Почему нельзя делить на ноль?

Итак, недавно мы обсуждали почему минус на минус дает плюс. А вот еще интересное утверждение. «Делить на ноль нельзя!» — большинство школьников заучивает это правило наизусть, не задаваясь вопросами. Все дети знают, что такое «нельзя» и что будет, если в ответ на него спросить: «Почему?». Вот что будет, если поделить на ноль на механическом калькуляторе.

А ведь на самом деле очень интересно и важно знать, почему же нельзя.

Всё дело в том, что четыре действия арифметики — сложение, вычитание, умножение и деление — на самом деле неравноправны. Математики признают полноценными только два из них — сложение и умножение. Эти операции и их свойства включаются в само определение понятия числа. Все остальные действия строятся тем или иным образом из этих двух.

Рассмотрим, например, вычитание. Что значит 5 – 3? Школьник ответит на это просто: надо взять пять предметов, отнять (убрать) три из них и посмотреть, сколько останется. Но вот математики смотрят на эту задачу совсем по-другому. Нет никакого вычитания, есть только сложение. Поэтому запись 5 – 3 означает такое число, которое при сложении с числом 3 даст число 5. То есть 5 – 3 — это просто сокращенная запись уравнения: x + 3 = 5. В этом уравнении нет никакого вычитания. Есть только задача — найти подходящее число.

Точно так же обстоит дело с умножением и делением. Запись 8 : 4 можно понимать как результат разделения восьми предметов по четырем равным кучкам. Но в действительности это просто сокращенная форма записи уравнения 4 · x = 8.

Вот тут-то и становится ясно, почему нельзя (а точнее невозможно) делить на ноль. Запись 5 : 0 — это сокращение от 0 · x = 5. То есть это задание найти такое число, которое при умножении на 0 даст 5. Но мы знаем, что при умножении на 0 всегда получается 0. Это неотъемлемое свойство нуля, строго говоря, часть его определения.

Такого числа, которое при умножении на 0 даст что-то кроме нуля, просто не существует. То есть наша задача не имеет решения. (Да, такое бывает, не у всякой задачи есть решение.) А значит, записи 5 : 0 не соответствует никакого конкретного числа, и она просто ничего не обозначает и потому не имеет смысла. Бессмысленность этой записи кратко выражают, говоря, что на ноль делить нельзя.

Самые внимательные читатели в этом месте непременно спросят: а можно ли ноль делить на ноль? В самом деле, ведь уравнение 0 · x = 0 благополучно решается. Например, можно взять x = 0, и тогда получаем 0 · 0 = 0. Выходит, 0 : 0=0? Но не будем спешить. Попробуем взять x = 1. Получим 0 · 1 = 0. Правильно? Значит, 0 : 0 = 1? Но ведь так можно взять любое число и получить 0 : 0 = 5, 0 : 0 = 317 и т. д.

Но если подходит любое число, то у нас нет никаких оснований остановить свой выбор на каком-то одном из них. То есть мы не можем сказать, какому числу соответствует запись 0 : 0. А раз так, то мы вынуждены признать, что эта запись тоже не имеет смысла. Выходит, что на ноль нельзя делить даже ноль. (В математическом анализе бывают случаи, когда благодаря дополнительным условиям задачи можно отдать предпочтение одному из возможных вариантов решения уравнения 0 · x = 0; в таких случаях математики говорят о «раскрытии неопределенности», но в арифметике таких случаев не встречается.)

Вот такая особенность есть у операции деления. А точнее — у операции умножения и связанного с ней числа ноль.

Ну, а самые дотошные, дочитав до этого места, могут спросить: почему так получается, что делить на ноль нельзя, а вычитать ноль можно? В некотором смысле, именно с этого вопроса и начинается настоящая математика. Ответить на него можно только познакомившись с формальными математическими определениями числовых множеств и операций над ними.

[источники]https://elementy.ru/email/1530320/Pochemu_nelzya_delit_na_nol
Ответил: Александр Сергеев

Почему нельзя делить на ноль? — Люди Роста

«Делить на ноль нельзя!» — большинство школьников заучивает это правило наизусть, не задаваясь вопросами. Все дети знают, что такое «нельзя» и что будет, если в ответ на него спросить: «Почему?» А ведь на самом деле очень интересно и важно знать, почему же нельзя.

Всё дело в том, что четыре действия арифметики — сложение, вычитание, умножение и деление — на самом деле неравноправны. Математики признают полноценными только два из них — сложение и умножение. Эти операции и их свойства включаются в само определение понятия числа. Все остальные действия строятся тем или иным образом из этих двух.

Рассмотрим, например, вычитание. Что значит 5 – 3? Школьник ответит на это просто: надо взять пять предметов, отнять (убрать) три из них и посмотреть, сколько останется. Но вот математики смотрят на эту задачу совсем по-другому. Нет никакого вычитания, есть только сложение. Поэтому запись 5 – 3 означает такое число, которое при сложении с числом 3 даст число 5. То есть 5 – 3 — это просто сокращенная запись уравнения: x + 3 = 5. В этом уравнении нет никакого вычитания. Есть только задача — найти подходящее число.

Точно так же обстоит дело с умножением и делением. Запись 8 : 4можно понимать как результат разделения восьми предметов по четырем равным кучкам. Но в действительности это просто сокращенная форма записи уравнения 4 · x = 8.

Вот тут-то и становится ясно, почему нельзя (а точнее невозможно) делить на ноль. Запись 5 : 0 — это сокращение от 0 · x = 5. То есть это задание найти такое число, которое при умножении на 0 даст 5. Но мы знаем, что при умножении на 0 всегда получается 0. Это неотъемлемое свойство нуля, строго говоря, часть его определения.

Такого числа, которое при умножении на 0 даст что-то кроме нуля, просто не существует. То есть наша задача не имеет решения. (Да, такое бывает, не у всякой задачи есть решение.) А значит, записи 5 : 0 не соответствует никакого конкретного числа, и она просто ничего не обозначает и потому не имеет смысла. Бессмысленность этой записи кратко выражают, говоря, что на ноль делить нельзя.

Самые внимательные читатели в этом месте непременно спросят: а можно ли ноль делить на ноль? В самом деле, ведь уравнение 0 · x = 0 благополучно решается. Например, можно взять x = 0, и тогда получаем 0 · 0 = 0. Выходит, 0 : 0=0? Но не будем спешить. Попробуем взять x = 1. Получим 0 · 1 = 0. Правильно? Значит, 0 : 0 = 1? Но ведь так можно взять любое число и получить 0 : 0 = 5, 0 : 0 = 317 и т. д.

Но если подходит любое число, то у нас нет никаких оснований остановить свой выбор на каком-то одном из них. То есть мы не можем сказать, какому числу соответствует запись 0 : 0. А раз так, то мы вынуждены признать, что эта запись тоже не имеет смысла. Выходит, что на ноль нельзя делить даже ноль. (В математическом анализе бывают случаи, когда благодаря дополнительным условиям задачи можно отдать предпочтение одному из возможных вариантов решения уравнения 0 · x = 0; в таких случаях математики говорят о «раскрытии неопределенности», но в арифметике таких случаев не встречается.)

Вот такая особенность есть у операции деления. А точнее — у операции умножения и связанного с ней числа ноль.

Ну, а самые дотошные, дочитав до этого места, могут спросить: почему так получается, что делить на ноль нельзя, а вычитать ноль можно? В некотором смысле, именно с этого вопроса и начинается настоящая математика. Ответить на него можно только познакомившись с формальными математическими определениями числовых множеств и операций над ними. Это не так уж сложно, но почему-то не изучается в школе. Зато на лекциях по математике в университете вас в первую очередь будут учить именно этому.

Почему нельзя делить на ноль, даже если очень хочется? / Habr

Недавно на Хабре появилась удивительная статья «Папа, а почему на ноль делить нельзя?», которая собрала массу не менее удивительных комментариев.

Детские вопросы обычно очень сложны («Почему небо ночью темное?», «Почему яблоки падают на землю?») и у взрослых обычно не хватает времени, чтобы их доходчиво объяснить. Да и не всегда взрослые знают ответ на эти вопросы.

Однако, вопрос о делении на ноль ни разу не относится к числу сложных вопросов, и для меня остается загадкой, почему с ним возникает столько проблем. Наверное, виной тому какие-то изъяны в методике преподавания математики в средней школе, в трудностях перехода от изучения арифметики к изучению буквенной алгебры и свойств элементарных функций.

Самые серьезные сомнения появляются, я думаю, после изучения рациональных чисел, когда для любого числа x, кроме нуля, вводится понятие обратного числа 1/x, и графика гиперболы y(x)=1/x.

Очевидно, что при делении 1 на очень маленькие числа появляются очень большие числа, и чем меньше мы берем x, тем больше становится 1/x. Почему же мы не можем сказать, что 1/x=∞ — есть некоторое число?

Алгебраическое возражение против этого состоит в следующем. Предположим, что ∞=1/x является числом. Тогда на это число должны распространяться все правила, которые имеют место быть для обычных чисел. В частности, с одной стороны должно быть верно соотношение 0⋅∞=1, а с другой стороны поскольку 0=1−1 должно быть выполнено 0⋅∞=1⋅∞−1⋅∞=0. Таким образом, имеем 1=0, а из этого уже следует, что все числа равны между собой и равны нулю. В самом деле, поскольку для любого числа x верно 1⋅x=x, то 1⋅x=0⋅x=0.

«Ну разве это не полная чушь?» — спросим себя, добравшись до этого места.

Разумеется, это полная чушь, если мы говорим об обычных числах. Но я недаром подчеркнул выше слово «правила». К ним мы вернемся чуть позже, после рассмотрения арифметического возражения против деления на ноль, и поможет нам в этом фасоль.

Вернемся в те времена, когда не было ни компьютеров, ни калькуляторов, ни логарифмических линеек, и поставим перед собой задачу разделить некоторое случайное число, например, на 5.

Для этого берем чашу с фасолью, символизирующую натуральный ряд, и высыпаем из нее какое-то количество зерен на разлинованный лист бумаги:

Тем самым, мы установили делимое на нашем бобовом калькуляторе.

Задача состоит в том, чтобы разложить эти зерна на пять рядов. Чтобы не запутаться отмечаем эти ряды, то есть, устанавливаем делитель:

Теперь раскладываем зерна из кучи на пять рядов в столбик. Это значительно дольше, чем на обычном калькуляторе, зато позволяет почувствовать всю прелесть арифметики до изобретения позиционной системы счисления.

Алгоритм завершается, когда мы получаем некоторое прямоугольное число и (возможно) остаток:

В данном примере осталось 2 зерна, а рядов по 5 зерен образовалось 18. Получается, что случайное число было 18⋅5+2=92.

Ясно, что мы можем выполнить этот алгоритм для любого натурального делимого и любого натурального делителя, отличного от нуля; если же делитель равен 0, то этот алгоритм выполнить попросту невозможно.

«Подождите!» — скажет внимательный читатель. — «В рассмотренном примере мы получили остаток 2, что с ним делать?»

Это, на самом деле, очень важное замечание. Вообще говоря, мы не можем делить фасолины, не испортив наш бобовый калькулятор — мало того, что разделить 2 фасолины на 5 одинаковых частей проблематично, даже если мы их раздробим подобающим образом, мы уже не сможем их собрать.

Поэтому достаточно долго люди старались обходиться без дробей. Например, в анонимной арабской рукописи XII века описана следующая задача: «разделить 100 фунтов между 11 человеками». Поскольку 100=11⋅9+1, средневековый математик предлагает сначала раздать каждому по 9 фунтов, а затем обменять оставшийся фунт на яйца, которых, как оказывается по курсу обмена, получается ровно 91. Но 91=11⋅8+3, поэтому арабский ученый предлагает раздать каждому по 8 яиц, а три оставшихся яйца отдать тому, кто производит раздел, или же обменять на соль к яйцам.

Говоря современным математическим языком, деление проводилось в полукольце натуральных чисел. Впрочем, с таким же успехом, используя красную и белую фасоль, мы могли бы определить деление с остатком и в кольце целых чисел — в изложенном алгоритме появились бы дополнительные правила для выбора цветов используемых для вычислений зерен фасоли, но точно так же остались бы бессмысленными операции вида x/0 и 5/2.

Очевидно, что для того, чтобы придать символу 5/2 конкретный смысл, нужно изменить правила игры, и перейти к полю рациональных дробей, пополнив множество целых чисел всевозможными выражениями m/n, где m — целое, а n — натуральное.

Важно заметить, что сделать это можно не единственным способом, однако в классической арифметике рассматривается такое пополнение, в котором символ 1/n означает долю от деления 1 на n, т. е. такое число, для которого верно выражение n⋅1/n=1; при чем доли имеют смысл не при подсчете штучных предметов (например, зерен фасоли), а при измерении величин, которые предполагаются непрерывными (или хотя бы неограниченно делимыми) — длин отрезков, площадей фигур и т. д.

В поле рациональных дробей уже нет смысла рассматривать неполное частное и остатки, так как частное от любого ненулевого делителя является какой-то рациональной дробью. Более того, как и в случае с натуральными числами, мы можем использовать для деления фасоль без изменения алгоритма.

В самом деле, пусть требуется разделить рациональное число α=p/q на β=r/s. Это равносильно выполнению следующих действий:

α:β=p/q:r/s=p⋅s/q⋅r

и задача при любых рациональных α и β свелась к уже известной процедуре деления целых чисел. Это еще раз показывает, что деление на ноль не имеет никакого арифметического смысла.

«Получается, делить на ноль нельзя, даже если очень хочется?» — увы, ответ на этот вопрос положительный: мы не можем определить операцию деления на ноль исходя их естественных потребностей счета и измерений. Правда, есть две лазейки.

Первая: вместо «обычных» чисел (т.е. кольца натуральных и поля рациональных, а также поля действительных чисел, о котором я, кстати, до сих пор не сказал ни слова и расскажу как-нибудь в другой раз) рассмотреть вырожденный случай — тривиальное кольцо {0}, и положить по определению 0/0=0. В этом случае, когда нам говорят: «Все числа равны между собой и равны нулю!» — мы можем сказать невозмутимым тоном: «Ну и что? Это всегда было так».

Вторая: отказаться от некоторых привычных правил умножения. В частности, от аксиомы 0⋅x=0. Говорят, что это возможно (см. http://en.wikipedia.org/wiki/Wheel_theory). Разумеется, этот вариант гораздо интереснее первого, но и он представляет собой такое изменение правил игры, которое сразу выводит нас за рамки классической арифметики.

В заключение этой заметки хочу привести список литературы для тех, кто заинтересовался числовыми системами:

— И.В. Арнольд «Теоретическая арифметика», М, ОГИЗ 1938 — очень подробная и детальная книга, в которой можно найти описания классических числовых систем, включая кватернионы.

— Е. Г. Гонин «Теоретическая арифметика», М, 1959 — эта книга покороче и посовременнее, и тоже очень хороша, хотя не так подробна, как книга И.В. Арнольда.

— С. Феферман «Числовые системы» — классическая монография, местами достаточно сложная; в ней изложены некоторые частные вопросы, которых нет в двух других книгах по теоретической арифметике.

— А. А. Кириллов «Что такое число?» (1993) — небольшая брошюра, рассчитанная на подготовленного читателя.

— Е. Б. Дынкин, В. А. Успенский «Математические беседы» — популярная книга, рассчитанная на школьников. Содержит массу информации и задач по такой «нестандартной» теме, как p-адические числа.

Деление на ноль — Lurkmore

«	Это уникальный случай умножения нуля на бесконечность, представленный на целом машинописном листе.	»
— Татьяныч

«	Деление на ноль это как секс. Всем можно, а школьникам нет.	»
— Анонимус

«	Hmmm… no, no… that’s wrong… that’s not right, either… a divide by zero error here… hmmm… you don’t seem to have the intelligence necessary to grasp higher mathematics.	»
— Проконсул Грегори из Fallout 2, проверяя результаты испытания ГГ

«	— Этой ночью, Люся, мы с тобой будем делать то, чего делать нельзя!.. — На ноль делить, что ли?	»
— Анекдот

«	На ноль делить нельзя. Потому что так сказал калькулятор.	»
— Анекдот

«	Можно сдохнуть, пытаясь делить разные числа на ноль.	»
— Кровосток

«	Делю на ноль. Дорого	»
— Анекдот

Деление на ноль ÷0 (Дивайд бай зиро) — невозможное математическое действие.

[править] Деление на ноль как мем

«	Эта грустная история о прекрасной восточной девушке Наноль, которая любит двоих прекрасных и мужественных юношей и не может выбрать. Юноши тоже любят ее. Казалось бы, в нынешние-то времена, зажить бы им простой и дружной семьей. Но трагедия в том, что Наноль делить нельзя.	»
— Смехуёчки

«	Я спускаюсь один в глубину ночных кварталов. Сам себе господин, нас таких осталось мало. Я забыл свою роль, я начальник всей Вселенной. Мне неведома боль, я делил все на ноль.	»
— группа «Технология»

Физически (или физиологически) пребывать в процессе деления на ноль вполне можно. Стой себе и дели, никто же законодательно не запрещал. Проблема обычно заключается в том, чтобы получить из этого процесса хоть какой-то обоснованный наукой результат (или создать потом Вселенную заново). Проще говоря, делить на ноль можно, разделить — нельзя.

И даже в этом вашем ХоНе

Деление на ноль давно стало одним из классических образцов математического юмора, поскольку в среде математиков считается, что попытка представить получающуюся в итоге актуальную бесконечность (неотъемлемая часть успешного деления на ноль, в противоположность потенциальной бесконечности из теории пределов) ведёт к сумасшествию совершившего это. И нуля-то самого никто никогда не видел (даже математики), «а тут такоє»… Алсо, в обществе прикладных математиков пожелание «делись оно всё на ноль» является аналогом широко известного рецепта «ебись оно всё конём». Поскольку численность математик-кунов в среде компьютерщиков и истинных хакеров составляет лишь чуть менее, чем 42%, этот мем проник и туда, а с возникновением форчана обогатился представлением о том, что удачное деление на ноль неотвратимо вызывает не только безумие самого экспериментатора, но и создание сингулярной аномалии бесконечной массы в точке пространства, где было произведено удачное деление. Со всеми вытекающими последствиями.

Среди менее продвинутых товарищей деление на ноль упоминается в том же смысле, что и умножение на него же. Хуже того, в очень многих статьях этого сайта можно найти это словосочетание именно в ошибочном смысле, противоположном истинному. Это ещё один аргумент в пользу ввода матан-капчи. Или против неё.

[править] Деление на ноль в математике

ACHTUNG! Опасно для моска! Министерство здравоохранения Луркмора предупреждает: вдумчивое чтение нижеследующего текста способно нанести непоправимый ущерб рассудку. Вас предупреждали.

[править] Классическая теория групп и полей (XIX век)

Поле действительных чисел, помимо всего прочего, как и любое другое поле, является аддитивной группой, и ноль — нейтральный элемент этой группы. Множество ненулевых действительных чисел, снабжённое операцией умножения, является мультипликативной группой. Поэтому запиливая ноль в эту группу, мы превращаем её во что-то группой не являющееся, ибо понадобилось бы как минимум запилить туда обратный нулю элемент, который, очевидно, не может быть действительным числом, а если запилить НЁХ как обратку, то ещё больше проблем будет, так как остальные элементы действительные, и понадобилось бы прописать, как они взаимодействуют с обраткой, и даже если всё цивильно получится, то полученное множество уже не будет даже изоморфно привычному множеству действительных чисел и вообще не будет кольцом. Такие дела.

[править] Алгебра (на пальцах)

Запишем деление единицы на ноль:

a = 1/0

Отсюда:

a • 0 = 1

Нужно найти такое a, которое при умножении на ноль дает единицу. Таких чисел просто нет. Так как произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, получаем:

0 = 1

Но ноль не равен единице, поэтому запись 0 = 1 неверна, а запись a = 1/0 не имеет смысла (решений) при любом a. А если разделить ноль на ноль? Запишем:

a = 0/0

a • 0 = 0

Уравнение имеет смысл при любых значениях a, так как умножая 0 на a получаем:

0 = 0

Продвинутые математики говорят, что деление нуля на ноль — полная неопределенность. Продвинутые же статистики этим пользуются, поскольку в математическом моделировании(при получении допустим процентного соотношения из суммы) делить на ноль не только можно, но и нужно.

1/0 = ±∞ (к сожалению вы забыли о бесконечности!!!). Причём БЕЗ знака(т.е и + и — одновременно) поскольку вот ноль — это как раз то место, где график деления (гипербола)»перескакивает» через весь набор значений «из минуса в плюс». А значит результат деления на 0 равен всем значениям одновременно. Именно осознание истинной трансцендентности этого явления и срывает пытающимся это сделать крышу.

а теперь вставьте соответствующий знак!!!

[править] Делить на бесконечно малую

Делить на бесконечно малую функцию можно, при этом получается бесконечно большая функция. То есть за результат деления на такой «ноль» можно принять предел. Засада в том, что этот предел может не существовать (получатся бесконечности разных знаков при стремлении к нулю с разных сторон, либо вообще какая-нибудь хуйня), и для каждой такой функции он свой. В общем, не ноль, а где-то рядом.

Например, 1/x стремится к +∞ при x→+0 и -∞ при x→-0. Однако, если по условиям задачи мы стремимся к нулю определенным образом (и предел существует), «деление» вполне дает результат. Например, время, за которое мы пройдем расстояние в 100 километров со скоростью v, равно 100/v. При устремлении v к +0 время, за которое мы пройдем вперёд сотню километров стоя, будет +∞.

[править] Нестандартный анализ

Для тех, кому на ноль делить все-таки очень уж хочется, в нестандартном анализе придумали гипердействительные числа; так, например, существуют нестандартные числа не равные нулю, но меньшие всех стандартных действительных чисел по модулю. При этом, на ноль делить все равно нельзя. Школьные знания здесь не помогут.

[править] Теория функций комплексной переменной

В расширенной комплексной плоскости делить на ноль можно. Это связано с тем, что в ней бесконечность — не предельно-недостижимое значение, а вполне конкретная точка, соответствующая точке (0, 0, 1) в стереографической проекции. Правда, при этом подобное множество внезапно перестает быть полем, но это мало кого волнует.

[править] Точка зрения прикладной алгебры

Деление — это не атомарная операция, а макрос — взятие обратного по умножению от делителя и умножение на делимое. Например, обратный двойке по умножению — это 2⁻¹, 3/2 = 2⁻¹ ∙ 3 и т. д. Операция взятия обратного по умножению определена для всех чисел, кроме нуля (говорят — нуля по сложению). Деление на ноль на самом деле не запрещено, эта операция просто не определена, как перемножение паровоза на самовар. Так-то.

[править] Точка зрения статистики

В прикладной статистике (и матмоделировании методом нейронных сетей) есть две таких забавных функции как слияние и разлияние. Первая делает сумму, выплёвывая процентное соотношение компонентов этой суммы. Второй делает «разброс» суммы по полученному процентному соотношению. Как известно, сумма может оказаться равной нулю. А чтобы получить соотношения делить надо именно на неё. Именно по этой причине в матстате на ноль делить можно. Но только ноль (с процентным соотношением равным однёрке на количество параметров). Либо на сумму модулей вместо математической суммы(чтобы был не ноль), что приводит к первоначальному варианту если мы сливаем сумму нулей.

[править] Алгебра, она такая алгебра…

Отсутствие обратного элемента для нуля это ещё полбеды. В целых числах тоже нет обратного, скажем, к 42, но это не мешает найти его в рациональных (1/42). Главная проблема здесь в том, что ноль является делителем нуля, а значит на него нельзя сокращать: из тождества «0 ∙ x = 0 ∙ y» ни разу не следует, что «x = y». Причём, если в хороших числовых системах такие корчи происходят только с нулём, то уже в седенионах или ещё проще функциях на отрезке корчи случаются на каждом шагу: вы ничего не можете сказать о функциях, для которых f(x) ∙ g(x) = 0.

[править] Мнение Wolfram|Alpha

Если ввести в Вольфрам 1/0, то получим ~∞, а если 0/0 — INDETERMINATE.
На запрос x=(0/0=1)*1 он отвечает… x=0 (он воспринимает сабж как логическое выражение по типу языка С и таки да: 0/0 не равно единице, что он и возвращает нулем…булевым)

[править] Делители нуля

Делители нуля — довольно банальные объекты у целой серии алгебр гиперкомплексных чисел, но чтоб не растекаться мыслью по континууму всевозможных алгебр, рассмотрю алгебру паракомплексных чисел, как простейшую содержащую делители нуля. Строится алгебра паракомпексных чисел подобно алгебре комплексных чисел, но в качестве мнимой единицы выбирается неравная +1 или 1 величина с квадратом равным +1. В этой алгебре справедливо: (1+i)*(1-i)=1+i-i-i^2=0… то есть 0 — это произведение правого и левого делителей нуля. Эти делители нуля к сожалению непозволят делить на нуль произвольное число, но хотябы сами на него делятся, к примеру (1+i)/0=C/(1-i), где С — произвольное конечное неравное 0 действительное число. А вот сделать что-то толковое с обратным делителем нуля неполучится, пока он не будет помножен на делитель нуля соответствующего типа в последующих вычислениях.

[править] Деление на ноль в программировании

В программировании числа целого типа (попытаться) поделить на ноль в принципе можно, но получается какая-то хуита: процессор x86 при попытке выполнить операцию целочисленного деления на ноль формирует особый случай (исключение) с номером 0, вектор которого также находится по адресу 0. Другими словами, процессор славное действие деления на ноль до конца не доводит, а перескакивает в другое место, обычно сообщая юзеру о внезапном просирании всех полимеров. На самом деле, самый влобный алгоритм деления беззнаковых целых двоичных чисел реализуется как серия сдвигов и вычитаний (соответствуя в сути своей банальному делению в столбик) и при этом выдаётся любопытный результат — в качестве результата деления X / 0 получается самое большое представимое в разрядности вычислений число — то есть все биты которого заполнены единицами (то есть число как можно большее, при повышении разрядности стремящееся к бесконечности), а в качестве остатка возвращается само делимое X. Этот результат забавным образом самосогласован, ибо если проверять результат деления с остатком через умножение, то получается совершенно справедливое: 111..111 * 0 + X = X. Так-то!

Зато числа с плавающей запятой делить на ноль можно невозбранно. При аффинном представлении бесконечностей получается плюс бесконечность (+INF) или минус бесконечность (-INF) — зависит от знака делимого числа. При проективном представлении — беззнаковая бесконечность (INF) в любом случае. Самое интересное происходит при делении на ноль самого ноля: результатом будет специально зарезервированное для подобных ситуаций (вроде извлечения квадратного корня из отрицательного числа или умножения нуля на бесконечность) значение «Не Число» (NaN, Not a Number).

Альзо, в одной книжке по процессорам Intel сказано, что NaN и Inf — вполне обычные числа. Если не обращать внимания на исключения, то с ними можно производить операции: NaN + p = NaN, NaN*p = NaN и т. д. и т. п., однако 1^NaN = 1 и NaN⁰ = 1, так как 1 в степени чего угодно и что угодно в степени 0 будет 1.

В КофеСкрипте при делении числа на ноль возвращается «Infinity».

Также, в лаконичном языке программирования J сабж даёт бесконечность, обозначаемую как «_». Адепты данного языка ехидно заявляют, что ошибка при делении на ноль возникает исключительно в головах быдлокодеров, пытающихся освоить мозголомный синтаксис J.

[править] Деление на ноль в образной логике

Если попытаться с помощью образной логики изобразить такой математический процесс как деление, то получится раздача неких предметов неким субъектам. Например: 10 делим на 2 = мать раздаёт 10 яблок двум своим детям поровну, и у каждого в руках оказывается по 5 штук. Поэтому с точки зрения образной логики «деление на ноль» это «отсутствие деления». Скажем, 10 : 0 это 10 яблок, которые никто никому не раздаёт. Деление же ноля на ноль это «пустая корзина, в ней нет ни одного яблока, вот потому их никто никому не раздаёт».

Осталось только объяснить, почему «10 ∙ 0» равно нулю, а не отсутствию умножения. Добавим правило «от перестановки мест множителей итог не меняется» и получим «ноль, повторённый десять раз», а он равен нулю.

Если 10 яблок раздать 0 человек(не дать никому), то это можно сделать(не дать никому) сколь угодное число раз, поэтому результат будет, как при использовании пределов, бесконечность. Аналогично можно представить, что мы можем 10 раз взять 0(ничего), либо 0(ни разу) (не)взять по 10, итог один(sic!) — 0.

Алсо, если считать на палочках (как в детском саду считали), то в такой арифметике будут не все операции деления и нельзя будет вычесть из меньшего числа большее — поскольку нет дробных палочек и отрицательных палочек тоже нет.

• В рассказе Леонида Каганова «Гамлет на дне» главный герой под воздействием сектантов ушёл в подземелье и делил на ноль долгое время, пока не появился чудо-спасатель.
• «Two Divided By Zero» — песня из дебютного альбома расово британского синтипоп-дуэта Pet Shop Boys ([1]). Примечателен факт, что металлический голос, произносящий во время песни одну и ту же фразу «two divided by…», принадлежит электронному «говорящему» калькулятору, который вокалист группы, Нил Теннант, решил подарить своему отцу^[1]
• ВИА «Кровосток» в тексте, простите, песни «Сдохнуть» как бы предупреждает: «можно сдохнуть пытаясь делить разные числа на ноль».
• У группы gastel?o есть песня «:0». Текст песни подтверждает [2], что его придумавший явно изящно поделил…
• Деление на ноль — это еще ничего. Для умножения на ноль уже придумали водородные и атомные бомбы типа Fat Boy.
• На испытаниях Су-24 регулярно случался отказ аппаратуры бомбометания. Причем происходило это только в том случае, если на цель заходил летчик-испытатель Ильюшин. Причина оказалось тоже не сложной. Только он заходил на цель с точностью, превышавшей машинную точность. Получался «машинный нуль», после чего шел сбой из-за попытки деления на ноль.
• В интернетах гуляет байка об аналогичном случае: мотороловцы клеили истребитель для Израиля, и он над Мертвым морем (высота над уровнем моря — нулевая или отрицательная) пытался делать сабж и самовыпиливался
• При выводе на орбиту одной космической кастрюли, созданной в лабораториях NASA, системы телеметрии в какой-то момент внезапно начали заполнять экраны мониторов сообщениями «Ошибка деления на ноль». В результате персонал был слегка обеспокоен, потому как все выглядело так, что спутник придется слить. Однако разработчик соответствующей подсистемы храбро заявил: «Я понимаю, что происходит. Это сейчас пройдет. Беру всю ответственность на себя». Самая мякотка тут в том, что этим самым разработчиком был один из Summer Student, подрабатывавший в NASA во время летних каникул. Правда, история закончилась обычным пиндосским хэппи-эндом, и в дальнейшем подобных проблем не возникало.
• Алсо, существует одноименный фантастический рассказ за авторством Теда Чана. Текст повествует об учёном-математике, который тронулся умом, внезапно обнаружив полную несостоятельность любимой науки. Мораль проста — гиковство в любой форме до добра не доводит. Такие дела.
• Алсо, у пейссателя есть книжка, где одна зверушка с IQ > 9000 способна буквально войти в кому, пытаясь в уме произвести операцию деления на ноль.
• В эпичной игре «Ядерный Титбит» свою роль в развязке сюжета сыграл суперробот, по всемогуществу сравнимый с Богом. «Когда его включили он начал смеяться. И не перестает до сих пор… Он может вообще все, но его волнует один единственный вопрос: Что будет, если единицу разделить на ноль». Для устранения бага требовались внеземные технологии и человеческий мозг, так как только люди могут держать иррациональность в голове, не сходя с ума.
• Алсо, у этого вашего Алистера Кроули есть

Каждое число равно бесконечности: в них нет различия

• А еще это умеет делать калькулятор андроида (пруфлинк для скачивания) — при делении любого числа на ноль он выдает бесконечность. (При делении ноля на ноль он честно пишет «Ошибка». Проверено на 2.3.3 — NaN)
• А в HL2 есть оружие, делящее на ноль всех (в цитадели гравиган меняет цвет и боевые параметры). И AR2 тоже делит, шариком.
• В винрарном квесте «The Longest Journey» можно в прямом и переносном смысле поделить на ноль темного колдуна при помощи калькулятора.
• В махо-сейнен манге Mahou Senki Lyrical Nanoha Force у одного из главных героев есть магическое устройство Devider и заклинание Divide by Zero.

Деление на ноль (iPod Touch) Деление на ноль (Facit ESA-01)

• При попытке деления на ноль встроенным калькулятором телефона Sony Ericsson и Nokia всплывает окошко, которое гласит «деление на ноль запрещено». Видимо, сони с нокой решили не мучать себе моск, да и другим тоже. Motorola ZN5 с английским языком при делении на 0 пишет E. Что означает Error — Ошибка — с расово-верного пиндосского языка.
• Встроенный калькулятор Windows 7 знает, что деление на ноль невозможно. Теперь и ты это знаешь. Однако, 0/0 сделать пытается, как всегда, безрезультатно.
• Встроенный калькулятор Mac OS X при делении на ноль, так и пишет: «деление на ноль». В OS X Lion — «Не число». В последних версиях возвращает «Не определено».
• В расово математическом Emacs Calc при делении на ноль получаются интересные числа вида «2/0», которые при определенном умении можно даже превратить во что-то вроде «3 (2/0 + 1)». Однако попытка умножить, например, 5 на 1/0 все же заканчивается ошибкой «Division by zero».
• Первые олдскульные советские программируемые калькуляторы типа МК-52 были способны выполнять операцию деления на ноль, после чего их цифровой дисплей становился способным показывать некоторые буквенные символы, что активно использовалось продвинутыми юзерами таких калькуляторов для создания различных надписей на экране с целью их показывания друг другу и для написания экранных сообщений псевдоигровых программ в рамках возможностей данного вида калькуляторов.
• У братьев Стругацких в «Понедельнике…» делением ноля на ноль (причём с помощью настольных арифмометров) занимается целый отдел Абсолютного Знания. Что характерно, кстати, на настольном арифмометре поделить на ноль чисто технически возможно — просто после этого каретка уходила до предела вправо и там задумчиво останавливалась. Ну вроде как сейчас на калькуляторе MA ERROR пишется. Получалось, стало быть, что сотрудники отдела АЗ просто хуи на работе пинали, а не занимались антинаучной хуйнёй. Поэтому в более поздних изданиях «Понедельника…» они уже умножали ноль на бесконечность — вот этот подвиг повторить что на арифмометре, что на калькуляторе уже затруднительно будет, нес па?
• Один из первых процессоров серии Pentium при выполнении операции «деление на ноль» просто напросто зависал; приходилось перезагружать компьютер чудо-кнопкой Reset. Запрос деления на ноль мог возникать в случае коряво написанных программ или же мог быть вызван искуственно посредством Windows-калькулятора. Ошибка была исправлена в следующей модели пня.
• Олимпиады и ногомячные чемпионаты являются вовсе не попыткой создания благоприятной распильной среды, а результатом деления на ноль бюджета этой страны.
• У попсовой группы ВиаГра есть песня «Но я играю эту роль…». Так вот, анонимус однажды IRL слышал, как незнакомая красивая тян исполняла пародию на эту песню, и один из рефренов этой пародии звучал так: «Но я играю эту роль, Делю трёхзначные на ноль, В науке я неутомима. Мне теорема по плечу, Но я бессмертья не хочу, Вези в дурдом меня, любимый!» (Другие рефрены были еще более доставляющими: «…курю табак, пью алкоголь, И мне становится голимо…», «…я из ружья стреляю в моль, Но почему-то чаще мимо…»).
• Формально такими операциями, как деление и умножение на ноль (обычно алиенов, мутантов, роботов и прочей подобной пиздобратии), занимаются герои 95% быдло-фантастических книжонок и YOBA-игр. Пипл хавает и просит добавки.
• У американской панк-рок группы The Offspring есть песня Dividing By Zero.
• Тема деления на ноль чуть боле чем полностью раскрыта в аниме Cardcaptor Sakura Movie 2: The Sealed Card. Этой способностью владела 53 карта клоу и от этого досталось всем и каждому. Результат — на ноль поделен практически весь пригород Токио Томоеда и все его жители. Правда потом все по воле самой карты вернулось обратно.
• На Хабре таки поделили на ноль, и не один раз, и даже выжили!

[править] Помножить на ноль

Гепа грозит наказанием

«	Это тебе не поможет. А не лечи меня, доктор, — Это тебя не спасет. Хотя всё еще, может быть, Кто-то меня и умножит, Только не здесь и не сейчас, И только не тот, Который точно как я, Только наоборот.	»
— Веня Д’ркин, помноженный на ноль раком

Менее известный мем. Имеется в виду то, что если число на ноль умножить, то получится ноль (то есть ничего). Пример с этого вашего плейграунда: «Извините, а как можно в Готике воскрешать героев, а то кореш-манчкин всех неписей на ноль помножил?»

Суть мема была представлена широкой публике в первой серии винрарного советского мультфильма «За задней партой», на 3:41.

«
Devix:	почему нельзя делить на ноль? Умножать же можно. причем тоже ноль получается.
vampir_infernal:	почему нельзя? можно. только результат такого деления — бесконечность
Devix:	а почему не ноль?
vampir_infernal:	ну вот гляди. 2*0 — это два взять ноль раз, будет ноль. А 2/0 — это «сколько раз ноль умещается в двойке», бесконечность
Devix:	если 2/0=х, то значит 2=х*0 и… бля… 2=0. А если 2=0, значит 2/0=0! числитель пропадает в никуда?
vampir_infernal:	ну вот чтобы такой х**ней не страдать, математики приняли негласное соглашение, что на ноль делить нельзя
»
— 400734

«
^_^:	Чего б ты щас хотел?
alias:	честно?
^_^:	Честно.
alias:	делить на ноль
»
— 403615

«
1:	Ниндзя — куче всех. Они умеют ходить по воде, делить на ноль и угадывать шаффл в АйПоде.
»
— 392048

1	3	yes	Показать	Скрыть
В городском парке Биробиджана. Даже ЕРЖ не делят на ноль! Доска с синим порталом вылезет из него же и упрется в край желтого… OH SHI—

1. ↑ оригинальную цитату на английском искать в буклете диска «Please. Further Listening 1984—1986»

	Деление на ноль — часть точного мира чисел

Почему нельзя делить на ноль? Наглядный пример

Ноль сам по себе цифра очень интересная. Сам по себе означает пустоту, отсутствие значения, а рядом с другой цифрой увеличивает ее значимость в 10 раз. Любые числа в нулевой степени всегда дают 1. Этот знак использовали еще в цивилизации майя, причем он у них еще обозначал понятие «начало, причина». Даже календарь у народа майя начинался с нулевого дня. А еще эта цифра связана со строгим запретом.

Еще с начальных школьных лет все мы четко усвоили правило «на ноль делить нельзя». Но если в детстве многое воспринимаешь на веру и слова взрослого редко вызывают сомнения, то со временем иногда хочется все-таки разобраться в причинах, понять, почему были установлены те или иные правила.

Почему нельзя делить на ноль? На этот вопрос хочется получить понятное логическое объяснение. В первом классе учителя это сделать не могли, потому как в математике правила объясняются с помощью уравнений, а в том возрасте мы и представления не имели о том, что это такое. А теперь пришла пора разобраться и получить понятное логическое объяснение того, почему нельзя делить на ноль.

Дело в том, что в математике лишь две из четырех основных операций (+, — , х , / ) с числами признаются независимыми: умножение и сложение. Остальные же операции принято считать производными. Рассмотрим простенький пример.

Вот скажите, сколько получится, если от 20 отнять 18? Естественно, в нашей голове моментально возникает ответ: это будет 2. А как мы пришли к такому результату? Кому-то этот вопрос покажется странным – ведь и так все ясно, что получится 2, кто-то пояснит, что от 20 копеек отнял 18 и у него получилось две копейки. Логически все эти ответы не вызывают сомнений, однако с точки зрения математики решать эту задачу следует по-другому. Еще раз напомним, что главными операциями в математике являются умножение и сложение и поэтому в нашем случае ответ кроется в решении следующего уравнения: х + 18 = 20. Из которого и вытекает, что х = 20 – 18, х =2. Казалось бы, зачем так подробно все расписывать? Ведь и так все элементарно просто. Однако без этого тяжело объяснить почему нельзя делить на ноль.

А теперь посмотрим что получится если мы пожелаем 18 разделить на ноль. Снова составим уравнение: 18 : 0 = х. Поскольку операция деления является производной от процедуры умножения, то преобразовав наше уравнение получим х * 0 = 18. Вот здесь как раз и начинается тупик. Любое число на месте икса при умножении на ноль даст 0 и получить 18 нам никак не удастся. Теперь становится предельно ясно почему нельзя делить на ноль. Сам ноль можно делить на какое-угодно число, а вот наоборот – увы, никак нельзя.

А что получится, если ноль разделить на самого себя? Это можно записать в таком виде: 0 : 0 = х, или х * 0 = 0. Это уравнение имеет бесчисленное число решений. Поэтому в итоге получается бесконечность. Поэтому операция деления на ноль и в этом случае тоже не имеет смысла.

Деление на 0 лежит в корне многих мнимых математических шуток, которыми при желании можно озадачить любого несведущего человека. К примеру, рассмотрим уравнение: 4*х — 20 = 7*х — 35. Вынесем за скобки в левой части 4, а в правой 7. Получим: 4*(х — 5) = 7*(х — 5). Теперь умножим левую и правую часть уравнения на дробь 1 / (х — 5). Уравнение примет такой вид: 4*(х — 5)/(х — 5) = 7*(х — 5)/ (х — 5). Сократим дроби на (х — 5) и у нас выйдет, что 4 = 7. Из этого можно сделать вывод, что 2*2 = 7! Конечно, подвох здесь в том, что корень уравнения равен 5 и сокращать дроби было нельзя, поскольку это приводило к делению на ноль. Поэтому при сокращении дробей нужно всегда проверять чтобы ноль случайно не оказался в знаменателе, иначе результат получится совсем непредсказуемым.

почему нельзя делить на ноль в школе? :: SYL.ru

Деление на 0 вызывает множество вопросов у тех людей, которые занимались математикой и имели с нею контакт лишь на этапе школьного образования. Во время того, когда ребенок начинает изучать в целом операции умножения и деления, подходит дело и к делению на ноль. В этот момент учитель говорит, чаще всего, что делить на ноль нельзя и… все.

Объяснения на этом этапе окончены. Нельзя, и хоть ты тресни

Перед учеником становится дилемма – верить учителям на слово и просто писать, что ответа в примере, где всплывает такая операция, нет, или попытаться разобраться в этом вопросе. Но большинство родителей, которые давным-давно окончили школу и благополучно выбросили на помойку головного мозга все те знания, которые вдалбливались им в школьное время (кроме тех, которые хоть как-то пригодились им в жизни), тоже не особо могут помочь в этом вопросе. А выход сравнительно прост. Хорошо, если учитель подойдет к вопросу, почему нельзя делить на ноль, с творческой стороны. Для этого достаточно будет произвести обычные операции с наглядной демонстрацией процесса. О чем речь?

Демонстрация разных операций деления с помощью понятных любому человеку действий

Можно взять несколько яблок, допустим, шесть штук, и объяснить, что 6 – это число, которое нужно разделить, то есть, согласно изученным математическим терминам, это делимое.

Учитель стоит возле доски, и перед ним на столе лежит 6 яблок. Затем он подзывает двоих человек из класса и делит между ними эти яблоки поровну. То есть два человека в данном случае выступают за делитель — число, на которое следует разделить делимое. Каждому ученику учитель отдаёт в руки по три яблока. То есть процесс деления происходит именно тогда, когда учитель передавал яблоки в руки ученикам. И три яблока в руках у каждого ребенка – это частное от деления.

Деление нуля на число — демонстрация происхождения процесса

Вопрос, почему нельзя делить на ноль, возникает от обратной ситуации – почему же можно делить ноль на число? Это сейчас мы умные и знаем, что любое число можно поделить на другое, и оно будет делиться нацело или появится дробь, или даже отрицательный знак, корень или число Пи – все возможно. Но вот с нулем загадка и все.

Что же происходит, когда делят нуль на число?

Для того чтобы объяснить, что на ноль делить нельзя, разберемся сначала с тем, что происходит, когда 0 делится на определенное число. Тот же учитель стоит возле доски, и у него на столе ничего нет. Перед ним пустота, ноль. Когда ученики подходят к нему и протягивают руки, чтобы получить свое частное, учитель делится с ним этим ничем, просто прикасаясь к их ладоням. То есть у него было одно большое ничего, и он отдал это ничего двум ученикам. Таким образом, становится понятно, что и деление нуля на любое число имеет место, ведь процесс передачи состоялся. С той только разницей, что с нулевым результатом.

Случай третий

Аналогичную, третью ситуацию проводить нужно уже для того, чтобы показать, почему нельзя делить на ноль. У учителя в руках или на столе перед ним снова те самые шесть яблок, что и в первой ситуации. Но мы делим на ноль, потому к нему за яблоками никто не подходит.

То есть те двое учеников, которые подходили ранее в первой ситуации, представляли собой число 2. Чтобы представить число 0, получается, что должен подойти никто. Как мы помним, именно передача из рук учителя яблок в руки ученикам является процессом деления. Но сейчас учеников нет, и процесс деления ни с кем не происходит. От того и получается, что поделить на ноль невозможно. Для детей на уровне школьного образования это элементарное объяснение.

Просто и легко объяснить. А после пусть делают то же самое преподаватели института

Уже после поступления в высшее учебное учреждение и изучения понятия границы, например, снимается вопрос, почему нельзя делить на ноль, ведь окажется, что сделать это можно. Поделив что-то на ноль, в результате мы получим бесконечность, неопределенность.

Бесконечная размерность такого результата еще не до конца определена, и человек, который не имеет особого математического образования, не способен понять, зачем это нужно, какие цели преследовались при решении данной операции и что вообще это дает. Но для учеников школьного возраста вышеописанного объяснение вполне достаточно, чтобы удовлетворить их желание понять, почему же все же нельзя делить на ноль – не просто сказать это и поставить детей перед фактом, а дать им интересное и занимательное объяснение.

Почему нельзя делить на ноль

Математика

328

8 месяцев назад

Екатерина

В мире математики можно прийти к самым невероятным результатам, если нарушить правила. Среди них есть такое, которое нарушить нельзя. Это деление на ноль.

Почему число, с которым мы сталкиваемся ежедневно, вызывает трудности с таким простым арифметическом действием, как деление?

Чем меньше число, на которое нужно поделить, тем большая цифра будет в ответе.

Например, если 10:2=5, 10:1=10, 10:0,1=10. Это значит, что чем больше цифра стремится к нулю, тем больше будет результат, если на нее поделить какое-либо число. Это значит, если 10:0 = ∞. Звучит, на самом деле, логично, не правда ли? Однако это не так.

Давайте разберемся в сути деления. 10:2 может иметь несколько вариантов развития событий:

• сколько раз надо сложить цифру 2, чтобы получить 10;
• какое число нужно взять дважды, чтобы в итоге получить 10.

Деление — действие, обратное умножению

Например, если умножить любое число на х, найдется ли такое число, на которое мы сможем умножить ответ и получить исходное число? Если такое число существует, то оно будет называться числом, обратным для х. К примеру, всем известно, что 3*2 = 6, если после этого мы 6*1/2, то в ответе вновь получим 3. Значит, обратное число для 2 – это 1/2, а для 10 — 1/10. Стоит отметить, что при умножении числа с его обратным в результате всегда будет получатся 1.

Существует ли обратное число для 0?

Если мы хотим поделить на 0, нужно найти его обратное число. Исходя из логики, это число должно выглядеть так — 1/0.

В результате умножения этой цифры на 0 в ответе должно быть число 1. Но мы знаем, что при умножении на 0 всегда будет получаться 0. Что это значит? Лишь то, что у 0 не существует обратного числа.

Возможно ли придумать новое правило для этого арифметического действия?

Примем 1/0 за ∞. Представим, что человечеству ничего неизвестно о бесконечности. Тогда по определению обратного числа 0*∞ = 1? Это значит, что (0*∞) + (0*∞) = 2. Согласно распределительному закону, пример примет форму (0+0) * ∞=2. В конечном итоге, получаем пример 0*∞=2. Но выше мы выяснили, что 0*∞ = 1. Получается, что 1=2?! Звучит, конечно, странно, но нельзя назвать этот ответ неправильным. Просто вычисления такого уровня не работают с обычными числами. Есть варианты, где ответ может быть математически верным, если 1,2,3 или любое другое число равно 0. Но принимать ∞ за 0 не так уж и полезно для математиков, не говоря уже об обычных людях.

Где делят на ноль?

Есть такая структура, как сфера Римана. В ней используется деление на 0, но непривычным способом. Однако это совсем другая история.