Доказательство теоремы фалеса с рисунком – Теорема Фалеса. Доказательство | Треугольники

Обобщённая теорема Фалеса

Основные понятия

Прежде чем сформулировать теорему Фалеса и доказать её, напомним несколько ключевых определений геометрии:

  • четырёхугольник;
  • параллелограмм;
  • трапеция.

Четырёхугольник имеет четыре вершины.

Параллелограмм - это четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны друг другу. В параллелограмме равны противоположные стороны между собой и противоположные углы.

Трапеция - это такой четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны друг другу, а две другие противоположные стороны не параллельны друг другу.

В целях понимания, приведём примеры задач с параллелограммом и трапецией.

Пример 1

Задача. Найти углы параллелограмма $ABCD$, если $\angle A=73^{\circ}$.

Решение. Сделаем такой рисунок:

Рисунок 1. Параллелограмм. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

На рисунке проведена прямая, параллельная $AB$ из вершины $B$. Угол, образованный вершиной $B$, проведённой прямой и стороной $BC$ равен $73^{\circ}$ как накрест лежащий относительно $\angle A$. По определению развернутого угла (развёрнутый угол равен $180^{\circ}$) получаем простые вычисления:

$\angle B=180-73=107^{\circ}$. Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то $\angle C=\angle A=73^{\circ}, \angle D=\angle B=107^{\circ}$.

Ответ. $73^{\circ}, 73^{\circ}, 107^{\circ}, 107^{\circ}$.

В примере выше можно было решить через свойство четырёхугольников о том, что сумма углов выпуклого четырёхугольника равна $360^{\circ}$. Для этого нужно было бы дополнительно доказать, что параллелограмм - это выпуклый четырёхугольник. Этот простой вопрос останется читателю для размышлений на досуге.

Пример 2

Задача. Найти $\angle B$ и $\angle D$ в трапеции $ABCD$, если $\angle A = 47^{\circ}, \angle C = 108^{\circ}$.

Решение. Сделаем рисунок:

Рисунок 2. Трапеция. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

На рисунке проведена прямая, параллельная $AB$ из вершины $B$. Угол, образованный вершиной $B$, проведённой прямой и стороной $BC$ равен $47^{\circ}$ как накрест лежащий относительно $\angle A$. По определению развернутого угла получаем простые вычисления: $\angle B=180-47=133^{\circ}$.

На рисунке также проведена прямая параллельно $CD$ из вершины $D$. Угол, образованный вершиной $D$, проведённой прямой и стороной $CD$ равен $108^{\circ}$ как накрест лежащий относительно $\angle С$. По определению развернутого угла получаем простые вычисления: $\angle B=180-108=72^{\circ}$.

Ответ. $133^{\circ}, 72^{\circ}$.

Как и в случае параллелограмма, данную задачу можно проверить, сложив все углы данной трапеции. Их сумма должна быть равна $360^{\circ}$. Можно убедиться, что сумма всех углов данной трапеции действительно равна $360$.

Владея ключевыми понятиями, можем перейти к теореме Фалеса и её доказательству.

Теорема Фалеса

Теорема названа в честь древнегреческого ученого Фалеса Милетского. Звучит она следующим образом:

Теорема 1

Если последовательно отложить на прямой несколько равных друг другу отрезков и провести через их концы параллельные прямые, которые пересекают вторую проведённую прямую, то эти параллельные прямые отсекут на ней также равные отрезки.

Доказательство теоремы Фалеса

Докажем эту теорему.

Рассмотрим рисунок:

Рисунок 3. Доказательство теоремы Фалеса. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

На прямой $a$ отложены следующие отрезки: $A_1 A_2, A_2 A_3, A_3 A_4,...$. Через эти отрезки проведены несколько параллельных прямых, пересекающих прямую $b$ в соответствующих точках $B_1,B_2,B_3,B_4,...$. Докажем, что отрезки $B_1 B_2, B_2 B_3, B_3 B_4,...$ равны между собой. Для начала упростим задачу и докажем следующее: $B_1 B_2 = B_2 B_3$.

На рисунке прямые $a$ и $b$ параллельны. Следовательно, $A_1 B_1 B_2 A_2$ и $A_2 B_2 B_3 A_3$ - параллелограммы. Это означает, что противоположные стороны параллелограммов равны, следовательно, $A_1 A_2 = B_1 B_2, A_2 A_3 = B_2 B_3$. И из $A_1 A_2=A_2 A_3$ следует, что $B_1 B_2= B_2 B_3$.

Есть и другой случай, когда прямые $a$ и $b$ не параллельны:

Рисунок 4. Доказательство теоремы Фалеса. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Проведём такую прямую $c$, которая параллельна $a$:

Рисунок 5. Доказательство теоремы Фалеса. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Прямая $c$ пересекает $A_2 B_2$ и $A_3 B_3$ соответственно в т. $C_1, C_2$. Так как $A_1 A_2=A_2 A_3$, то, по аналогии в предыдущем случае, $B_1 C_1 = C_1 C_2$.

Рассмотрим $\triangle C_2 B_1 B_3$. $C_1$ - середина $B_1 C_2$. $B_2 C_1$ параллельна $B_3 C_2$.

Проведём через точку $B_3$ такую прямую, которая параллельна $B_1 C_2$.

Рисунок 6. Доказательство теоремы Фалеса. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Точкой $D$ обозначено пересечение $B_2 C_1$ с проведённой прямой. Получаем параллелограмм $C_1 C_2 B_3 D$. Так как $C_1$ - середина $B_1 C_2$, а $C_1 C_2= B_3 D$ (как противоположные стороны параллелограмма), следовательно, $C_1 B_1 = B_3 D$.

Рассмотрим $\triangle C_1 B_1 B_2$ и $\triangle B_2 B_3 D$ Они равны согласно второму признаку равенства треугольников. То есть так как выполняются равенства $C_1 B_1 = B_3 D$, $\angle C_1 B_1 B_2 = \angle B_2 B_3 D$ и $\angle B_1 C_1 B_2=\angle B_2 D B_3$ (как лежащие накрест углы при пересечении параллельных прямых $B_1 C_2$ и $B_3 D$ секущими $B_1 B_3$ и $C_1 D$).

Следовательно, $B_1 B_2= B_2 B_3$.

Аналогично доказывается равенство $B_2 B_3=B_3 B_4$ и другие.

Таким образом, в данной статье мы полностью разобрали теорему Фалеса, произвели подробное её доказательство, фигурируя известными понятиями.

spravochnick.ru

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике - Планиметрия

      Теорема Фалеса. Через произвольные точки

A1A2,  …   An–1An,

лежащие на стороне AO угла AOB (рис.1), проведены параллельные прямые, пересекающие сторону угла OB в точках

B1B2,  …  Bn–1Bn,

соответственно. Тогда справедливы равенства

Теорема Фалеса доказательствоТеорема Фалеса доказательствоТеорема Фалеса доказательствоТеорема Фалеса доказательство

Рис.1

      Доказательство. Докажем сначала следующую лемму.

      Лемма. Через произвольную точку C, лежащую на стороне OA треугольника OAB, проведена прямая, параллельная прямой AB и пересекающая сторону OB в точке D (рис.2).

Теорема Фалеса доказательствоТеорема Фалеса доказательство

Рис.2

      Тогда справедливо равенство

Теорема Фалеса доказательство(1)

      Доказательство леммы. Опустим из точек A и B перпендикуляры AK и BL на прямую CD (рис.3). Заметим, что эти перпендикуляры равны, поскольку AKLB – прямоугольникпрямоугольник.

Теорема Фалеса доказательствоТеорема Фалеса доказательство

Рис.3

      Из точки D опустим перпендикуляр DF на прямую OA (рис.4).

Теорема Фалеса доказательствоТеорема Фалеса доказательство

Рис.4

      Из точки C  опустим перпендикуляр CG на прямую OB (рис.5).

Теорема Фалеса доказательствоТеорема Фалеса доказательство

Рис.5

      В соответствии с рисунком 4 площади треугольников OCD и ACD можно вычислить по формулам

Теорема Фалеса доказательствоТеорема Фалеса доказательство

      Следовательно,

Теорема Фалеса доказательство

      В соответствии с рисунком 5 площади треугольников OCD и BCD можно вычислить по формулам

Теорема Фалеса доказательствоТеорема Фалеса доказательство

      Следовательно,

Теорема Фалеса доказательство

      Кроме того, заметим, что площади треугольников ACD и BCD равны. Действительно, в соответствии с рисунком 3 справедливы формулы

Теорема Фалеса доказательствоТеорема Фалеса доказательство

      Следовательно,

SΔ ACD = SΔ BCD ,

откуда получаем цепочку равенств

Теорема Фалеса доказательство

что и завершает доказательство леммы.

      Воспользовавшись леммой, заметим (рис.1), что из равенства (1) вытекают равенства

Теорема Фалеса доказательствоТеорема Фалеса доказательство

откуда на основе свойств производных пропорций, заключаем, что справедливы равенства

Теорема Фалеса доказательствоТеорема Фалеса доказательство

что и завершает доказательство теоремы Фалеса.

      Следствие. Если через точки

A1A2,  …   An–1An,

лежащие на стороне AO угла AOB (рис.6) и удовлетворяющие условию

A1A2 = A2A3 = … =
= An–2 An–1 = An–1An ,

проведены параллельные прямые, пересекающие сторону угла OB в точках

B1B2,  …   Bn –1Bn ,

соответственно, то справедливы равенства

B1B2 = B2B3 = … =
= Bn–2Bn–1 = Bn–1Bn ,

Теорема Фалеса доказательствоТеорема Фалеса доказательство

Рис.6

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

www.resolventa.ru

Теорема Фалеса и обобщенная теорема, формула

ТЕОРЕМА

Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

На рисунке 1, по теореме Фалеса, если прямые , а отрезки , то .

Обобщение теоремы Фалеса (Теорема о пропорциональных отрезках)

ТЕОРЕМА

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

На рисунке 2, согласно обобщенной теореме Фалеса, если , то

   

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Теорема Фалеса (8 класс)

Урок геометрии в 8 классе. Дата проведения: _______________

Тема: «Теорема Фалеса»

Цели:

Образовательные:

- рассмотреть теорему Фалеса и её доказательство;

- закрепить теорему Фалеса в процессе решения задач;

- совершенствовать навыки решения задач на применение знаний по теме «Трапеция»

Воспитательные:

- формирование способностей анализировать свои действия, умения внимательно слушать

Развивающие:

Развитие логического мышления, воображения, памяти, кругозора, умения рассуждать и аргументировать.

Оборудование: доска, циркуль, линейка, треугольник, компьютер, проектор, экран, презентация.

Ход урока.

  1. Сообщение темы и целей урока.

Французский писатель XIX столетия Анатоль Франс однажды заметил: “Учиться можно только весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом”.

Давайте последуем совету писателя на сегодняшнем уроке: будьте активны, внимательны, поглощайте с большим желанием знания, которые пригодятся вам в дальнейшей жизни.

Тема сегодняшнего урока «Теорема Фалеса». Вы не только познакомитесь с этой теоремой, её доказательством, но также увидите, где можно ее применить.

Предлагаю выполнить такое задание: разделить отрезок на две, четыре, три части с помощью циркуля. (Учащиеся выходят к доске и показывают)

Перед вами стоит проблема деления отрезка на три равные части, а ученые столкнулись с проблемой деления отрезка на равные части много веков назад. И, конечно, они нашли выход из положения.

И чтобы нам сегодня справиться с возникшей задачей, докажем одну из важнейших теорем геометрии, которая называется Теорема Фалеса. Кем же был Фалес, что в его честь даже названа теорема в геометрии?

Фалес Милетский – древнегреческий философ из г. Милета (Малая Азия – территория современной Турции). Сведения о его жизни до сих пор носят противоречивый характер, но считается, что:

- именно он привез геометрию из Египта и познакомил с нею греков; его последователи и ученики основали Милетскую школу;

- именно его греки уже в древности называли «отцом философии»;

- именно он «открыл» для греков созвездие Малой Медведицы как путеводный инструмент;

- именно он ввёл календарь по египетскому образцу, в котором год состоял из 365 дней.

- одна из легенд гласит, что будучи в Египте, Фалес поразил фараона Амасиса тем, что сумел точно измерить высоту пирамиды. Как вы думаете, как он это сделал? Дождался пока длина тени от палки станет равной самой палке, значит и тень от пирамиды равна будет самой пирамиде;

- он предсказал солнечное затмение в мае 585 года до н.э.

Но одна из важнейших заслуг Фалеса в том, что ученый первый стал доказывать геометрические теоремы:

  • круг делится диаметром пополам;

  • в равнобедренном треугольнике углы при основании равны;

  • при пересечении двух прямых образуемые ими вертикальные углы равны;

  • два треугольника равны, если два угла и сторона одного из них равны двум углам и соответствующей стороне другого.

Вот такой был Фалес Милетский, в честь которого названа теорема в геометрии и эту теорему мы сегодня и рассмотрим.

  1. Изучение нового материала.

Помощь в доказательстве Теоремы Фалеса нам окажет задача № 384, которую мы сейчас решим. (презентация)

Задача. Через середину М стороны АВ треугольника АВС проведена прямая, параллельная стороне ВС. Эта прямая пересекает сторону АС в точке N. Докажите, что AN = NC.

Доказательство.

  1. Проведем DC║АВ.

  2. Рассмотрим Δ AMN и ΔNDC.

  1. AM = MВ (по условию), МВ = DC (как противоположные стороны параллелограмма BMDC), поэтому AM = DC.

  2. Угол 1 равен углу 2, угол 3 равен углу 4 (как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущими AC и MD)

Из 1) и 2) Δ AMN = ΔNDC, значит AN = NC, что и требовалось доказать.

Какой вывод из этой задачи мы можем сделать?

Если в треугольнике через середину одной стороны провести прямую, параллельную одной из двух других сторон, то эта прямая пройдет через середину третьей стороны.

Теорема Фалеса: «Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки».

Доказательство:

Пусть на прямой l1 отложены равные отрезки А1А2, А2А3, А3А4, … и через их концы проведены параллельные прямые, которые пересекают прямую l2 в точках В1, В2, В3, В4, …. Требуется доказать, что отрезки В1В2, В2В3, В3В4, … равны друг другу. Докажем , например, что В1В2 = В2В3.

  1. Пусть l1║l2. Тогда А1А2 = В1В2, А2А3 = В2В3, как противоположные стороны параллелограммов А1 В1В2 А2 и А2В2В3А3. Т.к. А1А2 = А2А3, то и В1В2 = В2В3.

  2. Если l1 и l2 не параллельны, то через точку В1 проведем прямую l║ l1. Она пересечет прямые А2В2 и А3В3 в некоторых точках C и D. Так как А1А2 = А2А3, то по ранее доказанному В1С = СD. Отсюда получаем В1В2 = В2В3.

Теорема доказана.

  1. Закрепление пройденного материала.

Решение задач на готовых чертежах.

  1. Практическая работа.

Разделить отрезок на 5 равных частей.

  1. Итоги урока.

- С какой теоремой вы сегодня познакомились?

- На сколько частей вы теперь можете разделить данный отрезок?

Собрать из кусочков Теорему Фалеса.

  1. Домашнее задание.

Решить задачу № 391

Выучить доказательство теоремы Фалеса

(см. запись в тетради или задачи № 384, 385)

Выполнить практическую работу:

Разделить отрезок на 11 равных частей.

infourok.ru

Конспект "Теорема Фалеса" (8 класс)

hello_html_556840d5.jpg

Учебный проект

«Теорема Фалеса» в 8 классе

Учитель Гармаева Ц.Ц.

Цели урока:

Образовательная: доказать теорему Фалеса, научить применять её при решении задач по математике

Развивающая: развивать у учащихся познавательный интерес к учебным дисциплинам, умение применять свои знания на практике.

Воспитательная: воспитывать внимание, аккуратность, расширять кругозор учеников.

Оборудование и материалы:

Компьютер
Проектная работа “Теорема Фалеса”.
Плакат с рисунками 1,2,3.

Приложение

Задачи учителя

Показать практическое применение теоретических знаний учащихся при решении задач по геометрии и информатике.

Выявить глубокие связи между математикой и информатикой.

Название проекта: Теорема Фалеса

Тема проекта: Теорема Фалеса

Вид проекта: учебный.

Типология проекта: практико-ориентированный, индивидуально- групповой.

Предметные области: математика.

Гипотеза: Если человек знает как разделить отрезок на равные части, возникнет ли необходимость их применять в жизни?

Ход урока:

Приветствие и вступительное слово о целях урока.

Фронтальный опрос учащихся:

hello_html_5b39bda5.gif

1. Какие отрезки называются равными?

2. Какие прямые называются параллельными? На рис. 1 покажите параллельные прямые.

3. Какие углы называются вертикальными, внутренними накрест лежащими? Покажите их на рис.2

4. Сформулируйте теорему о свойстве параллельных прямых, пересечённых третьей прямой.

5. Сформулируйте признаки равенства треугольников. По каким признакам равны треугольники на рис 3?

Объяснение нового материала (приложение)

Учащиеся вместе с учителем изучают и выполняют работу по новой теме с помощью просмотра презентации «Теорема Фалеса».

Сегодня мы докажем теорему, носящую имя древнегреческого учёного Фалеса, который жил в 624-547г.г. до н.э. Про древнегреческого ученого Фалеса расскажет ученица Дондокова Людмила.

hello_html_m59eba0ac.gif  hello_html_m47b82ca4.gif

  • Великий учёный Фалес Милетский основал одну из прекраснейших наук - геометрию. Известно, что Фалес Милетский имел титул одного из семи мудрецов Греции, что он был поистине первым философом, первым математиком, астрономом и вообще первым по всем наукам в Греции. Короче: он был то же для Греции, что Ломоносов для России.

hello_html_m43c99dd7.gif

Карьеру он начинал как купец и ещё в молодости попал в Египет. В Египте Фалес застрял на много лет, изучая науки в Фивах и Мемфисе. Считается, что геометрию и астрономию в Грецию привёз он.

hello_html_m57e3c399.gif

Фалес — математик. Он измерил по тени высоту пирамиды; установил, что окружность диаметром делится пополам, что углы при основании равнобедренного треугольника равны. Ему же принадлежит теорема, что вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности- прямой.

hello_html_1895ac08.gif

Фалес доказал теорему: “Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне”.

hello_html_m5477ae50.gif

При активном участии учащихся разбирается доказательство теоремы с последовательным показом на экране каждого этапа построения чертежа и доказательства теоремы.

Из условия теоремы Фалеса делается вывод, что вместо сторон угла можно взять любые две прямые.

hello_html_3c4ec64d.gif

Затем ученики в парах выполняют в тетрадях практическую задачу на деление отрезка длиной в 7см. на 6 равных частей.

hello_html_24076624.gif

Греческие ученые открыли множество геометрических свойств и создали стройную систему геометрических знаний. В ее основу они положили простейшие геометрические свойства, подсказанные опытом. Остальные свойства выводились из простейших с помощью рассуждений.

Все этапы решения задачи учащиеся видят на экране. Это способствует зрительному запоминанию алгоритма решения и выполнения данной практической задачи

Вторую часть урока ведёт учитель информатики. Ученики вместе с учителем на компьютерах делят отрезок на три равные части.

Выполнение практического задания

Разделить данный отрезок на 3-равные части на компьютере

hello_html_5860622b.jpg

Используемые ИНСТРУМЕНТЫ

• стрелка;hello_html_m1b007ed2.gif

• линейка (отрезок, луч).

Используемые КОМАНДЫ

• построения;

• правка;

Порядок работы:

1 .Построим данный отрезок АВ.

2.Проведем из т. А полупрямую а, не лежащую на прямой АВ.

3.Отложим на полупрямой а 3 равных отрезка.

Для этого используем команду ПОСТРОЕНИЯ— “окружность по центру и радиусу”; зададим произвольный радиус СО и построим на полупрямой а 3 окружности.

Они отсекают на полупрямой а равные отрезки АЕ=ЕР=РО.

4.Соединим точки В и О.

5. Проведем через точки Е и Р прямые, параллельные прямой ВО.

6. Они пересекают отрезок АВ в точках Н и I , которые делят отрезок АВ на 3 равные части; т.к. по теореме Фалеса:

Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Домашнее задание.

Задача: Разделить отрезок длиной 5 см. на 7 равных частей. Выучить теорему Фалеса.

Подведение итогов урока.

Общие выводы. Заключение

Осуществление данного учебного проекта позволило учащимся развить свои навыки работы не только с дополнительными источниками по математике, но и с компьютером, сформировать навыки работы в сети Интернет, а также коммуникативные способности учащихся.

Участие в осуществлении проекта позволило углубить знания по применению математики в различных областях, а также закрепить знания по указанной теме. Следует отметить, что полученные в ходе осуществления проекта знания извлекаются с конкретной целью и являются объектом заинтересованности ученика. Это способствует их глубокому усвоению.

В целом работа по проекту прошла успешно, в ней приняли участие практически все ученики 8 класса. Каждый был вовлечен в мыслительную деятельность по данной проблематике, приобрел новые знания путем самостоятельной работы. На защите своего проекта выступал каждый ученик. На заключительном этапе были апробированы практические приемы работы, проведен самоанализ в виде презентации.

Проектная деятельность учащихся способствует истинному обучению, т.к. она:

-Личностно ориентирована.

-Характеризуется возрастанием интереса и вовлеченности в работу по мере её выполнения.

-Позволяет реализовать педагогические цели на всех этапах.

-Позволяет учиться на собственном опыте, на реализации конкретного дела.

-Приносит удовлетворение ученикам, видящим продукт собственного труда.

Презентация.

Приложение

Теорема: если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

hello_html_3802c8cd.gif

Дано: угол, параллельные прямые пересекают стороны угла, А1А22А3

Доказать: В1В22В3

Доказательство.

  1. Проведём через точку В2 прямую ЕF, параллельную прямой А1А3.

  2. По свойству параллелограмма А1А2=FВ2, А2А32Е.

  3. Так как А1А22А3, то FВ22Е

  4. Треугольники В2В1F и В2В3Е равны по второму признаку ( у них В2F=В2Е по доказанному. Углы при вершине В2 равны как вертикальные, а углы В23равны как внутренние накрест лежащие при параллельных А1В1 и А3В3 и секущей ЕF.)

  5. Из равенства треугольников следует равенство сторон: В1В22В3

ЗАДАЧА: РАЗДЕЛИТЕ ДАННЫЙ ОТРЕЗОК НА n РАВНЫХ ЧАСТЕЙ

1.Проведём из точки А полупрямую а, не лежащую на прямой АВ.

2.Отложим на полупрямой а равные отрезки:АА1, А1А2, А2А3, …, Аn-1Аn.

3.Соединим отрезком точку Аn с точкой В.

4.Через точки А12, … Аn-1проведём прямые, параллельные АnВ.

5.По теореме Фалеса отрезки АВ1, В1В2, …,Вn-1В равны.

hello_html_m4e8e5458.gif

hello_html_m3710b78d.png

infourok.ru

math-public:obobshchenaya_teorema_falesa [Президентский ФМЛ №239]

Лемма

Пусть на сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно. Тогда

  1. Если $BM:MA=BN:NC$, то $MN\parallel AC$;

  2. Если $MN\parallel AC$, то $BM:MA=BN:NC$;

Доказательство

Докажем первый пункт леммы.

Пусть $BM=a, MA=xa, BN=b, NC=xb$.

Тогда $\dfrac{BM}{BA}=\dfrac{a}{a+ax}=\dfrac{1}{1+x}=\dfrac{b}{b+bx}=\dfrac{BN}{BC}$.

Тогда треугольники $BMN$ и $ABC$ подобны по второму признаку подобия треугольников, так как $\angle B$ – общий.

Следовательно, $\angle 1=\angle 2$, а так как это соответственные углы при секущей $AB$, то $MN\parallel AC$.

Докажем второй пункт теоремы.

Так как $MN\parallel AC$, то $\angle 1=\angle 2$, а поскольку $\angle B$ – общий, то треугольники $BMN$ и $ABC$ подобны.

Тогда $\dfrac{BM}{BA}=\dfrac{BN}{BC}$, откуда $\dfrac{BM}{BM+MA}=\dfrac{1}{1+\dfrac{MA}{BM}}=\dfrac{1}{1+\dfrac{NC}{BN}}$.

Следовательно, $\dfrac{MA}{BM}=\dfrac{NC}{BN}$.

Обобщенная теорема Фалеса

Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки.

Доказательство

Пусть параллельные прямые $l_1, l_2, l_3$ пересекают прямые $a$ и $b$ в точках $A_1, A_2, A_3$ и $B_1, B_2, B_3$ соответственно.

Пусть при этом $A_1A_2:A_2A_3=x$.

Докажем, что тогда $B1B_2:B_2B_3=x$.

Рассмотрим случай, когда прямые $a$ и $b$ параллельны.

Тогда $A_2A_1B_1B_2$ и $A_3A_2B_2B_3$ – параллелограммы, следовательно, $A_1A_2=B_1B_2$ и $A_2A_3=B_2B_3$, и так как $A_1A_2:A_2A_3=B_1B_2:B_2B_3=x$.

Рассмотрим случай, когда прямые $a$ и $b$ не параллельны.

Проведем через точку $B_1$ прямую $c$, параллельную прямой $a$.

Пусть прямые $l_2,l_3,l_4$ и прямая $c$ пересекаются в точках $C_2, C_3, C_4$.

По первому случаю $B_1C_2:C_2C_3=x$, кроме того $B_2C_2\parallel B_3C_3$.

Тогда по второму пункту леммы $B_1C_2:C_2C_3=B_1B_2:B_2B_3=x$.

Замечание

Следующее утверждение неверно:
пусть прямые $l_1, l_2, l_3$ пересекают прямые $a$ и $b$ в точках $A_1,A_2,A_3$ и $B_1,B_2,B_3$ соответственно. Тогда из того, что $A_1A_2:A_2A_3=B_1B_2:B_2B_3$ следует, что $l_1\parallel l_2\parallel l_3$.

math-public/obobshchenaya_teorema_falesa.txt · Последние изменения: 2016/04/13 23:35 — labreslav

wiki.sch239.net

Теорема Фалеса — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Thales-sov.jpg
Эта теорема о параллельных прямых. Смотри также Теорема Фалеса об угле, опирающемся на диаметр окружности.

Теорема Фалеса — теорема планиметрии о параллельных и секущих.

Вне русскоязычной литературы теоремой Фалеса иногда называют другую теорему планиметрии, а именно, утверждение о том, что вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым. Открытие этой теоремы действительно приписывается Фалесу, о чём есть свидетельство Прокла.

Формулировки

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные отрезки.

Более общая формулировка, также называемая теорема о пропорциональных отрезках

Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки:

A1A2B1B2=A2A3B2B3=A1A3B1B3.{\displaystyle {\frac {A_{1}A_{2}}{B_{1}B_{2}}}={\frac {A_{2}A_{3}}{B_{2}B_{3}}}={\frac {A_{1}A_{3}}{B_{1}B_{3}}}.}

Замечания

  • В теореме нет ограничений на взаимное расположение секущих (она верна как для пересекающихся прямых, так и для параллельных). Также не важно, где находятся отрезки на секущих.
  • Теорема Фалеса является частным случаем теоремы о пропорциональных отрезках, поскольку равные отрезки можно считать пропорциональными отрезками с коэффициентом пропорциональности, равным 1.

Доказательство в случае секущих

{\frac  {A_{1}A_{2}}{B_{1}B_{2}}}={\frac  {A_{2}A_{3}}{B_{2}B_{3}}}={\frac  {A_{1}A_{3}}{B_{1}B_{3}}}. Доказательство теоремы Фалеса

Рассмотрим вариант с несвязанными парами отрезков: пусть угол пересекают прямые AA1||BB1||CC1||DD1{\displaystyle AA_{1}||BB_{1}||CC_{1}||DD_{1}} и при этом AB=CD

wiki2.red

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о