Арифметическая прогрессия – Определение, Примеры, Формулы 9 класс

Определение числовой последовательности

Числовая последовательность — это множество чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.

Последовательности можно задавать разными способами:

 

1. Словесно — когда правило последовательности объясняется словами:

   «Последовательность простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23…»



2. Аналитически — когда указана формула ее n-го члена: y_n = f(n).

   Последовательность y_n = C называют постоянной или стационарной.



3. Рекуррентно — когда указывается правило, которое помогает вычислить n-й член последовательности, если известны её предыдущие члены.

   Последовательность Фибоначчи — когда каждое следующее число равно сумме двух предыдущих чисел: a_n+1 = a_n + a_n-1.

   Пример: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55.

   ..



4. Графически — когда график последовательности состоит из точек с абсциссами
   1, 2, 3, 4…
   

Так как алгебраическая числовая последовательность — это частный случай числовой функции, то ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.

Свойства числовых последовательностей:

 

1. Последовательность {y_n} называют возрастающей, если каждый ее член кроме первого больше предыдущего:

   y₁ < y₂ < y₃ < … < y_n < y_n+1 < …



2. Последовательность {y_n} называют убывающей, если каждый ее член кроме первого меньше предыдущего:

   y₁ > y₂ > y₃ > … > y_n > y_n+1 > …

   Возрастающие и убывающие последовательности называют монотонными последовательностями.



3. Последовательность можно назвать периодической, если существует такое натуральное число T, что начиная с некоторого N, выполняется равенство: y_n = y_n+T. Число T — длина периода.

 

 

Запишем числа, которые первые пришли в голову: 7, 19, 0, −1, −2, −11, 0… Сколько бы чисел не написали, всегда можно сказать, какое из них первое, какое — второе и так до последнего. То есть мы можем их пронумеровать.

Пример числовой последовательности выглядит так:

В такой математической последовательности каждый номер соответствует одному числу. Это значит, что в последовательности не может быть двух первых чисел и т.д. Первое число (как и любое другое) — всегда одно.

N-ный член алгебраической последовательности — это число с порядковым номером n.

Всю последовательность можно обозначить любой буквой латинского алфавита, например,

a. Каждый член этой последовательности — той же буквой с индексом, который равен номеру этого члена: a₁, a₂,…, a₁₀…, a_n.

N-ый член последовательности можно задать формулой. Например:

• Формула a_n = 3n − 5 задает последовательность: −2, 1, 4, 7, 10…
• Формула a_n = 1 : (n + 2) задает последовательность: 1/3, 1/4, 1/5, 1/6…

Определение арифметической прогрессии

Так как числовая последовательность — это частный случай функции, которая определена на множестве натуральных чисел, арифметическую прогрессию можно назвать частным случаем числовой последовательности.

Рассмотрим основные определения и как найти арифметическую прогрессию.

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность a1, a2,…, an,… для которой для каждого натурального n выполняется равенство: an+1= an + d, где d — это разность арифметической прогрессии.

Описать словами эту формулу можно так: каждый член арифметической прогрессии равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d.

Разность между последующим и предыдущим членами, то есть разность арифметической прогрессии можно найти по формуле:

Если известны первый член a₁ и n-ый член прогрессии, разность можно найти так:

Арифметическая прогрессия бывает трех видов:

 

1. Возрастающая — арифметическая прогрессия, у которой положительная разность, то есть d > 0.

   Пример: последовательность чисел 11, 14, 17, 20, 23… — это возрастающая арифметическая прогрессия, так как ее разность d = 3 > 0.



2. Убывающая — арифметическая прогрессия, у которой отрицательная разность, то есть d < 0.

   Пример: последовательность чисел 50, 48, 46, 44, 42… — это убывающая арифметическая прогрессия, так как ее разность d = –2 < 0.



3. Стационарная — арифметическая прогрессия, у которой разность равна нулю, то есть d = 0.

   Пример: последовательность чисел 23, 23, 23, 23, 23… — это стационарная арифметическая прогрессия, так как ее разность d = 0.

Экзамены — это почти всегда стресс. Подготовка к ЕГЭ по математике онлайн в школе Skysmart поможет снять волнение перед экзаменом и придаст уверенности в своих знаниях.

Свойство арифметической прогрессии

Переведем с языка формул на русский: каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Что как раз объясняет название «арифметическая» прогрессия.

Формула n-го члена арифметической прогрессии

Из определения арифметической прогрессии следует, что равенство истинно:

Поэтому:

и т.д.

Значит,

Переведем с языка формул на русский: если мы знаем первый член и разность арифметической прогрессии, то можем найти любой ее член.

Арифметическую прогрессию можно назвать заданной, если известен ее первый член и разность.

Формулу a_n = a₁ + d * (n — 1) называют формулой n-го члена арифметической прогрессии.

Формулы арифметической прогрессии

В 9 классе проходят все формулы арифметической прогрессии. Давайте узнаем, какими способами ее можно задать:

 

1. Рекуррентной формулой:


2. Формулой n-го члена: a_n = a₁+ d · (n — 1).


3. Формулой вида a_n = kn + b, где k и b — числа, n — число членов последовательности.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии (а_n) обозначается S_n:

Формулы нахождения суммы n членов арифметической прогрессии:

Чтобы быстрее запомнить формулы можно использовать такую табличку с основными определениями:

Рассмотрим пример арифметической прогрессии.

Дано: арифметическая прогрессия (a_n), где a₁ = 0 и d = 2.

Найти: первые пять членов прогрессии и десятый член прогрессии.

Решение арифметической прогрессии:

 

1. Чтобы найти последующий член прогрессии, нужно к предыдущему прибавить разность:

   a₂ = a₁ + d = 0 + 2 = 2;

   a₃ = a₂ + d = 2 + 2 = 4;

   a₄ = a₃ + d = 4 + 2 = 6;

   a₅ = a₄ + d = 6 + 2 = 8.



2. Используем общую формулу a_n = a₁ + d * (n — 1).

   По условиям задачи n = 10, подставляем в формулу:

   a₁₀ = a₁ + 2 * (10 — 1) = 0 + 2⋅9 = 18.

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — это последовательность (b_n), в которой каждый последующий член можно найти, если предыдущий член умножить на одно и то же число q.

Если последовательность (b_n) является геометрической прогрессией, то для любого натурального значения n справедлива зависимость:

bn+1 = bn * q, где q — знаменатель геометрической прогрессии

Если в геометрической прогрессии (b_n) известен первый член b₁ и знаменатель q, то можно найти любой член прогрессии:

• b₂ = b₁ * q;
• b₃ = b ₂ * q = b₁ * q * q = b₁ * q²;
• b₄ = b₁ * q³;
• и т. д.

Общий член геометрической прогрессии bn можно вычислить при помощи формулы:

b_n = b₁ * qⁿ⁻¹, где n — порядковый номер члена прогрессии, b₁ — первый член прогрессии, q — знаменатель.

Пример 1. 2, 6, 18, 54,… — геометрическая прогрессия b = 2, q = 3.

Пример 2. 3, -3, 3, -3,… — геометрическая прогрессия b = 3, q = -1.

Пример 3. 7, 7, 7, 7,… — геометрическая прогрессия b = 7, q = 1.

формула n-го члена прогрессии 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей |

Тема 10.

Определение арифметической прогрессии: формула n-го члена прогрессии.

Сегодня познакомимся с последовательностью, которая получается по определенному закону (правилу).

Рассмотрим последовательность натуральных чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 2.

Каждый ее член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену числа 5. Эта последовательность является примером арифметической прогрессии.

Итак, арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

Другими словами, последовательность an – арифметическая прогрессия, если для любого натурального n выполняется условие an+1=an+d, где d – некоторое число.

Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым ее членом, начиная со второго, и предыдущим членом равна d, то есть при любом натуральном n верно равенство:an+1-an=d. Это число d называют разностью арифметической прогрессии.

Чтобы задать арифметическую прогрессию достаточно указать ее первый член и разность.

a1=1 и d=2, то получим арифметическую прогрессию: 1,3,5,7,…

a1=-5 и d=3, то получим арифметическую прогрессию: -5,-2,1,4,7,…

a1=-3 и d=-2, то получим арифметическую прогрессию: -3,-5,-7,…

a1=4 и d=0, то получим арифметическую прогрессию: 4,4,4,4,…

Итак, зная первый член и разность арифметической прогрессии, можно найти любой ее член, вычисляя последовательно второй, третий, четвертый и т. д. Но если надо будет найти сотый, или двухсотый члены, то этот способ не очень удобен.

Давай попробуем вывести формулу для нахождения любого члена арифметической прогрессии. Итак, по определению арифметической прогрессии:

a2=a1+d

a3=a2+d=a1+d+d=a1+2d

a4=a3+d=a1+2d+d=a1+3d

a5=a4+d=a1+3d+d=a1+4d

Что же мы видим? Что любой член арифметической прогрессии можно найти по формуле: an=a1+dn-1 – это и есть формула n — го члена арифметической прогрессии.

Рассмотрим примеры.

1) Последовательность an – арифметическая прогрессия, в которой a1=2,3 и d=0,36. Найти 101-й член этой прогрессии.

Воспользуемся формулой: an=a1+dn-1

a101=2,3+0,36100-1=2,3+0,36∙100=2,3+36=38,3

Ответ: 38,3

2) Выясним являются ли числа -31,5 и 16 членами арифметической прогрессии (a_n): 27, 4; 24,3; 21,2; …

В данной арифметической прогрессии

a1=27,4

d=a2-a1=24,3-27,4=-3,1

Запишем формулу n-го члена арифметической прогрессии:

an=a1+dn-1

an=27,4-3,1n-1, то есть

an=27,4-3,1n+3,1

an=30,5-3,1n

Числа -31,5 и 16 будут членами арифметической прогрессии, если существует такое натуральное число n, при котором значение выражения 30,5 — 3,1n = -31,5 (1)

30,5 — 3,1n = 16 (2)

Решим эти уравнения. Из (1) находим, что n = 20, из (2) n=42131.

А, значит, число -31,5 является двадцатым членом арифметической прогрессии. Число 16 не является членом арифметической прогрессии.

Отсюда понятно, что любую арифметическую прогрессию можно задать формулой a_n = kn + b, где k и b некоторые числа.

Верно и обратное, если последовательность (a_n), заданная формулой a_n = kn + b, где k и b некоторые числа, является арифметической прогрессией.

Рассмотрим еще один пример.

Найти 25-й член и n-й член арифметической прогрессии: -2; -0,5; 1; 2,5; 4;…

Итак, a₁ = -2; d = 2,5 — 1 = 1,5.

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии:

an=a1+dn-1

a25=-2+1,525-1=-2+1,5∙24=34

an=-2+1,5n-1=-2+1,5n-1,5=1,5n-3,5.

Отметим важное свойство арифметической прогрессии.

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов, то есть своих соседей.

Например, дана арифметическая прогрессия: a_n: … ; 11; x; 27;…

x=11+272=19

Итак, в арифметической прогрессии

an=an-1+an+12.

Итак, сегодня мы познакомились с арифметической прогрессией, ее свойством, а так же вывели формулу n-го члена арифметической прогрессии. А в следующий раз мы выведем формулу нахождения суммы первых n-членов арифметической прогрессии.

Калькулятор арифметической прогрессии с формулами и примерами решений

Представим, что подряд выписаны все четные натуральные числа: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 18, 18, 20, 22… Это — последовательность четных натуральных чисел. Число 2 — ее первый член, 4 — второй, 6 — третий, 20 — десятый и т. д.

Приведем еще несколько примеров числовых прогрессий:

• 1, 2, 3, 4, 5… — последовательность натуральных чисел,   
• 1, 3, 5, 7, 9… — последовательность нечетных натуральных чисел,
• 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5… – последовательность чисел, обратных к натуральным.

Последовательности бывают конечные и бесконечные. Конечной, например, есть последовательность однозначных натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Последовательность всех натуральных чисел — бесконечная. Записывая бесконечную последовательность, после нескольких ее первых членов ставят многоточие. Первый, второй, третий члены последовательности четных натуральных чисел равны соответственно 2, 4, 6. Пишут: a1 = 2, а2 = 4, а3 = 6

А чему равен ее n-й член An? Поскольку каждый член последовательности парных натуральных чисел вдвое больше от своего порядкового номера, то ее n-й член равен 2n, т. е.

An = 2n.

Это формула n-го члена последовательности парных натуральных чисел.

An = 2n − 1

Формула n-го члена последовательности нечетных натуральных чисел.

Если известна формула n-го члена последовательности, то нетрудно вычислить любой ее член. Напишем несколько первых членов последовательности, n-й член которой:

An = n² + 2

Предоставляя переменной п значения 1, 2, 3, 4, 5… получим первые члены последовательности: 6, 11, 18, 27, 38, 51… Тысячный член этой последовательности а1000 = 1000² + 2 = 1000002.

Гораздо труднее решать обратную задачу — для данной последовательности найти ее n-й член. Например, формула n-го члена последовательности простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13… — неизвестна до сих пор, хотя математики искали ее более 2000 лет.

Несколько первых членов последовательности не задают ее однозначно.

Например, существует множество различных последовательностей, первые члены которых 2, 4, 6, 8. В частности, такие первые члены имеют последовательности, n-е члены которых:

• An = 2n
• Cn = 2 n + (n − 1) (n − 2) (n − 3) (n − 4)

Из двух соседних членов a1 и a2 последовательности член a2 называют следующим за а1, а а1 — предыдущим по отношению к а2. Последовательность называют растущей, если каждый ее член, начиная со второго, больше предыдущего. Последовательность называется убывающей, если каждый ее член, начиная со второго, меньше предыдущего.

Замечания

Иногда рассматривают также прогрессивности, членами, которых являются различные выражения, функции, фигуры то ​ что. Можно говорить и о последовательности месяцев в году, дней в неделе, букв в слове, фамилий в списке, вагонов в поезде, станций на железной дороге и т. д. Мы дальше будем говорить только о числовых последовательностях, хотя и зовем их коротко последовательностями.

Понятие арифметической прогрессии

Арифметической прогрессией называется прогрессивность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, к которому добавляют одно и то же число. Это постоянное для данной последовательности число d называется разницей арифметической прогрессии.

Первый член и разность арифметической прогрессии могут быть какими угодно числами. Арифметическая прогрессия растущая, если ее разница положительная, или нисходящая, если ее разница отрицательная.

Пример нисходящей арифметической прогрессии: 11, 9, 7, 5, 3, 1, −1, −3…

Чтобы получить любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, надо к предыдущему члена добавить разницу d. Поэтому если первый член и разность арифметической прогрессии равны соответственно а и d, то первые члены этой арифметической прогрессии:

a1, a1 + d, a1 + 2d, a1 + 3d, a1 + 4d…

Обратите внимание: коэффициент при d на 1 меньше порядкового номера члена прогрессии. Так же находим а6 = а1 + 5d, а7 = а1 + 6d и вообще:

An = a1 + (n − 1)d

Это формула n-го члена арифметической прогрессии. Сумма членов конечной арифметической прогрессии равна полусумме крайних ее членов, умноженной на число членов.

Sn = [(a1 + an) / 2] × n

Примеры задач

Пример 1

В арифметической прогрессии a1 = 4, d = 3. Найдите a20.

В калькуляторе задаем:

• Первое число: 3
• Последнее число: 20
• Разница (шаг): 3

Получаем:

• Арифметическая прогрессия: 61
• Сумма членов прогрессии: 650
• Последовательность: 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61

Проверяем самостоятельно по формулам с теории:

• a20 = а1 + 19d = 4 + 19 × 3 = 61

Пример 2

Найдите сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии 5, 7, 9. ..

В калькуляторе задаем:

• Первое число: 5
• Последнее число: 20
• Разница (шаг): 2

Результаты рассчета:

• Арифметическая прогрессия: 43
• Сумма членов прогрессии: 480
• Последовательность: 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43

Проверяем:

• Здесь а1 = 5, d = 2. Поэтому а20 = 5 + 19 × 2 = 43
• S = [(5 + 43) / 2] × 20 = 480

Онлайн-калькулятор делает вычисления намного проще: он экономит время, избавляя от необходимости делать вычисления вручную по формулам.

Подготовка к ОГЭ. Последовательности. Арифметическая прогрессия.

Любой ученик девятого класса при желании легко сможет понять, что такое арифметическая или геометрическая прогрессия. Решение большинства задач на тему прогрессий из заданий ОГЭ по математике тоже не вызовет трудностей. Однако есть ряд задач, требующих понимания правильного использования формул прогрессий. Поэтому разберёмся, что такое арифметическая и геометрическая прогрессии и как применяются формулы этих прогрессий.

Запишем произвольный набор чисел, например: 2; 5; 8; 12; 19; 25;… Есть ли какая либо связь между этими числами? Как бы мы не пытались найти связь или закономерность, обнаружить этого нам не удастся. Единственное, что мы сможем сделать – это пронумеровать по порядку все числа. Тогда каждое число будет иметь свой порядковый номер, например, под номером 4 находится только число 12, и ни какое другое и т.д.

Набор чисел мы сможем рассматривать просто как числовую последовательность.

Числовая последовательность – это множество чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.

Теперь рассмотрим пару других наборов чисел, точнее, пару последовательностей: 

-1; 2; 3; 4; 5; 6; …

 — 5; 10; 15; 20; 25; … В этих последовательностях, кроме того, что каждое число или каждый элемент стоит на определённом месте, можно заметить и некоторую закономерность. В первой последовательности каждый следующий элемент на единицу больше предыдущего. Во второй последовательности каждый следующий элемент на 5 больше предыдущего. В обеих последовательностях каждый следующий элемент, начиная со второго, отличается от предыдущего на одно и то же число.

Такие последовательности называются арифметическими прогрессиями. 

 Сформулируем более точно определение арифметической прогрессии. 

Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, каждый элемент которой равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Это число называют разностью арифметической прогрессии и обозначают буквой d. 

Число d может быть положительным, в рассмотренных выше арифметических прогрессиях d=1 и d=5. Число d может быть отрицательным, например, прогрессия 100; 90; 80; 70;… Здесь число d = — 10. Легко можно заметить, что если разность прогрессии, число d , больше нуля, то прогрессия возрастающая. Если разность прогрессии меньше нуля, то прогрессия убывающая .

Если мы знаем, как образуется прогрессия и хотим записать некоторую прогрессию, которая начинается, например, с числа 8 и имеет разность прогрессии d = 4, то мы легко запишем первые её члены – 8; 12; 16; 20;… А если нам необходимо узнать член прогрессии под номером, например, 50. Прибавлять по 4 очень долго. В этом случае используют формулу аn = a1 +(n-1)d. 

Для нашей задачи а50 = a1+(50 – 1)*4= 8 +49*4=204. На 50 месте будет находиться число 204.

Формулу аn = a1 +(n-1)d (1) называют уравнением арифметической прогрессии. Эту формулу используют при решении самых разных задач на арифметическую прогрессию.

Вспомним ещё одну формулу арифметической прогрессии. Начнём с интересной задачи. Допустим, есть последовательность — 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7;…..98; 99; 100. и необходимо найти сумму всех её чисел. Заданная последовательность – это арифметическая прогрессия и нам необходимо найти сумму ста её чисел. Если будем складывать числа по порядку, то это займёт очень много времени. Давайте сделаем по-другому. Первое и последнее число в сумме дают 101, второе и предпоследнее в сумме также дают 101, третье и пред предпоследнее опять в сумме дают 101. Значит, объединяя определённым образом числа в пары, в сумме всегда, для данной прогрессии, будем получать 101. А сколько получится пар? Не сложно заметить, что пар будет ровно 50. Тогда сумма заданной прогрессии будет 101*50=5050.

Есть несколько предположений, легенд, по вопросу — кто первый начал считать, таким образом, сумму нескольких членов арифметической прогрессии. Возможно, это был великий математик Карл Гаус или строители египетских пирамид ( зная количество блоков в первом и последнем ряду, а также количество рядов можно рассчитать общее количество блоков) или математики древней Греции. 

Формула суммы нескольких членов арифметической прогрессии является второй основной формулой арифметической прогрессии. Sn = (2a1+d(n-1))*n/2 (2)

Данная формула легко выводится, если рассуждать, как мы рассуждали выше, при расчёте суммы прогрессии от 1 до 100. Sn =( a1 +an)*n/2. Подставляя значение a n из формулы (1), получаем формулу (2).

В указанном видео https://youtu.be/fwWbim7yg1w  мы решаем задачи на последовательности чисел и на арифметическую прогрессию. В задачах на прогрессию рассмотрели, как правильно использовать две основные формулы, указанные в статье.

Редакция не несет ответственности за наполнение блогов, они есть персональным мнением автора

Арифметическая прогрессия. Часть 1

Прежде чем мы начнем решать задачи на арифметическую прогрессию, рассмотрим, что такое числовая последовательность, поскольку арифметическая прогрессия — это частный случай числовой последовательности.

Числовая последовательность — это числовое множество, каждый элемент которого имеет свой порядковый номер. Элементы этого множества называются членами последовательности.  Порядковый номер элемента последовательности обозначается индексом:

— первый элемент последовательности;

— пятый элемент последовательности;

— «энный» элемент последовательности, т. е. элемент, «стоящий в очереди» под номером n.

Между значением элемента последовательности и его порядковым номером существует зависимость. Следовательно, мы можем рассматривать последовательность как функцию, аргументом которой является порядковый номер элемента последовательности. Другими словами можно сказать, что последовательность — это функция от натурального аргумента:

Последовательность можно задать тремя способами:

1. Последовательность можно задать с помощью таблицы. В этом случае мы просто задаем значение каждого члена последовательности.

Например, Некто решил заняться личным тайм-менеджментом, и для начала посчитать в течение недели, сколько времени он  проводит ВКонтакте. Записывая время в таблицу, он получит последовательность, состоящую из семи элементов:

В первой строке таблицы указан номер дня недели, во второй — время в минутах. Мы видим, что , то есть в понедельник Некто провел ВКонтакте 125 минут,  , то есть в четверг  —  248 минут, а , то есть в пятницу всего 15.

2. Последовательность можно задать с помощью формулы n-го члена.

В этом случае зависимость значения элемента последовательности от его номера выражается напрямую в виде формулы.

Например, если , то

Чтобы найти значение элемента последовательности с заданным номером, мы номер элемента подставляем в формулу n-го члена.

То же самое мы делаем, если нужно найти значение функции, если известно значение аргумента. Мы значение аргумента подставляем вместо в уравнение функции:

Если, например,  , то

Ещё раз замечу, что в последовательности, в отличие от произвольной числовой функции, аргументом может быть только натуральное число.

3. Последовательность можно задать с помощью формулы, выражающей зависимость значения члена последовательности с номером n от значения предыдущих членов. В этом случае нам недостаточно знать только номер члена последовательности, чтобы найти его значение. Нам нужно задать первый член или несколько первых членов последовательности.

Например, рассмотрим последовательность , 

Мы можем находить значения членов последовательности один за другим, начиная с третьего:

То есть каждый раз, чтобы найти значение n-го члена последовательности, мы возвращаемся к двум предыдущим. Такой способ задания последовательности называется рекуррентным, от латинского слова recurro — возвращаться.

Теперь мы можем дать определение арифметической прогрессии. Арифметическая прогрессия — это простой частный случай числовой последовательности.

Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.

Число называется разностью арифметической прогрессии.  Разность арифметической прогрессии может быть  положительной,  отрицательной, или равной нулю.

Если , то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является возрастающей.

Например, 2; 5; 8; 11;…

Если , то каждый член арифметической прогрессии меньше предыдущего, и прогрессия является убывающей.

Например, 2; -1; -4; -7;…

Если , то все члены прогрессии равны одному и тому же числу, и прогрессия является стационарной.

Например, 2;2;2;2;…

 

Основное свойство арифметической прогрессии:

Посмотрим на рисунок.

Мы видим, что

,  и в то же время

Сложив эти два равенства, получим:

.

Разделим обе части равенства на 2:

Итак, каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних:

Больше того, так как

,  и в то же время

, то

, и, следовательно,

Каждый член арифметической прогрессии, начиная с , равен среднему арифметическому двух равноотстоящих.

Формула го члена.

Мы видим, что для членов арифметической прогрессии выполняются соотношения:

…

и, наконец,

Мы получили формулу n-го члена.

ВАЖНО! Любой член арифметической прогрессии можно выразить через и . Зная первый член и разность арифметической прогрессии можно найти любой её член.

Сумма n членов арифметической прогрессии.

В произвольной арифметический прогрессии суммы членов, равноотстоящих от крайних равны между собой:

Рассмотрим арифметическую прогрессию, в которой n членов. Пусть сумма n членов этой прогрессии равна .

Расположим члены прогрессии сначала в порядке возрастания номеров, а затем в порядке убывания:

Сложим попарно:

Сумма в каждой скобке равна , число пар равно n.

Получаем:

Итак, сумму n членов арифметической прогрессии можно найти по формулам:

Рассмотрим решение задач на арифметическую прогрессию.

1. Последовательность задана формулой n-го члена: . Докажите, что эта последовательность является арифметической прогрессией.

Докажем, что разность между двумя соседними членами последовательности равна одному и тому же числу.

Мы получили, что разность двух соседних членов последовательности не зависит от их номера и является константой. Следовательно, по определению, эта последовательность является арифметической прогрессией.

2.  Дана арифметическая прогрессия -31; -27;…

а) Найдите 31 член прогрессии.

б) Определите, входит ли в данную прогрессию число 41.

а) Мы видим, что ; 

Запишем формулу n-го члена для нашей прогрессии.

В общем случае

В нашем случае , поэтому

Получаем:

б) Предположим, что число 41 является членом последовательности. Найдем его номер. Для этого решим уравнение:

Мы получили натуральное значение n, следовательно, да, число 41 является членом прогрессии. Если бы найденное значение n не было бы натуральным числом, то мы бы ответили, что число 41  НЕ является членом прогрессии.

3. а) Между числами 2 и 8 вставьте 4 числа так, чтобы они вместе с данными числами составляли арифметическую прогрессию.

б) Найдите сумму членов полученной прогрессии.

а) Вставим между числами 2 и 8 четыре числа:

Мы получили арифметическую прогрессию, в которой 6  членов.

Найдем разность этой прогрессии. Для этого воспользуемся формулой n-го члена:

Теперь легко найти значения чисел:

3,2; 4,4; 5,6; 6,8

б)

Ответ: а) да; б) 30

 

4. Гру­зо­вик пе­ре­во­зит пар­тию щебня мас­сой 240 тонн, еже­днев­но уве­ли­чи­вая норму пе­ре­воз­ки на одно и то же число тонн. Из­вест­но, что за пер­вый день было пе­ре­ве­зе­но 2 тонны щебня. Опре­де­ли­те, сколь­ко тонн щебня было пе­ре­ве­зе­но на две­на­дца­тый день, если вся ра­бо­та была вы­пол­не­на за 15 дней.

По условию задачи количество щебня, которое перевозит грузовик, каждый день увеличивается на одно и то же число. Следовательно, мы имеем дело с арифметической прогрессией.

Сформулируем эту задачу в терминах арифметической прогрессии.

За пер­вый день было пе­ре­ве­зе­но 2 тонны щебня: [pmath  size=14]a_1=2[/pmath].

Вся ра­бо­та была вы­пол­не­на за 15 дней: .

Гру­зо­вик пе­ре­во­зит пар­тию щебня мас­сой 240 тонн:

Нам нужно найти .

Сначала найдем разность прогрессии. Воспользуемся формулой суммы n членов прогрессии.

В нашем случае:

Найдем по формуле n-го члена:

Ответ: 24.

Продолжение статьи — решение основных типов задач на арифметическую прогрессию — читайте здесь.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Внеклассный урок — Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия

Прогрессия – это определенная последовательность чисел.
Последовательность обозначается так: (a_n)

Числа, образующие последовательность, называют членами последовательности.

Члены последовательности обычно обозначают буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена (a₁, a₂, a₃ и т.д.- читается так: «а первое», «а второе», «а третье» и т.д.).

Последовательность может быть бесконечной или конечной.

 

Понятие арифметической прогрессии.

Арифметическая прогрессия – это такая последовательность чисел, которая получается в результате сложения каждого последующего члена с одним и тем же числом.

Пример:

Возьмем последовательность чисел 3; 10; 17; 24; 31.
Здесь каждое последующее число на 7 больше предыдущего. То есть последовательность получилась в результате прибавления одного и того же числа 7 к каждому последующему члену. Это и есть арифметическая прогрессия:

3+7=10

10+7=17

17+7=24

24+7=31

 

Формула арифметической прогрессии.

Любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой: an = kn + b, где k и b – некоторые числа. И наоборот: если последовательность задана подобной формулой, то эта последовательность точно является арифметической прогрессией.

Пример: формула a_n = 8n – 2 является формулой арифметической прогрессии, так как она задана формулой типа a_n = kn + b. В ней k = 8, b = –2.

 

Разность арифметической прогрессии.

Разность арифметической прогрессии – это разность между последующим и предыдущим членами прогрессии. Ее обычно обозначают буквой d.

Пример:
Вернемся к нашей прогрессии 3; 10; 17; 24; 31. В ней разность между второй и первой, третьей и второй и т.д. членами равна 7. Число 7 и является разностью данной арифметической прогрессии.

 

Свойства арифметической прогрессии.

1) Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов. 2) Верно и обратное утверждение: если в последовательности чисел каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов, то эта последовательность является арифметической прогрессией.

В нашем примере второй член равен средней арифметической первого и третьего членов:

3 + 17
——— = 10.
    2

Точно так же третий член равен средней арифметической второго и четвертого членов и т.д.

 

Как найти определенный член арифметической прогрессии.

Чтобы найти n-й член арифметической прогрессии, следует применить формулу: an = a1 + d(n – 1)

Пример:

Возьмем некую арифметическую прогрессию, в которой первый член равен 3, а разность арифметической прогрессии составляет 4. Надо найти 45-й член этой прогрессии.

Дано:
b₁ = 3
d = 4
n = 45
———
b₄₅ — ?

Решение.

Применим формулу b_n = b₁ + d(n – 1):

b₄₅ = 3 + 4(45 – 1) = 3 + 4 · 44 = 3 + 176 = 179.

Ответ: 45-й член заданной арифметической прогрессии – число 179.

 

Как найти сумму первых n членов арифметической прогрессии.

Сумму любого количества первых членов арифметической прогрессии можно найти с помощью формулы:                                                                                 (a1 + an) n                                                                        Sn = —————                                                                                        2 Если заданы первый член и разность арифметической прогрессии, то удобно пользоваться другой формулой:                                                                                 2a1 + d(n – 1)                                                                     Sn = —————— n                                                                                        2

Пример 1: Найдем сумму первых ста членов арифметической прогрессии 1+2+3+4+5 и т. д.+100.

Дано:
a₁ = 1
n = 100
a_n = 100
————
S₁₀₀ — ?

Решение:

           (1 + 100) · 100          101 · 100
S₁₀₀ = ——————— = ————— = 5050
                       2                           2

Ответ: Сумма первых ста членов заданной арифметической прогрессии равна 5050.

 

Пример 2: Найдем сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии, в которой первый член равен 5, разность арифметической прогрессии составляет 3.

Дано:
a₁ = 5
d = 3
————
S₂₀ — ?

Решение:

1) Найдем сначала двадцатый член по уже известной нам формуле a_n = a₁ + d(n – 1):
a₂₀ = 5 + 3 (20 – 1) = 5 + 3 · 19 = 62.

2) Теперь уже легко решить нашу задачу.

По формуле 1:

              (5 + 62) · 20
S₂₀ = ———————  = 670
                      2

 

По формуле 2:

             2 · 5 + 3 · (20 – 1)
S₂₀ = ————————— · 20  = 670
                           2

Ответ: Сумма первых двадцати членов заданной арифметической прогрессии равна 670.

 

Арифметическая прогрессия на примерах

Арифметической прогрессией называют последовательность чисел (членов прогрессии )

в которой каждый последующий член отличается от предыдущего на сталое слагаемое, которое еще называют шагом или разницей прогрессии.

Таким образом, задавая шаг прогрессии и ее первый член можно найти любой ее элемент по формуле

1) Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго номера является средним арифметическим от предыдущего и следующего члена прогрессии

Обратное утверждение также верно. Если среднее арифметическое соседних нечетных (четных) членов прогрессии равно члену, который стоит между ними, то данная последовательность чисел является арифметической прогрессией . По этим утверждением очень просто проверить любую последовательность.

Также по свойству арифметической прогрессии, приведенную выше формулу можно обобщить до следующей

В этом легко убедиться, если расписать слагаемые справа от знака равенства

Ее часто применяют на практике для упрощения вычислений в задачах.

2) Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле

Запомните хорошо формулу суммы арифметической прогрессии, она незаменима при вычислениях и довольно часто встречается в простых жизненных ситуациях.

3) Если нужно найти не всю сумму, а часть последовательности начиная с k-го ее члена, то в Вам пригодится следующая формула суммы

4) Практический интерес представляет отыскание суммы n членов арифметической прогрессии начиная с k-го номера . Для этого используйте формулу

На этом теоретический материал заканчивается и переходим к решению распространенных на практике задач.

 

Пример 1. Найти сороковой член арифметической прогрессии 4;7;…

Решение:

Согласно условию имеем

Определим шаг прогрессии

По известной формуле находим сороковой член прогрессии

 

Пример2. Арифметическая прогрессия задана третьим и седьмым ее членом . Найти первый член прогрессии и сумму десяти.

Решение:

Распишем заданные элементы прогрессии по формулам

От второго уравнения вычтем первое, в результате найдем шаг прогрессии

Найденное значение подставляем в любое из уравнений для отыскания первого члена арифметической прогрессии

Вычисляем сумму первых десяти членов прогрессии

Не применяя сложных вычислений ми нашли все искомые величины.

 

Пример 3. Арифметическую прогрессию задано знаменателем и одним из ее членов . Найти первый член прогрессии, сумму 50 ее членов начиная с 50 и сумму 100 первых.

Решение:

Запишем формулу сотого элемента прогрессии

и найдем первый

На основе первого находим 50 член прогрессии

Находим сумму части прогрессии

и сумму первых 100

Сумма прогрессии равна 250.

 

Пример 4.

Найти число членов арифметической прогрессии, если:

а3-а1=8, а2+а4=14, Sn=111.

Решение:

Запишем уравнения через первый член и шаг прогрессии и определим их

Полученные значения подставляем в формулу суммы для определения количества членов в сумме

Выполняем упрощения

и решаем квадратное уравнение

Из найденных двух значений условии задачи подходит только число 8 . Таким образом сумма первых восьми членов прогрессии составляет 111.

 

Пример 5.

Решить уравнение

1+3+5+…+х=307.

Решение: Данное уравнение является суммой арифметической прогрессии. Выпишем первый ее член и найдем разницу прогрессии

Найденные величины подставим в формулу суммы прогрессии для отыскания числа слагаемых

Как и в предыдущем задании, выполним упрощения и решим квадратное уравнение

Выбираем более логичное из двух значений . Имеем, что сумма 18 членов прогрессии с заданными величинами а1=1, d=2 равна Sn=307.

На этом знакомство с арифметической прогрессией только начинается. В книгах вы найдете много подобных задач, методика решений которых не была рассмотрена . Приведенного материала должно хватить Вам с головой, чтобы разобраться и решить задачи самостоятельно. Если же нет то обращайтесь и мы Вам поможем с вычислениями.

Похожие материалы:

7.2 — Арифметические последовательности

7. 2 — Арифметические последовательности

Арифметическая последовательность — это последовательность, в которой разница между последовательными сроки постоянны.

Общая разница

Поскольку это различие является общим для всех следующих друг за другом пар терминов, оно называется общая разница. Обозначается буквой d. Если разница в последовательных термины непостоянны, то последовательность не арифметическая. Общая разница можно найти путем вычитания двух последовательных членов последовательности.

Формула для общей разности арифметической последовательности: d = a _{n + 1} — а _н

Общие условия

Арифметическая последовательность — это линейная функция. Вместо y = mx + b мы пишем _n = dn + c где d — общая разность, а c — константа (не первый член последовательность, однако).

Рекурсивное определение, поскольку каждый термин находится путем добавления общей разницы. к предыдущему члену _{k + 1} = _k + d.

Для любого термина в последовательности мы добавили разницу на один раз меньше, чем номер срока. Например, для первого члена мы не добавили разница вообще (0 раз). Для второго члена мы добавили разницу однажды. Для третьего члена мы прибавили разницу в два раза.

Формула для общего члена арифметической последовательности: a _n = а ₁ + (п-1) г

Частичная сумма арифметической последовательности

Серия — это сумма последовательности.Мы хотим найти частичный номер n ^th сумма или сумма первых n членов последовательности. Обозначим частичный номер n ^th . Сумма в виде S _n .

Рассмотрим арифметический ряд S ₅ = 2 + 5 + 8 + 11 + 14. Там это простой способ вычислить сумму арифметического ряда.

Ю ₅ = 2 + 5 + 8 + 11 + 14

Ключ в том, чтобы изменить порядок терминов. Сложение коммутативно, поэтому изменение заказ не меняет сумму.

Ю ₅ = 14 + 11 + 8 + 5 + 2

Теперь сложите эти два уравнения вместе.

2 * S ₅ = (2 + 14) + (5 + 11) + (8 + 8) + (11 + 5) + (14 + 2)

Обратите внимание, что каждая из этих сумм справа равна 16. Вместо записи 16 (сумма первого и последнего слагаемых) пять раз, мы можем записать это как 5 * 16 или 5 * (2 + 14)

2 * S ₅ = 5 * (2 + 14)

Наконец, разделите все на 2, чтобы получить сумму, а не удвоенную сумму

S ₅ = 5/2 * (2 + 14)

Я специально не упрощал 2 + 14, чтобы вы могли видеть, где числа родом из.Эта сумма будет 5/2 * (16) = 5 (8) = 40.

Теперь, если мы попытаемся выяснить, откуда берутся разные части этой формулы откуда мы можем сделать предположение о формуле для частичной суммы n ^th . 5 — потому что было пять членов, n. 16 — это сумма первого и последние условия, a ₁ + a _n . 2 потому что мы добавили сумму дважды и останется 2. Следовательно, сумма первых n членов арифметического последовательность: S _n = n / 2 * (a ₁ + a _n )

Есть еще одна формула, которая иногда используется для частичного n ^th сумма арифметической последовательности. Он получается подстановкой формулы для общий термин в приведенной выше формуле и упрощение. Предпочтительный метод найти термин n ^th , а затем просто вставить этот номер в формулу.

S _n = n / 2 * (2a ₁ + (n-1) d)

Пример

Найдите сумму от k = 3 до 17 из (3k-2).

Первый член находится заменой k = 3 на 3k-2, чтобы получить 7. Последний член член 3 (17) -2 = 49.Всего 17 — 3 + 1 = 15 терминов. Итак, сумма составляет 15 / 2 * (7 + 49) = 15/2 * 56 = 420.

Обратите внимание, что там 15 терминов. Когда нижняя граница суммирования равно 1, то вычислить количество терминов не составляет особого труда. Тем не мение, когда нижний предел — любое другое число, это, кажется, вызывает у людей затруднения. Никто не станет спорить, что если перейти от 1 к 10, получится 10 чисел. Тем не мение, разница между 10 и 1 составляет всего 9. Итак, когда вы находите число терминов это верхний предел минус нижний предел плюс один.

n-й член арифметической последовательности

Учитывая арифметическая последовательность с первым сроком а 1 и общая разница d , то п th (или общий) термин дан кем-то а п знак равно а 1 + ( п — 1 ) d .

Пример 1:

Найди 27 th член арифметической последовательности 5 , 8 , 11 , 54 , … .

а 1 знак равно 5 , d знак равно 8 — 5 знак равно 3

Так,

а 27 знак равно 5 + ( 27 — 1 ) ( 3 ) знак равно 83

Пример 2:

Найди 40 th термин для арифметической последовательности, в которой
а 8 знак равно 60 и а 12 знак равно 48 .

Заменять 60 за а 8 и 48 за а 12 в формуле
а п знак равно а 1 + ( п — 1 ) d получить система линейных уравнений с точки зрения а 1 и d .

а 8 знак равно а 1 + ( 8 — 1 ) d → 60 знак равно а 1 + 7 d а 12 знак равно а 1 + ( 12 — 1 ) d → 48 знак равно а 1 + 11 d

Вычтите второе уравнение из первого и решите относительно d .

12 знак равно — 4 d — 3 знак равно d

потом 60 знак равно а 1 + 7 ( — 3 ) . Решить для а .
60 знак равно а 1 — 21 год 81 год знак равно а 1

Теперь используйте формулу, чтобы найти а 40 .

а 40 знак равно 81 год + 39 ( — 3 ) знак равно 81 год — 117 знак равно — 36 .

Смотрите также: сигма-обозначение ряда и п th член геометрической последовательности

Арифметических последовательностей и серии

Арифметические последовательности

Арифметическая последовательность — последовательность чисел, в которой каждое последующее число является суммой предыдущего числа и некоторой константы d ., или арифметическая прогрессия. Используется при обращении к арифметической последовательности., представляет собой последовательность чисел, в которой каждое последующее число является суммой предыдущего числа и некоторой константы d .

an = an − 1 + d Арифметическая последовательность

И поскольку an − an − 1 = d, константа d называется общей разностью Константа d , которая получается вычитанием любых двух последовательных членов арифметической последовательности; an − an − 1 = d . . Например, последовательность положительных нечетных целых чисел является арифметической последовательностью,

1,3,5,7,9,…

Здесь a1 = 1, а разница между любыми двумя последовательными членами равна 2.Мы можем построить общий член an = an − 1 + 2, где,

a1 = 1a2 = a1 + 2 = 1 + 2 = 3a3 = a2 + 2 = 3 + 2 = 5a4 = a3 + 2 = 5 + 2 = 7a5 = a4 + 2 = 7 + 2 = 9 ⋮

В общем, учитывая первый член a1 арифметической последовательности и его общую разность d , мы можем написать следующее:

a2 = a1 + da3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2da4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3da5 = a4 + d = (a1 + 3d) + d = a1 + 4d ⋮

Отсюда мы видим, что любая арифметическая последовательность может быть записана в терминах ее первого элемента, общей разности и индекса следующим образом:

an = a1 + (n − 1) d Арифметическая последовательность

Фактически, любой общий член, линейный в n , определяет арифметическую последовательность.

Пример 1

Найдите уравнение для общего члена данной арифметической последовательности и используйте его для вычисления его 100 ^th члена: 7,10,13,16,19,…

Решение:

Начните с поиска общей разницы,

d = 10-7 = 3

Обратите внимание, что разница между любыми двумя последовательными членами равна 3. Последовательность действительно является арифметической прогрессией, где a1 = 7 и d = 3.

an = a1 + (n − 1) d = 7 + (n − 1) ⋅3 = 7 + 3n − 3 = 3n + 4

Следовательно, мы можем написать общий член an = 3n + 4. Уделите минуту, чтобы убедиться, что это уравнение описывает заданную последовательность. Используйте это уравнение, чтобы найти член 100 ^th :

а100 = 3 (100) + 4 = 304

Ответ: an = 3n + 4; а100 = 304

Общая разница арифметической последовательности может быть отрицательной.

Пример 2

Найдите уравнение для общего члена данной арифметической последовательности и используйте его для вычисления его 75 ^th члена: 6,4,2,0, −2,…

Решение:

Начните с поиска общей разницы,

d = 4−6 = −2

Затем найдите формулу для общего члена, здесь a1 = 6 и d = −2.

an = a1 + (n − 1) d = 6 + (n − 1) ⋅ (−2) = 6−2n + 2 = 8−2n

Следовательно, an = 8−2n и член 75 ^th можно рассчитать следующим образом:

a75 = 8−2 (75) = 8−150 = −142

Ответ: an = 8−2n; а100 = −142

Термины между данными членами арифметической последовательности называются средними арифметическими. Термины между данными членами арифметической последовательности.

Пример 3

Найдите все члены арифметической последовательности между a1 = −8 и a7 = 10. Другими словами, найдите все средние арифметические значения между 1 и 7 членами.

Решение:

Начните с поиска общей разницы d . В данном случае нам дается первый и седьмой член:

an = a1 + (n − 1) d Используйте n = 7. a7 = a1 + (7−1) da7 = a1 + 6d

Подставляем a1 = −8 и a7 = 10 в приведенное выше уравнение, а затем решаем общую разность d .

10 = −8 + 6d18 = 6d3 = d

Затем используйте первый член a1 = −8 и общую разность d = 3, чтобы найти уравнение для n -го члена последовательности.

an = −8 + (n − 1) ⋅3 = −8 + 3n − 3 = −11 + 3n

При an = 3n − 11, где n — положительное целое число, найдите пропущенные члены.

a1 = 3 (1) −11 = 3−11 = −8a2 = 3 (2) −11 = 6−11 = −5a3 = 3 (3) −11 = 9−11 = −2a4 = 3 (4) — 11 = 12−11 = 1a5 = 3 (5) −11 = 15−11 = 4a6 = 3 (6) −11 = 18−11 = 7} среднее арифметическое a7 = 3 (7) −11 = 21−11 = 10

Ответ: −5, −2, 1, 4, 7

В некоторых случаях первый член арифметической последовательности может не указываться.

Пример 4

Найдите общий член арифметической последовательности, где a3 = −1 и a10 = 48.

Решение:

Чтобы определить формулу для общего члена, нам нужны a1 и d. Линейная система с этими переменными может быть сформирована с использованием данной информации и an = a1 + (n − 1) d:

{a3 = a1 + (3−1) da10 = a1 + (10−1) d⇒ {−1 = a1 + 2d48 = a1 + 9d Используйте a3 = −1. Используйте a10 = 48.

Исключите a1, умножив первое уравнение на -1, и прибавьте результат ко второму уравнению.

{−1 = a1 + 2d48 = a1 + 9d ⇒ × (−1) + {1 = −a1−2d48 = a1 + 9d¯ 49 = 7d7 = d

Подставляем d = 7 в −1 = a1 + 2d, чтобы найти a1.

−1 = a1 + 2 (7) −1 = a1 + 14−15 = a1

Затем используйте первый член a1 = −15 и общую разность d = 7, чтобы найти формулу для общего члена.

an = a1 + (n − 1) d = −15 + (n − 1) ⋅7 = −15 + 7n − 7 = −22 + 7n

Ответ: an = 7n − 22

Попробуй! Найдите уравнение для общего члена данной арифметической последовательности и используйте его для вычисления его 100 ^th члена: 32,2,52,3,72,…

Ответ: an = 12n + 1; а100 = 51

Арифметическая серия

Арифметический ряд Сумма членов арифметической последовательности. представляет собой сумму членов арифметической последовательности. Например, сумма первых 5 членов последовательности, определенной как an = 2n − 1, выглядит следующим образом:

S5 = Σn = 15 (2n − 1) = [2 (1) −1] + [2 (2) −1] + [2 (3) −1] + [2 (4) −1] + [2 (5) −1] = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Добавлением 5 положительных нечетных целых чисел, как мы сделали выше, можно управлять. Однако рассмотрите возможность добавления первых 100 положительных нечетных целых чисел. Это было бы очень утомительно. Поэтому затем мы разработаем формулу, которая может использоваться для вычисления суммы первых n членов, обозначенных Sn, любой арифметической последовательности.В целом

Sn = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) +… + an

Записывая эту серию в обратном порядке, мы имеем,

Sn = an + (an − d) + (an − 2d) +… + a1

И сложив эти два уравнения вместе, члены, включающие d , прибавляют к нулю, и мы получаем n множителей a1 + an:

2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) +… + (an + a1) 2Sn = n (a1 + an)

Деление обеих сторон на 2 приводит к формуле для n -й частичной суммы арифметической последовательности Сумма первых n членов арифметической последовательности, заданной формулой: Sn = n (a1 + an) 2. :

Sn = n (a1 + an) 2

Используйте эту формулу для вычисления суммы первых 100 членов последовательности, определенной как an = 2n − 1. Здесь a1 = 1 и a100 = 199.

S100 = 100 (a1 + a100) 2 = 100 (1 + 199) 2 = 10 000

Пример 5

Найдите сумму первых 50 членов заданной последовательности: 4, 9, 14, 19, 24,…

Решение:

Определите, есть ли общее различие между данными терминами.

d = 9−4 = 5

Обратите внимание, что разница между любыми двумя последовательными членами равна 5. Последовательность действительно является арифметической прогрессией, и мы можем написать

an = a1 + (n − 1) d = 4 + (n − 1) ⋅5 = 4 + 5n − 5 = 5n − 1

Следовательно, общий член an = 5n − 1. Чтобы вычислить частичную сумму 50 ^th этой последовательности, нам понадобятся члены 1 ^st и 50 ^th :

а1 = 4а50 = 5 (50) -1 = 249

Затем используйте формулу, чтобы определить частичную сумму 50 ^-й заданной арифметической последовательности.

Sn = n (a1 + an) 2S50 = 50. (A1 + a50) 2 = 50 (4 + 249) 2 = 25 (253) = 6,325

Ответ: S50 = 6,325

Пример 6

Вычислить: Σn = 135 (10−4n).

Решение:

В этом случае нас просят найти сумму первых 35 членов арифметической последовательности с общим членом an = 10−4n. Используйте это, чтобы определить 1 ^st и 35 ^th член.

a1 = 10−4 (1) = 6a35 = 10−4 (35) = — 130

Затем используйте формулу, чтобы определить частичную сумму 35 ^-я .

Sn = n (a1 + an) 2S35 = 35⋅ (a1 + a35) 2 = 35 [6 + (- 130)] 2 = 35 (−124) 2 = −2,170

Ответ: −2,170

Пример 7

Первый ряд сидений в амфитеатре под открытым небом содержит 26 сидений, второй ряд — 28 сидений, третий ряд — 30 сидячих мест и так далее. Если рядов 18, какова общая вместимость театра?

Рисунок 9.2

Римский театр (Википедия)

Решение:

Начните с поиска формулы, которая дает количество мест в любом ряду.Здесь количество мест в каждом ряду образует последовательность:

26,28,30,…

Обратите внимание, что разница между любыми двумя последовательными членами равна 2. Последовательность представляет собой арифметическую прогрессию, где a1 = 26 и d = 2.

an = a1 + (n − 1) d = 26 + (n − 1) ⋅2 = 26 + 2n − 2 = 2n + 24

Таким образом, количество мест в каждом ряду равно an = 2n + 24. Чтобы рассчитать общую вместимость 18 рядов, нам нужно вычислить частичную сумму 18 ^th .Для этого нам понадобятся термины 1 ^st и 18 ^th :

а1 = 26а18 = 2 (18) + 24 = 60

Используйте это, чтобы вычислить частичную сумму 18 ^th следующим образом:

Sn = n (a1 + an) 2S18 = 18⋅ (a1 + a18) 2 = 18 (26 + 60) 2 = 9 (86) = 774

Ответ: Всего 774 места.

Попробуй! Найдите сумму первых 60 членов данной последовательности: 5, 0, −5, −10, −15,…

Ответ: S60 = −8,550

Основные выводы

• Арифметическая последовательность — это последовательность, в которой разница d между последовательными членами является постоянной.
• Общий член арифметической последовательности может быть записан в терминах его первого члена a1, общей разности d и индекса n следующим образом: an = a1 + (n − 1) d.
• Арифметический ряд — это сумма членов арифметической последовательности.
• Частичная сумма n арифметической последовательности может быть вычислена с использованием первого и последнего членов следующим образом: Sn = n (a1 + an) 2.

Тематические упражнения

Часть A: Арифметические последовательности

Запишите первые 5 членов арифметической последовательности, учитывая их первый член и общую разницу. Найдите формулу для его общего члена.

Учитывая арифметическую последовательность, найдите формулу для общего члена и используйте ее для определения члена 100 ^th .

13. −3, −7, −11, −15, −19,…

14. −6, −14, −22, −30, −38,…

15. −5, −10, −15, −20, −25,…

18. −13, 23, 53, 83, 113,…

19. 13, 0, −13, −23, −1,…

20. 14, −12, −54, −2, −114,…

21. 0. 8, 2, 3.2, 4.4, 5.6,…

22. 4,4, 7,5, 10,6, 13,7, 16,8,…

23. Найдите положительное нечетное целое число 50 ^-го .

24. Найдите положительное четное число 50 ^-го .

25. Найдите 40 ^{-й член} в последовательности, состоящей из всех остальных положительных нечетных целых чисел: 1, 5, 9, 13,…

26. Найдите 40 ^{-й член} в последовательности, состоящей из всех остальных положительных четных чисел: 2, 6, 10, 14,…

27. Какое число представляет собой член 355 в арифметической последовательности −15, −5, 5, 15, 25,…?

28. Какое число является членом −172 в арифметической последовательности 4, −4, −12, −20, −28,…?

29. Учитывая арифметическую последовательность, определяемую рекуррентным соотношением an = an − 1 + 5, где a1 = 2 и n> 1, найдите уравнение, которое дает общий член в терминах a1 и общей разности d .

30. Учитывая арифметическую последовательность, определяемую рекуррентным соотношением an = an − 1−9, где a1 = 4 и n> 1, найдите уравнение, которое дает общий член в терминах a1 и общей разности d .

Учитывая члены арифметической последовательности, найдите формулу для общего члена.

41. a4 = −2310 и a21 = −252

Найдите все средние арифметические значения между заданными членами.

Часть B: Арифметическая серия

Вычислите указанную сумму по формуле для общего члена.

Оценить.

61. ∑n = 1160 (3n)

62. ∑n = 1121 (−2n)

63. ∑n = 1250 (4n − 3)

64. ∑n = 1120 (2n + 12)

65. ∑n = 170 (19−8n)

66. ∑n = 1220 (5 − п)

67. ∑n = 160 (52−12n)

68. ∑n = 151 (38n + 14)

69. ∑n = 1120 (1. 5n − 2,6)

70. ∑n = 1175 (-0,2n-1,6)

71. Найдите сумму первых 200 натуральных чисел.

72. Найдите сумму первых 400 натуральных чисел.

Общий член для последовательности положительных нечетных целых чисел задается как an = 2n − 1, а общий член для последовательности положительных четных целых чисел задается как an = 2n. Найдите следующее.

73. Сумма первых 50 положительных нечетных целых чисел.

74. Сумма первых 200 положительных нечетных целых чисел.

75. Сумма первых 50 положительных четных целых чисел.

76. Сумма первых 200 положительных четных целых чисел.

77. Сумма первых k положительных нечетных целых чисел.

78. Сумма первых k положительных четных чисел.

79. Первый ряд в малом театре состоит из 8 мест. После этого в каждом ряду будет на 3 места больше, чем в предыдущем. Если рядов 12, сколько всего мест в театре?

80. Первый ряд сидений в амфитеатре под открытым небом содержит 42 сиденья, второй ряд — 44 сиденья, третий ряд — 46 сидячих мест и так далее.Если рядов 22, какова общая вместимость театра?

81. Если в треугольной стопке кирпичей 37 кирпичей в нижнем ряду, 34 кирпича во втором ряду и так далее, с одним кирпичом наверху. Сколько кирпичей в стопке?

82. В каждом последующем ряду треугольной стопки кирпичей на один кирпич меньше, пока наверху не останется только один кирпич.Сколько рядов в стеке, если всего кирпичей 210?

83. 10-летний контракт о заработной плате предлагает 65 000 долларов в первый год с повышением на 3200 долларов каждый дополнительный год. Определите общую сумму обязательств по заработной плате за 10-летний период.

84. Башня с часами бьет в колокол количество раз, указанное в часах.В час дня он ударяет один раз, в два часа — дважды и так далее. Сколько раз за день башня с часами бьет в колокол?

Часть C: Обсуждение

85. Является ли последовательность Фибоначчи арифметической последовательностью? Объяснять.

86. Используйте формулу для n -й частичной суммы арифметической последовательности Sn = n (a1 + an) 2 и формулу для общего члена an = a1 + (n − 1) d, чтобы получить новую формулу для n -я частичная сумма Sn = n2 [2a1 + (n − 1) d]. При каких обстоятельствах эта формула была бы полезной? Объясните на собственном примере.

87. Обсудите методы расчета сумм, в которых индекс не начинается с 1. Например, Σn = 1535 (3n + 4) = 1,659.

88. Известная история повествует о плохом поведении Карла Фридриха Гаусса в школе.В наказание учитель поручил ему сложить первые 100 целых чисел. Легенда гласит, что молодой Гаусс правильно ответил в считанные секунды. Каков ответ и как, по-вашему, он смог так быстро найти сумму?

ответов

1. 5, 8, 11, 14, 17; ан = 3n + 2

3. 15, 10, 5, 0, −5; ан = 20−5н

5. 12, 32, 52, 72, 92; an = n − 12

7. 1, 12, 0, −12, −1; ан = 32−12н

9. 1. 8, 2,4, 3, 3,6, 4,2; ан = 0,6n + 1,2

21. ан = 1. 2n − 0,4; а100 = 119,6

арифметических последовательностей — промежуточная алгебра

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Определить, является ли последовательность арифметической
• Найти общий член (-й член) арифметической последовательности
• Найдите сумму первых членов арифметической последовательности

Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.

1. Вычислите целые числа 1, 2, 3 и 4.
   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
2. Решите систему уравнений:
   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
3. Если найдете
   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

Определить, является ли последовательность арифметической

В последнем разделе были представлены последовательности, а теперь мы рассмотрим два конкретных типа последовательностей, каждый из которых имеет особые свойства. В этом разделе мы рассмотрим арифметические последовательности, а в следующем разделе — геометрические последовательности.

Арифметическая последовательность — это последовательность, в которой разница между последовательными членами постоянна. Разница между последовательными членами в арифметической последовательности составляет d , общая разница для n больше или равна двум.

Арифметическая последовательность

Арифметическая последовательность — это последовательность, в которой разница между последовательными членами всегда одинакова.

Разница между последовательными членами составляет d , общая разница , для n больше или равно двум.

В каждой из этих последовательностей разница между последовательными членами постоянна, поэтому последовательность является арифметической.

Определите, является ли каждая последовательность арифметической. Если да, укажите общее различие.

ⓐ

ⓑ

ⓒ

Чтобы определить, является ли последовательность арифметической, мы находим разницу показанных последовательных членов.

ⓐ

ⓑ

ⓒ

Если мы знаем первый член и общую разницу, d , мы можем перечислить конечное число членов последовательности.

Запишите первые пять членов последовательности, где первый член равен 5, а общая разница составляет

.

Начнем с первого члена и добавим общую разницу. Затем мы добавляем к этому результату общую разницу, чтобы получить следующий член, и так далее.

Последовательность

Запишите первые пять членов последовательности, где первый член равен 7, а общая разница составляет

.

Запишите первые пять членов последовательности, где первый член — 11, а общая разница —

.

Найдите общий член (

n -й член) арифметической последовательности

Так же, как мы нашли формулу для общего члена последовательности, мы можем также найти формулу для общего члена арифметической последовательности.

Давайте запишем несколько первых членов последовательности, где первый член равен d . Затем мы будем искать образец.

Когда мы ищем шаблон, мы видим, что каждый член начинается с.

Первый член добавляет 0 d , второй член добавляет 1 d , третий член добавляет 2 d , четвертый член добавляет 3 d , а пятый член добавляет 4 d . Число добавленных d s на единицу меньше числа члена.Это приводит нас к следующим

Общий термин ( n -й член) арифметической последовательности

Общий член арифметической последовательности с первым членом и общей разностью d равен

Мы будем использовать эту формулу в следующем примере, чтобы найти 15 ^th член последовательности.

Найдите пятнадцатый член последовательности, в котором первый член равен 3, а общая разница равна 6.

Найдите двадцать седьмой член последовательности, в которой первый член равен 7, а общая разница равна 9.

Найдите восемнадцатый член последовательности, в котором первый член равен 13, а общая разница равна.

Иногда нам не известен первый термин, и мы должны использовать другую предоставленную информацию, чтобы найти его, прежде чем мы найдем запрошенный термин.

Найдите двенадцатый член последовательности, в котором седьмой член равен 10, а общая разница равна. Приведите формулу для общего члена.

Найдите одиннадцатый член последовательности, где девятый член равен 8, а общее различие — Дайте формулу для общего члена.

Общий срок

Найдите девятнадцатый член последовательности, где пятый член равен 1, а общее различие — Дайте формулу для общего члена.

Общий срок

Иногда приведенная информация приводит нас к двум уравнениям с двумя неизвестными. Затем мы используем наши методы для решения систем уравнений, чтобы найти необходимые значения.

Найдите первый член и общую разницу в последовательности, в которой пятый член равен 19, а одиннадцатый член равен 37. Приведите формулу для общего члена.

Поскольку мы знаем два члена, мы можем составить систему уравнений, используя формулу для общего члена.

Найдите первый член и общую разность последовательности, в которой четвертый член равен 17, а тринадцатый член равен 53. Приведите формулу для общего члена.

Найдите первый член и общую разницу в последовательности, где третий член равен 2, а двенадцатый член равен. Дайте формулу для общего члена.

Найдите сумму первых

n членов арифметической последовательности

Как и в случае с общими последовательностями, часто бывает полезно найти сумму арифметической последовательности.Сумма первых членов любой арифметической последовательности записывается как Найти сумму простым сложением всех членов может быть утомительно. Таким образом, мы также можем разработать формулу для нахождения суммы последовательности, используя первый и последний член последовательности.

Мы можем разработать эту новую формулу, сначала записав сумму, начиная с первого члена, и продолжая добавлять d , чтобы получить следующий член как:

Мы также можем изменить порядок членов и записать сумму, начав с и продолжая вычитать d , чтобы получить следующий член как

Если мы сложим эти два выражения для суммы первых n членов арифметической последовательности, мы сможем вывести формулу для суммы первых n членов любого арифметического ряда.

 *** QuickLaTeX не может составить формулу:
\ begin {array} {c} \ underset {\ text {_________________________________________________________}} {\ begin {array} {ccccccccccc} \ hfill {S} _ {n} & = \ hfill & {a} _ {1} \ hfill & \ phantom {\ rule {1.9em} {0ex}} + \ hfill & \ left ({a} _ {1} + d \ right) \ hfill & + \ hfill & \ left ({a} _ {1} + 2d \ right) \ hfill & + \ hfill & \ dots \ hfill & + \ hfill & {a} _ {n} \ hfill \\ + {S} _ {n} \ hfill & = \ hfill & {a} _ {n} \ hfill & \ phantom {\ rule {1. 9em} {0ex}} + \ hfill & \ left ({a} _ {n} -d \ right) \ hfill & + \ hfill & \ left ({a } _ {n} -2d \ right) \ hfill & + \ hfill & \ dots \ hfill & + \ hfill & {a} _ {1} \ hfill \ end {array}} \ hfill \\ \\ \ phantom { \ rule {1.8em} {0ex}} 2 {S} _ {n} \ phantom {\ rule {0.6em} {0ex}} = \ phantom {\ rule {0.2em} {0ex}} \ left ({a} _ {1 } + {a} _ {n} \ right) + \ phantom {\ rule {0.05em} {0ex}} \ left ({a} _ {1} + {a} _ {n} \ right) \ phantom { \ rule {0.5em} {0ex}} + \ phantom {\ rule {0.5em} {0ex}} \ left ({a} _ {1} + {a} _ {n} \ right) \ phantom {\ rule {0.6em} {0ex}} + \ phantom {\ rule {0.5em} {0ex}} \ dots \ phantom {\ rule {0.5em} {0ex}} + \ phantom {\ rule {0.5em} {0ex} } \ left ({a} _ {1} + {a} _ {n} \ right) \ hfill \ end {array}

*** Сообщение об ошибке:
Отсутствует $ вставлен.
начальный текст: ... fill & + \ hfill & {a} _ {1} \ hfill \ end {array}}
Отсутствует {вставлен.начальный текст: ... fill & + \ hfill & {a} _ {1} \ hfill \ end {array}}
Отсутствует {вставлен.
начальный текст: . .. fill & + \ hfill & {a} _ {1} \ hfill \ end {array}}
Отсутствует {вставлен.
начальный текст: ... fill & + \ hfill & {a} _ {1} \ hfill \ end {array}}
Отсутствует {вставлен.
начальный текст: ... fill & + \ hfill & {a} _ {1} \ hfill \ end {array}}
Отсутствует {вставлен.
начальный текст: ... fill & + \ hfill & {a} _ {1} \ hfill \ end {array}}
Отсутствует {вставлен.
ведущий текст:...fill & + \ hfill & {a} _ {1} \ hfill \ end {array}}
Отсутствует {вставлен.
начальный текст: ... fill & + \ hfill & {a} _ {1} \ hfill \ end {array}}
Отсутствует {вставлен.
начальный текст: ... fill & + \ hfill & {a} _ {1} \ hfill \ end {array}}
Отсутствует {вставлен.
начальный текст: ... fill & + \ hfill & {a} _ {1} \ hfill \ end {array}}

 

Поскольку в правой части уравнения содержится n сумм, мы перепишем правую часть как

Делим на два, чтобы найти

Это дает нам общую формулу для суммы первых n членов арифметической последовательности.

Сумма первых n членов арифметической последовательности

Сумма первых n членов арифметической последовательности равна

, где — первый член, а — n -й член.

Мы применяем эту формулу в следующем примере, где даны первые несколько членов последовательности.

Найдите сумму первых 30 членов арифметической последовательности: 8, 13, 18, 23, 28,…

Найдите сумму первых 30 членов арифметической последовательности: 5, 9, 13, 17, 21,…

Найдите сумму первых 30 членов арифметической последовательности: 7, 10, 13, 16, 19,…

В следующем примере нам дается общий член для последовательности и просят найти сумму первых 50 членов.

Найдите сумму первых 50 членов арифметической последовательности, общий член которой равен

.

Найдите сумму первых 50 членов арифметической последовательности, общий член которой равен

.

В следующем примере нам дана сумма в виде суммирования. Сложить все члены утомительно, поэтому мы извлекаем информацию, необходимую для использования формулы, чтобы найти сумму первых n членов.

Найдите сумму:

Найдите сумму:

Практика ведет к совершенству

Определить, является ли последовательность арифметической

В следующих упражнениях определите, является ли каждая последовательность арифметической, и если да, укажите общее различие.

Последовательность арифметическая с общей разницей

Последовательность не арифметическая.

Последовательность арифметическая с общей разницей

В следующих упражнениях запишите первые пять членов каждой последовательности с указанным первым членом и общей разницей.

и

и

и

Найдите общий член ( n -й член) арифметической последовательности

В следующих упражнениях найдите термин, описанный с использованием предоставленной информации.

Найдите двадцать первый член последовательности, в которой первый член равен трем, а общая разница равна восьми.

Найдите двадцать третий член последовательности, в котором первый член равен шести, а общая разница равна четырем.

Найдите тридцатый член последовательности, в котором первый член равен пяти.

Найдите сороковой член последовательности, в котором первый член равен семи.

Найдите шестнадцатый член последовательности, в котором первый член равен 11, а общая разница равна

.

Найдите четырнадцатый член последовательности, в котором первый член равен восьми, а общая разница равна

.

Найдите двадцатый член последовательности, в которой есть пятый член, а общая разница — Дайте формулу для общего члена.

Общий срок

Найдите тринадцатый член последовательности, в которой есть шестой член, а общее различие — Дайте формулу для общего члена.

Найдите одиннадцатый член последовательности, в котором третий член равен 19, а общая разница равна пяти. Приведите формулу для общего члена.

Общий срок

Найдите пятнадцатый член последовательности, где десятый член равен 17, а общая разница равна семи. Приведите формулу для общего члена.

Найдите восьмой член последовательности, в которой седьмой член равен, а общее различие — Дайте формулу для общего члена.

Общий срок

Найдите пятнадцатый член последовательности, в которой есть десятый член, а общая разница — Дайте формулу для общего члена.

В следующих упражнениях найдите первый член и общую разницу в последовательности с данными терминами. Приведите формулу для общего члена.

Второй срок — 14 лет, тринадцатый — 47.

Третий срок — 18 лет, четырнадцатый — 73 года.

Второй срок — 13 лет, а десятый —

Третий срок — четыре, а десятый -.

Четвертый срок, пятнадцатый — 27.

Третий срок и семнадцатый срок 15.

Найдите сумму первых n членов арифметической последовательности

В следующих упражнениях найдите сумму первых 30 членов каждой арифметической последовательности.

В следующих упражнениях найдите сумму первых 50 членов арифметической последовательности, в которой дан общий член.

В следующих упражнениях найдите каждую сумму.

Письменные упражнения

Объясните своими словами, как определить, является ли последовательность арифметической.

Объясните своими словами, как первые два термина используются для определения десятого члена. Покажите пример, чтобы проиллюстрировать ваше объяснение.

Объясните своими словами, как найти общий член арифметической последовательности.

Объясните своими словами, как найти сумму первых членов арифметической последовательности, не складывая все члены.

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

ⓑ Что вы сделаете, изучив этот контрольный список, чтобы стать уверенным в достижении всех целей?

Глоссарий

арифметическая последовательность

Арифметическая последовательность — это последовательность, в которой разница между последовательными членами постоянна.

общая разница

Разница между последовательными членами в арифметической последовательности равна d , общая разница для n больше или равна двум.

Арифметических и геометрических последовательностей

Расследуй! 18

Для рисунков из точек ниже нарисуйте следующий рисунок в последовательности. Затем дайте рекурсивное определение и замкнутую формулу для количества точек в \ (n \) -м шаблоне.

Теперь перейдем к вопросу о нахождении замкнутых формул для определенных типов последовательностей.

Арифметические последовательности

Если члены последовательности отличаются на константу, мы говорим, что последовательность равна арифметическим . Если начальный член (\ (a_0 \)) последовательности равен \ (a \), а общая разность равна \ (d \ text {,} \), то мы имеем

Рекурсивное определение: \ (a_n = a_ {n-1} + d \) с \ (a_0 = a \ text {.} \)

Замкнутая формула: \ (a_n = a + dn \ text {.} \)

Откуда мы это знаем? Для рекурсивного определения нам нужно указать \ (a_0 \ text {.} \) Затем нам нужно выразить \ (a_n \) через \ (a_ {n-1} \ text {.} \) Если мы назовем первый член \ (a \ text {,} \), то \ ( a_0 = a \ text {.} \) Для рекуррентного отношения, по определению арифметической последовательности, разница между последовательными членами является некоторой константой, скажем, \ (d \ text {.} \) Итак \ (a_n — a_ { n-1} = d \ text {,} \) или, другими словами,

\ begin {уравнение *} a_0 = a \ qquad a_n = a_ {n-1} + d. \ end {уравнение *}

Чтобы найти замкнутую формулу, сначала напишите общую последовательность:

\ begin {align *} а_0 \ amp = а \\ a_1 \ amp = a_0 + d = a + d \\ a_2 \ amp = a_1 + d = a + d + d = a + 2d \\ a_3 \ amp = a_2 + d = a + 2d + d = a + 3d \\ \ amp \ vdots \ end {выровнять *}

Мы видим, что чтобы найти \ (n \) -й член, нам нужно начать с \ (a \), а затем добавить \ (d \) несколько раз.Фактически, добавьте это \ (n \) раз. Таким образом, \ (a_n = a + dn \ text {.} \)

Пример2.2.1

Найдите рекурсивные определения и закрытые формулы для приведенных ниже последовательностей. Предположим, что первым перечисленным термином является \ (a_0 \ text {.} \)

1. \ (2, 5, 8, 11, 14, \ ldots \ text {.} \)
2. \ (50, 43, 36, 29, \ ldots \ text {.} \)

Решение

Сначала мы должны проверить, действительно ли эти последовательности являются арифметическими, взяв разности последовательных членов. Это покажет общую разницу \ (d \ text {. } \)

1. \ (5-2 = 3 \ text {,} \) \ (8-5 = 3 \ text {,} \) и т. Д. Чтобы перейти от каждого термина к следующему, мы добавляем три, поэтому \ (d = 3 \ text {.} \) Следовательно, рекурсивное определение — \ (a_n = a_ {n-1} + 3 \) с \ (a_0 = 2 \ text {.} \) Замкнутая формула — \ (a_n = 2 + 3n \ text {.} \)

2. Здесь общая разница \ (- 7 \ text {,} \), поскольку мы добавляем \ (- 7 \) к 50, чтобы получить 43, и так далее. Таким образом, у нас есть рекурсивное определение \ (a_n = a_ {n-1} — 7 \) с \ (a_0 = 50 \ text {.} \) Замкнутая формула \ (a_n = 50 — 7n \ text {.} \)

А как насчет последовательностей типа \ (2, 6, 18, 54, \ ldots \ text {?} \) Это не арифметика, потому что разница между терминами непостоянна. Однако соотношение между последовательными членами постоянно. Мы называем такие последовательности геометрическими .

Рекурсивное определение геометрической последовательности с начальным членом \ (a \) и общим отношением \ (r \): \ (a_n = a_ {n} \ cdot r; a_0 = a \ text {. } \). следующий член мы умножаем предыдущий член на \ (r \ text {.{n} \ text {.} \)

Пример2.2.2

Найдите рекурсивную и замкнутую формулу для последовательностей ниже. Опять же, первым перечисленным термином является \ (a_0 \ text {.} \)

1. \ (3, 6, 12, 24, 48, \ ldots \) ​​
2. \ (27, 9, 3, 1, 1/3, \ ldots \) ​​

Решение

Опять же, мы должны сначала проверить, действительно ли эти последовательности геометрически, на этот раз разделив каждый член на его предыдущий член. Предполагая, что это соотношение является постоянным, мы найдем \ (r \ text {.} \)

1. \ (6/3 = 2 \ text {,} \) \ (12/6 = 2 \ text {,} \) \ (24/12 = 2 \ text {,} \) и т. Д.{n} \ text {.} \)

В приведенных выше примерах и формулах мы предположили, что начальный термин для был \ (a_0 \ text {.} \). Если ваша последовательность начинается с \ (a_1 \ text {,} \), вы можете легко найти термин, который были \ (a_0 \) и используйте это в формуле. Например, если нам нужна формула для последовательности \ (2, 5, 8, \ ldots \) ​​и мы настаиваем на том, чтобы \ (2 = a_1 \ text {,} \), то мы можем найти \ (a_0 = -1 \) (поскольку последовательность арифметическая с общей разностью 3, имеем \ (a_0 + 3 = a_1 \)). Тогда закрытая формула будет \ (a_n = -1 + 3n \ text {.} \)

Подраздел Суммы арифметических и геометрических последовательностей

¶

Расследуй! 19

В вашем соседнем продуктовом магазине есть автомат с кеглями.

1. Предположим, что автомат с конфетами в настоящее время вмещает ровно 650 кеглей, и каждый раз, когда кто-то вставляет четверть, из автомата выходит ровно 7 кеглей.

   1. Сколько кеглей останется в машине после того, как будут вставлены 20 четвертей?

   2. Останется ли когда-нибудь в машине ровно ноль кеглей? Объяснять.

2. Что, если автомат выдаст 7 Skittles первому покупателю, вложившему четверть, 10 — второму, 13 — третьему, 16 — четвертому и т. д. в машину?

3. А что, если автомат выдаст 4 кегли первому покупателю, 7 — второму, 12 — третьему, 19 — четвертому и т. Д. Сколько кеглей выдаст автомат после того, как 20 четвертей помещены в автомат?

Посмотрите на последовательность \ ((T_n) _ {n \ ge 1} \), которая начинается с \ (1, 3, 6, 10, 15, \ ldots \ text {.} \) Эти числа называются треугольными числами , поскольку они представляют количество точек в равностороннем треугольнике (подумайте, как вы расставляете 10 кеглей: ряд из 4 плюс ряд из 3 плюс ряд из 2 и ряд из 1).

Это арифметическая последовательность? Нет, поскольку \ (3-1 = 2 \) и \ (6-3 = 3 \ ne 2 \ text {,} \), поэтому нет общей разницы. Последовательность геометрическая? Нет. \ (3/1 = 3 \), но \ (6/3 = 2 \ text {,} \), поэтому нет общего отношения. Что делать?

Обратите внимание, что различия между терминами образуют арифметическую последовательность: \ (2, 3, 4, 5, 6, \ ldots \ text {.} \) Это означает, что \ (n \) -й член последовательности \ (1,3,6,10,15, \ ldots \) ​​является суммой первых \ (n \) членов последовательности \ (1,2,3,4,5, \ ldots \ text {. } \) Мы говорим, что первая последовательность — это последовательность частичных сумм второй последовательности (частичные суммы, потому что мы не берем сумму всего бесконечно много терминов). Если мы знаем, как складывать члены арифметической последовательности, мы могли бы использовать это, чтобы найти замкнутую формулу для последовательности, различия которой являются членами этой арифметической последовательности.

Это станет яснее, если мы запишем треугольные числа так:

\ begin {align *} 1 \ amp = 1 \\ 3 \ amp = 1 + 2 \\ 6 \ amp = 1 + 2 + 3 \\ 10 \ amp = 1 + 2 + 3+ 4 \\ \ vdots \ amp \ qquad \ vdots \\ Т_n \ amp = 1 + 2 + 3 + \ cdots + n. \ end {выровнять *}

Подумайте, как мы можем найти сумму первых 100 натуральных чисел (то есть \ (T_ {100} \)). Вместо того, чтобы складывать их по порядку, мы перегруппируем и добавим \ (1 + 100 = 101 \ text {.} \) Следующая пара, которую нужно объединить, это \ (2 + 99 = 101 \ text {.} \) Затем \ (3+ 98 = 101 \ текст {. }\) Продолжать. Это дает 50 пар, каждая из которых в сумме дает \ (101 \ text {,} \), поэтому \ (T_ {100} = 101 \ cdot 50 = 5050 \ text {.} \)

В общем, используя такую ​​же перегруппировку, мы обнаруживаем, что \ (T_n = \ frac {n (n + 1)} {2} \ text {.} \) Между прочим, это в точности то же самое, что \ ({n +1 \ choose 2} \ text {,} \), что имеет смысл, если вы думаете о треугольных числах как о подсчете количества рукопожатий на вечеринке с \ (n + 1 \) людьми: первый человек трясет \ (n \) рук, следующий пожимает еще \ (n-1 \) руки и так далее.

Смысл всего этого в том, что некоторые последовательности, хотя и не арифметические или геометрические, могут быть интерпретированы как последовательность частичных сумм арифметических и геометрических последовательностей. К счастью, есть методы, которые можно использовать для быстрого вычисления этих сумм.

Подраздел Суммирование арифметических последовательностей: обратное и сложение

¶

Вот метод, который позволяет нам быстро найти сумму арифметической последовательности.

Пример2.2.4

Найдите сумму: \ (2 + 5 + 8 + 11 + 14 + \ cdots + 470 \ text {.} \)

Решение

Идея состоит в том, чтобы имитировать, как мы нашли формулу для треугольных чисел. Если мы сложим первый и последний члены, мы получим 472. Второй член и предпоследний член также в сумме составляют 472. Чтобы отслеживать все, мы могли бы выразить это следующим образом. Назовите сумму \ (S \ text {.} \) Тогда

\ (S = \)	\ (2 \)	\ (+ \)	\ (5 \)	\ (+ \)	\ (8 \)	\ (+ \ cdots + \)	\ (467 \)	\ (+ \)	470
\ (+ \ quad S = \)	\ (470 \)	\ (+ \)	\ (467 \)	\ (+ \)	\ (464 \)	\ (+ \ cdots + \)	\ (5 \)	\ (+ \)	2
\ (2S = \)	\ (472 \)	\ (+ \)	\ (472 \)	\ (+ \)	\ (472 \)	\ (+ \ cdots + \)	\ (472 \)	\ (+ \)	\ (472 \)

Чтобы найти \ (2S \), мы прибавляем 472 к себе несколько раз. Какой номер? Нам нужно решить, сколько членов ( слагаемых ) в сумме. Поскольку члены образуют арифметическую последовательность, \ (n \) -й член в сумме (считая \ (2 \) как 0-й член) можно выразить как \ (2 + 3n \ text {.} \) Если \ ( 2 + 3n = 470 \), тогда \ (n = 156 \ text {.} \) Итак, \ (n \) находится в диапазоне от 0 до 156, что дает 157 членов в сумме. Это число 472 в сумме для \ (2S \ text {.} \) Таким образом,

\ begin {уравнение *} 2S = 157 \ cdot 472 = 74104 \ end {уравнение *}

Теперь легко найти \ (S \ text {:} \)

\ begin {уравнение *} S = 74104/2 = 37052 \ end {уравнение *}

Это будет работать для любой суммы из арифметических последовательностей.Назовите сумму \ (S \ text {.} \) Обратный и сложите. Это дает одно число, добавленное к самому себе много раз. Найдите количество раз. Умножить. Разделить на 2. Готово.

Пример2.2.5

Найдите замкнутую формулу для \ (6 + 10 + 14 + \ cdots + (4n — 2) \ text {.} \)

Решение

Опять же, у нас есть сумма арифметической последовательности. Нам нужно знать, сколько терминов в последовательности. Ясно, что каждый член в последовательности имеет вид \ (4k -2 \) (о чем свидетельствует последний член). Но для каких значений \ (k \)? Чтобы получить 6, \ (k = 2 \ text {.} \) Чтобы получить \ (4n-2 \), возьмите \ (k = n \ text {.} \) Итак, чтобы найти количество членов, нам нужно знать, сколько целых чисел находится в диапазоне \ (2,3, \ ldots, n \ text {.} \) Ответ: \ (n-1 \ text {.} \) (Есть \ (n \) числа от 1 до \ (n \ text {,} \), поэтому один меньше, если мы начнем с 2.)

Теперь переверните и прибавьте:

\ (S = \)	\ (6 \)	\ (+ \)	\ (10 ​​\)	\ (+ \ cdots + \)	\ (4н-6 \)	\ (+ \)	\ (4н-2 \)
\ (+ \ quad S = \)	\ (4н-2 \)	\ (+ \)	\ (4н-6 \)	\ (+ \ cdots + \)	\ (10 ​​\)	\ (+ \)	6
\ (2S = \)	\ (4n + 4 \)	\ (+ \)	\ (4n + 4 \)	\ (+ \ cdots + \)	\ (4n + 4 \)	\ (+ \)	\ (4n + 4 \)

Поскольку есть \ (n-2 \) членов, получаем

\ begin {уравнение *} 2S = (n-2) (4n + 4) \ qquad \ mbox {so} \ qquad S = \ frac {(n-2) (4n + 4)} {2} \ end {уравнение *}

Помимо нахождения сумм, мы можем использовать эту технику для нахождения замкнутых формул для последовательностей, которые мы распознаем как последовательности частичных сумм.

Пример2.2.6

Используйте частичные суммы, чтобы найти замкнутую формулу для \ ((a_n) _ {n \ ge 0} \), которая начинается с \ (2, 3, 7, 14, 24, 37, \ ldots \ ldots \) ​​

Решение

Во-первых, если вы посмотрите на различия между терминами, вы получите последовательность различий: \ (1,4,7,10,13, \ ldots \ text {,} \), которая является арифметической последовательностью. Написано по-другому:

\ begin {align *} а_0 \ amp = 2 \\ а_1 \ amp = 2 + 1 \\ а_2 \ amp = 2 + 1 + 4 \\ а_3 \ amp = 2 + 1 + 4 + 7 \ end {выровнять *}

и так далее. Мы можем записать общий член \ ((a_n) \) в терминах арифметической последовательности следующим образом:

\ begin {уравнение *} a_n = 2 + 1 + 4 + 7 + 10 + \ cdots + (1 + 3 (n-1)) \ end {уравнение *}

(мы используем \ (1 + 3 (n-1) \) вместо \ (1 + 3n \), чтобы индексы выровнялись правильно; для \ (a_3 \) мы складываем до 7, что составляет \ ( 1 + 3 (3-1) \)).

Мы можем перевернуть и сложить, но начальные 2 не соответствуют нашему шаблону. Это просто означает, что нам нужно убрать двойку с обратной стороны:

\ (a_n = \)	\ (2 \)	\ (+ \)	\ (1 \)	\ (+ \)	\ (4 \)	\ (+ \ cdots + \)	\ (1 + 3 (n-1) \)
\ (+ ~ a_n = \)	\ (2 \)	\ (+ \)	\ (1 + 3 (n-1) \)	\ (+ \)	\ (1 + 3 (n-2) \)	\ (+ \ cdots + \)	\ (1 \)
\ (2a_n = \)	\ (4 \)	\ (+ \)	\ (2 + 3 (n-1) \)	\ (+ \)	\ (2 + 3 (n-1) \)	\ (+ \ cdots + \)	\ (2 + 3 (n-1) \)

Не считая первого члена (4), есть \ (n \) слагаемых в \ (2 + 3 (n-1) = 3n-1 \), поэтому правая часть становится \ (2+ (3n-1 ) п \ текст {.} \)

Наконец, решая \ (a_n \), получаем

\ begin {уравнение *} a_n = \ d \ frac {4+ (3n-1) n} {2}. \ end {уравнение *}

На всякий случай проверяем \ (a_0 = \ frac {4} {2} = 2 \ text {,} \) \ (a_1 = \ frac {4 + 2} {2} = 3 \ text {,} \) и т. д. У нас есть правильная замкнутая формула.

Подраздел Суммирование геометрических последовательностей: умножение, сдвиг и вычитание

¶

Чтобы найти сумму геометрической последовательности, мы не можем просто перевернуть и сложить. Вы понимаете почему? Причина, по которой мы добавляли один и тот же термин много раз к самому себе, заключается в том, что разница была постоянной.Таким образом, когда мы добавили эту разницу в одном направлении, мы вычли разницу в другом направлении, оставив постоянную сумму. Для геометрических сумм у нас есть другая техника.

Пример2.2.7

Что такое \ (3 + 6 + 12 + 24 + \ cdots + 12288 \ text {?} \)

Решение

Умножьте каждый член на 2, обычное отношение. Вы получите \ (2S = 6 + 12 + 24 + \ cdots + 24576 \ text {.} \) Теперь вычтите: \ (2S — S = -3 + 24576 = 24573 \ text {.} \) Поскольку \ (2S — S = S \ text {,} \) у нас есть ответ.

Чтобы лучше понять, что произошло в приведенном выше примере, попробуйте написать это так:

\ (S = \)	\ (3 \, + \)	\ (6 + 12 + 24 + \ cdots + 12288 \)
\ (- ~ 2S = \)		\ (6 + 12 + 24 + \ cdots + 12288 \)	\ (+ 24576 \)
\ (- S = \)	\ (3 \, + \)	\ (0 + 0 + 0 + \ cdots + 0 \)	\ (- 24576 \)

Затем разделите обе части на \ (- 1 \), и мы получим тот же результат для \ (S \ text {. {n + 1}} {- 4} \)

Даже если это может показаться новой техникой, вы, вероятно, использовали ее раньше.

Пример2.2.9

Экспресс \ (0,464646 \ ldots \) ​​в виде дроби.

Решение

Пусть \ (N = 0.46464646 \ ldots \ text {.} \) Рассмотрим \ (0.01N \ text {.} \) Получаем:

	\ (N = \)	\ (0,4646464 \ ldots \) ​​
\ (- \)	\ (0,01N = \)	\ (0,00464646 \ ldots \) ​​
	\ (0.99N = \)	\ (0,46 \)

Итак \ (N = \ frac {46} {99} \ text {.} \) Что мы сделали? Мы рассматривали повторяющуюся десятичную дробь \ (0,464646 \ ldots \) ​​как сумму геометрической последовательности \ (0,46, 0,0046, 0,000046, \ ldots \). Общее отношение равно \ (0,01 \ text {.} \) Единственная реальная разница в том, что что теперь мы вычисляем бесконечную геометрическую сумму , у нас нет лишнего «последнего» члена, который нужно учитывать. На самом деле, это результат взятия предела, как в исчислении, когда вы вычисляете бесконечных геометрических сумм.п к = п! \ текст {.} \)

Подраздел Упражнения

¶

1

Рассмотрим последовательность \ (5, 9, 13, 17, 21, \ ldots \) ​​с \ (a_1 = 5 \)

1. Дайте рекурсивное определение последовательности.

2. Приведите замкнутую формулу для \ (n \) -го члена последовательности.

3. Является ли \ (2013 \) членом последовательности? Объяснять.

4. Сколько членов в последовательности \ (5, 9, 13, 17, 21, \ ldots, 533 \)?

5. Найдите сумму: \ (5 + 9 + 13 + 17 + 21 + \ cdots + 533 \ text {.{th} \) член \ (1, 6, 15, 28, 45, \ ldots \ text {,} \), где \ (b_0 = 1 \)

Решение

1. \ (a_n = a_ {n-1} + 4 \) с \ (a_1 = 5 \ text {.} \)
2. \ (a_n = 5 + 4 (n-1) \ text {.} \)

3. Да, поскольку \ (2013 = 5 + 4 (503-1) \) (поэтому \ (a_ {503} = 2013 \)).

4. 133

5. \ (\ frac {538 \ cdot 133} {2} = 35777 \ text {.} \)
6. \ (b_n = 1 + \ frac {(4n + 6) n} {2} \ text {.} \)

2

Рассмотрим последовательность \ ((a_n) _ {n \ ge 0} \), которая начинается с \ (8, 14, 20, 26, \ ldots \ text {.{99} a_k \ text {.} \)

Решение

1. \ (32 \ text {,} \) то есть \ (26 + 6 \ text {.} \)

2. \ (a_n = 8 + 6n \ text {.} \)
3. \ (30500 \ text {.} \) Нам нужно \ (8 + 14 + \ cdots + 602 \ text {.} \) Перевернуть и сложить, чтобы получить 100 сумм из 610, всего 61000, что вдвое превышает сумму мы ищем.

3

Рассмотрим сумму \ (4 + 11 + 18 + 25 + \ cdots + 249 \ text {.} \)

1. Сколько членов (слагаемых) в сумме?

2. Вычислить сумму.Не забудьте показать всю свою работу.

Решение

1. 36.

2. \ (\ frac {253 \ cdot 36} {2} = 4554 \ text {.} \)

4

Рассмотрим последовательность \ (1, 7, 13, 19, \ ldots, 6n + 7 \ text {. } \)

1. Сколько терминов в последовательности?

2. Какой предпоследний срок?

3. Найдите сумму всех членов последовательности.

Решение

1. \ (n + 2 \) терминов, поскольку для получения 1 по формуле \ (6n + 7 \) мы должны использовать \ (n = -1 \ text {.} \) Таким образом, у нас есть члены \ (n \) плюс члены \ (n = 0 \) и \ (n = -1 \).
2. \ (6n + 1 \ text {,} \), что на 6 меньше, чем \ (6n + 7 \) (или вставьте \ (n-1 \) для \ (n \)).
3. \ (\ frac {(6n + 8) (n + 2)} {2} \ text {.} \) Поменяйте местами и сложите. Каждая сумма дает константу \ (6n + 8 \) и есть \ (n + 2 \) членов.

5

Найдите \ (5 + 7 + 9 + 11+ \ cdots + 521 \ text {.} \)

Решение

\ (68117 \ text {.} \) Если мы возьмем \ (a_0 = 5 \ text {,} \), члены суммы будут арифметической последовательностью с закрытой формулой \ (a_n = 5 + 2n \ text {.{30}} \ text {.} \)

8

Найдите \ (x \) и \ (y \) такие, что \ (27, x, y, 1 \) является частью арифметической последовательности. Затем найдите \ (x \) и \ (y \), чтобы последовательность была частью геометрической последовательности. (Предупреждение: \ (x \) и \ (y \) могут быть не целыми числами.)

9

Начиная с любого прямоугольника, мы можем создать новый прямоугольник большего размера, прикрепив квадрат к длинной стороне. Например, если мы начнем с прямоугольника \ (2 \ times 5 \), мы приклеим квадрат \ (5 \ times 5 \), образуя прямоугольник \ (5 \ times 7 \):

1. Создайте последовательность прямоугольников, используя это правило, начиная с прямоугольника \ (1 \ times 2 \).Затем выпишите последовательность из периметров для прямоугольников (первый член последовательности будет равен 6, так как периметр прямоугольника \ (1 \ times 2 \) равен 6 — следующий член будет 10).

2. Повторите описанную выше часть на этот раз, начиная с прямоугольника \ (1 \ times 3 \).

3. Найдите рекурсивные формулы для каждой из последовательностей периметров, которые вы нашли в частях (a) и (b). Не забудьте также указать начальные условия.

4. Являются ли последовательности арифметическими? Геометрический? Если нет, то близки ли они к к любому из них (т.е., являются ли разности или соотношения почти постоянными)? Объяснять.

10

Рассмотрим последовательность \ (2, 7, 15, 26, 40, 57, \ ldots \) ​​(с \ (a_0 = 2 \)). Глядя на различия между терминами, выразите последовательность как последовательность частичных сумм. Затем найдите замкнутую формулу для последовательности, вычислив \ (n \) -ю частичную сумму.

Решение

У нас есть \ (2 = 2 \ text {,} \) \ (7 = 2 + 5 \ text {,} \) \ (15 = 2 + 5 + 8 \ text {,} \) \ (26 = 2 + 5 + 8 + 11 \ text {,} \) и так далее.n (2 + 3k) \ text {.} \) Чтобы найти замкнутую формулу, мы переворачиваем и складываем. Получаем \ (a_n = \ frac {(4 + 3n) (n + 1)} {2} \) (у нас там \ (n + 1 \), потому что в сумме есть \ (n + 1 \) слагаемые для\)).

11

Если у вас достаточно зубочисток, вы можете сделать большую треугольную сетку. Ниже представлены треугольные решетки размера 1 и размера 2. Для сетки размера 1 требуется 3 зубочистки, для сетки размера 2 требуется 9 зубочисток.

1. Пусть \ (t_n \) будет количеством зубочисток, необходимых для создания треугольной сетки размером \ (n \).Выпишите первые 5 членов последовательности \ (t_1, t_2, \ ldots \ text {.} \)

2. Найдите рекурсивное определение последовательности. Объясните, почему вы правы.

3. Последовательность арифметическая или геометрическая? Если нет, то это последовательность частичных сумм арифметической или геометрической последовательности? Объясните, почему ваш ответ правильный.

4. Используйте ваши результаты из части (c), чтобы найти замкнутую формулу для последовательности. Показать свою работу.

12

Используйте нотацию суммирования (\ (\ sum \)) или произведения (\ (\ prod \)), чтобы переписать следующее.n (2 + 3k) = (2) (5) (8) (11) (14) \ cdots (2 + 3n) \ text {. } \)

Видеоурок: Использование формул арифметической последовательности

Стенограмма видео

В этом видео мы узнаем, как написать явные и рекурсивные формулы для арифметических последовательностей, чтобы найти значение 𝑛-й член в арифметической последовательности и как найти порядок термина с учетом его ценность. Начнем с напоминания некоторых ключевых определения арифметических последовательностей.

Арифметическая последовательность — это последовательность чисел, в которой разница между любыми двумя последовательными терминами равна константа, например, последовательность семь, 11, 15, 19 и так далее. Разница между двумя последовательных членов в этой последовательности четыре. Это значение известно как обычное разница. Первый член арифметики последовательность обычно обозначается как sub one, второй член 𝑎 sub two, и поэтому на. Однако стоит отметить, что иногда первый член обозначается ниже нуля, второй член 𝑎 меньше нуля и скоро.

𝑛-й член, обозначаемый 𝑎 sub, арифметической последовательности с общей разностью 𝑑 и первым слагаемым 𝑎 подпунктом является задано 𝑎 sub 𝑛 равно 𝑎 sub one плюс 𝑛 ​​минус один, умноженное на 𝑑. В нашем примере 𝑎 sub равно равняется семи, а общая разница 𝑑 равна четырем. Это означает, что 𝑎 sub 𝑛 равно к семи плюс минус один, умноженный на четыре.Распространяя наши скобки, это становится семь плюс четыре 𝑛 минус четыре, что равно четырем 𝑛 плюс три. Затем мы можем использовать эту формулу для вычислить значение любого члена в последовательности. Например, чтобы вычислить десятое член, мы бы заменили равным 10. Член с порядком 𝑎 sub 10 равно четырем, умноженным на 10 плюс три, что равно 43.

Теперь рассмотрим вопрос где нам нужно вычислить конкретный член арифметической последовательности.

Найдите 𝑎 sub 45, учитывая арифметическая последовательность 18, 26, 34 и т. д. до 698, где больше или равняется единице.

В этом вопросе нам дается арифметическая последовательность, которая начинается с 18, 26, 34. Как нам говорят, больше чем или равным единице, мы будем обозначать эти первые три члена как 𝑎 sub one, 𝑎 sub два и 𝑎 к югу от трех. Мы знаем, что любая последовательность арифметические, если между последовательными терминами есть общая разница.В этом вопросе общий разница составляет восемь, так как 18 плюс восемь равно 26, а 26 плюс восемь равно 34.

Нас просят вычислить 45-е число. термин в последовательности. Мы знаем, что 𝑛-й член любого арифметическая последовательность с общей разностью 𝑑 и первым слагаемым 𝑎 подсистемой задается следующим образом: 𝑎 sub 𝑛 равно 𝑎 sub one плюс 𝑛 ​​минус один, умноженное на 𝑑. Это означает, что 𝑎 sub 45 равно до 18 плюс 45 минус один, умноженный на восемь.Это упрощается до 18 плюс 44. умножить на восемь. Поскольку 40 умножить на восемь, получится 320 а четыре, умноженные на восемь, составляют 32, затем 44, умноженные на восемь, равны 352. Добавление 18 к этому дает нам окончательный результат. ответ 370. 45 член в арифметике. последовательность 18, 26, 34 и так далее до 698 — это 370.

В следующем вопросе нам нужно найти количество членов в заданной арифметической последовательности.

Найдите количество терминов в арифметическая последовательность минус четыре, два, восемь и т. д. до 392.

Мы знаем, что для последовательность, чтобы быть арифметической, она должна иметь общее различие между последовательными условия. Это верно в этом вопросе, так как разница между первым и вторым членами такая же, как и разница между вторым и третьим сроками. У нас общая разница равна до шести.

Мы знаем, что 𝑛-й член любого арифметическая последовательность с общей разностью 𝑑 и первым слагаемым 𝑎 sub, удовлетворяет уравнение sub 𝑛 равно sub one плюс 𝑛 ​​минус один, умноженное на 𝑑.Мы знаем, что в этой последовательности последний член равен 392. Подставляя значения 𝑎 sub единица и 𝑑 в правую часть нашего уравнения, мы имеем отрицательные четыре плюс 𝑛 минус один, умноженный на шесть. Раздавая круглые скобки, мы шесть 𝑛 минус шесть. А поскольку последний член равен 392, имеем отрицательные четыре плюс шесть 𝑛 минус шесть равно 392.

Левая часть упрощается до шесть 𝑛 минус 10.И затем мы можем добавить 10 к обоим частей уравнения так, что шесть 𝑛 равно 402. Наконец, разделив обе части это уравнение на шесть, мы имеем 𝑛 равно 402 по шести, что равно 67. Таким образом, мы можем заключить, что в арифметической последовательности 67 членов отрицательные четыре, два, восемь и т. д., до 392, где 67-й член равен 392.

В нашем следующем примере мы будем вычислить формулу для 𝑛-го члена арифметической последовательности.

Найдите в терминах 𝑛 общее член арифметической последовательности, шестой член которой равен 46, а сумма третьего и десятый член равен 102.

Напомним, что последовательность арифметические, если есть общая разница между любыми двумя последовательными терминами. И 𝑛-й член, пишется 𝑎 sub 𝑛, любой арифметической последовательности равно 𝑎 к югу от единицы плюс 𝑛 ​​минус один умноженный на 𝑑, где 𝑎 sub one — это первый член, а 𝑑 — общая разница.

В этом вопросе нам говорят, что шестой член равен 46. Следовательно, 𝑎 sub six равно 46. ​​Нам также сообщили, что сумма третий и десятый термины — 102. 𝑎 субтретий плюс 𝑎 субтитр 10 — это равно 102. Используя общее уравнение, имеем 𝑎 суб-один плюс шесть минус один, умноженный на 𝑑, равно 46. Это упрощается до 𝑎 суб-один плюс пять 𝑑 равняется 46. И поскольку есть два неизвестных, мы назовем это уравнение единицей.

Третий член, 𝑎 к югу от третьего, равно 𝑎 к югу один плюс два 𝑑. И десятый член, 𝑎 sub 10, равно 𝑎 к югу от одного плюс девять 𝑑. Поскольку эта сумма дает нам 102, мы иметь суб один плюс два 𝑑 плюс 𝑎 суб один плюс девять 𝑑 равно 102. Левая часть упрощается до два 𝑎, один плюс 11𝑑. Если мы назовем это уравнение двумя, мы теперь есть пара одновременных уравнений с двумя неизвестными 𝑎 к югу от одного и 𝑑.

Один из способов решить эту проблему — устранение.Умножение уравнения на два дает нам два 𝑎 к югу от одного плюс 10 равно 92. Если мы назовем это уравнение тремя, мы затем можно вычесть это из уравнения два. Это оставляет нас с 𝑑 равно 10. Подставляя это обратно в уравнение один дает нам к югу от единицы плюс пять, умноженное на 10, равно 46. Это означает, что к югу от единицы плюс 50 равно 46. Вычитая 50 из обеих частей уравнение дает нам 𝑎 суб-один равен отрицательным четырем.

Теперь у нас есть значения для первого член и общая разница нашей арифметической последовательности. И подставив их обратно в Общее уравнение дает нам 𝑎 sub 𝑛 равно отрицательным четырем плюс минус один умножить на 10. Разложив круглые скобки, это упрощается до отрицательных четырех плюс 10𝑛 минус 10, что равно 10𝑛 минус 14. Общий член арифметики. последовательность, шестой член которой равен 46, а сумма третьего и десятого членов равна 102, равна 10𝑛 минус 14.

В нашем последнем примере мы найдем порядок конкретного термина в арифметической последовательности.

Найдите порядок выражения, у которого значение равно 112 в последовательности 17, 22, 27, 32 и так далее.

Начнем с того, что напомним, что порядок термина в последовательности — это его позиция. В этом вопросе нам дается последовательность 17, 22, 27, 32 и так далее. Это означает, что первый член 𝑎 sub one, равно 17.Второй член, 𝑎 sub two, равен 22. Третий член, 𝑎 к югу от трех, 27 и так далее. Нам нужно найти заказ или позиция термина, значение которого равно 112.

Мы знаем, что наша последовательность арифметика, так как существует общая разница между последовательными терминами. В любой арифметической последовательности общий термин 𝑎 sub 𝑛 равен 𝑎 sub one плюс 𝑛 ​​минус один, умноженный на 𝑑, где 𝑎 sub one — это первый член, а 𝑑 — общая разница.Из нашей последовательности видно, что 𝑎 sub one равно 17, а общая разница 𝑑 равна пяти. Подставляя эти значения в Общее уравнение дает нам 17 плюс минус один, умноженный на пять.

Мы хотим найти значение 𝑛 такое, что это выражение равно 112. Распространяя круглые скобки, мы иметь 17 плюс пять 𝑛 минус пять равно 112. Левая часть упрощается до пять 𝑛 плюс 12. Затем мы можем вычесть 12 из обоих таких сторон, что пять 𝑛 равно 100.Наконец, разделив на пять дает нам 𝑛 равно 20. И поэтому мы можем заключить, что порядок членов, значение которых равно 112, составляет 𝑎 к югу от 20. Это 20-й член в последовательности 17, 22, 27, 32 и так далее.

Стоит отметить, что все четные члены в этой последовательности заканчиваются двумя. Это говорит о том, что наш ответ 𝑎 sub 20 правильный.

Теперь мы резюмируем ключ баллы из этого видео.Мы видели в этом видео, что последовательность — это арифметика, если есть общая разница между любыми двумя последовательными условия. 𝑛-й член арифметики последовательность с общей разностью 𝑑 и первым членом 𝑎 суб-один задается 𝑎 суб 𝑛 равно 𝑎 к югу от единицы плюс 𝑛 ​​минус один, умноженное на 𝑑. В этом видео мы использовали это уравнение, чтобы помочь вычислить конкретный член арифметической последовательности, чтобы найти количество членов в заданной последовательности или вычислить формулу для конкретная арифметическая последовательность.

арифметических и геометрических последовательностей | Purplemath

Purplemath

Две самые простые последовательности для работы — это арифметическая и геометрическая последовательности.

Арифметическая последовательность переходит от одного члена к другому, всегда добавляя (или вычитая) одно и то же значение. Например, 2, 5, 8, 11, 14 ,… является арифметическим, потому что каждый шаг добавляет три; а 7, 3, –1, –5, … — арифметические, потому что каждый шаг вычитает 4.

Число, добавляемое (или вычитаемое) на каждом этапе арифметической последовательности, называется «общей разницей» d , потому что, если вы вычтите (то есть, если вы найдете разницу) последовательных членов, вы всегда получите это общая ценность.

MathHelp.com

Геометрическая последовательность переходит от одного члена к другому путем умножения (или деления) на одно и то же значение. Итак, 1, 2, 4, 8, 16, … геометрически, потому что каждый шаг умножается на два; и 81, 27, 9, 3, 1, 1/3, … является геометрическим, потому что каждый шаг делится на 3.

Число, умноженное (или разделенное) на каждом этапе геометрической последовательности, называется «общим соотношением» r , потому что, если вы разделите (то есть, если вы найдете соотношение) последовательных членов, вы всегда получите это общая ценность.

---

• Найдите общую разницу и следующий член следующей последовательности:

Чтобы найти общую разницу, я должен вычесть пару следующих друг за другом членов.Неважно, какую пару я выберу, главное, чтобы они были рядом друг с другом. Чтобы быть внимательным, сделаю все вычитания:

11–3 = 8

19–11 = 8

27–19 = 8

35–27 = 8

Разница всегда равна 8, поэтому общая разница составляет d = 8.

Мне дали пять членов, так что шестой член последовательности будет следующим термином.Я нахожу следующий член, добавляя общее различие к пятому члену:

Тогда мой ответ:

общая разница: d = 8

шестой семестр: 43

---

• Найдите общее отношение и седьмой член следующей последовательности:

Чтобы найти общее отношение, я должен разделить следующие пары членов.Неважно, какую пару я выберу, главное, чтобы они были рядом друг с другом. Чтобы быть внимательнее, сделаю все деления:

Соотношение всегда равно 3, поэтому r = 3.

Мне дали пять сроков, так что шестой семестр — это следующий семестр; седьмой — срок после этого. Чтобы найти значение седьмого члена, я дважды умножу пятый член на обычное отношение:

a 6 = (18) (3) = 54

a 7 = (54) (3) = 162

Тогда мой ответ:

стандартное отношение: r = 3

седьмой семестр: 162

---

Поскольку арифметические и геометрические последовательности настолько хороши и правильны, у них есть формулы.

Для арифметических последовательностей общая разница составляет d , а первый член a 1 часто обозначается просто как « a ». Поскольку мы получаем следующий член, добавляя общую разницу, значение a 2 будет просто:

Продолжая, третий член:

a 3 = ( a + d ) + d = a + 2 d

Четвертый член:

a 4 = ( a + 2 d ) + d = a + 3 d

На каждом этапе общая разница умножалась на значение, которое было на единицу меньше индекса. Следуя этому шаблону, n -й член a _n будет иметь форму:

---

Для геометрических последовательностей обычное отношение составляет r , а первый член a 1 часто обозначается просто как « a ». Поскольку следующий член мы получаем умножением на обыкновенное отношение, значение a 2 будет просто:

Продолжая, третий член:

Четвертый член:

На каждом этапе обычное отношение увеличивалось до степени, которая была на единицу меньше индекса.Следуя этому шаблону, n -й член a _n будет иметь форму:

Запомните эти формулы n -го члена перед следующим тестом.

---

• Найдите десятый член и

  n -й член следующей последовательности:

Первое, что мне нужно сделать, это выяснить, какой это тип последовательности: арифметический или геометрический. Я быстро вижу, что различия не совпадают; например, разница между вторым и первым членами составляет 2 — 1 = 1, но разница между третьим и вторым членами составляет 4 — 2 = 2. Так что это не арифметическая последовательность.

С другой стороны, отношения последовательных членов одинаковы:

2 ÷ 1 = 2

4 ÷ 2 = 2

8 ÷ 4 = 2

(Я не делал деление с первым членом, потому что в нем участвовали дроби, и я ленив.Однако деление дало бы точно такой же результат.)

Итак, очевидно, что это геометрическая последовательность с общим отношением r = 2, а первый член равен a = 1/2. Чтобы найти n -й член, я могу просто подставить в формулу a _n = ar ^{( n — 1)} :

a _n = (1/2) 2 ^{n –1} = (2 ^-1 ) (2 ^{n –1} )

= 2 ^{(–1) + ( n — 1)} = 2 ^{n — 2}

Чтобы найти значение десятого члена, я могу подставить n = 10 в формулу n -го члена и упростить:

Тогда мой ответ:

n -й член:

a _n = 2 ^{n –2}

десятый семестр: 256

---

• Найдите

  n -й член и первые три члена арифметической последовательности, имеющей a 6 = 5 и d = 3/2

Член арифметической последовательности n имеет вид a _n = a + ( n — 1) d . В данном случае эта формула дает мне

a ₆ = a + (6 — 1) (3/2) = 5. Решая эту формулу для значения первого члена последовательности, я получаю а = –5/2. Потом:

a 1 =

–5/2

a 2 =

–5/2 + 3/2 = –1

a 3 =

–1 + 3/2 = 1/2

Это дает мне первые три члена в последовательности.Поскольку у меня есть значение первого члена и общая разница, я также могу создать выражение для n -го члена и упростить:

–5/2 + ( n — 1) (3/2)

= –5/2 + (3/2) n — 3/2

= –8/2 + (3/2) n = (3/2) n — 4

Тогда мой ответ:

n -й семестр:

(3/2) n -4

первые три семестра:

–5/2, –1, 1/2

---

• Найдите

  n -й член и первые три члена арифметической последовательности, имеющей a 4 = 93 и a 8 = 65.

Поскольку a 4 и a 8 разделены на четыре позиции, то из определения арифметической последовательности я знаю, что я бы получил от четвертого члена к восьмому, добавив общую разницу четыре раза к четвертому члену. ; Другими словами, определение говорит мне, что a 8 = a 4 + 4 d . Используя это, я могу найти общую разницу d :

65 = 93 + 4 д

–28 = 4 d

–7 = d

Кроме того, я знаю, что четвертый член относится к первому члену по формуле a 4 = a + (4-1) d , поэтому, используя значение, которое я только что нашел для d , я могу найти значение первого члена a :

93 = a + 3 (–7)

93 + 21 = а

114 = а

Теперь, когда у меня есть значение первого члена и значение общей разницы, я могу без труда найти значения первых трех членов и общую форму n -го члена:

a 1 = 114

a 2 = 114-7 = 107

a 3 = 107 — 7 = 100

a _n = 114 + ( n — 1) (- 7)

= 114-7 n + 7 = 121-7 n

Тогда мой ответ:

n -й семестр: 121-7 n

первые три семестра: 114, 107, 100

---

• Найдите

  n, -й и 26-й члены геометрической последовательности: a 5 = 5/4 и a 12 = 160.

Два члена, для которых мне дали числовые значения, разнесены на 12-5 = 7 мест, поэтому, исходя из определения геометрической последовательности, я знаю, что перейду от пятого члена к двенадцатому, умножив пятый член по обыкновению семь раз; то есть a 12 = ( a 5) ( r ⁷ ). Я могу использовать это, чтобы найти значение общего отношения r :

160 = (5/4) ( r ⁷ )

128 = r ⁷

2 = r

Кроме того, я знаю, что пятый член относится к первому по формуле a 5 = ar ⁴ , поэтому я могу найти значение первого члена a :

5/4 = a (2 ⁴ ) = 16 a

5/64 = а

Теперь, когда у меня есть значение первого члена и значение общего отношения, я могу подставить каждое в формулу для n -го члена, чтобы получить:

a _n = (5/64) 2 ^{( n — 1)}

= (5/2 ⁶ ) (2 ^{n –1} )

= (5) (2 ^–6 ) (2 ^{n –1} )

= 5 (2 ^{n –7} )

С помощью этой формулы я могу вычислить двадцать шестой член и упростить:

Тогда мой ответ:

n -й семестр:

(5/64) (2 ^{n –1} )

26 семестр: 2,621,440

---

Когда мы узнаем, как работать с последовательностями арифметических и геометрических терминов, мы можем перейти к рассмотрению добавления этих последовательностей.