F x 2x 2 y 2 x: Mathway | Популярные задачи

2-x4 та побудуйте її графік. Нужно исследовать функцию. Прошу

Дана функция у = 2х² - х⁴.

1.Область определения функции: x ∈ R, или -∞ < x < ∞.

2. Нули функции. Точки пересечения графика функции с осью ОХ.

2х² - х⁴ = 0,   х²(2 - х²) = 0. Тогда х² = 0 и (или) 2 - х² = 0.

x₁ = 0.

x₂ = √2.

х₃ = -√2.

Точки пересечения графика функции с осью ОУ при х = 0 ⇒ у = 0.

3. Промежутки знакопостоянства функции.

Для нахождения промежутков знакопостоянства функции y=f(x) надо решить неравенства f(x)>0, f(x)<0.

По пункту 2 имеем 4 промежутка значений аргумента, в которых функция сохраняет знак:

(−∞;−√2), (−√2;0), (0;√2), (√2;+∞).
Для того, чтобы определить знак функции на каждом из этих промежутков, надо найти значение функции в произвольной точке из каждого промежутка. Точки выбираются из соображений удобства вычислений.
x = -2    -1    1     2
y = -8     1    1    -8.
В промежутках (−∞;−√2) и (√2;+∞) функция принимает отрицательные значения, в промежутках (−√2;0) и (0;√2) функция принимает положительные значения.{2}
- Нет
Значит, функция является чётной.

5. Периодичность графика - нет.

 6.Точки разрыва, поведение функции в окрестностях точек разрыва, вертикальные асимптоты - нет.

7. Интервалы монотонности функции, точки экстремумов, значения функции в точках экстремумов.

Находим производную заданной функции:

y' = 4x - 4x³.

Приравниваем производную нулю: 4x - 4x³ = 4x(1 - x²) = 0, 

4x = 0,  x = 0. 

x² = 1,  х = 1,  x = -1.
Критических точек три: х = 0, х = 1,  x = -1.
Находим значения производной левее и правее от критических.

x =  -2     -1    -0.5    0     0.5     1       2 
y' = 24      0    -1.5    0    1.5      0     -24.
Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. 
Убывает на промежутках (-oo, -1] U [0, oo).
Возрастает на промежутках (-oo, 0] U [1, oo).

8. Интервалы выпуклости, точки перегиба.

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: 
\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0.{2} + 1\right) = 0.
Решаем это уравнение.
Корни этого уравнения:
x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{3}
x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках [-sqrt(3)/3, sqrt(3)/3].

Выпуклая на промежутках (-oo, -sqrt(3)/3] U [sqrt(3)/3, oo).

9. Поведение функции в бесконечности. Наклонные (в частности, горизонтальные) асимптоты - нет.

10. Дополнительные точки, позволяющие более точно построить график.

11. Построение графика функции - дан в приложении.

заказ решений на аукционе за минимальную цену с максимальным качеством

Предлагаю идею сайта-аукциона по выполнению домашних заданий. Он будет включать:

  • решение задач по математике (сейчас доступен решебник Филиппова), физике, химии, экономике
  • написание лабораторных, рефератов и курсовых
  • выполнение заданий по литературе, русскому или иностранному языку.

Основное отличие от большинства сайтов, предлагающих выполнение работ на заказ – сайт рассчитан на две категории пользователей: заказчиков и решающих задания. Причем, по желанию (чтобы заработать, увеличить свой рейтинг, получить решение сложной задачи) пользователи могут играть любую из этих ролей.

Объединение сервисов в одну систему

Основой для идеи послужили несколько работающих систем, объединение которых позволит сделать сервис для решения задач на заказ. Эти системы:

  • Форум, где посетители обмениваются идеями и помогают друг другу
  • Система bugtracking, где обнаруженные проблемы проходят путь от публикации до принятия в исполнение и решения
  • Аукцион, где цена за товар или услугу определяется в результате торгов
  • Система рейтингов, где участники могут оценивать ответы друг друга. Причем, чем больше рейтинг пользователя, тем более значимым становится его голос

Принцип работы

Для удобства и проведения аналогий с реальной жизнью назовем заказчиков студентами, а решающих задания – репетиторами.

Итак, студенту необходимо решить несколько задач. Он заходит на сайт, выбирает раздел с соответствующей дисциплиной и создает новую тему (аналогия с форумом). Но при создании темы он также указывает стартовую (максимальную) цену, которую он готов заплатить за решение задач и крайний срок исполнения задания. Можно будет назначить и нулевую цену – если студенту нужно только бесплатное решение.

Как только тема создана, все пожелавшие подписаться на раздел репетиторы получают уведомление. Причем, условие получения уведомлений можно настроить. Например, уведомлять только о заказах со стартовой ценой более 500 р. и сроком решения не менее недели.

Заинтересовавшиеся репетиторы делают ставки. Причем студент (автор темы) видит ставки и может посмотреть информацию по каждому репетитору (его решения, рейтинг, дату начала участия в проекте). Когда студент посчитает нужным, он может остановить аукцион и назначить задание одному из репетиторов, сделавшему ставку (не обязательно самую низкую, т.к. можно учитывать и другие факторы – см. выше).

Деньги блокируются на счете студента, и репетитор начинает решать задание. Он должен представить его к сроку, заданному изначально. Выполненное решение публикуется в свободном доступе и его может оценить как заказчик, так и другие репетиторы. На этих оценках и строится рейтинг. Если к решению нет претензий – деньги окончательно переводятся со счета студента на счет репетитора.

За счет чего будет развиваться сервис

Первое – положительная обратная связь. Чем больше условий задач и решений будет опубликовано на сайте, тем чаще его будут находить пользователи через поисковики, будет больше ссылок на готовые решения. Именно поэтому важно размещать решенные задачи в свободном доступе. Знаю это по опыту своего сайта exir.ru (ex irodov.nm.ru) – большая ссылочная база получена исключительно за счет благодарных пользователей.

Второе – удобный сервис для заказчиков и для желающих заработать на решениях.

Преимущества для заказчиков

Студентам и школьникам не нужно перебирать десятки сайтов для сравнения цен, а потом надеяться, что после оплаты они получат качественное решение (и, вообще, все не закончится перечислением денег). Заказчики создают аукцион на понижение цены и могут смотреть на рейтинги желающих решить задачи и ранее выполненные ими решения. Кроме того, деньги окончательно перечисляются исполнителю только после полного решения.

Преимущества для решающих задания

Не нужно создавать и продвигать свой сайт, размещать множество объявлений во всех доступных источниках информации. Заказчики сами придут к вам. Не нужно решать все присланные задания с целью поддержания репутации – можно выбирать те, которые будут интересны по уровню сложности, цене и срокам решения.

Преимущества для владельца сервиса

Если вы не понимаете, какую выгоду получит делающий вам какое-нибудь предложение – будьте осторожны! 🙂 У меня уже есть большой опыт работы с сайтом, предоставляющим бесплатные решения по физике. И вариант с получением прибыли от размещения рекламы подходит и для нового сервиса. Кроме того, мне нравится помогать людям и довольно тяжело смотреть, как множество вопросов по задачам остаются на форуме без ответа. Предложенный аукцион решений сможет значительно сократить число вопросов без ответов.

В будущем возможен вариант и с получением некоторого небольшого процента от оплаты заказов. Но процент этот должен быть минимален и на начальном этапе он взиматься точно не будет.

Что необходимо для создания сервиса

  1. Самым важное сейчас – собрать команду, готовую принять участие в выполнении заданий. Если покупатели заходят в пустой магазин – они надолго забывают в него дорогу.

    Поэтому я собираю предварительные заявки от посетителей, готовых заниматься решениями. Не нужно подписания никаких договоров о намерениях. Просто сообщите, на какие темы вы готовы решать задания, какой у вас опыт подобной работы (e-mail: [email protected]). Когда сервис заработает – я пришлю приглашение на регистрацию.

  2. Выбрать платежную систему.
  3. Сделать подходящий движок для сайта. Нужно решить – создавать его с нуля или изменить какой-нибудь существующий движок (например, форумный) с открытой лицензией.
  4. Привлечь посетителей. Учитывая посещаемость exir.ru и число публикуемых на форуме вопросов, думаю, это не будет большой проблемой.

Формула вершины параболы

Обычно формулу координаты x вершины параболы используют, когда имеют дело с квадратичной функцией.

Квадратичная функция имеет вид: y = ax2 + bx + c.

Ее график — это парабола с вершиной, координаты которой определяются по формулам:

Однако формулу координаты

y знать и использовать не обязательно. Обычно проще подставить найденное значение x в саму квадратичную функцию и найти оттуда y.

Например, если дана функция y = 2x2 – 4x + 5, то координата x ее вершины будет равна:

x = –(–4 / (2 × 2)) = 1

Координату же y вычислим, подставив найденный x в саму функцию:

y = 2 × 12 – 4 × 1 + 5 = 3

Таким образом, вершина графика функции y = 2x2 – 4x + 5 находится в точке с координатами (1; 3).

В остальном парабола квадратичной функции вида y = ax2 + bx + c такая же как функции вида y = ax2. Отличие лишь в сдвиге вершины по сравнению с функцией y = ax2. Так в приведенном выше примере (y = 2x2 – 4x + 5) парабола будет по форме и направлению ветвей такой же, как для функции y = 2x2. Разница лишь в координатах вершин парабол.

Формулы вершины параболы получаются при преобразовании квадратичной функции к виду y = f(x + l) + m. Делается это методом выделения полного квадрата. Как известно функции вида y = f(x + l) + m отличаются от функций y = f(x) сдвигом из графиков по оси x на –l и по оси y на m. Именно l в преобразованной квадратичной функции оказывается равным –b/2a, а m = (4ac – b

2) / 4a. То есть l и m — это координаты x0 и y0 соответственно.

Доказывается это применением метода выделения полного квадрата к квадратному трехчлену общего вида ax2 + bx + c. При этом выполняются следующие преобразования:

  1. Объединим первые два члена многочлена: y = (ax2 + bx) + c
  2. Вынесем коэффициент a за скобку, при этом b разделится на a:

  3. Представим, что у нас есть квадрат суммы, в котором x одно из слагаемых, а из выражения в скобках надо получить его полный квадрат суммы. Одночлен (b/a)x умножим на 2 и разделим на 2 одновременно. Также прибавим и вычтем квадрат второго слагаемого квадрата суммы. Получим:

  4. Выделим квадрат суммы:

  5. Умножим на a:

  6. Приведем к общему знаменателю свободные члены:

  7. Поменяем знак:

Таким образом, мы привели функцию y = ax

2 + bx + c к виду y = a(x + l)2 + m, что соответствует функции y = f(x + l) + m, где f(x) = ax2. А как строить графики последней известно.

2 + bx + c #, где

# цвет (зеленый) (a = 2; b = -1 и c = 1) #

Чтобы найти Вершину, , мы можем использовать формулу #color (red) ([- b / (2a)] #

Следовательно,

Вершина = # цвет (красный) ([- b / (2a)] #

Вершина = # цвет (красный) ([- {(- 1) / (2 * 2)}] #

Vertex = #color (красный) (1/4 или 0,25} #

Это значение координаты x нашей вершины

Чтобы найти значение координаты Y нашей вершины ,

заменить # цвет (синий) (x = 0.2 - (4 * 2 * 1)]] / (2 * 2) #

Упростите, чтобы получить

#x = 1 + -sqrt (-7) / 4 #

Мы наблюдаем отсутствие реальных решений

Следовательно, функция не имеет пересечений по оси x .

Дополнительная информация:

# цвет (синий) (x = 0,25 # известен как ось симметрии

Что такое ось симметрии ?

Две стороны графика по обе стороны от оси симметрии выглядят как зеркальные отражения друг друга.

Затем проанализируйте график ниже, чтобы изучить поведение #f (x) #

.

квадратичных функций

квадратичных функций

Содержание : Эта страница соответствует § 3.1 (стр. 244) текста.

Предлагаемые задачи из текста:

с. 251 # 1-8, 10, 11, 15, 16, 18, 19, 21, 23, 24, 30, 33, 37, 38, 75

Графики

Стандартная форма

Приложения


Графики

Квадратичная функция имеет вид f (x) = ax 2 + bx + c , где a , b и c - числа, где a не равны нулю.

График квадратичной функции - это кривая, называемая параболой . Параболы могут открываться вверх или вниз и различаются по «ширине» или «крутизне», но все они имеют одинаковую базовую U-образную форму. В На рисунке ниже показаны три графика, и все они являются параболами.

Все параболы симметричны относительно линии, называемой осью симметрии . Парабола пересекает его ось симметрии находится в точке, называемой вершиной параболы.

Вы знаете, что две точки определяют линию. Это означает, что если вам даны любые две точки на плоскости, то есть одна и только одна линия, содержащая обе точки. Аналогичное утверждение можно сделать относительно точек и квадратичных функции.

Учитывая три точки на плоскости, которые имеют разные первые координаты и не лежат на одной прямой, существует ровно одна квадратичная функция f, график которой содержит все три точки. Апплет ниже иллюстрирует этот факт.График содержит три точки и параболу, проходящую через все три. Соответствующая функция показана в тексте поле под графиком. Если вы перетащите любую из точек, функция и парабола обновятся.

Многие квадратичные функции можно легко изобразить вручную, используя методы растяжения / сжатия и сдвига. 2-5.Начнем с графика y = x 2 , сдвинем на 4 единицы вправо, затем На 5 единиц меньше.

Упражнение 1 :

(a) Нарисуйте график y = (x + 2) 2 - 3. Ответ

(b) Нарисуйте график y = - (x - 5) 2 + 3. Ответ

Вернуться к содержанию

Стандартная форма

Функции в частях (a) и (b) упражнения 1 являются примерами квадратичных функций в стандартной форме .Когда квадратичная функция имеет стандартную форму, ее график легко построить, отражая, сдвигая и растяжение / сжатие параболы y = x 2 .

Квадратичная функция f (x) = a (x - h) 2 + k, не равная нулю, называется стандартной формой . Если а положительно, график открывается вверх, а если отрицательно, то открывается вниз. Линия симметрии - это вертикальная линия x = h, а вершина - это точка (h, k).

Любую квадратичную функцию можно переписать в стандартной форме, завершив квадратом . (См. Раздел о решая уравнения алгебраически, чтобы просмотреть завершение квадрата.) Шаги, которые мы используем в этом разделе для завершения квадрата, будут выглядеть немного иначе, потому что наш главный цель здесь не в решении уравнения.

Обратите внимание, что когда квадратичная функция имеет стандартную форму, ее нули также легко найти с помощью квадратного корня. принцип.

Пример 3 .

Запишите функцию f (x) = x 2 - 6x + 7 в стандартной форме. Нарисуйте график функции f и найдите его нули и вершина.

f (x) = x 2 - 6x + 7.

= (x 2 - 6x) + 7. Сгруппируйте члены x 2 и x и затем заполните квадрат на этих условиях.

= (x 2 - 6x + 9 - 9) + 7.

Нам нужно добавить 9, потому что это квадрат половины коэффициента при x, (-6/2) 2 = 9. Когда мы решая уравнение, мы просто добавляли 9 к обеим частям уравнения. В этой настройке мы добавляем и вычитаем 9 так что мы не меняем функцию.

= (x 2 - 6x + 9) - 9 + 7. Мы видим, что x 2 - 6x + 9 - это полный квадрат, а именно (x - 3) 2 .

f (x) = (x - 3) 2 - 2.Это стандартная форма .

Из этого результата легко найти, что вершина графа f равна (3, -2).

Чтобы найти нули f, мы устанавливаем f равным 0 и решаем относительно x.

(x - 3) 2 - 2 = 0.

(x - 3) 2 = 2.

(x - 3) = ± sqrt (2).

х = 3 ± sqrt (2).

Чтобы нарисовать график f, сдвинем график y = x 2 на три единицы вправо и на две единицы вниз.

Если коэффициент при x 2 не равен 1, то мы должны вынести этот коэффициент из x 2 и x, прежде чем продолжить.

Пример 4 .

Запишите f (x) = -2x 2 + 2x + 3 в стандартной форме и найдите вершину графика f.

f (x) = -2x 2 + 2x + 3.

= (-2x 2 + 2x) + 3.

= -2 (х 2 - х) + 3.

= -2 (x 2 - x + 1/4 - 1/4) + 3.

Мы складываем и вычитаем 1/4, потому что (-1/2) 2 = 1/4, а -1 - коэффициент при x.

= -2 (x 2 - x + 1/4) -2 (-1/4) + 3.

Обратите внимание, что все в круглых скобках умножается на -2, поэтому, когда мы убираем -1/4 из круглых скобок, мы необходимо умножить на -2.

= -2 (x - 1/2) 2 + 1/2 + 3.

= -2 (х - 1/2) 2 + 7/2.

Вершина - это точка (1/2, 7/2). Поскольку граф открывается вниз (-2 <0), вершина является высшей точкой на графике.

Упражнение 2 :

Запишите f (x) = 3x 2 + 12x + 8 в стандартной форме.Нарисуйте график функции f, найдите его вершину и найдите нули f. Ответ

Альтернативный метод поиска вершины

В некоторых случаях завершение квадрата - не самый простой способ найти вершину параболы. Если график квадратичная функция имеет два пересечения по оси x, тогда линия симметрии - это вертикальная линия, проходящая через среднюю точку х-перехватчиков.

Х-точки пересечения графика выше находятся в точках -5 и 3.Линия симметрии проходит через -1, что является средним -5 и 3. (-5 + 3) / 2 = -2/2 = -1. Как только мы узнаем, что линия симметрии x = -1, мы узнаем первую координату вершины -1. Вторую координату вершины можно найти, вычислив функцию при x = -1.

Пример 5 .

Найдите вершину графика функции f (x) = (x + 9) (x - 5).

Поскольку формула для f разложена на множители, легко найти нули: -9 и 5.

Среднее значение нулей (-9 + 5) / 2 = -4/2 = -2. Итак, линия симметрии x = -2, а первая координата вершины -2.

Вторая координата вершины: f (-2) = (-2 + 9) (- 2-5) = 7 * (- 7) = -49.

Следовательно, вершина графика f равна (-2, -49).

Вернуться к содержанию

Приложения

Пример 6 .

У владельца ранчо есть 600 метров ограды, чтобы ограждать прямоугольный загон с другим забором, разделяющим его посередине. как на схеме ниже.

Как показано на схеме, каждая из четырех горизонтальных секций забора будет иметь длину х метров, а три каждая вертикальная секция будет иметь длину y метров.

Цель владельца ранчо - использовать весь забор и оградить как можно большую площадь .

Каждый из двух прямоугольников имеет площадь xy, поэтому мы имеем

Общая площадь: A = 2xy.

Мы мало что можем сделать с величиной A, если она выражается как произведение двух переменных. Тем не мение, Тот факт, что у нас есть только 1200 метров забора, приводит к уравнению, которому должны удовлетворять x и y.

3г + 4х = 1200.

3y = 1200 - 4x.

у = 400 - 4х / 3.

Теперь у нас есть y, выраженный как функция от x, и мы можем заменить это выражение на y в формуле для общего площадь А.

A = 2xy = 2x (400 -4x / 3).

Нам нужно найти значение x, которое делает A как можно большим. A - квадратичная функция от x, а график открывается вниз, поэтому наивысшая точка на графике A - вершина. Поскольку A разложено на множители, самый простой способ найти вершина - найти пересечения по оси x и усреднить.

2x (400 -4x / 3) = 0.

2x = 0 или 400 -4x / 3 = 0.

x = 0 или 400 = 4x / 3.

x = 0 или 1200 = 4x.

х = 0 или 300 = х.

Следовательно, линия симметрии графика A равна x = 150, среднему от 0 до 300.

Теперь, когда мы знаем значение x, соответствующее наибольшей площади, мы можем найти значение y, вернувшись назад. уравнению, связывающему x и y.

y = 400 - 4x / 3 = 400-4 (150) / 3 = 200.

Вернуться к содержанию


Нахождение обратной функции: другие примеры

Находка Обратная функция (стр. 5 из 7)

Разделы: Определение / Обращение графика, является ли обратным функция ?, Поиск обратных, Доказательство обратных


  • Найти обратное f ( x ) = ( x 2) / ( x + 2) , где х не равно 2.
    Это обратная функция?

    Во-первых, я узнаю что f ( x ) является рациональной функцией. Вот его график:

    Ограничение на домен исходит из того факта, что я не могу делить на ноль, поэтому x не может быть равным 2.Обычно я бы не стал записывать ограничение, но это полезно здесь, потому что мне нужно знать домен и диапазон обратного. Примечание с картинки (и вспоминая концепцию горизонтального асимптоты), что y никогда не будет равным 1. Тогда домен будет " x не равно 2 "и диапазон " y не равно 1 ".Для наоборот, они поменяются местами: домен будет " x не равно 1 "и диапазон будет " y не равно 2 ". Вот алгебра:

      The исходная функция:

      Я переименовать " f ( x )" как " y ":

      Тогда Я решаю для " x знак равно

      Я получить x -материал с одной стороны:

      Вот Уловка: я выкидываю x за скобки!

      Тогда Я переключаю х и y :

      А переименовать " y " как « f -инверсия»; ограничение домена связано с тем, что это рациональная функция.

    Поскольку обратное это просто рациональная функция, тогда обратная функция действительно является функцией.

    Вот график:

    Затем обратное - y = (2 x 2) / ( x 1) , и обратное тоже функция, с областью всех x не равно на номер 1 и диапазон всех y не равно на номер 2 .

  • Найти обратное из f ( x ) = x 2 3 x + 2, x < 1,5

    С доменом ограничение, график выглядит так:

    Насколько я знаю о построении графиков квадратики вершина находится в ( x , y ) = (1.5, 0,25), так что этот график - левая «половина» параболы.

    Эта половина параболы проходит тест горизонтальной линии, поэтому (ограниченная) функция обратима. Но как найти обратное? Авторские права Элизабет Стапель 2000-2011 Все права защищены

      The исходная функция:

      f ( x ) = x 2 3 x + 2

      Я переименовать " f ( x )" как " y ":

      y = x 2 3 x + 2

      Сейчас Я решаю для " x = "с помощью квадратичный Формула:

      0 = x 2 3 x + 2 y
      0 = x 2 3 x + (2 y )

      Начиная с х < 1.5, тогда мне нужен отрицательный квадратный корень:

      Сейчас Я переключаю х и y :

      А переименовать " y " как « f -инверсия»; ограничение домена связано с тем, что это рациональная функция.

    << Предыдущая Вверх | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | Вернуться к указателю Далее >>

    Цитируйте эту статью как:

    Стапель, Елизавета.«Нахождение обратной функции». Purplemath . Доступно по номеру
    https://www.purplemath.com/modules/invrsfcn5.htm . Дата обращения [Дата] [Месяц] 2016 г.

Как найти решение системы уравнений

Пояснение:

Сначала нам нужно найти точки A и B, которые, как нам сказали, образуют точки пересечения между графиками y = 9 - x 2 и y = 3 - x .Чтобы решить эти два уравнения, мы можем установить значение y в первом уравнении равным значению y во втором, а затем решить для x .

9 - x 2 = 3 - x

Добавьте x 2 с обеих сторон.

9 = 3 - x + x 2

Вычтем 9 с обеих сторон. Затем переставьте так, чтобы степени x были в порядке убывания.

-6 - x + x 2 = x 2 - x - 6 = 0

Разложите на множитель x 2 - x - 6, думая о двух числах, которые умножаются, чтобы получить –6, и складывать, чтобы получить –1. Эти два числа - –3 и 2.

x 2 - x - 6 = ( x - 3) ( x + 2) = 0

Установите каждый коэффициент равным нулю и решите.

x - 3 = 0

х = 3

х + 2 = 0

x = –2

Таким образом, возникают точки пересечения, где x = –2 и 3.Мы можем найти значения y точек пересечения, подставив –2 и 3 в любое уравнение. Воспользуемся уравнением y = 3 - x .

Когда x = –2, y = 3 - (–2) = 5. Одна точка пересечения равна (–2,5).

Когда x = 3, y = 3 - 3 = 0. Другой точкой пересечения является (3,0).

Предположим, что точка A находится в точке (–2,5), а точка B находится в точке (3,0). Нам говорят, что C находится в ( p , 0), где p <0.Давайте нарисуем треугольник ABC с информацией, которая у нас есть.

На рисунке выше оранжевая линия представляет высоту от стороны BC до A .

Площадь любого треугольника равна (1/2) bh , где b - длина основания, а h - длина высоты. Мы будем использовать BC для обозначения основания и оранжевую линию для обозначения высоты.

Длина BC будет равна 3 - p , поскольку обе точки лежат на оси x .Длина оранжевой линии - это расстояние от CB до точки A , то есть 5. Теперь мы можем найти формулу для площади и установить ее равной 50.

Площадь ABC = (1/2) (3 - p ) (5) = 50

Умножьте обе стороны на 2.

(3 - п ) (5) = 100

Разделить на 5.

3 - р = 20

Вычтем 3 с обеих сторон.

–p = 17

Умножьте обе стороны на –1.

p = –17.

Ответ: –17.

Математическая сцена - Уравнения III - Урок 3

Математическая сцена - Уравнения III - Урок 3 - Квадратные уравнения
2008 Rasmus ehf и Jhann sak

Уравнения III

Урок 3 Пересечение точек графиков


Как приступить к поиску точек, в которых два графика y = f (x) и y = g (x) пересекаются?

Мы уже знаем, где найти график f (x) пересекает ось x.Здесь y = 0. Мы вычисляем его, решая уравнение f (x) = 0.
Когда графики y = f (x) и y = g (x) пересекаются, оба графа имеют точно такие же значения x и y. Итак, мы можем найти точку или точки пересечения путем решения уравнения f (x) = g (x). Решение этого уравнения даст нам значение (я) x точка (и) пересечения. Затем мы можем найти значение y, поместив значение для x, который мы нашли в одном из исходных уравнений.То есть путем расчета либо f (x), либо g (x).

Пример 1

Рассчитать точку пересечение двух прямых f (x) = 2x - 1 и g (x) = x + 1. Сначала давайте посмотрим на график двух функций. Мы видим смысл пересечение есть (2, 3).

Рассчитываем точку пересечения по решение уравнения f (x) = g (x). То есть:

2х - 1 = х + 1

2х - х = 1 + 1

х = 2

Координата Y теперь может быть найдена вычисление f (2):

f (2) = 2 × 2 - 1 = 3

Точка пересечения - (2, 3) .

Пример показывает, что мы можем найти точку пересечения двумя способами.
Либо графически, нарисовав два графика в одной системе координат, либо алгебраически, решив уравнение, подобное тому, которое приведено в приведенном выше примере.

Решить уравнение графически легко с помощью графический калькулятор или компьютерная программа, например Excel.
Некоторые уравнения нельзя решить алгебраически, но мы можем найти решения, которые исправляем до любого количества значащих цифр, используя компьютеры и калькуляторы.

Пример 2

Решите уравнение x 2 - 2x - 3 = 2x - 3 сначала графически, а затем алгебраически.

Рисуем графики f (x) = x 2 - 2x - 3 и g (x) = 2x - 3, составив таблицу значений и построив график точки. Как из графика, так и из таблицы значений видно, что графики пересекаются при x = 0 и x = 4 .

Решает алгебраически:

x 2 - 2x - 3 = 2x - 3

x 2 - 4x = 0

х (х - 4) = 0

Получение решений x = 0 и x = 4 .

Пример 3

Решите уравнение x 2 - 1 = 2x - 3

Сначала переместите все термины перейдите к левой части уравнения и упростите.

Это дает x 2 - 2x + 2 = 0

Используем формулу корней квадратного уравнения с a = 1, b = −2 и c = 2.

Число под знаком квадратного корня: отрицательный, что означает, что это уравнение не имеет решения.
Чтобы понять, почему это так, мы рисуем графики левой части оригинала. уравнение

f (x) = x 2 - 1 и правая часть g (x) = 2x - 3.

Мы видим, что парабола f (x) и прямая g (x) не пересекаются.Легко видеть, что мы не может вычислить точку пересечения просто потому, что такой точки нет.

Пример 4

Решите уравнение x 3 - 3x + 2 = x 2 - 2x + 1

Как и в предыдущем примере, мы перемещаем все слагаемые в левую часть уравнения.

х 3 - 3х + 2 = х 2 - 2х + 1

х 3 - х 2 - х + 1 = 0

(x 3 - x 2 ) - (x - 1) = 0

x 2 (x - 1) - (x - 1) = 0

(х - 1) (х 2 - 1) = 0

(х - 1) (х - 1) (х + 1) = 0

Расчеты показывают, что их всего два решений, x = 1 и x = −1, но кубическое уравнение может иметь три решения.График показывает нам, что происходит.

Графики f (x) = x 2 - 2x + 1 и g (x) = x 3 - 3x + 2 пересекаются только в двух местах, где x = −1 и x = 1, которые были решениями уравнение.

Пример 5

Решите уравнение x 2 = x

Легко видеть, что x = 0 и x = 1 являются решения уравнения, но есть ли еще решения? Это не очень вероятно, но давайте посмотрим на графики.

Назовите левую часть f (x) = x 2 и правую часть g (x) = x. Помните, что g (x) не может принимать отрицательные значения x, поэтому не может быть никаких отрицательные точки пересечения.

На графике видно, что точек всего две пересечения и, следовательно, только два решения уравнения. х = 0 и х = 1.
Вот как решить уравнение расчетом:

x 2 = x

х 4 = х

х 4 - х = 0

х (х 3 - 1) = 0

Квадрат обе части уравнения, чтобы избавиться от квадратного корня .

Это дает решение x = 0 и x = 1 .

Пример 6

Решите уравнение ln x = x 2 - 1

Это уравнение не так-то просто решить. Если мы вспомните определение логарифма, мы видим, что x = 1 делает обе стороны уравнение равно 0 и, следовательно, является одним решением уравнения. Мы рисуем графики, чтобы увидеть, есть ли другие решения.

График показывает нам, что есть два решения. Одно решение - это ровно x = 1, поскольку e 0 = 1.

Обратите внимание, что мы выбираем значения x так, чтобы значения y становятся все ближе и ближе друг к другу в таблице значений. Таким образом мы можем выбрать значение x, чтобы получить желаемую точность.
Пример 7

EXCEL

Если мы воспользуемся графическим калькулятором, то сможем найти решение уравнения ln x = x 2 - 1 намного проще. 2 − ln (B2)

Теперь выберите Инструменты а затем «Поиск цели» в строке меню.В на экране появляется следующее:

Пишем D2, 1 и B2 в промежутках, как показано. Мы просим Excel сделать значение ячейки D2 равным к значению 1, изменив значение в B2.

Когда нажимаем ОК, появляется следующая информация.

Это говорит нам о том, что приближение x ≈ 0,45, которое мы нашли графически в примере 6, довольно хорошо, решение x ≈ 0.4500289, найденный с помощью EXCEL, не намного лучше.


Попробуйте пройти тест 3 по уравнениям III.

Не забудьте использовать контрольный список для следите за своей работой.

Инверсия функции - объяснение и примеры

Что такое обратная функция?

В математике обратная функция - это функция, отменяющая действие другой функции.

Например, , сложение и умножение являются инверсией соответственно вычитания и деления.

Обратную функцию можно рассматривать как отражение исходной функции по линии y = x. Проще говоря, обратная функция получается заменой (x, y) исходной функции на (y, x).

Мы используем символ f - 1 для обозначения обратной функции. Например, если f (x) и g (x) противоположны друг другу, то мы можем символически представить это утверждение как:

g (x) = f - 1 (x) или f (x) = g −1 (x)

Об обратной функции следует отметить то, что обратная функция - это не то же самое, что и обратная функция, т.е.е., f - 1 (x) ≠ 1 / f (x). В этой статье мы обсудим, как найти обратную функцию.

Поскольку не все функции имеют инверсию, важно проверить, есть ли у функции инверсия, прежде чем приступать к определению инверсии.

Мы проверяем, есть ли у функции инверсия, чтобы не тратить время на поиск чего-то, чего не существует.

Индивидуальные функции

Итак, как мы можем доказать, что данная функция имеет обратную? Функции, у которых есть обратные, называются взаимно однозначными функциями.

Функция называется взаимно однозначной, если для каждого числа y в диапазоне f существует ровно одно число x в области определения f такое, что f (x) = y.

Другими словами, домен и диапазон однозначной функции имеют следующие отношения:

  • Область f −1 = Диапазон f.
  • Диапазон f -1 = Область f.

Например, чтобы проверить, является ли функция f (x) = 3x + 5 взаимно однозначной заданной, f (a) = 3a + 5 и f (b) = 3b + 5.

⟹ 3a + 5 = 3b + 5

⟹ 3a = 3b

⟹ а = б.

Следовательно, f (x) является взаимно однозначной функцией, потому что a = b.

Рассмотрим другой случай, когда функция f задается формулой f = {(7, 3), (8, –5), (–2, 11), (–6, 4)}. Эта функция взаимно однозначна, потому что ни одно из ее значений y не встречается более одного раза.

А как насчет этой другой функции h = {(–3, 8), (–11, –9), (5, 4), (6, –9)}? Функция h не является взаимно однозначной, потому что значение y, равное –9, встречается более одного раза.

Вы также можете графически проверить взаимно однозначную функцию, проведя вертикальную и горизонтальную линии через график функции. Функция взаимно однозначна, если и горизонтальная, и вертикальная линии проходят через график один раз.

Как найти обратную функцию?

Найти инверсию функции - несложный процесс, хотя нам действительно нужно быть осторожными с парой шагов. В этой статье мы будем предполагать, что все функции, с которыми мы будем иметь дело, относятся друг к другу.

Вот процедура нахождения обратной функции f (x):

  • Заменить обозначение функции f (x) на y.
  • Поменять местами x на y и наоборот.
  • Начиная с шага 2, решите уравнение относительно y. Будьте осторожны с этим шагом.
  • Наконец, измените y на f −1 (x). Это обратная функция.
  • Вы можете проверить свой ответ, проверив, верны ли следующие два утверждения:

⟹ (f ∘ f −1 ) (x) = x

⟹ (f −1 ∘ f) (x) = x

Давайте поработаем пару примеров.

Пример 1

Дана функция f (x) = 3x - 2, найти обратную ей функцию.

Раствор

f (x) = 3x - 2

Заменить f (x) на y.

⟹ у = 3х - 2

Поменять местами x на y

⟹ x = 3y - 2

Решить для y

х + 2 = 3 года

Разделим на 3, чтобы получить;

1/3 (х + 2) = у

х / 3 + 2/3 = у

Наконец, заменим y на f −1 (x).

f −1 (x) = x / 3 + 2/3

Проверить (f ∘ f −1 ) (x) = x

(f ∘ f −1 ) (x) = f [f −1 (x)]

= е (х / 3 + 2/3)

⟹ 3 (х / 3 + 2/3) - 2

⟹ х + 2 - 2

= х

Следовательно, f −1 (x) = x / 3 + 2/3 - правильный ответ.

Пример 2

Дано f (x) = 2x + 3, найдите f −1 (x).

Раствор

f (x) = y = 2x + 3

2x + 3 = y

Поменять местами x и y

⟹2y + 3 = х

Теперь решите для

у.

⟹2y = х - 3

⟹ у = х / 2 - 3/2

Наконец, заменим y на f −1 (x)

⟹ f −1 (x) = (x– 3) / 2

Пример 3

Задайте функцию f (x) = log 10 (x), найдите f −1 (x).

Раствор

f (x) = log₁₀ (x)

Заменено f (x) на y

⟹ y = журнал 10 (x) ⟹ 10 y = x

Теперь поменяйте местами x на y, чтобы получить;

⟹ у = 10 х

Наконец, заменим y на f −1 (x).

f -1 (x) = 10 x

Следовательно, обратное значение f (x) = log 10 (x) равно f -1 (x) = 10 x

Пример 4

Найдите обратную функцию к следующей функции g (x) = (x + 4) / (2x -5)

Раствор

г (x) = (x + 4) / (2x -5) ⟹ y = (x + 4) / (2x -5)

Обмен y с x и наоборот

y = (x + 4) / (2x -5) ⟹ x = (y + 4) / (2y -5)

⟹ х (2у − 5) = у + 4

⟹ 2xy - 5x = y + 4

⟹ 2xy - y = 4 + 5x

⟹ (2x - 1) y = 4 + 5x

Разделите обе части уравнения на (2x - 1).

⟹ у = (4 + 5x) / (2x - 1)

Заменить y на g -1 (x)

= г - 1 (x) = (4 + 5x) / (2x - 1)

Проба:

(г г -1 ) (x) = г [г -1 (x)]

= г [(4 + 5x) / (2x - 1)]

= [(4 + 5x) / (2x - 1) + 4] / [2 (4 + 5x) / (2x - 1) - 5]

Умножьте числитель и знаменатель на (2x - 1).

⟹ (2x - 1) [(4 + 5x) / (2x - 1) + 4] / [2 (4 + 5x) / (2x - 1) - 5] (2x - 1).

⟹ [4 + 5x + 4 (2x - 1)] / [2 (4 + 5x) - 5 (2x - 1)]

⟹ [4 + 5x + 8x − 4] / [8 + 10x - 10x + 5]

⟹13x / 13 = x
Следовательно, g - 1 (x) = (4 + 5x) / (2x - 1)

Пример 5

Определите значение, обратное следующей функции f (x) = 2x - 5

Раствор

Заменить f (x) на y.

f (x) = 2x - 5⟹ y = 2x - 5

Переключите x и y, чтобы получить;

⟹ х = 2у - 5

Изолировать переменную y.

2у = х + 5

⟹ у = х / 2 + 5/2

Измените y обратно на f –1 (x).

⟹ f –1 (x) = (x + 5) / 2

Пример 6

Найти обратную функцию к функции h (x) = (x - 2) 3 .

Раствор

Измените h (x) на y, чтобы получить;

h (x) = (x - 2) 3 ⟹ y = (x - 2) 3

Поменять местами x и y

⟹ х = (у - 2) 3

Изолятор ул.

y 3 = x + 2 3

Найдите кубический корень из обеих частей уравнения.

3 √y 3 = 3 √x 3 + 3 √2 3

y = 3 √ (2 3 ) + 2

Заменить y на h -1 (x)

ч - 1 (x) = 3 √ (2 3 ) + 2

Пример 7

Найти обратную величину к h (x) = (4x + 3) / (2x + 5)

Раствор

Заменить h (x) на y.

h (x) = (4x + 3) / (2x + 5) ⟹ y = (4x + 3) / (2x + 5)

Поменять местами x и y.

⟹ х = (4у + 3) / (2у + 5).

Решите относительно y в приведенном выше уравнении следующим образом:

⟹ х = (4у + 3) / (2у + 5)

Умножить обе стороны на (2y + 5)

⟹ х (2у + 5) = 4у + 3

Распределить x

⟹ 2xy + 5x = 4y + 3

Изолятор ул.

⟹ 2xy - 4y = 3 - 5x

⟹ y (2x - 4) = 3-5x

Разделим на 2x - 4, чтобы получить;

⟹ у = (3-5x) / (2x - 4)

Наконец, замените y на h -1 (x).

⟹ в - 1 (x) = (3 - 5x) / (2x - 4)

Практические вопросы

Найдите обратное значение для следующих функций:

  1. г (x) = (2x - 5) / 3.
  2. h (x) = –3x + 11.
  3. г (x) = - (x + 2) 2 - 1.
  4. г (х) = (5/6) х - 3/4
  5. f (x) = 3 x - 2.
  6. h (x) = x 2 + 1.
  7. г (x) = 2 (x - 3) 2 -5
  8. f (x) = x 2 / (x 2 + 1)
  9. h (x) = √x - 3.2-х-6

    Уравнение y = 2x 2 - x - 6

    a) Чтобы найти точку пересечения y, подставьте x = 0 в y = 2x 2 - x - 6.

    у = 2 (0) 2 -0-6

    y перехват - 6.

    b) Чтобы найти точку пересечения с x, подставьте y = 0 в y = 2x 2 - x - 6

    2x 2 - x - 6 = 0

    2x 2 - 4x + 3x - 6 = 0

    2x (x - 2) + 3 (x - 2) = 0

    (х - 2) (2x + 3) = 0

    х - 2 = 0 и 2x = - 3

    х = 2 и х = - 3/2

    х перехватов 2 и -3/2.

    в) y = 2x 2 - x - 6

    Сравните это с y = ax 2 + bx + c

    а = 2, б = - 1, в = - 6

    Найти вершину оси симметрии x = - b / 2a

    х = - (- 1) / 2 (2)

    х = 1/4

    Чтобы найти координату y вершины, подставьте x = 1/4 в y = 2x 2 - x - 6.

    у = 2 (1/4) 2 - (1/4) - 6

    у = 1/8 - 1/4 - 6

    у = (1-2-48) / 8

    у = - 49/8

    Вершина равна (x, y) = (1/4, -49/8) или (0.25, - 6,125).

    График

    Выберите случайные значения для y и найдите соответствующие значения для x .

    х

    y = 2x 2 - x - 6

    (х, у)

    1

    у = 2 (1) 2 -1-6

    (1, - 5)

    - 1

    у = 2 (-1) 2 + 1-6

    (-1, - 3)

    - 2

    у = 2 (-2) 2 + 2-6

    (-2, 4)

    2.5

    у = 2 (2,5) 2 - 2,5 - 6

    (7, - 3)

    1. Нарисуйте координатную плоскость.

    2. Постройте пересечения осей симметрии x, y и координаты точек, найденных в таблице.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *