Замечательные свойства чисел Фибоначчи — СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

1°. f1 + f2 + … + fn = fn+2 — 1.

(1)

Доказательство.

f1 = f3 — f2

f2 = f4 — f3

…

fn-1 = fn+1 — fn

fn = fn+2 — fn+1.

Сложив все эти равенства почленно, получим

f₁ + f₂ + … + f_n = f_n+2 — f₂,и так как f₂ = 1, получим (1).

2^°. f₁ + f₃ + f₅ + .

.. + f_2n-1 = f_2n.

3^°. f₂ + f₄ + … + f_2n = f_2n+1 — 1.

Свойства 2^° — 3^° доказываются аналогично 1^°.

4°. f12 + f22 + … + fn2 = fn·fn+1.

(2)

Доказательство. Легко заметить, что имеет место соотношение

f_n·f_n+1 — f_n-1f_n = f_n(f_n+1 — f_n-1) = f_n²     (n О N).

Из этого соотношения получаем равенства

f12 = f1·f2,

f22 = f2·f3 — f1·f2,

f32 = f3·f4 — f2·f3,

. ..

fn2 = fn·fn+1 — fn-1·fn.

Складывая эти равенства почленно получаем (2).

5°. Показать, что   fn+m = fn-1·fm + fn·fm +1,

(3)

где f_n обозначает n-ый член последовательности Фибоначчи.

Доказательство. Зная общий вид члена f_n (см. (2)) можно подставив его в показать, что имеет место (3) равенство. Докажем (3 ) используя метод математической индукции. Проведем индукцию по m О N.

Для m = 1, равенство (3) примет вид

f_n+1 = f_n-1·f₁ + f_n·f₂,что очевидно. При m = 2 формула (3) также очевидна. Действительно,f_n+2 = f_n-1f₂ + f_nf₃ = f_n-1 + 2f_n = f_n-1 + fn

 + f_n = f_n+1 + f_n.

Таким образом, пусть основание индукции проверено (m = 1; m = 2). Пусть (3) верно для m = k и m = k + 1. Докажем, что тогда (3) верно и для m = k + 2.

Таким образом, пусть верны равенства

fn+k = fn-1fk + fnfk+1,

fn+k+1 = fn-1fk+1 + fnfk+2.

Суммируя почленно последниие равенства, получим равенствоf_n+k+2 = f_n-1·f_{k +2} + f_n·f_k+3,которое представляет (3) при m = k + 2.

6^°. f_2n = f_n-1f_n + f_n·f_n+1.

Доказательство следует из (3) при m = n.

7^°. Член f_2n делится на f_n.

Доказательство. Из 6^° следует

f_2n = f_n(f_n-1 + f_n+1),откуда следует, что f_2n  f_n.

8^°. 

9^°. 

Свойства 8^° — 9^°, являющиеся прямыми следствиями 6^°, предлагается доказать самостоятельно.

10°.  fn2 = fn-1fn+1 + (-1)n+1

(4)

Доказательство. Будем доказывать равенство (4) индукцией по n. При n = 2 равенство (4) преобразуется в справедливое равенство

f₂² = f₁·f₃ — 1,

Предположим, что равенство (4) справедливо для n и докажем, что тогда оно справедливо и для n + 1. Таким образом, пусть справедливо равенство

f_n² = f_n-1·f_n+1 + (-1)ⁿ⁺¹.Прибавим к обеим частям последнего равенства f_n·f_n+1. В результате получимf_n² + f_n·f_n+1 = f_n-1·f_n+1 + fn

·f_n+1 + (-1)ⁿ⁺¹,илиf_n(f_n + f_n+1) = f_n+1(f_n-1 + f_n) + (-1)ⁿ⁺¹,и так как f_n+2 = f_n + f_n+1 (см. определение последовательности Фибоначчи), заключаем чтоf_nf_n+2 = f_n+1² + (-1)ⁿ⁺¹,илиf_n+1² = f_n·f_n+2 + (-1)ⁿ⁺².Следовательно (4) справедливо и для n + 1.

11^°. Показать, что если n делится на m, то f_n делится на f_m.

Доказательство.

 Пусть n  m, т.е. n = mk. Докажем свойство 11^° индукцией по k. При k = 1, n = m, следовательно f_n делится на f_m. Предположим, что f_mk делится на f_m. Рассмотрим f_m(k+1). Из равенства f_m(k+1) = f_mk+m на основании соотношения (3) получим

f_m(k+1)² = f_mk-1f_m + f_mk·f_m+1. Первый член суммы из правой части равенства, очевидно, делится на f_m. Второй член делится на f_m согласно индукционному предположению. Следовательно сумма этих членов делится на  f_m, и значит, f_m(k+1)  f_m. Свойство 11^° доказано.

12. Числа Фибоначчи

82

12.1. Простейшие свойства

Напомним, что числа Фибоначчи образуют последовательность, в которой первые два члена равны 0 и 1, а каждый следующий равен сумме двух предыдущих. В соответствии с определением последовательность чисел Фибоначчи

F0 = 0, F1 = 1, F2 = 1, F3	= 2, F4 = 3, F5 = 5, F6 = 8,…
удовлетворяет рекуррентному соотношению
Fn+2	= Fn+1 + Fn.	(1)

Числа Фибоначчи возникают естественным образом во многих задачах. Исторически одной из первых является задача о кроликах, восходящая к Леонардо Пизанскому, которого иногда называют Леонардо Фибоначчи (публикация 1202 г.). В этой задаче требуется определить число пар зрелых кроликов, образовавшихся от одной пары в течение года, если известно, что каждая зрелая пара кроликов ежемесячно рождает новую пару, причем новорожденные кролики достигают зрелости через два месяца.

Обозначим через un, un+1, un+2 число пар зрелых кроликов соответственно через n месяцев, через n + 1 месяц и через n + 2 месяца. Нетрудно убедиться, что un+2 = un+1 + un: к моменту n + 2 зрелости достигают un пар кроликов, родившихся в момент n,

83

которые добавляются к un+1 паре кроликов, зрелых на момент n + 1.

Рассмотрим еще одну задачу, так называемую задачу о прыгуне. Некоторая величина x увеличивается за единицу времени на 1 или на 2. Требуется определить, сколькими способами может произойти увеличение рассматриваемой величины на n единиц.

Обозначим искомое число способов через un. Пусть x(t) – значение величины x в момент времени t. Ясно, что x(1) = x(0) + 1 или x(1) = x(0) + 2 в зависимости от того, на 1 или на 2 изменилась величина x за первый временной промежуток. Имеются два пути достичь значения x(0) + n: вырасти на n – 1 единицу со значения x(0) + 1 или на n – 2 единицы со значения x(0) + 2. Первое может произойти un–1 способами, второе – un–2 способами. Следовательно,

un = un–1 + un–2.

Многие свойства чисел Фибоначчи нетрудно получить по индукции. Например, для любого n ≥ 0 справедливо равенство

1	1 n+1		F		F		(2)
	0		=	n+2	n +1	.
1				F	F
				n +1	n

В самом		деле,		(2) выполняется при n = 0. Следующая
выкладка позволяет сделать индуктивный шаг:
1 1	n+2	F		F	1	1
		=	n+2	n+1		=
1 0			F	F	1	0
			n+1	n

				84
F		+ F		F			F	+3	F
=	n+2		n +1	n+2			= n		n+2	.
	F		+ F	F			F	+2	F
	n+1		n	n +1			n		n +1
Если взять определители матриц, стоящих в правой и левой
частях (2), получится следующее соотношение:
	Fn+2Fn – F 2				= (–1)n+1.
				n+1

Приведем одно из важных свойств чисел Фибоначчи, доказательство которого значительно сложнее и здесь не приводится.

Каждое целое положительное число имеет единственное представление вида

n = Fk1 + Fk2 +K+ Fkr ,

(3)

где k1 ≥ k2 +2; k2 ≥ k3 +2; …, kr–1 ≥ kr +2; kr ≥ 2.

Чтобы получить представление (3) нужно в качестве Fk1

взять наибольшее число Фибоначчи, не превосходящее n, в качестве Fk2 – наибольшее число Фибоначчи, не превосходящее n − Fk1 , и т. д., пока очередной «остаток» не станет равным нулю. Например:

1 = F1; 2 = F2; 3 = F3;4 = F3 + F1; 5 = F4; 8 = F5; 13 = F6; 20 = F6 + F4 + F2.

12.2. Формула Бине и некоторые ее применения

Напомним (см. 11.3, формула (5)), что производящая функция для последовательности чисел Фибоначчи имеет вид

85

F(z) = F0 + F1z + F2z2 + … =

z

.

1

− z − z2

Корнями характеристического многочлена

k(z) = z2 – z –1

являются числа

б =1+ 5

и в =

1− 5 .

2

2

Число Фибоначчи как функция своего номера

представляется в виде:

Fn =

бn −вn

(4)

5

,

или

1+

5

n

n

−

1− 5

2

2

F =

,

n

5

Формула (4) называется формулой Бине.

Так как α2 = α + 1, то любую степень числа α можно представить в виде целочисленной комбинации aα + b. Оказывается, коэффициентами служат числа Фибоначчи:

αk+2 = Fk+2α + Fk+1.

Формула Бине позволяет убедиться в этом прямой проверкой. Приведем несколько оценок чисел Фибоначчи.

Число Фибоначчи Fn есть ближайшее целое к числу бn . 5

86

Для доказательства заметим, что |β| < 1, и, значит, |βn| < 1. Следовательно,

F − бn		= бn −вn − бn		= в n	< 1 .	(5)
n	5	5	5	5	2
Из (4) вытекает также следующее свойство.
С ростом n числа Фибоначчи неограниченно сближаются с
членами геометрической прогрессии с начальным членом							1	и
							5

знаменателем α = 52+1 :

					бn
			lim F −				= 0.
			n			5
			n→∞
Отношение соседних чисел Фибоначчи (следующего к
предыдущему) с ростом n стремится к числу								2	≈ 0,618 .
								5 +1
Действительно,
	F		бn −вn				1−(в/ б)n
	n	=				=		.
	Fn+1		бn+1 −вn	+1			б−в(в/ б)n

Так как β/α < 1, то (β/α)n с ростом n стремится к нулю. Следовательно,

lim	Fn	=	1	≈ 0,618 .
			б
n→∞ Fn+1

87

Из предыдущего равенства следует, что

lim	Fn	=	1	≈ 0,382 .
			б2
n→∞ Fn+2

Установим справедливость формулы, которая дает представление чисел Фибоначчи в виде суммы биномиальных коэффициентов, и как ее следствие получим одно тождество для биномиальных коэффициентов.

При любом n справедливо следующее равенство:

				Fn+1 =			∑Cnk−k .			(6)
						2k ≤n
Заметим сначала, что при четном n равенство (6) имеет вид
	F		= C0 +C1			−1		+… +Cn / 2		,
	n+1			n	n				n / 2
а при нечетном –
	F	= C0		+C1	−1		+. .. +C(n−1) / 2 .
	n+1		n	n					(n+1) / 2
Например:
F = C0		+C1		+C2	; F = C0				+C1	+C2 .
5	4		3	2			6	5	4	3

Для доказательства (6) воспользуемся производящей

функцией последовательности чисел Фибоначчи:
F(z) = F0	+ F1z + F2z2 +… =		z	.	(7)
			− z − z2
	1

Используя формулу для суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, преобразуем правую часть равенства (7):

Math.ru

Николай Николаевич Воробьев

М.: Наука, 1978. 144 с.
Тираж 100000 экз.
Серия Популярные лекции по математике, выпуск 6

Загрузить (Mb) djvu (0.95) pdf (-) ps (-) html (-) tex (-)

Первый вариант текста этой книжки писался почти тридцать лет тому назад. С тех пор изменилось очень многое.

Прежде всего, и это главное, изменился математический уровень основного круга читателей популярных математических книг: интересующихся математикой школьников старших классов и их преподавателей. Созданная сеть специализированных математических и физико-математических школ и классов предопределила существенное расширение математического кругозора соответствующего контингента учащихся, которых теперь можно заинтересовать скорее не забавными элементарными фактами, а уже достаточно глубокими и сложными результатами.

Кроме того, и это является фундаментальным фактом истории математики нашего времени, существенно сместился центр тяжести математических исследований в целом. В частности, утратила свои доминирующие позиции теория чисел, и резко повысился удельный вес экстремальных задач. В самостоятельную отрасль математики сложилась теория игр. По существу возникла вычислительная математика. Все это не могло не сказаться и на содержании научно-популярной литературы по математике.

Далее, числа Фибоначчи проявили себя еще в нескольких математических вопросах, среди которых в первую очередь следует назвать решение Ю. В. Матиясевичем десятой проблемы Гильберта и далеко не столь глубокую, но приобретшую широкую известность теорию поиска экстремума унимодальной функции, построенную впервые, по-видимому, Р. Беллманом.

Наконец, было установлено довольно большое количество ранее неизвестных свойств чисел Фибоначчи, а к самим числам существенно возрос интерес. Значительное число связанных с математикой людей в различных странах приобщились к благородному хобби «фибоначчизма». Наиболее убедительным свидетельством этому может служить журнал The Fibonacci Quarterly, издаваемый в США с 1963 г.

Все сказанное определило изменения содержания книги от издания к изданию и тот вид, в котором она предлагается читателю сейчас. Во втором издании был добавлен параграф о фибоначчиевых планах поиска экстремума унимодальной функции вместе с возникающими при этом общематематическими и вычислительными вопросами. В третьем издании была расширена теоретико-числовая тематика, и этот материал из § 2 оказался полезной информацией при решении десятой проблемы Гильберта. Наконец, в настоящем издании «подтягиваются» до общего уровня и объема § 3 и 4. В § 3 приводятся ставшие классическими теоремы о точности приближений подходящими дробями и описывается роль чисел Фибоначчи в этих фактах, а в § 4 рассматривается игра «цзяньшицзы», теоретико-игровой анализ которой опирается на детальное рассмотрение фибоначчиевых представлений натуральных чисел.

Книга по-прежнему не требует от читателя знаний, выходящих за пределы школьного курса. Более трудные ее места выделены мелким шрифтом и могут быть при чтении пропущены без ущерба для понимания остального материала.

Вырица 1
Н. Н. Воробьев
1978 г.

---

Содержание

Предисловие к первому изданию

Предисловие к четвертому изданию

Введение

§ 1. Простейшие свойства чисел Фибоначчи

§ 2. Теоретико-числовые свойства чисел Фибоначчи

§ 3. Числа Фибоначчи и непрерывные дроби

§ 4. Числа Фибоначчи и геометрия

§ 5. Числа Фибоначчи и теория поиска

---

Загрузить (Mb) djvu (0.95) pdf (-) ps (-) html (-) tex (-)

Числа Фибоначчи | Математика | Fandom

Чи́сла Фибона́ччи — последовательность целых чисел , заданная с помощью рекуррентного соотношения

.

Последовательность чисел Фибоначчи начинается так:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 … (последовательность A000045 в OEIS)

Иногда числа Фибоначчи рассматривают и для неположительных номеров n. Ряд, соответствующий определению чисел Фибоначчи : …, −55, 34, −21, 13, −8, 5, −3, 2, −1, 1, 0, 1, 1, 2, …

n	-10	-9	-8	-7	-6	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	-55	34	-21	13	-8	5	-3	2	-1	1	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55

Легко видеть, что . Для чисел Фибоначчи с отрицательными индексами остаются верными большинство нижеприведённых свойств (но не все!).

Формула Бине

Формула Бине выражает в явном виде значение как функцию от :

,

где  — золотое сечение. При этом и являются корнями квадратного уравнения .

Из формулы Бине следует, что для всех , есть ближайшее к целое число, то есть . В частности, справедлива асимптотика .

Тождества

• Числа Фибоначчи представляются значениями континуант на наборе единиц: , то есть

, а также ,

где матрицы имеют размер ,  — мнимая единица.

Эта формула даёт быстрый алгоритм вычисления чисел Фибоначчи.

Свойства

• Наибольший общий делитель двух чисел Фибоначчи равен числу Фибоначчи с индексом, равным наибольшему общему делителю индексов, т. е. . Следствия:

.

• Множество чисел Фибоначчи совпадает с множеством положительных значений полинома

,

на множестве неотрицательных целых чисел и (P. Ribenboim, The New Book of Prime Number Records, Springer, 1996, p.193).

• Произведение и частное двух любых различных чисел Фибоначчи, отличных от единицы, никогда не является числом Фибоначчи.

• Последние цифры чисел Фибоначчи образуют периодическую последовательность с периодом 60. Если от каждого числа брать по две последние цифры, то они образуют последовательность с периодом, равным 300. Если брать по три последние цифры — с периодом 1500, по четыре — с периодом 15000, по пять — с периодом 150000, по шесть — с периодом 1500000.

См. также

Литература

• Н. Н. Воробьёв Числа Фибоначчи, Популярные лекции по математике, выпуск 39, Издательство «Наука» 1978 г.
• А. И. Маркушевич Возвратные последовательности Популярные лекции по математике, Выпуск 1, Гос. Издательство Технико-Теоретической Литературы 1950 г.
• Дональд Кнут Искусство программирования, том 1. Основные алгоритмы = The Art of Computer Programming, vol. 1. Fundamental Algorithms. — 3-е изд. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 720. ISBN 0-201-89683-4
• Р.Грэхем, Д.Кнут, О.Паташник Конкретная Математика, М.: Мир, 1998.

Ссылки

ar:متتالية فيبوناتشي bg:Число на Фибоначи bn:ফিবোনাচ্চি রাশিমালা bs:Fibonaccijev broj ca:Successió de Fibonacci cs:Fibonacciho posloupnost da:Fibonacci-tal el:Ακολουθία Φιμπονάτσι eo:Fibonaĉi-nombroj eu:Fibonacciren zenbakiak he:סדרת פיבונאצ’י hi:हेमचन्द्र श्रेणी hr:Fibonaccijev broj hu:Fibonacci-számok id:Bilangan Fibonacci lt:Fibonačio skaičius lv:Fibonači skaitļi nl:Rij van Fibonacci no:Fibonacci-tall pl:Ciąg Fibonacciego scn:Succissioni di Fibonacci sk:Fibonacciho postupnosť sl:Fibonaccijevo število sr:Фибоначијев низ sv:Fibonaccital ta:ஃபிபனாச்சி எண்கள் th:เลขฟีโบนัชชี uk:Послідовність Фібоначчі vi:Dãy Fibonacci vls:Reke van Fibonacci

Web in Math: Магия чисел Фибоначчи: математика, которая вдохновляет

Математика логична, функциональна и просто… невероятна. Математический маг Артур Бенджамин (Arthur Benjamin) в своем выступлении на TED раскрывает непревзойденную магию чисел Фибоначчи, исследует скрытые свойства странного и чудесного набора чисел — последовательности Фибоначчи. (И он напоминает вам, что математика может вдохновлять!)

Почему мы изучаем математику? По сути, есть три причины: расчёт, приложение и последняя (к сожалению, наименее важная с точки зрения времени, которое мы ей уделяем) — это вдохновение.

Математика — это наука о моделях, и мы изучаем её, чтобы научиться мыслить логично, критично и творчески, но та математика, которую мы изучаем в школе чаще всего неэффективно мотивирована, и когда наши студенты спрашивают: «Почему мы это изучаем?» — то им часто приходится слышать, что это необходимо в предстоящем математическом классе или для будущих тестов. Но было бы здорово, если бы мы хоть иногда занимались математикой просто потому, что это весело или красиво или потому, что она волнует ум. Я знаю, что многие люди не имеют возможности увидеть, как это происходит, поэтому позвольте мне показать вам небольшой пример из моей любимой коллекции чисел, чисел Фибоначчи. (Аплодисменты)

Да! Тут уже есть фанаты Фибоначчи. Это здорово.

Эти цифры могут быть истолкованы различными способами. С точки зрения вычислений, их так же легко понять, как 1 + 1 = 2. Тогда 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8, и так далее. На самом деле человек, которого мы называем Фибоначчи, носил имя Леонардо из Пизы, и эти цифры появляются в его книге Liber Abaci, которая научила западный мир методам арифметических операций, используемых сегодня. С точки зрения приложений, числа Фибоначчи появляются в природе удивительно часто. Количество лепестков на цветке — это типичное число Фибоначчи. Количество спиралей на подсолнухе или ананасе также тяготеет к числу Фибоначчи.

В самом деле, есть много больше применений чисел Фибоначчи, но наиболее вдохновляющими, по моему мнению, являются прекрасные цифровые образцы, которые они демонстрируют. Позвольте мне показать вам один из моих любимых. Предположим, что вы хотите возвести число в квадрат, и, честно говоря, кто не хотел бы? (Смех)

Давайте посмотрим на квадраты первых нескольких чисел Фибоначчи. 1 в квадрате равно 1, 2 в квадрате — 4, 3 в квадрате — это 9, 5 в квадрате — 25 и так далее. Теперь известно, что при сложении последовательных чисел Фибоначчи вы получите следующее число Фибоначчи. Верно? Вот как они созданы. Но вы не ожидаете ничего особенного от сложения их квадратов. Но давайте проверим это. 1 + 1 = 2, и 1 + 4 = 5. И 4 + 9 = 13, 9 + 25 = 34, и да, шаблон повторяется.

Фактически тут есть ещё один шаблон. Предположим, вы хотите проанализировать сложение квадратов нескольких первых чисел Фибоначчи. Давайте посмотрим, что мы получим. Так что 1 + 1 + 4 = 6. Добавляем к этому 9 и получаем 15. Добавив 25, мы получаем 40. Добавив 64, мы получаем 104. Теперь посмотрите на эти цифры. Они не являются числами Фибоначчи, но если вы посмотрите на них внимательно, вы увидите, что числа Фибоначчи скрыты внутри них.

Вы это видите? Я покажу вам это. 6 — это 2 × 3, 15 — это 3 × 5, 40 — это 5 × 8, 2, 3, 5, 8 — кому мы должны быть признательны?

(Смех)

Фибоначчи! Конечно.

Обнаружить эти шаблоны было забавно, но ещё большее удовлетворение — понять, почему они являются подлинными. Давайте посмотрим на последнее уравнение. Почему квадраты 1, 1, 2, 3, 5 и 8 составляют 8 × 13? Я покажу вам это, нарисовав простую картину. Мы начнем с квадрата единицы, и рядом с этим ещё один квадрат единицы. Вместе они образуют прямоугольник один на два. Ниже я поставлю квадрат 2 на 2, потом квадрат 3 на 3, под ним квадрат 5 на 5, и затем квадрат 8 на 8, получается один гигантский прямоугольник, правильно?

Теперь позвольте мне задать вам простой вопрос: какова площадь прямоугольника? С одной стороны, это сумма площадей квадратов внутри него, правильно? Так же, как мы создали его. Это 1 в квадрате плюс 1 в квадрате плюс 2 в квадрате плюс 3 в квадрате плюс 5 в квадрате плюс 8 в квадрате. Верно? Это площадь. С другой стороны, поскольку это прямоугольник, площадь равна его высоте, умноженной на ширину. Высота равна 8, а ширина — 5 + 8, чем и является следующее число Фибоначчи 13. Верно? Таким образом, площадь равна 8 × 13. Так как мы правильно рассчитали площадь двумя разными способами, числа должны быть одинаковыми, и вот почему квадраты 1, 1, 2, 3, 5 и 8 складываются в 8 × 13.

Если мы продолжим этот процесс, мы создадим прямоугольники размером 13 на 21, 21 на 34 и так далее.

Теперь проверьте это. Если вы разделите 13 на 8, вы получите 1,625. И если вы разделите большее число на меньшее число, то эти коэффициенты становятся всё ближе и ближе к числу 1.618, известному многим людям как Золотое сечение, числу, которое очаровывало математиков, учёных и художников на протяжении многих веков.

Я показываю всё это вам потому, что много что в математике имеет красивые стороны, которые, боюсь, не получают достаточного внимания в наших школах. Мы тратим много времени на изучение вычислений, но давайте не забывать и о применении, которое включает, возможно, наиболее важное применение — научиться думать.

Если я мог бы обобщить это в одном предложении, это звучало бы так: математика — это не только поиск решений для Х, но также и поиск причин таких решений.

Большое спасибо.

(Аплодисменты)

Артур Бенджамин. Магия чисел Фибоначчи

Известный математик  Артур Бенджамин исследует скрытые свойства удивительной числовой последовательности — последовательности Фибоначчи.  И доказывает нам тот факт, что математика может еще и вдохновлять. 

Артур Бенджамин. . Источник: Артур Бенджамин. . Автор: Артур Бенджамин.

Последовательность Фибоначчи — это такая последовательность, в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…

1. Почему мы изучаем математику? По сути, есть три причины: расчёт, приложение и последняя, к сожалению, наименее важная с точки зрения времени, которое мы ей уделяем, — это вдохновение. Математика — это наука о моделях, и мы изучаем её, чтобы научиться мыслить логически, критично и творчески, но та математика, которую мы изучаем в школе, чаще всего неэффективно мотивирована, и когда наши студенты спрашивают: «Почему мы это изучаем?» — то им часто приходится слышать, что это необходимо в предстоящем математическом классе или для будущих классов. Но было бы здорово, если бы мы хоть иногда занимались математикой просто потому, что это весело, или красиво или потому, что она волнует ум. 

2. Я знаю, что многие люди не имеют возможности увидеть, как это происходит. Поэтому позвольте мне показать вам небольшой пример из моей любимой коллекции чисел, чисел Фибоначчи. Эти цифры могут быть истолкованы различными способами. С точки зрения вычислений, их также легко понять, как то, что 1 + 1 = 2. Тогда 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8, и так далее. На самом деле человек, которого мы называем Фибоначчи, носил имя Леонардо из Пизы, и эти цифры появляются в его книге Liber Abaci, которая научила западный мир методам арифметических операций, используемых сегодня. 

3. Числа Фибоначчи появляются в природе удивительно часто. Количество лепестков на цветке — это типичное число Фибоначчи. Количество спиралей на подсолнухе или ананасе также тяготеет к числу Фибоначчи. В самом деле, есть много больше применений чисел Фибоначчи, но наиболее вдохновляющими, по моему мнению, являются прекрасные цифровые образцы. Позвольте мне показать вам один из моих любимых. Предположим, что вы хотите возвести число в квадрат. И, честно говоря, кто не хотел бы? Давайте посмотрим на квадраты первых нескольких чисел Фибоначчи. 1 в квадрате равно 1, 2 в квадрате — 4, 3 в квадрате — это 9, 5 в квадрате — 25 и так далее. Теперь известно, что при сложении последовательных чисел Фибоначчи вы получите следующее число Фибоначчи. Верно? Вот как они созданы. Но вы не ожидаете ничего особенного от сложения их квадратов. Но давайте проверим это. 1 + 1 = 2, и 1 + 4 = 5. И 4 + 9 = 13, 9 + 25 = 34, и да, шаблон повторяется. Фактически тут есть ещё один шаблон. Предположим, вы хотите проанализировать сложение квадратов нескольких первых чисел Фибоначчи. Давайте посмотрим, что мы получим. Так что 1 + 1 + 4 = 6. Добавляем к этому 9 и получаем 15. Добавив 25, мы получаем 40. Добавив 64, мы получаем 104. Теперь посмотрите на эти цифры. Они не являются числами Фибоначчи, но если вы посмотрите на них внимательно, вы увидите, что числа Фибоначчи скрыты внутри них. Вы это видите? Я покажу вам это. 6 — это 2 × 3, 15 — это 3 × 5, 40 — это 5 × 8. Итак, 2, 3, 5, 8 — кому мы должны быть признательны? Фибоначчи! Конечно. Обнаружить эти шаблоны было забавно, но ещё большее удовлетворение — понять, почему они являются подлинными. 

4. Давайте посмотрим на последнее уравнение. Почему квадраты 1, 1, 2, 3, 5 и 8 составляют 8 × 13? Я покажу вам это, нарисовав простую картину. Мы начнем с квадрата единицы, и рядом с этим ещё один квадрат единицы. Вместе они образуют прямоугольник один на два. Ниже я поставлю квадрат 2 на 2, потом квадрат 3 на 3, под ним квадрат 5 на 5, и затем квадрат 8 на 8, получается один гигантский прямоугольник, правильно? Теперь позвольте мне задать вам простой вопрос: какова площадь прямоугольника? С одной стороны, это сумма площадей квадратов внутри него, правильно? Так же, как мы создали его. Это 1 в квадрате плюс 1 в квадрате плюс 2 в квадрате плюс 3 в квадрате плюс 5 в квадрате плюс 8 в квадрате. Верно? Это площадь. С другой стороны, поскольку это прямоугольник, площадь равна его высоте, умноженной на ширину. Высота равна 8, а ширина — 5 + 8, чем и является следующее число Фибоначчи 13. Верно? Таким образом, площадь равна 8 × 13. Так как мы правильно рассчитали площадь двумя разными способами, числа должны быть одинаковыми, и вот почему квадраты 1, 1, 2, 3, 5 и 8 складываются в 8 × 13. Если мы продолжим этот процесс, мы создадим прямоугольники размером 13 на 21, 21 на 34 и так далее. Теперь проверьте это. Если вы разделите 13 на 8, вы получите 1,625. И если вы разделите большее число на меньшее число, то эти коэффициенты становятся всё ближе и ближе к числу 1.618, известному многим людям как Золотое сечение, числу, которое очаровывало математиков, учёных и художников на протяжении многих веков. 

 

5. Я показываю всё это вам потому, что много что в математике имеет красивые стороны, которые, боюсь, не получают достаточного внимания в наших школах. Мы тратим много времени на изучение вычислений, но давайте не забывать и о применении, которое включает, возможно, наиболее важное применение — научиться думать. Если я мог бы обобщить это в одном предложении, это звучало бы так: математика — это не только поиск решений для Х, но также и поиск причин таких решений.

Последовательность чисел Фибоначчи: формула, таблица, золотое сечение

Числа Фибоначчи – это последовательность чисел, которая начинается с цифр 0 и 1, а каждое последующее значение является суммой двух предыдущих.

Формула последовательности Фибоначчи

Например:

• F₀ = 0
• F₁ = 1
• F₂ = F₁+F₀ = 1+0  = 1
• F₃ = F₂+F₁ = 1+1  = 2
• F₄ = F₃+F₂ = 2+1  = 3
• F₅ = F₄+F₃ = 3+2  = 5

Золотое сечение

Соотношение двух последовательных чисел Фибоначчи сходится к золотому сечению:

где φ – это золотое сечение = (1 + √5) / 2 ≈ 1,61803399

Чаще всего, это значение округляют до 1,618 (или 1,62). А в округленных процентах пропорция выглядит так: 62% и 38 %.

Таблица последовательности Фибоначчи

n	Fn
0	0
1	1
2	1
3	2
4	3
5	5
6	8
7	13
8	21
9	34
10	55
11	89
12	144
13	233
14	377
15	610
16	987
17	1597
18	2584
19	4181
20	6765

microexcel. ru

C-код (Си-код) функции

double Fibonacci(unsigned int n)
{
    double f_n =n;
    double f_n1=0.0;
    double f_n2=1.0;
 
    if( n > 1 ) {
        for(int k=2; k<=n; k++) {
            f_n  = f_n1 + f_n2;
            f_n2 = f_n1;
            f_n1 = f_n;
        }
    }
    return f_n;
}

Два захватывающих свойства последовательности Фибоначчи | Кейт Макналти | Cantor’s Paradise

Нет лучшего способа изучить математическую индукцию, чем работать с последовательностью Фибоначчи

Последовательность Фибоначчи — очень хорошо известная и изученная последовательность чисел, которая часто используется в школах и в развлекательной математике, потому что ее легко можно использовать. понятен тем, у кого есть ограниченное образование в области технической математики. Последовательность определяется следующим образом: первый член равен нулю, второй член равен единице, а любой другой член представляет собой сумму двух предыдущих членов в последовательности. Формально последовательность записывается следующим образом:

для n > 1. Первые десять членов последовательности: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34.

Есть много свидетельств того, что эти числа были известны более 2000 лет назад как часть санскитской поэтической традиции. В Европе последовательность впервые появилась в книге Фибоначчи Liber Abaci в 1202 году, где он использовал ее для моделирования популяции кроликов. В настоящее время последовательность находит применение во многих областях, включая экономику, оптику и торговлю на финансовых рынках.

Страница из Liber Abaci (1202), показывающая последовательность Фибоначчи на правом поле

Числа Фибоначчи обладают множеством интересных и удивительных свойств, два из которых я проиллюстрирую и докажу здесь. Оба доказательства будут использовать математическую индукцию.

1. Математическая индукция

Если вы не знакомы с математической индукцией, подумайте об этом так. Представьте, что у меня есть бесконечный набор домино, и я собираюсь поставить их всех на ребра, чтобы сформировать цепочку домино, которая будет сбивать друг друга навсегда. Чтобы убедиться, что это произойдет, мне нужно знать следующее:

1. То, что первое домино упало.
2. Что любое опрокидывающееся домино приведет к опрокидыванию следующего домино.

Аналогичным образом мы можем доказать, что что-то верно для всех чисел n , доказав, что:

1. Это верно для n = 1 (так называемое начало индукции )
2. Если это верно для n = k , тогда верно для n = k + 1.(Это называется этапом индукции . Вариантом этого является сильная индукция , который включает доказательство того, что если это верно для всех n ≤ k , то это верно для n = k + 1.)

2. Интересный результат о «тройках Фибоначчи»

Существует захватывающая взаимосвязь между всеми группами из трех последовательных чисел Фибоначчи. Прежде чем мы формализуем теорему и доказательство, приведем пример.

Пример 2.1: Если вы возьмете любые три последовательных числа Фибоначчи, квадрат среднего числа всегда будет на единицу от произведения двух внешних чисел. Глядя на последовательную тройку 8, 13, 21, вы можете увидеть, что 168 ﹣169 = -1. Если вы посмотрите на более позднюю тройку 89, 144, 233, мы увидим, что 20737 ﹣20736 = 1.

Давайте формально докажем этот результат.

Теорема 2.2: Для любого набора из трех последовательных чисел Фибоначчи

Доказательство: Чтобы начать индукцию с n = 1, мы видим, что первые два числа Фибоначчи равны 0 и 1 и что 0 — 1 = — 1 по мере необходимости.Теперь для шага индукции мы предполагаем, что результат верен для n = k , то есть:

Теперь мы рассмотрим случай n = k + 1 и заметим, что:

Теперь мы из нашего предположения знаем, что:

Подставив это в предыдущее уравнение, мы получим:

Наконец, это можно переставить в:

, что является необходимым результатом для n = k +1.

3. «Забегая вперед» в последовательности Фибоначчи

Можно простить вас за мысль, что невозможно вычислить член в последовательности Фибоначчи, не зная двух предыдущих членов, но это не совсем так. Следующий результат может позволить вам вычислить значение термина на основе терминов, которые находятся далеко назад в последовательности.

Теорема 3.1: Для любых натуральных чисел m и n :

Доказательство: Мы используем индукцию для m . Для м = 1 уравнение сводится к тривиальному тождеству, так что индукционный пуск установлен.

Теперь мы предполагаем, что результат верен для м = k , и мы стремимся показать, что это верно для м = k + 1.Давайте рассмотрим правую часть уравнения для случая m = k + 1.

по мере необходимости.

Пример 3.2: Для развлечения давайте вычислим 21-е число Фибоначчи — это должно показать, как можно построить алгоритмы для построения очень больших чисел Фибоначчи. Сначала мы можем сказать, что 20 = 10 + 10, и работать рекурсивно, пока не дойдем до ранних чисел Фибоначчи, для которых мы знаем значение:

Некоторые свойства чисел Фибоначчи, октонионов Фибоначчи и обобщенных октонионов Фибоначчи-Люка | Успехи в разностных уравнениях

Пусть \ (\ mathcal {O} _ {\ mathbb {R}} (\ alpha, \ beta, \ gamma) \) будет обобщенной алгеброй октонионов над \ (\ mathbb {R} \) с основа \ (\ {1, e_ {1}, e_ {2}, \ ldots, e_ {7} \} \). Хорошо известно, что эта алгебра является восьмимерной некоммутативной и неассоциативной алгеброй.

Таблица умножения для базы \ (\ mathcal {O} _ {\ mathbb {R}} (\ alpha, \ beta, \ gamma) \)

$$ \ textstyle \ begin {array} {@ {} l | @ {\ hspace {8pt}} l @ {\ hspace {8pt}} l @ {\ hspace {8pt}} l @ {\ hspace {8pt} }} l @ {\ hspace {8pt}} l @ {\ hspace {8pt}} l @ {\ hspace {8pt}} l @ {\ hspace {8pt}} l @ {}} \ cdot & 1 & e_ { 1} & e_ {2} & e_ {3} & e_ {4} & e_ {5} & e_ {6} & e_ {7} \\ \ hline \\ 1 & 1 & e_ {1} & e_ {2 } & e_ {3} & e_ {4} & e_ {5} & e_ {6} & e_ {7} \\ e_ {1} & e_ {1} & — \ alpha & e_ {3} & — \ alpha e_ {2} & e_ {5} & — \ alpha e_ {4} & -e_ {7} & \ alpha e_ {6} \\ e_ {2} & e_ {2} & -e_ {3} & — \ beta & \ beta e_ {1} & e_ {6} & e_ {7} & — \ beta e_ {4} & — \ beta e_ {5} \\ e_ {3} & e_ {3} & \ alpha e_ { 2} & — \ beta e_ {1} & — \ alpha \ beta & e_ {7} & — \ alpha e_ {6} & \ beta e_ {5} & — \ alpha \ beta e_ {4} \\ e_ { 4} & e_ {4} & -e_ {5} & -e_ {6} & -e_ {7} & — \ gamma & \ gamma e_ {1} & \ gamma e_ {2} & \ gamma e_ {3} \\ e_ {5} & e_ {5} & \ alpha e_ {4} & -e_ {7} & \ alpha e_ {6} & — \ gamma e_ {1} & — \ alpha \ gamma & — \ gamma e_ {3} & \ alpha \ gamma e_ {2} \\ e_ {6} & e_ {6} & e_ {7} & \ beta e_ {4} & — \ beta e_ {5} & — \ gamma e_ {2 } & \ gamma e_ {3} & — \ beta \ gamma & — \ beta \ gamma e_ {1} \\ e_ {7} & e_ {7} & — \ alpha e _ {6} & \ beta e_ {5} & \ alpha \ beta e_ {4} & — \ gamma e_ {3} & — \ alpha \ gamma e_ {2} & \ beta \ gamma e_ {1} & — \ alpha \ beta \ gamma \ end {array} $$

Пусть \ (x \ in \ mathcal {O} _ {\ mathbb {R}} (\ alpha, \ beta, \ gamma) \), \ (x = x_ {0} + x_ {1} e_ {1} + x_ {2} e_ {2} + x_ {3} e_ {3} + x_ {4} e_ {4} + x_ {5} e_ {5} + x_ {6} e_ {6} + x_ {7} e_ {7} \) и его сопряженное \ (\ overline {x} = x_ {0} -x_ {1} e_ {1} -x_ {2} e_ { 2} -x_ {3} e_ {3} -x_ {4} e_ {4} -x_ {5} e_ {5} -x_ {6} e_ {6} -x_ {7} e_ {7} \), норма x равна \ (n (x) = x \ overline {x} = x ^ {2} _ {0} + \ alpha x ^ {2} _ {1} + \ beta x ^ {2} _ {2} + \ alpha \ beta x ^ {2} _ {3} + \ gamma x ^ {2} _ {4} + \ alpha \ gamma x ^ {2} _ {5} + \ beta \ gamma x ^ {2} _ {6} + \ alpha \ beta \ gamma x ^ {2} _ {7} \ in \ mathbb {R. } \)

Если для \ (x \ in \ mathcal {O} _ {\ mathbb {R}} (\ alpha, \ beta, \ gamma) \), мы имеем \ (n (x) = 0 \), если и только если \ (x = 0 \), тогда алгебра октонионов \ (\ mathcal {O} _ {\ mathbb {R}} (\ alpha, \ beta, \ gamma) \) называется алгеброй с делением. В противном случае \ (\ mathcal {O} _ {\ mathbb {R}} (\ alpha, \ beta, \ gamma) \) называется расщепленной алгеброй.

Пусть K поле алгебраических чисел. Хорошо известен следующий критерий, позволяющий определить, является ли алгебра октонионов алгеброй с делением.

Предложение 3.1

([17])

Обобщенная алгебра октонионов \ (\ mathcal {O} _ {K} (\ alpha, \ beta, \ gamma) \) является алгеброй с делением тогда и только тогда, когда кватернионная алгебра \ (\ mathbb {H} _ {K} (\ alpha, \ beta) \) — это алгебра с делением, а уравнение \ (п (х) = — \ гамма \) не имеет решений в алгебре кватернионов \ (\ mathbb {H} _ {K} (\ alpha, \ beta) \). {*} \). Тогда существуют следующие изоморфизмы :

1. (я)

   , если \ (\ alpha, \ beta, \ gamma> 0 \), , тогда алгебра октонионов \ (\ mathcal {O} _ {\ mathbb {R}} (\ alpha, \ beta, \ gamma) \) изоморфна алгебре октонионов \ (\ mathcal {O} _ {\ mathbb {R}} (1,1,1) \);

2. (ii)

   , если \ (\ альфа, \ бета> 0 \), \ (\ гамма <0 \) или \ (\ альфа, \ гамма> 0 \), \ (\ бета <0 \) или \ (\ альфа <0 \), \ (\ beta, \ gamma> 0 \) или \ (\ альфа> 0 \), \ (\ beta, \ gamma <0 \) или \ (\ альфа, \ гамма <0 \), \ (\ бета> 0 \) или \ (\ альфа, \ бета <0 \), \ (\ gamma> 0 \) или \ (\ альфа, \ бета, \ гамма <0 \) , затем алгебра октонионов \ (\ mathcal {O} _ {\ mathbb {R}} (\ alpha, \ beta, \ gamma) \) изоморфна алгебре октонионов \ (\ mathcal {O} _ {\ mathbb {R}} (1,1, -1) \).

Пусть n будет целым числом \ (n \ geq0 \). В [7] Кечилиоглу и Аккус ввели октонионы Фибоначчи:

$$ F_ {n} = f_ {n} + f_ {n + 1} e_ {1} + f_ {n + 2} e_ {2} + f_ {n + 3} e_ {3} + f_ {n +4} e_ {4} + f_ {n + 5} e_ {5} + f_ {n + 6} e_ {6} + f_ {n + 7} e_ {7}, $$

где \ (f_ { n} \) — это n -е число Фибоначчи.

Теперь рассмотрим обобщенную алгебру октонионов \ (\ mathcal {O} _ {\ mathbb {R}} (\ alpha, \ beta, \ gamma) \) с α , β , γ в арифметической прогрессии \ (\ alpha = a + 1 \), \ (\ beta = 2a + 1 \), \ (\ gamma = 3a + 1 \), где \ (a \ in \ mathbb {R} \) .

Далее мы вычисляем норму октониона Фибоначчи в этой алгебре октонионов.

Предложение 3.3

Пусть a будет действительным числом и пусть \ (F_ {n} \) быть Эн-октонион Фибоначчи . {3} + 8a} {5} \ biggr).{3} + 8a} {5} \ biggr). \ end {align} $$

□

Сразу получаем следующее замечание.

Замечание 3.1

Если a — действительное число, \ (a <-1 \), то обобщенная алгебра октонионов \ (\ mathcal {O} _ {\ mathbb {R}} (a + 1, 2a + 1, 3a + 1) \) - расщепляемая алгебра.

Проба

Используя предложение 3.2 (ii) и тот факт, что алгебра октонионов \ (\ mathcal {O} _ {\ mathbb {R}} (1,1, -1) \) является расщепляемой алгеброй, в результате мы видим, что , если \ (a <-1 \), обобщенная алгебра октонионов \ (\ mathcal {O} _ {\ mathbb {R}} (a + 1, 2a + 1, 3a + 1) \) является расщепляемой алгеброй.□

Например, для \ (a = -4 \) мы получаем обобщенную алгебру октонионов \ (\ mathcal {O} _ {\ mathbb {R}} (-3, -7, -11) \). В результате из замечания 3.1 мы видим, что это расщепляемая алгебра (еще один способ доказать, что эта алгебра является расщепляемой алгеброй, это отметить, что уравнение \ (n (x) = 11 \) имеет решения в алгебре кватернионов \ ( \ mathbb {H} _ {K} (-3, -7) \), а затем применить предложение 3. 1

Теперь мы хотим определить, сколько октонионов Фибоначчи обратимо в алгебре октонионов \ (\ mathcal {O} _ {\ mathbb {R}} (-3, -7, -11) \).{n} \), \ (n \ in \ mathbb {N} \). Используя это \ (f_ {2n + 6}, f_ {2n + 7}> 0 \), \ ((\ forall) n \ in \ mathbb {N} \), в результате \ (n (F_ {n} ) <0 \), \ ((\ forall) n \ in \ mathbb {N} \), следовательно, в алгебре расщепленных октонионов \ (\ mathcal {O} _ {\ mathbb {R}} (-3, - 7, -11) \) все октонионы Фибоначчи обратимы.

Для \ (a = -2 \) после нескольких вычислений мы также находим, что в алгебре расщепленных октонионов \ (\ mathcal {O} _ {\ mathbb {R}} (-1, -3, -5 ) \) все октонионы Фибоначчи обратимы.

Из вышесказанного возникает следующий вопрос: сколько обратимых октонионов Фибоначчи содержится в алгебре октонионов \ (\ mathcal {O} _ {\ mathbb {R}} (a + 1, 2a + 1, 3a + 1) \ ), при \ (a <-1? \) получаем следующий результат.

Предложение 3.4

Пусть a — действительное число , \ (a \ leq-2 \) и пусть \ (\ mathcal {O} _ {\ mathbb {R}} (a + 1, 2a + 1, 3a + 1) \) — обобщенная алгебра октонионов . Тогда , в этой алгебре , все октонионы Фибоначчи являются обратимыми элементами .{2} + 43a + 126) -407} {5} <0, \ quad (\ forall) a \ leq-2, \\ & \ frac {4a (a + 2) (3a-1) + 16a} { 5} <0, \ quad (\ forall) а \ leq-2. \ end {align} $$

Поскольку \ (f_ {2n + 6}, f_ {2n + 7}> 0 \), \ ((\ forall) n \ in \ mathbb {N} \), получаем, что \ (n (F_ {n}) <0 \), \ ((\ forall) a \ leq-2 \), \ (n \ in \ mathbb {N} \) (даже если n — нечетное число ). Отсюда следует, что в обобщенной алгебре октонионов \ (\ mathcal {O} _ {\ mathbb {R}} (a + 1, 2a + 1, 3a + 1) \) с \ (a \ leq-2 \) , все октонионы Фибоначчи обратимы.□

Теперь мы задаемся вопросом: что происходит с октонионами Фибоначчи в обобщенной алгебре октонионов \ (\ mathcal {O} _ {\ mathbb {R}} (a + 1, 2a + 1, 3a + 1) \), когда \ (а \ в (-2, -1) \)? Все ли октонионы Фибоначчи в такой алгебре октонионов обратимы или существуют октонионы Фибоначчи делители нуля?

Например, для \ (a = — \ frac {3} {2} \), используя предложение 3. {*} \).Отсюда следует, что в обобщенной алгебре октонионов \ (\ mathcal {O} _ {\ mathbb {R}} (- \ frac {1} {2}, -2, — \ frac {7} {2}) \) все Октонионы Фибоначчи обратимы.

В будущем мы изучим, верен ли этот факт в каждой обобщенной алгебре октонионов \ (\ mathcal {O} _ {\ mathbb {R}} (a + 1, 2a + 1, 3a + 1) \), с \ (a \ in (-2, -1) \).

Свойства делимости чисел Фибоначчи, Люка и связанных последовательностей

Мы используем матричные методы, чтобы дать простые доказательства известных свойств делимости чисел Фибоначчи, Люка, обобщенных чисел Люка и гауссовских чисел Фибоначчи.В наших выводах используется тот факт, что произведения диагональных матриц диагональны вместе с тождеством Безу.

1. Введение

Ряд Фибоначчи — один из самых интересных рядов в математике. Это двухчленное повторение, где и. Первые несколько терминов. Последовательность Лукаса — это связанная последовательность с той же повторяемостью, но с разными начальными значениями и. Последовательности Фибоначчи и Лукаса являются частными случаями обобщенных последовательностей Люка, изученных Лукасом в [1].Мы изучим эти последовательности во втором разделе, а гауссовские последовательности Фибоначчи Жордана [2] будут изучены в третьем разделе. В этой статье мы дадим несколько простых матричных теоретических доказательств некоторых хорошо известных свойств делимости этих последовательностей. Все эти доказательства используют арифметику матриц над кольцами и две элементарные идеи: тождество Безу и тот факт, что любая степень диагональной матрицы является диагональной матрицей. Это дает элементарный и единый вывод свойств делимости всех этих последовательностей.Мы начнем с обзора некоторых элементарных терминов колец и свойств матриц над кольцами. Мы только предполагаем, что читатель знаком с определением области главных идеалов.

Определение 1. Позвольте быть коммутативным кольцом с единицей и пусть. Тогда называется единицей, если существует такая, что.

Мы будем использовать матрицы два на два над некоторыми кольцами, чтобы дать несколько простых доказательств некоторых свойств делимости этих последовательностей. Нам понадобится следующий результат.

Предложение 2. Позвольте быть коммутативным кольцом с единицей и пусть будет два на два матрица с элементами в. Если определитель — единица, то матрица обратимая.

На самом деле, верно и обратное к этому результату, и как исходное доказательство, так и обратное остаются верными для квадратных матриц произвольного размера.

Доказательство. Если обратимо, то это показывает простое умножение матриц.

Теперь мы введем понятие наибольшего общего делителя и отметим некоторые его свойства.

Определение 3. Позвольте быть главной идеальной области и пусть; тогда элемент называется наибольшим общим делителем и (обозначается), если является делителем обоих и, если любые другие общие делители обоих и также делятся.

Предложение 4. Позвольте быть главной идеальной области и пусть. Тогда наибольший общий делитель и существует и единственен с точностью до умножения на единицу. Кроме того, существует такой, что.

Доказательство. Позвольте быть идеалом, порожденным и.Потом . Поскольку это основная идеальная область, она создается одним элементом. Этот элемент уникален до умножения на единицу. Ясно, что генератор удовлетворяет обоим свойствам НОД и любого НОД и будет генератором.

Этот результат иногда называют личностью Безу. Мы можем использовать тождество Безу, чтобы доказать следующий результат, который будет полезен в дальнейшем.

Предложение 5. Позвольте быть главной идеальной области и пусть. Не позволяйте быть единым целым. Тогда обратимо в (или, что то же самое, обратимо) тогда и только тогда, когда.

Доказательство. Если, то существует такое, что означает, что обратимо в. И наоборот, если является обратимым модулем, пусть будет обратным к in. Тогда делится на и, следовательно, существует такое, что и.

Когда, обычно используется для обозначения арифметических операций в. Мы также будем использовать мод для арифметики, когда является общей областью основных идеалов. Это все результаты по линейной алгебре и теории колец, которые нам понадобятся. Дальнейшую теорию матриц над областями главных идеалов, а также многие другие интересные темы теории матриц можно найти в [3].

2. Свойства делимости чисел Фибоначчи и Люка

В этом разделе мы даем матричные теоретические доказательства хорошо известных свойств делимости чисел Фибоначчи и Люка. Наши доказательства в этом разделе используют хорошо известный факт, который легко доказывается по индукции. Эта идентичность составляет основу одного из стандартных доказательств личности Кассини. Мы следуем обычному соглашению, давая обозначение матрице. Матрица фигурирует во многих доказательствах; см. [4] для получения подробной истории матрицы.Отметим, что это обратимая матрица. В качестве демонстрации наших методов мы приводим однострочное доказательство следующего хорошо известного свойства делимости последовательности Фибоначчи.

Предложение 6. Пусть; затем делит.

Доказательство. — это модуль диагональной матрицы, что означает, что он также является модулем диагональной матрицы и, следовательно, делит.

Теорема 7. Для всех,.

Доказательство. Непосредственно из предложения 6 следует, что делит.Теперь покажем, что разделяет. Если, мы сделали так, предположим, что. Позвольте и быть целыми числами такие, что. Затем (одно из или будет отрицательным, что не является проблемой, поскольку обратимо, а матрица, обратная диагонали, диагональна). Так как и являются диагональными моделями, значит, так и есть. Следовательно, делит, что означает это.

Теперь мы получим аналогичные результаты для последовательности Лукаса. Отметим, что если мы допустим матрицу, то. Заметим, что а значит и коммутируем. Также обратите внимание на это.

Предложение 8. Пусть с нечетным; затем делит.

Доказательство. Мы начинаем с определения идентичности Кассини для последовательности Лукаса. Взяв определители, мы получаем. Отсюда следует, что ни один элемент последовательности Лукаса не делится на пять, так как это вынудило бы все элементы последовательности Лукаса делиться на пять. Так как нечетно, пусть. — это модуль диагональной матрицы, что означает, что он также является модулем диагональной матрицы. Поскольку не делится на пять, делится.

Практически идентичный аргумент дает нам следующий результат.

Предложение 9. Пусть с четным; затем делит.

У нас также есть простое доказательство следующего.

Теорема 10. Пусть и пусть. Если и оба нечетные, тогда.

Доказательство. Из предложения 8 следует, что делит. Теперь покажем, что разделяет. Если, мы сделали так, предположим, что. Поскольку ни один элемент последовательности Лукаса не делится на пять и, мод должен быть обратимым для любого. Позвольте и быть целыми числами такие, что. Отметим, что одно из to должно быть нечетным, а другое — четным.и обе являются диагональными матрицами, и это равно степени раз. Следовательно, делит и.

3. Обобщенные последовательности Лукаса

В [1] Эдуард Лукас исследовал некоторые полезные последовательности, которые стали известны как обобщенные последовательности Лукаса. Мы покажем, что матричные методы из предыдущего раздела могут быть использованы для получения некоторых простых доказательств свойств делимости обобщенных последовательностей Люка. Эти свойства делимости можно найти в оригинальной статье Лукаса [1] (см. Также [5] или главу 1 в [6]).

Определение 11. Позвольте и быть целыми числами; то обобщенная последовательность Люка первого рода является решением рекуррентного соотношения с начальными условиями и. Обобщенные последовательности Люка второго рода удовлетворяют точно такому же рекуррентному соотношению, но имеют начальные условия и. Дискриминант любого вида обобщенных последовательностей Люка — это величина.

Мы используем нижний регистр и вместо более стандартного прописного, чтобы избежать путаницы с матрицей.Многие важные целочисленные последовательности являются частным случаем обобщенной последовательности Люка. Считайте, что это числа Фибоначчи и последовательность Люка. Считайте, что это числа Пелла; Считайте, что это числа Мерсенна, числа Якобсталя и числа Якобсталя-Лукаса. Во всех этих случаях и взаимно просты и не равны нулю. Мы отмечаем, что единственными вариантами, которые являются относительно простыми, являются и. Можно проверить, что,, и; свойства делимости этих последовательностей очевидны, и поэтому мы вправе ограничиться случаями, когда не равно нулю.

Многочлены Фибоначчи удовлетворяют рекуррентному соотношению с исходными многочленами и. Многочлены Люка удовлетворяют одной и той же рекуррентности, но имеют разные начальные многочлены и. Если мы ослабим условие, которое является целым числом, и допустим его до полинома, мы заметим, что полиномы Фибоначчи и полиномы Люка равны. Наши методы в этом разделе также применимы к этим многочленам, и поэтому выводы предложения 12 и теоремы 13 применимы также к многочленам Фибоначчи, а выводы предложения 15 и теоремы 16 также применимы к многочленам Люка.

Мы покажем, что, если и являются относительно простыми, удовлетворяет тем же свойствам делимости, что и числа Фибоначчи. Мы будем использовать матричное тождество, которое легко доказать по индукции. Это тождество впервые появляется в [7]. В оставшейся части этого раздела мы будем использовать обозначение.

Заменяя на в предложении 6, мы получаем следующее.

Предложение 12. Пусть; затем делит.

Доказательство. — это модуль диагональной матрицы, что означает, что он также является модулем диагональной матрицы и, следовательно, делит.

Мы также можем доказать обобщение теоремы 7. Однако будет обратимый мод, если и являются относительно простыми. Мы показываем это, используя тот факт, что мод будет обратимым тогда и только тогда, когда и взаимно просты. Из разностного уравнения сразу следует, что если взаимно просто, то взаимно просто. Следовательно, по математической индукции, является относительно простым для всех, что означает, что это обратимый мод для всех, когда и являются относительно простыми.Теперь, заменив в теореме 7 на на, мы получаем доказательство следующего результата.

Теорема 13. Позвольте и быть относительно простых целых чисел. Тогда для всех.

Доказательство. Непосредственно из предложения 12 следует деление. Теперь покажем, что разделяет. Если, мы сделали так, предположим, что. Позвольте и быть целыми числами такие, что. Тогда диагональ. Так как и являются диагональными моделями, значит, так и есть. Следовательно, делит, что означает это.

Отметим, что наши доказательства предложения 12 и теоремы 13 также работают для полиномов Фибоначчи.

У нас также есть матричное тождество для обобщенных последовательностей Люка второго рода. Позволять ; тогда . Это тождество также легко следует из индукции. Взяв детерминанты обеих сторон и разделив на, мы получаем идентичность Кассини для этих последовательностей. Отсюда получаем полезную лемму.

Лемма 14. Позвольте и быть относительно простых целых чисел с. Если нечетное, то должно быть взаимно простым для всех. Если четно, то делится на четыре; все s четны и относительно просты для всех.

Доказательство. Предположим, что это четно. Докажем теорему индукцией по. Базовый случай следует из того, что относительно просто. Индуктивный шаг следует из деления тождества Кассини на четыре, чтобы получить. Случай нечетности доказывается аналогично.

Обратите внимание, что является относительно простым для всех, что означает, что это обратимый мод для всех (если разделяет простой множитель с одним элементом последовательности, то по идентичности Кассини каждый элемент этой последовательности делится на этот множитель, включая).Заметим, что а значит и коммутируем. Также обратите внимание на это. Теперь мы можем доказать следующее, заменив на и на в доказательстве предложения 8.

Предложение 15. Предположим, что и — взаимно простые целые числа. Пусть причудливые; затем делит.

Доказательство. Если тогда мы закончили, предположим, что это. Так как нечетно, пусть. Обратите внимание, что это диагональная матрица, что означает, что это также диагональная матрица mod. Если нечетно, то относительно просто, что означает деление.Если четно, то это модуль диагональной матрицы, что означает, что это также модуль диагональной матрицы. Поскольку взаимно просто с, делит.

Заменой на и на в доказательстве теоремы 10 мы получаем простое доказательство следующего.

Теорема 16. Предположим, что и являются взаимно простыми целыми числами и. Позволять . Если и оба нечетные, тогда.

Доказательство. Если, то мы должны иметь и быть относительно простыми целыми числами. В этом случае для всех и наш результат однозначно сохраняется.Теперь предположим, что это не ноль, что означает, что матрица обратима. Из предложения 15 следует, что делит. Теперь покажем, что разделяет. Если мы закончили, предположим. Позвольте и быть целыми числами такие, что. Отметим, что одно из них должно быть нечетным, а другое — четным. Предположим, что это нечетно; тогда и являются диагональными матрицами по модулю и так, что равняется степени раз. Следовательно, делит и. Теперь предположим, что это четно; то обе и являются диагональными матрицами мод. Поскольку и взаимно просты для всех, это диагональный мод.Следовательно, делит и.

Мы также можем использовать матричные методы для доказательства некоторых отношений между и для фиксированных значений и.

Лемма 17. Позвольте и быть целыми числами и пусть. Потом .

Доказательство. Легко проверить, что результат верен для и. Поскольку след is и определитель is, имеет характеристический многочлен. По теореме Кэли-Гамильтона для всех; наш результат следует.

Взяв детерминанты обеих частей, мы получаем следующее тождество.

Следствие 18. Позвольте и быть целыми числами и пусть; тогда .

4. Гауссовские числа Фибоначчи

Все результаты о делимости в этом разделе являются новыми доказательствами результатов из [2], где впервые были определены гауссовские числа Фибоначчи. Гауссовские числа Фибоначчи представляют собой последовательность гауссовских целых чисел. Кольцо гауссовских целых чисел — это набор комплексных чисел, действительная и мнимая части которых являются целыми числами. Считают, что . Гауссовские целые числа образуют уникальную область факторизации.

Мы следуем [2] при определении гауссовских чисел Фибоначчи следующим образом. Пусть, и. По индукции следует, что. Теперь пусть. Отметим, что и. Взяв определители обеих частей последнего уравнения, мы получаем формулу Кассини для гауссовских чисел Фибоначчи. Отметим, что это гауссовское простое число, которое делит правую часть формулы Кассини, и, следовательно, оно не является множителем ни одного из гауссовских чисел Фибоначчи (если бы это было так, это было бы множителем всех из них, включая, что не дело). Поскольку, обратимо для всех. Из этих двух уравнений также следует, что для всех. Теперь мы можем использовать эти результаты, чтобы дать новые доказательства свойств делимости гауссовских чисел Фибоначчи.

Предложение 19. Пусть. Если делит, то делит.

Доказательство. — это диагональная матрица мод. Следовательно, если делит, то также является диагональной матрицей по модулю и, следовательно, делит.

Теорема 20. Позвольте и позвольте быть натуральным числом, определенным таким образом, что; тогда .

Доказательство. Непосредственно из предложения 19 следует деление. Теперь покажем, что разделяет. Если мы закончили, предположим, что. Позвольте и быть целыми числами такие, что. Потом . Так как и являются диагональными моделями, значит, так и есть. Следовательно, делит. Поскольку не делит гауссовское число Фибоначчи, делит, что означает это.

Отметим, что мы можем ввести следующую последовательность с параметром, который содержит в качестве частных случаев последовательности Фибоначчи, Люка и гауссовские последовательности Фибоначчи:. Когда мы получаем обычную последовательность Фибоначчи, когда мы получаем последовательность Люка и когда мы получаем гауссовскую последовательность Фибоначчи. Отметим это. Взяв определитель с обеих сторон, мы получаем, что дает нам идентичность Кассини для всех трех последовательностей сразу. Если мы примем либо или, то правая часть предыдущего уравнения станет нулевой и, следовательно, обе являются геометрическими последовательностями. Отметим это. Значения, которые приводят к исчезновению члена или члена в правой части этого уравнения, представляют собой именно те варианты выбора, которые дают нам последовательность Фибоначчи, последовательность Люка, гауссову последовательность Фибоначчи или сопряженную гауссовскую последовательность Фибоначчи. .Это в некоторой степени объясняет, почему эти последовательности среди тех, которые мы получаем для других вариантов, обладают такими хорошими свойствами делимости.

Конфликт интересов

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов в отношении публикации этой статьи.

Благодарность

Исследование было поддержано Советом по естественным наукам и инженерным исследованиям Канады, грант Discovery №. 400550.

Числа природы: последовательность Фибоначчи

Числа природы: последовательность Фибоначчи

Последовательность Фибоначчи всегда привлекала внимание людей, поскольку, помимо особых математических свойств, другие числа, столь распространенные, как числа Фибоначчи, не существуют больше нигде в математике: они появляются в геометрии, алгебре, теории чисел и во многих других областях. области математики и даже в природе! Давайте вместе узнаем, что это…

Жизнь Фибоначчи
Леонардо Пизано по имени Фибоначчи (Фибоначчи означает filius Bonacii ) родился в Пизе около 1170 года.Его отец, Гульельмо деи Боначчи, богатый пизанский купец и представитель купцов Пизанской республики в районе Буджи в Кабилии (на территории современного северо-восточного Алжира), после 1192 года взял с собой сына, потому что хотел, чтобы Леонардо был стать купцом.

Источник: Википедия

Таким образом, он заставил Леонардо учиться под руководством учителя-мусульманина, который помогал ему изучать методы вычисления, особенно те, которые касались индо-арабских чисел, которые еще не были внедрены в Европе.Обучение Фибоначчи началось в Беджая и продолжилось также в Египте, Сирии и Греции, местах, которые он посетил со своим отцом вдоль торговых маршрутов, прежде чем окончательно вернуться в Пизу примерно с 1200 года. В течение следующих 25 лет Фибоначчи посвятил себя написанию математических рукописей: из них Liber Abaci (1202), благодаря которым Европа узнала индо-арабские числа, сегодня нам известны Practica Geometriae (1220), Flos (1225) и Liber Quadratorum (1225). .
Репутация Леонардо как математика стала настолько велика, что император Федерико II попросил аудиенции в Пизе в 1225 году. После 1228 года о жизни Леонардо мало что известно, за исключением того, что он был удостоен титула « Discretus et sapiens magister» Леонардо Биголло »В знак признания большого прогресса, которого он добился в математике. Фибоначчи умер где-то после 1240 года, предположительно в Пизе.

Кролики Фибоначчи и знаменитая последовательность
Liber Abaci , помимо ссылки на индо-арабские числа, которые впоследствии заменили римские цифры, также включали большой набор задач, адресованных торговцам, относительно цен на продукты, расчет прибыли от бизнеса, конвертация валюты в различные монеты, используемые в странах Средиземноморья, а также другие проблемы китайского происхождения.Наряду с этими коммерческими проблемами были и другие, гораздо более известные, которые также оказали большое влияние на более поздних авторов. Среди них наиболее известным, источником вдохновения для многих математиков более поздних веков является следующий: «Сколько пар кроликов родится за год, начиная с одной пары, если каждый месяц каждая пара рождает нового? пара, которая становится репродуктивной со второго месяца? ». Решением этой проблемы является знаменитая «последовательность Фибоначчи»: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,34,55,89… последовательность чисел, в которой каждый член является суммой предыдущие два.

Источник: Oilproject

Важной характеристикой последовательности является тот факт, что отношение между любым числом и предыдущим в серии стремится к четко определенному значению: 1,618… Это золотое сечение или золотое сечение φ (Phi), которое часто встречается в природе (чтобы узнать больше: Совершенство улитки).
Когда Фибоначчи проиллюстрировал эту последовательность как решение проблемы «развлекательной математики», он не придал ей особого значения.Только в 1877 году математик Эдуард Лукас опубликовал ряд важных исследований этой последовательности, которые, как он утверждал, обнаружил в Liber Abaci и которые в честь автора он назвал «последовательностью Фибоначчи». Впоследствии количество исследований увеличилось, и были обнаружены многочисленные и неожиданные свойства этой последовательности, так что с 1963 года издается журнал, посвященный исключительно ей, «Ежеквартальный отчет Фибоначчи».

Последовательность Фибоначчи в природе
Наблюдая за геометрией растений, цветов или фруктов, легко распознать наличие повторяющихся структур и форм. Последовательность Фибоначчи, например, играет жизненно важную роль в филлотаксисе, который изучает расположение листьев, ветвей, цветов или семян у растений с основной целью выявить существование регулярных паттернов. Различное расположение природных элементов подчиняется удивительным математическим закономерностям: Д’арси Томпсон заметил, что царство растений имеет любопытное предпочтение определенным числам и определенной спиральной геометрии, и что эти числа и геометрии тесно связаны.
Мы можем легко найти номера последовательности Фибоначчи в спиралях, образованных отдельными цветками в составных соцветиях маргариток, подсолнечника, цветной капусты и брокколи.

У подсолнечника отдельные цветки расположены по изогнутым линиям, которые вращаются по и против часовой стрелки. Источники: Последовательность Фибоначчи в филлотаксисе — Лаура Реста (диссертация по биоматематике)

Кеплер заметил, что на многих типах деревьев листья выровнены по образцу, который включает два числа Фибоначчи. Начиная с любого листа, после одного, двух, трех или пяти витков спирали всегда есть лист, совмещенный с первым, и, в зависимости от вида, это будет второй, третий, пятый, восьмой или тринадцатый. лист.

Расположение листьев на стебле. Источники: Последовательность Фибоначчи в филлотаксисе — Лаура Реста (диссертация по биоматематике)

Другой простой пример, в котором можно найти последовательность Фибоначчи в природе, дается количеством лепестков цветов. У большинства их три (например, лилии и ирисы), пять (парнасия, шиповник) или восемь (космея), 13 (некоторые маргаритки), 21 (цикорий), 34, 55 или 89 (сложноцветные). Эти числа являются частью известной последовательности Фибоначчи, описанной в предыдущем абзаце.

Ирис, 3 лепестка; парнасия, 5 лепестков; cosmea, 8 лепестков

От Benedetta Palazzo

Источники:
Tesi di Laurea in biomatematica: La successione di Fibonacci nella fillotassi — Laura Resta
Le geometrie delle piante e la successione di Fibonacci — Scientificast

Интересные свойства последовательности Фибоначчи

В Ряд или последовательность Фибоначчи — это набор чисел, начинающийся с единицы или ноль, за которым следует единица, и действует в соответствии с правилом, согласно которому каждое число (называемое числом Фибоначчи) равно сумме двух предыдущих чисел. Если последовательность Фибоначчи обозначена F ( n ), где n — это первый член в последовательности, следующее уравнение получается для n = 0, где первые два члена условно определены как 0 и 1:

F (0) = 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 …

В в некоторых текстах принято использовать n = 1. В этом случае первые два термины по умолчанию определены как 1 и 1, следовательно:

F (1) = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…

Последовательность Фибоначчи назван в честь Леонардо Пизано (также известного как Фибоначчи), итальянского математика который жил с 1170 по 1250 год. Он использовал арифметический ряд в 1202 году, чтобы проиллюстрировать задача основана на паре кроликов-кроликов, хотя последовательность описанный ранее в индийской математике.

Это обманчиво простой серии, но ее разветвления и применения почти безграничны. Она имеет очаровывали и озадачивали математиков более 700 лет, и почти все кто работал с ним, добавил новый фрагмент к головоломке Фибоначчи, новый лакомый кусочек информации о сериале и о том, как он работает. Математика Фибоначчи это постоянно расширяющаяся ветвь теории чисел, в которой все больше и больше людей вовлекаются в сложные тонкости наследия Фибоначчи.

Вот два интересных свойства Фибоначчи. последовательность:

г. Тайна трех последовательных чисел в последовательности Фибоначчи

В последовательности Фибоначчи, если вы возьмете любые три последовательных числа, сложите их и делите сумму на 2, всегда получается третье число.

Возьмем Фибоначчи последовательность 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377….

1 + 2 + 3 = 6 и 6/2 = 3

5 + 8 + 13 = 26 и 26/2 = 13

8 + 13 + 21 = 42 и 42/2 = 21

21 + 34 + 55 = 110 и 110/2 = 55

89 + 144 + 233 = 466 и 466/2 = 233

377 + 610 + 987 = 1974 и 1974/2 = 987

… и продолжается до бесконечности.

г. Тайна четырех последовательных чисел в последовательности Фибоначчи

Взять любые четыре последовательных числа в последовательности, кроме «0». Умножьте внешнее числа, затем умножьте внутренние числа.Вычтите их. Разница составляет 1.

Пример 1

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…

8 (2) — 5 (3) = 16-15 = 1

Пример 2

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…

21 (5) — 8 (13) = 105 — 104 = 1

Пример 3

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89…

34 (8) — 21 (13) = 272 — 273 = -1

10.4: Числа Фибоначчи и золотое сечение

Известной и важной последовательностью является последовательность Фибоначчи, названная в честь итальянского математика Леонардо Пизано по прозвищу Фибоначчи, жившего с 1170 по 1230 год.Эта последовательность:

\ [\ {1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, \ ldots \ ldots \ ldots \} \]

Эта последовательность определена рекурсивно. Это означает, что каждый термин определяется предыдущими терминами.

и так далее.

Последовательность Фибоначчи определяется для всех, когда и.

Другими словами, чтобы получить следующий член в последовательности, сложите два предыдущих члена.

\ [\ {1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,55 + 34 = 89,89 + 55 = 144, \ cdots \} \]

Обозначения, которые мы будем использовать для представления последовательности Фибоначчи, следующие:

\ [f_ {1} = 1, f_ {2} = 1, f_ {3} = 2, f_ {4} = 3, f_ {5} = 5, f_ {6} = 8, f_ {7} = 13, f_ {8} = 21, f_ {9} = 34, f_ {10} = 55, f_ {11} = 89, f_ {12} = 144, \ ldots \]

Пример \ (\ PageIndex {1} \): Рекурсивный поиск чисел Фибоначчи

Найдите 13, 14 и 15 числа Фибоначчи, используя приведенное выше рекурсивное определение последовательности Фибоначчи.

Во-первых, обратите внимание, что уже есть 12 чисел Фибоначчи, перечисленных выше, поэтому, чтобы найти следующие три числа Фибоначчи, мы просто складываем два предыдущих члена, чтобы получить следующий член, как указано в определении. {n} \ right]} {\ sqrt {5}} \]

Формула Бине является примером последовательности , явно определенной .Это означает, что условия последовательности не зависят от предыдущих условий.

Иногда вместо приведенной выше формулы иногда используется несколько более удобная и упрощенная версия формулы Бине.

Упрощенная формула Бине : n-е число Фибоначчи определяется по следующей формуле: Примечание. Символ означает «округление до ближайшего целого числа».”

Пример \ (\ PageIndex {2} \): поиск явно

Найдите ценность использования упрощенной формулы Бине.

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): Работа калькулятора для

Пример \ (\ PageIndex {3} \): Поиск Явно

Найдите значение , используя упрощенную формулу Бине.

Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): Работа калькулятора для

Пример \ (\ PageIndex {4} \): поиск Явно

Найдите значение , используя упрощенную формулу Бине.

Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): Работа калькулятора для

Мы можем найти числа Фибоначчи вокруг нас в природе. Количество ветвей на некоторых деревьях или количество лепестков некоторых ромашек часто являются числами Фибоначчи

.

Рисунок \ (\ PageIndex {4} \): числа Фибоначчи и ромашки

а. Ромашка с 13 лепестками б. Ромашка с 21 лепестком

а. б.

(Маргаритки, н.о.)

числа Фибоначчи также появляются в спиральных структурах роста, таких как количество спиралей на кактусе или на грядках с семенами подсолнечника.

Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): числа Фибоначчи и спиральный рост

а. Кактус с 13 спиралями по часовой стрелке b. Подсолнечник с 34 спиралями по часовой стрелке и 55 спиралями против часовой стрелки

а. б.

(Кактус, н.о.) (Подсолнечник, н.о.)

Другой интересный факт возникает при рассмотрении отношений последовательных чисел Фибоначчи.

Похоже, что эти коэффициенты приближаются к цифре. Число, к которому приближаются эти соотношения, — это особое число, называемое золотым соотношением, которое обозначается (греческой буквой фи).Вы видели это число в формуле Бине.

Золотое сечение: \ [\ phi = \ frac {1+ \ sqrt {5}} {2} \] Золотое сечение имеет десятичное приближение \ (\ phi = 1,6180339887 \).

Золотое сечение — это особое число по разным причинам. Его также называют божественной пропорцией, и он проявляется в искусстве и архитектуре.Некоторые утверждают, что это самое приятное для глаз соотношение. Чтобы найти это соотношение, греки разрезали отрезок на две части и позволили меньшему отрезку равняться одной единице. Самый приятный крой — это когда отношение полной длины к длинной части такое же, как отношение длинной части к короткой 1.

1

перемножим, чтобы получить

переставить, чтобы получить

решите это квадратное уравнение, используя формулу корней квадратного уравнения.

Золотое сечение — это решение квадратного уравнения, означающее, что оно обладает свойством. Это означает, что если вы хотите возвести в квадрат золотое сечение, просто добавьте к нему единицу. Чтобы проверить это, просто подключите.

Сработало!

Еще одна интересная связь между золотым сечением и последовательностью Фибоначчи возникает при использовании степеней.

И так далее.

Обратите внимание, что коэффициенты и числа, добавленные к члену, являются числами Фибоначчи.{n} = f_ {n} \ phi + f_ {n-1} \)

, где \ (f_ {n} \) — n-е число Фибоначчи, а \ (\ phi \) — золотое сечение .

Пример \ (\ PageIndex {5} \): Степени золотого сечения

Найдите следующее, используя правило золотой силы: a. и б.

Расчет

— какими интересными свойствами последовательности Фибоначчи я могу поделиться, вводя последовательности?

Если бы я рассказал о последовательности Фибоначчи, знакомя студентов с математическим анализом, я бы, вероятно, избегал некоторых из наиболее неясных свойств.Я бы сосредоточился на том, что должны знать первые студенты, изучающие математику: например, как доказать, что последовательность сходится, и если да, то как найти, к чему она сходится.

(Отметьте также места, не обязательно указанные ниже, в которых нужно напоминать учащимся об основных свойствах последовательностей и пределов, и когда вещи можно «разделить», только когда сходимость уже продемонстрирована.)

В этом случае можно показать, что отношение $ \ frac {f_ {n + 1}} {f_n} $ монотонно возрастает и ограничено сверху $ 2 $.

Этого достаточно, чтобы сделать вывод, что отношение сходится к некоторому пределу, поскольку $ n $ стремится к бесконечности.

Назовите этот лимит $ \ phi $. Затем рассмотрите два способа записать $ \ frac {f_ {n + 2}} {f_n} $ как $ n \ rightarrow \ infty $. Первый способ:

$$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ frac {f_ {n + 2}} {f_n} = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ frac {f_ {n + 1} + f_ {n}} {f_n} = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ frac {f_ {n + 1}} {f_n} + \ frac {f_ {n}} {f_n} = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ frac {f_ {n + 1}} {f_n} + 1 = \ phi + 1.2 = \ phi + 1 $, откуда мы можем решить для $ \ phi $, используя квадратное уравнение. Это даст две возможности: одну положительную и одну отрицательную. Заметив, что $ \ phi> 0 $, мы находим предел, к которому сходится наше отношение.

---

С другой стороны , если вы ищете несколько нестандартную проблему:

Назовите двоичную строку «бессистемной», если она никогда не содержит трех последовательных $ 0 $ s или $ 1 $ s.

Сколько существует двоичных строк без троек длиной $ n $?

Некоторое время назад я решил эту проблему и нашел ответ: $ 2f_ {n + 1} $.

Например,

Длина $ 1 $: $ \ {0, 1 \} $. Итого: $ 2 $, т.е. $ 2f_ {2} = 2 \ cdot1 $.

Длина $ 2 $: $ \ {00, 01, 10, 11 \}. $ Итого: $ 4 $, то есть $ 2f_ {3} = 2 \ cdot2 $.

Длина $ 3 $: $ \ {001, 010, 011, 100, 101, 110 \}. $ Итого: $ 6 $, то есть $ 2f_ {4} = 2 \ cdot3 $.

Длина $ 4 $: $ \ {0010, 0011, 0100, 0101, 0110, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101 \}. Итого: $ 10 $, то есть $ 2f_ {5} = 2 \ cdot5 $.

(Если более подробная информация о доказательстве будет полезна, я буду рад их предоставить, но я думаю, что это хорошая проблема, которую нужно решить.Однако для педагогически подходящих материалов я думаю, что приведенный выше пример является гораздо лучшим выбором.)

Edit (4 апреля 2016 г.): Непреодолимая математическая заметка. «Несколько нестандартная задача» здесь, по существу, требует подсчета

базовых $ 2 $ строк длины $ n $ без $ 3 $ последовательных вхождений одной и той же цифры.

Естественным обобщением было бы попросить счет

базовых $ a $ строк длины $ b $ без $ c $ последовательных вхождений одной и той же цифры.

Я задал этот самый вопрос еще в апреля 2014 г. на MSE ( 775863 ), и теперь у него есть хороший ответ от Маркус Шойер , который использует генерирующие функции и «кластерный метод Гоулдена-Джексона» ( arXiv ).

Edit (27 марта 2017 г.): Недавно я исследовал с помощью следующего класса:

$$ 1 + \ frac {1} {1}, 1 + \ frac {1} {1 + \ frac {1} {1}}, 1 + \ frac {1} {1 + \ frac {1} {1 + \ frac {1} {1}}}, \ ldots $$

, где каждый последующий срок равен 1 доллару плюс 1 доллар больше предыдущего.Эти дают

$$ \ frac {2} {1}, \ frac {3} {2}, \ frac {5} {3}, \ ldots $$

и, в более общем плане, можно показать, что вы получаете отношения последовательных чисел Фибоначчи. Таким образом, следующим будет $ 8/5 $, затем $ 13/8 $ и т. Д. Когда вы действительно делаете это вручную, например, наблюдая, что $ 1 + 1 / (8/5) $ равно $ 1 + 5/8 = ( 8 + 5) / 8 = 13/8 $, вы не только поймете , почему появляются числа Фибоначчи, но, взяв «предел» последовательности, вы получите, что $ x = 1 + 1 / x $ , который позволяет вам найти $ x $ и выбрать положительный корень этого замаскированного квадратичного, чтобы точно определить, к чему сходится отношение последовательных членов Фибоначчи.