Дискриминант на 4 | Алгебра
Дискриминант, делённый на 4 — D/4 — удобно использовать для упрощения вычислений при решении квадратных уравнений, если коэффициент b при x — чётное число.
Формула дискриминанта, деленного на 4 —
Как и для случая с обычным дискриминантом, количество корней квадратного уравнения зависит от знака D/4.
- Если D/4>0, квадратное уравнение имеет два корня:
- Если D/4=0, квадратное уравнение имеет один корень
- Если D/4<0, квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Рассмотрим примеры решения квадратных уравнений с помощью формулы четверти дискриминанта.
Так как b=16 — чётное число, вместо обычного дискриминанта вычислим дискриминант, делённый на 4 (иногда его еще обозначают через D1):
Так как D/4>0, уравнение имеет два корня:
Ответ: -0,2; -3.
Поскольку D/4>0, уравнение имеет два корня:
Ответ: 9; 1/3.
Так как D/4=0, данное квадратное уравнение имеет один корень
Ответ: -2 1/3.
Так как D/4<0, уравнение не имеет корней в действительных числах.
Ответ: нет корней.
Для решения квадратных уравнений вполне достаточно помнить обычную формулу дискриминанта и связанные с ним формулы корней. И все же, дополнительное знание формулы четверти дискриминанта не будет лишним.
Во-первых, с меньшими (по модулю) числами проще работать. Во-вторых, эта формула иногда ускоряет процесс нахождения корней уравнения.
Если находить корни через формулу обычного дискриминанта, придётся раскладывать его на множители, выносить множитель из-под корня, затем общий множитель — за скобки и сокращать дробь.
Ответ:
www.algebraclass.ru
| | Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru: главная страница / / Техническая информация / / Математический справочник / / Решение уравнений и неравенств. Системы уравнений. Формулы. Методы. / / Квадратные уравнения. Решение квадратных уравнений. Дискриминант. Формула дискриминанта. ( Дискриминат на 4 и на 1). Теорема Виета. 3 способа. Поделиться:
| ||||||
dpva.ru
Дискриминант — Википедия
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Дискримина́нт многочлена p(x)=a0+a1x+⋯+anxn{\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}}, an≠0{\displaystyle a_{n}\neq 0}, есть произведение
- D(p)=an2n−2∏i<j(αi−αj)2{\displaystyle D(p)=a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}},
- где α1,α2,…,αn{\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}} — все корни многочлена (с учётом кратностей) в некотором расширении основного поля, в котором они существуют.
Чаще всего используется дискриминант квадратного трёхчлена[⇨], знак которого определяет количество действительных корней.
Свойства
- Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни.
- Дискриминант является симметрическим многочленом относительно корней многочлена и поэтому является многочленом от его коэффициентов; более того, коэффициенты этого многочлена целые независимо от расширения, в котором берутся корни.
- D(p)=(−1)n(n−1)/2anR(p,p′){\displaystyle D(p)={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}R(p,p’)}, где R(p,p′){\displaystyle R(p,p’)} — результант многочлена p(x){\displaystyle p(x)} и его производной p′(x){\displaystyle p'(x)}.
- В частности, дискриминант многочлена
- p(x)=xn+an−1xn−1+…+a1x+a0{\displaystyle p(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}
- равен, с точностью до знака, определителю следующей (2n−1)×(2n−1){\displaystyle (2n-1)\times (2n-1)}-матрицы:
Примеры
Во всех следующих примерах рассматриваются многочлены с вещественными коэффициентами и отличным от нуля старшим коэффициентом.
Многочлен второй степени
Дискриминант квадратного трёхчлена ax2+bx+c{\displaystyle ax^{2}+bx+c} равен D=b2−4ac.{\displaystyle D=b^{2}-4ac.}
- При D>0{\displaystyle D>0} вещественных корней — два, и они вычисляются по формуле
- x1,2=−b±b2−4ac2a{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}.
- При D=0{\displaystyle D=0} корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях), кратности 2:
- x=−b2a{\displaystyle x={\frac {-b}{2a}}}.
- При D<0{\displaystyle D<0} вещественных корней нет. Существуют два комплексных корня, выражающиеся той же формулой (1) (без использования извлечения корня из отрицательного числа), либо формулой
- x1,2=−b±i4ac−b22a{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm i{\sqrt {4ac-b^{2}}}}{2a}}}.
Многочлен третьей степени
Дискриминант кубического многочлена ax3+bx2+cx+d{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d} равен
- D=b2c2−4ac3−4b3d−27a2d2+18abcd.{\displaystyle D=b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd.}
В частности, дискриминант кубического многочлена x3+px+q{\displaystyle x^{3}+px+q} (корни которого вычисляются по формуле Кардано) равен −27q2−4p3{\displaystyle -27q^{2}-4p^{3}}.
- При D>0{\displaystyle D>0} кубический многочлен имеет три различных вещественных корня.
- При D=0{\displaystyle D=0} он имеет кратный корень (либо один корень кратности 2 и один корень кратности 1, и тот, и другой вещественные; либо один-единственный вещественный корень кратности 3).
- При D<0{\displaystyle D<0} кубический многочлен имеет один вещественный корень и два комплексных корня (являющихся комплексно-сопряженными).
Многочлен четвертой степени
Дискриминант многочлена четвертой степени ax4+bx3+cx2+dx+e{\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e} равен
- D=256a3e3−192a2bde2−128a2c2e2+144a2cd2e−27a2d4+144ab2ce2−6ab2d2e−80abc2de+18abcd3+16ac4e−4ac3d2−27b4e2+18b3cde−4b3d3−4b2c3e+b2c2d2.{\displaystyle {\begin{aligned}&D=256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e-27a^{2}d^{4}\\&+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de+18abcd^{3}+16ac^{4}e\\&-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}.\end{aligned}}}
Для многочлена x4+qx2+rx+s{\displaystyle x^{4}+qx^{2}+rx+s} дискриминант имеет вид
- D=256s3−128q2s2+144qr2s−27r4+16q4s−4q3r2{\displaystyle D=256s^{3}-128q^{2}s^{2}+144qr^{2}s-27r^{4}+16q^{4}s-4q^{3}r^{2}}
и равенство D=0{\displaystyle D=0} определяет в пространстве (q,r,s){\displaystyle (q,r,s)} поверхность, называемую ласточкиным хвостом.
- При D<0{\displaystyle D<0} многочлен имеет два различных вещественных корня и два комплексных корня.
- При D>0{\displaystyle D>0} многочлен имеет четыре различных корня: либо все вещественные, либо все комплексные.
- А именно, для многочлена x4+qx2+rx+s{\displaystyle x^{4}+qx^{2}+rx+s}:[1]
- При D=0{\displaystyle D=0} многочлен имеет по меньшей мере один кратный корень (вещественный или комплексный). Во втором случае многочлен имеет два комплексно сопряженных кратных корня и, следовательно, распадается в произведение двух многочленов второй степени, неприводимых над полем вещественных чисел.
- Точнее:[1]
- если q<0{\displaystyle q<0} и s>q24{\displaystyle s>{\frac {q^{2}}{4}}}, то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
- если q<0{\displaystyle q<0} и −q212<s<q24{\displaystyle -{\frac {q^{2}}{12}}<s<{\frac {q^{2}}{4}}}, то три различных вещественных корня, один из которых кратности 2,
- если q<0{\displaystyle q<0} и s=q24{\displaystyle s={\frac {q^{2}}{4}}}, то два вещественных корня, каждый из которых кратности 2,
- если q<0{\displaystyle q<0} и s=−q212{\displaystyle s=-{\frac {q^{2}}{12}}}, то два вещественных корня, один из которых кратности 3,
- если q>0{\displaystyle q>0}, s>0{\displaystyle s>0} и r≠0{\displaystyle r\neq 0}, то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
- если q>0{\displaystyle q>0}, s=q24{\displaystyle s={\frac {q^{2}}{4}}} и r=0{\displaystyle r=0}, то одна пара комплексно сопряженных корней кратности 2,
- если q>0{\displaystyle q>0} и s=0{\displaystyle s=0}, то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
- если q=0{\displaystyle q=0} и s>0{\displaystyle s>0}, то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
- если q=0{\displaystyle q=0} и s=0{\displaystyle s=0}, то один вещественный корень кратности 4.
История
Термин образован от лат. discrimino — «разбираю», «различаю». Понятие «дискриминант квадратичной формы» использовалось в работах Гаусса, Дедекинда, Кронекера, Вебера и др. Термин ввёл Сильвестр[2].
См. также
Литература
- Прасолов В. В. Многочлены. — М.: МЦНМО, 1999, 2001, 2003.
Примечания
wikipedia.green
Дискриминант — Википедия
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Дискримина́нт многочлена p(x)=a0+a1x+⋯+anxn{\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}}, an≠0{\displaystyle a_{n}\neq 0}, есть произведение
- D(p)=an2n−2∏i<j(αi−αj)2{\displaystyle D(p)=a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}},
- где α1,α2,…,αn{\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}} — все корни многочлена (с учётом кратностей) в некотором расширении основного поля, в котором они существуют.
Чаще всего используется дискриминант квадратного трёхчлена[⇨], знак которого определяет количество действительных корней.
Свойства
- Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни.
- Дискриминант является симметрическим многочленом относительно корней многочлена и поэтому является многочленом от его коэффициентов; более того, коэффициенты этого многочлена целые независимо от расширения, в котором берутся корни.
- D(p)=(−1)n(n−1)/2anR(p,p′){\displaystyle D(p)={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}R(p,p’)}, где R(p,p′){\displaystyle R(p,p’)} — результант многочлена p(x){\displaystyle p(x)} и его производной p′(x){\displaystyle p'(x)}.
- В частности, дискриминант многочлена
- p(x)=xn+an−1xn−1+…+a1x+a0{\displaystyle p(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}
- равен, с точностью до знака, определителю следующей (2n−1)×(2n−1){\displaystyle (2n-1)\times (2n-1)}-матрицы:
Видео по теме
Примеры
Во всех следующих примерах рассматриваются многочлены с вещественными коэффициентами и отличным от нуля старшим коэффициентом.
Многочлен второй степени
Дискриминант квадратного трёхчлена ax2+bx+c{\displaystyle ax^{2}+bx+c} равен D=b2−4ac.{\displaystyle D=b^{2}-4ac.}
- При D>0{\displaystyle D>0} вещественных корней — два, и они вычисляются по формуле
- x1,2=−b±b2−4ac2a{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}.
- При D=0{\displaystyle D=0} корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях), кратности 2:
- x=−b2a{\displaystyle x={\frac {-b}{2a}}}.
- При D<0{\displaystyle D<0} вещественных корней нет. Существуют два комплексных корня, выражающиеся той же формулой (1) (без использования извлечения корня из отрицательного числа), либо формулой
- x1,2=−b±i4ac−b22a{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm i{\sqrt {4ac-b^{2}}}}{2a}}}.
Многочлен третьей степени
Дискриминант кубического многочлена ax3+bx2+cx+d{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d} равен
- D=b2c2−4ac3−4b3d−27a2d2+18abcd.{\displaystyle D=b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd.}
В частности, дискриминант кубического многочлена x3+px+q{\displaystyle x^{3}+px+q} (корни которого вычисляются по формуле Кардано) равен −27q2−4p3{\displaystyle -27q^{2}-4p^{3}}.
- При D>0{\displaystyle D>0} кубический многочлен имеет три различных вещественных корня.
- При D=0{\displaystyle D=0} он имеет кратный корень (либо один корень кратности 2 и один корень кратности 1, и тот, и другой вещественные; либо один-единственный вещественный корень кратности 3).
- При D<0{\displaystyle D<0} кубический многочлен имеет один вещественный корень и два комплексных корня (являющихся комплексно-сопряженными).
Многочлен четвертой степени
Дискриминант многочлена четвертой степени ax4+bx3+cx2+dx+e{\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e} равен
- D=256a3e3−192a2bde2−128a2c2e2+144a2cd2e−27a2d4+144ab2ce2−6ab2d2e−80abc2de+18abcd3+16ac4e−4ac3d2−27b4e2+18b3cde−4b3d3−4b2c3e+b2c2d2.{\displaystyle {\begin{aligned}&D=256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e-27a^{2}d^{4}\\&+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de+18abcd^{3}+16ac^{4}e\\&-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}.\end{aligned}}}
Для многочлена x4+qx2+rx+s{\displaystyle x^{4}+qx^{2}+rx+s} дискриминант имеет вид
- D=256s3−128q2s2+144qr2s−27r4+16q4s−4q3r2{\displaystyle D=256s^{3}-128q^{2}s^{2}+144qr^{2}s-27r^{4}+16q^{4}s-4q^{3}r^{2}}
и равенство D=0{\displaystyle D=0} определяет в пространстве (q,r,s){\displaystyle (q,r,s)} поверхность, называемую ласточкиным хвостом.
- При D<0{\displaystyle D<0} многочлен имеет два различных вещественных корня и два комплексных корня.
- При D>0{\displaystyle D>0} многочлен имеет четыре различных корня: либо все вещественные, либо все комплексные.
- А именно, для многочлена x4+qx2+rx+s{\displaystyle x^{4}+qx^{2}+rx+s}:[1]
- При D=0{\displaystyle D=0} многочлен имеет по меньшей мере один кратный корень (вещественный или комплексный). Во втором случае многочлен имеет два комплексно сопряженных кратных корня и, следовательно, распадается в произведение двух многочленов второй степени, неприводимых над полем вещественных чисел.
- Точнее:[1]
- если q<0{\displaystyle q<0} и s>q24{\displaystyle s>{\frac {q^{2}}{4}}}, то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
- если q<0{\displaystyle q<0} и −q212<s<q24{\displaystyle -{\frac {q^{2}}{12}}<s<{\frac {q^{2}}{4}}}, то три различных вещественных корня, один из которых кратности 2,
- если q<0{\displaystyle q<0} и s=q24{\displaystyle s={\frac {q^{2}}{4}}}, то два вещественных корня, каждый из которых кратности 2,
- если q<0{\displaystyle q<0} и s=−q212{\displaystyle s=-{\frac {q^{2}}{12}}}, то два вещественных корня, один из которых кратности 3,
- если q>0{\displaystyle q>0}, s>0{\displaystyle s>0} и r≠0{\displaystyle r\neq 0}, то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
- если q>0{\displaystyle q>0}, s=q24{\displaystyle s={\frac {q^{2}}{4}}} и r=0{\displaystyle r=0}, то одна пара комплексно сопряженных корней кратности 2,
- если q>0{\displaystyle q>0} и s=0{\displaystyle s=0}, то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
- если q=0{\displaystyle q=0} и s>0{\displaystyle s>0}, то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
- если q=0{\displaystyle q=0} и s=0{\displaystyle s=0}, то один вещественный корень кратности 4.
История
Термин образован от лат. discrimino — «разбираю», «различаю». Понятие «дискриминант квадратичной формы» использовалось в работах Гаусса, Дедекинда, Кронекера, Вебера и др. Термин ввёл Сильвестр[2].
См. также
Литература
- Прасолов В. В. Многочлены. — М.: МЦНМО, 1999, 2001, 2003.
Примечания
wiki2.red