Задачи на подобие треугольников

Рассмотрим некоторые задачи на подобие треугольников.

I. В треугольнике проведен отрезок, параллельный стороне. Концы отрезка лежат на других сторонах треугольника.

 

Рассмотрим треугольники ABC и A1BC1.

 

 

 

 

Решать задачи на подобие треугольников удобнее, используя цветовую визуализацию, поэтому выделим данные треугольники разными цветами:

1) ∠B — общий;

2)∠ BAC=∠BA1C1 (как соответственные углы при AC∥A1C1 и секущей AB).

Следовательно, треугольники ABC и A1BC1 подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

   

 

Задача

Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает сторону АВ в точке А1, а сторону ВС — в точке В1. Найти длину отрезка А1С1, если АС=35,  АА1: А1В=2:5.

Решение:

Доказываем подобие треугольников ABC и A1BC1. 

   

   

Ответ: 25.

II. В треугольник вписан ромб.

Рассмотрим треугольники  AFK и BFC.

 

 

 

 

 

Выделим данные треугольники в цвете.

1) ∠F — общий;

2)∠ FAK=∠FBC (как соответственные углы при AD∥BC и секущей AB).

Следовательно, треугольники AFK и BFC подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

   

 

Задача.

В треугольник AFK вписан ромб ABCD так, что угол A у них общий, в вершина C принадлежит стороне FK. Найти сторону ромба, если AF=21 см, AK=24 см.

Решение.

Доказываем подобие треугольников AFK и BFC. Из трех соотношений выбираем те, в которых нам что-либо известно:

   

Примем сторону ромба за x:

   

Тогда BF=AF-AB=21-x см. Отсюда

   

Разделив обе части уравнения на 3, получаем:

   

   

   

   

Ответ: 11,2 см.

В следующий раз рассмотрим задачи на подобные треугольники в трапеции.

www.uznateshe.ru

Практика. Решение задач. Подобие треугольников. Видеоурок. Геометрия 7 Класс

На прошлом занятии мы рассмотрели теорему Фалеса. Она является очень удобным инструментом для деления отрезков в нужном соотношении. Напомним ее суть.

Пусть дан угол, а несколько параллельных прямых , ,  пересекают обе его стороны, отсекают отрезки на обеих сторонах угла (см. рис. 1). Тогда как относятся длины отрезков на одной стороне угла, так же они относятся и на другой:

Рис. 1. Параллельные прямые , ,  пересекают обе стороны данного угла

Частный случай этой теоремы, которым мы будем пользоваться: если отрезки на одной стороне угла равны друг другу, то и на второй стороне угла параллельные прямые отсекают равные между собой отрезки:

Задача 1. Разделить данный отрезок на  равных частей (см. рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация к задаче 1

Решение

Пусть дан отрезок , который и нужно разделить на  частей. Для теоремы Фалеса нам нужен угол.

Достроим наш отрезок до угла с вершиной в точке . На дорисованной стороне угла отметим  точек на равных расстояниях (см. рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к задаче 1

Соединим последнюю точку с точкой . Параллельно полученному отрезку проведем через оставшиеся  точки еще

 прямые (см. рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к задаче 1

Т. к. параллельные прямые на одной стороне угла отсекают равные отрезки, то на другой они тоже отсекут равные отрезки (теорема Фалеса). Т. е. мы разделили отрезок  на  равных частей (см. рис. 5).

Рис. 5. Иллюстрация к задаче 1

Решено.

Мы обсудили понятие подобных фигур и, в частности, подобных треугольников.

Признаки равенства треугольников достаточно легко преобразовались в признаки подобия (правда немного изменилась нумерация признаков). Решим задачи с применением этих признаков.

Первый признак подобия: если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Задача 2. Доказать, что высота прямоугольного треугольника разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

Доказательство

Вот треугольник , у которого  (см. рис. 6):

Рис. 6. Иллюстрация к задаче 2

Как у любого треугольника, у него три высоты. О какой же высоте идет речь в условии задачи?

Вспомним: высота треугольника – это отрезок, проведенный из вершины перпендикулярно противолежащей стороне.

Если опускать такие перпендикуляры из вершин  и , то они совпадут со сторонами  и . Иными словами: две высоты прямоугольного треугольника – это его катеты. Но стороны треугольника не делят треугольник на другие треугольники. Значит, речь идет о третьей высоте, опущенной из точки

 на гипотенузу (высота ) (см. рис. 7).

Рис. 7. Иллюстрация к задаче 2

Нам предлагается доказать, что два новых (малых) треугольника подобны исходному (и заодно подобны между собой). Попробуем убедиться, что так оно и есть.

Сравним исходный треугольник , например, с треугольником , который тоже прямоугольный, т. к.

 –  высота. Т. е. по одному равному прямому углу у этих треугольников уже есть. Но у обоих треугольников есть также общий . Это вторая пара равных углов, т. е. два угла одного равны двум углам другого. Тогда треугольники  и  подобны по первому признаку подобия:

В частности:

Аналогично показывается подобие треугольников  и , т. е. каждый малый треугольник подобен большому исходному.

В частности:

Из этого очевидно следует, что два малых треугольника также подобны друг другу:

Доказано.

Вспомним второй признак подобия: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между ними равны, то треугольники подобны.

Задача 3. На одной стороне угла  отложены отрезки  и . На другой стороне  и . Подобны ли треугольники  и  (см. рис. 8)?

Рис. 8. Иллюстрация к задаче 3

Решение

По второму признаку подобия треугольники в самом деле подобны:

А угол  является общим для двух треугольников и лежит между пропорциональными сторонами:

Ответ: да.

Наконец, вспомним третий признак подобия: если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то треугольники подобны.

Задача 4. Подобны ли треугольники, если их стороны равны:

1.  и ;
2.  и ;
3.  и .

Решение

1.

Требуемое соотношение выполняется, треугольники подобны. Коэффициент подобия  или .

2.

На первый взгляд, соотношение не выполняется. Но дело в том, что длины сторон треугольников могут быть даны не в том порядке. Для удобства расположим их в порядке возрастания (меньшая сторона одного треугольника должна быть пропорциональна меньшей стороне второго треугольника и т. д.):  и :

Требуемое соотношение выполняется, треугольники подобны. Коэффициент подобия  или .

3. Расположим сразу длины сторон в порядке возрастания:  и .

Пропорциональны только две пары сторон, а не все три. Треугольники не являются подобными.

Ответ: да; да; нет.

Рассмотрим теперь решение различных задач с использованием теоремы Фалеса и подобия треугольников.

Задача 5. Доказать, что биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Доказательство

Что имеется в виду в условии? Рассмотрим треугольник  и его биссектрису  (см. рис. 9).

Рис. 9. Иллюстрация к задаче 5

Она делит сторону  на две части. Нетрудно увидеть, что чем больше  относительно , тем больше  относительно . Но на самом деле, все обстоит еще лучше.

Во сколько раз сторона  больше стороны , во столько раз  больше :

Это нам и нужно доказать.

То, что нужно будет доказывать равенство отношений отрезков, наводит на мысль об использовании теоремы Фалеса. Но если  и  лежат на одной прямой, то  и  – нет. В такой ситуации хорошо бы расположить сравниваемые отрезки на сторонах угла. Попробуем это сделать.

Продолжим  за точку . И отложим на ней отрезок  (см. рис. 10). Теперь у нас на прямой  отложены отрезки с интересующими нас длинами:  и .

Рис. 10. Иллюстрация к задаче 5

Соединим точку  с точкой . Рассмотрим треугольник  (см. рис. 11).

Рис. 11. Иллюстрация к задаче 5

Он равнобедренный (т. к.  по построению). Значит, . Обозначим эти углы как .

Но  – внешний угол этого треугольника для треугольника , значит, он равен сумме следующих углов (по теореме о внешнем угле треугольника):

Поскольку  – биссектриса , то:

Получаем: прямые  и ,  – секущая, внутренние накрест лежащие углы  (см. рис. 12). Значит, прямые  и  параллельны по признаку параллельности прямых.

Рис. 12. Иллюстрация к задаче 5

Можем воспользоваться теоремой Фалеса для  и параллельных прямых  и :

Но  (по построению), получаем:

Доказано.

Только что доказанный нами факт часто используется для решения других задач. А раз так, то его естественно называть теоремой. Часто это утверждение так и называют: теорема о биссектрисе треугольника (или свойство биссектрисы треугольника).

С помощью подобия и теоремы Фалеса можно получить не только свойство биссектрисы, но и свойство медианы треугольника.

Задача 6. Доказать, что медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении , считая от вершины.

Доказательство

Рассмотрим треугольник , в котором проведем две медианы  и , пересекающиеся в точке  (см. рис. 13).

Рис. 13. Иллюстрация к задаче 6

Отрезок  (соединяющий середины двух сторон треугольника) называется средней линией треугольника. Очевидно, что у треугольника три средних линии (см. рис. 14).

Рис. 14. Иллюстрация к задаче 6

Рассмотрим :

Значит, по теореме, обратной теореме Фалеса,  и  параллельны (т. к. от

interneturok.ru

Подобие треугольников. Решение практических задач

Тема: «Подобие треугольников.

Решение практических задач».

Цели и задачи урока:

Образовательные

закрепить признаки подобия треугольников;

показать применение подобия геометрических фигур в жизни;

Развивающие

повышать интерес учащихся к изучению геометрии;

активизировать познавательную деятельность учащихся;

формировать качества мышления, характерные для математической деятельности и необходимые для продуктивной жизни в обществе.

учиться умению ясно, точно, грамотно излагать мысли, рассуждать, обосновывать способ решения проблемы творческого и поискового характера;

учиться слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем;

формирование коммуникативных навыков групповой деятельности;

Воспитательные

мотивировать интерес учащихся к предмету

воспитание математической культуры: владения математическим языком и умений выразить грамотно свою мысль;

воспитание чувства взаимопомощи, умений работать в группе.

Тип урока: урок закрепления знаний;

Формы работы учащихся: индивидуальная и фронтальная работа, работа в парах, работа в группе.

Ход урока

1. Организационный момент.

Добрый день! Добрый час!

Как я рада видеть вас.

Прозвенел уже звонок

Начинается урок.

Улыбнулись. Подровнялись.

Друг на друга поглядели

И тихонько дружно сели.

Ребята, вы наверно изучали произведения баснописца Крылова, у него есть замечательные слова, с которых мне бы хотелось начать наш урок

«Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле».(Слайд)

И на сегодняшнем уроке мы попытаемся воплотить эти слова в жизнь.

Вы изучили очень сложную тему «Подобие треугольников» и сегодня на уроке мы будем учиться применять известные вам учебные действия при решении практических задач. А методом нашей работы сегодня будет интерактивное обучение.

— Откройте тетради и запишите тему урока: «Подобие треугольников. Решение практических задач».(Слайд)

2. Мотивация урока.

Девизом к сегодняшнему уроку я предлагаю взять слова древнегреческого математика Фалеса:

— Что есть больше всего на свете? – Пространство.

— Что быстрее всего? – Ум.

— Что мудрее всего? – Время.

— Что приятнее всего? – Достичь желаемого.

Постараемся, чтобы каждый из нас достиг желаемого результата.

3. Актуализация усвоенных знаний учащихся

Для дальнейшей успешной работы на уроке давайте вспомним основные понятия изученной темы.

Фронтальный опрос

— Дайте определение подобных треугольников (слайд ),

— Сформулируйте признаки подобных треугольников (слайд)

Очень хорошо, я вижу, что вы обладаете достаточным запасом теоретических знаний. А теперь давайте учиться применять их на практике. Рассмотрим задачу. Используя готовый чертеж, запишем дано и решим ее.

AB || CD

AO = 1,5 см

OB = 1 см

СО = 3 см

СD = 4,5 см

1) Подобны ли треугольники AOB и DOC?

2) Укажите сходственные стороны, К

3) АВ — ? OD — ?

Ребята, данные знания применялись еще в древности, послушайте увлекательную легенду.

В один из солнечных дней древнегреческий ученый Фалес вместе с главным жрецом храма Изиды прогуливался мимо пирамиды Хеопса.

Знает ли кто-либо какова её высота? – спросил он.

Нет, сын мой, — ответил ему жрец, древние папирусы не сохранили нам этого, а наши знания не дают о ней судить даже приблизительно.

Но ведь определить высоту пирамиды можно совсем точно и прямо сейчас. –воскликнул Фалес.

Вопрос вам — какие математические знания он использовал для определения высоты пирамиды?

Отв: Может быть он применил подобие треугольников?

— Совершенно верно.

Вот смотрите, — продолжал Фалес, — мой рост составляет три царских вавилонских локтя. А вот моя тень. Её длина такая же. И какой бы мы предмет не взяли именно в это время тень от него, если поставить его вертикально, точно равна высоте предмета.

Вот так выглядит модель решения этой задачи(Слайд)

Я предлагаю вам поработать в парах, в роли юных исследователей. У каждого на парте лежит рисунок, аналогичный данному на слайде. Первичные измерения вам даны. Ваша задача вычислить высоту пирамиды. По завершению вашей работы поднимите руку.

Первая пара объясняет у доски решение.

С какими фигурами вы работали, решая задачу?

Назовите эти треугольники, Какой признак вы применяли?

Но данное решение не всегда можно применить. Почему?

Да, действительно существуют и другие способы измерения. В нашем мире много высотных объектов высоту которых нужно найти.Найдите самостоятельно из дополнительных источников другие способы измерения.Это и будет вашим домашним заданием. И на следующем уроке обменяетесь данной информацией.

Итак, ребята продолжаем работать.

Я предлагаю каждому самостоятельно определить уровень своих знаний

У вас на партах лежит листочек с названием тест-самоконтроль, проверьте свои знания. Все вычисления вы можете записывать в ваших тетрадях

Тест-самоконтроль

1. Стороны треугольника 3 см, 6 см, 7 см. Большая сторона подобного ему треугольника равна 28 см. Чему равна меньшая сторона этого треугольника?

а) 24 см б) 12 см в) нет ответа

2. Два угла одного треугольника 1240 и 360, а два угла другого треугольника 200 и 360. Подобны ли треугольники?

а) да б) нет в )не хватает данных задачи

3 .

FD || AB

AС — ?

а) 6 см б) 8 см в) нет ответа

4. ABK = BCA С

AB = 16см

ВС = 18см

АС = 24см К

ВК = 12см

АК — ? В А

а) 10 2/3 б) 4 см в) нет ответа

5 . Подобны ли треугольники ABC и А1DС1

C1D перпендикулярно B1A1

C1D = 12

а) да б) нет в) не знаю

Ответы к тесту — самоконтроля

1 б — 1 балл

2 а — 1 балл

3 б — 1 балл

4 а — 2 балла

5 а — 3 балла

Ребята оценивать вашу работу мы будем уровнями. Потому, что дальнейшая наша работа будет разноуровневой.

Рекомендации ученику.

Если ты набрал 3 балла и менее, выбери I уровень, это тебе поможет ещё раз закрепить основной материал темы.

Если ты набрал 4 балла или 5 баллов, выбирай II уровень — у тебя хорошие знания, интересные задачи ждут тебя.

Если ты набрал 6 баллов, 7 баллов или даже 8 баллов, можешь считать, что «5» ты уже получил, смело иди на III уровень, возможно там найдёшь интересную для себя задачу.

I уровень

Задача 1.

треугольник ABC подобен треугольнику MNK

Решение:

, значит ,

тогда . значит =?

Аналогично , значит =?

ІІ уровень

Задача1. Длина тени дерева 21 м. В это же время суток тень человека ростом 1,8 м составляет 2,7 м. Какова высота дерева?

[14 м]

III уровень

О пределить ширину реки ВВ1, если известны следующие данные АС=100м, АС1=32м, АВ1=34м.

В

В1 С

С1

А

сейчас вы решали задачи предложенные мной. Но в жизни часто приходится самостоятельно принимать решения, используя и те знания, которые получили в школе.

Я не могу не затронуть тему олимпиады. Мы все ждем 7 февраля. Почему я перешла к олимпиаде? Я хочу чтобы мы с вами сегодня научились применять свои знания на практике. Вы наверно знаете, что прежде чем возводить олимпийские объекты, сначала изготавливали макет олимпийского городка. Я предлагаю вам почувствовать себя архитекторами, и создать свой проект. Так как мы только учимся, то начать я предлагаю с небольшой заготовки. Я тоже попробовала дома пофантазировать и вот что получилось у меня. Я собрала все необходимые для вашей работы материалы. Может кто-то из вас захочет сделать цветник, а кто-то орнамент здания. Приступайте.

Сегодня на уроке мы были и в роли исследователей и в роли архитекторов, как вы думаете наш урок был полезным или бесполезным, пригодится он вам в жизни?

xn--j1ahfl.xn--p1ai

Решение задач по теме «Подобие треугольников»

Просмотр содержимого документа
«Решение задач по теме «Подобие треугольников»»

1. Через точки М и N, принадлежащие сторонам АВ и ВС треугольника ABC соответственно, проведена прямая МN, параллельная стороне АС. Найдите длину СN, если ВС = 6, МN = 4, АС = 9.

2. Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его на треугольник и трапецию, площади которых относятся как 4:5. Периметр образовавшегося треугольника равен 20 см. Найдите периметр данного треугольника.

3. Через вершину прямого угла прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8 см проведен перпендикуляр к гипотенузе. Вычислите площади образовавшихся треугольников.

4. В трапеции ABCD меньшая диагональ BD, равная 6, перпендикулярна основаниям AD=3 и DC=12. Найдите сумму тупых углов B и D.

5. Основания трапеции равны a и b. Определите длину отрезка, параллельного основаниям и делящего трапецию на равновеликие части.

___________________________________________________________________

1. Через точки М и N, принадлежащие сторонам АВ и ВС треугольника ABC соответственно, проведена прямая МN, параллельная стороне АС. Найдите длину СN, если ВС = 6, МN = 4, АС = 9.

2. Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его на треугольник и трапецию, площади которых относятся как 4:5. Периметр образовавшегося треугольника равен 20 см. Найдите периметр данного треугольника.

3. Через вершину прямого угла прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8 см проведен перпендикуляр к гипотенузе. Вычислите площади образовавшихся треугольников.

4. В трапеции ABCD меньшая диагональ BD, равная 6, перпендикулярна основаниям AD=3 и DC=12. Найдите сумму тупых углов B и D.

5. Основания трапеции равны a и b. Определите длину отрезка, параллельного основаниям и делящего трапецию на равновеликие части.

Задачи для изучения (с решением):

Пример №1: Покажите, что два треугольника на рисунке внизу являются подобными. Решение: Так как длины сторон обоих треугольников известны, то здесь можно применить третий признак подобия треугольников: PQ/AB=6/2=3  QR/CB=12/4=3  PR/AC=15/5=3, Т.к. все отношения равны 3, то треугольники подобны	Третий признак подобия треугольников
Пример №2: Докажите, что два данных треугольника являются подобными и определите длины сторон PQ и PR.	Первый признак подобия
Пример №3: Определите длину AB в данном треугольнике.	Первый признак подобия
Пример №4:Определить длину AD (x) геометрической фигуры на рисунке. Треугольники ΔABC и ΔCDE являются подобными так как AB || DE и у них общий верхний угол C. Мы видим, что один треугольник является масштабированной версией другого. Однако нам нужно это доказать математически. AB || DE, CD || AC и BC || EC ∠BAC = ∠EDC и ∠ABC = ∠DEC Исходя из вышеизложенного и учитывая наличие общего угла C, мы можем утверждать, что треугольники ΔABC и ΔCDE подобны. Следовательно: x = AC — DC = 23,57 — 15 = 8,57

ТЕСТ

multiurok.ru

Урок 37. Решение задач на применение признаков подобия Δ

Поурочное планирование по геометрии для 8 класса. Ориентировано на работу с УМК Атанасян и др. Геометрия 8 класс. Глава VII. ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ. Урок 37. Решение задач на применение признаков подобия треугольников. Вернуться к Списку уроков Тематического планирования.

---

 

Урок 37. Решение задач на применение
признаков подобия треугольников

Основные дидактические цели урока: совершенствовать навыки решения задач на применение признаков подобия треугольников; подготовка учащихся к предстоящей контрольной работе.

Ход урока

I. Организационный момент.

Мотивация к учебной деятельности. (Учитель сообщает тему урока, формулирует цели урока.)

II. Анализ ошибок, допущенных в самостоятельной работе

1. Провести общий анализ контрольной работы.
2. Работа над ошибками. (На интерактивной доске записаны готовые ответы и указания к задачам контрольной работы. Учитель делит класс на группы в зависимости от того, какой уровень и вариант самостоятельной работы они выполняли. В одной группе должны быть учащиеся, выполнявшие один и тот же уровень и вариант. Учитель контролирует работу групп и по мере необходимости оказывает помощь.)

Ответы и указания к задачам самостоятельной работы:

I уровень сложности

 

II уровень сложности

lll уровень сложности

III. Решение задач

Решить задачи № 1—5. (Учитель делит класс на группы и по мере необходимости оказывает индивидуальную помощь.)

1. В прямоугольном треугольнике ABC ∠A = 40°, ∠B = 90°, а в треугольнике MNK углы М, N, К относятся как 5 : 9 : 4. АВ = 3 см, KN — 9 см. Найдите: а) ВС : КМ; б) S_ABC : S_MNK; в) P_ABC : P_MNK.
2. Дано: MN||АС, S_ABC : S_BMN = 49 : 25, MN = 20 см (рис. 7.50). Найти: АС.
3. В параллелограмме ABCD АЕ — биссектриса угла А. Стороны параллелограмма АВ и ВС относятся как 4 : 9. АЕ пересекает диагональ BD в точке К. Найдите отношение ВК : KD.
4. В трапеции ABCD основания ВС и AD равны 2 и 8 см, а диагональ АС равна 4 см. В каком отношении делит диагональ АС площадь трапеции?
5. Прямая MN пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках М и N соответственно так, что ВС = 2ВМ, АВ = 2BN, ВМ : BN = 3 : 5. Найдите: а) Р_АВС : P_NBM; б) S_ABC : S_NBM; в) MN : АС.

Краткое решение задач (ответы):

IV. Рефлексия учебной деятельности

1. Какие треугольники называются подобными?
2. Сформулируйте признаки подобия треугольников.
3. Чему равно отношение периметров, площадей подобных треугольников?
4. Сформулируйте свойство биссектрисы угла.

Домашнее задание

Решить задачи № 1—3 и дополнительно (по желанию учащихся) задачи № 4—5.

1. Диагонали четырехугольника ABCD АС и BD пересекаются в точке О так, что ОС = 5 см, ОВ = 6 см, ОА = 15 см, OD = 18 см. Докажите, что в четырехугольнике ABCD ВС||AD и найдите отношение треугольников AOD и ВОС.
2. Перпендикулярно высоте BD треугольника АВС проведена прямая, пересекающая стороны АВ и ВС в точках М и Р соответственно. Найдите АВ и отношение площадей треугольников МРВ и АВС, если известно, что ВМ = 7 см, ВР = 9 см, PC = 18 см.
3. Прямая EF пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках Е и F соответственно так, что ∠A + ∠EFC = 180°, а площадь четырехугольника AEFC относится к площади треугольника EBF как 16 : 9. Докажите, что треугольник BFE подобен треугольнику ВАС и найдите коэффициент подобия данных треугольников.
4. Диагональ BD четырехугольника ABCD является биссектрисой его угла, ВС • ВА = ВD². Докажите, что ∠BAD = ∠BDC. В каком отношении площадь четырехугольника делится его диагональю BD, если известно, что DC : AD = 3 : 2?
5. На стороне АС треугольника АВС отмечена точка К так, что ΔАВК ~ ΔАВС. Найдите АК, КС, ВК, если известно, что АВ : ВС : АС = 3 : 7 : 9, а периметр треугольника АВС равен 57 см.

 

---

Вы смотрели: Поурочное планирование по геометрии для 8 класса. УМК Атанасян и др. (Просвещение). Глава VII. ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ. Урок 37. Решение задач на применение признаков подобия треугольников.

Вернуться к Списку уроков Тематического планирования.

uchitel.pro

Задачи по школьной математике. Подобные треугольники

1. Две соответствующие стороны подобных треугольников равны 2 и 5. Площадь первого треугольника равна 8. Найдите площадь второго треугольника.
2. Площади двух подобных треугольников равны 50 и 32. Сумма их периметров равна 117. Найдите периметр каждого треугольника.
3. В подобных треугольниках ABC и KMN стороны AB и KM, BC и MN являются сходственными. Найдите стороны треугольника KMN, если AB = 4, BC = 5, CA = 7 и KM:AB=21:10.
4. Соответствующие стороны подобных треугольников относятся как 6:5. Площадь первого треугольника на 77 больше площади второго треугольника. Найдите площади треугольников.
5. Стороны данного треугольника равны 15, 20 и 30. Найдите стороны треугольника, подобного данному, если его периметр равен 26.
6. Основания трапеции равны 5 и 8. Боковые стороны, равные 3,6 и 3,9, продолжены до пересечения в точке M. Найдите расстояние от этой точки до концов меньшего основания.
7. В треугольнике ABC через точку пересечения медиан проведена прямая, параллельная стороне АС и пересекающая сторону АВ в точке D, сторону ВС в точке Е. Найдите отрезок DE, если AD + EC = 16, AD : EC = 3 : 5, периметр треугольника ABC равен 75.
8. Через точку D, взятую на стороне AB треугольника ABC, проведена прямая, параллельная стороне АС и пересекающая сторону BC в точке Е. Найдите АС, если AD + EC = a, BD + BE = b и DE = c.
9. На стороне AB треугольника ABC отложен отрезок BE, равный высоте BD треугольника. Через точку Е проведена прямая, параллельная АС и пересекающая высоту BD в точке К, сторону ВС в точке F. Найдите площадь треугольника ABC, если AE = 2, KD = 1,6 и FC = 3,4.
10. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=ВС) на стороне ВС отмечена точка D так, что BD:DC=1:4. В каком отношении прямая AD делит высоту BH треугольника ABC считая от вершины В?
11. Основание равнобедренного треугольника равно 2, а боковая сторона равна 3. Найдите расстояние между основаниями равных высот треугольника.

 

Метки задачи, подобные треугольники. Смотреть запись.

www.itmathrepetitor.ru

Учебно-методический материал по математике (9 класс): Решение геометрических задач ОГЭ по теме «Подобие треугольников»

Технологическая карта

Данилина Галина Алексеевна

 учитель математики МБОУ СОШ №4 город Льгов

Уровень образования: общеобразовательный класс

Тема:  Решение геометрических задач ОГЭ по теме «Подобие треугольников»

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

Форма проведения урока: фронтальная, индивидуальная, парная.

Время проведения: 14 ноября

Участники: учащиеся 9 класса МБОУ СОШ №4 г. Льгов.

Цель: — образовательные: применение подобия треугольников при проведении измерительных работ на местности, взаимосвязи теории с практикой; ознакомление учащихся с различными способами определения высоты предмета и расстояния до недоступного объекта; формирование умения применять полученные знания при решении разнообразных задач данного вида.

-воспитательные:  повышение коммуникативной активности учащихся,  создание благоприятных условий для проявления индивидуальности, выбора своей позиции, формирование умения аргументировано отстаивать свою точку зрения.

развивающие:

— Регулятивные УУД: умение  оценивать правильность выполнения действия на уровне адекватной  оценки; проговаривать последовательность действий на уроке; планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей;  вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок; высказывать своё предположение.

— Коммуникативные УУД:  умение оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других; совместно договариваться о правилах поведения и общения в школе и следовать им.

— Познавательные УУД: умение ориентироваться в своей системе знаний: отличать новое от уже известного с помощью учителя;

 добывать новые знания: находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке.

Планируемый результат обучения, в том числе и формирование УУД:

Личностные: уметь проводить самооценку на основе критерия успешности учебной деятельности.

Метапредметные: работа над понятием информация-знание; развивать познавательную деятельность учащихся.

Предметные: понимать, что такое подобие, отношение, пропорция,уметь использовать данные понятия при решении  стандартных заданий.

Познавательные УУД: умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, умозаключение.

Коммуникативные УУД: умение находить общее решение и решать конфликты на основе согласования позиций и учета интересов.

Регулятивные УУД:  умение адекватно оценивать правильность или ошибочность выполнения учебной задачи.

Личностные УУД:  способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений.

Основные понятия: подобие, признаки подобия, пропорция, отношение, площадь треугольника, равновеликие фигуры.

Межпредметные связи: математика

Ресурсы: Геометрия, 8 класс ( базовый учебник – Погорелов А. В., Геометрия 7-9 классы,- М.: Просвещение, 2010)

    омпьютер, проектор, презентация подготовленная учителем,  ЦОР из Единой коллекции,раздаточный материал, детские игрушки, посуда.

Технологическая карта урока

Содержание учебного материала. Деятельность учителя	Деятельность обучающихся	ФОУД	Формирование УУД
1-й этап.  Организационный. Цель этапа: настроить   учащихся к учебной деятельности.
Приветствие Проверка готовности учащихся к уроку Настрой учащихся на работу	Активное слушание, взаимодействие с учителем.	Ф	П. Формулирование собственных ожиданий. Р. Проявление эмоционального отношения в учебно-познавательной деятельности.
2-й этап. Актуализация знаний. Цель этапа: актуализировать мыслительные операции.
Организует устную фронтальную работу, демонстрирует задания с использованием слайдовой презентации. Постановка проблемы: Выявить связь между геометрическими представлениями подобия и   алгебраическими вычислениями(ориентированное на ОГЭ)	Взаимодействуют с учителем во время опроса, участвуют в принятии решений. Выявляют место затруднения. Проговаривают причину. Работали активно, все были включены в работу.	Ф И	П. Учатся извлекать информацию из иллюстраций, умение формулировать проблему. К. Учатся слушать, вести диалог в соответствии целями и задачами общения. Р. Умение слушать в соответствии с целевой установкой, дополнять, уточнять высказанные мнения. Л. Осуществляют актуализацию личного жизненного опыта.
3-й этап. Изучение нового материала. Цель этапа: рассмотреть решение геометрической задачи на подобие треугольников алгебраическим методом.
1. Организует исследование. Вспомним, основную теорию 2.Организует проверку  анализа и вывода гипотез	Выполняя задания в соответствии с этим планом, ученики все промежуточные действия и конечные выводы записывают в тетради. Взаимодействуют с учителем, записывают в тетради информацию из лекции. Работали активно, все были включены в работу.	ФИ	П. Самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели, поиск и выделение необходимой информации, осознанное  построение речевого высказывания в устной и письменной форме. Анализ и синтез информации. Самостоятельное создание способов решения проблем  поискового характера. К. Планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками,  умение  полно и точно выражать свои мысли. Р. Постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено, и того, что ещё неизвестно. Прогнозирование, контроль, коррекция, саморегуляция. Л. Постепенное накопление учащимися информации (от простого к сложному), установление связи между целью учебной деятельности и её мотивом.
4-й этап. Первичная проверка и понимание изученного. Цель этапа: рассмотреть применение алгебраического метода при решении геометрических задач на подобие треугольников
Давайте закрепим полученную информацию на практике.  Устно выполнить предложенные задания	Ответы учащихся  (устная работа) Работа с учебником. Работали активно, все были включены в работу.	Ф	П. Выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий. К. Планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками,  умение  полно и точно выражать свои мысли. Р. Прогнозирование, контроль, коррекция, саморегуляция.
5-й этап. Физкультминутка. Цель этапа: предупреждение утомляемости учащихся.
Проводит физкультминутку. (презентация)	Выполняют гимнастику.
6-й этап. Закрепления и применения изученного. Цель этапа:при решении задач отработать  применение полученных навыков
Организует решение упражнений, выбранных из тестов подготовки к ОГЭ	Обсуждение задач в группах. Демонстрация решения. Работали активно.	Ф И	П. Выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий. Осознанное построение речевого высказывания в устной и письменной форме; построение логической цепочки рассуждений. К. Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли. Р. Прогнозирование, контроль, коррекция, саморегуляция. Л. Личностное самоопределение, установление обучающимися связи между целью учебной деятельности и её мотивом (смыслообразование), оценивание усваиваемого содержания.
7-й этап. Применение знаний в новой ситуации . Цель этапа: умение применить  знания в новой ситуации.
Обучающимся предлагаются задания из вариантов ОГЭ для работы в парах.  Учитель демонстрирует слайды презентации, координирует работу обучающихся, консультирует их. Решение задач на клетчатой бумаге.	Выстраивают систему аргумен-тов для убеждения, продумыва-ют ответы и обсуждают их с соседом по парте. Сравнивают свое решение с образцом, находят и исправляют ошибки. Все были включены в работу.	П И	П. Развитие и углубление потребностей и мотивов учебно-познавательной деятельности. К. Взаимодействуют с соседом по парте, учитывают позицию собеседника, осуществляют сотрудничество и кооперацию с учителем и одноклассником. Р. Оценивают предложенные варианты, выбирают наиболее точный.  Происходит восприятие, осмысление, запоминания материала.
8-й этап. Итогово-оценочный. Цель этапа: организовать целостное осмысление и обобщение полученной информации, проведение самооценки учениками работы на уроке.
1.  Мотивирует обучающихся к самоанализу деятельности и проектированию дальнейшего продвижения в изучении темы. Организует обсуждение достижений, ставя заранее подготовленные вопросы. 2.  Объявляет свою оценку и обосновывает ее. Делает рекомендации. 3. Предлагает и объясняет домашнего задания.	Участвуют в беседе по обсуждению достижений, отвечая на вопросы учителя, делают выводы. Оценивает каждый сам себя. Записывают  задания.	Ф	П.  Самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели, поиск и выделение необходимой информации. К.   Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли. Разрешение конфликтов. Р. Прогнозирование, саморегуляция. Л.  Личностное самоопределение, смыслообразование.
9-й этап. Рефлексия учебной деятельности.
Организует рефлексию и самооценку учениками собственной учебной деятельности. Продолжите фразы: «Сегодня на уроке я узнал…» «Мне было труднее всего…» «Самым полезным для меня было…»	Отвечают на вопросы учителя. Делают самооценку Все были включены в работу.	Ф	П. Поиск и выделение необходимой информации, построение речевого высказывания в устной форме. Анализ и синтез информации. К. Умение полно и точно выражать свои мысли. Разрешение конфликтов. Р. Прогнозирование, саморегуляция. Уметь оценивать правильность выполнения действия на уровне адекватной  оценки. Л.  Нравственно-этическая ориентация, в том числе, и оценивание усваиваемого содержания. Способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности.

ФОУД – форма организации учебной деятельности обучающихся (Ф – фронтальная, И – индивидуальная, П – парная, Г – групповая).

Работа обучающихся на уроке (указать активность, меру занятости): обучающиеся работали активно, все были включены в работу.

Дифференциация и индивидуализация обучения (подчеркнуть): присутствовала/отсутствовала.

Оценка достижения целей урока: урок достиг поставленных целей.

 Примечание

Сокращения, используемые в столбце формируемые УУД (универсальные учебные действия):

П – познавательные

Л – личностные

К – коммуникативные

Р – регулятивные 

---

---

                

---

---

---

---

---

---

nsportal.ru