Где можно решить любую задачу по математике, а так же вычисление площади фигуры ограниченной линиями Онлайн?

Решить задачу вычисление площади фигуры ограниченной линиями вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

www.pocketteacher.ru

Как вычислить площадь фигуры с помощью определенного интеграла — Мегаобучалка

Переходим к рассмотрению приложений интегрального исчисления. На этом уроке мы разберем типовую и наиболее распространенную задачу вычисления площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла. Наконец-то все ищущие смысл в высшей математике – да найдут его. Мало ли. Придется вот в жизни приближать дачный участок элементарными функциями и находить его площадь с помощью определенного интеграла.

Для успешного освоения материала, необходимо:

1) Разбираться в неопределенном интеграле хотя бы на среднем уровне. Таким образом, чайникам для начала следует ознакомиться с уроком Неопределенный интеграл. Примеры решений.

2) Уметь применять формулу Ньютона-Лейбница и вычислять определенный интеграл. Наладить теплые дружеские отношения с определенными интегралами можно на странице Определенный интеграл. Примеры решений. Задание «вычислить площадь с помощью определенного интеграла» всегда предполагает построение чертежа, поэтому актуальным вопросом будут также ваши знания и навыки построения чертежей. Как минимум, надо уметь строить прямую, параболу и гиперболу.

Начнем с криволинейной трапеции. Криволинейной трапеция — это плоская фигура, ограниченная графиком некоторой функции y = f(x), осью OX и линиями x = a; x = b.

.

У любого определенного интеграла (который существует) есть очень хороший геометрический смысл. На уроке Определенный интеграл. Примеры решениймы говорили, что определенный интеграл – это число. А сейчас пришла пора констатировать еще один полезный факт. С точки зрения геометрии определенный интеграл – это ПЛОЩАДЬ. То есть, определенному интегралу (если он существует) геометрически соответствует площадь некоторой фигуры. Рассмотрим определенный интеграл

.

Подынтегральная функция

задает на плоскости кривую (её при желании можно начертить), а сам определенный интеграл численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.

Пример 1

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

Это типовая формулировка задания.

При построении чертежа я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом – параболы, гиперболы, графики других функций. С техникой поточечного построения можно ознакомиться в справочном материале Графики и свойства элементарных функций. Там же можно найти очень полезный применительно к нашему уроку материал – как быстро построить параболу.

В данной задаче решение может выглядеть так.

Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение y = 0 задает ось OX):

Штриховать криволинейную трапецию не будем, здесь очевидно, о какой площади идет речь. Решение продолжается так:

На отрезке [-2; 1] график функции y = x² + 2 расположен над осьюOX, поэтому:

.

Ответ: .

У кого возникли трудности с вычислением определенного интеграла и применением формулы Ньютона-Лейбница

,

обратитесь к лекции Определенный интеграл. Примеры решений. После того, как задание выполнено, всегда полезно взглянуть на чертеж и прикинуть, реальный ли получился ответ. В данном случае «на глазок» подсчитываем количество клеточек в чертеже – ну, примерно 9 наберётся, похоже на правду. Совершенно понятно, что если бы у нас получился, скажем, ответ: 20 квадратных единиц, то, очевидно, что где-то допущена ошибка – в рассматриваемую фигуру 20 клеточек явно не вмещается, от силы десяток. Если ответ получился отрицательным, то задание тоже решено некорректно.

Пример 2

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями xy = 4, x = 2, x = 4 и осью OX.

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Что делать, если криволинейная трапеция расположена под осьюOX?

Пример 3

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = e^—x, x = 1 и координатными осями.

Решение: Выполним чертеж:

Если криволинейная трапеция полностью расположена под осью OX, то её площадь можно найти по формуле:

.

В данном случае:

.

Ответ: .

Внимание! Не следует путать два типа задач:

1) Если Вам предложено решить просто определенный интеграл без всякого геометрического смысла, то он может быть отрицательным.

2) Если Вам предложено найти площадь фигуры с помощью определенного интеграла, то площадь всегда положительна! Именно поэтому в только что рассмотренной формуле фигурирует минус.

На практике чаще всего фигура расположена и в верхней и в нижней полуплоскости, а поэтому, от простейших школьных задачек переходим к более содержательным примерам.

Пример 4

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями y = 2x – x², y = —x.

Решение: Сначала нужно выполнить чертеж. При построении чертежа в задачах на площадь нас больше всего интересуют точки пересечения линий. Найдем точки пересечения параболы y = 2x – x² и прямой y = —x. Это можно сделать двумя способами. Первый способ – аналитический. Решаем уравнение:

.

Значит, нижний предел интегрирования a = 0, верхний предел интегрирования b = 3. Часто выгоднее и быстрее построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой». Тем не менее, аналитический способ нахождения пределов все-таки приходится иногда применять, если, например, график достаточно большой, или поточенное построение не выявило пределов интегрирования (они могут быть дробными или иррациональными). Возвращаемся к нашей задаче: рациональнее сначала построить прямую и только потом параболу. Выполним чертеж:

Повторимся, что при поточечном построении пределы интегрирования чаще всего выясняются «автоматоматически».

А теперь рабочая формула:

Если на отрезке [a; b] некоторая непрерывная функция f(x) больше либо равна некоторой непрерывной функции g(x), то площадь соответствующей фигуры можно найти по формуле:

Здесь уже не надо думать, где расположена фигура – над осью или под осью, а важно, какой график ВЫШЕ(относительно другого графика), а какой – НИЖЕ.

В рассматриваемом примере очевидно, что на отрезке [0; 3] парабола располагается выше прямой, а поэтому из 2x – x² необходимо вычесть –x.

Завершение решения может выглядеть так:

Искомая фигура ограничена параболой y = 2x – x² сверху и прямой y = —x снизу.

На отрезке [0; 3] 2x – x² ≥ —x. По соответствующей формуле:

.

Ответ: .

На самом деле, школьная формула для площади криволинейной трапеции в нижней полуплоскости (см. пример №3) – частный случай формулы

.

Поскольку ось OX задается уравнением y = 0, а график функции g(x) расположен ниже оси OX, то

.

А сейчас пара примеров для самостоятельного решения

Пример 5

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

, .

Пример 6

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

, .

В ходе решения задач на вычисление площади с помощью определенного интеграла иногда случается забавный казус. Чертеж выполнен правильно, расчеты – правильно, но, по невнимательности,… найдена площадь не той фигуры.

Далее, реальный случай:

Пример 7

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

Сначала выполним чертеж:

Фигура, площадь которой нам нужно найти, заштрихована синим цветом(внимательно смотрите на условие – чем ограничена фигура!). Но на практике, по невнимательности, нередко решают, что нужно найти площадь фигуры, которая заштрихована зеленым цветом!

Этот пример еще и полезен тем, что в нём площадь фигуры считается с помощью двух определенных интегралов. Действительно:

1) На отрезке [-1; 1] над осью OX расположен график прямой y = x+1;

2) На отрезке [1; 3] над осью OX расположен график гиперболы y = (2/x).

Совершенно очевидно, что площади можно (и нужно) приплюсовать, поэтому:

Ответ:

Пример 8

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

, .

Представим уравнения в «школьном» виде

, .

и выполним поточечный чертеж:

Из чертежа видно, что верхний предел у нас «хороший»: b = 1.

Но чему равен нижний предел?! Понятно, что это не целое число, но какое?

Может быть, a=(-1/3)? Но где гарантия, что чертеж выполнен с идеальной точностью, вполне может оказаться что a=(-1/4). А если мы вообще неправильно построили график?

В таких случаях приходиться тратить дополнительное время и уточнять пределы интегрирования аналитически.

Найдем точки пересечения графиков

и .

Для этого решаем уравнение:

.

, .

Следовательно, a=(-1/3).

Дальнейшее решение тривиально. Главное, не запутаться в подстановках и знаках. Вычисления здесь не самые простые. На отрезке

, ,

по соответствующей формуле:

Ответ:

В заключение урока, рассмотрим два задания сложнее.

Пример 9

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

, , .

Решение: Изобразим данную фигуру на чертеже.

Для поточечного построения чертежа необходимо знать внешний вид синусоиды. Вообще, полезно знать графики всех элементарных функций, а также некоторые значения синуса. Их можно найти в таблице значений тригонометрических функций. В ряде случаев (например, в этом) допускается построение схематического чертежа, на котором принципиально правильно должны быть отображены графики и пределы интегрирования.

С пределами интегрирования здесь проблем нет, они следуют прямо из условия:

– «икс» изменяется от нуля до «пи». Оформляем дальнейшее решение:

На отрезке [0; π] график функции y = sin³x расположен над осью OX, поэтому:

(1) Как интегрируются синусы и косинусы в нечетных степенях, можно посмотреть на уроке Интегралы от тригонометрических функций. Отщипываем один синус.

(2) Используем основное тригонометрическое тождество в виде

(3) Проведем замену переменной t = cos x, тогда:

Новые переделы интегрирования:

У кого совсем плохи дела с заменами, прошу пройти на урок Метод замены в неопределенном интеграле. Кому не очень понятен алгоритм замены в определенном интеграле, посетите страницу Определенный интеграл. Примеры решений.

.

(4) Здесь мы использовали свойство определенного интеграла

,

расположив пределы интегрирования в «привычном» порядке

Ответ: .

Пример 10

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

, , .

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ ниже.

Рассмотрим интересный пример с арккотангенсом:

Пример 11

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

;

и координатными осями. Полного решения не будет. Правильный ответ:

.

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: Выполним чертеж:

На отрезке [2; 4] график функции y = 4/x расположен над осью OX, поэтому:

.

Ответ:

Примечание: В задачах на нахождение площадей преподаватели часто требуют записывать ответ не только точно, но и, в том числе, приближенно.

Пример 5: Решение: Выполним чертеж:

На отрезке [-1; 3] , , по соответствующей формуле:

.

Ответ:

Пример 6: Решение: Выполним чертеж.

На отрезке [1; 3], (4-x)≥(3/x), по соответствующей формуле:

.

Ответ:

Пример 10: Решение: Изобразим данную фигуру на чертеже:

На отрезке график функции расположен над осью , поэтому:

.

Ответ:

.

Примечание: обратите внимание, как берется интеграл от тангенса в кубе, здесь использовано следствие основного тригонометрического тождества

.

Далее в интегралах использован метод подведения функций под знак дифференциала (можно использовать замену в определенном интеграле, но решение будет длиннее).

megaobuchalka.ru

Как найти площадь фигуры ограниченной кривыми линиями

И было сказано, что запрос area between, который  в Wolfram|Alpha служит для вычисления площадей плоских фигур при помощи интегралов, срабатывает корректно лишь в некоторых относительно простых случаях. А для решения более сложных задач можно обратится к «ручному» способу — пошаговой процедуре вычисления площади плоской фигуры при помощи интеграла. То есть, на первом шаге определяем пределы интегрирования, а затем, используя найденные пределы, вычисляем определенный интеграл — площадь фигуры. Как это сделать практически, описано в упомянутом выше посте.

Однако, для решения большинства прикладных задач, особенно для не математиков, этот «ручной» способ не очень-то удобен. Поэтому Wolfram|Alpha предлагает и другие способы как найти площадь фигуры ограниченной двумя кривыми.

Во-первых, в самых простых случаях, как уже говорилось, площадь между кривыми можно вычислить с помощью запроса area between:

Во-вторых, если известны пределы интегрирования, то для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя линиями, в запросе area between можно указать дополнительно область определения (domain) — отрезок по оси Ox, над которым вычисляется площадь:

Наконец, если нужно вычислить площадь, ограниченную замкнутой кривой, например, площадь внутри эллипса, используйте для этого запрос area inside:

Таким образом, для вычисления площадей плоских фигур, ограниченных кривыми линиями, Wolfram|Alpha использует такие запросы: area between, area between … domain … и area inside.

www.wolframalpha-ru.com

1.8. Как вычислить площадь фигуры с помощью определённого интеграла?

Задачка это школьная, но, несмотря на то, почти 100% встретится в вашем курсе высшей математики. Поэтому со всей серьёзностью отнесёмся ко ВСЕМ примерам, и первое, что нужно сделать – это ознакомиться с Приложением Графики функций, чтобы освежить в памяти технику построения элементарных графиков. …Есть? Отлично! Типовая формулировка задания звучит так:

Пример 10
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

И первый важнейший этап решения состоит как раз в построении чертежа. При этом я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом – параболы, гиперболы, графики других функций.

В нашей задаче: прямая  определяет ось , прямые  параллельны оси  и парабола  симметрична относительно оси , для неё находим несколько опорных точек:

Искомую фигуру желательно штриховать:

Второй этап состоит в том, чтобы правильно составить и правильно вычислить определённый интеграл. На отрезке   график функции  расположен над осью , поэтому искомая площадь:

Ответ:

После того, как задание выполнено, полезно взглянуть на чертёж
и прикинуть, реалистичный ли получился ответ.

И мы «на глазок» подсчитываем количество заштрихованных клеточек – ну, примерно 9 наберётся, похоже на правду. Совершенно понятно, что если бы у нас получилось, скажем, 20 квадратных единиц, то, очевидно, где-то допущена ошибка – в построенную фигуру 20 клеток явно не вмещается, от силы десяток. Если ответ получился отрицательным, то задание тоже решено некорректно.

Пример 11
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  и осью

Быстренько разминаемся (обязательно!) и рассматриваем «зеркальную» ситуацию – когда криволинейная трапеция расположена под осью :

Пример 12
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ,  и координатными осями.

Решение: найдём несколько опорных точек для построения экспоненты:

и выполним чертёж, получая фигуру площадью около двух клеток:

Если криволинейная трапеция расположена не выше оси , то её площадь можно найти по формуле: .
В данном случае:

Ответ:  – ну что же, очень и очень похоже на правду.

На практике чаще всего фигура расположена и в верхней и в нижней полуплоскости, а поэтому от простейших школьных задачек мы переходим к более содержательным примерам:

Пример 13
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями , .

Решение: сначала нужно выполнить чертеж, при этом нас особо интересуют точки пересечения параболы  и прямой , поскольку здесь будут находиться пределы интегрирования.  Найти их можно двумя способами. Первый способ – аналитический. Составим и решим уравнение:

таким образом:

Достоинство аналитического способа состоит в его точности, а недостаток – в длительности (и в этом примере нам ещё повезло). Поэтому во многих задачах бывает выгоднее построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой».

С прямой  всё понятно, а вот для построения параболы удобно найти её вершину, для этого возьмём производную и приравняем её к нулю:
 – именно в этой точке и будет находиться вершина. И, в силу симметрии параболы, остальные опорные точки найдём по принципу «влево-вправо»:

Выполним чертеж:

А теперь рабочая формула: если на отрезке  некоторая непрерывная функция  больше либо равна непрерывной функции , то площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций и отрезками прямых , можно найти по формуле:

Здесь уже не надо думать, где расположена фигура – над осью или под осью, а, грубо говоря, важно, какой из двух графиков ВЫШЕ.

В нашем примере очевидно, что на отрезке  парабола располагается выше прямой, а поэтому из  нужно вычесть

Завершение решения может выглядеть так:

На отрезке : , по соответствующей формуле:

Ответ:

Следует отметить, что простые формулы, рассмотренные в начале параграфа – это частные случаи формулы . Поскольку ось  задаётся уравнением , то одна из функций будет нулевой, и в зависимости от того, выше или ниже лежит криволинейная трапеция, мы получим формулу  либо

А сейчас пара типовых задач для самостоятельного решения

Пример 14
Найти площадь фигур, ограниченных линиями:

а) , .

б) , ,

Решение с чертежами и краткими комментариями в конце книги

В ходе решения рассматриваемой задачи иногда случается забавный казус. Чертеж выполнен правильно, интеграл решён правильно, но по невнимательности… найдена площадь не той фигуры, именно так несколько раз ошибался ваш покорный слуга. Вот реальный случай из жизни:

Пример 15
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение: выполним бесхитростный чертёж,

хитрость которого состоит в том, что искомая площадь заштрихована зелёным цветом (внимательно смотрИте на условие – чем ограничена фигура!). Но на практике по невнимательности нередко возникает «глюк», что нужно найти площадь фигуры, которая заштрихована серым цветом! Особое коварство состоит в том, что прямую  можно недочертить до оси , и тогда мы вовсе не увидим нужную фигуру.

Этот пример ещё и полезен тем, что в нём площадь фигуры считается с помощью двух определённых интегралов. Действительно:

1) на отрезке  над осью  расположен графи

mathprofi.com

Фигура, ограниченная кривой линией яйцеобразной формы 4 буквы

Похожие ответы в сканвордах

Вопрос: Замкнутое яйцевидное очертание чего-нибудь

Ответ: Овал

Вопрос: Остров России

Ответ: Овал

Вопрос: Геометрическая фигура

Ответ: Овал

Вопрос: Выпуклая замкнутая плоская кривая без изломов

Ответ: Овал

Вопрос: Выпуклая плоская замкнутая кривая

Ответ: Овал

Вопрос: Геометрическая фигура, окружность, от лат. «яйцо

Ответ: Овал

Вопрос: Замкнутая окружность

Ответ: Овал

Вопрос: Лицевая геометрия

Ответ: Овал

Вопрос: На что похож эллипс

Ответ: Овал

Вопрос: Округлая форма лица вице-премьера

Ответ: Овал

Вопрос: Округлая форма лица

Ответ: Овал

Вопрос: Окружность яйца

Ответ: Овал

Вопрос: Проекция дыни

Ответ: Овал

Вопрос: Сдавленный круг

Ответ: Овал

Вопрос: Синоним эллипс

Ответ: Овал

Вопрос: Фигура, ограниченная кривой линией яйцеобразной формы

Ответ: Овал

Вопрос: Форма яйца

Ответ: Овал

Вопрос: Яйцевидное очертание

Ответ: Овал

Вопрос: плоская замкнутая выпуклая C-гладкая кривая

Ответ: Овал

Вопрос: Абрис яйца

Ответ: Овал

Вопрос: Форма лица, стадиона и яйца

Ответ: Овал

Вопрос: Геометрическая форма лица

Ответ: Овал

Вопрос: Окосевшая окружность

Ответ: Овал

Вопрос: Форма мяча для регби

Ответ: Овал

Вопрос: Форма лица и стадиона

Ответ: Овал

Вопрос: Геометрическая проекция стадиона

Ответ: Овал

Вопрос: Приплюснутый круг

Ответ: Овал

Вопрос: Нелюбимый Маяковским эллипс

Ответ: Овал

Вопрос: Круг в подавленном состоянии

Ответ: Овал

Вопрос: Родственник круга

Ответ: Овал

Вопрос: Контур регбийного мяча

Ответ: Овал

Вопрос: Эллипс

Ответ: Овал

Вопрос: Контур яйца

Ответ: Овал

Вопрос: Сплюснутый круг

Ответ: Овал

Вопрос:

wordparts.ru

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции, слева и справа — прямымиСоответственно,

Снизу — осью(рис. 17.9), вычисляется по формуле

(17.26)

Площадь криволинейно трапеции(рис. 17.10), ограниченной справа

Графиком функции, сверху и снизу — соответственно прямыми

, слева — осью, определяется формулой

(17.27)

Площадь криволинейной фигуры, ограниченной сверху графиком

Функции, снизу — графиком функции, слева и справа —

Прямыми(рис. 17.11), вычисляется по формуле

Площадь фигурыОграниченной слева и справа соответственно гра

Фиками функций, снизу и сверху — прямыми

(рис. 17.12), определяется формулой

(17.29)

Если линия, ограничивающая криволинейную трапецию сверху, задана параметрическими уравнениямиГде

То

(17.30)

Площадь сектора(рис. 17.13), ограниченного дугой линии, заданной уравнением в полярных координатах, и двумя полярными радиусами

И, соответствующими значениям, определяется формулой

Пример 17.13. Найти площадь фигуры, ограниченной линиейИ осью

Чтобы определить пределы интегрирования, найдем точки пересечения линии (параболы) с осью (рис. 17.14). Решая систему уравнений

Получаем

Следовательно,

По формуле (17.26) находим

Пример 17.14. Найти площадь фигуры, ограниченной линиейИ осью

Данная фигура представляет собой криволинейную трапецию, прилежащую к оси(см. рис. 17.15). Найдем точки пересечения линии с осью, для чего решим систему уравнений. Из этой системы получаем

; это означает, что в формуле (17.27), которой здесь необходимо пользоваться, нужно положить

Следовательно,

Пр имер 17.5, Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Данная фигура ограничена сверху дугой эллипсаСнизу — дугой пара

Болы(рис. 17.16).

Площадь вычислим по формуле (17.28).

Решая систему уравнений находим- абсциссы точек пе

Ресечения заданных линий; следовательно,

’ Каждое из уравнений разрешаем

Относительно

(В формуле (17.28) через обозначена функция, график которой ограничивает фигуру сверху.)

Таким образом, искомая площадь

Для вычисления первого интеграла применим подстановку, тогда

Поскольку

Пример 17.16. Вычислить площадь области, ограниченной эллипсом

В силу симметрии эллипса относительно координатных осей достаточно вычислить площадь части области, лежащей в первой четверти, и результат умножить на 4. Заметим, что в этом случаеМеняется от 0 доПоэтомуБудет меняться отДо 0. По формуле (17.30) находим

Замечание. В частном случае, когда, получаем-

Площадь круга радиуса

Пример 17.17. Вычислить площадь области, ограниченной лемнискатой

Принимая во внимание симметрию линии относительно ее оси (см. п. 2.10), по формуле (17.31) получаем

matica.org.ua