Диагонали трапеции перпендикулярны
Если диагонали трапеции перпендикулярны, решить задачу поможет дополнительное построение.
Проведем через вершину меньшего основания прямую, параллельную диагонали: CF∥BD:
Четырехугольник BCFD — параллелограмм, так как у него противоположные стороны лежат на параллельных прямых (CF∥BD по построению, BC∥AD как основания трапеции). Следовательно, DF=BC, CF=BD.
Так как диагонали трапеции перпендикулярны, прямые CF и AC также перпендикулярны (если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой). Проведем высоту трапеции CN:
В прямоугольном треугольнике ACF CN — высота, проведенная к гипотенузе. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике связаны соотношениями:
Площадь трапеции можно найти по одной из формул
где a и b — основания, h — высота, m — средняя линия трапеции. Площадь выпуклого четырехугольника можно найти как половину произведения диагоналей на синус угла между ними:
Поскольку sin90º=1, если диагонали перпендикулярны, площадь трапеции равна
Отсюда
и, в зависимости от условий задачи, можно искать ту или иную величину.
Можно рассуждать иначе: площадь прямоугольного треугольника ACF можно найти как
Отсюда
В следующий раз рассмотрим частный случай: диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны.
www.uznateshe.ru
В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны
Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, при решении задачи будет полезен следующий теоретический материал.
1. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, высота трапеции равна полусумме оснований.
Проведем через точку C прямую CF, параллельную BD, и продлим прямую AD до пересечения с CF.
Четырехугольник BCFD — параллелограмм ( BC∥DF как основания трапеции, BD∥CF по построению). Значит, CF=BD, DF=BC и AF=AD+BC.
Треугольник ACF прямоугольный (если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой). Поскольку в равнобедренной трапеции диагонали равны, а CF=BD, то CF=AC, то есть треугольник ACF — равнобедренный с основанием AF. Значит, его высота CN является также медианой. А так как медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна ее половине, то
что в общем виде можно записать как
где h — высота трапеции, a и b — ее основания.
2. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то ее высота равна средней линии.
Так как средняя линия трапеции m равна полусумме оснований, то
3. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то площадь трапеции равна квадрату высоты трапеции (или квадрату полусуммы оснований, или квадрату средней линии).
Так как площадь трапеции находится по формуле
а высота, полусумма оснований и средняя линия равнобокой трапеции с перпендикулярными диагоналями равны между собой:
то
4. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то квадрат ее диагонали равен половине квадрата суммы оснований, а также удвоенному квадрату высоты и удвоенному квадрату средней линии.
Так как площадь выпуклого четырехугольника можно найти через его диагонали и угол между ними по формуле
sin 90º =1, и диагонали равнобедренной трапеции равны, то площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна
откуда
www.uznateshe.ru
В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны
Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, при решении задачи будет полезен следующий теоретический материал.
1. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, высота трапеции равна полусумме оснований.
Проведем через точку C прямую CF, параллельную BD, и продлим прямую AD до пересечения с CF.
Четырехугольник BCFD — параллелограмм ( BC∥DF как основания трапеции, BD∥CF по построению). Значит, CF=BD, DF=BC и AF=AD+BC.
Треугольник ACF прямоугольный (если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой). Поскольку в равнобедренной трапеции диагонали равны, а CF=BD, то CF=AC, то есть треугольник ACF — равнобедренный с основанием AF. Значит, его высота CN является также медианой. А так как медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна ее половине, то
что в общем виде можно записать как
где h — высота трапеции, a и b — ее основания.
2. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то ее высота равна средней линии.
Так как средняя линия трапеции m равна полусумме оснований, то
3. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то площадь трапеции равна квадрату высоты трапеции (или квадрату полусуммы оснований, или квадрату средней линии).
Так как площадь трапеции находится по формуле
а высота, полусумма оснований и средняя линия равнобокой трапеции с перпендикулярными диагоналями равны между собой:
то
4. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то квадрат ее диагонали равен половине квадрата суммы оснований, а также удвоенному квадрату высоты и удвоенному квадрату средней линии.
Так как площадь выпуклого четырехугольника можно найти через его диагонали и угол между ними по формуле
sin 90º =1, и диагонали равнобедренной трапеции равны, то площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна
откуда
www.uznateshe.ru
Диагональ трапеции перпендикулярна стороне и биссектриса
Если диагональ равнобедренной трапеции перпендикулярна ее боковой стороне и диагональ — биссектриса угла трапеции, то что можно сказать о свойствах такой трапеции?
Если диагональ трапеции является биссектрисой ее угла, то боковая сторона трапеции равна одному из оснований трапеции.
Когда диагональ трапеции перпендикулярна боковой стороне, делить пополам тупой угол она не может (если один угол прямой, то и второй должен быть прямым, что невозможно).
Если диагональ равнобедренной трапеции перпендикулярна боковой стороне и делит острый угол трапеции пополам, то
1) диагональ разбивает трапецию на два треугольника: один — равнобедренный, другой — прямоугольный;
2) углы трапеции равны 60º и 120º;
3) большее основание трапеции в два раза больше меньшего основания и её боковых сторон;
4) высота трапеции равна половине её диагонали.
Дано: ABCD- трапеция,
AD ∥ BC, AB=CD,
AC — биссектриса ∠BAD.
Доказать:
1) Треугольник ABC — равнобедренный, треугольник ACD — прямоугольный;
2) ∠BAC=60º, ∠ABC=120º;
3) AD=2BC, AD=2CD;
4) высота трапеции равна половине AC.
Доказательство:
1) Поскольку
то треугольник ACD — прямоугольный.
∠BAC=∠DAC (так как AC — биссектриса ∠BAD по условию).
∠BCA=∠DAC (как внутренние накрест лежащие при AD ∥ BC и секущей AC).
Отсюда, ∠BAC=∠BCA.
Следовательно, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC (по признаку)
и AB=BF.
2) Пусть ∠BAC=∠DAC=∠BCA=xº.
∠BAD+∠BCD=180º (как противолежащие углы равнобедренной трапеции).
Следовательно, ∠BAC+∠DAC+∠BCA+∠ACD=180º.
Составляем уравнение:x+x+x+90=180, откуда x=30.
Таким образом, ∠BAC=∠DAC=∠BCA=30º, ∠BAD=∠BAC+∠DAC=60º.
∠BAD+∠ABC=180º (как внутренние односторонние при AD ∥ BC и секущей AB), откуда
∠ABC=120º.
3) В прямоугольном треугольнике ACD CD — катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, следовательно,
AD=2CD, а так как CD=BC, то AD=2BC.
4) Опустим из вершины C высоту CF,
В прямоугольном треугольнике ACF CF — катет, лежащий напротив угла в 30º. Поэтому
Что и требовалось доказать.
www.treugolniki.ru
Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны
Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны
Диагонали равнобедренной трапеции могут располагаться друг к другу перпендикулярно.
В таком случае при решении задач удобно пользоваться следующими свойствами:
- Тогда высота трапеции равна половине суммы оснований:
В правой части данного равенства мы видим формулу для нахождения средней линии трапеции, следовательно, из первого свойства можно сделать следующий вывод:
- Если равнобедренная трапеция имеет перпендикулярные диагонали, то длина ее высоты равна длине средней линии:
- Тогда площадь трапеции равна высоте трапеции, возведенной в квадрат:
Как известно, площадь трапеции можно найти по формуле:
В случае равнобокой трапеции высота также равна средней линии и половине суммы оснований трапеции. Тогда можно записать:
Делаем вывод, что:
- Можно связать диагональ, основания, высоту и среднюю линию следующими равенствами: