Возрастание и убывание функции на интервале, экстремумы

Чтобы определить характер функции  и говорить о ее поведении, необходимо находить промежутки возрастания и убывания. Этот процесс получил название исследования функции и построения графика. Точка экстремума используется при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции, так как в них происходит возрастание или убывание функции из интервала.

Данная статья раскрывает определения, формулируем достаточный признак возрастания и убывания на интервале и условие существования экстремума. Это применимо к решению примеров  и задач. Следует повторить раздел дифференцирования функций, потому как при решении необходимо будет использовать нахождение производной.

Возрастание и убывание функции на интервале

Определение 1

Функция y=f(x) будет возрастать на интервале x, когда при любых x1∈X и x2∈X , x2>x1неравенство f(x2)>f(x1) будет выполнимо. Иначе говоря, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Определение 2

Функция y=f(x) считается убывающей на интервале x, когда при любых x1∈X, x2∈X, x2>x1  равенство f(x2)>f(x1) считается выполнимым. Иначе говоря, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Замечание: Когда функция определенная и непрерывная в концах интервала возрастания и убывания, то есть (a;b), где х=а, х=b, точки включены в промежуток возрастания и убывания. Определению это не противоречит, значит, имеет место быть на промежутке x.

Основные свойства элементарных функций типа y=sinx – определенность и непрерывность  при действительных значениях аргументах. Отсюда получаем, что возрастание синуса происходит на интервале -π2; π2, тогда возрастание на отрезке имеет вид -π2; π2.

Точки экстремума, экстремумы функции

Определение 3

Точка х0 называется

точкой максимума для функции y=f(

zaochnik.com

Как найти условные экстремумы функции двух и более переменных

В задачах оптимизации возникает необходимость найти экстремумы функции двух и более переменных при условии, что существует связь между переменными этой связи, заданная уравнением . В этом случае говорят, что требуется найти условный экстремум.

Для того чтобы найти условный экстремум требуется находить частные производные и решать системы уравнений Существует алгоритм нахождения условного экстремума из трёх шагов, который сейчас и разберём на примере, и геометрический смысл условного экстремума, который должен дойти до каждого при разборе этого самого примера.

Итак, алгоритм, который разберём на примере самой распространённой задачи — нахождение условного экстремума функции двух переменных..

Шаг 1. Вводится функция Лагранжа

,

где первое слагаемое — сама исходная функция, а второе слагаемое со знаком минус — левая часть уравнения условия связи, умноженная на (лямбда) — множитель Лагранжа.

Пример 1. Найти условные экстремумы функции двух переменных , выражающей площадь прямоугольника через его стороны x и y при условии

, означающем, что существует верёвка, которой можно ограничить этот прямоугольник, и длина этой верёвки равна 100.

Шаг 1. Решение. Приведём уравнение условия связи к требуемому виду с нулём в правой части:

.

Составим функцию Лагранжа:

.

Шаг 2. Составляем систему уравнений из равенств частных производных нулю и уравения условия связи (необходимый признак существования условного экстремума):

Решения этой системы уравнений являются точками возможного условного экстремума — стационарными точками или, как ещё говорят, критическими точками.

Пример 1. Шаг 2.

Решение. Найдём частные производные функции Лагранжа и составим из их равенств нулю и уравнения условия связи систему уравнений:

Из первого и второго уравнений выразим соответственно x и y:

Подставим эти выражения в третье уравнение и найдём значение множителя Лагранжа:

Подставим теперь значение множителя Лагранжа в выражения для x и y и найдём значения переменных исходной функции:

Получили

и . Эти значения являются также координатами стационарной точки. Таким образом, получили стационарную точку .

Шаг 3. Пусть является стационарной точкой, найденной на шаге 2. Чтобы определить, является ли условный экстремум минимумом или максимумом, нужно найти второй дифференциал функции Лагранжа

и в полученном выражении подставить вместо «лямбды» её значения (значения множителя Лагранжа), найденные на шаге 2.

Если значение второго дифференциала функции Лагранжа меньше нуля (

), то стационарная точка является точкой максимума, если больше нуля (), то стационарная точка является точкой минимума. Если значение второго дифференциала функции Лагранжа равно нулю, то требуются дополнительные исследования, но такие случаи практически не попадаются в задачах, задаваемых студентам.

Координаты стационарных точек подставляются в исходную точку и, таким образом, мы окончательно находим условные экстремумы (или минимум и максимум или что-то одно из этих экстремумом).

Пример 1. Шаг 3.

Решение. Найдём второй дифференциал функции Лагранжа:

В нашем случае, так как первое и третье составляющие равны нулю, нам не придётся подставлять в них значения множителя Лагранжа. Зато нужно найти отношения между дифференциалами

dx и dy:

Так как полученные значения — противоположные по знаку, то получаем, что в любом случае .

Теперь можем найти значение условного экстремума исходной функции, являющееся максимумом:

.

Это заданная исходной функцией максимальная площадь прямоугольника, который можно ограничить верёвкой, длина которой равна 100.

Пример 2. Найти условные экстремумы функции двух переменных при условии

.

Решение.

Шаг 1. Составим функцию Лагранжа:

.

Шаг 2. Найдём частные производные функции Лагранжа и составим из их равенств нулю и уравнения условия связи систему уравнений:

Из первого и второго уравнений выразим соответственно x и y:

Подставим эти выражения в третье уравнение и найдём значения множителя Лагранжа:

Подставим теперь значение множителя Лагранжа в выражения для x и y и найдём значения переменных исходной функции при двух значениях множителя Лагранжа:

Эти значения икса и игрека являются координатами двух стационарных точек. Таким образом, получили стационарные точки .

Шаг 3. Найдём частные производные второго порядка функции Лагранжа:

:

Найдём второй дифференциал функции Лагранжа по формуле

:

.

Установим знак второго дифференциала функции Лагранжа при значении множителя Лагранжа :

Получили значение, меньшее нуля, следовательно, точка — точка условного максимума:

.

Установим знак второго дифференциала функции Лагранжа при значении множителя Лагранжа :

Получили значение, большее нуля, следовательно, точка — точка условного минимума:

.

Таким образом, условные экстремумы заданной функции найдены.

---

Пример 3. Найти условные экстремумы функции двух переменных при условии .

Решение.

Шаг 1. Составим функцию Лагранжа:

.

Шаг 2. Найдём частные производные функции Лагранжа и составим из их равенств нулю и уравнения условия связи систему уравнений:

Из первого и второго уравнений выразим соответственно x и y:

Получаем, что , однако подстановка этих значений переменных в третье уравнение системы не даёт верного равенства. Поэтому считаем, что на самом деле второй сомножитель равенства равен нулю: . Отсюда получаем

Ищем координаты стационарных точек при значении множителя Лагранжа . Тогда из выражений для икса и игрека из системы уравнений следует, что . Из третьего уравнения системы получаем:

Получили две стационарные точки:

Ищем координаты стационарных точек при значении множителя Лагранжа . Тогда из выражений для икса и игрека из системы уравнений следует, что .

На основании вычислений двух первых стационарных точек получилаем ещё две стационарные точки:

Шаг 3. Найдём частные производные второго порядка функции Лагранжа:

:

Найдём второй дифференциал функции Лагранжа по формуле

:

.

Установим знак второго дифференциала функции Лагранжа при значении множителя Лагранжа :

Получили значение, меньшее нуля, следовательно, точки — точки условного максимума:

.

Установим знак второго дифференциала функции Лагранжа при значении множителя Лагранжа :

Получили значение, большее нуля, следовательно, точки — точки условного минимума:

.

Таким образом, условные экстремумы заданной функции найдены.

Аналогичным образом можно находить условные экстремумы функций трёх и более переменных.

Функции нескольких переменных

function-x.ru

Экстремумы функции

На этой странице вы сможете посмотреть несколько примеров для нахождения экстремумов функции, в каждом из них есть своя уникальность, поэтому рекомендую посмотреть все.
Здесь часто используется нахождение производной, что бы лучше понимать, как её надо находить, то сначала посмотрите мои таблицу производных.

1. Имеем функцию:
   
   Найдём её производную:
   
   Прировняем производную к нулю и найдём значение переменной.
   
   Наносим x=0 на координатную прямую и смотрим, где производная будет отрицательной, а где положительной. То есть до нашей точки (для этого берём любое значение до ноля ну, например, -1 и подставляем его в формулу с производной, видим что выйдем -2, то есть знак минус) и после неё (всё точно также берём любое число по праву сторону от ноля, например, 1 результат будет 2 – значит знак плюс).
   
   Видим, что при прохождении через точку x=0, производная меняет знак с плюса на минус, то значит, что это будет точка минимума.
2. Всё аналогично делаем и в следующем примере.
   
   Наносим точку x=0 на координатную прямую, и вычисляем соответствующие значения.
   
   Видим, что здесь знак производной не меняется, то есть данная точка не будет экстремумом.
3. Приступим к следующему примеру:
   
   Как всегда найдём производную и прировняем её к нулю. Поскольку в нас дробь, то к нолю надо приравнивать, только числитель.
   
   Ещё надо учитывать точки разрыва, при которых знаменатель будет равен нулю.
   
   Наносим все эти данные на координатную прямую и находим знак производной на каждом из промежутков.
   
   Видим, что при прохождении через точки -1 и 1 производная не меняет знака, эти точки не будут экстремумами, а при прохождении через 0 меняет с плюса на минус, поэтому точка x=0 будет максимумом.
4. Ну и рассмотрим ещё один небольшой пример:
   
   Опять находим производную и приравниваем её к нолю:
   
   Полученные значения переменных наносим на координатную прямую и высчитываем знак производной на каждом из промежутков. Ну например, для первого возьмём -2, тогда производная будет равна -0,24, для второго возьмём 0, тогда производная будет 2 и для третьего возьмём 2, тогда производная будет -0,24. И проставим соответствующие знаки.
   
   Видим, что при прохождении через точку -1 производная меняет знак с минуса на плюс, то есть это будет минимум, а при прохождении через 1 – меняет знак и плюса на минус, соответственно это будет максимум.

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

Загрузка…

matemonline.com

Экстремум функции онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

Дается определение экстремума функции, также приводится пример, как с помощью калькулятор онлайн найти экстремум функции.

Пример

Имеется функция (x^3 -exp(x) + x)/(1+x^2).

Введём её в калькулятор по исследованию функций онлайн:

Получим следующий результат:

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение $$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$ (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: $$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$ Первая производная $$- \frac{2 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} \left(x + x^{3} — e^{x}\right) + \frac{3 x^{2} — e^{x} + 1}{x^{2} + 1} = 0$$ Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния $$x_{1} = 0$$ $$x_{2} = 3.28103090528$$ $$x_{3} = -0.373548376565$$ Зн. экстремумы в точках:
(0, -1)
(3.28103090528, 1.01984828342285)
(-0.373548376565, -0.977554081645009)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках: $$x_{3} = 0$$ Максимумы функции в точках: $$x_{3} = 3.28103090528$$ $$x_{3} = -0.373548376565$$ Убывает на промежутках
(-oo, -0.373548376565] U [0, oo)
Возрастает на промежутках
(-oo, 0] U [3.28103090528, oo)

Также можно найти производную этой функции онлайн https://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/proizvodnaya-funktsii/one/ — приравниваем ее к нулю и находим корни уравнения. Эти корни и будут экстремумами этой функции.
Можно построить график (https://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/grafik/xy/) и убедиться, что мы правильно все посчитали

Вообще — зачем нужен экстремум?

В некоторых задачах физики и экономики требуется знать при каких условиях данная величина (функция) имеет максимум или минимум — в помощь и приходит теория экстремума функции

Определение экстремума функции

Экстремумом функции называется такая точка x, при которой производная этой функции равна нулю

www.kontrolnaya-rabota.ru

Как найти условные экстремумы функции

Условный экстремум функции, как правило, относится к случаю функции двух переменных. Такая функция определяется зависимостью между некоторой переменной z и двумя независимыми переменными x и y типа z=f(x,y). Таким образом, данная функция представляет собой некоторую поверхность, если представить ее графически.

Параметрической зависимостью, задаваемой при определении условного экстремума, является некоторая кривая, определяемая соотношением, связывающим две независимые переменные. Параметрическое выражение g(x,y)=0 в некоторых случаях можно переписать в другом виде, выразив переменную y через x. Тогда можно получить уравнение y=y(x). Подставив данное уравнение в зависимость z= f(x,y), можно получить уравнение z=f(x,y(x)), которое становится в данном случае уже зависимостью только от переменной «икс».

Дальше можно находить экстремум так, как это делается в ситуации с одной переменной. Данная процедура сводится, в первую очередь, к определению производной данной функции z=f(x,y(x)). После этого необходимо приравнять производную от функции к нулю и выразить переменную x, определив тем самым точку экстремума. Подставив данное значение переменной в выражение самой функции, можно найти максимальное или минимальное значение при заданном условии.

Если параметрическое уравнение g(x,y)=0 нельзя никак разрешить относительно одной из переменных, то условный экстремум находят, используя функцию Лагранжа. Данная функция представляет собой сумму двух других функций, одна из которых является изначальной исследуемой функцией, а другая – произведением некоторой постоянной l и параметрической функции, то есть L= f(x,y)+lg(x,y). В данном случае необходимым условием возможности существования экстремума у функции z= f(x,y) при условии соблюдения тождества g(x,y)=0 является равенство нулю всех частных производных функции Лагранжа: dL/dx=0, dL/dy=0, dL/dl=0.

Каждое из уравнений после проведения операции дифференцирования даст некоторую зависимость трех переменных x, y и l. Имея три уравнения с тремя переменными, можно найти каждую из них в точке экстремума. После чего необходимо подставить значение «иксовой» и «игрековой» переменной в уравнение функции, условный экстремум которой определяется, и найти максимум или минимум данной функции z= f(x,y) при заданном условии g(x,y)=0. Данный метод определения условного экстремума называется методом Лагранжа.

www.kakprosto.ru

Экстремумы функции двух переменных

Определение. Точками экстремума функции двух переменных называются точки минимума и максимума этой функции. Значения самой функции в точках экстремума называются экстремумами функции двух переменных.

Определение. Точка P(x0, y0) называется точкой максимума функции двух переменных z = z(x, y), если значение функции в этой точке больше, чем в точках её окрестности. Значение функции в точке максимума называется максимумом функции двух переменных.

Определение. Точка P(x0, y0) называется точкой максимума функции двух переменных z = z(x, y), если значение функции в этой точке больше, чем в точках её окрестности. Значение функции в точке максимума называется максимумом функции двух переменных.

Теорема (необходимый признак экстремума функции двух переменных). Если точка P(x0, y0) — точка экстремума функции двух переменных z = z(x, y), то первые частные производные функции (по «иксу» и по «игреку») в этой точке равны нулю или не существуют:

и

.

Определение. Точки, в которой первые частные производные функции двух переменных равны нулю, называются стационарными точками.

Определение. Точки, в которой первые частные производные функции двух переменных равны нулю или не существуют, называются критическими точками.

Как и в случае с функцией одной переменной, необходимое условие существования экстремума функции двух переменных не является достаточным. Встречаются немало функций, в случаях которых первая частная производная функции равна нулю или не существует, но экстремумов в соответствующих точках нет. Каждая точка экстремума является критической точкой, но не каждая критическая точка является экстремумом.

Достаточный признак существования экстремума функции двух переменных. В точке P существует экстремум функции двух переменных, если в окрестности этой точки полное приращение функции не меняет знак. Так как в критической точке первый полный дифференциал равен нулю, то приращение функции определяет второй полный дифференциал

.

Наилучшее понимание применения полного дифференциала придёт при изучении и практическом применении шагов 3 и 4 алгоритма нахождения экстремумов функции двух переменных, который следует вторым пунктом этого урока.

Локальный характер экстремумов функции двух переменных. Максимум функции двух переменных на каком-либо участке области определения функции не обязательно является максимумом во всей области определения, так же как и минимум на каком-либо участке не является минимумом во всей области определения. Пусть мы рассматриваем высоту волн на участке прибрежной области моря (участок меньше области). Тогда на этом участке мы можем зафиксировать (по-крайней мере, зрительно) наибольшую высоту волны. Но на другом участке, на котором ветер вызывает бОльшую высоту волн, мы фиксируем минимальную высоту волны. Это к тому, что максимум высоты волны на первом участке может оказаться меньше, чем минимум высоты волны на втором участке. Поэтому, как и в случае экстремума функции одной переменной, необходимо уточнить это понятие и говорить об экстремумах как о локальных экстремумах функции двух переменных.

Наибольший интерес представляет алгоритм нахождения экстремумов функции двух переменных, так как он, во-первых, отличается от алгоритма нахождения экстремумов функции одной переменных, а во-вторых, по аналогии с ним можно составить алгоритм нахождения функции трёх переменных. В частности, потребуется вычислять определители.

Итак, алгоритм нахождения экстремумов функции двух переменных.

Дана функция двух переменных .

Шаг 2. Составляем систему уравнений из равенств этих производных нулю (их равенство нулю и есть необходимый признак существования экстремума):

Решения этой системы уравнений являются точками возможного экстремума — критическими точками.

Шаг 3. Пусть является критической точкой, найденной на шаге 2. Чтобы убедиться, что в ней существует экстремум функции двух переменных, находим частные производные второго порядка

как частные производные от частных производных первого порядка, найденных на шаге 1.

Шаг 4. Присваиваем частным производным второго порядка, найденным на шаге 3, буквенные обозначения:

Находим определитель и проверяем достаточный признак существования экстремума.

Если , то экстремума в найденной критической точке нет,

если , то экстремум в найденной критической точке есть,

если , то требуются дополнительные исследования.

Если экстремум в найденной точке есть и если , то в этой точке существует минимум функции двух переменных, если , то максимум.

Шаг 5. Подставляем значения критической точки, в которой найден экстремум, в исходную функцию двух переменных и получаем значение экстремума функции двух переменных (минимума или максимума).

Примеры начнём с более сложного, в котором составленная система уравнений имеет несколько решений, а, значит, найдено несколько критических точек.

Пример 1. Найти экстремумы функции двух переменных .

Решение. Следуем изложенному выше алгоритму.

Шаг 1. Находим частные производные:

.

Шаг 2. Составляем систему уравнений из равенств этих производных нулю:

Делим первое уравнение системы на 3, а второе на 6 и получаем

Из второго уравнения выражаем , подставляем в первое уравнение и получаем

Умножаем это уравнение на и получаем

.

Производим замену переменной: и получаем

.

Решаем полученное квадратное уравнение: .

Так как и , то

Таким образом, получили четыре критических точки — точки возможного экстремума.

Шаг 3. Находим частные производные второго порядка

Шаг 4. Находим определитель :

, т. е. экстремума в найденной критической точке нет,

, т. е. экстремума в найденной критической точке нет,

и , т. е. в найденной критической точке есть минимум функции двух переменных,

и , т. е. в найденной критической точке есть максимум функции двух переменных.

Шаг 5. Подставляем значения критической точки, в которой найден экстремум, в исходную функцию двух переменных и получаем значения экстремума функции двух переменных:

,

Найти экстремумы функции двух переменных самостоятельно, а затем посмотреть решение

Третий пример — на десерт, так как в нём только одна критическая точка.

Пример 3. Найти экстремумы функции двух переменных .

Шаг 1. Находим частные производные:

.

Шаг 2. Составляем систему уравнений из равенств этих производных нулю:

Решаем систему уравнений:

Таким образом, получили критическую точку — точку возможного экстремума.

Шаг 3. Находим частные производные второго порядка

Шаг 4. Находим определитель , т. е. в найденной критической точке есть экстремум, причём так как , то это минимум.

Шаг 5. Подставляем значения критической точки, в которой найден экстремум, в исходную функцию двух переменных и получаем значение экстремума функции двух переменных:

.

Найти экстремумы ещё одной функции двух переменных самостоятельно, а затем посмотреть решение

Функции нескольких переменных

function-x.ru

Как найти точки экстремума функции и экстремум функции? Объясните не научным языком, понятно Заранее благодарю :3

1. Взять производную функции. 2. Приравнять эту производную к нулю. Решив это уравнение, получаете одно или несколько значений Х. Это — критические точки. 3. Рисуете числовую прямую (прямую линию со стрелочкой на правом конце) , последовательно наносите на нее эти точки. У вас получилось несколько интервалов — на 1 больше, чем точек. 4. Из каждого интервала выбираете число (например, из промежутка «от минус бесконечности до нуля» берете значение «-5») и подставляете его вместо Х в выражение производной функции. Вычисляете. Если получаете положительное значение производной — значит, функция на этом участке ВОЗРАСТАЕТ; если отрицательное — УБЫВАЕТ. 5. Точками экстремума являются те критические точки, которые разделяют интервалы возрастания-убывания. Например: на первом участке функция убывает, на втором возрастает, на третьем возрастает, на четвертом убывает. Значит, точек экстремума будет две: та, которая разделяет 1й и 2й участки; и та, которая разделяет 3й и 4й участки. Та точка, в которой функция перестает убывать и начинает возрастать, называется точкой МИНИМУМА; в которой функция перестает возрастать и начинает убывать — точкой МАКСИМУМА.

Науку не излагают не научным языком.. . Это тебе к гадалкам…

пожалуйста. Что такое экстремум — это максимум или минимум чего-то. В жизни экстремум роста дерева — это его наибольшая высота, или наибольшая толщина, в общем что-то наибольшее или наименьшее. Как найти экстремум этого дерева — нужно мереть каждый год, затем найти наибольшее или наименьшее значение, это и будет экстремум. В математике меряют не деревья, а функции и там нашли очень хитрый способ нахождения экстремума этих функций. Процедура такова: 1) нужно найти производную от функции 2) затем эту производную приравнять к нулю и найти X 3) найденные X будут экстремумы, но не все 4) нужно подставить X из 3) в самую первую функцию (то, что было дано) и посмотреть результаты. Самые большие и малые значения будут экстремумы

О каких функциях идет речь: сколько переменных?

touch.otvet.mail.ru