы выделить часть цитаты, укажите изменение в скобках.

   Пример

   Она сказала, что рассмотрит «очень короткое продление срока, но только при самых экстраординарных обстоятельствах [курсив мой]».

   Альтернативный подход состоит в том, чтобы отметить ударение вне цитаты, в круглых скобках, либо как отдельное предложение сразу после предложения, содержащего цитату:

   Пример

   Она сказала, что рассмотрит «очень короткое продление срока, но только при самых чрезвычайных обстоятельствах .(Выделение добавлено.)

   или в качестве примечания в конце предложения, содержащего цитату:

   Пример

   Она сказала, что рассмотрит «очень короткое продление срока, но только при самых чрезвычайных обстоятельствах » (курсив наш).

   Цензура нежелательного контента

   Если исходный материал содержит язык, который вы считаете неприемлемым для вашей аудитории, его можно удалить с помощью квадратных скобок.

   Пример

   Он велел им «присесть [ругательство]».

   Скобка внутри скобки

   В редких случаях, когда требуются скобки внутри скобок, используйте вместо них скобки. Это один из немногих вариантов использования скобок вне кавычек.

   Правильный

   Когда ему было за двадцать, он путешествовал по стране, читая лекции студентам-физикам (впоследствии опубликовано как М-теория для дебилов [2008]).

   Неправильно

   Когда ему было за двадцать, он путешествовал по стране, читая лекции студентам-физикам (впоследствии опубликовано как М-теория для дебилов (2008)).

   Если цитируемый материал уже содержит скобки, это следует отметить.

   Пример

   Ричардсон находит поддержку своей позиции в более раннем исследовании Somesuch Foundation: «Авторы признают, что «в течение четырех лет, когда он [Боб Джонс] был губернатором, средняя реальная заработная плата оставалась неизменной.