Доказательство тождеств тригонометрических – Как доказать тригонометрическое тождество?

Примеры на доказательство тригонометрических тождеств

Примеры на доказательство тригонометрических тождеств

ПРИМЕРЫ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ТОЖДЕСТВ
При доказательстве тождеств обычно используют следующие способы:
1) выражение, стоящее в одной части тождества, с помощью тождественных преобразований приводят к выражению, стоящему в другой части тождества;
2) выражения, стоящие в левой и правой частях тождества, приводят к одному и тому же виду;
3) доказывают, что разность между левой и правой частями тождества равна нулю.
Примеры 1—7. Доказать тождества:
1. ctg^{2}\alpha -cos^{2}\alpha =ctg^{2}\alpha\cdot cos^{2}\alpha;
2. \displaystyle \frac{(sin\alpha +cos\alpha )^{2}-1}{ctg\alpha -sin\alpha \cdot cos\alpha }=2tg^{2}\alpha;
3. 1-sin^{2}\alpha +ctg^{2}\alpha \cdot sin^{2}\alpha =2cos^{2}\alpha;
4. \displaystyle \frac{sin^{2}\alpha +2cos^{2}\alpha -1}{ctg^{2}\alpha }=sin^{2}\alpha;
5. sin^{4}\alpha -cos^{4}\alpha -sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =0;
6. sin^{4}\alpha +2sin^{2}\alpha \cdot cos^{2}\alpha +cos^{4}\alpha =1;

7. \displaystyle \frac{sin\alpha }{1+cos\alpha }=\frac{1-cos\alpha }{sin\alpha }.
Решение.

1. \displaystyle ctg^{2}\alpha -cos^{2}\alpha =\frac{cos^{2}\alpha }{sin^{2}\alpha }-cos^{2}\alpha =\frac{cos^{2}\alpha -cos^{2}\alpha \cdot sin^{2}\alpha }{sin^{2}\alpha}=\frac{cos^{2}\alpha(1-sin^{2}\alpha )}{sin^{2}\alpha}=
\displaystyle =\frac{cos^{2}\alpha \cdot cos^{2}\alpha}{sin^{2}\alpha}=\frac{cos^{2}\alpha }{sin^{2}\alpha}\cdot cos^{2}\alpha=ctg^{2}\alpha \cdot cos^{2}\alpha.
2. \displaystyle \frac{(sin\alpha +cos\alpha )^{2}-1}{ctg\alpha -sin\alpha \cdot cos\alpha }=\frac{sin^{2}\alpha +2sin\alpha \cdot cos\alpha +cos^{2}\alpha -(sin^{2}+cos^{2}\alpha)}{\frac{cos\alpha }{sin\alpha }-sin\alpha \cdot cos\alpha }=
\displaystyle =\frac{2sin\alpha \cdot cos\alpha }{1}:\frac{cos\alpha -sin^{2}\cdot cos\alpha }{sin\alpha }=\frac{2sin^{2}\alpha\cdot cos\alpha }{cos\alpha (1-sin^{2}\alpha )}=\frac{2sin^{2}\alpha }{cos^{2}\alpha }=2tg^{2}\alpha .
3. \displaystyle \underline{1-sin^{2}\alpha} +ctg^{2}\alpha \cdot sin^{2}\alpha =\underline{cos^{2}\alpha} +\frac{cos^{2}\alpha }{sin^{2}\alpha }\cdot sin^{2}\alpha =cos^{2}\alpha+cos^{2}\alpha=2cos^{2}\alpha.
4. \displaystyle \frac{sin^{2}\alpha +2cos^{2}\alpha -1}{ctg^{2}\alpha }=\frac{sin^{2}\alpha+2cos^{2}\alpha -(sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha)}{1}:\frac{cos^{2}\alpha}{sin^{2}\alpha}=\frac{cos^{2}\alpha\cdot sin^{2}\alpha}{cos^{2}\alpha}=sin^{2}\alpha.
5. \displaystyle sin^{4}\alpha -cos^{4}\alpha -sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =sin^{4}\alpha-sin^{2}\alpha -cos^{4}\alpha +cos^{2}\alpha =sin^{2}\alpha(sin^{2}\alpha-1)+cos^{2}\alpha (1-cos^{2}\alpha)=
\displaystyle sin^{4}\alpha -cos^{4}\alpha -sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =sin^{4}\alpha-sin^{2}\alpha -cos^{4}\alpha +cos^{2}\alpha =sin^{2}\alpha(sin^{2}\alpha-1)+cos^{2}\alpha (1-cos^{2}\alpha)= =sin^{2}\alpha(-cos^{2}\alpha )+cos^{2}\alpha \cdot sin^{2}\alpha=-sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha+sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha=0.
6. \displaystyle sin^{4}\alpha +2sin^{2}\alpha \cdot cos^{2}\alpha +cos^{4}\alpha =(sin^{2}\alpha )^{2}+2sin^{2}\alpha \cdot cos^{2}\alpha +(cos^{2}\alpha )^{2}=(sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha )^{2}=1^{2}=1.
7. Это тождество можно рассматривать как пропорцию. Чтобы доказать справедливость пропорции \frac{a}{b}=\frac{c}{d}, достаточно доказать, что ad=bc. Поэтому достаточно показать, что sin\alpha \cdot sin\alpha=(1+cos\alpha )(1-cos\alpha ). Это равенство очевидно, т. к. sin\alpha \cdot sin\alpha=sin^{2}\alpha ,\; (1+cos\alpha )(1-cos\alpha )=1-cos^{2}\alpha =sin^{2}\alpha.
Вывод: тождества доказаны.

math-helper.ru

Тригонометрические тождества

Прежде, чем приступить к рассмотрению новой темы вспомним, что основным тригонометрическим тождеством называют равенство: .

Следующими формулами можно записать зависимость между синусом и косинусом, тангенсом и котангенсом, тангенсом и косинусом: , ,

, , , .

Докажем с вами, что при , где , справедливо равенство: .

Доказательство. Мы с вами знаем, что по определению . В левой части равенства  запишем  как :  [приведём слагаемые к общему знаменателю
]  [по основному тригонометрическому тождеству числитель равен ] . Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства  к правой.

Так как делить на нуль нельзя, то , то есть

, где .

Равенство  показывает нам зависимость между котангенсом и синусом.

Запомните! Равенство , справедливое при всех допустимых значениях входящих в него букв (то есть таких, при которых его левая и правая части имеют смысл), называют тождеством, а задачи на доказательство таких равенств называют задачами на доказательство тождеств

.

Доказанное тождество называют тригонометрическим тождеством.

Всегда ли при доказательстве тригонометрических тождеств нужно указывать допустимые значения углов? При доказательстве тригонометрических тождеств или при упрощении тригонометрических выражений чаще всего не указывают допустимые значения углов, если это не требуется в условии задачи.

Давайте докажем вот такое тождество: .

Доказательство. Запишем правую часть нашего тождества:  [применим формулу разности квадратов]

 [по основному тригонометрическому тождеству выражение во вторых скобках равно ] .

Получается, что мы доказали данное тождество, преобразовав его правую часть к левой? Верно.

Докажем следующее тождество: .

Чтобы доказать это тождество, мы докажем, что разность между его левой и правой частями равна нулю. Итак, запишем разность его левой и правой частей:

 [так как , а , то запишем в наше выражение вместо  и  эти отношения]  [приведём дроби в знаменателе первого слагаемого к общему знаменателю. Затем приведём к общему знаменателю дроби в знаменателе второго слагаемого]
 [в первом слагаемом разделим единицу на дробь в знаменателе. Во втором слагаемом разделим выражение в числителе на дробь в знаменателе]  [по основному тригонометрическому тождеству знаменатель первого слагаемого равен . Во втором слагаемом сократим числитель и знаменатель на ]
. Таким образом, мы получили разность, которая равна нулю, то есть доказали наше тождество.

И докажем вот такое тождество: .

Доказательство. Преобразуем левую часть данного тождества. . Тогда :  [теперь приведём это выражение к общему знаменателю

]  [вынесем в числителе ]  [из основного тригонометрического тождества следует, что . Тогда подставим в наше выражение  вместо
]  [выполним умножение в числителе] .

Теперь преобразуем правую часть нашего тождества. Здесь также :  [выполним умножение] .

Таким образом, мы получили, что левая и правая части нашего тождества равны одному и тому же выражению. А значит, тождество доказано?

Да, данное тождество доказано.

Итак, вы, наверное, обратили внимание, что при доказательстве тождеств мы с вами применяли следующие способы: преобразование левой части тождества к правой. И, наоборот, преобразование правой части тождества к левой. Установление того, что разность между левой и правой частями тождества равна нулю. Преобразование левой и правой частей тождества к одному и тому же выражению.

А сейчас давайте выполним несколько заданий.

Задание первое. Докажите тождество: .

Доказательство.

Задание второе. Упростите выражения: а) ; б) ;  .

Решение.

videouroki.net

Тригонометрические тождества, формулы и примеры

Основные тригонометрические тождества, наиболее часто используемые при выполнении тригонометрических преобразований:

   

   

   

   

   

   

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Основные тригонометрические тождества

  • Главная
  • Справочник
  • Тригонометрия
  • Основные тригонометрические тождества

Тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, которая позволяет находить любую из данных функций при условии, что будет известна какая-либо другая.

\[ \sin^{2}\alpha + \cos^{2} \alpha = 1 \]

\[ tg \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \enspace ctg \alpha = \dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \]

\[ tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1 \]

Зависимость между синусом и косинусом

\[ \sin^{2} \alpha+\cos^{2} \alpha=1 \]

Данное тождество говорит о том, что сумма квадрата синуса одного угла и квадрата косинуса одного угла равна единице, что на практике дает возможность вычислить синус одного угла, когда известен его косинус и наоборот.

При преобразовании тригонометрических выражений очень часто используют данное тождество, которое позволяет заменять единицей сумму квадратов косинуса и синуса одного угла и также производить операцию замены в обратном порядке.

Нахождение тангенса и котангенса через синус и косинус

\[ tg \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\enspace ctg \alpha=\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \]

Данные тождества образуются из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Ведь если разобраться, то по определению ординатой \( \dfrac{y}{x}=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \), а отношение \( \dfrac{x}{y}=\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \) — будет являться котангенсом.

Добавим, что только для таких углов \( \alpha \), при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл, будут иметь место тождества \( tg \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \), \( ctg \alpha=\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \).

Например: \( tg \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \) является справедливой для углов \( \alpha \), которые отличны от \( \dfrac{\pi}{2}+\pi z \), а \( ctg \alpha=\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \) — для угла \( \alpha \), отличного от \( \pi z \), \( z \) — является целым числом.

Зависимость между тангенсом и котангенсом

\[ tg \alpha \cdot ctg \alpha=1 \]

Данное тождество справедливо только для таких углов \( \alpha \), которые отличны от \( \dfrac{\pi}{2} z \). Иначе или котангенс или тангенс не будут определены.

Опираясь на вышеизложенные пункты, получаем, что \( tg \alpha = \dfrac{y}{x} \), а \( ctg \alpha=\dfrac{x}{y} \). Отсюда следует, что \( tg \alpha \cdot ctg \alpha = \dfrac{y}{x} \cdot \dfrac{x}{y}=1 \). Таким образом, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, являются взаимно обратными числами.

Зависимости между тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом

\( tg^{2} \alpha + 1=\dfrac{1}{\cos^{2} \alpha} \) — сумма квадрата тангенса угла \( \alpha \) и \( \alpha \), отличных от \( \dfrac{\pi}{2}+ \pi z \).

\( 1+ctg^{2} \alpha=\dfrac{1}{\sin^{2}\alpha} \) — сумма \( \alpha \), равняется обратному квадрату синуса данного угла. Данное тождество справедливо для любого \( \alpha \), отличного от \( \pi z \).

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

Не можешь написать работу сам?

Доверь её нашим специалистам

от 100 р.стоимость заказа

2 часамин. срок

Узнать стоимость

calcsbox.com

Основное тригонометрическое тождество

Основное тригонометрическое тождество связывает синус и косинус одного и того же угла. Сформулируем его: для любого угла справедливо:

   

Рис. 1

Доказательство тождества

Рассмотрим тригонометрическую окружность (рис. 1). Выберем произвольный угол , тогда , а . В , как радиус единичной окружности. Так как треугольник прямоугольный, то для него можно записать теорему Пифагора:

   

Учитывая, что и , получаем

   

Что и требовалось доказать.

Следствие 1. Основное тригонометрическое тождество позволяет находить синус угла по известному косинусу или, наоборот, косинус угла по известному синусу. Справедливы формулы

   

Но для определения знака искомой тригонометрической функции требуется дополнительная информация о величине угла (например, в какой четверти расположен угол ).

Следствие 2. Из основного тригонометрического тождества можно вывести две формулы, связывающие соответственно косинус с тангенсом и синус с котангенсом.

1. Пусть тогда . Разделим обе части основного тригонометрического тождества на :

   

после преобразования получим

   

2. Пусть тогда . Разделим обе части основного тригонометрического тождества на :

   

после преобразования получим

   

Примеры решения задач

Основное тригонометрическое тождество, так же используется при тождественных преобразованиях.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Тригонометрические тождества — Википедия

Рис 1. К доказательству вывода формулы

На Рис. 1 изображены четыре прямоугольных треугольника: ABC, ABD, AOC, BOD.

Принято, что AB=1,∠DAC=α,∠DAB=β;{\displaystyle AB=1,\angle DAC=\alpha ,\angle DAB=\beta ;}

По построению: ∠ABC=90−α−β;∠ABD=90−β;{\displaystyle \angle ABC=90-\alpha -\beta ;\angle ABD=90-\beta ;}

Тогда: ∠OBD=∠ABD−∠ABO=α;{\displaystyle \angle OBD=\angle ABD-\angle ABO=\alpha ;}

Из треугольника ABD:

BD=sin⁡β;AD=cos⁡β;{\displaystyle BD=\sin \beta ;AD=\cos \beta ;}

Из треугольника BOD:

OB=BDcos⁡α=sin⁡βcos⁡α;{\displaystyle OB={\frac {BD}{\cos \alpha }}={\frac {\sin \beta }{\cos \alpha }};}
OD=OB⋅sin⁡α=sin⁡α⋅sin⁡βcos⁡α{\displaystyle OD=OB\cdot \sin \alpha ={\frac {\sin \alpha \cdot \sin \beta }{\cos \alpha }}}

Так как O лежит на отрезке AD:

AO=AD−OD=cos⁡β−sin⁡α⋅sin⁡βcos⁡α=cos⁡α⋅cos⁡β−sin⁡α⋅sin⁡βcos⁡α{\displaystyle AO=AD-OD=\cos \beta -{\frac {\sin \alpha \cdot \sin \beta }{\cos \alpha }}={\frac {\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta }{\cos \alpha }}}

Тогда сразу:

cos⁡(α+β)=AC=AO⋅cos⁡α=cos⁡α⋅cos⁡β−sin⁡α⋅sin⁡β{\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=AC=AO\cdot \cos \alpha =\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta }

Из треугольника AOC:

OC=AO⋅sin⁡α=sin⁡α⋅(cos⁡α⋅cos⁡β−sin⁡α⋅sin⁡β)cos⁡α{\displaystyle OC=AO\cdot \sin \alpha ={\frac {\sin \alpha \cdot (\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta )}{\cos \alpha }}}

Следовательно:

sin⁡(α+β)=BC=OB+OC=sin⁡βcos⁡α+sin⁡α⋅(cos⁡α⋅cos⁡β−sin⁡α⋅sin⁡β)cos⁡α={\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=BC=OB+OC={\frac {\sin \beta }{\cos \alpha }}+{\frac {\sin \alpha \cdot (\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta )}{\cos \alpha }}=}
sin⁡α⋅cos⁡β+sin⁡β⋅(1−sin2⁡α)cos⁡α=sin⁡α⋅cos⁡β+cos⁡α⋅sin⁡β{\displaystyle \sin \alpha \cdot \cos \beta +{\frac {\sin \beta \cdot (1-\sin ^{2}\alpha )}{\cos \alpha }}=\sin \alpha \cdot \cos \beta +\cos \alpha \cdot \sin \beta }

Что и требовалось доказать[источник не указан 954 дня].

wiki2.red

Пояснение (доказательство) простейших тригонометрических тождеств

Пояснение, как получаются тригонометрические тождества

Поясним, как выводятся тригонометрические тождества на примере очень простых формул:

На примере прямоугольного треугольника ABC выведем простейшие тригонометрические тождества и докажем их правильность.


Доказательство тождества sin α / cos α = tg α

Поясним, как частное от деления синуса на косинус альфа дает тангенс этого же угла (Формула номер 1)

Из определения синуса следует, что
sin α = BC / AB
Из определения косинуса следует, что
cos α = AC / AB

Разделим одно выражение на второе
sin α / cos α 
подставим вместо тригонометрических функций соотношение сторон, получим:
( BC / AB ) : (AC / AB)

При делении одной дроби на другую, подучим результат
sin α / cos α BC / AC

Из определения тангенса следует
tg α = BC / AC

Таким образом,
sin α / cos α = tg α
Тождество (1) доказано.

Краткое доказательство можно посмотреть на рисунке ниже:

Тождества 2 и 3 доказываются абсолютно аналогичным способом.

Доказательство тождества sin2 α + cos2 α = 1

Теперь докажем тождество 4, что сумма квадрата синуса и косинуса одного и того же угла дает единицу.

Из определения синуса следует, что
sin α = BC / AB
Из определения косинуса следует, что
cos α = AC / AB

Возведем каждое выражение в квадрат и вычислим их сумму.
sin2 α + cos2 α = ( BC / AB )2  + ( AC / AB )2 

поскольку обе дроби имеют один и тот же знаменатель, то
BC2  / AB2 + AC2  / AB2  = ( BC2  + AC2  ) / AB2 

Снова посмотрим на рисунок выше.
BC2  + AC2  — это сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника. Согласно, теореме Пифагора
BC2  + AC2 = AB2 

Заменим числитель (BC2  + AC2) на тождественное выражение AB2  и получим:
AB2 / AB2 = 1

Таким образом, 
sin2 α + cos2 α = 1

Тождество (4) доказано

Краткое доказательство можно посмотреть на рисунке ниже

 Тригонометрические тождества и преобразования | Описание курса | Преобразования тригонометрических функций вида (α + a/bπ) и доказательство 

   

profmeter.com.ua

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о