Дроби со степенью: Возведение дроби в степень — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 07.08.201917.04.2021 by alexxlab

0=1;\)

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Содержание

Возведение дроби в степень Арифметика

Привет, мой друг, тебе интересно узнать все про возведение дроби в степень, тогда с вдохновением прочти до конца. Для того чтобы лучше понимать что такое возведение дроби в степень , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Арифметика

При возведении в степень дроби нужно возвести в степень и числитель, и знаменатель.

Данное свойство соответствует другой записи свойства № 5 «Степень частного», расмотренного на предыдущей странице.

Примеры возведения в степень дроби.

возведение в степень дробь» / >

( )² = = =

Как возвести в степень смешанное число

Чтобы возвести в степень смешанное число, сначала избавляемся от целой части, превращая смешанное число в неправильную дробь . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . После этого возводим в степень и числитель, и знаменатель.

Пример.

Формулу возведения в степень дроби применяют как слева направо, так и справа налево, то есть, чтобы разделить друг на друга степени одинаковыми показателями, можно разделить одно основание на другое, а показатель степени оставить неизменным.

Пример. Найти значение выражения рациональным способом.

На нашем сайте вы также можете проверить свои вычисления ивозвести число в степень онлайн.

Пожалуйста, пиши комментарии, если ты обнаружил что-то неправильное или если ты желаешь поделиться дополнительной информацией про возведение дроби в степень Надеюсь, что теперь ты понял что такое возведение дроби в степень и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то нестесняся пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу.

Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Арифметика

Отрицательная степень чисел и дробей

Что такое степень числа

В учебниках по математике можно встретить такое определение:

«Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд»

где

a — основание степени

n — показатель степени

Соответственно, aⁿ= a · a · a · a… · a

Читается такое выражение, как a в степени n

Если говорить проще то, степень, а точнее показатель степени (n), говорит нам о том, сколько раз следует умножить данное число (основание степени) на само себя.

А значит, если у нас есть задачка, где спрашивают, как возвести число в степень, например число 2, то она решается довольно просто:

2³ = 2 · 2 · 2, где
2 — основание степени
3 — показатель степени

Действия, конечно, можно выполнять и на калькуляторе. Их выбор велик, а доступность иногда на расстоянии одного клика в онлайн. Всё это безусловно можно использовать, но сейчас нам важно подробно разобрать принцип работы, чтобы не упасть в грязь лицом на контрольной по математике.

Таблица степеней

Здесь мы приведем результаты возведения в степень натуральных чисел от 1 до 10 в квадрат (показатель степени два) и куб (показатель степени 3).

Число	Вторая степень	Третья степень
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	729
10	100	1000

Свойства степеней: когда складывать, а когда вычитать

Степень в математике с натуральным показателем имеет несколько важных свойств, которые позволяют упрощать вычисления.

Всего их пять штук — ниже мы их рассмотрим.

Свойство 1: произведение степеней

При умножении степеней с одинаковыми основаниями, основание мы оставляем без изменений, а показатели степеней складываем:

a — основание степени

m, n — показатели степени, любые натуральные числа.

Свойство 2: частное степеней

Когда мы делим степени с одинаковыми основаниями, то основание остается без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

a — любое число, не равное нулю

m, n — любые натуральные числа такие, что m > n

Свойство 3: возведение степени в квадрат

Когда возводим степень в степень, то основание степени остается неизмененным, а показатели степеней умножаются друг на друга.

a — основание степени (не равное нулю)

m, n — показатели степени, натуральное число

Свойство 4: степень возведения

При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.

a, b — основание степени (не равное нулю)

n — показатели степени, натуральное число

Свойство 5: степень частного

Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

a, b — основание степени (не равное нулю), любые рациональные числа, b ≠ 0,

n — показатель степени, натуральное число

Степень с показателем 0

Любое целое a ≠ 0 в степени 0 равно 1.

Выражение 0 в степени 0 многие математики считают лишенным смысла, так график функции f (x, у) = xy прерывается в точке (0;0).

Степень с отрицательным показателем

Число в минусовой степени равно дроби, числителем которой является единица, а знаменателем данное число с положительным показателем:

К примеру, 4 в минус 2 степени — это 1/42, 2 в минус 3 степени — это 1/23, 3 в минус 1 степени — это 1/3, 10 в минус первой степени — это 1/10 (0,1).

Примеры

Степени с отрицательным показателям помогают компактно записывать крайне малые или постоянно уменьшающиеся величины. Например, одну миллиардную долю (0, 000 000 001) можно записать как 10 в минус 9 степени (10-9). В школьной программе такие величины редкость: чаще всего используют 10 в минус 1 степени или 2 в минус 1 степени.

Чтобы разобраться, как возводить число в отрицательную степень, вспомним правило деления степеней с одинаковыми основаниями.

Деление степеней с разными основаниями, но одинаковыми показателями осуществляется по следующей формуле: показатели отнимаются, а основание остается неизменным.

Поэтому если степень делимого будет меньше степени делителя, то в результате получится число с отрицательной степенью:

a³ a⁶=a

3 — 6 = a^-3

Если записать деление в виде дроби, то при сокращении в числителе останется 1, а в знаменателе число будет иметь положительную степень:

Действия с отрицательными степенями

Умножение отрицательных степеней

При умножении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются:

a^m · aⁿ = a^{m + n}

Примеры

Деление отрицательных степеней

При делении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитается показатель делителя:

Примеры

Возведение дроби в отрицательную степень

Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, надо возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель:

Возведение произведения в отрицательную степень

Чтобы возвести произведение в отрицательную степень, необходимо возвести в эту степень каждый множитель произведения отдельно:

У нас есть отличная статья на тему — формулы сокращенного умножения, тебе стоит повторить ее!

Подготовиться к сложной контрольной ребенку помогут в детской онлайн-школе Skysmart. Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой и онлайн-доска, где можно рисовать и чертить вместе с преподавателем.

Запишите ребенка на бесплатный вводный урок математики и начните заниматься с удовольствием уже завтра.

Урок 11. умножение дробей. возведение в степень — Алгебра — 8 класс

Тема: Умножение дробей. Возведение дроби в степень

Содержание модуля (краткое изложение модуля):

Чтобы перемножить обыкновенные дроби, необходимо перемножить их числители, затем перемножить их знаменатели, и первое произведение записать в числитель, а второе – в знаменатель.
Пример:

1/3 • 5/7 = (1 • 5)/(3 • 7) = 5/21

Чтобы перемножить рациональные дроби, необходимо перемножить их числители, затем перемножить их знаменатели, и первое произведение записать в числитель, а второе – в знаменатель.

a/b • c/d = (a • c)/(b • d) = ac/bd, где

a, b, c и d – многочлены, причем b и d – ненулевые многочлены.
Пример 1:

a²/4c • c²/a = (a² • c²)/4ca = ac/4

Пример 2:

(a + b)/a • b/(a² + 2ab + b²) = (a + b)b/(a(a² + 2ab + b²)) = (a + b)b/(a(a + b)²) = b/(a(a + b))

Пример 3:

(a + b)/(

a — b) • (a — b)² = (a + b)/(a — b) • (a — b)²/1 = (a + b)(a — b) = a² — b²

Прежде чем перемножать числители и знаменатели проверьте нельзя ли сократить дроби.

Сокращение дробей при расчётах значительно облегчит вычисления.
Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень числитель, а затем возвести в эту степень знаменатель дроби. Первый результат записать в числитель, а второй – в знаменатель.
Пример:

(a²/b³)⁴= (a²)⁴/(b³)⁴ = a⁸/b¹²

Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.

Умножение дробей. Возведение дроби в степень

Для начала давайте вспомним правило умножения обыкновенных дробей.

Для того чтобы умножить дробь на дробь, надо числитель умножить на числитель, а знаменатель на знаменатель и первое произведение записать в числителе новой дроби, второе – в знаменателе.

Например

Аналогичным образом происходит умножение рациональных дробей. Давайте докажем, что это правило на самом деле действует при умножении рациональных дробей.

Иначе говоря, докажем, что произведение двух рациональных дробей тождественно равно дроби, у которой числитель равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей перемножаемых дробей при любых допустимых значениях переменных, кроме b равное нулю и d равное нулю.

Получили, что равенство верно при любых допустимых значениях переменных, т. е. является тождеством.

Правило умножения рациональных дробей:

Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем дроби.

В буквенном виде это правило записывают так:

Это правило выполняется и когда произведение трёх и более рациональных дробей.

Прежде чем выполнять умножение рациональных дробей, полезно их числители и знаменатели разложить на множители. Это облегчит сокращение той рациональной дроби, которая получится в результате умножения.

Пример 1: умножить дроби.

Решение:

Пример 2: умножить дроби.

Решение:

Пример 3: Представить произведение дробей в виде рациональной дроби.

Решение:

Пример 4: выполнить умножение.

Решение:

Теперь рассмотрим, как выполняется возведение рациональной дроби в степень.

Проверим это равенство на конкретных примерах.

Правило возведения рациональной дроби в степень:

Чтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степень числитель и знаменатель и первый результат записать в числителе, а второй в знаменателе дроби.

Пример 5: возвести в третью степень дробь.

Пример 6: возвести во вторую степень дробь.

Пример 7:

Итоги

Чтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степень числитель и знаменатель и первый результат записать в числителе, а второй в знаменателе дроби.

Степень обыкновенная дробь. Возведение алгебраической дроби в степень: правило, примеры

На уроке будет рассмотрен более обобщенный вариант умножения дробей — это возведение в степень. Прежде всего, речь будет идти о натуральной степени дроби и о примерах, демонстрирующих подобные действия с дробями. В начале урока, также, мы повторим возведение в натуральную степень целых выражений и увидим, каким образом это пригодится для решения дальнейших примеров.

Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями

Урок: Возведение алгебраической дроби в степень

1. Правила возведения дробей и целых выражений в натуральную степень с элементарными примерами

Правило возведения обыкновенных и алгебраических дробей в натуральную степень:

Можно провести аналогию со степенью целого выражения и вспомнить, что понимается под возведением его в степень:

Пример 1. .

Как видно из примера, возведение дроби в степень — это частный случай умножения дробей, что изучалось на предыдущем уроке.

Пример 2. а) , б) — минус уходит, т. к. мы возвели выражение в четную степень.

Для удобства работы со степенями вспомним основные правила возведения в натуральную степень:

— произведение степеней;

— деление степеней;

Возведение степени в степень;

Степень произведения.

Пример 3. — это известно нам еще с темы «Возведение в степень целых выражений», кроме одного случая: не существует.

2. Простейшие примеры на возведение алгебраических дробей в натуральную степень

Пример 4. Возвести дробь в степень .

Решение. При возведении в четную степень минус уходит:

Пример 5. 1 = 329

Если n = 2, тогда степень квадратом, если n = 3, степень называют кубом. Вычисление квадрата и куба из чисел первого десятка производить достаточно легко. Но с увеличением числа , возводимого в степень, и с увеличением самой степени, вычисления становятся трудоемкими. Для таких вычислении были разработаны специальные таблицы. Также существуют специальные инженерные и online калькуляторы, программные продукты. В качестве простейшего программного для операций со можно использовать табличный редактор Excel.

Источники:

http://www.bymath.net/studyguide/alg/sec/alg17.html

При решении некоторых технических задач бывает нужно посчитать корень третьей степени . Иногда это число еще называют кубическим корнем. Корнем третьей степени из данного числа называют такое число, куб (третья степень) которого равняется данному. То есть если y – корень третьей степени числа x, то должно выполняться условие: y?=x (икс равно игрек куб).

Вам понадобится

калькулятор или компьютер

Инструкция

Чтобы посчитать корень степени , воспользуйтесь калькулятором. Желательно, чтобы это был не обычный , а калькулятор, используемый для инженерных расчетов. Однако даже на таком вы не найдете специальную кнопку для извлечения корня третьей степени . Поэтому используйте функцию для возведения числа в степень. Извлечению корня третьей степени соответствует возведение в степень 1/3 (одна треть).

Для возведения числа в степень 1/3 наберите на клавиатуре калькулятора само число. После чего нажмите на клавишу «возведение в степень». Такая кнопка, в зависимости от типа калькулятора, может выглядеть как xy (у – в виде верхнего индекса). Так как в большинстве калькуляторов нет возможности работать с обычными (недесятичными) , то вместо числа 1/3 наберите его приблизительное значение: 0,33. Чтобы получить большую точность вычислений, необходимо увеличить количество «троек», например, набрать 0,33333333333333. y.

Если корень третьей степени приходится систематически, то воспользуйтесь программой MS Excel. Чтобы посчитать корень третьей степени в «Екселе», введите в любую клетку знак «=», а затем, выберите «fx» — вставка функции. В появившемся окошке в списке «Выберите функцию» выберите строку «СТЕПЕНЬ». Нажмите кнопку «Ок». Во вновь появившемся окошке введите в строку «Число» значение числа, из которого нужно извлечь корень . В строку «Степень» введите число «1/3» и нажмите «Ок». В таблицы появится искомое значение кубического корня из исходного числа.

В технических расчетах и при решении многих задач иногда требуется корень , то есть найти такое число, куб которого равен исходному. Для подсчета значения кубического корня достаточно инженерного калькулятора. Однако даже на таком калькуляторе нет специальной клавиши для вычисления кубического корня. Но используя некоторые нехитрые приемы, можно обойтись и без такой кнопки.

Вам понадобится

инженерный калькулятор или компьютер

Инструкция

Для того чтобы найти кубический корень с помощью калькулятора, возьмите инженерный и наберите на нем исходное число. Затем, нажмите на кнопку возведения в степень. Теперь введите значение показателя . В данном случае он (теоретически) должен равняться 1/3. Но, так как использование обыкновенных дробей даже на инженерном калькуляторе затруднительно, то наберите округленное значение числа 1/3, то есть: 0,33. Затем нажмите на кнопку «=». На индикаторе калькулятора появится искомое значение. Чтобы получить более точное значение, набирайте не две тройки, а , например, 0,333333333333.

Чтобы посчитать кубический корень на компьютере, запустите программу «калькулятор». Если соответствующего значка нет на рабочем столе, проделайте следующее:
— нажмите кнопку «Пуск»;
— выберите пункт меню «Выполнить»;
— введите в появившемся окошке строку «calc».Если появившийся на рабочем столе калькулятор имеет обычный вид (напоминающий «бухгалтерский калькулятор»), то переведите его в режим выполнения расчетов. y». Далее наберите , например, 0,33. Для получения более точного результата, можно набрать более значение показателя степени, например, 0,333333333333. Чтобы получить точный результат, введите показатель степени «1/3» в скобках. То есть нажмите последовательно клавиши «(1/3)».

Расчет в программе Excel. Запустите саму программу, нажмите кнопку «=» и выберите функцию «СТЕПЕНЬ». Затем введите то число, из которого требуется извлечь корень степени. После чего, в следующей появившегося окошка наберите дробь «1/3» и нажмите кнопку «Ок».

Видео по теме

Источники:

как вычислять кубические корни

При решении арифметических и алгебраических задач иногда требуется возвести дробь в квадрат . Проще всего это сделать, когда дробь десятичная – достаточно обычного калькулятора. Однако если дробь обыкновенная или смешанная, то при возведении такого числа в квадрат могут возникнуть некоторые затруднения.

Мы разобрались, что вообще из себя представляет степень числа. Теперь нам надо понять, как правильно выполнять ее вычисление, т.е. возводить числа в степень. В этом материале мы разберем основные правила вычисления степени в случае целого, натурального, дробного, рационального и иррационального показателя. Все определения будут проиллюстрированы примерами.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Понятие возведения в степень

Начнем с формулирования базовых определений.

Определение 1

Возведение в степень — это вычисление значения степени некоторого числа.

То есть слова «вычисление значение степени» и «возведение в степень» означают одно и то же. Так, если в задаче стоит «Возведите число 0 , 5 в пятую степень», это следует понимать как «вычислите значение степени (0 , 5) 5 .

Теперь приведем основные правила, которым нужно придерживаться при таких вычислениях.

Вспомним, что такое степень числа с натуральным показателем. Для степени с основанием a и показателем n это будет произведение n -ного числа множителей, каждый из которых равен a . Это можно записать так:

Чтобы вычислить значение степени, нужно выполнить действие умножения, то есть перемножить основания степени указанное число раз. На умении быстро умножать и основано само понятие степени с натуральным показателем. Приведем примеры.

Пример 1

Условие: возведите — 2 в степень 4 .

Решение

Используя определение выше, запишем: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) . Далее нам нужно просто выполнить указанные действия и получить 16 .

Возьмем пример посложнее.

Пример 2

Вычислите значение 3 2 7 2

Решение

Данную запись можно переписать в виде 3 2 7 · 3 2 7 . Ранее мы рассматривали, как правильно умножать смешанные числа, упомянутые в условии.

Выполним эти действия и получим ответ: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Если в задаче указана необходимость возводить иррациональные числа в натуральную степень, нам потребуется предварительно округлить их основания до разряда, который позволит нам получить ответ нужной точности. Разберем пример.

Пример 3

Выполните возведение в квадрат числа π .

Решение

Для начала округлим его до сотых. Тогда π 2 ≈ (3 , 14) 2 = 9 , 8596 . Если же π ≈ 3 . 14159 , то мы получим более точный результат: π 2 ≈ (3 , 14159) 2 = 9 , 8695877281 .

Отметим, что необходимость высчитывать степени иррациональных чисел на практике возникает сравнительно редко. Мы можем тогда записать ответ в виде самой степени (ln 6) 3 или преобразовать, если это возможно: 5 7 = 125 5 .

Отдельно следует указать, что такое первая степень числа. Тут можно просто запомнить, что любое число, возведенное в первую степень, останется самим собой:

Это понятно из записи .

От основания степени это не зависит.

Пример 4

Так, (− 9) 1 = − 9 , а 7 3 , возведенное в первую степень, останется равно 7 3 .

Для удобства разберем отдельно три случая: если показатель степени — целое положительное число, если это ноль и если это целое отрицательное число.

В первое случае это то же самое, что и возведение в натуральную степень: ведь целые положительные числа принадлежат ко множеству натуральных. О том, как работать с такими степенями, мы уже рассказали выше.

Теперь посмотрим, как правильно возводить в нулевую степень. При основании, которое отличается от нуля, это вычисление всегда дает на выходе 1 . Ранее мы уже поясняли, что 0 -я степень a может быть определена для любого действительного числа, не равного 0 , и a 0 = 1 .

Пример 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 — не определен.

У нас остался только случай степени с целым отрицательным показателем. Мы уже разбирали, что такие степени можно записать в виде дроби 1 a z , где а — любое число, а z — целый отрицательный показатель. Мы видим, что знаменатель этой дроби есть не что иное, как обыкновенная степень с целым положительным показателем, а ее вычислять мы уже научились. Приведем примеры задач.

Пример 6

Возведите 3 в степень — 2 .

Решение

Используя определение выше, запишем: 2 — 3 = 1 2 3

Подсчитаем знаменатель этой дроби и получим 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8 .

Тогда ответ таков: 2 — 3 = 1 2 3 = 1 8

Пример 7

Возведите 1 , 43 в степень — 2 .

Решение

Переформулируем: 1 , 43 — 2 = 1 (1 , 43) 2

Вычисляем квадрат в знаменателе: 1,43·1,43. Десятичные дроби можно умножить таким способом:

В итоге у нас вышло (1 , 43) — 2 = 1 (1 , 43) 2 = 1 2 , 0449 . Этот результат нам осталось записать в виде обыкновенной дроби, для чего необходимо умножить ее на 10 тысяч (см. материал о преобразовании дробей).

Ответ: (1 , 43) — 2 = 10000 20449

Отдельный случай — возведение числа в минус первую степень. Значение такой степени равно числу, обратному исходному значению основания: a — 1 = 1 a 1 = 1 a .

Пример 8

Пример: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 — 1 = 13 9 6 4 — 1 = 1 6 4 .

Как возвести число в дробную степень

Для выполнения такой операции нам потребуется вспомнить базовое определение степени с дробным показателем: a m n = a m n при любом положительном a , целом m и натуральном n .

Определение 2

Таким образом, вычисление дробной степени нужно выполнять в два действия: возведение в целую степень и нахождение корня n -ной степени.

У нас есть равенство a m n = a m n , которое, учитывая свойства корней, обычно применяется для решения задач в виде a m n = a n m . Это значит, что если мы возводим число a в дробную степень m / n , то сначала мы извлекаем корень n -ной степени из а, потом возводим результат в степень с целым показателем m .

Проиллюстрируем на примере.

Пример 9

Вычислите 8 — 2 3 .

Решение

Способ 1. Согласно основному определению, мы можем представить это в виде: 8 — 2 3 = 8 — 2 3

Теперь подсчитаем степень под корнем и извлечем корень третьей степени из результата: 8 — 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Способ 2. Преобразуем основное равенство: 8 — 2 3 = 8 — 2 3 = 8 3 — 2

После этого извлечем корень 8 3 — 2 = 2 3 3 — 2 = 2 — 2 и результат возведем в квадрат: 2 — 2 = 1 2 2 = 1 4

Видим, что решения идентичны. Можно пользоваться любым понравившимся способом.

Бывают случаи, когда степень имеет показатель, выраженный смешанным числом или десятичной дробью. Для простоты вычислений его лучше заменить обычной дробью и считать, как указано выше.

Пример 10

Возведите 44 , 89 в степень 2 , 5 .

Решение

Преобразуем значение показателя в обыкновенную дробь — 44 , 89 2 , 5 = 49 , 89 5 2 .

А теперь выполняем по порядку все действия, указанные выше: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501 , 25107

Ответ: 13 501 , 25107 .

Если в числителе и знаменателе дробного показателя степени стоят большие числа, то вычисление таких степеней с рациональными показателями — довольно сложная работа. Для нее обычно требуется вычислительная техника.

Отдельно остановимся на степени с нулевым основанием и дробным показателем. Выражению вида 0 m n можно придать такой смысл: если m n > 0 , то 0 m n = 0 m n = 0 ; если m n

Как возвести число в иррациональную степень

Необходимость вычислить значение степени, в показателе которой стоит иррациональное число, возникает не так часто. На практике обычно задача ограничивается вычислением приблизительного значения (до некоторого количества знаков после запятой). Обычно это считают на компьютере из-за сложности таких подсчетов, поэтому подробно останавливаться на этом не будем, укажем лишь основные положения.

Если нам нужно вычислить значение степени a с иррациональным показателем a , то мы берем десятичное приближение показателя и считаем по нему. Результат и будет приближенным ответом. Чем точнее взятое десятичное приближение, тем точнее ответ. Покажем на примере:

Пример 11

Вычислите приближенное значение 21 , 174367 ….

Решение

Ограничимся десятичным приближением a n = 1 , 17 . Проведем вычисления с использованием этого числа: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Если же взять, к примеру, приближение a n = 1 , 1743 , то ответ будет чуть точнее: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1 , 1743 ≈ 2 , 256833 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Вам понадобится

калькулятор, компьютер, приложение Excel.

Инструкция

Чтобы возвести десятичную дробь в квадрат , возьмите инженерный , наберите на нем возводимую в квадрат дробь и нажмите на клавишу возведения во вторую степень. На большинстве калькуляторов эта кнопка обозначена как «х²». На стандартном калькуляторе Windows функция возведения в квадрат выглядит как «x^2». Например, квадрат десятичной дроби 3,14 будет равен: 3,14² = 9,8596.

Чтобы возвести в квадрат десятичную дробь на обычном (бухгалтерском) калькуляторе, умножьте это число само на себя. Кстати, в некоторых моделях калькуляторов предусмотрена возможность возведения числа в квадрат даже при отсутствии специальной кнопки. Поэтому предварительно ознакомьтесь с инструкцией к конкретному калькулятору. Иногда «хитрого» возведения в степень приведены на задней крышке или на калькулятора. Например, на многих калькуляторах для возведения числа в квадрат достаточно нажать кнопки «х» и «=».

Для возведения в квадрат обыкновенной дроби (состоящей из числителя и знаменателя), возведите в квадрат по отдельности числитель и знаменатель этой дроби. То есть воспользуйтесь следующим правилом:(ч / з)² = ч² / з², где ч – числитель дроби, з – знаменатель дроби.Пример: (3/4)² = 3²/4² = 9/16.

Если возводимая в квадрат дробь – смешанная (состоит из целой части и обыкновенной дроби), то предварительно приведите ее к обыкновенному виду. То есть примените следующую формулу:(ц ч/з)² = ((ц*з+ч) / з)² = (ц*з+ч)² / з², где ц – целая часть смешанной дроби.Пример: (3 2/5)² = ((3*5+2) / 5)² = (3*5+2)² / 5² = 17² / 5² = 289/25 = 11 14/25.

Если в квадрат (не ) дроби приходится постоянно, то воспользуйтесь программой MS Excel. Для этого введите в одну из таблицы следующую формулу: =СТЕПЕНЬ(A2;2) где А2 – адрес ячейки, в которую будет вводиться возводимая в квадрат дробь .Чтобы сообщить программе, что с вводимым числом необходимо обращаться как дробь ю (т.е. не преобразовывать ее в десятичный вид), наберите перед дробь ю цифру «0» и знак «пробел». То есть для ввода, например, дроби 2/3 нужно ввести: «0 2/3» (и нажать Enter). При этом в строке ввода отобразится десятичное представление введенной дроби. Значение и представление дроби непосредственно в сохранится в исходном виде. n )} = \frac{1}{ab} $$

Исчисление II — частичные дроби

Показать мобильное уведомление Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана (, т.е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 1-4: Частичные дроби

В этом разделе мы собираемся взглянуть на интегралы рациональных выражений многочленов и еще раз начнем этот раздел с интеграла, который мы уже можем сделать, чтобы мы могли сопоставить его с интегралами, которые мы будем делать в этом разделе. раздел.2} — x — 6}} \, dx}} & = \ int {{\ frac {4} {{x — 3}} \, — \ frac {1} {{x + 2}} dx}} \ \ & = 4 \ ln \ left | {x — 3} \ right | — \ ln \ left | {x + 2} \ right | + c \ end {align *} \]

Этот процесс взятия рационального выражения и его разложения на более простые рациональные выражения, которые мы можем складывать или вычитать, чтобы получить исходное рациональное выражение, называется разложением частичной дроби . Многие интегралы, включающие рациональные выражения, могут быть получены, если мы сначала сделаем дроби под интегралом.

Итак, давайте сделаем быстрый обзор неполных дробей. Начнем с рационального выражения в форме

\ [f \ left (x \ right) = \ frac {{P \ left (x \ right)}} {{Q \ left (x \ right)}} \]

, где оба \ (P \ left (x \ right) \) и \ (Q \ left (x \ right) \) являются полиномами, а степень \ (P \ left (x \ right) \) меньше, чем степень \ (Q \ left (x \ right) \). k}}} \), \ (k = 1,2,3, \ ldots \)

Обратите внимание, что первый и третий случаи на самом деле являются частными случаями второго и четвертого случаев соответственно.2} — x — 6}} \, dx}} \] Показать решение

Первый шаг — максимально разложить знаменатель на множители и получить форму разложения на частичные дроби. Это дает

\ [\ frac {{3x + 11}} {{\ left ({x — 3} \ right) \ left ({x + 2} \ right)}} \, = \ frac {A} {{x — 3 }} + \ frac {B} {{x + 2}} \]

Следующим шагом будет добавление правой стороны.

\ [\ frac {{3x + 11}} {{\ left ({x — 3} \ right) \ left ({x + 2} \ right)}} \, = \ frac {{A \ left ({x + 2} \ right) + B \ left ({x — 3} \ right)}} {{\ left ({x — 3} \ right) \ left ({x + 2} \ right)}} \]

Теперь нам нужно выбрать \ (A \) и \ (B \) так, чтобы числители этих двух были равны для каждого \ (x \).Для этого нам нужно установить числители равными.

\ [3x + 11 = A \ влево ({x + 2} \ right) + B \ left ({x — 3} \ right) \]

Обратите внимание, что в большинстве задач мы сразу перейдем от общей формы разложения к этому шагу и не будем беспокоиться о фактическом добавлении терминов. Единственное, что нужно для добавления терминов, — это получить числитель, и мы можем получить его, фактически не записывая результаты сложения.

На данный момент у нас есть один из двух способов продолжить.Один способ всегда будет работать, но зачастую это больше работы. Другой, хотя он не всегда работает, часто оказывается быстрее, когда он действительно работает. В этом случае оба будут работать, поэтому мы воспользуемся более быстрым способом для этого примера. Мы рассмотрим другой метод в следующем примере.

Здесь мы собираемся заметить, что числители должны быть равны для любых x , которые мы хотели бы использовать. В частности, числители должны быть равны для \ (x = — 2 \) и \ (x = 3 \).Итак, давайте подключим их и посмотрим, что у нас получится.

\ [\ begin {align *} x & = — 2: & \ hspace {0,5 дюйма} 5 & = A \ left (0 \ right) + B \ left ({- 5} \ right) & \ hspace {0,25 дюйма } & \ Rightarrow & \ hspace {0,25 дюйма} B & = — 1 \\ x & = 3 \, \, \, \ ,: & \ hspace {0,5 дюйма} 20 & = A \ left (5 \ right) + B \ left (0 \ right) & \ hspace {0,25 дюйма} & \ Rightarrow & \ hspace {0,25 дюйма} A & = 4 \ end {align *} \]

Итак, осторожно выбрав \ (x \), мы получили неизвестные константы, которые быстро выпали.2} — x — 6}} \, dx}} & = \ int {{\ frac {4} {{x — 3}} \, — \ frac {1} {{x + 2}} dx}} \ \ & = \ int {{\ frac {4} {{x — 3}} \, dx}} — \ int {{\ frac {1} {{x + 2}} dx}} \\ & = 4 \ ln \ left | {x — 3} \ right | — \ ln \ left | {x + 2} \ right | + c \ end {align *} \]

Напомним, что для получения этого интеграла мы сначала разбили его на два интеграла, а затем использовали подстановки:

\ [u = x — 3 \ hspace {0,5 дюйма} v = x + 2 \]

на интегралы, чтобы получить окончательный ответ.2} + 4 = A \ left ({x + 2} \ right) \ left ({3x — 2} \ right) + Bx \ left ({3x — 2} \ right) + Cx \ left ({x + 2 } \верно)\]

Как и в предыдущем примере, похоже, что мы можем просто выбрать несколько значений \ (x \) и найти константы, так что давайте сделаем это.

\ [\ begin {align *} x & = 0 \, \, \, \, \,: & \ hspace {0,5in} 4 & = A \ left (2 \ right) \ left ({- 2} \ right ) & \ hspace {0,5 дюйма} & \ Rightarrow & \ hspace {0,25 дюйма} A & = — 1 \\ x & = — 2: & \ hspace {0.5 дюймов} 8 & = B \ left ({- 2} \ right) \ left ({- 8} \ right) & \ hspace {0,25 дюйма} & \ Rightarrow & \ hspace {0,25 дюйма} B & = \ frac {1 } {2} \\ x & = \ frac {2} {3} \, \,: & \ hspace {0,5 дюйма} \ frac {{40}} {9} & = C \ left ({\ frac {2 } {3}} \ right) \ left ({\ frac {8} {3}} \ right) & \ hspace {0,25 дюйма} & \ Rightarrow & \ hspace {0,25 дюйма} C & = \ frac {{40} } {{16}} = \ frac {5} {2} \ end {align *} \]

Обратите внимание, что в отличие от первого примера большинство коэффициентов здесь дробные. 2} — 4x}} \, dx}} & = \ int {{- \ frac {1} {x} + \ frac {{\ frac {1} {2}}} {{x + 2}} + \ frac {{\ frac {5} {2}}} {{3x — 2}} \, dx}} \\ & = — \ ln \ left | х \ право | + \ frac {1} {2} \ ln \ left | {x + 2} \ right | + \ frac {5} {6} \ ln \ left | {3x — 2} \ right | + c \ end {align *} \]

Опять же, как отмечалось выше, интегралы, генерирующие натуральные логарифмы, очень часто встречаются в этих задачах, поэтому убедитесь, что вы можете их решать. Кроме того, вы смогли правильно сделать последний интеграл, верно? Коэффициент при \ (\ frac {5} {6} \) правильный.2} \]

Теперь есть вариант метода, который мы использовали в первой паре примеров, который здесь будет работать. Есть несколько значений \ (x \), которые позволят нам быстро получить две из трех констант, но нет значения \ (x \), которое просто передало бы нам третью.

В этом примере мы выберем \ (x \), чтобы получить две константы, которые мы можем легко получить, а затем просто выберем другое значение \ (x \), с которым будет легко работать. ( и.е. он нигде не даст больших / беспорядочных чисел), а затем мы воспользуемся тем фактом, что мы также знаем две другие константы, чтобы найти третью.

\ [\ begin {align *} x & = 0: & \ hspace {0,25 дюйма} 18 & = B \ left ({- 3} \ right) & \ hspace {0,15 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} B & = — 6 \\ x & = 3: & \ hspace {0,25 дюйма} 18 & = C \ left (9 \ right) & \ hspace {0,15 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} C & = 2 \\ x & = 1: & 18 & = A \ left ({- 2} \ right) + B \ left ({- 2} \ right) + C = — 2A + 14 & \ hspace {0.2} — 1}} \, dx}} \]

Итак, нам нужно разделить второй интеграл на части. Вот разложение.

\ [\ frac {1} {{\ left ({x — 1} \ right) \ left ({x + 1} \ right)}} = \ frac {A} {{x — 1}} + \ frac { B} {{x + 1}} \]

Установка в числителе равного дает,

\ [1 = A \ влево ({x + 1} \ right) + B \ left ({x — 1} \ right) \]

Выбор значения \ (x \) дает нам следующие коэффициенты.

\ [\ begin {align *} x & = — 1: & \ hspace {0.2} — 1}} \, dx}} & = \ int {{dx}} + \ int {{\ frac {{\ frac {1} {2}}} {{x — 1}} — \ frac { {\ frac {1} {2}}} {{x + 1}} \, dx}} \\ & = x + \ frac {1} {2} \ ln \ left | {x — 1} \ right | — \ frac {1} {2} \ ln \ left | {x + 1} \ right | + c \ end {align *} \]

Неполные дроби

Способ «разбиения» дробей с многочленами в них.

Что такое неполные дроби?

Мы можем сделать это напрямую:

Как это:

2 х − 2 + 3 х + 1 = 2 (х + 1) + 3 (х − 2) (х − 2) (х + 1)

Что можно упростить с помощью Rational Expressions до:

= 2x + 2 + 3x − 6 х ² + х − 2х − 2

= 5x − 4 x ² −x − 2

… но как нам пойти в обратном направлении?

Вот что мы собираемся открыть:

Как найти «части», из которых состоит единичная дробь
(« частичные дроби »).

Почему они нам нужны?

Прежде всего … зачем они нам?

Потому что каждая дробная дробь проще .

Это может помочь решить более сложную дробь. Например, это очень полезно в интегральном исчислении.

Частичное разложение на фракции

Итак, позвольте мне показать вам, как это сделать.

Метод называется «Частичное дробное разложение» и выглядит следующим образом:

Шаг 1: Разложите нижнюю часть на множители

Шаг 2: Запишите по одной дробной части для каждого из этих множителей

Шаг 3: Умножаем на нижнюю часть, чтобы у нас больше не было дробей

Шаг 4: Теперь найдите константы A ₁ и A ₂

Подстановка корней или нулей из (x − 2) (x + 1) может помочь:

И у нас есть ответ:

Это было легко! . .. почти слишком просто …

… потому что может быть намного сложнее !

Теперь мы подробно рассмотрим каждый шаг.

Правильные рациональные выражения

Во-первых, это работает только для правильных рациональных выражений , где степень верха на меньше, чем нижнего.

градуса — это самый большой показатель степени , который имеет переменная.

Правильно: градус верха меньше градуса низа.
Правильный: градус верха — 1
градуса низа — 3
Неправильно: степень верха больше или равна степени низа.
Неправильно: градус верха — 2
градуса низа — 1

Если ваше выражение неправильное, сначала выполните полиномиальное деление в столбик.

Факторинг дна

Вы можете разложить нижний многочлен на множители. См. Факторинг в алгебре.

Но не делите их на комплексные числа … вам может потребоваться остановить некоторые множители квадратичными (называемыми неприводимыми квадратиками, потому что любое дальнейшее разложение на множители приводит к комплексным числам):

Пример: (x

² −4) (x ² +4)

x ² −4 можно разложить на (x − 2) (x + 2)
Но x ² +4 делить на комплексные числа, поэтому не делайте этого

Итак, лучшее, что мы можем сделать, это:

(х − 2) (х + 2) (х ² +4)

Таким образом, факторы могут быть комбинацией

линейные коэффициенты
неприводимых квадратичных множителей

Если у вас есть квадратичный фактор, вам необходимо включить эту частичную дробь:

B ₁ x + C ₁ (Ваш квадратичный)

Факторы с показателями

Иногда можно получить множитель с показателем степени, например (x − 2) ³ . ..

Вам нужна частичная дробь для каждой экспоненты от 1 до.

Как это:

Пример:

1 (x − 2) ³

Имеет неполные дроби

A ₁ x − 2 + A ₂ (x − 2) ² + A ₃ (х − 2) ³

То же самое может случиться и с квадратиками:

Пример:

1 (x ² + 2x + 3) ²

Имеет неполные фракции:

B ₁ x + C ₁ x ² + 2x + 3 + B ₂ x + C ₂ (x ² + 2x + 3) ²

Иногда использование корней не решает проблемы

Даже после использования корней (нулей) основания вы можете получить неизвестные константы.

Итак, следующее, что нужно сделать:

О, черт возьми! С этим сложно справиться! Итак, давайте рассмотрим пример, который поможет вам понять:

Большой пример, объединяющий все воедино

Вот вам хороший большой пример!

x ² +15 (x + 3) ² (x ² +3)

Поскольку (x + 3) ² имеет показатель степени 2, необходимы два члена (A ₁ и A ₂).
And (x ² +3) является квадратичным, поэтому потребуется Bx + C:

x ² +15 (x + 3) ² (x ² +3) = A ₁ x + 3 + A ₂ (x +3) ² + Bx + C x ² +3

Теперь умножаем на (x + 3) ² (x ² +3) :

x ² +15 = (x + 3) (x ² +3) A ₁ + (x ² +3) A ₂ + (x + 3) ² (Bx + В)

При x = −3 есть ноль (потому что x + 3 = 0), поэтому давайте попробуем это:

(−3) ² +15 = 0 + ( (−3) ² +3) A ₂ + 0

И упростите его до:

24 = 12A ₂

, поэтому A ₂ = 2

Заменим A ₂ на 2:

x ² +15 = (x + 3) (x ² +3) A ₁ + 2x ² +6 + (x + 3) ² (Bx + C)

Теперь разверните все:

x ² +15 = (x ³ + 3x + 3x ² +9) A ₁ + 2x ² +6 + (x ³ + 6x ² + 9x) B + (x ² + 6x + 9) C

Соберите вместе степени x:

x ² +15 = x ³ (A ₁ + B) + x ² (3A ₁ + 6B + C + 2) + x (3A ₁ + 9B + 6C) + (9A ₁ + 6 + 9C)

Разделите степени и запишите систему линейных уравнений:

x ³:	0	=	A ₁ + B
x ²:	1	=	3A ₁ + 6B + C + 2
x:	0	=	3A ₁ + 9B + 6C
Константы:	15	=	9A ₁ + 6 + 9C

Упростите и аккуратно расположите:

0	=	А ₁	+	B
-1	=	3A ₁	+	6Б	+	С
0	=	3A ₁	+	9Б	+	6C
1	=	А ₁			+	С

Теперь решите.

Вы можете выбрать свой собственный способ решить эту проблему … Я решил вычесть 4-е уравнение из 2-го, чтобы начать с:

0	=	А ₁	+	B
-2	=	2A ₁	+	6Б
0	=	3A ₁	+	9Б	+	6C
1	=	А ₁			+	С

Затем вычтите 2 раза первое уравнение из второго:

0	=	А ₁	+	B
-2	=			4B
0	=	3A ₁	+	9Б	+	6C
1	=	А ₁			+	С

Теперь я знаю, что B = — (1/2) .

Мы куда-то идем!

И из 1-го уравнения я могу вычислить, что A ₁ = + (1/2) .

И из 4-го уравнения я могу вычислить, что C = + (1/2) .

Конечный результат:

A ₁ = 1/2

А ₂ = 2

B = — (1/2)

С = 1/2

И теперь мы можем записать наши дробные дроби:

х ² +15 (х + 3) ² (х ² +3) знак равно 1 2 (х + 3) + 2 (х + 3) ² + −x + 1 2 (х ² +3)

Уф! Много работы.Но это может быть сделано.

(Примечание: мне потребовалось почти
час , чтобы сделать это, потому что Пришлось исправить
2 глупые ошибки в пути!)

Сводка

Начните с Правильное Рациональное выражение (если нет, сначала делите)
Разложите нижнюю часть на:
- линейные коэффициенты
- или «неприводимые» квадратичные множители
Запишите частичную дробь для каждого множителя (и каждой экспоненты каждого из них)
Умножьте все уравнение на нижнюю часть
Решить для коэффициентов по
- подставляем нули снизу
- составление системы линейных уравнений (каждой степени) и решение
Запишите свой ответ!

5.4 — Неполные дроби

Добавление рациональных выражений

В арифметике вы научились складывать дроби. Вы нашли наименьший общий знаменатель, и затем умножил числитель и знаменатель каждого члена на то, что необходимо для заполните общий знаменатель.

В алгебра, ты нес эту процесс на добавление рациональных выражения. Вы еще раз перемножили числитель и знаменатель каждого срок на то, что отсутствовало в знаменателе этого термина.

с частичной дробью Разложение, мы собираемся обратить процесс и разложить рациональное выражение на два или более простые правильные рациональные выражения, которые были сложены вместе.

Частичное разложение на фракции

Partial Fraction Decomposition работает только для правильных рациональных выражений, то есть степени числитель должен быть меньше степени знаменателя. Если это не так, то вы должны сначала выполнить деление в столбик, а затем выполнить разложение частичной дроби на рациональном часть (остаток по делителю).После того, как вы выполните разложение на частичную дробь, просто добавьте обратно в частную часть от длинного деления.

Обсуждая многочлены в разделе 3.4, мы узнали, что каждый многочлен с вещественным коэффициенты могут быть разложены на множители, используя только линейные и неприводимые квадратичные множители. Это значит, что есть только два типа факторов, о которых мы должны беспокоиться.

Линейные коэффициенты

Если дробные части, на которые мы разлагаем рациональное выражение, должны быть правильными, то Единственное, что может превышать линейный коэффициент, — это постоянная величина.Итак, для каждого линейного фактора в знаменатель, вам понадобится константа больше, чем в числителе.

Неприводимые квадратичные множители.

Если дробные части, на которые мы разлагаем рациональное выражение, должны быть правильными, тогда неприводимый квадратичный фактор может иметь линейный член и / или постоянный член в числителе. Так, для каждого неприводимого квадратичного множителя в знаменателе вам понадобится линейный член и постоянный член в числителе.

Повторяющиеся факторы

Рассмотрим дробь, знаменатель которой равен 8.Означает ли это, что знаменатель каждого складываемый член должен был быть 8? Нет, знаменатели могли быть 2, 4 или 8. потому что общий знаменатель между 2, 4 и 8 равен 8. Последствия этого для частичного дробное разложение состоит в том, что когда у вас есть повторяющийся фактор (фактор с кратностью кроме одного), вам необходимо включить коэффициент расширения для каждой возможной мощности.

Например, если у вас есть (x-2) ³, вам нужно будет включить (x-2), (x-2) ² и (x-2) ³.

Показатели степени 2 или 3 не меняют, является ли фактор линейным или квадратичным, а зависит только то, сколько раз фактор есть. Каждый из этих (x-2) факторов получит постоянный член в числитель, потому что x-2 линейен, независимо от того, в какую степень он возведен.

Неправильные дроби

Правильная дробь — это дробь, числитель которой меньше знаменателя. Для рациональных выражений это означает, что степень в числителе меньше, чем степень в знаменателе.Если у вас неправильная дробь, вы сначала Чтобы получить частное и остаток, необходимо выполнить деление в столбик.

Оставить частную в покое, но выполнить разложение на частную дробь. на оставшейся фракции.

Основное уравнение

После создания уравнения в частных долях вы умножаете обе части уравнение по наименьшему общему знаменателю, чтобы избавиться от дробей. В Полученное уравнение без дробей называется основным уравнением.

Техника 1 — Выберите значения для x

Когда есть линейные коэффициенты, самый простой способ сделать декомпозиция, вероятно, заключается в выборе хороших значений для x.

В примере справа мы берем каждый фактор в знаменатель и дайте ему собственный член в правой части. Поскольку каждый фактор в знаменатель является линейным, и рациональные выражения должны быть правильными, a постоянный член был помещен в каждый числитель каждого члена. Мы умножаем на наименьший общий знаменатель, чтобы получить в уравнении без фракции.Это уравнение называется основным уравнением и составляет …

х + 2 = А (х — 4) + В х

«Хорошие» значения для x — это те, которые приводят к тому, что каждый линейный коэффициент нуль. В этом случае хороши x = 4 и x = 0. «Хорошие» ценности будут заставляют каждый член, кроме одного, выпадать из уравнения, и поэтому вы сможете найти значение переменной очень быстро.

Когда вы позволяете x = 0, член B выпадает, и вы получаете …

0 + 2 = A (0-4) или 2 = -4A. Решение, которое дает A = -1/2.

Если вы позволите x = 4, член A выпадет, и вы получите …

4 + 2 = B (4) или 6 = 4B. Решение, которое дает B = 3/2.

После вы нашли значения каждой константы, важно подключить их ценности обратно в разложение. Не останавливайтесь только на A = -1 / 2, B = 3/2, потому что кто-то другой может определил A и B по-разному. Правильный ответ — поместить их обратно в разложение и при необходимости упростить. Упрощение было бы уменьшить количество знаков (по возможности не ставить первый член отрицательным) и исключить составные дроби, вычленив наименьший общий знаменатель числителей.

Примечание: хороших значений ровно столько, сколько разных (разных) линейные факторы. Если есть повторяющиеся линейные множители или неприводимые квадратичные множители факторы (повторяющиеся или нет), у вас не будет достаточно «хороших» значений для выбора. В таких случаях вам нужно будет выбрать удобные, но не очень хорошие значения, а затем подставьте известные константы в уравнение чтобы найти другие константы. Подставьте простые числа, например x = 0, x = 1 и т. Д.

Вам нужно будет выбрать для x столько значений, сколько нужно найти констант.

Метод 2 — Создание системы линейных уравнений

Первый метод выбора значений x работает очень хорошо, когда все факторы различны. линейные факторы. Если есть какие-либо линейные факторы, то первый метод, вероятно, лучше техника для использования. Однако если есть только неприводимые квадратичные множители, то метод выбор значений для x может стать беспорядочным.

Есть другой способ сделать это проблемы (на самом деле, этот метод работают, когда есть линейные факторы, просто что с другим проще и быстрее).

Первая часть процесса такая же. Вперед и запиши разложение, включая постоянные члены по линейным коэффициентам, а также линейные и постоянные члены над неприводимой квадратичной факторы. Затем умножьте на наименьший общий знаменатель, чтобы найти основное уравнение. То же самое. Основное уравнение …

2x ² + x + 8 = Ax (x ² + 4) + B (x ² +4) + Cx + D

Вот и разница.

Перейти вперед и расширить (умножить) основное уравнение…

2x ² + x + 8 = Ax ³ + 4Ax + Bx ² + 4B + Cx + D

и перегруппировать условия общими полномочиями переменная x.

2x ² + x + 8 = Ax ³ + Bx ² + 4Ax + Cx + 4B + D

Теперь разложите крестики на степень.

2x ² + x + 8 = (A) x ³ + (B) x ² + (4A + C) x + (4B + Г) (1)

Следующая часть работает, потому что если два многочлена будут равны, они должно иметь одинаковое количество одинаковых терминов с обеих сторон.Итак, трюк здесь состоит в том, чтобы приравнять обе части уравнения вместе, приравнивая одинаковые члены.

Установите элементы x ³ слева (из которых нет ни одного) равными условиям x ³ на правая (из которых есть A), чтобы прийти к первому уравнению 0 = A. Хорошо, что было довольно просто, и вы уже получили ценность для A.

Установите элементы x ² слева (из которых 2) равными условиям x ² справа (из которых есть B), чтобы прийти ко второму уравнению 2 = B.Теперь вы знаете Б.

Для x: 1 слева и 4A + C справа, поэтому 1 = 4A + C.

Для констант: 8 слева и 4B + D справа, поэтому 8 = 4B + D.

Возможно, вам придется решить систему линейные уравнения, но именно поэтому этот раздел, посвященный частным дробям, находится в этом глава. Мы просто освежили наши воспоминания о том, как решить систему линейных уравнения в последнем разделе.

После некоторые решения, мы приходим к A = 0, B = 2, C = 1 и D = 0, и мы готовы чтобы вставить эти значения обратно в исходное разложение, чтобы прийти к окончательному ответу.

Обязательно и при необходимости упростите ответ.

Этот пример на самом деле был довольно простым, потому что вы смогли найти A и B сразу же. Во многих случаях вам нужно будет решить более крупную систему. уравнений, чтобы найти значения.

Как и почему разложение частичной дроби с невычисляемыми квадратиками в знаменателе

Если вы читаете этот пост, вы, вероятно, достигли той точки в вашем курсе исчисления, где вас пытаются научить выполнять интеграцию путем расширения частичной дроби.И если вы похожи на меня, когда я впервые изучал математический анализ, вы, вероятно, почесываете голову и получаете whadafuhhhh ? В чем смысл всего этого ?

Вот что вам нужно знать. Частичное расширение дроби не является методом интегрирования . Это алгебраическая техника. При этом это полезно для упрощения интеграции определенных алгебраических выражений (т. Е. Рациональных выражений), разбивая их на более мелкие и простые куски.2 + x + 1)} \]

Чтобы быстро просмотреть шаги (они должны быть в вашем учебнике или на любом онлайн-ресурсе), методика выполняется следующим образом:

Убедитесь, что степень знаменателя больше степени числителя. Если нет, сделайте полиномиальное деление в столбик и разложите частичную дробь для любого остатка, который появляется. Для нашей задачи степень знаменателя равна 3, а степень числителя равна 0, так что все готово.
Разложите на множители числитель и знаменатель выражения (или остаток, если он был получен на шаге 1) и удалите все множители, общие для числителя и знаменателя. Наша проблема уже принята во внимание. Обратите внимание, что квадратичный член в знаменателе не может быть дополнительно разложен на множители.
Основываясь на множителях в знаменателе, запишите соответствующие частные дроби с неизвестными коэффициентами в числитель. Форма этих терминов приведена в вашем учебнике и во многих других онлайн-ресурсах, поэтому я не буду здесь подробно описывать их.2 + х + 1) \). Кроме того, почему у одного из этих терминов в числителе есть \ (x \)? Ответ на оба эти вопроса дает другой курс — линейная алгебра. Да, я знаю, вы, наверное, еще не пошли по этому пути, и это несправедливо, но такова жизнь. Я постараюсь объяснить это как можно лучше:
Вкратце, решение для неизвестных коэффициентов (что мы сделаем сейчас) даст нам систему из 3 линейно независимых уравнений, потому что знаменатель нашего выражения имеет степень 3. Чтобы получить уникальное решение, мы таким образом, нужны 3 неизвестных значения: \ (A \), \ (B \) и \ (C \).2 + х + 1) \). Тогда мы вернемся к тому, с чего начали — у нас будет только две (линейно независимых) частичных дроби и, следовательно, не будет уникальных значений для \ (A \) и \ (B \). Следовательно, нам всегда нужна одна линейно независимая частичная дробь для каждой степени знаменателя .
Понял? Чтобы найти \ (A \), \ (B \) и \ (C \), мы умножаем обе части уравнения на весь знаменатель нашего исходного выражения и упрощаем:
Затем мы группируем похожие степени \ (x \) в правой части уравнения и приравниваем их соответствующим степеням \ (x \) в левой части уравнения:
Разделив на соответствующие степени \ (x \) в каждом уравнении, мы получим следующую систему из 3-х уравнений с 3-мя неизвестными:
Обратите внимание, что если бы у нас вообще не было члена \ (B \) (т.е.е., если бы \ (B = 0 \)), то мы получили бы \ (A = 0 \) и тогда не было бы возможного решения для \ (C \).
Теперь, когда у нас есть эта система уравнений, мы можем решить ее, используя любой из методов решения одновременных уравнений. Мы могли бы использовать либо метод замены, либо метод исключения, но я собираюсь использовать гибридный подход, добавляя уравнения таким образом, чтобы исключить одно или несколько неизвестных, а затем произвести замену. Складывая второе и третье уравнения, исключаем \ (C \):
Теперь мы можем добавить это новое уравнение к первому уравнению, исключить \ (B \) и решить для \ (A \):
Подставляя наше значение \ (A \) обратно в первое уравнение, мы решаем для \ (B \):
И, наконец, подставляя наше значение \ (A \) обратно в третье уравнение, мы решаем для \ (C \):
Итак, теперь мы нашли наши коэффициенты: \ (A = \ frac {1} {3} \), \ (B = — \ frac {1} {3} \) и \ (C = — \ frac {2 } {3} \).Подставляя их обратно в наши дробные части, мы получаем:
Вот и все. Правая часть, наше расширение частичной дроби, позволяет делать то, что мы иначе не могли бы сделать с исходным выражением. Например, было бы невозможно напрямую интегрировать исходное выражение, но мы знаем, как интегрировать эти члены с частичной дробью. Первый член может быть интегрирован с помощью простой u-подстановки, в то время как второй и третий члены потребуют завершения квадрата и выполнения тригонометрической замены (фу!) Эй, никто не сказал, что это будет легко, но, по крайней мере, теперь это возможно.
Причина, по которой частные дроби, как правило, доставляют студентам столько хлопот, заключается в том, что они объединяют целый ряд различных вопросов и методов: полиномиальное деление в столбик, линейную независимость функций и решение систем уравнений и многие другие. Вдобавок ко всему, если конечной целью является интеграция выражения, вам, возможно, придется отказаться от всех других методов интеграции, которые вы только что изучили за последние несколько недель. Ключ к решению задач с частичными дробями — это не торопиться, тщательно записывать правильную форму разложения, а затем методично работать над поиском коэффициентов.Удачи!
Неполные дроби — A Plus Topper
Неполные дроби

Выражение вида \ (\ frac {f (x)} {g (x)} \), где f (x) и g (x) полиномиальны от x, называется рациональной дробью.
1. Собственные рациональные функции: Функции вида \ (\ frac {f (x)} {g (x)} \), где f (x) и g (x) — многочлены, а g (x) ≠ 0, называются рациональными функциями от x.
  Если степень f (x) меньше степени g (x), то называется правильной рациональной функцией.
2. Неправильные рациональные функции: Если степень f (x) больше или равна степени g (x), то \ (\ frac {f (x)} {g (x)} \) называется неправильная рациональная функция.
3. Частичные дроби: Любая правильная рациональная функция может быть разбита на группу различных рациональных дробей, каждая из которых имеет простой множитель знаменателя исходной рациональной функции. Каждая такая дробь называется частичной дробью.
Если с помощью некоторого процесса мы можем разбить данную рациональную функцию \ (\ frac {f (x)} {g (x)} \) на различные дроби, знаменатели которых являются множителями g (x), то процесс их получения называется разрешением или разложением \ (\ frac {f (x)} {g (x)} \) на его частичные дроби.
Различные случаи частичных дробей
(1) Когда знаменатель состоит из неповторяющихся линейных множителей:
Каждому линейному множителю (x — a), встречающемуся один раз в знаменателе правильной дроби, соответствует единственная частичная дробь вида \ (\ frac {A} {xa} \), где A — постоянная, которую необходимо определить.
Если g (x) = (x — a ₁) (x — a ₂) (x — a ₃) ……. (x — a _n), тогда мы предполагаем, что,

, где A ₁, A ₂, A ₃, ……….A _n — константы, можно определить, приравняв числитель L.H.S. в числитель R.H.S. (после L.C.M.) и подставив x = a ₁, a ₂, …… a _n.
(2) Когда знаменатель состоит из линейных множителей, некоторые из которых повторяются:
Каждому линейному множителю (x — a), встречающемуся r раз в знаменателе правильной рациональной функции, соответствует сумма r частичных дробей.
Пусть g (x) = (x — a) ^k (x — a ₁) (x — a ₂) …….{2} + bx + c}} \), где A и B — константы, которые необходимо определить.
Пример:

(4) Когда знаменатель состоит из повторяющихся квадратичных множителей:
Каждому неприводимому квадратичному множителю ax ² + bx + c, встречающемуся r раз в знаменателе правильной рациональной дроби, соответствует сумма r частичные дроби формы.

где A и B — константы, которые необходимо определить.
Частичные дроби несобственных рациональных функций
Если степень больше или равна степени g (x), то \ (\ frac {f (x)} {g (x)} \) называется несобственной. рациональная функция и каждая рациональная функция могут быть преобразованы в надлежащую рациональную функцию путем деления числителя на знаменатель.
Делим числитель на знаменатель до тех пор, пока не получим остаток, который имеет меньшую степень, чем знаменатель.
Общий метод определения констант
1. Выразите данную дробь на ее частичные дроби в соответствии с изложенными выше правилами.
2. Затем умножьте обе стороны на знаменатель данной дроби, и вы получите тождество, которое будет сохраняться для всех значений x.
3. Приравняйте коэффициенты при одинаковых степенях x в результирующем тождестве и решите уравнения, полученные таким образом, одновременно, чтобы найти различные постоянные короткие методы.Иногда мы подставляем конкретные значения переменной x в тождество, полученное после очистки дробей, чтобы найти некоторые или все константы. Для неповторяющихся линейных коэффициентов значения x используются как те, для которых знаменатель соответствующих долей становится равным нулю.
Частичное разложение на фракции — ChiliMath
Этот метод используется для разложения данного рационального выражения на более простые дроби. Другими словами, если мне дается одна сложная дробь, моя цель — разбить ее на серию «более мелких» компонентов или частей.
Ранее при добавлении / вычитании рациональных выражений мы хотели объединить два или более рациональных выражения в одну дробь, как в примере ниже. Однако разложение частичной фракции ( также известно как расширение частичной фракции ) — это как раз процесс, обратный этому. Ниже приводится иллюстративная диаграмма, показывающая основную концепцию.
Теперь я рассмотрю пять (5) примеров, чтобы продемонстрировать этапы разложения одной дроби на части.
Примеры частичного разложения на фракции
Пример 1: Найдите дробное разложение рационального выражения.
Это простая задача, поэтому рассматривайте ее как вводный пример. Я начну с факторизации знаменателя (выньте x из бинома). Затем я настрою процесс разложения, поместив A и B для каждого из уникальных или различных линейных факторов. Последующие шаги включают в себя избавление от всех знаменателей путем умножения ЖК-дисплея (который является всего лишь исходным знаменателем задачи) по всему уравнению.
В итоге я должен получить простое уравнение, в котором я могу легко сравнить коэффициенты одинаковых членов с обеих сторон уравнения. В результате я получу систему линейных уравнений с переменными A и B, которую можно решить либо методом подстановки, либо методом исключения, в зависимости от того, что я предпочитаю.
- Выносим за скобки знаменатель.
- Создайте отдельные дроби с правой стороны, имея каждый из множителей в качестве знаменателя. У меня есть две частичные дроби с двумя неизвестными значениями числителей, представленных переменными A и B.
- Я хочу исключить все знаменатели. Это можно сделать, умножив обе части уравнения на \ color {blue} LCD = x \ left ({x + 1} \ right).
- Затем я распределяю ЖК-дисплей по каждой стороне уравнения. На этом этапе я стараюсь очень осторожно отслеживать процесс отмены. Я хочу убедиться, что сделаю этот шаг правильно, чтобы избежать ненужных головных болей в дальнейшем.
- Это упрощенное уравнение после правильного выполнения вышеуказанного шага.
- Теперь я умножу все и соберу общие термины, написав их рядом. Пришло время сравнить коэффициенты многочленов. Идея состоит в том, чтобы приравнять соответствующие коэффициенты при одинаковых членах.
- Я приравниваю коэффициенты члена x, выделенного желтым цветом. Кроме того, я приравниваю постоянные члены, как показано зеленым выделением.
- Затем я прихожу к решению двух уравнений с двумя неизвестными.Используйте метод подстановки, чтобы решить для B.
- Это окончательные значения переменных A и B.
- Вставьте решенные значения A и B обратно в исходную установку, чтобы получить окончательный ответ.
Пример 2: Найдите дробное разложение рационального выражения.
Эта задача аналогична примеру 1. Единственное отличие состоит в том, что множители знаменателя — это два линейных бинома.
- Я начинаю с вынесения трехчлена в знаменатель.
Затем я настраиваю частичное разложение на дроби, помещая A и B в качестве числителей. Два различных линейных фактора займут место знаменателей.
- Я хочу удалить все знаменатели, поэтому умножу обе части уравнения на ЖК-дисплей (синий).
- Мне нужно быть осторожным при отмене общих факторов.
- Приведенные здесь шаги в значительной степени являются частью процесса «очистки» и реорганизации общих терминов.
- Пришло время установить соответствие между двумя сторонами уравнения.
Для членов x коэффициенты \ left ({A + B} \ right) = 1, в то время как чистые числа у меня 3A + 5B = — 1.
- У нас есть два уравнения с двумя неизвестными. С этого момента с ним должно быть легко справиться, не так ли? Я предлагаю использовать метод исключения для решения относительно A и B.
Умножьте верхнее уравнение на — \, 3 или — \, 5, затем сложите их, чтобы исключить одну из переменных.
- Это правильные значения A и B.
- Я вернусь к исходной настройке дробных дробей, чтобы заменить значения A и B фактическими числами.
Пример 3: Найдите дробное разложение рационального выражения
В этой задаче знаменатель является произведением отдельного линейного множителя, который повторяется три раза и обозначается показателем 3. Не допускайте ошибки записи трех частичных дробей с общим знаменателем только \ left ({x — 1 } \верно).3}.
- Поскольку у меня есть повторяющийся линейный коэффициент \ left ({x — 1} \ right), возведенный в степень 3, мне нужно учитывать каждую степень, начиная с наименьшей (1) до наибольшей (3).
Вы понимаете, почему эта установка неверна?
Подсказка: Сложите дробные дроби и сравните их знаменатели.
- Удалите все знаменатели, распределив ЖК-дисплей в уравнении.
- Это упрощенная версия после отмены общих факторов.2 член слева. Это очень важный шаг.
  - Теперь я могу четко выделить необходимые уравнения, которые будут использоваться для решения отсутствующих переменных.
  Уравнение A = 0 — хороший подарок, так как мне не нужно беспокоиться о его алгебраическом решении.
  - Используйте тот факт, что A = 0, подключите это ко второму уравнению \ left ({- 2A + B = 5} \ right), чтобы получить B. Наконец, решите относительно C, используя третье уравнение, используя решенные значения A и Б.
  Вы получили такие же ответы?
  - Запишите исходную схему разложения частичной дроби и замените решенные значения для A, B и C.
  Дробь, числитель которой A = 0, исчезнет. Это оставляет нам две дроби в качестве окончательного ответа.
  Пример 4: Найдите дробное разложение рационального выражения
  Это тот случай, когда знаменатель является произведением различных линейных множителей, некоторые из которых повторяются.
  Обратите внимание, что знаменатель этого рационального выражения состоит из двух различных линейных факторов. Первый множитель \ left ({x — 2} \ right) появляется один раз, а второй множитель \ left ({x — 3} \ right) появляется дважды, таким образом повторяется.
  - У меня здесь два различных линейных фактора.
  \ left ({x — 2} \ right) появляется один раз
  \ left ({x — 3} \ right) появляется дважды и обозначается степенью 2
  Поэтому я напишу \ left ({x — 2} \ right) в одной неполной фракции, а \ left ({x — 3} \ right) в двух неполных дробях с возрастанием степени от 1 до 2.
  - Я исключу все знаменатели, умножив уравнение на соответствующий ЖК-дисплей.
  - Опять же, я должен быть осторожен с моими отменами.2 семестр. Это означает, что я должен предоставить нулевых заполнителей для отсутствующего члена x и постоянного члена.
  Таким образом, становится легко сравнивать коэффициенты при одинаковых членах в обеих частях уравнения.
  Стрелки и цветовая кодировка должны направлять вас в этом процессе.
  - Я могу решить эту проблему несколькими способами. Один из способов — использовать метод исключения, чтобы избавиться от C между 2-м и 3-м уравнениями.
  Я умножу второе уравнение на 2, а затем добавлю это к третьему уравнению.Я должен получить уравнение, содержащее только A и B. Используйте это «новое» уравнение с 1-м уравнением, чтобы найти значения A и B. Я предлагаю вам попробовать его на бумаге, чтобы вы могли следовать ему.
  Как только вы получите значения A и B, вы можете решить относительно C, используя либо 2-е, либо 3-е уравнение, используя обратную подстановку.
  - Это правильные значения A, B и C.
  - Подставьте значения в исходную настройку частичной дроби, чтобы получить окончательный ответ.
  Пример 5: Найдите дробное разложение рационального выражения
  Это еще один тип задач при разложении на частичные дроби. Разложив знаменатель на множители, я получу следующее.
  Обратите внимание, что на этот раз у меня есть квадратичный множитель. Вопрос в том, могу ли я еще разложить это на линейные коэффициенты? Я могу попробовать, но очевидно, что уже нельзя исключить из . Фактически, это имеет специальное название неприводимая квадратичная .2 с левой стороны.
Обратите внимание на соответствие коэффициентов в обеих частях уравнения.
- Путем быстрого анализа я знаю, что C = 1 и A = -2.
Поскольку A + B = 0 и A = -2, \ left ({- 2} \ right) + B = 0 влечет B = 2.
- Это правильные значения A, B и C.
- Подставьте значения обратно в исходную настройку частичного разложения на дроби, и все готово!
Практика с рабочими листами
Неполные дроби
В этом разделе мы собираемся обсудить процесс разложения рационального выражения на суммы и разности более простых рациональных выражений.То есть мы хотим знать, какие термины добавляются, чтобы получить определенную долю. Этот процесс называется частичным разложением на фракции .
Запись дроби в виде двух или более ТЕРМИНОВ иногда бывает полезна в исчислении. Хотя мы могли бы подождать, пока ваш класс исчисления обсудит эту тему, возможность, которая может найти широкую поддержку среди студентов алгебры колледжей, приложения caluclus больше ориентированы на использование этого процесса как шага в более крупном приложении, чем на обучении самому процессу.По этой причине мы представляем его здесь.
ОБРАЗЕЦ: Вот типичный вопрос:
Мы ищем:
Полученные члены называются « частичное разложение на дробь », поскольку каждый член независимо составляет только часть дроби.
Каждый из примеров будет следовать одним и тем же четырем шагам.
ЧЕТЫРЕ ЭТАПА ЧАСТИЧНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ
CHECK: Уменьшена ли дробь? Если нет, разделите общие факторы.
ШАГ 1: Напишите шаблон разложения на частичную дробь (см. Текст для объяснения).
ШАГ 2: Умножьте каждую часть уравнения на наименьший общий знаменатель.
ШАГ 3: Найдите неизвестные.
ШАГ 4: Напишите окончательный ответ на разложение на частичную дробь.
Из четырех шагов частичной декомпозиции шаг 3 требует больше всего времени. Мы поговорим о двух методах, которые помогут нам найти неизвестные. Эти два метода называются методом «ключевого числа», примерами 1 и 2, ниже) и «методом сравнения коэффициентов». В некоторых задачах наиболее эффективно использовать комбинацию двух методов (пример 3, ниже).
ПРИМЕР 1: Найдите дробное разложение
CHECK: Уменьшена ли дробь? Да. Между числителем и знаменателем нет общих множителей, а степень числителя меньше степени знаменателя.
ШАГ 1:
ШАГ 2: x + 11 = A (x — 5) + B (x + 3)
Поскольку уравнение в ШАГЕ 2 является тождественным, мы можем подставить любое значение вместо x, и левая часть будет равна правой.Поскольку мы пытаемся найти значения A и B, было бы в наших интересах выбрать значения x, которые делают множители (x — 5) и (x + 3) равными нулю.
Значения x = 5 и x = — 3 называются номерами ключей .
ШАГ 3: Используйте ключевые числа, чтобы найти неизвестные, которые будет легко найти.
если x = 5 если x = — 3
5 + 11 = А (5-5) + В (5 + 3) — 3 + 11 = А (- 3 — 5) + В (- 3 + 3)
16 = 8B 8 = — 8 А
В = 2 А = -1
ПРИМЕР 2: Найдите дробное разложение
CHECK: Уменьшена ли дробь? Да. Между числителем и знаменателем нет общих множителей, а степень числителя меньше степени знаменателя.
Как и ранее в ПРИМЕРЕ 1, нам выгодно выбрать значения x, при которых множители (x — 1) и x равны нулю. Эти значения (критические значения): x = 1 и
x = 0.
ШАГ 3: Используйте ключевые числа, чтобы найти неизвестные, которые будет легко найти.
если x = 1 если x = 0
1 + 2 + 7 = С (1) 7 = А (- 1) (- 1)
С = 10 А = 7
Но нам все еще нужно найти значение для B.Мы еще раз вернемся к идентичности, определенной в ШАГЕ 2. Помните, поскольку уравнение в ШАГЕ 2 является тождеством, мы можем подставить любое значение для x, и левая часть будет равна правой. Я произвольно выберу x = 2 .
( 2 ) ² + 2 ( 2 ) + 7 = A ( 2 — 1) ² + B ( 2 ) ( 2 — 1) + C ( 2 )
15 = А + 2В + 2С
Но мы уже обнаружили, что C = 10 и A = 7, поэтому
15 = 7 + 2B + 2 (10)
В = — 6
Итак, дробное разложение данной дроби записывается следующим образом:

Сравнение коэффициентов
В некоторых задачах частичной декомпозиции количество неизвестных (A, B, C и т. Д.) больше, чем количество критических значений (или ключевых чисел). В этом случае мы можем объединить метод ключевого числа с методом, называемым сравнением коэффициентов, чтобы найти все неизвестные. Вот что мы подразумеваем под «сравнением коэффициентов».
Если квадратичный слева равен квадратичному справа, то 5 = a, 6 = b и 9 = c.
Формально мы говорим, что : если два многочлена равны, то соответствующие коэффициенты должны быть равны.. Это составляет основу метода, называемого «сравнение коэффициентов», который также можно использовать для поиска неизвестных в разложении на частичные дроби. Однако ВСЕГДА быстрее использовать все ключевые числа для поиска неизвестных, прежде чем использовать трудоемкий процесс решения системы уравнений, который часто требуется путем «сравнения коэффициентов». В примере 3 показан метод ключевых чисел в сочетании с «сравнением коэффициентов» для нахождения частичного разложения на дроби.

ПРИМЕР 3: Найдите дробное разложение
ШАГ 3: Единственный номер ключа — x = — 5. Обратите внимание: не существует НАСТОЯЩИХ чисел, которые делали бы (x ² + 1) равным нулю, поэтому он не дает нам ключевых чисел.
3 (-5) ² + 2 (-5) — 1 = A (25 + 1) + (-5 B + C) (-5 + 5)
64 = 26 А
А = (64/26) = (32/13)
Поскольку нам еще предстоит найти два неизвестных значения, перейдем к сравнению метода коэффициентов. Во-первых, мы переставляем идентичность на ШАГЕ 2, группируя похожие термины вместе.
3x ² + 2x — 1 = Ax ² + A + Bx ² + 5Bx + Cx + 5C
3 x ² + 2 x — 1 = ( A + B ) x ² + ( 5B + C ) x + ( A + 5C )
Коэффициент x ² слева ( 3 ) должен быть равен коэффициенту x ² справа ( A + B )
Коэффициент x слева ( 2 ) должен быть равен коэффициент при x справа ( 5B + C )
Постоянный член слева ( — 1 ) должен равняться постоянному члену справа ( A + 5C )
Даем нам систему уравнений:
A + B = 3
5B + C = 2
A + 5C = — 1
Поскольку мы уже знаем, что A = (32/13), мы можем использовать A + B = 3, чтобы найти, что B = (7/13)
Мы также можем использовать A = (32/13) с A + 5C = — 1 чтобы найти, что C = (- 9/13)
Уравнение 5B + C = 2 можно использовать для проверки правильности расчета B и C:
5 (7/13) + (- 9/13) = (26/13) = 2
Затем разложение на частичную дробь записывается следующим образом:
© 1999 Джо Стейг
.