Фибоначчи свойства чисел – : — BestReferat.ru

Содержание

Числа Фибоначчи

Леонардо Фибоначчи (ок. 1175-1250) – итальянский математик Европы позднего Средневековья. Родился в богатой купеческой семье в Пизе. Стал заниматься математикой для, того чтобы наладить деловые отношения. Много путешествовал, посетил Византию, Сицилию, где общался с местными учёными. Издавал книги по арифметике, алгебре и другим математическим дисциплинам. В 1202 году он издал книгу на латинском языке «Книга об абаке», которая вмещала все знания по математике того времени и учила использовать десятичную систему исчисления. Данная книга более двух веков использовалась в качестве наиболее авторитетного источника знаний в области чисел.

Fibonachchi1Числа Фибоначчи (ряд Фибоначчи, последовательность Фибоначчи) – числовая последовательность, составленная по определённым принципам и обладающая рядом свойств:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…

Каждый член данного ряда кроме первых двух единиц образован путём сложения двух предшествующих ему чисел:
2 = 1 + 1, 3 = 1 + 2, 5 = 2 + 3, 8 = 3 + 5, 13 = 5 + 8 и т.д.

Ряд Фибоначчи обладает рядом свойств. Например, каждое третье число в ряду Фибоначчи – четное, каждое четвертое делится на 3, каждое пятое – на 5, каждое пятнадцатое – на 10, или  треугольник, сторонами которого являлись бы числа ряда Фибоначчи построить невозможно.

Золотое сечение (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении) – это деление непрерывной величины на две части в таком отношении, когда меньшая часть так относится к большей, как большая ко всей величине.

Последовательность Фибоначчи все медленнее и медленнее стpемится к некотоpому постоянному иppациональному соотношению – числу с бесконечной, непредсказуемой последовательностью десятичных цифp в дpобной части. Его невозможно выразить точно.

Jejler2Если какой-либо член последовательности Фибоначчи pазделить на пpедшествующий ему (напpимеp, 8 : 5), pезультатом будет величина, колеблющаяся около иppационального значения 1,61803398875… И каждый раз, производя подобные действия, мы будем получать числа приблизительно равные этому (1,618). Это соотношение называют Золотым сечением.

Пропорции Фибоначчи и золотого сечения в природе и истории

В природных явлениях, а также творениях человека можно найти закономерности, описанные Фибоначчи в его последовательности. Множество постоянных можно вычислить при помощи его ряда. Числа Фибоначчи являются математическим выражением природных явлений!

И египетские пирамиды  и пирамиды в Мексике построены в соответствии с совершенными пpопоpциями золотого сечения. Во всех внутренних и внешних пропорциях пирамиды число 1,618 играет центральную роль.

Немецкий астроном XVIII в. И. Тициус с помощью ряда Фибоначчи нашел закономерность и порядок в расстояниях между планетами солнечной системы.

FibonachchiИ в растениях и в животных наблюдается – симметрия форм относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста.

Pаковина закручена по спирали: отношение измерений завитков раковины постоянно и равно 1,618. Увеличение шага данной спирали всегда равномерно. Многие природные явления стремятся к спиральности: расположение листьев на ветках деревьев; расположение семян подсолнечника, шишки сосны, ананасы, кактусы – проявляется ряд ряд Фибоначчи и закон золотого сечения.

Свойства чисел Фибоначчи применяются в современных науках для решения различных задач. На нашем сайте в любое время Вы можете получить помощь лучших репетиторов по всем  школьным предметам. Вам не придётся ждать: наши преподаватели на связи с 10.00 до 22.00 по московскому времени. Они готовы оказать любую необходимую помощь: выполнение домашнего задания, подготовка к ЕГЭ, ГИА, к проверочной, контрольной работам, разъяснение любого сложного материала. При желании Вы можете вместе с репетитором выполнить проверочную работу онлайн. Чтобы получить помощь профессионального репетитора,  Вам необходимо зарегистрироваться  на нашем сайте и подключиться.

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Фибоначчи — последовательность чисел — азбука трейдинга

Леонардо Пизанский, он же Фибоначчи и его уникальная, в своём роде, последовательность чисел, так же как и понятия «золотого сечения», «спираль Фибоначчи» или «число Бога», имеет непосредственное отношение к трейдингу, как к живой среде. На основе последовательности чисел трейдеры выстраивают уровни коррекции, расширения и иные.

Леонардо собственной персоной.

Фибоначчи – кто это?

                Леонардо
Пизанский, больше известен по прозвищу Фибоначчи. Один из первых крупных
математиков в средневековой Европе. Изучал искусство счёта в Алжире, Индии,
Византии, Египте и ещё во многих странах Евразии и Африки. Его посмертный статус
провозглашается как: «Пропагандист десятичной системы счисления и использования
арабских цифр». Но в первую очередь, в нашем времени Фибоначчи запомнился нам
как искусный математик. Сам он родился в Италии, в Пизанской республике и
прожил 80 лет. Умер на родине, не оставив о своей биографии абсолютно ничего
(все даты лишь предположения историков), за исключением отрывка второго абзаца
книги «Абака». Даже портрет, знаменитого средневекового математика. Это лишь
примерные наброски со слов историков.

Последовательность чисел Фибоначчи

                Дак какое же отношение Фибоначчи имеет применимо к трейдингу? Наберитесь терпения, дальше самое важное и интересное. Существует выражение, что математика «Царица всех наук». В ней присутствуют темы, с методами вычисления которых, можно раскрыть завесу тайн мировоздания. В мире есть закономерности и явления, которые, как не странно, можно объяснить  на языке математики.

                Главным
 важнейшим трудом Фибоначчи, дошедших до
наших дней, является последовательность чисел, при котором сумма следующего
числа, получается путём сложением двух предыдущих чисел. В письменном виде это
выглядит так:

0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…

0+1=1+1=2+1=3+2=5+3=8+5=13+8=21+13=34+21=55+34=89+55=144…

                Данная
последовательность хорошо прослеживается в задачке от «Фибоначчи»: Есть два
кролика, самец и самка. Условия таковы, что каждый месяц у них появляется на
свет потомство, тоже самка и самец. На следующий месяц у этой пары появляется
ещё одна пара кроликов. Теперь у нас получилось три пары кроликов. На следующий
месяц, путём спаривания между собой в парах, у нас уже 5 пар кроликов. Задача
состоит в том, чтобы вычислить, сколько будет кроликов, спустя 1 год. Ответ не
так уж и сложен, даже без применения каких либо формул. Достаточно прибегнуть к
числовой последовательности Фибоначчи, где одна единица любой цифры будет один
кролик. А каждое сложение. Это будет прошествие одного месяца. На выходе мы
получим 377 кроликов, если начать счисление от 1+1
(кролик + кролик).

«Золотое сечение» (1,618)

                Золотое сечение это пропорциональное соотношение чисел, при использовании которого в любой сфере жизнедеятельности, проявляется структуризация и гармония. Но всё же, давайте не будем употреблять заучных слов и рассмотрим это явление простым языком. Для простоты восприятия, возьмём любое число из последовательности чисел Фибоначчи. Например, 13. Чтобы нам обнаружить число «золотого сечения», нам необходимо это число разделить на предыдущее в этом же ряду, то есть на 8. В ответе мы получим десятичную дробь 1,625. То есть это не цельное, не круглое число близкое к «золотому сечению».

1,625

Но если мы разделим 144 на 89, то мы получим цифру 1,6179775. Заметили разницу? Во втором примере итоговая цифра изменилась в меньшую сторону. Забегая вперёд, скажу, что чем выше мы будем брать число из последовательности чисел Фибоначчи, тем скорее и ближе будет стремиться итоговая цифра к значению 1,618 (не исключено отклонение как в плюс, так и в минус). К примеру, возьмём далёкое число 10 946 и разделим из этого ряда на предыдущее число 6 765. По итогу получим почти идеальную десятичную дробь 1,6180339. Попрошу вас взять в руки калькулятор и проверить данный пример.

Золотое сечение и трейдинг.

                Но
какое же отношение, десятичная дробь 1,618 имеет к трейдингу? Потерпите
немного, ведь не знание источников информации приводит к неверным
интерпретациям будущих ситуаций на рынке. Понимаете, финансовый рынок, это
живая среда. Это мы с вами. Для ясного, ну или примерного представления,
приведу пример: Как известно из научных источников, насекомые, в частности пчёлы
или муравьи, имеют один, общий инстинктивный «разум». И при строительстве
своего муравейника, они не общаются, не обсуждают размер будущего дома, и не
собираются вместе на обед. Но почему тогда у них получаются их логова в
идеальном для них состоянии и в правильно расположенном месте? Да к тому же с
меньшими входами/выходами со стороны севера? Всё потому же, что это инстинкт от
природы ОДИН на всех. Ровно поэтому же и всемирный коллектив на FOREX,
действует «сообща», «инстинктивным» разумом. Совершая всё те же ошибки, отдавая
прибыль и преимущество единицам.

Простейший пример

                Теперь,
зная точное (округлённое) число «золотого сечения». Мы с вами можем рассчитать
практически любое соотношение. Снова забегая вперёд, оговорюсь; современный
человеческий мозг, до сих пор не хочет воспринимать «идеальные» пропорции, как
в природе, так и в архитектуре.

                Так в
простейший пример можно привести «золотой прямоугольник». То есть прямоугольник
с идеальным соотношением сторон. Ширина 754. Высота 466. При делении ширины на
высоту, получим десятичную дробь «золотого сечения» 1,6180257. Я по праву не
знаю (но догадываюсь) почему данное соотношение сторон не используется на
экранах, при выпуске телевизоров или других гаджетов. Но всё же, некоторые
устройства имеют приблизительную пропорцию сторон. Я же ссылаюсь на то, что
современный человек ещё не пришёл к полной гармонии с «внутренней» природой.

Спираль Фибоначчи

                Весь
наш мир в изобилие элементами «золотого сечения». Просто люди, которые далеки
от этой темы, не в состоянии этого узреть. Сплошь и рядом прослеживается
пропорция 1,618. Одним из важнейших элементов «золотого сечения» является
спираль Фибоначчи. И вот те, кто разобрался с этой темой, и прочувствовали всю
красоту и гармонию данного явления, несомненно, захотят построить спираль
Фибоначчи собственными руками. Для этого нам потребуется циркуль обыкновенный и
лист в клеточку. Обязательно в клеточку для того, чтобы можно было чертить
аккуратные, правильные квадраты. Начать построение спирали нужно с двух
нарисованных одинаковых квадратов, размером в одну клеточку, каждый. Начало
спирали соединяет два противоположных угла этих квадратиков, лежащих на одной
плоскости. Теперь важное условие; следующий квадрат, который соединяет два
предыдущих, должен иметь стороны содержащие количество клеточек в сумме полученные
путём сложения количеством клеток двух предыдущих квадратов. И каждый раз
спираль (дуга) чертится на противоположный угол по диагонали. Да ребят, просто
читая, я бы и сам запутался, для этого я и привёл ниже скриншот.

Спираль и ряд чисел Фибоначчи в природе

                Первозданный
вид нашей вселенной, я бы даже сказал, нашего бытия, представлял собой
абсолютный хаос. Частицы газа и пыли после «большого взрыва», с течением
времени сформировали нашу планету. Но даже и с появлением тверди логичность
структуризации не прослеживалась. Лишь спустя много миллионов лет, наша
природа  преобразилась, и земля приобрела
порядок. Все её царства – животные, растения, грибы (как отдельное царство),
насекомые и человек, имеют отдельные элементы спирали Фибоначчи. Список можно
продолжать: Вихри, спирали галактик, направления движения орбит планет и их
естественных спутников, гребни цунами, спирали ДНК, ушная раковина человека,
отпечатки пальцев, а так же молнии (последние имеют и элементы фрактала). Про
ДНК же стоит поправиться, что в большей степени в ней присутствует
последовательность чисел Фибоначчи, чем сама спираль. Скажу больше; спирали
имеются не только у статических природных объектов, но и природных явлений,
таких как завихрения, от взмаха крыльев стрекозы (кстати, единственное
природное существо, которое имеет способность летать задом наперёд). Это так, к
слову, дабы вы не соскучились. А так же, музыкальные такты, паузы, расположение
октав, относительно их интервальному тону. Временные спирали, по которым
происходят те или иные события. Так же временные периоды тесно связаны и с
фрактальной структурой. Вобщем говоря, наш природный мир полностью и целиком
приобрёл безграничную красоту и гармонию.

Последовательность ряда чисел Фибоначчи, «золотое сечение» и Спираль
Фибоначчи в архитектуре

                Человек,
как разумный Хомо сапиенс, тоже стремится к красоте, удобству, гармонии и
оптимизации своих творений. Не правильным будет не признать гениальность
архитекторов, воздвигнутых под их проектами сооружений. Которые можно описать с
помощью математики. В частности все их элементы демонстрируют  ряд чисел Фибоначчи, «золотое сечение», либо
Спираль Фибоначчи.

                Вообще
в мире и в истории примеров наглядных уйма. Я же приведу в пример самый
простенький. Христианский крест. Предположим мы взяли вертикальный элемент
креста длинною, ну скажем 1000 см. Значит, горизонтальная перекладина должна
быть 618 см. 1000/1,618=618. Далее
располагаем её на уровне тоже 618 см. («золотое сечение» по длине стоявой
балки), от верхнего края. Условие, что центр крепежа будет на обеих балках на
расстоянии 618 см. В итоге мы получаем крест идеальной формы. И вот что
удивительно, если вы из выше предложенного примера, правильно наложите спираль
Фибоначчи на этот крест, то некоторые элементы совпадут.  Вы сможете это воссоздать сами на листе
бумаги в клетку.

Подводя итоги

                На эту
тему, примеров можно приводить бесчисленное количество. Но из пройденного
материала, думаю, многие читатели поняли, почему ряд чисел Фибоначчи называют
«числом Бога». Я же, подводя черту, желаю объяснить начинающим трейдерам,
специализирующихся на техническом анализе, зачем так важно знать про
последовательность чисел Фибоначчи. Рынок, будь то Forex или любая Биржевая
площадка, это всегда живая среда. Инфраструктура похожая на природные явления.
Это мы с вами. Коллективные действия, формирующие правила и элементы, так похожие
на природные закономерности. К сожалению, в рамках этого материала, мне больше
нечем вас удивить. Могу лишь посоветовать поинтересоваться этой темой на
каналах в YouTube.
Ролики с данным сюжетом, по истине, захватывает дух.

Эта статья – материал из рубрики “Азбука Трейдинга”. Загляните в неё. Там ещё много интересного!

Сложно? “Трейдинг для чайников” – бесплатное обучение рынкам.

Подпишитесь на наш телеграм канал и получите самую лучшую информацию.

xn—-dtbjkdrhdlujmd8i.xn--p1ai

Замечательные свойства чисел Фибоначчи — СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

1°f1 + f2 + … + fn = fn+2 — 1. (1)

Доказательство.

f1 = f3 — f2
f2 = f4 — f3
fn-1 = fn+1 — fn
fn = fn+2 — fn+1.

Сложив все эти равенства почленно, получим

f1 + f2 + … + fn = fn+2 — f2,и так как f2 = 1, получим (1).

2°f1 + f3 + f5 + … + f2n-1 = f2n.

3°f2 + f4 + … + f2n = f2n+1 — 1.

Свойства 2° — 3° доказываются аналогично 1°.

4°f12 + f22 + … + fn2 = fn·fn+1. (2)

Доказательство. Легко заметить, что имеет место соотношение

fn·fn+1 — fn-1fn = fn(fn+1 — fn-1) = fn2     (n О N).

Из этого соотношения получаем равенства

f12 = f1·f2,
f22 = f2·f3 — f1·f2,
f32 = f3·f4 — f2·f3,
fn2 = fn·fn+1 — fn-1·fn.

www.sites.google.com

Последовательность Фибоначчи — это… Что такое Последовательность Фибоначчи?

Чи́сла Фибона́ччи — элементы числовой последовательности

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597 … (последовательность A000045 в OEIS)

в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Название по имени средневекового математика Леонардо Пизанского (или Фибоначчи) [1].

Более формально, последовательность чисел Фибоначчи \left\{F_n\right\} задается рекуррентным соотношением:

F_1 = 1,\quad F_2 = 1,\quad F_{n+1} = F_n + F_{n-1} \quad n\in\mathbb{N}.

Иногда числа Фибоначчи рассматривают и для неположительных номеров n как двусторонне бесконечную последовательность, удовлетворяющую основному соотношению. Члены с такими номерами легко получить с помощью эквивалентной формулы «назад»: Fn = Fn + 2Fn + 1:

n −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Fn −55 34 −21 13 −8 5 −3 2 −1 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

Легко видеть, что F n = ( − 1)n + 1Fn. Для чисел Фибоначчи с отрицательными индексами остаются верными большинство нижеприведённых свойств.

Происхождение

Последовательность Фибоначчи была хорошо известна в древней Индии, где она применялась в метрических науках (просодии, другими словами — стихосложении), намного раньше, чем она стала известна в Европе.

Образец длиной n может быть построен путём добавления S к образцу длиной n-1, либо L к образцу длиной n-2; и просодицисты показали, что число образцов длиною n является суммой двух предыдущих чисел в последовательности. Дональд Кнут рассматривает этот эффект в книге «Искусство программирования».

На Западе эта последовательность была исследована Леонардо Пизанским, известным как Фибоначчи, в его труде «Liber Abaci» (1202). Он рассматривает развитие идеализированной (биологически нереальной) популяции кроликов, предполагая что:

  • В «нулевом» месяце, имеется пара кроликов (0 новых пар).
  • В первом месяце, первая пара производит на свет другую пару (1 новая пара).
  • Во втором месяце, обе пары кроликов порождают другие пары и первая пара погибает (1 новая пара).
  • В третьем месяце, вторая пара и две новые пары порождают в общем три новые пары, а старая вторая пара погибает (2 новые пары).

Закономерным является тот факт, что каждая пара кроликов порождает ещё две пары на протяжении жизни, а затем погибает.

Пусть популяция за месяц n будет равна F(n). В это время, только кролики которые жили в месяце n-2 являются способными к размножению и производят потомков, тогда F(n-2) пар прибавится к текущей популяции F(n-1). Таким образом общее количество пар будет равно F(n) = F(n — 1) + F(n — 2).

Формула Бине

Формула Бине выражает в явном виде значение Fn как функцию от n:

F_n = \frac{\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n}{\sqrt{5}} = \frac{\phi^n - (-\phi )^{-n}}{\phi - (-\phi )^{-1}},

где \phi=\frac{1 + \sqrt{5}}{2} — золотое сечение. При этом \phi\,\! и (-\phi )^{-1}=1-\phi\,\! являются корнями квадратного уравнения x^2-x-1=0\,\!.

Из формулы Бине следует, что для всех n\geqslant 0, Fn есть ближайшее к \frac{\phi^n}{\sqrt{5}}\,целое число, то есть F_n = \left\lfloor\frac{\phi^n}{\sqrt{5}}\right\rceil. В частности, справедлива асимптотика F_n\sim \frac{\phi^n}{\sqrt{5}}.

Тождества

  • F_1+F_2+F_3+\dots+F_n=F_{n+2}-1
  • F_1+F_3+F_5+\dots+F_{2n-1}=F_{2n}
  • F_2+F_4+F_6+\dots+F_{2n}=F_{2n+1}-1
  • F_{n+1}F_{n+2}^{}-F_nF_{n+3}=(-1)^{n+1}
  • F_1^2+F_2^2+F_3^2+\dots+F_{n}^2=F_nF_{n+1}
  • F_n^2+F_{n+1}^2=F_{2n+1}
  • F_{2n}=F_{n+1}^2-F_{n-1}^2
  • F_{3n}=F_{n+1}^3+F_n^3-F_{n-1}^3

И более общие формулы:

  • F_{n+m}^{}=F_{n-1}F_{m}+F_{n}F_{m+1}
  • F_{(k+1)n}^{}=F_{n-1}F_{kn}+F_nF_{kn+1}
  • F_n^{}=F_lF_{n-l+1}+F_{l-1}F_{n-l}
  • Числа Фибоначчи представляются значениями континуант на наборе единиц: F_n = K_n(1,\dots,1), то есть
F_n =
\det \begin{pmatrix} 
1 & 1    & 0 &\cdots & 0 \\ 
-1  & 1  & 1 &  \ddots    & \vdots\\
0   & -1   & \ddots &\ddots & 0 \\
\vdots & \ddots  & \ddots   &\ddots & 1 \\ 
0 & \cdots & 0 & -1 & 1
\end{pmatrix}, а также \ F_{n+1} =
\det \begin{pmatrix} 
1 & i    & 0 &\cdots & 0 \\ 
i  & 1  & i &  \ddots    & \vdots\\
0   & i   & \ddots &\ddots & 0 \\
\vdots & \ddots  & \ddots   &\ddots & i \\ 
0 & \cdots & 0 & i & 1\end{pmatrix},
где матрицы имеют размер n\times n, i — мнимая единица.
F_{n+1} = (-i)^n U_n\left(\frac{-i}{2}\right) = (-i)^n T_n(-i)
F_{2n+2} = U_n\left(\frac{3}{2}\right) = T_n(3)
\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^n =
       \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n \\
                       F_n   & F_{n-1} \end{pmatrix}.
(-1)^n = F_{n+1} F_{n-1} - F_n^2

Свойства

  • Наибольший общий делитель двух чисел Фибоначчи равен числу Фибоначчи с индексом, равным наибольшему общему делителю индексов, т. е. (Fm,Fn) = F(m,n). Следствия:
    • Fm делится на Fn тогда и только тогда, когда m делится на n (за исключением n = 2). В частности, Fm делится на F3 = 2 (то есть является чётным) только для m = 3k; Fm делится на F4 = 3 только для m = 4k; Fm делится на F5 = 5 только для m = 5k и т. д.
    • Fm может быть простым только для простых m (с единственным исключением m = 4) (например, число 233 простое, и индекс его, равный 13, также прост). Обратное не верно, первый контрпример — F_{19}=4181=37\cdot 113. Неизвестно, бесконечно ли множество чисел Фибоначчи, являющихся простыми.
F_{n+1} = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} {n-k\choose k}.
  • В 1964 Дж. Кон (J. H. E. Cohn) доказал, что единственными точными квадратами среди чисел Фибоначчи являются числа Фибоначчи с индексами 0, 1, 2, 12: F0 = 02 = 0, F1 = 12 = 1, F2 = 12 = 1, F12 = 122 = 144. При этом для n=0,1,12 верно утверждение Fn = n2.
0 + x + x^2 + 2 x^3 + 3 x^4 + 5 x^5 + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} F_n x^n = \frac{x}{1-x-x^2}
  • Множество чисел Фибоначчи совпадает с множеством положительных значений многочлена
        z(x,y) = 2xy4 + x2y3 − 2x3y2y5x4y + 2y,
    на множестве неотрицательных целых чисел x и y [2].
  • Произведение и частное двух любых различных чисел Фибоначчи, отличных от единицы, никогда не является числом Фибоначчи.
  • Последние цифры чисел Фибоначчи образуют периодическую последовательность с периодом 60, последняя пара цифр чисел Фибоначчи образует последовательность с периодом 300, последние три цифры — с периодом 1500, последние четыре — с периодом 15000, последние пять — с периодом 150000 и т. д.

Вариации и обобщения

В других областях

В природе
  • Расстояния между листьями (или ветками) на стволе растения относятся примерно как числа Фибоначчи.
В культуре

См. также

Литература

Ссылки

Примечания

  1. [1] БСЭ]
  2. P. Ribenboim, The New Book of Prime Number Records, Springer, 1996, p. 193.

Wikimedia Foundation.
2010.

biograf.academic.ru

Ряд Фибоначчи — это… Что такое Ряд Фибоначчи?

Чи́сла Фибона́ччи — элементы числовой последовательности

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597 … (последовательность A000045 в OEIS)

в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Название по имени средневекового математика Леонардо Пизанского (или Фибоначчи) [1].

Более формально, последовательность чисел Фибоначчи \left\{F_n\right\} задается рекуррентным соотношением:

F_1 = 1,\quad F_2 = 1,\quad F_{n+1} = F_n + F_{n-1} \quad n\in\mathbb{N}.

Иногда числа Фибоначчи рассматривают и для неположительных номеров n как двусторонне бесконечную последовательность, удовлетворяющую основному соотношению. Члены с такими номерами легко получить с помощью эквивалентной формулы «назад»: Fn = Fn + 2Fn + 1:

n −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Fn −55 34 −21 13 −8 5 −3 2 −1 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

Легко видеть, что F n = ( − 1)n + 1Fn. Для чисел Фибоначчи с отрицательными индексами остаются верными большинство нижеприведённых свойств.

Происхождение

Последовательность Фибоначчи была хорошо известна в древней Индии, где она применялась в метрических науках (просодии, другими словами — стихосложении), намного раньше, чем она стала известна в Европе.

Образец длиной n может быть построен путём добавления S к образцу длиной n-1, либо L к образцу длиной n-2; и просодицисты показали, что число образцов длиною n является суммой двух предыдущих чисел в последовательности. Дональд Кнут рассматривает этот эффект в книге «Искусство программирования».

На Западе эта последовательность была исследована Леонардо Пизанским, известным как Фибоначчи, в его труде «Liber Abaci» (1202). Он рассматривает развитие идеализированной (биологически нереальной) популяции кроликов, предполагая что:

  • В «нулевом» месяце, имеется пара кроликов (0 новых пар).
  • В первом месяце, первая пара производит на свет другую пару (1 новая пара).
  • Во втором месяце, обе пары кроликов порождают другие пары и первая пара погибает (1 новая пара).
  • В третьем месяце, вторая пара и две новые пары порождают в общем три новые пары, а старая вторая пара погибает (2 новые пары).

Закономерным является тот факт, что каждая пара кроликов порождает ещё две пары на протяжении жизни, а затем погибает.

Пусть популяция за месяц n будет равна F(n). В это время, только кролики которые жили в месяце n-2 являются способными к размножению и производят потомков, тогда F(n-2) пар прибавится к текущей популяции F(n-1). Таким образом общее количество пар будет равно F(n) = F(n — 1) + F(n — 2).

Формула Бине

Формула Бине выражает в явном виде значение Fn как функцию от n:

F_n = \frac{\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n}{\sqrt{5}} = \frac{\phi^n - (-\phi )^{-n}}{\phi - (-\phi )^{-1}},

где \phi=\frac{1 + \sqrt{5}}{2} — золотое сечение. При этом \phi\,\! и (-\phi )^{-1}=1-\phi\,\! являются корнями квадратного уравнения x^2-x-1=0\,\!.

Из формулы Бине следует, что для всех n\geqslant 0, Fn есть ближайшее к \frac{\phi^n}{\sqrt{5}}\,целое число, то есть F_n = \left\lfloor\frac{\phi^n}{\sqrt{5}}\right\rceil. В частности, справедлива асимптотика F_n\sim \frac{\phi^n}{\sqrt{5}}.

Тождества

  • F_1+F_2+F_3+\dots+F_n=F_{n+2}-1
  • F_1+F_3+F_5+\dots+F_{2n-1}=F_{2n}
  • F_2+F_4+F_6+\dots+F_{2n}=F_{2n+1}-1
  • F_{n+1}F_{n+2}^{}-F_nF_{n+3}=(-1)^{n+1}
  • F_1^2+F_2^2+F_3^2+\dots+F_{n}^2=F_nF_{n+1}
  • F_n^2+F_{n+1}^2=F_{2n+1}
  • F_{2n}=F_{n+1}^2-F_{n-1}^2
  • F_{3n}=F_{n+1}^3+F_n^3-F_{n-1}^3

И более общие формулы:

  • F_{n+m}^{}=F_{n-1}F_{m}+F_{n}F_{m+1}
  • F_{(k+1)n}^{}=F_{n-1}F_{kn}+F_nF_{kn+1}
  • F_n^{}=F_lF_{n-l+1}+F_{l-1}F_{n-l}
  • Числа Фибоначчи представляются значениями континуант на наборе единиц: F_n = K_n(1,\dots,1), то есть
F_n =
\det \begin{pmatrix} 
1 & 1    & 0 &\cdots & 0 \\ 
-1  & 1  & 1 &  \ddots    & \vdots\\
0   & -1   & \ddots &\ddots & 0 \\
\vdots & \ddots  & \ddots   &\ddots & 1 \\ 
0 & \cdots & 0 & -1 & 1
\end{pmatrix}, а также \ F_{n+1} =
\det \begin{pmatrix} 
1 & i    & 0 &\cdots & 0 \\ 
i  & 1  & i &  \ddots    & \vdots\\
0   & i   & \ddots &\ddots & 0 \\
\vdots & \ddots  & \ddots   &\ddots & i \\ 
0 & \cdots & 0 & i & 1\end{pmatrix},
где матрицы имеют размер n\times n, i — мнимая единица.
F_{n+1} = (-i)^n U_n\left(\frac{-i}{2}\right) = (-i)^n T_n(-i)
F_{2n+2} = U_n\left(\frac{3}{2}\right) = T_n(3)
\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^n =
       \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n \\
                       F_n   & F_{n-1} \end{pmatrix}.
(-1)^n = F_{n+1} F_{n-1} - F_n^2

Свойства

  • Наибольший общий делитель двух чисел Фибоначчи равен числу Фибоначчи с индексом, равным наибольшему общему делителю индексов, т. е. (Fm,Fn) = F(m,n). Следствия:
    • Fm делится на Fn тогда и только тогда, когда m делится на n (за исключением n = 2). В частности, Fm делится на F3 = 2 (то есть является чётным) только для m = 3k; Fm делится на F4 = 3 только для m = 4k; Fm делится на F5 = 5 только для m = 5k и т. д.
    • Fm может быть простым только для простых m (с единственным исключением m = 4) (например, число 233 простое, и индекс его, равный 13, также прост). Обратное не верно, первый контрпример — F_{19}=4181=37\cdot 113. Неизвестно, бесконечно ли множество чисел Фибоначчи, являющихся простыми.
F_{n+1} = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} {n-k\choose k}.
  • В 1964 Дж. Кон (J. H. E. Cohn) доказал, что единственными точными квадратами среди чисел Фибоначчи являются числа Фибоначчи с индексами 0, 1, 2, 12: F0 = 02 = 0, F1 = 12 = 1, F2 = 12 = 1, F12 = 122 = 144. При этом для n=0,1,12 верно утверждение Fn = n2.
0 + x + x^2 + 2 x^3 + 3 x^4 + 5 x^5 + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} F_n x^n = \frac{x}{1-x-x^2}
  • Множество чисел Фибоначчи совпадает с множеством положительных значений многочлена
        z(x,y) = 2xy4 + x2y3 − 2x3y2y5x4y + 2y,
    на множестве неотрицательных целых чисел x и y [2].
  • Произведение и частное двух любых различных чисел Фибоначчи, отличных от единицы, никогда не является числом Фибоначчи.
  • Последние цифры чисел Фибоначчи образуют периодическую последовательность с периодом 60, последняя пара цифр чисел Фибоначчи образует последовательность с периодом 300, последние три цифры — с периодом 1500, последние четыре — с периодом 15000, последние пять — с периодом 150000 и т. д.

Вариации и обобщения

В других областях

В природе
  • Расстояния между листьями (или ветками) на стволе растения относятся примерно как числа Фибоначчи.
В культуре

См. также

Литература

Ссылки

Примечания

  1. [1] БСЭ]
  2. P. Ribenboim, The New Book of Prime Number Records, Springer, 1996, p. 193.

Wikimedia Foundation.
2010.

dic.academic.ru

Числа Фибоначчи и золотое сечение: взаимосвязь

Во вселенной еще много неразгаданных тайн, некоторые из которых ученые уже смогли определить и описать. Числа Фибоначчи и золотое сечение составляют основу разгадки окружающего мира, построения его формы и оптимального зрительного восприятия человеком, с помощью которых он может ощущать красоту и гармонию.

Золотое сечение

Принцип определения размеров золотого сечения лежит в основе совершенства целого мира и его частей в своей структуре и функциях, его проявление можно видеть в природе, искусстве и технике. Учение о золотой пропорции было заложено в результате исследований древними учеными природы чисел.

В основе его лежит теория о пропорциях и соотношениях делений отрезков, которое было сделано еще древним философом и математиком Пифагором. Он доказал, что при разделении отрезка на две части: X (меньшую) и Y (большую), отношение большего к меньшему будет равно отношению их суммы (всего отрезка):

X : Y = Y : X+Y.

числа фибоначчи и золотое сечение

В результате получается уравнение: х2 – х – 1=0, которое решается как х=(1±√5)/2.

Если рассмотреть соотношение 1/х, то оно равно 1,618…

Свидетельства использования древними мыслителями золотой пропорции приведены в книге Эвклида «Начала», написанной еще в 3 в. до н.э., который применял это правило для построения правильных 5-угольников. У пифагорейцев эта фигура считается священной, поскольку является одновременно симметричной и асимметричной. Пентаграмма символизировала жизнь и здоровье.

Числа Фибоначчи

Знаменитая книга Liber abaci математика из Италии Леонардо Пизанского, который в последующем стал известен, как Фибоначчи, увидела свет в 1202 г. В ней ученый впервые приводит закономерность чисел, в ряду которых каждое число является суммой 2-х предыдущих цифр. Последовательность чисел Фибоначчи заключается в следующем:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 и т.д.

Также ученый привел ряд закономерностей:

  • Любое число из ряда, разделенное на последующее, будет равно значению, которое стремится к 0,618. Причем первые числа Фибоначчи не дают такого числа, но по мере продвижения от начала последовательности это соотношение будет все более точным.
  • Если же поделить число из ряда на предыдущее, то результат устремится к 1,618.
  • Одно число, поделенное на следующее через одно, покажет значение, стремящееся к 0,382.

Применение связи и закономерностей золотого сечения, числа Фибоначчи (0,618) можно найти не только в математике, но и в природе, в истории, в архитектуре и строительстве и во многих других науках.

Спираль Архимеда и золотой прямоугольник

Спирали, очень распространенные в природе, были исследованы Архимедом, который даже вывел ее уравнение. Форма спирали основана на законах о золотом сечении. При ее раскручивании получается длина, к которой можно применить пропорции и числа Фибоначчи, увеличение шага происходит равномерно.

Параллель между числами Фибоначчи и золотым сечением можно увидеть и построив «золотой прямоугольник», у которого стороны пропорциональны, как 1,618:1. Он строится, переходя от большего прямоугольника к малым так, что длины сторон будут равны числам из ряда. Построение его можно сделать и в обратном порядке, начиная с квадратика «1». При соединении линиями углов этого прямоугольника в центре их пересечения получается спираль Фибоначчи или логарифмическая.

последовательность чисел фибоначчи

История применения золотых пропорций

Многие древние памятники архитектуры Египта возведены с использованием золотых пропорций: знаменитые пирамиды Хеопса и др. Архитекторы Древней Греции широко использовалиих их при возведении архитектурных объектов, таких как храмы, амфитеатры, стадионы. Например, были применены такие пропорции при строительстве античного храма Парфенон, театра Диониса (Афины) и других объектов, которые стали шедеврами древнего зодчества, демонстрирующими гармонию, основанную на математической закономерности.

В более поздние века интерес к золотому сечению поутих, и закономерности были забыты, однако опять возобновился в эпоху Ренессанса вместе с книгой францисканского монаха Л. Пачоли ди Борго «Божественная пропорция» (1509 г.). В ней были приведены иллюстрации Леонардо да Винчи, который и закрепил новое название «золотое сечение». Также были научно доказаны 12 свойств золотой пропорции, причем автор рассказывал о том, как проявляется она в природе, в искусстве и называл ее «принципом построения мира и природы».

Витрувианский человек Леонардо

Рисунок, которым Леонардо да Винчи в 1492 г. проиллюстрировал книгу Витрувия, изображает фигуру человека в 2-х позициях с руками, разведенными в стороны. Фигура вписана в круг и квадрат. Этот рисунок принято считать каноническими пропорциями человеческого тела (мужского), описанными Леонардо на основе изучения их в трактатах римского архитектора Витрувия.

Центром тела как равноудаленной точкой от конца рук и ног считается пупок, длина рук приравнивается к росту человека, максимальная ширина плеч = 1/8 роста, расстояние от верха груди до волос = 1/7, от верха груди до верха головы =1/6 и т.д.

 золотое сечение фото

С тех пор рисунок используется в виде символа, показывающего внутреннюю симметрию тела человека.

Термин «Золотое сечение» Леонардо использовал для обозначения пропорциональных отношений в фигуре человека. Например, расстояние от пояса до ступней ног соотносится к аналогичному расстоянию от пупка до макушки так же, как рост к первой длине (от пояса вниз). Эти вычисление делается аналогично соотношению отрезков при вычислении золотой пропорции и стремится к 1,618.

Все эти гармоничные пропорции часто используются деятелями искусства для создания красивых и впечатляющих произведений.

Исследования золотого сечения в 16-19 веках

Используя золотое сечение и числа Фибоначчи, исследовательскую работу по вопросу о пропорциях продолжают уже не одно столетие. Параллельно с Леонардо да Винчи немецкий художник Альбрехт Дюрер также занимался разработкой теории правильных пропорций тела человека. Для этого им даже был создан специальный циркуль.

В 16 в. вопросу о связи числа Фибоначчи и золотого сечения были посвящены работы астронома И. Кеплера, который впервые применил эти правила для ботаники.

Новое «открытие» ожидало золотое сечение в 19 в. с опубликованием «Эстетического исследования» немецкого ученого профессора Цейзига. Он возвел эти пропорции в абсолют и объявил о том, что они универсальны для всех природных явлений. Им были проведены исследования огромного количества людей, вернее их телесных пропорций (около 2 тыс.), по итогам которых сделаны выводы о статистических подтвержденных закономерностях в соотношениях различных частей тела: длины плеч, предплечий, кистей, пальцев и т.д.

Были исследованы также предметы искусства (вазы, архитектурные сооружения), музыкальные тона, размеры при написании стихотворений — все это Цейзиг отобразил через длины отрезков и цифры, он же ввел термин «математическая эстетика». После получения результатов выяснилось, что получается ряд Фибоначчи.

золотое сечение число фибоначчи 0 618

Число Фибоначчи и золотое сечение в природе

В растительном и животном мире существует тенденция к формообразованию в виде симметрии, которая наблюдается в направлении роста и движения. Деление на симметричные части, в которых соблюдаются золотые пропорции, — такая закономерность присуща многим растениям и животным.

Природа вокруг нас может быть описана с помощью чисел Фибоначчи, например:

  • расположение листьев или веток любых растений, а также расстояния соотносятся с рядом приведенных чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 и далее;
  • семена подсолнуха (чешуя на шишках, ячейки ананаса), располагаясь двумя рядами по закрученным спиралям в разные стороны;
  • соотношение длины хвоста и всего тела ящерицы;
  • форма яйца, если провести линию условно через широкую его часть;
  • соотношение размеров пальцев на руке человека.

размеры золотого сечения

И, конечно, самые интересные формы представляют закручивающиеся по спирали раковины улиток, узоры на паутине, движение ветра внутри урагана, двойная спираль в ДНК и структура галактик — все они включают в себя последовательность чисел Фибоначчи.

Использование золотого сечения в искусстве

Исследователи, занимающиеся поиском в искусстве примеров использования золотого сечения, подробно исследуют различные архитектурные объекты и произведения живописи. Известны знаменитые скульптурные работы, создатели которых придерживались золотых пропорций, — статуи Зевса Олимпийского, Аполлона Бельведерского и Афины Парфенос.

Одно из творений Леонардо да Винчи — «Портрет Моны Лизы» — уже многие годы является предметом исследований ученых. Ими было обнаружено, что композиция работы целиком состоит из «золотых треугольников», объединенных вместе в правильный пятиугольник-звезду. Все работы да Винчи являются свидетельством того, насколько глубоки были его познания в строении и пропорциях тела человека, благодаря чему он и смог уловить невероятно загадочную улыбку Джоконды.

сумма чисел фибоначчи

Золотое сечение в архитектуре

В качестве примера ученые исследовали шедевры архитектуры, созданные по правилам «золотого сечения»: египетские пирамиды, Пантеон, Парфенон, Собор Нотр-Дам де Пари, храм Василия Блаженного и др.

Парфенон — одно из красивейших зданий в Древней Греции (5 в. до н.э.) — имеет 8 колонн и 17 по разным сторонам, отношение его высоты к длине сторон равно 0,618. Выступы на его фасадах сделаны по «золотому сечению» (фото ниже).

первые числа фибоначчи

Одним из ученых, который придумал и успешно применял усовершенствование модульной системы пропорций для архитектурных объектов (так называемый «модулор»), — был французский архитектор Ле Корбюзье. В основу модулора положена измерительная система, связанная с условным делением на части человеческого тела.

Русский архитектор М. Казаков, построивший несколько жилых домов в Москве, а также здания сената в Кремле и Голицынской больницы (сейчас 1-я Клиническая им. Н. И. Пирогова), — был одним из архитекторов, которые использовали при проектировании и строительстве законы о золотом сечении.

Применение пропорций в дизайне

В дизайне одежды все модельеры делают новые образы и модели с учетом пропорций человеческого тела и правил золотого сечения, хотя от природы не все люди имеют идеальные пропорции.

При планировании ландшафтного дизайна и создании объемных парковых композиций с помощью растений (деревьев и кустарников), фонтанов и малых архитектурных объектов также могут применяться закономерности «божественных пропорций». Ведь композиция парка должна быть ориентирована на создание впечатления на посетителя, который свободно сможет ориентироваться в нем и находить композиционный центр.

Все элементы парка находятся в таких соотношениях, чтобы с помощью геометрического строения, взаиморасположения, освещения и света, произвести на человека впечатление гармонии и совершенства.

Применение золотого сечения в кибернетике и технике

Закономерности золотого сечения и чисел Фибоначчи проявляются также в переходах энергии, в процессах, происходящих с элементарными частицами, составляющих химические соединения, в космических системах, в генной структуре ДНК.

Аналогичные процессы происходят и в организме человека, проявляясь в биоритмах его жизни, в действии органов, например, головного мозга или зрения.

Алгоритмы и закономерности золотых пропорций широко используются в современной кибернетике и информатике. Одна из несложных задач, которую дают решать начинающим программистам, — написать формулу и определить, сумму чисел Фибоначчи до определенного числа, используя языки программирования.

Современные исследования теории о золотой пропорции

Начиная с середины 20 века, интерес к проблемам и влиянию закономерностей золотых пропорций на жизнь человека, резко возрастает, причем со стороны многих ученых различных профессий: математиков, исследователей этноса, биологов, философов, медицинских работников, экономистов, музыкантов и др.

В США с 1970-хгодов начинает выпускаться журнал The Fibonacci Quarterly, где публикуются работы на эту тему. В прессе появляются работы, в которых обобщенные правила золотого сечения и ряда Фибоначчи используют в различных отраслях знаний. Например, для кодирования информации, химических исследований, биологических и т.д.

числа фибоначчи золотое сечение в природе

Все это подтверждает выводы древних и современных ученых о том, что золотая пропорция многосторонне связана с фундаментальными вопросами науки и проявляется в симметрии многих творений и явлений окружающего нас мира.

fb.ru

СПИРАЛЬ ФИБОНАЧЧИ — зашифрованный закон природы

Экология жизни. Познавательно: Природа (в том числе и Человек) развивается по законам, которые заложены в этой числовой последовательности…

Числа Фибоначчи — числовая последовательность, где каждый последующий член ряда равен сумме двух предыдущих, то есть: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368,.. 75025,.. 3478759200, 5628750625,.. 260993908980000,.. 422297015649625,.. 19581068021641812000,.. Изучением сложных и удивительных свойств чисел ряда Фибоначчи занимались самые различные профессиональные ученые и любители математики.

В 1997 году несколько странных особенностей ряда описал исследователь Владимир Михайлов, который был убежден, что Природа (в том числе и Человек) развивается по законам, которые заложены в этой числовой последовательности.

Замечательным свойством числового ряда Фибоначчи является то, что по мере увеличения чисел ряда отношение двух соседних членов этого ряда асимптотически приближается к точной пропорции Золотого сечения (1:1,618) — основе красоты и гармонии в окружающей нас природе, в том числе и в человеческих отношениях.

Отметим, что сам Фибоначчи открыл свой знаменитый ряд, размышляя над задачей о количестве кроликов, которые в течении одного года должны родиться от одной пары. У него получилось, что в каждом последующем месяце после второго число пар кроликов в точности следует цифровому ряду, которое ныне носит его имя. Поэтому не случайно, что и сам человек устроен по ряду Фибоначчи. Каждый орган устроен в соответствии с внутренней, или внешней двойственностью.

Числа Фибоначчи привлекли математиков своей особенностью возникать в самых неожиданных местах. Замечено, например, что отношения чисел Фибоначчи, взятых через одно, соответствуют углу между соседними листьями на стебле растений, точнее, они говорят, какую долю оборота составляет этот угол: 1/2 — для вяза и липы, 1/3 — для бука, 2/5 — для дуба и яблони, 3/8 — для тополя и розы, 5/13 — для ивы и миндаля и т. д. Эти же числа вы найдете при подсчете семян в спиралях подсолнуха, в количестве лучей, отражающихся от двух зеркал, в количестве вариантов маршрутов переползания пчелы от одной соты к другой, во многих математических играх и фокусах.



В чем разница между спиралями золотого сечения и спиралью Фибоначчи? Спираль золотого сечения идеальна. Она соответствует Первоисточнику гармонии. Эта спираль не имеет ни начала, ни конца. Она бесконечна. Спираль Фибоначчи имеет начало, от которого она начинает “раскрутку”. Это очень важное свойство. Оно позволяет Природе после очередного замкнутого цикла осуществлять строительство новой спирали с “нуля”.

Следует сказать, что спираль Фибоначчи может быть двойной. Существуют многочисленные примеры этих двойных спиралей, встречающихся повсюду. Так, спирали подсолнухов всегда соотносятся с рядом Фибоначчи. Даже в обычной сосновой шишке можно увидеть эту двойную спираль Фибоначчи. Первая спираль идет в одну сторону, вторая — в другую. Если посчитать число чешуек в спирали, вращающейся в одном направлении, и число чешуек в другой спирали, можно увидеть, что это всегда два последовательных числа ряда Фибоначчи. Число этих спиралей 8 и 13. В подсолнухах встречаются пары спиралей: 13 и 21, 21 и 34, 34 и 55, 55 и 89. И отклонений от этих пар не бывает!.. 

У Человека в наборе хромосом соматической клетки (их 23 пары) источником наследственных болезней являются 8, 13 и 21 пары хромосом…

Но почему в Природе именно этот ряд играет решающую роль? На этот вопрос может дать исчерпывающий ответ концепция тройственности, определяющая условия ее самосохранения. При нарушении «баланса интересов» триады одним из ее «партнеров», «мнения» двух других «партнеров» должны быть скорректированы. Особенно наглядно концепция тройственности проявляется в физике, где из кварков построили «почти» все элементарные частицы. Если вспомнить, что отношения дробных зарядов кварковых частиц составляют ряд , а это и есть первые члены ряда Фибоначчи, которые необходимы для формирования других элементарных частиц.

Возможно, что спираль Фибоначчи может играть решающую роль и в формировании закономерности ограниченности и замкнутости иерархических пространств. Действительно, представим, что на каком-то этапе эволюции спираль Фибоначчи достигла совершенства (она стала неотличима от спирали золотого сечения) и по этой причине частица должна трансформироваться в следующую «категорию».

Эти факты еще раз подтверждают, что закон о двойственности дает не только качественные, но и количественные результаты. Они заставляют задуматься о том, что окружающий нас Макромир и Микромир эволюцирует по одним и тем же законам — законам иерархии, и что эти законы едины для живой и для неживой материи.



Все это свидетельствует о том, что ряд чисел Фибоначчи представляет собой некий зашифрованный закон природы.

Цифровой код развития цивилизации можно определить с помощью различных методов в нумерологии. Например, с помощью приведения сложных чисел к однозначным (например, 15 есть 1+5=6 и т.д.). Проводя подобную процедуру сложения со всеми сложными числами ряда Фибоначчи, Михайлов получил следующий ряд этих чисел: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9, 8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 8, 1, 9, затем все повторяется 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 4, 8, 8,.. и повторяется вновь и вновь… Этот ряд также обладает свойствами ряда Фибоначчи, каждый бесконечно последующий член равен сумме предыдущих. Например, сумма 13-го и 14-го членов равна 15, т.е. 8 и 8=16, 16=1+6=7. Оказывается, что этот ряд периодичный, с периодом в 24 члена, после чего, весь порядок цифр повторяется. Получив этот период, Михайлов выдвинул интересное предположение — не является ли набор из 24 цифр своеобразным цифровым кодом развития цивилизации?опубликовано econet.ru

ПОДПИСЫВАЙТЕСЬ на НАШ youtube канал Эконет.ру , что позволяет смотреть онлайн, скачать с ютуб бесплатно видео об оздоровлении, омоложении человека. Любовь к окружающим и к себе, как чувство высоких вибраций — важный фактор оздоровления — econet.ru

Ставьте ЛАЙКИ, делитесь с ДРУЗЬЯМИ! https://www.youtube.com/channel/UCXd71u0w04qcwk32c8kY2BA/videos

Подпишись — https://www.facebook.com/econet.ru/

P.S. И помните, всего лишь изменяя свое сознание  — мы вместе изменяем мир! © econet

Присоединяйтесь к нам в Facebook , ВКонтакте, Одноклассниках

econet.ru

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск