Параллельность плоскостей — урок. Геометрия, 10 класс.
Как известно из аксиом стереометрии, если плоскости имеют одну общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Значит, две плоскости или пересекаются, или не пересекаются.
Плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными.
Параллельные плоскости α и β обозначаются α∥β.
Пример:
любая конструкция с полом, потолком и стенами даёт нам представление о параллельных плоскостях — пол и потолок как две параллельные плоскости, боковые стены как параллельные плоскости.
Признак параллельности плоскостей.
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Доказательство.
Пусть α и β — данные плоскости, a1 и a2 — пересекающиеся прямые в плоскости α, а b1 и b2 — соответственно параллельные им прямые в плоскости β.
Допустим, что плоскости α и β не параллельны, то есть, они пересекаются по некоторой прямой \(c\).
Прямая a1 параллельна прямой b1, значит, она параллельна и самой плоскости β.
Прямая a2 параллельна прямой b2, значит, она параллельна и самой плоскости β (признак параллельности прямой и плоскости).
Прямая \(c\) принадлежит плоскости α, значит, хотя бы одна из прямых — a1 или a2 — пересекает прямую \(c\), то есть имеет с ней общую точку. Но прямая \(c\) также принадлежит и плоскости β, значит, пересекая прямую \(c\), прямая a1 или a2 пересекает плоскость β, чего быть не может, так как прямые a1 и a2 параллельны плоскости β.
Из этого следует, что плоскости α и β не пересекаются, то есть, они параллельны.
Свойства параллельных плоскостей
Теорема 1. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны.
Доказательство.
Пусть α и β — параллельные плоскости, а γ — плоскость, пересекающая их.
Плоскость α пересекается с плоскостью γ по прямой \(a\).
Плоскость β пересекается с плоскостью γ по прямой \(b\).
Линии пересечения \(a\) и \(b\) лежат в одной плоскости γ и потому могут быть либо пересекающимися, либо параллельными прямыми. Но, принадлежа двум параллельным плоскостям, они не могут иметь общих точек. Следовательно, они параллельны.
Теорема 2. Отрезки параллельных прямых, заключённых между двумя параллельными плоскостями, равны.
Доказательство.
Пусть α и β — параллельные плоскости, а \(a\) и \(b\) — параллельные прямые, пересекающие их.
Через прямые \(a\) и \(b\) можно провести плоскость — эти прямые параллельны, значит, определяют плоскость, причём только одну.
Проведённая плоскость пересекается с плоскостью α по прямой \(AB\), а с плоскостью β — по прямой \(CD\).
По предыдущей теореме прямые \(AB\) и \(CD\) параллельны. Четырёхугольник \(ABCD\) есть параллелограмм (у него противоположные стороны параллельны). А раз это параллелограмм, то противоположные стороны у него равны, то есть \(BC = AD\).
www.yaklass.ru
1. Определение и доказательства признаков параллельности прямых в плоскости
Две прямые, лежащие на одной плоскости, либо имеют только одну общую точку, либо не имеют ни одной общей точки.
В первом случае говорят, что прямые пересекаются, во втором случае — прямые не пересекаются.
На плоскости две прямые \(a\) и \(b\), которые не пересекаются, называются параллельными и обозначаются a∥b.
Обрати внимание!
Если рассмотреть прямые, которые не лежат в одной плоскости, то возможна ситуация, что прямые не пересекаются, но они и не параллельны.
Один из признаков параллельности прямых на плоскости гласит:
1. признак. Если две прямые на плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.
Этот признак легко доказать, если вспомнить, что к прямой в плоскости из любой точки можно провести только один перпендикуляр.
Допустим, что прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, не параллельны, то есть имеют общую точку.
Получается противоречие — из одной точки \(H\) к прямой \(c\) проведены два перпендикуляра. Такое невозможно, поэтому две прямые на плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны.
Для рассмотрения других признаков надо ознакомиться с некоторыми видами углов:
1) вспомним, что нам известны названия и свойства углов, которые образуют две пересекающиеся прямые.
Вертикальные углы равны: ∡1=∡3;∡2=∡4.
Сумма смежных углов 1800:∡1+∡2=∡2+∡3=∡3+∡4=∡4+∡1=1800.
2) Если две прямые пересекает третья прямая, то углы называются так:
накрест лежащие углы: ∡3 и ∡5;∡2 и ∡8;
соответственные углы: ∡1 и ∡5;∡4 и ∡8;∡2 и ∡6;∡3 и ∡7;
односторонние углы: ∡3и∡8;∡2и∡5.
Эти углы помогут определить параллельность прямых \(a\) и \(b\). Итак, другой признак параллельности прямых на плоскости гласит:
2. признак. Если при пересечении двух прямых третьей секущей:
накрест лежащие углы равны, или
соответственные углы равны, или
сумма односторонних углов равна \(180°\) — то прямые параллельны.
Докажем этот признак.
Сначала докажем: если прямые \(a\) и \(b\) пересекает прямая \(c\), и накрест лежащие углы равны, то прямые \(a\) и \(b\) параллельны.
Например, если ∡3=∡5, то a∥b.
1) Отметим точки \(C\) и \(D\), в которых прямые \(a\) и \(b\) пересекает прямая \(c\). Через серединную точку \(K\) этого отрезка проведём перпендикуляр \(AB\) к прямой \(a\).
2) ∡CKA \(=\) ∡DKB как вертикальные углы, ∡3 \(=\) ∡5 \(=\) α, \(CK = KD\) — значит, ΔCKA \(=\) ΔDKB по признаку о стороне и двум прилежащим к ней углам.
3) Очевидно, если ΔCKA прямоугольный, то и ΔDKB прямоугольный, и \(AB\) перпендикулярен к прямой \(b\).
4) Согласно первому доказанному признаку прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны.
5) В случае, когда равны соответственные углы, имеем в виду, что вертикальные углы равны, и доказываем, как в пунктах 1) — 4).
6) В случае, когда сумма односторонних углов равна 180°, имеем в виду, что сумма смежных углов тоже равна \(180°\), и используем в доказательстве пункты 1) — 4).
3. Признак параллельных прямых действует и как свойство параллельных прямых.
При пересечении двух параллельных прямых третьей секущей:
— накрест лежащие углы равны,
— соответственные углы равны,
— сумма односторонних углов равна \(180°\).
О других свойствах параллельных прямых — в следующем пункте теории.
www.yaklass.ru
Если две прямые на плоскости параллельны, то они пересекаются?
то ты беременный
Да да да. Параллельные же всегда пересекаются, как ты мог этого не знать
нет, не пересекаются никогда
<img src=»//otvet.imgsmail.ru/download/u_4eec3d8bf9a3d504043b1bb489ea989f_800.jpg» alt=»» data-lsrc=»//otvet.imgsmail.ru/download/u_4eec3d8bf9a3d504043b1bb489ea989f_120x120.jpg» data-big=»1″>Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. <a href=»/» rel=»nofollow» title=»54534844:##:https://mathvox.ru/geometria/osnovnie-ponyatiya-i-figuri-geometrii/glava-4-parallelnie-pryamie-i-ih-svoistva/parallelnie-pryamie-i-parallelnie-otrezki/»>[ссылка заблокирована по решению администрации проекта]</a>
Обычно считают, что нет. Однако есть и другой вариант. «В евклидовой геометрии параллельными прямыми называются прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. В другом варианте определения совпадающие прямые также считаются параллельными».(Википедия) «В евклидовой геометрии пересечение двух прямых может быть пустым множеством, точкой или прямой». (Википедия) Рассмотреть случай, когда 2 прямые совпадают. Из другого варианта определения следует, что такие прямые параллельны. Ну, и нетрудно заметить, что эти прямые пересекаются (во всех своих точках, т. е. их пересечение — прямая). Вывод: если 2 прямые на плоскости параллельны и пересекаются, то они могут совпадать. <img src=»https://otvet.imgsmail.ru/download/237066533_3b04603287f011db81b5efaf43f0792a_800.png» data-lsrc=»//otvet.imgsmail.ru/download/237066533_3b04603287f011db81b5efaf43f0792a_120x120.png»>
touch.otvet.mail.ru
Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве
Две прямые в пространстве называются
Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости.
Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то прямые пересечения плоскостей параллельны. Через точку, не лежащую в данной плоскости, можно провести параллельную плоскость, и притом только одну.
, так как 
Отрезки параллельных прямых между параллельными плоскостями равны.
= = 
Прямые в пространстве называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. Прямая, пересекающая плоскость, называется
Прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум прямым в плоскости, проходящим через точку их пересечения.
.
Через каждую точку плоскости можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну. Все прямые, перпендикулярные данной плоскости, параллельны.
Перпендикуляр, опущенный из данной точки на данную плоскость, — это отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, которая перпендикулярна плоскости. Основание перпендикуляра — это его конец, лежащий в плоскости.
Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного от этой точки на плоскость.
Наклонная, проведенная из данной точки к данной плоскости, — это любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, который не является перпендикуляром к плоскости. Конец отрезка, который лежит в плоскости, — это основание наклонной. Проекция наклонной — это отрезок, который соединяет основания перпендикуляра (точку С) и наклонной (точку А).
Если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и наклонной. И обратно, если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной
Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если плоскость, перпендикулярная прямой их пересечения, пересекает данные плоскости по перпендикулярным прямым.
Так как 
, то .
budu5.com
1. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми
Как известно из курса планиметрии, две прямые в плоскости могут пересекаться (имеют общую точку) или быть параллельными (не имеют общую точку).В пространстве мы можем представить ситуацию, когда две прямые не пересекаются, но они и не параллельны.
Одна дорога проходит по эстакаде, а другая под эстакадой
Кабели моста
Горизонтальные линии крыши и вертикальные линии стен
Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.
Теорема «Признак скрещивающихся прямых»Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся (не лежат в одной плоскости).
ДоказательствоРассмотрим прямую \(AB\), лежащую в плоскости, и прямую \(CD\), которая пересекает плоскoсть в точке \(D\), не лежащей на прямой \(AB\).
1. Допустим, что прямые \(AB\) и \(CD\) всё-таки лежат в одной плоскости.
2. Значит, эта плоскость идёт через прямую \(AB\) и точку \(D\), то есть, она совпадает с плоскостью \(α\).
3. Это противоречит условиям теоремы, по которым прямая \(CD\) не находится в плоскости \(α\), а пересекает её.
Теорема доказана.
В пространстве прямые расположены следующим образом:
1. параллельные;
2. пересекающиеся;
3. скрещивающиеся.
ТеоремаЧерез каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.
ДоказательствоРассмотрим скрещивающиеся прямые \(AB\) и \(CD\).
1. Через точку \(D\) можно провести прямую \(DE\), параллельную \(AB\).
2. Через пересекающиеся прямые \(CD\) и \(DE\) можно провести плоскость \(α\).
3. Так как прямая \(AB\) не лежит в этой плоскости и параллельна прямой \(DE\), то она параллельна плоскости.
4. Эта плоскость единственная, так как любая другая плоскость, проходящая через \(CD\), будет пересекаться с \(DE\) и \(AB\), которая ей параллельна.
Теорема доказана.
Углы между прямыми
1. Если прямые параллельны, то угол между ними — 00.2. Углом между двумя пересекающимися прямыми называют величину меньшего из углов, образованных этими прямыми. Если все углы равны, то эти прямые перпендикулярны (образуют угол 900).
3. Углом между двумя скрещивающимися прямыми называют угол между двумя пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся прямым.
Обрати внимание!
Провести соответственные прямые, параллельные данным скрещивающимся прямым, можно через любую точку. Иногда удобно выбрать эту точку на одной из данных скрещивающихся прямых и провести через эту точку прямую, параллельную другой из скрещивающихся прямых.
Пример:
дан куб ABCDA1B1C1D1.
Найти угол между AB и B1D1.
Выберем точку B на прямой AB и проведём через B прямую BD параллельно B1D1.
Угол между AB и BD — 450, так как ABCD — квадрат.
Соотвeтственно, угол между AB и B1D1 — тоже 450.
www.yaklass.ru
Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Признак параллельности плоскостей
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости
параллельны.
Дано:
• | а α; в α; | а |
|
| b |
| а∩в=М; |
| М | ||
|
|
| |||
• | а1 β; в1 β; | α |
|
| b1 |
• а║а1; в║в1 | а | 1 | М1 | ||
|
| ||||
|
|
|
| ||
• | Доказать, | β |
|
|
|
• | что α || β |
|
|
|
|
Доказательство от противного
•а α; а1 β; а║а1 а║β
вα; в1 β; в║в1 в║β
•Пусть α ∩ β = с
•Тогда
•а || β, α ∩ β = с а || с.
•b || β, α ∩ β = с b || с.
•а ∩ в=М; а║с; и в║с а||b
•Находим противоречие условию: через точку М проходят две прямые а и b, параллельные прямой с.
•Предположение α ∩ β = с — неверно
а | М | b |
| ||
α |
| с |
а1 | М1 | b1 |
β |
|
|
Какие теоремы мы использовали при доказательстве признака?
а α; а1 β; а║а1 а║β; в α; в1 β; в║в1 в║β
Пусть α ∩ β = с
Тогда а || β, α ∩ β = с а || с.
b || β, α ∩ β = с b || с.
Признак параллельности прямой и плоскости
Делаем предположение, противное заключению
Теорема о линии пересечения плоскостей
а ∩ в=М; а║с; и в║с а||b | Теорема о параллельности |
| трех прямых в |
| пространстве |
Находим противоречие условию: | Теорема о параллельных |
через точку М проходят две | прямых |
прямые а и b, параллельные прямой |
|
с. |
|
Предположение | Делаем вывод, α || β |
α ∩ β = с — неверно
Задача № 51.
(еще один признак параллельности)
Дано: т ∩ п = К, т Є α, п Є α, |
|
| |||||||
т || β, | п || β. |
|
|
|
| п | |||
Доказать: α || β. |
|
| т | К | |||||
|
|
| |||||||
1) Допустим, что | α ∩ β = с |
|
| α |
| с | |||
|
|
|
| ||||||
|
|
|
|
|
|
|
| ||
|
|
| п || β, т || β |
|
|
| |||
2) Так как | __ | _, |
|
| |||||
|
|
| |||||||
то _ |
|
|
|
|
|
| |||
| т || с и п || с | _. |
|
| |||||
|
|
|
| β |
|
| |||
3) Получаем, что |
|
|
|
| |||||
через точку К проходят две прямые параллельные прямой с.
Задача № 53. Дано: отрезки А1А2, В1В2, С1С2 не лежат в
одной плоскости и имеет общую середину — точку О. Доказать: А1В1С1║А2В2С2.
Доказательство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
А1А2, и В1В2 лежат в одной |
|
|
|
| ||||||
плоскости по следствию из А1 |
|
|
|
| ||||||
(через две пересекающиеся |
|
|
|
| ||||||
прямые проходит плоскость, и |
| А1 |
| С1 | ||||||
притом только одна). |
|
|
|
| ||||||
А1В1А2В2 — параллелограмм |
|
|
|
| ||||||
(диагонали четырехугольника |
|
|
|
| ||||||
пересекаются и в точке |
|
|
| В2 | ||||||
пересечения делятся пополам). |
|
| ||||||||
Следовательно, А1В1║ А2В2 | В1 |
|
|
| ||||||
Аналогично А | А , и С | С | 2 | лежат в |
|
|
| |||
1 |
| 2 | 1 |
|
|
|
|
|
| |
одной плоскости. А1С1А2С2 — |
|
|
|
| ||||||
параллелограмм. |
|
|
|
|
|
|
|
| ||
Отсюда, А1С1 ║ А2С2 |
|
|
|
|
|
| С | 2 | ||
А1В1 ∩ А1С1 =А1; А2В2 ∩ А2С2 = А2. |
|
|
| |||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| 2 |
|
По признаку параллельности плоскостей А1В1 С1║А2В2С2.
Задача № 54.
• Дано: ΔАDС. М, К, Р — середины ВА, ВС, ВD соответственно. SADC = 48 см2.
Доказать: а) МРN║ВАDС. б) Найти: SMNP.
N
М
C
Р
А 
Отвечаем на вопросы
1.Могут ли прямая и плоскость не иметь общих точек?
2.Верно ли, что если две прямые не пересекаются, то они параллельны?
3.Плоскости и β параллельны, прямая m не лежит в плоскости . Верно ли, что прямая m параллельна плоскости β?
4.Верно ли, что если прямая а параллельна одной из двух параллельных плоскостей, с другой плоскостью прямая а имеет одну общую точку?
5.Боковые стороны трапеции параллельны плоскости . Верно ли, что плоскость трапеции параллельна плоскости ?
6.Две стороны трапеции лежат в параллельных плоскостях. Могут ли эти стороны быть боковыми сторонами трапеции?
7.Верно ли, что плоскости параллельны, если прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна другой плоскости?
8.Верно ли, что линия пересечения двух плоскостей параллельна одной из этих плоскостей?
9.Верно ли, что любые четыре точки лежат в одной плоскости?
10.Верно ли, что если две стороны треугольника параллельны плоскости , то и третья сторона параллельна плоскости ?
Проверяем свою работу
1.Могут ли прямая и плоскость не иметь общих точек? Да
2.Верно ли, что если две прямые не пересекаются, то они параллельны? Нет
3.Плоскости и β параллельны, прямая m не лежит в плоскости . Верно ли, что прямая m параллельна плоскости β? Да
4.Верно ли, что если прямая а параллельна одной из двух параллельных плоскостей, с другой плоскостью прямая а имеет одну общую точку? Нет
5.Боковые стороны трапеции параллельны плоскости . Верно ли, что плоскость трапеции параллельна плоскости ? Да
6.Две стороны трапеции лежат в параллельных плоскостях. Могут ли эти стороны быть боковыми сторонами трапеции? Нет
7.Верно ли, что плоскости параллельны, если прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна другой плоскости? Нет
8.Верно ли, что линия пересечения двух плоскостей параллельна одной из этих плоскостей? Нет
9.Верно ли, что любые четыре точки лежат в одной плоскости? Нет
10.Верно ли, что если две стороны треугольника параллельны плоскости , то и третья сторона параллельна плоскости ? Да
studfile.net
верно утверждение? Если две прямые на плоскости параллельны, то они не пересекаются.
Зарабатывай с помощью своего интернета! — <a rel=»nofollow» href=»http://clickpaotvetmail.blogspot.com?0=71287610&domain=mail.ru&error=1?http://mail.ru/» target=»_blank»>https://kwork.ru</a>
Зарабатывай с помощью своего интернета! — <a rel=»nofollow» href=»http://clickpaotvetmail.blogspot.com?0=60446694&domain=mail.ru&error=1?http://mail.ru/» target=»_blank»>https://kwork.ru</a>
<a rel=»nofollow» href=»http://v.ht/Mtnp?0=311487″ target=»_blank»>Sand посмотри здесь, страница 854</a>
Ну так загрузите его на студенческий сайт: reshebnik . biz Уже помогли 5883 студентам
В начертательной геометрии они пересекаются (картины, изображения) и в неевклидовой геометрии (там вообще все не как у людей). «Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её.»
это постулат… как ты собрался его доказывать ? постулаты не подлежат док-ву не потому что они истинны, а потому что они принимаются за истину.. да даже не за истину… просто так решили
Ну это про Идеальный вымышленный мир кстати этой науки по-моему уже 2000 лет….
touch.otvet.mail.ru