реализация и сравнение / Хабр

Введение

Программистам числа Фибоначчи должны уже поднадоесть. Примеры их вычисления используются везде. Всё от того, что эти числа предоставляют простейший пример рекурсии. А ещё они являются хорошим примером динамического программирования. Но надо ли вычислять их так в реальном проекте? Не надо. Ни рекурсия, ни динамическое программирование не являются идеальными вариантами. И не замкнутая формула, использующая числа с плавающей запятой. Сейчас я расскажу, как правильно. Но сначала пройдёмся по всем известным вариантам решения.

Код предназначен для Python 3, хотя должен идти и на Python 2.

Для начала – напомню определение:

F_n= F_n-1+ F_n-2

и F₁= F₂=1.

Замкнутая формула

Пропустим детали, но желающие могут

ознакомиться с выводом формулы

. Идея в том, чтобы предположить, что есть некий x, для которого F

_n

= x

ⁿ

, а затем найти x.

что означает

сокращаем x^n-2

Решаем квадратное уравнение:

Откуда и растёт «золотое сечение» ϕ=(1+√5)/2. Подставив исходные значения и проделав ещё вычисления, мы получаем:

что и используем для вычисления F_n.

from __future__ import division
import math

def fib(n):
    SQRT5 = math.sqrt(5)
    PHI = (SQRT5 + 1) / 2
    return int(PHI ** n / SQRT5 + 0.5)

Хорошее:
Быстро и просто для малых n
Плохое:
Требуются операции с плавающей запятой. Для больших n потребуется большая точность.
Злое:
Использование комплексных чисел для вычисления F_n красиво с математической точки зрения, но уродливо — с компьютерной.

Рекурсия

Самое очевидное решение, которое вы уже много раз видели – скорее всего, в качестве примера того, что такое рекурсия. Повторю его ещё раз, для полноты. В Python её можно записать в одну строку:

fib = lambda n: fib(n - 1) + fib(n - 2) if n > 2 else 1

Хорошее:
Очень простая реализация, повторяющая математическое определение
Плохое:
Экспоненциальное время выполнения. Для больших n очень медленно
Злое:
Переполнение стека

Запоминание

У решения с рекурсией есть большая проблема: пересекающиеся вычисления. Когда вызывается fib(n), то подсчитываются fib(n-1) и fib(n-2). Но когда считается fib(n-1), она снова независимо подсчитает fib(n-2) – то есть, fib(n-2) подсчитается дважды. Если продолжить рассуждения, будет видно, что fib(n-3) будет подсчитана трижды, и т.д. Слишком много пересечений.

Поэтому надо просто запоминать результаты, чтобы не подсчитывать их снова. Время и память у этого решения расходуются линейным образом. В решении я использую словарь, но можно было бы использовать и простой массив.

M = {0: 0, 1: 1}

def fib(n):
    if n in M:
        return M[n]
    M[n] = fib(n - 1) + fib(n - 2)
    return M[n]

(В Python это можно также сделать при помощи декоратора, functools.lru_cache.)

Хорошее:
Просто превратить рекурсию в решение с запоминанием. Превращает экспоненциальное время выполнение в линейное, для чего тратит больше памяти.
Плохое:
Тратит много памяти
Злое:
Возможно переполнение стека, как и у рекурсии

Динамическое программирование

После решения с запоминанием становится понятно, что нам нужны не все предыдущие результаты, а только два последних. Кроме этого, вместо того, чтобы начинать с fib(n) и идти назад, можно начать с fib(0) и идти вперёд. У следующего кода линейное время выполнение, а использование памяти – фиксированное. На практике скорость решения будет ещё выше, поскольку тут отсутствуют рекурсивные вызовы функций и связанная с этим работа. И код выглядит проще.

Это решение часто приводится в качестве примера динамического программирования.

def fib(n):
    a = 0
    b = 1
    for __ in range(n):
        a, b = b, a + b
    return a

Хорошее:
Быстро работает для малых n, простой код
Плохое:
Всё ещё линейное время выполнения
Злое:
Да особо ничего.

Матричная алгебра

И, наконец, наименее освещаемое, но наиболее правильное решение, грамотно использующее как время, так и память. Его также можно расширить на любую гомогенную линейную последовательность. Идея в использовании матриц. Достаточно просто видеть, что

А обобщение этого говорит о том, что

Два значения для x, полученных нами ранее, из которых одно представляло собою золотое сечение, являются собственными значениями матрицы. Поэтому, ещё одним способом вывода замкнутой формулы является использование матричного уравнения и линейной алгебры.

Так чем же полезна такая формулировка? Тем, что возведение в степень можно произвести за логарифмическое время. Это делается через возведения в квадрат. Суть в том, что

где первое выражение используется для чётных A, второе для нечётных. Осталось только организовать перемножения матриц, и всё готово. Получается следующий код. Я организовал рекурсивную реализацию pow, поскольку её проще понять. Итеративную версию смотрите тут.

def pow(x, n, I, mult):
    """
    Возвращает x в степени n. Предполагает, что I – это единичная матрица, которая 
    перемножается с mult, а n – положительное целое
    """
    if n == 0:
        return I
    elif n == 1:
        return x
    else:
        y = pow(x, n // 2, I, mult)
        y = mult(y, y)
        if n % 2:
            y = mult(x, y)
        return y


def identity_matrix(n):
    """Возвращает единичную матрицу n на n"""
    r = list(range(n))
    return [[1 if i == j else 0 for i in r] for j in r]


def matrix_multiply(A, B):
    BT = list(zip(*B))
    return [[sum(a * b
                 for a, b in zip(row_a, col_b))
            for col_b in BT]
            for row_a in A]


def fib(n):
    F = pow([[1, 1], [1, 0]], n, identity_matrix(2), matrix_multiply)
    return F[0][1]

Хорошее:
Фиксированный объём памяти, логарифмическое время
Плохое:
Код посложнее
Злое:
Приходится работать с матрицами, хотя они не так уж и плохи

Сравнение быстродействия

Сравнивать стоит только вариант динамического программирования и матрицы. Если сравнивать их по количеству знаков в числе n, то получится, что матричное решение линейно, а решение с динамическим программированием – экспоненциально. Практический пример – вычисление fib(10 ** 6), числа, у которого будет больше двухсот тысяч знаков.

n = 10 ** 6
Вычисляем fib_matrix: у fib(n) всего 208988 цифр, расчёт занял 0.24993 секунд.
Вычисляем fib_dynamic: у fib(n) всего 208988 цифр, расчёт занял 11.83377 секунд.

---

Теоретические замечания

Не напрямую касаясь приведённого выше кода, данное замечание всё-таки имеет определённый интерес. Рассмотрим следующий граф:

Подсчитаем количество путей длины n от A до B. Например, для n = 1 у нас есть один путь, 1. Для n = 2 у нас опять есть один путь, 01. Для n = 3 у нас есть два пути, 001 и 101. Довольно просто можно показать, что количество путей длины n от А до В равно в точности F_n. Записав матрицу смежности для графа, мы получим такую же матрицу, которая была описана выше. Это известный результат из теории графов, что при заданной матрице смежности А, вхождения в А

n — это количество путей длины n в графе (одна из задач, упоминавшихся в фильме «Умница Уилл Хантинг»).

Почему на рёбрах стоят такие обозначения? Оказывается, что при рассмотрении бесконечной последовательности символов на бесконечной в обе стороны последовательности путей на графе, вы получите нечто под названием «подсдвиги конечного типа», представляющее собой тип системы символической динамики. Конкретно этот подсдвиг конечного типа известен, как «сдвиг золотого сечения», и задаётся набором «запрещённых слов» {11}. Иными словами, мы получим бесконечные в обе стороны двоичные последовательности и никакие пары из них не будут смежными. Топологическая энтропия этой динамической системы равна золотому сечению ϕ. Интересно, как это число периодически появляется в разных областях математики.

ШедЭврика природы: последовательность Фибоначчи

ШедЭврика природы: последовательность Фибоначчи

опубликовано 19-07-2021 в Библиотеки

Последовательность Фибоначчи и золотое сечение показывают, как математика и искусство соотносятся в природных и рукотворных явлениях.

Большинство из нас слышали о золотой середине, золотом веке Древней Греции, золотой молодёжи, золотых шлягерах в музыке и даже о золотом сердце. А как насчёт золотого сечения?

Понятие золотого сечения тесно связано с последовательностью Фибоначчи – рядом чисел, в котором каждое последующее число является суммой двух предыдущих: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и так далее до бесконечности. Данная последовательность была названа в честь математика Леонарда Пизанского по прозвищу Фибоначчи. При делении любого числа из последовательности на число, стоящее перед ним в ряду, результатом всегда будет величина 1.618 – число золотого сечения, обозначаемое греческой буквой φ («фи»).

На золотом сечении строится такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему. В геометрии прямоугольник с таким отношением сторон зовётся золотым прямоугольником.

Его длинные стороны соотносятся с короткими сторонами в соотношении 1,168 : 1.

Отрезав от золотого прямоугольника квадрат, сторона которого равна меньшей стороне прямоугольника, мы снова получим золотой прямоугольник меньших размеров. Этот процесс можно продолжать до бесконечности. Продолжая отрезать квадраты, мы будем получать все меньшие и меньшие золотые прямоугольники. Причем располагаться они будут по логарифмической спирали, которая также называется золотой спиралью.

Связи и закономерности золотого сечения можно найти не только в математике, но и в природе, архитектуре и строительстве, а также в искусстве.

Некоторые примеры золотого сечения в природе можно увидеть в спиралевидном узоре семян подсолнечника, чешуйках сосновой шишки, разворачивании растущего папоротника и раковинах улиток.

Пропорции различных частей человеческого тела составляют число, очень близкое к золотому сечению, включая соотношение фаланг пальцев, предплечье по отношению к кисти, спираль уха и даже молекулу ДНК. В строении черт лица человека также есть множество примеров, приближающихся по значению к формуле золотого сечения.

Золотое сечение проявляется и в некоторых неживых природных явлениях, например, вихревые потоки ураганов и совершенные формы снежинок. Во Вселенной все известные человечеству галактики и все тела в них существуют в форме спирали, соответствующей формуле золотого сечения.

Многие признанные шедевры живописи созданы по правилу золотого сечения, в том числе Рождение Венеры Сандро Боттичелли, Тайная вечеря и Портрет Моны Лизы Леонардо да Винчи, Сикстинская мадонна Рафаэля.

Любое произведение искусства, спроектированное в точном соответствии с золотыми пропорциями, являет собой совершенную эстетическую форму. Примерами памятников архитектуры, возведённых по правилам золотого сечения, являются: египетские пирамиды, Пантеон, Тадж Махал, Парфенон, Собор Нотр-Дам де Пари, храм Василия Блаженного и др.

Гармония золотого сечения играет заметную роль и в музыке и находит свое отражение, например, в определённых пропорциях при построении композиции, когда на точку золотого сечения обычно приходится наиболее яркое или неожиданное музыкальное решение.

Примечательно, что еще одно творение человека — фондовый рынок — демонстрирует удивительные характеристики золотого сечения. Инвесторы используют такие инструмент технического анализа, как дуги Фибоначчи, коррекции Фибоначчи и веер Фибоначчи, для обоснования прогнозов движения цен в отношении отдельных акций или для всего фондового рынка.

Таким образом последовательность Фибоначчи проявляется в самых разнообразных формах, от молекул ДНК до галактик во Вселенной, и создается впечатление, что гармония золотого сечения повсюду вокруг нас.

Больше интересного из области математики про последовательность Фибоначчи и не только вы можете узнать из баз данных EBSCO Academic Search Ultimate и Applied Science & Technology Source Ultimate.

Как вычислить миллионное число Фибоначчи на Python

Как-то раз я захотел найти оптимальное решение для вычисления чисел Фибоначчи и решил попробовать вычислить стотысячное число в последовательности, а потом подумал: если бы я мог вычислить стотысячное, то почему бы не вычислить миллионное число? Поэтому сейчас я покажу, как у меня это получилось и с какими проблемами я столкнулся.

Последовательность Фибоначчи является одной из наиболее известных математических последовательностей и самым простым примером рекурсий. Каждое число последовательности состоит из суммы двух предыдущих, где начальными числами выступают 0 и 1. Выглядит это всё вот так:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 и так до бесконечности…

В течение следующих нескольких минут я пройдусь по нескольким различным подходам, а затем покажу оптимальное решение задачи:

1. Простая рекурсия.

2. Использование кэша с рекурсией.

3. Итеративный метод.

4. Использование формулы Бине.

5. Вычисление миллионного числа.

Перед тем как начать, нужно отметить, что все упомянутые замеры времени основаны именно на моем оборудовании и на версии Python 3.9.1.

1. Простая рекурсия

Это очень простой способ вычислить n-ное число Фибоначчи в Python:

def recursiveFib(n):
    if n == 1 or n == 2:
        return 1

    return recursiveFib(n - 1) + recursiveFib(n - 2)

Этот метод использует рекурсию, чтобы многократно вызывать функцию вычисления, рассчитывая предыдущее число и применяя его для вычисления следующего. Однако это и является недостатком метода, так как эта функция крайне неэффективная и ресурсоёмкая, ведь на каждой стадии она вычисляет два предыдущих числа, потом два предыдущих числа этого числа и так далее. В какой-то момент вы заметите, что вычисление одного числа будет занимать слишком много времени. На моем компьютере, например, вычисление 35-го числа Фибоначчи заняло 1,43 секунды. Поэтому очевидно, что вычисление еще больших значений стало бы невероятно медленным либо вообще практически невыполнимым.

2. Использование кэша с рекурсией

Поскольку мы постоянно вычисляем предыдущие два числа, то мы также можем использовать возможности кэширования для хранения числа, чтобы нам больше не нужно было их вычислять. Встроенный модуль functools позволяет нам использовать метод вытеснения из кэша (least recently used cache)  —  тип кэша, при котором все элементы в нем упорядочиваются по мере использования. Этот метод может значительно ускорить процесс.

from functools import lru_cache

@lru_cache()
def recursiveFibCached(n):
    if n == 1 or n == 2:
        return 1

    return recursiveFibCached(n - 1) + recursiveFibCached (n - 2)Первым делом, из модуля functools нужно импортировать декоратор lru_cache и поместить его перед функцией.  Мы можем указать значение maxsize, чтобы обозначить, сколько элементов должно храниться в кэше, однако по умолчанию указывается 128, чего точно должно хватить. Благодаря использованию кэша мы можем вычислить 200-е число Фибоначчи всего за 0.0002252 секунды!

Однако единственной проблемой такой рекурсии является то, что если попытаться вычислить 501-е число, то программа выдаст ошибку RecursionError: maximum recursion depth exceeded in comparison. Эту проблему можно обойти, установив глубину рекурсии на какое-нибудь большее значение.

import sys

sys.setrecursionlimit(5000)

Теперь, чтобы вычислить тысячное число Фибоначчи, требуется лишь 0,001198 секунд. Однако с этим методом у меня случилась еще одна проблема, потому что по какой-то неведомой причине я так и не смог вычислить 1553-е число в последовательности, и даже после увеличения глубины рекурсии ничего не помогло: терминал переставал выдавать число и просто завершал работу программы. Это, очевидно, проблема и недостаток на пути к вычислению миллионного числа Фибоначчи.

3. Итеративный метод

Можно заметить, что в среде программистов использование рекурсивного метода решения проблемы часто рассматривается как плохая практика, гораздо лучше считаются итеративные методы вычисления. Мы также можем придумать итеративное решение для генерации чисел Фибоначчи:

def iterativeFib(n):
    a, b = 0, 1

    for i in range(n):
        a, b = b, a + b

    return a

Этот метод можно использовать для вычисления любого числа Фибоначчи (однако я не проверял его на огромных числах), что также происходит очень быстро, так как всего за 0.0028195 я смог вычислить десятитысячное число Фибоначчи. И если подумать, почему бы не использовать этот метод для вычисления миллионного числа: это возможно, однако займет какое-то время перед тем как полностью загрузиться. Читайте дальше, и я расскажу, почему так происходит.

4. Формула Бине

Формула Бине  —  это формула, которую можно использовать для вычисления n-ного числа последовательности Фибоначчи, а это как раз то, что нам нужно. Эта формула названа в честь французского математика Жака Филиппа Мари Бине. Вот как она выглядит:

Уравнение Бине для вычисления n-ного числа Фибоначчи

Фи (φ) равна золотому сечению:

Уравнение золотого сечения, буквы “фи”

Эту формулу мы можем использовать, если перенести ее в Python:

def formulaFib(n):
    root_5 = 5 ** 0.5
    phi = ((1 + root_5) / 2)

    a = ((phi ** n) - ((-phi) ** -n)) / root_5

    return round(a)

Обратите внимание, что в реализации на Python нам следует вернуть округленную версию вычисленного числа, так как при вычислении больших чисел Python возвращает число, в котором после запятой может быть более двадцати девяток в периоде. И это хорошо, поскольку теперь у нас нет циклов и мы можем сразу вычислить ответ, ведь так? Но и в этом методе есть небольшой недостаток. Если мы попытаемся вычислить что-либо выше 1475-го числа, то столкнемся с ошибкой: OverflowError: (34, result too large). Это связано с тем, что в Python реализована система float, и она может иметь только определенное максимальное значение, которое мы превышаем, используя этот метод.

Эту проблему можно очень легко решить с помощью встроенного модуля Decimal, чтобы создать десятичный объект с гораздо большей точностью и размером для использования в нашем уравнении:

import decimal

def formulaFibWithDecimal(n):
    decimal.getcontext().prec = 10000

    root_5 = decimal.Decimal(5).sqrt()
    phi = ((1 + root_5) / 2)

    a = ((phi ** n) - ((-phi) ** -n)) / root_5

    return round(a)

В этой новой функции мы устанавливаем значение точности до 10000 цифр и преобразуем значение корня из 5 в десятичный объект, а затем используем его в нашем уравнении. Такой способ позволяет нам легко вычислить десятитысячное число последовательности за невероятные 0,0692986 секунд, что является огромным улучшением по сравнению со всеми предыдущими методами.

5. Вычисление миллионного числа

Как вы, возможно, заметили, применение формулы работает значительно медленнее итеративного метода, если n = 10000. Это связано с тем, что в формуле нам нужно создавать десятичный объект и использовать его в уравнении, а это занимает больше времени, чем повторение одного и того же действия 10000 раз. Однако это еще не конец истории.

Если увеличить количество повторений, необходимых для выполнения цикла, то это может значительно увеличить время завершения всего процесса. В какой-то момент, когда n достигает примерно 89200, время расчета при итеративном методе становится равным времени вычисления по формуле, а когда n увеличивается еще больше, то время итеративного метода увеличивается больше, чем по сравнению с увеличением времени по формуле.

На графике видно, в какой точке пересекаются формула и итеративный метод. По мере увеличения n, время, затрачиваемое на расчет чисел Фибоначчи по формуле, растет в линейной прогрессии. А при итеративном решении время увеличивается вместе со значением n. Это дает нам понять, что миллионное число нужно будет вычислять по формуле. Кроме того, в качестве дополнительной меры для более точного вычисления числа мне пришлось поменять точность десятичного объекта с помощью decimal.getcontext().prec = 300000.

На моем компьютере (а у вас это время может быть другим) вычисление миллионного числа Фибоначчи заняло:

• 8,832661 секунд с применением итеративного метода
• 1,151380 секунд, используя формулу Бине, что в 7,7 раз быстрее!

Если вам хочется увидеть само число, оно состоит из 208988 цифр и в виде текстового файла весит 209 Кб:

Само число

Заключение

Вот так я и вычислил миллионное число Фибоначчи. Да, конечно, можно было вычислить число и побольше, но на самом деле это не имеет практического смысла, да и заняло бы много времени даже с применением формулы Бине. Из графика выше можно прикинуть, что на вычисление миллиардного числа Фибоначчи потребуется 310,8467 секунд. Оставлю эти расчёты на ваше усмотрение.

Читайте также:

Читайте нас в Telegram, VK и Яндекс.Дзен

---

Перевод статьи Kush: How I calculated the 1,000,000th Fibonacci Number with Python

Числа Фибоначчи | Математика для всех

Всем привет! Добро пожаловать на канал любителей математики. Сегодня я расскажу Вам об одной из самых известных числовых последовательностей. Она очень проста в понимании и обладает интересными свойствами. Эта последовательность получила название «числа Фибоначчи» (или «ряд Фибоначчи»). Что это за числа? Ряд начинается с двух единиц (или единицы и нуля — это не принципиально) и каждый последующий элемент получается путём сложения двух предыдущих:

Числа Фибоначчи

Числа Фибоначчи

Этот ряд чисел был известен математикам ещё со времён древней Индии, в Европе его стали изучать намного позднее. На рубеже XII и XIII столетий в Италии жил Леонардо Пизанский, пожалуй, первый из крупных математиков средневековой Европы. Позднее он получил прозвище Фибоначчи, под которым и стал известен. Именно он первый из европейцев исследовал эту последовательность. Впоследствии этот ряд чисел назвали его именем.

У этого ряда есть несколько интересных свойств. Например:

Но, с моей точки зрения, самое интересное свойство чисел Фибоначчи заключается в этой формуле:

Что это означает? Ф — это одна из самых замечательных математических констант — золотое сечение. О ней я уже рассказывал Вам ранее. Так вот, эта формула означает, что, стремясь к бесконечности, отношение числа Фибоначчи к предыдущему равняется золотому сечению. Например, при n=9 и n+1=10, то есть сами числа — 55 и 34, это отношение равно 1,6176 (округлённое до 4-го знака), что отличается от Ф (1,6180) менее чем на 1%. Здорово, не правда ли!?

Многое в природе соотносится числам Фибоначчи: расположение листьев на стеблях и ветках растений; раковины моллюсков строятся по спирали, соотносящейся с этой последовательностью; длины фаланг пальцев у человека и т. д.

Как видите, числа Фибоначчи — это замечательный ряд!

Спасибо, что прочитали статью! Надеюсь, Вам было интересно.

Буду благодарен за Ваши лайки, комментарии и подписки.

Предыдущая статья

Следующая статья

Числа Фибоначчи в фотографии

Многие фотографы при съемке используют правило третей для построения композиции. Но этому правилу есть альтернатива, которая поможет вам еще больше усовершенствовать ваши фотографии. Речь идет о числах Леонарда Фибоначчи. Он заметил, что в природе существуют некие пропорции, которые особенно приятны для взгляда человека.

И эти пропорции широко использовались как в прошлом, например в архитектуре (Парфенон), в живописи (Мона Лиза, Тайная Вечеря) и т.д., так и сейчас многие дизайнеры придерживаются пропорций 1:1.618. Эти пропорции также называются золотым сечением, которое дает много возможностей для композиционного построения снимка, благодаря чему снимок выглядит так, что на подсознательном уровне человек постоянно хочет на него смотреть и любоваться.

 

Чтобы понять, что такое последовательность Фибоначчи предлагаю посмотреть этот замечательный видеоролик.

 

Ниже представлены фотографии, которые сделаны с применением пропорций Фибоначчи.

 

 

На снимке выше более выделяющийся глаз лошади расположена на пересечении линий согласно пропорций Фибоначчи. Если бы и придерживался правила третей, голова лошади была бы расположена ближе к краю снимка. На этом же снимке голова и не в центре и не с краю.

 

 

На следующей фотографии голова расположена так, что глаз находится ровно в центре спирали.

 

 

На этой фотографии из Key West горизонт пересекается с верхней линией сетки. Благодаря этому на фотографии гармонично расположены и церковь и улица и небо.

 

 

На этом снимке сетка Фибоначчи также помогает удачно скомпоновать кадр. Двери заключены между вертикальными линиями и горизонтальной, благодаря этому в кадре присутствует достаточное количество потолка, который ведет взгляд зрителя к двери.

 

 

Ниже представлены еще несколько снимков, сделанных при помощи золотого сечения.

 

В заключение хотелось бы сказать, что вы можете с успехом продолжать пользоваться правилом третей, но если вы добавите в свои снимки и правило золотого сечения, вы сможете разнообразить свои снимки и сделать их еще более совершенными и гармоничными.

Смотрите так же Правило третей

Автор: James Brandon

Перевод: Елена Вилкойть

!!! Перед перепечатыванием статей с этого сайта прочтите пожалуйста правила >>Правила<<

Золотые числа Фибоначчи . ? – Число Бога [Золотое сечение – формула мироздания]

Снова рассмотрим последовательность Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 – и на сей раз посмотрим на отношения последовательных членов этого ряда (вычислять будем до шестого знака после запятой):

1/1 = 1,000000

2/1 = 2,000000

3/2 = 1,500000

5/3 = 1,666666

8/5 = 1,6000001

3/8 = 1,625000

21/13 = 1,615385

34/21 = 1,619048

55/34 = 1,617647

89/55 = 1,6180561

44/89 = 1,617978

233/144 = 1,618056

377/233 = 1,618026

610/377 = 1,618037

987/610 = 1,618033

Узнаете это число? Чем дальше мы продвинемся по последовательности Фибоначчи, тем ближе отношение двух соседних чисел Фибоначчи будет колебаться (то чуть больше, то чуть меньше) вокруг золотого сечения, неуклонно приближаясь к нему. Если обозначить n-ный член последовательности Фибоначчи как F_n, а следующий за ним – как F_n+1, то суть нашего открытия состоит в том, что чем больше n, тем ближе отношение F_n/F_n+1 к числу ?. Это свойство чисел Фибоначчи открыл в 1611 году знаменитый немецкий астроном Иоганн Кеплер (а возможно, его опередил неизвестный итальянский математик), однако прошло более ста лет, прежде чем связь между числами Фибоначчи и золотым сечением была доказана, да и то не до конца, шотландским математиком Робертом Симсоном (1687–1768). Кстати, Кеплер, очевидно, открыл последовательность Фибоначчи совершенно самостоятельно, а не из «Книги абака».

Но почему члены последовательности, выведенной из схемы разведения кроликов, подводят нас к соотношению, выведенному из деления отрезка? Чтобы понять эту связь, придется вернуться к поразительной непрерывной дроби, с которой мы познакомились в главе 4. Вспомним, что мы обнаружили, что золотое сечение можно записать в виде:

В принципе, можно вычислить значение ? методом последовательных приближений: прерывая непрерывную дробь все ниже и ниже. Предположим, мы именно так и поступим. Тогда у нас получится целый ряд значений (напомню: 1 к a/b – это все равно, что b/a).

Иными словами, последовательные приближения, при помощи которых мы ищем золотое сечение, в точности равны соотношениям чисел Фибоначчи. Ничего удивительного, что чем дальше мы продвигаемся по последовательности, тем ближе они сходятся к золотому сечению. Это качество прекрасно описано в книге «О росте и форме» знаменитого натуралиста сэра Д’Арси Уэнтворта Томпсона (1860–1948) (Sir D’Arcy Wentworth Thompson. On Growth and Form). Вот как он пишет о числах Фибоначчи: «Один мой друг, сведущий в математике, пишет мне б этих прославленных, поразительных числах: “Вся романтика непрерывных дробей, линейных рекурретнтых последовательностей… все это есть в них, и они – источник бесконечного интереса; как увлекательно наблюдать, с каким рвением они стремятся достичь недостижимого – например, золотого сечения; а ведь это всего лишь одно из сотен подобных соотношений”». Кстати, сходимость золотого сечения объясняет математический фокус, который я показал вам в главе 4. Если определить последовательность чисел так, что каждый член последовательности (начиная с третьего) равен сумме двух предшествующих, то с каких бы двух чисел вы ни начали, если зайти по последовательности достаточно далеко, отношение двух последовательных членов будет приближаться к золотому сечению.

Числа Фибоначчи, подобно «предмету устремлений» их отношений – золотому сечению, – обладают поистине поразительными свойствами. Перечень математических закономерностей, связанных с числами Фибоначчи, буквально бесконечен. Приведу лишь несколько из них.

виды и способы их применения в трейдинге

Уровни Фибоначчи основаны на математической теории, которую разработал итальянский ученый Леонардо Пизанский еще в 12 веке. Эта теория широко используется и за пределами биржевого анализа, кроме того, закономерность Фибоначчи встречается во многих природных элементах. В техническом анализе используется как минимум 6 производных инструментов, которые наносятся на график в соответствии с формулой Фибоначчи. В этой статье мы разберем все 6 Фибо-индикаторов, доступных в торговой платформе Meta Trader 4, а также выясним, в каких системах они работают наиболее эффективно.

Оглавление:

Фибо-уровни: что это такое и какие они бывают

В основе каждого из инструментов Фибоначчи лежит последовательность вида 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89… Каждое число в этой последовательности равно сумме двух предыдущих. При делении любого числа последовательности на предыдущее получается примерно 1,61, и это значение используется как основной коэффициент при построении всех графических Фибо-инструментов.

Уровни Фибоначчи используются для прогнозирования дальнейшего движения цены актива. Как правило, при работе с такими индикаторами используется привязка к уже существующему тренду, чтобы затем спрогнозировать либо его дальнейшее развитие, либо коррекцию. Индикаторы Фибоначчи дают ориентиры по целям движения: до какого ценового уровня цена, скорее всего, дойдет, где развернется и т. д. На основании этих целей трейдеры устанавливают отложенные ордера на ввод в рынок, а также стоп лоссы и тейк профиты.

Уровни Фибоначчи, в целом, выполняют одну и ту же функцию, однако различаются между собой как внешне, так и по принципу действия.

Уровни (линии) Фибоначчи

Самый основной и популярный Фибо-инструмент. На графике он выглядит как сетка из нескольких линий, расположенных друг от друга на расстоянии, рассчитанном с помощи коэффициента Фибоначчи. Как правило, эти линии являются ключевыми уровнями для цены, она стремится к ним, часто меняет свое направление при приближении к такому уровню, а его пробой, наоборот, сигнализирует о наличии сильного тренда.

При построении линий Фибоначчи привязка осуществляется к последнему явному тренду. От начала и до конца тренда растягивается сетка от уровня 100 (конец тренда) до уровня 0 (начало тренда). Таким образом, уровни, расположенные внутри этого диапазона (61,8, 38,3 и др.) становятся ориентирами для возможной коррекции, а уровни, идущие после 100 (161,8, 261,8 и др.) – ориентирами для продолжения тренда.

При открытии сделки по тренду на внутренние уровни можно ставить стоп лосс, а на внешние – тейк профит. При торговле на коррекции целями станут уже внутренние уровни. Также можно открывать сделки на пробой уровней, устанавливая на них отложенные ордера.

Временные зоны Фибоначчи

Временные зоны стоят особняком от других Фибо-инструментов. Этот индикатор позволяет спрогнозировать время формирования следующей волны (коррекционной или трендовой) на основании протяженности предыдущего импульса. В отличие от линий, временные зоны растягиваются от экстремума начала тренда до точки разворота.

Временные зоны используются довольно редко, так как для каждой валютной пары на каждом таймфрейме характерна отдельная длина волны. К тому же, этот инструмент не дает конкретных сигналов на вход по той или иной цене, а значит, торговля отложенными ордерами с ним невозможна.

Канал Фибоначчи

Канал Фибоначчи – это усовершенствованный вариант линий. В отличие от линий, которые всегда представляют собой горизонтальные уровни, канал может располагаться под наклоном. Это свойство инструмента позволяет строить сетку трендовых линий, определяя следующие цели для цены с учетом угла наклона тренда.

Фибо-канал выстраивается по двум экстремумам (от первого ко второму по направлению тренда): если текущий тренд – восходящий, то индикатор привязывается к минимумам, если нисходящий – к максимумам. По этим точкам строится первая линия тренда, которая становится основным сопротивлением или поддержкой. Двигая вторую линию, можно настроить положение остальной сетки.

Чтобы использовать канал для определения коррекций, нужно начать растягивать канал против направления тренда, от второго экстремума к первому.

Дуги Фибоначчи

Дуги – инструмент, который наиболее эффективен при флетовом движении цены, и используется для того, чтобы поймать коррекцию. Как и другие Фибо-индикаторы, дуги растягиваются от начальной до конечной точки тренда или волны. Причем допустимо строит дуги как с начала до конца, так и с конца до начала тренда – от этого зависит лишь направление закругления.

В классическом варианте инструмента присутствует всего три дуги, расположенные внутри диапазона исходного тренда. Однако, по мере удаления цены от ключевых точек, линии расходятся, несколько расширяя диапазон целевых.

Веер Фибоначчи

Веер – еще один динамичный Фибо-инструмент. Выглядит как несколько лучей, расходящихся из одной точки в разные стороны. Веер растягивается по двум точкам тренда или волны, начиная с первой (из нее и будут исходить лучи).

При восходящем тренде веер выстроится под графиком цены, при нисходящем – над ним, давая ориентир для коррекции. Также веер Фибоначчи можно использовать для при работе с динамичным стоп лоссом, передвигая защитный ордер по одной из линий веера вдоль движения цены.

Расширения Фибоначчи

Расширения часто используются как вспомогательный инструмент при волновом анализе. Этот индикатор строится по трем точкам, которые образуют две волны: трендовую и коррекционную. Расширения указывают следующие цели в направлении тренда. Этот инструмент эффективнее всего использовать для выставления тейк профита.

Инструменты типа временных зон, веера и дуг довольно специфичны, и редко используются трейдерами (за исключением торговых систем, специально заточенных под эти индикаторы). Уровни (линии) Фибоначчи – довольно популярный инструмент, который считается базовым и часто применяется в комплексе с другими системами (например, для поиска дополнительных сигналов или подтверждения существующих).

Установка и настройка уровней Фибоначчи

На торговой платформе Мета Трейдер 4 Фибо-уровни можно установить на график двумя способами:

Выбрать в главном меню терминала вкладку «Вставка», а в ней – «Фибоначчи». В этой категории будет 5 из 6 Фибо-инструментов, канал Фибоначчи находится в категории «Каналы».

Также можно выбрать нужный инструмент сразу на панели быстрого доступа вверху терминала. По умолчанию на этой панели доступны только линии Фибоначчи, остальные инструменты можно добавить, кликнув на ней правой кнопкой и выбрав «Настроить». В открывшемся окне можно выбрать все инструменты, которые затем будут добавлены в быстрый доступ.

В каждый из инструментов можно внести дополнительные настройки после нанесения его на график. Помимо изменения цвета, можно подкорректировать параметры исходных точек, а также добавить дополнительные уровни.

Торговля по уровням Фибоначчи

Уровни (линии) Фибоначчи используются для торговли как в составе стратегий, так и в качестве самодостаточных инструментов. Один из самых простых способов открытия сделки по Фибо-уровням – установка отложенного ордера на пробой уровня 100 после коррекции.

Для этого нужно растянуть сетку Фибоначчи после формирования трендовой волны от экстремума-конечной точки до экстремума-начала импульса.

После этого ниже/выше уровня 100 устанавливается ордер на пробой. Тейк профит можно заранее установить чуть ближе уровня 161,8. Стоп лосс можно установить либо на том же расстоянии от уровня 100, что и отложенный ордер (осторожный вариант), либо в районе уровня 61,8 (агрессивная тактика).

При установке стоп лосса на уровень 61,8 соотношение риск/прибыль получается примерно 1:1,5, при более осторожном стоп лоссе – примерно 1:5.

Торговая стратегия с Фибо-уровнями

Уровни Фибоначчи часто используются для подтверждения точек входа или для установки стоп лоссов и тейк профитов. Для примера рассмотрим стратегию торговли с Фибо-уровнями, а также скользящей средней и MACD.

Для начала необходимо нанести трендовый индикатор и осциллятор на график. Период МА – 10, настройки MACD стандартны.

Далее торговля ведется по следующему алгоритму (на примере открытия позиции на продажу):

1. Цена пересекает скользящую среднюю сверху вниз.
2. Гистограмма MACD пересекает линию в том же направлении.
3. По последней явной трендовой волне растягивается сетка Фибоначчи. Если момент пересечения ценой скользящей средней совпадает с отскоком от уровня или его пробоем в нужном направлении – открывается сделка на продажу.
4. Тейк профит можно выставить на одном из следующих Фибо-уровней. Стоп лосс – на предыдущем, либо в нескольких пунктах от локального исследования.

Эта стратегия подходит для торговли всеми ликвидными парами Forex. Оптимальные таймфреймы – Н1-D1.

Плюсы и минусы уровней Фибоначчи как инструмента

Главное преимущество уровней Фибоначчи заключается в их универсальности. Самой теории, лежащей в основе этих инструментов, уже более сотни лет, и она уже десятки лет активно применяется для анализа на фондовом рынке, рынке Форекс, а с недавних пор – еще и для торговли криптовалютами. Однако универсальность инструмента позволяет ему быть актуальным вне зависимости от того, как изменился рынок, стал ли он более волатильным или, наоборот, спокойным.

Кроме того, в пользу инструмента играет широкий спектр его применения. Фибо-уровни можно использовать как для открытия новых ордеров, так и для поиска точек выхода из рынка.

Главным же недостатком индикаторов Фибоначчи является необходимость проведения предварительного анализа. Если другие компьютерные индикаторы достаточно лишь запустить на графике, и они устанавливаются в автоматическом режиме и сами начинают искать сигналы, то уровни устанавливаются вручную, и трейдер сам принимает решение, к каким точкам ему привязаться.

Уровни Фибоначчи станут отличным средством для получения прибыль на финансовых рынках для опытных трейдеров. Новичкам же не помешает для начала изучить основы волновой теории, а также освоить базовые приемы торговли от уровней, и только после этого начинать использовать различные инструменты Фибо.

Торговля на финансовых рынках сопряжена с высоким уровнем риска для капитала. Для того, чтобы снизить риски, рекомендуется четко следовать правилам мани-менеджмента и всегда устанавливать Stop Loss. Все решения, которые принимает трейдер при работе на Форекс являются его личной ответственностью.

Калькулятор Фибоначчи

Использование калькулятора

С помощью калькулятора Фибоначчи вы можете создать список чисел Фибоначчи из начального и конечного значений n. Вы также можете вычислить одно число в последовательности Фибоначчи, F _n , для любого значения n до n = ±200.

Последовательность Фибоначчи

Последовательность Фибоначчи — это набор чисел, в котором каждое число в последовательности является суммой двух чисел, непосредственно предшествующих ему.

\[F_{0} = 0,\quad F_{1} = F_{2} = 1, \]

и

\[ F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2} \]

Например, расчет F ₄

\[ F_{4}=F_{4-1}+F_{4-2} \] \[ F_{4}=F_{3}+F_{2} \] \[ F_{4}=2+1 \] \[ F_{4}=3 \]

Первые 15 чисел в последовательности от F ₀ до F ₁₄ равны

.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377

Формула последовательности Фибоначчи

Формула последовательности Фибоначчи для расчета одного числа Фибоначчи:

\[ F_ {n} = {\ dfrac {(1+\ sqrt {5}) ^ {n} — (1- \ sqrt {5}) ^ {n}} {2 ^ {n} \ sqrt {5} }} \]

или

F _n = ((1 + √5)^n — (1 — √5)^n ) / (2^n × √5)

для положительных и отрицательных целых чисел n. {n+1}F_{n} \]

Иными словами, когда -n нечетно, F _-n = F _n и когда -n четное, F _-n = -F _n .

Если вы создаете последовательность -n вручную и стремясь к отрицательной бесконечности, вы можете переформулировать приведенное выше уравнение последовательности и использовать его в качестве отправной точки:

\[F_{0} = 0,\quad F_{1} = F_{2} = 1, \]

и

\[ F_{n}=F_{n+2}-F_{n+1} \]

Например, с n = -4 и ссылкой на таблицу ниже

\[ F_{-4}=F_{-4+2}-F_{-4+1} \] \[ F_{-4}=F_{-2}-F_{-3} \] \[ F_{ -4}=-1-2 \] \[ F_{-4}=-3 \]

F _-9 до F ₉

Ссылки

Кнут, Д. Э., Искусство компьютерного программирования. Том I. Основные алгоритмы, Addison-Wesley, 1997, Бостон, Массачусетс. стр. 79-86

Чандра, Правин и Вайсштейн, Эрик В. «Число Фибоначчи». От MathWorld — Веб-ресурс Wolfram. https://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html

Последовательность Фибоначчи и формула Бине | Габриэль Миранда

Этот пост является своего рода продолжением другого поста, сделанного мной, в котором я немного рассказал о последовательности Фибоначчи.Вы можете найти сообщение, нажав здесь.

В другом посте я показал формулу — которую я не доказывал — которая называется формулой Бине и состоит в том, чтобы вычислить — точно — n-е число Фибоначчи. Формула была такой:

. Где эти две фи, есть две константы, которые являются двумя самыми иррациональными числами. Или самое сложное иррациональное число для аппроксимации дробями. Причина этого кроется в непрерывной дроби, но давайте начнем с того, с чего начал бы тот, кто будет изучать последовательность Фибоначчи.

Самый очевидный шаг здесь — и, вероятно, то, что все делали, пытаясь обнаружить это, — это просто перечислить некоторые члены последовательности:

Обратите внимание, как она растет в геометрической прогрессии. Настолько, что, возможно, вы подумаете, что оно растет на основе какого-то числа, назовем его φ , так что φ в степени n точно или приблизительно равно n -му числу Фибоначчи. Допустим, он получил бы число именно так, чтобы у нас было это:

И что потом? Что ж, нам нужно выяснить, что такое φ , так что, может быть, мы просто не подставим φ в степени n к повторению чисел Фибоначчи:

Но поскольку все термины здесь равны φ в степени n-2 , умноженной на какую-то другую конкретную степень φ, мы можем иметь очень конкретное тождество на φ, которое:

Итак, нам просто нужно найти такое число, что его квадрат минус сам минус точно равен 0 . Так почему бы нам не изобразить это как функцию φ:

Итак, здесь мы можем видеть, что есть два решения, которые соответствуют этому критерию, который мы нашли. Эти два решения — или, если угодно, корни — можно вычислить по квадратной формуле, поскольку это квадратное уравнение. На самом деле двумя решениями будут два числа, о которых я говорил ранее:

Теперь, поскольку мы пытаемся найти значение для n -го числа Фибоначчи на основе φ, приближение, которое мы могли бы принять, будет просто n -е число Фибоначчи по сравнению с последним числом Фибоначчи, умноженным на φ, таким образом:

А теперь, если бы мы определили функцию ошибки, которая представляла бы разницу между фактическим значением и его приближением:

Теперь важный факт, что будет получено из значений обеих констант:

Теперь из-за повторения последовательности Фибоначчи, возвращающейся к значению функции ошибки, мы можем переписать его как:

Это приводит к появлению повторения в термине ошибки. И поэтому, после повторения повторения снова и снова, до тех пор, пока вы не повторите его n-2 раз, получится:

И теперь, если вы уже имели дело с геометрическими прогрессиями, вы, вероятно, увидите, что произойдет следующее:

Что, следовательно, докажет формулу. Прекрасная связь последовательности Фибоначчи с геометрической прогрессией здесь происходит не только с последовательностью Фибоначчи, но и со многими другими ее ответвлениями.

Последовательность Фибоначчи довольно красива и, я бы сказал, одна из самых известных вещей в математике. А также, если вы не знаете, что такое формула геометрической прогрессии:

Что в конечном итоге эквивалентно чему-то тривиально истинному, что затем доказывает это. Кроме того, то, что я упоминал ранее, что формулы, подобные этой, происходят не только с последовательностью Фибоначчи, я имел в виду, что у меня есть ответвление последовательности Фибоначчи, которое имеет аналогичную формулу. Кроме того, я уже доказал эту формулу для определенного общего случая и , который создает разветвление последовательности Фибоначчи. Один из этих общих случаев можно найти в посте, который я написал под названием « Последовательность Фернанды и ее замкнутая формула, аналогичная формуле Бине ».

Соли Део Глория.

Рекурсивная последовательность: формула и обзор — видео и расшифровка урока

Рекурсивная последовательность: формулы

Последовательность Фибоначчи будет выглядеть следующим образом в форме формулы:

Знаменитая последовательность Фибоначчи в форме формулы рекурсивной последовательности.

Каждый термин помечен строчной буквой a с нижним индексом, обозначающим номер в последовательности, которым является термин.Нижний регистр a 1 — первое число в последовательности. Нижний регистр a 2 — второе число в последовательности и так далее.

Рекурсивные последовательности не имеют единой общей формулы. У вас будет одна формула для каждого уникального типа рекурсивной последовательности.

Однако у рекурсивных формул есть одна общая черта: каждая формула будет иметь подмножество n , равное формуле, включающей в себя подмножество некоторого предыдущего члена. Это не обязательно должен быть термин n — 1 или предыдущий термин.Это может быть третий предыдущий срок. Это может быть любой предыдущий термин. Но в формуле должен быть предыдущий член, чтобы сделать ее рекурсивной.

Использование формул

Использование формул требует знания начальных условий и включения этих условий в формулу для расчета следующих условий. Давайте посмотрим, как это работает со следующей рекурсивной формулой, появляющейся здесь:

Формула рекурсивной последовательности.

Эта формула немного сложна, потому что у нас есть n — 1 в нашей формуле.Что это значит? Мы знаем, что означает a ( n -1). Имеется в виду предыдущий термин.

Итак, что может означать n — 1? Хм. Что произойдет, если мы просто подставим мое значение для n и оценим его таким образом? Да! Именно это и означает n — 1. Он хочет, чтобы вы взяли свою текущую позицию в последовательности и вычли из нее 1.

Если вы вычисляете четвертый член последовательности, он просит вас взять 4 и вычесть из него 1, чтобы получить 3.Это означает, что мы добавляем 3 к предыдущему члену, третьему члену. Тогда наш четвертый член равен 6. Глядя на наши первые три члена, мы также можем спросить себя, следуют ли эти числа одному и тому же шаблону. Второе число в последовательности — это 1. Наша позиция в этой точке равна 2, и если мы вычтем из нее 1, мы получим 1. Если мы добавим это к нашему предыдущему члену, мы получим 1. Соответствует ли это нашему второму члену? Да, это действительно так. Глядя на третий термин и задавая тот же вопрос, мы видим, что он также работает с нашим шаблоном.

Вот более простая формула:

Более простая формула рекурсивной последовательности.

Эта формула говорит нам добавить 3 к нашему предыдущему члену. Наш первый член равен 1, поэтому наш следующий член будет 1 + 3 = 4. Третий член будет 4 + 3 = 7. Наша последовательность будет выглядеть так:

Наша простая рекурсивная последовательность.

Все рекурсивные последовательности содержат шаблоны, использующие предыдущий термин в последовательности.Шаблон может добавлять предыдущие термины вместе или может добавлять константу к предыдущим терминам. Это может быть что угодно, но появится шаблон, который будет включать в себя предыдущие термины.

Поиск закономерностей

Мы можем найти закономерности в последовательностях, чтобы определить, является ли последовательность рекурсивной последовательностью или нет. На определение некоторых последовательностей может уйти больше времени, чем на другие, но с практикой ваше чувство числа станет более точно подстраиваться под последовательности.

Давайте посмотрим на пару последовательностей, чтобы увидеть, можем ли мы обнаружить закономерности:

Две последовательности.Что рекурсивно, а что нет?

Глядя на обе последовательности, кажется, что у первой есть закономерность. Второе выглядит так, как будто оно имеет закономерность, потому что каждое второе число равно 31. Присмотревшись более внимательно к первой последовательности, я вижу, что каждое последующее число — это предыдущий член, умноженный на 3.

Вторая последовательность, однако, не кажется, имеют какой-либо шаблон, который связан с предыдущими терминами.Второй член на 3 меньше первого. Третий член на 3 больше второго. Но четвертый член всего на 1 меньше третьего. Кажется, нет шаблона.

О, но подождите, эти цифры действительно выглядят несколько знакомыми. Что я знаю, что есть 31 каждое второе число? Разве это не количество дней в месяце? В январе 31, в феврале 28, в марте 31 и т. д. Хммм. Однако это не рекурсивная последовательность, поскольку в ней не используются предыдущие термины. Поэтому я могу сказать, что последовательность 1 рекурсивна, а последовательность 2 — нет.

Итоги урока

Хорошо, давайте на минутку подведем итоги. В этом уроке мы узнали, что рекурсивные последовательности — это последовательности или цепочки чисел, которые формируются путем использования предыдущих терминов для получения следующих терминов. Последовательность Фибоначчи является известной (возможно, самой известной, если быть честным). Каждый последующий член в этой последовательности является добавлением двух предыдущих членов. Последовательности могут иметь формулы, чтобы показать вам закономерность, или у них может быть закономерность, которую вы должны понять.Не все последовательности рекурсивны.

чисел Фибоначчи (0,1,1,2,3,5,8,13,…)

Последовательность Фибоначчи — это последовательность чисел, где каждое число сумма 2-х предыдущих чисел, кроме первых двух чисел, которые равны 0 и 1.

Формула последовательности Фибоначчи

Например:

Ф ₀ = 0

Ф ₁ = 1

Ф ₂ = Ф ₁ + Ф ₀ = 1+0 = 1 

Ф ₃ = Ф ₂ + Ф ₁ = 1+1 = 2 

Ф ₄ = Ф ₃ + Ф ₂ = 2+1 = 3 

Ф ₅ = Ф ₄ + Ф ₃ = 3+2 = 5 

…

Сходимость золотого сечения

Отношение двух последовательных чисел Фибоначчи сходится к золотое сечение:

φ — золотое сечение = (1+√5)/2 ≈ 1,61803399

Таблица последовательностей Фибоначчи

нет	F n
0	0
1	1
2	1
3	2
4	3
5	5
6	8
7	13
8	21
9	34
10	55
11	89
12	144
13	233
14	377
15	610
16	987
17	1597
18	2584
19	4181
20	6765

Калькулятор последовательности Фибоначчи

Подлежит уточнению

C код функции Фибоначчи

двойной Фибоначчи (целое число без знака n)

{

    double f_n =n;

    двойное f_n1=0. 0;

    double f_n2=1.0;

 

    если( n > 1 ) {

        for(int к=2; к<=n; к++) {

f_n = f_n1 + f_n2;

f_n2 = f_n1;

f_n1 = f_n;

        }

    }

 

    вернуть f_n;

}

 

страница не найдена — Williams College

’62 Центр театра и танца, ’62 Center
Касса	597-2425
Магазин костюмов	597-3373
Менеджер мероприятий/помощник менеджера	597-4808	597-4815 факс
Производство		597-4474 факс
Магазин сцен	597-2439
’68 Центр изучения карьеры, Мирс	597-2311	597-4078 факс
Академические ресурсы, Парески	597-4672	597-4959 факс
Служба поддержки инвалидов, Парески	597-4672
Приемная, Уэстон Холл	597-2211	597-4052 факс
Позитивные действия, Хопкинс-холл	597-4376
Африканские исследования, Голландия	597-2242	597-4222 факс
Американские исследования, Шапиро	597-2074	597-4620 факс
Антропология и социология, Холландер	597-2076	597-4305 факс
Архивы и специальные коллекции, Sawyer	597-4200	597-2929 факс
Читальный зал	597-4200
Искусство (История, Студия), Spencer Studio Art/Lawrence	597-3578	597-3693 факс
Архитектурная студия, Spencer Studio Art	597-3134
Фотостудия, Spencer Studio Art	597-2030
Студия гравюры, Spencer Studio Art	597-2496
Скульптурная студия, Spencer Studio Art	597-3101
Senior Studio, Spencer Studio Art	597-3224
Видео/фотостудия, Spencer Studio Art	597-3193
Азиатские исследования, Голландия	597-2391	597-3028 факс
Астрономия/астрофизика, Физика Томпсона	597-2482	597-3200 факс
Отделение легкой атлетики, физического воспитания, отдыха, Ласелл	597-2366	597-4272 факс
Спортивный директор	597-3511
Лодочная пристань, озеро Онота	443-9851
Вагоны	597-2366
Фитнес-центр	597-3182
Хоккейная площадка Ice Line, Lansing Chapman	597-2433
Очные занятия, Спортивный центр Чендлера	597-3321
Физкультура	597-2141
Мокрая линия бассейна, Спортивный центр Чендлера	597-2419
Информация о спорте, Хопкинс-холл	597-4982	597-4158 факс
Спортивная медицина	597-2493	597-3052 факс
Корты для сквоша	597-2485
Поле для гольфа Taconic	458-3997
Биохимия и молекулярная биология, Биология Томпсона	597-2126
Биоинформатика, геномика и протеомика, Бронфман	597-2124
Биология, Биология Томпсона	597-2126	597-3495 факс
Безопасность и безопасность кампуса, Хопкинс-холл	597-4444	597-3512 факс
Карты доступа/Системы сигнализации	597-4970/4033
Служба сопровождения, Хопкинс-холл	597-4400
Офицеры и диспетчеры	597-4444
Секретарь, удостоверения личности	597-4343
Распределительный щит	597-3131
Центр развития творческого сообщества, 66 Stetson Court	884-0093
Центр экономики развития, 1065 Main St	597-2148	597-4076 факс
Компьютерный зал	597-2522
Вестибюль	597-4383
Центр экологических исследований, выпуск 1966 г. Экологический центр	597-2346	597-3489 факс
Лаборатория наук об окружающей среде, Морли	597-2380
Экологические исследования	597-2346
Лаборатория ГИС	597-3183
Центр иностранных языков, литературы и культуры, Голландия	597-2391	597-3028 факс
Арабистика, Голландия	597-2391	597-3028 факс
Сравнительная литература, Hollander	597-2391
Критические языки, Hollander	597-2391	597-3028 факс
Лингвистическая лаборатория	597-3260
русский, голландец	597-2391
Центр обучения в действии, Brooks House	597-4588	597-3090 факс
Библиотека редких книг Чапина, Сойер	597-2462	597-2929 факс
Читальный зал	597-4200
Офис капелланов, Парески	597-2483	597-3955 факс
Еврейский религиозный центр, Stetson Court 24	597-2483
Мусульманская молитвенная комната, часовня Томпсона (нижний уровень)	597-2483
Католическая часовня Ньюмана, часовня Томпсона (нижний уровень)	597-2483
Химия, Химия Томпсона	597-2323	597-4150 факс
Классика (греческая и латинская), голландская	597-2242	597-4222 факс
Когнитивные науки, Бронфман	597-4594
Колледж Маршал, Томпсон Физика	597-2008
Отношения с колледжами	597-4057
25-я программа воссоединения, Фогт	597-4208	597-4039 факс
50-я программа воссоединения, Фогт	597-4284	597-4039 факс
Операции по развитию, Мирс-Уэст	597-4154	597-4333 факс
Мероприятия для выпускников, Vogt	597-4146	597-4548 факс
Фонд выпускников	597-4153	597-4036 факс
Отношения с выпускниками, Мирс-Уэст	597-4151	597-4178 факс
Почтовые службы для выпускников и разработчиков, Mears West	597-4369
Развитие, Фогт	597-4256
Связи с донорами, Фогт	597-3234	597-4039 факс
Отдел планирования подарков, Фогт	597-3538	597-4039 факс
Офис грантов, Мирс-Уэст	597-4025	597-4333 факс
Программа крупных подарков, Vogt	597-4256	597-4548 факс
Родительский фонд, Фогт	597-4357	597-4036 факс
Prospect Management & Research, Mears	597-4119	597-4178 факс
Начало и академические мероприятия, Jesup	597-2347	597-4435 факс
Коммуникации, Хопкинс Холл	597-4277	597-4158 факс
Информация о спорте, Хопкинс-холл	597-4982	597-4158 факс
Веб-группа, Southworth Schoolhouse
Williams Magazines (ранее Alumni Review), Hopkins Hall	597-4278
Информатика, Химия Томпсона	597-3218	597-4250 факс
Конференции и мероприятия, Парески	597-2591	597-4748 факс
Справки о доме на дереве вяза, Mt. Ферма надежды	597-2591
Офис контролера, Хопкинс Холл	597-4412	597-4404 факс
Кредиторская задолженность и ввод данных, Hopkins Hall	597-4453
Касса и кассовые чеки, Hopkins Hall	597-4396
Финансовые информационные системы, Хопкинс-холл	597-4023
Карточки для покупок, Hopkins Hall	597-4413
Студенческие ссуды, Хопкинс Холл	597-4683
Танец, ’62 Центр	597-2410
Центр Дэвиса (ранее Мультикультурный центр), Дженнесс	597-3340	597-3456 факс
Харди Хаус	597-2129
Дом Дженнесс	597-3344
Рисовый домик	597-2453
Декан колледжа, Хопкинс-холл	597-4171	597-3507 факс
Декан факультета, Хопкинс Холл	597-4351	597-3553 факс
Столовые приборы, капельницы	597-2121	597-4618 факс
’82 Гриль, Парески	597-4585
Пекарня, Парески	597-4511
Питание, Факультет	597-2452
Обеденный зал Дрисколла, Дрисколл	597-2238
Эко-кафе, Научный центр	597-2383
Grab ‘n Go, Парески	597-4398
Закусочная Ли, Парески	597-3487
Обеденный зал Mission Park, Mission Park	597-2281
Уитменс, Парески	597-2889
Экономика, Шапиро	597-2476	597-4045 факс
английский, голландский	597-2114	597-4032 факс
Помещения, Сервисное здание	597-2301
Запрос автомобиля для колледжа	597-2302
Вечерние/выходные чрезвычайные ситуации	597-4444
Запросы на работу объектов		597-4141 факс
Особые события	597-4020
Склад	597-2143	597-4013 факс
Клуб преподавателей, Дом преподавателей/Центр выпускников	597-2451	597-4722 факс
Бронирование	597-3089
Офис стипендий, Хопкинс-холл	597-3044	597-3507 факс
Финансовая помощь, Weston Hall	597-4181	597-2999 факс
Геофизические науки, Кларк Холл	597-2221	597-4116 факс
немецкий-русский, голландский	597-2391	597-3028 факс
Глобальные исследования, Холландер	597-2247
Программа магистратуры по истории искусств, The Clark		458-2317 факс
Health and Wellness Services, Thompson Ctr Health	597-2206	597-2982 факс
Санитарное просвещение	597-3013
Услуги комплексного благополучия (консультации)	597-2353
Экстренные ситуации, угрожающие жизни	Звоните 911
Медицинские услуги	597-2206
История, Холландер	597-2394	597-3673 факс
История науки, Бронфман		597-4116 факс
Лес Хопкинса	597-4353
Центр Розенбурга	458-3080
Отдел кадров, здание B&L	597-2681	597-3516 факс
Услуги няни, здание B&L	597-4587
Преимущества	597-4355
Программа помощи сотрудникам	800-828-6025
Занятость	597-2681
Расчет заработной платы	597-4162
Ресурсы для супругов/партнеров	597-4587
Занятость студентов	597-4568
Погодная линия (ICEY)	597-4239
Гуманитарные науки, Шапиро	597-2076
Информационные технологии, Джесуп	597-2094	597-4103 факс
Пакеты для чтения курсов, почтовый ящик для офисных услуг	597-4090
Центр кредитования оборудования, Додд, приложение	597-4091
Служба поддержки преподавателей/персонала, [email protected]	597-4090
Мультимедийные услуги и справка для занятий	597-2112
Служба поддержки студентов, [электронная почта защищена]	597-3088
Телекоммуникации/телефоны	597-4090
Междисциплинарные исследования, Hollander	597-2552
Международное образование и учеба в гостях, Хопкинс-холл	597-4262	597-3507 факс
Инвестиционный офис, Хопкинс Холл	597-4447
Офис в Бостоне	617-502-2400	617-426-5784 факс
Еврейские исследования, Мазер	597-3539
Справедливость и право, Холландер	597-2102
Латиноамериканские исследования, Hollander	597-2242	597-4222 факс
Лидерские исследования, Шапиро	597-2074	597-4620 факс
Морские исследования, Бронфман	597-2297
Математика и статистика, Bascom	597-2438	597-4061 факс
Музыка, Бернхард	597-2127	597-3100 факс
Concertline (записанная информация)	597-3146
Неврология, Биология Томпсона	597-4107	597-2085 факс
Центр Окли, Окли	597-2177	597-4126 факс
Управление институционального разнообразия и справедливости, Хопкинс-холл	597-4376	597-4015 факс
Бухгалтерия студентов, Хопкинс Холл	597-4396	597-4404 факс
Исследования производительности, ’62 Центр	597-4366
Философия, Шапиро	597-2074	597-4620 факс
Физика, Физика Томпсона	597-2482	597-4116 факс
Планетарий/Обсерватория Хопкинса	597-3030
Старый театр обсерватории Хопкинса	597-4828
Бронирование	597-2188
Политическая экономия, Шапиро	597-2327
Политология, Шапиро	597-2168	597-4194 факс
Офис президента, Хопкинс-холл	597-4233	597-4015 факс
Дом Президента	597-2388	597-4848 факс
Услуги печати/почты для преподавателей/сотрудников, ’37 House	597-2022
Программа обучения, Бронфман	597-4522	597-2085 факс
Офис проректора, Хопкинс-холл	597-4352	597-3553 факс
Психология, психологические кабинеты и лаборатории	597-2441	597-2085 факс
Недвижимость, здание B&L	597-2195/4238	597-5031 факс
Ипотека преподавателей/сотрудников	597-4238
Аренда жилья для преподавателей/сотрудников	597-2195
ЗАГС, Хопкинс Холл	597-4286	597-4010 факс
Религия, голландец	597-2076	597-4222 факс
Романские языки, голландский	597-2391	597-3028 факс
Планировщик помещений	597-2555
Соответствие требованиям безопасности и охраны окружающей среды, класс ’37 House	597-3003
Библиотека Сойера, Сойер	597-2501	597-4106 факс
Службы доступа	597-2501
Приобретение/Серийные номера	597-2506
Услуги каталогизации/метаданных	597-2507
Межбиблиотечный абонемент	597-2005	597-2478 факс
Исследовательские и справочные услуги	597-2515
Стеллаж	597-4955	597-4948 факс
Системы	597-2084
Научная библиотека Шоу, Научный центр	597-4500	597-4600 факс
Научные и технологические исследования, Бронфман	597-2239
Научный центр, Бронфман		597-4116 факс
Магазин электроники	597-2205
Машиностроительный/модельный цех	597-2230
Безопасность	597-4444
Специальные академические программы, Hardy	597-3747	597-4530 факс
Информация о спорте, Хопкинс-холл	597-4982	597-4158 факс
Студенческая жизнь, Парески	597-4747
Планировщик помещений	597-2555
Управление студенческими центрами	597-4191
Планирование студенческих мероприятий	597-2546
Студенческое общежитие, Парески	597-2555
Участие студентов	597-4749
Жилищные программы высшего класса	597-4625
Студенческая почта, Почта Парески	597-2150
Устойчивое развитие/Zilkha Center, Harper	597-4462
Коммутатор, Хопкинс Холл	597-3131
Книжный магазин Уильямс	458-8071	458-0249 факс
Театр, 62 Центр	597-2342	597-4170 факс
Управление траста и недвижимости, Sears House	597-4259
Учебники	597-2580
Вице-президент Campus Life, Хопкинс-холл	597-2044	597-3996 факс
Вице-президент по связям с колледжами, Мирс	597-4057	597-4178 факс
Вице-президент по финансам и администрации, Хопкинс Холл	597-4421	597-4192 факс
Центр визуальных ресурсов, Лоуренс	597-2015	597-3498 факс
Детский центр колледжа Уильямс, Детский центр Уильямс	597-4008	597-4889 факс
Художественный музей колледжа Уильямс (WCMA), Лоуренс	597-2429	597-5000 факс
Подготовка музея	597-2426
Безопасность музея	597-2376
Музейный магазин	597-3233
Уильямс Интернэшнл	597-2161
Williams Outing Club, Парески	597-2317
Аппаратная/стол для учащихся	597-4784
Проект Уильямса по экономике высшего образования, Мирс-Уэст	597-2192
Уильямс Рекорд, Парески	597-2400	597-2450 факс
Программа Уильямса-Эксетера в Оксфорде, Оксфордский университет	011-44-1865-512345
Программа Williams-Mystic, Музей морского порта Mystic	860-572-5359	860-572-5329 факс
Женские, гендерные и сексуальные исследования, Шапиро	597-3143	597-4620 факс
Написание программ, Хопкинс-холл	597-4615
Центр экологических инициатив Зилха, Харпер	597-4462

Формула гиперболического синуса для чисел Фибоначчи

Ричард Аски вывел следующую формулу для чисел Фибоначчи:

Здесь φ — золотое сечение, (1 + √5)/2.

Мы будем использовать эту формулу в качестве отправной точки для обсуждения последствий написания уравнений, сложных логарифмов и вычислений с плавающей запятой в Python.

Чтение вперед и назад

Конечно, каждое уравнение вида a = b можно переписать так: b = a . Две формы уравнения имеют одинаковое обозначение, но разные коннотации. Уравнения имеют подразумеваемое направление применения. Когда вы видите уравнение, записанное как a = b , часто бывает так, что уравнение обычно применяется путем замены b на a .

Например, возьмем уравнение A = π r ². Наиболее естественным применением этого уравнения является то, что вы можете вычислить площадь круга радиусом 90 151 х 90 152, возведя 90 151 х 90 152 в квадрат и умножив на π. Реже увидеть что-то вроде 9π и подумать: «О, это площадь круга радиуса 3».

Обратите также внимание, что так работает почти каждый язык программирования: a = b означает обновить переменную a до значения b

Записывая приведенную выше формулу Аски, я подразумеваю, что может быть полезно выразить m число Фибоначчи в терминах гиперболического синуса, вычисляемого при комплексных аргументах. Зачем тебе это? Числа Фибоначчи элементарны и конкретны, а вот логов и гиперболических функций не так много, особенно со сложными аргументами. Формула Аски интересна, и этого было бы достаточно, но она могла бы быть полезной, если бы некоторые вещи было легче доказать, используя формулировку в правой части.См., например, [1].

Если бы я записал приведенную выше формулу как

подразумевается, что сложное выражение слева можно свести к простому выражению справа. Было бы приятно, если бы какое-то приложение естественным образом привело к формулировке слева, но это маловероятно.

Я закончу этот раздел еще двумя замечаниями о направлении чтения уравнений. Во-первых, в доказательствах принято начинать с применения уравнения слева направо и заканчивать применением того же уравнения справа налево. Во-вторых, применение уравнения в порядке, противоположном обычному, часто является умным приемом. [2]

Обрезки ветвей

Что означает логарифмирование комплексного числа? Ну, то же самое, что и для логарифмирования любого числа: инвертировать функцию exp. То есть log( x ) = y означает, что y является числом таким, что exp( y ) = x . За исключением того, что это не так просто. Обратите внимание на неопределенный артикль: « такое число , что …».Для положительного вещественного числа x существует уникальное действительное число y такое, что exp( y ) = x . Но существует бесконечно много комплексных решений y , даже если x действительно: для любого целого числа n exp( y + 2π ni ) = exp( y ).

Когда мы расширяем log до сложных аргументов, мы обычно хотим сделать это так, чтобы привычные журналы остались прежними. Мы хотим расширить логарифмическую функцию от положительной вещественной оси до более сложной плоскости.Мы не можем непрерывно распространять его на всю комплексную плоскость. Мы должны исключить некоторый путь из начала координат в бесконечность, и этот путь известен как ответвление.

Обычный выбор для логарифма состоит в том, чтобы вырезать отрицательную вещественную ось. Это то, что делает NumPy.

Реализация Python

Давайте посмотрим, работает ли формула Аски, написанная на Python.

 из numpy import sinh, журнал
    
    защита f(м):
        фи = (1 + 5**0,5)/2
        вернуть 2*sinh(m*log(phi*1j))/(5**0.5*(1к)**м)
 

Обратите внимание, что Python использует j для мнимой единицы, а не i . И вы не можете просто использовать j в приведенном выше коде; вы должны использовать 1j . Это позволяет Python использовать j как обычную переменную, когда она не является частью комплексного числа.

Когда мы оцениваем f(1) , мы ожидаем 1, первое число Фибоначчи. Вместо этого мы получаем

 (1-2.73839340137e-17j) 

Хотя это на первый взгляд удивительно, мнимая часть крошечная.Числа с плавающей запятой в Python имеют около 16 значащих цифр (подробнее здесь), поэтому мнимая часть настолько близка к нулю, насколько мы можем ожидать для любого вычисления с плавающей запятой.

Вот первые пять чисел Фибоначчи, используя приведенный выше код.

 (1-2.73839340137e-17j)
    (1.0000000000000002-1.64303609473e-16j)
    (2-3.2860721895852156e-16j)
    (3.0000000000000013-7.667501775698841e-16j)
    (5.0000000000000036-1.5061164202265582e-15j)
 

Если взять действительную часть и округлить до ближайшего целого числа, получится еще одна программа для вычисления чисел Фибоначчи, хотя и неэффективная.

Просто из любопытства посмотрим, как далеко мы могли бы использовать эту формулу, прежде чем ошибка округления сделает ее неверной.

 импорт функциональных инструментов

    @functools.lru_cache()
    защита fib0(m):
        если m == 1 или m == 2:
            вернуть 1
        еще:
            возврат fib0(m-1) + fib0(m-2)

    защита fib1(m):
        возврат раунда (f (m).настоящий)

    для m в диапазоне (1, 70):
        a, b = fib0(m), fib1(m)
        если а != б:
            print(f"m: {m}, Exact: {a}, f(m): {f(m)}")
 

Декоратор lru_cache добавляет мемоизацию к нашему рекурсивному генератору Фибоначчи. Он кэширует вычисленные значения за кулисами, чтобы код не выполнял повторные вычисления с одними и теми же аргументами. Без него функция начинает вязнуть на значениях м в 30-х годах. При этом время, необходимое для выполнения кода, не заметно.

Приведенный выше код показывает, что fib1 падает, когда м = 69.

 м: 69, Точно: 1176660994
    f(м): (1176660994,7-0,28813316817427764j)
 

Похожие сообщения

[1] Томас Ослер и Адам Хилберн. Необычное доказательство того, что F _m делит F _mn с помощью гиперболических функций. Математическая газета, Vol. 91, № 522 (ноябрь 2007 г.), стр. 510-512.

[2] Хорошо, третий комментарий. Вы можете увидеть уравнения, написанные в разных направлениях в зависимости от контекста. Например, в учебнике по математике вы увидите

.

1/(1- х ) = 1 + х + х ² + х ³ + …

, но в книге по генерированию функций вы, скорее всего, встретите

.

1 + x + x ² + x ³ + … = 1/(1- x )

, потому что задачи исчисления начинаются с функций и вычисляют степенные ряды, но приложения, генерирующие функции, создают степенные ряды, а затем манипулируют их суммами.Другой пример: тексты дифференциальных уравнений начинаются с дифференциального уравнения и вычисляют функции, удовлетворяющие уравнению. Книги по специальным функциям могут начинаться с функции, а затем представлять дифференциальное уравнение, которому функция удовлетворяет, потому что последняя форма облегчает доказательство определенных вещей.

Как числа Фибоначчи выражаются в природе?

Хотя семена некоторых растений, лепестки, ветки и т. д. следуют последовательности Фибоначчи, она, конечно, не отражает того, как все происходит в естественном мире.И только потому, что ряд чисел может быть применен к объекту, это не обязательно подразумевает наличие какой-либо корреляции между числами и реальностью. Как и в случае с нумерологическими суевериями, такими как известные люди, умирающие группами по три человека, иногда совпадение — это просто совпадение.

Но хотя некоторые утверждают, что распространенность чисел Фибоначчи в природе преувеличена, они появляются достаточно часто, чтобы доказать, что они отражают некоторые естественные закономерности. Обычно их можно заметить, изучая способ роста различных растений.Вот несколько примеров:

Головки семян, сосновые шишки, фрукты и овощи: Посмотрите на множество семян в центре подсолнуха, и вы заметите нечто похожее на спиральные узоры, изгибающиеся влево и вправо. Удивительно, но если вы посчитаете эти спирали, ваша сумма будет числом Фибоначчи. Разделите спирали на заостренные влево и вправо, и вы получите два последовательных числа Фибоначчи. Вы можете расшифровать спиральные узоры в сосновых шишках, ананасах и цветной капусте, которые также отражают последовательность Фибоначчи таким образом [источник: Knott].

Цветы и ветки: Некоторые растения выражают последовательность Фибоначчи в своих точках роста , местах, где формируются или расщепляются ветви деревьев. Один ствол растет до тех пор, пока не даст ветвь, в результате чего появятся две точки роста. Затем основной ствол дает еще одну ветвь, в результате чего появляются три точки роста. Затем ствол и первая ветвь производят еще две точки роста, доводя общее количество до пяти. Этот паттерн продолжается, следуя числам Фибоначчи. Кроме того, если вы подсчитаете количество лепестков на цветке, вы часто обнаружите, что общее количество является одним из чисел в последовательности Фибоначчи. Например, у лилий и ирисов по три лепестка, у лютиков и шиповников по пять, у дельфиниумов по восемь лепестков и так далее.

Медоносные пчелы: Пчелиная семья состоит из матки, нескольких трутней и множества рабочих. Все пчелиные самки (матки и рабочие) имеют двух родителей, трутня и матку. Трутни же вылупляются из неоплодотворенных яиц. Это означает, что у них есть только один родитель. Таким образом, числа Фибоначчи выражают генеалогическое древо дрона в том смысле, что у него есть один родитель, два дедушки и бабушки, три прадедушки и так далее [источник: Нотт].

Штормы : Штормовые системы, такие как ураганы и торнадо, часто следуют последовательности Фибоначчи. В следующий раз, когда вы увидите на метеорологическом радаре ураган, вращающийся по спирали, проверьте безошибочные пропорции Фибоначчи спирали облаков на экране.

Тело человека: Внимательно посмотрите на себя в зеркало. Вы заметите, что большинство частей вашего тела расположены под номерами один, два, три и пять. У вас один нос, два глаза, по три сегмента на каждой конечности и по пять пальцев на каждой руке.Пропорции и размеры человеческого тела также можно разделить по золотому сечению. Молекулы ДНК следуют этой последовательности, имея длину 34 ангстрема и ширину 21 ангстрем для каждого полного цикла двойной спирали.

Почему так много природных закономерностей отражают последовательность Фибоначчи? Ученые веками размышляли над этим вопросом. В некоторых случаях корреляция может быть просто совпадением. В других ситуациях соотношение существует, потому что эта конкретная модель роста развилась как наиболее эффективная.У растений это может означать максимальное воздействие на светолюбивые листья или максимальное расположение семян.

Меньше разногласий по поводу того, находит ли выражение последовательность Фибоначчи в искусстве и архитектуре. Хотя в некоторых книгах говорится, что Великая пирамида и Парфенон (а также некоторые картины Леонардо да Винчи) были спроектированы с использованием золотого сечения, при проверке это оказалось неверным [источник: Марковский].