Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Арифметика

Делимость натуральных чисел. Деление с остатком

      Определение 1. Говорят, что натуральное число   a   делится на натуральное число   b ,   если существует такое натуральное число   c,   что выполняется равенство

a = bc .

В противном случае говорят, что число   a   не делится начисло   b.

      Если число   a   больше, чем число   b,   и не делится на число   b,   то число   a   можно разделить на число   b   с остатком.

      Определение 2. Деление числа   a   на число   b   с остатком означает, что найдутся такие натуральные числа   c  и   r ,   что выполняются соотношения

a = bc + r,    r < b .

Число   b   называется делителем, число   c   – частным, а число   r   – остатком от деления   a   на   b .  

     Еще раз особо подчеркнем, что остаток   r   всегда меньше, чем делитель   b .

     Например, число   204   не делится на число   5 ,   но, разделив число   204   на   5   с остатком, получаем:

     Таким образом, частное от деления равно   40 ,   а остаток равен   4 .

     Определение 3. Числа, делящиеся на   2 ,   называют четными, а числа, которые не делятся на   2 ,   называют нечетными.

Признаки делимости

      Для того, чтобы быстро выяснить, делится ли одно натуральное число на другое, существуют признаки делимости.

Признак делимости на	Формулировка	Пример
2	Число должно оканчиваться четной цифрой: 0 , 2 , 4 , 6 , 8	1258
3	Сумма цифр числа должна делиться на   3	745 , (7 + 4 + 5 = 15)
4	Число, образованное двумя последними цифрами, должно делиться на   4	7924
5	Число должно оканчиваться цифрой   0   или   5	835
6	Число должно делиться на   2   и на   3	234 , (2 + 3 + 4 = 9)
7	На   7   должно делиться число, полученное вычитанием удвоенной последней цифры из исходного числа с отброшенной последней цифрой	3626 , (362 – 12 = 350)
8	Число, образованное тремя последними цифрами, должно делиться на   8	63024
9	Сумма цифр должна делиться на   9	2574 , (2 + 5 + 7 + 4 = 18)
10	Число должно оканчиваться   0	1690
11	Сумма цифр, стоящих на четных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от нее на число, делящееся на   11	1408 , (4 + 8 = 12 ; 1 + 0 = 1 ; 12 – 1 = 11)
13	На   13   должно делиться число, полученное добавлением учетверенной последней цифры к исходному числу с отброшенной последней цифрой	299 , (29 + 36 = 65)
25	Число должно оканчиваться на   00 ,  25 ,  50   или   75	7975
50	Число должно оканчиваться на   00   или   50	2957450
100	Число должно оканчиваться на   00	102300
1000	Число должно оканчиваться на   000	3217000

Признак делимости на 2

Формулировка признака: Число должно оканчиваться четной цифрой: 0 , 2 , 4 , 6 , 8 Пример: 1258

Признак делимости на 3

Формулировка признака: Сумма цифр числа должна делиться на   3 Пример: 745 , (7 + 4 + 5 = 15)

Признак делимости на 4

Формулировка признака: Число, образованное двумя последними цифрами, должно делиться на   4 Пример: 7924

Признак делимости на 5

Формулировка признака: Число должно оканчиваться цифрой   0   или   5 Пример: 835

Признак делимости на 6

Формулировка признака: Число должно делиться на   2   и на   3 Пример: 234 , (2 + 3 + 4 = 9)

Признак делимости на 7

Формулировка признака: На   7   должно делиться число, полученное вычитанием удвоенной последней цифры из исходного числа с отброшенной последней цифрой Пример: 3626 , (362 – 12 = 350)

Признак делимости на 8

Формулировка признака: Число, образованное тремя последними цифрами, должно делиться на   8 Пример: 63024

Признак делимости на 9

Формулировка признака: Сумма цифр должна делиться на   9 Пример: 2574 , (2 + 5 + 7 + 4 = 18)

Признак делимости на 10

Формулировка признака: Число должно оканчиваться   0 Пример: 1690

Признак делимости на 11

Формулировка признака: Сумма цифр, стоящих на четных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от нее на число, делящееся на   11 Пример: 1408 , (4 + 8 = 12 ; 1 + 0 = 1 ; 12 – 1 = 11)

Признак делимости на 13

Формулировка признака: На   13   должно делиться число, полученное добавлением учетверенной последней цифры к исходному числу с отброшенной последней цифрой Пример: 299 , (29 + 36 = 65)

Признак делимости на 25

Формулировка признака: Число должно оканчиваться на   00 ,  25 ,  50   или   75 Пример: 7975

Признак делимости на 50

Формулировка признака: Число должно оканчиваться на   00   или   50 Пример: 2957450

Признак делимости на 100

Формулировка признака: Число должно оканчиваться на   00 Пример: 102300

Признак делимости на 1000

Формулировка признака: Число должно оканчиваться на   000 Пример: 3217000

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

www.resolventa.ru

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ — GrandKid

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ чисел — простейшие критерии (правила), позволяющие судить о делимости (без остатка) одних натуральных чисел на другие. Решение вопроса о делимости чисел признаки делимости сводят к действиям над небольшими числами, обычно выполняемым в уме.
Так как основанием общепринятой системы счисления является 10, то наиболее простыми и распространенными являются признаки делимости на делители чисел трех видов: 10^k, 10^k — 1, 10^k + 1 .
Первый вид — признаки делимости на делители числа 10^k , для делимости любого целого числа N на любой целый делитель q числа 10^k  необходимо и достаточно, чтобы последняя k-циферная грань (к—циферное окончание) числа N делилась на q. В частности (при к = 1, 2 и 3), получаем следующие признаки делимости на делители чисел 10¹ = 10 (I₁), 10² = 100 (I₂) и 10³ = 1000 (I₃):
I₁. На 2, 5 и 10 — одноциферное окончание (последняя цифра) числа должно делиться соответственно на 2, 5 и 10. Например, число 80 110 делится на 2, 5 и 10, так как последняя цифра 0 этого числа делится на 2, 5 и 10; число 37 835 делится на 5, но не делится на 2 и 10, так как последняя цифра 5 этого числа делится на 5. но не делится на 2 и 10.

I₂ . На 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 и 100—двуциферное окончание числа должно делиться соответственно на 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 и 100. Например, число 7 840 700 делится на 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 и 100, так как двуциферное окончание 00 этого числа делится на 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 и 100; число 10 831 750 делится на 2, 5, 10, 25 и 50, но не делится на 4, 20 и 100, так как двуциферное окончание 50 этого числа делится на 2, 5, 10, 25 и 50, но не делится на 4, 20 и 100.

I₃ . На 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500 и 1000 — трехциферное окончание числа должно делиться соответственно на 2,4,5,8,10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500 и 1000. Например, число 675 081 000 делится на все перечисленные в этом признаке числа, так как на каждое из них делится трехциферное окончание 000 заданного числа; число 51 184 032 делится на 2, 4 и 8 и не делится на остальные, так как трехциферное окончание 032 заданного числа делится только на 2, 4 и 8 и не делится на остальные.

Второй вид — признаки делимости на делители числа 10^k — 1 : для делимости любого целого числа N на любой целый делительq числа 10^k — 1 необходимо и достаточно, чтобы сумма k-циферных граней числа N делилась на q. В частности (при к=1, 2 и 3), получаем следующие признаки делимости на делители чисел 10¹ — 1 = 9 (II₁), 10² — 1=99 (II₂) и 10³ — 1 = 999 (II₃):
II₁ . На 3 и 9 —сумма цифр (одноциферных граней) числа должна делиться соответственно на 3 и 9. Например, число 510 887 250 делится на 3 и 9, так как сумма цифр 5+1+0+8+8+7+2+5+0=36 (и 3+6=9) этого числа делится на 3 и 9; число 4 712 586 делится на 3, но не делится на 9, так как сумма цифр 4+7+1+2+5+8+6=33 (и 3+3=6) этого числа делится на 3, но не делится на 9.

II₂ . На 3, 9, 11, 33 и 99 — сумма двуциферных граней числа должна делиться соответственно на 3, 9, 11, 33 и 99. Например, число 396 198 297 делится на 3, 9, 11, 33 и 99, так как сумма двуциферных граней 3+96+19+ +82+97=297 (и 2+97=99) делится на 3, 9,11, 33 и 99; число 7 265 286 303 делится на 3, 11 и 33, но не делится на 9 и 99, так как сумма двуциферных граней 72+65+28+63+03=231 (и 2+31=33) этого числа делится на 3, 11 и 33 и не делится на 9 и 99.

II₃ . На 3, 9, 27, 37, 111, 333 и 999 — сумма трехциферных граней числа должна делиться соответственно на 3, 9, 27, 37, 111, 333 и 999. Например, число 354 645 871 128 делится на все перечисленные в этом признаке числа, так как на каждое из них делится сумма трехциферных граней 354+645+ +871 + 128=1998 (и 1 + 998 = 999) этого числа.

Третий вид — признаки делимости на делители числа 10^k + 1: для делимости любого целого числа N на любой целый делитель q числа 10^k + 1 необходимо и достаточно, чтобы разность между суммой k-циферных граней, стоящих в N на четных местах, и суммой k-циферных граней, стоящих в N на нечетных местах, делилась на q. В частности (при к = 1, 2 и 3), получаем следующие признаки делимости на делители чисел 10¹ + 1 =11 (III₁), 10² + 1 = 101 (III₂) и 10³+1 = 1001 (III₃).

III₁ . На 11 — разность между суммой цифр (одноциферных граней), стоящих на четных местах, и суммой цифр (одноциферных граней), стоящих на нечетных местах, должна делиться на 11. Например, число 876 583 598 делится на 11, так как разность 8 — 7+6 — 5+8 — 3+5 — 9+8=11 (и 1 — 1=0) между суммой цифр, стоящих на четных местах, и суммой цифр, стоящих на нечетных местах, делится на 11.

III₂

. На 101 — разность между суммой двуциферных граней, стоящих в числе на четных местах, и суммой двуциферных граней, стоящих на нечетных местах, должна делиться на 101. Например, число 8 130 197 делится на 101, так как разность 8—13+01—97 = 101 (и 1—01=0) между суммой двуциферных граней, стоящих в этом числе на четных местах, и суммой двуциферных граней, стоящих на нечетных местах, делится на 101.

III₃ . На 7, 11, 13, 77, 91, 143 и 1001 — разность между суммой трехциферных граней, стоящих в числе на четных местах, и суммой трехциферных граней, стоящих на нечетных местах, должна делиться соответственно на 7, 11, 13, 77, 91, 143 и 1001. Например, число 539 693 385 делится на 7, 11 и 77, но не делится на 13, 91, 143 и 1001, так как 539 — 693+385=231 делится на 7, 11 и 77 и не делится на 13, 91, 143 и 1001.

grandkid.ru

Сообщение «Признаки делимости натуральных чисел»

«Признаки делимости натуральных чисел»

Признак делимости – это правило, по которому, не выполняя деления можно определить, делится ли одно натуральное число на другое. Признаки делимости всегда интересовали ученых разных стран и времен.

Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10, были известны с давних времен. Признак делимости на 2 знали древние египтяне за 2 тысячи лет до нашей эры, а признаки делимости на 2, 3, 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком Леонардо Фибоначчи (1170-1228г.г.).

Признак делимости на 4.

25·4=100; 56·4=224; 123·4=492; 125·4=500;

Умножая натуральные числа на 4, можно заметить, что числа, образованные из двух последних цифр числа, делятся на 4 без остатка.

Признак делимости на 4 читается так: Натуральное число делится на 4 только тогда, когда две его последние цифры 0 или образуют число, делящееся на 4.

Признак делимости на 6.

Заметим, что 6=2·3Признак делимости на 6: Если натуральное число одновременно делится на 2 и на 3, то оно делится на 6.

Примеры:

816 делится на 2 (оканчивается 6) и делится на 3 (8+1+6=15, 15׃3), значит, число делится на 6.

625 не делится ни на 2, ни на 3, значит, не делится на 6.

2120 делится на 2 (оканчивается 0), но не делится на 3 (2+1+2+0=5, 5 не делится на 3), значит, число не делится на 6.

279 делится на 3 (2+7+9=18, 18:3), но не делится на 2 (оканчивается нечетной цифрой), значит, число не делится на 6.

Признак делимости на 8.

125·8=1000; 242·8=1936; 512·8=4096; 600·8=4800

Умножая натуральное число на 8, можно заметить такую закономерность, числа оканчиваются на три 0-ля или три последние цифры составляют число, которое делится на 8.

Значит, признак таков. Натуральное число делится на 8 только тогда, когда три его последние цифры делятся 0 или составляют число, делящееся на 8.

Признаки делимости на 11.

I. Число делится на 11, если разность суммы цифр стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах кратна 11.

Разность может быть отрицательным числом или 0, но обязательно должна быть кратной 11. Нумерация идет слева направо.

Пример:

2135704 2+3+7+4=16, 1+5+0=6, 16-6=10, 10 не кратно 11, значит, это число не делится на 11.

1352736 1+5+7+6=19, 3+2+3=8, 19-8=11, 11 кратно 11, значит, это число делится на 11.

II. Натуральное число разбивают справа налево на группы по 2 цифры в каждой и складывают эти группы. Если получаемая сумма кратна 11, то испытуемое число кратно 11.

Пример: Определим, делится ли число 12561714 на 11.

Разобьем число на группы по две цифры в каждой: 12/56/17/14; 12+56+17+14=99, 99 делится на 11, значит, данное число делится на 11.

III. Трехзначное натуральное число делится на 11, если сумма боковых цифр числа равна цифре, которая в середине. Ответ будет состоять из тех самых боковых цифр.

Примеры:

594 делится на11, т.к. 5+4=9, 9-в середине.

473 делится на 11, т.к. 4+3=7, 7- в середине.

861 не делится на 11, т.к. 8+1=9, а в середине 6.

Признак делимости на 15.

Заметим, что 15=3·5. Если натуральное число одновременно делится и на 5 и на 3, то оно делится на 15.

Примеры:

346725 делится на 5 (оканчивается 5) и делится на 3 (3+4+6+7+2+5=24, 24:3), значит, число делится на 15.

48732 делится на 3 (4+8+7+3+2=24, 24:3), но не делится на 5,значит, число не делится на 15.

87565 делится на 5 (оканчивается 5), но не делится на 3 (8+7+5+6+5=31, 31 не делится на 3), значит, число не делится на 15.

infourok.ru