Замкнутые и незамкнутые линии. Видеоурок. Математика 1 Класс

На этом уроке мы познакомимся с понятиями «замкнутая линия» и «незамкнутая линия», научимся их различать и строить. Также рассмотрим такие понятия, как «звенья» и «вершины» кривой линии. В дальнейшем эти знания будем использовать для решения более сложных задач.

Тема: Знакомство с основными понятиями

Урок: Замкнутые и незамкнутые линии

Задание 1

На данном рисунке видим, что овечке легче будет выбраться из первой ограды, потому что она открыта – незамкнутая. Из-за второй ограды будет выйти сложнее, так как она закрыта. Начертим линии, которые будут соответствовать первой и второй ограде.

Итак, мы получили две линии, из которых первая замкнутая, а вторая незамкнутая.

Задание 2:  Определить, какие линии на рис. 3 замкнутые, а какие незамкнутые.

На  рисунке видим, что линии № 1, 3, 6 – это незамкнутые линии. Для того чтобы сомкнуть эти линии, достаточно соединить концы линий вместе. Получим:

Итак, линия, концы которой не соединены вместе, называется незамкнутой линией. Линия, концы которой соединены вместе, называется замкнутой линией.

Каждая ломаная линия состоит из нескольких отрезков – звеньев. Звенья ломаной не лежат на одной прямой. Конец одного звена является началом другого. Место, где соединяются два звена, а также концы разомкнутой ломаной, называется

вершиной.

Итак, на данном уроке мы познакомились с понятиями «замкнутая линия» и «незамкнутая линия». Мы научились их строить, а также применять знания на практике для построения таких линий.

 

Список литературы

1. Александрова Л.А., Мордкович А.Г. Математика 1 класс. – М: Мнемозина, 2012.
2. Башмаков М.И., Нефедова М.Г. Математика. 1 класс. – М: Астрель, 2012.
3. Беденко М.В. Математика. 1 класс. – М7: Русское слово, 2012.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Фестиваль педагогических идей (Источник).

2. Социальная сеть работников образования (Источник).

3. Фестиваль педагогических идей (Источник).

 

Домашнее задание

1. Определить, какие линии изображены на рисунке.

2. Определить количество звеньев каждой линии.

3. Определить количество вершин каждой линии.

4. Построить незамкнутую линию, у которой 4 вершины.

5. Построить замкнутую линию, у которой 6 звеньев.

 

interneturok.ru

Линии — геометрия и искусство

Кандинский систематизировал свои взгляды на живопись в книге «Точка и линия на плоскости» (1926). Изучая геометрические формы, художник нашёл, что с их помощью можно усиливать или ослаблять свойства цвета. Для  этой картины он использовал приглушённую палитру, смещённую к цветам, расположенным в одной части спектра.

Цитаты из книги:
ЛИНИЯ
Геометрическая линия – это невидимый объект. Она – след перемещающейся точки, то есть ее произведение. Она возникла из движения – а именно вследствие уничтожения высшего, замкнутого в себе покоя точки. Здесь произошел скачок из статики в динамику.
Таким образом, линия – величайшая противоположность живописного первоэлемента – точки. И она с предельной точностью может быть обозначена как вторичный элемент.

ВОЗНИКНОВЕНИЕ
Силы, приходящие извне, преобразовавшие точку в линию, могут быть различными. Разнообразие линий зависит от числа этих сил и их комбинаций.
В конце концов [происхождение] всех форм линий можно свести к двум случаям:
1. приложение одной силы и
2. приложение двух сил:
а) одно- или многократное поочередное воздействие обеих сил,
б) одновременное воздействие обеих сил.

ПРЯМАЯ
Если одна приходящая извне сила перемещает точку в каком-либо направлении, то возникает первый тип линии, причем выбранное направление остается неизменным, и сама линия стремится двигаться по прямому пути бесконечно.

Это – прямая, представляющая в своем напряжении самую сжатую форму бесконечной возможности движения.
…
Среди прямых мы выделяем три типа, по отношению к которым все прочие прямые – лишь отклонения.
1. Простейшая форма прямой – это горизонталь. В человеческом представлении она соответствует линии или поверхности, на которой человек стоит или передвигается. Итак, горизонталь – это холодная несущая основа, которая может быть продолжена на плоскости в различных направлениях. Холод и плоскостность – это основные звучания данной линии, она может быть определена как кратчайшая форма неограниченной холодной возможности движения.
2. Полностью противоположна этой линии и внешне, и внутренне стоящая к ней под прямым углом вертикаль, в которой плоскостность заменяется высотой, то есть холод – теплом. Таким образом, вертикаль является кратчайшей формой неограниченной теплой возможности движения.

3. Третий типичный вид прямой – это диагональ, которая схематичным образом под равным углом отклоняется от обеих вышеназванных и тем самым имеет к обеим равное тяготение, что и определяет ее внутреннее звучание, равномерное соединение холода и тепла. Итак: кратчайшая форма неограниченной тепло-холодной возможности движения…

geometry-and-art.ru

Лекция № 15. Маршруты, цепи и циклы.

1. Основные определения.

Пусть G(V, Е) – неориентированный граф. Рассмотрим конечную последовательность рёбертакую, что любые два соседние ребра

имеют одну общую инцидентную вершину. Эту последовательность называетсямаршрутом графа.

Определение .Маршрутом (путем)для графаG(V, Е)называется последовательностьv₁e₁v₂e₂v₃…e_kv_k+1. Маршрут называетсязамкнутым, если его начальная и конечная точки совпадают. Число ребер (дуг) маршрута (пути) графа называетсядлиной маршрута (пути).

Любой отрезок конечного или бесконечного маршрута вида

, гдетакже является маршрутом и называется участком маршрута.

Заметим, что одно и то же ребро может встречаться не один раз. Вершина , инцидентная первому ребру маршрутаи не инцидентная следующему ребру, называется началом маршрута. Причём если эти рёбра кратные, то необходимо указать, какая именно из двух инцидентных им вершин является началом маршрута. Аналогично определяется конец маршрута. Вершины, инцидентные рёбрам маршрута, за исключением первой и последней, называются

промежуточными. Причём, поскольку одной вершине может быть инцидентно несколько рёбер, начало и конец маршрута могут быть в то же время промежуточными точками. Таков, например, маршрутна рисунке 1, где вершина 1 является началом маршрута и, в то же время, промежуточной точкой.

Рисунок 1.

Рассмотрим случай, когда , то есть начало и конец маршрута совпадают. Отметим, что в этом случае маршрут может быть только конечным..

Определение.Незамкнутый маршрут (путь) называетсяцепью. Цепь, в которой все вершины попарно различны, называетсяпростой цепью.

В простой цепи любая вершина маршрута инцидентна не более чем двум его рёбрам.

Определение.Замкнутый маршрут (путь) называетсяциклическим маршрутом илициклом (контуром). Цикл, в котором все вершины попарно различны, называетсяпростым циклом.

Иначе говоря, простой цикл – это циклический маршрут, в котором любые два соседние ребра имеют одну инцидентную вершину. Последовательности ,ипредставляют один и тот же цикл (рисунок 2). Часто считается, что можно менять порядок рёбер цикла на противоположный, то есть, например, последовательность

представляет тот же цикл.

Рисунок 2.

Участок цепи или цикла является цепью; соответственно, участок простой цепи или простого цикла является простой цепью.

2. Связные компоненты графов.

Определение.Вершиныиназываются связанными, если существует маршрутс началоми концом. Наоборот, маршрутс началоми концомназывается связывающим эти вершины.

Очевидно, что при существовании маршрута должен также существовать маршрутс началоми концом, в котором рёбра идут в противоположном порядке. Можно показать, что любые две связанные маршрутомвершины можно связать маршрутом, являющимся простой цепью, состоящей из участков маршрута.

Если вершина связана с какой-то вершиноймаршрутом, то она, естественно связана с собой маршрутом, состоящим из маршрутови. Более того, принято считать, что изолированная вершина также связана сама с собой, то есть отношение связности, заданное на множестве вершин данного графарефлексивно. Оно также симметрично и транзитивно, а поэтому является отношением эквивалентности. Тогда оно порождает разбиение множествана непересекающиеся подмножества такие, что вершины одного подмножествасвязаны между собой и не связаны с вершинами другого подмножества. Это, в свою очередь, означает, что граф может быть разложен в прямую сумму подграфов:.

Определение. Граф называется связным, если все его вершины связаны между собой.

Поэтому все подграфы связного графа связны и называются связными компонентами графа.

3. Расстояния. Диаметр, радиус и центр графа. Протяжённости.

Пусть связный неориентированный граф,любые две его вершины. Тогда существует связывающая их простая цепь. Если количество этих рёбер— не минимальное из возможных, существует цепь, причём.

Штрихи в обозначении используются, потому что не обязательно рёбра под одинаковыми индексами будут совпадать.

Если же и не минимально, то найдётся связывающая эти вершины цепьс ещё меньшим количеством рёбер и так далее. Однако этот процесс не бесконечен, его можно повторить не более, чемраз. Тогда существует цепьсвязывающая вершиныис минимальным количеством рёбер.

Определение.Минимальная длина простой цепи с началом в вершинеи концом в вершиненазываетсярасстояниеммежду этими вершинами. Обозначается:.

Расстояние между любой вершиной и ею самой равно 0. Ему соответствует нулевой маршрут, не содержащий рёбер. Для любой пары различных вершинивыполняется, так как связывающая их цепь состоит хотя бы из одного ребра. Вообще, расстояниеудовлетворяет аксиомам метрики:

1) , причёмтогда и только тогда, когда;

2) .

Также для расстояния выполняется неравенство треугольника: для любых трёх вершинвыполняется неравенство:.

Это позволяет, для простоты рассуждений, измерять расстояние между вершинами по числу рёбер простой цепи, соединяющей их (тем более, что геометрические характеристики рёбер мы не учитываем)..

Определение.Диаметромконечного графаназывается наибольшее из расстояний между парой его вершин:.

Кратчайшие простые цепи, связывающие две вершины графа с максимальным расстоянием между ними, называются диаметральными простыми цепями.

Пусть — рассматриваемая вершина данного графа, апроизвольная вершина графа.Максимальным удалениемв графеот фиксированной вершиныназывается величина.

Определение. Вершинаназываетсяцентром графа, если максимальное удаление от неё до остальных вершин графа принимает минимальное значение:.

Максимальное удаление от центра графа называется его радиусоми обозначается, а любая кратчайшая цепь от центра до наиболее удаленной от него вершины —радиальной цепью.

Замечание.Граф может иметь более одного центра. Например, в полном неориентированном графе, в котором две любые различные вершины соединены ребром, радиус равен единице, а любая вершина является центром.

Пусть — конечный, связный граф, число рёбер которого равно. Из соображений, изложенных при изучении комбинаторики, можно сделать очевидный вывод. Количество последовательностей рёбер этого графа конечно и равно. Следовательно, конечно и количество простых цепей, в которых рёбра не повторяются.

Определение.Протяжённостьюназывается максимальная из длин связывающих эти вершины простых цепей.

4. Эйлеровы графы.

Определение.Цепь (цикл) в графеGназываетсяЭйлеровым, если она проходит по одному разу через каждое ребро графаG.

Теорема 15.1.Для того, чтобы связный граф G обладал Эйлеровым циклом, необходимо и достаточно, чтобы степени его вершин были четными.

Рисунок 3

а) б)

Задача, которая привела к появлению понятия Эйлерова цикла, широко известна в истории математики. Это так называемая задача о кенигсбергских мостах. Расположение семи мостов в городе Кенигсберге в начале XVIII века приведено на рисунке 3а. Требуется обойти город, пройдя через каждый мост ровно один раз, и вернуться в исходную точку.

Можно представить описанную задачу следующим образом. Имеется связный неориентированный граф с четырьмя вершинами и семью рёбрами. Требуется выяснить, существует ли простой цикл, позволяющий обойти данный граф по маршруту, включающему в себя по одному разу каждое ребро графа.

Именно решение данной задачи привело Л. Эйлера к доказательству приведённой выше теоремы. Кстати, согласно ей, данная задача неразрешима, поскольку степени всех вершин графа нечётны.

Теорема 15.2.Для того, чтобы связный граф G обладал Эйлеровой цепью, необходимо и достаточно, чтобы он имел ровно две вершины нечетной степени.

По сути дела, теоремы 15.1 и 15.2 описывают условия, при которых можно построить геометрическую фигуру “не отрывая карандаша от бумаги”, одной сплошной линией. Только в первом случае начало и конец этой линии будут совпадать, а во втором случае они будут различны.

Определение.Цикл (цепь) в графеGназываетсяГамильтоновым, если он проходит через каждую вершину графаG ровно один раз.

Пример 1.

а)

— в графе есть и Эйлеров и Гамильтонов циклы

б)

— в графе есть Эйлеров цикл, но нет Гамильтонова

в)

— в графе есть гамильтонов, но нет Эйлерова цикла

г)

— в графе нет ни Эйлерова, ни Гамильтонова цикла

Граф Gназываетсяполным, если каждая его вершина является смежной со всеми остальными вершинами. В полном графе всегда существуют гамильтоновы циклы.

Также необходимым условием существования гамильтонова цикла является связность графа.

Назад, в начало конспекта.

studfile.net

какая линия не имеет ни начала ни конца

Прямая. Отрезок имеет начало и конец, а линия не имеет. Прямая линия — алгебраическая линия первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение) и существует при любых значениях плоских координат доступного числового ряда.

Линия горизонта.

замкнутая окружность

У некоторых- линия ума))

touch.otvet.mail.ru

9.3. Трансформирующие свойства отрезков линий передачи.

мо малую часть мощности набегающей волны. Это объясняется тем, что дипольный момент отрезка dz1 провода 1 отличается от дипольного момента соответствующего отрезка dz2 на проводе 2 лишь знаком, а волны, создаваемые этими диполями, в любой дальней точке пространства имеют при условии kb<<1 малую дополнительную разность фаз и практически полностью гасят друг друга.

Если же условие kb<<1 не выполняется, то линия интенсивно излучает электромагнитные волны в окружающее пространство, причем это излучение никак не учитывается телеграфными уравнениями. На практике при невыполнении условия kb<<1 двухпроводная линия становится не пригодной для передачи электромагнитной энергии, так как любая неоднородность приводит к большим потерям энергии на излучение

Отрезок линии, нагруженный на одном конце на некоторое сопротив-

Рис. 9.6.

ление (рис.9.6), обладает трансформирующими свойствами, поскольку его входное сопротивление отличается от сопротивления нагрузки. Установим зависимость между этими сопротивлениями.

Для начала перепишем равенство (9.5), полагая, что сопротивление нагрузки ZH не равно ZВ:

U (z) = Ae− jГz + Be jГz ,

(9.37)

где Г = β − jα .

Полный ток в каждом сечении линии (рис. 9.6.) равен сумме токов, которые создаются падающей волной Iпад, распространяющейся в направлении от сечения z=0 к нагрузке, и волной Iотр ,отраженной от нагрузки:

I(z)=Iпад(z)-Iотр(z), т.е.	I (z) =	A	e− jГz −	B	e jГz .	(9.38)
		ZB		ZB

В сечении Z = l отношение величин U H = U (l)и I H = I (l) из (9.37) и (9.38) равно сопротивлению нагрузки

147

	UH	Ae− jГl + Be jГl
ZH =		= ZB Ae− jГl − Be jГl .	(9.39)
	IH

Отсюда можно выразить отношение коэффициентов В и А, которое понадобится в дальнейшем

B	=	ZH − ZB	e−2 jГl .	(9.40)
A
		ZH + ZB

Теперь рассмотрим ток и напряжение в сечении z=0. Полагая z=0, запишем отношение выражений (9.37) и (9.38):

Zвх =

U вх

U (0)

= Z B

A + B

=

,

Iвх

I (0)

A − B

откуда

(1

+ B / A )

Z

вх

=

.

(9.41)

Z

B

(1

− B / A )

Здесь Zвх – входное сопротивление отрезка линии (рис. 9.5). Подставляя (9.40) в (9.41), получаем

Zвх			Z	1+ exp(−2 jГl) + Z		1− exp(−2 jГl)
		=		H		В
Z								.	(9.42)
	В		Z	1− exp(−2 jГl) + Z		1+ exp(−2 jГl)
				H		В

Применив известные соотношения для гиперболических функций, получим

				+			(9.43)
Zвх = ZH		+ th( jГl)	/ 1		ZH th( jГl) .
ZВ	ZВ				ZВ

Выражение (9.43) и устанавливает искомую связь между сопротивлением нагрузки на конце линии длиной l и входным сопротивлением последней.

Из (9.43) следует, что при равенстве сопротивлений нагрузки и волнового сопротивления линии (ZH=ZВ) входное сопротивление Zвх линии совпадает с волновым, т.е. Zвх= ZВ. В этом случае исчезает волна, отраженная от нагрузки, и говорят, что линия идеально согласована.

Запишем формулу (9.43) для входного сопротивления отрезка линии без потерь (Г = β; α = 0)

Z	вх	Z		H				Z	H
		=			+ tg(βl)	/ 1	+			tg(βl)	(9.44)
ZВ								ZВ
		ZВ

и установим свойства отрезков линий передачи, длины которых кратные половине или четверти длины волны в этой линии на определенной частоте.

При βl = π или βl = nπ, где n – целое число, tgπ = tg(nπ)= 0 . Подставляя это значение тангенса в (9.44), получаем

148

Значению βl = π соответствует l = λВ / 2, так как β = 2π / λВ . Следовательно, входное сопротивление полуволнового отрезка линии передачи без потерь равно величине сопротивления, подключенного к его концу.

Еще одно важно свойство полуволновых трансформаторов – дополнительный фазовый сдвиг 1800, вносимый трансформатором.

Интересный результат следует из (9.44) при βl = π/2. Если подставить βl, равное π/ 2 или nπ/ 2, где n – нечетное целое число, то можно в (9.44) пренебречь слагаемым ZH/ZВ, так как функция tg(βl) стремится к бесконечности. Поэтому из (9.44) следует Zвх/ZВ=ZВ/ZH, откуда

Согласно этому равенству два разных сопротивления (Zвх и ZH) можно согласовать, если между ними включить четвертьволновой отрезок линии или отрезок с длиной, составляющей нечетное число четвертей длины волны с волновым сопротивлением ZB, равным среднему геометрическому из согласуемых сопротивлений.

9.4. Короткозамкнутые и разомкнутые на конце отрезки линии передачи (шлейфы).

Отрезку линии, разомкнутому на конце, соответствует нагрузка с бесконечно большим сопротивлением (ZH = ∞), а короткозамкнутому отрезку линии – нагрузка с нулевым сопротивлением (Z H = 0). Входное сопротивление линии при коротком замыкании (Zвх.кз) определяется из равенства (9.44),

связывающего входное сопротивление и сопротивление нагрузки:
Zвх.кз = ZВth( jГl).
Если потери достаточно малы, и ими можно пренебречь, то
Zвх.кз = Z Вth(jβl)= jZ Вtg(βl).	(9.47)
Для разомкнутой на конце линии, т.е. при отключенной нагрузке,
Zвх.хх = ZВ / th( jГl).
При малых потерях
Zвх.хх = − jZ В / tg(βl)= − jZ Вctg(βl).	(9.48)

Из выражений (9.47) и (9.48) следует, что входное сопротивление короткозамкнутого или разомкнутого на конце отрезка линии зависит от его длины l и носит либо емкостной, либо индуктивный характер. В литературе такие отрезки линии получили название шлейфов. Зависимость входного со-

149

Рис. 9.7.

противления шлейфа от длины волны, рассчитанная по (9.47) и (9.48) при 0 ≤ l ≤ λ / 4 представлена на рис. 9.7.

В идеально разомкнутой либо короткозамкнутой линии вся энергия падающей волны отражается от конца линии и возвращается к ее входу.

Перемножая выражения (9.47) и (9.48), находим

Zвх.кз Zвх.хх = Z В2 .

(9.49)

На этом равенстве основан простой метод определения волнового сопротивления линии передачи: сначала измеряется входное сопротивление линии в режиме короткого замыкания, а затем в режиме холостого хода.

На рис. 9.8 представлена зависимость входного сопротивления корот-

Рис. 9.8.

козамкнутого отрезка линии передачи без потерь от частоты при фиксированной длине отрезка. (Zвх = jZВtg(2π fl /υф))

На низких частотах входное сопротивление носит чисто индуктивный характер. Бесконечно большое реактивное сопротивление при f=νΦ /(4l), где

длина отрезка равна четверти длины волны в линии, сходно с сопротивлением параллельного резонансного контура на частоте резонанса. При дальнейшем увеличении частоты входное сопротивление становится чисто емкост-

150

ным, так как значения тангенса отрицательны. Затем входное сопротивление изменяется от емкостного к индуктивному, проходя через нуль на частоте f = νΦ /(2l), что аналогично последовательному резонансному LC-контуру.

При дальнейшем повышении частоты картина периодически повторяется. Возможность реализации произвольных значений индуктивности и ем-

кости с помощью короткозамкнутых и разомкнутых шлейфов позволяет использовать их при построении согласующих схем.

Рис. 9.9.

На рис. 9.9. иллюстрируются процедура формирования стоячей волны при полном отражении в короткозамкнутом отрезке.

Из левой диаграммы 1 на рис. 9.9 видно, что в начальный момент времени падающая и отраженная волны тока противофазны, а суммарный ток в любом сечении линии равен нулю. В тот же момент времени падающая и отраженная волны напряжения синфазны (правая диаграмма 1). Из диаграммы 2, соответствующей более позднему моменту времени, видно, что отраженная волна прошла справа налево расстояние, равное λ / 4 , а падающая – то же расстояние, но в обратном направлении, в результате чего обе тока волны оказались в фазе. В тот же момент падающая и отраженная волны напряжения полностью гасят друг друга в любом сечении линии. Аналогично строятся распределения тока и напряжения, представленные на диаграммах 3 и 4. Суперпозиция падающей и отраженной волн представляет собой в линии без потерь стоячую волну – рис.9.10. В режиме холостого хода на рис. 9.9 достаточно поменять местами распределения тока и напряжения.

151

studfile.net

Цепи с распределенными параметрами (Лекция №40)

В предыдущих лекциях рассматривались электрические цепи, геометрические размеры которых, а также входящих в них элементов не играли роли, т.е. электрические и магнитные поля были локализованы соответственно в пределах конденсатора и катушки индуктивности, а потери мощности – в резисторе. Однако на практике часто приходится иметь дело с цепями (линии электропередачи, передачи информации, обмотки электрических машин и аппаратов и т.д.), где электромагнитное поле и потери равномерно или неравномерно распределены вдоль всей цепи. В результате напряжения и токи на различных участках даже неразветвленной цепи отличаются друг от друга, т.е. являются функциями двух независимых переменных: времени t и пространственной координаты x. Такие цепи называются цепями с распределенными параметрами. Смысл данного названия заключается в том, что у цепей данного класса каждый бесконечно малый элемент их длины характеризуется сопротивлением, индуктивностью, а между проводами – соответственно емкостью и проводимостью.

Для оценки, к какому типу отнести цепь: с сосредоточенными или распределенными параметрами – следует сравнить ее длину l с длиной электромагнитной волны . Если , то линию следует рассматривать как цепь с распределенными параметрами. Например, для , т.е. при , и . Для , т.е. уже при к линии следует подходить как к цепи с распределенными параметрами.

Для исследования процессов в цепи с распределенными параметрами (другое название – длинная линия) введем дополнительное условие о равномерности распределения вдоль линии ее параметров: индуктивности, сопротивления, емкости и проводимости. Такую линию называют однородной. Линию с неравномерным распределением параметров часто можно разбить на однородные участки.

Уравнения однородной линии в стационарном режиме

Под первичными параметрами линии будем понимать сопротивление , индуктивность , проводимость и емкость , отнесенные к единице ее длины. Для получения уравнений однородной линии разобьем ее на отдельные участки бесконечно малой длины со структурой, показанной на рис. 1.

Пусть напряжение и ток в начале такого элементарного четырехполюсника равны u и i, а в конце соответственно и .

Разность напряжений в начале и конце участка определяется падением напряжения на резистивном и индуктивном элементах, а изменение тока на участке равно сумме токов утечки и смещения через проводимость и емкость. Таким образом, по законам Кирхгофа

или после сокращения на

;

(1)

.

(2)

Теорию цепей с распределенными параметрами в установившихся режимах будем рассматривать для случая синусоидального тока. Тогда полученные соотношения при можно распространить и на цепи постоянного тока, а воспользовавшись разложением в ряд Фурье – на линии периодического несинусоидального тока.

Вводя комплексные величины и заменяя на , на основании (1) и (2) получаем

;

(3)

,

(4)

где и — соответственно комплексные сопротивление и проводимость на единицу длины линии.

Продифференцировав (3) по х и подставив выражение из (4), запишем

.

Характеристическое уравнение

,

откуда

.

Таким образом,

,

(5)

где — постоянная распространения; — коэффициент затухания; — коэффициент фазы.

Для тока согласно уравнению (3) можно записать

,

(6)

где — волновое сопротивление.

Волновое сопротивление и постоянную распространения называют вторичными параметрами линии, которые характеризуют ее свойства как устройства для передачи энергии или информации.

Определяя и , на основании (5) запишем

.

(7)

Аналогичное уравнение согласно (6) можно записать для тока.

Слагаемые в правой части соотношения (7) можно трактовать как бегущие волны: первая движется и затухает в направлении возрастания х, вторая – убывания. Действительно, в фиксированный момент времени каждое из слагаемых представляет собой затухающую (вследствие потерь энергии) гармоническую функцию координаты х, а в фиксированной точке – синусоидальную функцию времени.

Волну, движущую от начала линии в сторону возрастания х, называют прямой, а движущуюся от конца линии в направлении убывания х – обратной.

На рис. 2 представлена затухающая синусоида прямой волны для моментов времени и . Перемещение волны характеризуется фазовой скоростью. Это скорость перемещения по линии неизменного фазового состояния, т.е. скорость, с которой нужно перемещаться вдоль линии, чтобы наблюдать одну и ту же фазу волны:

.

(8)

Продифференцировав (8) по времени, получим

.

(9)

Длиной волны называется расстояние между двумя ее ближайшими точками, различающимися по фазе на рад. В соответствии с данным определением

,

откуда

и с учетом (9)

.

В соответствии с введенными понятиями прямой и обратной волн распределение напряжения вдоль линии в любой момент времени можно трактовать как результат наложения двух волн: прямой и обратной, — перемещающихся вдоль линии с одинаковой фазовой скоростью, но в противоположных направлениях:

,

(10)

где в соответствии с (5) и .

Представление напряжения в виде суммы прямой и обратной волн согласно (10) означает, что положительные направления напряжения для обеих волн выбраны одинаково: от верхнего провода к нижнему.

Аналогично для тока на основании (6) можно записать

,

(11)

где и .

Положительные направления прямой и обратной волн тока в соответствии с (11) различны: положительное направление прямой волны совпадает с положительным направлением тока (от начала к концу линии), а положительное направление обратной волны ему противоположно.

На основании (10) и (11) для прямых и обратных волн напряжения и тока выполняется закон Ома

Рассмотрим теоретически важный случай бесконечно длинной однородной линии.

Бесконечно длинная однородная линия. Согласованный режим работы

В случае бесконечно длинной линии в выражениях (5) и (6) для напряжения и тока слагаемые, содержащие , должны отсутствовать, т.к. стремление лишает эти составляющие физического смысла. Следовательно, в рассматриваемом случае . Таким образом, в решении уравнений линии бесконечной длины отсутствуют обратные волны тока и напряжения. В соответствии с вышесказанным

(12)

На основании соотношений (12) можно сделать важный вывод, что для бесконечно длинной линии в любой ее точке, в том числе и на входе, отношение комплексов напряжения и тока есть постоянная величина, равная волновому сопротивлению:

.

Таким образом, если такую линию мысленно рассечь в любом месте и вместо откинутой бесконечно длинной части подключить сопротивление, численно равное волновому, то режим работы оставшегося участка конечной длины не изменится. Отсюда можно сделать два вывода:

Уравнения бесконечно длинной линии распространяются на линию конечной длины, нагруженную на сопротивление, равное волновому. В этом случае также имеют место только прямые волны напряжения и тока.

У линии, нагруженной на волновое сопротивление, входное сопротивление также равно волновому.

Режим работы длинной линии, нагруженной на сопротивление, равное волновому, называется согласованным, а сама линия называется линией с согласованной нагрузкой.

Отметим, что данный режим практически важен для передачи информации, поскольку характеризуется отсутствием отраженных (обратных) волн, обусловливающих помехи.

Согласованная нагрузка полностью поглощает мощность волны, достигшей конца линии. Эта мощность называется натуральной. Поскольку в любом сечении согласованной линии сопротивление равно волновому, угол сдвига между напряжением и током неизменен. Таким образом, если мощность, получаемая линией от генератора, равна , то мощность в конце линий длиной в данном случае

,

откуда КПД линии

и затухание

.

Как указывалось при рассмотрении четырехполюсников, единицей затухания является непер, соответствующий затуханию по мощности в раз, а по напряжению или току – в раз.

Литература

1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
2. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.2. Жуховицкий Б.Я., Негневицкий И.Б. Линейные электрические цепи (продолжение). Нелинейные цепи. –М.:Энергия- 1972. –200с.
3. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

Контрольные вопросы и задачи

1. В чем заключается разница между цепями с сосредоточенными и распределенными параметрами?
2. По какому критерию цепь относят к классу цепей с распределенными или сосредоточенными параметрами?
3. Нарисуйте схему замещения длинной линии.
4. Объясните понятия прямой и обратной бегущих волн.
5. Что такое согласованный режим работы цепи с распределенными параметрами, чем он характеризуется?
6. Определить первичные параметры линии, если ее вторичные параметры .

Ответ:

7. Определить по условиям предыдущей задачи КПД линии длиной 200 км, считая, что она нагружена на сопротивление, равное волновому.

Ответ: .

8. Определить , и для кабеля, у которого , , если частота .

Ответ: ; ; .

9. По условиям предыдущей задачи определить длину волны и ее фазовую скорость.

Ответ:

toehelp.ru

4. Линии ликвидуса и солидуса и принцип непрерывности

Любое чистое вещество кристаллизуется или плавится при постоянной температуре, так как при равновесии двух фаз (жидкой и твердой) число степеней свободы С=0.

Равновесие одной твердой фазы и двухкомпонентного расплава возможно в интервале температур (С=1). Для таких систем различают температуры начала и конца кристаллизации или начала и конца плавления.

Линия, выражающая зависимость температур начала равновесной кристаллизации одной твердой фазы из жидкости (или температур окончательного расплавления твердых фаз) от состава расплава, называется линией ликвидуса. Выше линии ликвидуса – линии насыщения жидкости одной твердой фазой – на диаграмме состояния устойчивы только жидкие фазы (верхняя линия и поле, расположенное выше нее, на рис. 1, а и 2).

В соответствии с принципом непрерывности линия ликвидуса плавная, без точек излома, если в системе только одна твердая фаза (см. рис. 1, а). При наличии нескольких твердых фаз в системе (см. рис. 2) на линии ликвидуса появляются точки излома, разделяющие ее на ряд ветвей и свидетельствующие об изменении числа и природы фаз.

Если в системе присутствует лишь одна жидкая фаза, то число ветвей ликвидуса совпадает с числом твердых фаз, насыщающих данную жидкость. Например, вещества А и В дают одну жидкую фазу (расплав) и две твердых – кристаллы А и В. Линия ликвидуса на диаграмме состояния такой системы (рис. 3) имеет две ветви СЕ и ЕН с точкой излома «Е».

Выше линии ликвидуса располагается поле I, где устойчив расплав. Ветвь ликвидуса СЕ — линия насыщения жидкости кристаллами А, а ветвь ЕН — линия насыщения расплава кристаллами В. Поэтому ниже линии СЕН размещается поле гетерогенностиIIиIII. В каждом из них существуют две фазы — жидкая и твердая.

Жидкость состава точки «Е» насыщена двумя твердыми фазами А и В. Поле существования этих двух твердых фаз и располагается ниже горизонтали ДЕF(механическая смесь).

Рис. 3. Диаграмма состояния системы, компоненты которой образуют одну жидкую и две твердые фазы

В системе (см. рис. 2) возможно равновесие расплава с одной из 3-х твердых фаз — раствором β, δ, γ или кристаллами химического соединения М. Поэтому на этой диаграмме три ветви ликвидуса A₁E;EM₁E’;E’B₁, разделенные несколькими точками излома Е иE’.

Линия, выражающая зависимость температур конца равновесной кристаллизации или начала расплавления твердых фаз от их состава, называется линией солидуса.

Ниже линии солидуса на диаграмме состояния устойчивы только твердые фазы (см. линию ДЕFи поле ниже нее на рис. 3 и линиюA₁ДFM₁Д’F’B₁и поля, расположенные ниже нее, на рис. 2).

5. Химические соединения и характер их плавления

Химические соединения, как и простые чистые вещества, плавятся и кристаллизуются при одной и той же температуре, но характер их плавления может быть конгруэнтным и инконгруэнтным.

Если соединение плавится конгруэнтно (без разложения), то состав образующейся жидкости совпадает с составом плавящихся кристаллов. В этом случае на диаграмме состояния (рис. 4) химическому соединению А_mВ_nотвечает вертикальC₁C, доходящая до линии ликвидуса.

Ветви ликвидуса (bCиCd) и солидуса (mCиCn) исходят из одной экстремальной точки «С», отвечающей температуре плавления (кристаллизации) соединения А_mВ_n.

Рис. 4. Участок диаграммы состояния системы с химическим соединением АmВn плавящимся конгруэнтно

Значит, если соединение плавится конгруэнтно, то на диаграмме состояния при температуре его плавления на линии ликвидуса отмечается отчетливо выраженный максимум (см. рис. 1, в и 2). При наличии в системе подобных соединений, сложные диаграммы состояния можно разделить на части, в которых химические соединения будут выполнять роль чистых компонентов. Так, системуF-К (см. рис. 1, в) можно разделить на две частныеF-М и М-К, а систему А-В (см. рис. 2) на части А-М и М-В.

Если соединения плавятся инконгруэнтно (с разложением), то состав образующейся жидкости не совпадает с составом плавящихся кристаллов. В таком случае при температуре плавления происходит распад химического соединения на две фазы – жидкую и твердую, например кристаллы А и жидкость точки PC(см. рис. 5)

Равновесию трех фаз на диаграмме состояния удовлетворяет горизонтальная линия. До нее и будет доходить вертикаль, отвечающая химическому соединению. А линия ликвидуса пройдет выше этой горизонтали (рис. 5) и на ней в точке, отвечающей составу химического соединения, нет максимума.

Рис. 5. Участок диаграммы состояния системы с химическим соединением АmВn, плавящимся инконгруэнтно

studfile.net