Физика движение по окружности задачи – ФИЗИКА: Задачи на Движение тела по окружности — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 21.12.201721.12.2019 by alexxlab

Содержание

ФИЗИКА: Задачи на Движение тела по окружности

Задачи на Движение тела по окружности с решениями

Формулы, используемые на уроках «Задачи на Движение тела по окружности».

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача № 1. Какова линейная скорость тела, движущегося по окружности радиусом 40 м с ускорением 2,5 м/с² ?

Задача № 2. С какой наибольшей скоростью может двигаться автомобиль массой 1 т на повороте радиусом 100 м, чтобы его не «занесло», если максимальная сила трения 4 кН?

Задача № 3. Вентилятор вращается с постоянной скоростью и за две минуты совершает 2400 оборотов. Определите частоту вращения вентилятора, период обращения и линейную скорость точки, расположенной на краю лопасти вентилятора на расстоянии 10 см от оси вращения.

Задача № 4. Во сколько раз линейная скорость точки обода колеса радиусом 8 см больше линейной скорости точки, расположенной на 3 см ближе к оси вращения колеса?

Задача № 5. Велосипедист ехал со скоростью 25,2 км/ч. Сколько оборотов совершило колесо диаметром 70 см за 10 мин?

Задача № 6. Минутная стрелка часов в 1,5 раза длиннее часовой. Определите, во сколько раз линейная скорость конца часовой стрелки меньше, чем линейная скорость конца минутной стрелки.

Задача № 7. Автомобиль движется по закруглению дороги, радиус которой равен 20 м. Определите скорость автомобиля, если центростремительное ускорение равно 5 м/с

Задача № 8. Шкив радиусом 30 см имеет частоту вращения 120 об/мин. Определите частоту, период обращения, угловую скорость шкива и центростремительное ускорение точек шкива, наиболее удаленных от оси вращения.

Задача № 9. Для точек земной поверхности на широте Санкт-Петербурга (60°) определите линейную скорость и ускорение, испытываемое ими вследствие суточного вращения Земли. Радиус Земли считайте равным 6370 км.

Задача № 10. ОГЭ Точка движется равномерно по окружности. Как изменится её центростремительное ускорение, если скорость возрастёт вдвое, а радиус окружности вдвое уменьшится?

Задача № 11. ЕГЭ Линейная скорость точек обода вращающегося диска v₁ = 3 м/с, а точек, находящихся на l = 10 см ближе к оси вращения, v₂ = 2 м/с. Найти частоту вращения диска.

Краткая теория для решения Задачи на Движение тела по окружности.

Это конспект по теме «ЗАДАЧИ на Движение тела по окружности». Выберите дальнейшие действия:

uchitel.pro

Движение по окружности — задачи

Задача 1. За промежуток времени $\Delta t=10$ с тело прошло половину окружности радиусом 100 см. Найти среднюю путевую скорость $\upsilon$ и модуль средней скорости $\left$ .

Решение: средней путевой скоростью называется средняя скорость прохождения пути, которую мы с вами вычисляем, деля весь путь (длину траектории) на все время. Модуль средней скорости еще называют средней скоростью по перемещению. Ее можно определить, разделив перемещение на время. Тогда длина пути – это длина половины окружности, а перемещение – длина диаметра.

$\upsilon=\frac{2\pi R}{2t}=\frac{\pi R}{\Delta t }=\frac{3,14}{10}=0,314$

$\[\left$

Ответ: средняя путевая скорость – 0,314 м/с, средняя скорость по перемещению – 0,2 м/с

Задача 2. Однородный диск радиусом 0,5 м катится без проскальзывания со скоростью 2 м/с. Найти скорость точек диска

. Найти геометрическое место всех точек диска, скорость которых 2 м/с. Угол $\alpha=60^{\circ}$ .

Скорость точек окружности

Решение:

Точка A – центр вращения. Поэтому ее скорость относительно поверхности, по которой катится диск, равна 0. Поскольку в условии сказано, что диск катится со скоростью 2 м/с, то это означает, что с такой скоростью относительно поверхности будет передвигаться его центр: $\vec{\upsilon_O}=2$ м/с. Поэтому точка А относительно центра будет передвигаться с точно такой же скоростью – со скоростью 2 м/с, и это и будет линейная скорость вращения диска, то есть скорость всех точек, лежащих на его краю, относительно центра $\vec{\upsilon}=2$ м/с. Линейные скорости показаны для точек оранжевыми стрелками. Эти стрелки показывают, какой была бы скорость данной точки, если бы диск не катился, а вращался бы, например, на оси, проходящей через его центр. Но наш диск катится. Поэтому к линейной скорости вращения каждой точки необходимо еще прибавить скорость движения диска относительно опоры. То есть к каждой рыжей стрелке прибавим (векторно) скорость точки О – центра диска – черную стрелку. Тогда-то и становится понятным, почему у точки скорость равна 0 – линейная скорость вращения направлена влево, а скорость качения – вправо, и поскольку они равны, то гасят друг друга: $\upsilon_A=\vec{\upsilon}+\vec{\upsilon_O}=0$ . В точке C скорости, напротив, сложатся, поскольку они сонаправлены: $\upsilon_C=\vec{\upsilon}+\vec{\upsilon_O}=4$ м/с.

Определим теперь скорости точек и . Понятно, что они будут равны численно, но направлены в разные стороны.

$\upsilon_B=\vec{\upsilon}+\vec{\upsilon_O}$

$\upsilon_B=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$

Осталось разобраться с точкой . Сделаем еще один рисунок. Линейная скорость вращения всегда направлена по касательной, то есть перпендикулярно радиусу . Углы, которые образуются между векторами, показаны на рисунке, в том числе угол $\angle KEM=120^{\circ}$ . Тогда в параллелограмме EKNM угол $\angle EKN=60^{\circ}$ , а так как

$\upsilon=\upsilon_O$ , то все углы в треугольнике равны $60^{\circ}$ и он равносторонний, то есть $\upsilon_E=2$ м/с. Также можно было найти длину этого вектора скорости по теореме косинусов или складывая проекции векторов. Можно догадаться, что точка, симметричная точке E относительно A также имеет скорость, равную 2 м/с. Вообще точки, лежащие на одном и том же расстоянии от центра вращения A будут иметь равные скорости, линии равных скоростей (геометрические места точек с равными скоростями) показаны на рисунке различного цвета дугами: единственная точка (точка C) будет иметь скорость 4 м/с, точки, лежащие на рыжей дуне, будут иметь скорости, равные $\upsilon_B=2\sqrt{2}$ , точки, лежащие на синей дуге, будут иметь скорости, равные 2 м/с, как у точки E.

Пробуксовывание

Задача 3. Колесо, пробуксовывая, катится по ровной, горизонтальной дороге. Найти скорость центра колеса $\upsilon$ , если известно, что скорость нижней точки $\upsilon_1=2$ м/c, а верхней – $\upsilon_2=10$ м/c.

Решение:

Если колесо пробуксовывает, то это означает, что скорость его нижней точки не равна нулю, то есть его центр вращения – не точка касания поверхности, центр вращения будет расположен выше. Но центр вращения находится и не в центре колеса. Найти его можно, если провести вертикальный диаметр, построить вектора скоростей в масштабе, а затем, соединив концы векторов скоростей прямой линией, отметить точку пересечения этой линии с диаметром. У нас на рисунке это точка О. Точка К – центр колеса, его скорость нам и нужно найти. Из подобия треугольников ABO и DCO запишем отношения сходственных сторон:

$\frac{\upsilon_2}{AO}=\frac{\upsilon_1}{2R-AO}$

Тогда

$\frac{10}{AO}=\frac{2}{2R-AO}$

$2AO=20R-10AO$

$12AO=20R$

$AO=\frac{5}{3}R$

Тогда $OC=2R-AO=2R-\frac{5}{3}R=\frac{1}{3}R$

$OK=R-OC=R-\frac{1}{3}R=\frac{2}{3}R$

Теперь обратимся к подобным треугольникам DCO и KOL . Для них отношение сходственных сторон равно:

$\frac{OK}{OC}=\frac{\upsilon}{\upsilon_1}$

$\frac{\frac{2}{3}R }{\frac{1}{3}R }=\frac{\upsilon}{2}$

$\frac{2}{1}=\frac{\upsilon}{2}$

Откуда $\upsilon=4$ м/с.

Ну а более простым решение было бы, если бы мы просто нашли среднее арифметическое скоростей, ведь точка, про которую нас спрашивают, лежит по центру между точками приложения векторов скоростей $\upsilon_1$ и $\upsilon_2$ , при этом не забываем о векторном сложении скоростей, берем скорость $\upsilon_1$ со знаком «минус»:

$\frac{\vec{\upsilon_2}+\vec{\upsilon_1}}{2}=\frac{10-2}{2}=4$

м/с.

Ответ: 4 м/с.

Проскальзывание

Задача 4. Обруч, проскальзывая, катится по горизонтальной ровной поверхности. В некоторый момент скорость верхней точки А $\upsilon_A=6$

м/с, а нижней точки B $\upsilon_В=2$ м/с. Определить скорость концов диаметра

, перпендикулярного к

, для того же момента времени. Под какими углами они направлены к горизонту?

Решение:

Проскальзывание – это ситуация, когда скорость нижней точки (точки касания обручем земли) не нулевая, но направлена она в сторону качения. В этом случае центр вращения, так же, как и в случае пробуксовки, не совпадает с центром колеса. Более того, центр вращения даже не внутри колеса – он снаружи (точка О). Как и в предыдущей задаче, можно найти его таким же способом – проведя линию через концы скоростей и найдя ее пересечение с продолжением вертикального диаметра. И, точно так же, как в предыдущей задаче, можно определить скорость центра колеса как среднее арифметическое, только обе скорости направлены у нас теперь в одну сторону, поэтому ставим знак «плюс» перед обеими:

$\upsilon=\frac{\vec{\upsilon_A}+\vec{\upsilon_B}}{2}=\frac{6+2}{2}=4$

м/с.

Так как скорость точки есть результат векторного сложения линейной скорости вращения колеса

и скорости поступательного движения центра колеса $\upsilon$ , то можем из этого сделать вывод, что линейная скорость вращения равна 2 м/с – ровно на столько скорость центра колеса, найденная нами, отличается от скорости точки

, данной в условии задачи. Линейную скорость на рисунке не показывала, или показывала не везде. Скорости точек

равны численно, но направлены по-разному. Их скорости – также результат векторного сложения линейной скорости вращения колеса и скорости поступательного движения центра, а, так как эти две скорости перпендикулярны друг другу, то результат их сложения может быть найден по Пифагору:

$\upsilon_C=\upsilon_D=\sqrt{\upsilon^2+u^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=4,47$

Понятно, что раз скорости перпендикулярны друг другу, то являются катетами некоторого прямоугольного треугольника, и связывает их между собой функция тангенса, поэтому угол наклона к горизонту скорости точки можно найти как

$\alpha=\operatorname {arctg}\frac{u}{\upsilon}=\operatorname {arctg}{\frac{2}{4}}=27^{\circ}$

Ответ: $\upsilon_C=\upsilon_D=4,47$ , $\alpha=27^{\circ}$

Шарик катится по двум линейкам

Задача 5. Шарик радиусом R=5 см катится равномерно и без проскальзывания по двум параллельным линейкам, расстояние между которыми равно d=6 см, и за время t=2 с проходит l=120 см. С какими скоростями движутся верхняя и нижняя точки шарика?

На рисунке изображено, как двигается шарик, при этом для удобства показан как вид спереди, так и вид сбоку. Поскольку скорость шарика равна $\upsilon=\frac{l}{t}=\frac{1,2}{2}=0,6$ м/с, то эта скорость – скорость поступательного движения его центра масс – точки А. Центр вращения шарика находится в точке О – на уровне края линеек. Определим положение точки О – определим длину отрезка . Это легко сделать, зная радиус шарика и рассмотрев рисунок, из треугольника AOB . Центр вращения в данный момент неподвижен, а точка А двигается относительно него со скоростью 0,6 м/с. Поэтому скорость нижней точки $\upsilon_1$ будет

$\frac{\upsilon}{\upsilon_1}=\frac{AO}{R-AO}$

$\upsilon_1=\frac{\upsilon (R-AO)}{AO}=\frac{0,6}{4}=0,15$

Таким же способом определяем скорость верхней точки $\upsilon_2$ :

$\frac{\upsilon}{\upsilon_2}=\frac{AO}{R+AO}$

$\upsilon_2=\frac{\upsilon (R+AO)}{AO}=\frac{0,6\cdot 0,09}{0,04}=1,35$

Ответ: скорость нижней точки 0,15 м/c, скорость верхней 1,35 м/c.

Задача 6. Автомобиль движется по закругленному шоссе, имеющему радиус кривизны R=40 м. Закон движения автомобиля имеет вид: , где A=5 м, B=12 м/с, C=-0,5 м/с. Найти скорость автомобиля $\upsilon$ , его тангенциальное $a_{\tau}$ , нормальное a_n и полное ускорения в момент времени t=4 с.

Решение.

Путь:

$s=5+12t-0,5t^2$

Производная пути – линейная скорость:

$\[s$

Вторая производная – тангенциальное ускорение:

$\[s$

Нормальное ускорение:

$a_{n}=\frac{\upsilon^2 }{R}=\frac{8^2}{40}=1,6$

Полное ускорение:

$a=\sqrt{ {a_{\tau}}^2+ {a_{n}}^2}=\sqrt{1,6^2+(-1)^2}=\sqrt{3,56}=1,9$

Задача7. Угол поворота диска радиусом R=10 см изменяется со временем по закону $\varphi=4+2t-t^3$ . Определить зависимости от времени угловой скорости, углового ускорения и линейной скорости точек диска.

Решение: угловая скорость – производная угла:

$\[\omega=\varphi$

Угловое ускорение – производная угловой скорости:

$\[\varepsilon=\varphi$

Линейная скорость:

$\upsilon=\omega R=0,2-0,3t^2$

Задача 8. Точка движется по окружности с постоянным угловым ускорением $\varepsilon=1$ рад/ c^2 . Найти угол между скоростью и ускорением через 1 с после начала движения. Начальная скорость точки равна 0.

Решение: так как тангенциальное ускорение и линейная скорость совпадают по направлению, то определим обе составляющие ускорения: как нормальную, так и тангенциальную. Угол между полным ускорением и его тангенциальной составляющей можно тогда будет найти через функцию тангенса.

Известно, что нормальное ускорение $a_n=\frac{\omega^2 }{R}$ , тангенциальное ускорение $a_{\tau}=\varepsilon R$ . При этом $\varepsilon=\omega$ , или $\omega=\varepsilon t$ . Тогда $a_n=\frac{\omega^2 }{R}=\frac{(\varepsilon t )^2}{R}$

Искомый угол:

$\alpha=\operatorname {arctg}{\frac{ a_n }{ a_{\tau}}}=\operatorname {arctg}{\frac{ \frac{\varepsilon^2 t ^2}{R}}{ \varepsilon R }}=\operatorname {arctg}{\varepsilon t^2}=\operatorname {arctg}{1}=45^{\circ}$

Ответ: $45^{\circ}$

Два концентрических колеса

Задача 9. Два концентрических колеса радиусами R=50 см и r=25 см вращаются с угловыми скоростями $\omega_1=5$ рад/c и $\omega_2=10$ рад/с соответственно. Между ними зажато третье колесо так, как показано на рисунке. Какова угловая скорость этого колеса вокруг собственной оси? Проскальзывания нет.

Решение: определим радиус маленького (третьего) колеса, м:

$r_3=\frac{R-r}{2}=\frac{0,5-0,25}{2}=0,125$

Определим линейную скорость точек первого колеса:

$\upsilon_1=\omega_1 R=2,5$

Определим линейную скорость точек второго колеса:

$\upsilon_2=\omega_2 r=2,5$

Найдем угловую скорость маленького колеса, зная, что линейная скорость его точек равна линейной скорости больших колес, так как проскальзывания нет:

$\omega=\frac{\upsilon_2}{ r_3}=\frac{2,5}{0,125}=20$

Ответ: 20 рад/с

Задача 10. Гайку закручивают на болт за время $\tau$ . Длина болта , резьба составляет угол $\alpha$ с плоскостью гайки. Найдите угловую скорость гайки, если радиус болта равен .

Скорость вращения гайки по ходу завинчивания на болт

Решение: при закручивании гайка не только вращается, но и движется вдоль болта поступательно, например, спускается вниз. Поэтому точка, взятая на ребре гайки, будет обладать двумя составляющими скорости: скорость, с которой она будет двигаться вниз вдоль болта (назовем ее $\upsilon_l$ ) и скорость, с которой эта точка вращается – это уже знакомая нам линейная скорость ( $\upsilon$ ). Тогда $\omega=\frac{\upsilon }{R}$ .

Из рисунка видно, что

$\upsilon=u \cos{\alpha}$

$\upsilon_l=u \sin{\alpha}$

С другой стороны, так как длина болта , а гайка спускается по нему за время $\tau$ , то

$\upsilon_l=\frac{l}{\tau}$

Тогда

$u \sin{\alpha}=\frac{l}{\tau}$

И можно определить :

$u=\frac{l}{\tau \sin{\alpha}}$

Тогда

$\omega=\frac{\upsilon }{R}=\frac{u \cos{\alpha}}{R}= \frac{l \cos{\alpha}}{R\tau \sin{\alpha}}$

Ответ: $\omega= \frac{l \cos{\alpha}}{R\tau \sin{\alpha}}$

easy-physic.ru

Движение по окружности. Примеры решения задач по физике. 9-10 класс

Задачи по физике — это просто!

Вспомним

Формулы центростремительного ускорения и центростремительной силы:

Формулы скорости движения тела по окружности и частоты вращения:

Единица измерения частоты вращения — 1/с или оборот/с.

А теперь к задачам!

Элементарные задачи из курса школьной физики на движение по окружности с постоянной по модулю скоростью.

Задача 1

C какой скоростью велосипедист проходит закругление с радиусом 25 метров, если центростремительная скорость его движения равна 4 м/с?

Задача 2

Колесо радиусом 40 см делает один оборот за 0,4 секунды. Найти скорость точек на ободе колеса.

Задача 3

Колесо велосипедиста имеет радиус 40 см. С какой скоростью едет велосипедист, если колесо делает 4 оборота в секунду? Чему равен период вращения колеса?

Задача 4

С какой скоростью велосипедист должен проходить середину выпуклого моста радиусом 22,5 метра, чтобы его центростремительное ускорение было бы равно ускорению свободного падения?

Задача 5

Чему равно центростремительное ускорение тела, движущегося по окружности радиусом 50 см при частоте вращения 5 оборотов в секунду?

Задача 6

Скорость точек экватора Солнца при его вращении вокруг своей оси равно 2 км/с. Найти период вращения Солнца вокруг своей оси и центростремительное ускорение точек его экватора.

Задача 7

Какова скорость движения автомобиля, если его колесо радиусом 30 см делает 500 оборотов в минуту?

Задача 8

Чему равна центростремительная сила и центростремительное ускорение, действующие на пращу массой 800 г, вращающуюся на веревке длиной 60 сантиметров равномерно со скоростью 2 м/с?

Задача 9

Период обращения космического корабля вокруг Земли равен 90 минутам. Высота подъема корабля над поверхностью Земли составляет 300 км, радиус Земли равен 6400 км. Определить скорость корабля.

class-fizika.ru

Задачи. Равномерное движение по окружности — PhysBook

Уровень А

1. Колесо совершает за одну минуту:

а) 30 оборотов;

б) 1500 оборотов.

Определите его период.

Решение

2. Период вращения лопастей ветряной мельницы равен 5 с. Определите число оборотов лопастей за 1 ч.

Решение

3. Определите частоту движения:

а) секундной;

б) минутной, – стрелок механических часов.

Секундная стрелка часов совершает один оборот за 1 мин, минутная стрелка – один оборот за 1 ч.

Решение

4. Частота вращения воздушного винта самолета 25 Гц. За какое время винт совершает 3000 оборотов.

Решение

5. Период вращения Земли вокруг своей оси равен 1 сут. Определите частоту ее вращения.

Решение

6. Колесо совершило 15 полных оборотов. Определите его угловое перемещение.

Решение

7. Колесо радиуса 0,5 м прокатилось 100 м. Определите угловое перемещение колеса.

Решение

8. Определите угловую скорость вращения колеса, если за 60 с колесо поворачивается на 20π.

Решение

9. Угловая скорость барабана сепаратора 900 рад/с. Определите угловое перемещение барабана за 15 с.

Решение

10. Определите угловую скорость вала, вращающегося:

а) с периодом 10 с;

б) с частотой 30 Гц.

Решение

11. Маховик вращается с постоянной угловой скоростью 9 рад/с. Определите:

а) частоту его вращения;

б) период его вращения.

Решение

12. Укажите направление скорости в точках А, В, С, D (рис. 1), если круг вращается:

а) по часовой стрелке;

б) против часовой стрелки.

Рис. 1

Решение

13. Колесо велосипеда имеет радиус 25 см. Определите линейную скорость точек обода колеса, если оно вращается с частотой 4 Гц.

Решение

14. Точильный круг радиусом 10 см делает один оборот за 0,2 с. Найдите скорость точек, наиболее удаленных от оси вращения.

Решение

15. Скорость точек экватора Солнца при его вращении вокруг своей оси равна 2,0 км/с. Найдите период вращения Солнца вокруг своей оси, если радиус Солнца 6,96∙10⁸ м.

Решение

16. Тело движется по окружности радиусом 3 м со скоростью 12π м/с. Чему равна частота обращения?

Решение

17. Тело движется по дуге окружности радиусом 50 м. Определите линейную скорость тела, если известно, что его угловая скорость равна π рад/с.

Решение

18. Спортсмен бежит равномерно по окружности радиусом 100 м со скоростью 10 м/с. Определите его угловую скорость.

Решение

19. Укажите направление ускорения в точках A, B, C, D при движении по окружности (рис. 2).

Рис. 2

Решение

20. Велосипедист движется по закруглению дороги радиусом 50 м со скоростью 36 км/ч. С каким ускорением он проходит закругление?

Решение

21. Каков радиус кривизны закругления дороги, если по ней автомобиль движется с центростремительным ускорением 1 м/с² при скорости 10 м/с?

Решение

22. С какой скоростью велосипедист проходит закругление велотрека радиусом 50 м, если он имеет центростремительное ускорение 2 м/с²?

Решение

23. Шкив вращается с угловой скоростью 50 рад/с. Определите центростремительное ускорение точек находящихся на расстоянии 20 мм от оси вращения.

Решение

24. Земля вращается вокруг своей оси с центростремительным ускорением 0,034 м/с². Определите угловую скорость вращения, если радиус Земли 6400 км.

Решение

Уровень B

1. Может ли тело двигаться по окружности без ускорения?

Решение

2. Первая в мире орбитальная космическая станция, образованная в результате стыковки космических кораблей «Союз-4» и «Союз-5» 16 января 1969 г., имела период вращения 88,85 мин и среднюю высоту над поверхностью Земли 230 км (считайте орбиту круговой). Найдите среднюю скорость движения станции. Радиус Земли принять равным 6400 км.

Решение

3. Искусственный спутник Земли (ИСЗ) движется по круговой орбите со скоростью 8,0 км/с с периодом вращения 96 мин. Определите высоту полета спутника над поверхностью Земли. Радиус Земли принять равным 6400 км.

Решение

4. Какова линейная скорость точек Земной поверхности на широте Санкт-Петербурга (60°) при суточном вращении Земли? Радиус Земли принять равным 6400 км.

Решение

5. Допустимо ли насадить точильный круг на вал двигателя, делающего 2850 оборотов в минуту, если на круге имеется штамп завода «35 м/с, Ø 250 мм»?

Решение

6. Скорость поезда 72 км/ч. Сколько оборотов в минуту делают колеса локомотива, радиус которых 1,2 м?

Решение

7. Какова угловая скорость вращения колеса ветродвигателя, если за 2 мин колесо сделало 50 оборотов?

Решение

8. За какое время колесо, имеющее угловую скорость 4π рад/с, сделает 100 оборотов?

Решение

9. Диск диаметром 50 см равномерно перекатывают на расстояние 2 м за 4 с. Какова угловая скорость вращения диска?

Решение

10. Тело движется по дуге окружности радиусом 50 м. Определите линейную скорость движения тела и пройденный им путь, если известно, что его угловое перемещение за 10 с равно 1,57 рад.

Решение

11. Как изменится линейная скорость вращения материальной точки по окружности, если угловую скорость точки увеличить в 2 раза, а расстояние от точки до оси вращения уменьшить в 4 раза?

Решение

12. Рабочее колесо турбины Красноярской ГЭС им. 50-летия СССР имеет диаметр 7,5 м и вращается с частотой 93,8 об/мин. Каково центростремительное ускорение концов лопаток турбины?

Решение

13. Ветряное колесо радиусом 2,0 м делает 40 оборотов в минуту. Найдите центростремительное ускорение концевых точек лопастей колеса.

Решение

14. Период вращения первого пилотируемого корабля-спутника «Восток» вокруг Земли был равен 90 мин. С каким ускорением двигался корабль, если его средняя высота над Землей 320 км? Радиус Земли принять равным 6400 км.

Решение

15. Угловая скорость вращения лопастей колеса ветродвигателя 6 рад/с. Найдите центростремительное ускорение концов лопастей, если линейная скорость концов лопастей 20 м/с.

Решение

16. Две материальные точки движутся по окружностям радиусами R₁ = 10 см и R₂ = 30 см с одинаковыми скоростями 0,20 м/с. Во сколько раз отличаются их центростремительные ускорения?

Решение

17. Две материальные точки движутся по окружностям радиусами R₁ = 0,2 м и R₂ = 0,4 м с одинаковыми периодами. Найдите отношение их центростремительных ускорений.

Решение

www.physbook.ru

Задачи на движение по кругу

Вашему вниманию представляются задачи на движение по кругу, в том числе задачи со стрелками часов, которые часто вызывают трудности.

Задача 1. Двигаясь по окружности в одном направлении, две точки встречаются каждые 12 минут. Так же известно, что первая точка обходит всю окружность на 10 секунд быстрее, чем вторая. Определить, сколько времени потребуется второй точке, чтобы обойти всю окружность.

Составим первое уравнение по первому предложению задачи: раз точки, двигаясь с разными скоростями, встречаются, следовательно, одна обгоняет другую ровно на 1 круг. Тогда

$\frac{1}{v_1-v_2}=720$

Здесь v_1 – скорость «догоняющей» точки, длина круга принята за 1, минуты переведены в секунды.

Время, за которое первая точка обходит 1 круг, равно $\frac{1}{v_1}$ , а время, за которое вторая точка обходит круг, равно $\frac{1}{v_2}$ . Между этими значениями разница в 10 с (по условию), откуда получим второе уравнение: $\frac{1}{v_1}+10=\frac{1}{v_2}$ .

Можем выразить скорость v_2 из второго уравнения: $\frac{1+10v_1}{v_1}=\frac{1}{v_2}$ , или

$v_2=\frac{v_1}{1+10v_1}$

Подставим полученное значение в первое уравнение:

$v_1-\frac{v_1}{1+10v_1}=\frac{1}{720}$

Решение квадратного уравнения, которое получится, приводить не буду, один из корней отрицательный, то есть не подходит по условию задачи, а положительный равен $v_1=\frac{1}{80}$ . Иными словами, перая точка двигается с такой скоростью, что обходит 1 круг за 80 секунд. Так как вторая обходит круг на 10 секунд дольше, то время ее движения равно 90 с.

Ответ: 90 с.

Задача 2. На окружности взята некоторая точка А. Из этой точки одновременно выходят два тела, которые движутся по данной окружности равномерно в противоположных направлениях. В момент их встречи оказалось, что первое тело прошло на 10 метров больше второго. Кроме того, первое тело пришло в точку А через 9 секунд, а второе – через 16 секунд после встречи. Определить длину окружности в метрах.

Да, представьте себе, иногда в задачах на движение объекты двигаются в разные стороны!

Пусть – скорость одной точки, движущейся по часовой стрелке, а – скорость второй. Тогда до встречи первая точка пройдет расстояние $x \cdot t$ , а вторая пройдет расстояние $y \cdot t$ .

Тела на круговой дистанции

После встречи первой точке до места старта нужно пройти такое расстояние, какое вторая прошла до встречи, и тратит первая точка на это время, равное 10 с, а второй наоборот, нужно пройти то расстояние, которое прошла до встречи первая, и тратит она на это 16 с. Получим такие равенства:

$x\cdot t=16y$

$y \cdot t=9x$

Выразим время движения точек до встречи :

$t=\frac{16y}{x}=\frac{9x}{y}$

откуда имеем

$(\frac{y}{x})^2=\frac{9}{16}$

$(\frac{y}{x})=\frac{3}{4}$

$x={\frac{4}{3}}\cdot y$

По условию, первое тело прошло на 10 м больше второго, то есть

Заменяем в этом уравнении одну из неизвестных:

$16y-9\cdot {{\frac{4}{3}}\cdot y}=10$

И находим : y=2,5 , откуда $x=\frac {10}{3}$ .

Полная длина круга равна:

$S=16y+9x=16\cdot{2,5} +9\cdot\frac {10}{3}=70$

Ответ: длина окружности 70 м.

Задача 3. Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 8 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун прошел первый круг 3 минуты назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 9 км/час меньше скорости второго.

Обозначим скорости бегунов $\upsilon_1$ и $\upsilon_2$ . Тогда сразу можно записать их разность, которая составляет 9 км/час:

$\upsilon_2-\upsilon_1=9$

Теперь поразмыслим над первым условием задачи. Если спустя час стало известно, что второй бегун прошел круг, значит, он прошел его за 57 минут. Обозначим длину круга . Тогда скорость второго бегуна равна $\upsilon_2=\frac{S}{57}$ . Первый же бегун преодолел расстояние S-8 за 60 минут, значит, его скорость $\upsilon_1=\frac{S-8}{60}$ . Подставляем эти выражения в первое уравнение. Так как в задаче присутствует неудобное число минут – 57, то представим все скорости, в том числе разность скоростей, в км/мин. Получим:

$\frac{S}{57}-\frac{S-8}{60}=\frac{9}{60}$

$60S-57(S-8)=9\cdot57$

$3S=57$

$S=19$

Рассчитаем скорости обоих бегунов: $\upsilon_1=\frac{S-8}{60}=\frac{11}{60}$ – это 11 км/час, $\upsilon_2=\frac{19}{57}=\frac{20}{60}$ – а это 20 км/час.

Задача 4. Часы со стрелками показывают 6 часов 35 минут. Через сколько минут минутная стрелка в пятый раз поравняется с часовой?

Такие задачи часто решаются очень-очень просто: если стрелки в n-ный раз встречаются в полдень или полночь, то есть в 12 часов. Только в этом случае стрелки не только совмещаются сами, но и встреча их происходит строго на риске деления. Все остальные встречи стрелок (не в полночь) происходят между часовыми делениями, и точно сказать, где, навскидку не получится.

Итак, рассуждаем: на данный момент часовая стрелка находится между 6-часовой отметкой и 7-часовой – где-то посередине, так как из 60 минут данного часа прошло 35 – приблизительно половина. А минутная указывает ровно на 7-часовую отметку. То есть, встреча стрелок недавно состоялась, и в течение данного часа они уже не встретятся. (Вот этот момент – самый важный: понять, состоится встреча стрелок в течение этого часа или нет. Некоторые репетиторы даже советуют надеть на руку на экзамен механические часы.) Первая их встреча произойдет где-то между 7 и 8 часами, и пока нам неважно, где точно. Вторая встреча будет между 8-ми и 9-тичасовой отметками, третья – между 9-ти и 10-тичасовой, далее между 10 и 11 – четвертая и между 11 и 12 – пятая. Но встреча между 11 и 12 не может произойти «между» часовыми делениями, она произойдет ровно в 12 часов! Осталось вычесть из 12.00 часов 6.35, не забыв, что в часе не 100 минут, а 60: $12\times 60-{6\times 60+35}=325$ минут.

Задача 5. Часы со стрелками показывают 4 часа 45 минут. Через сколько минут минутная стрелка в седьмой раз поравняется с часовой?

Решение этой задачи может быть проведено совершенно аналогичным способом: в текущем часе стрелки уже не повстречаются. Они встретятся впервые лишь между 5-ю и 6-ю часами. Второй раз – между 6-ю и 7-ю, потом между 7-ю и 8-ю, и далее между 8 и 9, 9 и 10, 10 и 11, и, наконец, между 11 и 12, а именно, в 12 часов, потому что, как мы помним, стрелки совмещаются ровно в полночь (или полдень). Сколько же пройдет времени от 4.45 до 12.00? Пятнадцать минут до пяти часов и еще 7 часов, или $15+7\cdot60=15+420=435$ минут.

Попробуем решить задачу иначе.

Скорость минутной стрелки 12 делений в час, а часовой – одно деление в час. Так как они в конце концов совместятся – и даже неважно, в который раз – значит, время их движения одинаково. Попробуем записать время движения каждой стрелки, применим для этого стандартную формулу для равномерного движения: $S=\upsilon t$ . То есть $t=\frac{S}{\upsilon}$ .

Время движения часовой стрелки равно $t_1=\frac{S_1}{\upsilon_1}$ , время минутной $t_2=\frac{S_2}{\upsilon_2}$ . Со скоростями мы разобрались, а теперь поймем, какой путь каждая проделает. Часовая пройдет неизвестное нам количество делений, пусть это будет делений. Минутная пройдет столько, сколько разделяет на данный момент стрелки – а это семь целых делений и, за счет того, что прошло уже 45 минут от начала текущего часа, то есть $\frac{3}{4}$ часа – еще $\frac{3}{4}$ деления. Затем минутная обгонит часовую еще 6 раз – а это полных шесть кругов, или $6\cdot 12$ делений, да еще делений, на которые уйдет часовая стрелка – всего . Тогда запишем уравнение:

$t_1= t_2$

$\frac{S_1}{\upsilon_1}=\frac{S_2}{\upsilon_2}$

$\frac{K}{1}=\frac{7,75+72+K}{12}$

Или , то есть $K=\frac{79,75}{11}=7,25$

То есть до седьмой встречи часовая стрелка пройдет 7 целых и одну четверть часа – или 435 минут.

Все-таки второй способ немного сложнее первого, «жизненного», не находите?

easy-physic.ru

Движение по окружности: задачи заочной школы МФТИ

Задачи в статье представлены довольно сложные и интересные. Я постаралась объяснять решение доступно и снабдить достаточным количеством картинок.

Задача 1. По результатам геофизических исследований установлено, что за последние $\tau=40$ лет продолжительность суток на Земле увеличилась на $\Delta T=0,001$ с (замедление осевого вращения Земли обусловлено, в первую очередь, действием приливов). Вычислите по этим данным угловое ускорение Земли. Считая вращение Земли равнозамедленным, определите, через сколько миллионов лет продолжительность суток на Земле увеличится на 1 минуту?

Положим, у Земли была угловая скорость

$\omega=\frac{2\pi}{T}$

А через 40 лет стала

$\omega_1=\frac{2\pi}{T+\Delta T}$

Тогда ее изменение

$\Delta \omega=\omega-\omega_1=\frac{2\pi}{ T }-\frac{2\pi}{ T+\Delta T }$

Изменение скорости произошло за 40 лет, поэтому ускорение

$\epsilon=\frac{\Delta \omega }{\tau }$

Теперь ответим на второй вопрос задачи. Теперь $\Delta T_1=60$ c, но ускорение осталось прежним, следовательно,

$\omega_2=\frac{2\pi}{T+\Delta T_1}$

$\Delta \omega_1=\omega-\omega_2=\frac{2\pi}{ T }-\frac{2\pi}{ T+\Delta T_1}$

$\tau_1=\frac{\Delta \omega_1}{\epsilon }=\frac{\frac{1}{ T }-\frac{1}{ T+\Delta T_1}}{\frac{1}{T }-\frac{1}{T+\Delta T }}\cdot \tau$

$\tau_1=\frac{\frac{1}{31536000}-\frac{1}{31536060}}{\frac{1}{31536000}-\frac{1}{31536000,001}}\cdot40=2 399 995$

Ответ: 2,4 млн. лет.

Ответ:

Задача 2. Под каким углом $\alpha$ к горизонту брошен камень, если за время полёта от старта до наивысшей точки траектории радиус кривизны уменьшается в 27 раз?

Нормальное ускорение камня на старте равно

$a_{n0}=\frac{\upsilon_0^2}{R_1}$

А в наивысшей точке полета

$a_{n1}=\frac{\upsilon_0^2\cos^2 {\alpha}}{R_2}$

По условию, $\frac{R_2}{R_1}=27$ .

Если для наивысшей точки принять $a_{n1}=g$ , то на старте $a_{n0}=g\cos{\alpha}$ , следовательно,

$\frac{R_2}{R_1}=\frac{\upsilon_0^2\cos^2 {\alpha}}{g}\cdot \frac{ g\cos {\alpha}}{ \upsilon_0^2}=27$

$\cos^3 {\alpha}=\frac{1}{27}$

$\cos {\alpha}=\frac{1}{3}$

$\alpha=70,5^{\circ}$

Ответ: 70 градусов к горизонту.

Задача 3. Прибор состоит из гладкого изогнутого под прямым углом стержня, расположенного в горизонтальной плоскости, и муфточки А массы , соединённой с пружинкой жёсткости (рис.). Второй конец пружинки закреплён в точке В. Вся система вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси, проходящей через точку О. Найдите относительное удлинение пружинки $\frac{\Delta l}{l_0}$ .

К задаче 3

Сила упругости будет действовать вдоль пружинки, а центростремительная сила – по радиусу. В данном случае радиус – это гипотенуза треугольника, катетами которого являются части стержня. То есть сила упругости – это проекция центростремительной силы на короткий конец стержня.

Тогда запишем это:

$F_{upr}=F_n\sin \alpha~~~~~~~~~~~~~~~(1)$

$F_{upr}=\Delta l k$

$F_n=mR \omega^2$

$\sin \alpha=\frac{l_0+\Delta l}{R}$

Подставим все в (1):

$\Delta l k= mR \omega^2\frac{l_0+\Delta l}{R}$

$\Delta l(k-\omega^2)=l\omega^2m$

$\frac{\Delta l }{l}=\frac{\omega^2m }{k-\omega^2m }$

Ответ: $\frac{\Delta l }{l}=\frac{\omega^2m }{k-\omega^2m }$ .

Задача 4. В августе 2007 г. в Жуковском на авиасалоне МАКС–2007 впервые в мире пять тяжёлых истребителей Су–27 из пилотажной группы «Русские витязи» и четыре фронтовых истребителя МиГ–29 из пилотажной группы «Стрижи», пролетая мимо зрителей со скоростью $\upsilon_1=100$ м/с в плотном строю «ромб» (рис. 21), приблизительно за t=18 с выполнили «бочку» (вращение строем на $360^{\circ}$ вокруг горизонтальной оси; см. видео в интернете). Крайние истребители Су–27 удалены от истребителя в центре строя на r=30 м. На какую величину $\Delta \upsilon$ скорость крайних истребителей Су–27 должна превышать скорость истребителя в центре строя во время выполнения фигуры? Во сколько раз наибольшая сила давления на сиденье лётчика крайнего истребителя больше силы тяжести лётчика во время выполнения фигуры?

Если вращение выполняется за 18 с, то можно записать, что крыло самолета описывает круг за это время:

$\upsilon_t=\frac{2\piR}{t}=\frac{6,28\cdot30}{18}=10,47$

Это мы нашли линейную скорость крыла. Но у крыла есть еще поступательная скорость. Так как обе эти скорости (их вектора) перпендикулярны друг другу, то можно найти итоговую скорость крыла:

$\upsilon=\sqrt{\upsilon_1^2+\upsilon_t ^2}=\sqrt{100^2+10,47^2}=100,55$

То есть скорости отличаются немного: всего на 0,55 м/с. Ответим на второй вопрос задачи, наибольшая сиа давления:

$F=mg+ma_n=m(g+a_n)$

Отношение силы давления в верхней части траектории к силе тяжести будет

$\frac{F}{mg}=\frac{ g+a_n }{g}=1+\frac{\upsilon^2}{gR}=1+\frac{10,5^2}{10\cdot30}=1,3675$

Ответ: $\Delta \upsilon=0,55$ м/с, $\frac{F}{mg}=1,37$ .

Задача 5. По сообщениям СМИ из всего добытого на Земле золота можно было бы «сделать» шар радиусом R=11 м. Вычислите скорость приповерхностного спутника такой «планеты». Плотность золота $\rho= 19300$ кг/м.

Масса такого шара равна

$M=\rho V=\frac{4}{3}\pi R^3 \rho$

По второму закону Ньютона:

$F_n=F_t$

$ma_n= G\frac{mM}{R^2}$

$\frac{m\upsilon^2}{R}=G\frac{mM}{R^2}$

Откуда

$\upsilon^2=\frac{GM}{R}$

$\upsilon=\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{\frac{4}{3}G\pi R^2 \rho }=\sqrt{\frac{4}{3}\cdot6,67\cdot10^{-11}\cdot3,14\cdot121\cdot19300}=0,0255$

Ответ: $\upsilon=0,026$ м/с.

Задача 6. Мотоциклист едет по треку, плоскость которого наклонена к горизонту под углом $\alpha=\frac{\pi}{6}$ . Траектория мотоциклиста – окружность радиуса R=90 м, лежащая в горизонтальной плоскости. Коэффициент трения скольжения шин по трековой дорожке $\mu=0,5$ . Вычислите максимально допустимую скорость движения мотоциклиста.

К задаче 6

Второй закон Ньютона для мотоциклиста:

$\vec{mg}+\vec{N}+\vec{F_{tr}}=\vec{ma_n}$

Если записать уравнение равновесия сил в проекциях на ось, перпендикулярную треку:

$N=mg\cos{\alpha}+ma_n\sin{\alpha}$

Сила трения, как известно, равна $F_{tr}=\mu N$ .

В проекциях на плоскость трека:

$F_{tr}+mg\sin{\alpha}=m a_n \cos{\alpha}$

Приравняем силы трения:

$m a_n \cos{\alpha}-mg\sin{\alpha}=\mu mg\cos{\alpha}+\mu ma_n\sin{\alpha}$

Сокращаем массу:

$\frac{\upsilon^2}{R}\cos{\alpha}- g\sin{\alpha}=\mu g \cos{\alpha} +\mu \frac{\upsilon^2}{R} \sin{\alpha}$

$\frac{\upsilon^2}{R}(\cos{\alpha}-\mu\sin{\alpha})=g(\mu\cos{\alpha} +\sin{\alpha})$

$\upsilon=\sqrt{\frac{Rg(\mu\cos{\alpha} +\sin{\alpha})}{\cos{\alpha}-\mu\sin{\alpha}}}$

$\upsilon=\sqrt{\frac{900(0,5\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+0,5)}{\frac{\sqrt{3}}{2} -0,5\cdot0,5}}=36,9$

Ответ: 36,9 м/с

Задача 7. Груз на нити висит в Москве. При какой продолжительности суток нить расположилась бы параллельно оси вращения Земли?

К задаче 7

Груз отклоняется от вертикали на некоторый угол $\alpha$ . Тогда

$T\cos{\alpha}=mg$

$T\sin{\alpha}=\frac{m\upsilon^2}{R}$

Разделим эти выражения друг на друга:

$\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{\upsilon^2}{Rg}$

Пусть – сутки (период обращения земли), а – радиус, по которому обращается вокруг оси тело, находясь на широте Москвы, тогда

$\upsilon=\frac{2 \pi h}{t}=\frac{2 \pi R\sin {\alpha} }{t}$

$\upsilon=\frac{4 \pi^2 R^2\sin^2 {\alpha} }{t^2}$

Подставим скорость в полученное выше выражение:

$\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{4 \pi^2 R^2\sin^2 {\alpha} }{Rgt^2}$

Откуда

$t=\frac{2 \pi R\sin {\alpha} }{\sqrt{Rg \operatorname{tg}{\alpha}}}=2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}=6,28\sqrt{6400000}{10}=5024$

Предположительно угол небольшой, синус можно заменить самим углом в радианной мере, и тангенс аналогично. Поэтому окончательное выражение упростилось. Время получено в с, в часах это примерно 1,4 часа.

Ответ: 1,4 часа.

Задача 8. Цилиндрический сосуд радиуса , заполненный жидкостью плотностью $\rho$ , вращается с угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси, совпадающей с осью симметрии цилиндра. В сосуде находится шарик радиуса и плотности $2\rho$ . С какой по величине силой шарик давит на вертикальную боковую стенку сосуда?

К задаче 8

Вес шарика в жидкости равен

$P= mg - F_A =mg -\rho g V$

Сила Архимеда появляется вследствие разности давлений воды на разных глубинах. Давление воды обусловлено ее весом. Вес воды определяется наличием ускорения свободного падения. Теперь повернем все горизонтально. Роль ускорения свободного падения возьмет на себя центростремительное. Оно создаст “горизонтальный” вес воды. Из-за разности “глубин” () появится горизонтально направленная сила Архимеда.

Нормальное ускорение шарика равно

$a_n=\frac{\upsilon^2}{R-r}$

Реакция опоры

$N=P_g-F_{A_g}= ma_n -\rho a_n V=(2\rho V -\rho V) \frac{\upsilon^2}{R-r}=\frac{4}{3} \pi r^3 \rho\frac{\upsilon^2}{R-r}=\frac{4}{3} \pi r^3 \rho\omega^2(R-r)$

Ответ: $N=\frac{4}{3} \pi r^3 \rho\omega^2(R-r)$

Задача 9. Шайбе, покоящейся в нижней точке сферической ямы радиуса R=5 м, ударом сообщают горизонтальную скорость $\upsilon=5$ м/с. С какой по величине силой, шайба действует на дно сразу после завершения удара, если коэффициент трения скольжения шайбы по поверхности ямы $\mu=0,33$ ? Масса шайбы m=0,2 кг.

Уравнение по второму закону Ньютона:

$\vec{mg}+\vec{N}+\vec{F_{tr}}=\vec{ma_n}$

Распишем в проекциях на вертикальную и горизонтальную оси:

$ma_n=N-mg$

$N=m(a_n+g)$

$F_{tr}=\mu N= \mu m(a_n+g)$

Сила давления шайбы на сферу будет равна силе давления сферы на шайбу, а эта сила – результат векторного сложения сил $\vec{N}$ и $\vec{F_{tr}}$ ,

$F=\sqrt{N^2+F_{tr}^2}=m(a_n+g)\sqrt{1+\mu^2}= m(\frac{\upsilon^2}{R}+g) \sqrt{1+\mu^2}= 0,2(\frac{5^2}{5}+10) \sqrt{1+0,33^2}=3,16$

Ответ: 3,16 Н

Задача 10. По гладкой проволочной винтовой линии радиуса с шагом , ось которой вертикальна, скользит с нулевой начальной скоростью бусинка. Найдите величину и направление ускорения $\vec{a}$ бусинки в конце -ного витка.

Уравнение по второму закону Ньютона:

$\vec{mg}+\vec{N_1}+\vec{N_2}=\vec{ma}$

Посмотрим на спираль сверху: мы увидим окружность, и движущуюся по ней все быстрее бусинку. Тангенциальное ускорение направлено так же, как линейная скорость (если смотреть сверху). Но если смотреть сбоку на нашу спираль, то становится понятно, что линейная скорость направлена чуть вниз (бусинка-то соскальзывает). Следовательно, и тангенциальное ускорение тоже направлено так же.

К задаче 10

Для тангенциального ускорения теперь можно записать:

$a_{\tau}=g\sin{\alpha}$

Давайте определим синус этого угла. Для этого «развернем» спираль (один виток). За время одного оборота тело проходит по спирали путь, равный длине окружности, $2 \pi R$ . И за это же время оно успевает спуститься вниз на один шаг спирали – . Поэтому в пространстве тело преодолевает расстояние

$L=\sqrt{h^2+(2 \pi R)^2}$

Следовательно,

$\sin{\alpha}=\frac{h}{L}=\frac{h}{\sqrt{h^2+(2 \pi R)^2}}$

Запишем тангенциальное ускорение:

$a_{\tau}=\frac{gh}{\sqrt{h^2+(2 \pi R)^2}}$

Теперь определимся с нормальным ускорением: бусинка будет набирать скорость и оно будет меняться. Какой же будет скорость тела на ном витке? По закону сохранения энергии

$\frac{m\upsilon^2}{2}=nmgh$

$\upsilon^2=2ghn$

Если опять посмотреть на спираль сверху, то мы увидим направленное внутрь ее нормальное ускорение, но если посмотреть сбоку, то станет понятно, что вектор нормального ускорения, так же как и тангенциального, имеет наклон вниз вследствие сползания бусинки. Поэтому

$a_n=\frac{(\upsilon \cos{\alpha})^2}{R}$

С косинусом теперь проще, после разбора синуса:

$\cos{\alpha}=\frac{2 \pi R}{L}=\frac{2 \pi R}{\sqrt{h^2+(2 \pi R)^2}}$

Тогда нормальное ускорение равно

$a_n=\frac{2ghn\cdot 4\pi^2 R}{(h^2+(2 \pi R)^2)}= \frac{8ghnR pi^2}{(h^2+(2 \pi R)^2)}$

Полное ускорение бусинки

$a=\sqrt{a_n^2+ a_{\tau}^2}=\sqrt{\frac{64g^2h^2n^2R^2 pi^4}{(h^2+(2 \pi R)^2)^2}+\frac{g^2h^2}{h^2+(2 \pi R)^2}}$

$a=\frac{gh}{ h^2+(2 \pi R)^2}\sqrt{64n^2R^2 pi^4+ h^2+(2 \pi R)^2}$

Ответ: $a=\frac{gh}{ h^2+(2 \pi R)^2}\sqrt{64n^2R^2 pi^4+ h^2+(2 \pi R)^2}$

Задача 11. Брусок, к вертикальной стойке которого на лёгкой нити прикреплён шарик массы , покоится на гладкой горизонтальной поверхности (рис.). Нить с шариком отклонили до горизонтального положения и отпустили. После этого шарик движется в вертикальной плоскости по окружности с нулевой начальной скоростью. Найдите наибольшую величину силы, с которой брусок действует на вертикальную стенку.

К задаче 11

Наибольшей сила давления будет в тот момент, когда ускорение шарика (полное) будет направлено горизонтально.

К задаче 11 – ускорения и силы

В проекциях на вертикальную ось:

$T\cos{\alpha}=mg~~~~~~~~~~~~~~~(2)$

В проекциях на радиальное направление:

$\frac{m\upsilon^2}{l}=T-mg\cos{\alpha}~~~~~~~~~~~~~~~~~(3)$

Из закона сохранения энергии (вся потенциальная энергия, обусловленная разностью высот , перешла в кинетическую):

$\frac{m\upsilon^2}{2}=mgl\cos{\alpha}$

Откуда

$\upsilon^2=2 gl\cos{\alpha}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(4)$

Тогда, подставив (4) в (3), получим

$\frac{m}{l}2 gl\cos{\alpha}=T-mg\cos{\alpha}$

$T= 3mg\cos{\alpha}$

$\cos{\alpha}=\frac{T}{3mg}$

Теперь подставим сюда $mg= T\cos{\alpha}$ и получаем

$\cos{\alpha}=\frac{1}{3\cos{\alpha}}$

$\cos{\alpha}^2=\frac{1}{3}$

$\cos{\alpha}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Определим теперь нормальное ускорение в этот момент:

$a_n= 2g\cos{\alpha}=\frac{2g}{\sqrt{3}}$

А тангенциальное

$a_{\tau}=g\sin{\alpha}$

$\sin{\alpha}=\sqrt{\frac{2}{3}}$

$a_{\tau}=g\sqrt{\frac{2}{3}}$

Полное ускорение шарика:

$a=\sqrt{a_n^2+ a_{\tau}^2}=\sqrt{\frac{4g^2}{3}+\frac{2g^2}{3}}=g\sqrt{2}$

Следовательно, сила, с которой брусок будет давить на боковую стенку, равна силе, с которой шарик действует на брусок

$F=ma=m g\sqrt{2}$

Ответ: $F=m g\sqrt{2}$

easy-physic.ru

Решение сложных задач. Движение по кругу

В статье собраны задачи из книги “Отличник ЕГЭ. Решение сложных задач” на тему “Движение по окружности”. Правда, понадобятся знание формул равноускоренного движения и закон сложения классических скоростей, потому что такие задачи, как правило, сочетают в себе несколько областей знаний.

Задача 1. У мальчика, сидящего на расстоянии r=3 м от оси на вращающейся с угловой скоростью $\omega=1,57$ рад/с карусели, выпали из кармана с интервалом $\Delta t=1$ с два камушка. На каком расстоянии друг от друга ударятся о землю эти камушки, если высота, с которой они упали, равна h=2 м?

К задаче 1.

Обозначим искомое расстояние . Тогда по теореме косинусов запишем:

$L^2=(s+x)^2+(s-x)^2-2(s+x)(s-x)\cos{\varphi}$

Здесь (обозначено жирной рыжей линией) – расстояние, которое пролетят камушки по горизонтали после отрыва от карусели, – неизвестный нам отрезок касательной, ${\varphi}$ – угол, на который повернется карусель за 1 с. Все эти величины нам предстоит определить.

Сначала займемся отрезком . Запишем теорему косинусов для треугольника ABC :

$AB^2=2r^2-2r^2\cos{\varphi}=2r^2(1-\cos{\varphi})$

Теперь запишем теорему косинусов для треугольника ABD :

$AB^2=2x^2-2x^2\cos{180^{\circ}-\varphi}=2x^2(1+\cos{\varphi})$

Отсюда, приравняв оба выражения, найдем:

$x^2=\frac{r^2(1-\cos{\varphi})}{(1+\cos{\varphi})}$

Теперь определим . Движение камушков по вертикали – свободное падение. С высоты камушки будут падать время $t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$ . При этом камушки будут обладать линейной скоростью $\upsilon=\omega r$ , поэтому улетят на расстояние

$s=\upsilon t=\omega r \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Наконец, угол поворота карусели:

${\varphi}=\omega\Delta t$

Теперь упростим выражение для L^2 :

$L^2=(s+x)^2+(s-x)^2-2(s+x)(s-x)\cos{\varphi}=(s+x)^2+(s-x)^2-2(s^2-x^2)\cos{\varphi}=s^2+2xs+x^2+s^2-2xs+x^2-2s^2\cos{\varphi}+2x^2\cos{\varphi}=$

$= 2s^2+2x^2-2s^2\cos{\varphi}+2x^2\cos{\varphi}=2s^2(1-\cos{\varphi})+2x^2(1+\cos{\varphi})$

Подставим выражение для x^2 :

$L^2=2s^2(1-\cos{\varphi})+2r^2(1-\cos{\varphi})=2(1-\cos{\varphi})(s^2+r^2)$

Заменим выражение $1-\cos{\varphi}$ на $2\sin^2\left(\frac{\varphi }{2}\right)$ :

$L^2=4\sin^2\left(\frac{\varphi }{2}\right)(s^2+r^2)$

Подставим найденный угол:

$L^2=4\sin^2\left(\frac{\omega\Delta t }{2}\right)(s^2+r^2)$

Подставляем $s^2=\frac{2hr^2\omega^2}{g}$ :

$L^2=4\sin^2\left(\frac{\omega\Delta t }{2}\right)\left(\frac{2hr^2 \omega^2}{g}+r^2\right)=$

$= 4r^2 \sin^2\left(\frac{\omega\Delta t }{2}\right)\left(\frac{2h\omega^2}{g}+1\right)$

Наконец, извлекаем корень:

$L=2r \mid \sin\left(\frac{\omega\Delta t}{2}\right) \mid \sqrt{\frac{2h\omega^2}{g}+1}$

Подставим числа:

$L=6 \mid \sin{45^{\circ}} \mid\sqrt{\frac{4\cdot 1,57^2}{10}+1}=6$

Ответ: 6 м.

Задача решена в общем виде. Но ведь можно заметить, что 1,57 радиана – это прямой угол. Тогда задача сразу решается по теореме Пифагора без привлечения теоремы косинусов, и заметно упрощается.

Задача 2. Колесо катится без проскальзывания по ленте транспортера, движущейся горизонтально со скоростью $\upsilon_0=1$ м/с, в направлении движения ленты. Известно, что относительно неподвижного наблюдателя скорость точки $\upsilon_B$ , находящейся на ободе колеса на его горизонтальном диаметре, составляет с горизонтом угол $\alpha=30^{\circ}$ . Найти скорость $\upsilon$ центра колеса относительно неподвижного наблюдателя.

К задаче 2

Тангенс угла $\alpha$ равен отношению вертикальной и горизонтальной составляющей скорости:

$\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{\upsilon_{vert}}{\upsilon_{gor}}$

Вертикальная составляющая скорости точки – скорость точки относительно центра колеса – равна скорости центра колеса относительно мгновенного центра вращения – точки соприкосновения с лентой.

Относительно неподвижного наблюдателя скорость центра колеса равна сумме скоростей колеса $\upsilon$ (объект относительно системы отсчета) и системы отсчета (лента транспортера). Поэтому чтобы найти скорость объекта относительно системы отсчета, нужно вычесть из скорости точки , а именно, ее горизонтальной составляющей, скорость ленты транспортера:

$\upsilon_{vert}=\upsilon-\upsilon_0$

Горизонтальная составляющая скорости как раз равна скорости колеса относительно неподвижного наблюдателя. Тогда:

$\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{\upsilon-\upsilon_0}{\upsilon}$

$\operatorname{tg}{\alpha}\upsilon =\upsilon-\upsilon_0$

$\upsilon_0 =\upsilon(1-\operatorname{tg}{\alpha})$

$\upsilon=\frac{\upsilon_0}{1-\operatorname{tg}{\alpha}}$

Подставим числа:

$\upsilon=\frac{1}{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}=2,36$

Ответ: 2,36 м/с

Задача 3. Ведущая шестерня радиусом R=20 см вращается с постоянной угловой скоростью $\omega_1=1$ рад/с и приводит во вращение шестерню радиусом r=10 см. В некоторый момент времени метки и совпадают. Через какой минимальный промежуток времени относительная скорость меток станет равной нулю?

К задаче 3

Вектора линейных скоростей всегда равны по модулю. Относительная скорость будет равна нулю тогда, когда вектора линейных скоростей будут параллельны. То есть это случится тогда, когда оба вектора вместе, суммарно развернутся на $180^{\circ}$ – это минимальное время, до этого момента между векторами всегда есть некоторый угол. Вследствие разных радиусов угловые скорости вращения тоже разные:

$\upsilon=\omega_1 R=\omega_2 r$

Отсюда:

$\frac{\omega_1}{\omega_2}=\frac{r}{R}$

С другой стороны:

$\omega_1=\frac{\phi_1}{t}$

$\omega_2=\frac{\phi_2}{t}$

$t=\frac{\phi_1}{\omega_1}=\frac{\phi_2}{\omega_2}$

Угол, на который повернется ведущая шестерня, равен $\phi_1=180^{\circ}-\alpha$ , а угол, на который повернется ведомая шестерня, $\phi_2=180^{\circ}+\alpha$ .

Перепишем последнюю пропорцию:

$\frac{\phi_1}{\phi_2}=\frac{\omega_1}{\omega_2}$

$\frac{180^{\circ}-\alpha}{180^{\circ}+\alpha}=\frac{r}{R}$

$180^{\circ}(r-R)=-\alpha(R+r)$

Определим угол $\alpha$ :

$\alpha=\frac{180^{\circ}(r-R)}{ R+r }$

Найдем теперь время:

$t=\frac{\phi_1}{\omega_1}$

$\phi_1=180^{\circ}-\alpha=180^{\circ}-\frac{180^{\circ}(r-R)}{ R+r}=\frac{180^{\circ}(R+r)- 180^{\circ}(r-R)}{R+r}=\frac{360^{\circ}r}{r+R}=\frac{2 \pi r}{r+R}$

$t=\frac{\phi_1}{\omega_1}=\frac{2 \pi r}{(r+R)\omega_1}=\frac{6,28 \cdot 0,1 }{0,3\cdot 1}=2,1$

Ответ: 2,1 с

easy-physic.ru

ФИЗИКА: Задачи на Движение тела по окружности

Задачи на Движение тела по окружности с решениями

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Краткая теория для решения Задачи на Движение тела по окружности.

Движение по окружности — задачи

Движение по окружности. Примеры решения задач по физике. 9-10 класс

Движение по окружности. Примеры решения задач по физике. 9-10 класс

А теперь к задачам!

Задачи. Равномерное движение по окружности — PhysBook

Уровень А

Уровень B

Задачи на движение по кругу

Движение по окружности: задачи заочной школы МФТИ

Решение сложных задач. Движение по кругу

Добавить комментарий Отменить ответ