Фибоначчи свойства чисел – : — BestReferat.ru — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 08.11.201721.12.2019 by alexxlab

Содержание

Числа Фибоначчи

Леонардо Фибоначчи (ок. 1175-1250) – итальянский математик Европы позднего Средневековья. Родился в богатой купеческой семье в Пизе. Стал заниматься математикой для, того чтобы наладить деловые отношения. Много путешествовал, посетил Византию, Сицилию, где общался с местными учёными. Издавал книги по арифметике, алгебре и другим математическим дисциплинам. В 1202 году он издал книгу на латинском языке «Книга об абаке», которая вмещала все знания по математике того времени и учила использовать десятичную систему исчисления. Данная книга более двух веков использовалась в качестве наиболее авторитетного источника знаний в области чисел.

Числа Фибоначчи (ряд Фибоначчи, последовательность Фибоначчи) – числовая последовательность, составленная по определённым принципам и обладающая рядом свойств:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…

Каждый член данного ряда кроме первых двух единиц образован путём сложения двух предшествующих ему чисел:
2 = 1 + 1, 3 = 1 + 2, 5 = 2 + 3, 8 = 3 + 5, 13 = 5 + 8 и т.д.

Ряд Фибоначчи обладает рядом свойств. Например, каждое третье число в ряду Фибоначчи – четное, каждое четвертое делится на 3, каждое пятое – на 5, каждое пятнадцатое – на 10, или треугольник, сторонами которого являлись бы числа ряда Фибоначчи построить невозможно.

Золотое сечение (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении) – это деление непрерывной величины на две части в таком отношении, когда меньшая часть так относится к большей, как большая ко всей величине.

Последовательность Фибоначчи все медленнее и медленнее стpемится к некотоpому постоянному иppациональному соотношению – числу с бесконечной, непредсказуемой последовательностью десятичных цифp в дpобной части. Его невозможно выразить точно.

Jejler2

Если какой-либо член последовательности Фибоначчи pазделить на пpедшествующий ему (напpимеp, 8 : 5), pезультатом будет величина, колеблющаяся около иppационального значения 1,61803398875… И каждый раз, производя подобные действия, мы будем получать числа приблизительно равные этому (1,618). Это соотношение называют Золотым сечением.

Пропорции Фибоначчи и золотого сечения в природе и истории

В природных явлениях, а также творениях человека можно найти закономерности, описанные Фибоначчи в его последовательности. Множество постоянных можно вычислить при помощи его ряда. Числа Фибоначчи являются математическим выражением природных явлений!

И египетские пирамиды и пирамиды в Мексике построены в соответствии с совершенными пpопоpциями золотого сечения. Во всех внутренних и внешних пропорциях пирамиды число 1,618 играет центральную роль.

Немецкий астроном XVIII в. И. Тициус с помощью ряда Фибоначчи нашел закономерность и порядок в расстояниях между планетами солнечной системы.

И в растениях и в животных наблюдается – симметрия форм относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста.

Pаковина закручена по спирали: отношение измерений завитков раковины постоянно и равно 1,618. Увеличение шага данной спирали всегда равномерно. Многие природные явления стремятся к спиральности: расположение листьев на ветках деревьев; расположение семян подсолнечника, шишки сосны, ананасы, кактусы – проявляется ряд ряд Фибоначчи и закон золотого сечения.

Свойства чисел Фибоначчи применяются в современных науках для решения различных задач. На нашем сайте в любое время Вы можете получить помощь лучших репетиторов по всем школьным предметам. Вам не придётся ждать: наши преподаватели на связи с 10.00 до 22.00 по московскому времени. Они готовы оказать любую необходимую помощь: выполнение домашнего задания, подготовка к ЕГЭ, ГИА, к проверочной, контрольной работам, разъяснение любого сложного материала. При желании Вы можете вместе с репетитором выполнить проверочную работу онлайн. Чтобы получить помощь профессионального репетитора, Вам необходимо зарегистрироваться на нашем сайте и подключиться.

blog.tutoronline.ru

Фибоначчи — последовательность чисел — азбука трейдинга

Леонардо Пизанский, он же Фибоначчи и его уникальная, в своём роде, последовательность чисел, так же как и понятия «золотого сечения», «спираль Фибоначчи» или «число Бога», имеет непосредственное отношение к трейдингу, как к живой среде. На основе последовательности чисел трейдеры выстраивают уровни коррекции, расширения и иные.

Леонардо собственной персоной.

Фибоначчи – кто это?

Леонардо Пизанский, больше известен по прозвищу Фибоначчи. Один из первых крупных математиков в средневековой Европе. Изучал искусство счёта в Алжире, Индии, Византии, Египте и ещё во многих странах Евразии и Африки. Его посмертный статус провозглашается как: «Пропагандист десятичной системы счисления и использования арабских цифр». Но в первую очередь, в нашем времени Фибоначчи запомнился нам как искусный математик. Сам он родился в Италии, в Пизанской республике и прожил 80 лет. Умер на родине, не оставив о своей биографии абсолютно ничего (все даты лишь предположения историков), за исключением отрывка второго абзаца книги «Абака». Даже портрет, знаменитого средневекового математика. Это лишь примерные наброски со слов историков.

Последовательность чисел Фибоначчи

Дак какое же отношение Фибоначчи имеет применимо к трейдингу? Наберитесь терпения, дальше самое важное и интересное. Существует выражение, что математика «Царица всех наук». В ней присутствуют темы, с методами вычисления которых, можно раскрыть завесу тайн мировоздания. В мире есть закономерности и явления, которые, как не странно, можно объяснить на языке математики.

Главным важнейшим трудом Фибоначчи, дошедших до наших дней, является последовательность чисел, при котором сумма следующего числа, получается путём сложением двух предыдущих чисел. В письменном виде это выглядит так:

0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…

0+1=1+1=2+1=3+2=5+3=8+5=13+8=21+13=34+21=55+34=89+55=144…

Данная последовательность хорошо прослеживается в задачке от «Фибоначчи»: Есть два кролика, самец и самка. Условия таковы, что каждый месяц у них появляется на свет потомство, тоже самка и самец. На следующий месяц у этой пары появляется ещё одна пара кроликов. Теперь у нас получилось три пары кроликов. На следующий месяц, путём спаривания между собой в парах, у нас уже 5 пар кроликов. Задача состоит в том, чтобы вычислить, сколько будет кроликов, спустя 1 год. Ответ не так уж и сложен, даже без применения каких либо формул. Достаточно прибегнуть к числовой последовательности Фибоначчи, где одна единица любой цифры будет один кролик. А каждое сложение. Это будет прошествие одного месяца. На выходе мы получим 377 кроликов, если начать счисление от 1+1 (кролик + кролик).

«Золотое сечение» (1,618)

Золотое сечение это пропорциональное соотношение чисел, при использовании которого в любой сфере жизнедеятельности, проявляется структуризация и гармония. Но всё же, давайте не будем употреблять заучных слов и рассмотрим это явление простым языком. Для простоты восприятия, возьмём любое число из последовательности чисел Фибоначчи. Например, 13. Чтобы нам обнаружить число «золотого сечения», нам необходимо это число разделить на предыдущее в этом же ряду, то есть на 8. В ответе мы получим десятичную дробь 1,625. То есть это не цельное, не круглое число близкое к «золотому сечению».

1,625

Но если мы разделим 144 на 89, то мы получим цифру 1,6179775. Заметили разницу? Во втором примере итоговая цифра изменилась в меньшую сторону. Забегая вперёд, скажу, что чем выше мы будем брать число из последовательности чисел Фибоначчи, тем скорее и ближе будет стремиться итоговая цифра к значению 1,618 (не исключено отклонение как в плюс, так и в минус). К примеру, возьмём далёкое число 10 946 и разделим из этого ряда на предыдущее число 6 765. По итогу получим почти идеальную десятичную дробь 1,6180339. Попрошу вас взять в руки калькулятор и проверить данный пример.

Золотое сечение и трейдинг.

Но какое же отношение, десятичная дробь 1,618 имеет к трейдингу? Потерпите немного, ведь не знание источников информации приводит к неверным интерпретациям будущих ситуаций на рынке. Понимаете, финансовый рынок, это живая среда. Это мы с вами. Для ясного, ну или примерного представления, приведу пример: Как известно из научных источников, насекомые, в частности пчёлы или муравьи, имеют один, общий инстинктивный «разум». И при строительстве своего муравейника, они не общаются, не обсуждают размер будущего дома, и не собираются вместе на обед. Но почему тогда у них получаются их логова в идеальном для них состоянии и в правильно расположенном месте? Да к тому же с меньшими входами/выходами со стороны севера? Всё потому же, что это инстинкт от природы ОДИН на всех. Ровно поэтому же и всемирный коллектив на FOREX, действует «сообща», «инстинктивным» разумом. Совершая всё те же ошибки, отдавая прибыль и преимущество единицам.

Простейший пример

Теперь, зная точное (округлённое) число «золотого сечения». Мы с вами можем рассчитать практически любое соотношение. Снова забегая вперёд, оговорюсь; современный человеческий мозг, до сих пор не хочет воспринимать «идеальные» пропорции, как в природе, так и в архитектуре.

Так в простейший пример можно привести «золотой прямоугольник». То есть прямоугольник с идеальным соотношением сторон. Ширина 754. Высота 466. При делении ширины на высоту, получим десятичную дробь «золотого сечения» 1,6180257. Я по праву не знаю (но догадываюсь) почему данное соотношение сторон не используется на экранах, при выпуске телевизоров или других гаджетов. Но всё же, некоторые устройства имеют приблизительную пропорцию сторон. Я же ссылаюсь на то, что современный человек ещё не пришёл к полной гармонии с «внутренней» природой.

Спираль Фибоначчи

Весь наш мир в изобилие элементами «золотого сечения». Просто люди, которые далеки от этой темы, не в состоянии этого узреть. Сплошь и рядом прослеживается пропорция 1,618. Одним из важнейших элементов «золотого сечения» является спираль Фибоначчи. И вот те, кто разобрался с этой темой, и прочувствовали всю красоту и гармонию данного явления, несомненно, захотят построить спираль Фибоначчи собственными руками. Для этого нам потребуется циркуль обыкновенный и лист в клеточку. Обязательно в клеточку для того, чтобы можно было чертить аккуратные, правильные квадраты. Начать построение спирали нужно с двух нарисованных одинаковых квадратов, размером в одну клеточку, каждый. Начало спирали соединяет два противоположных угла этих квадратиков, лежащих на одной плоскости. Теперь важное условие; следующий квадрат, который соединяет два предыдущих, должен иметь стороны содержащие количество клеточек в сумме полученные путём сложения количеством клеток двух предыдущих квадратов. И каждый раз спираль (дуга) чертится на противоположный угол по диагонали. Да ребят, просто читая, я бы и сам запутался, для этого я и привёл ниже скриншот.

Спираль и ряд чисел Фибоначчи в природе

Первозданный вид нашей вселенной, я бы даже сказал, нашего бытия, представлял собой абсолютный хаос. Частицы газа и пыли после «большого взрыва», с течением времени сформировали нашу планету. Но даже и с появлением тверди логичность структуризации не прослеживалась. Лишь спустя много миллионов лет, наша природа преобразилась, и земля приобрела порядок. Все её царства – животные, растения, грибы (как отдельное царство), насекомые и человек, имеют отдельные элементы спирали Фибоначчи. Список можно продолжать: Вихри, спирали галактик, направления движения орбит планет и их естественных спутников, гребни цунами, спирали ДНК, ушная раковина человека, отпечатки пальцев, а так же молнии (последние имеют и элементы фрактала). Про ДНК же стоит поправиться, что в большей степени в ней присутствует последовательность чисел Фибоначчи, чем сама спираль. Скажу больше; спирали имеются не только у статических природных объектов, но и природных явлений, таких как завихрения, от взмаха крыльев стрекозы (кстати, единственное природное существо, которое имеет способность летать задом наперёд). Это так, к слову, дабы вы не соскучились. А так же, музыкальные такты, паузы, расположение октав, относительно их интервальному тону. Временные спирали, по которым происходят те или иные события. Так же временные периоды тесно связаны и с фрактальной структурой. Вобщем говоря, наш природный мир полностью и целиком приобрёл безграничную красоту и гармонию.

Последовательность ряда чисел Фибоначчи, «золотое сечение» и Спираль Фибоначчи в архитектуре

Человек, как разумный Хомо сапиенс, тоже стремится к красоте, удобству, гармонии и оптимизации своих творений. Не правильным будет не признать гениальность архитекторов, воздвигнутых под их проектами сооружений. Которые можно описать с помощью математики. В частности все их элементы демонстрируют ряд чисел Фибоначчи, «золотое сечение», либо Спираль Фибоначчи.

Вообще в мире и в истории примеров наглядных уйма. Я же приведу в пример самый простенький. Христианский крест. Предположим мы взяли вертикальный элемент креста длинною, ну скажем 1000 см. Значит, горизонтальная перекладина должна быть 618 см. 1000/1,618=618. Далее располагаем её на уровне тоже 618 см. («золотое сечение» по длине стоявой балки), от верхнего края. Условие, что центр крепежа будет на обеих балках на расстоянии 618 см. В итоге мы получаем крест идеальной формы. И вот что удивительно, если вы из выше предложенного примера, правильно наложите спираль Фибоначчи на этот крест, то некоторые элементы совпадут. Вы сможете это воссоздать сами на листе бумаги в клетку.

Подводя итоги

На эту тему, примеров можно приводить бесчисленное количество. Но из пройденного материала, думаю, многие читатели поняли, почему ряд чисел Фибоначчи называют «числом Бога». Я же, подводя черту, желаю объяснить начинающим трейдерам, специализирующихся на техническом анализе, зачем так важно знать про последовательность чисел Фибоначчи. Рынок, будь то Forex или любая Биржевая площадка, это всегда живая среда. Инфраструктура похожая на природные явления. Это мы с вами. Коллективные действия, формирующие правила и элементы, так похожие на природные закономерности. К сожалению, в рамках этого материала, мне больше нечем вас удивить. Могу лишь посоветовать поинтересоваться этой темой на каналах в YouTube. Ролики с данным сюжетом, по истине, захватывает дух.

Эта статья – материал из рубрики “Азбука Трейдинга”. Загляните в неё. Там ещё много интересного!
Сложно? “Трейдинг для чайников” – бесплатное обучение рынкам.
Подпишитесь на наш телеграм канал и получите самую лучшую информацию.
xn—-dtbjkdrhdlujmd8i.xn--p1ai

Замечательные свойства чисел Фибоначчи — СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

1^°. f₁ + f₂ + … + f_n = f_n+2 — 1.

(1)

Доказательство.

f₁ = f₃ — f₂

f₂ = f₄ — f₃

…

f_n-1 = f_n+1 — f_n

f_n = f_n+2 — f_n+1.

Сложив все эти равенства почленно, получим

f₁ + f₂ + … + f_n = f_n+2 — f₂,и так как f₂ = 1, получим (1).

2^°. f₁ + f₃ + f₅ + … + f_2n-1 = f_2n.

3^°. f₂ + f₄ + … + f_2n = f_2n+1 — 1.

Свойства 2^° — 3^° доказываются аналогично 1^°.

4^°. f₁² + f₂² + … + f_n² = f_n·f_n+1.

(2)

Доказательство. Легко заметить, что имеет место соотношение

f_n·f_n+1 — f_n-1f_n = f_n(f_n+1 — f_n-1) = f_n² (n О N).

Из этого соотношения получаем равенства

f₁² = f₁·f₂,

f₂² = f₂·f₃ — f₁·f₂,

f₃² = f₃·f₄ — f₂·f₃,

…

f_n² = f_n·f_n+1 — f_n-1·f_n.

www.sites.google.com

Последовательность Фибоначчи — это… Что такое Последовательность Фибоначчи?

Чи́сла Фибона́ччи — элементы числовой последовательности

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597 … (последовательность A000045 в OEIS)

в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Название по имени средневекового математика Леонардо Пизанского (или Фибоначчи) ^[1].

Более формально, последовательность чисел Фибоначчи $\left\{F_n\right\}$ задается рекуррентным соотношением:

$F_1 = 1,\quad F_2 = 1,\quad F_{n+1} = F_n + F_{n-1} \quad n\in\mathbb{N}.$

Иногда числа Фибоначчи рассматривают и для неположительных номеров n как двусторонне бесконечную последовательность, удовлетворяющую основному соотношению. Члены с такими номерами легко получить с помощью эквивалентной формулы «назад»: F_n = F_{n + 2} − F_{n + 1}:

n	−10	−9	−8	−7	−6	−5	−4	−3	−2	−1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
F_n	−55	34	−21	13	−8	5	−3	2	−1	1	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55

Легко видеть, что F _{− n} = ( − 1)^{n + 1}F_n. Для чисел Фибоначчи с отрицательными индексами остаются верными большинство нижеприведённых свойств.

Происхождение

Последовательность Фибоначчи была хорошо известна в древней Индии, где она применялась в метрических науках (просодии, другими словами — стихосложении), намного раньше, чем она стала известна в Европе.

Образец длиной n может быть построен путём добавления S к образцу длиной n-1, либо L к образцу длиной n-2; и просодицисты показали, что число образцов длиною n является суммой двух предыдущих чисел в последовательности. Дональд Кнут рассматривает этот эффект в книге «Искусство программирования».

На Западе эта последовательность была исследована Леонардо Пизанским, известным как Фибоначчи, в его труде «Liber Abaci» (1202). Он рассматривает развитие идеализированной (биологически нереальной) популяции кроликов, предполагая что:

В «нулевом» месяце, имеется пара кроликов (0 новых пар).
В первом месяце, первая пара производит на свет другую пару (1 новая пара).
Во втором месяце, обе пары кроликов порождают другие пары и первая пара погибает (1 новая пара).
В третьем месяце, вторая пара и две новые пары порождают в общем три новые пары, а старая вторая пара погибает (2 новые пары).

Закономерным является тот факт, что каждая пара кроликов порождает ещё две пары на протяжении жизни, а затем погибает.

Пусть популяция за месяц n будет равна F(n). В это время, только кролики которые жили в месяце n-2 являются способными к размножению и производят потомков, тогда F(n-2) пар прибавится к текущей популяции F(n-1). Таким образом общее количество пар будет равно F(n) = F(n — 1) + F(n — 2).

Формула Бине

Формула Бине выражает в явном виде значение F_n как функцию от n:

$F_n = \frac{\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n}{\sqrt{5}} = \frac{\phi^n - (-\phi )^{-n}}{\phi - (-\phi )^{-1}}$

где $\phi=\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ — золотое сечение. При этом $\phi\,\!$ и $(-\phi )^{-1}=1-\phi\,\!$ являются корнями квадратного уравнения $x^2-x-1=0\,\!$ .

Из формулы Бине следует, что для всех $n\geqslant 0$ , F_n есть ближайшее к $\frac{\phi^n}{\sqrt{5}}\,$ целое число, то есть $F_n = \left\lfloor\frac{\phi^n}{\sqrt{5}}\right\rceil$ . В частности, справедлива асимптотика $F_n\sim \frac{\phi^n}{\sqrt{5}}$ .

Тождества

$F_1+F_2+F_3+\dots+F_n=F_{n+2}-1$

$F_1+F_3+F_5+\dots+F_{2n-1}=F_{2n}$

$F_2+F_4+F_6+\dots+F_{2n}=F_{2n+1}-1$

$F_{n+1}F_{n+2}^{}-F_nF_{n+3}=(-1)^{n+1}$

$F_1^2+F_2^2+F_3^2+\dots+F_{n}^2=F_nF_{n+1}$

$F_n^2+F_{n+1}^2=F_{2n+1}$

$F_{2n}=F_{n+1}^2-F_{n-1}^2$

$F_{3n}=F_{n+1}^3+F_n^3-F_{n-1}^3$

И более общие формулы:

$F_{n+m}^{}=F_{n-1}F_{m}+F_{n}F_{m+1}$

$F_{(k+1)n}^{}=F_{n-1}F_{kn}+F_nF_{kn+1}$

$F_n^{}=F_lF_{n-l+1}+F_{l-1}F_{n-l}$

Числа Фибоначчи представляются значениями континуант на наборе единиц: $F_n = K_n(1,\dots,1)$ , то есть

$F_n = \det \begin{pmatrix} 1 &amp; 1 &amp; 0 &amp;\cdots &amp; 0 \\ -1 &amp; 1 &amp; 1 &amp; \ddots &amp; \vdots\\ 0 &amp; -1 &amp; \ddots &amp;\ddots &amp; 0 \\ \vdots &amp; \ddots &amp; \ddots &amp;\ddots &amp; 1 \\ 0 &amp; \cdots &amp; 0 &amp; -1 &amp; 1 \end{pmatrix}$

, а также $\ F_{n+1} = \det \begin{pmatrix} 1 &amp; i &amp; 0 &amp;\cdots &amp; 0 \\ i &amp; 1 &amp; i &amp; \ddots &amp; \vdots\\ 0 &amp; i &amp; \ddots &amp;\ddots &amp; 0 \\ \vdots &amp; \ddots &amp; \ddots &amp;\ddots &amp; i \\ 0 &amp; \cdots &amp; 0 &amp; i &amp; 1\end{pmatrix}$

где матрицы имеют размер $n\times n$ , i — мнимая единица.

$F_{n+1} = (-i)^n U_n\left(\frac{-i}{2}\right) = (-i)^n T_n(-i)$

$F_{2n+2} = U_n\left(\frac{3}{2}\right) = T_n(3)$

$\begin{pmatrix} 1 &amp; 1 \\ 1 &amp; 0 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} F_{n+1} &amp; F_n \\ F_n &amp; F_{n-1} \end{pmatrix}.$

$(-1)^n = F_{n+1} F_{n-1} - F_n^2$

Свойства

Наибольший общий делитель двух чисел Фибоначчи равен числу Фибоначчи с индексом, равным наибольшему общему делителю индексов, т. е. (F_m,F_n) = F_(m,n). Следствия:
- F_m делится на F_n тогда и только тогда, когда m делится на n (за исключением n = 2). В частности, F_m делится на F₃ = 2 (то есть является чётным) только для m = 3k; F_m делится на F₄ = 3 только для m = 4k; F_m делится на F₅ = 5 только для m = 5k и т. д.
- F_m может быть простым только для простых m (с единственным исключением m = 4) (например, число 233 простое, и индекс его, равный 13, также прост). Обратное не верно, первый контрпример — $F_{19}=4181=37\cdot 113$ . Неизвестно, бесконечно ли множество чисел Фибоначчи, являющихся простыми.

$F_{n+1} = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} {n-k\choose k}$ .

В 1964 Дж. Кон (J. H. E. Cohn) доказал, что единственными точными квадратами среди чисел Фибоначчи являются числа Фибоначчи с индексами 0, 1, 2, 12: F₀ = 0² = 0, F₁ = 1² = 1, F₂ = 1² = 1, F₁₂ = 12² = 144. При этом для n=0,1,12 верно утверждение F_n = n².

$0 + x + x^2 + 2 x^3 + 3 x^4 + 5 x^5 + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} F_n x^n = \frac{x}{1-x-x^2}$

Множество чисел Фибоначчи совпадает с множеством положительных значений многочлена
z(x,y) = 2xy⁴ + x²y³ − 2x³y² − y⁵ − x⁴y + 2y,
на множестве неотрицательных целых чисел x и y ^[2].

Произведение и частное двух любых различных чисел Фибоначчи, отличных от единицы, никогда не является числом Фибоначчи.

Последние цифры чисел Фибоначчи образуют периодическую последовательность с периодом 60, последняя пара цифр чисел Фибоначчи образует последовательность с периодом 300, последние три цифры — с периодом 1500, последние четыре — с периодом 15000, последние пять — с периодом 150000 и т. д.

Вариации и обобщения

В других областях

В природе

Расстояния между листьями (или ветками) на стволе растения относятся примерно как числа Фибоначчи.

В культуре

См. также

Литература

Ссылки

Примечания

↑ [1] БСЭ]
↑ P. Ribenboim, The New Book of Prime Number Records, Springer, 1996, p. 193.

Wikimedia Foundation. 2010.

biograf.academic.ru